6-z-test i t-test 2012

2007/20081

Procedure za testiranje hipotezeProcedure za testiranje hipoteze

Testiranje hipotezeTestiranje hipoteze- testovi -- testovi -

Testiranje hipotezeTestiranje hipoteze- testovi -- testovi -

ParametarskiParametarskiParametarskiParametarski NeparametarskiNeparametarskiNeparametarskiNeparametarski

za jednu za jednu populacijupopulaciju

za jednu za jednu populacijupopulaciju

za dve i više za dve i više populacijapopulacija

za dve i više za dve i više populacijapopulacija

2007/20082

Parametarski testovi za jednu populacijuParametarski testovi za jednu populaciju

jedna jedna populacijapopulacija

z-testz-testjednostranijednostranidvostranidvostrani

poznatpoznatoo

srednjasrednjavrednostvrednost proporcijaproporcija

t-testt-testjednostranijednostranidvostranidvostrani


nepoznatonepoznato

2007/20083

Dvostrani z-test za srednju vrednostDvostrani z-test za srednju vrednost

Pretpostavke:Pretpostavke: poznata standardna devijacija populacije - poznata standardna devijacija populacije - σσ populacija je normalno distribuiranapopulacija je normalno distribuirana

Nulta hipoteza ima samo znak Nulta hipoteza ima samo znak == Alternativna hipoteza ima znakAlternativna hipoteza ima znak ≠≠ Izračunava se vrednost Izračunava se vrednost zz

N

σx

z

2007/20084

Dvostrani z-test - PrimerDvostrani z-test - Primer

Da li je neto težina kutije sa čajem jednaka Da li je neto težina kutije sa čajem jednaka 300 g300 g? ?

Slučajni uzorak od 25 kutija ima Slučajni uzorak od 25 kutija ima xxsr sr = 305,4 g= 305,4 g

Poznato je da je Poznato je da je σσ = 15 g (standardna devijacija = 15 g (standardna devijacija populacije)populacije)

TTestestirati hipotezu za irati hipotezu za αα = 0, = 0,0505

HH00: : µµ = 3 = 300 i 00 i HH11: : µµ ≠≠ 3 30000

1,80

25

15300-305,4

N

σx

z

2007/20085

Dvostrani z-test - rešenjeDvostrani z-test - rešenje

Vrednost z u regionu za prihvatanje: -1,96 < z (+1,80) < 1,96Vrednost z u regionu za prihvatanje: -1,96 < z (+1,80) < 1,96

Odluka:Odluka: Prihvata se hipoteza za Prihvata se hipoteza za αα = = 0,0,0505

Zaključak:Zaključak: Nema dokaza da srednja vrednost nije 300 Nema dokaza da srednja vrednost nije 300

zz00 1,961,96-1,96-1,96

0,0250,025

Odbacuje se HOdbacuje se H00

0,0250,025


z = + 1,80z = + 1,80

2007/20086

Dvostrani z-test – vrednost pDvostrani z-test – vrednost p

površina levo od -1,80 = 0,0359površina levo od -1,80 = 0,0359

površina desno od +1,80 = 1 – 0,9641 = 0,0359površina desno od +1,80 = 1 – 0,9641 = 0,0359

p = 0,0359 + 0,0359 = 0,0718p = 0,0359 + 0,0359 = 0,0718

1/2 p-vrednosti = 01/2 p-vrednosti = 0,,00359359

00 +1,80+1,80-1,80-1,80 zz

odbacuje se

1/2 1/2 αα = = 0,0,0250251/2 1/2 αα = = 0,0,025025

1/2 p-vrednosti = 01/2 p-vrednosti = 0,,00359359

odbacuje se

Izračunata z vrednostIzračunata z vrednost

2007/20087

Dvostrani z-test – RešenjeDvostrani z-test – Rešenje

Vrednost z u regionu za prihvatanje: -1,96 < z Vrednost z u regionu za prihvatanje: -1,96 < z (+1,80) < 1,96(+1,80) < 1,96

vrednost p: vrednost p: p p ((zz ≤ -1 ≤ -1,8,80 0 i i z z ≥ 1≥ 1,8,80) = 0) = 0,07180,0718 p > p > ((αα = = 0,0,05)05)

Nulta hipoteza se prihvataNulta hipoteza se prihvata

2007/20088

Pretpostavke:Pretpostavke: poznata standardna devijacija populacije - poznata standardna devijacija populacije - σσ populacija je normalno distribuiranapopulacija je normalno distribuirana

Nulta hipoteza ima znak Nulta hipoteza ima znak iliili Alternativna hipoteza ima znak Alternativna hipoteza ima znak >> ili ili << Izračunava se vrednost zIzračunava se vrednost z

Jednostrani z-test za srednju vrednostJednostrani z-test za srednju vrednost

N

σμx

z

2007/20089

Jednostrani z-test - primerJednostrani z-test - primer

Da li je neto težina kutije sa čajem Da li je neto težina kutije sa čajem većaveća od od 300 g300 g? ?


Poznato je da je Poznato je da je σσ = 15 g = 15 g TTestestirati hipotezu za irati hipotezu za αα = 0, = 0,0505

HH00: : µµ ≤≤ 3 300 i 00 i HH11: : µµ >> 3 30000

1,80

25

15300-305,4

N

σx

z

2007/200810

Jednostrani z-test - rešenjeJednostrani z-test - rešenje

Odluka:Odluka: Ne prihvata se nulta hipoteza za Ne prihvata se nulta hipoteza za αα = = 0,0,0505

Zaključak:Zaključak: Ima dokaza da srednja vrednost nije 300 Ima dokaza da srednja vrednost nije 300

z = + 1,80z = + 1,80

zz00


+1,645+1,645

0,050,05

2007/200811

Jednostrani z-test – vrednost pJednostrani z-test – vrednost p

površina desno od +1,80 = 1 – 0,9641 = 0,0359 < površina desno od +1,80 = 1 – 0,9641 = 0,0359 < ((αα = = 0,0,05)05)

Nulta hipoteza se ne prihvataNulta hipoteza se ne prihvata

00 +1,80+1,80 zz

odbacuje se H0

p-vrednosti = 0p-vrednosti = 0,,00359359

αα = = 0,0,0505

Izračunata z vrednostIzračunata z vrednost

2007/200812

Uticaj standardne devijacijeUticaj standardne devijacije

Da li je neto težina kutije sa čajem jednaka Da li je neto težina kutije sa čajem jednaka 300 g300 g? ?


Poznato je da je Poznato je da je σσ = 10 g (standardna devijacija = 10 g (standardna devijacija populacije)populacije)

TTestestirati hipotezu za irati hipotezu za αα = 0, = 0,0505

HH00: : µµ = 3 = 300 i 00 i HH11: : µµ ≠≠ 3 30000

70,2

25

10300-305,4

N

σx

z

2007/200813


zz

00

1,961,96

-1,96-1,96

z = + 1,80z = + 1,80

x

1,961,96z = + 2,70z = + 2,70

σσ=10=10

σσ=15=15

00-1,96-1,96

μμ=300=300 =305,4=305,4x

μμ=300=300 =305,4=305,4

2007/200814


N

Sd

μxt


poznatpoznatoo

srednjasrednjavrednostvrednost


nepoznatonepoznato

N

σx

z

N

Sdx

t

2007/200815

Studentov t-testStudentov t-test

Teorija normalne raspodele je razvijena iz velikog broja Teorija normalne raspodele je razvijena iz velikog broja podataka podataka

Praktičnim radom često ne može da se dobije veliki broj Praktičnim radom često ne može da se dobije veliki broj podataka podataka

Razvijena je teorijska raspodela verovatnoće slučajne Razvijena je teorijska raspodela verovatnoće slučajne promenljive promenljive tt za mali broj podataka uzetih iz normalne za mali broj podataka uzetih iz normalne raspodeleraspodele

Kada se radi sa malim brojem podataka nisu poznate Kada se radi sa malim brojem podataka nisu poznate populaciona standardna devijacija σ i srednja vrednost μpopulaciona standardna devijacija σ i srednja vrednost μ

σ se zamenjuje sa σ se zamenjuje sa SdSd, a μ sa , a μ sa xxsrsr

2007/200816

Studentov t-testStudentov t-test

• Postoji beskonačno mnogo t-krivih koje zavise od broja Postoji beskonačno mnogo t-krivih koje zavise od broja podatakapodataka

• t-raspodela se približava normalnoj raspodeli kada se t-raspodela se približava normalnoj raspodeli kada se povećava broj podatakapovećava broj podataka

2007/200817

Dvostrani t-test za srednju vrednostDvostrani t-test za srednju vrednost

Parametarski test Parametarski test

Pretpostavka za testPretpostavka za test Nije poznata standardna devijacija populacije - Nije poznata standardna devijacija populacije - σσ

Populacija je normalno distribuiranaPopulacija je normalno distribuirana

Izračunava se veličina t prema izrazu:Izračunava se veličina t prema izrazu:

N

Sdx

t

2007/200818

Dvostrani t-test - PrimerDvostrani t-test - Primer

Da li je sadržaj kontrolnog uzorka za odredjivanje Na Da li je sadržaj kontrolnog uzorka za odredjivanje Na jednak jednak 135 mmol/L135 mmol/L??

U slučajnom uzorku od U slučajnom uzorku od N = 16N = 16 izračunato je: izračunato je:

xxsrsr = 135,8 mmol/L i Sd = 2,04 mmol/L = 135,8 mmol/L i Sd = 2,04 mmol/L

Testirati hipotezu za Testirati hipotezu za αα = 0,05 φ = 15 = 0,05 φ = 15

HH00 : μ = 135 i H : μ = 135 i H11 : μ : μ 135135

1,5690,51

0,8

16

2,04135135,8

N

Sdx

t

2007/200819

Kritična vrednost za tKritična vrednost za t

Nulta hipoteza Nulta hipoteza se prihvatase prihvata, razlika nije statistički značajna, razlika nije statistički značajnat < tt < t0,050,05 p > 0,05 p > 0,05

t0 2,1312,131

0,0250,0250,0250,025

-2,131-2,131

region za odbacivanjeregion za odbacivanje

t = 1,569t = 1,569

region za region za odbacivanjeodbacivanje

jednostr. 0,05 0,025 0,005

dvostr. 0,10 0,05 0,01

φ = 1 6,314 12,706 63,657

2 2,920 4,303 9,925

3 2,353 3,182 5,841

.... .... .... ....

13 1,771 2,160 3,012

14 1,761 2,145 2,977

15 1,753 2,131 2,947

16 1,746 2,120 2,921

2007/200820

Dvostrani t-test - primerDvostrani t-test - primer

Uticaj veličine uzorkaUticaj veličine uzorka

N = 36N = 36 x xsrsr = 135,8 mmol/L Sd = 2,04 mmol/L = 135,8 mmol/L Sd = 2,04 mmol/L

μ = 135mmol/Lμ = 135mmol/L

HH00 : μ = 135 i H : μ = 135 i H11 : μ : μ ≠≠ 135 135

α = 0,05 (dvostrani test) φ = 35α = 0,05 (dvostrani test) φ = 35

2,350,34

0,8

36

2,04135135,8

N

Sdx

t

Nulta hipoteza se Nulta hipoteza se ne prihvatane prihvata, razlika jeste statistički značajna, razlika jeste statistički značajnatt0,05,350,05,35 = 2,030 = 2,030 t > t t > t0,050,05 p < 0,05 p < 0,05

2007/200821


Nulta hipoteza se ne prihvata, razlika je statistički značajnaNulta hipoteza se ne prihvata, razlika je statistički značajnatt0,05,350,05,35 = 2,030 = 2,030 t > tt > t0,050,05 p < 0,05 p < 0,05

tt0 2,0302,030

0,0250,0250,0250,025

-2,030-2,030


t = 2,35t = 2,35


2007/200822



N = 36N = 36 x xsrsr = 135,8 mmol/L = 135,8 mmol/L Sd = 4,04 mmol/LSd = 4,04 mmol/L

μ = 135mmol/Lμ = 135mmol/L

HH00 : μ = 135 i H : μ = 135 i H11 : μ : μ ≠≠ 135 135

α = 0,05 (dvostrani test) φ = 35α = 0,05 (dvostrani test) φ = 35

188,10,673

0,8

36

4,04135135,8

N

Sdx

t

Nulta hipoteza se prihvata, razlika nije statistički značajnaNulta hipoteza se prihvata, razlika nije statistički značajnatt0,05,350,05,35 = 2,030 = 2,030 t < t t < t0,050,05 p > 0,05 p > 0,05

2007/200823

Jednostrani t-test - primerJednostrani t-test - primer

Da li je sadržaj kontrolnog uzorka za odredjivanje Na Da li je sadržaj kontrolnog uzorka za odredjivanje Na većiveći od od 135 mmol/L?135 mmol/L?

U slučajnom uzorku od N = 16 izračunato je:U slučajnom uzorku od N = 16 izračunato je:

xxsrsr = 135,8 mmol/L i Sd = 2,04 mmol/L = 135,8 mmol/L i Sd = 2,04 mmol/L

HH00 : μ : μ ≤≤ 135 135 H H11 : μ : μ >> 135135

Testirati hipotezu za Testirati hipotezu za αα = 0,05 = 0,05 φφ = 15 = 15

1,5690,51

0,8

16

2,04135135,8

N

Sdx

t

2007/200824

Jednostrani t-test - rešenjeJednostrani t-test - rešenje

Nulta hipoteza se prihvata, Nulta hipoteza se prihvata, tt0,05,150,05,15 = 1,753 = 1,753

t < tt < t0,050,05 p > 0,05 razlika nije statistički značajna p > 0,05 razlika nije statistički značajna

tt00 1,7531,753

0,05

t=1,569t=1,569

jednostr. 0,05 0,025 0,005

dvostr. 0,10 0,05 0,01

φ = 1 6,314 12,706 63,657

2 2,920 4,303 9,925

3 2,353 3,182 5,841

.... .... .... ....

13 1,771 2,160 3,012

14 1,761 2,145 2,977

15 1,753 2,131 2,947

16 1,746 2,120 2,921

2007/200825


jedna jedna populacijapopulacija


poznatpoznatoo

srednjasrednjavrednostvrednost proporcijaproporcija



nepoznatonepoznato

2007/200826

z-test za proporcijuz-test za proporciju

PretpostavkePretpostavke Populacija obično sledi binomnu raspodeluPopulacija obično sledi binomnu raspodelu Aproksimacija za normalnu raspodelu se koristi ako jeAproksimacija za normalnu raspodelu se koristi ako je

NN·p ·p ≥≥ 5 5 i i N N·(1 - p) ·(1 - p) ≥≥ 5 5

p – proporcija koja se testirap – proporcija koja se testira Izračunava se vrednost z za proporcijuIzračunava se vrednost z za proporciju

N

)p1(p

ppz s

ppss - izračunata proporcija - izračunata proporcija

2007/200827

Dvostrani z-test za proporciju - primerDvostrani z-test za proporciju - primer

Sistem za pakovanje tableta daje 10% neispravnih Sistem za pakovanje tableta daje 10% neispravnih

pakovanjapakovanja

Korišćenjem novog sistema u slučajnom uzorku od 200 Korišćenjem novog sistema u slučajnom uzorku od 200

kutija dobijeno je 11 neispravnihkutija dobijeno je 11 neispravnih

Da li novi sistem daje Da li novi sistem daje jednakjednak broj neispravnih pakovanja? broj neispravnih pakovanja?

Testirati hipotezu za Testirati hipotezu za αα = = 0,0,0505

NN·p·p = = 200200··0,1 = 20 0,1 = 20 ≥≥ 5 5

NN·(1 - p)·(1 - p) = 200 = 200 ·· (1-0,1) = 180 (1-0,1) = 180 ≥≥ 5 5

2007/200828

Dvostrani z-test za proporciju - rešenjeDvostrani z-test za proporciju - rešenje

HH00: p = : p = 0,10,1

HH11: p : p ≠≠ 0,10,1

αα = = 0,0,0505

NN = = 220000

2,12

2000,10)(10,10

0,1020011

Np)(1p

ppz s

p = p = 0,10,1

ppss = 11/200 = 11/200

NN = = 220000

2007/200829

Dvostrani z-test za proporciju - rešenjeDvostrani z-test za proporciju - rešenje

OdlukaOdluka:: Nulta hipoteza se ne prihvata za Nulta hipoteza se ne prihvata za αα = = 0,0,0505

ZaključakZaključak:: Nema dokaza da je proporcija jednaka 0,1Nema dokaza da je proporcija jednaka 0,1

z = -2,12z = -2,12

zz00 1,961,96-1,96-1,96

0,0250,025

odbacuje se Hodbacuje se H00

0,0250,025


2007/200830

Jednostrani z-test za proporciju - primerJednostrani z-test za proporciju - primer

Sistem za pakovanje tableta daje 10% Sistem za pakovanje tableta daje 10% neispravnih pakovanjaneispravnih pakovanja

Korišćenjem novog sistema u slučajnom uzorku Korišćenjem novog sistema u slučajnom uzorku od 200 kutija dobijeno je 11 neispravnihod 200 kutija dobijeno je 11 neispravnih

Da li novi sistem daje Da li novi sistem daje manjimanji broj neispravnih broj neispravnih pakovanja?pakovanja?

Testirati hipotezu za Testirati hipotezu za αα = = 0,0,05 05

NN·p·p = = 200200··0,1 = 20 0,1 = 20 5 5

NN·(1 - p)·(1 - p) = 200 = 200 ·· (1-0,1) = 180 (1-0,1) = 180 5 5

2007/200831

Jednostrani z-test za proporciju - rešenjeJednostrani z-test za proporciju - rešenje

HH00: p : p ≥≥ 0,10,1

HH11: p : p < 0,1< 0,1

αα = = 0,0,0505

NN = = 220000

2,12

2000,10)(10,10

0,1020011

Np)(1p

ppz s

p = p = 0,10,1

ppss = 11/200 = 11/200

NN = = 220000

2007/200832

Jednostrani z-test za proporciju - rešenjeJednostrani z-test za proporciju - rešenje

Odluka:Odluka: Nulta hipoteza se ne prihvata za Nulta hipoteza se ne prihvata za αα = = 0,0,0505

Zaključak:Zaključak: Ima dokaza da je proporcija manja od 0,1, odnosno novi Ima dokaza da je proporcija manja od 0,1, odnosno novi sistema daje značajno manji procenat neispravnih pakovanjasistema daje značajno manji procenat neispravnih pakovanja

zz00-1,645-1,645

0,05


z = - 2,12z = - 2,12

2007/200833

Testovi za dve i više populacijaTestovi za dve i više populacija

dvedve i više i više populacijapopulacija

varijansavarijansa

srednja srednja vrednostvrednost

F F ttestest

z-testz-testt-testt-test ANOVAANOVA

brojbrojuzorakauzoraka

22 nn

2007/200834

Razlika između dve srednje vrednostiRazlika između dve srednje vrednosti

Uzorci su iz normalno distribuiranih populacija sa Uzorci su iz normalno distribuiranih populacija sa poznatim varijansamapoznatim varijansama

z-test: dvostrani i jednostraniz-test: dvostrani i jednostrani

Uzorci su iz normalno distribuiranih populacija sa Uzorci su iz normalno distribuiranih populacija sa nepoznatim varijansamanepoznatim varijansama

t-test: dvostrani i jednostranit-test: dvostrani i jednostrani

2007/200835

Dvostrani z-test za razliku između dve sr. vrednostiDvostrani z-test za razliku između dve sr. vrednosti

Testira se razlika izmedju srednjih vrednosti dve Testira se razlika izmedju srednjih vrednosti dve nezavisne populacijenezavisne populacije

Pretpostavke:Pretpostavke: populacione standardne devijacije su poznatepopulacione standardne devijacije su poznate populacije su normalno distribuiranepopulacije su normalno distribuirane

Izračunava se vrednost zIzračunava se vrednost z

2007/200836

Dvostrani z-test za razliku između dve sr. vrednostiDvostrani z-test za razliku između dve sr. vrednosti

HH00 : : µµ 11 - - µµ 2 2 = 0 H = 0 H11 : : µµ 11 - - µµ 2 2 0 0

HH00 : : µµ 1 1 = = µµ 2 2 H H11 : : µµ 11 µµ 2 2

αα = 0,05 z = = 0,05 z = ±± 1,96 1,96

HH00 se odbacuje kada je: –1,96 > z se odbacuje kada je: –1,96 > z izračunatoizračunato > 1,96 > 1,96

2

22

1

21

21

N

σ

N

σ

xxz

2007/200837

Dvostrani z-test za dve sr. vrednosti - primerDvostrani z-test za dve sr. vrednosti - primer

I serija tabletaI serija tableta σσ = 2,5 mg N = 25 x = 2,5 mg N = 25 xsrsr = 102 mg = 102 mg

II serija tabletaII serija tableta σσ = 2,5 mg N = 25 x = 2,5 mg N = 25 xsrsr = 97 mg = 97 mg

07,7707,0

5

25

5,2

25

5,2

97102

NN

xxz

22

II

2II

I

2I

III

zz0,050,05= = ±± 1,96 1,96 z zizrizr > 1,96 > 1,96

Nulta hipoteza se Nulta hipoteza se ne prihvatane prihvata, razlika u težini značajna, razlika u težini značajna

2007/200838


Uticaj standardne devijacijeUticaj standardne devijacije I serija tabletaI serija tableta

σσ = 8,5 mg N = 25 x = 8,5 mg N = 25 xsrsr = 102 mg = 102 mg


865,078,5

5

25

5,8

25

5,8

97102

NN

xxz

22

II

2II

I

2I

III

zz0,050,05= = ±± 1,96 1,96 z zizrizr < 1,96 < 1,96

Nulta hipoteza Nulta hipoteza se prihvatase prihvata, razlika u težini nije značajna, razlika u težini nije značajna

2007/200839


Uticaj velićine uzorkaUticaj velićine uzorka I serija tabletaI serija tableta

σσ = 8,5 mg N = 75 x = 8,5 mg N = 75 xsrsr = 102 mg = 102 mg


602,3388,1

5

75

5,8

75

5,8

97102

NN

xxz

22

II

2II

I

2I

III

zz0,050,05= = ±± 1,96 1,96 z zizrizr > 1,96 > 1,96

Nulta hipoteza Nulta hipoteza se ne prihvatase ne prihvata, razlika u težini značajna, razlika u težini značajna

2007/200840

Jednostrani z-test za razliku između dve sr.vrednostiJednostrani z-test za razliku između dve sr.vrednosti

LevostraniLevostrani

HH00 : : µµ 1 1 - - µµ 2 2 ≥≥ 0 H 0 H11 : : µµ 1 1 - - µµ 2 2 < 0 < 0

HH00 : : µµ 1 1 ≥≥ µµ 2 2 H H11 : : µµ 1 1 < < µµ 2 2

HH00 se odbacuje kada je z se odbacuje kada je zizračunatoizračunato < – 1,645 < – 1,645

DesnostraniDesnostrani

HH00 : : µµ 1 1 - - µµ 2 2 ≤≤ 0 H 0 H11 : : µµ 1 1 - - µµ 2 2 > 0 > 0

HH00 : : µµ 1 1 ≤≤ µµ 2 2 H H11 : : µµ 1 1 > > µµ 2 2

HH00 se odbacuje kada je z se odbacuje kada je zizračunatoizračunato > 1,645 > 1,645

2007/200841

t-Test za razliku izmedju dve srednje vrednostit-Test za razliku izmedju dve srednje vrednosti

Testira se razlika izmedju srednjih vrednosti dve Testira se razlika izmedju srednjih vrednosti dve nezavisne populacijenezavisne populacije

PretpostavkePretpostavke

Obe populacije su normalno distribuiraneObe populacije su normalno distribuirane

PPopulacione standardne devijacije su nepoznateopulacione standardne devijacije su nepoznate

Izrazi za izračunavanje t zavise od broja podataka Izrazi za izračunavanje t zavise od broja podataka u grupamau grupama

2007/200842

t-Test za razliku izmedju dve srednje vrednostit-Test za razliku izmedju dve srednje vrednosti

1N

SdSd

xxt

22

21

21

Za NZa N11 = N = N22 = N = N

21

21

21

222

211

21

NN

NN

2NN

SdNSdN

xxt

Za NZa N11 N N22

2007/200843

t-test za dve srednje vrednostit-test za dve srednje vrednosti

kontrola 1 kontrola 2

146 152 149 145

140 149 153 146

151 147 149 148

148 145 145 147

144 142 149 151

145 150 150 154

142 146 152 143

141 153

x = 145,9 Sd = 3,68

x = 148,9 Sd = 3,31

kontrola 1kontrola 1

kontrola 2kontrola 2

sr.vrednost sr.vrednost uzorkauzorka

sr.vrednost sr.vrednost populacijepopulacije

sr.vrednost sr.vrednost uzorkauzorka

sr.vrednost sr.vrednost populacijepopulacije

2007/200844

Dvostrani t-test Dvostrani t-test

NN1 1 = 15, x= 15, xsr1sr1 = 145,9 mmol/L, Sd = 145,9 mmol/L, Sd11 = 3,86 mmol/L = 3,86 mmol/L

NN22 = 15, x = 15, xsr2sr2 = 148,9 mmol/L, Sd = 148,9 mmol/L, Sd22 = 3,31 mmol/l = 3,31 mmol/l

HH00: : µµ1 1 - - µµ22 = 0 = 0 ((HH00 : : µµ1 1 = = µµ22))

HH11: : µµ1 1 - - µµ22 ≠≠ 0 0 ((HH00 : : µµ1 1 ≠≠ µµ22))

αα 0 0,,05 05 φ = 15 + 15 - 2 = 28φ = 15 + 15 - 2 = 28

kritična vrednost tkritična vrednost t0,05, 0,05, φ=28φ=28 = 2,04 = 2,0488

208,2359,1

0,3

847,1

0,3

15'1

31,386,3

9,1489,145t

22

2007/200845

HH00 se ne prihvata, razlika je statistički značajna se ne prihvata, razlika je statistički značajna

ttizračunatoizračunato > 2,048 , p < 0,05 > 2,048 , p < 0,05

Dvostrani t-testDvostrani t-test

t = 2,208t = 2,208

t00 2,0482,048

0,0250,0250,0250,025

-2,048-2,048

region za odbacivanjeregion za odbacivanje region za odbacivanjeregion za odbacivanje

2007/200846

Jednostrani t-testJednostrani t-test

LevostraniLevostrani

HH00 : : µµ11 - - µµ22 ≥≥ 0 H 0 H11 : : µµ11 - - µµ22 < 0 < 0

HH00 : : µµ11 ≥≥ µµ22 H H11 : : µµ11 < < µµ22

HH00 se odbacuje kada je t se odbacuje kada je tizračunatoizračunato < – t < – t0,05,0,05,φφ

DesnostraniDesnostrani

HH00 : : µµ11 - - µµ22 ≤≤ 0 H 0 H11 : : µµ11 - - µµ22 > 0 > 0

HH00 : : µµ11 ≤≤ µµ22 H H11 : : µµ11 > > µµ22

HH00 se odbacuje kada je t se odbacuje kada je tizračunatoizračunato > t > t0,05, 0,05, φφ

2007/200847

Uticaj različitih faktoraUticaj različitih faktora

Na krajnji zaključak kod testiranja hipoteze utiču:Na krajnji zaključak kod testiranja hipoteze utiču: veličina razlike između srednjih vrednostiveličina razlike između srednjih vrednosti veličina uzorkaveličina uzorka varijacija (veličina standardne devijacije) u uzorkuvarijacija (veličina standardne devijacije) u uzorku

razlika između razlika između srednjih vrednostisrednjih vrednosti

veličina uzorkaveličina uzorka

Sd uzorkaSd uzorka

t-testt-test t t ++

++

2007/200848

Razlika između srednjih vrednostiRazlika između srednjih vrednosti

mala razlika između grupamala razlika između grupaNulta hipoteza se lako dokazujeNulta hipoteza se lako dokazuje

velika razlika između grupavelika razlika između grupaNulta hipoteza se teško dokazujeNulta hipoteza se teško dokazuje

2007/200849

Razlika između srednjih vrednostiRazlika između srednjih vrednosti

Što je razlika između srednjih vrednosti veća to je Što je razlika između srednjih vrednosti veća to je teže dokazati nultu hipotezuteže dokazati nultu hipotezu

Velika razlika između srednjih vrednosti daje Velika razlika između srednjih vrednosti daje veliku vrednost t (veću od kritične vrednosti za veliku vrednost t (veću od kritične vrednosti za izabrani nivo značajnosti)izabrani nivo značajnosti)

2007/200850

Veličina uzorkaVeličina uzorka

mali broj podataka u grupimali broj podataka u grupiNulta hipoteza se lako dokazujeNulta hipoteza se lako dokazuje

veliki broj podataka u grupiveliki broj podataka u grupiNulta hipoteza se teško dokazujeNulta hipoteza se teško dokazuje

2007/200851

Veličina uzorkaVeličina uzorka

Što je uzorak veći to je teže dokazati nultu Što je uzorak veći to je teže dokazati nultu hipotezuhipotezu

Veliki uzorak (veliko N) daje veliku vrednost t Veliki uzorak (veliko N) daje veliku vrednost t (veću od kritične vrednosti za izabrani nivo (veću od kritične vrednosti za izabrani nivo značajnosti)značajnosti)

2007/200852

Veličina standardne devijacijeVeličina standardne devijacije

velika varijacija unutar grupavelika varijacija unutar grupaNulta hipoteza se lako dokazujeNulta hipoteza se lako dokazuje

mala varijacija unutar grupamala varijacija unutar grupaNulta hipoteza se teško dokazujeNulta hipoteza se teško dokazuje

2007/200853

Veličina standardne devijacijeVeličina standardne devijacije

Što je veća standardna devijacija to je lakše Što je veća standardna devijacija to je lakše dokazati nultu hipotezudokazati nultu hipotezu

Velika standardna devijacija daje malu vrednost t Velika standardna devijacija daje malu vrednost t (manju od kritične vrednosti za izabrani nivo (manju od kritične vrednosti za izabrani nivo značajnosti)značajnosti)

2007/200854

t-Test za razliku izmedju parova vrednostit-Test za razliku izmedju parova vrednosti

N

Sdd

td

N

d

N

xxd

21

1N

dNdSd

22

d

Φ = N - 1Φ = N - 1

N - broj parovaN - broj parova

2007/200855

t-Test za razliku izmedju parova - primert-Test za razliku izmedju parova - primer

HH00 : d = 0 i H : d = 0 i H11 : d : d 0 0

α = 0,05 (dvostrani test) α = 0,05 (dvostrani test)

φ = 11φ = 11

tt0,05, φ = 110,05, φ = 11 = 2,201 = 2,201

915,1

12

2,26125,1

t

t < tt < t0,050,05 H H00 se prihvata se prihvata

razlika nije statistički značajnarazlika nije statistički značajna

2007/200856

t-test za proporcijut-test za proporciju

p - poželjno obeležje q - alternativno obeležjep - poželjno obeležje q - alternativno obeležje

NN11 = 400, = 400, pp11 = 40% snižene vrednosti, = 40% snižene vrednosti,

qq11 = 100 - 40 = 60% = 100 - 40 = 60%

NN22 = 210, = 210, pp22 = 30% snižene vrednosti, = 30% snižene vrednosti,

qq22 = 100 - 30 = 70% = 100 - 30 = 70%

2

22

1

11

21

N

qp

N

qp

ppt

2007/200857

t-test za proporcijut-test za proporciju

HH00: p: p1 1 - p- p22 = 0 (p = 0 (p1 1 = p= p22)) i i HH11: p: p1 1 - p- p22 0 (p 0 (p1 1 p p22))

α = 0α = 0,,05 05 φ = 608φ = 608

kritična vrednost tkritična vrednost t0,05, 0,05, φ = 608φ = 608 = 1,97 = 1,97

t > t0,05

H0 se odbacuje, razlika je statistički značajna

5,2

2107030

4006040

3040

t

6-z-test i t-test 2012

Documents