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第四章 方差分析与回归分析
中国科大 13 November 2015
第2页
§4.1 单因素试验的方差分析
4.1.1 问题的提出
实际工作中我们经常碰到多个正态总体
均值的比较问题,处理这类问题通常采
用所谓的方差分析方法。
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例4.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中,某研究
所提出三种饲料配方:A1是以鱼粉为主的
饲料,A2是以槐树粉为主的饲料,A3是以
苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效
果,特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三
组,每组各喂一种饲料,60天后观察它们
的重量。试验结果如下表所示:
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表4.1.1 鸡饲料试验数据
饲料A 鸡 重(克)
A1 1073 1009 1060 1001 1002 1012 1009 1028
A2 1107 1092 990 1109 1090 1074 1122 1001
A3 1093 1029 1080 1021 1022 1032 1029 1048
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本例中,我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥
作用是否相同。为此,把饲料称为因素,记为A,
三种不同的配方称为因子A的三个水平,记为A1,
A2, A3,使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用
Xij表示,i=1, 2, 3, j=1, 2,, 10。我们的目的是
比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等,
为此,需要做一些基本假定,把所研究的问题
归结为一个统计问题,然后用方差分析的方法
进行解决。
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4.1.2 单因素方差分析的统计模型
在例4.1.1中我们只考察了一个因素,称其
为单因素试验。
通常,在单因素试验中,记因素为 A, 设其
有r个水平,记为A1, A2,…, Ar,在每一水平
下考察的指标可以看成一个总体 ,现有 r
个水平,故有 r 个总体, 假定:
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1) 每一总体均为正态总体,记为 N(i , i 2),
i=1, 2,…, r ;
2) 各总体的方差相同: 1 2= 2
2=…= r2 =
2 ;
3) 从每一总体中抽取的样本是相互独立的,
即所有的试验结果 Xij 都相互独立。
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我们要比较各水平下的均值是否相同,
即要对如下的一个假设进行检验:
H0 :1 =2 =…=r (4.1.1)
备择假设为
H1 :1, 2, …, r 不全相等
在不会引起误解的情况下, H1 通常可省略不写。
如果H0成立,因素A的r个水平均值相同,称因素A的r
个水平间没有显著差异,简称因素A不显著;反之,当
H0不成立时,因素A的r个水平均值不全相同,这时称
因素A的不同水平间有显著差异,简称因素A显著。
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为对假设(4.1.1)进行检验,需要从每一水
平下的总体抽取样本,设从第i个水平下的总
体获得m个试验结果,记 Xij 表示第i个总体的
第j次重复试验结果。共得如下n=rm个试验
结果:
Xij, i=1, 2,…, r , j=1, 2, …, m,
其中r为水平数,m为重复数,i为水平编号,
j 为重复编号。
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在水平Ai下的试验结果Xij与该水平下的指标均值
i 一般总是有差距的,记 ij = Xiji,
ij 称为随机误差。于是有
Xij = i +ij (4.1.2)
(4.1.2)式称为试验结果 Xij 的数据结构式。
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单因素方差分析的统计模型:
(4.1.3)
总均值与效应:
称 为总平均.
称第 i 水平下的均值 i 与总均值 的差:
ai=i - 为 Ai 的效应。
2
, 1,2,..., , 1,2,...,
(0, )
ij i ij
ij
X i r j m
N
诸 相互独立,且都服从
1 1
1
1 1( ... )
r
r r i i
i
n n nn n
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模型(4.1.3)可以改写为
(4.1.4)
假设(4.1.1)可改写为
H0 :a1 =a2 =…=ar =0 (4.1.5)
1
2
, 1,2,..., , 1,2,...,
0
N(0, )
ij i ij
r
i i
i
ij
X a i r j m
n a
相互独立,且都服从
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4.1.3 平方和分解
一、试验数据
通常在单因素方差分析中可将试验数据列成
如下页表格形式。
表4.1.2中的最后二列的和与平均的含义如下:
.
1
1
1,2, ,m
iii ij
j
r
i
i
TT X X i r
m
T TT T X
r m n
n r m
总试验次数
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表4.1.2 单因素方差分析试验数据
因素水平 试 验 数 据 和 平均
A1 X11 X12 … X1m T1
A2 X21 X22 … X2m T2
┆ ┆ ┆ ┆
Ar Xr1 Xr2 … Xrm Tr
T
1X
2X
X
rX
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数据间是有差异的。数据Xij与总平均 间
的偏差可用Xij 表示,它可分解为二个
偏差之和:
(4.1.6)
记
二、组内偏差与组间偏差
. .( ) ( )i iij ijX X X X X X
. .
1 1 1 1
1 1 1,
m r r m
i ij i ij
j i i jm r n
X
X
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由于
(4.1.7)
所以Xij - 仅反映组内数据与组内平均的随机
误差,称为组内偏差;而
(4.1.8)
除了反映随机误差外,还反映了第i个水
平的效应,称为组间偏差。
. ( ) ( )iij i ij i i ij iX X
ijX
. . .( ) ( )i i i i iX X a
.iX X
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在统计学中,把k个数据X1 , X2 , …, Xk分别对其
均值 =(X1+ …+ Xk )/k 的偏差平方和:
称为k个数据的偏差平方和,它常用来度量若
干个数据分散的程度。
三、偏差平方和及其自由度
X
2 2 2
1
1
( ) ( ) ( )k
k i
i
Q X X X X X X
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在构成偏差平方和Q的k个偏差X1 , …, Xk
间有一个恒等式 ,这说明在Q中独
立的偏差只有k1个。
在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平
方和的自由度,常记为f,如Q的自由度为
fQ=k1。自由度是偏差平方和的一个重要参数。
X X
1
( ) 0k
i
i
X X
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各Xij间总的差异大小可用总偏差平方和
表示,其自由度为fT=n1;
四、总平方和分解公式
仅由随机误差引起的数据间的差异可以用
组内偏差平方和 表示,
也称为误差偏差平方和,其自由度为 fe=nr ;
2
1 1
( )r m
T ij
i j
S X X
2
.
1 1
( )r m
ie ij
i j
S X X
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由于组间差异除了随机误差外,还反映了
效应间的差异,故由效应不同引起的数据
差异可用组间偏差平方和
表示,也称为因子A的偏差平方和,其自
由度为 fA=r1;
2.
1
( )r
iA
i
S m X X
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定理4.1.1 在上述符号下,总平方和ST可以
分解为因素平方和SA与误差平方和Se之和,
其自由度也有相应分解公式,具体为:
ST =SA +Se , fT =fA +fe (4.1.9)
(4.1.9)式通常称为总平方和分解式。
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偏差平方和Q的大小与自由度有关,为了便于
在偏差平方和间进行比较,统计上引入了均方
和的概念,它定义为MS=Q/fQ ,其意为平均每
个自由度上有多少平方和,它比较好地度量了
一组数据的离散程度。
如今要对因子平方和 SA 与误差平方和 Se 之间进
行比较,用其均方和 MSA= SA /fA , MSe= Se /fe
进行比较更为合理,故可用 作
为检验H0的统计量。
4.1.4 检验方法
/
/
A A A
e e e
MS S fF
MS S f
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定理4.1.2 在单因素方差分析模型及前述符号
下,有:
(1) Se / 2 ~
2(nr) ,从而E(Se ) =(nr) 2
,进一步,若H0成
立,则有SA/ 2 ~
2(r1)
(2) SA与Se独立。
2 2
1
( ) ( 1)r
A i
i
E S r m a
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第24页
由定理4.1.2,若H0成立,则检验统计量F服从自由度
为fA和fe的F分布,因此拒绝域为W={FF (fA ,fe)},通
常将上述计算过程列成一张表格,称为方差分析表。
表4.1.3 单因素方差分析表
来源 平方和 自由度 均方和 F比
因素 SA fA=r1 MSA= SA/fA F= MSA/ MSe
误差 Se fe=nr MSe= Se/fe
总和 ST fT=n1
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第25页
对给定的,可作如下判断:
若F F (fA ,fe) ,则说明因子A不显著。
该检验的p值也可利用统计软件求出,若
以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量,则检验的
p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F (fA ,fe),则认为因子A显著;
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第26页
常用的各偏差平方和的计算公式如下:
(4.1.10)
一般可将计算过程列表进行。
22
1 1
22
1
1
r m
T ij
i j
r
A i
i
e T A
TS X
n
TS T
m n
S S S
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例4.1.2 采用例4.1.1的数据,将原始数据减去1000,
列表给出计算过程:
表4.1.4 例4.1.2的计算表
水平
数据(原始数据-1000) Ti Ti
2
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984
1133 505177 91363
2
1
m
ij
j
X
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第28页
利用(4.1.10),可算得各偏差平方和为:
把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表
2
2
113391363 37876.0417, 24 1 23
24
505177 11339660.0833, 3 1 2
8 24
37876.0417 9660.0833 28215.9584, 3(8 1) 21
T T
A A
e T A e
S f
S f
S S S f
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第四章 方差分析与回归分析
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第29页
表4.1.5 例4.1.2的方差分析表
来源 平方和 自由度 均方和 F比
因素 9660.0833 2 4830.0417 3.5948
误差 28215.9584 21 1343.6171
总和 37876.0417 23
若取=0.05,则F0.05 (2 ,21)=3.47 ,由于
F=3.5948>3.47,故认为因素A(饲料)是显著的,
即三种饲料对鸡的增肥作用有明显的差别。
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第30页
4.1.5 参数估计
在检验结果为显著时,我们可进一步求出
总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。
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一、点估计
由模型(4.1.4)知诸Xij相互独立,且Xij ~N(+ ai , 2) ,因此
可使用极大似然方法求出一般平均 、各主效应ai和误差
方
差 2的估计:
由极大似然估计的不变性,各水平均值i的极大似然估计
为 ,由于 不是 2的无偏估计,可修偏: .ˆ ii X
2ˆM 2ˆ
eMS
.
2 2
1 1
,
, 1, ,
1( )
ii
r me
M ij
i j
X
a X X i r
SX X
n n
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第32页
由于 ,可给出Ai的水平均值i
的1- 的置信区间为:
其中 。
.( )~ ( )
/
i ie
e e
m Xt f
S f
二、置信区间
. ./ 2 /2( ) / , ( ) /i ie eX t f m X t f m
2ˆeMS
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第33页
例4.1.3 继续例4.1.2,此处我们给出诸水平均
值的估计。因素A的三个水平均值的估计分
别为:
从点估计来看,水平2(以槐树粉为主的饲
料)是最优的。
1
2
3
1941000 1024.25,
8
5851000 1073.125,
8
3541000 1044.25,
8
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第34页
误差方差的无偏估计为
可以给出诸水平均值的置信区间。此
处, ,若取=0.05 ,则:
t /2( fe )=t0.025( 21 )=2.0796,
,于是三个水平均值的
0.95置信区间分别为:
2ˆ 1343.6171eMS
ˆ 1343.6171 36.6554
0.025ˆ (21) / 8 26.9509t
1
2
3
:1024.25 26.9509 = [997.2891, 1051.2109],
:1073.125 26.9509 = [1046.1741, 1100.0759],
:1044.25 26.9509 = [1017.2891, 1071.2109].
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第35页
在单因素试验的数据分析中可得到如下三个
结果:
因素是否显著;
试验的误差方差 2的估计;
诸水平均值i的点估计与区间估计。
在因素A显著时,通常只需对较优的水平均
值作参数估计,在因子A不显著场合,参数
估计无需进行。
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第36页
§4.2 一元线性回归
4.2.1 变量间的两类关系
十九世纪,英国生物学家兼统计学家高尔顿研究
发现:
其中x表示父亲身高, y 表示成年儿子的身高
(单位:英寸,1英寸=2.54厘米)。这表明子代
的平均高度有向中心回归的意思,使得一段时
间内人的身高相对稳定。之后回归分析的思想
渗透到了数理统计的其它分支中。
ˆ 33.73 0.516y x
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第37页
回归分析便是研究变量间相关关系的一门学科。
它通过对客观事物中变量的大量观察或试验获得
的数据,去寻找隐藏在数据背后的相关关系,给
出它们的表达形式——回归函数的估计。
变量间的相关关系不能用完全确切的函数形式表
示,但在平均意义下有一定的定量关系表达式,寻
找这种定量关系表达式就是回归分析的主要任务。
回归分析处理的是变量与变量间的关系。变量
间常见的关系有两类:确定性关系与相关关系。
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第38页
4.2.2 一元线性回归模型 设y与x间有相关关系,称x为自变量(预报变量),
y为因变量(响应变量),在知道x取值后,y有一个
分布p(yx),我们关心的是y的均值E(Yx):
(4.2.1)
这便是y关于x的理论回归函数——条件期望,也
就是我们要寻找的相关关系的表达式。
通常,相关关系可用下式表示
y =f (x)+
其中是随机误差,一般假设 ~N(0, 2)。
( ) ( | ) ( | )f x E Y x yp y x dy
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第39页
例4.2.1 合金的强度y (×107Pa) 与合金中碳的
含量x (%) 有关。为研究两个变量间的关系。
首先是收集数据,我们把收集到的数据记为
(xi,yi),i=1,2,,n。本例中,我们收集到12组数
据,列于表4.2.1中
进行回归分析首先是回归函数形式的选择。
当只有一个自变量时,通常可采用画散点图
的方法进行选择。
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第40页
表4.2.1 合金钢强度y与碳含量x的数据 序号 x(%) y (×10
7Pa) 序号 x(%) y (×10
7Pa)
1 0.10 42.0 7 0.16 44.0
2 0.11 43.0 8 0.17 53.0
3 0.12 45.0 9 0.18 50.0
4 0.13 45.0 10 0.20 55.0
5 0.14 45.0 11 0.21 55.0
6 0.15 47.5 12 0.23 60.0
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第41页
为找出两个量间
的回归函数,可
以画一张图:把
每一对数(xi,yi)看
成直角坐标系中
的一个点,在图
上画出n个点,
称这张图为散点
图,见左图 0.10 0.15 0.20
40
50
60
碳 含 量
合金
钢强
度
图 8.4.1 合 金 钢 强 度 及 碳 含 量 的 散 点 图
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第42页
从散点图我们发现12个点基本在一条直线附近,这说
明两个变量之间存在线性相关关系,可以表示为:
y =0+ 1x+ (4.2.2)
这便是y关于x的一元线性回归的数据结构式。通常假
定
E() =0, Var() = 2 (4.2.3)
在对未知参数作区间估计或假设检验时,还需要假定
误差服从正态分布,即
y ~N(0+ 1x, 2 ) (4.2.4)
显然,假定(4.2.4) 比 (4.2.3) 要强。
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第43页
由于 0, 1均未知,我们需要从收集到的数
据(xi,yi),i=1,2,…,n,出发进行估计。在收
集数据时,我们一般要求观察独立地进行,
即假定y1, y2,, yn,相互独立。综合上述诸项
假定,我们可以给出最简单、常用的一元线
性回归的数学模型:
(4.2.5) 0 1
2
1,2,
(0, )
i i i
i
y x i n
N
,
各 独立同分布,其分布为
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第44页
由数据(xi,yi),i=1,2,…,n,可以获得0, 1的估
计 ,称
(4.2.6)
为y关于x的经验回归函数,简称为回归方程,
其图形称为回归直线。给定x=x0后,
称 为回归值(在不同场合也称其
为拟合值、预测值)。
0 1ˆ ˆ,
0 1ˆ ˆy x
0 0 1 0ˆ ˆy x
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第45页
4.2.3 回归系数的最小二乘估计
一般采用最小二乘方法估计模型(4.2.5)中的0,
1 :令:
应该满足
称这样得到的 称为0, 1的最小二乘估计,
记为LSE。
0 1ˆ ˆ,
0 1ˆ ˆ,
2
0 1 0 1
1
( , ) ( )n
i i
i
Q y x
10 1 0 1
,
ˆ ˆ( , ) min ( , )Q Q
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第46页
最小二乘估计可以通过求偏导数并命其为0而
得到:
(4.2.7)
这组方程称为正规方程组,经过整理,可得
(4.2.8)
0 1
10
0 1
11
2 ( ) 0
2 ( ) 0
n
i i
i
n
i i i
i
Qy x
Qy x x
0 1
2
0 1
ˆ ˆ
ˆ ˆi i i
n nx ny
nx x x y
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第47页
解(4.2.8)可得
(4.2.9)
这就是参数的最小二乘估计,其中
1
0 1
ˆ /
ˆ ˆ
xy xxS S
y x
22 2 2 2
22 2 2 2
1 1,
1( )( )
1( )
1( )
i i
xy i i i i i i i i
xx i i i i
yy i i i i
x x y yn n
S x x y y x y nx y x y x yn
S x x x nx x xn
S y y y ny y yn
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第48页
表4.2.2 例4.2.2的计算表 xi=1.90 n=12 yi=590.5
xi
2=0.3194 xi yi =95.9250 yi
2=29392.75
Sxx=0.0186 Sxy=2.4292 Syy=335.2292
由此给出回归方程为: 28.5340 130.6022y x
例4.2.2 使用例4.2.1种合金钢强度和碳含量
数据,我们可求得回归方程,见下表.
0.1583x 49.2083y
2 0.3008nx 93.4958n x y 2 29057.5208ny
1 / 130.6022xy xxS S
0 1 28.5340y x
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第49页
定理4.2.1 在模型(4.2.5)下,有
(1)
(2)
(3)对给定的x0,
2 22
0 0 1 1
1ˆ ˆ~ , ~ ,xx xx
xN N
n S S
,
2
0 1ˆ ˆCov
xx
x
S ,
220
0 0 1 0 0 1 0
( )1ˆ ˆˆ ~xx
x xy x N x
n S
,
关于最小二乘估计的一些性质罗列在如下定
理之中:
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第50页
定理4.2.1 说明
分别是0, 1的无偏估计; 0 1ˆ ˆ,
是E(y0)=0+ 1 x0的无偏估计; 0y
除 外, 与 是相关的; 0x 10
要提高 的估计精度(即降低它们的方
差)就要求n大,Sxx大(即要求x1, x2,, xn
较分散)。
0 1ˆ ˆ,
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第51页
4.2.4 回归方程的显著性检验 在使用回归方程作进一步地分析前,首先应对回归方
程是否有意义进行判断。
如果1=0,那么不管x如何变化,E(y)不随x的变化作
线性变化,那么这时求得的一元线性回归方程就没有
意义,称回归方程不显著。如果10,E(y)随x的变化
作线性变化,称回归方程是显著的。
综上,对回归方程是否有意义作判断就是要作如下的
显著性检验:H0:1=0 vs H1: 10
拒绝H0表示回归方程是显著的。
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第52页
一、t 检验
对H0 : 1 =0的检验也可基于t分布进行。
由于 ,
因此在H0为真时,有 ,其中
,它可用来检验假设H0。对给定
的显著性水平 ,拒绝域为 .
由于 ,称 为 的标准误
差,即 的标准差的估计。
22
1 1 12ˆ ˆ~ , , ~ ( 2),e
xx
SN n
S
且与 相互独立
1ˆ
~ ( 2)ˆ / xx
t t nS
ˆ / ( 2)eS n
/ 2{ ( 2)}W t t n
1ˆ / xxS
1ˆˆ ˆ / xxS
1
1
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第53页
注意到t2=F,因此,显著性检验也可以采用F
检验法。
以例4.2.2中数据为例,可以计算得到
若取 =0.01,则由于13.2872>3.1698,因此,
在显著性水平0.01下回归方程是显著的。
130.602213.2872
1.7970 / 0.0186t
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在一元线性回归场合,二种检验方法等价;
即在相同的显著性水平下,要么都拒绝原假设,要么都接受原假设,不会产生矛盾。
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第55页
4.2.5 估计与预测
当回归方程经过检验是显著的后,可用来做估计和预测。
这是二个不同的问题:
(1)当x=x0时,寻求均值E(y0)=0+ 1 x0的点估计与区间
估计(注意这里E(y0)是常量)是估计问题;
(2)当x=x0时,y0的观察值在什么范围内?由于y0是随机
变量,为此只能求一个区间,使y0落在这一区间的概
率为1- ,即要求,使
称区间 为y0的概率为1- 的预测区间,
这是预测问题。
0 0ˆ( ) 1P y y
0 0,y y
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一、 E(y0)的估计
在x=x0时,其对应的因变量y0是一个随机变量,
有一个分布,我们经常需要对该分布的均值
给出估计。由于E(y0)=0+ 1 x0,一个直观的
估计应为
我们习惯上将上述估计记为 (注意这里
表示的是E(y0)的估计,而不表示y0的估计,
因为y0是随机变量,它是没有估计的)。由
于 分别是0, 1的无偏估计,因此,
也是E(y0)的无偏估计。
0y 0y
0y0 1ˆ ˆ,
0 0 1 0( )E y x
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为得到E(y0)的区间估计,我们需要知道 的
分布。由定理4.2.1,
又由定理4.2.3知, Se / 2 ~ 2(n-2),且与
相互独立,故 0 1 0
ˆˆ ( )y y x x
220
0 0 1 0 0 1 0
( )1ˆ ˆˆ ~xx
x xy x N x
n S
,
2
00 0
0 0
2
02
( )1ˆ( ) /
ˆ~ ( 2)
( )1/( 2) ˆ
xx
e
xx
x xy Ey
n S y Eyt n
S x xn
n S
0y
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于是E(y0)的1 的置信区间(CI)是
(4.2.13)
其中
(4.2.14)
2
00 / 2
( )1( 2)
xx
x xt n
n S
0 0 0 0[ , ]y y
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二、 y0的预测区间
实用中往往更关心x=x0时对应的因变量y0的取
值范围。 y0的最可能取值为 ,于是,我们
可以使用以 为中心的一个区间
作为y0的取值范围。经推导, 的表达式为:
(4.2.15)
上述预测区间(PI)与E(y0)的置信区间的差
别就在于根号里多个1。
0y
0y 0 0( , )y y
2
00 / 2
( )1ˆ( ) ( 2) 1
xx
x xx t n
n S
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预测区间的长度2与样本量n、x的偏差平方和
Sxx、 x0 到 的距离 有关。
当 时,预测精度可能变得很差,在这
种情况下的预测称作外推。另外,若x1, x2,, xn
较为集中时,那么Sxx就较小,也会导致预测精
度的降低。因此,在收集数据时要使x1, x2,, xn
尽量分散,这对提高精度有利。
当n较大时(如n >30), t分布可以用正态分布
近似,进一步,若x0与 相差不大时, 可以近
似取为 。
0| |x xx
0 (1) ( )[ , ]nx x x
x
/ 2u
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例4.2.4 在例4.2.2中,如果x0=0.16,则得预
测值为
若取 =0.05,则t0.025(10)=2.2281,
又 ,应用(4.2.14),
故x0=0.16对应因变量y0的均值E(y0)的0.95置信
区间为(44.4328-1.0480, 44.4328+1.0480)
=(48.3488, 50.5168)
0 28.5364 130.6022 0.16 49.4328y
17.9703 / (12 2) 1.3405
2
0
1 (0.16 0.19)1.3405 2.2281 1.0840
12 0.0186
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应用(4.2.15),
从而y0的概率为0.95的预测区间为:
E(y0)的0.95置信区间比y0的概率为0.95的预测区
间窄很多,这是因为随机变量的均值相对于随
机变量本身而言要更容易估计出来。
21 (0.16 0.19)1.3405 2.2281 1 3.1774
12 0.0186
(49.4328 3.1774,49.4328 3.1774) (46.2554,52.6102)
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§4.3 小结
基本概念:
单因素试验方差分析的数学模型、一元线性回归的
数学模型、回归直线;
计算公式:
单因素试验方差分析与计算;
一元线性回归的相关计算与应用;
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2, 4;
作 业