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PRACTICA DE LABORATORIO N 1

CURSO DOCENTE TEMA FACULTAD INTEGRANTES

: : : : :

LABORATORIO DE FISICA I INCA RODRIGUEZ, JORGE LUIS CAIDA LIBRE INGENIERIA INDUSTRIAL Y SISTEMAS

LUNA GOMEZ LEONARDO YARASCA RICCI CAROL SOSA ALFARO MELISSA ARENAZA GUTIERREZ JOSE LUIS LOZADA LOAYZA ALBERTO CICLO TURNO HORARIO FECHA DE REALIZACION FECHA DE ENTREGA : : : : : II MAANA JUEVES 08:00 09:40 horas

Viernes, 21 de enero de 2011 Jueves, 27 de enero de 2011

CAIDA LIBRE

INTRODUCCINEn mecnica, se denomina cada libre al movimiento de un cuerpo bajo la accin exclusiva de un campo gravitatorio. Aunque esta definicin formal excluye la influencia de otras fuerzas, como la resistencia aerodinmica, frecuentemente stas deben ser tenidas en cuenta cuando el fenmeno tiene lugar en el seno de un fluido, como el aire o cualquier otro fluido. El concepto es aplicable incluso a objetos en movimiento vertical ascendente sometidos a la accin desaceleradora de la gravedad o a un satlite (no propulsado) en rbita alrededor de la Tierra. Otros sucesos referidos tambin como cada libre lo constituyen la trayectoria geodsica en el espacio-tiempo descrita en la teora de la relatividad general. Para entender el concepto de cada libre de los cuerpos, veremos el siguiente ejemplo: Si dejamos caer una pelota de hule macizo y una hoja de papel, al mismo tiempo y de la misma altura, observaremos que la pelota llega primero al suelo. Pero, si arrugamos la hoja de papel y realizamos de nuevo el experimento observaremos que los tiempos de cada son casi iguales. El movimiento vertical de cualquier objeto en movimiento libre, para el que se pueda pasar por esto la resistencia del aire, se resume entonces mediante las ecuaciones: a) v = -gt + v0 b) Vm = (vo + v)/2 c) y = -0.5 gt + vo t + y0 d) v= -2gt (y - y0) Trayectoria: Es la sucesin de puntos por los que pas el mvil en su recorrido y su valor en el Sistema Internacional es esa distancia, medida sobre la trayectoria, en metro. Es el recorrido total. Posicin: Supuestos unos ejes de coordenadas en el punto de lanzamiento, se llama posicin a la ordenada (coordenada en el eje y) que ocupa en cada instante el mvil. Desplazamiento: Restando de la ordenada de la posicin la ordenada del origen tenemos el desplazamiento. Se representa por un vector con todas las caractersticas del mismo: modulo, direccin, sentido, punto de aplicacin.LABORATORIO DE FISICA I Pgina 2

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MOVIMIENTO VERTICAL CAIDA LIBRE

OBJETIVOSy Identificar el movimiento vertical y aplicar el concepto de gravedad al movimiento. y Entender de un modo prctico y sencillo el tema de Cada Libre de los Cuerpos para as ponerlo en prctica para la vida en situaciones necesarias. y Identificar las leyes, ecuaciones y diferentes problemas que pueden surgir de la cada libre de los cuerpos y Comprobar que la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo empleado al cuadrado, que la grfica y-t es una parbola, que la grfica v-t es una recta donde la pendiente representa la aceleracin. y Medir experimentalmente la aceleracin de un cuerpo en cada libre, la aceleracin de la gravedad g. y Encontrar la funcin matemtica que relaciona a dos cantidades fsicas medidas experimentalmente. y Presentar, analizar y procesar un conjunto de datos experimentales mediante una grfica. y Determinar y validar la ecuacin experimental del movimiento en cada libre.

LABORATORIO DE FISICA I

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MARCO TEORICOPara realizar este trabajo de experimentacin cuyo tema es Movimiento Vertical Cada Libre, presenta como una caracterstica para nosotros que su aceleracin es constante, ya que no se asumir la friccin; en la que tendremos que elegir los materiales a usar, siguiendo as los procedimientos y pautas dadas por el profesor, en la que en base a nuestros datos debemos llenar la tabla de datos proporcionada en el tins en la que hallaremos la gravedad experimental, error absoluto, error relativo y finalmente el porcentaje de error. Que para ello tendremos que realizar los clculos correspondientes.

Seguidamente realizaremos las graficas ya sea para h vs. t, h vs. t2, v vs. t, aplicando as posteriormente el mtodo de los mnimos cuadrados para lograr construir una funcin F(x) que minimice la suma de los cuadrados de las desviaciones.

Debiendo obtener adecuados resultados con un margen de error de 0.5% que se ve influenciado por el hombre, diseando nosotros mismos nuestra tcnica de medicin para que dicho error experimental sea mnimo.

Desarrollndonos as en el campo de la fsica que es una ciencia que se basa en la capacidad de observacin y experimentacin del mundo que nos rodea.


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EXPERIMENTO DE CAIDA LIBRE

EQUIPOS Y MATERIALES: Un (01) sensor de Movimiento Vernier Una (01) interface Vernier Un mvil (masa esfrica) Una (01) Pc. (con el software Logger Pro) Una (01) cinta mtrica Un (01) soporte Universal Una (01) varilla de 30 cm Una (01) nuez simple

PROCEDIMIENTO:1. Realizar el montaje experimental que se muestra en la Figura N 2, reconociendo cada equipo y material que se utilizara. 2. Conecte el detector de movimiento vernier al canal DIG/SONIC 1 de la interfaz. 3. Inicie sesin con el software Logger Pro; a continuacin aparecer 2 grficos: la distancia vs. tiempo y velocidad vs. tiempo, al cual se le puede agregar tambin la aceleracin vs. Tiempo. 4. Ahora usted puede realizar una medida a modo de ensayo de la cada libre de una masa (un cuerpo esfrico), para luego halla su aceleracin. Suelte la masa aproximadamente a una altura de 1.50 m sobre el nivel de referencia (puede ser sobre la mesa de trabajo) y a lo largo de la vertical. Luego haga clic en toma de datos y cuando la masa choque contra el nivel de referencia hacer clic en para terminar con la coleccin de datos. 5. Obtenga le valor de la aceleracin (en este caso aceleracin de la y obtenga gravedad.) y regstrela en la tabla N 1 para ello haga clic en el ajuste de curvas entregado por el programa, haga cinco pruebas y obtendr cinco tablas.


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Tabla N1

Ajuste de Curvas Obtenidos del Software Logger ProEnsayo N 1 2 3 4 5 A 4.967 5.333 4.467 4.25 4.313 B -1.551 -4.741 -1.564 -1.597 -0.8958 C 1.1014 1.037 0.09551 0.05405 -0.04276 y= C + Bx Ax2 Y = 1.1014 + (-1.551)x + 4.967x2 Y = 1.037 + (-4.741)x + 5.333x2 Y = 0.09551 + (-1.564)x + 4.467x2 Y = 0.05405 + (-1.597)x + 4.25x2 Y = -0.04276 + (-0.8958)x + 4.313x2


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ESTUDIO DE MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE:1. Representa a partir de la Tabla N 2: h vs t, h vs t2, v vs t (ensayo n1)


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CAIDA LIBRE

Tabla N 2X0,34 0,36 0,38 0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56

Y0,144334 0,184946 0,232966 0,281809 0,330378 0,383062 0,432454 0,493646 0,565264 0,640998 0,717007 0,789723

N Datos1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Altura h (m)0.144334 0.184946 0.232966 0.281809 0.330378 0.383062 0.432454 0.493646 0.565264 0.640998 0.717007 0.789723

Tiempo t (s)0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56

Velocidad v (m/s)1.428415278 2.050390278 2.345358333 2.4433 2.5256125 2.620129167 2.859865278 3.271843056 3.592344444 3.748604167 3.815686111 4.883180556

h*t0.04907356 0.06658056 0.08852708 0.1127236 0.13875876 0.16854728 0.19892884 0.23695008 0.282632 0.33331896 0.38718378 0.44224488

h*t20.01668501 0.023969002 0.03364029 0.04508944 0.058278679 0.074160803 0.091507266 0.113736038 0.141316 0.173325859 0.209079241 0.247657133

v*t0.48566119 0.7381405 0.89123617 0.97732 1.06075725 1.15285683 1.31553803 1.57048467 1.79617222 1.94927417 2.0604705 2.73458111


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2. Con el Software Logger Pro seleccionar una region de la grafica (curva) para realizar el ajuste de curvas, donde se obtendra una ecuacion cuadratica, igualando terminos se obtiene: A=1/2 gexp luego, hallamos la aceleracion de la gravedad experimental (gexp)

3. Luego de obtener gexp comparar con la gravedad referencial (gref = 9.8 m/s2) indica el error absoluto y el error relativo porcentual. (Repetir esta actividad para cada tabla obtenida).


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Ajuste de CurvasEnsayo N 1 2 3 4 5 A 4.967 5.333 4.467 4.25 4.313 B -1.551 -4.741 -1.564 -1.597 -0.8958 C 1.1014 1.037 0.09551 0.05405 -0.04276 y= C + Bx Ax2 Y = 1.1014 + (-1.551)x + 4.967x2 Y = 1.037 + (-4.741)x + 5.333x2 Y = 0.09551 + (-1.564)x + 4.467x2 Y = 0.05405 + (-1.597)x + 4.25x2 Y = -0.04276 + (-0.8958)x + 4.313x2

Ensayo N 1 2 3 4 5

g.exp(m/s2) 9.934 10.666 8.934 8.5 8.626

g.ref(m/s2) 9.8 9.8 9.8 9.8 9.8

Error Absoluto -0.134 -0.866 0.866 1.3 1.174

Error Relativo -0.013673469 -0.088367347 0.088367347 0.132653061 0.119795918

% de error -1.37 -8.84 8.84 13.27 11.98

1) ENSAYO N1GRAVEDAD EXPERIMENTAL:

ERROR ABSOLUTO:

-0.134


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ERROR RELATIVO:

PORCENTAJE DE ERROR:


10.666 ERROR ABSOLUTO:

-0.866 ERROR RELATIVO:


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ERROR ABSOLUTO:

ERROR RELATIVO:



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8.5 ERROR ABSOLUTO:

ERROR RELATIVO:



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8.626 ERROR ABSOLUTO:

ERROR RELATIVO:



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AHORA POR EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS PARA EL ENSAYO N1:

X0,34 0,36 0,38 0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56

Y0,144334 0,184946 0,232966 0,281809 0,330378 0,383062 0,432454 0,493646 0,565264 0,640998 0,717007 0,789723

X0,34 0,36 0,38 0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56 5,4

Y0,144334 0,184946 0,232966 0,281809 0,330378 0,383062 0,432454 0,493646 0,565264 0,640998 0,717007 0,789723 5,196587

X.Y0,04907356 0,06658056 0,08852708 0,1127236 0,13875876 0,16854728 0,19892884 0,23695008 0,282632 0,33331896 0,38718378 0,44224488 2,50546938

X20,1156 0,1296 0,1444 0,16 0,1764 0,1936 0,2116 0,2304 0,25 0,2704 0,2916 0,3136 2,4872

X 2Y0,01668501 0,023969002 0,03364029 0,04508944 0,058278679 0,074160803 0,091507266 0,113736038 0,141316 0,173325859 0,209079241 0,247657133 1,228444763

X30,039304 0,046656 0,054872 0,064 0,074088 0,085184 0,097336 0,110592 0,125 0,140608 0,157464 0,175616 1,17072

X40,01336336 0,01679616 0,02085136 0,0256 0,03111696 0,03748096 0,04477456 0,05308416 0,0625 0,07311616 0,08503056 0,09834496 0,5620592

( )

Ecuaciones normales:


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Yi= aN + bXi + cXi2 XiYi=aXi + bXi2 + cXi3Xi2Yi= a Xi2+ b Xi3+ c Xi4 Reemplazando Datos: 5.196587 = 12a + 5.4b + 2.4872c 2.50546938 = 5.4a + 2.4872b + 1.17072c 1.228444763 = 2.4872a + 1.17072b + 0.5620592c

Tomando determinantesHallando a:

a=a s

5.196587 2.50546938 1.228444763

5.4 2.4872 1.17072

2.4872 1.17072 0.5620592

12 5.4 2.4872

5.4 2.4872 1.17072

2.4872 1.17072 0.5620592

a= 0.1014


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Hallando b b=b s

5.196587 2.50546938 1.228444763

12 5.4 2.4872

2.4872 1.17072 0.5620592

12 5.4 2.4872

5.4 2.4872 1.17072

2.4872 1.17072 0.5620592

b= -1.551Hallando c: c=c s 5.196587 2.50546938 1.228444763 12 5.4 2.4872 5.4 2.4872 1.17072

12 5.4 2.4872

5.4 2.4872 1.17072

2.4872 1.17072 0.5620592


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c= 4.967Por lo tanto la ecuacin de la parbola es:

Y= 0.1014 1.551 x + 4.967x2


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CUESTIONARIO1.- Existe relacin entre el valor de la aceleracin de la gravedad y la masa del cuerpo empleado? Explique. Si existe relacin, ya que al momento de utilizar la masa de un cuerpo con la gravedad da origen al peso, y el peso es la fuerza que hace una masa a otra acelerndola con su propia gravedad, que depende de su propia masa. Cuanta ms masa tienes, ms fuerte es tu gravedad hacia los objetos que tienes a tu alrededor. Peso = masa * g Siendo g la aceleracin provocada en los cuerpos por la gravedad. Siendo m la masa del cuerpo, o sea, g no depende de la masa del cuerpo.

2.- Que factores pueden causar las diferencias entre el valor obtenido y el valor referencial comnmente aceptado para la aceleracin de la gravedad. g = 9.8 m/s2 En nuestro caso de laboratorio los factores que hacen que el valor de la gravedad experimental sea diferente de 9.8 m/s2, es ya sea un factor el hombre, ya que muchas veces al realizar este experimento no se soltaba el cuerpo al escuchar el sonido, y tambin ya que los errores en la medicin siempre se encuentran presentes, es decir, no hay una exactitud precisa cuando se realiza el experimento, llevndose as estos valores a su respectivo anlisis (calculo) donde de una u otra forma se estara arrastrando los errores que se cometieron en las mediciones . Y que muchas veces dichos errores se comenten ya sea por el mal uso que tengamos sobre los materiales, o ya sea por el mal entendimiento sobre como realizarlo; siendo otro factor los materiales ya que los valores que nos presentan


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no son del todo precisos, haciendo de esto que halla una pequea como tambin una gran variacin entre lo experimental y lo referencial.

3.- Utilizando los datos de la Tabla N2 realice un ajuste de curvas de forma manual (Ver Anexo: Grficas y Ajuste de Curvas), para la grfica h vs t (altura vs tiempo) y determine el valor de la aceleracin de la gravedad. Compare este resultado obtenido experimentalmente con el valor referencial (9.8 m/s). Indicar el error absoluto y el error relativo porcentual.


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X0,34 0,36 0,38 0,4 0,42 0,44 0,46 0,48 0,5 0,52 0,54 0,56

Y0,144334 0,184946 0,232966 0,281809 0,330378 0,383062 0,432454 0,493646 0,565264 0,640998 0,717007 0,789723

Tabla N 2 (h vs t) del ensayo n 1

ENSAYO N1GRAVEDAD EXPERIMENTAL:

ERROR ABSOLUTO:

-0.134 ERROR RELATIVO:


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4.- Demostrar que el valor de la gravedad referencial es 9.8 m/s2, considerando la masa y el radio ecuatorial de la tierra constantes. Isaac Newton, dada su Ley de la Gravitacin Universal afirmo que dos cuerpos de masas m1 y m2 en el universo, siempre se atraen con una fuerza gravitacional mutua, la cual es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia que los separa.

Obteniendo as la siguiente formula:

Es decir,

Segn las leyes de Newton, toda fuerza ejercida sobre un cuerpo le imprime una aceleracin. En presencia de un campo gravitatorio, todo cuerpo se ve sometido a la fuerza gravitatoria, y la aceleracin que imprime esta fuerza, o aceleracin en cada punto del campo, se denomina intensidad del campo gravitatorio o gravedad. Para la superficie de la Tierra, la aceleracin de la gravedad es de 9,8 m/s2. La gravedad es mxima en la superficie. Tiende a disminuir al alejarse del planeta, por aumentar la distancia r entre las masas implicadas. Pero tambin disminuye al adentrarse en el interior de la Tierra, ya que cada vez una porcin mayor de planeta queda por encima, y cada vez es menos la masa que queda por debajo. En el centro de la Tierra, hay una enorme presin por el peso de las capas superiores de todo el planeta, pero la gravedad es nula. La gravedad en el centroLABORATORIO DE FISICA I Pgina 23

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de la Tierra es nula porque se equiparan todas las fuerzas de atraccin. Asimismo, aumenta con la latitud debido a dos efectos: el achatamiento de la Tierra en los polos hace que la distancia r se reduzca a medida que la latitud aumenta, y la rotacin terrestre genera una aceleracin centrfuga que es mxima en la Lnea ecuatorial y nula en los polos. Finalmente demostrando de la ecuacin dada con anterioridad (4) y reemplazando obtendremos:G= 6,67 * 10-11; M= 5.98 * 1024; r = 6.37 * 106


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OBSERVACIONES:

y

Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleracin dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. En la Tierra este valor es de aproximadamente 9,8 m/s, es decir que los cuerpos dejados en cada libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo.

y

En la cada libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire.

y

Para un mismo nivel (plano horizontal) la velocidad de subida tiene el mismo mdulo de la velocidad de bajada, pero tienen signos contrarios (vectores).

y

Como la altura (h) equivale el desplazamiento es un vector dirigido del nivel del lanzamiento al de llegada. Por lo tanto h ser (+) cuando se mide por encima del nivel del lanzamiento y (-) cuando se mide por debajo del nivel de lanzamiento.


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CONCLUSIONES:

y La cada libre es un movimiento uniformemente acelerado, con la cual podemos notar que la aceleracin de la cada en el vacio es independiente del peso de los cuerpos. y Nuestros experimentos indican que en la cada libre, todos los cuerpos caen con la misma aceleracin de la g, que es la aceleracin de la gravedad del lugar y es independiente de la masa del cuerpo. y En el vaco, los cuerpos ms pesados no caen ms rpido que los ms livianos y Existe la compatibilidad entre el movimiento de rotacin de la tierra y los movimientos particulares de los seres y objetos situados sobre ella. y Un cuerpo mientras ms tiempo permanezca cayendo, impacta con mayor fuerza el suelo. y El tiempo de subida de un cuerpo con el tiempo de bajada son iguales para una misma altura. y Un cuerpo que se lanza en contra de la direccin de la gravedad desacelera llegando concluyendo que su altura mxima ser cuando su velocidad final sea 0(cero).


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BIBLIOGRAFIA: Libros: y Tins de Laboratorio de Fisica General. Pag. 31 44. y Tins de Laboratorio de Fisica 1. Pag. 9 18.

Paginas webs: y http://es.wikipedia.org/wiki/Ca%C3%ADda_libre y http://www.educaplus.org/movi/4_2caidalibre.html y http://html.rincondelvago.com/caida-libre-de-cuerpos.html y http://jfinternational.com/mf/caida-libre.html y http://www.monografias.com/trabajos72/ descripcion-caida-librecuerpos/descripcion-caida-libre-cuerpos.shtml


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2011-ICAIDA LIBRE

LA GRAVEDAD

LABORATORIO DE FISICA I TRABAJO DE INVESTIGACIN 2011-I


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TEORIAS DE GRAVITACIN

Teora de la gravitacin de Newton

La constante de la gravitacin que aparece en la teora newtoniana de la gravitacin puede calcularse midiendo la fuerza de atraccin entre dos objetos de un kilogramo cada uno separados por un metro de distancia. Newton formul la siguiente ley, conocida como ley de la Gravitacin Universal: "La interaccin gravitatoria entre dos cuerpos puede expresarse mediante una fuerza directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa."

la cual puede ser expresada vectorialmente de la forma:

donde G es la constante de gravitacin universal cuyo valor es:

Slo se sabe con certeza que son correctas las tres primeras cifras decimales: se trata de una de las constantes fsicas que han sido determinadas con menor precisin. Esto ocasiona dificultades a la hora de medir con precisin la masa de los diferentes cuerpos del Sistema Solar, como el Sol o la Tierra. La primera medicin de su valor ha sido atribuida en muchos libros de texto errneamente a Henry Cavendish, quien en el experimento de la balanza de torsin descrito en las Philosophical


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Transactions de 1798 publicadas por la Royal Society, lo que hizo fue justamente lo que se propona y esto era medir la densidad de la Tierra, que result "ser 5,48 veces la del agua". Y as termina el artculo Experimento para determinar la densidad de la Tierra, publicado en los Philosophical Transactions (1798) de la Royal Society londinense, sin ninguna referencia a la constante G ni siquiera a Newton, aunque s aplica la ley propuesta por l para comparar fuerzas gravitatorias entre masas diferentes.1 Lo cierto es que, conocida tal densidad, fcilmente se obtiene G. G, la constante de gravitacin universal, no debe ser confundida con g, letra que representa la intensidad del campo gravitatorio de la tierra sobre la superficie terrestre. Teora de la gravitacin de Einstein En teora de la relatividad aparece otra constante llamada constante de la gravitacin de Einstein que viene dada por:

Esta constante es el factor de proporcionalidad entre el tensor de curvatura de Einstein (que es una medida de la intensidad del campo gravitatorio) y el tensor energa-impulso de la materia que provoca el campo:

El equivalente clsico de esta ltima ecuacin es la ecuacin de Poisson para el potencial gravitatorio:

La experiencia de Cavendish La masa de la Tierra se puede determinar una vez que se conoce el valor de la constante G.

En primer lugar, la fuerza de atraccin de una distribucin esfrica de masa de radio R y masa M sobre una partcula de masa m situada fuera de la esfera, es equivalente al de una partcula cuya masa sea la de la esfera situada en su centro.


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Aplicamos la segunda ley de Newton a un cuerpo de masa m que cae libremente, sabiendo que su aceleracin de cada, en las proximidades de la superficie de la Tierra es g.

Como el radio R de la Tierra es conocido y g tambin puede ser medido mediante varias experiencias, una de las ms simples es la medida del tiempo t que tarda en caer un cuerpo una determinada altura h, h=gt2/2. Si la aceleracin de la gravedad medida es g=9.8 m/s y el radio de la Tierra, supuesta esfrica es 6 R =6.3710 m tenemos que la masa de la Tierra es2

Podemos calcular tambin la densidad media de la Tierra dividiendo la masa M entre el volumen de una esfera de radio R, resultando =5506.5 kg/m3=5.5 g/cm3. Para pesar la Tierra necesitamos determinar el valor de G, mediante una experiencia similar a la efectuada por Cavendish.

La balanza de gravitacin es un instrumento muy sensible que permite demostrar la atraccin entre dos masas y determinar el valor de la constante G.


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CAIDA LIBRE

El pndulo de torsin consta de un hilo de torsin cuya constante K es del orden 10-8 Nm. Por su extremo inferior sujeta a una varilla horizontal de masa despreciable que tiene dos pequeas esferas de m=20 g de masa cada una y de 7.5 mm de radio. La distancia del hilo de torsin al centro de cada una de las esferas es d=50 mm.

El pndulo oscila con un periodo de aproximadamente, 10 minutos. Estas pequeas esferas son atradas por dos esferas fijas de M=1.5 kg de masa y de 32 mm de radio. Para determinar la constante G, mediante la balanza de gravitacin es necesario medir la posicin inicial y la final de equilibrio y el movimiento oscilatorio amortiguado entre estas dos posiciones. El ngulo entre estas posiciones de equilibrio es una medida de la fuerza de atraccin. Para medir el ngulo, se dispone de un haz LASER que incide sobre un espejo cncavo. La oscilacin del pndulo, se observa indirectamente mediante el movimiento de la marca luminosa producida por el rayo reflejado en una regla graduada situada a L=4.425 m de distancia. Posicin inicial de equilibrio En la posicin inicial de equilibrio, debido a la fuerza de atraccin de las dos esferas grandes sobre las pequeas, el pndulo gira un ngulo /2. El ngulo que forma el rayo incidente y reflejado es . La regla marca la posicin x0=0.


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Oscilaciones del pndulo Una vez que el pndulo se mantiene estable en la posicin inicial de equilibrio, las esferas grandes se mueven rpidamente a la posicin diametralmente opuesta. El pndulo empieza a oscilar con un periodo

donde 2md2 es el momento de inercia de la varilla de masas despreciable y de las dos esferas consideradas como masas puntuales, y K es la constante de torsin del hilo.

Se mide el periodo P de las oscilaciones tal como se muestra en la figura, el tiempo que trascurre entre dos mximos de la amplitud. La constante de amortiguamiento es pequea, de modo que el pndulo oscila durante bastante tiempo antes de alcanzar la posicin final de equilibrio


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Posicin final de equilibrio

La fuerza de atraccin entre la esfera grande y la pequea es

El momento del par de fuerzas debido a la atraccin entre las esferas, respecto del eje de oscilacin, hace que el pndulo gire un ngulo /2. El ngulo que forma el rayo incidente y reflejado es . La regla marca la posicin xf. 2Fd=K /2

La posicin xf de la marca luminosa sobre la regla distante L del espejo cncavo es

ya que

es un ngulo pequeo


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Despejamos la constante G

Ejemplo: y y y y y y El periodo del pndulo es el intervalo de tiempo entre dos mximos, en la grfica x-t de la oscilacin, P=10.8 min=648 s Posicin final de equilibrio en la regla, xf=17.3 cm Distancia del espejo de la balanza de torsin a la regla, L=4.425 m Masa de la esfera grande, M=1.5 kg Distancia entre los centros de la esfera grande y de la esfera peqea en la posicin de equilibrio es b=0.047 m Distancia de la pequea esfera al eje de oscilacin d=0.05 m

Variacin de la aceleracin de la gravedad g con el radio r En la pgina titulada Aceleracin de la gravedad demostramos que la aceleracin de la gravedad g en un punto P en el interior de una distribucin esfrica de masa, se debe solamente a la masa contenida en la esfera de radio r

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