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8/16/2019 5_Dispersion de Particulas

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Dispersión de partículas sólidas en flujos bifásicosturbulentos de interés industrial*

Santiago Laín Beatove**, Cristian A. Grillo López***

Resumen

Los Flujos Multifásicos tienen una destacada importancia en una gran variedadde sistemas técnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos de

transporte, separación, combustión, flujo sanguíneo, transporte capilar, etc.En Mecánica de Fluidos, la simulación numérica por ordenador constituye toda unarama conocida como Mecánica de Fluidos Computacional. El número de problemasabordados desde esta perspectiva crece día a día conforme aumenta la potencia y lavelocidad de los computadores (al mismo tiempo que disminuye su precio), mientrasque el costo de los ensayos de laboratorio crece sin cesar.

Este trabajo aborda el problema de la dispersión de partículas en un campo de flujo subyacente turbulento por medio de la simulación numérica.

La aproximación propuesta se centra en el uso de un programa computacional yaexistente dentro del Grupo de Investigación de Mecánica de Fluidos de la UniversidadAutónoma de Occidente (Cali, Colombia) y de su extensión para mejorar las predic-

ciones teóricas de las propiedades turbulentas de la fase discreta en configuracionesde flujos bifásicos turbulentos cargados con partículas.Palabras claves: Turbulencia, flujo bifásico, dispersión turbulenta de partícu-las, modelos lagrangianos.

Abstract

Multiphase flow play a key role in a variety of technical, industrial and naturesystems such as transport processes, segregation, combustion, capilar transportand many others.

The numerical simulation in Fluid Mechanics, known as CFD , is nowadays one

of the main areas of research around the world. The number of industrial problemsapproached by CFD increases rapidly due to the constant improvement of computerspeed (with prices decreasing simultaneously) and the increase of the cost of experi-mental tests. F e

c h a d e r e c e p

c i ó n : 1 1 d e m a y o d e 2 0 0 5

F e c h a d e a c e p t a c i ó n : 1 3 d e j u l i o d e 2 0 0 5

INGENIERÍA& DESARROLLO

Número 17Enero-Junio, 2005ISSN: 0122-3461

* Este artículo es resultado del proyecto de investigación titulado “Dispersión de partículas sólidasen flujos de interés industrial”, financiado por la Universidad Autónoma de Occidente a través de laVicerrectoría de Investigaciones.

** Doctor en Ciencias Físicas, Programa de Doctorado Mecánica de Fluidos, Universidad de Zara-goza (España). Director del grupo de investigación en Mecánica de Fluidos, Universidad Autónomade Occidente. Dirección: Calle 25 N° 115-85, Km 2, vía a Jamundí, Cali (Colombia) [email protected]

*** Ingeniero mecánico, Universidad Autónoma de Occidente, Cali (Colombia).


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88 Ingeniería & Desarrollo. Universidad del Norte. 17: 87-114, 2005

Santiago Laín Beatove, Cristian A. Grillo López

1. INTRODUCCIÓN

Por Flujo Multifásico se entiende todo proceso termomecánico en el que inter-

viene un fluido donde coexisten varias fases. La palabra fase adquiere aquí unsentido generalizado, entendiéndose por tal tanto un estado de agregación dela materia como determinadas porciones materiales de una o varias sustanciasdistinguibles por saltos significativos de sus propiedades. Dicho cambio puedeconsistir en variaciones, no sólo de composición o estado, sino también devariables particulares: velocidad, vorticidad… Dentro de un Flujo Multifásico se distinguirá una fase fluida que se extenderá en toda la región de desarrollodel flujo, llamada fase continua. En este seno fluido, líquido o gas, se encon-trarán porciones de otra materia o bien elementos de la misma sustancia en

estado distinto del existente en la fase continua. La superficie frontera entrelas fases se conoce con el nombre de entrefase.

Si en el flujo se pueden definir dos o más fases continuas, nos encontramosante un flujo con fases separadas, mientras que si las porciones materiales del restode las fases consisten en elementos aislados, fluidos o sólidos, se habla de flujocon fase dispersa. Un ejemplo típico de flujo con fases separadas lo constituyenla mezcla de dos líquidos inmiscibles como aceite y agua o la coexistencia defases gaseosa y líquida. En el caso de que las fases sean gaseosas o líquidas

miscibles, la frontera entre ellas se encontrará difusa y deberá ser definida deforma adecuada al propósito que se busque. Las capas de mezcla, ondas dechoque y otras discontinuidades pueden interpretarse también como entrefasesentre dos fluidos a ciertos efectos.

En el caso particular de que tan solo haya dos fases distintas, se hablaráde flujo bifásico. De hecho, cualquier flujo que sea exclusivamente con fasedispersa puede considerarse un sistema bifásico en la medida en que la distin-ción entre los elementos de una fase y otras puede hacerse en virtud del salto

que experimenten las propiedades que distinguen cada medio. Por ejemplo,un flujo simultáneo de partículas sólidas y líquidas en una fase continua es

In this work the turbulent particle dispersion in an underlying flow is addressedby using numerical simulation. The proposed approach uses an existing computationalcode in the Fluid Mechanics Research Group of the UAO, which has been extended inorder to improve the numerical predictions of the particle phase turbulent properties

in two-phase flow laden with solids.Key words: Turbulence, two-phase flow, turbulent particle dispersion, la-grangian tracking.


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DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS SÓLIDAS EN FLUJOS BIFÁSICOS TURBULENTOS DE INTERÉS INDUSTRIAL

única y los elementos dispersos se distinguen entre sí exclusivamente porsus propiedades termodinámicas y cinéticas, constituyendo en su conjuntola segunda fase. Por ello, a partir de aquí a cualquier flujo con fases dispersas

se le denominará flujo bifásico disperso.

Los flujos multifásicos tienen una destacada importancia en una gran variedadde sistemas técnicos, industriales y naturales como, por ejemplo, procesos detransporte, separación, combustión, flujo sanguíneo, transporte capilar, etc.

De los múltiples fenómenos en los que se encuentran este tipo de flujos sepueden citar, entre otros:

• Sistemas gas-partículas sólidas: transportes neumático, colectores de polvo,lechos fluidizados, reactores heterogéneos, xerografía, polvo cósmico.

• Sistemas gas-líquido (gotas y burbujas): atomizadores, depuradoras, secadores,combustores; aglomeración, contaminación, cavitación, enfriamiento degases, evaporación…

• Sistemas líquido-líquido: extracción, homogeneización,..

• Sistemas líquido-sólido: lechos fluidizados, flotación, sedimentación…

Como en tantos otros procesos de índole compleja, durante mucho tiemposus aplicaciones prácticas han venido de la mano de conocimientos empíricoso modelos de cálculo muy simples incapaces, en la mayoría de las ocasiones,de predecir con fiabilidad las condiciones de trabajo. Sin embargo, la constantesofisticación de los productos tecnológicos, la exigencia de mayores fiabilidadesy la necesidad de un mejor aprovechamiento de los recursos han conducido ala demanda de métodos de cálculo y predicciones más potentes, cuyo desarro-

llo y explotación requieren un profundo conocimiento de sus fundamentosfísicos y una exacta modelización de los fenómenos involucrados.

Para lograr el deseado conocimiento de los procesos relevantes que tienelugar en un determinado sistema existen dos vías distintas pero íntimamenteentrelazadas y concomitantes: el experimento y la modelización numérica.El primero permite un acceso directo al estudio del fenómeno pero suele sercostoso, mientras que la segunda es comparativamente mucho más barata ysencilla.


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No obstante, el caso de la turbulencia, presente en la mayoría de los flujosde interés industrial, es un paradigma en el conjunto de las ciencias básicasy aplicadas debido a la inexistencia, todavía hoy, de una teoría completa que

sea capaz de describir con exactitud su dinámica, lo cual es a la vez un retotecnológico y un problema de extraordinario interés científico. Es ésta la razónque nos impulsa a incidir en la modelización teórico-numérica de diferentesfenómenos, en los que la turbulencia desempeña un papel fundamental,construyendo aproximaciones simplificadas, las cuales pueden ser validadasy/o refinadas utilizando el ordenador como un “laboratorio” numérico. EnMecánica de Fluidos, la simulación numérica por ordenador constituye todauna rama conocida como Mecánica de Fluidos Computacional. El númerode problemas abordados desde esta perspectiva crece día a día conforme

aumenta la potencia y la velocidad de los computadores (al mismo tiempoque disminuye su precio), mientras que el costo de los ensayos de laboratoriocrece sin cesar.

Tradicionalmente, en la mayoría de las aproximaciones teórico-numéricasconstruidas para crear modelos de turbulencia, se ha recurrido a algún tipode promedio de las ecuaciones instantáneas de Navier-Stokes para encontrardescripciones aproximadas de la evolución de las variables medias. Este hechoes motivado por la propia naturaleza de los flujos turbulentos donde las es-

calas espaciales y temporales que intervienen son tan pequeñas que, hoy porhoy, se hace imposible la resolución numérica completa del flujo. Además, lapresencia de varias fases induce fuentes adicionales de fluctuación debidas alas perturbaciones introducidas por la distribución aleatoria de las entrefases.Por tanto, en un Flujo Multifásico donde la fase continua posee una dinámicaturbulenta se debe aplicar un proceso de promediación capaz de contemplarla interacción entre las fases de una forma suficientemente precisa.

En la aproximación elegida, implementada en el paquete de cálculo ELSA2D ,

disponible en el Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos, las ecuacionesde Navier-Stokes se encuentran promediadas temporalmente siguiendo laaproximación de Reynolds. La influencia de las partículas sobre la fase gaseosaaparece como términos adicionales en las ecuaciones promediadas, describien-do lo que se conoce como la modulación de la turbulencia. El tratamientoelegido para las partículas es de tipo lagrangiano, donde la trayectoria de cadapartícula o paquete de partículas se construye resolviendo sus ecuaciones delmovimiento lagrangianas.

En este tipo de aproximaciones lagrangianas, el problema fundamentalradica en estimar la velocidad instantánea del gas que la partícula sólida


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experimenta en cada paso temporal, o velocidad lagrangiana, que va a serdistinta en general de la velocidad euleriana del fluido. Diversas posibilidadespueden plantearse, y una excelente revisión puede consultarse en Shirolkar

et al. (1996) [1]. La opción considerada en ELSA2D consiste en interpolar en lalocalización de la partícula una velocidad media euleriana, construida a par-tir de los valores de la velocidad de fluido en los nodos más cercanos de lamalla, y una componente aleatoria obtenida a partir de una función densidadde probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona con las propiedadeslocales de la turbulencia de la fase continua proporcionadas por el modelo deturbulencia utilizado para la descripción de la dinámica de la fase gaseosa.

La figura 1 esboza el transporte de partículas debido al movimiento de los

vórtices en flujos turbulentos. Dicha figura representa la presencia de los dife-rentes remolinos, que interactúan con partículas de varios tamaños. El tamañode la partícula frente al tamaño del remolino es el parámetro más importanteen la determinación del resultado de la interacción partícula- vórtice. El trans-porte de partículas debido a los remolinos turbulentos también depende dediferentes propiedades del fluido y las partículas, como por ejemplo la visco-sidad del fluido, su densidad y la densidad de la partícula, y de propiedadesde flujo, como la distribución de energía cinética turbulenta. El entendimientodetallado de la naturaleza de la interacción de partícula-vórtice es esencial

para modelar el problema de la dispersión de partícula.

Figura 1. Interacción vórtice-partícula en flujos turbulentos

Es conveniente clasificar las partículas, en general, en dos categorías, basadasen su dimensión característica (el diámetro) respecto a la escala de longitudmás pequeña (la escala de Kolmogorov) presente en un campo turbulentodado. Una partícula se considera pequeña si su diámetro es más pequeño quela escala de Kolmogorov, y media si su diámetro está entre la escala de Kol-mogorov y la escala de longitud integral. Además, se debe notar que en los

sistemas bifásicos diluidos cargados con partículas de interés, la mayoría departículas son pequeñas según la anterior definición. La interacción partícula


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discreta-vórtice viene determinada por dos fenómenos, basados en dos propie-dades fundamentales de la partícula, su inercia y su velocidad de caída libre,las cuales dictan la naturaleza de la interacción.

Una partícula densa tendrá menos velocidad fluctuante que la del fluido.Esta reducción de la raíz cuadrática media (rms) de las fluctuaciones de velo-cidad de la partícula se conoce como efecto de inercia , y se caracteriza por unaescala de tiempo llamada tiempo de relajación de la partícula τp. El tiempo derelajación de la partícula es la tasa de respuesta de la aceleración de la partículaa la velocidad relativa entre la partícula y el fluido externo.

Por tanto, el aumento de la inercia en una partícula pequeña, que posee

un tiempo de relajación más corto que todas las escalas temporales fluidas,disminuye la fluctuación de la velocidad de la partícula y al mismo tiempoaumenta su escala temporal integral. Este efecto de incremento de inercia,sin embargo, no nos dice nada sobre el grado de dispersión de la partícula,debido a que, según la teoría estadística de dispersión turbulenta, el gradode dispersión es determinado por el producto de la raíz cuadrática media dela velocidad fluctuante y la escala temporal integral de la partícula (Taylor,1921) [2].

El fenómeno de migración de una partícula de un vórtice a otro, antes de sudecaimiento, debido a la turbulencia original del remolino, es conocido comoel efecto de cruce de trayectorias (CTE). Esta migración prematura es debido a unavelocidad de caída libre significativa para la partícula considerada. Uno delos resultados del CTE es la reducción de la escala temporal lagrangiana de lapartícula. Esta reducción es debida a un cambio abrupto de las condicionesfluidas que rodean a la partícula. El CTE viene determinado por la velocidad

de arrastre de la partícula vd ( ) , la cual es simplemente la diferencia entre la

velocidad de la partícula y la velocidad del fluido circundante.

El resto de este trabajo se organiza como sigue: la sección dos introduce losmodelos de dispersión turbulenta de partículas considerados en este trabajo; lasección tres expone la validación de la implementación del modelo de Miniery Peirano [3] y su comparación con los resultados obtenidos con el modeloestándar contemplado en el código ELSA2D , frente a tres experimentos de ref-erencia; por último, la sección cuatro presenta el resumen y las conclusionesextraídas de los resultados obtenidos.


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2. MODELOS DE DISPERSIÓN TURBULENTA DE PARTÍCULAS

La mayor parte de los modelos de dispersión pueden ser clasificados basán-

dose en el marco de referencia usado para su formulación. Hay dos tipos demarcos de referencia, el lagrangiano y euleriano. En el marco de referencialagrangiano, las trayectorias de partículas individuales (o nube de partículas)son construidas conforme se mueven a través del dominio computacional. Enlos modelos lagrangianos de partículas, el sistema de referencia se mueve conlas partículas, y la posición instantánea de una partícula puede ser consideradacomo una función de la posición inicial de la partícula y el tiempo transcurrido.Los modelos lagrangianos son llamados algunas veces modelos no continuos, debido a que la fase de las partículas se trata de un modo discreto, a diferencia

de la fase fluida, que es tratada como una fase continua. El marco lagrangianoes un modo natural de tratar las partículas en flujos diluidos; de ahí la popu-laridad de estos modelos en usos como sistemas de combustión de carbónpulverizado y sprays. En los modelos eulerianos, el sistema de referencia esestacionario, y las partículas pasan a través de volúmenes de control diferen-ciales fijos. En esta aproximación, las características de la fase de las partículasse obtienen resolviendo ecuaciones diferenciales parciales en un sistema decoordenadas determinado. Estos modelos que tratan las partículas como uncontinuo, similar a la fase fluida, se conocen también como modelos continuos

o modelos de dos fluidos. Los modelos eulerianos son populares cuando lacarga de partículas es alta, como en el caso de los sistemas de combustión delecho fluidizado. Sin embargo, también se usan en la modelación de flujos car-gados con partículas diluidos. Sin embargo, todos los modelos de dispersiónde partículas dependen de ciertas propiedades de la fase continua del fluido.Los ejemplos de las propiedades importantes de las fases fluidas requeridaspor ambos modelos incluyen las velocidades medias y la raíz cuadrática mediade las velocidades fluctuantes del fluido. La información exacta requerida dela fase fluida depende del modelo en consideración. Las propiedades de la

fase fluida se obtienen bien mediante medidas experimentales o por algúnprocedimiento computacional apropiado para predecir el campo de flujo turbulento. Los métodos más extendidos para predecir el comportamiento de lafase fluida y sus propiedades turbulentas incluyen: (1) fórmulas algebraicas,por ejemplo, viscosidad turbulenta constante o los modelos de longitud demezcla; (2) los modelos de turbulencia que usan dos o tres ecuaciones, comolas formulaciones k-ε o k-ε-g. Otros métodos, como los modelos algebraicos,modelos completos de Reynolds Stress, y simulaciones de grandes escalas(LES), también pueden utilizarse para predecir la fase fluida. Sin embargo,

debido a problemas de estabilidad (modelos algebraicos y de Reynolds Stress)o a exigencias sustanciales en los requerimientos computacionales (LES), estosmodelos no son usados tan ampliamente.


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Es importante destacar la necesidad de datos experimentales confiablesen flujos bifásicos para validar los modelos. Datos experimentales paralos momentos estadísticos de las partículas con condiciones de contorno

bien especificadas, bajo condiciones de reacción y sin reacción son muyimportantes en el desarrollo final de los modelos. Tales datos pueden serusarse no sólo para validar los modelos sino también para comprender mejorciertos mecanismos que son fundamentales en flujos de dos fases.

Como ya se ha mencionado, el problema de la dispersión turbulenta departículas en flujos turbulentos de interés industrial se aborda en este trabajodesde una perspectiva computacional. Durante el transcurso de este proyectose ha realizado la implementación de la aproximación descrita en Minier

y Peirano (2001) [3], la cual considera una ecuación de Langevin para laestimación de la velocidad lagrangiana del fluido vista por las partículas. Enesta ecuación, las hipótesis de cierre no se centran en la velocidad lagrangianadel fluido en sí misma sino en sus aceleraciones siguiendo el espíritu de otrasaproximaciones que han tenido éxito en la descripción de la turbulencia dela fase continua (Pope, 1994) [4].

Una vez realizada la implementación de la ecuación de Langevin, ésta fuevalidada y se comparó con las aproximaciones tradicionales lagrangianas,

codificadas en ELSA2D , que llamaremos estándar, en tres configuraciones deflujo: flujo turbulento detrás de una rejilla, flujo cortante simple y chorro libreaxisimétrico turbulento cargado con partículas para las cuales existen variosdatos experimentales. En particular, en esta última configuración se han elegidolos experimentos de Hishida y Maeda (1987) [5], pues contienen todas lasvariables de interés para la fase dispersa. En este último caso se espera mejorarlos resultados obtenidos empleando los modelos de dispersión de partículastradicionales, que llevan a una infrapredicción de la raíz cuadrática media dela velocidad axial fluctuante de las partículas.

El modelo de Minier y Peirano , el cual incluye como variable primera lavelocidad del fluido vista por la partícula, se escribe:

dx p,i =U p,i .dt (2.1)

dU p,i = A p,i .dt (2.2)

dU s,i = As,i (t ,Z).dt + Bs,ij (t ,Z).dW j (2.3)

donde el vector de estado de una partícula se escribe Z=(X p,U p,Us) funciónde la posición de la partícula, su velocidad y la velocidad del fluido visto


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por la partícula respectivamente; dW es un proceso estocástico de Wiener, oRandom Walk, que posee media cero y varianza; dt. A

p,i es la aceleración de

la partícula:

A p,i = U s,i −U p,i( ) τ p + gi

(2.4)

donde τp es el tiempo de relajación de la partícula y g es la aceleración de lagravedad. As y B son, respectivamente, el vector de arrastre y la matriz dedifusión, construidos como

As,i = − 1

ρ f

∂ P

∂ xi

+ U p, j − U s, j ( ).∂ U f ,i

∂ x j

−U s,i − U s,i

T L

*

(2.5)

Bs,ij 2 = Bs,i

2 δij = ε . C 0 .bi .k ~

k + 2

3bi .

k ~

k −1

δij i =1,2,3

(2.6)

donde no se sobreentiende suma en el subíndice repetido i y los bi son factores

de corrección, definidos como

bi = T L

T L.i* (2.7)

siendo T L la escala de tiempo lagrangiana del fluido y T L.i

* la escala de tiempolagrangiana por el fluido visto por la partícula, ρf es la densidad del fluido, U f su velocidad (euleriana),

la presión media, k la energía cinética turbu-

lenta del fluido y la tasa promedio de disipación, k ~

es una nueva energíacinética definida como

k ~

= 3

2.

bii=13∑ u f ,i2

bii=13∑

(2.8)

que representa las energías usuales ponderadas con los factores bi. Puesto que

estos factores varían de dirección a dirección, la energía cinética ponderada k ~


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difiere de la habitual k = u f ,i2i=1

3

∑ . El factor C0 es un factor que relaciona la escala

temporal lagrangiana del fluido T L con la tasa media de disipación ε y laenergía cinética turbulenta k.

T L = 4

3 C 0 + 2 /3( )k

ε

(2.9)

El modelo estándar existente en ELSA2D consiste en interpolar en lalocalización de la partícula una velocidad media euleriana, construida a

partir de los valores de la velocidad del fluido en los nodos más cercanosde la malla, y fabricar una componente aleatoria obtenida a partir de unafunción densidad de probabilidad gaussiana cuya varianza se relaciona conlas propiedades locales de la turbulencia de la fase continua proporcionadaspor el modelo de turbulencia utilizado para la descripción de la dinámica dela fase gaseosa.

La validación de la estrategia de Minier y Peirano y su comparación conel modelo estándar se realiza considerando tres experimentos de referencia

que cuantifican la dispersión turbulenta de partículas. El primero de ellos esla dispersión de partículas sólidas en la turbulencia generada por una rejilla;dicha turbulencia tiene la particularidad de ser isótropa y no estacionaria,pues su intensidad decae conforme nos alejamos de la rejilla (isotropic decayingturbulence). El segundo de ellos es un experimento numérico consistente enla dispersión de partículas en un flujo cortante simple, donde la velocidadmedia del fluido varía linealmente con la coordenada transversal al flujoy la intensidad de la turbulencia viene especificada. Finalmente, el tercerexperimento de referencia lo constituye un chorro bifásico confinado por una

corriente exterior, la cual es una configuración presente en varios sistemasindustriales como, por ejemplo, cámaras de combustión o secado de sprayspara producir alimentos en polvo.

3. RESULTADOS

3.1. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN LA TURBULENCIA GENERADA POR UNA REJILLA

3.1.1. Descripción del experimento

Para la validación de los modelos de dispersión de partículas por la turbu-


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lencia de la fase continua es común utilizar esta configuración de flujo. Enparticular, los experimentos de Wells y Stock (1983) [6] son comúnmenteempleados en la literatura especializada. En este montaje experimental se

estudia la dispersión de partículas sólidas que emanan desde un punto fuenteen un campo de flujo turbulento generado por una rejilla cuadrada.

La configuración consiste en un túnel de viento con una sección cuadradade 200 mm x 200 mm con una velocidad media de aire de U = 6.55 m/s. Deacuerdo a los datos experimentales, los valores cuadráticos medios de lasvelocidades fluctuantes en las direcciones del flujo (dirección x) y tranversal(dirección y) se pueden estimar de las correlaciones

U2

u'2= au x

M+ bu

; U2

v'2= av x

M+ bv (3.1)

Donde M es el tamaño de los huecos de la rejilla, el cual es 25.4 mm, y losparámetros a

u , b

u , a

v , b

v adoptan los siguientes valores:

au = 56.55; b

u = -8.87; a

v = 53.52; b

v = -7.05

Es necesario señalar que las expresiones (3.1) son correlaciones que

permiten describir las velocidades fluctuantes en cualquier experimento deturbulencia generada por una rejilla sin más que ajustar los valores de losparámetros anteriores.

La energía cinética turbulenta puede determinarse de

k = 1

2u'2 + v'2

(3.2)

La tasa de disipación de energía cinética turbulenta ε se halla con la ex-presión

ε = −U

2

dk 2

dx

(3.3)

Lo cual proporciona, usando (3.1) y (3.2):

(3.4)

ε =

U3

2M

1

auX

M+ bu

2 +

2

avX

M+ bv

2


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Para calcular la dispersión de partículas, todas estas propiedades del flujo sevan a prescribir a lo largo del túnel de viento para los casos considerados.

Este experimento de Wells y Stock fue diseñado para estudiar el efecto delas fuerzas externas, por ejemplo, la gravedad, sobre el proceso de dispersión.Debido al ya visto efecto de cruce trayectorias, la dispersión de partículas enel flujo turbulento se reduce, puesto que las partículas caen más rápidamentea través de los vórtices turbulentos debido a la gravedad. Por consiguiente,dado que el modelo de Minier y Peirano introduce explícitamente dichoefecto de cruce de trayectorias, estos experimentos constituyen un buen banco de pruebas para tal modelo.

Con objeto de simular diferentes campos gravitatorios, las partículas fueroncargadas y sometidas a un campo eléctrico en el túnel de viento. La dispersiónde las partículas fue medida utilizando anemometría láser Doppler.

Se utilizaron dos tamaños de partículas de vidrio: 5 µm y 57 µm. La dis-persión de las partículas más pequeñas se espera que no se vea muy afectadapor el incremento del campo gravitatorio, puesto que la velocidad de arrastrees pequeña comparada con las fluctuaciones turbulentas. En el caso de laspartículas más grandes, el efecto de cruce de trayectorias reduce fuertemente

el proceso de dispersión.

El efecto del campo eléctrico sobre la dispersión de partículas puede simu-larse introduciendo una constante gravitacional efectiva que se obtiene de laecuación de movimiento de la partícula en estado estacionario:

geff = 18µ f DV S

ρ p D p

(3.5)

Donde µ es la viscosidad dinámica del fluido, VS la velocidad terminal dela partícula en estado estacionario, o velocidad efectiva de arrastre, y ρp y Dp son la densidad y el diámetro de la partícula respectivamente. La función f

D

es el término no lineal del coeficiente de resistencia:

f D = 1 + 1/6 Rep

0.66 (3.6)

La tabla 1 muestra los diferentes casos considerados:


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Tabla 1Parámetros experimentales en los estudios de Wells y Stock (1983)

Diámetro partícula[µm]

Densidad partícula[gr/cm3]

Gravedad efectiva[m/s2]

Velocidad terminal[m/s]

5 2.475 0 05 2.475 900 0.17

57 2.420 0 057 2.420 28.4 0.54557 2.420 72.4 1.216

Los resultados experimentales para el desplazamiento cuadrático medio

de las partículas se recogen en la tabla 2, tanto para las partículas pequeñascomo para las grandes. Es necesario hacer notar que en este experimentolas condiciones iniciales no se encuentran claramente especificadas, por loque los cálculos pueden diferir suficientemente de las medidas. Por ello seadoptó el uso de las medidas en x/M = 30 como localización de referencia,sugiriéndose desplazar los resultados numéricos adecuadamente. Las par-tículas fueron inyectadas con una velocidad media en la dirección del flujode 6.55 m/s, mientras que se empleó una velocidad media fluctuante de 0.5m/s en el punto de inyección x/M = 10. Todas estas elecciones se hicieron

siguiendo las recomendaciones del caso test presentado en la ERCOFTAC Summerschool “Experiments, Modelling and Numerical Calculations forDispersed Multiphase Flow”, que tuvo lugar del 16 al 19 de julio de 2001 enla Universidad Martin Lutero Halle – Wittenberg (Alemania).

3.1.2. Simulaciones y discusión

A continuación se muestran los resultados obtenidos en las condiciones delexperimento de Wells y Stock utilizando los modelos de dispersión Langevin

estándar y el propuesto por Minier y Peirano.


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Tabla 2

Desplazamientos cuadráticos medios

y'2 para las partículas pequeñas (5 µm)y grandes (57 µm) como función de x/M para las

diferentes constantes gravitacionales

partículas pequeñas partículas grandes

x/M VS = 0 VS = 0.17 VS = 0 VS = 0.545 VS = 1.216

20 0.77 0.77 0.79 0.71 0.5730 1.10 1.10 1.24 0.90 0.6040 1.53 1.35 1.57 1.12 0.64

50 1.94 1.74 1.87 1.2960 2.35 2.15 2.35 1.4670 2.61 2.52 2.75 1.74

La figura 2 muestra los resultados obtenidos para las partículas pequeñas(Dp = 5 µm).

En ella se puede apreciar cómo para la situación sin fuerzas externas (VS =0) ambos modelos proporcionan resultados muy parecidos, como era previsi-

ble. En cambio, cuando tenemos un valor finito de la velocidad de arrastreVS el modelo estándar infrapredice la dispersión de las partículas. Como erade esperar, los resultados experimentales muestran que para estas partículastan poco inerciales, la dispersión turbulenta de partículas se ve muy pocoinfluenciada por la aplicación de un campo externo (representado por unaconstante gravitacional geff = 900).

En este caso, el modelo propuesto por Minier y Peirano se muestra superioral estándar, ya que incorpora explícitamente el efecto de cruce de trayectorias

reflejado en la existencia de una velocidad de arrastre finita.

La figura 3 muestra los resultados obtenidos para las partículas más iner-ciales (Dp = 57 µm). Se encuentra una mayor dependencia de la dispersiónturbulenta de partículas con el campo externo aplicado que en las partículaspequeñas, ya que la respuesta de las partículas a las fluctuaciones del campode velocidad del fluido es más lenta. De nuevo el modelo estándar no capturasuficientemente bien la dispersión indicada por los datos experimentales,infraprediciéndola, mientras que el modelo de Minier y Peirano sí es capaz

de describirla con una exactitud suficiente.

{ {


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Figura 2: Comparación del desplazamiento cuadrático medioobtenido numéricamente frente a los datos de Wells y Stock

para las partículas de 5 µm

Figura 3: Comparación del desplazamiento cuadrático medioobtenido numéricamente frente a los datos de Wells y Stock

para las partículas de 57 µm

Es necesario hacer notar que en los cálculos del modelo de Minier y Peiranola constante C0 se ha hecho igual a 8.1, lo cual implica que la escala temporallagrangiana del fluido se exprese como TL = 0.152 k/ε; el valor de 0.152 para

el coeficiente se encuentra en el rango de valores reportados habitualmenteen la literatura (0.13-0.5).


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3.2. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN UN FLUJO CORTANTE SIMPLE

El segundo experimento considerado, flujo cortante simple, es numérico y

su interés radica en que existen soluciones analíticas exactas (Reeks, 1993;Zaichik, 1997; Hyland et al., 1999) [7-9]. En este caso se considera un flujo endos dimensiones en el plano x y, cuyos valores medios de velocidad del fluidose expresan:

U = α y V = 0 (3.7)

Donde α es el gradiente de velocidad que se considera constante. Lasfluctuaciones de velocidad del fluido vienen determinadas por procesos

gaussianos cuyas varianzas son los esfuerzos de Reynolds en la direccióncorrespondiente. La magnitud de dichos esfuerzos de Reynolds es un datofijado desde el comienzo.

Los cálculos en esta configuración de flujo están inspirados en los presen-tados en Hyland et al. (1999) [9] con los tamaños de partícula utilizados en losexperimentos de Wells y Stock (1983) [6], es decir, 5 y 57 µm. En particular,se tomarán los esfuerzos de Reynolds normales u'u' = v'v' =1. Las partículas seinyectan en el centro del dominio con velocidad inicial nula y sus trayectorias

se calculan durante un tiempo total de 5 s.

En primer lugar se considera el caso en el que no hay esfuerzo cortanteimpuesto, es decir, α = 0 y donde los esfuerzos de Reynolds cortantes (turbu-lentos) son también cero, u'v ' = 0. En este caso es conocido que los perfiles deconcentración de partículas son círculos concéntricos alrededor del origen,puesto que la turbulencia es isótropa y las partículas se difunden con igualprobabilidad en todas las direcciones. Esta situación se muestra en la figura4, donde la concentración es mayor en el origen y decrece conforme nos ale-

jamos de él.

Es necesario hacer notar que las líneas no son exactamente círculos concén-tricos debido a que, para mantener el tiempo de cálculo en límites accesibles,el número de trayectorias de partículas simuladas se fijó en 104. Conforme elnúmero de trayectorias aumenta, los círculos se tornan progresivamente másnítidos.


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Figura 4: Perfiles de concentración de partículas en turbulenciahomogénea e isótropa con α = 0(Dp = 5 µm)

Cuando la turbulencia no es isótropa, es decir, u'v' ≠ 0 , el procedimientopropuesto por Yuan y Crowe (1989) [10] permite considerar el efecto de laanisotropía o correlaciones cruzadas. En nuestro caso bidimensional, las dosvelocidades fluctuantes, u’ y v’, se obtienen de la siguiente manera: en primerlugar se generan aleatoriamente dos velocidades fluctuantes independientes

con distribución gaussiana u’1 y v’1. Entonces Yuan y Crowe demuestran quelas dos velocidades, u’ y v’, pueden correlacionarse utilizando el coeficientede correlación R en la forma

u'= u'1; v'= R u'1+v'1 1− R2; R =

u'v'

u'u' v'v'

(3.8)

Figura 5: Perfiles de concentración de partículas en turbulenciahomogénea pero anisótropa u'v ' = −0.5 , con α = 0 (Dp = 5 µm)


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Como resultado, en el caso anisótropo, donde, por ejemplo, u'v ' = −0.5 , losperfiles de concentración se convierten en elipses rotadas 45º de acuerdo conHyland et al. (1999) [9]. Esta situación se muestra en la figura 5.

Cuando α ≠ 0, es decir, existe esfuerzo cortante, en el caso de turbulenciaisótropa, los perfiles de concentración de partículas se convierten también enelipses rotadas (figura 6 con α = 5), aunque en este caso en sentido contrarioa las mostradas en la figura 5. Por consiguiente, el efecto del esfuerzo cortantees cambiar los perfiles de concentración de círculos concéntricos a elipses con-céntricas rotadas. Conforme el tiempo pasa estas elipses se expanden (debidoa la difusión) y rotan (debido al esfuerzo cortante).

Cuando la magnitud del esfuerzo cortante aumenta, el estiramiento y ro-tación de las elipses aumenta, como se muestra en la figura 7. Si el tamaño delas partículas aumenta, considerando por ejemplo Dp = 57 µm, la situación essimilar a la mostrada en las figuras precedentes pero la difusión es menor queen el caso de las partículas pequeñas debido al efecto de inercia (figura 8).

Finalmente, si se considera turbulencia no isótropa y esfuerzo cortante(

u'v ' = −0.5 , α = 5) se obtiene la situación mostrada en la figura 9: las elipses seencuentran rotadas, pero mientras en el centro del dominio el efecto predomi-

nante es el de la anisotropía de la turbulencia, conforme nos alejamos de él, elesfuerzo cortante alinea las partículas siguiendo el sentido del flujo medio.

Es necesario hacer notar que como en estos cálculos no se han consideradocampos externos, ambos modelos de dispersión, estándar y Minier y Peirano,proporcionan resultados casi idénticos en lo referente a la dispersión de laspartículas.

3.3. DISPERSIÓN DE PARTÍCULAS EN UN CHORRO AXISIMÉTRICO TURBULENTO

La última configuración experimental elegida para comparar las resultadosobtenidos mediante los dos modelos de dispersión turbulenta de partículasconsiderados en este trabajo es la de chorro bifásico gas – sólido axisimétricocon fase dispersa diluida. Este es un flujo realista, altamente anisótropo, en-contrado frecuentemente en los procesos industriales, por lo que la calidad delos resultados obtenidos nos proporcionará una pista sobre la fiabilidad de losmodelos utilizados para la predicción de flujos industriales reales.


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Figura 6: Perfiles de concentración de partículas enturbulencia homogénea e isótropa, con α = 5(Dp = 5 µm)

Figura 7: Perfiles de concentración de partículas enturbulencia homogénea e isótropa, con α = 10

(Dp = 5 µm)

Las razones que justifican la elección de esta configuración son las siguientes:el flujo monofásico es bien conocido y existe un buen ajuste de los modelosturbulentos empleados usualmente, en particular del modelo de segundo or-den de esfuerzos de Reynolds elegido en este trabajo; la geometría es sencillay posee un buen número de simetrías; las condiciones de contorno están bienestablecidas; existen medidas experimentales suficientemente completas,tanto en la fase fluida como en la fase de partículas; y, por último, ha sido la

configuración históricamente empleada en las calibraciones de modelos flujo bifásico turbulento desde finales de los años sesenta.


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Figura 8: Perfiles de concentración de las partículas más grandesen turbulencia homogénea e isótropa, con α = 5 (Dp = 57 µm)

Figura 9: Perfiles de concentración de partículas enturbulencia homogénea y anisótropa, con u'v ' = −0.5 y α = 10 (Dp = 5 µm)

3.3.1. Descripción del experimento y simulaciones

En la configuración experimental de Hishida y Maeda (1987) [5] el chorroemana de una boquilla interior de 13 mm de diámetro confinada en un tuboexterior de 60 mm. La corriente primaria está confinada en un flujo anularde aire, llamada corriente secundaria, con velocidad elevada para la recircu-lación del flujo primario. Tal configuración es esquematizada en la figura 10y los detalles completos del montaje se pueden consultar en Hishida y Maeda

(1987) [5].


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Figura 10: Esquema de la configuración de flujo del chorrode Hishida y Maeda (1987)

El sistema de medida emplea un anemómetro láser Doppler (LDA) de doscomponentes y modificado por los autores para posibilitar la medida develocidades de ambas fases con discriminación de tamaño. Ésta se consigueexaminando la amplitud de las señales de ambas fases complementado con

un filtrado de interferencias entre ellas mediante la cuenta del número deciclos Doppler.

De los diferentes casos presentados en Hishida y Maeda (1987) [5] se haelegido el primero. En este conjunto de medidas la velocidad en el eje desimetría de la corriente primaria es de 30 m/s, mientras que la velocidaddel flujo secundario es de 15 m/s. La fase sólida consiste en partículas de vi-drio de diámetro medio 64.4 µm y densidad ρp = 2590 kg/m

3. La fracción decarga másica es 0.3 (kg partículas)/(kg aire), que corresponde a una fracción

volumétrica media αp = 1.4 x 10-4. La comparación entre medidas y cálculosse presenta para la sección transversal situada x = 130 mm aguas abajo de la boquilla, es decir, x/D = 10, donde D es el diámetro de la boquilla.

Como ya se ha comentado, la simulación se ha realizado con el modelo deesfuerzos de Reynolds, axisimétrico en este caso. Por consiguiente, el cálculose ha simplificado considerando las condiciones de simetría y tan solo se cal-culó la mitad del dominio del flujo. Este dominio rectangular abarca 520 mmen la dirección axial y 30 mm en la radial, hasta la pared del tubo exterior, y

se discretiza por medio de una malla no uniforme de 150 x 60 volúmenes decontrol en la dirección axial y radial respectivamente. Dicha resolución de la

D

D2

U2

U0


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malla es suficiente para producir resultados independientes del tamaño de lamalla. Los perfiles medidos en x = 0 han sido introducidos como condicionesde entrada y en x = 520 mm se usó una condición de salida. En r = 0 se impuso

la condición de eje de simetría y en r = 30 mm la condición de no deslizamientoentre el aire y la pared. Dado el tamaño de las partículas, suficientementepequeñas, las fuerzas más relevantes son la resistencia aerodinámica y lagravedad, por lo que otras fuerzas como la sustentación transversal han sidodespreciadas. La estadística se realizó sobre un total de 25.000 trayectoriasde partículas. Los resultados se presentan en formato dimensional frente a ladistancia radial r.

3.3.2. Resultados y discusión

Una característica importante de la configuración de chorro bifásico es sugran anisotropía en los esfuerzos normales de Reynolds, especialmente en losde la fase de partículas. Por ejemplo, en un chorro monofásico axisimétricoes conocido que los esfuerzos normales radiales y acimutales son del ordende la mitad de los esfuerzos axiales, lo cual se sigue manteniendo aproxima-damente para la fase gaseosa en el caso bifásico. En cambio, la fase de laspartículas presenta valores de los esfuerzos axiales normales, u’p , mayores quelos radiales, v’p , en un orden de magnitud, es decir, la anisotropía de la fase

dispersa es mucho mayor que la de la fase continua. Este hecho también seha encontrado en un flujo cortante simple, donde Reeks (1993) [7] demuestraque los esfuerzos normales de Reynolds de las partículas para tiempos largospresentan anisotropía a pesar de que los esfuerzos de Reynolds del fluido seimponen isótropos y espacialmente uniformes.

Esta alta anisotropía de los esfuerzos normales de Reynolds de las partículasen flujos no uniformes no es capturada con suficientemente exactitud por loscierres tradicionales, siendo verdad tanto para las descripciones eulerianas

como para las lagrangianas de la fase dispersa (Laín y Kohnen, 1999; Laín yAliod, 2000) [11,12]. Desde el punto de vista euleriano, Laín y Aliod (2003) [13]demuestran que un modelo euleriano de segundo orden, el cual incluye explíci-tamente términos de producción para los esfuerzos normales de Reynolds delas partículas, es capaz de predecir aceptablemente la citada anisotropía en lascantidades turbulentas de las partículas en el chorro experimental de Mostafaet al. (1989) [14]. Por el contrario, hasta el momento las estrategias lagrangia-nas todavía no son capaces de capturar razonablemente dicha anisotropía.Una de las razones para ello podría radicar en que los modelos de Langevin

utilizados para describir la dispersión turbulenta de partículas usados habitu-almente en los módulos lagrangianos son todavía demasiado simplificados.


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Por tanto, dado que el modelo de dispersión de Minier y Peirano refleja conmás exactitud la física subyacente que los tradicionales, cabe preguntarse siproporcionará una estimación aceptable de la anisotropía de la turbulencia

de las partículas en la configuración de chorro axisimétrico.

Otro punto que se debe tener en cuenta es que en esta configuración deflujo existen fuertes gradientes de velocidades medias, en particular de lavelocidad media axial en la dirección radial, por lo que el término inhomogé-

neo proporcional a ∂ /∂ x j en el modelo de Minier y Peirano no se anulaidénticamente como pasaba en el caso de turbulencia generada por una rejilla.Dicho término involucra el valor medio de la velocidad de las partículas en lalocalización de la partícula; sin embargo, dicho valor medio es desconocido en

el primer lanzamiento del módulo lagrangiano (que calcula las trayectorias delas partículas). Por consiguiente, el cálculo de la dispersión de las partículasmediante el modelo de Minier y Peirano se debe realizar iterativamente supo-niendo un valor inicial para el valor medio de las velocidades de las partículasen los nodos de la malla computacional. Además, el número de esas iteracio-nes dependerá mucho de la estimación inicial considerada. Un método queproporcionará un buen valor inicial será precisamente utilizar en el primerlanzamiento lagrangiano el modelo Langevin estándar, el cual proporciona buenas estimaciones para la velocidad media de las partículas (Laín y Kohnen,

1999) [11]. De este modo se encontró que dos o tres iteraciones eran suficientespara obtener la convergencia en la propuesta de Minier y Peirano.

Los resultados obtenidos con ambos modelos de dispersión se presentanen las figuras siguientes, donde todos los datos son dimensionales.

La parte superior de la figura 11 muestra las velocidades axiales mediaspara ambas fases. Como era de esperar, ambos modelos de dispersión departículas proporcionan valores prácticamente idénticos para el fluido, donde

la influencia de las partículas se tiene en cuenta mediante el acoplo de dosvías (two-way coupling).


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Figura 11: Velocidades medias (izquierda) y esfuerzos axiales (derecha)para ambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)

En el caso de las partículas, el modelo de Minier y Peirano proporcionauna velocidad media ligeramente superior al modelo estándar debido a quela velocidad media de fluido vista por las partículas es también superior a lavelocidad media del gas (figura 13).

En el caso de los esfuerzos de Reynolds (figura 11, derecha, figura 12) losvalores obtenidos para el gas son muy similares en ambos modelos, comparandorazonablemente bien con los valores experimentales. Sin embargo, la situaciónes distinta en el caso de los esfuerzos de Reynolds de las partículas donde elmodelo de Minier y Peirano incrementa las fluctuaciones de las velocidades

de las partículas u’p y esfuerzos de Reynolds cortantes u' p v' p .


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Figura 12: Esfuerzos radiales (arriba) y cortantes (abajo) paraambas fases en x/D = 10 (Hishida y Maeda, 1987)

Figura 13: Velocidad axial media vista por las partículas en el modelo

de Minier y Peirano en comparación con la velocidad media delfluido en x/D = 10


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En estos últimos el incremento es suficiente para capturar los puntos ex-perimentales, pero insuficiente para aproximarse a los valores medidos de u’p.En el caso de los esfuerzos normales radiales ambas estrategias de dispersión

predicen prácticamente el mismo resultado. Ello es debido a que la direcciónradial es una dirección aproximadamente homogénea en el chorro (que tienedireccionalidad axial) y los esfuerzos de Reynolds del gas y las partículas al-canzan los valores de equilibrio rápidamente de forma similar a como sucedeen los flujos cortantes simples (Reeks, 1993) [7]. La situación es distinta en ladirección axial donde aparentemente no se alcanzan los valores de equilibriopresentando además la particularidad que los gradientes de velocidad mediade las partículas actúan como una fuente para u’p , según se demuestra en Laíny Aliod (2003) [13].

En resumen, a pesar de que el modelo de Minier y Peirano mejora las pre-dicciones del estándar en la configuración de chorro axisimétrico, capturando

correctamente los esfuerzos de Reynolds cortantes u' p v ' p , todavía no es capazde capturar la anisotropía de la turbulencia de las partículas debido a la in-frapredicción de los esfuerzos normales u’p. Por consiguiente, los modelos deLangevin, utilizados en la descripción lagrangiana de la fase dispersa, todavíadeben mejorarse para capturar dicha anisotropía de los esfuerzos de Reynoldsde los elementos discretos en flujos no uniformes.

RESUMEN Y CONCLUSIONES

Este trabajo ha pretendido contextualizar el papel de los flujos multifásicosen general y bifásicos en particular dentro los procesos industriales, así comoesbozar las dificultades inherentes a su descripción y modelación. Concreta-mente, la cuestión abordada ha sido la de la dispersión de partículas discretas(sólidos, gotas o burbujas) en un flujo turbulento subyacente, la cual vienegobernada por la interacción fluido - partícula. La discusión se simplificóconsiderablemente al considerar partículas pequeñas, menores que la escalade Kolmogorov del flujo, de tal manera que la velocidad del fluido vista porla partícula en todos los puntos de su trayectoria pudiese ser consideradacomo uniforme. Sin embargo, la existencia de dos fenómenos particularesdiferencian considerablemente el comportamiento de una partícula fluida delde una discreta: la existencia de la inercia y el efecto de cruce de trayectoriasya comentados. El punto de vista escogido para la descripción de las partícu-las es el lagrangiano, o no continuo, donde las partículas se describen comoentes individuales que responden a una ecuación del movimiento en el senofluido. Por el contrario, la fase continua se describe mediante las ecuaciones


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de Navier - Stokes apropiadamente modificadas y extendidas para describirel comportamiento turbulento del flujo e incluir el efecto de las partículas ensuspensión.

El punto clave de la aproximación lagrangiana basada en la función densidadde probabilidad, consiste en considerar como variable primera en el vectorde estado de una partícula la velocidad del fluido vista por la partícula y endesplazar el cierre de las velocidades instantáneas de las partículas fluidashacia sus aceleraciones, de forma similar a como se procede en la turbulenciamonofásica. Cuando la componente fluctuante de la velocidad del fluidovisto por la partícula se considera como un proceso aleatorio, con densidadde probabilidad gaussiana, se desarrollan los modelos de Langevin que se han

denominado en este trabajo modelos estándar. En ellos, la velocidad fluida enla localización de la partícula se obtiene por medio de correlaciones que poseendos componentes: una temporal y otra espacial. En cambio, modelando lasaceleraciones de las partículas fluidas mediante un proceso de difusión de Lan-gevin, Minier y Peirano (2001) [3] demuestran que el modelo obtenido respetamás fielmente que el estándar la física del problema, pudiéndose incluir deforma más o menos natural los efectos de inercia y de cruce de trayectorias.

Los modelos lagrangianos estándar y el propuesto por Minier y Peirano

se han confrontado con tres experimentos, dos reales y uno numérico. Loscálculos se han desarrollado con el código computacional ELSA2D , disponibleen el Grupo de Investigación en Mecánica de Fluidos de la UniversidadAutónoma de Occidente, en el cual tan solo el modelo estándar se encon-traba implementado. Por consiguiente, para el desarrollo de este trabajo fuenecesaria la implementación del modelo de Minier y Peirano (M&P) y suvalidación con experimentos de referencia. Como resultado, el modelo M&Preproduce mejor que el estándar la dispersión turbulenta de partículas en elflujo turbulento generado por una rejilla cuando se encuentra presente un

campo externo de fuerzas. Ello no es sorprendente, ya que M&P incorporaexplícitamente el efecto de cruce de trayectorias, el cual aparece cuando existeun arrastre medio entre partícula y fluido. En adición, ambos modelos funcio-nan suficientemente bien a la hora de reproducir los principales fenómenos dedispersión de partículas en un experimento numérico que involucra un flujocortante simple. Finalmente se consideró un flujo más realista, como el chorroturbulento axisimétrico cargado con partículas sólidas, el cual se caracterizapor una alta anisotropía de las velocidades fluctuantes de las partículas, muchomayores que las correspondientes de la fase gaseosa, la cual no es capturada

suficientemente bien por los modelos lagrangianos actuales. El resultado parael chorro demuestra que aunque el modelo M&P se aproxima un poco más a


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los puntos experimentales que el modelo estándar, todavía no es lo suficiente-mente preciso para reproducir el comportamiento turbulento, de la fase delas partículas, por lo que éste debe ser todavía mejorado. Un camino posible

para la mejora sería el considerar la influencia de los esfuerzos cortantes delfluido sobre el modelo de difusión de Langevin considerado para modelarlas aceleraciones, de las partículas fluidas vistas por la partícula en vez de laelección diagonal elegida por Minier y Peirano. Sin embargo, esta posibilidadse considerará en un trabajo futuro.

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