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PROYECTO FIN DE CARRERA

DISEO DEL SISTEMA DE CONTROLDE UN BANCO DE POTENCIA

PARA MOTOCICLETAS

Directores: Juan Luis Zamora Macho y Pablo Arias Arstegui

Autor: Ignacio Prez Pereira

Junio 2007

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS

ESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA-ICAI

Ttulo de Ingeniero en Automtica y Electrnica Industrial

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Diseo del sistema de control de un banco de potencia paramotocicletas

ndice

1

NDICE

Captulo 1 Introduccin y objetivos del proyecto ............................................ 4

1. Introduccin y motivacin .......................................................................... 42. Objetivos del proyecto ................................................................................ 53. Metodologa y recursos ............................................................................... 84. Estructura de la memoria .......................................................................... 10

Captulo 2 Identificacin del conjunto freno + moto.................................... 12

2.1Introduccin .............................................................................................. 12

2.2Resultados de la identificacin del modelo mando-presin...................... 13

2.2.1 Modelo identificado para constante proporcional KP=1 ................. 13

2.2.1.1 Modelo de segundo orden con integrador............................ 14

2.2.1.2 Modelo de segundo orden con integrador y con un cero ..... 172.2.1.3 Comparaciones ..................................................................... 19



2.2.4 Comparacin y validacin de modelos ............................................ 26

2.2.4.1 Comparacin de las funciones de transferencia................... 27

2.2.4.2 Comparacin de las respuestas a un escaln unitario

en lazo abierto ...................................................................... 27

2.2.4.3 Comparacin de las respuestas en frecuencia enlazo abierto ........................................................................... 28

2.2.4.4 Comparacin de las respuestas a un escaln unitario

en lazo cerrado ..................................................................... 30

2.2.4.5 Comparacin de las respuestas en frecuencia en

lazo cerrado .......................................................................... 31

2.2.4.6 Conclusiones ........................................................................ 33

2.3 Modelo en lazo cerrado entre referencia de presin y presin.................. 34

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ndice

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2.4 Proceso de identificacin del modelo presin-velocidad .......................... 402.4.1 Introduccin ..................................................................................... 40

2.4.2 Identificacin paramtrica................................................................ 43

2.4.2.1 Estimacin de la componente determinista.......................... 44

2.4.2.2 Estimacin de la componente estocstica ............................ 49

2.5 Discretizacin de los modelos................................................................... 55

2.5.1 Modelo presin-velocidad................................................................ 56

2.5.2 Modelo referencia de presin-presin en tiempo discreto ............... 572.5.3 Obtencin del modelo entre referencia de presin y velocidad....... 58

Captulo 3 Control predictivo funcional........................................................ 60

3.1 Introduccin al control predictivo............................................................. 60

3.2 Conceptos bsicos ..................................................................................... 61

3.3 Elementos bsicos ..................................................................................... 64

3.3.1 Modelo de prediccin....................................................................... 65

3.3.1.1 Modelo del proceso .............................................................. 65

3.3.1.2 Modelo de las perturbaciones............................................... 67

3.3.1.3 Respuesta libre y forzada ..................................................... 69

3.3.2 Funcin objetivo ........................................................................... 70

3.3.2.1 Trayectoria de referencia...................................................... 72

3.3.2.2 Restricciones ........................................................................ 74

3.3.2.3 Ley de control ...................................................................... 74

3.4 Fundamento terico del PFC..................................................................... 76

3.4.1 Trayectoria de referencia.................................................................. 76

3.4.2 Clculo de la respuesta libre ............................................................ 78

3.4.3 Perturbaciones .................................................................................. 79

3.4.4 Ley del control ................................................................................. 82

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ndice

3

Captulo 4 Diseo del control PFC................................................................ 87

4.1 Diagrama de bloques del control PFC ...................................................... 88

4.1.1 Obtencin de la velocidad deseada de la moto ................................ 90

4.1.2 Estimacin de estado de la planta .................................................... 91

4.1.3 Obtencin de la respuesta libre de la planta..................................... 92

4.1.4 Clculo de la ganancia K.................................................................. 93

4.1.5 Estimacin de la componente determinista y estocstica ................ 94

4.1.6 Predictor del error ............................................................................ 95

4.2 Parmetros de diseo................................................................................. 96

4.3 Influencia y ajuste de los parmetros del diseo....................................... 98

4.3.1 Seguimiento de una referencia constante ......................................... 98

4.3.2 Seguimiento de una seal cuadrada ............................................... 110

4.4 Comprobacin entre el diseo del control predictivo PFC y

el obtenido en el proyecto sin el lazo interno de control de presin....... 112

4.5 Comparacin con un control PD............................................................. 115

4.5.1 Comparacin del control predictivo PFC con un control PD ........ 116

4.5.2 Comparacin de un control PD con el del proyecto sin

cerrar el lazo interno de control de presin.................................... 117

4.5.3 Comparacin del control predictivo con un control PD y

con los diseos obtenidos en el proyecto sin lazo interno ............. 118

4.6 Generalizacin de ficheros empleados en el PFC................................... 120

Captulo 5 Implantacin del control PFC.................................................. 122

5.1 Implantacin del control PFC ................................................................. 122

5.1.1 Descripcin general........................................................................ 122

5.1.2 Descripcin detallada ..................................................................... 123

5.1.2.1 La planta............................................................................. 123

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4

5.1.2.2 La referencia....................................................................... 1245.1.2.3 El regulador ........................................................................ 125

5.1.3 Resultados obtenidos con el fichero de simulacin ....................... 129

5.1.4 Comprobacin de la equivalencia de ficheros ............................... 131

5.2 Interfaz para identificacin y simulacin ................................................ 133

5.2.1 Ensayos ........................................................................................ 134

5.2.2 Simulaciones .................................................................................. 134

Captulo 6 Conclusiones y trabajos futuros ................................................ 136

Captulo 7 Pliego de condiciones................................................................. 138

7.1 Condiciones generales ........................................................................... 138

7.2 Condiciones econmicas........................................................................ 139

7.3 Condiciones tcnicas y particulares ....................................................... 140

Captulo 8 Presupuesto ................................................................................ 142

8.1 Coste de ingeniera................................................................................. 142

8.2 Coste de recursos empleados ................................................................. 143

Captulo 9 Agradecimientos......................................................................... 145

Captulo 10 Bibliografa................................................................................. 146

Anexo 1 Ficheros de Matlab .................................................................... 147

Anexo 2 Ficheros de Simulink ................................................................. 164

Anexo 3 Generalizacin de ficheros ........................................................ 171

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Diseo del sistema de control de un banco de potencia para

motocicletas

Captulo 1

4

1.

INTRODUCCIN Y OBJETIVOS DEL PROYECTO

1.1. INTRODUCCIN Y MOTIVACIN

Un banco de potencia es un equipo de ensayo que sirve para obtener la curva

par-velocidad de un motor de combustin. Es til para las competiciones de velocidad,

para talleres y fabricantes de motocicletas, ya que permite estudiar como influyen en el

rendimiento las variaciones que se hacen en el motor, para poder hacer una puesta a

punto ptima. En la figura 1.1 se representan tres curvas de potencia tpicas de

diferentes motocicletas medidas mediante un banco de potencia.

Figura 1.1: Representacin grfica de tres curvas de potencia

En el mercado existen dos tipos de bancos de potencia para medir las

caractersticas del motor de una motocicleta sin tener que desmontarlo. En ambos casos

se hace funcionar la moto sobre una rueda o rodillo que absorbe la potencia de sta y se

miden el par y la velocidad transmitidos. La distincin entre ambos tipos se realiza en

funcin de la forma de absorber la potencia entregada:

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motocicletas

Captulo 1

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Bancos de potencia inerciales, en los que la potencia de la moto se

invierte en acelerar un rodillo de gran inercia. Llegan a pesar hasta 300

Kg., lo que implica un alto coste de fabricacin debido al material y al

imprescindible equilibrado.

Bancos de potencia con frenos electromagnticos, que como indica su

nombre, la potencia es absorbida por un freno electromagntico. Tienen

un coste elevado pero tienen la ventaja de ofrecer un par de frenado

creciente con la velocidad, lo que implica que el equilibrio par_motor /

par_resistente sea un equilibrio estable, es decir, si la moto coge ms

velocidad, el freno ofrece ms resistencia, por lo que la moto vuelve a la

velocidad de equilibrio.

1.2.

OBJETIVOS DEL PROYECTO

Este proyecto estudia la posibilidad de fabricar un banco de potencia con un

freno de friccin. Este sistema abaratara considerablemente los costes de fabricacin,

ya que el conjunto rueda-buje-freno (disco y pinza) se encuentra enormemente

extendido gracias al mundo del automvil. No obstante, esto plantea un gran problema

al ser el par resistente del freno independiente de la velocidad. Mantener la moto en un

punto de trabajo dado implica que el freno realice correcciones constantemente

(equilibrio inestable).

El principal objetivo del presente proyecto consiste en el diseo de un

sistema basado en un control predictivo que consiga mantener la velocidad de la moto

en un punto de trabajo. Para ello hay que conseguir rechazar el considerable efecto

negativo de la perturbacin correspondiente al par que ejerce la moto sobre el rodillo.

Este control es un control ptimo, ya que se basa en la optimizacin de una funcin de

coste que pesa negativamente los errores de seguimiento.

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motocicletas

Captulo 1

6

Para ello es necesaria la identificacin de un modelo ( vase la siguiente

figura ) mediante ensayos procedentes del banco de potencia , al que aplicar el control

predictivo de velocidad.

Figura 1.2: Control de velocidad

En este sistema, la aplicacin de un control predictivo es idnea, al ser

conocida de antemano la referencia de velocidad durante el ensayo.

El esquema general que explica el funcionamiento del control predictivo se

muestra en la figura 1.3.

Modelo

Optimizador

Trayectoria de

referenciaEntradas y

salidas

pasadas

Errores futuros

Entradas

futuras

Funcin de

coste

Restricciones

Salida

predicha

Figura 1.3: Esquema general de un control predictivo

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Captulo 1

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El modelo es usado para predecir las salidas futuras de la planta y est

basado en los valores pasados y actuales de las salidas y entradas del sistema, la relacin

entre ellas y la seal obtenida del optimizador. La salida obtenida del modelo se

compara con la trayectoria de referencia y, a partir del error existente entre ambas y las

restricciones que se consideran, el optimizador minimiza la funcin de coste, de tal

modo, que se obtiene el mando ptimo que se ha de aplicar al sistema para seguir la

trayectoria deseada.

En este proyecto se plantean varios objetivos fundamentales:

Objetivos del actual proyecto

Nueva identificacin del sistema (freno + moto) en un punto de trabajo

(14 m/s) mediante 2 reguladores.

Identificacin de un regulador del modelo en lazo abierto entre Mando-

Presin mediante el mtodo AJUSTE de Matlab y cerrar el lazo de

control con una referencia de presin como entrada, obtenida en un

ensayo del banco de potencia y una constante proporcional K=1.

Identificacin de un regulador del modelo Presin-Velocidad mediante elmtodo ident deMatlab.

Diseo de un control predictivo conMatlab

Implantacin de un control predictivo en un punto de trabajo concreto.

Ajuste de los parmetros del control para conseguir el control ptimo,

que estabilice la velocidad en un punto de trabajo, mediante la

simulacin en Simulink.

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motocicletas

Captulo 1

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Comparacin del control predictivo obtenido con el modelo en lazo

abierto entre mando y presin del proyecto sin lazo interno de control de

presin.

Diseo de un control PD y comparacin con el control predictivo.

A partir de un sistema de control predictivo ya existente, automatizar los

ficheros de diseo y simulacin para posteriores proyectos con el fin de

unificar criterios, y no depender de los modelos identificados en

proyectos anteriores.

Objetivos de proyectos futuros

Implantacin del control en el sistema real.

Validacin del control con ensayos en el banco de potencia real

Diseo de un control adaptativo a partir de los ficheros generalizados

El hecho de que la moto se comporta de forma diferente en funcin de su

velocidad, y que el banco de potencia debe funcionar con distintos modelos de

motocicleta hace necesario que el sistema de control del freno sea adaptativo, es decir,

debe analizar el comportamiento de la planta (moto + freno) en tiempo real y ajustar los

parmetros del control, optimizando el rechazo de perturbaciones (par motor) y el

seguimiento de la referencia de velocidad segn los criterios de diseo.

1.3. METODOLOGA Y RECURSOS

Existe un prototipo del banco de potencia en el que se han realizado una

serie de ensayos, registrndose las seales de mando, fuerza en la rueda delantera de la

moto y velocidad del rodillo. El autor del presente proyecto realiza la identificacin y

diseo del control con estos datos. Una vez conseguido el regulador adecuado se

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Captulo 1

9

consigue as calcular la potencia para ese rgimen de velocidad de la moto mediante el

siguiente clculo:

Potencia = Fuerza * Velocidad

Figura 1.4: Prototipo del banco de potencia

La figura 1.4 corresponde al prototipo, que dispone del sensor de fuerza y el

actuador (motor de corriente continua) que aplica el mando en el freno de disco.

Los recursos utilizados para poder llevar a cabo los objetivos impuestos son los

siguientes:

Motor de corriente continua, que aplica el mando sobre el buje del freno

mediante un cable.

Dinamo taquimtrica para medida de la velocidad y que suministra una

tensin proporcional a la velocidad del motor.

Codificador incremental: proporciona un tren de impulsos que, mediante

un conversor de frecuencia-tensin, suministra al ordenador una medida

de la velocidad.

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Captulo 1

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Reductor de velocidad.

1.3.1 Recursos software

Entorno de Matlab (versin 7.1), Simulink (R14) y Toolbox de identificacin

(versin 5).

1.3.2 Recursos hardware

PC con procesador Pentium IVpara realizar las simulaciones.

1.4. ESTRUCTURA DE LA MEMORIA

En el captulo 2 se detalla el procedimiento para obtener un modelo del conjunto

freno + moto que describa su comportamiento teniendo en cuenta la componente

determinista y estocstica del sistema y su influencia en la velocidad (salida y

variable a controlar en el sistema). El objetivo es obtener un conjunto de

ecuaciones matemticas que aproximen el comportamiento del conjunto freno +

moto lo ms fielmente posible y siempre considerando al banco como un sistema

con una entrada (mando (referencia de presin) en el freno) y una salida

(velocidad de la moto o tambin del rodillo).

En el captulo 3 se explican las caractersticas generales de las diferentes

variantes de controles predictivos disponibles y especialmente del controlpredictivo funcional, que es el aplicado en este proyecto.

En el captulo 4 se describe la implementacin del control y las simulaciones

realizadas. Se hace una comparacin con un control convencional con accin

proporcional y diferencial (PD). Como conclusin se compara el control ptimo

obtenido con el control predictivo del proyecto sin el lazo de control interno de

presin, con el fin de justificar las mejoras que se propusieron al inicio del

proyecto. Tambin se muestran los ficheros generalizados, tanto para el diseo

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Captulo 1

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del control como para su implementacin en el banco de potencia, con el fin de

poder realizar futuras pruebas con nuevos modelos identificados, y en

consecuencia, con distinto nmero de parmetros.

En el captulo 5 se describe el fichero de Simulinkutilizado para implantar el

control y la herramienta desarrollada para poder probar cualquier simulacin que

se desee de una forma rpida y sencilla.

En el captulo 6 se sacan las conclusiones.

En el captulo 7 est el pliego de condiciones.

En el captulo 8 se detalla el presupuesto.

En el anexo 1 se muestran los diferentes programas deMatlabutilizados.

En el anexo 2 se muestran los diagramas de simulink empleados.

En el anexo 3 se muestran los ficheros finales generalizados tanto para diseo

del control como su posterior implantacin, con los pasos necesarios para

utilizarlos.

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Captulo 2

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2. IDENTIFICACIN DEL CONJUNTO FRENO + MOTO

2.1 INTRODUCCIN

Para la identificacin del banco de potencia se dispone de 2 tipos de ensayo en

torno a un mismo punto de trabajo.

El primer ensayo tiene registradas las seales de referencia de presin, mando y

una medida de presin de la rueda de la moto, y ser el empleado para disear el primer

regulador, basado en un modelo en lazo cerrado entre referencia de presin y presin,

identificado con el mtodo AJUSTE de Matlab. El modelo se identifica en tiempo

continuo con un periodo de muestreo de 0.01 segundos para posteriormente

discretizarse con un tiempo de muestreo de 0.04 segundos.

El segundo ensayo tiene registradas las seales de medida de presin, velocidad

y una referencia de presin distinta de la obtenida en el primer ensayo, y ser el

empleado para disear el segundo regulador, basado en un modelo identificado entre

presin y velocidad con el comando ident de Matlab. El periodo de muestreo es de 0.04

segundos.

Posteriormente se juntan los modelos de los 2 reguladores diseados y ese ser

el modelo definitivo de la planta identificada entre referencia de presin y velocidad,

empleada en el diseo del control predictivo y en el resto de objetivos propuestos en el

proyecto.

A continuacin se describe con mayor profundidad el modelo fsico del banco de

potencia donde el mando ser la referencia de presin y la salida la velocidad.

Al actuador del freno le llega la seal de mando, que mediante una funcin de

transferencia se traduce en el par de frenado. La diferencia de este par y el resistente de

la moto conlleva una aceleracin y por lo tanto variacin de la velocidad. Este proceso

fsico corresponde al diagrama de bloques de la figura 0.

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Captulo 2

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Figura 2.0: Diagrama de bloques del conjunto freno + actuador

2.2 Resultados de la identificacin del modelo mando-presin

En esta seccin se muestran los resultados que se han obtenido al identificar el

modelo a partir de las seales registradas durante los distintos ensayos para los distintos

valores de K realizados en el banco de potencia, tomando como entradas para el

modelo el mando o la referencia de presin , en funcin de que el ensayo fuera en lazo

abierto o cerrado, respectivamente.

Para la identificacin del modelo se realizaron ensayos de seguimiento de una

referencia ( mando ) con control proporcional.

Adems se registran los resultados del ajuste por mnimos cuadrados del mando

y la presin (comparando la seal real, la simulada y el error entre ambas).

2.2.1 Modelo identificado para constante proporcional KP=1

En el siguiente apartado se muestran los modelos identificados para los distintos

valores de K, con las grficas y funciones de transferencia del mando y la presin, para

la identificacin de la planta.

Antes de realizar el estudio de los distintos ensayos, conviene aclarar el modelo

empleado en la identificacin entre mando y presin.

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Captulo 2

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2.2.1.1 Modelo de segundo orden con integrador

En la identificacin de la planta se emple un modelo distinto a una integracin (

ver Figura 1 ) debido a la necesidad de eliminar los efectos que produca una seal de

offseten el registro del mando:

)1)2(.(

)1(

+sths

th

Figura 2.1: Modelo de segundo orden con integrador

A continuacin se muestra la tabla ( Tabla 1 ) de los parmetros obtenidos para

los distintos ajustes realizados en funcin de escaln de subida y de bajada con el

modelo de la Figura 2.1:

El ajuste del modelo se realiza con tiempo de muestreo ts=1 seg en los ficheros

prep_datos.m y ajuste.m adjuntos en el Anexo de programas, por el contrario los

ensayos y datos de entrada han sido obtenidos con ts=0.01 seg , por lo que los

parmetros sufrirn las siguientes modificaciones:

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Captulo 2

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Th(1)_def=01.001.0

)1( Kth=

Th(2)_def=th(2)*0.01=

100

.201.0*)2(

nwth

=

Th(3)_def= th(3)*0.01=T*0.01

Ajuste Escaln Th1 Th2 Error

1 Subida 3.6836 0.064436 5.3030e-001

2 Subida 3.8406 0.063968 4.7902e-001

3 Subida 5.5167 0.062673 4.2653e-001

Media Subida 4.3469 0.06369 4.786e-001

1 Bajada 6.6073 0.058784 5.5469e-001

2 Bajada 5.7418 0.057392 8.3466e-001

3 Subida 6.7316 0.062511 6.4263e-001

Media Bajada 6.3602 0.059562 6.7732e-001

Media Subida y Bajada 5.3535 0.061626 5.7796e-001

Tabla 1: Comparacin de parmetros y error cuadrtico medio

Posteriormente se comparan, tanto para escaln de subida como de bajada, la

seal de presin registrada durante el ensayo y la obtenida mediante simulacin usando

el modelo identificado y el error entre ambas seales.

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16

20 40 60 80 100 120 140-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo(seg)

Amplitud

Ensayo K=1

seal real

seal simulada

error

entrada

Figura 2.2: Identificacin del modelo entre mando y presin escaln de subida

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Tiempo(seg)

Am

plitud

Ensayo K=1

seal real

seal simulada

error

entrada

Figura 2.3: Identificacin del modelo entre mando y presin escaln de bajada

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motocicletas

Captulo 2

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2.2.1.2 Modelo de segundo orden con integrador y con un cero

Para la identificacin de los parmetros entre el mando y la velocidad se emple

una funcin de transferencia ( ver Figura 2.1 ) pero viendo las respuestas del ajuste del

modelo mando-presin y la dinmica del sistema, se decidi aadir al modelo de ajuste

un cero con constante de tiempo pequea ( ver Figura 2.4 ):

)1)2(.(

)1).3()(1(

+

+

sths

sthth

Figura 2.4: Modelo de segundo orden con integrador y con un cero




Ajuste Escaln Th1 Th2 Th3 Error

1 Subida 4.919 0.03217 -0.03394 4.6656e-001

2 Subida 3.85 0.07855 0.01328 4.6652e-001

3 Subida 5.504 0.0569 -0.05206 4.3125e-001

Media Subida 4.757 0.05587 -0.02424 4.5477e-001

1 Bajada 6.113 0.01924 -0.04036 5.1526e-001

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Captulo 2

18

2 Bajada 6.48 0.02901 -0.02846 5.2201e-001

3 Subida 6.682 0.07557 0.01159 6.3358e-001

Media Bajada 6.424 0.04127 -0.01907 5.5695e-001

Media Subida y

Bajada

5.585 0.04857 -0.02165 5.0586e-001


A continuacin se comparan, tanto para escaln de subida como de bajada, la seal de

presin registrada durante el ensayo y la obtenida mediante simulacin usando el

modelo identificado y el error entre ambas seales.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

0

5

10

15

20

25

tiempo(seg)

Amplitud

Ensayo K=1

seal real

seal simulada

error

entrada


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motocicletas

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19

10 20 30 40 50 60 70 80 90-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Tiempo(seg)

Amplitud

Ensayo K=1 con cero

seal real

seal simulada

error

entrada


2.2.1.3Comparaciones

El resultado de la comparacin de modelos nos lleva a decidir que el modelo

empleado para el ajuste en el resto de ensayos y para distintos escalones, ser el modelode segundo orden con integracin y con cero.

Analizando los resultados se comprueba que el modelo finalmente elegido tiene

menor error cuadrtico medio, tanto para escaln de subida como de bajada, y el ajuste

de los parmetros es ms satisfactorio, como se ve en las Figuras 2.3, 2.4, 2.5 y 2.6mostradas anteriormente.

Modelo descartado)1)2(.(

)1(

+sths

th

Escaln Th1 Th2 error

Media Subida y Bajada 5.3535 0.061626 5.7796e-001

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motocicletas

Captulo 2

20

Modelo elegido)1)2(.(

)1).3()(1(

+

+

sths

sthth

Escaln Th1 Th2 Th3 error

Media Subida y

Bajada

5.585 0.04857 -0.02165 5.0586e-001

En la identificacin de la planta se obtuvo la siguiente funcin de transferencia,

en funcin de los parmetros mostrados en la tabla 2.

Por lo tanto, la funcin de transferencia del modelo mando-presin es la que se

muestra a continuacin:

( ) )1.04857.0.().02165.01(585.5

1).2(.

)).3(1)(1(

1..2

.

).1()(

+

+=

+

=

+

+=

ss

s

sths

sthth

w

ss

sTKsF

n

El error cuadrtico medio obtenido en el ajuste entre mando y presin fue 0.5058


En esta seccin se muestran los modelos identificados, con las grficas y funcin

de transferencia entre el mando y la presin obtenidas durante el proceso de

identificacin de la planta.

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motocicletas

Captulo 2

21



modelo de segundo orden con integrador y con un cero de la Figura 4:


1 Subida 5.867 0.1005 -0.03939 5.9890e-001

2 Subida 5.03 0.0674 -0.0731 6.1558e-001

3 Subida 6.556 0.1233 -0.0204 6.0875e-001

Media Subida 5.817 0.09706 -0.04396 6.0774e-001

1 Bajada 4.897 0.04762 -0.06948 8.2995e-001

2 Bajada 5.441 0.06238 -0.05274 7.8537e-001

3 Bajada 4.769 0.04606 -0.06248 6.7600e-001

Media Bajada 5.035 0.05202 -0.06156 7.6377e-001

Media Subida y

Bajada

5.426 0.07454 -0.05277 6.8575e-001


La figura 2.7 compara la seal de posicin registrada durante el ensayo y la obtenida

mediante simulacin usando el modelo identificado y el error entre ambas seales para

un escaln de subida.

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motocicletas

Captulo 2

22

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo(seg)

Amplitud

Ensayo K=2

seal real

seal simulada

error

entrada


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Tiempo(seg)

Amplitud

Ensayo K=2


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motocicletas

Captulo 2

23

Parmetros finales del modelo mando-presin para el ensayo con constante

proporcional KP=2.


Media Subida y

Bajada

5.426 0.07454 -0.05277 6.8575e-001





( ) )1.07454.0.().05277.01(426.5

1).2(.

)).3(1)(1(

1..2

.

).1()(

+

+=

+

=

+

+=

ss

s

sths

sthth

w

ss

sTKsF

n

El error cuadrtico medio obtenido en el ajuste entre mando y presin fue 0.6857


En esta seccin se muestran los modelos identificados, con las grficas y funcin

de transferencia entre el mando y la presin obtenidas durante el proceso de

identificacin de la planta.

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motocicletas

Captulo 2

24





1 Subida 6.591 0.1371 -0.04851 7.1834e-001

2 Subida 6.028 0.12389 -0.03062 6.7367e-001

3 Subida 5.435 0.107 -0.06011 6.9628e-001

Media Subida 6.018 0.12266 -0.04641 6.9609e-001

1 Bajada 4.135 0.0406 -0.08822 1.0581

2 Bajada 5.349 0.05403 -0.04415 1.0021

3 Bajada 5.431 0.06173 -0.03972 7.7260e-001

Media Bajada 4.971 0.05212 -0.05736 0.9443

Media Subida y

Bajada

5.494 0.08739 -0.05188 0.8202


La figura 2.9 compara la seal de posicin registrada durante el ensayo y la

obtenida mediante simulacin usando el modelo identificado y el error entre ambas

seales para un escaln de subida.

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motocicletas

Captulo 2

25

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110-10

-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo(seg)

Amplitud

Ensayo K=3

seal real

seal simulada

error

entrada


20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120-25

-20

-15

-10

-5

0

5

Tiempo(seg)

Am

plitud

Ensayo K=3


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motocicletas

Captulo 2

26

Parmetros finales del modelo mando-presin para el ensayo con constante

proporcional KP=3.


Media Subida y

Bajada

5.494 0.08739 -0.05188 0.8202





( ) )1.08739.0.().05188.01(494.5

1).2(.

)).3(1)(1(

1..2

.

).1()(

+

+=

+

=

+

+=

ss

s

sths

sthth

w

ss

sTKsF

n

El error cuadrtico medio obtenido en el ajuste entre mando y presin fue

0.8202.

2.2.4 Comparacin y validacin de modelos

En esta seccin se comparan los modelos identificados para el conjunto mando-

presin con los distintos valores de la constante proporcional KP en los ensayos de lazo

cerrado realizados en el banco de potencia, con el fin de seleccionar el modelo ms

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motocicletas

Captulo 2

27

apropiado. Para la identificacin del modelo se aplicaron diferentes escalones tanto de

subida como de bajada en la entrada.

2.2.4.1Comparacin de las funciones de transferencia

En la tabla 5 se muestran las funciones de transferencia identificadas para la

planta por medio de las seales comentadas anteriormente. Se puede observar como en

todos los casos existe una constante de tiempo bastante pequea y que los modelos

tienen unos valores de los parmetros muy similares.

KP=1 KP=2 KP=3

Modelo

Mando-presin )1.04857.0.(

).02165.01(585.5

+

+

ss

s

)107454.0.(

).05277.01(426.5

+

+

ss

s

)1.08739.0.(

).05188.01(494.5

+

+

ss

s

Tabla 5:Comparacin de las funciones de transferencia

2.2.4.2Comparacin de las respuestas a un escaln unitario en lazo abierto

En esta seccin se comparan las respuestas a un escaln unitario en lazo abierto

para los diferentes modelos identificados en funcin de la constante proporcional KP

que se le aplique al modelo mando-presin en el ensayo.

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motocicletas

Captulo 2

28

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.42

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

KP=1

KP=2

KP=3

Figura 2.11 ; Respuesta al escaln en lazo abierto a partir de ensayos realizados con

distintos valores de KP

En la figura 2.11 se muestra, para los diferentes modelos identificados, la

respuesta a un escaln unitario en lazo abierto ( eliminando la integracin en la planta a

la hora de realizar la respuesta ante para poder representarla adecuadamente ), y se

puede verificar que las respuestas para los diferentes modelos identificados tienen una

dinmica similar, siendo el ensayo realizado con KP=1 el ms rpido de los tres, en

parte por tener una constante de tiempo ms pequea.

2.2.4.3Comparacin de las respuestas en frecuencia en lazo abierto

En esta seccin se comparan los modelos a partir de las respuestas en frecuencia

de lazo abierto: diagramas de Black y Bode.

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Captulo 2

29

Diagrama de Bode

En la figura 12 se muestra el diagrama de Bode (ganancia y fase) de la respuesta

en frecuencia en lazo abierto para todos los modelos identificados. En esta comparacin

se aprecia que los modelos con Kp=2 y Kp=3 son muy parecidos en fase, mientras que

en ganancia se diferencian principalmente en la magnitud, puesto que la dinmica

demuestra que los modelos son muy parecidos. Por el contrario, el modelo para KP=1

es diferente tanto en fase como en ganancia debido a que su constante de tiempo no se

parece a la de los otros dos modelos.

Tambin se observa que hasta 5 Hz los modelos no se diferencian apenas. Es

importante tener en cuenta el rango de frecuencias donde es ms fiable cada modelo en

funcin del contenido de armnicos de cada seal.

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

100

101

102

103

-25

-20

-15

-10

-5

0

Phase(deg)

6

8

10

12

14

16KP=1

KP=2

KP=3

Figura 2.12: Respuesta en frecuencia en lazo abierto a partir de ensayos realizados con


Diagrama de Black

A continuacin se va a comparar el diagrama de Black de la respuesta en

frecuencia de los modelos identificados en la figura 2.13. Al igual que en la

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motocicletas

Captulo 2

30

comparacin anterior, las respuestas en frecuencia de los modelos con KP=2 y KP=3

son bastante similares debido a que la constante de tiempo del cero positivo es parecida

en ambos.

Por el contrario la del modelo con Kp=1 est desplazada hacia la izquierda en el

diagrama debido a la constante de tiempo ms pequea en su cero positivo, por lo que

influir ms que el resto de modelos a la hora de disear controles.

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain(dB)

-115 -110 -105 -100 -95 -90-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Figura 2.13: Respuesta en frecuencia en lazo abierto a partir de ensayos realizados con


2.2.4.4Comparacin de las respuestas a un escaln unitario en lazo cerrado

En esta seccin se comparan las respuestas a un escaln unitario en lazo cerrado

con constante proporcional K=1, de los diferentes modelos entre mando-presin

identificados en los ensayos de lazo cerrado para distintos valores de Kp en el banco de

potencia. Como se observa en la figura 2.14, las respuestas con KP=1 , Kp=2 y Kp=3

son parecidas tanto en rapidez como en sobrepaso.

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motocicletas

Captulo 2

31

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

KP=1

KP=2

KP=3

Figura 2.14:Respuesta en lazo cerrado a un escaln unitario

2.2.4.5 Comparacin de las respuestas en frecuencia en lazo cerrado

En esta seccin se comparan los modelos a partir de las respuestas en frecuencia

de lazo cerrado: diagrama de Bode

Diagrama de Bode

En la figura 2.15 se muestra el diagrama de Bode (ganancia y fase) de la

respuesta en frecuencia en lazo cerrado con control proporcional de ganancia igual a 1

para todos los modelos identificados. Como se observa en la siguiente figura, hasta un

rango de frecuencias de 10 Hz los modelos no se diferencian apenas en ganancia ni en

fase. A partir de 10 Hz el modelo identificado mediante ensayo en lazo cerrado con

Kp=1 es ligeramente distinto al resto, principalmente en fase.

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Captulo 2

32

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

102

103

-135

-90

-45

0

Phase(deg

)

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Magnitude(dB)

KP=1

KP=2

KP=3

Figura 2.15: Diagrama de Bode de respuesta en frecuencia

Diagrama de Black

Nichols Chart

Open-Loop Phase (deg)

Open-LoopGain

(dB)

-135 -90 -45 0-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Figura 2.16: Diagrama de Black de respuesta en frecuencia

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motocicletas

Captulo 2

33

2.2.4.6Conclusiones

A partir de las comparaciones realizadas en la seccin 2.5 y puesto que los tres

modelos presentan respuestas y dinmicas bastante similares, se realiza una media entre

los tres para obtener el modelo definitivo de la planta, atendiendo a su aplicacin para el

diseo de los controles.

Las funciones de transferencia finales de cada modelo y la media de las tres (

que representa al modelo definitivo empleado en el diseo de los controles) son las

siguientes:

KP=1 KP=2 KP=3

Modelo

Mando-presin )1.04857.0.(

).02165.01(585.5

+

+

ss

s

)107454.0.(

).05277.01(426.5

+

+

ss

s

)1.08739.0.(

).05188.01(494.5

+

+

ss

s

Tabla 6:Comparacin de las funciones de transferencia

Funcin de transferencia del modelo Mando-Presin

F.Tmedia=)251.14.(

)753.23.(301.3)1.07017.0.(

502.5.2316.0)1.70170.0.(

).0421.01(502.5+

+=

+

+=

+

+

ss

s

ss

s

ss

s

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Captulo 2

34

2.3 Modelo en lazo cerrado entre Vref y presin

Una vez obtenida la funcin de transferencia definitiva del modelo mando

presin, el objetivo es cerrar el lazo de realimentacin para conseguir la funcin del

modelo referencia de presin ( Vref ) y presin.

Para ello se necesita verificar si los parmetros del modelo entre mando-presin

son fiables , debido a que hay que incorporar al modelo en lazo cerrado una saturacin.

Por tanto se disea un modelo de simulink (Modelo Vref-Mando) para estudiarel efecto de la saturacin y obtener el valor del parmetro K ( constante proporcional del

modelo en lazo cerrado ), que se corresponder con el parmetro th(4) del ajuste:

En la siguiente figura se muestra el diagrama de simulink empleado en el ajustedel parmetro K, con las variables Pmedida y Vref como entradas y Mando como

salida:

Modelo Vref-Mando

Figura 2.17: Modelo de simulink Vref-Mando

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Captulo 2

35

Una vez realizado el ajuste se comprueba en las siguientes figuras tanto paraescaln de subida como de bajada que el valor de K ( th(4) ) es 1y el error en el ajustees insignificante, del orden de 2.3512e-009.

Escaln de subida

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180-2

0

2

4

6

8

10

Figura 2.18: Escaln de subida modelo Vref-mando

Escaln de bajada

0 50 100 150-10

-8

-6

-4

-2

0

2

Figura 2.19: Escaln de bajada modelo Vref-mando

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motocicletas

Captulo 2

36

Una vez obtenidos los parmetros y su correspondiente funcin de transferencia

tanto del modelo Vref-Mando como del modelo Mando-Presin, y teniendo en cuenta

que los parmetros de los modelos obtenidos son perfectamente fiables a pesar de tener

una saturacin, el objetivo es obtener la funcin de transferencia que representa el

comportamiento del modelo en lazo cerrado entre Vref y presin.

En el siguiente diagrama de simulink ( Figura 2.20 ) se muestra el modelo Vref-

presin:

Modelo Vref-presin

Figura 2.20:Modelo de simulink Vref-presin

En la siguiente Figura 2.21 se muestra el resultado del ajuste con los parmetros

obtenidos en apartados anteriores, introducidos en el modelo Vref-presin:

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Captulo 2

37

20 40 60 80 100 120 140 160-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo(seg)

Amplitud

Ajuste del modelo en lazo cerraado entre Vref-presin

seal real

seal simulada

error

entrada

Figura 2.21: Ajuste modelo lazo cerrado Vref-presin

El error cuadrtico medio es 0.535.

Por ltimo, el objetivo es comparar el ajuste y la simulacin del modelo en lazo

cerrado entre Vref y presin, para confirmar que la identificacin del modelo ha sido del

todo correcta.

Figura 2.22: Diagrama de bloques empleado para comparar la salida con el mtodo ajustey con simulacin

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Captulo 2

38

0 50 100 150 200 250 300-5

0

5

10

15

20

25

Tiempo(seg)

Amplitud

Comparacin entre ajuste y simulacin

simulacin

ajuste

entrada

Figura 2.23: Comparacin entre el ajuste y la simulacin del modelo en lazo cerrado entreVref y presin.

MODELO EN LAZO CERRADO

El modelo obtenido en lazo cerrado entre Vref y presin tiene la siguiente funcin de

transferencia:

F.T=41.78.55.17

78.41.301.3

41.78.55.17

)75.23(301.322

++

+=

++

+

ss

s

ss

s

Figura 2.24: Modelo en lazo cerrado

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Captulo 2

39

Diagrama de polos y cerosPole-Zero Map

Real Axis

Imagin

aryAxis

-25 -20 -15 -10 -5 0-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5From: PRU/Step (1) To: PRU/Transfer Fcn2 (1)

System: sys

I/O: PRU/Step (1) to PRU/Trans fer Fcn2 (1)

Pole : -8.78 + 1.18i

Damping: 0.991

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/sec): 8.85

System: sys

I/O: PRU/Step (1) to PRU/Transfer Fcn2 (1)

Zero : -23.8

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/sec): 23.8

Figura 2.25: Diagrama de polos y ceros

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Captulo 2

40

2.4 ENSAYOS REALIZADOS. PROCESO DE

IDENTIFICACIN

2.4.1 INTRODUCCIN

Se dispone de un ensayo del banco de potencia en torno a un mismo punto de

trabajo con sus correspondientes seales de presin y velocidad de la rueda de la moto.

El periodo de muestreo es de 0.04 segundos.

Al actuador del freno le llega la seal de mando, que mediante una funcin de

transferencia se traduce en el par de frenado. La diferencia de este par y el resistente de

la moto conlleva una aceleracin y por lo tanto variacin de la velocidad. Este proceso

fsico corresponde al diagrama de bloques de la figura 2.26.

Figura 2.26: Diagrama de bloques del conjunto freno + actuador

La identificacin se realiza en tiempo discreto con la aplicacinIdentdeMatlab.

Las estructuras que se prueban son las de error de ecuacin y error de salida, que

corresponden al diagrama de bloques de la figura 2.27.

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Captulo 2

41

Figura 2.27: diagrama de bloques del modelo

Para la identificacin del sistema partimos de unos datos correspondientes a las

seales de velocidad y presin, que se corresponden con los datos de la entrada y la

salida, y empleamos el interfaz grficode Matlab ident que se muestra en la siguiente

figura :

Eleccin del modelo

Un sistema admite mltiples modelos de diferente complejidad

Existe un compromiso entre simplicidad y precisin

El objetivo es obtener el modelo ms simple posible con una precisin aceptable

Las seales de presin y de velocidad de las que se dispone son las que se

representan a continuacin en la figura 2.28.

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Captulo 2

42

Figura 2.28: seales de presin y velocidad

Dichas seales se han conseguido obtener utilizando un control PD, que a pesar

de no ser el adecuado para esta aplicacin, ha conseguido estabilizar el sistema para

poder medir las seales.

Antes de comenzar la identificacin, habr un preproceso de dichas seales. El

objetivo esobtener la media de las 9 medidas de presin obtenidas mediante ensayos,

que se muestran en la figura 2.28 ( series 3-11 ).

Una vez obtenida la presin, sabemos gracias a un proyecto anterior al presente,

que la planta tiene un integracin, por lo que nos interesa utilizar valores incrementales

de las seales y aadir despus la integracin. A los registros disponibles se les realizan

las siguientes operaciones:

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Captulo 2

43

Aplicacin a la seal de velocidad y a la seal de presin del comando

diff de Matlab: dicho comando hace la diferencia entre posiciones

consecutivas del vector. Gracias a esto conseguimos que las seales sean

incrementales respecto a un punto de operacin.

Una vez realizado el preproceso de las seales, quedan como se representa a

continuacin, en la figura 2.29.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-1

-0.5

0

0.5

tiempo(seg)

Velocidad

Input and output signals

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-10

-5

0

5

Time

Presin

Figura 2.29: Seales de velocidad y presin del ensayo

2.4.2 IDENTIFICACIN PARAMTRICA

El siguiente paso ser la obtencin de los posibles modelos a los que pertenece el

sistema.

Para estimar mnimos cuadrados lineales utilizo un modelo de error de ecuacin

ARX estimando las posibles combinaciones de parmetros. Partiendo de la base de

sobreparametrizar el modelo y posteriormente reducir el nmero de parmetros para

intentar encontrar el modelo que ms se ajuste.

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Captulo 2

44

ARX: MNIMOS CUADRADOS LINEALES

Pasos para estimar los modelos que ms se ajusten a las especificaciones

Con el comando del interfaz grfico estimate, parametric models, y colocando en

orders( 1:10 1:10 1:10) ( Figura 2.30 ) obtengo una estadstica de los mejores modelos

( Figura 2.30 ).

Figura 2.30:Parametric Models

El mtodo de modelos paramtricos estima una grfica donde el eje x indica el n de

parmetros del modelo y el eje y el %error.

Vamos a hacer una identificacin paramtrica, por lo que primero

identificaremos la funcin de transferencia de la componente determinista (G) y a

continuacin la funcin de transferencia de la componente estocstica (H).

2.4.2.1 Estimacin de la funcin de transferencia de la

componente determinista

En primer lugar comenzaremos utilizando una estructura ARX, que slo tiene

polinomios A y B, y la estimacin de los parmetros se puede hacer de forma directa

mediante regresin lineal. Adems, incluso cuando el modelo no corresponda con un

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Captulo 2

45

ARX, la estimacin ser suficientemente buena, a cambio de sobreparametrizar la

estructura.

Para determinar cual es el juego de parmetros de ARX, introducimos un rango

del nmero de parmetros de 1 a 10, para que la aplicacin identnos indique cul es el

mejor juego de parmetros para esta estructura, segn diferentes criterios, y obtenemos

la grfica que se muestra a continuacin (figura 2.31):

Figura 2.31: Juegos de parmetros para esta estructura

Esta grfica proporciona, para cada modelo con el nmero de parmetros que

indica, la parte de la salida que no es capaz de explicar, siendo deseable que esta parte

sea pequea. El azul segn el modelo AIC y el rojo segn el criterio de Akaike y segn

el modelo que minimiza la parte no explicada de la salida.

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Captulo 2

46

El siguiente paso es, partiendo de la base del modelo seleccionado ARX ( na=10

nb=1 nk=1 ), comprobar la autocorrelacin de los residuos y la correlacin entre la

entrada y los residuos.

Modelo ARX estimado

Para comprobar que el sistema es el correcto y est bien estimado se comprueba

la autocorrelacin de los residuos y la correlacin entre la entrada y los residuos. Tantoestas correlaciones como el diagrama de ceros y polos se muestran en las siguientes

figuras 2.32 y 2.33.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Autocorrelation of residuals for output y1

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Samples

Cross corr for input u1 and output y1 resids

Figura 2.32: Autocorrelacin y correlacin cruzada

Viendo los residuos comprobamos que la componente determinista est bien

estimada ya que la correlacin cruzada entre la entrada y la salida entra dentro de un

margen de confianza al 99% en torno a cero para valores de mayores que cero y

distinto de cero para valores de menores que cero, debido a la realimentacin existente

al hacer el ensayo con un control PD.

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-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Poles (x) and Zeros (o)

Figura 2.33: Polos y ceros

Como buscamos una estructura que tenga el menor nmero de parmetros,

reducimos ste, buscando cancelar polos y ceros, y eliminar parmetros del numeradoro del denominador que tengan un valor muy pequeo y poco influyente en el modelo.

As, por sucesivas simplificaciones, obtenemos una estructura ARX811.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Samples


Figura 2.34: Autocorrelacin y correlacin cruzada

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margen de confianza al 99% en torno a cero para valores de mayores que cero y

distinto de cero para valores de menores que cero, debido a la realimentacin existente

al hacer el ensayo con un control PD.

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Figura 2.35: Polos y ceros

Al igual que en el caso anterior, la componente determinista est bien estimada.

De nuevo intentamos reducir el nmero de parmetros, pero las estimaciones que

obtenemos no son correctas. No probamos a estimar con variables instrumentales,

porque tenemos un ensayo en lazo cerrado y solo son vlidas para lazo abierto.

Por tanto consideramos que la componente determinista ya est bien estimada y

pasamos a estimar la componente estocstica.

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Captulo 2

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2.4.2.2 Estimacin de la funcin de transferencia de lacomponente estocstica

Utilizaremos un modelo de error de ecuacin: ARARMAX, que engloba al

ARARX y al ARMAX.

e

D

CuByA +=

Comenzamos utilizando una estructura ARARMAX813301, esto es, polinomio A

de 8 parmetros, polinomio B de 1 parmetro, polinomio C de 3 parmetros, polinomio

D de 3 parmetros y 1 retardo. Una vez realizada esta estimacin se reduce el nmero

de parmetros, pero los modelos no son vlidos por salirse del margen de confianza al

99%, por lo que se concluye que la estructura definitiva es ARARMAX813301:

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Samples


Figura 2.36:Autocorrelacin y correlacin cruzada



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margen de confianza al 99% de cero para valores de las muestras mayores que cero y

distinto de cero para valores de las muestras menores que cero, esto es correcto, ya que

denota la realimentacin existente al hacer el ensayo con un control PD. Tambin

comprobamos que la componente estocstica est bien estimada porque la

autocorrelacin del error es la correspondiente a un ruido blanco dentro de un margen

de confianza al 99%.

Mapa de ceros y polos

Si se cancela algn polo de la G entonces no sera un modelo de error de

ecuacin sino de error de salida pero ese no es el caso, como se muestra en las

siguientes grficas.

Mapa de ceros y polos de G

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Figura 2.37: Mapa de ceros y polos de G

El objeto de la grfica es ver los polos de G para mirar despus en H a ver si se

cancela alguno, ya que es necesario que los polos de G sigan en H para tener error de

ecuacin.

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-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Figura 2.38: Mapa de ceros y polos de H

Por tanto el modelo ARARMAX813301 es vlido para representar el sistema,

pero al tener ms parmetros que el ARX811, se descarta debido a que buscamos un

compromiso entre precisin y nmero de parmetros.

Modelo de error de salida Box-Jenkins

Antes de asegurar que el mejor modelo es un ARX811, probaremos un modelo

de error de salida: modelo Box-Jenkins (BJ):

eD

Cu

F

By +=

Comenzamos con una estructura que conserve el nmero de parmetros

estimados para la componente determinista y pondremos 2 parmetros a cada polinomio

de la componente estocstica. Tendremos un BJ12281, y sus residuos son:

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-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2


-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

Samples


Figura 2.39 : Residuos de BJ12281



margen de confianza al 99% de cero para valores de las muestras mayores que cero y

distinto de cero para valores de las muestras menores que cero, esto es correcto, ya que

denota la realimentacin existente al hacer el ensayo con un control PD. Tambin

comprobamos que la componente estocstica est bien estimada porque la

autocorrelacin del error es la correspondiente a un ruido blanco dentro de un margen

de confianza al 99%.

Al igual que en el caso del ARARMAX813301, la estimacin es correcta, pero

el nmero de parmetros y de retardos es grande, por lo que se intent reducir el modelo

Box-Jenkins hasta obtener un BJ12281, en el que el polinomio B tiene 1 parmetros, el

polinomio C tiene 2 parmetros, el polinomio D tiene 2 parmetros, el polinomio F tiene

8 parmetros y hay 1 retardo. Sus residuos son los que se muestran en la figura anterior,

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Captulo 2

53

puesto que no se pudo reducir el nmero de parmetros sin salir del margen de

confianza.

La conclusin final para la identificacin del modelo es que, a pesar de que tanto

en modelo ARARMAX813301como el BJ12281 son vlidos a la hora de identificar, el

compromiso buscado entre simplicidad y precisin hace que el modelo elegido sea un

ARX811.

Modelo definitivo ARX811

A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t)

A(q) = 1 0.2152 (+-0.06581) q^-1 0.4681 (+-0.06694) q^-2- 0.4649 (+-0.07325) q^-

3 0.2904 (+-0.0802) q^-4 + 0.172 (+-0.08085) q^-5 + 0.07931 (+-0.07472) q^-6 +

0.1319 (+-0.06592) q^-7 + 0.12 (+-0.0656) q^-8

B(q) = -0.01176 (+-0.003408) q^-1

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

A(q) -0.215 -0.468 -0.465 -0.2904 0.172 0.0793 0.1319 0.12

B1

B(q) -0.01176

Tabla1 : Parmetros del modelo ARX811

El modelo queda definido por la siguiente funcin de transferencia:

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12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.0

01176.0

12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.01

01176.0

2345678

7

87654321

1

++++

=

++++

=

zzzzzzzz

z

zzzzzzzz

zFT

H(z)=12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.0 2345678

8

++++ zzzzzzzz

z

Respuesta a escaln

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

Time

Step Response

Figura 2.40 : Respuesta al escaln

Respuesta al pulso

0 5 10 15 20 25 30 35 40-15

-10

-5

0

5x 10

-3

Time

Impulse Response

Figura 2.41 : Respuesta al pulso

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Respuesta en frecuencia

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

Amplitude

Frequency response

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

50

100

150

200

Frequency (Hz)

Phase(deg)

Figura 2.42 : Respuesta en frecuencia

2.5 DISCRETIZACIN DE LOS MODELOS IDENTIFICADOS

La planta consta de dos reguladores, un regulador ( regulador con la variable

interna de mando ) representado por un modelo referencia de presin-presin y un

segundo regulador representado por un modelo presin-velocidad.

El tiempo de muestreo a la hora de discretizar ser de Ts=0.04 seg.

El modelo identificado mediante el interfaz grficode Matlab ident ya estidentificado en tiempo discreto, por lo que slo se discretiza el modelo Vref-presin

obtenido mediante el mtodo de ajuste de parmetros.

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Captulo 2

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2.5.1 MODELO PRESIN-VELOCIDAD

El modelo ARX811 identificado en tiempo discreto viene definido por la

siguiente funcin de transferencia:

A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t)

A(q) = 1 0.2152 (+-0.06581) q^-1 0.4681 (+-0.06694) q^-2- 0.4649 (+-0.07325) q^-3 0.2904 (+-0.0802) q^-4 + 0.172 (+-0.08085) q^-5 + 0.07931 (+-0.07472) q^-6 +

0.1319 (+-0.06592) q^-7 + 0.12 (+-0.0656) q^-8

B(q) = -0.01176 (+-0.003408) q^-1

A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8

A(q) -0.215 -0.468 -0.465 -0.2904 0.172 0.0793 0.1319 0.12

B1

B(q) -0.01176

Tabla1 : Parmetros del modelo ARX811

El modelo queda definido por la siguiente funcin de transferencia:

12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.0

01176.0

12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.01

01176.02

2345678

7

87654321

1

++++

=

++++

=

zzzzzzzz

z

zzzzzzzz

zFT

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2.5.2 Modelo Referencia de presin-presin en tiempo discreto

A continuacin se detallan las funciones de transferencia correspondientes a los

modelos tanto en tiempo contnuo como tiempo discreto.

Modelo intermedio Mando-presin en tiempo contnuo

El modelo intermedio obtenido entre Mando y presin tiene la siguiente funcinde transferencia:

G(s)=)251.14.(

)753.23.(301.3

+

+

ss

s

Modelo Referencia de presin -presin en tiempo contnuo

El modelo se obtiene de cerrar el lazo de la funcin de transferencia entre mando

y presin con una constante de valor K=1.

El modelo obtenido en lazo cerrado entre referencia de presin y presin tiene la

siguiente funcin de transferencia:

F(s)=41.78.55.17

78.41.301.3

41.78.55.17

)75.23(301.322

++

+=

++

+

ss

s

ss

s

Modelo Referencia de presin -presin en tiempo discreto

El modelo obtenido en tiempo contnuo mediante el mtodo de ajuste de

parmetrosproviene de un ensayo realizado con un periodo de muestreo de 10 ms, pero

la discretizacin del modelo se realizar con un periodo de muestreo de 40 ms para

adecuarlo al muestreo del segundo regulador presin-velocidad.

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FT1(z)=0.4956z1.406-z

0.3749)-(z0.14272.

0.4956z1.406-z

0.05351-0.1427.z22

+

=

+

2.5.3 Obtencin del modelo final entre Vref (Referencia de presin ) y velocidad

En el siguiente apartado se muestran las funciones de transferencia de los dos

reguladores y la funcin de transferencia del ruido que separamos a la hora de la

identificacin del modelo entre presin y velocidad.

Regulador 1

FT1(z)=0.4956z1.406-z

0.3749)-(z0.14272.

0.4956z1.406-z

0.05351-0.1427.z22

+

=

+

Regulador 2

12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.0

01176.0

12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.01

01176.0FT2(z)

2345678

7

87654321

1

++++

=

++++

=

zzzzzzzz

z

zzzzzzzz

z

H(z)=12.0132.0079.0172.029.0465.0468.0215.0 2345678

8

++++ zzzzzzzz

z

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El modelo final identificado entre Vref ( Referencia de presin) y velocidad es elque se muestra en la siguiente figura 2.43:

FT(z)=FT1(z)*FT2(z)

FT(z)=

345678910

78

1056.03065.035.01314.008677.03301.0.622.1

.0006298.000168.0

zzzzzzzz

zz

+++++

+

0.059471034.0.0262.0 2 ++ zz

Figura 2.43: Diagrama del Modelo identificado

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Captulo 3

60

3 CONTROL PREDICTIVO FUNCIONAL

3.1 INTRODUCCIN AL CONTROL PREDICTIVO

El Control Predictivo se desarroll en base a dos lneas bsicas. Por un lado, a

finales de los aos setenta surgieron diversos algoritmos que usaban explcitamente un

modelo dinmico del proceso para predecir el efecto de las acciones de control futuras

en la salida, las cuales eran determinadas minimizando el error predicho sujeto a

restricciones de operacin. La optimizacin se repeta en cada instante de muestreo con

informacin actualizada del proceso. stas formulaciones eran de naturaleza heurstica

y algortmica e intentaban aprovechar el creciente potencial de los computadores

digitales por aqulla poca. Independientemente fue surgiendo otra lnea de trabajo en

torno a las ideas del control adaptativo, desarrollando estrategias esencialmente para

procesos monovariables formuladas con modelos entrada / salida.

El xito actual del Control Predictivo en la industria se debe a tres razones

principales:

La incorporacin de un modelo explcito del proceso en los clculos

permite al controlador tratar con todas las caractersticas importantes de

la dinmica del proceso.

La consideracin del comportamiento del proceso a lo largo de un

horizonte futuro permite tener en cuenta el efecto de las perturbaciones

en realimentacin y pre-alimentacin, permitiendo al controlador

conducir la salida a la trayectoria de referencia deseada.

La consideracin de restricciones en la fase del diseo del controlador

evita en lo posible su violacin, resultando en un control ms preciso entorno al punto optimo de operacin. La inclusin de restricciones es

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Captulo 3

61

quizs la caracterstica que ms distingue al MPC respecto a otras

metodologas.

3.2 CONCEPTOS BSICOS

El Control Predictivo no es una estrategia de control especfica, sino que se trata

ms bien de un campo muy amplio de mtodos de control desarrollados en torno a

ciertas ideas comunes. Estos mtodos de diseo conducen a controladores lineales queposeen prcticamente la misma estructura y presentan suficientes grados de libertad. Las

ideas que aparecen en mayor o menor medida en toda la familia de controladores

predictivos son bsicamente:

Uso explcito de un modelo para predecir la salida del proceso en futuros

instantes de tiempo (horizonte).

Clculo de las seales de control minimizando una cierta funcin

objetivo.

Estrategia deslizante, de forma que en cada instante el horizonte se va

desplazando hacia el futuro, lo que implica aplicar la primera seal de

control en cada instante y desechar el resto, repitiendo el clculo en cada

instante de muestreo.

Los distintos algoritmos de MPC difieren entre s casi exclusivamente en el

modelo usado para representar el proceso y los ruidos y en la funcin de coste a

minimizar. Aunque las diferencias puedan parecer pequeas a priori, pueden provocar

distintos comportamientos en bucle cerrado, siendo crticas para el xito de un

determinado algoritmo en una determinada aplicacin.

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Captulo 3

62

La metodologa de todos los controladores pertenecientes a la familia del

Control Predictivo se caracteriza por la estrategia siguiente, representada en la figura 1:

En cada instante ty haciendo uso del modelo del proceso se predicen las

futuras salidas para un determinado horizonte N, llamado horizonte de

prediccin. Estas salidas predichas, ( )tkty | + para Nk ...1=

dependen de los valores conocidos hasta el instante t (entradas y salidaspasadas) y de las seales de control futuras ( )tktu | + , 1...0 = Nk

que se pretenden mandar al sistema y que son las que se quieren calcular.

Figura 3.1. Estrategia del control predictivo

El conjunto de seales de control futuras se calcula optimizando un

determinado criterio en el que se pretende mantener el proceso lo ms

prximo posible a la trayectoria de referencia ( )kt+ (que puede ser

directamente el setpoint o una suave aproximacin a ste). Este criterio

suele tomar la forma de una funcin cuadrtica de los errores entre la

salida predicha y la trayectoria de referencia tambin predicha,

incluyendo en muchos casos el esfuerzo de control. Si el criterio es

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Captulo 3

63

cuadrtico, el modelo lineal y no existen restricciones se puede obtener

una solucin explcita, en otro caso se debe usar un mtodo iterativo deoptimizacin. Adicionalmente se hace alguna suposicin sobre la

estructura de la ley de control futura, como por ejemplo que va a ser

constante a partir de cierto instante.

La seal de control ( )ttu | es enviada al proceso mientras que las

siguientes seales de control calculadas son desechadas, puesto que en el

siguiente instante de muestreo ya se conoce ( )1+ty y se repite el primer

paso con este nuevo valor y todas las secuencias son actualizadas. Se

calcula por tanto ( )1|1 ++ ttu (que en principio ser diferente al

( )ttu |1+ al disponer de nueva informacin), haciendo uso del concepto

de horizonte deslizante.

Para llevar a cabo esta estrategia, se usa una estructura como la mostrada en lafigura 3.2. Se hace uso de un modelo para predecir las salidas futuras del proceso,

basndose en los valores pasados y actuales de las salidas y entradas y en las futuras

seales de control propuestas. La salida obtenida del modelo se compara con la

trayectoria de referencia para calcular el error existente. Las seales de control son

calculadas por el optimizador teniendo en cuenta la funcin de coste (donde aparece el

futuro error de seguimiento) as como las restricciones que se consideren, de sta forma,

se obtiene el mando ptimo que se ha de aplicar al sistema para seguir la trayectoriadeseada.

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Captulo 3

64

Figura 3.2. estructura general de un control predictivo

En nuestro caso, el principal objetivo que debe conseguir el control es estabilizar

la velocidad en un punto de trabajo fijado por la referencia, rechazando y minimizandolo mximo posible la fuerte perturbacin debida al par que ejerce la motocicleta en el

rodillo.

El control predictivo presenta una gran ventaja con respecto a otros mtodos de

control al ser conocida en todo momento la referencia, que corresponde a la velocidad

para la que se va a calcular la potencia de la moto.

3.3 ELEMENTOS BSICOS

Existe toda una familia de mtodos de control predictivo. Tienen que

determinarse tres elementos para implantar un control predictivo especfico dentro de la

familia de mtodos de control predictivo referenciados en la literatura tcnica:

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Captulo 3

65

modelo de prediccin

funcin objetivo o de coste

ley de control

3.3.1 Modelo de prediccin

La piedra angular del Control Predictivo es el modelo; un diseo completo debe

incluir los mecanismos necesarios para la obtencin del mejor modelo posible, el cual

debe ser lo suficientemente rico para capturar al mximo la dinmica del proceso y debe

ser capaz de permitir el clculo de las predicciones a la vez que sea intuitivo y permita

un anlisis terico. El uso del modelo del proceso viene determinado por la necesidad

del clculo de la salida predicha en instantes futuros ( )tkty | + . Las diferentes

estrategias de Control Predictivo pueden usar distintos modelos para representar la

relacin de las salidas con las entradas medibles, algunas de las cuales sern variables

manipuladas y otras se pueden considerar como perturbaciones medibles. Adems se

tendr en cuenta un modelo de las perturbaciones, para intentar describir el

comportamiento que no aparece reflejado en el modelo del proceso, englobndose aqu

el efecto de las entradas no medibles, el ruido y los errores de modelado.

3.3.1.1 Modelo del proceso

Se pueden usar prcticamente todas las formas posibles de modelar un proceso,

pero las que comnmente se suelen utilizar son:

Respuesta a un pulso: tambin conocido como modelo de convolucin,

aparece en los controles predictivos del tipo MAC (Model Algorithmic

Control) principalmente.

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Captulo 3

66

Respuesta a un escaln: usado por los controles predictivos del tipo DMC

(Dynamic Matrix Control) y sus variantes.

Funcin de transferencia: usada en los controles GPC (Generalized

Predictive Control) y UPC (Unified Predictive Control).

Representacin de estado: usada por el control PFC (Predictive

Functional Control) utilizado en este proyecto.

En este proyecto utilizaremos la representacin de estado, porque es la ms

adecuada para modelar un sistema no lineal. En el caso de emplear una linealizacin del

modelo:

)()( )1()1()( txQtytuNtxMtx

=+= (3.1)

siendo x el vector de estados y M, N y Q las matrices de estado, de entrada y de

salida respectivamente. La prediccin para este modelo viene dada por:

++=+=+

=

)|()()|()|(1

1tiktuNMtxMQtktxQtkty

k

i

ik (3.2)

Esta ecuacin se obtiene de desarrollar la representacin de estados para

muestras futuras:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )tuNQtxMQtxQty

tuNtxMtx

+=+=+

+=+

11

1

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Captulo 3

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( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]11122 +++=+++=+=+ tuNtuNMtxMMQtuNtxMQtxQty

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]212112233

23

2

+++++=

+++++=+++=+=+

tuNtuNMtuNMtxMQ

tuNtuNMtxMQtuNtxMQtxQty

...

De esta forma, se obtiene la salida predicha en funcin de las entradas y las

salidas pasadas y del mando futuro.

La salida predicha va a ser funcin de los mandos futuros que se van a aplicar.

Dichos mandos van a ser las incgnitas a resolver en el proceso de minimizar la funcin

de coste. Por consiguiente, la salida predicha no es una secuencia de nmeros, sino una

expresin en funcin de los mandos futuros que se van a aplicar.

Una ventaja de este modelo es que sirve tambin para sistemas multivariables (el

caso que nos ocupa es monovariable), a la vez que permite analizar la estructura interna

del proceso (aunque a veces los estados obtenidos al discretizar no tienen ningn

significado fsico). La ley de control es simplemente una realimentacin de una

combinacin lineal del vector de estado por lo que, en ocasiones, los clculos pueden

ser complicados debido a la necesidad de incluir un observador si los estados no son

accesibles.

3.3.1.2 Modelo de las perturbaciones

El modelo de prediccin descrito hasta aqu, es un modelo ideal. Para tener en

cuenta las perturbaciones del sistema, se ha de introducir un nuevo trmino de carcter

estocstico. El modelo que consideraremos es el Autorregresivo Integrado de Media

Mvil (Auto-Regressive and Integrated Moving Average, ARIMA):

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Captulo 3

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)()(

)(

)( 1

1

tezD

zC

tn =

(3.3)

Donde e(t) es un ruido blanco de media cero, el polinomio C(z-1) normalmente

se considera igual a uno y el polinomio D(z-1) incluye una integracin. Este modelo se

considera apropiado para dos tipos de perturbaciones: cambios aleatorios ocurridos en

instantes aleatorios (por ejemplo cambio en la calidad del material) y movimiento

browniano (en procesos con balance de energa).

El caso mas simple, es que la perturbacin n(t) sea una integracin del ruido

blanco e(t):

11

)()(

=

z

tetn (3.4)

donde la prediccin de la perturbacin ser de la forma )()|( tntktn =+ .

Para el control PFC, el modelo de perturbacin que se suele usar es la doble

integracin del ruido blanco:

( )211)(

)(

=z

tetn (3.5)

La prediccin futura ptima de la perturbacin es:

( )ktntntntktn )1()()()|( +=+

(3.6)

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Captulo 3

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Consiste en aproximar la perturbacin en un instante futuro, mediante una

rampa que va desde n(t-1)hasta n(t) mas un valor constante, que es la perturbacin en elinstante actual, por tanto, sera una rampa desde n(t). Tambin se pueden usar modelos

de orden ms elevado.

La perturbacin estimada se aadira al modelo del proceso obtenido

anteriormente.

Como se explica en el captulo 4, los modelos de perturbacin (3.4) y (3.5) no

son eficaces para el correcto funcionamiento del control, por lo que se hizo una

estimacin del ruido mediante un filtro de Kalman.

3.3.1.3 Respuesta libre y forzada

Una caracterstica de la mayora de los controles predictivos es expresar la

secuencia de control como la suma de dos seales: la respuesta libre y la respuesta

forzada:

)()()( tututu cf += (3.7)

La seal ( )tuf (respuesta libre) se corresponde con la secuencia de mando

aplicada en los instantes pasados manteniendo constante en instantes futuros el ltimo

valor del mando aplicado al sistema.

La seal ( )tuc (respuesta forzada

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Documents

modelo identificado

modelo mando

constante proporcional

escaln unitarioen lazo

proceso de identificacin

identificacin paramtrica

escaln unitarioen lazo

sistema de controlde