DE PSEUDO-HERONIANIS

Beronis sub nomine nonnullae ad nos pervenerunt oompi­lationes geometrioae, quas - partim iam anteil. publioi iurillfaotas - Bultsehiull a. 1864 in unum corpus redactas apparatueritioo verborumque indiee instruetas edidit. Initium Dune quidemfaeiunt nominum geometrioorum definitiones, quibull quae praeierant(cf. def. 122) nominum aritbmetioorum definitiones aetatem nontulerunt. Sequuntur in Bultschii editione reliqua seripta booordine disposita : 1. geometria, 2. geodaesia, 3. stereometriea T,4. stereometriea II, 5. mensurae, 6. liber geeponious. In ealceeditionis Didymi Alexandrini quae feruntur mensurae marmorumet lignorum additae sunt atque (anonymi variae ool1eotiones exBerone, Euelide, Gemino, Proclo, Anatolio aIiisque> confectlle etin codicibus continuo ad deflnitiones adscriptae. Atque ex (Bero­nianis> illis geometria et geodaesia agrmt de planis figuris, stereo"metrieorum duae collectiones de solidis eorporibus, mensurae etIiber geeponicus plana praebent oommixta oum solidis. Omnibushis compilationibus nonnullae insuper insertae sunt tabulae metro­logicae Beronis uomine et ipsae ornatae.

Ex his omnibus quomodo viri dooti proximo saeculo Beronis/l€TptKa eiusque in Euolidem commentarium studuerint reficere 1,

vix operae erit pretium hoo loco fusins enarrare, quoniam e oodi­oibul! panool! ante annos recuperatis 2 satis superque apparet illal!

1 Cf. iuprimis Martinum Reeherehes sur la 'Oie et les oUlJragesd/Heron d'Alexandrie Par. 1854, p. 98-238, Hultsohii prolegomenametrologicorum soriptorum editioni (1864) praemissa p. 13 sq., Cau­torem Die t'ömischen Agi'imensoren Leipz. 1875 p. 6-63 et V01'leltungenii.blw Geschichte der Mathematik 12 1894 p.361-378. De quibus duoteatque eleganter rettulit Tannerius Journal des Savants1903 p. 150-152.

2 eod. Cracov. 569 praebuit Anaritii in decem lihros prioreselementorum Enclidis commentarios ex latina Gherardi Cremonensisinterpretatione permllltis ornatos Heronis frustulis (Euclidis op. omnia.

De Pseudo-Beronianis 179

COnipilationes, etiamsi nonnullas exhibent metricorum paragraphosmagis miuusve accurate eXllcriptas 1, tamen ea necessitudine, quamautea sibi fiuxerunt viri docti, cum duobus illis operibus vereHeronianis minime esse coniunctas.

Gravissimas discrepantias, quae inter genuina iHa scriptaatque (Hultschiauas) ut ita dicam compilationes iuterceduut, iuuuo Hceat ponere oonspectu. Ac primum quidem de ipsis compu­tationum exemplis verba faciamus 2, deiude de defiuitionibus.

Demoustratur Merouis metricill, quomodo figuras geometricascorporaque stereometrica oporteat computare (lib. I et TI) et dataproportione dividere (lib. IIJ). Quamquam vero problemata itasemper disposita sunt, ut a facilioribus aptus fiat ad difficilioraprogressus, tamen non tironibus, sed magistris matheseos ea fuissedestipata ex eo inprimis intellegitur, quod demonetrationes geo·metricae et ipeae iuterdum perquam strictim propouuntnr et oumarithmeticis solutionibus' nonnumquam ratione couiuuctae sunt nonita perspicua. Hultschiauis vero illis compilationibus prorsus de­sunt demonstrationes, id qnod non mirabimur, si deliberaverimuseas aperte discipulorum in usum esse confectas vel technicorum,quibus magna facuHas talia percipiendi ueque praesto fnit uequenecessaria, dnmmodo arithmeticas formulas atque solutioues nume­ris quasi mechanice substitutis ad quodlibet possent exemplumadaptare. Alia quoque indicant Heronis metrica arti scholaequefnisse destinata, istas compilatioues vitae communi. In his euimetiam!li ueglectis meusurarum tabulis ad uuas spectamus compu­tationes geometl'icas, l'ationem invenimus praevalere metrologicam(cf. e. g. geom. c. 5, 4). Hero vero metricorum in iuitio (p. 6,4-7) expressis verbis profitetur: lva oliv p.~ Ka8' €KUO"Tl1V p.e­TPl1O"\V 1Tobw;; f} n~X€l<;; f} Ta T01JTWV /lEPTI OVO/lul:WP.EV, Enl/Jovubwv TOV<; apI8p.ov<; EK8T10"0/J€8a' EEov rap W);a<; npo<; ö

Supplem. ed. M. Curtze Lips. 1899), eod. Constant. 1 ipsa suppeditavitBeronis metriea (Beronis op vol. III ed. B. Sehoene Lips. 1903).

1 Cf. metro I 1 p. 1,3-9 "" geom. c. 2. 106. geod. c. 2, geep.e. 94 (desunt apud Heronem, quae de Aegyptiaca geometriac origiucalque de Nili iuundationibus his locisinserta sunt), metro I 2G p. GG,1-68, 1G "" geom. C. 100-103 (duo geometriae codices, quos Bultschiusadhibuit, et inter se et a metricis valde differunt rerum ordine multa­que inculcata habent ab Berone aliellissima), metro p. 90, G sq. ""meus.c. 46.

2 Tannerium hac in 1'0 partim seqno!'. Cf. Journal des Savants1~)03 p. 203 sq, Bu.Uet. (les sciences mathCmatiques 1903 p. 88.

180 Meier

ßOUA€TU( Tlt;; I1€TPOV urrori8€0'8U1. Aoeedit, quod variarum vitaeeommunis remm, quarum in eompilationibus stereometrieis per­saepe proponuntur dimensiolles 1, perraro atque obiter tantum fitmentio in metrieis 2.

Quare eorum opinio, qui illas eolleetiones credidernnt veladhuo credunt ab Herone originem duxisse atque temporum cursudemendo, interpolando, immutando esse depravatas, eo quod nunerecuperavimus genuino Heronis opere nullomodo eommendatur,immo unis innititur oodioum insoriptionibus subseriptionibusque,quibus quae vis 8it attribuenda postea videbimus.

lam ad definitiones transeamus. Quarum origo iam dudumviris dootis gravissimos sorupulos inieoit. Ao primus quidemFriedleinius ll eas Heroni abiudioavit, quia alia turbato ordineessent disposita, aHa inoonoinna diotione enarrata. Deinde Tanne­rius 4 postquam Anaritii in Enclidem commentarius ei innotuit,frustula vere Heroniana illi immixta ostendit ab ista oolleetioneplane diversa esse. Hultsehianis vero definitionibus eum nonnullainessant ad Posidonii Rhodii 5 Geminique doctrinam pertinentia,totum definitionum libellum ad Geminum rettulit atque e ratione,qua in eodicibuB definitioncs eum eolleotionibus' eopulat8.sesse supra notavi, totam istam congel'iem postell, in unum corpusoollegit redaotll,m esse. Cui viri praestantissimi opinioni Tittel~us 6

nonnuHis Procliani in Euolidem commentarii locis aOCUl'ate QumdefinitionibuB eollatis adeo firma substruxit fundamenta., ut facHecognosoas de hoc quoqne libello idem valere atque de reliquiecollectionibus Hultschianis: unienm argumentum, quo .quis fretusHeroni eum potest attribuere, in codicum inesse insoriptionibus.

De bac re quid sentiam priusquam ob oonlos ponam, pauoavidentur observanda, quae mea quidem opinione nos monent, nemam defiuitionum collectionem ab Herone cl'edamus originem

1 Cf. e. g. ster. II 10 (l<oAuIAßti9pa), 11 (q>pEap), 12 (l<oßn:a);mens. 10 (I-lE'iPl'jO"1<; oxebla<;) ete.

2 Cf. metro p. 90,4 sq.; 124, 14-126,8; 132, 138, 10--27,II De Heronis quae feruntur definitionibus Bulletino Boncmnpagni

1871,93 sq., inprimis p. 119-121.4 Geotlletrie Grecgue 1887 p. 177-81.l\ Hoo iam anteil. Tannerius observaverat: Mem. de la Bociete des

scienees de B01'deaU3J 1882 (IV) p. 161 aq.6 De Gemini stoici studiis tnuthe1naticis ql~aestiones philologue

dias. Lips. 1895 p. 59-62. Videas praeterea indicem in calce diaser­tationis additum.

Da Plleudo-Herimianill 181

duxisse. Nonnullll. enim artis vocabula, quae Heroni prorsuEl in­oognita sunt, et in definitionibus exhibentur et apud ProlllumoCllurrunt eisque inprimis locis, quos e Gemini 'lTEpi Tile; TWVlla9rUHltwv 9Ewpiae; opere manasse sanequam est probabiIe.Legimus def. 32: lltpie; M ~(jTI TO EAaTTov ~IlIKuKAiou 'lTEPIEXO­IJ.EVOV {mo EU9Eta<;; EAaTTovo<;; Tf\<;; <llaIJ.ETPOU Kat 'lTEpt<pEpEia<;;!lEtOVOC; ~/ltKUKAiOU. QuibullOllm oonforas der. 28, in qua apertequattuor hae figurae inter se discernuntur: 0\ AEyOIJ.EVOt TOllEt<;;TWV KUKAWV Kai Ta TJIJ.IKUKAIa Kai a\ <1 tp i bE<;; Kat Ta Ild~ova

TIJ.t1lJ.aTa TWV KUKAWV. Eadem fere apud Pl'oclum taxstautp. 163, 5 FriedL: TU ~1.l1KUKAta Kat TU TI.lYJ/AaTa Kai a\ &tpibec;,a~ ehllv lI/AtKUKAlWV EAa(jO"ovEC;. Hoc vocabulum apud Heronemnon invenies, quamquam iPSR notio non deest. cf. metro p. 72, 28.76,6 alibi. ram evolvas quaeso def. 38: O"Hq>aVl'} bE EO"TlTO 'lTepleXO/lEVOV (fxillia OmJ TWV Mo KUpTWV 'lTEplq>EpE1WV' nMo OAWV 'lTEpi TO aUTO K€VTPOV u'lTEpoxiI. .\pud Proolnm eo1000 quem motlo oitavi, habes p. 163, 12: ft (fHq>aVl'} ~ O'lTOTWV O/lOKEVTPWV KUKAWV Optl:O/lEVT]. Hero vero ad eandem figu­ram signilicandam verbo iT U c; utitur. of. pneum. p. 310, 9Sohm. autom. p. 392, 28. metro p. 68, 23. 160, 1. - Deniquedef.62 Tpa'lTEZ:oubfj vocantur a(fa /lTt EXE1 'lTapaAAfJAouc;'lTAEUpac;. cf. Prochtm p. 170, 5 sq. 2. Etiam boc vocabulumHeroni incognitum est, qui vootun Tpa'lTE~lOV adhibet non solumartiore ilIo quo nos solemus seDSU praeditam, scd etiam Euclidisdiotionem seoutus nonnumquam de quovis tetragono disserens.of. metro p. 40, 13. 44, 1 alibi s.

Nune da inscriptionum auctoritate erit disputandum. Ac deli­nitiones quidem atque geometria quomodo factum esset ut Heronisnomine omarentur, Tannerius 4 ita explioavit, ut conioeret hoc

1 Totam illam Procli disputationem, quae ad formarum geo­metricarum species spcctat (inprimis p. 163, 1-164, 6) ct Tittelius p.83et van Pesohius Be Procli {ontibu8 diss. Lugd. 1900 p. 10:1 Geminovindicant.

2 Cf. Tittelium p. 38.s Data oCCRsione commemoro etiam inter definitiones reliquaque

Hultschiana intercedere quaedam eius generis disorimina: ·'1".1Jl:t'll'€2:0EI0E<;

in his deest, alJ!{~ eodem sansu usurpatur atque flf.1Il<Ul<A10V, id quodsatis apparet e diametri altitudinisque mensuris: cf. geom. c. 92. 93.geep. c. 66. H9. Similia de nominibus quibusdam stel'eometricis Mar­tinus 1. 1. collcgit.

4 Cf. Geom. p. 179; Journ. des Sav. 1903 p. 208.

182 Meier

nomen antea partieulae tantum (seiliCllt de geornetria.e origine)appositurn postea ad totam eongeriem esse translatum. Quae ratioquamquam non displicet, tamen ve1'eor, ne talia magis fraudi quamlibrarii errori sint tribnenda. Pseudo-Diopbantea inspicias Rult­Ilebianis eompilationibussimllJima, quae Tannerius in Diophantieditione vol. JI p.15-31 publieiiuris feeit. De quibus bis ver­bis iudieavit vir doetissimus (proleg. p. V): <nemini lemma 610­q>aVTou fueum faeietj Heroniana bie habes in codice saee. XIVneo rneliora nee peioro. quam plurima IIultsehianae colleetionis'.Neque minus recte suspioatus est illud aAAO ßIßAiov, ad quodgeom. o. 101, 102. 2. 4 revoeamur, nil esse nisi aliam proble­matum geometricorum compilationem. Atque si teoum reputaveris,quamexigua nonnullis Byzantini aevl saecuIis notitio. fuerit atqueperiUa remm mo.thematicarum, non mi1'abe1'is, quod ad eommen­dandas leoturis empturisque eompilationes perqnam miselIas cu mDiophanti tum EucIidis Heronisque nomen potuit adbiberi. IpsiHultsebiano corpori nonIlulla insunt, quibus nullo iure·Et'Il(AEibouEu9uJ.lETp1Ka inscribitur (cf. geom. e. 105. geep. e. 165).

Quanta vero fuerit Byzantinorum ignorantia, luoulenter mea.quidem opinione patet e Pediasimi geometria a Friedleinio (Progr.Ansbach 1864) edita. Profiteiur ille tertii deoimi Ilaeculi lIcriptor(p. 7, 17 Fr.) se ad <Heronem' se applieasse. Atque ad prioremquidem libelIi partem, qua post definitiones quasdam geometrioasmetrologieasque (c. 1-9) figurarum planarum oontinentnr com­putationes (0. 10-43), Friedleinius frequentem adnotavit oumHultsehianis compilationibus eonsensum. Neque vero dillorepantiaedesunt eum ad formularum ratiouem 1 turn ad a.rtis voeabulorumpertineutes dilectum 2. Qua re eonsentaneum est Pediasimi doetri­nam non ex ipsis Hultsohianis, sed e similibus fluxisse oompi­lationibus, qua.e vel omnino perierunt vel adhne in codicibu8latitant. Altera parte Pediasimus (0. transit ad planasfiguras dividendas. Duas enim statuit geometriae partes, unamgeometriam artioresensu diotam, aJteram geodaesiam. Quasp. 7, 18-22 his verhis definivit: Kai "fap bi] Kai ~ Tne;; "fne;;KllTa/AETpl'}(lIe;; Eie;; Mo OtalpElTal, TEWJ.lETpiav TE q>i1/A1 KatTEwbatO"iav' n J.lEV Tap TOil t/lßaboil TEXVIKf] KaTa/lETPI1O"Ie;;/l€TPI1O"ie;; TE "ffje;; tO"T! Kai etKOTWC;; "fEWJ.lETpia Ka},ElTal, nbE TOO

aUToG Kai Evae;; xwpaq>iou .blavoJ.l11 rrpae;; blc:Xq>opa rrpocrwrra

1 Cf. Friedleinii adnotat. 96. 113.l3 Cf. Friedleinii adnot. 5. 8. 10. 18. 25. 44. 109.

De Pseudo-Heronianis 183

/-lEpl(j/-lOc; TE ~O'Tl yije;; Kal EIKOTWC;; YEwbatO'ia KaAElTm, baiw yapTO /-lEpiZ:w. Quam distinctionem Pediasimus sine dubio in Heronis,quem quidem sibi finxit, opere invenerat. Namque paulo anteHeronem laudavit, quod O'o<pwC;; cl/-lCL Kal O'Cl<pWC;; lTEpl TO\JTWVblhuO'KEl, eisque aperte opposuit, qui foedissime perturbassentartis vocabulornm rerumque ordinem (cf. p. 7, 4-15 Fr.). Iamsnbsistamus paulisper. Quod Friedleinius 1 demonstravit Pedia­simum in prioribus quidem capitibus bic illie etiam eum eo opus­eulo congruere, quod nomine YEW h Cl lO't CL ToD "HpwvoC;; ad nospervenit, elueet id exemplar, quod Byzantino illi scriptori fuitad manus, tali inscriptione non fnisse praeditum. Neque inutiledueo observare eompilationem ilIam <Heronianam' re vera in'codice Parisino 2428. y EW/.l ETP i a O'UV 8Etfl ToD "Hpwvoe;; esseinseriptam (cf. Hultsebii adnotationem p. 141). Hoc sane necesseest statuamus: eam "Hpwvoe;; YEwhUlO'lCLV, quam Pediasimus insuum ueum eonvertit, egisse de figuris dividendis.

Supra mOllui eius generis problemata Heronem metro lib. IIItractasse. Quod ipsum opus ne Pediasimumcredamus inspexisse,variis retinemur foedissimisque eius erroribus, quos Friedleiniuscastigavit 2• Immo perlustrata problematum apud utrumque rationepraefraete negaverim ullum unquam fuisse conexum inter Beronematque Pediasimi auctorern. Apud Alexandrinum enim mathemati­eum problemata semper fere ita sunt eomparata, ut data propor­tione divisio fiat in partes impares. Pediasimus autem id Bibiproposuit, ut partes - sive duae sunt sive pItues eandemhaberent aream. Aliud praesto est discrimen, e quo indagantibusnobis Pediasimi auetorem luminis aliquid videtur affulgere. Pedia­simus enim et in definienda geodaesiae notione (p. 8, 1) et nonrara in ipsis problematis (cf. p. 33, 29. 34, 19) duo apertediscernit divisionis genera, quorum altel'um fit dc;; Ö/.lOI00'X~/.lOva,

alterum EIe;; avO/.lOlOO'X~/.lOVCl. Talis distinctionis ne ullum quidemapud lleronem exstat vestigium. Sed Euclidem, qui hUUPEO'EWVßIßAiOV scripsit (cf. Cantorem <Vorles. 12 p. 272 sq.), hancl'ationem secutum esse Proelus testis est p. 144, 22-26 Fr.:KCl.t yap Ö KUKAOe;; Eie;; aVO/-lOlCl. Ttfl AOYlV KCLt EKaO'TOV TWVElJeuypU/.l/.lWV hlUlpETOV €O'TIV, Ö KCl.t lllhoe;; Ö O'T 0 lX E1WT~ c;€V Tale;; blCLlpEO'EO'l lTPCLII!ClTEUETal TO /.lEV Elt; O/-lOlClTl1. ho8EVTCL O'XiJ~Cl.TCL hlCLlpWV, TO hE ett; avo-

1 Praeter singulos looos cf. quae Friedleinius notavit proleg. p. 5.2 Vox TEwbawia omnino Heroni inoognHa est.

184 Meier De Pseudo-Heronianis

J.lO ta 1. Huie quam inter Euelidem atque Pediasimi auetoremstatuimus similitudini alteram licet addere ex eis Euelidis fru­stuUs, quae Woepkius 2 ex Arabico codice edidit. Etenhn ad­modnm est probabile Euelidem quoque hoo inprimis studuisse utin aequas partes divideret figuras. Quae eum ita sint, dupliei illoquem detexi oonsensu innisus non vereol' statnere eompilationemHeronis nomine inscriptam, e qua Pediasimus sua hausit, etiamsifortasse non meram servavit Euolidis doctrinam, tamen quadamneeessitudine eum eil, fuisse coniunotam.

Quoniam igitur hae quoque re satis demonstratum est By­zantinorum aetate nomina summorum qui antea floruerunt ma­thematicorum plane pro lubidine quibusvill libris esse praefixa,quill. genuinis operibus perquam oblitteratis nullum fere fuit peri­culum, ne traus detegeretur, non iam eodieum inlleriptionibusretinemur, quominus omnia Hultsehiana Heroni abiudieemus. Quarede Herone qui instituunt quaestiones, e08 omnes istas eompila­tiones oportet proeul hahere.

Liplliae. Rudolphus Meier.

1 Neque enim ambiguUlll est, quin ProcH verba 1I1J.0HI. et dVOIJ.OHleodem sensu sint accipienda atque Pediasimi vocabula, quae modoattuli. Falsam priorum interpretationem recte refutavit HeibergiusLitterargesch. Studien übel' Euklid Leipz. 1882, p. 14.

11 Journal Asiatique 1851 p. 233 sq. Cf. praeterea Cantorem Vor­lesungen 12 p. 272.