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GUSTAVO A. DUFFOUR

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Pitágoras

(Grecia, 569-475 a.C.)

 

Pitágoras es frecuentemente reconocido comoun matemático puro. Fue una persona muy importante para el desarrollo de la matemática de su tiempo,

aunque no se conoce nada directamente de susescritos, ya que la sociedad en que vivió –religiosacientífica– seguía códigos secretos que convirtieron a

Pitágoras en una figura misteriosa.Hoy en día se lo recuerda por su famoso

teorema, que aunque ya era conocido por los

 babilonios mil años antes, él fue el primero endemostrar.

Ante todo, Pitágoras fue un filósofo. Fundóuna escuela en la que cultivó su doctrina. Tuvo

muchos seguidores, que no tenían posesiones y eranvegetarianos. Ellos hicieron muchas contribuciones a

la matemática de su época.Es difícil, hoy en día, acostumbrados a las

abstracciones matemáticas y a las generalizaciones,

comprender las contribuciones de los pitagóricos. 

R. Dedekin K. WeierstrassG. Cantor

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MATEMÁTICA DE SEXTO

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postul os xiom s

 

Extraído de:Courant, R. y Robbins, H. (1979). 

¿Qué es la matemática?Madrid, Aguilar.

 

1 

NÚMEROS

REALES 

1 – NECESIDAD DELOS NÚMEROS REALES

No existe un número racional tal que

r 2=  

Se demuestra por el absurdo. Suponiendo queexisten dos enteros y primos entre sí, talque:

p2

q

  =   o sea, que

2p

2

2q

=  

p2 = 2*q

2 

 Así, debe ser par, lo que implica que

es par y, por lo tanto, tiene dos factores

. Entonces, debe ser par y también.

Pero esto es absurdo, pues se supusoque y eran primos entre sí.

La palabra  racional  proviene del latín

 ratio, que significa 'razón' o 'cociente', y se usapara aquellos números que pueden escribirsecomo cociente de dos enteros. Por tanto,aquellos números que no podían ser cociente de

dos enteros pasaron a llamarse  númerosirracionales. Los números racionales, ampliadoscon los irracionales, forman el conjunto de losnúmeros reales.

Véase Duffour, G.  Matemática de quinto 

«Introducción a los conjuntos numéricos» 

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GUSTAVO A. DUFFOUR

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(x y) x y

 

(x y) x y

2 – INTRODUCCIÓN

Existen dos enfoques diferentes para estudiar los números reales. Por un lado, elenfoque constructivista, que construye el conjunto de los números reales a partir de losracionales, estos a partir de los enteros, y los enteros a partir de los naturales. Por otro lado,se encuentra el enfoque axiomático. En este último, el concepto de número real es tomadocomo un concepto primitivo, que satisface un cierto número de propiedades que se tomancomo axiomas, y a partir de los cuales se desarrollan las consecuencias lógicascorrespondientes.

El sistema de los números reales puede describirse como un cuerpo ordenadocompleto. Sin embargo, para mayor claridad se prefiere no enunciar todas las propiedadesde los números reales a la vez. Por ello se agrupan los axiomas en tres grupos.

, en donde se presentan las propiedades algebraicas, llamadas

de cuerpo, basadas en las operaciones de suma y multiplicación. Postulan que el conjunto

de los números reales es un cuerpo.

, en donde sepresentan las propiedades de orden y algunasde sus consecuencias, junto con variasdesigualdades que ilustran el uso de estaspropiedades. Postulan que el conjunto de los

números reales es un cuerpo ordenado. 

o del extremosuperior, el cual permite decir que el conjunto

de los números reales es un cuerpo ordenadocompleto. Este último axioma es el que

verdaderamente distingue al cuerpo de losnúmeros reales del cuerpo de los númerosracionales (que también es un cuerpo ordenado,pero no completo).

3 – AXIOMAS DE CUERPOY PROPIEDADES

3.1. LOS AXIOMAS

Mediante este conjunto de axiomas sedefine la estructura algebraica básica de losnúmeros reales, de manera que las demáspropiedades pueden deducirse como teoremas.

Junto al conjunto de números reales se

definen axiomáticamente dos operaciones

llamadas adición y  multiplicación,

simbolizadas por y Para cada par de

números reales y , la adición

y la multiplicación .   dan por

resultado otro número real.

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MATEMÁTICA DE SEXTO

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 AXIOMA 1

Para todo y

En la suma:

En la multiplicación: . .  

Cualquiera sea el orden en que se consideran los números que intervienen en la sumao multiplicación se obtiene el mismo resultado. Expresado de otro modo, es posible cambiar(conmutar) el orden en que se consideran ambos números, sin que por ello se altere elresultado de la operación.

 AXIOMA 2

Para todo y

En la suma:

En la multiplicación: . . . . . . 

Lo cual significa que, en la suma o multiplicación de varios números, estos se puedenagrupar (asociar) de diversas maneras, sin que por ello se altere el resultado de laoperación.

 AXIOMA 3

Existe un número («cero perteneciente a los reales») tal que para todo se

cumple que:El neutro de la suma, sumado a un número antes (a la izquierda) o después (a la

derecha), resulta el propio número.

Existe un número («uno perteneciente a los reales») tal que para todo se

cumple que:El neutro de la multiplicación, multiplicado por un número antes (a la izquierda) o

después (a la derecha), resulta el propio número.

Usualmente, al neutro de la suma se le llama cero o nulo, mientras que al neutro del

producto se le llama unidad. 

 AXIOMA 4

Este axioma vincula a las dos operaciones y postula cómo estas interactúan. (Losaxiomas anteriores se refieren a cada operación por separado.)

Para todo y  

. . . . . . 

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, tanto a la izquierda como a laderecha de la igualdad. Una vez que se tiene la conmutativa, alcanza con que se cumpla ladistributiva a un lado para que también se cumpla la otra.