II Olimpiada Recreativa de Matemática 1

II OLIMPIADA RECREATIVA DE MATEMÁTICA

JUEGOS Y PROBLEMAS 2013

CUARTO DE SECUNDARIATiempo: 80 minutos

Problema 1. El número mayor de la siguiente lista es:

(A) 113 (B) 1417 (C) 562 (D) 1032 (E) 8127

Problema 2. Sean x, y y z números no negativos. Tales que:x + y = 10y + z = 8

¿Cuál es la suma del máximo y mínimo valor de S = x + z ?

(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 24 (E) 26

Problema 3. De un cuadrado de lado 1 m, se recortan cuatro triángulos idénticos,uno en cada esquina, quedando un octógono regular.¿Cuál es el área (m2) del octógono?

(A) 2 2 2 (B) 2 2 (C) 2 2 2 (D) 2 2 1 (E) 4 2

Problema 4. Definimos una secuencia de polinomios ( )nP x como:

02

1

1 2

( ) 1,( ) 1,( ) ( 1) ( ) ( ), para todo 2.n

n n n

P xP x x xP x x P x P x n- -

=

= + +

= + - ³

por ejemplo,2 2 4 3 2

23 4 3 2 2

37 6 5 4 3 2

( ) ( 1)( 1) 1 2 ,( ) ( 1)( 2 ) ( 1)

2 2 1

P x x x x x x x xP x x x x x x x x

x x x x x x

= + + + - = + + +

= + + + + - + +

= + + + + + -

Calcule la suma de cifras del valor numérico de 2013( )P x para x = l.

(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13

Cuarto de Secundaria .

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Problema 5. Sabiendo que R y r son respectivamente el radio de la circunferenciacircunscrita e inscrita al triángulo rectángulo de catetos a y b, calcule el valor de:

r RKa b

(A) 2 (B) 1 (C) 12

(D) 13

(E) 23

Problema 6. Sean x e y dos números reales que satisfacen lo siguiente:

2011 2012 2011 2012 12013 2014 2014 2013

x xyx x

+ += + +

- -

Encuentre el valor de y.

(A) 1006 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014 (E)1

Problema 7. Dada la función : ®f que satisface:

( ) ( 1) ( ) ( ) 2+ + - = +f m n f mn f m f n

para todo , Îm n . Calcular el valor de f(2014) + f(2012), siendo f(2013)=k

(A) k – 1 (B) k + 1 (C) 2k – 1 (D) 2k + 2 (E) 2k+1

Problema 8. Un tablero de 3×3 se debe llenar con números enteros positivos,cumpliendo las siguientes condiciones:

Cada fila debe tener 3 números distintos.Las sumas de los 3 números en cada fila deben ser todas iguales.Los productos de los 3 números en cada fila deben ser todos diferentes.

¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar la suma de los 3 números de algunade las filas?

(A) 6 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) 15

Cuarto de Secundaria .

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Problema 9. En la figura mostrada las áreas de los triángulos EBF, FBC y FCDson respectivamente 2 cm2, 4 cm2 y 6 cm2. Encuentre el área del cuadrilátero AEFD,en cm2.

(A) 36 (B) 42 (C) 44 (D) 48 (E) 50

Problema 10. Encuentre los números enteros positivos n, para el cual laexpresión:

9 17

-=

+nAn

es racional. Dé como respuesta la cantidad de valores que puede tomar n.

(A) Infinitos (B) 5 (C) 3 (D) 2 (E) 1

Problema 11. En un triángulo ABC obtuso en B, se traza la altura BH (H enAC), si AC = 8,5. Cuál es el mayor valor entero que puede tomar BH.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7 (E) 8

Problema 12. Un punto P dista 9 unidades del centro de una circunferencia deradio 15 unidades. ¿Cuántas cuerdas de longitud entera pasan por P?

(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 15

Cuarto de Secundaria .

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Problema 13. En el triángulo ABC los ladosAB, BC y AC miden 5 cm, 6 cm y 7 cmrespectivamente. Si PA + AQ es igual a la mitaddel perímetro del triángulo ABC, y el área deltriángulo APQ es la mitad del área del triánguloABC, entonces la longitud del segmento PB es:

(A) 9 112

(B) 1 112

(C) 7 112

(D) 2 (E) 3

Problema 14. Dado un cuadrado ABCD con lados de longitud 1cm. Se ubica unpunto X en BC a una distancia d de C, y un punto Y en CD a una distancia d de C.Las prolongaciones de: AB y DX se cortan en P,

AD y BY se cortan en Q,AX y DC se cortan en R, yAY y BC se cortan en S.

Si los puntos P, Q, R y S son colineales, encuentre el valor de d.

(A) 3 52

- (B) 3 52

+ (C) 32

(D) 53

(E) 12

Problema 15. Dentro del tablero de ajedrez de 8×8, formado por 64 cuadraditos(32 blancos y 32 negros) de lado 1 cm, se desea dibujar circunferencias de modo queninguna pase por algún punto interior de un cuadradito negro, con diámetro de almenos 1 cm. ¿Cuál es la máxima cantidad de circunferencias que se puede dibujar?

(A) 80 (B) 79 (C) 63 (D) 58 (E) 45