708_mekanika teknik dinamika jilid 2
TRANSCRIPT
ffiItshnrnrho.hhnlh
ENGII,.IEERING NiECHANICS: DT VE MICS I ST, SI EO,
D lrY;\ lrJji(/,
#,df.
#'r;*t .,1
I>luggz'oN Idvxl BtoSSuvBUB{B[''opullpquard Jd
UTI-IETIgIH 'f, 'U
IS ISIqg
DzltutDu!(I
:=: :{aF:
+==-:
XINXflI YXINYXflHI
Mekanika Teknik: DinamikaJudul AsliEngineering Mechanics: Dynamics SI Edition,
Konversi ke SI oleh S.C Fan
Alihbahasa: Dra. Lea Prasetio M.Sc
Penyunting Bahasa: Pumomo Wahyu Indarto
Manajer Penerbitan: Kosasih Iskandarsyah
Editor Produksi: Agus Widyantoro
by R.C Hibbeler.
L
Pte Ltd..
Edisi Indonesia
O 1999. pada Simon & Schuster (Asia) Pte Ltd
Perpu.rnkaurt Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT,
iHibb;eleft-R.CI lteXanika teknik : Dinanika/ ?. I :-:..ier ; alihr bahasa Lea Prasetio,-Jakarta : i:=:.:.. Irndo, 1998. 2
i jrf. ; 11,5 x 25 cm.
Judul aslr : Engineerlng Me..a:-::s : Dynamics SlI ludul asl i : Eng rneeri ng Me --:. =.:.: I j :
lSBll 9?q-8901-72-X (no.lrl -::.r::=.lsBr'J 979-8901-73-8 (ji1. 1,
I lsBN 919-8947-14-6 (jir.2;1. Stal-ika. I. Judul . II. P:e.s--::J, Lea
532
Authorizecl translation from En_elish langua_ee edition published by Prentice Hall Inc.
Copyri,eht O1997 Simon & Schuster (Asia) Pte Ltd.
All rights reserved. No part of this book mav be reproduced or transmitted in any tbrm or br rtnrrncans. electronics or mechirnicirl including photocopying. recording orby any infbrmation stora-ge retrieval system without pernrission in $'ritins trom the publisher.
Terjemahan resmr dari edisi bahasa Inggris yang diterbitkan oleh Prentice-Hall Inc.
CopyrightsO 1997 .Sirnon & Schuster (Asia) Pte Ltd
Hak Cipte clilindungi uncian{-undang. Dilarang rnemperbanyak atau memindahkan sebaeian atau
seluruh isi buku dalarrr bentuk apapun. secara elektronis maupun mekanis. termasuk rremfo-tokopi. n.rerekam, atau dengan teknik perekaman lainnya tanpa izin tertulis dari penerbit.
ISBN 919-8901-'12-X (udulrsBN 919-890t-'71-6 (iilid 2)
lengkap)
l0I 8 7 6 5 4 3 2 I
Modiflkasi Gambar dan Tataletak: SUCIDicetak di Inclonesia oleh Percetakan PT
I otrLIK Ii E...i"u ['erpu,,t'll'aao I
(OMl st i l'i,1';r:r .i rtra ',l .,..+r I
---
JIkrar Mendiri Abadi^* *",jf
'7ta/arr/r/nz
PSCYIiL T.,1, ::'-l I
D{.unu,qDwaw lnrunDlurrallp lodop 3uo{ uoqoto7uad unpJaqwau
uop )tlqal Drytuulary opod louttu n)Dtaalu?tDlD tltl o{tot1 ouqoq uodotoq uo7uap
,VfuISISYHYN VUVI XNJNN
,
uEleosrad slsg Iedsu Bped uurluqred uullusnu,rau urutuetues n1:ed 3uu,(
utBp uE{srlnuau {nlun uPESurqel lunqueu u/r\srsur{Errr'n1r uu>1n1ulaur ueSu
-eq 'uru.r8urp qunqes ruquuSSueur uplqnlnquau rlsud und edu .rnpasord
ruplup BuulJed qu13uu1 e,(uusel'1eq ry,(uuq u?lBC 'luos ue{quroueu Inl-un r.rrpues B{ereu rnpaso.rd uu>lSuequreSueur qedep E,rsrsuquut ulud uluru'l{lllulp qulat dnlnc 3uu,( uerelrued uup rrrp ufecred usur uBp rusunlrpqu1e1 Surluad 3uu,{ drsurrd rlulos B/t\quq rtueqedrp snreq 'unuruN 'e,(u1r.r
-erunu uudu.rel sulaftedtueu .re3u selSur.rrp 8ue,( upoleu uuluunSSueuue8uep uelrusalosrp lr?os r.{oluoc 'nlnqepra] ISIpa ulelpp rl.redeg 'nlr rioet
ueldu.reuetu elrle{ rlnlrrp Inlun rnlerol uup sr3o1 3uu,( epoleu uup uuqeq
uuseq8urr nulu 3uuln uunu[ull uu8uap s/t\slsBqetu u-red r1e>lequrau Inlun tur
nlnq uur8eq ry,(uuq lqle uur8eqrp uu{rraqrp ..srsrluuu .rnposo.rd,, nlunS'8uu1up uule 8ue,( 3uu1n uunulurl uup uuncu Inlun
reludrp IEue rur nlnq lenqueu Inlun uep 'nruq desuol nulu rstur;ep durlDlnsur.ueu Inlun rnllnJlsrel 8ue,( Bpolau uulr[-u,(uau Inlun qulBpB u,{upns
-{BI{ 'luqel lulecrp 3ue,( lnpnf qelo ue>plu,(urp 8uu,( uulndunlqns lpuluaurnlerp uur8uq durl urulep lnpnf 'qurunJ uuufreled luos uulndunles uup 'req-ure8 rdu13ue1p 3uu,( leos qoluoc 'nluauel gnpnl-1npnl uusulelued rsrroq qrl-rdrel Eue,( uer8eq-uer8uq uulndurny '1rcq ue8uep ueldetelrp 3uu,( uur8eq
-uur8eq rpelueru unsnsrp qeq derl IsI uBlBrlapuad uup uuunsns'uu1du.re1rp
E{rue{eu uuuuesred Elrlo) UBIUB{elrp Jot)e^ ueuodurol 1n1un uu1n18uus
-req 8uu( upuul rsua^uol uBp loooc 8uu,( leurprool ualsls qrllureu u,(u8url-uad uup'seqeq - epueq rue;8erp reqruuSSueu {nlun uellleqtp tunl 8uu,(
ueuelaued 'n1.rad uuuurrp :uurus dulel rur nlnq rJrc 'untueN 'nlueuel ]€ru-r1u1 eped qrual Biuces €tuI-EtEI ueeunS3uad ue8uap rltuq:edrp qulel lnp-nl 1e,(ueq uesulelued 'e8n1 'n.ruq leos-leos ue8uep ltuu8rp qulat urul 3uu,(
udereqeq uup quqnrp qelel qoluoc udureqeq 'uulSueqtuelrp qe1e1 lnpnt'ede;eqeq uurcurJ 'uures 3ue,( uulnrn uu8uep delel rur nlnq Isl undnu1e11
'srsrleue uped qrle-qr1e ue8uecuu.r eped uelue>1au
-eur 8ue,( Iuos-luos qrpuetu ledep Suure>1es lele8ued uep 'leos uBqucatu
-ed ue1r1nse1 lelurap uelep senl qtqel 3uu,( ISBIJU^ ISIJeq u8nl luos uulnd-tun) 'sule{ rp suqeqrp 3ue,( desuol 1un>pedureu ludup rulu8ued uSSurqes
'uruus 8uu,( ruqure8 e1 nce8ueur pos rcSeqreq 'r1e13ur.reg 'uulSuuqruelrp
4e,(uuq qe1el lpos-pos uulndurnl 'e3n1 'nluegal uequq Suelue] rurequd
-rp r{Epnlu uep InsrlueJ qtqal 3ue,( uurge8uad ucuqued urud eped Iraqruetu
{nlun BuJE^\ BIeuBJeq Euu,( uerfe,(ued ue8uep lun4radtp qu1e1 tuas u,fue1
e^\r.leq leqrleu uB{E Elntu-Blnu Buel 8ue,( rur nlnq IB{Bued 'qnln1 a1 rsrpe
mdrues iur nlnq uped ueln>1ellp qBlel stueueu snrel 3uu,( uBIIBqred'srlnuad u^rsrseqer.u ured e8n[ uup relu8ued tsego.rd uup nlnq nulurued
snleJas uep qrqel UBJES uep ueduSSutl qelo Inlueqrp qulel rur n{nq luscq
uer8eqes EuerBI'urpues eLrelaq {epD rlu)eseues srlnued rur uuruses rudec
-ueu Inlun 'du13ue1 uup sulel Euu,( Iru>Iol B{ruuleur uudu.rel uup uoel uurl'
-e(uad uu8uep B/rtsrsequr.u erud rdelSueleu qulepe IUI n)nq urueln uuntn;
Ir
,
Dt04Dtd
7
VI PR-\K.\TA
serta geometrinya yang bersangkutan. Jika langkah ini dilakukan densan
betul, penerapan persamaan mekanika yang penting rnenjadi sekedar ne-nuruti metoda, karena data dapat langsung diambil dari diagram. Langkahini terutama penting ketika memecahkan soal yang menyangkut kesetim-
bangan, dan karena alasan ini, menggambar diagram benda-bebas sangrt Lrditekankan di seluruh buku ini.
Karena matematika merupakan alat yang sistematis dalam menerapkanprinsip mekanika, mahasiswa diharapkan mempunyai pengetahuan aualtentang aljabar, geometri, trigonometri dan untuk penguasaan yang leng-kap, sedikit kalkulus. Analisa vektor dimasukkan di bagian-bagian di mana
ia paling berguna. Penggunaannya seringkali merupakan sarana yang mu-
dah untuk menyajikan penurunan teori tertentu secara ringkas, dan me-
mungkinkan solusi sistematik yang mudah untuk banyak soal tiga dimensiyang rumit. Kadang-kadang, contoh soal dipecahkan dengan menggunakan
lebih dari satu metoda analisis agar mahasiswa mengembangkan kemam-puan untuk menggunakan matematika sebagai alat dengan mana pemeca-
hern soal apapun dapat dilakukan dengan cara yang paling langsun-e dan
ef'ektif.
Soal-soal. Banyak soal dalam buku ini rnenggambarkan situasi yang real-istik yang di1umpai dalam praktek teknik. Diharapkan bahwa kenyataan iniakan merangsang minat mahasiswa terhadap mekanika teknik dan meru-pakan alat untuk mengembangkan ketrampilan dalam menurunkan soal
semacam itu dari gambaran fisisnya nrenjadi rnodel atau sajian simbolik dimana prinsip-prinsip mekanika dapat diterapkan. Seperti dalam edisi ter-
dahulu, suatu upaya telah dilakukan untuk mencakup beberapa soal yang
dapat dipecahkan dengan rnenggunakan prosedur numerik ytrng dilaksa-nakan baik dengan komputer desktop maupun dengan kalkulator saku yang
dapat diprogram. Teknik nurnerik yang cocok bersama dengan programkomputer yang terkait diberikan di Lampiran B. Tu.iuannya adalah untukmemperluas kemampuan mahasiswa dalam menggunakan bentuk analisismatematika yang lain tanpa mengorbankan waktu yang dibutuhkan untukmemusatkan pelhatian pada penerapan prinsip-prinsip mekanika. Soal-soaljenis ini yang dapat atau harus dipecahkan dengan rnenggunakan prosedur
numerik ditandai dengan simbol "bujursangkar" (r) sebelurn nomor soal
itu.Di seluruh buku ini satuan SI digunakan untuk semua soal. Selanjutnya"
dalam tiap kumpulan, upaya telah dilakukan untuk menyusun soal-soal
dengan ututan kesulitan yang membesar.i' Jawaban semua soal kecuali tiapsoal keempat ditarnpilkan di bagian akhir buku. Untuk membcritahu peng-guna bahwa soal tersebut tanpa jawaban diberikan tanda asterisk ('r)sebelum nomor soal.'r' Soal-soal ulangan, bila mereka muncul, disajikandallm urutan yang acak.
l^* Soal-soal ulangan. bila mereka muncul, disajikan dalam urutan yang ilcak.
clDutS :IIuIaI u{IuuIahJ Isr Uuludnratu rUl uulnrn ueiuJp rlLuuuad quq sqaqJssX+
releqqrH sal,rBrIJ Ilessnu
'uelllqrelrp Intun rur qE)sBu uBldur,{ueLu
e,{ES eruules ',(uuo3 'e,(us rrolsr uenlueq sult' qlsuluul.tal.teq ut8ut u,(us 'e,{u
{frplV'rul euuu uduel ucuS.req8uad uuueuetu uuualJeq 'uunluuq uelueq-tuatu qelel 8uu,{ eders8uureq e/\\I{Eq uulduruqrp 'uullnqesrp Intun Suuluud
n1u1.re1 u,(u-ru11up BUoJB) 'Ela.rotu uuduSSuet uup uules uu-.1rudtuu,{ucur 1n1-un nue,/y\ uu)ucqueu uleJ slns ereces 3uu,{ nrnS rselo-rd u1o33uu epude>1
uep u,{us €,rsrsuqeu enures uped uu>lruduesrp e8nl qrsuluruual 1u,(ueg'u,{uuuSunlnp uup
uuntueq 1nlun ,{.reuo8tuontr lp ,{lrsrenrun uJnqnv ''lf'llepl'I IplA .roso.+o.rd
epedel uuluaqrp e8nl snsnql 8ue,( qrsulurur.rel uuduon 'rur rsrpa ruulr?p
uu:edreg 3uu( 3ue1n nulurued unures uped qrsulurur.relieq ur8ur e,(es 'sns
-nq>l urucos 'uS.ruqraq lu8uus 3uu,( Bleretu uedeSSuut uup ul?r?s sr?tp qrsul-ururrouoq ur8ur u,{us uup u,(uuu3uequ.raSued urelep Suoloueur qulet 8uu-ro
1e,(ueq unqel-unquueg '.rel'e3ued undneu u,tstsequu lu{tueu lut nlnqreSe rur nlnq srlnuaru su.le1 elieleq qulat u,(ug .tIIsB{BtulJaI uBdBJn
'uruI qerlnl-qulln{ urslup suquqrp el BIIq resup drsur.rd-drsurrd Intun locor 3uu,{ uuncu
uelednreur rur 1nfuul 8uu,( ueqeq 'u{rluls urelep rpedes unupN 'uulruq
-urp tudup uep (x) Suulurq qalo rupuullp resep e)rueulp r{ullnl dn13ur1
renl rp duSSuurp 3uu,( rur nlnq uer8uq-uut8ug 'uu1n1.redrp 3uu,( u)rluuretuur3uu1u1eq.rulu1 rlrptuetu e,rsrsequu ultl uu>1uges1n1rrp ludup ( ue.rele8)
ZZqe1 'lZ uup 0Z qug tuelep seqpqrp Sutseru-Sursuul tur uulura8 e)rteutluup l?{rluueul) 'rlEIIn{ uelup uuryeduesrp tedup lsuetutp e8rl -ru8el upuaq
uulureS dnlucuetu 3uu,( uequq uduraqeq 'uu>lutlt8ueut nllu,r ullg'(unlueuour uup slndrur) 6l uup gl
qug uup '(r3.raue uep u[re1) 8 l uup r l qsg '(uu1u-ra8 uuutuusled) 1 uup t lqug'(e>lrtuuraul)t) 9l uup ZI qEg :uu8unquruursel uu8uupqel uduur 1n1uequelnrn ue8uep lnlullp tudup 61 ruduus U qug,'uelut8utrp uIrI rur quq
-quq Inlun luos-luos uulndunl 3uu1n uenulurl uep uesulSut: uu8uep unlup'(unlueruou uup slndurr) 6l qeg uep '(r8reue uep uqesn) 8 t qvg '(uulule8uueuesrad) L I qeg '(Suuprq ulrluureurl) g l qug :Sueptq uelup.re8el upueq
uulere8 )ntun ue)rreqp ednres 8uu.( uerle,(ued uuln-r6 'upeqreq 3uu,(
leos srual' qelunles uulr{Bcetueu uup Isu{Ultuapr8ueur 1nlun ueleduteseluaqrp E,r\srsequtu uep .,3uu1n uenefull,, uelSeq uepp sulSuurp uerpnuel
Iul qeq ludruee>1 uulup Suunpel 8ue,( 1e>1nrud e{Itueulp dasuo;,1 (unlueu-oru uep slndur) gl qeg-uep'(r3.raue uup equsn) rl qug'(uu1u-re3 uueur
-es.rad) tl qug rp lelrged elrleuDl uesuqequrad pn{llp'zl qug Ip sEqeqrp
lalrued Elnetueurl 'snsnel BJucaS '+ quq I ; rpeluau r8eqrp rur nlng 'lsl
xt,\xIr nlNv)tahl
;
!!^
\
Daftar Isi
t7
Kinetika Planar Benda Tegar: Gaya dan Percepatan 3
B
17.1 Momen Inersia17.2 Persamaan Gerakan Kinetika Planar
17.3 Persamaan Gerakan: Translasi
3
T7
z0
17.4.Persamaan Gerakan: Rotasi Mengelilingi Sumbu Tetap3l17.5 Persamaan Gerakan: Gerakan Bidang Umum 45
18
Kinetika Planar Benda Tegar: Kerja dan Energi
18.1 Energi Kinetik18.2 Kerja sebuah Gaya18.3 Kerja sebuah Kopel18.4 Prinsip Kerja dan Energi18.5 Kekekalan Energi
596263
6477
t9
Kinetika Planar Benda Tegar: Impuls dan Momentum
19.1 Momentum Linear dan Angular19.2 Prinsip Impuls dan Momentum19.3 Kekekalan Momentum19.4 Timbukan Miring
Tiniauan Ulanqan 2
Kinematika dan Kinetika Planar Sebuah Benda Tegar 122
89
89
94108
l12
7,,,8SU
uBqB^rBf
rol{e^ slsllBuv
6rT,
Jrelnduox uBp {lreurnN slsllBuY
}
Lnz
B
sllBruelBtrAl uBBruBsJed
V
tvzLTZ
9EZ
0tzvzzITZ
\TZ
{lr}sl-I uurc{8uug Sopuy 9'17so{sr^ rusperal us{Pd veJvle9 9'zz
soISrA ruuparel{uJ sPqag rserqt[ v' zzrnupersl{uJ u$IEd uerule9 E'zz
tE;eug epot.INZ'ZZusporel{uJ suqe8 uvfi]39 l' zz
uBJBlec
EOZ
L6T
98r8LI9LIL9I
L9t
,,CL
rsroJ seqeg uu)TureD 9'Izdo4sor,(g uu{Ereg S'IZ
uu{EJeD uuuluusJed ?'Iz{llouly 1?lrugE'17
.ruln8uy urntueluohtr Z' I ZersJeur rl3{ Irsuq wp uewow I'Iz
rBBeI Bpuag rsueul(I BEII B{lleulx
IZ
ssl rsulou uep rsulsuu{nquns uu1eunE8ue141 uuEuep JIluleU uu{uraC sIsITuuV ?'02
gf I lunIIIo ue{Erec E'02
Zf l -rssrod rselsueruag Euu,( urelsrs uup du1e1Euu,( ue1sr5Lrcp rn:{nrq 3ue.i nrry16 dupuq;a1rot{e1 qunqos uuunrnJ Z'02
6tr
6€I
deteJ >1p1; dupuqret Isetog I'02
rBBeI Bpuefl Isuerul( UEII B{lterrreuly;
xt)Ill\)gl- V)IIN\|XEh{
OZ
E{IuIBulc
,
Guyu-guyu yang bekerja pada pesauat
ini-pada waktu mendarat cukup pelik
dan harus diperhitungkan pada saal per-
ancangan strukturnya. Dalam bab ini
kita akan membahas da:ar-dasar dina-
mika yang tercakup dalam analisis ini'
T^
rucp cpuaq qunqas rsueurp uB' uur,Jaa BpBd uurcunarp rur uu.ruseg J&:lF,,f';1t1,:f iJi:il: 'lDulpJool uelsrs nlDns duputlJal Dpueq ussuru ulaurs uu{ntuauou SuDA'r.nBl npuaq uDJusag +
(r-rr)wprl"'t = 1
rlBlBpB 2 nqurns depeqral epueq ersJeur ueuoIAI 'I-l t ruquuCrp uullnlunilp 8uu,( .re8e1 upueq uulneq.red 'qoluoc reBuqeg *'ntl ep
ueq Inluaqueu 3uu,( ,r/p ussulu ueurele entuas IrBp nquns qunqcs dupeqlal
unpal uoruoru, "gr3Lyf $!IEs Dlstam
"?-:lu uoilslu rsrurrepuetrl Blr)
dBpuq-rel cpucq rsul?lsrsa.r ueJnIn uel-eanrau rriiaar ;G;q ru"A"a Ca I ; N )otiEii;n;i Dd a il ;i@upatup[r,qrsuelsrser uurnln qeppe T1staifiSfrdiu'ue8urpuuqled re8uqeg ersEili
-usred qelo ue4ppueltp fiOSIP
B^\qeq Z'll qeqqns tp ue41nluntrp uqalo rnterp uEp
uelqeq-a^nau iudup 111j11-n nt rp uu8uolodieq1ur) uCjn>tubluou EuEfitil't .-u,(uFruatsrs 'nlueual uulnIn uep )nluaq te,(undueru Bpueq qenqes EUaJB)
V
l-,.r'..t '.i.i, ii.-:
I
t- ,.,, -{-"
i
..," r,,,, ,'i
,,.,,,1.,,1i ,,-
YISUSNI NflIAIOW I'TI'tZ qug lp utrltl'
-esrp'srJleurs >1e1 .ru8e1 epueq rcuu1d uele;e8 dn>lucuaru 8uu,{ 'rsuaurp e8rl
ru8el epuaq BlrtouDl Suutue] tlunJ qlqel 3ue,( rpnlg '.ncno1d oyqaury dn1no
nulu ruueld uelere8 BIneuDl re8uges IBueIIp tur uuluraS-uu>1e.re8 ellleutlrpnls 'untun Sueprq ue>1ele8 e,(u.rrq1e uep 'delel 8ue,( nqutns dupuq;e1 rsul
-or le8el Bpueq rselsuu.q upud lgrsads leos-leos qnlun uu>lde.tellp u€Ipnu-oI rur uuuruesred-uueuesred 'uolleqlp II{euIs re8et epueq Inlun tuntun
e-reces Sueprq uulure8 ueuuesred ueunrnued 'ruf qepnses 'EISJeut ueluouuu{Br.u?urp 8ue,( epueq uuJBSeq uulyeueltedurau uu8uep Islnurlp Iul qeg'duur 3ue{ uarun ue8uep uu4lesrp UBIB lur quq tuBIEp re8el upueq u4leu-q Suuluat rpnls 'unun 3uu,( Sueprq uulu;e8 uup 'du1et 3uu,{ nquns dup
-BqJel rsElor'rselsuEJl 'nlrc,( 'ququrugeq 3uu,( uBlIInseI telSurl uelnln uuSu
-ep uulrlesrp.re8al upueq reuuld uule.re8 ulrleuaurl 'nlnqupJet quq uepq
NYIYdflJUfld T{YO YAYO :UYOSJ,
YONIEfl UYNVTd YXIIflNIIX
LT
4 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
Gambar 17-l
Di sini']9!gg!-ggrng!_t_qdabhjqq!_!Cg_&Ergs_CAq sumbu ke elemen
c3l-Lyr'$-Lada-b+!e!g, I-q\cn beqqr, \arqn_a_!ata4g r"nq{rtptrlygilepih-!a;
.nyak mas+ vang te lebrb_jg4_{+11s.gmbu. Dalam studi kinetikaplanqr,-sumbu un S ifasanJa dipilf_ryg-lalui pusat massaTenda-Ga:rr:S@r-19g$fgry: b i dan g g.erak an. M_o me n i ne rs i a y an g_ d i hi t u lg.r er-
Eary gfq11-@E[:@ffiarl ]g6asai IG Ingatrat 6-.iiffiTi."ni7 ai-kuadratkan di Pers. l7-1, maka momen in?isia massa selalu merupakanbesaran vang positif. lqtga! yqlg Liaq-ary"e-dip,ekg1g1tu! qklral_lni a(-q!ahkg.,r'
PROSEDUR UNTUK ANALISIS
Dalam pembahasan ini, kita hanya akan memperhatikan benda-bendasimetri yang mempunyai permukaan yang dibentuk dengan memutar se-buah kurva mengelilingi suatu sumbu. Contoh benda semacam itu untukvolume perputaran dibentuk terhadap sumbu z ditunjukkan di Gambar17-2. Ilka benda terdiri dari bahan yang mempunyai kerapatan yangberubah, p = p (.r, -y, z), maka elemen mass4 4hrd4r'Lfugnda dapat dinya-takan dalam kerapatan dan volumc sebagai hm = e dV.fDengan mensub-stitusi dn ke dalam Pers. l7-1. maka ,noiffi-inGEia dihirung denganmenggunakan elemen volume untuk integrasi; yaitu,
Dalam kasus khusus o rnungkin konstan, suku ini dapat dikeluarkan dariintegral dan integrasi selanjutnya adalah murni fungsi geometri,
-A:r,* I,-* .,
Va";
(17 -2)
( I 7-3)
Bila elemen volume yang dipilih untuk integrasi mempunyai di-mensi yang sangat kecil dalam ketiga arah, yaitu, dV = dx dy dz,, Gam-bar 11-2a, maka momen inersia benda harus dihitung dengan menggu-nakan "integrasi lipat tiga". Namun, proses integrasi dapat disederhana.kan menjadi integrasi tunggal andaikan elemen volume yang dipilihmempunyai ukuran atau ketebalan kecil hanya dalam satu arah.Elemgnkulit atau piringan seringkali digunakan untuk tujuan ini.
|ejDgIg1L{: [g.t,u gry-us men eentbng,! qil ai _1_ berbedailairk TEF-
.sg[J_q!€l_ef@aapnvqryg*A.in,qrsi+9,i,ttUlgS,g_QUqr.c_o.tlrg[:jif asumbl_bJ:rimpit deng4n _s_qryrb_u lqngttqdinal sebuah batang yangramping, /gkan kqcr! karena r adalah kecil qntu\ tiaf- elemEn baiang. lita rr*E, t -
f/
I i-,'1 '' .;, 1;._
I
'.,,'' \ )- \ .. i
ucp cpuaq qenqas rsuau1p uarr ucruraa upcd uu4eun3rp rur uEruseg J'1:ff,13fitil:XtiJiEil:'tDurpJool ualsrs nlBns depBtllel Epuaq PssEtu ulauls uBlnlueustu due^'ulDl npuaq uulDsaS ,.
(r-rr)wprl"'l = 1
qulepe 2 nqurns dupeqlat Bpuaq EISJeut uotuolN 'l -L I ruqutuD
rp uullnluntrp 3uu,( ;e8et upueq ue>;neq.red 'qoluoc re8uqag ,r'ntl BP
uaq Inlueqrueu SuuX wp Bssvw uauale Bntuas lrep nquns qunqcs dupuq.ret
.,un pol ua urour,, Ie:3et yf Ig-8lge1_?t s r a1!:1w c,t u {I I s I lUegu eii:1}--
uDt0dailacl oBpeq.tel. epueq rsuElsrse.l uB.rnln UBI _ Jgg-:gl- [email protected] u ernln uu1
-udn.reru ijisza e,(uruu ureaei f pl = wX DliSuo utiAht;AffiffiA -uanreru ijirz ;G;q qraae; 1n1 ; w) / D ti 3 u o u; tzaht ;A?Ff;ffiiiffi|rsuetsrsar uernln \eppe Tisr;ui- u;milL'uu8urpueq.rad ru8uqag e-iljilii
-esred qelo uBIIIBpuaIIpe^\qeq Z'LI qBqqns rp ue4lnlunltp UEIV
t I qug rp suqeqrp uulu.ra8 GElSilEiiladsy irsui6laq ucp rselsu-e.rueq upuSq
u n1{eqtfue ru ledup ( 1 1r p nrei r p- u e 3 u orodieq le 1 ; u i.r n1 uo}ii ou Ifi Ef Fill
;,teFffi'ntueuet uuJn)n uBp Inlueq re,(unduau upueg qunges euere)
Y1.,,\"r-,i\]
I \,t{ t.l 1;ir I
YISUflNI NgWOI^I I''I'tZ qeg tp uu{tl.
-Esrp 'sutaurs 1q .re8a1 epuaq ruueld ue>1ere8 dnlecuaut 3ue,( 'rsueutp e8tl
ru8el epueq qrteupl Sueluet llrunJ qlqel 3uu,( rpnl5 '.tourt1d tt74aun1 dn4no
nulu reuuld uulere8 ultlaull re8uqes IEuaIrp lut uulureS-uu1ela8 ullteul)rpnls 'untun Sueprq uelele8 u,(u;rq1u uup 'de1et 8uu,( nquns dupuqrat rsul
-or 'ru8at upuoq rsulsusrl epud lgrseds luos-leos 1nlun uuldu.letlp uerpnu-eI rur ueulueslad-ureureslad 'uB{traqlp )itIeuIS .re8e1 epueq In}un ununu.reces Sueprq uulu;e8 ueeuresred ueunrnued 'nll Wpnses 'BISreuI uetuout
ueIetueurp 3ue,( upueq ueteseq uelpuaryedurau.r ue8uap l€lnutp lul qeg'drrrul 8ue,( uelnrn uu8uep ue4fesrp ueIB IuI q€q tuel€p ru8et Bpueq e{rteu-ol Sueluet rpnts 'unun 8uu{ Sueprq uelera8 uep 'detal 3ue,{ nqruns dup
-€qrel rsBlor'rsulsue:1 'n1ru,( 'ququrugeq 8uu,( uBlIInseI 1u13uq uelnrn uuSu
-ep uulrfusrp.ru8el epueq .ruuuld uule,re8 uryluueuq 'nlnquplot quq u?lBC
NYIYdflSUfld NYO VAYO :UYOflIYONgfl UYT{YTd YXITSNIIX
LT
BAB 17 KINETIKA BENDATEGAR
t7 -lTentukan momen inersia silinder yang ditunjukkan di Gambar l7-3a
terhadap sumbu z. Kerapatan bahan p adalah konstan.
Gambar 17-3
SOLUSI
Elcmen Kulit. Soal ini dapat dipecahkan dengan menggunakan elemen
kulit dalam Gambar 17-3b dan integrasi tunggal. Volume elemen adalah
/1t = {Zrr)(h) dr, sehingga massanya adalah dm = NV = l2nhr dr).
Karena seluruh elemen terletak pada jarak r yang sama dari sumbu z,
maka momen inersia elemen adalah
dlz= P dm = pzlthQ dr
Dengan mengintegrasi meliputi seluruh daerah silinder dihasilkan
I,= lrzdm=pztrnf,rldr=T*^o -P' znh r
Massa silinder adalah
m = lam = p\xh ff rdr 4nhRz
sehingga
lr=Vz mR2 Jawabq,n
--i
hl
_+-.fi
it
. ....t....
I
i
I(,
j
. t:..
z - rr HoJ..\of,
L
zru Bw €r8,0= * r.i&= *,,i&=',
.,( nqurnsdepeqral Brsreur uouoru u,{nruel 'su/8tr1tr s qEIBpp uuquq uuludu.re>1e111 '.( nquns depeqret D?-LI teqwe1 rp uu11n[un1rp Buu,( Bue(uq_Euu,(-eqraq 3ue,( qeJeep Jelntueu uu8uep {nlueqp leped upueq qenqas
ut qoADI'
'luped epueq qnrnlesInlun ErsJaur uetuotu ue4udeprp ,ru
I = r( rudruus 6 - rf uep ,,,{.
depeq.relrser8elur8ueut uu8uap uup .rru73pr1
S - d ,z{ - r rsntrlsqnsueu ue8uag
,x l{P (rntP)z/1 = ,x (tuP1z7r='i1p
uelluduprp'qy-1y wgwug rp uuSuuld uetuele lruun
.rpu[ .ue8uurd qenqas )nlune,(uuuluunSSueur tudup e8nl e1n1 .rur snrunr uelep dnlectel {Bpn lep-urps uerSSurla) uuere) 'Jepurlrs rrel-rruluep esseru qulepu y uup ur ue8u-ep 'zdw zh = I tlv1ppa e,(uluupnlr8uol nquns depeq;el Jepurlrs Brs.reurueuotu u,r\yeq ue)plnfun1rp nlnqeprel qotuoc r.uBIBC .,,t,
nquns dupeq-ret uawala ''1p Brsreur ueluoru uulnluoueu url8unu dutet ,( nquns r_rup
uues 3ue,( lurel upud {utalrol luprl ueuele uer8uq enures undneyeTyy
@ (zruY = lPd = MP
esseur re,(unduou uep ([ r) Buurequres )rlll rp e^rnl Buoloureuruetrtele luls IC'qr-Ll ;r-qurcg rp uoplnlunlrp rgades .ue8uurd uerueleueleunSSuau uu8uep Sunlrqrp ue)B ursJeur ueuotrAl .tto7uut4 uautalg
rsmos
?-aI rEqurBc
i
{ri}
i:,:i::;:.;.............. : r'.,,i:r :i(r N -!:
i
\TXII^I}'}il(I :XIN>I:LL YXIN\DIAIA
I BAB I7 KINETIKA BENDA TEGAR
Te orema S um bu S ej aj ar. I i\1qg1" "-Igfrla ;9 Qgq!r,be-L$ rerhadap
9e bugh su m bu 1 an g m e lcwat i pu s at m3ssabelglglgl algi. _gr_qk a-qo.ng Il_inelsia terhadan setiao suntbtt seiaial daoat ditentukan densan mens!una-*+_=-]=-------q_]--
---- -_----!^--=-_\:-
lpl:spJyfiJn-twtl2!! -sg!!J y' . Te orema i n i d apat d i peroleh den gan m emper-hatikan benda yang dituniukkan di Gambar 17-5. Sumbu i'melewati pusat
nrassa G, sementara suntbu a sejajur yang berhubungan terletak pada jarakkonstan d. Den-ran memilih elemen massa kecil cltn.yang terletak di titik(r1 .v'), dan dengan m!'n-cgunakan teorema Pytha,uoras, v7 = (l + x')1 + 1/2.kita dapat menr atlkrrn nrorrcn inersra benda terhadap surnbu : sebagai
7 = i, r'1 ,ltt: = j l!., - t')' - , 'r |/r,r= I. |.r't -,,': ltnt -)cl J,,,.t'dnt + tl) !,,,tltn
Karenrr ,'i = .'i -.r'1. integral perta,na menyatakan 1r. Integral kedua samir
dengan nrrl. k.irc'nr sumbu:'melalui pusat massa benda, yaitu,
i.r',1u,= t j,i,,r = 0 karena X=0 Akhirnya, integral ketiger menyatakan
massa total benda li. Jadi, momen inersia terhadap sumbu : dapat ditulis-kan sebasar
I = Ic + ntP ( l7-+)
dengan
Ic = momen inersia terhadap sutnbu :' yang lewat pusat nrassa G
nl = massa benda
6................/ = .j alak teg ak I u ru s iin t ara s um bu- s u rl bu s e j a.j ar
Gambar 17-5
)
],.Buu1
-BIog lndruBs tuupp uur8pq BpBd w{ueqrp Buu,( rgedes .legut qenqes LrcpuBlnluallp pdep nule rselSelur lB1\{ol Bun}rqrp Bunqu8.rel ucr8eq'dur1 1n1unjaytygl rfy:'tX
= I'll'u.rur ue;unlrq;ra 1n,un*I;'qffi-ra
ryt a par rDp rr -
3]r nqeflr-ei u ffi E ?a r uTs,illEs-ri-d -E)ria u'-su n x uraa]n, u nuplnlradrp tuteles nquns ptueJool .luped
leyed uep uel8uurnlrp ..Buuqn1,,r{Enqes qoluoc ru8uqes-urc; uer8eq rrup uer8eq rcBuqes uel8unlrqtedrpI.;ulal el e1rfyneSeu uurusaq rcBuqes de88uelp sruuq Bunqe8ret uer8eq ntens
ruere>1_ueln lredr p reqetlu uuqel un l'uod .@,{
-ry@ n rues e ririu 1 ueiloG-IE@fil uru-ce*ffi
-:uig8,r. u?ggg e:pur '8uu1eq uep etoq ,uefirEci-itrutu-s]tu r.uetl"?ueqr5pes Inlueq liEI IunICi qeto {irr[Aqip epu aq qe nqos e>[. I
.
uufiunqeg "p"rq-"i""
g'nquns nluns depeqral Epuaq qenqes up
BSSETU ue.,ole ErsJour ue.,,ou u,lrsruuopueu Buu,( .tup d = 7p uueu,usred
ruelep r ue8uep rur sntunJ urBIBp ? rsrugep nrrlur rrodrrrrrT urlr]rqr"4
(s-rr),t=l nule ira=lueeuresred uup uBI
-nluetrp Bpueq Brsraur uotuoru e>Iutu ,rnqele>Jtp M v,pueg EssetII uup Iul Fef -lrBf BIIq uep ,Buelued uunlus ru,(undrueu rur rEIrN .7,rsotr| uof_rriiun\n,-n83uaru ue8uep ue8uu8ed DInq r.uEIBp ue)sqntrp nluouel nquns r{Bnqesdepeq:a1 ppueq qenqes Brsreur ueruour .e,(ue1u1upy .lsBJIC
IJBf-lrBI.
VXI'{V'MC :)IN)I:IJ VXNY) gW
)
6
L0 BAB 17 KINETIKA BENDATEGAR
17 -3
250 mm
Gambar l7-6
Jika pelat yang ditunjukkan di Gambar 17-6a mempunyai kerapatan
8000 kg/m3 dan ketebalan 10 mm, hitunglah momen inersia terhadap se-
buah sumbu yang diarahkan tegak lurus halaman ini dan lewat titik O.
I2J mm
@-'t""*'l ketebalan l0 mm
SOLUSIPelat terdiri dari dua bagian tergabung, piringan berjari-jari 250 mm
minus piringan berjari-jari 125 mm, Gambar l7-6b. Momen inersia
terhadap O dapat ditentukan dengan menghitung momen inersia tiap-tiap bagian ini terhadap O dan kemudian menambahkan hasilnya secara
aljabar Perhitungan dilaksanakan dengan menggunakan teorema sumbu
sejajar bersama-sama dengan data yang tertulis dalam tabel di bagian da-
lam sampul belakang.
Piringan. Momen inersia sebuah piringan terhadap sumbu sentroid
tegak lurus pada bidang piringan adalah Ic = t/znu2. Pusat massa
piringan diletakkan pada jarak 0,25 m dari titik O. Jadi,
md = pdVd= 8000 kg/m3 [tr(0,25 m)2(0,01 m)] = 15,71 kg
(l)o=Vzmor] + mo*
=r/z(15,71kg) (0,25 m)2 + (15,71 kg) (0,25 m)2
= 1,473 kgmz
Lubang. Untuk piringan berjari-jari 125 mm (lubang), didapatkan
mh = Ptvn= 8000 kglm3 1t1o,tz5 m)2(0,01 m)l = 3'93 kg
(ln)o= t/zm1rrfi + mo&
=VzG,g3 kg) (0,125 m)2 + (3,93 kg) (0,25 m)2
= 0,276 kg mz
Momen inersia pelat terhadap titik O dengan demikian adalah
16= (r)s- (rio= 1,473 - 0,276
= 1,2Okgm2 Jawaban
o
ia)
uDqoADI',vt849gp'1=91
[,slu re'o)z(* st'0)[= N00t )*
t, = zw'34 zz'L : zput+
el - ol
'nlyui'o, {nlun IrsBr.l uueunE8ued dnlecueur ,Euns8uel qrqal Bue,( rsnl-os'unure51 'C e\)g uvp VO 8ue1eq ursJeur uetuoru uulqupurtuetu {nl-un lnrnl-lnruJeq Breces refefes nquns Brueroel rsu4lde uu{r.{ntnqueuSuuK 'oI luedes BurBS erec ue8uep Sunlrqrp ydep gl ErsJeur uetuotrAl
(r8'6l0s)+(r8'6l0s)
a
ur 9l'0 =Lu7s -1 *[z-' ( ts'o t oil r + (r 8'6 / os) 9'o
L-LI rBqurBC
- urs'0 .l--s'o j
'.I,I HOI
ue4uduprp 'essBru lusnd uu>1n1ueuau Inlun sntunJ up{Bu-n38ueur ue8uep uvp 'L-LI requuD ( qelupe rur lerul uulrsutnsu8uauuu8ueq 'g 1p trdetdepeqrel Jrleler uqnluelrp , BSSETu t?snd ({) u4?og
uDqD,iDf zw?\z7L=zz;g + 669,1=oIqBIupB uuDlruap ue8uep 5l dupeqra Inpueq Brsreur ueuoIAI
,vt34779'9 =
,(," r)(+#)*,r*',(+#) ? =,0* *,,*l = o{,,,)
uulredeprp 39 8uuleq 1n1u61
,ut E4 669'1 =
r ,s^u Ig 6) ./ .s/ru tg'6.\ z, ,* t o(#.1., r*r{r.r o# )1= ,o** ,t*!!=
o{'o tl
'refefes nquns Bru-eroel uup ,1w
zt/1 = 07 ueluunSSueur ue8uep qeloredrp eures 3uu,( relrg
zu B,r 66e.r =,(*r)(+#)i=,,,,i = o(vo t)
'Ipet 'zlu EA = O I qBIEps O 1pp 8ue1eq 3un[n re,nel uEp uEru
-eleq snJnl ry3e1 3ue,( nquns dupuq:q yg ?ue1eg BrsJeur uauroru .3uu1
-e1aq lndues uupp uer8uq 1p taqu1 uuluunSSueur uu8ueg'(r) umSog
ISn IOS'9 urnlnpued usseur lesnd (q) uup,O
tp nled (z) tumel Suef nqurns dupeqral Fpueq Brsreur ueruoru qu13un1r11'2.y1 lr"gun? epud uoqnlun1rp qredes O ]pp epud uelSunluu8rp uupp 69 e{uleraq Sursuru-Sursuru'srdu 8ue1eq enp rJBp rrrpJel Inpueg
t
TT\rXIhIVNIC :XIN)ISJ \DI INY)AA
12 BAB 17 KINETIKA BENDATEGAR
SOAL-SOAL
17-1. Tentukan momen inersia 1,, untuk batang tipis.
Kerapatan batang p dan luas penampang A adalah kons-
tan. Nyatakan hasilnya dalam massa total batang ,rx.
Soal l7-1
l7-2. P:raboloida dibentuk dengan memutar luasan ber-
bei ang-ba1 ang mengelilingi sumbu r. Tentukan jari-jari
girrsi t.. Bahan mempunyai kerapatan p yang konstan.
*17-4. Tentukan momen inersia cincin
sumbu :. Cincin massanya lrl.
tipis terhadap
I
Soal l7-4
17-5. Setengah elipsoida dibentuk dengan memutar lu-
asan berbayang-bayang terhadap sumbu r. Tentukan
momen inersia benda padat ini terhadap sumbu "r dan
nyatakan hasilnya dalam massa benda padat lll. Bahan
mempunyai kerapatan p }ang konstan.
Soal 17-2
17-3. Tentukan momen inersia /_. dan nyatakan hasilnya
dalam massa total bola m. Bola mempunyai kerapatan
p yang konstan.
..*",--."..*.... }
Soal 17-5
17-6. Tentukan momen inersia 1. dari torus (bentuk ban
/ donat). Massa torus adalah rn dan kerapatan p adalah
konstan. Saran: Gunakan elemen kulit.
WII
i
Soal 17-6
\
Soal 17-3
II-IVOI-LI IBOS
il - ru{0
'o le.{\el uBp rur rj?ru?lEq srunl
>Je8et 3ue.( nquns qenqes dupeq:et rur lueJsrs ersJeur
ueuolu ue{nluel 'ur 94'0 = 7 e\r 'utlal z Efuesseu
EueA 3q uvp gy Surduer 8ue1eq uep 31 9 essuur re,(und
-ureru 3uu,( ue8uurd qenqes rrep rJrpJel Inpueg'll-rl
LO rcl el uep rur ueuelEq
srunl {e8el 8ue.{ nqurns qenqes depeqrel rur uotsrs Brs
-reur ueruoru qB{BdeJeg 'o uBJBluEq rp Epp esseu lBsnd
:e8e )e upp 7 3ue[ued ue{nlueJ 'wt?>tz Bsseu re,{und
-ruau 8uE{ JO uep By Surdruur Suetuq uep E>1 9 esseru
re,{undrueu 8ue,{ ue8uurd uep rrrpret InpuBg 'gI-tI
6-II IBOS
j
': :uurni drprq::l piuer,sraur urluoru rrep lep-UIIIS ES\TIU uPl.ilual TlurlmLrl{ tlrEPFE , UZp 1 ueiuep',rD + \ = ul reieqas eiure.snd usp qEqruaq iw.( uetud
-ere1 refundruxu 8ue i ueqEq uep rerqrar wp 'r1 uer8
-Euqe1 'y renl yel-uEt E.(undruau tepd r+urlrs '6-lI
8-IT TBOS
'zp1{7)1x7)= ,1p elu-aunlo^ 3ue,( ledurer8as 1u1ed ueruele uB{BunD :urrrs'd qeppe ueqeq uelude:e) 'z nquns depeqrat il/ Essuru
-.req urSouroq epruerrd BrsJeur ueuout uelnlual.g-llr
l,-ll IBos
'2p ueleqelol uu8uep ,(-r Sueprq ueEuap relelas srdrt
telad uauele ueleun8 'rse.r8elur qn1uS1 :7n[un1a4 'w ew-sud esseur urelep e,{upseq ue{E1efN d nqruns depeq.rel
u16ouoq eBrtr8es eusud ets:eut uaurou uelnluel .f,-ZI
I
o
,
gIYXIhIYMC :)IN)I!I.L YXINV>IAhI
L4 BAB 17 KINETIKA BENDATEGAR
*17-12. Batang ramping mempunyai berat 50 N/m. Ten-
tukan momen inersia sistem ini terhadap sumbu yang
tegak lurus halaman ini dan lewat jepitA.
Soal 17-12
17-13. Batang yang ramping beratnya 50 N/m. Tentu-
kan momen inersia sistem ini terhadap sumbu yang
tegak lurus halaman ini dan lewat pusat gravitasi G sis-
tem ini.
17-14. Sebuah roda terdiri dari cincin tipis yang massa-
nya l0 kg dan empat jeruji yang terbuat dari batang
ramping dan masing-masing mempunyai massa 2 kg.
Tentukan momen inersia roda terhadap sumbu yang te-
gak lurus halaman ini dan lewat titik A.
Soal 17-14
17.15. Tentukan momen inersia terhadap sebuah sumbu
yang tegak lurus halaman ini dan lewat jepit di O. Pelat
tipis mempunyai lubang di pusatnya. Ketebalannya ada-
lah 50 mm, dan bahan mempunyai kerapatan p= 50 kgm3.
-<r+J+.<fffil
M
Soal 17-13 Soal 17-15
oz'l,t lBos
'rur /E{ O0Z= d uetudurelre,(undueru uBrlBB 'lnJnJel rse:dep refundtueu Euuf
lncrual unlsruI '1 ers:eur ueruor[ uBlnlua'L '02-Lt*
.:..
i:1. at f,'O-:*tu F^0 *
'O IP lldatleh\el rrep rur rreueleq srunl {uEel Euef nquns depeq-Jel Inpwq BIsJeur uauoru uplntue.1 'rru731 71 usseu
Ie,(unduoru sldp 3ue,( p1e4 'u76>1 g e,(uesseu Bwfr 39uep gV Eurdtuer Euepq enp rrep ulprel lnpueg 'tI-lI
II-'I IBOS
TU E'I
i
j
o6I-I,I/8I.I,I IBOS
0
.t \r -6 -/j :lr-ltseds lBJoq rei(undueu ueqeg'O r{::::
=n:' '-:ET r-Lr rJEruEIeq Bped srunJ :pEet Eue,(
nquns &*-*;:: €'3,..r prs:aur ueuoru ue1nlue.1 '6I-tI
e ru / Nt 96 -.,. a.::sads re:aq re,{undtuer.u ueqeg '9 es
-seu lesnd le.nal LrEp ru! uEurBIEq ppud srunl {e8et 8ue,(
nquns dspeqlat sFor Brsrar uauoru uelnluel '8I.rI
9I-lI lBoS
v
'9 l?^leluep IUI uptu?pq srunl IeEel Euef nqruns qenqes dep
-BqJel Inpupq ersreur ueuou qe18un1rq uerpnrual 'lnp-uBq I BssPru lEsnd ( Iulel uelnluel'rur731 71 esseu
le,(undtrrau sldn Euu[ pye4 'up>1 t €,(wsspru Buel 39uep gV Eurdrus: Swleq enp uBp ulprel Fpusg 'gt-rlr.
o
i" ru t.o+-ru t't) i
SI\.XIYTY|.{IC : X IN)I g.L VXIN\DIAI^i
716 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
17-21. Tentukan momen inersia benda baja padat ter-
hadap sumbu xx. Baja mempunyai berat spesihk 1 = 78
kN/m3.
Soal 17-21
17-22 Tentukan leuk -v pusat massa G benda ini dan
l:emudian hirung momen inersia terhadap sumbu yang
tegali lurus halaman ini dan lewat G. Balok massanya
-1 kg dan setengah silinder massanya 5 kg.
17-23. Tentukan momen inersia benda ini terhadap
sumbu yang tegak lurus halaman ini dan lewat titik O.
Balok massanya 3 kg, dan setengah silinder massanya
5 kg.
i--. ,ltx) mnr ..1
+L7-A. Bandul terdiri dari batang ramping 3-kg dan
pelat tipis 5-kg. Tentukan letak lpusat massa G bandul,
kemudian hitunglah momen inersia bandul terhadap
sumbu yang tegak lurus halaman ini dan lewat G.
17-25. Bandul terdiri dari batang ramping 3-kg dan
pelat tipis 5-kg. Tentukan momen inersia bandul ter-
hadap sumbu yang tegak lurus halaman ini dan lewatjepit di O.
(').5 m...L_.
lm i
Soal L7-241t7-25
17-26. Masing-masing dari tiga batang massanya m.
Tentukan momen inersia benda ini terhadap sumbu
yang tegak lurus pada halaman ini dan lewat titik pusat
o.
17-27. Masing-masing dari tiga batang mempunyai
massa ,rx. Tentukan momen inersia benda ini terhadap
sumbu yang tegak lurus halaman ini dan lewat titik A.
I
--t)9m
Soal 17-22117-23Soal l7-?,6117-27
g ,}
trq i
IZ qeg lp suqeqtp epueq uuqaq uep 1n1ueq 3ue1ue1 unun qrqel Bue,( snsuy .euuq.rapas
qrqal 3ue,( 1n1ueq lpe[ueur qeqnreq leuorselo: uulua8 uueueslad.rur uulnlelau uu8ueq *
!e!wxr=.!xr+/gxrue{qnlnqrp
e{Eu 'uu{quFunlrp lelnred uped elreleq 8uu,( g {rtrt depuqral e,(u8-u,{-eB ueruour eIII'rg-ll requeC epud uellntunlrp r1-redes Intueqrp )fleurluer8erp uleu 'le qulepe e,(uuetedecrad uelrteq-redrp Bue,{ tues upud uepItu l?sseu ru,{undueur yelruud eIrI 'uelu>lep.raq 8ue,( lelrgud-1e1rpud uu8u-ap rsleretur qalo uu)quqesrp 8ue,{ f)ruafin nloS-o{.o8 ailoilnsal qElepe/y uep '1e1nrud uped eLreleq SuvK aruoqnsar lDuratela rur8 ue>lete,{ueur
'1.{ 'qg-ll .ruqruuD 'r-e>1 lelrpud sBqeq-upueq ue:Burp uped urllnlunlptuodes d Iltlr le,4^e[ upp (: nquns) uule:a8 Suuprq sn-rn1 1u3c1 3ue,{ nqurnsdupeqral Sunlrqrp 3uu,{ leu.retsla e,{u8 rreJsrs ueuotu uelquqesrp Bue,{qn.reSued uulntuetrp uelu 3ue-ru1es .lsulog uEIBJaO uueruusJed
''Po)tu ='tcZt'1)e1vt
= \'flz
'ntru,{ 'uu8unlue3req {Et ruleIs uuuures:ed enp )ntueq urelep srynlrp tudr:pg Intun ue1e.re3 uueuusred ',i-r' Suuprq tuulup epueq uu>1ule8 1nlun
'g DSSDtU losnd unlodattatl tptlDpuaq DSsDut tto?uap DLLTDS LlDlDpD opuaq npod ohayaq Buo,i ptutals;1a n,in|Dnutas LlDltunle,uqeq ue>1e1e,{ueur rur uuer.uesJed ..ru8e1
upueq ussuur lesndlnlun ?J'D1si1rrl1 uo4ota8 uoouucstad ru8uqes uelele,{urp tur uueuesJod
o9mu = g7
e,trquq uu>llnduusrp ledup ,lotle^ p.leoas
ue)qeqLuutrp e,{ulrseq uup 'Epueq 1e1u:ed duq epud ue>1de.re1rp uelu:aiueeures.rad e)l!'lpul 'Bpueq seluq ueelnru;ed uulep rp t?pe.req lelruud-ya1rr-:ed nlr IEq tuulep 'luls lp ueluunirp ledup u,(ulrsuq ,ya>1u,rud
uatsrs srsrleuu
Iruun 'E'g quqqns rp rur unleqes seqeqrp qulat lul u,(e8 iuelsrs uuelux .uu
-le{apleq 8uu,( upueq-upueq BruluE )uluol u,(u3-u,(uB nele lrleu8eru '1r-r1sr1
'rsel,tu-r8 1e3a uu>1u1e,(ueu Irloqurs u.rBces l:lg-LI ruqueD rp upueq upudue1>1nltnlrp 8ue,( renl u,(e8-u,(ug .lsBIsuB{ uB{BJeO ueuruusJod
'uDlsuol uolodacatl uoSuap rsLtl-suorlraq now dolal qDlDpD uup relnd-leq lepq rur nquns-nquns ,rsrurJcp
rre6l 'ntr Epueq rp 7 Sueruqruas lltrt ueSuop ttdwuaq u,{u1use )!lfl : ,.( ,r-ir-tsraut uDnrD oy8uotat1 Iuls lC 'rg-L I requug rp ue>plnluntlp lul sruel.Buu.r-equas upuaq qotuoJ qenqas 'Sueprq uped ue1rs1a,(o;drp tudep epueq epedet)e1eq 3ue,( (1edo1 uoruour uup) u,(u8 enrues uetpnruol uup ,uuncu BueprqrrrEIBp rp leqrlrp Bpuoq ueqereS'srsrluue )nlun
rrpel .uencu Bueprq uu8ueprul-ules 8uu,{ Sueprq ea,rn1 uuludnrou epuoq lelrued Burseu-Bursuu uulu.r-eB uesulurl euarel delel 3uu,{ uunce Suuprq u€lep Bsrleuelp tedep ntl uuc-eutes ru8el utpueq Suuprq uEIBreC *'du1et 3ue,{ uence Buuprq depuqlel .sr.rl-airns duSSuetp 'e{erelu upqeq €tuesraq .8uu,(.re8e1 epueq-epueq epud ruu t-r1d lrtaurl Sueluel rpnls rspluquoru uBIp EIH Iul tnlrreq srsrluuu uepq
"I,'L
UY\Yfd NVYYUtrC YXIIgT{IY NYVWVSUSd Z'I,IT)IIT\'\IC :)L\X3.I \XNVXIhI LT
diagrarn benda-bebas
(b)
diagram kinetika partikel
(c)
Gambar 17-8
BAB I7 KINETIKA BENDA TEGAR
atau
(mp)i=txmiai
Sekarang persamaan ini akan ditulis dalam percepatan a, titrk P. Jika benda
mempunyai percepatan angular cr dan kecepatan angula'r o, Gambar l7-8d,maka dengan menggunakan Pers. l6-7 didapatkan
(Mr)i = m,r X (an+ c' x r-al2r)=mifrx ap+r x (c[ x r)-o>2(r x r)
Suku terakhir adalah nol, karena r X r = 0. Dengan menyatakan vektor-vek-tor dalam komponen Cartesian dan melaksanakan operasi perkalian silangdidapatkan
(M p) ik = mi{(xi + yj) x L@,,),i + (ar)ri1
+ (xi + yj) x [crk x (ri + yj)]](M p)ik = mif - !(ar)r + x(ar)y + u* + uy21k
C(Mp)i- mil - Y(ap)x + x(a), + a?
Ambillah nt. -dmdan integrasi terhadap seluruh massa benda rr, maka dida-patkan persamaan momen resultante
CLMp= - (l ,,,! dm)(ar)r+ (l nx dm)(ar)r+ (J,,,* dm)a
Di sini Xm, menyatakan hanya momen gctya-gaya eksternal yang bekerjapada benda'terhadap titik P. Momen resultante gaya-gaya internal adalah nol,karena untuk seluruh benda gaya-gaya ini terjadi dalam pasangan segarisyang sama dan berlawanan dan dengan demikian momen tiap pasangan gaya
terhadap titik P saling meniadakan. Integral pada suku yang pertama dan
kedua di kanan digunakan untuk menentukan letak pusat massa benda G ter-hadap P, karena ym - n dm dan frn = Ix dm, Gambar l7-8d. Juga, integralyang terakhir menyatakan momen inersia benda yang dihitung terhadap
sumbu z, yaitu, Ir= I P dm. Jadi,
Ct M p = - Ym(a r) r + -xm(a r), + I na( r7-6)
Persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana jika titikP berimpit dengan pusat massa G untuk benda. Jika demikian halnya, maka
i =! = 0, dan karena itu x
LM"= I"a (17-7)
Persamaan gerakan rotasi ini menyatakan bahwa jumlah momen semua
gaya eksternal dihitung terhadap pusat massa benda G adalah sama dengan
hasilkali momen inersia benda terhadap sumbu yang lewat G dan percepatan
angular benda.
Persamaan l7-6 juga dapat ditulis ulang dalarn kornponen x dan y ao dan
momen inersia benda /". Jika titik G berada di titik @ y), Gambar l7-8d,maka dengan teorema sumbu-sejajar, I, = I5 + m@ +12;. Dengan mensub-stitusi dalam Pers. l7-6 dan menyusun kembali suku-suku itu, didapatkan
GLMp=iml- lar)r+ yal +im[(ar)., +7oJ + locx ( r7-8)
+ Persamaan ini ;uga menjadi bentuk sederhana yang sana ini !M, = /o6r.11Lo a1,1k P adalah titik yang temp (lihat Pers. 17- l6 ) atau percepatan titik
P diuahkan sepanjang garis PG.
,re)leun}ryd(lryk = d7t/ZqlqlEos rloluoc tsnlos urrlep u€IeunSrp uD)fe e{rleurl uelSerp ,rur uESEIe Inlun *
* tl(\W)Zrp ueuotu nlns-nlnsuvp )vw ueuodurol uulnlueuaru )nlun uu{Bun8tp ettq Ioroc Bruutn.rel
uep 'nr7 uep {19o\w 't(Dr)* nlns-nlns sgu.r8 e.reces ualtunluucuetu rur
ruur8urq 'nlr Bpuag 1n1un ;equu8tp Dluawl .utot3o1p u4l-ntuequeu uEIBe8nl leos edereqaq uuleq 'd 111g nnln '9 WZ'nlZ rg3 ruulep dn1uc.re1 3uu{n{ns-nlns ue13un1rq:eduou Inlun 'ag-LI rEqurED 'seqeq epueq ure.r8elpuelruquu8rp snJetq npl as'rur ueeuresJed-ueurues.rad ueluunSSueru u;rg
'(W)Z='tWZnol =ewZK(9o1w
=Kg3x()o)tu
=rg3
(r r-rr) g-al rBqursc
(r)
ulpaurl uurButp
'srrlelurs rc3e1 epuaq runurn Suuprq uele.re8 uol.req-rue83ueu Inlun ue8unlueEreq {Bl rslols uueuesled rz34 srlnlrp ludep 'rur
srsrleuu selSurreu Inlun .UBIBJaC uuurrrusJad turuun uBdBJaI
(or-rr)'t(Yw)z=dwZ
reBeqes
unurn qrqal 3uu,( 1nluaq uulep 6-LI 'sJad srlnuou ledep qr>1 tut ;esepuu8uep ueDlrruep ue8ueq 'ntr Bpuaq uped efta>1eq SuvK Tado>1 uawout uaprunl e,(e3-e,(u8 qnre8ued qalo uqqeqosrp Ble-rau 'qlle-qllv'1edo1 ueuournute u,(e8 ru8uqes uuus leprl n97 uup tetu exqeg te8urrp 3ur1ua6 '1nr1
derl gp ufta>1eg ledep n1r BuorEI uup seqeq .ro1>1a,r re8uqes duSSuurp tudepD97 'uures erec uu8uaq 'Dlaraw ohay srto7 7uofuodas ryJU dD1DS p el-ra1eq tedup EIeJou 'e,{utue 'uerasa8 rol>1a,r re8eqes duSSuerp
(1Ce;ar uup
* (9e)u Jotla^ eIuru'/g-1 1 ruqurug'Suntrqrp " (\W)Z ..EIneuDl uoruoru,,
Blrq 'urEI ep1 ue8ueq /g-11 ruque1 ' ncl ttDp ,,'Dluaury uaao.w,,qDqwzllp 4 dopoqtal )vu uauodwoY-ttauodtuoY ,,Druaury uautout,,tlopunf uo?uap uaptla Dlaralu DlDu 'ag-ll rDqlaDg 'uoqrg4unhp4 11111 dopotltat soqaq-Dpuaq wotSorp opod uoy1n[un4p SuoL lDwa]qaoloS-oto? uawow Dlrq Duqzq uoqolo{uatu nn Surluad ?uo,t, 1tso11
G-tr)nc 1 + t19 o1w\+
x (9 oyur K - ='t WZa
ludeprp ueleuuq;ape,(ueu uu8uep uep g-1,! -sre4 uulup o{ Iulllsuq-llseq Isntpsqnsuau ue8ueq lTaK + 't(ca)l = [11.+ '(1da;1'uep lrax -
x1Do1-l = [D_4: + *(dr)-) 'rur ueeuuslid-uuuurusred ueq
,co[- nr + {(do1
= rlcr;
z0!- Pl--'('to1 ='1co1
'JBIB{s ueuuesrad enp ueltudeprp uuln>13uusleq 3uu,( [uep r ueuodurol uuluuru,(ueu uup 8ue1rs uerp>ped ueluuesluleur uu8ueq
([+g).co-([.*g) x {n +t(r)+t'(dD)=fPo)+!''(ep) tJ,(,)-JX?c+t1B=cB
ruBuqes,e uelup ue1e1e,(urp ledup
de 'pg-Ll JpqufiD elrleueur{ ure:3urp rruq
VXIhTVNIC :XIN)I!I.I V)IN\DIAhI
I
"l
{!)
D
6I
20 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
17.3 PERSAMAAN GERAKAN: TRANSLASI
!j l::::l
-f. i:,.\1uI
Bila sebuah benda tegar mengalami trattslasi, Gambar 17-9a, maka semuapartikel benda mempunyai percepaton vailg sarla. sehingga ac = a. Selan-jutnya, cr = 0, dalam hal itu persamaan gerakan rotasi yang diterapkan di titikG berubah rnenjadi bentuk yang disederhanakan, yaitu,LMG = 0. Terapan
ini dan persamaan gerakan translasi sekarang akan dibahas untuk masing-masing dari kedua jenis translasi yang disajikan di Bab 16.
T[anslasi Lurus. Bila sebuah benda mengalami translasi lurus, makasemua partikel benda itu (papan) bergerak sepanjang lintasan garis lurusparalel. Diagram benda-bebas dan diagram kinetika ditunjukkan di Gambar1l -9b. Karena 1"o, = 0, hanya ma6 ditunjukkan pada diagram kinetika. Jadi,persamaan gerakan yang berlaku dalam hal ini menjadi
LFr= m(a6),
LFr,= m(a5),-
ZM"=g
Persamaan terakhir mensyaratkan bahwa jumlah momen semua gaya ekster-nal (dan momen kopel) yang dihitung terhadap pusal massa benda adalah
, sama dengan nol. Tentunya, rnomen terhadap titik-titik lain pada atau di luar/" benda dapat drjumlahkan, dalam hal itu momen nac harus diperhitungkan."".,Sebagai contoh, .iika titik A dipilih, yang terletak pada.jarak tegak lurus ri
dari garis kerja mao persamaan momen berikut ini berlaku:
G+r,MA=r'(i,t)A; LMA= @ta6)d
Di sini jumlah momen gaya-gaya eksternal dan momen kopel terhadap A(l,M o, diagram benda-bebas) sama dengan momen nta" terhadap A (I.1{)A,dia-eram kinetika).
Translasi Melengkung. Bila sebuah benda tegar mengalami translasimelengkung, semua partikel benda bergerak sepanjang lintasan ntelengkungsejajar. Untuk analisis, seringkali enak menggunakan sistem koordinat iner-sial yang mempunyai titik asal yang berimpit dengan pusat massa benda
pada saat yang dipersoalkan, dan sumbu-sumbu yang diarahkan dalam arah
normal dan tangensial lintasan gerakan, Gambar l7-9c. Selanjutnya ketigapersamaan skalar gerakan selanjutnya adalah
ZF,r= m(a6),,
l,F,= m(a6),
2M"=g
dengan (a6),dan (a6),, masing-masing menyatakan besarnya komponen tan-gensial dan normal percepatan titik G.
Jika persamaan momen 2M7r= 0 diganti oleh penjumlahan momen ter-hadap titik sembarang B, Gambar l7-9c, maka perlu untuk menghitungmomen-momen, L(,iLk)g, kedua komponen m(a6), dan m(a6)r, terhadaptitik ini. Dari diagram kinetika, h dan e menyatakan jarak tegak lurus (atau"lengan momen") dari B ke garis kerja komponen-komponennya. Karena itupersamaan momen yang dibutuhkan menjadi
1-, + ZM, = Z(.frt1,) si EM B = elm(ad) - hlnt(ac),,1
1,.
"."-"u'l ic*
9"1'*t,,
(t]-t2)
(t] -t3)
\r"transli'i
,/a.t'' melengkt,4
Ilr'(\
t,
'rur JnpasoJd uudErel uDFBqurBSSuau rur lnlrJaq qoluoc-qotuoJ
dn = '( cD)lp
'^p'( oo) Dlpea
= osp'("o)
dd,to =;- = "( co)' :^
uuleunS' 3unt13u a1au rcoquDrt 1.nlun
,t9oz7, + to(9 a) + o1osl - cg
[o(es) - et)erz +$ca1=crn1Cp a01Da1 -oa
uuluun8 'uDlsuol uolodactad uoSuap snnl tsolsuD4 :1nlun
tp;-"sp= DA )l,p 51,
= 1sp 9o
i
tp
--Jn"^p
ue4eun? qoqn-qDqnraq 3uo{. uowdactad uo?uap sruq tsolsuDrl {nlun
.uB{nluelrp
sn.req Bpueq rsrsod uup ueledece4 e>lrlelrtuueurl uBIeunC .uflDuaalx'e,(uqnluesrp 3ue(
ueelnured depeqrel;rleyel Bpuoq uulere8 ue^\eleu Inlun Bpuoq uped el-re)eq nleles g 'te3u1 'uuln18uusreq 3uu,{ g uu>1ese8 u,(u8 uu8uep 51 pur-.rou e,(e8 uelSunqnq8ueu lnlun nlri = g ueleso8 uuuues.red ueluun8'dr1as rpulrel uep tosul uooynwtad uu8uep ueqnluesraq epueq e>lrf
'rnr{Elelrp 1e1 3uu,( e,(e8 urlSunru 1u,(uuqesefre>1 sFeS-sue8 ue8uotodred rp uu4uduelrp u,(rreselq d {pp eueurp*'(W)Z-o141gwnann qrqel 3ue,( ueeurusred qeyo Due8rp ledup g =9WZueruotu ueeuresred'srsrluue ueluuuqrepefueu Inlrrn .€l-LI srod nu1e
Zl - LI'srcd'ue>1ure8 ueeuesred e8r1e1 ueleun D . uDlDrag uDDtaDstad
''(W)Z uetuoru uuqelunlued uepp ue>lnpedlp3ue,{ nlns-n1ns ,,uu>i3ue,(uguoru,, {nlun Ensos nlr EueJe{ uup u1ce1w
"(9e)ru nele {(?e)u ''(?e)ru ueuoduro>1 1gu:B ereces uelselelueurur Euere{ 'requre8rp Elrlour) urer8erp elrq uel8unlun8ueu ue{e BIeru'Isnlos uelep uuleun8rp srueq
d1'174r17 =
dWZ. Iselor uelpra8 uueuus
-;ed u,rqeq uu>1sn1ndrp e{rl 'pos ulelup inqulo{rp 4e1 Bue,( ueruseq ue)-1nfun1 'seqeq-upueq uer8urp eped rypr1 rdelat ,leurprool urelsrs epeduu4requu8rp ledup u,(uuuludecre4 'gprsod Iersreur tuurprool nquns qe.retrrelpp epe B{erau uu)rsunse .uelnlualrp todop 7op1l e,(uueuodurol ue-nlEq B{II'uelnluetlp sn:uq e8nf9r Bpuaq Bsselll lesnd ueledecred uenl-eq uup qBrV'epueq eped elraleq 8uu,( 1edo1 uoruoru uup pureisle e,(e8unuras uelSunlrqredurau Intun suqeq-upueq uer8urp qeiruquu3 uepI 'u nele ( r yersreur tuurproo{ urelsrs uelde:eJ-.sDqag-Dpuag uot7mq
';e8e1 epueq rselsuur1 dnlucueur Bue,( u41-euDI lBos uBlqBJaluelu Inlun epolalu uElrJequeu lur lnlrJeq JnpasojiJ
a
t
IZ}}II \\'\IC :) IN)!I.I VXNV)AhI
srslavNv xnJNn UnGgsoud
7
)) BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
TOH 17 -5
I ri.r -. ;'-'0.75D
Mobil yang ditunjukkan di Gambar 11-l)a mempunyai massa 2 Mgdan pusat massa di G. Tentukan percepatan mobil jika roda "penggerak"
di belakang selalu selip, sementara roda depan bebas berputar. Abaikanmassa roda. Koefisien gesekan kinetik antara roda-roda dengan jalan
adalah Vp= 0,25.
SOLUSI IDiagram Benda-Bebas. Seperti ditunjukkan di Gambar l7-10b, gaya
gesekan roda belakang F, mendorong mobil ke depan, dan karena terja-
di selip, besarnya gaya ini dihubungkan dengan besarnya gaya normal
N, yang bersangkutan lewat F, = 0,25Nn.Gaya gesekan yang bekerjapada roda-roda depan adalah nol, karena roda-roda ini mempunyai
massa yang diabaikan.* Ada tiga besaran yang tak diketahui dalam soal
ini, No, Nr, dan a.. Di sini kita akan jumlahkan momen terhadap pusat
massa. Mobil (titik G) diasumsikan dipercepat ke kiri, yaitu, dalam arah
r negatif, Gambar l7-10b.Persamaan Gerakan+*X& = m(a5\*; -0,25 NB= - (200kg)a5 (l)+ tXF, = m(a6)ri - Ne + NB - 2000(9,8l)N
-0 (2)
L,+ 2Mc - 0; - NA1.25 m) - 0,25N3(0,3 m) + N3(0,75m) = 0 (3)
Pecahkan,
aC= l.5g m/s2 *Na = 6.88 kN
Ns = 12'7 kN
SOLUSI IIDiagram Benda-Bebas dan Diagram Kinetika. Jika persamaan "mo-
men" digunakan terhadap titik A, maka No yang tak diketahui akan die-
liminasi dari persamaan. Untuk "membayangkan" momen ma,terhadapA, kita akan mencakup diagram kinetika sebagai bagian dari analisis,
Gambar 17-10c.Persamuen Gerakan. Kita butuhkan
G+ EM A= 2(.fit1r)si Nr(2 m) - 2000(9,81) N(1.25 m) =(2000 kg)a6(0,3 m)
Pecahkan ini dan Pers. I untuk mendapatkan ao menghantar ke solusiyang lebih sederhana daripada yang diperoleh dari Pers. I dan 3.
I
I,,l.-
aJawaban
iDl
Gambar 17-10
* Jika massa roda-roda depan termasuk dalam analisis, gaya gesekan yang beke{a di / akan
diarahkan ke kanan untuk menciptakan rotasi roda yang berlawananjarumjam yang diperlukan. Solusi
soal untuk kasus ini akan lebih banyak terlibat karena analisis gerakan bidang yang umum tentang roda-
roda perlu diperhatikan (lihat Subbab 17.5).
rl
zryw g;g - tw*(9r) B/$qBq uoplnl-unl uup 'lul pq r{BIBqoJ 'g-ll qoluo) rsnlos ue8uep ednres 8ue,( urec
ue8uep uelqecedrp e,(usnreqes IuI pos 'O+vN uup gN8'0 = Bg eleur
'uulledeprp srupq roloru upedes tunrulsletu uuledecred e>[t iuD]DtD)'qeuel rrep sedel uedep epor lelSue8uawunlSunu Toptt
eluur'(511 96'l =gC) uelq$nqlp 8ue,( upuduep 8uern1 rur u,(e8 PueJe)
1'1>l tS't = (NI96'I)g'0 = sA/ rl = reu1gg;
qBIEpE g rp uulSuequre4p tedup 3ue{ untutsleut uuleseS e,(eg
N){ 96'l = sc
I.Il{ 96'l = aN
e zs/tu 18'6=9D
'u€{q?3ed
:s(W)Z=&7,11g +')'.K(co)*={CKI +
'.'(9o)ru -'aKi
uulofi9 utmraDs$d
(ur 9'0)(erz 3>t SZt) - (ur 6'O)('p 3t Sf) -(ur o'o)0.r 9z'9zzr) - (tu r'o)N ;L';ED-Q) o= NSz'gzzt -N st's€t- sN
(r) eo(1lSZt +34g7)=8g:l.r<--i,l
"- i*-.,x..;i
x,ft)--'Lr !i|.- -tt
9- I,I HOI\
uDqD$ofII-lI rBqurBc
(.li
:)u Sal
a
. 'DD uep gJ 'gLl r{Eppe 1u1
Iuos ruelup Inqele{lp lepu 3ue,( uBlBSeq eEpe; 'tpeftat uele drlas lepnBIIq 'gN8'0 ; gJ uelasa8 u,(e8 e,nqeq ue1l{runqlp rpe[.ra1 rur pq re8y'0 =
YN IBruJou rsluer uSSurqes'qeuul uu11e38urueur uelu uedep epor
u/(quq ue>lrsurnsu8ueu qele1 BIDI uep rtwos ueledecred uu8uap 4ure8-req uer8eq enpe) 'qtI-LI reqtueD 'u1tlauq urer8erp uep seqeq-Epueq
uur8urp eped uellnlunlrp rpedes o{uuauodtuoy uorSoq-uotSoq IrBp BS
-seru uep lereq Sursetu-Surseur uu>yluqredtueu uB{B BlDl 'IUIS tp 'unIuEN'uZ I u{3 = d uep wZ / w[ ( = i( uEBUIEsred ueleunSSueur ue8uep
rur ,, tuelsrs,, usseu lesnd Iulel ue>lnluetlp ledep slnu-plnlN 'sISIIEUEIp
Inlun (.uelsrs,, ru8uqes erepue8ued uup .lolotu epedes ue4leqredueuuEIe BIDI rur leos ueleq 'Dtpaqy urot8mq uDp sDqag-Dpuag uot8mq
ISnl0S
'3urpur1e33ueu-r
seqeq uudap Bpor e,4Aquq uBIISunsB uup epor-Epor essetu ue>IIeqV
arur uBIn{BIeu {nlun ue>lnpedrp 3ue,{ uetedecred ede;eg 'qeuel uep
sedel uudep epor lu4Sue8ueru n1te,{ '(.1aaqu)..e,(e8req,, 1n1un urupue8u-ed r8eq urlSunur qulude uelntuel '8'0 =
s ri qeppu uepl uep BpoJ-upoJ
eruluu Irlels uulese8 uersueol e:4:t['zg Ip ussetu lusnd uep 31 E1 usseure.{undureu urepua8ued Brclueruas '19 tp ussuur lesnd uep 31 971 esseur
re,iundrueur Dlf Ll JBqurBC rp uu44n[un1rp 3ue,( rolou epedeg
o
\ !I1)iil
EZYX I'TY \IC : -.''I IN)I:[I VXINVX gA
r24 BAB 17 KiNE,TIKA BENDATEGAR
Sebuah peti serbasama 50-kg berhenti pada permukaan horizontal
yang koefisien gesekan kinetiknva adalah pto = 0,2. Tentukan percepatan
peti jika gaya P = 600 N dikerjakan pada peti seperti ditunjukkan pada
Gambar 17-12a.
{a)
SOLUSI
Diagram Benda-Bebas. Gaya P dapat menlebabkan peti menggeser
. atau mengguling. Seperti ditunjukkan pada Gambar 11-12b, diasum-
, ,., sikan bahwa peti menggeser, sehingga F = [*N,. Juga, resultan gaya nor-;'-:+-r
mal { bekerja di O, sejauh x (dengan 0 < x< 0,5) dari garis pusat peti.x
Ketiga besaran yang tak diketahul adalah ,N., .r", dan rz".
CONTOH 17.7
Gambar 17-12
Persamaan gerakan++ LFr= m(a5)r;
+ tXir'_r=m(a6)r,
I
,N'';
!U 600 N - 0,2N, = (50 kg)a6 (l) 5{-490,5N=0 (2)
(3)G+ZMc= 0;- 600 N(0,3 m) + N.(x) - 0,2{(0,5 m) = 0
Dengan memecahkan didapatkan
N =490Nx = 0,46'7 m
ac= 70,0 m/s2 *
Karena x = 0,46'l m < 0,5 m, memang peti bergeser seperti yang dia-
sumsikan semula. Jika solusi diberi nilai x > 0,5 m, soal harus dikerjakan
kembali dengan asumsi bahwa terjadi peristiwa mengguling. Jika demi-
kian keadaannya, N. bekerja di titik sudut A dan F < 0,2Nr.
* Garis kerja N. tidak perlu lewat titik massa G (x = 0), karena N. harus mengimbangi kecen
derungan untuk mengguling yang disebabkan P. Lihat Subbab 8.1 di Engineering Mechunics: Statics
Jawqban
.a
€I-Ll rEquruc
(r)
!,?rr I = fir
uDqD$DI
zslur 06', =1()D)
NpI ['.I =QJ =gJ
uel[Is€q8ueu lul uEEulesJod BBI]o) uellnruls lsnlos
(g) O = (u f'OXoOg soc o-1) + (ru r'0xo0€ soc s.f) - i0 = ctr,lZta
Q) '(,r)BlOOt = 00E uls 186 '.t(eo)w ='!Zz+(t) (.s7tu 31)31 001 = NOE soc I86 -oJ * Bl '."(er)ru = "J3\*
"to, ) "uprag ttDputDsrad
'teurproo{ nquns epud uu1>1nlunllp uep 'ueldetetrp qelet r(9u) uep
"(9e) qnrv rlDo) uep oJ'sJ qEIepE Inqelalrp ryt 8uu,{ uuruseq u8rle;1
zs/u 8l = (ru g'6)a(s7per 9) = r-o =Lt79r7
e)etu 's/pe.r 9 qulupB
gy reln8uu ueledece>1 puere) '(gy tu13uo1 uped y {pp a{) ue8un>13u41e1
lusnd e1 u€{qBrBIp n1e1es uetudacred yeu;ou ueuodurol 'u,(ulnluuleg'ue[ un;u[ qerues 8ue,( p qele euoJEI IrDI qeru eI qe^\uq e1 uhe>1eq
ueledecred lersue8uul ueuodruo>1 B,lnquq uelrleq.red')ll-Ll,IeqIUeD'gy te>13uo1 reln8uu uelera8 rruleledueru ue8ueg '8ueleg uep tel3uote1 uu>lSunqnqrp 3ue,( 'g rp lused ue8uep erues e,(uuelere8 9 'rse1
-suBI uuere) 'qEI-Ll ruqtueg rp uullnlunlrp 8ue1eq Intun seqeq-epueq
uer8erp'lersue8uel uep letuJou luulpJool ueluunSSueru uu8ueq 'u 9'6etues 3uu{ rrel-rrul ru,{undrueu uesulutl Surseu-Sutseur're13ur1etu uesel
-ury 8uuluedes 1ure3.raq Bnrues g esseu lesnd uep Cr uep Er {ltlt euerel3un73ua1aw tsDlsuort uu8uap lu.re8req 8ueleg 'sDqaq-Dpuag uot8mg
ISN'IOS
I
,.- y',;?zr ,-,/
't u({), I
^uOJ
's/P€J 9 = CD Jeln8uu uelPd
-aca>1 ue3uep retndreq 8uu1uq Bnpel o0€ =Q leus epud e4[1e13uo1 dun rp
lnquq 3ue,( e,(u8 ue1n1ue1 'uBIrBqEIp e,{uesseu 3ue,( te>[3uot enp qelo
Suedorrp Dtl-Ll rBquBD rp uellnlunlrp 8ue,( 8t-OOt gg Suupg
{ts)
_;_ ur f.O
8'tr Hor-\o
N 1S6
>,Lt) I I\YIiIC :) IN)IAI YXINVXIhI
t,
r
26 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
*17-28. Botol l0 N diam di atas ban berjalan peme-
riksaan di sebuah toko pangan. Jika koefisien gesekan
statik adalah F, = 0,2, tentukan percepatan terbesar yang
dapat dipunyai ban berjalan tanpa menyebabkan botol
selip atau terguling. Pusat gravitasi ada di G.
Soal l7-28
17-29 Pintu mernpunvai berat 1000 N dan pusat gravi-
tasi di G. Tentukan seberapa.jauh pintu bergerak dalam
2 s. mulai dari keadaan diarn, jika seseorang mendo-
ron-qnva di C dengan gaya horizontal F = 150 N. Juga,
cari reaksi vertikal di roda-roda A dan B.
17-30. Pintu rnempunyai berat 1000 N dan pusat gravi-
tasi di G. Tentukan gaya konstan F yang harus diberikan
pada pintu untuk rncmbukanya 3.6 m ke kanan dalam
5 s. mulai dari keadaan diam. Juga, cari reaksi vertikal
di roda-roda A dan B.
- l.8m '.,.
17-31. Pesawat jet mempunyai massa total 22 Mg dan
pusat massa di G. Semula pada saat tinggal landas me-
sin menyebabkan dorongan 2 7= 4 kN dan 7" = 1,5 kN.
Tentukan percepatan pesawat dan reaksi normal pada
roda depan pesawat dan masing-masing dari kedua roda
sayap yang letaknya di B. Abaikan massa roda-roda dan,
karena kecepatan yang rendah. abaikan tiap kenaikan
yang disebabkan sayap.
Soal 17-31
*17-32, Sistem gabungan mempunyai massa 8 Mg dan
dikerek dengan menggunakan sistem derek dan katrol.
Jika mesin derek di B rnenarik kabel dengan percepatan
2 nlsz, tentukan gaya kompresif pada silinder hidrolikyang dibutuhkan untuk rxenopang derek. Derek mas-
sanya 2 Mg dan pusat massanya di C.
17-33. Sistem gabungan massanya 4 Mg dan dikerek
dengan menggunakan mesin derek di B. Tentukan per-
cepatan sistem gabungan yang terbesar agar gaya kom-
presif di silinder hidrolik yang menopang derek tidak
melebihi 180 kN. Berapakah tegangan dalam kabel
penopang? Derek massanya 2 Mg dan pusat massanya
di G
a
17.5 mnr
m
Sozl 17-29117-30Soal l7-3211,7-33
0t'Lv6€-Lr vos
I,J tOS
-8ue rp p4ua,r uep leluozrroq rsrye: qelede:ag 'uudep
a1 :e1nd:eq r€lnur )iepp nlurd:e8u InJt unursleul uetuq
-ure1.red uulntuet '3 rp las8ue uep gV 1aqe1 qelo 3uudo1
-lp ul eIlI '9 rp e,{uusseu lusnd uep El^'l SZ't B.(uussutu
ue8uepuu8 Sunln rp:elSuoqueur Inlun nturd '01-Ll*
6, IosSua rp rs{B
-oJ le{llJe^ utp luluozrroq ueuodtuol qeludu:aq 'e8n1'zslru S ueBuep trdec:edrp relnur )ruI ellq 1equ1 uu8
-ue8a1 uelniuet'J Ip les8ue uep gV IeqE{ qelo Suedolrp
BI B{lL rp u,(uesseur lusnd uep 3lt SZ't e,(uusseu
ue8uepue8 8un[n rp relSuoquau In]un ntuld ,6t-Lf*
88.'IIZC-II IEOS
9g-ll IBoS
'zs4lr I ruseqes selu e1 ueledec:ed e,(uuequrau
1e:ep e4f Euudoued 1o1eq lesnd rp ueqeq {n{et ueuouruep uereso8 ueuour 'Ietuelur nquns uelnluoJ '3hl g
essuu re,(unduoru Bry urroJrun Suedoued lolug .9e-ll*
S€-II IBOS
.r rs8un;ru8eqas Sueteq urepp Inlel uerrroru uep (:ueqs) .rese8
u,(e8'pu:e1ur pru:ou e,(u8 uelntual 'u€tp wepeel pupuelsedelp er elrf 'urcrl ue3o1 qe:e4 qelo Suedolrp uepnt 8uefued uenles :ed lureq rc,{undureru SueteB .Sf-tI
ru f'0
,0.,I IBOS
-.- tu g' 1-{- ur S' l +-- ru E' l -.-,* - ru ( t - rlr::
.nll
uelelSue8ued ue{qeqasrp Euu,( y edrd lesnd rp Ieureluruetuou uelntuel'zs4u SI'0 uetedac:ed ue8uep :eque8tuepp ue11n[un1rp rgedes {are{rp er EIrf 'r.u 9'0 ret-auerproq uep rulN 9669 e(utaeq uloJrun Ed\d.VE-LI
o
'r-''i ' i
.'.0t i
blI
IIIx tr'()
ur Ef^0' tu Ea'l
'1n18ue8ued uep ur?l rsrs rp EpE
rdn:es 3ue,( Suedoued sruel ue4sunsV ,s4l Z r{eJepe
:rlSue8ued uuledec:ed e4l lrlorprq rapurlrs rp e(e8 uep.=.r'd lp ei:erieq 8uu,t u,(e8 uup IgluozrJoq uep le{rua^--': Juro1 uelntueJ '/I Illorplq rapurps qalo 8uzdol-.: -:: H lp lldetrp uep uelruqerp ludep 8ue,{ esseu:..--:'::,.,r,r r,(u8uedouetu 8ue,( rype1a8 'g rp esseuri:-- -rr Slt gt't usseu re,(unduratu sBte {n{ .gt-l,I
'rs7ur g ue8uep
rei:::>:.: :ryiuriuad B)lI nll )nJl epo: ledureel r:up
Sursrrl:-.'':::-i: tr,rd leurrou rs{ee: uep retuur urzpp rp
-e[:at iur., -i'.:ria: upr{nlual 'gO rclueJ ue>punSSuaru
ue8uap rn:1i-!'-:>: roed upllulrrp {n{ 'g rp e,{ues
-setu lesnd u;r 5y1 ._'r r(uessetu e{nqJel Inr1.tC-rI
a
LZ\)I I{\"\IC :){ IN)IIIJ V)INV)AhI
28 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
17-41. Mobil balap mempunyai berat 22,5 kN dan pusat
gravitasi di G. Jika rnobil berangkat dari keadaan diam
maka roda-roda belakang selip ketika dipercepat.
Tentukan berapa waktu yang dibutuhkan untuk menca-
pai kelajuan 3 m/s? Juga, berapakah reaksi normal pada
nnsitrg-masing dari keempat roda pada jalan? Koettsien
gesekan statik dan kinetik di jalan adalah masing-ma-
sing p., = 0,5 dan lrt = 0,3. Abaikan massa roda-roda.
17-42. Tenttkan waktu tersingkat yang mungkin bagi
mobil pada Soal l7-41 untuk mencapai kelajuan 3 m/s.
B_ _lrm --0.6m..lr1
Soal 17-4lll7-42
*17-43.Mobil dipercepat secare uniform dari keadaan
diam sampai 26 m/s dalam l5 sekon. Jika ia mempunyai
berat 19 kN dan pusat gravitasi di C. tentukan reaksi
normal rrasirrg-tnctstnq roda pada aspal jalan selama
gerakannya. Daya diberikan pada roda-roda depan, se-
dangkan roda-roda belakang bebas menggelinding.
Abaikan massa roda dan amhillah koefisien gesekan
statik dan kinetik adalah masrng-ntasing ir. = 0,4 dan pr
= (l--:
*17-4. Gerobak drum menopang drum 3 kN yang
pusat gravitasinya di 6. Jika operator mendorongnya ke
depan dengan gaya horizontal 100 N, tentukan perce-
patan gerobak dan reaksi normal pada masing-masing
dari keempat roda. Abaikan massa roda.
Soal 17-44
*17-45. Pipa lengkung massanya 80 kg dan diam pada
permukaan papan. Jika ia dikerek dari satu tingkat ke
tingkat berikutnya, c( = 0.25 rarVs2 <ian or = 0,-5 pada saat
0=30". Jika ia tidak seiip, tentukan reaksi normal leng-
kungan pada papan saat inr.
17-46. Pipa lengkung massanya 80 kg dan diam pada
permukaan papan yang koefisien gesekan statiknya ada-
lah 9., = 0,3. Tentukan percepatan angular terbesar cr
dari papan, yang nrulai dari keadaan diam ketika d =45", tanpa menyebabkan pipa selip pada papan.
nrf
{).lim 0trrr
-- 0.6m..r,q
Soal 17-43
Soal 17-45/17-46
rzs-rI lBos
u fiI) +rr 9 0+ttl 9 (i: fl
uI I',i
'Epor usseu uB{rEqV 3uoso1
up^ elrq lurul ur:3uep rur lere{' uulSurpue g t'0 = rliqptupu lcdse uelul urp epo:-upoJ ululue Irteurl uelese8
uersr1eo) drles nele rcun{Jel epoJ Dntuas l€nqtueurtrrall rlueqreq unloqes drlas er le:e[ uelntuet 'sruu ZIuu8uep 1era3:eq ue^ u{r[ '19 rp e,(ursu1,le:3 ]usnd 8uu.(
N 000, dutel ueqaq lnlSue8ueu lul ue1 ''t, rp e^ursul
-t,tur8 ttsnd uup N) ;ZZ e(u:,l;.raq ue^ lrqol ZS-LI*
IS.IIIOS-I,I IBOS
g rp edrd Eped.--. i:vir.qrp 3ue,{ u,{u8 uep le{rue^ uues lutuozr:oq-:- - : - I urp y rp lBrurou rs)eel uelnlual'zsAU s'J =,-=:r-:r .r::.-.r3drp 1n:t e>1rJ reqrue8 eped ue)Inlunlrp:-:,-.:. '.-i: ::,liue rp rur edr4 'uu{requrp ledsp e,(uJel,.--: : -T: ,: , iiuiurluud N OOO snleq edr; .19-11
'g rp udrd epzd 1rutu.x-]:.: i-.. i.,r-: r.rEp IpItue uep leluozr:oq ueu
-olu;r !:r'---:: r.':1 i.ru rpe iuau y rp ptulou IsIeeJ
uelquq.-.,.:;'".;..::'. \.jt rr:(undrp tedep 8ue,( ulnu-ts>pu uer:j-.:j* ':rririu:I rtquu3 eped uellnluntrprlredes 1rur ::1i';:: .:: rig uf,tireqerp ludep e,(ure1
-eurerp uep ui 9 ri';-ii:ri'uid \- (.x16 snqeq udr4 'gg-11
6t'LI/&t-Lr tl,os
'Z,O = li uup S.0 - 'r1 Bursuur
-Surseu qelupu B uep y Ip lrteurl uep 1r1e1s ueyesa8
uersqeo) 'g Ip uep y Ip lry{ enpel uep Sursetu-3ur
-sutu uped lulrua^ rs{eor qElrJuJ 'u8n1 g uup y rp lr]€lsuelesaS rstle8ueur qnlun dnlnc 8ue,{ g e,{e3 uelr.req
-uratu nlr ?ue.ro rpq eieu 1u,,nu ueludec:ed uu{nlueJ ,rp e,turselr,te.r8 lesnd uep p E1g u,(uleraq Elehtr .6t-tl
Z'O - )ti q?tepu g uep y rp lrreurluelose8 uers rJeo) 'N 00t = J e,(u8 ueSuap 3 rp e,(u8uor-opueur Sueroeses e1rI e,(u1e,,'ru uuled.ro.red uelntuoJ a)rp u(urselr,tu:3 lcsnd uep 51 g4g e,(u1e:aq ulal .gt-tl*
I'-I,I IBOS
'Iou qeppu (Suudunuad rsrs nule) ueu
-EI rsrs rp Epor-Epol eped leu:ou rslee: 'rpe[re1 3ul1n3-3ueu e.,rrrlsued eluo)J uedep r.rep teqlgp Irqour lrnp
suqeq-epueq ure:3erp qupequleg '.7n[tm1a4 dqes e1r1e1
tsDlsuDrt ruepSueut 'reque8 rp uellnlunlrp ryedes ,uep
elnures e,{uuu1era3 qe:u lrpp o06 Julndleq pqou qul-eles rpe[:a1 rclntu ue{e 3ur1n33ueu E/(rlsrJed 3ur1n3:e'1
IEpg Uqoru :e8e 9 rsel,te:3 lesnd uep q srtul unul-rs1eu uerSSurle){ uelntuel 'g'0 = rd qelupu uupl uup
Epor-epor Eretuu lueurl uelese8 uersgaol elrl epor
ludueel epud uelgeqrp 3ue,( rue: ue8uep :elnd:eq uep
drles relnur 511 67 e(ulereq Suuf lrqour qunqes .tt-ll
o
o
i*tu q'{) -- tu 9T)*
u! 9'01
ttt f u!
$
6ZVI,III \\'-VC : )II^\)II YX INV)AW
30 BAB I7 KINETIKA BENDA TEGAR
17-53. Mobil van beratnya 22,-5 kN dan ptrsat clavi-tirsinya cli G,,. Virn ini nrengangkut beban tetap -l kN
yang pr"rsat gravitasinya cli G,. Jika tenaga digunakan ha-
nyu pirrla locla lrelakang B. yang nrertyebabkan tuereku
selip di aspal.iulan, tentukan percepatalr Van. Koetlsien
gesekan kinetik antara roda-roda dun aspal.ialan adalah
[r = 0.3. Abailian trassa tocla. Rocla-rod:t depan bebas
nrenggelirrcling.
Soal 17-53
l7-5J. Carpu pacla tlaktor lrlenopang papan palet yiurg
rrrerr,r.rngkut rtrassa .100 kg. .lika koefisien ,eesekan sta-
tlk irntura qrapan palet clan garpu aclalalr p, = 0.4. tentu-
kurr |eleepirtan angulal a*'al tertresrr clat'i satrrbutrgatr
\ iur-g nren'lu n gki nkan beban clirpttl tl i t u r u r t krtrt sebel ttt-tt
i.r uruili selip pacla papart palet. Pelhatikan bahrva sitnt-
bungan traktor ntenyebabkrtn bebatr bet'tratrslasi trte-
lerrukung clerrgan.iari-.iari -l tn. Serrtttla ['reban cliant.
I 7--i5, Pecahkln St>irl l7-.5J .f ikLr lrebrtn tlitrtril;kttrt.
't'17-56. Peti C beratnya 750 N dan dianr di elevator trukyang koefisien gesekan statiknya adalah pr, = 0.4. Ten-
tukan percepatan angular arval terbesar cr, mulai dari ke-
tudaan diaur, yang dapat clipunyai sanrbungari paralel AB
clan DE tanpa menyebabknrr ,r.,t selip. Peti tidak teryu-
ling.
l7-57. Peti C berltnya 750 N dun clianr cli elevator truk.
Tentukan gesekau awal clan gaya norrlal elevator pacla
peti.jika sarlrbungarr paralel clibeli pelcepatan algularcr = 2 nrulai clari keirclaan dianr.
Soal l7-56117-57
17-58, Batang nnitirrn BC beratnya 200 N clan clihu-
bungkan clerrgan llirsak ke tlul satnbungatl )iang rnas-
sanya rlapat rliabaikan. Tentukun nronlen M yang harus
cliberikan pacla sanrbr.tngan /)C agal DC nrengalami ge-
rakirn angular yang clitun jLrkkarr paclit saat d= 30o. Juga.
belaplkah girya )'ang bekerja cli bagran ilB ?
{jerl
U.U'.1 li.ri.rltli r:r
CAfi(
{
0.r, u)
6.; - _l rl,J,,r
4-1.ira<ilsl
F,-rl l rr,-.l.tO rtr:< l.lti :U
Soal l7-54117-55
Soal l7-58
}I
r(/'0 - t('/,rt
= ti'fri r,tqr:t1 r.r:pr:,{rr:rrr uua.n-'I .O rru;-tr:p lrclLrrr.raq .7 1r1r1
t;tltttt:ttt unittap 9-l l s.rad t.tt:p Srrrrr'.5'ra17 ilr.r:r rlolo.raclrp lrtlnp r:irrl n"7 = "7y3 lrsr:g
T)"1 =t'tlzD-rotrt
=t1,nlttr -t7g{).r
-cottt - " (D n)ur - " lZntiuclas )-rlnllp ll'rclpp trrr ullrecl )Jlltrrn
trr:>1c.reF trur,ltulls.recl u3r1e1 'c,{trluQlIV ',r. e lt)ttt,tl h'un,i tlnlal h'ttn,t rsnlo.r
rrtltttrrs drrltntl.tat t)puaq t)ts.t)ut u)ut()tLt [relulu^rrarir 3un.r-r>1 ul)rnl] uullllpr1)[rls nlr l?tra.ml rrup^-/rrl +!)l = "7'1c1u.n:d nqrurls urrro.roo] r.n:q n(l2.rrrr
+ 9l) = "WZ {) ruf,urles s-ptu rp ur.:r.lurr.rs.racl 3uu1n ur':>lsrpruaur 1r:du1t i:1r>1
'nD.r = /1'r;1 r.^ulrlsqusrrenr rn?8trec'O rll?,{\eleru rrrr.rol)c,\ r.ll)e1 suui r:u
-e.rul [r1?[3]pturlirad uru[ul) Ins^unl.re] rypr1 "1'e;rrr rrar-r.roru unlquq rm1rll?q.red
(!'t-il )nD1+r(DnlttrC.r ="rUZ'."1114r)Z="1,4!Z+7
uulLlulllqurou 1rl 'rlil-ll .n?qrrn.rD 'uIrleulI uur3ur1.r r.rnq '"gtntlt)JilltP 1D1 3uD.t uxu3 r.-uururrlaiueur Il11u11 6) 1p trdel'duputJ.rel rrourorurur.l>1tplltur-rluotr Ilrirrn rll?puur rll?11?ll1? [r1?luos.recl 1r:,(rrlrrl unrluCJ ll]l Itlrldr:pur1.ra1 "()n)t,, uup J1I)n.1rl 'no7 tlaJo rn?)psctlrl) iur:,{ '/lY7trr)3 ualu()u,r
ry1uu ueSuulrq.rod nlus llulus [rr]Ir1?lltr1? cpuacl iurll rp rllltt? iuu.utclr-ues 7 111r1
duptlt1.re1 r.ror.r.rortr utlrlupunlired t1e1o 0uu8rp ludup rraluoul ucuunh.red
r,DI =!)r,,13).r:c,ttr
=tlrnyttr - lgg
D.t-tottt = u\'Dl1tt = tt ,!7
)llltlacl ttll?lup ttll)r-l ln-1rp 1r:dup uprrecl )lutrrn rllul.lacl 3uu,{ uuT:.rei uuntuus.rad 'a LI quc]qnS
rp rn?Ir.reqrp 8uu,{ ur.ruu:nued rl:q 'g lt?,\\el rrup rmunTll?rl sn.ru1 lciel iuu,{ruqtuus dupurl,rel iunlrqrp 8uu,{ tlpuec1 ur)^.roul rreurorlr 11-lp:1tu nr7 uuiuol.l ':)7
n.itr.rns'ac1 uup n uufuap uurus 3uu,( qu.m ruull?p ufte1eq nI)7 .rotlen '''(!)tr)r,t
uv4t tlDnlttt -ru.r';q ru(trndruou"r uep uulcdec.red ueuodurol uufuep r:rtnts
iuv,(, L1n.rn urulup t.:lralaq rur .rol)?A--nJIoA 'up[roq rss-t]ur lusncl ll?ur.rou ul?l)
lursueirnzl ut.r1r:deo.rad ueuocltuo>1 uc8uep ur:>13unc1ut1rp 'l?IrtatrrI tur:.riur1'l
upud rrullnlirnlp 3uu,( '"{Dn)r, uup i 19u;ar ueucldtuol unpey upueq ultud
ufta1aq 3uu,{ 1uu.re1s1e r:,(r,:3-u,(u3 uu4.:1e,(uatu l?Ia.teru urra.ru) suqaq-upueqtur::Surp r-uulup )l1sr?ru-re1 "g lrdel'rslual rrup 'iur -,1,1 'upueq tu.reg '(pl-Ll-IuquuC tp uuqln{unltp l?puaq llltur.l u)rlerrr{ uup :-uQeQ-upuacl un-l.riurq
'(D rlu.n3 rlnped 1ct'O eI g lltu Ln?p LlD.tD.taq nlDlar^ \u. ueuodtuo;q'D.1-1q = "1,r,l) rJulupr: lDLuJou trt4nrlat.tatl uatttxltuol n.itt.rns,tg 'to l?prraq
.rclnirrr: truludec.rad ue8uep ualsrsrrol StwK t1n-rn urelup e[re1 :-r.rui uu1.ra)-rn
= t(Dn).llszz7 tr-l,(uudanatu trnlotl,t.t.t,,trl lntsuaStrnl trattotluroy ltlri.rou rn?P
lutstteiuttl tratroclurol qelo uu4:1u,(utll tur )rlll uclr:dao.red 'ttn.tn;1iittt1 trns'n1
-ll, rr.rulup 1u.re8.req , uptreq us^St:trr ll?slld r?ueJl]) 'upuacl r:ped ul-ra1ac1 3urz,{
rurotsrs Ieclo>l rreurorrr rrup lcrr.ralsla c,{u8 uulquqa)-tp -rcllt8rrll urludeo.red uu1.t
.ruilr3uu ucludeoey 5l rp trdel rlc,r\olour rn?p nrr ul?rtrulurl )-rl.rnl Iu8ol n-uc,{
dulet ucluus dupuq.ral lu)rl.ro^ Suuprq tuulup -n1nd.req rsuluqrp 3uc,{ 'r71-LI .n?qrrn?D rp uu>1>lnlirnlrp 8uu,( (8uedrue1 nulu) .ru3e1 upuerl rrc)r1ur-l,red
(9t- Lt )
(rt-ll)
j+
L;IrI
a
IC.\I-IIflCNgW ISVIOU
Y)II\\ \IC :)tiN)3J V)INV)AW
dYIgI NSWNS:NVXYUSS NYYWVSUSd 7''I
Tg
l, BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
Untuk terapan, harus diingat bahwa "I,,cr" berlaku untuk "momen" m(a5),
dan I5u terhadap titik O, Gambar 11-14b. Dengan perkataan lain,ZM,,=Z,(M)(, = 1ocx, seperti dinyatakan oleh Pers. 11-15 dan 17-16.
PROSEDUR UNTUK ANALISISProsedur berikut ini adalah metode untuk memecahkan soal kinetika
yang menyangkut rotasi benda terhadap sumbu tetap.
Diagram Benda-bebas. Susunlah sistem koordinat inersial x, y alau n,t,
dan jelaskan arah serta haluan percepatan (a5),, dan (a5)r, dan per-
cepatan angular benda o. Ingat bahwa (a5), harus bekerja dalam arah
yang sesuai dengan cx,, sementara (a,;),, selalu bekerja ke arah sutnbu ro-
tasi, titik O. Jika haluan (a6), atau a tidcrk dapat ditetapkan, asumsikan
mereka dalam arah sumbu koordinat positif. Akan memudahkan bila
vektor-vektor ini ditunjukkan dalam sistem koordinat. Gambarlah dia-
gram benda-bebas untuk memperhitungkan semua gaya eksternal yang
bekerja pada benda dan hitunglah momen inersia 1" atau 1,,' Tetapkan
besaran-besaran yang tak diketahui dalam soal itu. Jika diputuskan bah-
wa persamaan gerakan rotasi xMp = \(Mip harus digunakan. yaitu,
momen tidak dijumlahkan terhadaf titik G atiu O. maka pikirkan untuk
menggambar diagram kinetika untuk menlbantu "membayangkan mo-
men" yang dihasilkan nt(a6),r, m(a6), dan 1o'o ketika menuliskan suku-
suku untuk jumlah momen L(Mip
Persama.an Gerakan. Gunakan ketiga persamaan gerakan, Pers. 17-14
atau 17-16.
Kinematika. Gunakan kinernatika jika solusi yang lengkap tidak dapat
diperoleh langsung hanya dari persamaan gerakan. Dalam hal itu. jika
p e rc ep atan an g ul ar adal ah b e ru b a lt - ub a/2, gunakan
cr, d0 = ro drrt
Iika percepatan angular adalah konstan, gunakan
C0=(D0+CX,c/
0 = 0o + aot +17rarP
<,r2 = o2o + 2cr.(0 -06)
Contoh-contoh berikut ini rnenggambarkan terapan prosedur
.t
.a
deo:-dr
datc(=-dt
rnl.
t-
uDqDAof lVetW\^er tL'z=[ *" ]pErrtJ=e
.IPEf
(= pBr I'tt - pur I'fl - e(o - eXrsTpur t'tt -)z + g = r(s/per 0z - )
(oe-e)"rcz+aoto=-or
zsner L'll - D
n(.u'3>19'0) - = ur N S - (tu Z'O)X Ot -uDqDon[ tri loi = ]o
0=N0l -NEt6Z-'\OuDqDtwf 0 =rO
qeluslper Oz.resagos uel runreI qureas 8uu,( ruln8ue ueledecel redecueu >1n1
uerlec qndtuelrp snruq 3uu,{ uurpur r{eltunl eleur ,uelrstunsetp I
-es uelurmelqerees relndreq uup eluutsuo{ qelepe p Bueru) .D2lqDraaul
+1
:'t(co)tu =(cKI +
'.x(9o)ru = "JK *
sI-lI rEquBc
(q)
rl"l
'n uep 'np '*g qeppe rnqete{rp 1u1 8ue,{ uprpsaq u8rtey
z. 3rl 9'0 = -( tu Z'0 )r 31 0t )7r = -tur77, - " 1
qelupe lrdel depeqrel tuurluc erslour ueuoIAI'ureI runrel qu.rees 8ue,{ rulnfuu
ueledec;ed ru,(undueur tueJIEr'unureu lueledec_rad rqn.re8uedrp luprl, 'tr;rq-:,"pr;u;
uu8unlq.red tuelep rlet esseur ueItBqV ru'N S = l,f uetsuol 1edo1qpnqes uup 'e,(urdal r8urlrle8ueu uu)tllllp 3ue,{ rp1 eped uelet-rp 3ue,( 'N 0l = g e,le? rreqrp uru.r{EJ l,trdel rp rsqee,r qeledeleq ,uB
s/pe.r 0Z .ruln8ue ueledecal redecuew 1n1un u,(ulenqrp snruq Buu,{ ue.rutndqelunl' uelntuet 'ururp ueupeal uep rclnru el EIII .u,{utesnd
Ip lrdel
6- 'I
HOI\OJ
€g \rxrl{Y^\rc :)IN)3J- V)INY)AhI
lunllp 8ue.{ 3t-Og
$f a{B l; zuNETIKA BENDATEGAR
:]1]TTOH 17 -10
Gambar 17-16
ramplng di Gambar l7-1 tar dalam bi-
dang vertikal, dan saat itu ia mempunyai kecepatan angular ro = 5 rad/s. Ten-
tukan percepatan angular batang dan komponen reaksi horizontal serta ver-
tikal di jepit pada saat itu.
($)
SOLUSIDiagram Benda-bebas dan Kinetika. Gambar l7-16b. Seperti ditunjukkan
pada diagram kinetika, titik G bergerak dalam lintasan lingkaran dan dengan
demikian mempunyai dua komponen percepatan. Adalah penting bahwa
komponen tangensial at= a"rc bekerja ke bawah karena ia harus sesuai de-
ngan percepatan angular cr batang. Ketiga besaran yang tak diketahui adalah
on, of dan a.Persamaan Gerakan
I')* Lf n= mg'r6,
+lrr, - ma.rc;
(+LMr= IGg;
Dengan memecahkan
Or=750N Or= 19.0N
Solusi yang lebih langsung untuk soal ini adalah menjumlahkan momen
terhadap titik O untuk mengeliminasi O, dan O, dan mendapatkan solusr
langsung untuk cr. Jadi,
(+LM,,=L(M1,),,i 60 N m + 20(9'81) N(1'5 m) =
Ir/,(2okpJ3 m;2lo + t20 kg(crXl,5 m)l(l,5 m)
cr = 5,90 rad/s2 Juwaban
Juga, karena 1,,=t/3ml? untuk batang yang ramping, kita dapat menggu
( + LMo= I,,u; 60 N m + 20(9,81) N(1,5 m) = [1ft(20 kgX3 m)2]cx
cr = 5.90 rad/s2 lawaban
Dengan membandingkan, persamaan terakhir memberikan solusi termudah
untuk soal ini dan tidak membutuhkan penggunaan diagram kinetika
On= (20 kg)(5 rad/s)2(1,5 m)
- O,+20(9,81)N = (20 kg)(cx)(1,5 m)
O,(1,5 m) + 60 N 'rr1= ltl2(2}kg)(3 m)2lcr
a = 5.90 rad/s2 Jawaban
a
) .,="*"
a
r7
lI-trI rBquEc
'Bp
-eqraq Bfulrseq ede8uetu ue{sulel uep zslpeJ 6OZ = o u,r\qeq uu4lnlunt'r1q epud uu{rroqrp N (18'6)02 uXeB uep nqwolp {oluq B{rI :uDtotDJ
uDqDilDf (zslperf,'ll=to(ur t'OX(n ut r'0)BI67l + n(ru E{ Sf'S)
= (ru r,o)N (tS,0)Oz!(W)Z="WZ +')
ueltedeprp 'nO urp'p rnqelelgp
ry1 8uu,( uErESeq rseururrle8ueu {nlun O depeqr4 uetuou ueeuesredueleunSSuaru uup g 'sJed ueluunSSueur ueSueq 'urrlt r?g armraDsrad
'O {pp dupuqr4 ualqulurnlrp ueluuetrrorrr Buer€) ua11nlunlrp u>lrleuq urur8erq ')Ll-Ll JBquBD '7o38un1walns rc?eqes {oleg uep lunrp duSSuu8uaur ue8uep srsrleue rJEp rseu-ltrrllelp wdep 11eqe>1 uu8ue8el 'Dfrawx uDp sDqaq-Dpuag uol&uq
uDqDADf
II rsffios
( .s7pur t'l I = n
,s/w l$'l = o
N 9OI =J'sule rp ueuruesred-uueuesred uuIqucer.ueu uu8ueq
(y'g)n = o'ln = o *')
v11vw'o Ll- LI JEqueC'u lursua8uul uetedecred uauodruolre,(undrueu unrp uep rlel eJulue y {Bluo{ Illl euere) 'mllquaux
:((9o)r, = (-{31
+
inol =o1ry7q
804l
Elli --.''.'... ;
/ 'l)
, ,flyr4 \, --1 I"{t^''''
N (t8 6) 0?I
Fh ilti
"o "'i"
= {tqF! \.lJi \+*-rlN
( 11l'6) @
{q}
N(ls'6)i
(s)
k)(r)
DOZ-=J+N(t8'6)02-n(ru 31 gL'E) = (ut V'1)t
,lti
I'{oleq wp unrp Inlun 'lpBI ''(O uep'6r rnqelI-aIIp >1e1 8ue,( upJeseq dn>lucueu rur ueeuusred-ueeruus;ed BueJBI ,uXuuu
-qucaurad r8uq Suqued {uprl urnrp epedK(9o1w ='(g3 uup *19o1w =*gg
TsBISUEI uu4ere8 ueeruesred ueldureueur uu8ueq 'uDlDog utmuDsrad'n uep D 'J 'tO '' O'n1ru,( rnqule4rp 1e1 3ue,( uBJBSeq Br.url BpV
zwBl1.st't =.(ru sz'0X3>109) = orlw
=oI
qelEpB unJp Brsreur uel'uotrAl'uo[ wntof qoto uDuDturDqaq 3ue( n urnrp
reln8ue uuludecred uelqeqe,(ueur rur 'u uu8uep qD/ Dq a1 ledecredrp
Iopq uolrsrunsu8ueu ue8ueq 'qU-U ruqtueg 'qesrfue1 urecos Iol-Eq uep urnrp ue>lrluqreduau uu:lu BIDI Iuls IC 'sDqoq-Dpaag uot&mq
I ISmOS'urnrp ruln8ue uuledecred ue{ntuel'uelsedepp ned e4r1'3I 97
e iuesseur Suef lopq e{ uB{lDIIrp uep unJp rdel r8urple8ueru ueltllll1puc\rpqerp ledep eXuesseru 3ue,( rlu1 qenqes 'u SZ'0 =
07 u,(urserr8 rrel-':e[ uep 31 gg e,(uussew DLI-Ll reqtupD rp ue41n[un1rp 8ue,( un"rq
-rr(rB'5)09
a
tI Hor-\o:)
stII
\)II\}..\IO : X L\X:LI \) INVXAhI
r36 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
oH l7 -12
(lj)
Gambar 17-18
a gila tak sei yang oltunJuKKan
mempunyai jari-jari girasi ka = 0.18 m terhadap sumbu yang lewatmassanya G. Jika ia mempunyai kecepatan angular 8 rad/s pada saat ya
ngapa? Vektor m(a6)1 = fttctrc, nt(a6'),, - nlu'2rr, dan /ao. ditunjukkapada diagram kinematika di Gambar 11 -18b. Di sini. momen iners
,, .--..-- roda_eila terhadap pusat massanya ditentukan dari jari-jari girasi dan.--,.:-..! I rodagila; yaitu,l"= *kL= (250 N/9.81 mls2xO.t8 m)2.
, Ketiga besaran yang tak diketahui adalah O.., O.,. dan u.Persamaan Gerakan
2)lcil
frtrra
LL r, - *t)'ro, o, = f-1501-lts ,uatrrr t0. l5 m )
\9.81 m/s'l
+ Jrr, = nlarat - o, + 25oN =[-:lofl,o,,o.,, *)\9.81 m/s- /
( +ZM" = I Gg 120 N m + O,(0.
Pecahkan,
cr = 112,5 rad/s2 O,,=244,6N
15 m) = (0,826 kg m2)cr (3) t
Or=-180,3N Jawaban
Momen juga dapat dijumlahkan terhadap titik O untuk mengeliminaslO, dan O, dan dengan demikian mendapatkan solusi lcmgsung untuk cx,
Gambar l'l-l&b.Ini dapat dilakukan dengan salah satu dari dua cara, yaitu,
dengan menggunakan LM,,=Z(M1),,atauLMo= I,rcr. Jika persamaan per-
tama yang digunakan, didapatkan
( +2M,,=L(Llt1),; l2o N m + 250 N (0,15 m) =
r0,826 kg,"',".[[*H)u ro.rs *r]ro,rs *,r
157,5=1,399o. (4)ItkaLM,, - 1,,o, digunakan, maka dengan teorema sumbu sejajar mo-
men inersia rodagila terhadap O adalah
r o = r c +mr] =o,azo.fpl(0,1s)2 = 1,3ee kg.rn2I e.8l i
Jadi, dari diagram benda-bebas, Gambar 11-18b, dibutuhkan
( +2Mo= I.a;720 N m + 250 N(0,15 m) = (1,399 kg m2)a
yang adalah sama dengan Pers. 4. Dengan mencari cr dan mensubstitusi
ffi-ilfikifiddd}ffid-.jarum.jam. komponen percepatan tangensial akan bekerja ke bawah. Me-
dalam Pers. 2 didapatkan jawaban untuk O, yang diperoleh sebelum ini.
r
(gl-Ll srad tsql'1) D v1 =
v;,g3 ueleunSSuau qelal ptrx
'!ursJp'unusN ydupeq:at'49o)wuWnDluauouuq?untrq:adrpsrusqP{Bu'ueleun8pY(rW)3=vWZo:4lt*
uDqD$D[ 3* 9'Z-"Vo='v o=pw{tedeprp g rBdues I 'sred uBlqEoau
-etu u?p o0.6 = 0 uESuep I 'sred tuBIEp aI IUI Iellu Isnlnsqnsueu uBSuec
t l3 g= ra
ep e soc :;!ul
o la r',; = orp ,,0[
uu)peduprp'o0 = 0 epud g - ol uueJB)
epesoo(t1A9't =cDpto
uelpsuq8ueur 3ue,(
', uvp E'sJed rrBp D rsuultulle 'o06 = 0 eped co ue4udepueru 1n1un'u8llnlurs rsnlos rJEcueu Suepes BlrI Buerel Sunued IUI '[ 'sred
qere ue8uep runses IuI uuuuresred 1nlun;rlrsod qEJB e.{\qeq uellleqJod
wn-apa(+) I
uuetuesred qelo e oI uu4Sunqnqrp tudup o uep n ue8uep 'ellteurauDlueleunSSueur uu8uep qeloredrp uelqn1nqlp 3ue,{ ludurael uBsIUESred'6 3ue1eq rsrsod epud Sunlue8rel eI 'ueIurcIetu '.ltDtsuol 4Dp! n'€ 'sred
qelo uel4nluntp uredeg 'D uep o 'Ly'uy:se1e tp ueuurusred e8r1e1 rp rnq
-elelp ry1 3uu,( uuruseq ledtue epe O ntueuel lnpns {nlun 'o\!DMaa!X
@)
6I-II IBOS
(q)
I
7,t\r\,,,rr)
(S) n(r1wt7r1 = (z/)e soc 3w
k) Gh)na - e soc 8ru + lv
(f ) G/t)zau = Q uIS 3* -uV
hv1=vgg 1--:,,.ctnu -tczr.*
ictraw ='J3\+*'eues rp rs4uer e,(u8 rseururle8uetu
Intun y depuqrel uulqelurnftp uels ueurotrAl 'utyonD utmutDstad'Tlwt/r =
v7 qeppe y 1pu depeqret Sueluq BISreuI uetuor\l'urel runrel qurees ufue1eq ?l €,^ qeq
1e8u1 I uup u qere ruulep e[re1eq uullnluntrp y ry eKeB uauodruol 'e,(u
-qepnu Intun'q6I-ll ruqruuD'6) ulnurn tsrsod ruelep epe 3ue1eq e1na1
uu>plnlunlrp 3uu1uq )$un suqeq epueq uur8ute'sDqaq-Dpuag wotZmg
ISn'IOS'o06 = 0 lees eped 8ue1uq eped
l' Ip trdel ue{rreqrp 3ue,( 1e4r1rel u€p l€tuozlroq e,(u8 ueuodruo>1 ue>1nl
-ual 'o0 = e BIrteI luurp ueepBel uep uulsedellp uep 1 e,(uSuelued uep
rrr e(uusseur D6l-LI reqtuuD rp ue>plnlunlrp 8ue,( Surdurer 8ue1eg
t
€r'
LE
rT HOI\OfI) I I\T'\-IC
: )IIN):I] Y)INV)AN
38 BAB I7 KINETIKA BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
17-59. Cakranr 80-kg ditopang oleh jepit di A. Jika ra
dilepaskan dari keadaan dianr clari posisi yang ditLrn-
jukkau di gambar, tentukan kontponen reaksi horizontal
clan veftikal rrula-mula di .iepit.
''17-60. Cakram 80-kg clitopan-e oleh.iepit di A. Jika ia
berputar searalr .iarut.u.jaru dengan rrr = 0,.5 rad/s ketika
pc'rsisinya seperti pada girr-nbar. tentttkan kotlpotretr te-
aksi holizrrntaI clan veltikal di.iepit pada saat ini.
17-61, Roda I O-kg jari-jari girlsinya k.r = 200 nrnt. Jika
loda ctipengaluhi nronren M = (5t) N nr, dengan I dalam
sekon. tentukan kecepatan angularnya ketika t = 3 s mu-
lai clari keadaun dianr. Juga, hitung reaksi yang clibe-
rikan.jepit tetap A pada roda selanra -qerakiulnya.
17-62. Roda l0-kg jari-jlri girasinya t.l = 200 rlrrr. Jika
rocla clipen-riaruhi rnornen kl = GA N rtr, den-r:an 9da-lam r.lrdian, tentukiur kecepatan angularnya ketika telalt
berptrtar dua kali nrulai dari keadaart clianr. Ju-ea. hittrng
leaksi yang dibelikan .iepit tetap A pada t'oda selautit
serakilrt.
17-63, Drunr berltnya 400 N dan jari-.jali girasinya (,, =0,12 m. Jika kabel, yang nrelilit nrengelilingi drunr,
dipengaruhi sava vel'tikal P - 15 N. tentukau waktu
yang dibutuhkirn untuk menarnbalt kecepatan angular
drnnr dalr o r = 5 r'ad/s menjacli az= 25 rad/s. Abaikan
r-nassir kabel.
'1'17-64. Drunr beratnya 400 N dan jali-iari girasinya /<,,
= 0.12 nr. Jika kabel, yang nrelilit nrengelilingi drunr.
clipengaruhi eaya vertikal P = ,l5P + 25) N, clengan tclalarrr sekon. telrtukrn kecepatarr arrgular clrunr setelah I
= 2 s.iika pacla saitt / = 0. rrr,, = 5 rad/s. Abaikan rtiassa
kabe l.
(o
17-65. Drunr beratnya 100 N dan tnentpunyai iali-jarrgirasi terhadap pusat nrassil sebesaL 0.24 rrr. Jika balok
beratnya (r0 N, tentukan percepatitn angular dt'ttur c,,iika balok dibiarkan jatuh bebas. Bandin-ukan l.rasil o,ini dengan hasil yang clipeloleh dengan tttemindahkan
balok clan rrerrggunakan gaya sebesar 60 N pada tali.
Jelaskan Inengapa hasilnya berlreda.
bSoal l7-59117-60
Soal 17-63/17-64
Sozl 17-61117-62
Soal 17-65
r{
v"
'Suunqrp 8uu,( sr:ye1 usst tu uulruqv'l-tllllp uPepu3I l.rcp Il?[1ttl s f = .l Ltltrlup sl]liel Ltl I
Ir.n',treru 1n1un uuiuopuolafi r:pud uu{riaqrp i^n.mq 8uu,(
rr ur?tsuoI Il?In-lal n,(u8 ur1nlua1 'Z'0 - )d r:Xu1rlaur1
un)ar^ai uersrlaol 8ur:( Surpurp upr]|d .mpuns.recl uui-uopuolaE EII1 gy nlrs-nlrs- rsaq unp uufiuap r,l,(rrfrun[n
r:npe1 lrdeluatu ur:fiuap fiut:do1rp rur ur':Suopnolag'y IIln lc,^Aal iut:,( nqtuus dupuq,ral tutu Q(] =
H7 tsu.ttS
r.rnlr.ml' rn,{undtu out f, 1-67 rtyal uciuopuolag' Z L- Ll,t,' nrin-lal )^l?ilal l,IIlaI
ueiuopuolaS,rc 1 niun uelr':dac.rad uolnlua]':-cl-ral iu n lilr.:pr?d unluaqrP N 0f = rr lulrlJa^ u,(n8 ur':p rT(u1rleur1
tuulasai uelsrleol 8uu,( Surpurp upud -n':puus;aq uufuop-uo1e8 r,l1t1 'By nlrs-nlrs rsaq cnp ur:8uep u(uf,unlnr':npa1 lrdeluaur ur.l3uap Surdolrp rur uuiuopuoleg'y Iltll nl,^A3l fuu( nqtun"^ dr,rpuqral lutu 06 -
vry r.r::rir.rnl'-r.rul rl:,{unduraur 61-97 .r:ya1 uuiuopuolag'14-41
'B uup y rp ur':furpurlei l?ssl?t-u rnrp lequ\ rr\
-\^l'r.Ll ur?Ircqr: unSunlrq.rad Inlun 'u-l gg'0 = "-y r':,(ursr':.rr;l
r:r:I'-r-n,lI utrp i1 gg r':,(Ln':s^snttr uu-rcclttrn;,1 'luurp ulllrpua\r.rcp nllnru s t urunlss ru 8 m.rn.lal 1aqu1 .u:it-u lacp:1 upr:d
uulUoqrp sn.tuq 8uu,{ d rruts^uol u(ui ur':1n1ua1 '€r uup f'Ip IIreI uniurpurlef npr,d fut:do1rp uu.urckuny 'gg-Ll .
'g uup y rp ur,t8urpurlai uss^l?t-u unp Ia.pI cssuut uul-rcqe ur.l3un1lq.rad >1n1u6 'ru E9 0 - "-y u,(ursllri r:ul-r:nt'
ur]p i1 69 u,(Lrns-s-ulrr ur:-nrdtur.r;,1 '1ac1u1 rprrd uulr.raqrp
N 08 =d lr]xrl-r3^ r](r':3 r:1llg ur?p y Ip il':tu.rou |r,(ni-c(-ui rn'p rnl.n':dtrn1 -rulnitru ur':lnclao:acl uulrlluaJ 'g uup
y 1p IIIaI uniurpurlef upr':cl frulldo1rp un.n:durn;4 .49-11
= i :-"( r':pr':d r],(u.rulniuu uupdaoel unllllual '006
. - j ..r-!a,, ur uIrlol r.tmrp ulrpual riup r,urIs-udaIp
- - . - ::"rpr].r trrr':lrrp 6t uu8uep '(Bg L)y'1l qr1lupu
: . - .-: 'r r:i3urqas 'pni/Lr"r'N -c'f = ) ul,nlula{
: - ..- - i--d ur':.rrllrnd sr:ied quncla"^ upud u:r1iunc1
-. .rtt'\nd Ip rldel'lp 51119 iuurr:g '61-11
= i --. -:r: ,-::",::llrr: urrltdcral uulrllLrol ,,,06 =A ;;
- j -- _= - -. :.i :ur.rp uuupuel tJup uuls-udalrp iunl.-: - i _' _---.-, *- -: p ur]iuap ,N
@s.L) - l4l qrllnpr?
rn(unj.i:-: .-:-..-: ',-:'t,:iid suiad qunqas r':pr':d ur':1a-unq
-nqlp un? ar -..'-.--- j : lrdal'rp p-gg Suraug '69-11
'upaq.req uFulrsr,lq
t'tduiuant ucli-tl[al t1:1 upl:cl 51 6;, r:(ui ql;nqas uu)nu
-niiuatu urrp loluq uulqr?pr.rtuatu uniuap qap-rachp
8uu,( tultu ut:8uap tLtt on tr':1tu uulSurpur:g 'suqacl qrrlr':I
uul-turqrp r1o1uq ulr l' (1n nt n.rp .rul r.riur: ur':1r:clao.red ur.:1 n1
-uot 'N 0.i u,{uluraq lolr:q EIrf lupr:cl rapurlrs ruir:qas
uc1n1u1.radrp ludu1.r uup 51 661 r':,(u1r:.raq urrl.rq '99-lI
a
89-LuL9-Lt
99.II IEOS
0L'1U69'Lt lpos
6t\) II\\"\IC :)IN)EJ V)INV)AW
r40 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
17-73. Pintu akan menutup secara otomatis dengan
menggunakan pegas puntiran yang dipasang pada eng-
sel. Tiap pegas mempunyai kekakuan k = 50 N.m/radsehingga torsi pada masing-masing engsel adalah M =(50dj N m, dengan d diukur dalam radian. Jika pintu
dilepaskan darj keadaan diam ketika ia dibuk-a pada 0 =90o, tentukan kecepatan angular pada saat d= 0o. tlntukperhitungan, asumsikan pintu sebagai pelat tipis yang
massanya 70 kg.
17-74. Pintu akan menutup secara otomatis denganmenggunakan pegas puntiran yang dipasang pada eng-sel. Jika torsi pada tiap engsel adalah M = k0, dengan 0diukur dalam radian, tentukan kekakuan puntiran ft yang
dibutuhkan agar pintu menutup (A = 0o) dengankecepatan angular rrr = 2 rad/s ketika ia dilepas darikeadaan diam pada 0 =90o. Untuk perhitungan, asum-sikan pintu sebagai pelat tipis yang massanya 70 kg.
Soal l7-371t7-74
17-75. Kabel diurai dari sebuah kumparan yang dito-
pang pada gelindingan kecil di A dan B dengan mem-
berikan sebuah gaya i" = 300 N pada kabel. Hitunglah
waktu yang dibutuhkan untuk menguraikan 5 m kabel
dari kumparan jika kumparan dan kabel mempunyai
massa total 600 kg dan jari-jari girasi ko= 1,2 m. Untukperhitungan, abaikan massa kabel yang akan diurai dan
massa gelindingan di A dan B. Gelindingan berputar
tanpa gesekan.
*17-76. Kerja bel pintu membutuhkan penggunaan
elektromagnit. yang menarik pemukul besi AB, yang
dijepit di ujung A dan terdiri dari batang ramping 0,2-kgyang diikatkan bola baja 0,04-kg yang mempunyai jari-jari 6 mm. Jika gaya tarikan magnit di C adalah 0,5 Npada pusat bola ketika tombol ditekan, tentukan perce-
patan angular awal dari pemukul. Pegas semula tere-
gang 20 mm Perunjuk: Gaya normal di B menjadi nol.
II
t = 30 N/rn
I
50 rrlnri
ii
4{} mm
ia
i
44 rtni
Soal 17-76
17-77. Cakram massanya M dan jari-jainya R. Jika
sebuah balok bermassa m diikatkan pada tali, tentukan
percepatan angular cakram ketika balok dilepas dari
keadaan diam. Juga, berapakah jarak jatuhnya bola dari
keadaan diam dalam waktu l?
W@
a,
t
a
Soal 17-77
i8- Lr tt 8- Lr tz8-l I IBos
aN 0gt BXPB qelo IluBBlp g
IolEq elrl y Ioleq uelEdocrad qu)edereq '33n[ Iorle) Ip
drlas e,trgsr:ad uep llet esseru upIIeqV y {opq uetudac
-:ad uelntuel 'turu 002 ut[-ue[ uu8uep N 0S u]eJIeJ
ru8uqas deSSuetp ledup Iorte{ ellf N 0SI uep N 001
Sursuur-Surseur e,{u1t:aq g uep V Ioleq €npe) '18-LIx
'tolteI rp drles uep lpt usseut uuIIeqV tutu 002
= ./ Irquv y )toluq uelrdorrad ue{nluol '31-7 tuullec
ru3uqes deSSurrp redup 1or1u1 uIIf 3I 91 uep 31 91
Surseu-Burseur e,(uusseut g uap V lopq €npe) '€8-l,I
'Iorlt{ rp dtles uep rlet Essuut uuIIEqV'y lolequeludec;ed ue{ntuot '/V esseu ue8uep rue:1ec te8eqes
duS3uurp ledep lorl€I e{rf 'vtu <8ttr ue8uep'aur uep yrrr
3urseru-Sursuur ufuesseu g utp y )opq Bnpe) '28-LI
.,ll:,!
:l i--
'ru z0'0- .'-::-rS LU I0'0 = / luBs epud g !p {uluo) ueledac
-:'i --\--r:r 'rJcrp Elnuos uep'lBluozrJotl Sueprq uped
ri:::'::: :;ri- r:irI tues der]es leu8eu uep;e>13ue u:t1
-._: --r.:: -Tf. r:talu urEIBp I urSuep ,51(._i(t_01)z'0)
- :-..,r'
-:-'-;: ,g r: ::rSur rprd pluozuoq Ir:el B{BB
urrlrss.::--.:;:: :-'. '7 teuSeuortlala qalo IoJluoIIpuE{Erag h rr ::::i ;{f:jr:t :rtndraq tedup uep 31 7'6e,{ueswu Bt' ,iur.j'.gr-.: i'::rqr trtupulp :a13uy '19-41
08-LI/61-LT I€OS
nrlN{ 0l = rI llqluv rur uuded ulnu-Pl-nu relnSue uuludacred uElnluet'letuozuoq qulepu uud
-ed uep 6 = or uudud uep l?cuoleu er qzrs eped uup '.re8
-et uep ruroJrun qelupe ueded uelrsunsE8uau ueSuoq'3q-97 tecuoy uuded 3un[n I]?p teruolaur 31-61 3uu;o
BIrloI [e)ure^ urcros ruu 00t uulouet se8a6 'gg-41*
uriNlL=IIIq-ruv'Frluozuoq qeltpu uedud uup '0 = ol 'trtu 002 qnef
-es unurs)i€ru qelunl uepp rserduolrp se8ed 1ecuo1
-elu Er lees uped e,,nqeq uep':e8e1 utp rulo.Irun n1r uedud
u/'rquq uulrsmnsy 'ufuuup teJuoleu 3ue:o lees upud
v tldet rp plnre^ u?p leiuozuoq tslee: ueuodiuol utp
31-97 lecuol ueded :eln8uu uutsdec:ed ue)tntueJ'6I-lI
iurerp ueuprel rrep r?lnu y 7 qneies qntuf€l
qEloles lopq ueledecel qe{?dEleq'e3n1 uerp ueEpeer!
u€p sedelrp Ioteq E{IloI urerleJ :uln8ue uetedec:ad
uE{nluel 'rp1 eped UEIIEIIIp ru essBureq {ol?q qBnqes
e{lf 'U u,(uue[-uel uep ;,9 e,{uessuul urerIEC '8t-ll
I8-tI leos
8l'rl IBoS
wI)II\\"\IC :) I^\X3l- \XNV)I!IhI
{i 3.\B I" KINETIKA BENDA TEGAR
i--itr. Teli dililitkan mengelilingi bagian tengah kur.n-
::r--:, Jika beban B 25-N digantungkan pada tali clan cli-
::-r.kan dari keadaan diant. tentukan kecePatan augular'
\unrparan setelalr 3 s. Abaikan nrassa tali. Ktttlparanheratnya 900 N dan.jari-.jari gilasinya telhaclap poros A
adalalr kr= 0.i7-5 nr. Pecahkan soal ini derrgan dua cara.
Pertxnra derr,uan nrenganggap "sistenr'' tercliri dari lralok
clan kunrpalan, clan kemuclian dengan mengang-uap ba-
lok clun kurnparan secara terpisah.
l7-86. nrli clililitkan nrengelilin-ri bagian ten-uah kunr-
paran. Jika beban B 2-N digantLrngkan pada tali clan di-
lepirsl<an clari keadaan diam. tentukan kecepatan angulat'
kurriparan setelah 0,6 lr dal'i tali terurai. Abaikun nrrssa
tirli. Kr,rnrparan beratnya 900 N dan jari-.jari girasinya
terlrarlap poros ,.1 adalah /t,., = 0,37.5 lr. Pecahkan soal
irri clen,gan clul caLa. Peltalna dengan tlren-uanggap "sis-
tenr'' terclili clari [ralok darr kunrparan, clatr kentttdiittt
clengan nrerr,uirntgap balok clan kunrpatan seciu'it ter-
pisir h.
Soal l7-85/17-86
l7-{17. Sisteru girbungan dr.ra l]atarrc clilepaskan dari ke-
rclaan clianr clalanr posisi yang ditLrnjukkan cli gantbar.
Tentukan ntonren tekuk awal pacla sanrburrtan tetlp B.
Masing-nrirsing tongkat nrxssuuya rr clun panillngnya 1.
'r'17-88. Pipa 5-Mg clitopang oleh pasangan clna celin-clingan berbentuk kerucut yan-e diletakkirn di nrasing-
nrasing dari kech"ra ujungnya. Jika tiap gelindingau mas-
sanya 8 kg clan jari-.jari girirsinya terhaclap sunrbu holi-zontnl pusat adalah ka = 0.12 nt, tentukan percepatan
awal pipa dan percepatan angulal rrasinr:-nrasing ge-
Iinclingan.jiku sebuah gaya horizorrtal P = (r00 N diker-
.lakarr pada pipa. Asumsikan pipa ticlak selip cli _eelin-
di ngan.
17-89. Pipa -5-Mg ditopang oleh plsangan dua gelinclin-
gan berbentuk kerucut yan-u diletakkun cli rrrasirtg-rrtas-
ing dari kedr.ra uiungnya. Jika tiap gelinclingan ntas-
sanya I kg tlan.jlri-.jari girasinya terhaclap sumbu hori-
zontal pttsat aclalah fta. = 0,12 nr, terltukart gaya aksial
telbesar P yan,t clapat clibelikan pada pipa supaya seur-
ula ia tidak selip di gelinclingan. Koetisieu gesekirn sta-
tik antala pipa clan selinclinsiln aclalah pr, = 0.2.
ll t r.i,rr,
ilirrc(r i
l7-90. Rocla nrussanyu 2-5 kg clarr nreurpunyai .iali-jariuirirsi /., = 0, l5 nr. Rocla rni nrulr-r.nula berl;utar clengalr
ro1 =.{0 racl/s. Jika rocla clitenrpatkan tli tanah. dengau
koetlsien gcsekau kinetik aclalah [,. = 0,5, teutukan
rvuktu yang dibutuhkan ttntuk nren-rherttikan gelxknn.
Berirl;akah kontponeu reaksi horizontal clan vertikal
1'an-c diberikan .jepit cli A 1;arla AB selanrr rvaktu ini lAbuikan r.nassa AB.
l7-91. Rorla rlrirssanya 25 kg clan r.nentputryai iuri-.jirli
girasi /i, = 0.1.5 nr. Rocla ini t.trula-tnula berptttar clen-san
rD, = {Q racl/s. .likl rocla clitentpatl'an rli tanah. tleng:rn
koetlsien gesekan kinetik aclalah p,. = 0.5. terltukillr
rvaktu yang ilibr-rtulrkan untuk nrengher)tikan gerakiut.
Berirpirkah konrponen rerksi holizotttll clart vcrtikllyan-u cliberikan .jepit cli A pacla AB selanra rvlktr.r ini'l
Abaikan nrassa AB.
rlSoal l7-88/17-89
Soal l7-90117-91
7
S6.II IEOS
'epuaq $mu ad rDSn d ue>p,uJ
-Bulp d {lllJ 'g dupeq:et epueq rserr8 uef-rref ue4ul-e,(ueu 9-y
lul, IC 'nll upuoq g esseu Nsnd rmp 9ot19;1
= dDt qe:r'f eped 1u1e1re1 Suel'4 {llJl e) "19eyu uzp
't(Je)u rc14x ue11ere88ueur ue8uep rseurturlerp tedupnr7 enquq uuplntunl :eque8 u-re1ep ueplntunlrp prp detel nqurns depeq:et :e8e1 epueq qunqes runtun rsel-o: uu>Je:e8 uulelefuau 3ue,( elqeurl ue:Berq .g6-tr1
t6-rl leos
'lotuozttoq Suoptq eped relnd:eq Bu€rcg ep-: r;. :'-. ilual relndreq qElel SuElpq edu.raq lnpns ueSu-:,f ; :l :pe e,{e8 lees uped Bueleq relnEue ueludece>1'rTYr'.:.r;: '- - r Elrlel o w epe.{ uep o0 - d B{rlol ue-rp u.E:e:y '_!!rpp Epereq 3ue1eq e1r1 .sltJJ
Z,l uelsuoln[21 epeci l';ri O uep 1e:e8:aq uep N SZ Buulzq nqunseped m:n1 luir: wluaqrp p g I = g e,(e8 qenqas .?6-lI
En t)II,\I\/NIC :yIN>IiLt \il)INV>IAhI
t6'll Ieos
6d qeppe y ip {!ets ue>1ese8 uersg-eo1 e1r[ dqes rclnu er ede]aq e lnpns uped .qe,4Auq
eIqnlel"] plpe{ y Ip (e8paD re.rrq epud uuryt:eyrp Bue,{Brs8un; re8uqes 1eu:ou e,(e8 uep uulese8 e,(u8 ue1n1ue1'o0 - d B{naI {uurp upBpEeI rrep uelsedalrp w u(ues-seu uep 7 e,(u8uelued Bue,( Burdurer Bueteg .96-11
z6'Lt Ieos
'rur ue8unlrq:ed ruepp TBuE uern{n uu{reqv .S.0 = tri qeppe {Errp uup epo: eJelue lpets uelese8 uersgeoy
'drles mlnur nll Wue p{pe{ tnpns w{nluet ,seqeq erccesrelndreq rulnu EpoJ uBp.oQ = B uped ruurp uEBpeeI rreprc1nur e,(upine eped n1r {pue e)lf .ru
S.S = 97 e,(urse:r8pel-gef uep 31 66y e,(uesseu Euu( :eseq Epor qenqes>pound rp lnpnp 31-gp I{el-plBI >pue Bueroeg .26-Ll*
tltzl
+l ts.{B 17 KINETiKABENDATEGAR
'r'-S. Tenukan posisi r, pusat perkusi P batang ram-
:t.t-ro i. (Lihat Soal i7-951 n"'upukah gaya hori-
,..n-tut A, di jepit ketika batang dipukul di P dengan
gayaF=100N?
Soal 17'96
17-97. Jika penopang di B tiba-tiba dipindahkan' tentu-
k^n ko*po,r.n reaksi horizontal dan vertikal mula-mula
,"r* *b"r,*m jepit A pada batang ACts' Potongan AC
.fun CA beratnya masing-masing 50 N'
17-98. Tangga dilepaskan dari keadaan diam ketika d=
Oo. f"n,rfun gaya gesekan dan gaya normal sebagai
fungsi 6 yang diberikan pacla tangga oleh tanah jika ia
i"ii, * uawatr. 'l'patatt tangga mungkin selip ketika ia
1u,un, *"n*upa? Untuk perhitungan' anggaplah tangga
setagai batang rarnping yang panjangnya I dan mas-
sanya rr?.
Soal 17-98
17-99. Batang beratnya per satuan panjang u'dan berpu-
i, puO. bidaig vertikal dengan kecepatan angular kon-
stan o. Tentukan gaya normal internai' gaya geserll
gheaA, clan momen tekuk sebagai fungsi 't dan postsr
batang 0.
.{. x
Soal 17'97Soal l7'99
\
r
,,,1,(al-tJ qoruof, tuqrl) epueq upudq uEp y )llp enp detl uutudacrad uulSunqnq8uau-r 8ue,{ ,Vl{lB + Ve
= Be
{re>1eun33uaru uEfuap qeloradrp ludep uuqequrut ueuures;ad-ueeuus.rod'u,(u8uudouod-Suudouad BuoJuI Sualnqtu Epuaq uuye.rs8 ulrl ,sns
-nql uJEccS 'ucleref uuurue:^red r.rep 1uda1 uep Buns8uel u;ecas qclored-rp ledep ry1 de43ue1 3uu,{ rsnlos ulrlulrleureut) ueleunC .DrytouauryJ
LI-LI 'srad 'uu1u.,e, ueuruus.recl e'rtel uu:{eun D .uDrlDrag :;;::r::::
't(t ,t07.uoruotu ue_qulurnlued tuulep nrns-rl)ns uu)srlnueu uuSuep n97 urrp'{(t")ru ,^'(ce)t,, uauoduol qelo uellrseqrp Bue,{ ,, ueuotu ue>18ue,{eq-uour .. ntuequeu Inlun E{lteull,ue.r8urp .reqr-ue88uau >1n1un ue1.rr1rdeluul'rruleun8rp ue1c "(1 WlT="WZ lselo.r ucle.re8 ueuueslcd emququelsnlndrp e{lt 'lul [eos tuulep rnqe]elrp >1e1 Bue,{ ue.ruseq_ueresoque1du1a1 '97 ursraur u?ulou qul8unlrq ,u8n1 .suqaq-epuaq uu.r8erpeped leprr rde1o1 .luurp.rool ruatsrs cped lul .rolla..t-.roUa^ uelll]llxeul
n7_/ r reotllprr Inlun qEpnul qBIEPV 'p epucq :e;n8ue uutedat.rad uup 3u 'uiscur)usnd ueredr.r-rrd uenleq uDp qBJE uurnlu.T 'sEqaq-uprraq tuc.rSerp :eq-uru8 uep ,('r lersreur tuurprool tuclsrs ueldeteL.sDqaq-Dpuag wru7otTl
u,.r ..reiat
u,.r ..reiat
ri*,, \ ' upuaq qPnqas I-Iep unuln Suuprq uele-re8 ]n18uu,(ueur 3ue,{ u1r1eur1
'{"" A,) }
= ueleosred uE)qucotuau Inlun opolau uglrJequou lnlrJeq JnpesoJd *l!t qu'/tYwJowou 1r'rqrt dyuldu uurlrrdt{Ludlu ltlllloq inPOSOJd
;li- r ",, SISI.IVNY XnINn Unogsoud '*,, -
"t rlr t "
ruu,;erp epud elup qalo ue{nluctlp rt-redas 7 dupeqral (r^rrr;lli:lnele) Dew uep nr7 uep ueuroru uuqelruntlad ue1e1u,{ueur ,t(tW)Z
luls lC
'(1til2 ='twzt I (gt-tt) i(en)ut
='i!Z *l 'rt\I
" ! 'lDu\tu='JZ1,, -/y uelure8 ueeruusted e8ne{ ,rur unun qrqel Buu,{ uerl.re8ued uelup ue>1uu
I -n8rp elrg .uetuou ueqelunluad rrup rnrlulelrp let Bue,{ u[u8_u,(u8 rseururrl
f , -a8uetu Intun ueln{epp e,(ueserq ruI .g uelnq Bue,{;r Irtn nlens depeqret ueur
r t -our uelr"ppunhreu qepnu qrqel urlSunut uuleosrad udelaqeq tupleq
(tt - tt)lr,9l =cl/,tz
I(9oltu =
(JZ.
x19617u =r.gZ
re8eqes uu{srlnlrp tedup uequra3 ueeuresred u8r1e1 elutu\+\l
r.\,
fl
Q/
'.tuque8 eped uu>llnluntlp Iuades qllldlp ( uup r Iersraur teurprool ruotsrse1t1 reln3uu uptudeJ.led uu8uep uu:us 8uu,( tlo.tD welep efua>1eq nr7 ueprepuoq pssurl ]esnd uuludecled ue8uep uurus Bue,( tloto wf,undweu (sn1nd-snlnd sue8 uu8uap uellnlunlrp) 9urirlo11an .q1Z-LI rBquBC rp ue4lnlunr-rp nlr upueq Inlun Elrleurl uer8urp uup seqeq epueq urer8erq .1edo1 uaru-our uetsrs uep runl u,(u3 qelo ue{qeqasrp Bue,( unun Buuprq uele.re8 rqru-cEuadrp DOZ-LI ffqrueD rp uu>plnlunlrp Buu,( (Bueduel nute) re8at epueg
ILIILI9\YOIg NYXYUAC :NYXWflC NYYHIVSUgd SZr
9n\]II{\-.\IC :)INX:[I V)INV)SA
b
r
vIlrc
I t-J-r\a
P
46 BAB I7 KINETIKA BENDA TEGAR
Persoalan Menggelinding Kerena Gesekan. Acla kelompok per-
soalan kinetika planar yang ntenrbtlttlhkall perhatian khustts. Persoalan-
persoalan itu rnenyaugkttt roda, silinder atau benda-benda dengan berrtuk
serulpa, yallg mell-qgelindin,q pada permtlkaan bidang krt.srtr'. Karena beban
yang diberikau. ticlak diketlrhtri apakah benda rrrt'rt.rlSclindirtg tanpa re1r7r.
atatr apakah ia mertggcser ketiku tncrtggelittclin,rl. Seba-uai corltoh. per-
hirtikan cakram hornogin yang dittrniLrkkan di Garnbar ll-2ltt, yang mas-
sanya /,/ clan clipengaruhi -uaya horizor.rtal P yang diketahtri Derlgan
rnengikuti proseclgr yang clibahas (li fltas. cliagrarr benda-bebas clituniukkan
cli Garnbar 11-21b. Karena aU cliarahkan ke kanan dan cr adalah searalr
.j urunr .jam. diclapatkan+*r{, = tn(uo).r:
+ttF, = tll(uG)\.i
( +ZM" = I.o:.
P-F=n10(;
N-rnp=0Fr. = I c;a
(17 -197
(11-20)
(11-21)
ini mengauclungPersamaan keernpat diperlukan karerta ketigu persuttttrtut
etrtlxrl besaraLl yaltg tak dikctuhui: F, N, o dan ao.
Tanpa Selip. Jika gaya gesekan F cukttp besar ttntuk rnernbolehkan pi-
ririgan r.treng.uelincling ttrttptr .selip. uraka rtu dapat clihubungkiin ke o lewat
l)(' r.\(t iltctu t t ki t t a t trul i kt.'t'
( C*t (lO = g1 ,tr7-22)
Keernpat besararr yang tak cliketahui ditentukan cletrgan rttcttracultkurt .secu-
ftt .\erant(tklsimtrlturt Pers. l7-19 sampai l7-21. Jikrt soltrsi clipelolel.r. a(]:rnrbar l7-21 aslnrsi-bahwa tak acla selip l.raltts tliperikstt.ln-Iatlal.r bahrva lelip tak teria-
-.\a----J.
rFr rr i nTiilIEiilih i. pelsofilffitEtlikelukutt u/rurg, katena ini berarti piringan seli ndin-s
Selip. Pada kastrs selip, cr clau rto titlak sulitrg berguttturtgttrt sehtngga
Pers. 17-22 tak berlaku. Alih-alih, besarnya gaya gesekan clihubun-lkau ke
besarnya gaya normal clengan rnenggunakan koetlsiert -gesekall kinetik pt6,
y.'ritu
p=FtN (I7-l-1)
Dalarnl.ral ini.Pers. l7-lgsaurpiii l7-21 clan l7-23tligunakallurlttlkpeme-caharrnya. Per.lu cliipgat bahwa bila Pers. 1l-22 atau l7-23 cligunakan,
maka perlu bahwa acla konsistensi clalam arah l.raltlan vektor. Dalarll l-ral
pers. l7-22. aG harus cliarahkan ke kanan bila cr aclalah searahjarurn.iarn.
karena gerakau menggelinclirl-s nlelllbtlttlhkan ini. Pacla Pers.l T-23. F hartrs
cliarahkan ke kiri untuk nrencegah gerakan selip yan-u cliastlmsikan ke ka-
rrirn. Garrrbar 11-21b. Setraliknya. .jika persaniilan-persalllaan ini ticluk
tligtutuktttt ut.ttttk petnecahatrtlya, Inaka l'ektor-vektol ini clapat Inetlpttnyai
astrr.r.rsi arah haluan setttlxrt'trrtg. Maka.jika nilai nttrnerik yalt-s dihitllll-g clari
besaran-besaran ini aclalal.r llegatif, maka vektol bekeria clalarll haluan aral.l
yang berlarvanan. Contol.t l7-l-5 clan l7-16 men-eganlbarkatl konsell-kon-
sep ini secaru nttmerik.
''. Lrhirt C(,nt0ll l(r-J irlntt l6--+
{
m)qD6tDf=s/pu.l[0] =}]
'(g)'sra4 ueluunS8uaul ullii-r.req
(ru g'g.;['r;(3) 8)] + D(-ur 3I086'0) =(nr g'g)N 8ir'8a - (rlr t'g)N 001 '.Y(\w)Z=r'WZ+ )
uultuduprp')aZ-Ll LtEp qZZ-LI .ruqruu3 upucl r:>plaur) tur.l-rir:rp uu
suqaq-upuacl urul8urp lrc6l'y 111r1 dupeq-ret rrou.rorrr uulqupun{iraru urziuep Tnlqulalrp 1ut 8uu,( lru.ruseq rsuurrurlaiueur 1r:dup vjt>l'wnlD.tag u)Duus.tad
,r (rl 8)
(c)
m)qDADf
r[)
N 8'61 =J-\/l-tl ql'g = ')tr
-s/pu.r g'0[ - D
uulluduprp'g tedurus I 's.rad ur?)r"11?leurartr uuiueq
ng'g = i)rr'.tn -!)n (+ ) r
N8t81
';Il'j
-..,- l--. .ru8u 'uu>1uuuS1p ludup ,-9 J rlr4r? [-g l rlotrro:) lrs-uq 'rpu[ y Ip f lc] upucl . cfu1as
.,,'t I ^'', r:duu1 .tu1ndleq.. Suopuale8 rtrr IurJ ruuluq 'xl uciuep i)n uu>J8unqntlSuaru
{ frl\"o\, ltuuu uuleunitp u)rtt?ureurl ulrl' qalolaclp du13ue1 rs-nlos ,r{r,rrrtuaurt"f.'\rl
,/ (a) p(-*r frr 016'0) = (ru s'sy - (Lu r'0)N 00J '.n:)t=!'wz+ )
t \--f' (l) 9a(3q g) = gf'81- N 001 +J '.'()tr)ttr='-{IJ
-tu 31 6196,'9 = .(St'0)8 - Dr;lt, = t lqelupc u,(ullssuur lus-nd 11111 clupnrl.rel ;ur
-ue1e8 urs.raur lreurotr { 'n rrup 'l),, J 'urtluta)rp >11 3ur.l,{ rrp.nrseq uirl u1.ry'y lp lll?l riurlrlaiuaur
1r1r1aur iuopuaJa8 nua.n:>1 'tut.:{'urn.rul'tpr.ruas tlfte1eq n 'r:in1 'su;r: a1 r:lia1-eq ce trr:1qr:qa,(rraru 51-gg1 e,{ug 'qZZ-Ll rncluruD 'sDqaq4)pilag M
'uelele8 uBr?ums.rad uulllnlS8rrour uu8uep 3uopualef -ruI
-nFuu uuludec:ad utllnuenaur elltur-r?pu uufuap lucleprp,ru1n3uu uuludeoa;q
ISuopuolei .mprfue nulr:deo.rad rrc)r.ltu
:nqtueF upud uellnlunlrp rlledes u,(u.run1 ldet uup ull[up :^o.rod rfurlleiu:rr\trilllp uuln?clurp tcdep u,(rrussuur 8uu,{ llut r?Ilf 'rr.r St'0 - i)y c,(ursr':.rrij':i-ucl' ucp 31 8 u{uu)^suur DZZ-Ll luqluuC eprd rrurudr-un178uopua1
nl- LtHOt\O-l
uD)lD-ta) uDDutDS.t
LT\}II\t\ICXI\)3'L \')INV)EI tr
v
{} 3{B
U\TOH l7 -15
I- KI\ETIKA BENDA TEGAR
Rocla 2-50-N yan-q clitunit rli Gambar 17-23u nlempullyar .lan-.langirasi A',- = 0.2 r'n. Jika nronren kopel 50-N.m diberil<an pacla rocla. tentnkanpercepatall pusat massanya G. Koelisien gesekan statik clan kinetik antar-a
t'oclir dan bidiing di A ar"lalah nutsiug-masirlg lt, = 0.3 clan pi = 0.25.
SOLUSI
Diagrtun Benda-beltas. Dengan rnemeriksa Ganrbar ll-23b. terlihat bahwa
lromeu kopel menyetrabkau roda nrernpunyai pel'cepatan angular cx. Sebl_srii
hasilnya, percepatrn pusat massir. a.,-. cliaral'rkau ke kanan. Momett inelsiaiiclalal.r
50N.m I
| ...*"ooL-'
I r; = ntkZ = "o *
. (0,2 m)2 = 1,019 kg.*'9.81 m/s-
Besaran yang tak diketahui aclalirh 4., F..r, rr,-,dan cr.
(]ambar l7-23
Persatnaan Gerakutt+-+IF, =m(g;i),,
+iXF, = ttl((tG)\.,
( (*t zr,- - (0.-l nr)cx
Pecahkiin Pers. I sarnpai .1.
N't = 250 N
ct = 9.81 nrcl/sl
_ 250NL -__-' t -
9.81 ,r,/rt "n
A/4 -* 2,50 N = t)
()lvlu= 1r.o' 50 N m - 0.-1 rn (F,i) = t l.0 lc) kg nil)cr
Persuurr,rau keenrpat cliperlukan untuk solusi yan-r lertgkapKittcntatika (Thrtpct selip). Jikir asunrsi ini clibuat. rnaka
F.+ = 100 N
rr,- - 3.92 m/sl
Asumsi sen'rula bahwa tak acla selip rnenghaluskan F--, < Lrr N,1. Namun. ka-
rena 100 N > 0.-l(250 N)= 75 N. roda selip ketika ia men-ugelincling.
(Selip). Persanirian zl ticlak trerlaku. Alih-alih. F1 pellu beker'fa lte kanan. I\{e-
ngapa'? Ju-ua. F-,, = ftt/V{. atau
I'r = 0.25N; (5t
Dcn-9an nrernecalrkau Pers. I satnpai 3 clan -5 tliclapatkan
|'
N.=150N,f
., )0 = f+.-r IllLl/s-,](i (- - l,+: nl/s- -)
F; = 62'5 N
Jawqburt
{
uoqDilDI( rsTper 8Zl O= zs'per BZI(O - - n
,s1ut gg'1 = co N SVZ =vC N 186 = YN
uulpdeprp {eluoros erecos S uep g rudures I 'sred ue{qureureu ueSueq
vNgz'o =v.d
'rpBI 'ue{Bun8lp vrdri - vg uelese8 uuuurusred uep rrDl a{elreleq snruq vg 'qlp-qlry 'n{elreq )pplt V'sred rul snse{ {nlu1 '@1,aS
'(yp dltes) N 16Z = N tSO)S'O <N 00g'unuelrg'Ylgsrl >o.lue{qnlnqueu dqes upe IEI B,,lrquq plnrues rsrunsu BslrJer.ueu uu8ueq
zspetLgg')'n ,spl 1=Do
N00€=vJ NIg6=vNuelpseq8ueur y redurus I 'sred uuqucaruad
n(ur g'1) = 9ncvrn-D0 + )
e>1 e,(uqere 9r u>1uru 'urel urnrel qerues D ulrl 'e,{uqnSSunses
'uEuel
uSSurqes
..sorod,, re8eqes rs8uny:eq yllp rur pq ruBIuC '(daag oduol)'de>13uay rsnlos {nlun uelqn1nqrp tedueel ueetuesred
(E)
w-Ll JBqUIe!
(r)
....i_._._r
9I- rI HO-I.\O
n(.ru 31 9L) = (ur I)N 00, - (.u E't)Ya
(O o=N I86-YN(f) 'P(8rt OOt) = Y/ - N 00t
amlDta9
n uep '9p 'v.4 'v N qBIBpe rnqele{lp )tut 3uu,( uuruseg 'n urel urnrul qe:ees
ruln8ue uuledecred re,{undureur Sueq uep'ueue{ e1 ledecredrp esseu-nd ueltstunse etly '0 = d Pza =
r(Do) uSSurqes '0 - 9.t 'n1le,( 'ruetp elntu-es Suert euorel ,'t nele luurou uuludecled uauodurol epu {BprJ ',{ nqru
ue8uap .relules elnues ?uu[,d ue8unlSuele>1 uel-r,rul re,{undtueu 3ue,( (
-nd-snlnd suu8) rnquleqrp ry1 8ue,{ 3un>13ue1eru uesulurl Sueluedes qu1
g essuur lesnd uulere8 ryJe1 'qVZ-Ll ruqueD 'sDqaq-Dpuag
'ruerp plnruas 3uur1 'uuleun8lp N 00t Ietuozrroq u,{u8
rees eped 3uer1 :eln8ue uetedec.red uelntuot 'gZ'O = ?ri uep 9'6 ='rl Surs-eru-3urseru qulupe Ueuu)nrured uup 3uerl Sunln eJelue {rleuDJ uep {ruelasa8 uorsrJeo{ u>lll 'zu 3I SL = ,7 u,(uersreur ueruoru uep 31 961 u,(ues
_Ii (g)
u{N fiI}
,
--\, "l
6n\) II {Y\IC : XI.\X]J- Y)INV)ghI
uullnlunlrp 8ue,( ur.ro;run Surdurer 3uer1
ts{B I7 KINETIKA BENDA TEGAR
O\TOH 17 -17yang ditLrniu Gambar 11-25u mempunya
t.trassa cli G clan.iari-jari girasi ko = 0, l5 nr' Jika roda trlttla-mttla dianl dan
clil|paskan dari posisi yapg terlihat cli gambar, tenttlkan percepatan atlgu-
larnya. Tidak terjadi selip.
SOLUSI
Diagram Bencla-bebus clan Diagrcutt Kinetika. Kedua besaran yang tak
cliketahui Fo dan No yang clituniukkan pada diagram benda-bebas, Garn-
bar l7-250. dapat clieliminasi dari analisis deugan n.ren jumlal.rkall molnell-
momen terhaclap titik A. Diagrarn kinetika menyertai solusi untuk t.neug-
ganrbarkan teraparl L(MIA. Kareua lintttstttt gerukott G tak cliketultui.
maka keclua kornponen m(a5), dan nr(a6),. harus dituniukkan pacla dia-
gram kinetika, Gambar 11-25b.
Momen inersia adalah
I c = ntkL= 30(0' 15)2 = 0'675 kg m2
Acla lima besarau yang tak cliketahui. Ne,Fe,(116r).',(rr,,^).,., clau o'
Persuntaun Gerakun. Detr-Qau menggtluakatl persamaall gerakan rotas
terhaclap titik A. ul.ltttk mengeliminasi Nr1 dan Fo, clidarpatkan
G+zMe=z(fiLr)e: 30(9,81) N(0,1 m) =
(0.675 kg rn2;cr + (30 kg)(ao),10.2'5 m) + (30 k-s)(a6-),.(0' I rn) ( I )
Acla tiga besaran yang tak diketahui dalan.r persamaiiu iui: (rr5).,(rr5),. da
cr.
Kilrcnrutiku. Dengan tnen-ggtttrakan kinematikii, (rrn),, (116),. akan clihu-
btrrrgkan ke cx Seperti clituniukkan pacla Gambar 17-25t'. r'ekior-vektor ini
hartis menrpunyai haluan aral.r yarlg sitma clengau vektol yang bersesttaian
pacla cli4_uram kinetika karena kita sedang tnencari pemeclhau simtt
il",lgon Pers' I Kareua tictak teljacli selip' cr,, = cx'r'= g(0'2-5 m)' cliarah
ke kiri. Garnbar 17-25t.. Jr.rga. rrr = 0. karena rocla semttlit diam. Dengan
menerapkan persamaan percepatan pada titik O (titik clasar) dan titik G.
cliclapatkart
lG= 1,,+ aXrG/()- rU,'U,,,
-(rro),i - 1rr6),,i= -cr(0,25)i + (- ok) x (- 0,li) - 0
Dengan n.reniabarkan clatl I.ueuyamakan komponeu i clan j yang
bersangkutan, didaPatkan
(ao), = cr(0'25t
(46). = cr(Q,1;
Dengan memecahkan Pers. I sarnpai 3 cliclapatkan
cx = 10,3 rad/sl ) Juwabtot(tr 1), -- 2'-58 rn/s2
(ac)., = l'03 r.rl/s2
Sebagai latil-ran. tunjukkan bahwa Fo = 77'4 N dan No = 263 N'
(2)
(3)
)I
4,. :isi \. ;' 1i-,1ttI
s;a;N OE.I
'B ur?p y lp rn:r rPl?d
ur:I8untunirp N EZe = s,14 ur:p N 0gl =
v14 r:,(u1r':.rac1
8un,{ 1o1uq-1opq u11f L-01-LI Ir?oS u?Iqrrced 't1l-LI,r,
'-rr ul'rp ? rp lo-uul r?ssnr.u ulrln qV ''^rdl1 lnyed qr:llpn und
-rd uultslun.-y 'undnd:n1nf,uu uulcdecrad uup ur:dr:d 1u"-
-nd uutndac.rad un)luuat 'N SZZ uup N 0g l uatsuo-l a,(n8
t.reqrp iutsuru-3u1"^r:tu tur rlll-rlrl l?II[ 'Cr uup J rp rlol
-r1u1 r:pnd uulfiunlurlfirp N 6EZ turoJrun uude4 '961-1y
z0I-lI leos
IOI.II IBOS
'By Sundouad lunrr:1 r:pud urSur:ialuep n1l 8un.ru1 ulnru-l?llLrr .rnlnfur': uuludel.rad qlrlul?Inl-uel 'N 0t - J Intuozuoq n,{r:8 naqrp lul 3un.ru1 uyrl'ru ,'0 - ,7 -rn.^ec1as 9 u(uur-sr':rrr 1:sncl dr:puqlal rsr':.rri
rrsf-uel'm,{unduraru 31 97 nl-urt ur':qnr:1 8un.nr;,1 .I0I.tI
OOI.TI IEOS
'll?usas lou uelr':deoa1 rrqtrr r.rs ch:1tr':r"1
-rat iunlJtllp iut't,( uuiur.rrcl prs.raur ueulotu ur:1r':1r:(ueur
'lf ur:iuep 'tt)ll = J1yry3 uarLrour rn:utLnrs.racl utr4':u
-nflrp tndr.lp ulrltu 'J1 'lcusas lorr ulrlr,lclaral lusncl ch:puq
-.rol lnllquJr.r.nrltp ueurr'tr-r-tr:trrr'rrtr ulrl'r:,trqr:c1 ur':11n1'
-ttr.u'r/ras n d t t o l,\l t t t lt
t r t l,ti'l;'rr,rrl uuitr r.ucl u1 r 1'66 1 -1 1.,.
.r, .L
ilY?
!)
-::-,1,'1t:dal.rad ur:p 1e10.r.n]1niut? tmluclao
. : I '..ja\aq luinii- r':qr1-r:qr1 y ulseut 'luus. >: = j Lrr:i-Lttt.roP ur:r1[sllqiueur r:,4uur.-
-- :-. -- .:'lu:.rlIul?rJ.ltlr-utlrl) ur lllrlal. -.- '. . '-: i J,:nnrl.rel rsr:.ni r.rul-r-rul' rrr:p
.-. .--- -. -\. , . I I iu]r.racl talou .Z0I_ZI
tol-tIl€01-tI leos
i -..--.- ut-.,.,...,*...-" - -,1
ISY')II\V,\IC :XIN):[ Y) INV)Ehtr
tvos-lYos
5f B.\B 17 KINETIKA BENDA TEGAR
l--1u5. Cclcrttkrttu t'tttssr.ttt5 lt 500 kg dlrll tttetrtpultyai
' ::--rirr girasi /ia, = 1.311 r-tt Gelendong ini diam pada
::rnrLlkitatt ban berialan yang koefisien gesekan
i.rnetiknya adalah p^ = 0'4..lika ban dipercepat dengan
rr. = I rl/s2, tentttkan tegangan awal dalat-tt krwat clan
percepatau atrgulat' gelendong. Gelendong set.tlula cliam.
l7-106. Gelenclong lltassitllya -500 kg dan nleulpttuyrti
.iari-.iari girasi /.a,- = 1.30 r.n Gelendong ini diarn pada
pernrukaan ban berialan yang koefisien gesekan statik-
rlya aclalah p, = 0.5. Tentukan percepiltall terbesllr bal.t
o,. arar gelenclon-s ticlak selip. Juga, berapakah tegall-gan
awal tlalatrt ka"vat clatt percepatatl atr-uular gelenclong'l
Gelendong urltla-l.trttla diat.u.
'r'17-108. Tongkat rar.uping 2 kg ditopang oleh tali BC
clan ker-nuclian dilepaskan dari keadaan cliarn cli A. Ten-
tnkan percepatan allgtllal' awal batatl-u ini clan tegatlgan
clalanr tali.
ET-.'*
Soal 17'105/17-106
17-107. Bagian atas boneka trntuk tes tabrilkan beratnya
375 N. pusat gri.r,itasinya di G, dan jali-jari girasi ter-
traclap G besarnya [o = 0'21 tll Dengatl bultuan sabuk
penganran bagian badau ini diasur-nsikan dilepit ke kursi
rrobil cli A. Jika tabrakar. trtenyebabkan nrobil diper-
Iar-nbat tiengau l5 nt/s2, tentukall kecepatan angulaL
bagian badan itlr bila ia telalr berputal seiauh d = 60"
l:iti n1r,!:,
Soal 17-108
17-109. Piringan setength lingkalan niassanya l0 kg.
Jika piringan diputal clengan rr: = 4 rad/s pada saat I =
60", tentukan ua1'a uortrral dan gayl gesekan yang
diberikannya pacla tanah saat ittl. Asutllsikatr piringan
tidak selip ketika ia r.nenggelinding.
17-110. Piringan setengah lingkaran yang massanya l0
kg berputar clengan ro = 4 racl/s pada saat d = 60". Jika
koeflsien gesekan statik di A adalah Ir. = 0,-5, tentukan
lpukirh pilingan selip p:rd:r sililt ittl.
Soal l7-107
Soal 17-109/17-110
J
T
9II.II IEOS
'-rJl
-urla;8ualu llrraq-raq ur u"lu[.1qas rudturs qndruelrp ;uu,(
Il]iul'ul?Inlucl '.'0 = )d ilITllpu t-uxllltru.tecl Ur]p ntdlrms
u-rntuu In3r-rrI unlesai rrerstleol r:)r[ 'uuultl[lied nlr,)rls
rp uullulalrll rrr rlrlel s/Pu.r g Ju^\u -mlr1;ut rn?tudel
-aI r.reqrp N 0g srdlt rrrrlrrt rlirlr': (dooq) nrd[rrs .gll-Ll.:,
9tt-Lr/tlI-tI tEos
.' . :ur:1nq nr;:-uqes u33uq uu1n1u1:ed'ur:8un1rq-recl 1n1
. . - ".1 .I .il]rtillle[l Uulurzrrp ur]p 0 -d lllrl3l rw- - - -..r 'r,.p ut':r1sr:da1r1.r llr l?Jrq B rsiunl rniuqes n,(u
r ".'-.ri--.i rnrlrllrroJ qr?ur?l uup snpq iurpurp
ttt'Lt/ztyLt luos
')d quppr: qllinlt lp )rleul] rnr)a:-a,1 u:rrsr;ao1 ur:p
sucleltp ur':iurpurlai ulrl a I I-L I lr?os rnrlqu:lad .f I I-t I
'gr r:,(rrsr':1r'r itrnlir uulr:clar.rerl
uup ulnru-rlluur itu:1r':q .n:1niur,r nr:tr,ldar.racl uuIntrr.I'y rp un;-Lrrpurloi r,tpucl uulr.ra(lrp 4 prlutrzr.rr.rq r:,(n;i
nlna) [[Ir].re,\ rsrsocl unrlr':p iur:c1tur1cs lunqrp 7 r.rAuirrrl-ulrcl unp rl u,,(nussr:ur i-ur':,( ur.rt4run iuulr:g .711-11
III.II IEOS
-r-,-,'t{ iur.E u( I
urur 0! - i-
'rur m:luqrull ["l.cl nrur':yas ur':1s
-uo1 dr:1a1 r!rr uaruotu ull{rsrunsv ur:1t:qr-uu1.rad [unleqas'.tt:qtrrni r:pr.ld uurllnlirnlrp ryradas to1utl.r,tt1 r7r;1 I'ra;.r ur.:
-a-uuqturle.-a1 rs^rs^od cpud c1ude1 uuqnuatu lrur_rrl rrrrlLInl-nqrp l'tr41 uuqr:trecl ueruol 'l1tr luus upr:d y rp u1:da1
l:pr:d .reqal uuluoqrp 8ur:,( p:1lpa,r ur':p Iutnozr.rorl r:,lu;-
uauodtuoy uulnluat '.ruqtunf rp lrqrl.lat l-uu,( rsrsocl upr:d
lrpu r:1l:de1 nIrtal 'zs^/tu gpg =vn llltuozr.roq uulcqun.rl.racl
r.raqlp iuudtunuad qnc1n1 iurlllc1 unp Irclottr qunqas ulrI'ztu n-LZt0'0 -,7 r:,(u-n:saq rsulr,u:-ri lusnci 1r:,.lra1 iuuirrcpuns dupuq.ral u,(uurs.rerrr [raruonr uup n-I a.f u,(uussntu
'Fz Ip lJdelip uulri^ttrnsurp iur:,( '.raqa1 o.n:cle.^ qr,lqtrulrpr:1r:da1 u,trqr':q un11n lun uaru un.rn1 niua6 ..n.:cluuri npncl
ur,l11nlirn1rp Irqoru tul?ll?p 3ur':clolrp iur:,( ;-rn,lclrunuad
-roLlel ul]p r':1t,lcla1 rtr':p Itlulaurorq lJpotu qrnqas .III-aI
Ypur {J ='1,-t
I
- - r' i- _:: _ -:_-- __;-;
''r_\ -' _ -- -..- i- '^
-.r:1ltiu''',:---:: -,:L -.- .-qnnqa. rprj - -iL'-.,;u -.:
'srdrt il-uulr:q n:8nc1es uiirn:1rlulLr.l qu^\pcl aI .rntutl[3nt' )ll:l d It;-trrl.l tt:;it:qls t:.(tt
-.:_L qrur,l urrp snJurl Surpuq:r
: 1, r'.:rii,'lrq r;-iluu1 'tll-Ll
a
gsY)il\V.\tC :X t\)31_ r')tNY)gi^{
ir KINETIKA BENDA TEGAR
--- I I - 73i.,I lingkarirn 75 N digantun-ukan pada sebuah
rtr.i.,<r.r jr.-1. Jikaiepit dihubungkan ke sebuah rel yang
- :ri Pcrcepilttlll rt{ = 0,9 nr/sl, tentukatl kotrtponen-:*r:r horizontal dan vertikal di .4 dan pelcepatan pusat
r.r.ra pelat G. Pelat nrula-ntula diunr.
17-119. Sebuah tali ditititkan nrengelilingi tiap-tiap pi-
ringan l0 kg. Jika nrereka diiepaskirn dari keadaan diam
terltukan percep:rtiln angular nrasing-ruasing piringan
dan tegangan dalarn tali C. Abaikan nrassa tali.
Soal 17-lI7
l7-l18. Pelat Iin-ukaran 75 N di-uantun-ukan pada sebuah
pen jepie di A. Jika.iepit dihubungkarr ke sebuah rel yar)g
clibeli percepatan rr^ = 1,5 nr/s2, tentukan komponen
reahsi horizontal clan vertikll di A tlan perceprtan angu-
liu' pclirt. Pelat nrula-nrula clianr.
Soal l7-I18
Soal l7-Il9
'1'17-120. Piringan-piringan -50 N dihubungkan menjadi
satu derlgal) nrenggunakan batang yan-rr ntassanya clia-
baikan. Jika rtereka rrenggelinding pada biclane niirinctanpl selip, tentukan percepatan au-qular ntula-urula mit-
srng-nrasing pilingan .jika sistem clilepaskan dari ke-
aclaan cliam pacla posisi yang (lituniukkan pacla gantbar.
' llr'
,4
,1t
i\:r:\
Soal l7-120
Vz,I-LI IBOS
'uuiuopuolai u.nrluu s^uiial u\^sutu unlluqV'iapur lrs
rudnJe,(uatu ue;uoptiolefi up{Is^r.ul1su'uu8unltq.tad >1n1
-u11 'uniuopuolei durl -mlniur': uuledeored ur':p uufuop-uo1a8 r':.reguu suliel tur?ll?p Il?,rlu urrb-ul?Sel urrlllluel'N 09 luluozr]oq r:(ui r.raqrp y uuiuopuolai nqruns 's)1/
-DLl uDDltlLu.t)(1 slrl'r rp uulllltalD uuiuopuoleg '31 61
r'?,{uus^:^cr.u fi tttsnttt-itttsuttt Sttu( ttuittopuolai unp uttlt?p
r) ur']Itrlrlrp iur':lur:d iur':,( supal ulrd qunqa5 'tZl-Ll,:.
€ZI.II IEOS
Ltr 61) .*a
zzt-Lt |Bos
rrr r) o "^e
[rN 09 - l.ti
'rJul l?ssllru
urrlrrrqv 'snluq qnlupl, Cr rp [n]l?Inrtuad tn':p 1r:1ed srlr:
rp drlas 1,lp11 uufuur6 'Surpurp Inqrunuarrr uup tr.r 6'{)qndruauenr 1nlun lnyad 3 Sunln ur?lqnlnqrp iuu,{ n11.l.t
tmp uuiur-ud -n:1nf uu ueiudacred uulrlluel'ur:8ur.rrd r:pud
uulueqrp ru'N 09 - lli ri^-rol qunqss- r?IrI g rp Surpulp a1
uullnrlrp ur:p ur,l8uurd rdal rflurlrlaiuanr ur?IlrJrpp rlul
qunqes 'N gZ nrled sr?lr? rp nu?rp 11 91 uuiur-n6 'ZZl-Ll
lu q1]
IZI-I,I IBOS
....."...-.. . " - *^*ru ?'t.
'uulruqnrp ludr':p u,(uuu1r':q
-a1a1 r'riiurqas srdrl iul:11c1 qr:ppu 3ur1uq n,^r\quq ulr)r\-rtrnsu 'ur:8unlrq.rad >1n1u6f itn:1rq r':pr':cl ;-uuclouocl ul-f u lpur JaS n,{r':8 ur':p ulrlru -ulllttr 8ur:1r,lq .n':1niuu uulr':da..
-:ad uu1n1uo1 'qnlr?[ r]qrl-lrqrl y rp 8ur':clouad llclcl'n1rJ'llqtuuS r:pr:d uul4rluulrp rlredas N) 0'c u,(ui r.laqrf'
rrr r':IIlaI €I unp y rp iur:do1rp 511 9'6 itrr:tr-lg 'l7l-Ll
t
a
-1___ " r
I ln!rtavr- rr
qnnqas \ .- tF"ri
'.' xr:1rr,lqg';'0 - )d .rns-eqes )rteurl' .:i'Jurattr ;-ur,l,( g rp r"n,lulntu.rad-: .'-':-i .r:tn rp clrles Ir?prt uui-ur.rrd
.--..:.r.Lrr uup r-rr fi'3 qndtuauaur.- '.- j :- --lLrr: ( ntlt,l,tr uu1:r ut:itrr.r
_:,: ,- i-..r:. ..rrlltrr.rrcl t:pucl ttt:11.r
-: -: _--.1:. "y,f g Ip iurpugrp aq
.-': ::: ':--"'.:iriatu urllrlrlrp rll,l- ,,,'-lrn,r, -'.\:-"-o'tZI'Ll
t
cc\) I I\Y\IC :I{I \) :LI \) I \V)AhI
56 BAB 17 KINETIKA BENDA TEGAR
17-125. Piringan .50 N clan halok 20 N clilepaskan clari
keadaan clianr. tetttukatr kecepetarr balok ketika t = 3,r.
Koefisien ggsekun .trrtik di .{ e.litlrh ll.r = 0,2. Abaikan
massa tali clan klrtrol-ketrol.
17-127. Sebuah pipa lreton (cincin tipis) ntassanya 500 kg
danjari-jarinyu 0,5 nt serta ntenggelin(ling tanpa selip
r.nenuruni sebuah biclang miring 300 kg. Jika bidang
rniring bebas bergerak. tentttkatr percepatannya. Abai-
karr ukuran rocla-tt'oda cli A clan B.
Soal 17'125
17-126. Piringan 50 N dan balok 20 N dilepaskan dari
keaclaan clianr. Tentukan kecepatan balok bila ia telah
tulun I t.n. Ktretlsien gesekan statik di A ilclllah ltA = 0,2.
Abaikan t.ttassa tali clan katfol-katrol.
Soal 17-126
Soal l7-127
,'17-128. Batang tipis 125 N panjangnya 1,8 rn. Dengan
nrenggunakau cincin logam yatt-g massanya dapat dia-
baikan, uiun-u A dibatasi bergerak sepaniang batang ling-
karan halus yang iari-jarinya 0,9.f2 m. U.iung B clian.r cli
atas lantai, yang koetisien gesekatr kinetiknya adalah
pa = 0,4. Jika batang clilepaskan clari keadaan dianr keti-
ka d = 30o, tentukan pelcepatali attgular batang tersebtrt
pada saat itu.
t
Soal 17-128
d
I-8I rBquBr-)
qulepB /^ u^u.ru)^oq tu.rpun)
t[rco +'\'t)] * r[{co - r1(/,r;1=
(frt + g) x {co + t!'/,r; + fl('1n)=tltt ,l t'A+ A= A
uultudeprp I-8 I lequED r.rup ulurrr 'cn .nz1n3uu
ueludece>1 ru,(undureur upuaq EIr[ ''i.L ntre,( 'd Il]lt uuledecel ruulup/aue>1u1e,{ueru uu8uap urBI ErBc ue8uep uulsrlnlrp ludup rur ueBurr?s.rcd
iawP"'l!= 1
'nile,('e,(ulrseq uelrs-e.r8alur8ueur uep upueq 1e>1rgud durl >1n1un udnles 3ue( uueurusled-uuuru
-esred uelsrlnueur uu8uep uelntuolrp upuoq qnrnles Illeurl r8raug '!.rutpt7,
= ] qulupe 1e1r1rud IIlourI r8leua ulutu '/,r uuludecel ru,{undrucur 1a>1r1.rud
uu>11n[un1rp 8uu,( ]uus uped e1r1 'd {l}lt Suulequres uup r rp uu)Hulelrp
'up u(uusseur 3ue,('upuaq qunqes uep Suurequres, -e) lelruud qunqeg '.(-r
lursreur uuncu Suuprq uelup 1e:e3.req 3uu,( Suadutal qunqes qelo rurs rp uul-pdruulp 3uu,{ 'J-8 I ruquuD rp uullnlunlrp 8uu,{ .re8ct upueq uulrtl?q.rad
XITSNIY I3UflNg I'8I'uelselehp uull? urnun
3ue,( Sueprq uu>1e.re8 nutu 'dulal nquns qenqes depuq.ral rsulo.r 'rsulsuurlrurele8ueur Bl Bllq upueq lrleur) r8raua uu>ltedepueu Iruun ;poloru 'cp
-uoq qunqes 1n1un r8raue uep efta1 drsuud seqequrau unlaqes 'unLUBN
'lZ qe11 rp uu4l'usrp lu8e1 upueq rsuorurp u8rl uu>p.l.re8 uped
uelderelrp 3ue,( rt.redes tuntun qrqel 3uu,( uusuquque4 '.ru8e1 upueq -ruuuld
uulere8 tn18uu,(ueur 8ue,( ueleos:ad uulqeceureu {nlun rS.reue uep ufta:1
opolou ueluunSSueur uEIe ElrI lul q€q uBIllC 'r8;eue uBleIcIeI uruoioel
'.Jr1u^resuo{,, qulBpE e,(e3 uelsrs EIrq nelB 'rSraua uep efte1 drsuud uuluu-n83ueu ue8uep qupnu ue8uep uelqecedrp tedup uuqepurd.red uup uelud
-ece1 'u,(e8 1n18ue,{ueu 3ue,( leos-1uos u^\qBq ,l qEg rp uu>plnlunlrp qDleJ
IOUflNfl NYO YtltEY :UYOEJ,
YONIfl fl UYNY]d YYITflNIIXI
8I
KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
translasi
Gambar 18-2
Gambar 18-3
gerakan bldang umum
Gambar 18-4
yi. vi = v,2 = [(v r)* - @ r-]2 + [(vr), + tox]2
= (v2p), - 2(v r)"a1t + a2yz + (v!,)y + 2{v )rr.l,x + a2x2
= vf; - 2(v,,)rray + 2(v,,)rax + rr>2*
Dengan mensubstilusi ke dalam persamaan energi kinetik didapatkan
r = t/z( I. dm)v2r- (v")rr,r ( {, y d m) + Q p ra ( [,,, x dm) + t/za2 ( J *,2 dm)
Integral pertama di kanan menyatakan seluruh massa benda m. Karena xm
= J x dm danym = ly dm, maka integral kedua dan ketiga menyatakan pusat
massa benda G relatif terhadap P. Integral terakhir menyatakan momeninersia benda /", yang dihitung terhadap sumbu z yang lewat titik P. Iadi,
T = vzmv?, - (v n) ra1tm + (v ,)razm + Vzl oaz ( I 8- 1)
Persamaan ini meniadi bentuk yang lebih sederhana bila titik P berimprtdengan pusat massa benda G, yang dalam hal itu ; = I = 0, dan karena itu
7 = V2mv26 + VzI oiro2( r 8-2)
Di sini /" adalah momen inersia benda terhadap sebuah sumbu yang tegak
Iurus pada bidang gerakan dan lewat pusat massa. Kedua suku di ruas ka-
nan selalu positif, karena kecepatan dikuadratkan. Selanjutnya, dapat dibuk-tikan bahwa suku-suku ini mempunyai satuan panjang kali gaya, satuan
yang biasa digunakan adalah m.N. Namun, ingat bahwa dalam sistem SI
satuan energi adalah joule (J), dengan I J = I m.N.
Translasi. Bila sebuah benda tegar bermassa m mengalami translasi lu-r&s atau melengkung, maka energi kinetik sehubungan dengan rotasi ada-
lah nol, karena <o = 0. Dari Pers. 18-2, energi kinetik benda dengan demi-kian adalah
T =VzmvL ( 1 8-3)
Dengan 1,o adalah besarnya kecepatan translasi pada saat yang dipersoal-
kan, Gambar 18-2.
Rotasi Terhadap Sumbu Tetap. Bila sebuah benda tegar berputar
terhadap sebuah sumbu tetap yang lewat titik O, Gambar 18-3, maka benda
mempunyai energi kinetik translasi dan rotasi seperti yang didefinisikanoleh Pers. l8-2, yaitu.
| =t/2nr26+ V2lG$2 ( l8-4)
Energi kinetik benda dapat dirurnuskan dengan cara yang berbeda de-
ngan mengingat bahwa vG=rco, dalam hal itu i'= t/211" + my'4a2. De-
ngan teorema sumbu-sejajar, suku-suku di dalam kurung menyatakan mo-
men inersia I odari benda terhadap sumbu yang tegak lurus bidang gerakan
dan lewat titik O. Jadi, *
T = 1/zl oazr ( r 8-s)
Dari penurunan, persamaan ini dapat menggantikan Pers. I 8-4, karena
memperhitungkan energi kinetik translasi pusat massa benda dan energi
kinetik rotasi benda yang dihitung terhadap pusat massa.
n Kesamaan antara turunaD ini dengan turunan dari LM,,= 1,,a, Pers l7-16, harus diperhatikan. Perlu per-
hatjkan bahwa hasil yang sama daprt diperoleh dari Pers l8-1 dengan memilih titik P di O. dengan
nrenyadari bahwa v6 = 0
rotasi terhadap sumbu telap
sutu rp uellnqesrp 8ue[JrlBurellu Inlueq-{nluoq nBlE z-gl'sred uuIeunSSueru uu8uep uelteduprp opuaq Sursotu-Butsttru lrlaurl rB
-reue 'u,(uuelure8 srualuped Suntuu8reJ 'lere8req 3ue,( e,(uuerSeq-uer8rrqunr-rres {rlauDl r8reue qulunl quyupe uoSunqnqtaq 8uu,( ,re3e1 epuaq-upueqruolsrs {nlun [B]ol InauD[ rSleue 'ru1u1s uureseq qelupe r3:aue euere;
'rto) 1z7r 'e,(uesseu lusnddepeqret ?^rzlo./ Irleurl r8reue uep ',r,ttuz7, 'epveq t,tDlsuLr-rl lrlaunl r8raue.tDlmls qelwnl rrep r.rrprsl Bpueq lulot IlouDI rSreua umqeq tuqrlra] luls IC
(e-8 r )n_n-
za"lc4+i^ttlqt=J'nyu,( '7-91 'sred r{olo ue{rsru
-goplp {pauDl r8reue 'rpe1 'ra uuledecel re,(undrueur u,(uessuu lusnd uepo;eln8ue uuludecel rc,(undureu ur BIBru 'r-gl reqr.uuC'urnlun Sueprq uu
-1ere8 ruele8ueur;e8at epueq qunqas BIrg 'tuntug Suup;g uB{uJaC
I ,r-I
s-8I rBqurec(q)
s;u.r g 11:1,1
I fI IIOI\O
uDqDADf 196'?=lt?'l+ f09't + lZ6'{=)J*ot+BJ=l
qelepe uerlrluep ue8uap uratsls lelol {lteuDl r8raug
t tt'I = ,(s/per ?)[z(tu I'0)(3I Zt)zh]zh + z(s/ru ,'OXBI ZI)zA =)raQ4)wz4)24 + )rrwz7,
= Jra)1e7, + DrautzT,
=)1rapuryls
f09't = .(s/per 8)[7(tu I'0Xa{ ot)z/izh=ora(070 tu27r127, =
o raQ 127, =
o 1
uo8utuT
I Z6' t = z(sfru S'OX8>I g)z//t = sz^swzA
= B J
101D9
s/ur ,'0 - (s7pe-r lXtu t'0) = 'O,,t ) o)tl)r - s
^s/per 7 = :rco oco(tu Z'O) = s/ur 8'0 )o)ll7r =1^
'1pel 'SS-g l leqruBg 'quuel uu8uep Iuluo{ {ltll Ip epe tuusos
1ou ueledece4 lesnd 'dr1es uduel SupuryeSSueu tepurlrs Bueru)
s/peJ 8 = o0) aro(u t'O) - s/ur 8'0 1o oo1 = tttr
'ue8utrtd mltpwaury IIBC '"S-81 ruq1geg '9,r uep Jco 'oor uu{nt-ue1rp nped elnru-elnu 'rapurlrs uep ue8ulrrd IpauDI r8reue Sunlrq8ueru
Inlun 'rpel 'runlun Sueprq uulere8 ruele8ueu tapurlrs uup ,de1e1 nqurnsdepuqral relnd-req ue8urtrd 'rsulsue;1;eq {oleq
.B$ltrouaut ue8ueg
ISnl0S'nll IBES epud tuelsrs ptot {ueuq r8reuo uu>1
-n1ue1'dr1es eduel 8urpul1e88ueu rapurlrs uup s/ur g'g uen[e1e1 ue8uepurun1 qure8req {oleq DIII '{oluq uped ueltu4rp uurpnuel uep .ue8urrrd
rte,ldeleu 'rapurlrs rBurpyeBueu uB{llllllp uE{rBqBrp ledep u,(uesseur 3ue,{Suelued rlul qenqas '3lZt C repurlrs uep'31 g1 ue8uurd'3>1 9 g lopqrrep rrrprel ,S-81 ruqrueg rp uu1>1nlunlrp 3uu,{ uetuolo e8rl urelsrg
KI{II{YMC :)IN)ISJ \/)IN\'XIIN
5T.B IE KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
TL] IGRIA SEBUAH GAYA
Gambar 18-6
Berbagai jenis gaya seringkali dijumpai dalam soal-soal kinetika planaryang melibatkan benda tegar. Kerja masing-masing gaya ini telah disajikandi Subbab 14.1 dan diberikan di bawah ini sebagai ringkasan.
Kerja Gaya Yang Berubah. Jika sebuah gaya luar F bekerja pada se-
buah benda tegar maka ker-ia yang dilakukan oleh gaya bila ia bergerak se-
panjang lintasan s, Gambar l8-6, didefinisikan sebagai
Ur= !, F cos 0ds (1 8-7)
Di sini d adalah sudut antara "ekor-ekor" vektor gaya dan perpindahanyang sedikit. Secara umum, integrasi harus memperhitungkan perubahan
arah dan besarnya gaya.
Kerja Gaya Konstan. Jika sebuah gaya luar F. bekerja pada benda
tegar, Gambar 18-7, dan mempertahankan besar yang konstan Fa dan arahyang konstan d, sementara benda mengalami translasi s, Pers. 18-7 dapat
diintegrasi sehingga kerja menjadi
U p,= (F, cos d)s ( I 8-8)
Di sini F,. cos 0 menyatakan besarnya komponen gaya dalam arah perpin-dahan.
Gambar 18-7
Kerja Gaya Berat. Berat sebuah benda melakukan kerja hanya bilapusat massa benda G mengalami perpindahan vertikal A.r,. Jika perpindah-an ini adalah ke atas, Gambar l8-8, kerja adalah negatif. karena berat danperpindahan ada dalam arah yang berlawanan.
Ur = -WLY (1 8-9)
Demikian pula, jika perpindahan adalah ke bawalt (-lV.y) kerla menjadi po-sitif. Di sini perubahan ketinggian dianggap kecil sehingga W, yang dise-babkan gravitasi, adalah konstan.
;.',l
... fJ.,/_
E
"{
4cas8
Gambar 18-8
'I rt qeqqns rp ssqpqtp q?let rrrurle8rat upueq €lrq ue{esaB B,{€3 qeto uuInIEIrp Buu.( efto;4 *'qesldrel Isptor uup rsEISuBrl rBBBqes deSSuurp
1udup Bpueq rrup urnun lrcel usqepurared dBrJ '1.4 = W B{urusaq 8ue,( led
-oI qunqes rqnru8uadrp Suel'o1l-gI rEqtuED rp upueq uelrtuqred ,ful IBq
uB)Inlunuou 1.ntun'tszlot ruelu8uaur ppueq EIrq o{uot1 el:oq uu{n{Eleurn1r e,(u8 enpal 'runrun Suuprq uelero8 nuelu8ueru lado>1 qenqes rqn.re8ued-rp 3uu,( Bpueq qenqas BIrg 'uuuu,r\Byreq e,{uqeru uup Btues e(ureseq 3ue,{srJe8es Iel 3ue{ e,(r3 Suesudes rrEp rrrptel pdoy 'qenges E,{\qeq qulle8ul
0I-8I rBquec
N
lfldox Hvoflss YIusx g'8r
'lou qBIupE'g ufral 'leeses {nlun e,(ueq uulnrnreq 8ue,{ 1e1-rlrud dur] qn1ue,{ueur'g euerey 'leluozuoq IBpn 'p{ure^ uele e,(uuuqup-urd:ad 'z ( x teurpJool ueisrs luss {nu lp BpB y lltll leBS epud entqeq tuq-lllp tedep 'q LZ-91 rBquEC qelluqrl 'nlr teps Bruules e,(e8 qere uepp uu>I
-qepurdrp Ieprl {p! 'urcl e}E{ ue8ueq 'lou qelepe {llp BpBd e,{u8 qelo ue>1
-n)ellp 3ue,( el.ra1 uurlruep uu8uep uep'(il'leesas psnd) 1ou uopdaca>1rc,(undurou 3ue,( upueq Ip )pll qenqes uped ehe>1cq 'g'tp fii>1?uts n77on,
8ue;uques Etuelos 'wlqeqesrp lul x'gl-gI JEqueD 'eLre1 ueln>pleu {plu8nlrusul ueeelnu:ed qenqes sula tp dtlas oduol 7urpur1a77uaw Er BIpaIEpueq qenqes upud etreleq 8ue,('g Surpurye8 rsuelsrser e,(ug 'g1-g requeD'lotuonroq ?uop1q upud lere8reg epueq rselr,tur8 lusnd elrq Bpueq r&nq-os lureq uep 'delel 8ue,{ uuulnu.red Sueluedes le;e8reg Suef epueq upedefue1eq 3ue,{ leurou rsleer 'relndteq €pueq e,{udupuq.r4 8uu,( trdel Sued-oued rp rs>1ue; dn>lecueu qoluoJ-qoluo)'Dlaraw uotptptndtad srun1 tpBaJ
?uo{ qerc re,{unduretu tedep sleralu nule Epueq eped dotal 11lp rp ef:ey-ag tpdep rur u,(e8-u,(ug 'qepurdreg €pueq elrq eLral uu1n1e1eu )ut 3ue,{.re-n1 u,{u3 edureqeq BpV 'BFaX uu{rulelatr l {BI SuBA u,{ug-u,tug
r- I
I
l'tl. lzsl ue8uet
(or-gr)(t 'rtz4 - zr'424)- ='n
qBlepe uulnl-e1rp 3ue,{ ufrey'6-91 requreC'e,{e8 ue8uep ueuB/(BIJeq 3uu,( quru urelup^,r.p;, s Dpuaq uoqoputdtad eueJBI {1ruZau qBIepB ufue1 luq Bnpe) uBIECl: ',,ttD[ rylqa7 rsrsod e>1 Is uep ledururueur nele Sue8ereiu se8ed eyrq eLral
ue{r'.1EIatu opuaq opod o[tayaq ?uo{. st1-'i se8ed u,{e8 eluu 'upuoq qenq-rs epeti uellre{rp rerurl Burluelsu8ad qenqes eIIf .su8ad BfBC BFoy
T)IY{.\ilMC : XIN)I:LI Y)L\V)AhI
6-gI rEqruec
e" -.-_
I
L-.*r- --]6 = s 'su8ad
uuBusBerBduur rsrsod r.l t-,Jt
tl ttii
E9
3.\B IE KINETIKA PLANAR BENDA TECAR
Bila benda bertranslasi sedemikian hingga komponen perpindahan sepan-
iang garis kerja gaya adalah ds,, Gambar l8- I I b, jelas kerja "positil-' salah
satu gaya nrcniedakan kerja "negatif' gaya lainnya. Perhatikan sekarang
rotasi kecil benda ddterhadap sebuah sumbu yang tegak lurus pada bidangkopel dan memotong bidang di titik O. Gambar 18- I 1c. (Untuk penurunantiap titik lain pada bidang dapat .iuga dipilih). Seperti ditunjukkan pada
gambar, tiap gaya mengalarni sebuah perpindahan d.s u = (rl2)d0 dalamarah gaya, iadi, keria total yang dilakukan adalah
,tu M F( l,rcl- r[.: ,,rl = (r, ]/e" tr I \2 )
= Md9
Di sini garis kerja d0 adalah sejajar dengan garis kerja M.lni selalu demi-
kian untuk gerakart bidang ut?ttutt. karena M dan d0 adalah tegak lurus pa-
da bidang gerakan. Selanjutnya, ker-ja resultannya positif bila M dan d0mempunyai haluan arah yang sama dan negatif bila vektor-vektor inimempunyai haluan arah yang berlawanan.
Bila benda berputar dalarn bidang lewat suatu sudut terbatas d diukurdalam radian, dari d, sampai 0r,kerja kopel adalah
u, =$,.uae
Iika rnomen kopel M mempunyai Desar
U t't = M(0-' - 0)
Di sini ker.ianya positif andaikan M dansama.
18.4 PRINSIP KERIA DAN ENERGI
rotasi
ir:+
Gambar 18-11
(18-t t)
yarry konstan, ntaka
( 18- 12)
(02 - 0) ada dalam arah yang
Dalam Subbab 14.2 prinsip kerja dan energi dibahas untr:k sebuah partikel.Dengan menerapkan prinsip ini pada tiap partikel benda tegar dan dengan
menlumlahkan hasilnya secara aljabar, karena energi adalah skalar, prinsipkerja dan energi untuk sebuah benda tegar dapat dikembangkan. Dalampandangan ini, energi kinetik awal dan akhir benda telah didefinisikan olehrumus di Subbab 18.1, dan kerja yang dilakukan gaya-gaya ek,sternal danmomen kopel didefinisikan oleh rumus-rumus di Subbab 18.2 dan 18.3.
Perhatikan bahwa ker-ia ga),a-gaya irtternal benda tidak perlu diperhatikankarena benda adalah tegar. Gaya-gaya ini teriadi dalam pasangan segarisyang sama tetapi berlawanan, sehingga bila benda bergelak, keria salah sa-
tu gaya meniadakan ker-ja pasangannya. Selanjutnya, kalena benda adalah
tegar. tak oda gerctkcm relatif antara gaya-gaya ini yang terjadi, sehinggatak ada kerja internal yang dilakukan. Jadi prinsip keria dan energi untuksebuah benda tegar dapat dituliskan sebagtri
Tr+ZUr-.>=Tt (18-r3)
Persamaan ini menyatakan bahwa energi kinetik translasi dan rotasi awalbenda ditarnbah kerja yang dilakukan oleh semua gaya eksternal dan mo-men kopel yang bekerja pada benda ketika benda bergerak dati posisi awalke posisi akhirnya adalah sama dengan energi kinetik translasi dan rorasiakhir
'uetudeoal 3uu1ua1 r:1r1eu
-aurI srsrleuu uulqnlnqureu Ittaurl rS.leua Intun uBBunlrq.tad uue.ru1 .lBos-leos rrelqcrcuralruelup uunS:aq ulnq.rol L 9l redruus g g1 quqqn5 3uc1ue1 lul8urs Buuln uenulurl qunqa5
..,_
'Btues 3u€/( Epueq Inlun uB)srlntlp tedBp 8ue,( .l I -L I .sled .reluls uBle-r-eB uupuresred e8nal ue8uep uu8ueluepaq rul .le88unl ru8el upueq up-ud ueluun8rp el Blrq rnr{EleIlp >lel 8ue,( uureseq ntes rrucuorx e^uuq Inl-un uu{uun8lp tudup BI 'relu{s uuuruusred r4elepu rur euere) .ZJ
=a-l nZ+ t7 'r3;aue uup efte1 drsur.rd qulueleunC .$taug uop opay dlsultj
';rlu8eu qulupe ntr uLel ,uur1
-ruep )Eprt upq l(rse1o.r) u,{uuuqupurd.rad ue8uop uurus Buu,( quru ruelupupu (1edo>1 ueuou) e,(e3 upqy'llsod qeppe uliel ,eurulnreJ .uulnluelrp
nlns duq rrup Iococ 3ue,( epuul e^\qEq ue{UBqradrp Surlued ,ue>1qn1nqrp
u[.re1 nlns-n1ns toqo[1o uotloqwouad euare) .E.gl uup Z.gl qeqqns Ipseqeqrp 3uu,( ledel 3ue,( snrun; ueleunSSueur ue8uop Buntrqrp ludup 1ad-oI uauotu uup u,(u8 del] uftey .uusBlur[ Sueluudes 1ere8.raq ur e>1rl up-ueq eped efte1 uelnlulaur 8ue,( Iedol uetuotu uep u,(e8 enues uu48unl-rq.redtueu re8e 'uuseturl Sueluedes Brctuu Irlr] rp uullptelrp ut ulq ntrepuaq seqeq-epueq uur8erp qBlruqtuu3 .goqeg-opuag uo.r7orq) nkay
,1,'o uup ra u.ruluu ue8unqnq Inluoquou Inlun nulu'r0 uup 9,,
uulnlueueu >Jnlun eunS:eq uuludeoel J.nlun Dltlotuaur>1 tuo.tSotp,lul Iuqtuuluc'l'gl quqqns rp suquqrp 8uu,{ 1ude1 3uu,{ rur ueeuresled Inlucqnuw ,c09127, + t auz7, - J uuetuusred uuluunSSuaur uu8uep z1 rrcp I1
lpeuq r3:eue nlns uplnlual '(ery1ouamy uot?mg) DTUaLIX l7raug'rur lnlrreq rnpesord uuluunSSuer_u
uelUuJBSrp 'rse1r1de reBuqeg 'uESnurnJed tuelup InsuuJol rul l.tl-ns-n{ns euerul 'uoqoputdtad uep 'Df,o? ,uDtoda)q dn>lucuaur 3uu( u>1
-llaull Ieos-leos ul?{tluceuou Inlun uu>pun8rp tSreue uup e[.rc1 drsuu4
SISI-IVNV )NINO UNCASOUd
'srslleuB rJup rseururlerp uBrlruap-.iuep uep €[-rel uelnleleu leprt
(ntES rpe[uatu e]o88uu re8eqlcq uuquu-: :up ( '1uurelur eKeB-eie? rur snse{ pnues uEIEC .ue8unqnqrcq Bue,( up-:jli-.r,'raq uelsrs qnJnlos upud ue4du:e1rp ludup rur uueures-red u>1eur ,e,(u
-':ri1 uei'..lrn nrus ue8ur-relruelep nul€ ,Suuluud:edrp ted€p Ieprl Buu,{ 1equ1;:ir ue1.iu:,.nqrp 'trdal ue8uep uul8unqnqrp ru8el epucq uduleqeq EIlg
vxu\\'\:IQ :xl-\l{ :[L V) L\Y) 3hr s9
$ \\B 18 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
tang yang -12a massanya 10 kg dan
momen kopel 50 N.m dan sebuah gaya P = 80 N, yang selalu diberikan te-gak lurus pada ujung batang. Juga. pegas mempunyai panjang tanpa re-gangan sebesar 0,5 m dan tetap dalam posisi vertikal karena adanya pem-batas gelinding di B. Tentukan kerja total yang dilakukan oleh semua gaya
yang bekerja pada batang bila ia telah berputar ke bawah dari 0 = 0o sam-pai 0 = 90".
50N.m A, ,,,
0, fl= ttfl N
o\ToH 18-2
?m
't, ..vy'
{s)
Nl| *.. ,.,'v
(b) Gambar 18'12
soLusrMula-mula diagram benda bebas batang digambar untuk memperhi-
tungkan semua gaya yang bekerja padanya, Gambar 18-12b.
BeratW. Karena berat 10(9,81) N = 98,1 N dipindahkan ke bawah 1,5 m,kerja adalah
Uw=98,1N(1'5 m) = 147,2J
Mengapa kerja ini positifl
Momen Kopel M. Momen kopel memutar melalui sudut sebesar 0:xl2rad. Jadi
Uu=50 Nm(n/2) =78,51
Gaya Pegas {. Ketika 0 = Oo pegas teregang (0,75 m - 0,5 m) = 0,25
dan ketika 0 =90", peregangan adalah (2 m + 0,75 m) - 0,5 m=2,25 m.
Jadi
11
" = -lV2(30 N/m)(2,25 m)2 - t/z t(30 N/mX0,25 m;21 - - 15,0 J
Dengan memeriksa pegas melakukan kerja negatif pada batang karena Fbekerja dalam arah yang berlawanan dengan perpindahan.
Gaya P. Bila batang bergerak ke bawah, gaya dipindahkan sejauh ni2 (
m) = 4,7 12 m. Kerjanya positif. Mengapa?
U p = 80 N (4,712 m) = 3'11 ,O J
Reaksi Jepit. Gaya-gaya A, dan A, tidak melakukan kerja karena meretidak berpindah.
Kerja Tbtal, Jadi kerja semua gaya bila batang dipindahkan adalah
U = 147,2 + 78,5 - 75,0 +377,0 = 528 J Jawaban
II-8 [ .rf,rlurEr.)
t'i I
li{il i {*t
g-8 HOL\OJ
'li,dcr qrqel 8utr,{ uuquceru-ad uu11r.-uqfrucut ti'rotr;-nir.r1 urrtulepued 'trqlllat B ur:qr:purcl.red ur:p
uuledecal 'u{u3 uuc.rtl €1r\qu/..1 uultluq.rod uep rur urquJarrroli cpolcurunpal uulFurpuBg '6-ll qotuoJ tp uulqecadrp qulet e8nl'rur luos
tru(tDntDf ,\er tL,z= (ff)- r t,Lt =per r,rr, = €
{r Orr } = {(ru Z'0)d(N 0r) +A(tu N E)) + {0}
{zJ} = {sl +0ttt} + {lZ}{zt} = {z-t nz} + { tz J
t*taug uop ofiay d1su1t4
'(ut Z'O) 0 = r0 = s qe^\Bq aI yo-tafuaq rlu1 rlne) .rrr
= ).1p grlrsod uLrel uuln1e1aw I uDtsuol o{o3 uep'putg wel'uruul'qu.r
-uas 8uu,( tnpns telrrel nrydtaq uusur.rrd e1q0W = /'9p ;rlrsocl utial uu1-nlpleu 'uelsuol u,{u.ruseq Zuef,'1adot1 uatuotrAl'qepurdreq lu} u)oreur uu
-e.re>1 'eLre1 uBInIBIeu I€pll (N E't6Z) wrcq upp ^O uup *O lrdei rsque.r
'{€l -8 t ruqrueD rp ue>llnluntrp n.redeg'goqaq-opuag uto.rSorg) okay
I OZt =.(s/pu.r 0Z)[z(ru Z'0XBI O)zh]zh - "a"121,
=21
o=tJ
eSSurqes 'tuurp ueBurrrd 'u1nur-upr61 'rtwz/1= '7 qulepu Brsreur ueruoru
ue8uep 'rro"lzA =J ue)BunSSueur uu8uep SunlHIp ledep >11eun1 r8raue
'dete] 8ue,( nquns dupeqlet relndraq uuSur-ud Eueru) Zgautx 1&taug
rsmos
uJ: .. i*i l' r ,t* .'
'ueSunlqrad uelpp rlet ESSetu uulreqy'tu N S
- ,V uptsuol 1edo1 ueurou uup 'u,(urdal r8urlrle8uau"r uu>1tr1rIp 3uu,(lrer eped uelrroqlp 8uu,( '51 0l = C uetsuo{ u,(e8 ueqrp uu8ur:r4 'uerp
-?Eopal rrpp relnru spet OZ ruseq?s ruln3ue uuledacel rcducueur 1n1uneir-:rnqrp snreq 3ue,( uurulnd qulunl uelntueJ 'e(ulesnd rp trdal'ue8u-ap aurdotrp Dtl-81 :uqtuBD uped uu>plnlunlrp 3uu,( 3>1 gg ue8ur.u4
L9 \ryIhiY\-rc ')il\):ll \}r\Yxlrhtr
a \AB 18 KINETIKA PLANAR BENDATEGAR
atang u yang ditunJukkan di Gambar 18-74a dipengaruhioleh gaya 30 N yang selalu bekerja tegak lurus pada batang seperti ditun-jukkan pada gambar. Jika batang mempunyai kecepatan angular awal sear-
ahjarumjam ot = l0 radls ketika 0 =Oo, tentukan kecepatan angularnyapadasaat 0 =90".
301-I
(a)
SOLUSI
Energi Kinetik (Diagram Kinematika). Dua diagram kinematika batang
ketika d = Oo(posisi l) dan d = 90"(posisi 2) ditunjukkan di Gambar 18-
14b. Energi kinetik awal dapat dihitung dengan acuan titik putar tetap Aatau pusat massa G. Jika A dipilih, maka
T, =Vztoal = /2lt/t6 kg)(0,6 m)rl(10 radls)2 = lQ ;
Jika titik G dipilih, maka
Tt =t/zm(vc)l + /zI6al7z(5 kg)(3 m/s)2 + VzlVz5 kg)(0,6 m)21(4 rad/s)2 = 30 J
Pada posisi akhir,
Tz=t/z[7:(5 kgX0,6 .)']r3 = O3r.l7
Kerja (Diagram Benda-bebas). Gambar 18-14c. Reaksi
melakukan kerja, karena gaya-gaya ini tidak berpindah.
berpusat di G, bergerak ke bawah lewat iarak vertikalbergerak tangensial terhadap lintasan sejauh 7zn(0,6) m.
Prinsip Kerja dan Energi
A.. dan A, ti
Ay. Gaya 30 N
{r,}+{xu1.2}=lT2l{ :o I } + {49,05 N(0,3 m) + 30 N[72n(0,6 m)] ] = (0,3(D3) J
tlilz= 15,6 radls J Jawaban
(t{c)r = (10X0.3) = .1 rls
18- 4
Berat 49,05 N
c-T--
I
0.3 m qrs-
Gambar l8'14
&)r = lO radls
sI-8I ruqtuBg
.t:at
IY ,4t#*
UDqDADAe s/per 08'Z = zo
{tr(zco)ua'o) = {.(ru u'oXLu/N ogOZA- (pe.r Ezg,o)N rz }
lzt\ = lzsyLA+eru| * {tz}Izt\ = l'-'nz) * {Iz}
1fuaug unp ohay dtsttr
'ru E'0 = (ru g7'g)pe: gZg,O=)t/vr7 = v.r Buu8e.rel sufcd,rpr:1 r7c1
-8 I .Iuqrrru0 'pur SZ9'0 = ur VZ'O|u 91'51=)t/)tps -B -relncl:eq upo-r l?Ieur'ru SI'0 qupurd:aq 9 tusnd e1r1a1 drles )epu Epor Eue-rc) .ur:qupurd.rod
uu8uep ueue,{\B[.req 3uu,{ qure urBIEp Bpl? tg eue.rel Jrte8eu qulupu ut.ro1
luls IC 'zelz/r - - ) uuluunSSueu ue8uap Sunlrqrp ludep sg uftey
'8urpur1e33uetu Er EIrleI drlas lupu upo-r euelul ,ula7unlwplaut t1op1l ueaase8 u,(u3 uep e,{uefte1 srre8 Sueluedes qepurd >1eprr
Ierurou e,(eg 'e[)e1 ueln)pleuI ledo>1 ueurotu uup 'td su8ed u,{u8 u,{u'rgl-8 I .ruqueD rp uu1>1nlun1rp pladc5 .goqag Dpuag uot7mq) ot
7(zco)Lt6,0 =
i s/tu18'6-le ,, . ..(,s/ur t8'6)Z,('')["(* 8r'0)T 0#]i- .('"{ .,rz'o))[i
* ,,1; =
[.r, trr, + l{t,r)rrttt, = "1
qulepe rq)E lltaurl r3-reue 'rpe1 'zrig'6 - z1lln,
'ntre,{ '(37) lueses lou ueledecel lesnd r:up zco ,reln8ue uuleclece>1 uu3uepuulSunqnqrp tudup z(c,r) esseur lusnd ueludecay .{SI-gI iuquruD rpuullnluntrp rrqle rsrsod uped upe-req ur eluel epo,r l?)rtuueurl uruliurq
o=lJ'trterp ulnLucs upol Eueru) '(oyr1ouau1y urot8mq) ypauly l&nu
,f
'uulueqrp ledo>1 uauou u1r1e1 Sue8aral Iet elntues uep rrlN 09 I =ry uBnIuIoI ru,{undueur se3e4'ru g1'g qepurd g tusnd quletes e,{u:e1nfuuuledecel uulntual 'dr1es eduul LUBrp uuupue) Ilep SurpurlaBBuuup ru'N €Z leseqes urel ulnlul qurees 1edo1 uetuotuel eIlI '9 e,(uesseur lusnd depeq:el I.u g I'O = 9l rsurr8 r.ru[-r-rel' ru,{u-ruoru uup 51 gg7 u,(uluroq pg I-g t ffqurug rp ue>11nlun1rp Squud upo11
'1 '.
. l:d. . i,tS,i
.--.rp**.*...-*l..d
ll
SfI HOI.\OJ
::i
[,iift..,j:s::
69 1-.]{rI\YNIC;XIN)IEJ \)rNv)gr\
, LTB 18 KINETIKA PLANAR BENDATEGAR
ITOIr 18-6
massa balok A dan B.
SOLUSI
Mengapa prinsip kerja dan energi dapat digunakan untuk memecahkan
soal ini?
-={
a
EnergiKinetik(DiagramKinematita).Duadiagramkinematikaoulun,'ketikl berada pada posisi awal I dan posisi akhir 2, ditunjukkan di Gam-
bar l8-16b. Ketika batang ada pada posisi 1, 4 = 0 karena (vc)t = ol = 0'
Pada posisi 2 kecepatan angular adalah ro, dan kecepatan pusat massa
adalah (u6)2. Jadi, energi kinetik adalah
t
Gambar 18-16
(0-{ cos 45) m
ih 45') ma"(0.8
I
I
T z = t/zm(v c)l + t/zl 6@ )2
= yzoo kilO c)Z + VzllAz\o kg)(0,8 m)21 (orz)2
= 1v)i+ 0,267(a2)2 (l)
Kedua besaran yang tak diketahui (v6)2 dan ol, dapat dihubungkan darr
pusatkecepatannolsesaatuntukbatang,Gambar18-16b'Terlihatbahwaililu a b".g"rak ke bawah dengan kecepatan (v1)2, B bergerak secaratrori-
zontal ke-kiri dengan kecepatan (vB)2'Dengan mengetahui arah-arah ini'
IC dapatditentukan seperti ditunjukkan pada gambar' Jadi'
(vdz= rc/tcu2= (0'4 tan 45" m)ol'
= 0,4a2
Dengan mensubstitusi ke Pers. 1, didapatkan
Tz= 5(0,4a2)z + 0,261(ar1z = t'O6l1a2)2
Prinsip Keria dan Energi
{r,} + 1zur-21= {rzl{r,} + {wA.v+rs}= i72}
{0}+ {98,1 N(0,4 m - 0,4 cos 45" m) + 50 N(0'8 sin 45o m) }
='{ 1,067(o)2)2J}
Dengan memecahkan rir, menghirsi i kan
ro. = 6,1 I radls J
Kerja (Diagram Benda'bebas)' Gambar l8-16c' Gaya-gaya normal N,
aun N, tidfk melakukan kerja ketika batang berpindah' Mengapa? Berat
Sa,t N"aiplnAahkan vertikal iejauh Ay = (0,4 - 0,4 cos 45")m; sementara
i,u'guyu SO N Uerpinaah horizontal sejauh s = (0,8 sin 45")m' Kedua
ini melakukan kerja positif. Mengapa?
lawaban
9.8I IBOS
y {llF nel€ I E,(IrBssBur lesnd d?pEqrel Eunltqtp
Elrg Eurps uBIB >qrleurl rBreua emquq uellnfunl 'o, qel
-epe 3ue1eq:uln8ue uuledecalC) lees epud eqrl 'e,{u8un[
-nrp trdefrp uep ur u,(uusseu uJoJrun stdq Euzteg '9-8I
s'8r IBos
'rur leus eped
s:-- : r .;,- -i .-i.;pg3 uelnluel s4u 9 uuledecel rB{u
--rrl.;a* i ' -::t-: E{rlo{ s/pBJ S Jeseqes uref uruef ue
-:Ea,T;;l: -:i'-::-:';ttedacel refunduatu p gg1 uuSur-r
-c -rr-r;xr .. -=.irifunlrp 3ue,( rgedas lees eped 'S-81
?.8I IBOS
'txurp uu€pBel rrEp uul-sedelrp uerpnuol uep uu:e1nd enp rulndrp er elrl epo:
unursleu relnEue ueludeca>1 uulnluel 'uerp?J rlelep
B uuSuep 'u N (6)z) = w qe:r-pe epo.r lesnd upud rs.rot
e8Eurqes 'per4u N Z - Z uBnIeIe{ re,(undueur rpor tus
-nd epud UBIIe{rp 3ue,( leuors:o1 su8ad e>p1 '81 g srdu
Eueluq enp uep 3>1 g stdq utcutc rrup lenqlp epo6 ?-8I +
'r8reue uup e fte1 drs
-urrd uu>pun38ueu ue8uep [a-LI lEoS uulqurad'€-gI
'r3:eue uep eliel drs
-ur:d urryunSSuau ue8uep 69-4 IeoS ue)tqurad Z-8I
I.8I IBOS
./,,(\
----a \\
I
)llC1
':uqut8 epud luqrlret ruedas ussuut lusnd
lep )l/9, qnefes lelalral 3uu,{ 'leeses 1ou uelederal
nqurns depeq:el Surulqlp 8ue,( epueq ersJeut uauouqgppv 3lI ue8uep 'zo )lI z/t = 7 re8uqes ur:1e1uXu
-lp rcdep E^ulrteur{ r8:aua e,,rrqeq uu>11nfun1 '9,1 utltr:d
-ece1 re.{undueru e,(uesseu: lesnd uep <o p{u.relnBue
ueledere>1 r.1 esseur ue8uep epueq leus nlens xppd I-8I
ILTI{ II\YNIC :)IN)IIIJ \TXINV)ghtr
lVOS-fYOS
?tr L\B I8 KINENKA PLANAR BENDA TEGAR
'{. - fur:. vat vang ditunjukkan di gambar, sambungan
+ii -f.-i:'rn)'ai kecepatan angular oeg= 2 rad/s. Jika
:,-r i,:-iiungrrn dianggap sebagai batang tipis unifbrm
r::.n berat 0,1 N/mm, tentukan energi kinetik total
.,:i i II l.
Soal 18'7
'F I 8-8. Bak pengaduk beratnya 350 N dan jari-jari gira-
sinya k. = 0,4 m terhadap pusat gravitasinya Jika torsi
konstan M = 90 N.m diberikan pada roda untuk menum-
pahkan isinya, tentukan kecepatan angular bak bila ia
telah berputar 0=90". Semula bak dalam keadaan diam
ketika d = 0".
I 8-9. Pecahkan Soal I 8-8 jika torsi yang diberikan ada-
lah M = (75 A/N m. dengan d dalam radian.
I 8- 10. Sebuah yo-yo beratnya I ,5 N dan jari-jari girasi-
nya l(, = l8 mm. Jika ia dilepaskan dari keadaan diam,
tentukan berapajauh ia harus turun agar mencapai kece-
patan angular co= 70 rad/s. Abaikan massa tali dan
asumsikan tali dililitkan mengelilingi pasak di tengah
sedemikian hingga iari-jari rata-rata di r.nana ia terurai
adalahr=6t-nm.
I 8- I I . Sebuah yo-yo beratnya I ,5 N dan jari-jari girasi-
nya k,, = l8 mrn. Jika ia dilepaskan dari keadaan diam,
tentukan kecepatan angularnya bila yoyo tersebut telah
turun r = 0.9 rn. Abaikan massa tali dan asumsikan tali
dililitkan mengelilingi pasak di tengah sedemikian hing-
ga iari-jari rata-rata di mana ia terurai adalah r = 6 mm.
Soal 18-10/18-11
+ I 8- l 2. Mobil peti sabun beratnya 550 N, termasuk pe-
numpang tetapi tanpa keempat rodanya. Tiap roda be-
ratny a 25 N, j ari-j ari nya 0. I 5 m, dan jari -jari girasinya k
= 0,1 m, dihitung terhadap sumbu yang lewat poros ro-
da. Tentukan kelajuan mobil setelah ia menempuh 30 m
mulai dari keadaan diam. Roda-roda menggelinding
tanpa selip. Abaikan resistansi udara.
Soal 18-8/18-9Soal 18-12
.lelrus^ 3u€p
-rq uulep rpDftot ue:{er3D 'o08 I (q) ueP o06 (u) rulnd
-loq qelal er Elrq EFurulnSuu uuludacel uElnluei'JuqueS
rp luqrlrel 3ur:,( rsrsod utp u€IsEdelrp uEp tU'N 0s -l? uauour rqnru8uadrp er e1r1 u731 ? E,(uESseu Sursutu
-Sursuur 3uu,( srdn Sueteq unp rrup urprot tnpuug tI-gI
9I-8I/SI-8I IBOS
..........- ,u r .....
.PIII
i-':lrq uelep rpellal uBIEJaS uep Sueteq nqruns
----' 1en-at uulueqrp np:1es u,{ug oggg :utnd:eq- ..-:. i:pr-'d .ru1n8ue ueludecol ulllniual s/p€r 9
-- -;--:':rrudaral ru,{unduau er Jequru8 upud- -r-:. :,::rJ tuclup Suutr:q u>1na; 1ado1 ueru
-:: : ;-:- ---:.':adrp i1 tr,3urdur:: Suelug '9I-gI*
'[u{0re^
:,.::: - -;r E :q ---: -- r-i.tD Sueteq nqurns eped sru
'- w:.:. -:.)-): ; - l :: :.:. D rLl6 qe,truq eI regnd;aq
i: -trz\ me: .E -a'-, -.!a:q:;,-:;. ':- YllUaI SJpVI 9 =l pl
i: - --i y:t -E-gf ;;-:;'t t: j :-u *:', - -.-.:i-:] l-uutUq :UqUrUB
ipi'i. =:i:-];: --;t;;\ ! --r: r i: ,i:.-:){ lado\ uel.u
-oLu uT: t..a-; .-'---E,i--i:: .' t i .t - :--- :':"trB gI-8I
7I.8I IBOS
'"06= e luus uped raln3ur
ueledore{ uplntuel 'urru 00t = t)ry
e,(ursn.rrB uu[-l:rl'urp'g rp E,(u€sseu lesnd '3I 0Z B,tuessuru Ellf .0 = d rlrl-a{ s/ppr E = ca :e1n3ue uBlsdsca l uuSuop 1u1gjo,r Suup
-rq uulBp o {llll drpuqrel rEtndreq ueSunqure5 '71-91
€I-8t IBOS
lr-i\r:, Lilil1
'turu 0Z t:ul-rreI te,(und
-uau y rp uululuuB uuretnd eurl uuSucSed Julrltuelu
Intun u€Iqnlnqlp 3u€,{ ufta1 ue1n1ue1 31 6E uuqeq tu1
-Suu8ueui Intun ueleun8rp uBAuBl Iorap ursal fI-8I
,I-8I IUOS
tlfnr*"lT
I,L\)U{}'-\iC ll L\l{:Lt \ll L\Y)31{
"] &\.8 It KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
ili;L :|clr' :rutorm massanya l6 Mg dan jari-jari gira-
lror r l ni:p sumbu z adalah ko = 2,7 m. Jika pekerja
ffirrr{-rr{l! pipa dengan gaya horizontal 50 N, yang
JrNiiian tegak lurus pada pipa, tentukan kecepatan
rr.i'iiar pipa ketika ia diputar 90o terhadap sumbu z,
::.u,ar dari keadaan diam. Asumsikan pipa tidak:tsrJvun.
18-21. Suatu sambungan terdiri dari dua batang 40 NAB dan CD danbatang AD 50 N. Bila 0= 0o batang AB
berputar dengan kecepatan angular @,qs= 2 rad/s. Jika
batang CD diberi momen kopel M = 23 N.rn dan batang
AD diberi gaya horizontal P = 100 N seperti ditunjuk-kan pada gambar, tentukan o AB pada saaL 0 = 45".
Soal 18-18
18-19, Sebuah motor memasok torsi konstan M = 6 kN.m
pada drum penggulung yang menjalankan elevator, Ji-
ka elevator massanya 900 kg, pengimbang berat C mas-
sanya 200 kg, dan drum penggulung massanya 600 kg
serta jari-jari girasinya terhadap sumbunya adalah t =0.6 m, tentukanlah kelajuan elevator setelah ia naik 5 m
mulai dari keadaan diam. Abaikan massa katrol.
*18-20. Suatu sambungan terdiri dari dua batang 40 N
AB dan CD dan batang AD 50 N. Bila 0 = Q", batang AB
berputar dengan kecepatan angular a as= 2 rad/s. Jika
batang CD diberi momen kopel M = 23 N.m dan batang
AD diberi gaya horizontal P = 100 N seperti ditun-
iukkan pada gambar. tentukan a ABpada saat d= 90".
0"9 m
Soal 18-20/18-21
18-22. Anak gadis yang beratnya 5-50 N duduk di ayun-
an sedemikian hingga bila ia ada di A, d = J0o, sesaat
diam dan pusat gravitasinya ada di G. Jika ia memper-
tahankan posisi tetap yang sama ini ketika ia berayun ke
bawah. tentukan kecepatan angular ayunan ketika iamencapai titik terendah dr B @= 0"). Jari-jari girasinya
terhadap sumbu yang lewat G adalah 0.54 m.
18-23. Anak gadis yang beratnya 550 N duduk di ayun-
an sedemikian hingga bila ia ada di A. 0 = 45". sesaat
diam dan pusat gravitasinya ada di G. Jika ia memperta-
hankan posisi tetap yang sama ini ketika ia berayun ke
bawah, tentukan kecepatan angular ayunan ketika iamencapai posisi d = l5'. Jari-jari girasinya terhadap
surnbu yang lewat G adalah 0,54 nt.
3
SoallS-22118-23
Ig-8I/0€-8r/62-8I IBoS
I
'uerlund lnpnsqelEpu 6t uEp u€nIeIaI qulupu 7 uuSuep'617 - /d leuors-rot se8ad lnyn:ynturua4 'uurp uuepeel r:ep ue>1sede1
-lp urp"06 =g eped e)tnqrp qelolos oO - e eped dnlnl:el
Br elue{ s/per ZI :eln8ue uuledace>1 ru,(undtueu nlurd
ruie uerpu: urelup uelnl.redrp 3ue,( se8ed lelrr uu:r1und
uElniual' per^u N 08 = ? uenle{e1 rr(undweu 8ue,('yrp IEUorsrot su8ed e1 uelSunqnqrp nlurd e1r1 ':uqure8 ep
-ed ruedas e,(ursueurp 3ue,{ srdq le1ad reEeqes uulnryl-:adrp tedep uup 31 67 e,{uussutu ruroJrun nluld Ig-gI
i,"0 =; rasol )nqunueu er unloqes redel (.66 =A) e{nqrel.,.'rJ uelep uerp up?pee{ rrup ue>1sude1rp el ullf 6Z-gl'. < i:ed nlurd reln8uu uuledecel qurydu.rag 'gg-91
'ue:qund lnpns
-:-::. -'fip uen)pIal qulepe ? ue8uep'ilt = IN leuo- .- -::ed y1lun qn{uruad 'per^x'N 0g - ? uBn{BIe{:.--:-:.u se3a4 .96 = B 'e,{uulnqureu Inlun ueI-- *)- : i- i urnururur e[:e>1 ue1n1ue1 '("0 =A) dnlnlrel- - ,,: - r :;r 'peJ z leME ueJrlund rc,tundtueur 3ue,( 'y.- :'. . -: . : .-eiad e1 uelSunqnqrp nturd BIII reque8 up
-r: -r-:{ :.,ursueturp 3uu( srdn 1u1ad rr:3uqes uuln{et: r:t: irD 31 67 e,(uessuru rxloJrun nluld '62-gI
'dr1es uduel 3ur-pur1e83ueur uc8ur.tr6 'quaqleq ur urnleqas .ur8urqurrl
-ese1 rsrsod r.rcp .rn>1nrp'Surrru Sueprq 3uulirudes un:nt
1ere3:aq uu8ur:rd essuru lusnd ude.req s qnules uu1n1uc1':uque8 uped uu11n[un1p r1:edes uuBur:rd uped
uelrreqrp ulN 0t - py 1ado4 ueuor\l 3uuqurrles u,{uucq
-eueu seSad uep tuurp ulnues 31 g7 ue8ur:16 .gZ-gI,r,
'dr1as uduet SurpurleSSueur ue8ur:16 Suurur Surprq
Sueluedes unrnt u 9'6 = s qepurdroq qelot 9 e,(ursseu
lusnd lues upud ue8urrrd :e1n3ue uelucloce>1 ue)nluol':equre8 eped uu>11nlunyp r1:e des uu8ur:rd upud
uelrreqrp urN 0t - yg lado>1 ueuolN Suuqurrles u(uuuq-uueut su8ed uep ruurp elnues 31 67 ur8ur.rr6 17-gy
9Z-8rlSZ-8r IBoS
'"st=0 BIqeI uurpu?epeel uep uelsedapp uetsls '.0t =0 Nes uped uru3o1
urcuro ueledeca) uplnluel 'dr1as uduul SurpurleSSueru
ue8uurd BIlt 'N S J snpq ue3o1 urcurc upp 'N 0Z JBsrdrl Euuleq'N 001 y ue8urrrd rrEp rrrpral uotsrs .92-gI
'ogt = 0 ullle{ uErp uBcpue{ r:rp uelsudalrpuelsrs 'o0
=g 'htp,( 'lBtuozuoq 8ue1uq lurs upud ruu8o1
urcurc uulrdecal us{nluel 'dr1es eduul SurpurleSSuaur
uu8usrd eIIf 'N S J snl€q uu3o1 urcurc uep 'N 0Z Jgsrdu Sueteq'N 001 y uu8uurd uep urpret tuotsls SZ-8I
,z'8r IBos
'e'0 ='rJ qEppu O lp {puts ue>1ese8 uars
-geo; 'dr1es relnru rleleu€ged er u>p1a1 B lnpns uulnl-uet'.0 -d EIne{ ruerp uuepue{ uep uulsudepp ur e1r1'1 e,(uBuelued uup ra e,(uesseu urJo.Itun SuetBB 'VZ -gI*
tf*Ill.z'8l JBos
r,Nlri{ uIt
9Lb) u{t'riic : )IN)I:I] \rx IN\ilX an
T &{B It KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
*&t. S.uh drum massanya 50 kg dan jari-jari
cneiio] r rerhadap jepit di O adalah ko = 0,23 m Dimu-
;r ::: ieadaan diam, balok B 15 kg yang tergantung
. r-:han jatuh 3 m tanpa menggunakan rem ACD. Ten-
._ain kelajuan balok pada saat ini. Jika koefisien ge-
':kan kinetik di bantalan rem C adalah 1rt = 0,5. tentu-
i.rn gaya konstan P yang harus diberikan pada lengan
rem. yang akan menghentikan balok setelah turun 3 mlagi. Abaikan ketebalan lengan.
18-33. Sebuah dnrm massanya 50 kg dan jari-.iari gira-
sinya terhadap jepit di O adalah k,, = 0,23 m. Jika balok
I 5 kg bergerak turun dengan 3 m/s, dan gaya P = I 00 N
diberikan pada lengan rem, tentukan berapa jauh balok
turun dari saat rem digunakan sampai ia berhenti.
Abaikan ketebalan lengan. Koefisien gesekan kinetik di
bantalan rem adalah pr = 0,5.
+18-36. Tongkat beratnya 7500 N dan dinaikkan ke po-
sisi vertikal dengan menarik sangat lambat di ujung da-
sarnya A. Jika tali gagal ketika I = 60" dan tongkat pada
dasarnya diam, tentukan kelajuan A pada saat tali BC
menjadi vertikal. Abaikan gesekan dan massa tali. dan
perlakukan tongkat sebagai batang tipis.
Soal 18-36
18-37. Sebuah bola yang massanya nr dan iari-jarinya rdilemparkan di permukaaan horizontal sedemikian hing-
ga ia menggelinding tanpa selip. Tentukan kelajuan mi-nimum v,- pusat massanya G agar ia menggelinding se-
cara lengkap mengelilingi putaran yangjari-jarinya R + rtanpa meninggalkan wadah lingkaran.
18-38. Sebuah bola yang massanya l0 kg dan jari-jari-
nya r = l0 mm menggelinding tanpa selip di atas per-
mukaan horizontal dengan vG= 5 nJs. Tentukan kece-
patan angularnya dan gaya normal yang diberikan pada
wadahnya ketika ia mencapai posisi 6 = 90'. Ambil R =500 mm.
Soal 18-37/18-38
D
0.25 m
i
I
0.75 m
i(: !--:
I
0.5 rtr
.-l-
Soat 18-32/18-33
18-34. Batang tipis unifbrm massanya m dan panjang-
nya L. Batang ini dipengaruhi beban Iv(, yang didistri-
busikan secara unitbrm yang selalu diarahkan tegak lu-
rus pada sumbu batang. Jika batang dilepaskan dari ke-
adaan diarn dari posisi yang ditunjukkan di garnbar, ten-
tukan kecepatan angular pada saat ia telah berputar 90o.
Pecahkan soal untuk rotasi di (a) bidang horizontal, dan
(b) bidang vertikal.
18-35. Pecahkan Soal 18-34 jika beban yang didistri-
busikan adalah segitiga. yang berubah dari nol di jepit O
sampai u,,, di ujung lainnya.
I
II.-t.....
-... --JSoal 18-34/18-35
-fr'r*
gI-gI requBg
Irlsula [?rsuelod t.rraua
, I urf;uu;arI I uduur
: if,iad
LI-8I rEquBC
(rr-gr)ZA * ZJ- stroruou(Z I nZ) + LA + lJ
reFuqesre8el epueq 1nlun rSleue uup uLro4 drsur.rd Bueln uelsrlnueru tuclup ptrl'91-tl 'siod 'Ltr:, l11- suoclZ-lp3)'n1ru,('eloretu
lursualod r3reue qrsrlestu8uqes sllnllp ludep rne^resuol u,(u8 e[re1 u,4dqeq uupe,(ueu uu8ueq
'gl-gI uup rl-gt 'sled ue8uep runses qrpdrp 3ur,(uunou .Ipsup dupuq,ret upueg rselol epud Sunluu8-rel / uujnln8ued rurs rq
(sr-sr)'A*'A=Ateqellu qelurn['ru8uqes ue1e1e,{urp Bue,( 4 Iersue]od rs^Bunl
ru8uqes uelr:le,{urp lvlol lDtsuatod t?taua eleu .Irlselc u,{uB uup r:^uJrAr?.ri!-
e,{e8 rqn.re8uedrp upuoq r{Bnqos e>1rl ,unurn ereces .l8Jaug uEJB{a{aX(E'fl quqqns
1eqt1) elnu-ulnlu Inlueq uuqeqn.rad uduel rsrsod e) uulrlBqurelrp su8cdulrq .;qrsod etie>1 uulnlelou Inlun uendruurue>1 ru,(undruetu nlvles Dpuaqopod eln4aq 3uu,( su8ed e,(e8 ,lntueq uuqeqn-rad ue8uop rsrsocl ureluql
zel.A+=aAqulupu 'g t
-8 I requeC's lq)u rsrsod a1 (0 = s) quqnreq urnlaq Buu,( 1e,a,ru rsrsocl r-rup
rselduolrp nule uulSuuSelp se8ed ulnel teluat Bue,{ epueq upud r^u8aduuluoqrp iue,l ry1so1a Torsualod $taug
.Jrte^resuol e,(eB uu>lednretu u8nlIt1sele su8ed qelo uelrroqrp Buu( ufug .rlpsultr lulsualod fraug
'pAuuencu a{ rluqtue) uulqup-utdrp upueq eyq./ito8au rlaT uuln>1e1eu Ieprt leiog uue.rcl ,.[ru\au qepputselr,rer8 lursuetod r8reue eluu '(r,t-) ntr uencl LlD4tDq 7p uBllulellp upueqqenqes ulrl'e8nl uerltuee 'll-gI requug ,u,{uuence o) tluqurcl uu)qup-urdrp upueq eyq ltnsod ohay uelnquloru Intun uunduruurel re,(unduautu.req euele)',y1lrsod qe;upe rn eyqtrrsod qelupu Ietsuelod r8.reue luls lC
,r,( ,Y" /A= A,
rlEIBpu epueq rselra,e:8 lursuetod r8reue eletu , stryo a>1 lilrsod re8r:c1
-es ,,1, rnln8uetu uu3uep rpl?I 'nluorel JeluozrJorl uunJe qe,reg rp nulu sulurp epuoq rsetl,tu:3 lusnd uer83urla1 rnqela8ueur uu8uap uelntuetrp epuaqrsolttot? lrttsuatod tS"raua eqeut'u,(ursu1l,rul3 lusnd rp sn{o.+.tel cleSSuurp
ledep epueq qenqes lulol lereq euo.ru) .TsBIJABJC lersualod fraug
'3uuruqucs qr1
-rdrp 8uu,( uuncu nelu resep rrep ln)nrp upueq lursuo]od r8;euc ruelup r{rsrl-es ru8eqes ue1u1e,(urp ledep yr1e,t:esuoq e,(u8 uLlal e,trquq S.7 quqqns Ipuu4>1nlunlp quleJ ruf upueq rrq>le uep Ie/(E rsrsod uped u,{ueq Bunluu8.rcluep uDsqtutl npod SunluoStat lDt lrlq^tasuol e,(e8 u[re1 uuelul ueleun8rpqupnu qrqel rlulSurrcs rur urueroeJ'r8leue uep ehel drsur-rd ueluun88ueuue8uep uelqucedrp uuIB {eprl elrq 3uu,( Ieos ue{qeceueu )ntun uu>1uun8-fp tedup rS.reue uu1e1e{oI Bue.root e4eu'tt\natasuotl o{.o7-nfit8 r.rep r,rrp-re1 e,{uuq 3ue,{ .re8el upuaq qenqes uped uireleq u,{e8 tuetsrs qunqos ulrg
(9r-8r)
(rr-sr)
LLtI'{II{VNIC :)IN)SI \.)I INV)IIN
ICUgNg NYfYxflxgy s'8r
B.{B It KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
Di sini (XUt_z)non.o* menyatakan kerja gaya-gaya nonkonservatif, seper-
ti gesekan, yang bekerja pada benda. Jika suku ini adalah nol, maka
Tr+Vr=Tr+V, (18-18)
Ini adalah persamaan kekekalan energi mekanika untuk benda. Ia menya-takan bahwapmlah energi kinetik dan energi potensial benda tetap konstanbila benda bergerak dari satu posisi ke posisi lain. Persamaan ini juga ber-laku untuk sistem benda tegar halus, yang dijepit, benda-benda yang dihu-bungkan oleh tali yang tak dapat meregang, dan benda-benda yang berta-
utan dengan benda-benda lain. Dalam semua kasus ini gaya-gaya yang be-
kerja pada titik-titik kontak dieliminasi dari analisis, karena mereka terjadidalam pasangan segaris yang sama dan berlawanan dan tiap pasangan gaya
bergerak melalui jarak yang sama bila sistem mengalami perpindahan.
PROSEDUR UNTUK ANALISISPersamaan kekekalan energi digunakan untuk memecahkan soal-soalyang menyangkul kecepatan, perpindahan, dan sistem gaya-gaya kon-
servatif. Untuk terapan disarankan menggunakan prosedur berikut ini.
Energi Potensial. Gambarlah dua diagram yang menunjukkan benda
yang terletak pada posisi awal dan akhir sepanjang lintasannya. Jika pu-
sat gravitasi benda, G, dipengaruhi perpindahan vertikal, tentukan di
mana menetapkan acuan horizontal yang tetap dari mana diukur energipotensial gravitasi benda Vr. Walaupun lokasi acuan adalah sembarang,
adalah menguntungkan untuk menempatkannya lewat G bila benda ada
pada posisi awal atau posisi akhirnya, karena di acuan itu V* = 0. Data
mengenai ketinggian y pusat gravitasi benda dari acuan dan peregangan
atau kompresi tiap pegas yang dikaitkan dapat ditentukan dari geometri
yang dihubungkan dengan kedua diagram itu. Ingatlah bahwa energi po-
tensial V =Vs* Vr. Di sini Vr = WyG, dengan )6 adalah positif ke atas
dari acuan, ddnVr=t/zks?, ya"ng selllu positif.
Energi Kinetik. Suku-suku energi kinetik Tt dan 7, ditentukan dari 7=t/zmv26 + Vzl6c,? atau bentuk yang cocok dari persamaan ini seperti yang
dikembangkan di Subbab 18.1 . Dalam hal ini, diagram kinematika untuk
kecepatan dapat berguna untuk menentukan Vo dan o\ atau untuk mem-
bentuk hubungan antara besaran-besaran ini.
Kekekahn Energi. Gunakan persamaan kekekalan energi 7, + V1= T2
* V,,
Adalah penting untuk mengingat bahwa hanya soal-soal yang ntenyanq'
kut sistem gaya-gaya konservatif dapat dipecohkan dengan mengguna-
kan persamaan ini. Seperti dinyatakan di Subbab 14.5, gesekan atau ga-
ya-gaya penghambat lain, yang tergantung pada kecepatan atau perce-
patan, adalah nonkonservatif. Kerja gaya-gaya semacanl itu diubah
menjadi energi termal yang digunakan untuk memanaskan permukaan
kontak, dan akibatnya energi ini didisipasi ke sekelilingnya dan tidak
dapat diperoleh kembali. Karena itu soal-soal yang menyangkut gaya-
gaya gesekan dapat dipecahkan dengan menggunakan prinsip kerja dan
energi yang ditulis dalam bentuk Pers. 18-17, jika berlaku, atau persa-
maan gerakan.
Contoh-contoh soal berikut ini menggambarkan terapan prosedur di
atas.
6I-8I rBquBO
{r)
--l-;=:i.-j
rTI HOL\
uDqDilDf
firaag uDlmlqax
2rtgz'o = ,(za)1"(ut r'gx8)t O)zt/i27, I "(za(w
2.0)(BI ot)z/t =
7(za)e p4 + !(elytuz7, = z1
.IPE
'zor(z'0) =zo1)ttDD = z(9a) 'fpgf :y )t!r!rp qelepg Sueteq 1n1un (37) teuses lou uuludece>1 lusnd 'ueTleqredrp 3ue
]pus BpBd'.16l-81 JBqureC rp uellnlunlrp rpedes zco ue8uep uelSunqnqrludup z19a) 'Dllpwaury uuleunSSueur ue8ueq 'z(c,r) uuludece>1 ru,(u-ureu Sueleq esseur tesnd uup zro qelupu reln8uu uuludece>1 7 rsrsod epe4
o=lJuup'0-lcouep0=l(9a)
rpul'1 rsrsod rrep uerp uu?p€e{r.rup uulsudelrp Sueteg '2flputx !
'rppf 'uuncu rp lulolrot 9 rselr,tur8 lusnd uep '0 - Zs 'Suu8e.rel >let su8ed eu-e:u) 'lou qelepe 3ue1eq lursuelod t8rcue'7 rsrsod eped epe Sueteq ulrg
I 6l'9 = s(tu o0€ uts y'g)(ut7}\i OOilzA + (tu o0€ uls Z'O)N I'96- =
)s1271 +t{,M_ =IA
'lpuf 'tu (o0€ uls 7'g) = Is qnetue4Suu8errp Er eueJBI 'se8ad ruulep uudurrsrp Qprsod) )ltsule lelsuelod r
-reue 'u,(ulnluepg lUo8au qelepe rselr^Br8 Iursuetod r3;aue eSSurqes r
qDMDq ?p lelalrot g rsuynur8 lusnd'1 rsrsod eped upu Suuteq pllto)'o0 =B ellla)
8ue1eq ue8uep srru8es uupluleltp 'rse1r,r,ur8 lersuelod rS.raue rnln8ueu Int-un uuleun8rp 3ue,('uuncv'q6l-gl reqtuug rp uellnluntrp'u,(urrqlu u
le,ne rsrsod rp uDHelalrp elq '8ue1eq urerSerp Enpe.)_'rr!sua\o7 13ot
rsmos
rI/N 008 = I
'1ura38uad Ioleq usseu uDIreqV 'ogg = d pllruurp uuup€e{ uep uelsudeylp gy UII! '"0 -A e>Ina{ gy reln8ue uBludecuBlnlueJ 'oQ = Q u1r1e1 3ue8erel {e] uBp ru/N 009 - ry uun4ule>1 re,(un-ueu su8a4 'lu{ruo^ uep leluozrJoq rlulec tuulup lera8req e,(u3unln-3unIre8e rse
( slput Tg'y =zx1lol + {lats(o} = {or's} + {o}
{zrt)+lztl={ra}+{tz}
L
o =zA
ul ("of, uls I'0) -1,(
6L';l{ IIWNIC : )IN)Ml \I)INY)an
nlrp Suud 3>t Ot gy Suupg
I
80 BAB 18 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
pa regangan 0.3 m. Jika piringan dilepaskan dari keadaan diam pada posisr
yang ditunjukkan dan menggelinding tanpa selip, tentukan kecepatan
angularnya pada saat ia dipindahkan 0,9 m.
SOLUSI
Energi Potensial. Dua digram piringan, bila ia diletakkan pada posisi awal
dan akhir, ditunjukkan di Gambar l8-20b. Acuan gravitasi tidak diperlu-
kan di sini karena berat tidak berpindah secara vertikal. Dari geometri soal
pegas teregang masing-masing s, = r./o.l ' rl -0.:r = l.2m dan -s, =(1 ,2 - 0,3) = 0,9 m pada posisi awal dan akhir. Jadi,
V t = t/zks? = VzQ\ N/m)(1,2 m)z = 21,6 1
V t = V2ks22 - Vz(30 N/m)(0'9 m)2 = 21 ,15 J
Energi Kinetik. Piringan dilepaskan dari keadaan diam sehingga (v6)1
0 rrl , = g,6un
7t =o
Karena piringan menggelinding tanpa selip, (v6)2 dapat dihubungkan de-
ngan rrl2 dari pusat kecepatan nol sesaat, Gambar 18-20c. Dengan demi-
kian, (v6)2. Jadi,
T, -- t/2m(v 6)) + Vzl6@)2
= t/2(15 kgX0,225 m)ro2)2 + rtzlttz(|S kg(0,225 m)21(orz)2
= 0,5695(or)2
Kekekalan Energi
{7,}+ {V1} = {Tr} + {V2}
{0} + {2r,6} = {0,s69s1t2)2]}+ {tz,ts}az = 4,82 radls ) Jav,aban
CONTOH 18.8
BI$i.lr
:
i
Il,ti
Gambar l8-20
li gE lr
(e)
IZ-8I ruqr.uBc
uDqo$DI'6- s/pur ZS'g = (za)
to) + {l(uco)E'O} = {vL'Zt } + {O}
{z,tl+{zt}={la}+{lz}$nug utlolqax
[(uor)e 'g =
0 + 0 + !(uco)[r1ur 9'0XB) gzVJzh+.(uro(ur g'g)(31 E)24 =
!(oa)vF4 +!{va)aruz/r + !(aa)eFtr + !(ea)arrz7, =71
' uulIluep uu8ueq'z(vc0)€'0 = z (9 n) nefi z
1a (J}1) I / I t = z (D,r)
',t:pEI')lz-gl reqrueg 'y )pfl rp )plelret 8ue,( 'leuses 1ou uuledecal lusndprup z(vco) ue8uep uelSunqnqrp ludup z1r,r; 3uu1eq {ntun '0 =
Z1Y,r) uup
0 = z(oco) eSSurqes'leuses ruurp ue8urrrd'rur rsrsod epedqnuad Suoluat
8uu1eq uueru) ')IZ-gl JBqu€D '219,r; ueledecel ru,(undueulusnd uep z(uo) reln8uu ueludecel le,(undrueu 8ue1uq rqlu rsrsod upu6
o=ll'ye,re rsrsod epud uurp uatsrs r{nJnles Buare) .\!puty
o =7A
'rpu1 ;edu8uehl 'lou lersuelod r8reue re,(und-ureur ue8uurd lureq uup 3ue1eq Nrcq'Z lsrsod rp upu l.lalsrs eIIleX
I iL'Zl - (ur o0g uls €'0)N so'61 = rtru^ - = ttr
'tpe1 '.;rtrsod lers-uelod r8reue m,(undureur 3ue1eq lureq ' I rsrsod uped BpB ruolsrs BIII4I'y )llp uelle^\eltp tluluozrroq erecas dele1 3ue,( uencu 'e,(uqepmu 1nlug'qlz-gl reqtuug rp uullnlunlrp 'e,(urrqle uup [u^\e rsrsod uped {BtelJalB{oratr.r e1rle1 'ue8urld uep 3ue1eq 4n1un ururBerpen1'fnsuatod
ISn'IOS'g p ure3o1 urcurc BSSBtu uup 3uur1 Suuluudes uelese8
ue{Eqv 'dr1as eduel SurpurleSSueru ue8uurd B^\qeg uelrsunsv 'o0 -B elrq 3uu1eq .reln8ue uuledece>1 ue{ntuet 'oO9 = 0 elrg ruerp u?epeo{ uuelsedelrp ue8unquS uetsrs B{rf '31 S gy ruJoJrun 8ue1uq eI ue{lre{tDIZ-81rp uullnlunlrp 8ue,( 3
6tr Hol-\of,I8T}II{VNIC :)IN)I:[L YXINVXIIhI
urSoueBurr
G 3\B 18 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
nt 39. Pecahkan Soal l8-10 dengan menggunakan per-
s-n aan ke kek al an energ i.
-1E40. Pecahkan Soal 18-12 dengan menggunakan
persamaan kekekalan energi.
18-41. Pecahkan Soal I8-14 dengan menggunakan per-
samaan kekekalan energi.
18-42. Pecahkan Soal 18-22 dengan menggunakan per-
samaan kekekalan energi.
18-43. Pecahkan Soal 18-25 dengan menggunakan per-
samaan kekekalan energi.
*18-44. Pecahkan Soal 18-36 dengan menggunakan
persamaan kekekalan energi.
18-45. Pecahkan Soal 18-37 dengan menggunakan per-
samaan kekekalan energi.
18-46. Gelendong massanya 50 kg dan jari-jari gira-
sinya /<, = 0,280 m. Jika balok A 20 kg dilepaskan dari
keadaan diam, tentukan kecepatannya tepat setelah ia
turun 2 m. Abaikan massa tali.
18-47. Gelendong massanya 50 kg dan jari-jari gira-
linya ft, = 0,280 m. Jika balok A 20 kg dilepaskan dari
keadaan diam, tentukan jarak balok harus jatuh agar ge-
lendong mempunyai kecepatan angular ot = 5 rad/s. Ju-
ga, berapakah tegangan di tali ketika balok bergerak?
Abaikan massa tali.
*18-48. Ketika batang ramping,4B 10 kg horizontal ia
dalam keadaan diam dan pegas tak teregang. Tentukan
kecepatan angular batang ketika ia dilepaskan dan telah
berputar ke bawah 90o. Ambillah k = 5 N/m.
18-49. Ketika batang ramping AB 10 kg horizontal ia
dalam keadaan diam dan pegas tak teregang. Tentukan
kekakuan pegas /< agar gerakan batang dihentikan sesaat
ketika ia telah berputar ke bawah 90o.
Soal 18-48/18-49
18-50. Roda 250 N mempunyai jari-jari girasi terhadap
pusat gravitasi G sebesar ko = 0,21 m. Jika ia mengge-
linding tanpa selip, tentukan kecepatan angularnya keti-
ka ia telah berputar searah jarum jam 90o dari posisi
yang ditunjukkan di gambar. Pegas AB mempunyai ke-
kakuan /< = 20 N/m dan panjang tanpa regangan sebesar
0,15 m. Roda dilepaskan dari keadaan diam.
0.15 nr.,. .I
0.15 m
+I
O.3m
Soal 18-46/18-47
8S-8I/l,S'8I IBoS
i. . tlr { l- .--...l
'3ueBe:el
{et se8ad lees epud 3ueleq relnEue ueledece>y uglnlual'o0[ = d ?InaI uerp usepEe{ r:ep uelsedeFp 3ue1eq
BII1 ur g'1 ue8ue8e: eduet 3uefued re,(undureu Eue,{
3g su8ad eped ue>1lreryp N SZI Sy stdn 3uurcg 'gE-91
'oQ6 = 0 lees eped .re1n8uu ueledeca>1 ue{ruuel
'o}t = 0 BInaI uBrp uBEpea{ rrep uelsedelrp Euuleq
e{lf'ru 7'1 ueBueflat eduel Eueluud rei(undureu 3ue,(
39 se8ed epud ue1lrcryp N gZI Ay sldp Eueleg '49-91
9S'8I/SS'8I tsos
: ;! - ';t wprl srdp us8urrrd p8eqes IortEI ue{mJ
J--:: -E: :fn psseru ueIIBqV 's/p?J 9 :eln8uu uzlud'::?l r? ' --.:xJrrr g uelqeqer(ueru re8e 'urerp ue?peel
l': rE -r- -:iru suBq 10pq ryref uElntuel 'rp1 eped
:,n-r?;r:i-n,i -- i:1 ; >1opq qznqes elrf '3X O t g lolle{ uep
,-r . 7 r--E-r -Tp ulple uBSunqBS ualsrs nlpns .gs-gl*
!il+ EE*n r:p1 srdrt ueEuurd re8eqes IoJtEI uelml-{-.-rr: inr -q-. x:?ur uB{leqv'u?rp ueupEel HEp Plnul5 ;-r' rnJ: 11 ';"T31as
{olBq uBnlEIeI uE{nlual'1pl uped
lrr6mM: ir ; ropq qenqos €Ir[ 'E{ Ot A lorle{ uup
ttr i i. r:jlal -rE? urpral ue8unqe8 uelsts nlens .SS-3I
,s-8I/€S-8I IBoS
'lFl essEtu uE'{rPqv'81 7 e,{wsseu Surseur-8utseu I uep V {oleg s/pur t:elnEue ueledecal lorle{ llequaur ru8r unJnl snruq
y IoIEq 1e:ef ue1nlua1 'uru S, = 97 rse:r8 uei-uel uep
31 g tsseur re,{undureu Br B)rI renl ldat lp lel1}p uup
(qnq);zu rrep rrlpret ue8unqe8 ue8ur:rd torte) 'rg-gl'llel Essetu uulrpqv '31 g e,ruessuru Eurseur-Sulseur g
uep y {opg 'urErp uEupBeI IrBp ru z'0 urunl y qsleles yIopq uenfelel uplnluel 'turu S, =
C7 rszrr8 ue[-r.re[ uep
3>1 6 esseu rci(undruaur Er elrf 'ren[ ldal p le{llp uep
(qnq) pu rrep rrrprel uBEunqBB uu8urrrd lorte) .Cg-gI
zs'8Ilrs-8r IBos
'u g e,{ueqey 3ue,(
N 006 sldp rcled qEIepE ntuld uellsurnsV o0[ - 0 :r;es
upud reyn8ue ueledecal u?Intuel 'ue>1szde1rp uerpnuelUEP 'o0 =a 'elnqrel rsrsod urepp zpe nlurd eIIf 'leII-re^ uep l?luozpoq .rn1e Euzluedas {Ele8req e,{uEunfn
-3un[n 3ue,( 'u€requrel nlBs lrep lenqral ntuld 'ZS-8I*
'ur 5 e,(u:eqe1 3ue,( p 996 srdq
lBled qBlBpE nluld wllsunsv'J Ip IluoqEued Inqunu-eu y 3un[n uenlelel uelnluel 'uulsedepp uurpnural
uup 'o0 = p 'slnqrel rsrsod urupp epe nlurd ?{rf 'lBI}l-Jo^ uBp lzluozuoq :n1u Suefuedos {ere8req ei(uEunln
-3un[n 8ue,( 'uereqr.uel n]Bs trep lunqral ntuld 'IS-8I
I !?
ulg!.$(ll i
g8tIIU{VNIC :)IN)ISJ \r)IINYXSW
3l a\B IE KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
Lfll Sssr rvem gabungan terdiri dari dua batang 40 N
,q .$-rr?r( ke dua piringan 50 N. Jika batang dile-
:llsrro dan keadaan diam ketika 0= 600, tentukan kece-
=rxr angular mereka pada saat 0 = 0o. Asumsikan
:i:rngan menggelinding tanpa selip.
'lE-60. Suatu sistem gabungan terdiri dari dua batang
4O N yang dijepit ke dua piringan 50 N. Jika batang
dilepaskan dari keadaan diam ketika 0=600, tentukan
kecepatan angular mereka pada saat d= 30o. Asumsikan
piringan menggelinding tanpa selip.
SoaI 18-59/18-60
18-61. Piringan A dijepit di O dan beratnya 75 N. Ba-
tang 0,3 m yang beratnya I 0 N dan bola berdiameter 0,3 nr
beratnya 50 N dilas ke piringan, seperti ditunjukkan pa-
da gambar. Jika pegas mula-mula diregangkan 0,3 m
dan bola dilepaskan dari posisi yang terlihat pada gam-
bar, tentukan kecepatan a, qular piringan ketika ia telah
berputar 90o.
18-62. Piringan 100 N menggelinding pada pennukaan
lengkung tanpa selip. Sambungan AB beratnya 25 N. Ji-
ka piringan dilepaskan dari keadaan diam ketika d= 0o,
tentukan kecepatan angular ketika d= 90o.
18-63. Piringan I00 N menggelinding pada permukaan
lengkung tanpa selip. Sambungan AB beratnya 25 N. Ji-
ka piringan dilepaskan dari keadaan diam ketika d= 0o,
tentukan kecepatan angular ketika d= 45o,
Soal 18-62/18-63
*L8-64. Elevator E massanya 500 kg, beban pengim-
bang C massanya 200 kg, dan katrol atau berkas tarikan
massanya 150 kg dan jari-jari girasi terhadap porosnya
hesarnya kl = 0.5 m. Dimulai dari keadaan diam, ten-
tukan kelajuan elevator setelah iajatuh bebas dan turun
4 m. Abaikan massa kabel.
--ts0..1m 0.-1nt
SoaI 18-61
Soal 18-64
69-8I IBoS
'sper I rPseqes JBInSuE
uEtEdacel rudEcueu lortEtl reBB unrnl srusq u?Buopuel
-eA IplEl'uu{ntuet 'drles leptt rl€l uup uerp uuepuo{ rJBp
uelsedelrp uetsrs elrf 'ue8ur.lrd re8uqes duSSuurp led-Ep uep 31 4 e,(uusseru g loltp) 'wLU gZZ - J7 e.(urse;r8
r.rel-r:el uep 3>1 71 efuesseru y rp Suopueleg 69-gI
89.8I IBOS
'tlul ?ss€ru
lrlrir;'r * >- - -"-:nt Buopuele8 qeleles [orle{ JelnBuE
-E'rir3;r;r ::r-:-:t 'dr1es lepp tlel uEp r.uErp u?upuel
-fl': :F"yiF':,] : ;':srs e1t1 'uuEuurd rc8eqas deSSuerp
F.:z': iFr": i " _ ';'-a.s?LU g loJie) ww gZZ- 17 e,{urse:-6 :1g ---y.. -':: :-, l, r(uussutu y rp Buopueleg .g9-glx
l9-8I IEoS
TU B'Iu q'0
u t'[
I' L ...-o,q'E-'nluld
ur?[ rsrs rp seSad uup edn:es 3uu,( uu8unqnq upv .ru 9't
qelupu e,(ur33uu Eues reqel uup N 0001 e,(ule:eq 3ue(srdrt lelad qulupu nluld uulrsrunsu uep JB uer8eq us
-suu uulrcqv'telrue^ rpuluaru 39 uep gy e1qe1 .n1re,(
'dn1n1:e1 er lues eped 1ou :u1n3ue uepdecel re(undueuuule 3ue,( ':equre8 rp uu11n[un1rp 8uu,( rsrsod urulupulurp ueepeel rr€p qB/(Eq e{ qntel nlurd upq :u8r 7 uu
-n{BIeI uulntuel '8ue8are1 IEI elnur-Blntu su8ad e41 .-;
rp su8ed o{ u?Itlulrp 39 uur8eq Sunln uup 'le]uozrroq
rnle Euufuedes 1u:a3:oq gy rsure8 nlurd y 3unl6 .49-31
, Ip lrdelued depuq:e1 ue;e1nd uup du1e1 rnlelp uep
ruBrp Blntues uu8uurd EIll g9-gl IEoS uulquted .99-gI
'ru ['0 ruseqes ue8uu8a: uduel Suefued re,(unduraru se8e4'o06 = 0 lees eped Sueteq :ulnEue ueledecel uslntuel'rusrp uEBpeeI uep uelsedelrp Sueleq e{nel s/per I r?s
-eqes u:eI urruel ueuu,rel:aq 8ue,( rselo: r:eqrp ue8ul:rduup 'o0 -g leluozuoq rsrsod e1 e.4leqlp Suutuq e1r1 ggse8ed uep N 09 ue8uutd uultlde[rp Buutu rp N EZ Jysrdrl 3ue1eq uep rlprel ue8unqe8 ruatsrs nlens 'S9-gI
g
99'8I/S9-8I IBoS
ru g'0
.. tu tr'l)," .
#
s8t}. I\YNIC :)INXSJ V)INVXAhI
I a{B 18 KINETIKA PLANAR BENDATEGAR
4!. fnru garasi uniform 400 N diatur ujung-ujung-
ill tclr bcrada pada alur. Tentukan peregangan pegas
mui;rnula yang dibutuhkan ketika pintu terbuka, d =I agar bita ia jatuh secara bebas ia diam ketika ia tepat
::rncapai posisi tertutup penuh, d = 90o. Asumsikan
rinru dapat diperlakukan sebagai pelat tipis. dan ada sis-
rem pegas dan katrol pada masing-masing dari kedua
sisi pintu.
Soal 18-71
18-71. Pintu garasi uniform 400 N diatur ujung-ujung-
nya pada alur. Jika dilepaskan dari keadaan diam pada
d= 0o, tentukan kecepatan nagular pintu pada saat 0=30o. Pegas semula diregangkan 0,3 m ketika pintu ter-
buka, 0= 0o. Asumsikan pintu dapatdiperlakukan seba-
gai pelat tipis, dan ada sistem pegas dan katrol pada
masing-masing dari kedua sisi pintu.
*18-72, Batang tipis massanya 10 kg dan dilepaskan da-
ri keadaan diam ketika 0 = 0o. Tentukan kecepatan
angularnya pada saat 0= 30o. Balok yang terikat di Dmassanya 4 kg. Massa kabel dan katrol di C dapat dia-
baikan.
Soal 18-72
18-73. Batang tipis l5 kg semula diam dan berdiri pada
posisi vertikal ketika ujung bawahnya A sedikit dipin-
dahkan ke kanan. Jika alur di mana ia bergerak adalah
halus, tentukan kelajuan ujung A menumbuk sudut D.
Batang dipaksa bergerak dalam bidang vertikal. Abai-
kan massa tali BC.
Soal 18-71
Soal 18-73
\#n
:-d
il B-{B 18 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR
secara teliti gerakan angularnya%ffi!dan orientasinya yang tepat bila iaffiq.
yeluncuran satellt cuaca lnl mem-butuhkan terapanprinsip impulsdan momentum agar meramalkan
telah dalam orbitnya Kita akan
membahas prinsip-prinsip tersebutdalam bab ini
I-6I .requrBc
Ialrlrudunluauour uur8urp
!'r!trr Y '= l(dH)
'Wet'Dl-61 .requuC '7 dupuq;a1 1a>1rged rueurl tuntueuout.,ueuou,, uu8uep Br.ues d lllll dupeqrel r-e>1 1a>p1red ruln8uu unlueuIol4l
JXto+dL-d/!L+dl=/ae)Eur '?rl -6 [
-ruqueD 'ue{nluatrp snrer{ ntr Epuaq ?- eq lelrped uuludecal u)lI .o -ruln8uuuuledace>1 ru,{unduteu upueq uup d,r uuledacel ru,{undruaur ;r 3ue-ruqures
1r1r1 ';uquu8 rp uellnlunlrp 8ue,( lues eped 'urntun Sueprq uulu.re8 ru-rep-3ueur 3uu,{ 'D I-61 ruquruD rp upueq up{rteqred xBInBuV runlueruolAi',a epueq ussutu lesnd uuledoJal qalo uulrsrurleprp 3uu,( LID-:D ulp 's7ur'31uunlus rue[Ep rn{nrp u,(uesurq SueK'D,rtu tosaq rcKunduaur 3uu,( lo11a,rueJuseq qBlupu Bpueq Juourl tun]uetuou B^\qeq ue1qu,(ueur lur ueurulss.red
(r-ar)cttu -.1eSSurqes (Z'St qeqqnS teqrl) 'rara -!t!tuZurrrquq luSu
-r8uaur ue8uap up{Eueqrepesfp ludup rur ueu1u,(u;ed'!,tltu1 - 1 'n1ru,{ 'up-ueq lelrped enruos Jeurl runluetuotu Jol{en eJEJes uulqelunlueur ueSuepuulntuatrp le8el epueq qrnqos .reourI urnluetuor{ xBaulT [unluAtuol4l
'( - -r lers.rour uuncu Suuprq depeq-re1 sr.rJer.urs 3uu,{ -re8ct upueq .ruln8uruDp .rueurl tunluoruotu Inlun snun.r uBIunJnlrp uu)e tur quqqns utulu(J
UY]NCNV NVO UYSNII IAIOINSIAIOW I'6I'lZ qeg rp ue>lrlusrp uBIu rsueurp e8rt;u8at
Bpueq uu{Blo8 >1n1un uulde:elrp 3uu,( runtueuou drsur.rd-drsurrd Suetuattuntun qrqel 8uu( uuseqequod 'unun Sueprq uelure8 uep 'du1e1 nqunsdupuq.ral rsetor 'rsulsue.rl qelepe ue>Iteqradrp uelu 8uu,( reueld uulele8u8rley 're8e1 upuaq lruun nlelreq 3ue,( tunlueuou uep slndrut ue8unqnquu)nlueueu 1nlun qnel qlqel Iul desuol-dasuol uuleledureu uule etrl rur
qeq tueluq 'ruyn8uu nBlB reaurl tuntuauou uep slnduu drsurrd-drsurrd uu>1
-uun83ueu ue8uep qepnu EJBces uu)qecedtp tudep nU?,,rA uep ueledecal'e,(u8 1n13ue,(ueu 3uu,( Ieos-leos e/y\quq uul)nlunlp qelot Sl qeg ureluq
ILIINSHIOHI t{YO STNdHII :UYOflJVCt{gfl UYNYId YYIJ,flt{IX
6T
I A{B t9 KINENKA PLANAR BENDATEGAR;IMPULS DANMOMENTUM
.-.* u
Gambar 19-l
Dengan menyatakan u, dalam v, dan dengan menggunakan vektor Cartesis,maka
(rl,,)ik = mlbi +yj) x [(ur)ri + (vr\j + rok x (xi +yi)](H p)i = - m1 yQ )., + tni x(v,,)1, + m, a2
Dengan mengambil m, -+ dm dan mengintegrasinya untuk seluruh massa
benda, kita dapatkan
Hp=- (t,,,t dn)1rr)., * (L, x clnt)@p)r,+ ([,,,,2 ,l^)a
Di sini H,, menyatakan momentum angular benda terhadap sebuah sumbu
(sumbu zi yang tegak lurus bidang gerakan dan lewat titik P. Karena xm Jx dm dan ym I .y dnt, maka integral untuk suku pertama dan kedua di ruas
kanan digunakan untuk menyatakan letak pusat massa benda G terhadap P.
Juga, integral terakhir menyatakan momen inersia benda yang dihitung ter-hadap sumbu z, yaitu, 1,, = t idm. Jadi,
(Hp)= -.vrr(ur).* + rnilvt)v+ Ipa (le-2)
Persamaan ini menjadi bentuk yang lebih sederhana .jika titik P ber-impit dengan pusat massa benda G,x dalam hal itu t = .y = 0. Jadi, momen-turn angular benda, dihitung terhadap sumbu yang lewat titik G, dengan
demikian adalah
Hc= lca ( r 9-3)
Persailruan ini men\cttakan bahwa ntontentwn angular benda yang dilti-twry terhadap titik G sama dengan hasil kali ntonrcn inersia benda terha-dap sumbu yang lewat G dengan kecepatan angttlar benda. Perlu disadaribahwa H, adalah b^esarar vektor yang besarnya /ro, dan biasanya diukurdalarn satuan kg.mils, sefia oralxnya dinyatakan oleh ro, yang selalu tegaklurus bidang gerakan.
Persamaan l9-2 juga dapat ditulis ulang dalam suku-suku komponen xdan .y kecepatan pusat rnassa benda, (u6), dan (v6)r, momen inersia benda
/o. Jika titik G berada di koordinat (x,.I), Gambar 19-lb, rnaka. dengan teo-
r€tna surnbu se.ia.jar. Ip= IG + n{.* +.y2). Dengan mensubstitusi ke dalamPers. l9-2 dan mengatur ulan-e suku-suku, didapatkan
H,, = lnt [-(vl,)_, + .v-rrl] + x-rn[(ri,)r, + to] + /co (19-4)
Dari diagram kinematika di Gambar l9-lb, v" dapat dinyatakan dalam v,sebagai
VG=VP+oxr(r'6),i + 1r,6)1j = (r,p).ri + (r,p)rj + ok x (xi + tj
Dengan melaksanakan perkalian silang dan menyamakan komponen i danj yang bersangkutan didapatkan dua persamaan skalar
(vc), = (vr).. -.vo(vc)y=(vr).r,-rtrr
Dengan mensubstitusi hasil-hasil ini ke dalam Pers. I9-4 didapatkan
H p = - Yn{t' 5) r + x-n{(v o),- * I 6a ( l9--5)
"Persamaarr inillga nrenjadi bentuk sedertana yang sama, Hr = /r,or, iika titik P adalah titik tetap
(lihat Pers. 19-9) atau kecepatan titik P beralah sepanjang garis PC.
.0 = \"n) =
r('h; emqeq le8ur8ueur ue8uap .5r !p d {lllt
qlllueu ue8uap g-61 sro4 uup qaloradrp ludep eruus 3uu,( pseq e,rqeq uelqeqred u3n1 rlucrp npad
QaO 1'7, = 11 g-81'sjad uep (nO1 = O q!1 g-11 n4 usuunued ucp rur ueurunuad ereluu uuEruesax *
rpe[uou 9 depeqret Sunlrqrp 8uu,( reln8ueunlueuou uPp JEeurl lunlueuou eltvw'JZ-61 rBqurBD 'untun Suuprq uu
-{pra8 ruulu8uau reSet Bpueq qenqes sllg .tunurn Suep;g uB{sJeC'ueIeu
-n8tp tedep 6-6I nEtE 8-61 'sred EIPru 'ug8unlqrad >1n1un 'e(u1nluelag
(o-ot) aot =oH*'\pu['o {flrt rnplol.u
uep ue4era8 Sueprq eped snrnl 1e8a1 8uu,( nquns depuq;at epueq o7 Brsrour
ueruoru uu1u1e,(uau Sunrn>1 Bpuul urelBp rp DIns e/Y\r{Bq le3ur8ueu ueSuep
'ru[e[as nquns Bueroal rrep 'uup 'ro (g1w + 9 0 =
o g w. [Bq tuEIEp 'ocl =,n rsnllsqnsuau ulnru-Blnr.u ueEuap unlouDqrapaslp ledup rur ueeurusred
(s-o r )()aw)Dt + ao1=op+")ue4ed
-Bplp '9r uped sntnl 4o3a1 nples (,,r nutu) rI B^rqeq lu8ur8ueu: ue8uaq gdupeqra 9H urp -I ..ueuou,,3unlrqrp nped rur pq upp('O )tgp depeqrelepueq reln8uu unlueuotu Eunlrq8ueur r.lBpntu qrqel 8uepu4-Suepey
U-6r)a)l =9H
"n(, = 7
qEIBI
g dupeqrat Sunlrqp 8uu,( reln8uu urnluoruoru uup Jueurl unluetuoru EIEru
'qZ-61 ragtneC 'O IIlp lezrrel 8uu,( dolat 8uo{. nqwns qqnqas dopoqtalnydtaq re8er upueq qEnqes e11g'dqa; nquns dupuqraa IsBloU
( (9aw)(D - vp 'g-61'sted tnrnueu eleu teque8 rp uoqnt-unlp rlrades ,.ueuoru ue8uey,, qulspe p eueru) 'nll )pg depeqrel SunlrqrpsruEq.I rEauII ulnlueuotll..ueuou,, EIBIU '0z-61 tzqu,I-c 'epueq rEn[ rpnelu eped y UreI Irlll Sue.mques depeqrel Suryrqrp;eln8ue unlueuou BIr[
(9-6 r )o =9H9,tw =7
lpufueur 9 dupeqral Sunlrglp reln8ue unlueuou uep
lEoull unluaruotu 'lpEf 'epueq {ruun 0 = (D uBp .1, = 3,t ueludecal ru,(und-rueu u,(uusseur lusnd ulail'DZ-61 &quruD '3un>13ue1 suu8 nule snrnl su-eB tsolsttotl rqnre8uedrp u Esseuleq re8el epueq qunqes BItg 'IsBIsuB{
uelere8 sruele8rl ue4luqredurau uu{E Suereles ull{'lul srsrleuv lrseqre3uqeg'rl-61 Juqureg'g dupuqrel Eunlrqrp..ueuoru,, Blrq Inteq 3uu,( {1e,{u:esaq uulueqelreduau re8e g opuaq ossow losnd lzn al sntoLl 7 o{taysurS eluru 'Jeeurl urnlueuoru ..uauou,, uu8uap Euus qEIEp? reln8uu un1-uauou Buale{ 'e,(u1nfuu1e5 'eules 8ue,( I{Bru uEp lusaq uE{uEqeUeduraur
Er uelrppuu opuaq opod 7411 Suonquas ry ohatlaq wdop 9y1 'seqeq rot-\. \ qelepE (r) BuorEl E,\rqBq ue)lrtEr{red 'o91 fip7u| unruawow qDquDyp
,-.:1-'i,'jr,,',,'li'j,:,;::r:f,^#,:,^Y;';;,'f,:;,ff: ;;7,;,;'f;,:;'::,f;#;a: r ):! :iit DUq oilLpq uoYo|o,(uaw tu, llsoq 'J I -61 JEqurpc uence uuEueq
t:{D\-\r\JC lfl\r{ 1l tl{I-\\ry AN L6
r &{B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
L= mvc
HG= IGrt (re-10)
Jika momentum angular dihitung terhadap sebuah titik A yang terletak
pada atau di luar benda, Gambar l9-2c, maka perlu dihitung momen L dan
Ho terhadap titik ini. Dalam hal ini,
G+ Ho= I6,uc + (d)(mv6)
Di sini d adalah lengan momen, seperti ditunjukkan di gambar.
r.lgerakan bidang ununr
lal
rotasi terhadap sunlbu tetap
Gambar 19-2
uDqDfirDIC slzur 3) ?'St =
uDqDilDI
'rpEI's/ur s9l'l = (tu 7)(s/pu-t y11g
uDqD|rof
::"i.s:. eiuueryraS 31 I SuulBq uEp 3l 0l tuuDlBJ IEE
1s7ur gg1'1)(SI gXLu Z) t sltwsl Sg't = 1c'rrrrlp * ":t1=)tg+)unllrroq8Jeu, 31 dupeq'rat caw uup to'1 ueuto141
f s7rur31 S8'[ =
(s7pur y11E'g)[ftu 7;iA1 g)zt/rf = aD 1 = c g+)
- 9,r ugp slputvLLS'Lo= (ur rgr'g)(situ zl= o BSSurqas ''[-6 I ruquuc
rp ueldutatrp )l 'LLtnL{tn Suop'1q- ttrt>1tua| truele8ueur Suulug '3uo1og
C s/zu E{ gS'L =
(s7pe.r g)[r(ur gz'0)(3)t ODz/t] = aB 1 = s u+)
e1uw'ctw(z/t; - B1 uue-re1 'u3n1
uDqDdlD[ C s/zu 3>{ o9'L =
(ru g7'g)(sytu ZXs>t Ot) + s/zu 3't Os'Z = ct(9'ntr) + roel =8 g+)
f-6t rEqurBC
!]3.)
'SuutBq
y-rrn J1 ugp g )llp depeqral uup 'tuBDI€3 {$un g lrlrt dupuqlct utup
',.. . .l.pEqrel ruln8uu unlueulolu ue{nlueJ ''€-61 rBqtuBg rp uullnfun
EOL\CI
e6t]ilHtNICYL$I1T \)L\VXEI^I
,|I $A,B 19 KTNETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
t': PRINSIP IMPULS DAN MOMENTI.II\{
diagram momentum awal
{$
Seperti halnya untuk gerakan partikel, prinsip impuls dan momentum untukbenda tegar dijabarkan dengan mengkombina.ri persamaan gerakan dengan
kinematika. Persamaan yang dihasilkan memberi solusi langsung untuk
soal-soal yang menyangkut gaya, kecepatan dan waktu.
Prinsip Impuls Dan Momentum Linear. Persamaan gerakan
translasi untuk benda tegar dapat ditulis sebagai XF = ma6. m(dv"/dt).Karena massa benda adalah konstan,
)LF = -ft (mv6)
Dengan mengalikan kedua ruas dengan dr dan mengintegrasinya dari r =tlty 6 = (v6)1 sampai t = t2,y 6= (vG)2 didapatkan
>, f ,d, =,r(ro), - rr(ro), (19-l l)
Persamaan ini dinyatakan sebagai prinsip impuls dan momentttm linear.Persamaan ini menyatakan bahwa jumlah semua impuls yang dihasilkanoleh sistem galta ekstental yang bekerja pada benda selama selang waktut, sampai tradalah sama dengan perubahan momentum linear benda sela-
ma selang waktu itu, Gambar l9-4.
diagram impuls diagram monrentum akhir
tE)
Gambar 19.4
Prinsip Impuls Dan Momentum Angular. Jika benda mempunyai ge-
rakan bidang umum maka dapat ditulis LMc = Ioa = Io(da/dt). Karenamomen inersia adalah konstan,
LM6=$ U"alDengan mengalikan kedua ruas dengan dt dan mengintegrasi dari / = /1,0)
= (Dl samPai t = t2,o) = to2 didapatkan
{F}
ixj: '
fq*f .t;LI
tltt,
rs& rV,
Lffuoat=Ic@z-lcti,t tt9-t2)
'o ( ruersrs -)
tz't)o ( ruelsrs -)
'o ( uelsrs -\ [:elnaue *n,u.ro, SJ [:uln8uu ,1no*, lJ* [.re1n8uu *n,urro,, (j
(S I-6 I ) z'f ualsgs -)
tz-rti ( uarsrs -)
t\ ( tuersrs -) [r.,u,1 ,un,u.*o,, l,j = [rr,r,1 ,1ndu, S.J* [r,u,1 *n,u.,uo, (.J
"( uotsrs -)
rt-t"( ualsrs -) "( uretsrs
-) [rr,r,1 ,nlu.*o* S] = [rr,r,1 ,1nd,r, SJ* [,,r,r,1 .,rn,r.,ro* S.J
rc8eqes lrloqurs Intueq tuBlpp
uDISrl$Ip lBdBp eluullnser uBBruesJed-ueeruesra4 'uelsrs dupuq.rel lDutafitlqBlBpE Blerer.u uuelBI u€8unqr.u?sred upud rpeftel 8uB,( rseururleJel JII{BoJslndur uBIBUaSlnIrBuau Inlun uEq$nqel B/(uuB)ln)pletu uBBuoC 'r{BsrdJel
BJBces Bpuoq Eursuur-Sursuu eped qll€-qllE uuEunqnqJeq 8ur1us 8ue,( epueq
-epueq uelsrs qrunles Epsd uBldBJelrp ludup B8n[ ,l-6I uEBruBsJed'qv-61 JFdqU0eD 'aI 'Bpueq $req uBSuep Bruleq eSnl ueqrrueq
'(tl-zl) I i uup (ll-zt) l Sutseur-Sutseu ue>IlISBqBueu slndur rser8elur 'zlrcdurus l7 uep uolsuoT tr^tr uup J B{r['unurelq 'p.r8alur-ler3elur qelo uBIEl-e,(urp 'nl{Bit\ uu8uep r.{BqnJeq 8uu,( '141 uup d rol{e^ 'qV-61 lr"qruleD lenq-rp slndrur ruer8urp EIrg 'epueq BpEd Iltlt derles p uulderelrp ledep e{eJeu'lodo{ uetuour rlredas 'nlr Buere{ uep (seqeq ro )le^-Jol{a^ qelepu ro97 re1
-nBuE urnlueuou BrBlueues bV-61 uep oV-61 requBD 'upuaq ESSetu l€sndEpBd uDIdBJe\pcttru reeurl unlueuou e^\qeq wlueqrad'r-61 JBquBD
'nlr Bpueq Inlun unluor.uor.u uep slndur uErBBrp uelndunles JBqruBB
-3ueur ue8uep lger8 Breces uBIsBIe[rp ledep ?l-61 'sred rp n{ns-n{ns'ZI-6I 'srod 'g epueq BSSBtu lasnd p,na1 3uu,( '.2 nquns
dupuqr4 JEInBUB runlueuotu uBp slndur drsurrd uelelefuaru e8r1a1 uuuru-usred uep ' I I -61 'sred '(-r Suuprq uulup JBeurl runlueuoru uep spdul drs-uud uop1e,(ueru rur useues-red-ueeuesJed uep utuelred uuBruusJed Enpe)
(rr-or)
.coct=ry"w)[g*,ro1
z(,en)* = tp U :l !+ t1.icn,*
z(,en)* = tp xl t'l 7*,1,"nr* zt" -
: srlnlrp
ludup epueq nuo1d uotlota? uopuqueE8ueu SueX tDIIJeq tDluls uoDuDS-tad o8qa4 r.unlueuou uup qndur drsuud ueleunSSueur uu8uep '(-xSueprq rp pe[re1 uE{BJeB e4f 'nlnqeprel 3ue,( dasuol sulSurreur 1nlug
'upueq upud uolrroqrp 3ue,( ledo>1 ueruoruuup O ne1e g {pp dupeqret purot$le edeE enures ueruotu rsuJ8elur8uauruu8uep uolruuelrp uelueqredrp 3ue,( reln8uu slndul 'snsnq4 EJBcoS 'rr.tr
nlIB^\ Suulos eluelas epuaq ruln8uB unlueuou.r ueqeqruad uu8uep euusqelepe l redtues 17 n1>1e,n 8ue1os uruules Bpueq epud efte>1eq Euu,( mln8uuslndur qelurnf e/r\q?q uaplu(uow uueruusJed enpaa';rrln8uz unluau-otu uop slndm drsuud rcBeqes uop1u,(urp g-6I uep ZI-61 uuuruusrod
ILI-6I)teoot-zaot=ryoN :JZ
tedeprp eletu'ueIrsur8elurrp (nol =oWZ) gl-tt'sred BIrq,O IItps*4 ;-wi detal nqruns dupuqrel rsBloJ {nlun 'Bures 8uu,t BJBO uBBueC
vl{U t\JC l{L\Dt:i..I- tll-\\)fhl 96
I &AB 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
Seperti ditunjukkan, momentum angular dan impuls angular sistem harus
dihitung terhadap titik acuan tetap O yang samq untuk semua benda dalam
sistem.
PROSEDUR UNTUK ANALISIS
Prinsip impuls dan momentum digunakan untuk memecahkan soal kine-tika yang menyangkut kecepatan, gaya, dan waktu karena suku-suku initercakup dalam rumus. Untuk terapannya disarankan untuk mengguna-
kan prosedur berikut.
Diagram Benda-bebas. Tetapkan kerangka acuan inersial x, ), z dan
gambar diagram benda bebas untuk menjelaskan semua gaya yangmenghasilkan impuls pada benda. Arah dan haluan kecepatan awal dan
kecepatan akhir pusat massa benda, va, dan kecepatan angular benda ol
juga harus ditetapkan. Jika salah satu dari gerakan ini tak diketahui,asumsikan haluan komponen-komponennya ada dalam arah koordinatinersial positif. Untuk menjelaskan vektor-vektor ini, mereka dapat di-gambarkan pada sistem koordinat x, !, Z, tetapi tidak pada diagrambenda-bebas. Juga hitunglah momen inersia I"atau Io.
Sebagai prosedur lain, gambarlah diagram impuls dan momentumuntuk benda atau sistem benda. Tiap diagram itu menyatakan bentuk ga-
ris besar benda yang menunjukkan secara -qrafik data yang dibutuhkanuntuk masing-masing dari ketiga suku di Pers. 19-14 atau 19-15, Gam-
bar l9-4. Perhatikan bahwa diagram-diagram ini terutama berguna un-tuk membayangkan suku "momen" yang digunakan dalam prinsip im-puls dan momentum angular, bila diputuskan bahwa terapan persamaan
ini adalah terhadap sebuah titik yang bukan pusat massa benda G atau
titik tetap O.
Prinsip Impuls dan Momentum. Gunakan ketiga persamaan skalar l9-14 (atau 19-15). Dalam hal benda berotasi terhadap sumbu tetap, Pers.
19-13 dapat disubstitusi untuk persamaan ketiga Pers. 19-14.
Kinematika. Jika lebih dari tiga persamaan dibutuhkan untuk solusiyang lengkap, maka kecepatan pusat massa benda dapat dihubungkandengan kecepatan angular benda dengan menggunakan kinematika. Iikagerakan nampak rumit, diagram kinematika (kecepatan) dapat bergunauntuk mendapatkan hubungan yang diperlukan.
Secara umum, metode yang digunakan untuk memecahkan jenis
soal tertentu harus diputuskan sebelum mencoba memecahkan soal itu.
Seperti dinyatakan di atas, prinsip irnpuls dan momentunl paling cocok
untuk memecahkan soal-soal yang menyangkut kecepatan, gaya, dan
waktu.Namun, untuk beberapa soal, kombinasi persamaan gerakan dan
kedua bentuk yang terintegrasi, prinsip kerja dan energi dan prinsipimpuls dan momentum, akan menghasilkan solusi yang paling cepat
untuk soal itu.
s-6I rsqurB,
aDqDilDf f sTper 9lI =ZauDqoilDf N0gI='(yuDqDilD[ 0 ='ty
ueltudeprp rur uueruesred-ueetuesred ue{qe3oruoru ueSueq
z16tE'0 = (tu E7'g)[(s Z)N 0S] + (s7)ru N 9 + 0
,anluauory uop s1ndu1 d1su1.rtr
(-s/wl8'6)z ' zr*'3,r6rr'0= r(u'sz'.\. _rr- )i= ,,,,i=,, ,
qulepe du1a1 3uB,( efulsetor nquns depuqrel uur)uc Ers-reur u"*oT.,n,
unrel qerees rulndreq ueJluc uulquqe,{ueu ueuuqeqrued 'untueu :IBl-e8"raq 1upr1 tuer{Ec esseru tusnd'qS-6 1 .ruque D' sDqa q-Dpu a g uo.r8o1q
ISn'IOS
ll t.Yr ! rii:r i
I
ffilu.il{!},?
:p r\Ieer e,(e8 ueuodurol ede.req 'e8n1 uerp uBepeel rrep lulntrl qBlotes
-r.les Enp tuulleo reln8ue ueludecel ue{nluol 'e,(urdel r8urple8ueu-:\liilrp 3ue,( r1e1 qunqes epud uelrraqrp 8ue( N 0g reseqes u,{e3 uep
- \ q resaqes uetsuol ledo>1 ueurour rqnru8uadrp er uIrI 'e,(utusnd rp lrdai-l: -:? -\ 0OI e{uluraqDg-61 JBqUBD rp ue>plnlunlrp 3ue,i uerIBJ
z6eY7 = ryv Al',17+ tav 1
(.) = (s Z)N 0g - (s z)N 00J - (s 71iy + g
7( ', n)* = ry'r::lZ+ r1iv n,*
g=(s7)ry+6
z(wr,.).ur = ry'r;:lZ+ r(''v^)M
(+) I
(r+) v
( <-)+
,,i!:,--:
I. *r''{,.** t :s +-
i:it^* [n;1i,."; { .. ttt l,; it
u ' ..1..
t6erI
\I{IIT}-:$C YL$I :I.T \)I.\V)EI^I
.|Iun,$ .i }iI;\ETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
1q,3
.t
il.i *or{ '
-..xar\'J
Balok yang ditunjukkan di Gambar l9-6a massanya 6 kg. Balok inidiikatkan pada sebuah tali yang dililitkan mengelilingi tepi cakram 20 kgyang mempunyai momen inersia te=O,40 kg *2.Jika balok mula-mulabergerak ke bawah dengan kelajuan 2 m/s, tentukanlah kelajuannya da-
lam 3 s. Abaikan massa tali dalam perhitungan.
SOLUSI IDiagram Benda-bebas. Diagram benda-bebas balok dan cakram ditun-jukkan di Gambar l9-6b. Semua gaya adalah konstan karena berat balokmenyebabkan gerakan. Gerakan ke bawah balok, vr, menyebabkan ro
cakram adalah searah jarum jam.
Prinsip Impuls dan Momentum. Kita dapat mengeliminasi A, dan A,dari analisis dengan menggunakan prinsip momentum angular terhadaptitik A. Jadi
/rrrr, + zl Medt= I;o,
0,40 kg m21ro1) + (3 s)(0,2 m) = (0,4 kg m2)or,
mr(vB)1+ lJ r., dt = ms(vp)2
- 6keQ m/s) + (3 s) - 58,86 N(3 s) = - 6 kg(vs)2
Kinematika. Karcna $ = vBlr, maka ot, = (2 mls)l(O,2 m) = 10 rad/s dan
rL.r1= O g)11 0,2 m = 5(vg)2. Dengan mensubstitusi dan memecahkan per-
samaan-persamaan secara simultan untuk (v6)2 didapatkan
(vs)z= 13,0 m/s I Jqwaban
SOLUSI IIDiagram Impuls dan Momentum. Kita dapat memperoleh (vs)2 secaralangsung dengan menganggap sls/em terdiri dari balok, tali, dan cakam.Diagram impuls dan momentum telah digambarkan untuk menjelaskanpenggunaan prinsip impuls dan momentum angular terhadap titik A,Gambar 19-6c.
Cakram
( (*lBalok
(+ 1)
tB''
Gambar 19-6
9-6I rEqurEC
f.s,{u li;rt t,
uDqDilDII s/(n o'fl =z(B^)
t(ur Z'O) z(s,l)l zu
3>t Ot'O + (ru Z'O) z(s^) 3{ 9 =
(ru 7'g)(ru t) 98'8S + (s7pe.r 0t).ur 3I t'0 + (ru 7'6)(s7tu 7;31 9 (+) )
ruatsrs -\
ri-t'v ( tualsrs -\
" ( uralsrs -\ .: -:-: -rrurrr*
l.,J = [rnlnauu rlno*, SJ* [rnlnau, *n,ur.uo* S]
uultudeprp 'z(sl)S = ze uup s/pu.r gl =- ; !..;iq reSurSuaur uu8ueq '.ru1n?uy un1aauory uop spdurl d1su1.r4
ilcrt |t,.t,si)N }t'nt
66rt{rft\Io xl_f{3.: r} L\\)3hl
ilnc.s .9 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
t9-4yang ditunjukkan di l9-7a mempunyai3ari-
jari girasi kc= 0,35 m. Sebuah kawat dililitkan mengelilingi bagiangelendong dan sebuah gaya horisontal yang mempunyai besar yang ber
ubah P - (t + l0) diberikan, dengan r diukur dalam sekon. Jika gelend
mula-mula diam, tentukan kecepatan angularnya setelah 5 s. Asumsikanbahwa gelendong menggelinding tanpa selip di A.
SOLUSI
Diagram Benda-bebas. Dengan memeriksa diagram benda-bebas, Gam-
bar l9-lb, gayayang berubah P akan menyebabkan gaya gesekan Fo ber'-
ubah, dan dengan demikian impuls yang dihasilkan P dan Fo harus diten-
tukan dengan integrasi. Gaya P menyebabkan pusat massa mempunyai ke-
cepatan v" ke kanan, dan gelendon-s mempunyai kecepatan angular ol
searah jarum jam.
Momen inersia gelendong terhadap pusat massanya adalah. iiifrI;, P,(,$ ro)h{
,/-,,'ffi;' I \r,,ii]l I
ois..'A\ l,iit:i )
b2
,#ix/l.,rii:ii,:,iir,..'.; \f friiii;riili#$''1t l,:,,2.]ll:1Y.:,i:\,...,rji,,1 \ ::lnr*'.. t:,ii:i.:i::J /\ \a'i'l.r{;1, :Y J
\.ul;F/\!t*-'.t
ici
Gambar 19-7
hui antara Pers. I dan 2, didapatkan
ol, = 1,05 rad/s J Jawsban
Catatan'. Solusi yang lebih langsung dapat diperoleh dengan menggu-
nakan prinsip impuls dan momentum angular terhadap titik A. Sebagai
latihan, lakukan ini dan tunjukkan bahwa didapatkan hasil yang sama.
1",., 1""\.:;'*,Prinsip Impuls dan Momentum
(s) m(v6)t +l[ r,at =m(vG)2
= l00ks(v6 ),
I G = mk2c = 100(0,35)2 = 12.25 kg m2
62,5-lFAdt = 100(v6),
Iorrr,+LlUoat= Iauoz
o*ij'(,+to\dr -!roat
( (+)
(l)
(2)
o * l["(, + 10].rdl10,4,)* [ r',ar[o,7s. m)= (tz,zs tg.,r 2 ]0,
zs + $ F Adtxo,T 5) = 12,25o,,
Kinematika. Karena gelendong tidak selip, pusat kecepatan nol sesaat
di titik A. Gambar l9-7c. Iadi, kecepatan G dapat dinyatakan dalam kece-
patan angular gelendong sebagai (vc)z = (0.75 m)o:r. Dengan mensubsti-
tusi ini ke dalam Pers. I dan mengelirninasi impuls !noyungtak diketa-
8-6I rBqurEC
srr Eo-L\o]
(Z-61 uep s6-ll IBoS e8nltuqtl) 'uteruad uu8uul rp rpu{:e1 rsusucs lrr-rpes nelu ..uutu8uas,, rpuhel 1epr1 'u(uleqqe re8eqeg .rsn1.ted
lesnd rp r
-ehe1 lnqunlrp 8uu,( uer8eq re8e Suucuelp .u,(usn:e1es uep ,11o8 1u18uo1
'u8erqulo 1e>1e.r >1e,(uug 'urnuirurur ue>1e lrdeluped rpuLrel Buu,{ u,{e8 ,;r
uelnlnd 11lp uelledureueur uu8ueq 'rcnltad rusnd uelpluuurp d IIrIJ
uDq0ADI
uelledeprp 'd,r uecueru uep I xr* uel.renle8uaur uu8ucql
g - d-r(ro-r)ru * la[4w +crytuf
uultuduprp
7w + Drrytu =
Y7 rsnlrlsqnsuetu uep lp J J slndurr rsuururrle8ueur uu8ueg
Il-+t=dtI't
(:)
(+) )
'\pel'V {ltp dupeqlel rc1n8ue runJuetuourslndurr drsurrd ueleunSSueu uEIB Blr) .Mntuataory uop s1ndtul dts
16-7 - l19a
uu8uep 1rq eI 1ure8.req Inpuuq essuur lesnd uep uel uruel'qu.reas Buu,{Iro ruln8ue ueludoca{ re,(undueur Inpueq ,ue{nqunt unleqas 1ude1
.1ou
qBIBpB y rp lutuost.roq slndurr ueltu-ru,(sueu Ieos rsrpuo{ ,qg-61 .rcqutuD'seqoq-upueq rue:8erp uped uu>11nlunlrp qreda5 .sDqaq-Dpua&
ISmOS'o0 = 0 eIUe) un,(ereq Inlun Inpu€q uulrlueqSueu uurlruep uu8
-uap uep qnlBfel ulueles lnpuEq {lteuDl r8reue enrues durefueur uEquq qo-uor uelrstunsu 'ue8unlrq;ed 1n1un 'uulnqunl Bueles 1ou qulepe u,(u.r-ep epud lrdalrp leluozr:oq u,(e8 re8u rpehel sn.ruq S uuquq qoluoc uu8u-ap uelnqunt uuuturp d )pll aI v Ip tldal uup d,r
luruI uu1n1ue1 .9 dupe-rrr c) rse:r3 ue[-r:et uep 'g rp esseru lesnd ,ra esseu ref,undueu Euu-i -h I requeD rp uullnlunlrp 8ue,{ lnpuuq uuluun88ueru uu8uep uu>1
\':'il :rI uBlnqunl utuBles uequq nluns r8_raue uede:e,(ued lrlsr-re11eru>i--\.:.1'i.uau Inlun ueqeq sel
O=ryCI+totlw-
o = '\,pt [)- tav r
L0Ltf{Il*-\1CI lil\}l :tI t XIN\ilXAhtr
ueluunBrp
.IE 3l8 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
SO.{L-SOAL
l*l Benda tegar (lempeng) rnassanya rz dan berputar
;ergan kecepatan angular ro terhadap sumbu yang lewat
rrdk tetap O. Tunjukkan bahwa momentum semua par-
tikel yang mernbentuk benda itu dapat dinyatakan oleh
vektor tunggal yang hesarnya nw odan bekerja di titik P,
yang dinamakan pltsot perklsi, yang terletak padajarak
, prc = kL lroo dari pusat massa C. Di sini k5 adalah
.jari-jari girasi henda, yang dihitung terhadap sumbu
yang tegak Iurus bidang gerakan dan lewat titik G.
Soal 19-1
19-2. Pada suatu saat, benda mempunyai momentum li-near L = rnv" dan momentum angular HG = IGcn yang
dihitung terhadap pusat massanya. Tunjukkan bahwa
1raco, dengan tc menyatakan momen inersia benda
dihitung terhadap surnbu kecepatan nol sesaat. Seperti
ditunjukkan. /Cterletak pada jarak r61*dari pusat mas-
sa C.
Soal 19-2
l9-3. Tunjukkan bahwajika sebuah lempengan berputar
terhadap sumbu tetap yang tegak lurus lempeng dan le-
wat pusat rnassanya G, maka momentum angular akan
sama bila dihitung terhadap tiap titik lain P di lernpeng.
lnomentum angular benda yang dihitung terhadap pusat : .. r{?:.":i.kecepatan nol sesaat /C dapat dinyatakan sebagai Hra = ;:.........
' .;
Soal 19-3*19-4. Pecahkan Soal l7-64 dengan menggunakan prin-sip impuls dan momentunr.
19-5. Pecahkan Soal l7-61 dengan menggunakan prin-sip impuls dan momentum.
19-6. Kapsul angkasa mempunyai massa 1200 kg dan
momen inersia 16 = 900 kg rn2 terhadap sumbu yang
lewat G dan diarahkan tegak lurus bidang gambar. Jika
ia bergerak maju dengan kelajuan vc = 800 rnls dan
membuat suatu belokan dengan bantuan dua mesin.jet,yang menghasilkan dorongan konstan 400 N selama 0,3 s,
maka tentukan kecepatan angular kapsul tepat setelah
jet dimatikan.
Soal 19-6
19-7, Cakram 125 N mempunyai kecepatan angular
30 radls. Cakram tiba-tiba disentuhkan dengan permu-
kaan horisontal yang mempunyai koefisien gesekan ki-netik pk - 0,2. Tentukan waktu yang dibutuhkan cakram
untuk berhenti berputar. Berapakah gaya yang bekerja
sepanjang tongkat AB? Abaikan berat AB.
x19-8. Pecahkan Soal I9-7 jika cakram berputar berla-
wanan arah jarum jam dengan <rl = 30 rad/s.
m
Soal 19-7l19-8
LO nelu J rp uu{nrytrp wluo{ E[q EuEs 8uB^ qBru
ruelep rBlndreq B Bpor qeIEdv 'cl rp B epor qnlue,(ueuy leroSSued epor e{t[ SI-61 pos uplqeoed .9I-6I*
tuur 0Z I = 9ry :eseqas
:elnd nquns depeqrel rselS ue[-rre[ uep E>1 66 essutu
re,(undureu B epo6 agr Bpol :rq1e rulnlue uuledece>l
qe{ed€reg 'N 0S l€utlou e,{e8 ue8uep lzluol wln1?l-ou epor {B[es uelsuol ruln8ue ueledecal redecuetu 1n1-un dr ue{r{nlnqrp Eue,( nl{p/( uelntuel 'Z'0 = ld qetepe
epor-Epor Brclue {lleul{ uelasa8 uetsgoo{ u€p 's/pet 9 Iuelsuol nlul ue3uop relndreq nlules y B{rf 'J rp Bpor-€por Erelue uBIeseE qalo B uBIIuJeBrp 3ue,{ Bpol a{ yryra33ued upor rrep uelsnralp reln8uu ue{ereD.SI-6I
7I.6T IEOS
'uulqepurdrp 8uu,( rplE : u?r gw-.:i -: r::\ ti.rErp uEEpEe uep telnulpi : irr,nrrdf'rla: imrtu:-l: '-=-J::a1 uelnluel .V
Ip (tldalt,J:,riIU:-I glmljr t,l; ; . = i'" liUrSe:r8 r:e[-uU[ uUp
\ .{; 7 "';mrg iurryni.;;-el ir'l- ;orut3 rp ue11nfun1
-e *g-'- ],IjE ult,iE \ 'ri jrr:S-,: r i..:S ue8Uap E(UBUnJ
-rif-fu -E n* E[rliEx xr-E:-.;r- ;:;1 :-::r.ror5 .py-61
TI.6IUI.6I IBOS
ur jli 1'!
'rlel Esseru u?Ipqv's4l 7 uunlule>1 reducueu
{ntun y Ioteq ue{qnlnqtp 3ue,{ nlIE^\ uglnluet 'urgrp
ueepee{ rrup uelsedelrp e{erau €Ilf 3)t 61 e,(uussuru g
{oleq u?p 3>1 97 e,(uesseur y {oleg 'ru SZ.0 - ori u,(urs
-errt uef-uef uep E1 gg e,(uusseu Euopualeg .91.61
'llBl usseu uBIrBqv'uBrp ue
-EpBaI rrep relnulp s Z uleleu uunlele>1 uelnluel .werp
ueppeel uup ue>1szda1rp Elereu ullf 'BI g1 e{ur:ssurug loleq uep E1 E7 e,(uesseur y {oltg 'ru SZ'0 - oy u,(u
-rserr8 r:u[-r:e[ uep 31 69 e(uussutu Suopueleg ,Zt-6lx
II-61/01-6116-6I leos ., : ,.,,' . ''.. ''. ';
,:','.,,,
j:' 1' t:":' "" :::i'
,: ,,. ', :i
' :'.. _. .. ,,., _ r ij:i :.. : :.r1
...,.:'",""'"
"' "'' t" ''' ' : 'r j
...,:::.:" ..1.,r.,, .l:ir::;;'i,1
'u i'0 = r-y rsu.rr3
uuf-rref uep N 0S t rcJaq ru,(undruatu upou 'uerp uuepe
-a{ gep uulsudapp er qBletos s 7 epo.r reln3ue ueledaceluelnluol 'Z'O - 4i usp t'0 =
rri Sursuur-8ursur.x qBI
-Bpe y lp Ineurl uep lpels uu{ase8 uelsrleol u>p1'8uu-rtu SuEF ler !p nuaqraq Bpor ruulup uer8r:q.1up '11-61
'u ,'0 = 97 rsu:r8 uul'-r.ruf uep
N 0S I te:aq ru,(undtueru BpoU 'ruulp ueppuel r:ep rulnur
's/per g = G) rpefuetu e(uruln8ue ueludaoel rrBe uulqn]-nqrp 8uu,{ nUB/h ulllntuol 'y p dlles lepn Br e1r1 3ur.r
-ru 3ue,( Iel lp rtuar{raq epol urelep uer8eq.1e1r1 .g1-61
'u t'0 = ,7 rse:rE r:e[-rre[ uep N 0S I lereq re(uncluaruEpoU 'ue tp ueupee{ uup ue>1sede1rp Br r"lelotas s 7 t:,(u.rr1
-n8ue ueledecel u€{ntuel'y rp drles Iupn ot e>1r1 3uu-ru Suuf ter lp rluaqreq Bpol rxulup uur8eq .1ulq
.6-61
9I-6T/SI-6I IBOS
3.
aur rt t-
iIl,.ul (1!'
......i.
80!bl{IIfY}JC t{t\) 3-r t:{I-\})EW
f 3Ats 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
tltl'l- tnrm dengan massa llr, jari-jari r, dan jari-jan
sfts; r, ., menggelinding sepanjang bidang miring yang
{ c;::iin gesekan statiknya trr. Jika drum dilepaskan dari
r::daan dianr. tentukan sudut maksimum d bidang mi-
:-nq agar ia rnenggelindin-Q tanpa selip di A.
l9-I8. Drum rnassanya 70 kg. jari-jarinya 300 rnnr, dan
.iari-jari girasinya ko = 125 mm. Jika koellsien gesekan
statik clan kinetik adalah masing-masin8 !. = 0,4 dan
!t = 0.3. tentukan kecepatan angular drum 2 s setelah ia
clilepaskan clari keadaan diam. Ambillah d = .10o.
19-19. Pecahkan Soal l9-18 .jrka 0 =75".
19.22. Roda beratnya 500 N dan rnempunyaijari-.iari gi-
rasi ,(5 = 0,45 m. Sebuah tali dililitkan sekeliling bagian
dalarn naf darr dipengaruhi gaya P = ( l0r + l-5). dengan
r dalam sekon. Jika roda menggelinding tanpa selip, tc-n-
tukan kelajuan pusatnya 5 s setelah gaya diberikan. Ro-
da mulai dari keadaan diam.
19-23. Roda beratnya 500 N dan mempunyai jari-jari gi-
rasi kc = 0.45 m. Sebuah tali dililitkan sekeliling bagian
dalarr.r nal' dan dipengaruhi gaya P = 40 N. Jika roda
menggelinding tanpa selip, tentukan kelajuan pusatnya
5 s setclah gaya diberikan. Roda mulai dari keadaan
diam.
.lr.-*-*--- &F
Soal 19-17/19-18/19-19
*19-20. Katrol ganda terdiri dari dua roda yang saling
dikaitkan dan berputar dengan laju yang sama. Katrol
rnassanya 1.5 kg dan jari-jari girasinya ko = Il0 mrn.
Jikii balok di A mempunyai massa 40 kg, tentukan kela-juan balok 3 s setelah gaya konstan F = 2 kN diberikan
pada tali yang dililitkan sekeliling bagian dalam naf
kLrtrol. Balok mula-mula diam. Abaikan r-nassa tali.
19-21. Katrol ganda terdiri dari dua roda yang saling di-kaitkan dan berputar dengan laju yang sarna. Katrol
mrlssanyrl l5 kg dan jari-jari girasinya ko = ll0 mm.
Jika balok di A rnernpunyai rnassa 40 kg, tentukan gaya
korrstarr F yang harurs diberikan pada tali agar balok
nrendapat kelajuan 4 nVs setelah -3 s. Balok rrula-mula
cliarr. Abaikan massa tali.
l(!i) r,rr75 rnr-rt
Soal 19-22119-23
*-1.9-24, Gelendong beratnya 1.50 N dan jari-jari gira-
sinya l, = 0.1-5 m. Sebuah tali dililitkan sekeliling ba-
gian dalam naf dan ujungnya dipengaruhi gaya horison-
lal P = 25 N. Tentukan kecepatan angular gelendong
setelah 4 s mulai dari keadaan diam. Asumsikan gelen-
dong menggelinding tanpa selip.
19-25. Pecahkan Soal l9-24jika koellsien gesekan sta-
tik adalah [, = 0,3 dan koefisien gesekan kinetik adalah
Pk= 0,25'
ii
li
,r\rl'::at'I -g,It" i
-* _.__*J*.1
il
llii
tI
*r'
Soal 19-20/79-21
Soal79-24/19-25
Ig.6110O.6I IBOS
t}}lu IIB z .,f
?x g'11 = u
'JeqrrsE
rp uelrJaqrp e,{utusnd-lesnd lB/r\e[ uup ruquuS uuru
-EIEq snrnl IuBal 3Lre,( nqr-uns dtpuq:a1 r3rB epo.r uprorl
-ues rse:rB rref-r:uI uep ussetrAI '€,(ulzsnd !p ]rdaftp Ilce)tqrqel 3uu,( uapola ) uep g rBrB tpor tnpa) s Z = / ullq
e,(u.ruln8uu uutcdeJel urlntuet's/prl S ut8uop Jetndreq
Elnuas y elrt 'y rBrS cpor cprd uulrraqrp 'uo{as u"relep
I uu8uap 'u N 0s.orS0'0) - lV uersuol lsroJ 'tf-6l':uqure8 rp uelr:aqtp uXutusnd
-1usnd 1u.,ne1 uup ;r:quu8 uuruelpq srun1 1u8e1 8uu,(
nquns depeqral rSrB upor uplorlues rsur3 rrul'-urf urpesse6 u,{ulusnd rp ttdoltp llce)t qrqol SuuK ualotqa 3ucp g rBrB Epor unpo) s Z qeleles e,tu:uln8uu uulr:dece1
rrlllniuot 's/pur g uu3uap:ulnd:aq Elnues ye1t1 y tStB
r:por upud urlueqrp LU N 8'0 - l.t/ uutsuol lsrtt1 '0!'-6I
6Z-6I IeoS
:i_=.-.-: :rsnd wtudecal uep
-s'*im -rr:rr=--r fv-:r-.t, -::'-ri iprd uC>1lnlirn1rp
:-:ils fl:!r:{:iJ:'i iTtul- -:t: ::'}: :rrJ snluq 3ue,(
':I:*,-{L,"Ar E:L:n- r mr: i--t" -:1: i:::i}i lrJad '62-6I
8Z-6I IeoS
'rlll1 urJp lojtul r'rssuul Ut)-teqV rtl l'O=D:tr.(ursu.rrB uul'-r.rrl'uup p gg1 e,turr:raq
EpoU rutrp uuupuol urp ur:1sr:dc1lp loltq q[la]as s !-
'N 0g )olcq uunfulel uu)nluel 'y lp drlcs luprl E)rl lul-rrosrJoq 1a: epr.rd urerp upor.luu uelup uur3r:g '97-61,
LZ-6t/92'6t IBos
'llE1 Pswtrl ue{reqv urBrp UEEpITJI rrup
rulnttl 's^u t JBseqas sste el uunlEIeI lud€pueu loJuqrBBE rlel uped ue{ueqrp sruEq 3uE( 7 lrluosuoq u,{ui
uE{ntuer 'N cr0t e{uru:3q g IolEq sM ru 9f'0 = 0)
e,(urserr3 r.re[-r:ef uep 51 g1g r:,(utureq Suopuelag'47-61
'tFll ussEur
uEIrBqv'uurp ue?peel rJEp relntu s I qeleles Ioluq utnl-BlaI uelntuat'r1el uped uu)tuaqrp N EZI = or u,{u8 qenq
-es uep 'N 00t r,(urureq g IoFq uIIf ur 9g'g - 01 u(u
-rsu.lr8 r:ul-rruI uep N gLt e,(u,{1.:.roq 3uopua1e9 '97-61
i$.
t.'
901rt{trt\\Jc } ]-\ti fr \ul\\)ghl
fr B.\B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
'lr-t1 Bola dengan massa ,rx dan jari-jari r mengge-
r rr::e sepanjang bidang miring yang koefisien gesekan
<=rknya p. Jika bola dilepaskan dari keadaan diam,
::rtukan sudut d maksimum bidang miring agar bola
nenggelinding tanpa seliP di A.
19-33. Bola 5 kg mempunyai iari-jari r = 100 mm dan
menggelinding sepanjang bidang miring yang koetisien
gesekan statik dan kinetiknya adalah masing-masing
|.t, = 0.4 dan p^ = 0'3. Jika bola dilepaskan dari keadaan
cliam, tentukan kecepatan angular setelah 2 s. Ambil
d = 30o.
19-34. Pecahkan Soal I 9-33.iika d = 60".
19-37. Batang ramping dengan massa ,n dan panjang L
dilepaskan dari keadaan diam ketika ia berada pada po-
sisi vertikal. Jika ia jatuh dan menumbuk langkan yang
lembut di A tanpa memantul, tentukan impuls yang
diberikan langkan pada batang.
Soal 19-37
19-38. Pelat bujursangkar massanya m dan digantung-
kan pada pojok A lewat sebuah tali. Jika ia menerima
impuls horisontal I di pojok B. tentukan letak ,i,titik P.
yaitu titik yang terhadapnya pelat natnpak berputar sela-
ma tumbukan.
8
Soal 19'38
19-39. Batang yang panlangnya L dan massanya,rl ter-
letak pada permukaan horisontal halus dan dipengaruhi
gaya P di ujung A seperti ditunjukkan pada gambar.
Tentukan iarak d dari titik yang terhadapnya batang mu-
Iai berputar, yaitu, titik yang tnempunyai kecepatan nol.
tr*,i\.
----.''.._-\\Soal 19-32/19-33119'34
l9-35. Cincin tipis massanya 5 kg dan dilepaskan menu-
runi bidang rriiring sedernikian hingga mempunyai spin
halik rLr = 8 rad/s dan pusatrrya mempunyai kecepatan
vG = 3 m/s seperti ditunjukkan pada gambar. Jika koefi-
sien gesekan kinetik antara cincin dan bidang adalah
ptt = 0,6. tentukan berapa lama cincin menggelinding
sebelurn ia bcrhenti tergelincir.
+19-36. Cincin tipis massanya 5 kg dan dilepaskan me-
nuruni bidang miring sedemikian hingga ia rnempunyai
spin balik ro = 8 rad,/s dan pusatnya mempunyai kece-
patan v6 = 3 tr/s seperti ditunjukkan pada gambar. Jika
koellsien gesekan kinetik antara cincin dan bidang ada-
lah ;t* = 0.6. tentukan kecepatan angular cincin setelah
ls.
r,, = .') ttti5
Soal 19-35/19-36 Soal 19-39
st'6l/w-6r IEos
'g,g =.td uup L-.0 - sd Bursuur-Burseu
qrlEpB Irsel luqoleS uup lapurlls urutuE Iueut{ ullp ltl-f,ts uulasoS uetsrlaol e{lfrr-61 tBos uE{qe3ed .st-6l
,IICEI
\EqoraS uped epo: Essutu uelteqv'pca1 leqo:e8 upud
drlas 4:p11 repurlrs s Z quletes Jopurlrs .leJnSuu ueledac-rI r.ru{ntuei 'tuurp uuupeel r:ep uu>1sude1rp uolsrs rII[\ 001 llro) Ieqoro8 sulu rp ruerp N 0g repurlts .ll-61*
fr'6I lEos
rplt usstr.ll uulruqv'elelau ur{Ble8 uuules
--:: .ltlcler >p:e8raq Iupn elejeur uultsunsv:- , 19 Surseu-Sursuul e,(uessrru g uep y 3ue:6
-- : ---:.:'i :JEp rulnu s t q€lelas E{eleut uun['e1e1
-- r- - r : -, , Suc,{ tuus Bpud uB)t8uul uep lusuoleur
"*: i-:-. -::-:. j:r.i llet qlereu g uep VBuuro unp u1r1
- * ".1 = . :i.ri pel'-ue[ uep 31 69 usseu rc,(und--^r* 1,-:!:-r : -,. :-w.( n[e1 ue8uep:e1nd:eq uep uellrel-c i-u"i: i:n .. l::- Enp IJep r:rptol epuu8 torlu) .fr-6l
LOU -.]{rrwNrc :)rN)!r.l v)rNvxsl^I
zr'6l IBoS
'u,(uqnlue,{ueru lted ulrq lulnd:equBBurpulle8 Surseu-iiursuru uBIqeqe,{ueu uelesaa'B,rqeq uelrleqre6 p qesrd IuJeLeq uup .u/ ussutu ../
ue l-r:e f re,(undueur ueSurpu r 1eB Sursuur-Bu rse141
. uu 1cl'
-req ueq rurunuou_r lBroSlaq ur clrl r:,(uqeloradrp 3ue,i0,r uelsuol uen[u1e1 uclnlueJ ''ar u,(uusscru ged.f,V-6I
T'.6IlO'.6I IBOS
's/pel E - vco:uln8ue uuledacol ru,(unduaur yurnleqes ue{r{nlnqrp 8ue,( I ntle,,,l uelntual .uurp uuepu-aI rrep uulsr?delrp B rlur{BJ Ellf 'N 0g uru:1uc Bursuur
-Sursuur rdel r8urlrla8ueur uullrlllJp rlul qunqas .Ir-61
'rlBl essuu uelreqv's z r.lEI
-eles y ueJIeJ lelnSuB ueledecel uulnluat ,uerp ullupu
-eI trep uelsudalrp Br uel1uc u)1f 'N 0g uru.rluc Sursuru
-Sutsuut ldet Fulllle8ueu uulllllllp !tel qunqes .0t-6It
: B.{B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
I93 KEKEKALAN MOMENTUM
Kekekalan Momentum Linear. Jika jumlah semua impuls linearyang beker.ja pada sistem benda-benda tegar yang belhubungan adalah nol,nraka nromentum linear sistem adalah konstan atau kekal. Akibatnya,kedua persamaan pertama Pers. 19-15 berubah menjadi
[, momentum linier) _ f ,- nronrenturn linier)
[! srstem ), \" rirt.n, ),(r9-r6)
Persamaan ini dinyatakan sebagai kekekalan momentum linear.Tanpa menyebabkan kesalahan yang cukup berarti dalam perhitungan,
Pers. l9-l6 dapat digunakan dalam arah spesifik di mana impuls linearadalah kecil atau tidak impulsif. Secara khusus, gaya-gaya tak impulsif ter-jadi bila gaya-gaya yang kecil bekeria selama selang waktu yang sangatsingkat. Sebagai contoh, impuls yang dihasilkan oleh gaya raket tenis yangmernukul bola selama interval waktu yang sangat singkat Ar cukup besar,
sedangkan impuls berat bola selama waktu ini adalah kecil jika diban-dingkan dan karena itu dapat drabaikan dalam analisis gerakan bola selamaAr.Kekekalan Momentum Angular. Momentum angular sebuah sis-tem benda-benda yang bcr lrubungan adalah kekal terhadap pusat massa sis-tem G, atau titik tetap O, bila.jurnlah semua impuls angular yang dihasilkangaya-gaya eksternal yang bekerfa pada sistem adalah nol atau cukup kecil(tidak impulsif) bila dihitung terhadap titik-titik ini. Dengan demikian per-
samaan ketiga dari Pers. l9-15 rnenjadi
[, momentunr angular) _ [,. momentum angular)
[" sistem )o, ('sistem )o= (19-11)
Persamaan ini dinyatakan sebagai kekekalan motnentunt angular. Dalamhal benda tegar tunggai, Pers. l9-17 yang diterapkan pada titik G rnenjadi(1c@)r. Untuk menggambarkan penggunaan persamaan ini, perhatikan seo-rang perenang yang melakukan lompatan jungkir-balik (somersctult) darisebuah papan loncat. Dengan melipat lengan dan kakinya dekat dengandadanya, ia ntengurangi momen inersia tubuhnya dan dengan demikianmeilailbah kecepatan angularnya (/"o harus konstan). Jika ia meluruskanbadannya tepat sebelurn memasuki air, momen inersia badannya bertam-bah dan kecepatan angularnya berkurang. Karena berat badannya meng-hasilkan impuls linear selama waktu gerakannya, contoh ini juga meng-gambarkan bahwa rnomentum angular sebuah benda adalah kekal narnuntidak demikian momenturn linearnya. Kasus-kasus semacarn itu terladi bilagaya-gaya eksterntrl yang rnenghasilkan irnpuls linear melalui pusat massa
benda atau sumbu putaran yang tetap.
'tul JnpesoJd uudBJol uEl.ruqruBS8uetu rur tnlrraq qoluot-qoluo:)
uup u,lnluallp ludep an''g ,1orrt1r, qncluu ,noA n4r,ll'rlfir'J; ]rJ
-aq nll slndur Bwelos /V nl{ear' uulrupuu ,e>1eu ,8un1rqlp JJ slndLur
quloles 'opuaq opod uelduraltp sruuq lulnSuu nels rpaurl unlueruouruup slndur drsur.rd uep (seqeq-upueq uur8urp) rsr4osr.tal snruq upuoqe>1eu 'ueSunqnqraq 3ue,( upuaq-upuoq uelsrs qenqos upueq ntus upedu,{ueq efte1eq SueA putalut {tslndut r(r3 uelnluaueur n1-red e111
'uulny.radrp 3uu,( u1l1uu.reu11
uu8unqnq qelo.reduraru uulep eunS.req (ueledacel) ulrluuraurl ue.r8-urp 'ltrunt Iudruuu uelu.re8 eIrI luos qBnqes rsnlos Inlun uelqnlnqrpurul uueuusled-uueruusred ellf DltlvwauDl uEIEunD -uflDraautx
'tudel 8uu,( quru rlull?p -ruln8uunEle rueurl luntuatuou upplolal upluunc .wnluauoh[ uqDYa\ax
'g epueq ussuur tesnd uulnq 8uu,( Illll qpnqosdepeqrel Sunlqrp smuq ruln8uu urnJuouoru B,^ qug uu{snlndrp qulet ulrq'.re1n8uu unlueutoru uBluIoIoI ueeures;ed ur€lup uuleun3rp Buu,( ,.ucru-ou,, nlns-n1ns ue18uu,(uquou Inlun eun8req euulnJal rur uru.r8urp-uul8urq 'epueq-Epueg uelsrs nutu upueq Inlun tunluetuout uup slnd-tur uurSerp uel.ruqueSSueu qEluqor Trleurellu rnpesord ruSuqeg
,9nelu p dupeq.ral (1ou ruln8ue slndtur nele) 1ou ueruotu uulgsuq8ueur urel-srs nule epueq epud eheleq luurotsle ;rslndurr e,(u8 unues ultq upueq-upueq ualsrs nulp upuaq g ussuur lesnd epud nulu g delq Irlrl d?peqjalnlplreq toln8uo umluautow uolnlillill BJuluaues intl qu.re urelup urol-srs nutu upueq upud ulreqaq 3uu,( 1uu.ra1s1e;rs1ndulr eKeB npn rypl v1qnlueuel qEJu ruul€p n{BIJeq rDautl wnfltawou uDlDlill^l ,snsnql utuces'ueleun8rp ledep ruln8uu nele reeurl rlntueuotu uelulaIel qu>1edu uu>1
-e1u(urp tedep uluru 'seqeq-€puoq uru.r8urp uuq 'Srslndrur u,{u8 uu8uepuulSurpueqrp ulrq lrce{ rnqutelrp 3ue,( u,(u8 durl nelu .8uu8o-ret
trlrpos8ue,( se8ed u,(u8 'upueg teJeq rJep rrrp.ral ..;rslndur 1el 3ue,( e,(e8-u,(u3,,'tu{8urs 3ue,( n11em {nlun 'ulnun B-rpces '.grslndurr lupll,, nelu .grslnd-ur,, r{BlBpB .len1 e,{e8 derl qurydu uu1e1e,(u rur ue;3erp rrug .uu{nqurnl
euulas epueg uelsrs nelu Bpuaq Intun seqoq-upueq ue.rSurp luquru8uup ( 'r lersraut uuncu u13uure1 quluuldutel .sDqaq-Dpuag uotBotq
'lur lnlueqrnpesord ueleunSSueu Inlun uelueresrp u,(uuuduJel lruujl
.uuuu/\\
-u1.raq rdu1e1 eruus 3ue,( snrnl sr.ru8 ue8uusud urelep rpufiet e{alotu uu-arEI 'srsrleuu rrep tsuul.urlarp {tnqule{rp
1e1 uq8unru 8uu,( ,uelsrs ue1-ep elreleq 3uu,( leurelur slndur '.epuaq-Bpueq tualus vped rur uEBrltBS-:ad - ueeures;ed uu>1uun33ueur uu8uep'u,(utn luu1e5
. uelluos.radrp Bue(
rrIE\\ apoued qolalas pdal upueq.uqle ruln8ue netp reeufl uuludacel-i!\nluaualu Inlun uu{uun8rp ruln8uu nulu JeourI tunlueuou uelele)el:\:'x 'rnqeta{rp upueq leiue .re1n3uu nule Jueurl ueludace>1 ue)rcpuv
601kl{Ilt\ ff ){ I-\_-{ 3.1- \til^\\')t ErN
SISI]VNY YNJNN UN(SSOUd
tilit; ,9 KTI.IETIKA pLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MoMENTUM
co\ToH 19 - 6Roda 10 kg yang dituniukkan di 19-9a mempunyai
(t.t)i B
inersia /c = 0,156 kg *2. Dengan mengasumsikan bahwa roda tidak seli
atau memantul, tentukan kecepatan minimum vG yang harus dipunyainyagar tepat menggelinding melalui penghalang di A. .,
SOLUSI
Diagram Impuls dun Momentum. Karena tidak te{adi selip atau peman
tulan, roda pada dasarny ^
berputar terhadap titik A selama kontak. Kon
disi ini ditunjukkan di Gambar l9-9b, yang masing-masing menyat
momentum roda lepat sebelwn tumbukan, dan momentum roda tepat sete-
lah tumbukcur. Hanya dua impuls (gaya) bekerja pada roda. Dengan mem-
bandingkan, impuls di A jauh lebih besar dari impuls yang disebabkan
beratnya, dan karena waktu tumbukannya sangat singkat, maka berat da-
pat dranggap tidak impulsif. Gaya impulsif F di A mempunyai besar dan
arah 0 yang tak diketahui. Untuk mengeliminasi gaya ini dari analisis,pelhatikan bahwa momentum angular terhadap A pada dasarnya kekal
karena (98,1Ar)d = 0.
Kekekalan Momentum Angular. Dengan acuan pada Gambar 19-9b,
( (+) (Ha)1 = (Ha)2
rtm(v6)1 + I"a, - rm(v6)2+ IGa.)
(0,2 m - 0,03 mX10 kg)(r,6)1 + (0,156 kg rn2)(ro,) =
(0,2 mXl0 kg)(v6)2 + (0,156 kg m2)(ro,)
Kinematika. Karena tak ter'1adi selip, secara umum o = vGlr =5r,". Dengan mensubstitusi ini ke persamaan di atas dan
hanakan didapatkan
ffii'. {0,1 - 0.(rl) ,D
+
v6/0,2 m =menyeder-
(t)
Gambar l9-9
(vc)z= 0,892(v)1
Kekekalant Energi *.Untuk menggelinding melewati penghalang, roda ha-
rus melewati posisi 3 yang digambarkan dengan garis putus-putus di Gam-
bar 19-9c. Jadi,.iika (r,5), [atau (u6)1i harus merupakan suatu mininrum,rnaka energi kinetik roda di posisi 2 perlu sama dengan eneryi potensial di
posisi .3. Dengan membentuk garis acuan lewat pusat glavitasi, seperti
ditunjukkan di gambar, dan dengan menggunakan persamaan kekekalan
energi, didapatkan
{T,r} + lV2l = {7.} + { v3}
lVz\o ks)(vc)Z +t/z(0,156 t<g m2Xto,)2) + {0} =
{0) + {(98,r N)(0,03 m)}
Dengan mensubstitusi ar= 5(v6).t dan Pers. I ke dalarn persamaan ini,didapat
(Yc)r = 0,729 mls - Jawaban
+Plinsip ini ticluk berluku selann tunfuukur, karcna energi hilang selanra tunrbukan; narnun,
tepat setelah turnbukan prinsip ini dapat digunakan.
0I-6I rsqurec
uDqD$Df( slplt ZZqO =zauulledeprp u,(uuulqucauretu uup I 'srad [uulep a{ rsnltsqnsueur uu8uoq
zco (ru St'g) =z(qa) zco (ru S'0) = z('n)
ueltedcprp )Ol-61:equBg I.IBp 'O 1p ttdeltp 3uu1uq Buaru) 'Dtl?rDwautx
(t) zrL1V'O +'(D,)gg'7 + z(Bn)g00'0 = 6€0'l
11l?1tr
zro[.(ru I)(3I S)%] + (tu S'0) + z(',r)(3>1 S) + (tu Er'O)'(B,rXBl 7OO'O)
= (ur 91.6)(s7ur oOt soc 00?)(3I ?00.0)
zrel * (ru g'g)z(c,r)vra + (u g2'g1z1tn1flu = (ru gl'0)o0g soc l1B,r;srrr
ii$'*:r
'(oilz = t(oH)Z(+) )
uu4uduprp' qOV 6 I ruquuD ueq'.n1n8uy unfltauo hl ttDlDrlillax
rgx*lJla
a{:i)ii;.!}rr
.1.ry; {:r1
'rur Iplt depuq.ra IUIoI rel-n8ue unlueruou nll BuotEI uep 'lou qulupu u,(tr.lesup epud p 11tu dupuq
-.rel rur slndut ..uaulotu.. uel)ttuop ue8uep uup llllpas 1u.ra3.raq r,(uuq
3uuluq '1e13uts lu8ues qulepe'/V 'uelnqunl nUe/$ eueru) '8ue1uq eltes
nrnlad tu;aq uBp O Ip lquer uBlquqeslp ualsts dupuq.rel 1uu;als1e 3uu,(
slndut 'slndtur uu.r8urp epud uu11n[un1tp rgade5 'y Ip uutts^{E[.raq rdulel
eues Euef putarut spdwr relnileq 3uu1eq uup nrnled 'uu1nqunl BLul?[
-aS'uwpquru qDpps pdat uop tunlaqas 7rda1 uelluque8tp urnlueutoru
ruur8erg 'qol-61 requuD rp ueplnlunlrp tunluetuoru uep slndul tuu-r8u
itJ -lp']Bqrlrel 8ue,( drsut:d uulselelueut lntun 'leB8unt ualsls ru8eges 3ue1
-eq u€p nrnled duSSue8ueu ue8uep ue{nluollp ludep uclnqunl qulales
tedel Sueteq ruln8uu ueludacel uup sISIlsuB IrEp lsuultulIolp ludup Suuteq
-J epud nrnled ueltieqrp 8uu,( s1ndu1 'unluauory uop s1ndu1 uto.tSotq
\ { ISn'IOS\ ;"- .-=i- .U{U
-ruelep tp ruuueual nrnled qulales ludal Suuluq reln8uu ueludecal uulnl-uar ':equru8 upud uullnlunltp tlrades's/u 00t ueludecal uu8uap 3uuleq
-irrp e)i uEIIEquetlp 3 y n.lnled qunqos uItI 'tuutp uJnu-BIntu uup O: :ideirp D0t-6 I reguuD tp uu11n[un1tp 8uu,( 31 g Surdruur 8uu1ug
+ i.:i n: Eg,i1i...,.. I
ijt ..L.
+iI tu Er'q1
lS,1:.r! i
-rr EoJ.iolttlr)IDr:t-ttc xl\)t 3.r rx-\vrllw
Ifi? B{B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MoMENTUM
rle.4 TUMBUKAN MIRING (ECCENTRIC)
rfft,''.i,.
,
,, ,,.:i:, i
4@'r.'r--* *t'"u:ll*
I t)bidang turr-
" bukan
Gambar 19-11
Konsep untuk melibatkan tumbukan sentral dan miring antar partikel-par-tikel telah disalikan di Subbab 15.4. Sekarang kita akan mengembangkanpemecahan ini dan membahas tumbukan miring dua benda.Trlmbukan mi-ring terjadi bila garis yang menghubungkan pusat-pusat massa kedua ben-da tidak berimpit dengan garis tumbukan.i'Jenis tumbukan ini sering kaliterjadi bila satu atau kedua benda terhalang untuk berotasi terhadap suatu
sumbu tetap. Perhatikan misalnya, tumbukan antara dua benda A dan B,yang ditunjukkan di Gambar 19-1|a, yang bertumbukan di C. Benda Bberotasi terhadap sumbu yang lewat titik O, sementara benda A berotasi dan
bertranslasi. Diasumsikan bahwa tepat sebelum tumbukan B berputarberlawanan jarum jam dengan kecepatan angular (rrls)1, dan kecepatan titikkontak C yang terjadi di A adalah uo. Diagram kinematika untuk keduabenda tepat sebelum tumbukan ditunjukkan di Gambal 19-llb. Andaikanbenda-benda adalah halus di titik C, gaya impulsif yang saling merekaberikan diarahkan sepanjang garis tumbukarr. Jadi, komponen kecepatan
titik C pada benda B, yang diarahkan sepanjang garis tumbukan, adalah(va)r = (ors)1r, Garnbar lg-llb. Demikian juga, pada benda A komponenkecepatan (ua)1 sepanjang garis tumbukan adalah (v,1)1. Agar tumbukanter.ladi, (va)1 > (us)y.
Selama turnbukan gaya impulsif yang sama tetapi berlawanan P di-berikan antara benda-benda yang mengubah bentuk mereka di titik kontak.Impuls yang dihasilkan ditunjukkan pada diagram irnpuls untuk keduabenda, Gambar l9- I lc. Perhatikan bahwa gaya impulsif yang terjadi di ti-tik C, pada benda yang berputar B, menghasilkan reaksi .iepit impulsifpadai jepit penopang O. Pada diagram-dia-eram ini diasurr.rsikan bahwatumbukan menghasilkan gaya-gaya yang .jauh lebih besar daripada beratbenda. Jadi, impuls yang dihasilkan gaya berat tidak terlihat karena mere-
ka diabaikan dibandingkan Jn ar Oan irnpuls reaktif di O. Bila deiormasititik C adalah rnaksimum, C pada kedua benda bergerak dengan kecepatan
sama v sepaniang garis turnbukan, Gambar l9-lld. Selanjutnya ter.jadiperiode rcstitusi (penrulihan) saat benda-benda cenderung memperolehkernbali bentuknya yang semula. Fasa restitusi menghasilkan gaya impul-sil R yang sarna tetapi berlawanan yang bekerja antara benda-benda seper-ti ditunjukkan pada diagram impuls, Gambar 19-lle. Setelah restitusibenda-benda bergerak menjauh sedemikian hingga titik C pada benda Imempunyai kecepatan (v6)1. dan titik C pada benda A mempunyai kece-patan (ua)2, Garnbar l9-llf, dengan (vfi2> (r')2.
Secara umum, soal yang melibatkan tumbukan dua benda perlu mene-tapkan kedua besaran yailg tak diketahui (v11 dan (v6)7, dengan asurnsibahwa (r,o), dan (v), diketahrzl (atau dapat ditentukan dengan menggu-nakan kinematika, metode energi. persamaan gerakan, dan setelusnya).Untuk nremecahkan soal ini dua persamaan harus dituliskan. Persanruttnpertama biasanya menyangkut terapan kekekalan mornentum angular padadua benda. Dalam kasus kedua benda A dan B, kita dapat menyatakanbawah rnomentum angular terhadap titik O bersifat kekal karena impuls diC adalah internal terhadap sistem dan impuls di O menghasilkan rnomennol (atau impuls angular nol) terhadap titik O. Persanruen kedua diperoleh
+Bila garis-garis ini berimpit, maka tumbukan sentral tcr-iadi dan pelsoalan dapat dianalisis
seperli yang dibahas di Subbab I 5.4.
7-
i
{ lt1
(uu8unqruus) II-6I rEqwEC
uu{nqunl qulelas uc}udacal
'(rn)-n ='(r.)r-r, _,pd[ _.;r1"4= il-r,nF=i{:'
uultuduprp'a ue)snurnreu uup'lp UJ uup
ip gJ 1nlun Sursuru-Sursuru 6l-61 uep 8l-61 'sred ue)qucaueu ue8ueq
(ot-ot) z(srr)ot = tp u Ir + tool(+) )
uu>ltudeprp'A t-g uup'rl l -6 I
' p l l - 61 ft qureD'uu)nqunl r{Eletes ludet tees reduus tunrursleru rspu.roJcp
lees r-rep leln8ue runlueruoru uup slndrur drsurrd uuluunSSueur uu8uep'u8nl uerlnueq 'O Illll depuq.rel g epueq ers-reur uoruoul qulupe 07 Iuls lq
(sr-or)rool=1pa{t+t(sa1o1(+) )
uellrsuq8ueur 'p 1 1
-61 uep rll-61 'qlf 6l leqtueg 'tuntursleru tseurro;ap lues rudrues ue>1nq
-unt unleges lude] IBBS rrup g epuoq eped ueldu.lelrp 3ue,( tuntueruouuup slndr,ur drsur.rd 'rur Blec uellnlueleu ue8ueq 'ue{qntnqrp 8uu,( ueeuus-red qeyo.redrp u,(ulnluelas 'rur Irseq-lrseq rsuurqurolSueu uu8uoq 'qusrd-ret
uiures y uup 5, upueq epud g IItp dupeq.ret reln8ue untuatuotu uup slndurdrsur:d uuluunSSueu snreq Blntu-ulnru elrl uun8req 3ue,( 1n1ueq uruluprur ueetuus;ed unsn,(ueu Inlun rser.u.lo;ep slndrur depeq.ret rsnlllscr slnd-trrr orsur qulupu 3uu,{ 'a 'rcnlusat uarsttaotl rsrur}ep uuluunS8ueu uu8uop
uulnqunlunleq.s
uuluda:ax&
ffi
L!
{ rtl
Lunrursl[r(r rsBuJoJap luus uu]udaralISULTI
-:o1ap slndurt
...'.'' ..,1.:i '' .....:' rr rt i ..1:::. ......r-,J _.V':.a
.r :::::lIii
;t'd.l
g':r. ltt!ii.,\ t,,;
tl::i:i:r.
' -::t
I
: YI) i i.';+-n
I
,; 'ili *
ttt\l{U\:b}JC X L\tl 3J Yt{ I.\\) Ehl
I.T &\8 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
jt:
i.t.:,:|i.,
t
bidang tumbukan(iri
Gambar 19-11
Dengan cara sama, dapat dituliskan sebuah persamaan yang menghu-bungkan besarnya kecepatan benda A (va)1 dan (v1)2. Hasilnya adalah
()_ "\-a1,.
:,:i,
.i
:ti --'-/.-.ii':I' I
,i guis tumbukan
,=*#
Dengan mengkombinasikan persamaan di atas dengan mengeliminasi ke-cepatan yang sama v didapatkan hasil yang diinginkan, yaitu,
(+t) (,r), -(,0), ( r9-20)9=-- (,o ), -(,u ),
Persamaan ini identik dengan Pers. l5- I I , yang diturunkan untuk tumbuk-an sentral yang terjadi antara dua partikel. Namun, Pers. l9-20, menyata-kan bahwa koefisien restitusi, yang diukur di titik kontak (C) antara kedua
benda yang bertumbukan, adalah sama dengan rasio kecepatan relatifpemisahan dari titik-titik tepat setelah tumbukan terhadap kecepatan relatifpada saat titik-titik saling ntendekati, tepat sebelum tumbukan. Dalam me-
nurunkan Pers. l9-20, kita asumsikan bahwa titik-titik kontak kedua benda
bergerak ke atas dan ke kanan sebelum dan sesudah tumbukan. Jika terjadigerakan salah satu titik kontak ke bawah dan ke kiri, maka kecepatan titikini dianggap sebagai besaran negatif di Pers. l9-20.
Seperti dinyatakan sebelum ini, bila Pers. 19-20 digunakan bersamaan
dengan kekekalan momentum angular untuk benda-benda, maka ia meng-hasilkan persamaan-persamaan yang berguna untuk rnemperoleh kece-
patan dua benda yang bertumbukan tepat setelah tumbukan.
uDqD$D[ ( sTpur 6Z't =za+ s/ru 96'| = s/ru 96, I - =
Z(g a)
z(gn)-Zorg'0=9't
0-s/w'6,(rn)- r(*.E,0)= n'0-a (s)
**,\1 ledeprp 'rzl-61 JBqrupD epud uencu ue8ueq .lsrygsay ualqlaoy
,,Si:_ (r) z, 6869'r +z(8a)L6os'0 = zL89'ts;',6=t1x;r}
uleut'zcog'g = z(9 n) Eueru)
[ _sru:'t3'O zrl (,sAu.tS.O\''[,(., r) jft;,].{* tol'('0{.#.J
*(* s'o) 1 "^)[#f) = t*, o1r-{#)ztet * (u g'g)z1ca;uu + $u 9'O)r(OBur = 1tu E'g)r1s,r)su1
z(vti = t(vti (+1)
epedue>llnrunlrprlrades"dJ;,I";'rll:[:]x:f#d",Ht[ff ;',T::-eI qere uelrluqladueru ue8ueq tts1ndwruou qBIBpE Buuluq uep eloq le.l-eq 'e8n1 'lDuratut qulepe Eloq uep 8ue1eq e-re1ue grslndur u(u8 uualel y1pp depeq"rel leloI qulepe:elnEue tuntuetuohi .qU-61 requtBD ,rrclsrs
tu8eqes 3uu1eq uep uloq uulquqred ..n1n?uy tanluauohl uop\qax
ISnl0S
'r'0 = a qBIEpB Isnlllser uorsrJeo) 'uDlnqunl qulal-:s :idat 3ueteq.reln8uu uuledacel uulnluel ,s7ru
6 uuludecel ue8uep u,(u-..:-: )inqunuaru uep 3uu1eq eped uu1-reduollp N 0l g uloq qenqos ulrt:l -:. ipqueg'y yp rrdel'eped uelSunluu8lp N 0g Surdurul Bueleg
HI EOI\O
I l L tlfiIft\]c Yi\t{3"l Y)r\\.xEr^r
IT B.\B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
SO.{L.SOAL
l9{5 Pirrngan yang berputar sebuah gramotbn ?" mas-
..:lla 0.7-5 kg dan jari-jari girasinya k. = 125 mm.
Cramotbn berputar secara bebas pada rr:,. = 2 rad/s bila
pelat rekorder (cakram tipis) 50 g jatuh di atasnya. Ten-
tukan kecepatan angular akhir piringan yang berputar
tepat setelah pelat rekorder berhenti tergelincir pada
piringan yang berputar.
Soal 19-46
19-47. Masing-masing dari dua batang ramping dan
cakrarn mempunyai massa yang sama rn. Juga, panjang
rnasing-masing batang sama dengan diameter cakram
11. Jika sistem gabungan ini berputar dengan kecepatan
angular ro, bila batang arahnya keluar, tentukan
kecepatan angular sistem gabungan inijika dengan ban-
tuan internal batang dibawa ke posisi vertikal tegak.
Soal 19-47
*19-48. Dua roda A dan B massanyamodan mr,dan ja-
ri-jari girasinya terhadap sumbu vertikal pusat mereka
adalah masing-masing /r, dan ku. Jika roda-roda bebas
berputar dalam arah yang sama pada rrlo dan co, ter-
hadap sumbu vertikal yang sama, tentukan kecepatan
angular roda-roda yang sama setelah mereka dikontak-kan dan geseran antara mereka berhenti.
19-49. Batang ACB 2 kg menopang cakram 4 kg di
ujung-ujungnya. Jika kedua cakram diberi kecepatan
angular searah jarum jam (roa)1 = (roa)r = 5 rad,/s se-
mentara batang ditahan stasioner dan kemudian dile-
paskan. tentukan kecepatan angular batang setelah ke-
dua cakram berhenti berputar relatif terhadap batang ka-
rena resistansi gesekan di jepit A dan B. Gerakan ada da-
lam bidang horisontal. Abaikan gesekan padai iepit C.
19-50. Pecahkan Soal l9-49jika cakram A diberi kece-
patan angular iro4)1 = 5 radls searah jarum jam, dan ca-
kranr B mempunyai kecepatan angular = (ora)r = 3 radls
berlawanan .jarum .larn.
0.7n$ ----;--S.75in
{lr}.-i rr
Soal 19-49/19-50
19-51. Satelit angkasa mempunyai massa 125 kg dan
momen inersia /- = 0,940 kg m2, tidak termasuk keem-
pat panel sel nratahari A, B, C, dan D. Masing-masing
panel sel matahari mempunyai massa 20 kg dan dapat
didekati sebagai pelat tipis. Jika satelit mula-rnula ber-
putar terhadap sumbu I dengan laju konstan rrr- = 0,5
rad/s ketika 0 = 9Oo, tentukan laju putaran jika semua
panel dinaikkan <ian mencapai posisi ke atas. 0 = 0o,
pada saat yang sama.
,lr*,
Soal 19-51
r,r(fer 1= $i
ss'6l tBos
.{ew dell uernln uEp trBlese8 uBIIeqV
l,relnd-rpeuol depeq:el rnlnlp 's/.u 7 uenfelel ue8uep
, + qBJB urelep letuoslroq plecos ren1a1 leduoleur uutp
-nrueI g BIrf rulnd-rpeuol rEInBue ueludecel qe4eder
-ag :etnd-tpeuo>1 depeqret rnlntp's4u 7 uen[u1e1 uu8u
-ep ?/- qEJp rlepp lpluoslroq ercces :en1e1 ludwolaruy e{lf ;elnd-tpeuo>1 :uln8uu ueledecal uelnluelru g'0 =
:7 e,(utse:t8 rref-rref uep 31 g31 qulepe :etnd
-rparuol pss?ru 'I?u?-Ieue eduul 'speJ Z - or uu8uep
.rrrndroq Suepes 3ue,( :elnd-rparuol rdel rp 1npnp '3>l
69 r(uessuru Surseur-Sutseu 'B uep y ryue Bn( '5S'6I
,s-6I IEoS
,{
; 5-"I ;rr'-r-r-i: : -: r:-{::- 'JE){lEqY lotttoSttOq SUOp
d *rF: :;v "r'p*)- , --::irq rp uelese8 rsuulsrser
r.E-:n*i ?Mtr .BaElt-;l _*::r; :.j jr:iOjxl rluaqjeq uBlIuJ:m;-ua i.u'au .rrnnirrm J:E::-r::y'irr{nlual'uelsedalrpiTTftxlrTt,mu,itli,.,,Q:-\ ;r--.: ilrtrq Blelueues
tEE-.: i - Jn rmdur mf::;:;r -:e::: 'lijrr{EJ t1r1 e,(u
-ir*n g \ ;- rumt iume--up- \ ; gF ;-uueg '7961
'5-6I IEOS
;Sueleq uu11e83urueur Br Bllle{ ue3o1 utcutc uen[e1e1
qerydereq 'u8n1 Sueteq uep sudel Suuqrel rncunleul
ruu3o1 urcurc unleqes tedet Suetuq reln8ue ueludacel
uB{nluet 'uelsedelrp urculc uBp u,{u3un[n depeq:a1
ar uped :e1nd.raq seqeq SuEtEq e1r1 'e,(uqeSuel IFlt lpSueleq eped uBDIBlel1p 3ue1eq esseur ledue:edes e,(ues
-s?u uep uelruqerp ledup e,(uuu.rn1n Suef snpq uu3o1
ursurJ 'r, B,{uEsselu uep 7 u,{u3ue[ued Suerg '99-61
zs-6I IEoS
'uBBunl
-rq:ed urelep ueqeq uernln uep ue8uel ESS?u uelreqv'z nquJns dupuqrel ur ll'0 =
:7 e,(urserr8 r.re[-r.rc[ uep
p 6199 8ue:o lejeq wllsunsy 'ru1nd nquns uep u"r ['0uBlep eI lrrBllp uEqeq e>ille>1 e,{u:u1n3ue ueledecel uu>1
-nluel 'rul rsrsod ruepp sTpe: 6 uu8uep relnd.req er u4J'Suetueret 3uu.( uu8uel ue8uap N SZ ueqaq enp Suu8eu
-eu up8uep relnd rs:n1 p Inpnp eud Sueroa5 'Z5-61*
I
.{lrl
li
1
"l-. {'l'
LILrt{Ilft}il( t{L$I:tt r)t.\\ryEl I
IT &{B 19 KTNETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
t}f iiruah cakram tipis yang massanya,fl mem-
urnrru kecepatan angular ro r. ketika berputar pada per-
fir]i(.En yang halus. Tentukan kecepatan angular baru-
-rli tepar setelah kait di tepinya menumbuk pasak P dan
:xram mulai berputar terhadap P tanpa melambung.
SoaI 19-56
19-57. Batang dengan massa ,n dan panjang Ldilepaskan dari keadaan diam tanpa berputar. Jika
batangjatuh sejauh L. ujung A menumbuk kait S, yang
menghasilkan hubungan yang tetap. Tentukan
kecepatan angular batang <rl setelah ia berputar 90o.
Perlakukan berat batang selarna tumbukan sebagai gaya
tidak impulsif.
19-58. Seorang pria mempunyai momen inersia 1- ter-
hadap sumbu z. [a semula diam dan berdiri pada sebuah
panggung kecil yang dapat berputar dengan bebas. Jika
ia memegang roda yang berputar dengan ol dan mem-
punyai momen inersia / terhadap sumbu putamya, ten-
tukan kecepatan angulamya jika (a) ia memegang roda
tegak ke atas seperti ditunjukkan pada gambar, (b)
memutar roda ke arah luar. 0 = 90", dan (c) memutara
roda ke 6o*26. B= lg0o.
19-59. Jika orang pada Soal l9-58 diberi roda itu ketika
roda diam dan ia mulai memutarnya dengan kecepatan
angular o, tentukan kecepatan angularnya jika (a1 ia
memegang roda tegak ke atas seperti ditunjukkan pada
gambar, (b) memutar roda ke arah luar, d = 90o, dan (c)
memutar roda ke 6u,r36, B= 180o.
Soal 19-58/19-59
*19-60. Tentukan ketinggian h di mana bola bilyar
bermassa m harus dipukul agar tidak terjadi gaya
gesekan antara bola dan meja di A. Asumsikan bahwa
tongkat kiu C hanya memberikan gaya horisontal P
pada bola.
-.1-
ji
t,
----T-
v. I ?::r::.:arari.*I:.Pii jij
t.
i:
Soal 19-57
Soal 19-60
'y Ip rIeBreB Euedoued uep sudel ueluruel qureas :ulndraq uep 'g lp rfeS:a8 Suedoued eped
:elndleq uep Inqunueu 'y depeqret ruef urruel qurues
.re1nd:eq er:eEu qnlet uedud qelales r[e3:e3 Suedoued
lucund I.IEp ItEu uBIP J 3un[n r38url ed€Jeqes
us{nluol 'tuprp uetpee{ trep uelsedsllp uep rfe8ra8
Suedoued lecund sute Ip u 9'0 uEIIIEUIp g Sunfn e1t1
g usp y ]p r[e8:e8 Suudoued enp selu tp uslp er uBp'5t
rp rselrne.r8 tesnd '51 0S I lereq ru,(unduau uede4 '99'61
,9-6I IeoS
'u,(u>1nq
--:t-;!il .L:riif:-: :- ,: -: r--,-- -:!t a-unquEleu lepnj!: :r::Lm: n;,u'rr!r r:- J-:.. :.) 1rta1:al:e1n3ue
-'t:a-=::it lr""Irril;l ;r';r ':j .;1; -;';tii'1111lp luadas;)1ri':=5:: irn; -s'srr rr'iq'f-- r--L--'i-''-ll ulules eIIf't .Sti--f'
- -n 7.(Si'.L .-::::--'- --:j\TJ 't9-6I-
g9'6I IEoS
si iii
'uE{nqlunl quleles ledel uBJIuc
reln?ue ueledecel uelnluel '1 = a 'n1re,{ 'uu:nduas
Illwta qeppe uElnqurnl e)Il1 '3uu3e1 rpefuetu 1eqe1
ulnlaqes ru g'0 uelqnle[rp ueqeg 'ursrleo r8urlrla8usru
ue{ttgllp uup N 0g ueqeq Bped UEI1e{llp 8uelued:adtp
tedup Iet 3ue,( leqe; 51 gg1 e,(ulereq y tueqeJ'C9-6I
29.6IlI9.6I IBOS
't uef-uel ueP tu essutu ue8uaP
ruer{uc qel€pe epueq e{l! I9-61 p?os uelqe3ed '29-6I
'3ur:rur Suuprq IIPuoul 8utpur1e83ueu te1
-nru tedol er urlrle>1 e,(u:eln8uu ueludecel uulnluel '8unq
-uelotll nelB dtlas rypU etoq EIIB Io :eln8ue uutudeca>l
ue8uep luluosuoq Sueprq Suuluudes drles eduul Sutputl
-a88uotu uup I{/ esseu te,(un,(dureu rcped elog '19-61
S9.6I IEOS
I- -
=ur
sf, f.q'tu $t' r,)il*[r$ 6'$
.: .1
*t.4
6Ltrt{IItY\J{ --iL\]f.I tl{I-\\)EI tr
A &{B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
!}{, Sctr:ah peluru 7 g yang mempunyai kecepatan
r{tlr. r-s ditembakkan ke dalam tepi cakram 5 kg seper-
: iunjukkan pada gambar. Tentukan kecepatan angu-
= cakram tepat setelah peluru tertanam di dalamnya.
Juga. hitung seberapajauh I cakram akan berayun sam-
pai ia berhenti. Cakram semula diarn.
tI1,l us 800 m/s
19-69. Batang ramping AB 30 N dilepaskan dari keada-
an diam ketika ia berada pada 7ro sisi horisontal sehing-
ga batang mulai berputar searah jarum jam. Sebuah bola
5 N dilemparkan pada batang dengan kecepatan v =15 m/s. Bola menumbuk batang di C pada saat batang
ada pada posisi vertikal seperti ditunjukkan pada gam-
bar. Tentukan kecepatan angular batang tepat setelah
tumbukan. Ambil e = 0,7 dan d = 0,7 rn.
19-70. Batang ramping ,AB 30 N semula diam, digan-
tungkan pada posisi vertikal. Sebuah bola 5 N dilempar-kan pada batang dengan kecepatan u = 15 m/s dan
menumbuk batang di C. Tentukan kecepatan angular
batang tepat setelah turnbukan. Ambil e = 0,7 dan r/ =0,7 m.
19.71. Batang 30 N semula diam, digantungkan pada
posisi vertikal. tentukan jarak r/ di mana bola 5 N, yang
bergerak dengan v = 15 m/s, harus menumbuk batang
agar ia tidak menghasilkan impuls horisontal di A. Be-
rapakah kecepatan angular batang tepat setelah tum-
bukan?Ambil e=0,5.
l: = lll rerh
Soal 19-69i19-7 0ll9-7 I
*19-72. Bandul terdiri dari bola padat -50 N dan batang
20 N. Jika bandul dilepaskan dari keadaan diam ketika
0t = Oo, tentukan suciut d, setelah bola menurrLruk din-ding, merlantul, dan bandul berayun naik ke titik di
mana ia berhenti sesaat. Ambil e = 0,6.
-)t ti r,,
Soal 19-66
19-67. Kedua cakram masing-masing beratnya 50 N.
Jika rnereka dilepaskan dari keadaan diam ketika 0 =30", tentukan d setelah mereka saling bertumbukan dan
melambung. Koetlsien restitusi adalah e = 0,75. Bila 0
= 0o, cakram tergantung sehingga mereka tepat hanya
saling menyentuh.
*19-68. Kedua cakrarn masing-masing beratnya 50 N.
Jika rnereka dilepaskan dari keadaan diam ketika d =45". mereka saling bertumbukan dan melambung.
akhirnya sesaat berhenti ketika d = 30". Tentukan koe-
tisien restitusi antara cakram-cakram. Bila d = 0".
cakram tergantung sehingga mereka tepat hanya saling
menyentuh.
Soal 19-72Soal l9-67119-680.3 n-,
9t'6I leos
'2 qBlepe rsnltlsel uetsqeo)'uuxepun {nqunueu tJoq BItq drles epu IBI uu)rsunsv'rpel..rar 1uluo1 uuetu Ip d tnpns u?Inluel 'Z,r uuled
-ara1 ue8uap uelupun HBp l€luostroq EJEres lnlueu-eu rr elrf :usul 3ue,{ uelepun rdal epud I,r ue]edec
-e1 ue8uep uulqntelrp il/ usseureq lupud elog '9L'61*
5I.6I IBOS
. i-r--jeru er r33uu ede:eqeg 8'0 = 2 qeppe lsnlllsa:
-;:._-a \ :rclnrured rlep IBIIUaA eluJes Inluuruau:r:,: -r't'; :,.r1n1:adrp 3ue,{ Iro 1r1eq uerelnd uu1nl
'::r : :\ :E jat {€l eSSurqes Jusul qeuel e41 ':eqtue8
:r:E: :rE-rii- jrtif r.uedas s/u1 7 - l'\19n1 uep s/ur Z ='. "- r *r*rrq u.'-rsseu lesnd ueledecel ueuodtuol 1e]
-i!-l F1N l-': ::-i,:q uer)rtuepes qBuel tp ue1:edualtp,; . i, -_: -= .-r..:ri 31 0l leped eloq qenqas .St-6I
,I-6I I€OS
'a ei(ursnlrlser uersqeo)'uulnqtunl qeleles ledal u,(uessetu lesnd ueledeca>1 uau
-odruol ue{nluet 'dr1es rpehat Iu] eSSutqes IESE) quuut
E{rf :r?quu8 Bped uellnfunlrp rgedes lr(',r) uep lxlCo;
ueledecal ueuoduol uup lor.rulnEue ueludecal re,(und
-ueu Pr {Etuo{ lBEs epud uE8utq usrllurapes qeuEl Ip
ue{reduelrp xaesseu uBSuep lBpEd Bloq qBnqas'tt'6l
ga'6l IEoS
.leluel
ue8uep uelnqunl qelelas ln]uuueur 3ueleq Sunfn 13
-3uq ede:aqas uelnluol 'L'O= a qelupe B Ip ueluluuq uep
ruluel uJelu€ rsntrtseJ uelsueol eIU lullua^ tstsod r:ped
usrp ueEpcel lrep u?Isedellp N 9t By SuBllrg 'gL-6I
I^ lIII
'"8-
ffi.
,zlTI{ I TWNIC :)IN)I:IJ, VXNV)IIIhI
I
fr, BAB 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MoMENTUM
TTNJAUAN ULANG 2: KINEMATIKADAN KINETIKA PLANAR SEBI]AHBENDA TEGAR
Setelah menyajikan berbagai topik tentang kinematika dan kinetika planardi Bab l6 sampai 19, kita sekarang akan meringkas prinsip-prinsip itu dan
mernberikan kesempatan untuk menggunakan mereka pada solusi berbagaijenis soal.
Kinematiko. Di sini kita tertarik untuk men.rpelajari geometri gerakan,
tanpa mempedulikan gaya-gaya yang menyebabkan gerakan ini. Sebelummemecahkan soal-soal kinematika planar, mula-ntulct perlu nrcrtgklasiftkasigerakan apakah termasuk translasi garis lurus ataukah melengkung, rotasiterhadap sumbu tetap. atau gerakan bidang umum. Secara khusus, soal-soalyang mencakup gerakan bidang umurn dapat dipecahkan dengan acuan ter-hadap sumbu tetap (analisis gerakan absolut) atau dengan menggunakankerangka acuan translasi atau rotasi (analisis gerakan relatil). Pilihannyabiasanya ter3antung pada .jenis kendala dan geometri soal. Dalam semua
kasus, penggunaan persamaan yang diperlukan dapat dijelaskan dengan
menggambar diagram kinematika. Ingat bahwa kecepatan sebuah titik sela-
lu tangensial pada lintasan gerakan, dan percepatan sebuah titik dapatmempunyai komponen-kontponen dalam arah n - r bila lintasan adalahntelengkung.
Translasi. Bila benda bergerak dengan translasi garis lurus atau garismelengkung, maka semua titik benda mernpunyai gerakan yang sama.
vB = vA lB= aA
ROTASI TERHADAP SUMBU TETAPCerakcm AngularPercepatan Angular y-attg berubaft. Andaikan hubungan matematikadiberikan antara tiap dua dari entpat variabel 0, ot, o dan l, maka variabclketiga dapat ditentukan dengan memecahkan salah satu dari persamaan
berikut yang rnenghubungkan ketiga variabel.
o)=lf o.=7# sd0=arta
Percepotan Angular Konstan. Persamaan berikut berlaku sangat pctsti bilapercepatan angular adalah konstan.
0= 0o+tt.nt+t/zcrr.t2 (D =o0r+ cx,(.r or2 =cui +2ur.(0 - 0g)
Gerakan Titik P. Sekali o dan cr ditentukan, maka gerakan melingkar titikP dapat dinyatakan dengan menggunakan persamaan skalar atau vektorberikut ini.
l-
z1 =z-t 2g + t1
'(D '8puaq rsEloJ ueIEreS uBp ''a 'PSSBur l?snd rselsuEJt uE{ere8 ueSuap
uu8unqnqJeq SueX uureseq IJep IJIpJet Bpueq llteuq ISreuo e/y\qeq qBI1EBUI
'ufto{ uu{tr>leletu SuBi( u,(u3-e,(e8 lsu>IuqueplSueru Inlun epueq sDqaq
-opuaq uorSDlp ryqas qDUoqwDS 'tur. uueuesred uopunS8ueu unleq-eg'uotlopurdtad uop 'uopdacatl 'o(o8 ytlStto{uaru 8uo{. loosloos umfilD)
-awaw Inrun uDpunStp tStaua uop npa>1 uDDwDSrad'|B.raug uep uf.rey
Pol =o(AD7=oWZnlr pq uelEp 'nqutns eped g IpIl depeqrel uolqelunftp ledup uSnl
ueurou 'dotat ?uo{ nqwns doporltal to\ndtaq epuaq u{rl'snsnlpl eJ€ces
d(|W)t=dWZ nBlB n9l =)WZn(?o)rtt
=(lZr(co)w
='dZqEIBpE ue{sre8 ueeulesred e8pey
' (d (l W)Z uaruoru uuqulurn [u ad LuE IBp nlns-nln s
rselguuepr8uetu Inlun uep ueuodruol-ueuodurol LuBIBp eI 9ear r1equ:e1
ue{quceueu Intun uolt{Epnuou eruulnrel tut urur8urq 'sger8 eruces n91
uep cwa ue4utu,(ueur {ntun uulreqtue8rp tedup e8nl elneuu uur8erq)'epueq reln8ue uuledacrad uup ussuttr lusnd ueludecrad qeru uu1du1e1 'u3n1'Bpuaq eped ef;eleq 8uu( e,(e8 untuas lsu{glluepr8ueu 71nqn sDqaq-Dpuaq
wotSorp nleles quluolrequre8'uu4ure8 ueuuusred uuleunSSueur unlaqas'rsnlos rrep uut8uqas 1n1un uolSuuquruedrp nped u>lqeueul{ E{BLu
'uelere8 nl{B^r nElB 'ueludece>1'tstsod uelnlueueu Inlun ueluun8rp e>1r1
'n1r uulere8 uulqeqe,(uau 3ue,( e,(e8-s,(u8 nute ludecradrp ue>1e;e8 uu>1nl
-ueuou {nlun uBIBunBtp rur uuuuresred-ueguesred'UerIBJaC uBsruBsJod'uEInl
-radrp uueuresrad-ueuuesrad uol1nws ?.s/,los UPIIPpUE eIIlBueuII uuetues
-rad duu ue{srlnueu e1pa4 q111dp 8ue,( qeru uu8uep Etues snJuq ryo./y'nlr nquns-nquns ;qtsod qBJE uellslugepuetu uep [eISJeuI leulpJoo1 tuel
-srs uuldelauou Blnu-elnu 1n1un Suquad qelep? 'uelnpadtp Eue,( ueeures
-rad-ueeuesrad ueluunSSuetu ellle;1 'EIIleup{ drsuud uuluun8tp snruq
'uelere8 uulqeqe,(ueur 8uu,( e,(e8-e,(u8 ststluue8uetu {nlun'B)IIlaulXztk1vMs) +ze1waoy*1jZ+ (vtet XCI)r X 75 qvN7 x O + ve -&ti
z[x1vtqs1 +vl{It X 15 + Ya
= g,r
'rncunled 1o1eq nete ure8o1
urcuro qelo nles lpeluaur ue4Eunqnqrp 8uu( .re8et Bpueq-Bpueq uelera8 srs
-rluuu8ueu Inlun ue{Bun?rp tptlSuuas tsolsuort uop tsotor nqruns-nqwns
lvlVay no)x to +vlstx rc+vs -vlgv+vs=8elvle 1 y or) + Ya,
- Vlg^ + Vs = I t
'eures 8ue,( ruEel
epuaq eped {BlelJq ?uufr g uup y{pp unp eped nIEIreq ln{Ireq ueuurusJod
y' r3urlrle8ueur g relSurleur ue4ere8 repeles I{BlEpu y depeqr4 S )tp!,i:t1at uoqota8 eleu 'y ..Jesep {p!,, Ip uB)plulellp tsolsuDtt nquns-nqwnss::0 e $qeg qelte8ul 'J.rlBIeU UulIBJaC - runrun SuBp.tg ue:IBroC slslleuy
lra =uD JD =loJO) =
.1
(rX(r))X(r)+rXD=BJ\o)=A
r)IhMiIo xN)EIr rl{L\\):tr^{ tzt
S rAB 19 KINETIKA PLANAR
dengan
BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
T = l/,mt2^ + Vtl ^a2- U -U
Ur= I F cos ?ds (gayayangberubah)
UFr= F, cos d(s2 - s1) (gaya konstan)
Uw= WLY (berat)
U"=-(Vzksj-Vztcsl (pegas)
Uru = M0 (momen kopel konstan)
Jika gaya-gaya yang bekerja pada benda adalah gaya-gaya konservatiimaka gunakan persamaan kekekalan energi. Persamaan ini lebih mudah
digunakan daripada persamaan kerja dan energi, karena ia hanya berlaku didua titik pada lintasan dan tidak membutuhkan perhitungan kerja yang
dilakukan oleh sebuah gaya ketika benda bergerak sepanjang lintasan.
Tr+Vr=Tr+V,dengan
Vs= Wy (energi potensial gravitasi)
V, =/zks2 (energi potensial elastik)
Impuls dan Momenitm. Prinsip impuls dan momentum linear dan angu-
lar digunakan untuk memecahkan soal-soal yang menyangkut gaya,
kecepatan dan waktu. Sebelum menggunakan persamaan-persamaan itu,gambarlah diagram benda-bebas untuk mengidentifikasi semua gaya yang
menyebabkan impuls linear dan angular pada benda. Juga, tetapkan arah
kecepatan pusat massa dan kecepatan angular benda tepat sebelum dan te-
pat sesudah impuls diberikan. (Sebagai prosedur alternatif, diagram impulsdan momentum dapat menyertai pemecahan untuk secara grafis memperhi-tungkan suku-suku dalam persamaan. Diagram-diagram ini sangat bergunabila menghitung impuls angular dan momentum angular terhadap titik putaryang bukan pusat massa benda).
m(v6)1+: J P dt=m(YG)2
(Ho),+zJMc4=(H)2atau
(Hr),+>JMo67=(Hs)2
Kekekalan Momentum. Jika gaya-gaya yang tidak impulsif atau bila tidakadagaya impulsifyang bekerja pada benda pada arah tertentu, atau gerakan
beberapa benda tercakup dalam soal, maka pertimbangkanlah untuk meng-gunakan kekekalan momentum linear atau angular untuk solusinya.Pemeriksaan diagram benda-bebas (atau diagram impuls) akan membantu
dalam menentukan arah di mana gaya-Eaya impulsif adalah nol, atau
sumbu-surnbu terhadap mana gaya impulsif menyebabkan momentum
angular nol. Bila hal ini tedadi, makam(v6)1= m(vc)z
(Hp)1 = (Hp)2
Soal-soal berikut mencakup terapan semua konsep di atas. Mereka disajikan
dalalm urutan acak agar diperoleh praktek untuk mengidentifikasi berbagai jenis
soal dan mengembangkan ketrampilan yang diperlukan untuk pemecahannya.
t-zu IBos
'delet rBrB epor ler uped SurpurleSSueut
Iulu€t{ 'g uep y IIIF ueludac:ad uep ueludecel uelnluel'^ uctsuol uuludace>1 uu8uap 1uulp ur e41 rBrB upo:
3uopueya8 r8urlrla8tlatu ue{UllllP IIul qunqos 't-ZU*
c-zu IBos
relau urBlup
r elrq uerpur tuelep qeppu snurs {nlun uaunS:e uu8uep' ,-:-r urs sz'0 = : q?lepe SuuiBq uel.ruqueSSueu 3ue,(
:'--\ : j = I ellQ Iut IPll ueludecred uep uuledecel- '
- -r- Sunuq ucp'reseq:el ueludeJJed uup ueledecel
-^-- __).* ;-ue( Suetuq uped lgtp IBlo[ uBlntueJ
-r:E,::.: ' :."-j:jN uglnluel 'uo{os rxulup J ueSuep
:,:q- ;,-- - .-. rrtn8u€ ueledac:ed uu8uep lulSurs:-- --r F r---- ...:'..:ry\cta33ueu roloru qBnqes uup
:i--r:i :: .n r r-. --- : i.:ri rsrsod luEIBp trrelp uEepee{'-r:: r:-:r-: i-::-r-:t _- -.r 'jj qenqas aIg Sunqnq8ued.-:?r4::r*Fl l;i{: -f-} :r:a{rll .rc]nd.taq esledrp
ut? iatrx rr_r.r-r rrJ:l; ;T' -;r: y:tlatrp Suqeg '€-ZU
z'zu IBos
's [ = j uIIleI €r ueleluEq Ip (qnq) Juu qeto lere)tlpuBIr 8ue,( Ioleq uutuquel:ad uup uuludacal uulnluaJ'zs/puJ I uulsuol uulequreped uup s/pul 09 luseqes le^\erelnEuu ueledece>1 te,(undueu y lere{ tSrB epoX '7-7y
T-ZU IBOS
'grslndur IBpp quppu lopq luroq
de83ue uelnqunl EuBleS nnfuwa4 'S'uelnln uuIIuqV'reque8 rp uullnfunlrp Eue,( tstsod tuulup lerepueu utp
e,{ursrs rp 3ur1n8re1 e,(uuulqeqa,(ueu ue{u 3uu,( 1o1eq
ru,(undrp srueq 8ue,( d tunuluttu ueledece4 uElnluel'S llueq8uad lol8q qenqes {nqtunueu 6r lofod u1
-nel snlBq ueelnur:ed uped :ese3:aq N 0s Iopg 'I-zu
',,. t
{1}
9Z'\t{Iltr\xt t{N}l 1_l_ tl{lN\)3hl
NVCNYAn fYOS'TYOS
C l.{ts t9 KI}IETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
G.: Sc-:r-$ han mobil 7 kg dilepaskan dari keadaan
ilrun J !. rda bidang miring dan menggelinding tanpa
uiri r3 rrtik B. yang kemudian bergerak jatuh bebas.
a::rr-<u ketinggian maksimum /r yang dapat dicapai
:= Jrri-jari girasi ban terhadap pusat massanya adalah
, -=0.3m.
R2-7. Batang penghubung uniform AB mempunyai
massa 3 kg dan dijepit di titik-titik ujungnya. Tentukan
gaya-gaya vertikal yang diberikan jepit pada ujung B
dan C batang pada saat (a) 0 = 0o dan (b) 0 = 90o
Engkol AB berputar dengan kecepatan angular konstan
rD4, = J 1261/5.
R2-6. Penghubung OA dijepit di O dan berputar karena
gerakan rnenggeser batang R sepanjang celah horison-
tal. Jika R mulai dari keadaan diam ketika d = 0o dan
mempunyai percepatan konstan ap - 60 mm/s2 ke
kanan. tent.ukan kecepatan angular dan percepatan
angular OAbtlat=2s.
4{O rlsr
Soal R2-7
*R2-8. Ban mempunyai massa 9 kg dan jari-jari girasi
ko = 225 Inm. Jika ia dilepaskan dari keadaan dianl
menuruni bidang tanpa selip. tentukan kelajuan pusat-
nyaObilat=3s.
1{i"
Soal R2-6 Soal R2-8
zt-zu IBos
.EAl1
-l8es ulSuele) 3ue1eq uep IIBI 'loJlEI leloq uup uelase8
u€Iruqv 'g Iopq uped y lol?q qeto uelueqrp Suef
pur.rou e,(e8 uulnruel 'N 009 = d eIIf 'N 0S uup 0SZ
3ursutu-Sutsutu u,{u1e:eq B uep y )topq-IoplB '71-ZUi*
II.ZU IEOS
- --.: ' : - ia\.1 \Epll rur uuSunlqred
:r : ;-fi;.:'.-r ' L: ' - --- :--l'. ::rs cped:t1nd:aq u
--e*;r: r .6a r:r.r. Ir:rir- -1r-I.: ilEq Suei'coi1r1uq
u-,ci :[rrr]'r"[ ]iu-il.xlJ;l l.nrTr-r*{. -!:.:ap :el}[as s4rt
r u?-.ral;=} g-i."rtri:[!]l;rL :"*:n- -i: -:::,:rsa) uDl):l'llll
-raia :rr:r-rsr;r tr.L@ \ -- 7'-:---f- i . fllf II-ZU
OI.ZU IEOS
'uu{
-de:e1rp u N 0t ledoI ueuou cllq Suopuate8 :uln8uu
uElBdecred ul?lnluel 'l'0 = sd qelepu q€uul lp lrleurluuleseS uetsueol uII[ uu o9z = 9;t lepto:1ues tsurt3
ue['-ue[ uup 3>1 67 esseu te,(unduteu r:,(uso:od r8utltl
-e8ueu uu)ttllllp 8ue,( lr:mel uep Suopuelag '91'79
6'ZU leos
':uqute8 rp uu>1>lnfuntrp 3uu,( ier:s uped
J lllp ueledac:ad uep ueludecal uelnlucl'uel tunruI
qBJU uBuB,^ABUeq Jnlnlp Iul lnlosqE ugIEJOS unpe)'slpzt Z :t1n8ue ueludecel re,(unduau 39 Sueteq
uup 's/per C uelsuol reln3uu uuludecal tu,(undueu
gy 3uuteB 'Suuleq enp ucp lltprel epuuS lnpuug '6-711
LZtllil{tNG )ij.\li 1i \ l{l-\Y)ghl
TEl &TB 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
BL:L Tentukan kecepatan dan percepatan batang R
rrmu( uap sudut d roda sisir C jika roda sisir berputar
.eeen kecepatan angular konstan ro. Penghubung jepit
: O tidak menyebabkan gangguan gerakan A padaC.
Soal R2-13
R2-14. Pelat unifbrm beratnya 200 N dan ditopang oleh
gelindingan di A. Jika gaya horisontal F = 350 N tiba-
tiba diberikan pada gelindingan. tentukan percepatan
pusat gelindingan pada saat gaya diberikan. Pelat mem-
punyai momen inersia terhadap pusat massanya sebesar
/c = 0.559 kg m2. Abaikan berat gelindingan.
R2-15. Sebuah pita yang tebalnya s dililitkan menge-
lilingi roda yang sedang berputar dengan laju konstan
ro. Dengan mengasumsikan bagian yang tak dilili&andari pita tetap horisontal, tentukan percepatan titik Ppada pita ketikajari-jari adalah r. Peturfiuk: Karena v, =cor, ambillah turunan terhadap waktu dan ingat bahwa
drldt = a(s/Ztr).
Soal R2-15
'kR2-16. Silinder 75 N mula-mula diam di atas pelat 25
N. Jika sebuah momen kopel M = 60 N.rn diberikan
pada silinder, tentukan percepatan angular silinder dan
waktu yang dibutuhkan ujung pelat B untuk menempuh
I m dan menumbuk dinding. Asumsikan silinder tidak
selip di atas pelat. dan abaikan rnassa gelindingan di
bawah pelat.
tI :li
i
l.
{,lil
s:"t
.{f w d{.1N.rt:t
**
Soal R2-16
7
IZ-ZU IBoS
'Jepurlrs [EBBqes uBAuopuoleB uu)tn)utred'ueBunirqrad
Inlun rulnjel seuo{ uIDeI u€8unluB8 eped ueSuuSel
uep w8uopuola8 IE,,t\e JelnBuE uetedecrad uB{nluel'sEuel 8un[n Pprd LuJo]run erBJos uE{rraqrp N 0, ei(83
qenqes elrl t'0 - Jd r]Etepu, lp {peuDI ue>1ese8 uetsrl
-ao1 uuSuep Surpurp eped :uputs:eq n1r ue8uopuoleg'gy ue8unluu8 rped u,(u8unlh-3unfn rp tldef ue8uep
Suudolrp'tuerp elnues '31 6g Suopuole8 seuey '17-7a
0z-zul6r'zu IBos
\,<:ili il :
'['0 - Yd qelupe {ueuDl-* r- :i _.- .
-.r yeues 8ue,( lees eped rs?lsueluaq
--- --- - -a- _-:-,.{l EI s4u 9 = 9n 1B.tru l€luosrJoq
_:-r- " :-r ! ----:,:._ ...:-:rsnd elrq:u8e 51 961 el0qeped
-: r _1- :, --- . : --.' -, a:rtQ urds ue>1n1ue1 .02-zu,r
'rrtnd-raq rtueq:eq ur':- r-at .rr.l*: ; i -:"- r-: 'i:\a.1u:1 'g'g - Vri qulUpU
rc:',: "Ir rrJm T-JI!-T r-:J- -{ --f\5:3 uarsgeol e1r1'SE: : =
j r rrtfr I{!UI{r l --?1".1--l;r* rr:iUndUeU e,(U
-19\-TE 4 i l.fE- i- = r'l Txlr!'.: - r:; ='.:::^iuau ur e33utq
uBr{nl]aFol rrdBEr c rE@a r r 'r' ' =rEl rloB 6l-ru
8I-ZU IEoS
'dr1es eduel 3urpur1e33ueu unrp rllSu 3ur.rrru Sueprq
{nlun urnursleu d lnpns uE{nluel 'tuurp uEtpselu€p ue)tsedellp urup BIr[ 'rl e,(u>pluts uelase8 uarsrlaol
Suef 3ur:ru Suuprq 8ueluedes 3urpur1e33ueu: 01 rsu:r8
uB[-ue[ uep -r uel-ue['ill essuur u€8uep urnrq '8I-ZU
LI.ZU IBOS
slpdrlas eduul SurpurleEEueur epor-epou g'g - vri quppu
y uup Suunu Sueprq u:que lueurl u?Iasa8 uer"^gaoy'8ur:rur Sueprq run:nueu ur y 1u:e8.raq ur qelatas u,(u
-u€n[ulal uelnluet']equB8 rp uellnluntrp 8ue,( rsrsod
rrup tuulp ueEpEeI rJep uu{sedelp 3uo:op rpqo:a8 e>p1
'ru 0Z I'0 = 07 rserr8 uef-ueluep 31 7 essrur ru,(unduau
BpoU 'Bpor Inseurel lepll '5t rp essuru lesnd uep 31 97essuu rc,(undueu: u,{ursr uep Suorop WqoJeC 'LI-ZU
(t
'i"-
6ZVt)I}{}\iKI )N)l :ll- \l{l-\\'Xghi
il s"{-3 i9 KnETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MoMENTUM
@g ri@;:gah kecepatan batang R untuk tiap sudut Ilm' rror -.isir C jika roda sisir berputar dengan kece-
lru' "cgular konstan or. Hubungan jepit di O tidak
mflE-{enggu gerakan A pada C.
Soal R2-22
R2-23. Sistem gabungan beratnya 50 N dan mempunyai
.iari-iari girasi k" = 0,6 m terhadap pusat massanya G.
Energi kinetik sistem gabungan ini adalah I5.5 J ketika
ia berada pada posisi yang ditunjukkan di gambar. Jika
ia menggelinding berlawanan jarum jam pada per-
mukaan tanpa selip, tentukan momentum linearnya
padi'r saat itu.
*R2-24, Bandul terdiri dari bola I 50 N dan batang ram-
ping 50 N. Hitunglah reaksi pada jepit O tepat setelah
tali AB dipotong.
Soal R2-24
R2-25. Papan menumpang di atas permukaan dua drum.
Pada saat yang ditunjukkan di gambar, ia mempunyai
percepatan 0,5 m/s2 ke kanan, sementara pada saat yang
sama titik-titik di tepi luar masing-masing drum mem-
punyai percepatan yang besarnya 3 m/s2. Jika papan
tidak selip di atas drum, tentukan kelajuannya karena
gerakan ini.
ID
tl = {;$ 611:?
Soal R2-23 Soal R2-25
{f.
0f-zu/62-zu IBos
'N 002 e/tuE uBluaqueur qllE-qllE'y Ip IIq eped uelEunl
-ue8rp N 002 {opq e{ll 6Z-Zd IBoS uBlqBced '0C-ZU
'IIBI
UBP IOJIEI ESSEIU UBIIBqV 'tuEIP UBBPBAI Il?P IBINtu S E
= I BpBd 3uopue1e3 reln8ue uerdecel uelnluot'y Ip ltEleped uelr:eqrp g gg7 e,(e8 q€nqos elrf 'w7'g=osle(u-rse:r8 uef-uef uup N gEl Bfuluraq Suopueleg '67-41
8Z'ZU IEoS
- - = - : ii;\. c..:atual rBrB epud reluur'ir}:r:r{,1J: iiur. gn,.i,; -?:-:j----!). wlruual 'tu I = s
-;,n:r: tr :;.JoF imram:l J: -:-r n;;; :p 31 1 y lopq e11
ii;; ,'{. = j r r.";ug*:Li -;. - E. ..j;: iI : c.(uesseu 8ue,{
u:ua. e; .!tr L;:ri nurfa; ".a"):.:" -: '-:trequrp tedep
3uei a..x".; .:r.,-"r.rnJlJ:u.L i:"rci =--=- -z:rl:S 'SZ-ZU*
zz-zu IEos
'uEuEI aI uelqercrp y1 97 qeppe Suotoq
opotl trdaf uo>luaqtp Buel luluosrroq rslue: ru8e Suegeq
1e,ne .ruln8ue ueledec:ed uep g e,{e8 u,(u:useq uulntuaJ'O lp tldotrp 3uu,i 11 gg1 Surdtuer 3ue1eq uped e[:a>1eq
e,{e8 unp 'reque8 rp uellnfunlp 3ue,( 1ees eped'LZ-Zy,
9Z-ZU IEoS
utu.t 0B
f/rue=til I
asyiuy=tr.'{
'lort€I
Bped J {Fp uep Br rapullrs u€tEdecred u€Intuat 'lorl-BI uBElnurad eped drles I?pF leqB)t DIIf 's^x z uewd-ecel rBrundrueu Br teps BpEd ZSAU , uptrdeJred uBBu
-ap plrue^ urBcos l?IEuBlp UBIB lollBl lesn4 '97-79
qrls firtr
].t Itl{IlttlJc t{ L\tl :u_ rt{ IN\ryEI
E &{B 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
@5U :.3meri beratnya 5400 N dan didorong sepan-
E lrrlr:a. Jika koefisien gesekan statik di A dan B
rotrlrn u( = 0,3 dan koefisien gesekan kinetik adalah pto
= I ' enrukan gaya horisontal terkecil P yang diper-
LA-L1 untuk rnenyebabkan lemari bergerak. Jika gaya
:: Jitambah sedikit, tentukan percepatan lemari. Juga,
:erapakalr reaksi normal di A dan B ketika ia mulai
:tergerak?
Soal R2'31
{'R2-32. Bila engkol pada mesin kerek Cina sedang
berputar, tali pada poros A terurai sementara yang pada
poros B tergulung. Tentukan kelajuan balok turun jika
engkol berputar dengan kecepatan angular ro = 4 rad/s.
Berapakah kecepatan angular katrol di C? Potongan tali
di sisi katrol adalah sejaiar dan vertikal, dan tali tidak
selip pada katrol.
R2-33. Cakram setengah lingkaran massanya 50 kg dan
dilepaskan dari keadaan diam dari posisi yang ditun-
jukkan di gambar. Koefisien gesekan statik dan kinetik
antara cakram dan batang adalah masing-masing p, -0,5 dan Ft = 0,3. Tentukan reaksi awal di jepit A dan
gelindingan B, yang digunakan untuk menopang
batang. Abaikan massa batang untuk perhitungan ini.
R2-34. Cakram setengah lingkaran massanya 50 kg dan
dilepaskan dari keadaan diam dari posisi yang ditun-
jukkan di gambar. Koefisien gesekan statik dan kinetik
antara cakram dan batang adalah p" = 0,2 dan Pr = 0,1.
Tentukan reaksi awal padai jepit A dan gelindingan B,
yang digunakan untuk menopang batang. Abaikan mas-
sa batang untuk perhitungan ini.
Soal R2-33/R2-34
R2-35. Silinder yang massanya 5 kg mula-mula diam
ketika ia dikontakkan dengan dinding B dan rotor di A.
Jika rotor selalu mempertahankan kecepatan angular
searah jarum jam yang konstan to = 6 rad/s, tentukan
percepatan angular awal silinder. Koefrsien gesekan
kinetik di permukaan kontak B dan C adalah [*= 0,2.
''a
Soal R2-32 Soal R2-35
6C'ZU IEoS
t:
irrr f'+
i
'ruque8 ep?d u€)PFf
-uurp Uedas Zslper 8 - n rrln8ue u?lederrad u?p s/pel
g = (D rEInEu€ ueledece{ rBrundueu BIy u€EunquJes
o0[ =d 13ps eped e)IIf g 1p gg eped 3y Eueleq ue1u3q1p
EueK 'zW ueurol! uep "iA (r€eqs) wreseS e[e8 'rXleurelur Isrs{B 3/(83 uB{nluel 'g tp )v wEunques e l(se1rp) Suesedrp N SI IH uep tZ 6ue1eq enpa; '69-gA
8g'zu IBos
'tu 8l'0 = 8Z
t =_ = i? r : ;:o- or'N6gt = vr6 efureseqEursutu
*u.sul rctri r-::' uzf-ue[ u?p le:eq ru,(undureut glm i fonrusm r-;v-.reEuap ue>1llauasrp tle1 qelales
u&l nurwi i=sz.:-ir-lr>-eu: Jsln8u€ uelBdecal ue{-crci ffir rujrl urriurqnq8uaru 3ue[ rpltr !Et.!rmt trirfr r m: ; ,"rf u:p JE-tndJeq y tuopuet-ei rrp rr:$ E Err5, @"-E r:t g Suopualag 'gg.4y
It-zu IBos
'Inl] p Surln8ret nele drlas {epp lled 'uEq Bssew
ue{pqv'EurpurleSSuatu seqeq u€dep ueg'Eue4e1eq
ueq eped e,(ueq up{ueqrp E[pp E/y\qeq uelrsunsy iuep(uep 3ue1e1eq ueq SmsDu-SutsDw eJetue uup '{nI uep
ned eretue efte1aq 8ue[ uelaseS ef,e8 qeledereq 'e8n1
'zslx gl'0 - D qulepe e,(uueledecred uryf ueq ]Eduaelrmp Sutsow-Bursow tp prurou rs)per uelnluel ,grp efuesseu psnd tue,('N)t r lted lnlSue8ueu In{ rgrp e,(urselr,tu:3 lesnd uup NI 0, e{utvreq {n.rl'1C-ZU
9€-ZU IBoS
m S-----iir-t J 9.t--,i
'9'0
- trl qeppe Irul uep lled eJEluB 1gu1s uelese8 uersgeo)
'1nr1 rypeye8 rp 3ur1n8ra1 netu dlles {Bpp ped rpEE
Irul ruseq:al uuludecred u?{ntuel J9 rp rselrirerE tusnd
rc,(undtueu 6ue,( g1 7 uad lolEue8ueu {tul'9f.ZU*
i*.,y*1;
tgLt-lltrw)ilC )tL\X :U. Y)Ii\Y)Ahl
tTI BAB I9 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MoMENTUM
rf3-l0. Mobil balap massanya 1500 kg dan pusat mas-
irqa di G. Jika koefisien gesekan kinetik antara roda-
-.rJa belakang dan jalan adalah po = 0,6, tentukan
apakah mungkin bagi pengendara untuk mengangkat
roda-roda depan, A, lepas dari tanah sementara roda
belakang selip. Jika demikian, berapa percepatan yang
diperlukan untuk melakukan ini? Abaikan massa roda-
roda dan asumsikan roda depan bebas menggelinding.
+.--- l rrr-.. .i.
Soal R2-40
R2-41. Mobil balap massanya 1500 kg dan pusat mas-
sanya di C. Jika tidak terjadi selip, tentukan gaya
gesekan FB yang harus diberikan pada masing-masing
roda belakang I untuk menghasilkan percepatan a = 6m/s2. Berapakah reaksi normal tiap roda pada tanah?
Abaikan massa roda-roda dan asumsikan roda depan
bebas rnenggelinding.
R2.42. Mobil 1,6 Mg yang ditunjukkan pada gambar
telah di"rombak" dengan menambah ketinggian pusat
massanya sebesar h = 0,2 m. Ini dilakukan dengan
menaikkan pegas di poros belakang. Jika koefisiengesekan kinetik antara roda belakang dan tanah adalah
Fr = 0,3, tunjukkan bahwa rnobil dapat lebih dipercepat
sedikit dibandingkan pasangannya dengan lr = 0. Abai-
kan massa roda-roda dan pengemudi dan asumsikan
roda-roda depan di B bebas menggelinding sementara
roda belakang selip.
: ft...{ x+
r- Lf, $l .?, ...l.,l .di..t---.
Soal R2-42
R2-43. Kereta dorong massanya 200 kg dan pusat mas-
sanya di G. Tentukan reaksi normal di tra2 roda di A dan
B jika sebuah gaya P = 50 N diberikan pada pegang-
annya. Abaikan massa dan resistansi gelinding roda-
roda.
{lJ"\ sr
Soal R2-41 Soal R2-43
,r-zu IBos
ot Eg'tl;
'epor esseur uu{Pqveu?{eunErp )ppp uer uBp uBlsuo{ uBlBdecel ueEuep nl-Bleu ?pedes slrq tuE{Blaq Epor rp l?ruJou rqEar qB{Bd
-Brog 'ureJe8uarrr {n]un rcunllel Eueryleq spor B[q'urepue8ued ueleqtueped uep 'g rrep y uuq Ip Iurruou !s-{eor ue{nluel'g'0 - sd qeppe Eueryleq ueq rp {neup{uelese8 uersgeol B{}f 'g rp ?sseu psnd ueEuep E1 gg
esseru re,(unduaur u,(uerupueEued uep upede5 4p.7g
9r'zu IEos
:lN;j :'j;:jl)q pl unleqes un.{e:aq led
=r irrar -rs,;:: j :-:-i -yrJual .requreE uped ue1
-x-r:-l: -=r
; -- = - ;.€w ueledeJal re,{und
--:;ry T: :i:r: = j rr r ;-:-.{ t v;:: :l :tdallp EUe,( g 69Sutd-:u ft,r?!: rqr; irr]q-r= 1 -r-;.lapurtrs .9i-ZU
sr-zu IEos
,rilFnil {' a ra
'rBquEA puepln[uqp 3ue,( lzus uped ue:1ecdel p g wp y 11llt ueledacred uelnlual 'zs/ru Ig.6uBlpdecrad re,(undueu e{ul€snd 'seqeq qn1uf BI elrq u€p
's/pEr f = o uelsuo{ n[e1 ueSuep rand:eq ureq6 .57-7g
t?-zu IEos
'reque8 rp ue4lnfuntrp Eue,( tees eped
, rnounled {olEQ rreledaca{ ue{nluol ,s/per g - gvo
reln8uz ueledero{ re,(undueu gV Sueleq e\tt .W-Z*
98tkt{IIt}\JC f L\t{11 \t{INrd-xghl
fiT BAB 19 KINETIKA PLANAR BENDA TEGAR: IMPULS DAN MOMENTUM
'13!E Pada saat yang ditunjukkan di gambar, sam-
r:4rn AB mempunyai kecepatan angular roou = 6 1afll5
:an percepatan angular daB=6 radls2. Tentukan perce-
pamn jepit di C dan percepatan angular sambungan CB
pada saat ini, bila 0 = 600.
3QUrttrrl-
;l?illxer +
Soal R2-48
R2-49. Gelendong massanya 60 kg dan jari-jari girasi-
nya ko = 0,3 m. Jika ia dilepaskan dari keadaan diam,
tentukan seberapajauh gelendong menuruni bidang ha-
lus sebelum ia mencapai kecepatan angular co = 6 radls.
Abaikan gesekan dan massa tali yang dililitkan menge-
lilingi inti sentral.
R2-50. Pecahkan Soal R2-49 iika bidang adalah kasar,
sedemikian hingga koefisien gesekan kinetik di A ada-
lah p", = Q,2.
R2-51. Rak bergigi massanya 6 kg, dan roda gigi ma-
sing-masing massanya 4 kg dan jari-jari girasinya /< = 30
mm di pusatnya. Jika rak semula bergerak turun dengan
2 m/s, ketika s = 0, tentukan kelajuan rak ketika s = 600
mm. Roda gigi bebas berputar terhadap pusat-pusatnya,
A dan B.
?l;t *'**
Soal R2-51
*R2-52. Mobil massanya 1,50 Mg dan pusat massanya
di G. Tentukan percepatan maksimum yang dapat dimi-likinyajika (a) daya dipasok hanya pada roda-roda bela-
kang, (b) daya dipasok hanya ke roda-roda depan. Abai-
kan massa-massa roda dalam perhitungan. dan asumsi-
kan bahwa roda yang tidak menerima daya bebas meng-
gelinding. Juga, asumsikan bahwa roda yang diberi
daya mengalami selip, dengan koefisien gesekan kinetikadalah p, = Q.l.
i
r4r?, = : r'fidiir:1,1r,. = f;!1d/9?
Soal R2-49lR2-50
Iffi--i"Orttri manufaktur' Prinsip-prinsip yang
Air."*"" a"fam bab ini dapat digunakan.untuk
*"r"r,rf."" kinematika gerakan tiga dimenst
benda-benda ini.
'J uwtdwrry rp uu{ueqrp lollon stsllulre Sueluel tu{8urs 3ue1n uenelurl ,
'r I -02 rBqurED Ip Iopq BpBd u?{dBJelrp 8uB,( 7 e *t0 e36urq
-Jeq rs?loJ Bnp ue{rlur.lJod 'e,(uuu11n[unueu {nlun 'Jol{e^ uuresoq re8uqes
uP{rselursEpllp ludep {uprl u)la.rauj uPrlruap uE8uep uep 'ro11arr. ueqEquEl-rad urnlnq qn4Buctu ryDpu eflSuulteq rsuloJ uueJe{ rul'uuluur1uuedrp e:1
-alotrr u?Bun8?uad uoutn umqeg Euuued eleu 'oSSurqtaq qelupe Jolng eu-eroel uul?p ueluun8rp Euu,( uauoduro{ rselor u)gf .BfifluplJefl IsBloU
'rselor nlES rpulueu Sunq
-u8req tnluel qrqal rslnpeJlp tedep uu8uesed derl uep 'uu8uused rpeluauuelrsuurquollp ledup eIaJar.u B{ur.u 'ue{Eun8rp rselor Enp IrEp qlqel qli'nll {pp lume1 8ue( nquns qenqes depeqret 1u33un1 aluullnser rse}or uu8u
-ep uele^Dte qBlBpB lrlp r{Bnqes rnluloru 8uu.,( upuaq nquns depeqrel ..uau-oduo1,, rsplor Bnp B^\qeq ue1e1u,(uaru Jelng euoJoel ilalng,BuIaJooJ
'rsBtor ueqepurdrad 1u3rs edureqeq uU8nap uuqeDpe)t
uulEuequre8ueu ue>[p elnu-plnu ElDl 'suleqJal n11ul,r 3ue1es etusles UBI
-n{BIIp 8uu,( rselor uurulSueres uup u,(ueq lpuhal rur uestlurl 3uB[uedes ue
->1era8 uuere; 'dulal llllt nlsns rp lusnfuag uep; r:e[-uul re,(undruaru SueiDpq uDnpalad p 4wap4 lelrged Inlun uBIuraB uusulurl 'rpe1 'epueq
rstsod dort \ntun Dwos qelepe Bpueq p 1elelJal Eue( 6r IeIruEd eI ur lrt-11 IJEp/ lervf'de1e1 Ipp qunqes depeqr4 rulndreq re8al epueq qenqes BIrg
dYJ.gI XI.I,IJ. dYOYHUflJ, ISVIOII I'0Zx
*'Jol{e^ srsrleuu uu4eunSSuaur ue>p BlrI lul qeq qnrnles urelep 'rsuaurpe8rl uelereE ladsu ueluuuqrepe,(ueur {n1un 'Epueq reln8ue ue)edacaltluo uDp tDsaq uftlup uuqeqnrad uelnlueueu uB{B upueq ruln8uu uetedac
-Jad BUaJEI teueld-uelere8 ststleue upudr.rep lluru qrqal rur uulureS-ue1er-eB srsquuy 'Isuloreq undneu Iselsue$raq 8ue,( leurproo{ uelsrs uBIEu
-n8Euaur ur8uep re8el upuaq-epueq uEp lelrged-1a4nwd uulera8 Sueluel
untun uus?ququred uu8uep pn{rrp ruJ 'suquqrp up{€ 'runtun uelere8 uep
d€tel {$l depeqrel rsuloJ rrup utpral 8ue,( 're8e1 epuaq rsueurp e8q uuler-aB rur qeq UTBIEO 'runrun Suuprq ue>1ure8 uup'du1at nquns depuqral rsutor
'rsulsuur1 ;91 qeg rp uu4rlesrp qe1a1 ruuuld se8el epueq ue>1e.ra8 sruale8rlay
UYOUI YONflgISNIflHIIO YOIT YXITYHISNIIX
OZ
XINEMAIIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Tiap rotasi besarnya 90o dan arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan,
seperti ditunjukkan oleh anak panah. Orientasi resultante balok ditun-jukkan di kanan. Bila kedua rotasi ini diterapkan dalam urutan 0r+ 0r,
seperti ditunjukkan pada Gambar 20- I b, posisi resultante balok tidak santa
seperti yang ada di Gambar 20-la. Akibatnya, rotasi berhingga tidakmengikuti hukum komutatif penjumlahan (0t+ 0., * 0r+ 01), dan karena
itu mereka tak dapat diklasifikasikan sebagai vektor. Jika rotasi yang lebihkecil, namun masih berhingga, telah digunakan untuk menggambarkan hal
ini, misalnya l0o alih-alih 90o, maka orientasi resultante balok setelah tiap
kombinasi rotasi juga akan berbeda; namun, dalam hal ini, hanya dalam
iumlah yang kecil.8r = 90'
q -. trrI.'
*j'. +'-" - t'
Gambar 20-1
Rotasi Thkberhingga. Ketika menggambarkan gerakan angular sebu-
ah benda yang mengalami gerakan tiga dimensi, hanya rotasi yang songot
kecil akan diperhatikan. Rotcrsi semacam itu dapat diklasifikasikan sebagai
vekto\ karena mereka dapat dijumlahkan secara vektor dengan cara apa
pan. Untuk menunjukkannya agar mudah kita menganggap benda tegar itusebagai sebuah bola yang dapat beryutar terhadap titik tetap sentralnya O,
Gambar 20-2a. Iika kita menambahkan dua rotasi takberhingga d9r+ d0,pada benda, terlihat bahwa titik P bergerak sepaniang lintasan dd, x r +
d0, x r dan berakhir di P'. Biladua rotasi berurutan terjadi dalam urut-
an d9r+ d0r, maka resultante perpindahan P adalah d0, x r + d0t x r.Karena perkalian silang vektor mengikuti hukum distributif, maka dengan
membandingkan (dQr+ de 2) x r = (d4r+ d0 ) x r. Jadi rotasi takber-
hingga d0 adalah vektor, karena besaran-besaran ini mempunyai besar dan
arah untuk mana urutan penjumlahan (vektor) tidak penting, yaitu, d0r+
d0 , = 46r', ddr . Selanjutnya, seperti ditunjukkan di Gambar 20'2a, kedua
rotasi "komponen" d0, dan d0, adalah ekivalen dengan rotasi resultanle
tunggal d0= d0f d0 1, suatu akibat teorema Euler.
HZ JequrBg
lulad lnJruq
luuses UuJqnd nquns
€-02 rBqurE)
,..*....j I (i)lPr:srs ')
' -i l-: , iE'fiil} t
,:::,:::::::.:.::4r.4il::::,'uErBrnd nquns ....:,:iii:IiljltiEilji:i:fi;iii:.:
.,. .;niii:ji:::
l,.J.ll:iiiir...,',,,i:t+i,,, ,' /
:.1;::
'' ::::iiri:::::::.:' -$ ..,j'iii:ii:i::i::.: i. t''1:::::i*:ia:: j:t:;::i:ir:ri
z-02 rBqrrrBg
,ii!
i..1. li.ir.:.f $rytqld,-,d.':r11 USSBI
.YYAI'l
'du1e1 nqruns qenges depuqral tsetoJ rqnru8uedrp Buu,( Epueq qunqesrp {etelrol 3uu,( lUrt qBnqes uelBdarJed uBlrsruuopueuj Buu1( ,t.91 qpqqnsrp uB{8uEq[uolrp SuEr Inluoq uE8uop Brues r{BIepB rur uuEtuesred Inluog
@-oz)(rxo) xto+JXD=Buullrseq8ueu Buet,, g-g7.sred nl)s,$
dupuqret rsursuaroJrpuou ue8uep qeloredrp ledup upueq eped 2r {l}rt derlueledecred BIBur 'luus ntuns Bped Inr{Ble{lp rc uep (D B{lf .uBlBdAJJad
'E-02 ruquruO 'O dqq {pp I.IEp rnlnrp g rsrsod ug{rsrugopuoru ./ rurs le
G-oz)JX(D=A
o Itr
'3ueps uerluqrad rrup,lpuf '(8.91 quqqns) durel nqurns depuq-re1 relnfueq 8ue,( upueq qenqes Inlun epoleu uu8uap uuus Bue( apoloruuu4uunSSueur ue8uep uu>lntuetrp tudup de1e1 )lt! qenqes depuqret.retnd.req8uu,( upuaq uped 7 >lpp dert uuledeca>J .uelntuelrp o rlBIeS .uB1Bdarey
'?-02 rEquuD'rc uu8uep utuus qelupu o uep nDp/r\ duper{rel ueqeqrued nlul uuaru>1'rur ueselurl- ueselurl epud lursua8uel uftaIeq snJgq D lees derlas e{B[u .oro11a,r u1ude1 qelo uelJuqulu8lp tncnrel B{nq:el Bunth qelo uelrstur+oprp3uu,( uesulurl uBIrBpuV'de1e1 8uoso1 lncnJe{ ueulnured .run1 uer8eq rpnulu ruEIBp uur8eq rp SurpuqaSSueu {edr.uuu luled 1ncn.ra1 uluur .>le.le8raq
uuepeel uelup Epueq Blrq uup .lEBSes rsslor nquns Buefuedas lersua8uelqelepe rur tncnJel-lncnral'lBes dug.t-OZ rBqr.uEC ,1o[ad ycntay qunqesuulpseq8ueu nquns uulnpnpal tedruel uletu lelndraq Bue,( upueq depeq-ral tpqrlrp rur nquns uelep uuqgqrued eT1 .nluauet Buosotl fi)ruil| ue),]r,s-uqSueu nquns qelo uolrsrugaprp 3uu,( {ltp-{pn uelnpnpe{ luduel ,Buuru
rllelep qeqnreq (ro ufte1 sue8 nele) leuses ue.relnd nquns qBrE elrg'[-02 ruqurED 'leuses
uerulnd nquns Suuluedas uu{r{Brerp {Bpn rc .runrun erucas .re8e ,o q?reuup resoq uuqeqnred uBIBtBFueu o ,du1el
{nn dEpEqJq uulure8 1n1ug
\z'02)(D=7C
'n1ru,( 'n11um depeqral reln8uu ueledecel ue
'!- tu) '
,$
-unrnl rlep uBlntuelrp epueq rulnSue ueledecred .JslnSuv uBlBdocJadZto + lto = to I{EIEPB alugllnseJ.reln3ue
ueledecel 'zg =261 uvp 16 =
Ico 'uouodruol enp ruln8uu uulu;a8 rqn.ru8u-edrp epueq e>lrlu,trqug qulupu u,{uluqrlu rolle^ uequlrunlued rffp Elpru ,ou,(upq e8nl uunJruep '.rolle^ ueJ?seq Wryzpu 0p pueJe) '1ees derl qeru quq-nreq rur nquns 'ulnurn BJBceS 'qZ-OZ lr"qweg.fitosas uotolnd nquns wB-uqes ue1u1u,(urp'gp ue?uep srru8es 3ue,( ,o qere ue1e1u,{ueu Buu,{ srreg
( r -oz)0=a
, #llLtlli,; l'Jfrtl *' ' . i"puq,ar Bp.reln8u, rssror ..uEIEBueu Bpueq B{rf .rBInEuv uBrBdeJoy
ttl rlD{r\]a Yl\t{:r.r r)INYxaN
I{I Kn.iEMATIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
*N.2 TURUNAN SEBUAH VEKTOR TERIIADAP WAKTU YANGDTUKUR DARI SISTEM YANG TETAP DAN SISTEM YANGBERTRANSLASI.ROTASI
!
{itt'It-.r!!iI,)l ru
ii "*#
ilA
Dalam banyakjenis soal yang menyangkut gerakan sebuah benda terhadapsebuah titik tetap, kecepatan angular ro dinyatakan dalam gerakan angular
komponennya. Sebagai contoh, cakram di Gambar 20-5 berputar terhadap
sumbu .y horisontal pada ol., sementara ia berotasi atau berpresesi terhadap
sumbu z vertikal dengan coo. Karena itu, kecepatan angular resultantenya
adalah o = o, + ror. Jika percepatan angular a benda semacam itu harus
ditentukan, kadang-kadang lebih mudah untuk menghitung turunan ter-hadap waktu dari ro, Pers. 20-2, dengan menggunakan sistem koordinatyang mempunyai rctasi yang didefinisikan oleh satu atau lebih komponeno.* Untuk alasan ini, dan untuk penggunaan lain kemudian, sebuah per-
samaan sekarang akan diturunkan yang menghubungkan turunan terhadapwaktu tiap vektor A yang didefinisikan dari acuan yang bertranslasi-rotasidengan turunannya yang didefinisikan dari sebuah acuan tetap.
Anggap sumbu x, .),, r kerangka acuan yang beryerak mempunyai kece-
patan angular C) yang diukur dari sumbu tetap X, Y Z, Gambar 20-6q. Da-lam pembahasan berikut, akan rnudah bila vektor A dinyatakan dalamkomponen i, j, k nya, yang menggambarkan arah sumbu-sumbu yang ber-gerak. Jadi,
A=AJ+A.,j+A.k
Secara umum, turunan terhadap waktu dari A harus mencakup peruba-
han besar dan arah vektor. Namun, bila turunan ini diambil relatif terhadap
kerangka acuan yang bergerak, hanya perubahan dalam besar komponen-komponen A yang dilibatkan, karena arah komponen-komponen tidakberubah telhadap kerangka yang bergerak. Jadi,
(A)rrz=Ari+A.,,j+A-k (20-s)
Bila turunan terhadap waktu A diambil relatif terhadap kerangka acuan
yang tetap, maka arah i, j dan k berubah hanya karena rotasi O dari sumbu-
sumbu dan bukan translasi mereka. Jadi, secara umum,
i= a.ri + a.,j + r4.t< + eri + A.,i + A,i<
Turunan terhadap waktu dari vektor satuan akan diperhatikan sekarang.
Sebagai contoh, i = dildt hanya menyatakan perubahan arah i terhadap
waktu, karena i besarnya tetap sebesar I satuan. Seperti ditunjukkan di
Garnbar 20-6b, perubahan, di, adalah tangensial terhadap lintasan yang
digambarkan oleh kepala anak panah i bila i bergerak karena rotasi Q.
Dengan melibatkan besar dan arah di, maka kita dapat mendefinisikan idengan menggunakan perkalian silang, i = O x i. Secara umum,
i=flxi j=oxj k=C)xkRumus-rumus inl juga dikembangkan di Subbab 16.8, dengan memper'
hatikan gerakan planar sumbu-sumbu. Dengan mensubstitusi hasil-hasil inr
ke dalam persamaan di atas dan dengan menggunakan Pers 20-5 didapat-
kan
A=1i;,,,,-+oxA (20-6)
Gambar 20-5
ri'/\ *',.''4i_
\tl
I
f .i u rittc't n dt
€r-4
(h)
Gambar 20-6
'F Dalam kasus cakram yang berputar, Gambar 20--5, suntbu -r', )l : dapat diheri kecepatan angt
' out D s uu}lg. ll?u tp.too\ualsrs unpal rrep ueuerp 3ue,{ r}redas V riup nlle/n depeq.rot uequgn:edn[u; uurlrurap uu8uap uup '&(V) = V uluu '[ = (J 'n1ru[ 'rpel,rer IBt rur up--quqn.rod e\l'Z 2 y e13uula1 r.rup luqrlrp rl.rados V qu.ru ruulep uuquqn.rod
uelpsuq8ueur V X O elrq ueluun8rp nleles sn.teq 9-02 's.re4 'u,{u11seq
re8eqag 'v qDro ruBlep nlIB,{\ dupuq;al ueqeqn:ed n[u1 uu>1utu,(ueu :'t\. (y)'uIEl Blurl uu8ueq 'z( t e4Suule{ lseto.r uulqBqesrp 3uu,( y uuqugruad 'yx u quqr.uBilp'9-oz 'sJed '2 i{ 'r rsulo.r-rsulsuE-u.taq 8uu,( uuncu u>13ue.rc1
rJBp rtpr.uerp 3uu,( rlredas V IJBp nllerrr dupeqrel uer{ugn.recl nlul ur8uapElues qel?pu 7'tr'y delal uunou u13uu.rel Irep rter.uprp 3ue,( rt.radas y .toqa.ldort uvp ntle,rrr dupeqrol uuunrnl B^\qeq ue{ele,(uau ur 'utul-utel tucle6'lZ qag, uep V'02 qeqqns rp ueleun8rp uEIe usp Surluod lu8u rur lrseg
'd<o uep tco uauodruo>1 re,(unckueur 3ue,{ '$)
eluellnseJ qure upllsrurJopuotu ruI nqtuns 'lncnro{Jnon.ta1 qe1uo1 suu8Sueluedes qelepu rur leusos rseloJ nquns 'qL-OZ ruqurcg .reuorsets 3ur,{3uoso1 tncnrel rnluloru SurpurloSSueur Suupes 3uu,{ '(1uled lnrn.rol)lncnrol qenqos qeyo rluu8rp uurlull de83uu '.re1n8ue uulu.raf 1nlue1 qrc1c1
rge8ueu Inlun relurJ uulu.ra8 uelSurpueqtp reln8uu uule:e8 eluutlnsa.r
uu>13ue,tuqurau Inlun lrlns qrqol B,(uesBrq puelul 'rur .ruln8uu uuludocoluuBuap .rulnd.raq e(u.luuaqes uBlIEc emqeg >leduleu {Bprl 'su1urde5
s7pu.r {41 - ft} ='1(D + ''o =,'rpe1 'ue1u.re8 ueuoduol unpel -rotle^ ueqelurnluad e,(uuq
\qppu Z l'X Vep Jnlnrp 3ue,( teln8uu uuludace) 'nln?uy ttvrudaxay'r-02 uvp L--02's-rad uelup u?)Bun8rp rul .ro1>1a,t-Jol{a^ uu
-orpl 'tu?rlec n .ruln8ue uetudacrad uup o .reln8uu ueledccsl aluellnse.r
uulnlue rp n1.red elnu-e1nu 'y lllll ueledeored uup ucledacal uulnlueu-eu l$un 'rul lllll a) tuBJIu, srtelodrq uu8uuluud.red du8Suu8ueur 3ue.r
-oeses u1i[ ue]IBO 1nlun delal 3ue,( rsulor 1q11 uu1ule,(ueu O ),llllJ
ISnaosl-02 rBq[uBS
r/l)t:.) t' i: ri)
'.rugrue3 rp uullntunlp rlredes rsrsod upud speJeq uyq uu.r)Ereped y lrlll ueledecred elres uuludace>1 usp uerler .ruln8ue uutudao-:ad uu1n1ua1's/ppr I -
d,o uelsuol n[e1 ue8uap lBIIuo^ nquns depeq:a1
:etndraq Suesedrp rueDIEc uueu rp Ietuosrroq Suedoued uuded urutueuras's/pur t - sor uutsuo>l reln8uu ueludecel uu8uep p{ululuostroq nqunsdepuq.ral urds .relndreq DL-OZ Juqweg rp uuplnlunlrp 8uuf, ue.qe3
II
').:
t?tI.OZ H
V)INVNIC :)IN)I
I 44'xtNEvrATIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
?fi-1
sumbu rotasi sesaat
ihr
Gambar 20'7b
Percepatan Angular. Karena besarnya o adalah konstan, hanya peru-
bahan dalam arah, seperti yang dilihat dari acuan yang tetap, menghasil-
kan percepatan angular cakam a. Salah satu cara untuk mendapatkan c[
adalah dengan menghitung turunan terhadap waktu dari masing-masing
dari kedua komponen o dengan menggunakan Pers' 20-6' Pada saat
yang ditunjukt an ai CamU ar 2Uia, bayangkan kerangka yang tetap X Y',2
ian keiangka yang berputar x, y, z berimpit' Jika kerangka yang
berputar r, y, i Oipititt mempunyai kecepatan angular O = o, { lk} rad/s'
*uku ,., uiun ,ilolu diarahkan sepanjang sumbu ) (bukan I), dan laju
perubahan terhadap waktu dari o., seperti dilihat dari x, y, z adalah nol;
yaitu, 1ril"), y. = 0 (besarnya olr'adalah konstan)' Namun' O = ro, tak
mengubah a'rah a,. ladi,
io. = (,i.)r..r,- + op x o., = 0 + (1k) x (3j) = {-3i} rad/s2
Dengan pilihan sumbu rotasi yang sama, O = op, ot&u bahtan 9:n*11
O
= 0,1u.unun terhadap waktu {rilr)r,r.z = 0, karbna a, selalu diarahkan
sepanjang sumbu z (atau A dan besarnya konstan'
,ilr, = (6r)r,r. + r,lp x ror, = o + o = o
Percepatan angular cakram dengan demikian adalah
cr = (il = 6., x rir, = {-3i} rad/s2
Kecepatan dan Percepatan. Karena ol dan ct telah ditentukan, kecepatan
dan pe.cepatan titik A dapat dihitung dengan menggunakan Pers' 20-3
dan2O-4.b"ngun mengingat bahwa ro = {lj + 0,25k} m, Gambar 20-7'
kita dapatkan
vA =o X rtr =(3j- lk) x (lj +0,25k)= {-0,25i} m/s Jawaban
aA--axrl+roX(rlxr4)= (- 3i) x (lj + 0,2sk) + (3i - lk) x t(3i - lk) x {lj + 0,2sk}
= {lj + 8,25k} m/s2 Jawaban
Jawaban
g-02 rBqurEc
.(-r 3ucprq rp nluyas
afr H(IL\Of
uDqDilDI',zs/per {{0'61 + f02,9 + lt,S2-},tg xrr.o x ,g
qelupu Surse8 reln8ue uetedac.red
.s7pe-r i4y) =:f,''1/g,; = '1*
,s7pur {>196.72 + !02,02 + I0t,tf_} =({o09 soc 0t + [o09 uls 0t) X
(>tS + tg-) + ({o09 soc 9 + fogg urs 9) =
'ro x(t1o x "co) + ttt'('!o) ='
X dupuqrel grlelel 'co qeru quqn3ueur rur rselor) t/g) +
,,(r) = O
., G) ,rrr| 'ueltedep elr{ uetlruap ueSuep >1 ,f ,1
ueuodruo{ Luelepulep uu>1u1e,(uaur ue8uaq 'g = g ntlp{ ,ru]ndreq 8ue,( Z l( ? Buuluel uulrrl
rulndreg rur nquns-nqurns elrl z i( r dupeqra] Jlteler uelsuol r{pre rE
-tuetu'or B^\r{eq uu)plnlunuaur llr. a} 3uu,( Sutse8 uelu;e8 ueuslr.rerue4'z ',( 'x uvp rleuerp BI
-rle{ uplsuo{ qulu re,(undrueu uulrluqJodlp Buupes Bue,( o uauoduro>1 ru8ez'{.'x uence {nlun U qrlrueu uBIB etr),1 .dele} Bue,{ Z ,l'X ul8uerelIlBuBrp 3ue,( rgades toln?uo uopdacaY uauodwotl dor! ttop ntYou-ral ueqBqruod n[e1 qusrdral erBces Bs)treueu ueSuep uB{nluetrp uEIereln8ue uetudecrad 't-02 qoluof, rsnlos uped rpedag .nln7uy
aDgDilDf sTper {qg1 + f99.S + It-} =>1(og9 soc 0l + S) + f o09 urs Ql + rf- =
>1@r soc tco +
dco; + [B urs'co + .r,co- = rD
'nlre,( :z i( ? e{Suelel uuSuap runses ,ry ,1..1 ueuodruol urel
uelule,(urp ludep reln8ue uuludecal e){eu :IeqruB8 rp ue11nlun13ue,{ tees eped lrdurr.laq rqnfueq 8uu,( uup dulel Bue,( ul8uu.r
,') e111 'O detet {uu depuqrel relndreq Burseg .wln?uy uo1oda
IS'Surse8 rulnSue ueledacred uup reln8uu uuledacal uulnluq
zs7pet V JBSeqes nluy ue8uep {ruu .s/per g =
tI(D :lsas
zs/pvJ Z JBSaqes nl'e1 uu8uap )rpu ,s/pe.t
t =,,a :lsrrl
zsftei g r€saqes nlel ue8uap {teu .s/per g1 =
sco :ulds
:re8uqes uelrsrugaprp Bue,{ .ruseqre,(undueu uup ue>plnlunllp ruedes uelqererp Buu,{ reln8uu uelera8 ueu-odu:o1 e8rl re,(undruau g-02 requeC rp ol8 Burse8 ,og9
=B |EES spud
:Z 4'X dcpcq.ntlrtuloi quqnrp )iupu (/o qure (lou qulepu rseror Eueler) g = 1] .ii, lnrun'
asTpu.r {tg1 -\Z-} = (lt-) x (tS) + lZ- = uo)
x r/, *.-r(riirr, _ u,
i(Z A'X depeq;el .I1e1er "co qe:e qeqn8uaur rur rselo.r) t', = o "', {ntun
-rp n1:ad leprt rurs 1p eSSurqes Z nqans Bueluedes qDnraq nlu1es ,1ro u
-odtuol 'e,(u.rrq>1y'1dro + 'ro = 6 uelnq) ', = U reseqos rselo-l ru,(undurc3ue,( z i( r nqulns rr,p teqrlrp uele,re8 elrf uulsuol qu.re ru,(unduau rurrol{a^ 7-X dutel Sueprq rp {B}a[]ot n1e1es "to euaru) .,,(, + ,,r,
- 15 uu8uap
9?tV){IH}'\]C : XL\) AI, YXINVXAru
146 KINEMAIIKA TIGA DIMENSI BENDA TEG.{R
*20.3 GERAKAN UMUM
mbu \utilr \
:saat
Diperfihatkan pada Gambar 20-9 benda tegar lang mengalami gerakan
umum dalam tiga dimensi dengan kecepatan an_sular adalah o dan perce-
patan angularnya cr. Jika titik A mempunyai gerakan yang diketahui v, dan
aA, maka gerakan tiap titik lain B dapat ditentukan dengan menggunakananalisis gerakan relatif. Dalam subbab ini srsrenr koordinat yang ber-translasi akan digunakan untuk mendefinisikan gerakan relatif, dan dalamsubbab berikut sebuah acuan yang bertranslasi dan berotasi akan diperha-tikan.
Jika titik asal sistem koordinat yang bertranslasi .r, y, z (O = 0) dile-takkan di 'litik dasar" A, maka, pada saat yang ditunjukkan di gambar, ge-
rakan benda dapat dianggap sebagai jumlah translasi sesaat benda yang
mempunyai gerakan vo dan aA dan rotasi benda terhadap sumbu sesaat
yang lewat titik dasar itu. Karena benda itu adalah tegar, maka gerakan titikB yang diukur oleh pengamat yang berada di A sama dengan gerakanbenda terhadap titik tetap. Gerakan relatif ini terjadi terhadap sumbu rotasisesaat dan didefinisikan olehvuro- @ x rB/A, Pers. 20-3, dan arro = cr XtB/A+ a x (o X r67tr), Pers. 20-4. Untuk sumbu-sumbu yang bertranslasigerakan relatif dihubungkan dengan gerakan absolut oleh vu = yA + vB/A
dan a, = oA * arro, Pers. l6- I 4 dan I 6- 16, agar kecepatan absolut dan per-
cepatan titik B dapat ditentukan dari persamaan
Gambar 20-9
dan
YB=YA+A x'tR/A
aB= NA+ a" x rD/A o x (o x rg7,a)
(20-7)
(20-8)
Kedua persamaan ini identik dengan persamaan yang menggambarkangerakan bidang umum sebuah benda tegar, Pers. l6-15 dan l6-17. Namun,kesulitan dalam terapan timbul untuk gerakan tiga dimensi, karena omenentukan perubahan besar dan arah ro. (Ingat bahwa, untuk gerakan
bidang umum, cr dan ro selalu sejajar atau tegak lurus pada gerakan bidang,dan karena itu o, menentukan hanya perubahan besarnya ol). Dalam bebera-
pa soal kendala atau hubungan sebuah benda akan mensyaratkan bahwaarah gerakan angular atau lintasan perpindahan titik-titik pada benda dite-tapkan. Seperti digambarkan dalam contoh berikut ini, informasi ini bergu-na untuk mendapatkan beberapa suku di persamaan di atas.
'or1 {nfun lsnlos uEIIlseq8unu uEIB ftrufi,'3un1n1 uE{E ;(D u/$qeq rqrlJ3J 't 's.rad rxulep e{ rsnlrlsqns uup :(, trrelep
'ro uup'ior Inlun Z uep I 'sJod ue1quJad 'qoluoc re8uqe5 'qeloredrp ludep da u(uresaq uut{ruap D,(uurupee{ undnelDiA*
aoqD$Df ls/u 0'zl = o/r
uoqonlrf s/pBr IIS'0 - = t(r) s/pet g7'7 =ta s/pBr pg'f - = r
uDpEdpprp uEllnlurs BJBres p r8drrrus I 'sJod uE)qBceuteu uu8uec
G) 0='ro9'0-dro7+'roy0 = ({S'0 - IZ + li '(rl'o + fro + frn) =)/ot.a
'(7J2 'sre; 1eqr1) 1ou qeppe )/ot uup o lllll uerplred uelrepue-Jel uesnrnllBSelax'sele rp uuetuusrad-ueeurBsred rqnueueur Inlun llunsruBq B[uJBSeq o e>IBIU 'Sueteq nquns epud sntngoSar ulre{eq uelnluel-lp(D e>II| 'nlr Euerp;tr 'e{unquns dupeq.ral nfldtaq soqaq ?uu*q uel{qeq-esrp rul 'ure3o1 urrurc uEIIBraSSuaru uelep qnre8uad re,(undureu leprlSuepq nquns Suufuedes elra1eq 8uu,( o ueuodurol duq 'snsnql B.rBceS
'uu{ruuelrp o r1eJ? ulrl uulsrlnlp ledup ludueel ueBussred *'-e{lp IBI 8ue( ueresag pdue Sunpuu8uoru rur ueuurus;ed-ueBuesJad
o--o,t+'(or1 -ttt70 = g + rrol +'rog'6y
O ='aZ- t, E'0 -uu>ltudeprp
-1n18uesreq 3ue,( q'['.t uauodruol uuleu:u,(uau uep uDlJEqulueru uu8uag
+ [g = 1oa-
uultudupr
(€)
Q)(r)
ls'o- z t
l', {co 'o)
l>r I r
0l-oz tEqtuEc
{u)
\
tfi Eotr{of,
selu lp ueeuesred uelup e{ rur uBJBSeq-uErESeq rsnlrlsqnsuau uu8ueq
4'co+f(co+1'tor=tDru{{S'g + fZ + lt }
sTru {[g] = Ja >lc,r- = oa
ue4uduprq 'q1l-OZ rBqurED'uelneq.redrp Eue,( teus eped lrdunuelrsunsBrp rsBIsuuJlreq ?uu,( uep dutet 3uuf, uenru e18uu.ray
)/Qrxto+Jl=Oa
ueuueslod tu/vral J >lltll uutedace>1 ueBuep uulSunqnqrp ludep Sueleq
C lpp ueledecey ledu8ueryunun uulere8 rueye8uaru g3 3uuleg
ISN'I'1e{os
-e1oq uu8unqruBs lu^^al u,(u8unlh-8unfn rp ue3o1 urJurc aI uelSunqnqrEustug 'uu11n[un1rp 8uu( lues eped 8ue1uq reln8ue ueludecel
6r rp rue3ol urcurc uuluderel uulnluel 's7ru g uun[e1e1 ue8uep g tlu]e
lera8req 3 p ue3o1 urcun ulrl 'Jgr lelrua^ uerEeq Sueluedes
urel Sunln uup 'By In1"lreq Surpurp qelac Suufuudes ;ese88uD0t-ozrp uupqnlunlrp Euuf q3 n3a18uu1eq Sunlh nlus qelug
naYIInIV\XI ryIN)IAI V)IN\'Xgru
148 KINEMATIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
SOAL-SOAL
20-1. Tangga truk pemadam kebakaran berputar menge-
lilingi sumbu i dengan kecepatan angular <0, = 0, [ 5 radls,
yang bertambah dengan 0.8 rad/s2. Pada saat yang sama
ia berputar ke atas dengan laju konstan ol, - 0.6 rad/s.
Tentukan kecepatan dan percepatan titik A yang terletak
di puncak tangga pada seat inr.
20 -2.Tangga truk pemadam kebakaran berputar rnenge-
lilingi sumbu a dengan kecepatan angular or , = 0, I 5 rad/s,
yang bertarnbah dengan 0.2 radls2. Pada saat yang sarna
ia berputar ke atu; dengan ro, = 0.6 radls sementara
hertambah dengan 0.J rad/s2. Tentukan kecepatan dan
percepatan titik ,{ yang terletak di puncak tangga pada
slat i ni.
1\,)\
ru. ,' '-.-- Soal 20-1120-2
20-3. Sebuah rnobil rnempertahankan kelajuan konstan
l2 m/s. Dengan menge"sumsikan bahwa ban berdiame-
ter 0.65 m tidak selip di.j.lan, tentukan besarnya kece-
patan angular dan percepatar: angular ban iika mobil
nremasuki kurva horisontal yang jari-jarinya 30 m.
*20-4. Roda gigi A tetap sedangkan roda gigi B bebas
berputar pada poros S. Jika poros berputar mengelilingi
sumbu z pada rrl- = 5 rad/s, sementara bertambah dengan
2 rad/sZ, tentukan kecepatan dan percepatan titik P pada
saat yang ditunjukkan. Muka roda gigi B terletak pada
bidang vertikal.
20-5. Roda gigi A tetap sedangkan roda gigi B bebas
berputar pada poros S. Jika poros berputar mengelilingisumbu z pada ol, = 5 radls. sementara bertambah dengan
2 radls2, tentukan kecepatan dan percepatan titik C pada
saat yang ditunjukkan. Muka roda gigi B terletak pada
bidang vertikal.
Soal 20-5
20-6. Pipa bor P berputar dengan laju angular konstan
,p = 4 radls. Tentukan kecepatan angular dan perce-
patan gurdi batu kerucut yang menggelinding tanpa
selip. Juga, berapakah kecepatan dan percepatan titik A?
tI d.,
I
d#,. ,,,,,
'i,9tiii{_d,
II ru,,, = J. urll'1'.T
Soal 20-4 Soal 20-6
7,t-02fit-02 l,sos
.;.rlt{:J t.:::\i'{};it i' "
'lur lBBs BpBd
g Illll uetuderrad uep uetEdala{ uelnlu€I'Zs/per t =to uep spe: 7 -
:ro uullnluntrp SuEf le€s epud E88urq
uErlruepas drles eduel SurpurlaSSueut tncruax 'Zl-W*
'rur lees eped
y lllll uuludarred uBp uPtudocel uBlnlueJ zslpBr [ - tro uep sTper y - ;or ue11nluntrp 8uu,( lpes sped pS8urq
uerlruepes drles eduel 3urpur1e33ueu ln)rue) 'II-02
OI-OZ IBOS
' - lt qelepe y e{ o uEp {ErEf 'rur IEES
!TE"l r 3'- : -i'!-i uEtEdacJed uep uel8decel Ue)nlueJ
-i -- ; = : -:: . :rr s'I - Iro qclvpE I nqruns depeq-r!: j?;-.Fi^r ;rE*:a r,a - 0 eues 8ue,( leBs epBd '2
rhluins .sF-l:i :i aq- : = ii uEp S/pEl [ = to reln8utuE{EJaii' n.iifia:J.a; r:-;::.- ':res nlEns €pEd .0I1}z
6'0218-02 IEos
reJn'uuu,luderarrrr"rr.ru*''::,'::11:JlTrlT:#":= 0 'ogt = $ tees uped BIrf s/pel 09 ='ro uetsuol nlel€pud relndleq sudr{ qeltq uup s/pur I ='ro uutsuo{ nleluped : nqruns deprqral :e1nd:aq sedrl r33uu{ u?rlrur-epas :e1nd Suudoued Bp?d Suus?dlp lplsll sedry .6-02
qu[q:eln8ue ueledecred uep.reln8ue ueledecel uulnluet .nlr
uelpre8 )ntun ogt = Q uIIt 's/pur 09 - rro uelsuol nlel
eped relnd:aq sudrl qelq uep s/pur I =:ot uulsuol nful
eped z nqruns dupeq;e1 rqndreq sedrl e38urq uerlrru-apes retnd Suudouad eped Suesedrp lplslt sudr) .g-02*
l,'02 IBos
,\t,i}{.
L^_l --1
| .:,,1:tt.r 1.,,, r,
I s,,pt:;r=r+
I
'y rBrB upo.r :uln8ue uul€decred wp:eln8uz urludecel uelntuel 'zslpr..r t:uln8uu uuledec-red re,{undueur uep s/pel 7 ue8uep relndreq leluel yeuBtu lp sorod uB)plnfunllp 8uu,{ leEs Bped u1r1 'g detatrBrB epor epsd SurpurleS8ueu y n4s r3r3 BpoU .1. 0Z
6?Lv)trtr'.\Ic xIN) 3J_ V)INY)gn
150 KINEMATIKATIGA DIMENSI BENDA TEcAR
20-13. Roda gigi A dipasang pada poros engkol S se-
mentara roda gigi C adalah tetap dan B bebas berputar.
Poros engkol berputar dengan 80 rad/s mengelilingisumbunya. Tentukan besarnya kecepatan angular ba-
ling-baling dan percepatan angular roda gigi B.
Soal 20-13
20-14. Poros BD dihubungkan pada sambungan bola-dan-soket di B, dan roda gigi siku A diikatkan pada
ujung lainnya. Roda gigi ini dihubungkan dengan rodagigi tetap C. Jika poros dan roda gigi A berputar spin
dengan kecepatan angular konstan ot = 8 rad/s, ten-
tukan kecepatan angular dan percepatan angular rodagigiA.
20-15. Pecahkan Soal 20-14 jika poros BD mempunyai
ol = 8 rad./s dan rir, - 4 radls2.
*2U16. Kerucur rerpancung berputar terhadap sumbu z
dengan laju konstan o: = 0,4 rad/s2 tanpa selip pada
bidang horisontal. Tentukan kecepatan dan percepatan
titik A pada kerucut.
20-17. Kerucut terpancung berputar terhadap sumbu z
dengan ro, = 4 rad/s tanpa selip pada bidang horisontal.Jika pada saat itu o- bertambah dengan 6. = 0,5 rad/s2,
tentukan kecepatan dan percepatan titik A pada kerucut.
Soal 20-16120-17
l
20-18. Batang AB diikatkan pada lengan yang berputar l
dengan menggunakan sambungan bola-dan-soket. JikaAC berputar dengan kecepatan angular konstan sebesar
8 rad/s terhadap jepit di C. tentukan kecepatan angular isambungan BD pada saat yang ditunjukkan di gambar. .,fi ,
20-19. Batang AB diikatkan pada lengan yang berpurar
dengan menggunakan sambungan bola-dan-soket. JikaAC berputar terhadap titik C dengan kecepatan angular
sebesar 8 radls dan mempunyai percepatan angular 6rad/s2 pada saat yang ditunjukkan, tentukan kecepatan
angular dan percepatan angular sambungan BD pada
saat itu.
IIJ
Ltt rn
:+:lt rBllr.
rlt ,.....{.r''
itr-
t':,:
!lJt
{}.ilr.l nt
li!,1 iltlr'F,
Soal 20-14/20-15 Soal 20-18/20-19
T
97'0Z|VZ'02 tBoS
)4',/" i
'nll 1e3s ep?d €r
uetol urourc u€ledecred ueIruuel'JBquBE rp ue{Infunl-rp Eue,( lsas BpEd'zs4u {lS -} =
Yu uuluqruel:ad ru(u
-ndueur tZ-02 IEoS eped y rp uu3o1 ulcurc p{rt'SZ-02
'tueteq nquns uped srun1 >p8a1 ue>1qer
-urp er u4r[ Euereq reln8ue ueledecal tre>p1uet 'uEn1's/ru g = v,t ue8uep 4e:etreq Euepes y uTf ue41nfun1
-rp Eue,( trus uped g uen[e1a1 w{ntueJ 'lelos-u€p-Bloq
ue8unqures ueleun8Eueur uetuep e,{u8unfn-3unfn rp
g uup y snpq ureEol ulcurc e{ ue{lmlp Swpg'W-y1*
gz'02 IBos
'nll lBBs eped g 1p ue301
urr:-' w-leA-:: -xntual 's/ru 9 = Ya qeppe e{uuu
-nfup1 rres E* -:-": 1[9': -] = Ye uetudectad re,(u
-ndtuau 17{-g fecs iE'; h Tr u,re3o1 urcurc e\lf'€T,-02
77'07leos
F:fi:rrr r1 = luf 1
i.__a tt-{t..-
req
-tue8 rp uellnfunlrp 6ue,( lees eped g u:e3o1 urcurc uenf-elal uulnluel 's/u, 9 =
y,r uenlelel rei(undueru y rueEol
urcurf, e1r[ 'lolos-uep-Bloq ue8unqures 1eme1 efu8unfn-tunln eped ue3o1 urcurc eI uu{trelrp gy Ewwg'77-97
t7,'07t07'07 llos
'lul tees eped g p ruetol urcurc
ueledec:ed ue{uuel 's/ut V'Z - v,r qvppe e,(uuenfelel
lees eped 'zsltu {:tS't-} - ve ueledacred ueiuep qe,neq
eq 1u:a3:eq 0Z-02 lpos rp y rp ue8ol urculc EIrt'IZ-02
.tueleq
nquns eped snrnl le8a uBlqererp ur e1l[ 3ue1uq re1
-n8ue ueledecel uulnluel'e8n1 's7tu l'Z=Vt rrzlsuol ue
-n[e1a1 ue8uap qe^\Bq a{ 1e:06:eq y u1[ requluE p ue1
-1n[uqp 8ue,{ tees eped g uenlelel ue{nluel'e(u8un[n-3unfn rp g uep y snpq ure3o1 urcurc eped le{os-uup-e1oq ueEunqtues ue8uap UBIIJe>{1p Eueleq e41 'OZ-02*
+-:rlR({r.=I's i
'\, t!!{'l.l*-
t91.YXDTT\f C XL\DI
152 KINEMATIKA TIGA DIMENsI BENDA TEGAR
2O-26. Batang AB diikatkan ke cincin logam di ujung-ujungnya dengan menggunakan sambungan bola-dan-soket. Jika cincin logam A bergerak sepanjang batangtetap dengan vt = 2,4 n/s, tentukan kecepatan angularbatang dan kecepatan cincin logam B pada saat yang
ditunjukkan. Asumsikan bahwa kecepatan angularbatang diarahkan tegak lurus pada sumbu batang.
*2U?S.BataagAB diikatkan pada cincin logam di ujung-ujungnya lewat sambungan bola-dan-soket. Jika cincinlogam A mempunyai kecepatan l,e = 1,5 n/s, tentukankecepatan angular batang dan kecepatan cincin logam Bpada saat yang ditunjukkan. Asumsikan kecepatanangular batang diarahkan tegak lurus batang.
Soal 20-26
20-?Jl.Batang AB diikatkan ke cincin logam di ujung-ujungnya dengan menggunakan sambungan bola-dan-soket. Jika cincin logam A bergerak sepanjang batangtetap dengan kecepatan vA = 2,4 m/s dan mempunyaipercepatan aA = 1,2 m/s2 pada saat yang ditunjukkan,tentukan percepatan angular batang dan percepatan
cincin logam B pada saat ini. Asumsikan bahwa kece-patan angular batang dan percepatan angular diarahkantegak lurus pada sumbu batang.
Soal 20-28
20-29.BatangAB diikatkan pada cincin logam di ujung-ujungnya lewat sambungan bola-dan-soket. Jika cincinIogam A mempunyai percepatan a, = { l,8i} m/s2 dankecepatan v, = ( l,5i) rn/s, tentukan percepatan angularbatang dan percepatan cincin logam B pada saat yang
ditunjukkan. Asumsikan kecepatan angular dan per-
cepatan angular batang kedua-duanya diarahkan tegaklurus batang.
I
J,,1
i
iiltr
I
il
I
il
i
':' i --' L3 {o r.*m '-'.j
i
Soal 20-29
IB
Soal 20.27
r
st'02 leos
,t-02 pos Nqrl qn[un@d .rre)Hnruntrp
3ue,{ leus epud 8uuteq uu8unqz8 uelsrs eped ) uep V4nu uuledeca>1 uelnluel's4u S'l - s,l uen[e1e{ ue3uepz-r Suuprq ruepp qe_re3;eq g rp uruEol urcurc ery1 .Bunq
-nq8uad ru48ue{ qolo y Ip uep telos-uup-e1oq ueEunq-uus qelo g rp Suedotrp Buuteq ue8unqe8 uelsrg .99-67
te-02 IBos
')lo t x y/gr ue8uep uures 8uu,{ q?JB lu?lupi;r u - :r!a\ '0 = n.or uep qe10:edrp ledep rsn10s >1n1un'j?-:--:: ::rruesrad,u X f = n ue8uep I uep u eped!:-- E.::: -:iei 'n q?JE uelBp rselor ueuodtuol epe
fEr tl':;rr\ u :r:er rrdafnquns Buuluedas uep (tqu:e)36 i-et; i-r'r--rl:s iuaeq Isuto: ue4url8unureru se1
-squr?d fltr',' :jcl Ltr!trs -upp-EIOq UeSunqures qllB-rlllB'qe-netr .mc.;d i Jrr-rr;nllp luades lrdal qenqes rJepurpia g rf 6:nrr" ifr. :a{; IEoS ue)tqeced .re-02
tt-02rce-07,I&os
iSupteq nquhs BpBd snrnl 1ete1 uu>1qu:erp er e>Irtf,8n Sueluq reln8ue ueledec:ed edu:eq .etn1 .s/per
0l- ro eryl'.requruE rp ue>11nfunltp Bue,( lees eped g uu8olutcurc uuludec:ed ue1n1uel .Zs/peJ
S = D lpln8ue ugled-ec:ed re,(undueui Zt-OZ FoS lp uer{Ec BII1 .ft-02
;Buercqnquns eped srun1 1e8e1 uelqBrerp Er e\:![ys <o Bueteg;u1-n8ue u?ledecal qe4udaeq ,e8n1 .:uquu8 rp uu11nlun1-lp Ew,{ tuus upud g ue8ol urcurc ueludecal u?Intual'lelos-uep-uloq ue8unques tu,uel uu8ol urf,urc uep ruer-)pr e) uelSunqnqrp 39 Buelequlrf .s/per
0l uelsuo)mln8ue ueiudecel ue8uap retnd:eq y ur?rleJ .Zt-02*
It-02l0e-02 I80s
|w '{rFil i -.f, \t
i'reqrue8 lp ue11n[
-unllp 3ue,{ lees epud y rp uetol urcurc uuledecred uepueledecel w{ntuol ,s7pa
{r7} = (D ]?In8ue ueledacalrcfundueur uellnlunlrp Bue,( ieus eped uep ,
rspet {ry1= 1} JelnBuB ueludac:ad ue8uep relnd:eq lueJIEc ?Ir['le{os-uep-Bloq ueEunqures le,re1 rue8ol urJurc qenqesuep uIBrIBc qenqes eppd uolt1e>l1p gy Bwleg .1g_g7
.Bueluq
snrnl >p8a1 ue{qErBrp relnEue uztedecal ue{rsunsv'ruquu8 rp ue>11nlun1rp Bue,( lees eped y rp ure8ol urc-urc uepdac:ed uep uuledecel uu{ntual .s7pe.r
{r7} = rouulsuol ruln8uu uetedecal ueSuep relnd:eq uu:{ec elrt'le{os-uep-Bloq ueEunqures 1erna1 r.uzgol urrurc qenqesuep uerT€c qenqes uped wEIzIfp gV Eue.te1.0t_02
t9,Y)UTT.\]C XIN)T
1il KINEMATIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
*?fr-36. Batang AB ditopang di B oleh sambungan bola-
dan-soket dan di A oleh sebuah clevis (angkar peng-
hubung). Jika cincin logam di B mempunyai kelajuan v,= 1,8 m/s, tentukan kecepatan clevis di A pada saat yang
ditunjukkan. Petunjuk: Lihat Soal 20-34.
20-39. Batang AB ditopang di A oleh sambungan bola-dan-soket dan di C oleh bidang y - z. Potongan AB ter-letak di bidang x - y. Pada saat d = 600' 0= 2 radls dantitik C mempunyai koordinat seperti ditunjukkan pada
gambar. Tentukan kecepatan angular batang dankecepatan titik C pada saat ini.
IJ ni
!
i-i
-'--?-:t}-lr*
20-37. Pelat segitiga ABC ditopang di A oleh sambung-
an bola-dan-soket dan di C oleh bidang x - z. Sisi AB ter-letak di bidangx - y. Pada saat 0 = 600,0 = 2 rad/s dan
titik C mempunyai koordinat yang ditunjukkan di gam-
bar. Tentukan kecepatan angular pelat dan kecepatan
titik C pada saat ini.
20-38. Pelat segitiga ABC ditopang di A oleh sambung-
an bola-dan-soket dan di C oleh bidang x - z. Sisi AB ter-letak di bidang.r - y. Pada sadt 0 = 600, 0 =2 radts, d= 3 rad/sz dan titik C mempunyai koordinat yang ditun-jukkan di gambar. Tentukan percepatan angular pelat
dan percepatan titik C pada saat ini.'
Soal 20-39
*20-40. Ujung C pelat bersandar pada bidang horison-tal, sementara ujung A dan B dibatasi untuk bergerak
sepanjang celah berlekuk. Jika pada saat yang ditun-jukkan pada gambar, A bergerak ke bawah dengan kece-patan konstan vA = 4 rnls, tentukan kecepatan angularpelat dan kecepatan titik B dan C.
Soal 20-40
"- .. i,, K ,:"
-. t.!ssl-.-.. *r {tg
o-g,.r }.ltnuG\
Soal 20-37120-38
i
uBSuep
G-Od Vtsr + Vr =st
'JoUe^ ueqellunlued.rJep ( EIBtu 'l I-02 rpqugD,vtsr
Irp\at rctsod nDp^ qelo uu1e1e,(urp ..y depuqrel g,, rsrsod EI|I .lslsod
II-02 rBqurEO
,Y,i
l'.sxi.r'
i--""iu
'nquns uBInduDI ntBS r.lEIBS X
Sueluedes uurseuuJ ueuoduo{ {$ueq uEIEp up{Ble(utp tedep E{erer.u ' r
undnelen 'Z i'X uence B{3upJa1 depuq.rel firyrup rur rol{e^ Bnues .,Jpl r
Up = e uep 1y Sursuur-Surseu qBIEpB z ( ? nquns reln8ue ueledecrod euesreln8u'e uuludacel uap 'yB uup va, Eurseu-Burseu r{Blupe y Ipp ueludeJ-rad uep ueledece>1'uulqeqredrp 8ue{ lees epud..Z I X dBpuqrel rsulorequBp rs-plsuBrtreq tuBx 'z ( ? lBurpJoo{ ru3}srs IssB {pp uu4u1e,(uaur y rBSRp
{plI 'sr uep vr rsrsod ro11el lcMIIZ l,X uen)e ul8uurel dupuqrel;r1u1erue1u1u,(urp g uep v IIlp Iu13l .lI-02 rBqurBS rp uoplnlunlrp grede5
'Bpeqreq 3ue,( nele eues 3uu,( ru8el upuequped 1e1apq {pp enp nelu ue8untuu8req 1u1 Bunes ureces lereEreq Buu,(nlr le{Ued Bnpe{ rrep n1us r{€lBS ue4e1e,(uaur ludup g uep y.e{uuuumnuedruBIEp unun 8uu( e{uleyrs Eueru;4 .rsulor uep rsulsueJl rurepEueu Buu{ ue-ncu E{8uero{ depeqrat.;rp1er lere8raq lpp ntes .g uEp y {pp enp ueludec-rad uup uuledace>1 uelEunqnqEuetu 8uu,( uu>l8uuqure4p ue>Iu uBeuesredBnp IUI qggqns tuBIBC 'nfidtaq SuoK unsolur\ Suefuudas lera8req laTuedEnparl nBlB nlus BIrq urc1 ya1ryud depeq-r4 1e4ged ntusJIIBIaJ uulere8 ue1n1-ueueru {nlun u?p 'eurstueletu nlens rJep qusrdral Buu,( uer8uq_uur8uq upud{ElolJel 8ue,( >1pp enp uulere8 uelnlueueu {nlun EJuc uu4lnlunueur u8n[Iur srsrluuv 'Z f 'X unpel u13uera1 depeqrat JrlBIeJ rssloreq uep rselsuerl-req 8ue{ z '{. 'x nquns uelsrs uueun88uad ualqnlnguau re8al epueq r iqunqes rsuaurp e8q uulera8 srsrluue8uaur {nlun urntun Burpd Eue,( uru3
ISYJOU NYO ISVTSNYUI NflIAIOSNtxr\13c-\il\i NvcNg(I.tlrvrflu N\ilxvutrc slstfvNy t \zx
991\DItrT}'\IC XL\)I:tt Y)I INV)ANI
I156 KINEMATIKA TIGA DIMENSI BENDA TECAR
r, - posisi B
ro - posisi titik asal A
rrro = posisi relatif "B terhadap A
Kecepatan. Kecepatan titik B diukur dari X 11 Z ditentukan dengan U,
mengambil turunan Pers. 20-9 terhadap waktu. yang menghasilkan
is=io+iu,o
Kedua suku yang pertama menyatakan v, dan vo. Suku yang terakhir dihi-tung dengan menggunakan Pers. 20-6, karena ruro diukur antara dua titikdalam acuan yang berputar. Jadi,
is11=(is11)ry2 + Q X rr,4= (vs1e)ryr+ C) x ralA (20-10)
Di sini ("au,)*, adalah kecepatan relatif B terhadap A diukur dari x, y, z.
Jadi,
yB= yA+ {l x r*o + (v67,4)5,1 (20-11)
dengan
rr = kecePatan B
rA = kecepatan titik asal A kerangka acuan x, y, z
(vB6)ryr= kecepatan relatif "B terhadap A" seperti yang diukur
seorang pengamat yang terikat pada kerangka acuan ,,Y, zYang berPutar
C) = kecepatan angular kerangka acvan x, y, zrrr, = posisi relatif "B terhadap A"
Percepatan. Percepatan titik B diukur dari X X Z ditentukan dengannmengambil turunan Pers. 20- I I terhadap waktu, yang menghasilkan
ia = ie * 6 x rrro + Cl x i,o + iu,o
Turunan terhadap waktu di suku yang pertama dan kedua masing-masingmenyatakan au dan ar. Suku keempat dihitung dengan menggunakan Pers.
20-10, dan suku terakhir.dihitung dengan menggunakan Pers.20-6, yang
menghasilkan
'vsA= (161s)*yz + c) x ("ara)r).
=(as16)xyz.+ O X (v62)ry
Di sini (aar.q)r-r..- adalah percepatan relatif I terhadap A diukur dari x, y, z.
Dengan mensubstitusi hasil ini dan Pers. 20-10 ke dalam persamaan di atas
ddn dengan menyederhanakan, didapatkan
dB=AA*d x.rro+Q x (C) Xruro)+2C) X(vs6)-r,,. +(a614)nq QO-12)
dengan
aB = percepatan B
. atr = percepatan titik asal A dari kerangka acuan x, .y, z
(agy4)rrr(vpy4)rr. = percepatan relatif dan kecepatan relatif "B terhadap
A", diukur oleh pengamat yang terikat pada kerangkacuan.r, y, zyang berputar
O, O = percepatan angular dan kecepatan angular kerangkaacuan .r, y, z
roro = posisi relatif "B terhadap .4"
xl-ihat Subbab 16.8 untuk interpretasi suku-suku itu.
'rur rnpesord uDIJEquESSueu rur.lnlrraq qoluor Bnpa)
. 'JOlIeA rSBJodO UUIUuUS
-{EI uup B{oBrusupl uBeuBsred uElep eI EFp llnlrlsqns 'E^uilplv'uulpun8rp ualsrsuol 3ue,( uentes roue^ u€[ndunl
ue{lese 'Suereqrues qeppe ufuueqllld '2 ( t Eueluedes nule Z 7 'X
nquns Sueluedes qrlrdrp tedep tut rol{a^ enues uauoduroy 'Suntrqrp e1
-lletueurl nlns-nlns uep rsnlrlsqnsfp tedep llrer.unu IBos Elup 'qeloradrp2.i x(vtBe) uup r,( .'1vlao; .r a.(p) ,ye .yr .e Jn1>1eJet Intuaq qeleles
'o ru8uqas uulnrypadrp snreq uu{nlJedrp 8ue,( nqemdepeqral ueunrnl Sunltq8uau {nlun uBIBunBtp 3ue,( ruln8ue uzledacaluup uuledeca>1 'rstsod eIIlBtuouII ueJeseq'1uq enures uuleq ''nt O ,npz { xlvtspl ':'i x(.vtqo Suntrq8uatu rnlun ugrpun8rp snruq 9-02 'sJed
E{uru '2 ( t relndraq 8ue,( e>18uura{ rrep uEtuErp tlredes qoto qoqn8uaw
luduruu 'o O ,np v/fu u>1rf 'eures uruc uu8ueq 'Z l'X dulal 8ue,( e>18uur
-eI IJBp lluuerp E[q 1DJD qoqn?uaw ledtueu iy uep vr e1r[ rur ro11a,r
SunlrqEuau {nlun ue{uun8rp srueq 9-02 uuuruesred 'e uep h'e'vr ue{-reqelueur Inlun uuIr{nlnqtuoru 4otafuaq Zuo{. p>18uotaq uEIBreD
'uErseuB] Inluoq urelBp
uu1ele'(u1p,uu;#:
ffi;: :?iH:, :;i " : ;:; :"". ;:]t
ztx1vtl4 +vfttt x15 +. v,r = sr
ru8uqes Irloqurs Inlueq urBIBp ualsrlnlrp snruq
ZI-OZ uvp II-02 'sred 'ue>Jrurnrp g lere8req Suuf lrrp uep ualdulelrp'y 'lu;a8rag 3uu,( e13uu-re1 luse {llp r{BIelaS 'trylpuauly urmuDsrad
'uru1 3ue,( reln8ue ueledece{ ueuoduro>1-uau-odtuo>1 qelo uuldulqrp 3uu,( 6 ue8ucp rqnd.req e13uere1 uup ('r" U)rur e13uura1 rueIEp rlurrr€rp relnEue ueledecal uauodruol ntes e,(u-uq eESurq ueplruepas qrldrp z i( r nquns epq Euernryeq ue{u uu8unl-rq:ed uleu '1eos nluns uBlep luqrlJet tedep relnSuu ueludecel ueuod-uo1 rcSeqreq BuerBX 're[e[es qulupe nguns-nquns (g) netuTuup teau-rlo{ qBIBpE nquns-nquns (7)'ttdtuuaq IBSB Illlt-Iltlt (l) :uelleosredrp3uu,( lees eped elttqepnur uu8uep pdeprp rsnlos r1u18uues '2 ( 'x uep Z7 y tuuprool nquns rsuluauo uup rselol ue1delel 'pulpJoox nquns
'ru8e1 upuaq-epueq nBlE leltued rrep rsueurpe8q uelure8 1n18uu,(ueur 8ue,( pos-1uos ue{r{Brerueu ruEIEp ZI-OZ uep
I I -02 'sJod uuldzreueu {ruun epolotu uuluaquou rur lnlrJeq Jnpesord
SISI'IVNV XOJNO UNCgSOUd
'O r{BrB uep.ruseq uuquqnred epud Suntue8-rat U BUaJE{ '9-02 'sred ueleunSSueru ue8uap 3uru1q1p snJuq O 'rsuaurpe8q irelure8 )nlun 'ueIBJaB Sueprq srun; le8et nplas 8uu,( uo1suoq tlotore(unduetu O uBp U euaJBI uuluuuqrepesrp uederal'nll IBq tuEIEp runueN
*'JrluleJ Sueprq uelera8 srsrluuuSueru Inlun 8'9I qeqqns rp ueluun8rp3ue,{ ueeuresred ue8uep {puepr qelepu ZI-OZ uep I t-02 ueeuesred
YXI}TYNIC X INX
1S&xrr.rsrraArrKA TrGA DTMENSI BENDA TEGAR
Sebuah motor M dan batang yang terkait AB mempunyai gerakanangular seperti yang ditunjukkan di Gambar 20-12. Sebuah cincin logamC pada batang diletakkan 0,25 m dari A, dan bergerak ke bawah sepan-jang batang dengan kecepatan 3 m/s dan percepatan 2 nlsz. Tentukankecepatan dan percepatan C pada saat ini.
SOLUSI
Sumbu Koordinat. Titik asal kerangka yang terap X, y Z dipilih padapusat papan penopang, dan titik asal kerangka yang bergerak a y, z dititik A, Gambar 20- 12. Karena cincin logam mengalami dua komponengerakan angular, o, dan a1y, rDak& ia terlihat mempunyai kecepatanangular O D" = a, di x, !, z dan sumbu x, y, z. terkait pada papan peno-pang agar C) = rop.
Iri.,- 5 tlii-li.",
r4,. 3 riril,r*:
li.!.i rrt
(1)a, = .1 tir($\rilrr''' I rliil.i.'ril
Gambar 20-12
Persamuan Kinematika. Persamaan 20-l I dan 20-12, yang diterapkanpada titik C dan A, menjadi
Yc=yA+C) X r.ro +Qc^)*l,z (l)Ac=zA+Axr,o+O x (Cl X 1511)+2{2 X("cle)"..r. +(ag1ilrr_ (2)
Gerakan Acuan yang Bergerak
O = 1r1p = {5k} rad/s Q tidak muncul untuk mengubah arah
relatif dari X, Y, Z
Karena titik A bergerakdalanr lintasan lingkaranyang terletak padabidang X-I. nraka kitajuga dapat menggunakanPers. l6-15 dan l6-17untuk mendaparkan hasilyang sama
C) = 0p = {2k} rad/s2
ro = {2i}m r, muncul untuk mengubah arah relatif terhadap X, y, Z.
Jadi Pers. 20-6 harus digunakan
f oo= io = rir)* r..1+ 0)p X r. = Q + 5k x /i = {l0j}m/s
I ,o = i) = ttie)*..,,.*op x (i/)8.r,.1*6" x rA + op x iA= 0+ 0+ 2k x 2i + 5k x lOj = { -50i + 4jl rn/s2
20-4
r
uDqDilDI',zslut {{92,0 + IZ,ZZ + IS,LS -} =
(tsz'o + [sz'8t) + [({g - fsr'o) x ls]z+[(lsz'O -) x ls] x {s + [(ttsz'o -) x tE] + ([r + toS-) =
z Kx1vtc"1+ 2'('1vlc^;ra a7, + (Dt x o) x 1; + Y/J1 X U + ve
= Js
zslu {{SZ'0 - [g'Ot)] =(le - fsr'o) + [(ltgz'o-) x {s] + for =
z{x(v9D+vl}txO+ya=Jo
uapeduprp Zuep l'srod luulep oI BlBp rsnlrlsqnsuau uu8uaq
zslur {>ISZ'O + fSZ'gt)} ={>ts - fsr'o) x (re)} + [({Ez'o -) x (lr)] + t({s-) x r€ + :lrz ir =vDl x hto + vnt x w g + ltu(vD$ x 4ro + ztt1vnr11=vD"=ze(Da1
s/ut{{€ - fSt,O} = [({S2,0-) x 1g] + r1g- =. vot x w* *zK'x7vDI) =vDI =ztu1vDo1
'uuluun8rp srueq 9-02 .sre4 e8Euqes,z,t.x dupuq-le1
JrteleJ r{EJp qugn8ueur >1n1un yncunu zJ-r
,sper{;1} = 4g ='u ,) sTper{1g} - Na ='k UqotaBng Suot uoncy dopoq,t4 ) umpng
691\){Ilt\--\lc :xtrDl:[ YXINV)IAn
I 60'rrr.rel'aArrKA TIGA DTMENST BENDA TEGAR
CONTOH 20.5
o'"'-'13't
Bandul yang ditunjukkan di Gambar 20-13 terdiri dari dua batang.AB ditopang oleh jepit di A dan berayun hanya dalam bidang Y-2, se-
dangkan bantalan di B memungkinkan batang yang terikat BD berputarterhadap batang AB.Pada suatu saat, batang mempunyai gerakan angu-lar yang ditunjukkan pada gambar. Jika cincin logam C,yang terletak 0,2m dari B, mempunyai kecepatan 3 m/s dan percepatan 2 m/s2 sepanjang
batang, tentukan kecepatan dan percepatan cincin logam pada saat ini.
SOLUSI I (Q = {01, C2 r,,.. = to1)
Sumbu Koordinqt. Karena batang berputar terhadap titik tetap A, titikasal kerangka X, Y Z akan dipilih di A. Gerakan cincin logam lebihmudah diamati dari B, sehingga titik asal kerangka .r;, _y, e diletakkan diritik ini.
Persamaan Kinematika
yC= yB + Cl X rar, + (v616)r;-2. (l)
Ac=aB+d x rarr+Q x 1C) Xrarr) +2C) X(v676),.,.+(acta).rr. Q)
O=ri,,={1,5i}rad/s2 Q tidak muncul untuk mengubah arah
relatif terhadap X, Y, Z
mengubah
)":Z
lawqban
.('- a, *4rqrls
b, .,5 taur
Gerakan Acuan yang Bergerak
0 .,.',,.= ro, = {5k)
t rro = o,2il
ra = {- 0,5k}m r, muncul untuk mengubah arah relatif terhadap X, Y, Z
vB= iA=(ie)-r,_.,,.+or x rB= 0+4i x (-0,5k)= {2i}mA ) Ini adarahsamaseperti ,rengguna-
aa=?n=[(f6),,1,.+(Dr x(ia),,r,J+(br xrB+or xia ^ I Fl.tlJi,Ji,li*.Jl;'J;ffi1=(0+0)+[1,5i x (-0,5k)] +4ix2j={0,75j +8k}m/sr r y
Gerqkan C terhadap Acuan yang Bergerak
rad/s d rr== io, = {-6k} radls2 rrl, tidak muncul untuk
arah relatif terhadap jr,
raru muncul untuk mengubah arah relatif terhadap ,r, .y,
(vc/B)rr,r- ic/a= (?c&)r.r,i+ o, x rae=3i + 5k x 0,2j = {-li + 3jim/s
Qcn).u-r-f c/s=[(r61s)r.r,., + (D2 x (?s7ilr.y,r.) + io, x rc/B+ a) x ?r,u
(2j + 5k x 3j) + (-6k x 0,2j) + [sk x (-li + 3j]= {-28,8i - 3j}m/s2
Dengan mensubstitusi data ke dalam Pers I dan 2 didapatkan
vc = vB+ f) x r.r, + (vcle)rr. = 2i + 4i x 0,2j + (-li + 3j)
{-li + 5j + 0,8k}m/sac=AB*d xr,u+O x (O Xr,u)+2O X(v676),.,, ,+(ucn).r).r
= (0,75j + 8k) + (3j) + (-6k x 0.2j) + [4i x @i +0,2j1+ 2[4i x (-1i + 3j)] + (-28,8i - 3j]
= {-28.8i - 5.45j + 32,3k} m/s2 Jawaban
uoqDiloIzslwl]{.E'zt + f9t'9 - 18'82-) =
fz+ t[L x ({s +lt)] + tfz'o x ({s+lt)l x ({s +til +
t(fz) x ({s - foz - ts't)l + ({8 + fst'o) =z{'t(Dq +:s1g/lolra az*(Drx u) x 6 +8t)rx 15+ 8u=re
UDqDADIs/ui{8'0 + [9 + 11-] =tfs + t(tz'O) x [({S + 1fl] + !7=
ztxlao q + sD t x1y + B,r - J,r
uultucleprp Zuep I'sred urulep aI ul€p lsnlllsqnsuau ue8ueq
zs/u{ fZ } = B/)g - zcrl vrJ11
s4u{ fE } = B/)
4 =:'(r(YD^)
z 't 'x dupeqtel JIlBIor qere qeqn8uau Inlun [ncunu 7upt1 gD.r ur{ [Z'0 1 = BDt
o=t'f"oo='ft3
4otafuag Sunt uoncy dopoqta7 ) uDlDraJ
zslrut>I8 + fSL'g) =lZx L + [({9'0 -) x lS't] + (g + g) =
n{ , ,a + B.r x t, * 1.:'.'{.r1a1) x tco + ':'i r(sr)l =8!.=ae
s4x{rr8 + [St'g] = ([Z) [({S'O -) x I? + 0 =Br X lcn *.:'.('.'r,Bry -gl-gn
'lpet'lsr ue8uep relnfueq 3ue,('sule rp uuldulelrp
3ue,( uasle:eq-nquns ueleunSSueu ue8uap Sunlrqrp ledep n11em depuq
-rel 8r uuunrnl uSSurqes g.r qere qeqn8ueu lot e,{uuq r8el r1u1es Iuls le
ur{{9'0 -} = B,
'e3n1
.s7per{19 - IOZ- IS't } = (lS xtl + {9-) + (g + ;E'1) =
[zro x rro +,r,(,t1zg)1 + [tro x to +,',(,'(lq)] =zq + I,? = e
u1e61' t or ruln8uu ueludecel
ru,(undueu ues{BJeq 8ue,{ nquns u83urq ueDlltuepes 'V \p Z 'l
X nquns uu8uep lrdrurreq ,z',{',x nquns duSSue8uau uuSuep qulepu (J
uulludupueu )nlun BueqJapes BrBc ntens 'iIpef 'tor qelo q€qnlp zro qure
unrueu '.2'l'X depeq.relJnuler qBJB I{uqrueq >1epn lco Pos Plepuel IJBC
sTper {r1g + 17} =zor + Ito = Oqotafuag Suot uoncy uDlDng
(zrn -'r"u'tco - o) II lsmos
'fi EOL\
L9L YXU.{\-.\.IC:XIN)Is.rV)INV)ISW
162 KINEMATIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
20-41. Pecahkan Contoh 20-5 sedemikian hinggasumbu,r,)lz bergerak dengan translasi garis melengkung
, A = 0, dalam hal itu cincin logam tampak mempunyai
kecepatan angular QC,.B= ot + 11;2 dan gerakan radial.
20-42. Pada suatu saat. batang BD berputar terhadap
sumbu "-
dengan kecepatan angular aBD = 2 rad/s dan
percepatan angular oao = 5 rad,/s2. Juga, bila 0 = 45o
sambungan AC berpirtar turun sedemikian hingga I = 4rad/s dan 0 = 2 rad/s2. Tentukan kecepatan dan'per-cepatan titii< A pada sambungan pada saat ini.
20-43. Pada suatu saat, batang BD berputar terhadapsumbu y dengan kecepatan angular oBD = 2 rad/s dan
percepatan angular rrlro = 5 rad./s2. Juga, bila g = 600
sambungan AC berpttar turun sedemiki an hingga 0 = 2rad/s dan 0 = 8 rad/s2. Tentukan kecepatan dan'per-cepatan titii'A pada sambungan pada saat ini.
Soal
4'20-44. Selama saat yang ditunjukkan di gambarkerangka kamera sinar-X berputar terhadap sumbu ver-tikal dengan or - - 5 rad/s dan ro, - 2 rad/sz . Relatif ter-hadap kerangka,lengan berputar dengan rrtr", = I radlsdan ror., = I rad/s2. Tentukan kecepatan dan percepatanpusat kamera C pada saat ini.
I i l.r m -""- I.;rrtr!'
II iii
20-45. Pada saat yang ditunjukkan, mesin pengeruk ber-gerak ke depan dengan kelajuan konstan v, = 0,6 m/s,
dan derek ABC berputar terhadap sumbu 4 dengan kece-patan angular ot = 0,8 radls dan percepatan angular ro,j 1,30 rad/s2. Pada saat yang sama derek berputar den-gan ro2 = 3 rad/s bila a2 = 2 rad./s2, keduanya diukurrelatif terhadap kerangka. Tentukan kecepatan dan per-cepatan titik P pada alat pengeruknya pada saat ini.
ra. r..{.1.S;t<Llr
tu, r i.;tli;xltr?
tz' = t1l! it:ii
{!'li, nr
Soal 20-45
20-46. Pada saat tertentu, batang berputar terhadapsumbu z dengan kecepatan angular co, = 3 rad./s dan per-cepatan angularc i = 4 rad/s2. Pada saat yang sama,
cakram berputar spin dengan @z= 2 rad/s ketika ro, = I
rad/s2, keduanya diukur relatif terhadap batang.Tentukan kecepatan dan percepatan titik P pada cakrampada saat ini.
r+ l.i ttl
j. i iritt(.+,
I c::*i/r.:
Soal 20-46Soal 20-44
zs'02 IBos
Ir'ita i: + iJ
.ijsi, t' ii: l(il
.,,ir,ri ,{ :{i s rI'(
'lul leus epud g Suep Sunln
uupdec:od uup ueledecel uelnlueJ 's/pur [ = B uels
-uo1 nlul eped sele e1:elnd:eq Supn uep o0[ - A 'Burus
Eue,( lees Bppd 'zslpu: g - I<o ue8uap qequuuaq tuuf's/p?r S'0 =
| ro .rcln8ue uepdece{ uvauep 7 nquns depuq
-:e1 :e1nd:eq Jltoulolol {arep qenqes gy Euera'Zg-02*
IS-02l0S-02 IBoS
..-J.-_.
;.u:.,Ft,.r.l;'il s r?.r,
I
II
'nlr lees- = lc.r uep -Lsper fO = Iro uped qequel
-:r-.::S EII| Og-02 pos uelquced 'IS-02
'rur lees eped Euurl 4ecundetp: F:Js[ i-r.. 6 vqrr uspdac:ad uep uu]edece>y
qEfrr::1.{ \.(f,- ?'i = '--r uvrsuol nfel ue8uep urunl
rrtnd.ler qr i;:l': z-r:ii:r:-\ 's.?er EZ'g - lo uelsuo>1
npt ua-u+ : 1u-ls :r[E*.i.:a :z:nd:aq IeJaC '05-02
6t'02 IEos
l.--'"'^r,]1(lJ
-l^:.r--t-.liI
.,tlt *
"i:it 1 '"1
'rur lEEs eped ue8o1 urcurc
uetedacred uep ueledacel uelntuel 'Eueleq dupuq:e1
JIIEIoJ Jn{nrp e,(uenpel'zs^u g'0 - =..1 ttowqruoltad uup
slvr Z =.r uuludecsl ue8uop 619 8ue1eq Suefuedes 1e:-eE:aq p ureEol ulcurc'e8n1 'rs7pu.r 1 - zo ueEuop qeq
-ueueq Eue,( 's7pe: L = Zrn ue8uap gy Suetuq depeqral
Jrleler rBlndreq qg Buepq'eues 8ue,( lees eped 'zs/per
9 = lg:eynEur ueledecred uep s/p€r Z = la:ulnEue
ueledecol ueEuep dulel uululueq depeqrat:uqndrcq gyueEuel '.ruquu8 rp uellnlunllp SuBf 1ues Epud '6r-02
8p-07tLt-02 IBos
'lur res eped g Eueq 3un[n ue]udac.red uup uuled
-ecel uelntual'zs/per sL'O =-d ustuep ququepeg 8uu,(
'zs/pBr g'0 = p ueauep sue e1 iemd:aq Ermp uep og9 - B'eues 3ue,( lees eped 'zsper Z -
:to ueBuep qequeuoq
Euu,{ 's7pe.r SL'g = 'o relnSue ueludacal ue8uep ;' nq
-uuns depeq:a1 :elnd:eq Ierop qenges gy Sueg 'Bl-W,"
'ru! lEBs epud g Eueu Eunln uetedec
-red uep uutedecel wlnluel 'zslper E'0 - A uelsuolnlel ueEuep sep e1 rqndreq 3ue4 uep o09 - 6t 'eules
3ue,( lees eped 'zslper Z - 202
ue8uap qeqtueueq Eue,(
's/pur gL'6 - 2or :u1n3uu ueledecal ue8uep z nquns
depeq:a1 relndreq Iorop qenqes Vep gV Eueg,'p-q7
,.i'
.9x 'rj
I *.no
.l:-* l;1sf.$t!:r
'rlI;!!r', t.f{jf'.':i..'
lrt{i,...:'(i.= irq
t9Lvtuiir\lc xl\t{:[I v)I IN\r)ani
-_-\
lil KINEMAIIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
20-53. Derek Iokomotifbergerak ke kanan dengan 2 m/s
dan mempunyai percepatan sebesar 1,5 m/s2. sementara
tiang berputar terhadap sumbu Z dengan kecepatan
angular or = 0,5 rad/s. yang bertambah dengan iu, = 3rad/s2. Pada saat yang sama. d= 30o dan tiang berputar
ke atas pada laiu konstan 0 = 3 radJs. Tentukan kece-
patan dan percepatan ujung tiang B pada saat ini.
2
Z)-55. Pada saat yang ditunjukkan di gambar, lengan
OA ban berjalan berputar terhadap sumbu z dengan
kecepatan angular konstan rD 1 = g rad./s, sementara pada
saat yang sama lengan berputar ke atas dengan laju kon-stan ri, = 4 rad/sz. Jika ban berjalan bergerak denganlaju konstan r = 1,5 rn/s, tentukan kecepatan dan per-
cepatan bungkusan P pada saat yang ditunjukkan. Abai-kan ukuran bungkusan.
,/ ttt.,-4rtdis
Soal 20-55
+20-56. Pada saat yang ditunjukkan di gambar, lengan
OA ban berjalan berputar terhadap sumbu 3 dengan
kecepatan angular konstan ot = 6 rad/s, sementara pada
saat yang sama lengan berputar ke atas dengan laju kon-stan io2 = 4 rad/sZ. Jika ban berjalan bergerak dengan
Iaju r = 1,5 m/s yang bertambah dengan'i = 2,4 n/s2,tentukan kecepatan dan percepatan bungkusan P pada
saat yang ditunjukkan. Abaikan ukuran bungkusan.
Soal 20-53
2O-54. Pada saat yang ditunjukkan pada gambar, heli-kopter bergerak ke atas dengan kecepatan v H = | ,2 tlilsdan mempunyai percepatan aH = 0,6 m/s2. Pada saat
yang sama kerangka H, bukan baling-baling horisontal,berputar terhadap sebuah sumbu vertikal dengankecepatan angular konstan oa = 0.9 radls. Jika baling-baling ekor B berputar dengan kecepatan angular kon-stan o8/l = 180 rad./s, diukur relatif terhadap H, ten,tukan kecepatan dan percepatan titik P, yang terletak dipuncak baling-baling, pada saat baling-baling beradapada posisi vertikal.
oil
t-t:
+
*l*-I ;' ttt
ru, - {j.5 /ad/:i
rr' . -1 rad/rl
tr\ !: trri.<Vx::i'
Soal 20-53 Soal 20-56
ev'$ztzt-vzPos
.lil
'uI 9'l = "/ uup oS,= 0 'o}t = Q EIIq 'rut jees epEd y ueue88ue3 uelBdec
-red uep u?l€decel uelntueJ'zsper t- rg un, sperZ-zo ue8uap g ue8unqures dupeqrel uup.zs/pur Z -
Ic.o uup
s/pBr S = Io ue8uep 2 nquns depeq:e1 relnd:aq rJlsnpur
toqo: ':uqure8 rp uerynfun1p 3ue,{ tees epvd 'lg-02
'ru g'I = ./ u?p os, =0 ,o}t
= 0 ellq ,rur lsEs
uped y ueuruSSue8 ueledec:ed uep uuludecel ue{nlueJ"zsner Z =
Zco uu8uep g ue8unqrues depeqret uep
's/psl g - T co ue8uep z nquns depeq.lel .re1nd:eq rJtsnpur
loqo; ':uqueB rp ueplnlunlrp 8uu,{ 1ues eped .09-02+
6S-02 IBoS
r^r..-/,r
'il"
.IUI
::?i .::q: -:-i Jilur-r ueledac:ed uep ueledecal ue1--Ti- :. .- - -=:::--:.ted wp spr g ueludacel uu8uepi--EEi- --.:E-;- -:-- .:- :j:unl 1e:aE:eq 3 uru8ol urcurc
85'02 IEoS
{r}s,
I
I
,1.,|
'rur leps eped ure8ol urcurcuetedec:ad uep ueledacel uu{ntual .Bueleq depeqrat
JDsler Jnlnrp e,{uenpel 'zsln z ueledec.red uEp s^u Lueledece>1 ue8uep 619 Suuteq 8uuluudes >p:e8req ;1 ue8-ol utculr 'e8n1 aslper L = Zo uefluep qequuyeq Bue,(
's/per S = Z<o:eln8uu ueludecel uu8uep gy Bueleq dep
-?qJel JrtBIeJ :elndreq qg Sueleq,eures Eue,{ lees eped'zsprl t - I co reln8uu uetedac:od uep s/pul t =
Ior rulnfuuueledecel uu8uep y delal trdel depeq:a1 ,r1ndl"q gyue8uel 'ruque8 rp uullnfunlrp 8ue,( teus eped .gS{}Z
ls-02 IBos
={*r -s7pr:.r ;',',:12 i _f r..s,,ulj ( i: 'n,
g.(' l. J1>tu t = itt Atf,'{' .t \rri,aPr
'ilitr, 1;1
fr
'n:lr luus upud tuu3o1
urcurc ueledec.red uup ueledecal ue{ntuel ,Eurluq
depeq:e1 Jltpler rnlnrp e,(uenpe>1 .as4rrur 967 ue8uep
q€quruuaq 3ue,{ 's7uru 91 uun[e1e1 ueSuep uurelBurl3uuleq r8urple8uotu urunt ryra8:eq 3 ure3o1 urcurc u1r1'requre8 rp ue>11n[un1rp 3ue,( r]:edes 3ue1uq dupeq:e1.ir1e
-er:eln8uu uele:e8 re,(undulau uu.ru13ur1 Sueteq 'uues
3ue,( lees epud zslpeJ f = Ico:elnfiue ueledec:ed uup
,r,,pr:.t 4 * :,u
$1pPJ i, f, t(*
uzlu:.- : i*-Lr-]- .'--=:- ::s ntrns ppEd '6s-02 JElndjeq gy suBleq .ue>p1nt'un1rp Buu,( lues epea. Lg-02
?ilr?l .Xli, * tal4#:4)r $ s it$\^
991\l{II{t-\lC X I-\) :tI \IX INVXIhI
--lIIitti166 KINEMAIIKA TIGA DIMENSI BENDA TEcAR
Kancangan perrnalnan-permalnan dl tamanhiburan membutuhkan analisis gaya yangbergantung pada gerakan tiga dimensi per-mainan itu prinsip yang dibutuhkan untukmelakukan itu akan dijelaskan di bab ini
[-IZ rBqr.uBc
'uetuela oI nquns rrup tBleprel {ure[ lerpun{ uBSuepnlr ueuela BSSBTU tlel lrsBr.{ rc3uqas uElrsruueprp lBurp.tool nqulns e3rlelrrBp nlBS qulEs depuqrel epuoq uep Mp IrJeI usr.uela msrdul uauohl .l-IZ
r requED rp uuIlnluurp 3uu,( 18331 Bpuaq ue{rlBq,red .BISJaUI UeUOtrAI'uB)dt?letrp
qelel 8uB{ IESB lr}l uep rseluerro te{undueu Bue,( ntuat.rel }uurp,too)l tuet-srs depuqralyrleleJ Bpueq qunqes uped esseur rsnqrrlsrp snsnql erec ue8uepueryequuSSueur 'Ersraur rlB{ Irssq uBp ualuou ueluueurp 8ue,( ,rur n>1ns
-nlns 'lersJeur upreseq ueue 8un1rq8ueu,r n;ted Suupu>1-Suupul rsueurpu8rl uelure8 u{rleur{ srsrleue lruun 'g essuur lusnd le,/r\el uup uelule8 Buep-rq eped sn;n1 1u8el 3ue,( nqurns depuqrat Suntrqrp BuuK,cl Brsrour ueul-oru uBIleuelredrp nped 'upuoq r{Bnqes.reueld e{rlautl uetbledueu u{pa)
VISUflNI I]YX 1ISYH NIYO NflI IOW TIZr'suquqrp uelu rsrol-sBqeq uulura8 uup
'dolsorr8 uulere8 'de1e1 nqruns dupuqrel srleurs ry1 3uu,( epueq uelere8dnlucuau 8uu,( snsnql >1rdo1-1rdo1 uep 'uu>13ueque{rp uBIB uurpnualrselor uelure8 ueeuesred 'rsuaulp e8rl leos-leos uelr{Bceuou 1n1un ruu(e1-eru ders r8reue uup ufte1 uyes tunlueuoru uup slndurr drsurrd .nll qutel-aS 'Epueq reln8uu unJuetuoru Sunlq8ueu-r uup Bpueq ursreur rlel Irsuq uepueruour uelsnlunJrp nped eynu-e1nru'rur ueuuesrad-ueeuesrad uelduleu-eu Inlun 'upueg JBnl rp nelu ruulup rp Ielelral 8ue,( lltlt nlens depeq.rel
leurelsle u,(u3-e,(e8 qelo ue{ltseqrp 3ue,( ueuol.u ueuodruol uu8uep epueqreln8uu uulure8 ueuodurol uelSunqnq8ueu rselor uelera8 uuuruusled
'1e1nred ue{uro8 uu8uepBruBS urec uu8uep ueln>ppedrp '9era = JI qelo uulrsrugeprp Bue,( ,upueq
ussuu lesnd uBIuJeE BueJBI 'ruEa1 upueq uu4ere8 rco1ot 4edse upud eu-BlnJsl u8{rreqrp u?uEIel lul qBq uBIBC '9vru = d3 uBBuesrod 1ema1 upueqesseur lesnd ueludarrad uu8uep ue>lSunqnqrp ludep epueq eped ulre1aq8ue,( pu;e1s1e e,(u8 uelsrs BA\r.pq suqpqrueu 8ue,( .11 q€g Ip suqugrp qulal,sDlsuDrt B{rleuDl ledsy'lees nlens BpEd uellnurs rseloJ uep rsulsue.rl ru,(u-ndurau Br E{Eru Suunr urelup lere8req Bpueq qenqes elrq .untun uJecas
UYOflIY(It{gfl ISI{SHII( YOII YXIJflNIX
TZ
r6E BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Sebagai contoh, seperti terlihat di gambar, r. =inersia massa dm terhadap sumbu x adalah
, sehingga momen
dI.u= Prdm = (J2 + z2) drt
Momen inersia 1r, untuk benda ditentukan dengan mengintegrasi pernyata-an ini meliputi seluruh massa benda. Jadi, untuk tiap sumbu, kita dapatmenulis
Ir.,= {* r2rdm = !-O' * :2) dm
Irr= I^*,a* = [,,r{*'* 721dnr
Irr= [^Prd* = I,re'* .v2) dm
Di sini terlihat bahwa momen inersia selalu nterupakan besaran positif,karena ia merupakan penjumlahan hasil kali massa dnt. yang selalu positiidan jarak dikuadratkan.
Hasil kali Inersia. Hasil kali inersia untuk elemen kecll dmdidefinisi-kan terhadap himpunan dua bidang ortogonal sebagai hasil kali massa ele-men dan jarak tegak lurus (terpendek) dari bidang ke elemen itu. Sebagaicontoh, terhadap bidang y-z dan x-2, hasil kali inersia d/- untuk elemen dmyang ditunjukkan di Gambar 2l-l adalah
dlo= 1sY61a
Perhatikan juga bahwa dlr*= dl ,. Dengan mengintegrasi meliputi seluruhmassa, hasil kali inersia benda untuk tiap kombinasi bidang dapat dinyata-kan sebagai
Ir= Irr= !*x1, dm
Iv, = Irt = [,nYz d*, -,l*r.= lrr= J,r,xzdm
Tidak seperti momen inersia, yang selalu positif, hasil kali inersia dapatpositif, negatifatau nol. Hasilnya tergantung pada tanda dua koordinat yangmenetapkan, yang berubah saling tak bergantungan. Secara khusus, jikasalah satu atau kedua bidang ortogonal adalah bidang-bidang simeti untukmassa itu, maka hasil kali inersia terhadap bidang-bidang ini adalah nol.Dalam hal itu, elemen-elemen massa akan terjadi berpasangan, dan ter-letak di tiap sisi bidang simetri. Di satu sisi bidang itu hasil kali inersiauntuk elemen akan positif, sedangkan di sisi lainnya hasil kali inersia untukelemen yang bersesuaian adalah negatif, dengan demikian jumlahnyamenghasilkan nol. Contoh tentang hal ini ditunjukkan di Gambar 2l-2.Dalam kasus pertama, Gambar 2l-2a, bidang 1l-e adalah bidang simetri,dan dengan demikian Io = I. = 0. Penghitungan untuk 1r" akan mem-berikan hasil positif, karena sehua elemen massa ditentukah letaknya de-
ngan menggunakan hanya koordinat y dan z positif. Untuk silinder, dengan
sumbu koordinat terletak seperti ditunjukkan di Gambar 2l-2b, birJang x-zdan y-z keduanya adalah bidang simetri. Jadi, I ,, = I yr. = I , = O
(21-2)
(21-2)
tli
IIfl'
Ii
( "t "r- "l-')l"r- "/ "r-l["2- "/- "/ )
f-Iz requec
1/
.,;,"''''
re8eqas uu{srlnttp tudup uep 7-lZuEp l-lZ 'sred ueleunSSueu ueSuep uultsluuaptp rur nlns-n>1ns uuund-rut11 'uu8unluaSlaq 1e1 3ur1es e,(uerutuu rp rxuuo ,n{ns uultguIcs qclo ulr)-ntuolrp du>13ua1 uruces epueq qunqes [ers.reut lc.]ls-teJlS BIsJauJ Josuel
' t'tl qeqqns'_rulu(as nquns ueeuruslad
Inlun uulrJeqrp 8ue,( uu8uep edn;es qeppu rur snurnJ-snun.r ueun.rnued
@-tz)
Dx.DZLLT + 9(,,,,1) = ", IlzD^w *D(r,tD=,, ID1Dnu * 91.,t,"7;
= r:r7
reBuqasuelsllnltp iedep rulelas Sueprq uueuteslad '€-[Z luquru3.!,- uep,r,(.a),\te8uqes Suuprq-Suuprq urutuu sn-rn1 1e8al 1e.ref uuldeloucru ue8ueq .O ulutIltll te,ret uurensesreq 8uu,( .rutules Suuprq u3r1 uuundurrq oI Bpueq essurulesnd luzrrel 3uu,{ 1euo8o1lo Sueplg uBrl ueundurrq t.rgp Epuaq srsrour ltu>l Il"^-uq ra.]sueituau )nlun uuluun8rp rur DtuoloeJ .Surlued qelupu nbt'as' Buop-tq Dtua.toq'rurs rp unueN 'upueq ersJeur ueurour ue8uep urues 3uu,( utucue8uep Sunlrqrp ue8unqe8 upuoq nelu upueq qenqes uls.reul r[u) lrssH
(L- r z)
(Dr'i +9rx1ru + c(,t.t1) = "1(Dr; +Drxltu * c1"!(i; = ir!
Prz + DrnYa + c(,t,'I) = "'1
qElepe ? i( 'r nqu-rns depeq:e] ersiaut uouou Sunlrq8uaur Intun ueleu-n8rp 3ue,{ .rel'ules nquns uueuus.rad BIEr.u ,E-lZ JBqtuuC ,z ,i ,x nqunsrrep ueldelelrp 3ur,( cy 'c6 'Dy wurp:oo1 re,(unduou g EII!',lul luq ueleq'urel lrlp ie,ta1 3uu,{ .relules nquns aI g ussutu lusnd te,trol Buu,( nqrunsnlens rrep upueq ursrour uouou-r reJsuullueu {ntun uerBunSlp l't t qBqqnstp uelSueqtualrp 8ue,( 'rur utueroel 'ue8unlq:ad {n1un uuleun8lp ttertSwns nfofas nqutns Duatoal rur snsel Bnpel uieluq .3uu1e1eq
lndues urzl-Bp rsts lp I?qq uglup uuISrJnllp 8uu,( qredes 'uuuqlepos qtqe J 3uu,( ueu8cs-ueu8es qelo Inluegtp 8ue,{ upueq n1re,( .ue8unqu8 upueq-epuoq ursraurueuloul uB{ntuaueu )n}un epojau sBrlBgtp u3n1 '
1 'a l qBqqns rp uulsulel'rpupuaq Ersreur uauou uelnlueueu Inlun ueleun8rp 3uu,( rser8alur )lu)eJ'rB[B[aS Suup;g Bruaroal uB( rB[B[aS nquns-nquns
z-Iz rBqruEc
i------,;---.-..-,.-------.-.llt
#;
li:i:l:: I iYL
\i;'lr:'r :'
II,
69tKI{I I \\--\ IC )IINXIIJ VXNVYIIhI
-___---l
I7O BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Deretan ini dinamakan tensor inersia. Tensor ini mempunyai kumpulannilar-nilai unik untuk sebuah benda bila dihitung untuk tiap letak titik asalO dan orientasi sumbu koordinat.
Untuk titik O kita dapat menyatakan kemiringan sumbu-sumbu unikyang hasil kali inersianya untuk benda itu adalah nol bila dihitung terhadapsumbu-sumbu ini. Bila dilakukan, tensor inersia dikatakan "didiagonalkan"dan dapat dituliskan dalam bentuk yang disederhanakan
Gambar 21.4
Di sini l*= lu, lu= I'n, dan ,l- = /,- dinamakan nnmen iner.sia utama un-tuk benda, yang dihitdng dari suntbu-suntbu inersia utama. Dari ketiga mo-men inersia utama ini, satu akan merupakan maksimum dan yang lain mini-mum momen inersia benda.
Penentuan matematika arah sumbu-sumbu inersia utama tidak akan di-bahas di sini (lihat Soal 2l-25). Namun, ada banyak kasus di mana sumbu-sumbu utama dapat ditentukan lewat penyelidikan. Dari pembahasan yanglalu terlihat bahwaiika sumbu koordinat diorientasikan sedemikian hinggadua dari tiga bidang ortogonal yang mengandung sumbu-sumbu adalahbidang simetri untuk benda, maka semua hasil kali inersia untuk bendaadalah nol terhadap bidang koordinat, dan dengan demikian sumbu-sumbukoordinat adalah sumbu inersia utama. Sebagai contoh, sumbu-sumbu r, y,
z yang ditunjukkan di Gambar 2l-2b menyatakan sumbu inersia utamauntuk silinder di titik O.
Momen Inersia Terhadap Sumbu Sembarang. perhatikan
benda yang ditunjukkan di Gambar 2l-4, dirnana kesembilan elemen ten-sor inersia telah dihitung untuk sumbu .r, -1,, z yang mempunyai titik asal diO. Di sini kita ingin menghitung momen inersia benda terhadap sumbu Oa,dengan arah ditetapkan oleh vektor satuan u, Dengan definisi loo = I b2
dm, dengan b adalah jarak tegak lurus dari dmke Oa. Jika posisi dm diten-tukan letaknya dengan menggunakan r, maka b = r sin 0,yang menyatakanbesar perkalian silang ua X r. Jadi, momen inersia dapat dinyatakan seba-gai
Iou= I*l(u, x rrl2 ,ln, = Jr,(uo x r). (uox r) dnt
Andaikan uo= ui+ urj + a.k dan r =.ri + yj + ek, sehingga uo X r.= (u;- u,y)i + (u{ - upi + (ur} - urr)k, maka, setelah rnensubstitusi danmelaksanakan operasi perkalian-tit'ik. kita dapat menuliskan momen iner-sia sebagai
Ioo= !u,l@f - ury)2 + (u{ - uitz + (u"t - u;,2) dn
= ul [,,, 02 * ,2 ) dm + uzr, !,,,1e' + x2, dm * ,', !,,, (x2 + y2, dm
-2uru, Ir, *y ,t^ - 2urur. !,,, yz dr, -2u-u* 1,,, :x d*Dengan mengenali integral sebagai momen dan hasil kali inersia benda,Pers. 2l-2 dan2l-2, didapatkan
I 6o = l.rruz, + l ru2, + 1,,u2- - 2l,u*ur, - 2l r-uru- - 2l -^u-u., (21-5)
Jadi, jika tensor inersia dinyatakan untuk sumbu x, .)l i, maka momen iner-sia benda terhadap sumbu Oa yang miring dapat dihitung dengan menggu
(t, o o)
lo r,, o I
[o o t,)
'(3 uurrdurel tuqll)z i( ? nqurns Surseur-Surseru uep pO nquns ErBluB lenqrp Eue( X 'f, 'nleurpJoo{ qure lnpns snursoc ue1e1e(uaur rur n{ns-n{ns 'uB{nlueup sueqnquns-nqun s
zn An ' rin snursoc qeru ue8unlrqrad 1ntu6 'S- I Z 'sJad up{eu
uogDiloI'.ut 31 39 1'g =(8ot'o -Xsot'oxooz'o -)z -
(gor'o)(gtg'oXogr'o)z - (grg'oXgor'o -X09t'0 -)z -7(sol'o)oom + ,(ere'o)(esv'O + z(gon'o -)08r'0 =
* r'nn I Z -' rrn'* I Z -
*r* ru I Z -.'rr" t * Lnil r + xrnn
J - nv,
-Eprp s-rz 'sred .,EIEp e1 Bunlrqrp Eue,( ulup Isnrrlsqnsuau "H]:T
gov'o =zn 918'0 = (r 80r'0 - = r,?
at
'lpef
,Yn{80t0+lgtgo+lsotoIZ'0 + [r0 + lz'0-
o.r
uBnlEs Jol{e^ qalo uu{rsrugaplp DV nqurns
zru 31 002'0 -= [(Z'0 )(Z'dv + 0] + [(t'0 )Q'dZ+ 0] + [0 + O]=*'l
zu t>t 09t'0 = [(Z'O)(Z'OD + 0l + [0 + 0] + [0 + O]='(l
zu EI 09t'0- = [(Z'O)(Z'O-)f + O] + [0 + 0] + [6 + 91='to7
zu 3{ 00t'0 = [(z(Z'0) + ,(Z'O -Dv + zO'O)$)zVi +
l.r0'Oz +,(z'o)(dzttrl + [o + o) = " 1
zu B{ €Sr.0 = [(z(2,0) + ,(Z,O -))t + Ol +
IQft' 0 +. r( r'0 1)7 + rk' d(z)zvi + 17fi ' Oz + r(z' o)(z)zrtl ='K rzur
3>t 08?'0 = [e(Z'O) + ,ft'd)v + 7$'O)@)zr7) +
[7(z'0)z+ 0] + [z(t'077+ rZ'O(z\zt7r1=oI
'ueEuorod ussuur resnd deq 1e1a1 unrnruru*-l?Jio;:fftnJ,J fi:il:33uu1eq r8equraur uu8uaq 'VlZUep €-IZ 'sred 'rs[e[es Sueprq uep refefas
nquns Br.ueroal uep'dwzt/t - 7 'Surdurer 8ue1uq BrsJeur ueuoul {nlunsnrunJ uu{Bun88ueur ue8uop ue{nlellp ru1'z',(. ? nguns dupuqrel 8ue1uq
BrsJeur rlu{ Irsur1 uup uoruoru uelnlueuau nped elnur-elnu 'unluuN 'S
-lZ 'sJed uopunE8uau uuEuap uuluunttp ledepnvl EIsJaur uatuotrAl
ISmOS'ruqruu8 rp ue>p1nfun1
-rp ue8uolod etr1a1 r.rep den Bsse6 'ry nquns dupuqrel ,S-lZ rcqrueDp uu14n[un1p 8uu( {n{ellp 3ue( 8ueleq EIsJeuI ueuolu uulnlueJ
I.IZ EOL\Of
+ ,(Z'0-)
ut})D{V'MO XIN)IAJ Y)IN\DISN
I72 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
21-1. Tunjukkan bahwa jumlah momen inersia sebuah
benda. 1r. + /,..,, + /-- tak tergantung pada orientasi
sumbu x, .y, e dan dengan demikian tergantung hanya
pada letak titik asal.
21-2. Tentukan momen inersia silinder terhadap sumbu
rr-rr silinder. Silinder mempunyai massn rl?.
Soal 21-2
2l-3. Tentukan momen inersia /,. benda pada yang di-bentuk dengan memutar luasan yang berbayang-bayang
mengelilingi surnbu.r. Kerapatan bahan adalah p = 6500
kg/rn3.
- ) nr -..- ....-.-.j
Soal 21-3
*21-4. Tentukan momen inersia 1. dan /..,. perputaran
paraboloida. Massa paraboloida adalah 2000 kg.
ir -l-o-.
'" 2t l
Soal 21-4
21-5. Tentukan jari-jari girasi k, dan k.,, untuk bendapadat yang dibentuk dengan memutar luasan yang
berbayang-bayang terhadap sumbu -v. Kerapatan bahan
adalah p.
_i
iII
--)'r <* 0,25 nr
It:
;@Dr
Soal 21-5
ZI.IZ IBOS
'u \elepe snqnl Bssehl '2 i( 1'l€urprool uetsrs dup€q
-r0l snqn{ Inlun srsjeur Josual ueuele uE)'lnluoJ zI-IZx
8.IZ IBOS
'r,/ uusr.rd Bsseur uulep'd qelepe uuqeq uulederey urSour
/ Drsraur rlB) Irsurl uEIntuoJ 'g-Iz.r
L-Oa/g't| I.Bos
(tl{a i-,*F
IIil
'wt?\2, esseu re,(undruaur 8uutefl '1n1a1rp 3ue,(
3ueleq {ntun'i '':}'*T ersreur ueuour uelnlual'tl-tz.wl3\Z usseu: rc,(undu;eu 8u€teg 'In{alp
8ue,( Sueteq >lntun'oi ersleut llu{ Ilseq wlntuaJ'0[-IZ
6-IZ t80S
:n =rrj
rpuaq lelol esseur uBJep e,(ulrseq
;rareil -- L-E:I;E iiurq esseru uelede.ley urSouoqrxrlpcEz,E rr'tu;: - / ?Ii.]lut tpl lrsBq uBlnluaJ,'6-Iz
II.OZIOI-IZ IEOS!r{n{ j.nli
',:
-,*,!"
efulsuq ueletu,(N-oq uursrrd 1n1un t
:*-ru Z-><- ru t {>.t
'd ' uuqeq
uelude:e1 urulep u,(ulrsuq uewte,(N 'ru g = .r' suu; dup
-cqret 3uu,(eq-3uu,(eq:aq 8ur:,( uesrnl rtlnuew uuBuap
Inluaqlp 8ue,t epueq L ets-,au, uetuou u€Inlual'l-IZ
'd .uuqtq
ueluderal ruelup u,{ulrseq uelete,(p 'ru E = r.. suu8 depuq
-rel 8uu,(eq-Suefeq:eq 8ueI u€senl rclnueul ue8uap Inl-ueqrp Eue,( Bpuoq 'l'/ ersJaur rpl lrs?q uelnlueJ'9-Iz
ELIT)II{V\IC >IIN>{SJ V)INV>IShI
I74 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENsI BENDA TEGAR
21-13. Tentukan momen inersia kerucut terhadap sumbu 21-17. Tentukan momen inersia pelat lingkaran 4 kg ter-e'. Berat kerucut adalah I 50 N, tingginya adalah i = I ,5 m, hadap sumbu batang OA.dan jari-jarinya r = 0,5 m.
SoaI 21-13
2L-14. Tentukan momen inersia benda gabungan terha-
dap sumbu aa. Silinder beratnya 200 N, dan tiap sete-
ngah bola beratnya 100 N.
Soal 2l-17
21-18. Hitung momen inersia gabungan batang dan cin-cin tipis terhadap sumbu z. Batang dan cincin massanya
2kglm.
,t
J ttt
t
rl
Soal 21-14
2\-15. Batang AB beratnya 30 N dan tiap bola beratnya
40 N. Tentukan momen inersia sistem gabungan ini ter-hadap sumbu.r.
*21-16. Batang AB beratnya 30 N dan tiap bola beratnya
40 N. Tentukan momen inersia sistem gabungan ini ter-hadap sumbu y. S{.}t} nH.l
.lil) urni
,r
Soal 21-15/20-16
{}. 15 nr
Soal 21-18
lz-lz IBos
''1 urp'! "7 ers:eur ueuou up{nluoJ'3>t S't e,(uesseu tue,{ 3 Eueluedr8as:ed teled uup
31 g Eurseu-tursuu e{uesseu tue,{ g uep V:e>J8ues-:nlnq teled enp rrep grp:el uu8unqe8 uelsrg .W-lZ*
TZ.IZ IBOS
: :: r*:-- .c,lns drpuq:at ue8unqe8 uelsts pls
-i!r-: ';l:_,- -r----:1 1 61 SUeteq ledue uep .N 00t s
leleJ'1 -S: t Etat r.::? urprel ue8unqe8 ualsrs .CZ.IZ
' ,z ' ,i '
,x nqurns depuq.ral tuupq ,t1 unp . )
,.ri uureln urs
-rour ueuou uu{nluat uup (,r .I)g rsetr^ur8 lesnd lutaluelnluel 's751
97 u,(ulureq )tnlellp SueK Euewg .77-17
17,'tZlO7-TZt6t- IZ IBoS
zz-tT IBos
-z:'i-
+},i4.ry'I
.\ f'
:l.c'"lu S i: ,.".".**---**-
ir! $:ll
,rir s;.11
'zulN 09 {rlrseds leraq ru,(undrueu 1e1ed1e1a6 .1e1ed
uu8unqu8 ualsls u/ ErsJeur rlpl [surl uBlnluel.IZ-IZ
'zulN 09 lgrseds lereq ru,{undueu 1e1edte1e6 .te1ed
uBBunqEE urelsrs '') ersreur rlBI lrsuq uelnlueJ .02-lZ,r
'zulN 09 >lgtseds lBreq fBrundueu lelod-tulad 'l?led
ueSunqe8 ruetsrs ti Brsrour ueluour uulnlual .6I-IZ
sLt\r)II{!'NIC )IN)M.I VXNV)ghl
176 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
*2I.2 MOMENTUM ANGULAR
Dalam subbab ini kita akan mengembangkan persamaan yang diperlukanuntuk menentukan momentum angular benda tegar terhadap sembarangtitik. Rumus ini akan menghasilkan alat yang diperlukan untuk mengem-bangkan prinsip impuls dan momentum dan persamaan gerakan rotasiuntuk benda tegar.
Perhatikan benda tegar di Gambar 2l-6, yang mempunyai massa totalrn dan pusat massa yang terletak di C. Sistem koordinat X, y, Z menyatakankerangka acuan inersial, dan dengan demikian, sumbu-sumbunya tetap ataubertranslasi dengan kecepatan konstan. Momentum angular seperti diukurdari acuan ini akan dihitung relatif terhadap titik sembarang A. Vektor po-sisi ro dan pa digambarkan dari titik asal koordinat ke titik A dan dari A kepartikel ke-l benda. Jika massa partikel adalah m,, maka momentum angu-lar rerhadap ritik A adalah
(Ha)i=p4xm,v,
dengan v, menyatakan kecepatan partikel diukur dari sistem koordinat X, IjZ. Jika benda mempunyai kecepatan angular al pada saat yang diper-hatikan, v, dapat dihubungkan dengan kecepatan A dengan menggunakanPers. 20-7, yaitu,
Yi=YA+oXpAJadi,
(He)t=p4Xmi(vt+roxpA)
= (P1m;) x vA + pa x (ro x pa)mi
Untuk seluruh benda, menjurnlahkan semua partikel benda membutuhkanintegrasi, yaitu, m,- dm agar
tlo = ([* pp.m) x vA + !u, po* @ x po) dm (21-6)
Gambar 21-6
Titik Tetap O. lit<aA menjadi suaru drik tutap O dalam benda, Gambar2l-7a, maka vA = 0 dan Pers.2l-6 menjadi
Ho= !,rp6 x (a x po) dm (2t-7)
ii
$.Il
I
ii
t
i
I1
Pusat Massa G. l]Ka I rerlerak pada pusat mas s a G benda, Gambar 2 l -7b, maka [,,, podo, = 0 dan
L-IZ JEqUleU
atj
@I-IZ)
'ri * trn'1 - tr*'l - ='H
'r'nI - *ro'l * "**l
- ='tH'r"r - tr'o1
- *r'*r ='H
uelludeprp 'EISreur IIBI IISBq uep ueuotu ueletu(ueur 1u.r8e1ur umquq
le8ur8uaur uup uurunsesJaq 8ue( 4 t[ og ueuodruo{ ue{Eue,(ueur uu3ue6
lltup (
rt + ,x)"'Sza * up z{ 'f t, - urp i: "'! -', -] *
llwp zt "! ,t - ,up (
,z + ,*) "'[o t + tup {x "I -", -] *
llwp zx"'lr, - tup tr"'!ia - *p(zz * ,A "! '.] = {tH * tog * lnuu>11uduprp
u,(un>qns-n1ns rseulqurolSuou uep 3uu1rs uerleryed uuryuqelueu ue8ueq
tupl(lz + [,1 + ;r) y(rl',r, + ['co +;-''co1; x (>12 + [,r +;xy "'[ =rlt, + liH + I'H
ue>lledeprp ': l( r ueuodruol urelup tu uep 'd '11 uu>1utu(uer-u uu8uaq
ap(dxor)xd"f=HIntueq Sunpue8ueu Enuas 6- I Z redures 1- 1 1
'sred B^\qeq uulrtur{.rad 'urnrun uusulelued Inlun uep ' L-lZ.tugLUeD'Z'A'Xnquns dupuqrat 3uu.reques rsuluerJo re,{undureu 8uu,{ : ii 'r unpel nqunsueundurq qrlruetu )nlun qupnu qrqel ue{u rrur
Inlufl 'u,(u-ru1e1s ueu
-odtuol urulup uulele,(urp smuq ruln8ue unluetuou 'sr11urd rpulueu 6-1grudures L-lZ'sred ueleunSSueur Inlun 'If lepfluullay uauoduroy
'qupnu qrqel 8uu,( L-lZ 's.rod
uu4eunSSueur uu8uep Sunlrqrp 3uu,{ uu8uep utuus ueIE 'u['B)^ nluol u,(ulrsuqlO dutet >11tp dupuqrel upueq re1n8u€ unlueuour Sunlq8ueur Intun uul-eun8rp ledep e8n[ 6- [ Z uuuuesred 'rH reln8uu unlueuou uped 1.ro11e,r
ereces) uu{ququutrp y 1pp dupeqrel upuoq 9uu teeuq untucuroru rrup
uaruour-uer8eq unp rrep rrrprel .ruyn8ue unluauou B,4 qeq luqrliat luts !C
G-tz)9g+9tru xV/9d =VH'fi1-IZ leog tuqrl) tn{ueq Intuoq rpeluaru ucleur?r{rapeslp tedep uurlnuopundrlseru 9-tZ'sred n1 [Bq uelup')L-lZRqwuD'g nutu g uelnq 3ue,{
Itlll nlens uuledrueur tedup y'urnutn Breras 'y SUBJBqUI3S {lllJ(s- r z)tup(9d x tn) x Dd"'.5 =c,
,.r\i
dural JIrIJ -.. t
t4iussuur lusnd
LLIt-XII{t'\]C X L\) :tl VXINV)AN
I78 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Ketiga persamaan ini menyatakan bentuk skalar komponen i, j dan kdari H, atau Ho (diberikan dalam bentuk vektor oleh Pers.2l-7 dan 21-8).Momentum angular benda terhadap sembarang titik A, yang bukan titiktetap O atau pusat massa G, juga dapat dinyatakan dalam bentuk skalar. Disini perlu untuk menggunakan Pers. 2l-9 dan menyatakan p"ro dan vosebagai vektor Cartesian, melaksanakan operasi perkalian silang, dan men-substitusi komponen-komponen, Pers. 2l-20, untuk Ho.
Persamaan 21-10 dapat disederhanakan lebih lanjutjika sumbu koordi-nat x, y, e diarahkan sedemikian hingga mereka menjadi sumbu inersiautama untuk benda di titik itu. Bila sumbu-sumbu ini digunakan, hasil kaliinersia I O=l rz, Irr= 0, dan jika momen inersia utama terhadap sumbu x, y,
z dinyatakan sebagai Ir=Io, Ir= Io, dan .1. = lrr,ketiga komponenmomentum angular menjadi
Hr= Ira, Hr= Ira, Hr= Ira, (21-11)
Prinsip Impuls Dan Momentum. Sekarang serelah alat-alat unrukmenghitung momentum angular untuk sebuah benda telah dijelaskan, prin-sip impuls dan momenturz, seperti yang dibahas di Subbab 19.2. dapatdi-gunakan untuk memecahkan soal-soal kinetika yang menyan gkr;it gaya, ke-cepatan dan waktu. Untuk kasus ini, kedua persamaan vektor berikut inidisediakan:
m(vc)r * I l,',' F dt = m(vdz
H, + I l,',' Mo dt = H,
Dalam tiga dimensi tiap suku vektor dapat dinyatakan oleh tiga komponenskalar, dan karena itu enam persamaan skalar dapat dituliskan. Tiga per-samaan menghubungkan impuls dan momentum linear dalam arah x, y, z,dan tiga persamaan menghubungkan impuls dan momentum angular bendaterhadap sumbu x, y, z. Sebelum menggunakan Pers.2l-12 dan 2l-13 untukpemecahan soal-soal, bahan di Subbab 19.2 dan 19.3 perlu ditinjau ulang.
*2I.3 ENERGI KINETIK
iI{,
(21-12)
(21-13)
\(,\-,j-\,
Untuk menggunakan prinsip kerja dan energi pada pemecahan soal-soalyang menyangkut gerakan umum benda-tegar, mula-mula perlu dirumus-kan pernyataan untuk energi kinetik benda. Dalam hal ini, perhatikan benda
tegar yang ditunjukkan di Gambar 21-8, yang mempunyai massa total rzdan pusat massa yang terletak di G. Energi kinetik partikel ke-l benda yangmassanya m, dan kecepatannya v;, diukur relatif terhadap kerangka acuan
inersial X, Y, Z, adalah
T i = Vz *i, 1 = Vzm,(v,. v ;)
Andaikan kecepatan sembarang titik A dalam benda diketahui, v, dapat
dihubungkan dengan v, lewat persamaan yi= yA + o x p4, dengan ro
adalah kecepatan angular sesaat benda, diukur dari sistem koordinatX, \ Z,
dan po adalah vektor posisi yang digambar dari A ke-i. Dengan menggu-nakan pernyataan ini untuk v, energi kinetik untuk partikel dapat dituliskansebagai
Ti=t/z mi(vo+o X p,c). (vA + o x pA)
= t/z(vt. v1)mi + %' (o x p') m; + Vz(a x pa). (ro x pt) mi
sistem koordinat inersial
Gambar 21.-8
'Eue1n nufuqlp npad gl qug rp uusuq-equred 'luos-lpos uuqucaured {nlun rur uueuresrad ueleunt8ueru unleqas
(tt-tz)z1-z-12g+11
'nlp,('upuaq durl 1n1un uu>lstl$rytedep repls ueeuesrad nps u{uuq rur {nlun 'uotlopwdtad uop 'uowdac-aq'o,b8 p48uu(uau tuel oygeuq leos-luos ue:{r{Eoetuetu 1n1un uuldural-lp pdep ptaua uop opay dlsaltd 'epueq {Beupl rEraue tunlqEueu 1n1unsule rp uuelu(ured uapunSSueu uu8ueq JErauU UBO BFaX d;sq.rg
'epueq IseIoJ {lpuDl t8reua uup 'jrawz1r 'ussuur lusnd rsulsuurl lpeuDlr8reua 'n1e,( 'uertuq Enp rJup rrlpJat Iqou.DI r8raua e,nqeq 1er{llJ4 Iuls IC
(sr-rz)fu' F4 * b* r"t, + ra' - tzh + eraruzl, = 1
$l I8q tuEIEp uBp '-rBIBls Inueq luBlsp uBlulB,(urp rcdupUEUEI senJ rp JrrppJO nlns 'du1e1 {np {nlun uades eurus 3ue,( e.tec ueEuaq
9H 'azh + )rrrwz1, = 1
reEuqes ?l -lZ'sJad srlntrp
1edep elq '8-IZ 'sred ueluunt8uaur uetuap 'uep g = *p vd *[ e\wil'qL-IZ ruqttrug 'epueq 5r ossow wsnd lp {elelral y BII1 .g BssritrAl lesnd
(sr-rz)'r*' tz4 + Lr* g, +'ra' py, -- 1uu4ed
-pprp {p!l uurp>pad rseJado uu{?uu$Je1aur uup sElE lp uueuresred uelep eIrsntrlsqnsueu uu8ueq '>(a'l + [tr'/ * ir'/ = oH urp fro + ldo + fco =o urleru 'Bpueq Inlun Bueln ErsJaul nquns ue1z1e(uau z f, 'r nqurns u1r1
og'az7r=1
ru8eges ,l-lZ 'sred
uelului(uaur tedup slpl 'L-lz'sJed ue>leun88ueur uu8uep uep'0 - yrr e4eu'oL-lZ rBqr.uBC 'epueq epud g dotu )t!t! \elepe V e\r.f 'O dcfat {pr.;
'g ESsBr.u lesnd nulu g du1e1
{pF qelepe y uunce 1pp qrt 'uuuuuqrepefued rpefrq 'unueN 'pr8elur
uu>lrcqrleu 8ue{ uu8unlrqred uue.tel uuluunEp Euere[ rur useruusred
Gt-td wp 1vd x ro)xyd *y .a27, +
(*p ,0 T , ,) .Ya + (trv t)w 27, = 1
qeppu u,(urq1u psug 'Yd
X o=rurpyd=q'o-uueEuep'c X { 'B-c q X BJol{a^ ueEtuBse{
uuluunE8uaur ue8uep tueln uelsrlnllp lB&p ueuel rp rn+pJel n>InS
tap(d x o) '(vd *,)T z4+(wpvO*[ x r).v^ +(Yt 'vt)w27,=1
e8tuqas'urp*lur euaru>1 'rsertelur ualqnlnqueur rul 'Bpuaq 1a>1nrud enuras >1neuq rE
-raue wlqelurn[ueu ueEuap qeloradrp ppuoq qrunles Inlun Tleuq r8reug
YxtrIYI{I(I XL\DI:I.I YXINV)SNI 6Ll
fEO BAB 21 KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
CONTOH 21 2
+
Batang di Gambar 2l-9aberatnya 25 N/m. Tentukan kecepatan angu-lar tepat setelah ujung A jatuh ke kait di E. Kait menghasilkan hubunganpermanen untuk batang karena mekanisme kunci pegas S. Tepat sebelummengenai kait batangjatuh ke bawah dengan kelajuan (u6), = 3 qys.
SOLUSI
Prinsip impuls dan momentum akan digunakan karena terjadi tum-bukan.
Diagram Impuls dan Momenturz. Gambar 2l -9b. Selama waktu yangsingkat Ar, gaya impulsif F yang bekerja pada A mengubah momentumbatang. (Impuls yang dihasilkan berat batang W selama waktu ini adalahkecil dibandingkan dengan tfat, sehingga ia diabaikan, yairu, beraradalah gaya yang tak impulsif). Jadi, momentum angular batang adalahkekal terhadap titik A karena momen JFdr terhadap A adalah nol.
Kekckalan Momentum Angular. Persamaan 21 -9 harus digunakan untukmenghitung momentum angular batang, karena A tidak merupakan titiktetap sampai setelah interaksi impulsif dengan kait. Jadi, dengan acuanGambar 21-9b, (H)t = (H4)7, atau
rG,^X m(v)1= rG/AX tn(v5)2+ (H5)2 (l)
Dari Gambar 2l-9a, r"ro= {- 0,2i + 0, l5j}m. Selanjutnya, sumbu de-ngan aksen adalah sumbu inersia utama untuk batang karena I.r,r.= Ir,r.= 1r.)..= 0. Jadi. dari Pers. 2l-ll. (HG), = 1.r. cori + /,,,. c,r.,j +'Ir. ark.Momen inersia utama adalah /r. = 0, 134 kg mr, 1-,,. = 0,0765 kg ml, /_. =0,210 kg m2 llihat Soal2l-22). Dengan mensubiritusi ke dalam pers. t,didapatkan
(-0.2i + 0.15 j) x
Dengan menjabarkan dan menyamakan komponen i, j dan k yangbersangkutan didapatkan
- I ,032 = 4,344(v c), + 0,134a "* 1,376 = 4,459(vG), + 0,0765ro,
= 0,210ro.
Kinematika. Ada empat besaran yang tak diketahui dalam persamaan diatas; namun, persamaan lain dapat diperoleh dengan menghubungkan oldengan (v6)2 dengan menggunakan kinematika. Karena oz = 0 (Pers.4)dan setelah tumbukan batang berputar terhadap titik tetap A, Pers. 20-3dapat digunakan, dalam hal ini (vo), = rrl X rG/A, atal
- (v5)2k = (orf + o,j) x (- 0,2i + 0,15j)
- (vdz - 0,l5ro, + 0,2a, (5)
Dengan memecahkan Pers. 2 sampai 5 secara simultan didapatkan
(vc)z= {-1,84k}m/s 6 = {-2,98i - 6,96j}rad/s Jawaban
(-02i + o rsi), [(#)r-,6r,
r.]
0.134o. i+0.0765ro,, j + 0.210co,k
{2)(3)
(4)
t(#)(-3k,]:+
Gambar 2L-9
+11i3." * {i
.....--I -*-.,{,*r,?"d{ fl*o tt
UDqDADI's/per 99'6 - o) ao)zagLgg'1=€g'29+071
=Z-l gg + 11
ualtedeprp'rB-reue uep efta1 drsuud uuluunSSueu ue8ueg 1fuaug uop opay fusu1.r4
orzas 189'0 =rt@ a)(SZ6'o)zA + g + ,(o) roE-)Go'o)rA = vJ
tpulueu Z 'sJed 'o)o = ','0 ='(cn'oJco[- ='tcD uuet')
zr BI SZ6'0 = r(ur g'0)BI0l + -(rx I'gXBI g1y7,=:1=i1
z* B) S0,o =.(ur t,oXB>t ol)./r=rl: tnlrreq ru8eqes qulupe J IIlp depeq.rel
rBrB upo.r ErsJeut uetuo(u ':uleles nquns BtueJoel uuleun88uau uu8ueq
k) 2aii1"4+latrP4+*ra'P4=1
'n1lu,( ,41euq r8reue uulnlueueu Inlun ueluun8lp tuclup
SI-lZ'srod'rselor du1a1 {ltp qelupeJ IIlp Euelu) .rBrB epo: )n:}un Jtp DluDln Dlstaut nquns ue11vlaluew og1-17 ruqueD ry z ,{. ,x nquns
( t) ,lo3ol + loJrn€- = r1oJ6 + I?f co - = Y(D
'lpu['o'o€'= ?]co nutu w t'O F)a = tu I0 Torco uuuures-red qelo uelSunqnqrp 7.lco uep oJco uauodruol E^\quq uu{r{ntnqureuIUI 'lul nquns rp Iulelrol srueq nlr uueJBI uep lou ue]udece>{ re,{unduleul(rBrB epor) upueq epud H uep ) Iltll Bnpel uueiel ,g3 sr.ru8 Buutuud
,ol 19 -as qplupu rur epueq Inlun tEESes upretnd nqurn5 .3 dotal 71r.lr dupeq.ralrulnd;eq 8uu,{ usseuleq ry1 3ue,( ruseq Bpueq uer8uq re8uqes uul8uu,(-uqrp tudep r3r8 upog'?Jo + o)6 =
vco qelepu y rBrB epo.r:uln8uu uu-1edace1 €)Eur 'oJs ru8eqas llquulp g3 .reln8uu uuludacel elll-qyl-lZrEqruBC rp ueplnlun1rp uululuuq In]un EIrlerueurl urelSerq .lou qelppee,(ulerrru {ltouDl lSreue 'ruerp ulntuas rBrB upor BuerE) .lvawy $nug
'r t8'29 =(per uy)(tu N g) = z-t27qeppv rur ehel ,g3 uu,rulnd unp ln1ug
.ufte1
uelnluleru 3uu,{ tr41 renl rslol u,(uuq ,uuSunqnq.req Buef epueq-upueq ruol
,ll l.o -srs re8uqes deSSuerp y rBrB epor uep 'g) so.rod .613 sotod e4q -opay
iudu3u-ehl 'lul l€os uequcaued 1n1un ueleun8rp ledep t8:eue uup ut.re1 drsur_r4
ISn10S'dutet
r{elepu g rBrB upo.r 'srdr1 ureoluc uu8uep rteloprp ludep y rBrB epo.l uulrs-unse uup E3 sorod uep O) sorod essuur uDIrBqV .uu.re1nd
unp qndueueuEr qulales g3 relnSuu ueludecel uE{nluel'tuerp ueepEel r.rep rulnu y 13
-ri upo.r u^\qeq uulrstunse8ueu uu8uaq .;r3 dupuq.ral seqeq uleces lulnd-.raq 31 0l y I3l3 upo.r uelurlSunruoru ?uei,og1-17 ruqrlug rp uu11nl'-unrrp 3ue,( OJ lelril?^ sorod uped uelrroqrp Lrr.N S rs.tol LlenQe5^
0I-IZ rEqtu€c
IUCSaS IOUrsuloJ nquns
f -I; EOI\O
T8Itt{Iiit--\lc xl-\t{ LI Y)IN\r)SI^I
IEz BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
2l-25. Bila sebuah benda tidak netnpuny,ai bklang si-
nrctri, maka momen inersia utama dapat dihitung secara
maternatika. Untuk menunjukkan bagaimana hal ini di-lakukan, perhatikan benda tegar yang berputar spin de-
ngan kecepatan aneular to. yang diarahkan sepanjang
salah satu surrhu inersia utama. Jika momen inersia
utama terhadap sumbu ini adalah /, maka momentum
angular dapat dinyatakan sebagai H = lol = ftoj + fti.,,j+ /or.-k Komponen Hjuga dapat dinyatakan oleh Pers.
2l-10. di mana tensor inersia diasumsikan diketahui.
Samakan komponen i, j dan k kedua pernyataan untuk
H dan arnbil ro,, rr;.,. dan or- adalah tak diketahui. Solusi
ketiga persamaan ini diperoleh andaikan determinan
koeflsien-koeflsien adalah nol. Tunjukkan bahwa deter-
minan ini. bila di.labarkan, menghasilkan persamaan
pangkat tiga
13- ({., + /.,.,. + t,r)I2 + (/,.. I,.,, + Ir, /..* /..1,.,- /i, - Irr. - ( ll - (1\.. /,.1. 1-- - 2l r, l,z lz\
- /,, /i.- /,, /^,, - /-- t(.t = o
Ketiga akar positif 1, yang diperoleh dari pemecahan
persarnaan ini, menyatakan momen inersia utama 1r, 1,,
dan /-.
\ ;'r Soal 21-25
21-26. Tunjukkan bahwa jika momentum angular sebu-
ah benda dihitung terhadap suatu titik A sembarang,
maka Ho dapat dinyatakan lewat Pers. 2l -9. Ini membu-
tuhkan substitusi po = pc + pca ke dalam Pers. 2l-6dan menjabarkannya, dengan mengingat bahwa I p, dnr
= 0 lewat definisi pusat massa dan vo = yA+ a x pG/A.
21-27. Tentukan energi kinetik cakram 7 kg dan batang
I,5 kg bila sistem gabungan ini berputar terhadap sum-
bu .: dengan cu = -5 rad./s.
'"2L-28. Tentukan momentum angular H- cakram 7 kg
dan batang I ,5 kg bila sistem gabungan ini berputar ter-
hadap sumbu I dengan ro = 5 rad/s.
..----_---.....,........... v
,.1't 't
.r Soal 21-26
21-29. Roda gigi A 2 kg menggelinding pada roda gigipelat tetap C. Tentukan kecepatan angular batang OB
terhadap sumbu z setelah ia berputar satu putaran terha-
dap sumbu s. mulai dari keadaan diam. Batang dipenga-
ruhi momen konstan M = 5 N.rn. Abaikan massa batang
OB. Asumsikan bahwa roda gigi A adalah sebuah cak-
ram unifbrm yang mempunyai jari-jari 100 mm.
Soal 2l-27121-28
21-30. Pecahkan Soal 2 I -29 jika batang OB mempunyai
massa 0,5 kg.
tili,.{i nii:r
i
J,]t
Soal2l-29121-30
'IPEFal
.-)- uESuop uE8unqnq qelales ludet teled ?ssel.u l?snd';rEdare{ up{nluel 'ueusurod Suef uu8unqnq uu{lts-eq3uaru 3ue,( '5 Ip lp1 e1 u Sr'0 Jeluosrroq er?ces
qnlEf uep luErp irwpeel r:ep ue>1sede[p Br elrt 'ul Er'oe,{ureleuurp u?p N S6 e,(uluraq uerelEurl 1eled .9€-IZ*
st-Iz pos
'o631 :e1nd
-Jeq er qeletes ue8unqruus:elnEue ueledacel uelntual'reqrue8 rp ue11n[un1rp Eue,( rsrsod eped urerp ueepe
-eI Irep uelsedolrp Sueteq e>If 'te{os-upp-Eloq ue8unq-rues ueluunE8ueru uetuep N 0l ,g ueEunqtues uup y Ip51 E ue8ol urcurc uped uo{1e{lp p 97 gy Suepg .Sg-IZ
'g-IZ IEOS
'lP?S
-:: -- j:-:- :-:-ir\i iueteq lees epud >Iteu Buuluq lesnd::: -
-. ::-r:;i -- i-:!at .reqrue8 rp ueplnfunlrp Euu,(
::-?. ::t: - -L --s --::u-':-i:t S/pel Z ESOqeS .rc1nEUe UU
-::.::::r -:; --,:*:,- :--:::; irrl g uep y rp:efeies rp1
16r: -=ri---:.': -- - \ a.i:lElaq 8uercg.yg-1g
lu {r'0
+i ti -lt
r.rui:i=l);
:,
'lelos-uBp-Eloq ueEunq
-ues ueleunE8ueu ueEuep Sueteq eI ue1lrcryp u:eEoy
urJurc uep ue3o1 urcurc essetu uEIrBqV 'Sueleq uepq-elol uBp ue4eseE uB{pqv 'tu 6'0 unrnl rue301 urcurcqploles Eueleq 1peur1 rS.reue uelnluoJ 's1ut p,7 =
va
ueledeco{ refunduatu N 0t Sy Eueleq eped y rp ue8-ol urcurc:eqrue8 rp ue>11nfunIp 8uu,( lees eped .ee.IZ
'3ue1eq nquns epud snrnl {e8al uelr{ete-lp StrEpq:eln8ue ueledacel rur tees epud elrquq ue1-rstunsv'requreE lp ue11n[un1rp 3ue,{ lses eped Eueleq
lrteurq r3reue ue{nluel 'sluu fe uenfelel ue8uap qemeq
eq 1e:e8:eq y ure3o1 utf,urc EIt[ .le{os-uep-Eloq ue8unq-ues le,rel e,(u3un[n-Eun[n tp snpq ue3o1 urcurc enpBped ue)ilrzlrp uep N 0E e,(ule:eq gy 3ue1eg .Z€-IZ*
T€.IZ IBOS
'uB{nqtunl qeyelas e:eEes leyedreyn8ue ueledecel ue{nluel 'uaueured 8ue,( ueEunil-nq ue>llrseqEueu 8ue,( 'S lp tpl {nqunueu y >1o[od
BIrq s/por {{z} = ro uelsuol relnEue ueledoca{ ueSuap
$lndroq Iul t€lad telos-uEp-?loq ueEunqrues ueleun8-8ueu ue8uap 6r rp uulSunlur8p 3>t S srdu 1u1e4.19-17
,ft ''r'.,.il
il"1:i:, -.L:
rnlr I i-*L. i
,!-tur uru :
Y44
= ilt
g8rT:{D {I\]O XL\) :tI \r) IN\DIAI^I
IU BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
tl.:ri! flii
.
I
li.3-* rr
titl : li. r,erl.1q
:,.9.
Soal 21-38/21-39
*21-40. Pelat rektangular l5 kg bebas berputar terhadapsumbu y karena penopang bantalan di A dan B. Ketikapelat disetimbangkan dalam bidang vertikal, sebuah pe-
luru 3 g ditembakkan padanya, tegak lurus pada permu-kaannya, dengan kecepatan v = {-2000i}m/s. Hitunglahkecepatan angular pelat pada saat ia telah berputar I 80o.
Jika peluru mengenai pojok D dengan kecepatan sama
v, alih-alih di C, apakah kecepatan angular tetap sama?
Mengapa atau mengapa tidak?
I -9tjl n m' i 5l.i tiirti
Soal 21-40
21-41. Sistem gabungan terdiri dari barang AB 4 kg yangdihubungkan ke sambungan OA dan cincin logam di Blewat sambungan bola-dan-soket. Bila d = 0o, ,y = 600mm, sistem berada dalam keadaan diam, pegas tak tere-gang, dan momen kopel M = 7 N.m diberikan pada sam-bungan di O. Tentukan kecepatan angular sambunganpada saat 0 =90o. Abaikan massa sambungan.
Soal 2L-36
2l-37 . Batang Ar9 beratnya 30 N dan dikaitkan pada dua
cincin Iogam halus di ujung-ujungnya lewat sambunganbola-dar.r-soket. Jika cincin logam A bergerak ke bawahdengan kelajuan 2,4 nls ketika z = 0,9 m, tentukan kela-juan A pada saat. = 0. Pegas mempunyai panjang tanparegangan sebesar 0,6 m. Abaikan massa cincin logam.Asumsikan kecepatan angular batang AB tegak luruspada sumbu batang.
21-38. Cakrarr lingkaran beratnya 75 N dan dipasangpada poros AB dengan sudut 45o terhadap horisontal.Tentukan kecepatan angular poros ketika r = 3 s jika tor-si konstan M = 3 N.m diberikan pada poros. Porossemula berputar spin dengan ro = 8 rad./s ketika torsidiberikan.
21-39. Cakram lingkaran beratnya 75 N dan dipasangpada poros AB dengan sudut 45o terhadap horisontal.Tentukan kecepatan angular poros ketika t = 2 s jikatorsi M = (6"0 t,).dengan t dalam sekon, diberikan padaporos. Poros semula berputar spin dengan ro = 8 radL/s
ketika torsi diberikan.
t.
F
g:Y,4
T,:
!
i: - 65 ,1;/m
Soal 21-37
'911 ruln8ue untuauoru eI 9I 13 uatuou uequlurnluad uulSunqnq8uetuSuut'97-17 'sla4 ue8uep uures 3ue( suuqJapes Inlueq r8ul qelo.radrp uluru'g ruolsrs ossotu tosttd dupuq.lol ue>1qe1u.rnlrp lalr1red epud eLralaq 8uu,{ 1eu-rolsI? e,(e3-e,{u3 uaruour Ellg 'O Illl lSurlrle8ueur nlle/r\ depuqlel upuaq
lelol .ruln8uu unlueuou uequqn.rad n[u1 ue8uap uues qulepu (re8e1 upuaq
ruulup upurag 8uu,{) 1aryuud urelsts upud eLralaq ?ue[, g dutet Iuq qenqes
dupeql4 lBuretsle u,(e8 enutcs ueruou qelunf B/\\qBq ue{r?lu,{ueur 3uu,{
(oz-tz)oH = oIAiS
n1tu,( '11 -g 1
'sred Inlueqrp qBlel'g'sl qeqqns lc 'lsBlou uB{BJac uBBruusJad'Epu9q epud ehaleq 3uu( 1uu
-rets{e e(e8 unues qelrunl'uu1elc,(ueur { -df + ft-r': * !'J3 = JI 'luls lC
Gr-tz)
:19tt1ttr -:gg
{(Do)ur ='(lz
'(9o1w =xgg.rele{s uperuusred u8r1e1 uuSuap nulu
c** - rzru8uqes roUe^ {nlueq urelsp uulsrlnlrp
tudep upueq Inlun rsulsuerl uelura8 ueetupsred 'Z i 'X lers.reur uuncu r.rup
lnlnrp Suud 'upuaq ussuur lesnd ueludec.red ruulep uelule,(urp upueq qunq
-es 1 sDl suDr I ltDlor a g .lsBIsuB{ uB{EJec uBBruES-uBauEsJed'leeJuurl-req 3ur1ed 3uu,( e,(u1n1ueq
ulelup Bpueq uelure8 uu1;equruSSueur 3ue,( ueeuesrad uelsrlnueur 1ud
-ep Suereles e1r) 'epuaq qenqes luln8ue unlu?ruoru uup lursieur luJrs-)B,lrsue1:equreSSuau Inlun ueleun8rp 3ue,( 1tu1at ue8uep eserq-rel qelol BlrB
(sr-rz)
ft'Iz luos
"",^ &a
NYXVUflC NVYI{VSUfld'l'l6x're1n3uu
ueludece4 te,(unduau lel slnu-Elnlu 1nsdu1 u.uquq
uep y {lU rp 1nsde1 urulep al ruuuuuol roaleu ntuq
u,/rrqEq uElrsrunsy s4u{r16r67 + [00t - !002 -] = "'re.(uuetedacal uep 31 69'9 e,(uesseu 8ue{:oe1eu nleq
qeto Inqunyp Bl qBleles 1eda1 :uln8ue uuledecal qr1
-3un1rq's7ur{[g09] =,,r uzledacel ueSuap >1u.re3:aq 1ns
-du1 e1r1 'u S'0 = '! uep u g'0 = t7
- 11
e,(ursu:rB r:rl-rre[ uup 3y1 g'g e,(uessuru ese4Suu Sueu lnsde; '97-19
'ue8unquus Essrru UEI
-l€gv o06 = d 138s eped uuSunqurcs relnSue ueludacel
uelntuel'g rp ue8unqures epud uuluaqlp'uerpur ruulpp
B uuSuep'N (Z +dr) = 74 1ado1 ueuou uup'8uu3ejal
1et se8ad 'u?rp u??pual ruBIEp Ep?laq uelsls 'urru 009
- f, 'o0 - d EIrg 'lalos-uep-e1oq uu8unqures le/(el fr rp
ure3o1 urcutc Lrcp VO ue8unqures e1 uulSunqnqrp 3uu,(
3l V AV 8ue1eq r:up urp:et ue8unqu8 uratsr5 '97-19
s8r\)Iltr-\lc xIN) !I,I vxNV)IaW
186 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Untuk menunjukkannya, perhatikan sistem partikel di Gambar 2l-11, de-ngan r, y, z menyatakan kerangka acuan inersial dan sumbu x', y', 2,, de-ngan titik asal di G, bertranslasl terhadap kerangka ini. Secara umum, Gdipercepat, sehingga lewat definisi kerangka yang bertranslasi bukan acuaninersial. Namun momentum angular partikel ke-i terhadap kerangka iniadalah,
(Ht)c=rroxm,vro
dengan r,odan v,ro menyatakan posisi relatif dan kecepatan relatif partikelke-i terhadap G. Dengan mengambil turunan terhadap waktu didapatkan
(ti)c = iitc x *i, itc + ritc x m,iy5n
Di sini fI6 adalah laju perubahan terhadap waktu dari momentum angulartotal benda dihitung relatif terhadap titik G.
Percepatan relatif untuk partikel ke-i didefinisikan lewat persamaan ailc= a' - t6t dengan a, dan ao menyatakan, masing-masing, percepatan par-tikel ke-i dan titik G diukur terhadap kerangka acuan inersial. Denganmensubstitusi dan menjabarkan, dan menggunakan sifat distributif perka-lian silang vektor, didapatkan
H" = X(r76 x mia) - (2m,r,16) x a6
Dari definisi pusat massa, jumlah (Z,mir;16) = (Lmi) T adalah sama dengannol, karena vektor posisi Frelatif terhadap G adalah nol. Jadi, suku terakhirdi persamaan di atas adalah nol. Dengan menggunakan persamaan gerakan,hasil kali m,a,dapat diganti dengan gaya eksternal resultante F; yang be-kerja pada partikel ke-i. Densan meneinsat XM^ = Zr,,o X F,, hasil akhirdapat dituliskan sebagai
XM6 = H" (21-21)
Persamaan gerakan rotasi untuk benda sekarang akan dikembangkandari Pers. 2l-20 atat 2l-21. Dalam hal ini, komponen skalar momentumangular Ho atau Ho didefinisikan oleh Pers. 2l-10 atau, jika sumbu iner-sia utama digunakan di titik O atau G, oleh Persamaan Zl-ll.
I.ltl.l 't;,
,.s
a
r
{nrun o ner, e {rf ueqrrrd npna s,ruun11]['f;:lllTl,i#?X;T::#qulepu e,(uresup uped Bue,(,(,co -:n uu8uap) to:) =
,q7rop-g-=.i1ryg
='wz.lltuaq,lpufueut vz-lZ uuuruusred '0 = tpl'.p =ii\rp'="n, =',", u?p 0 - -''l = '' [ .rur Suuprq uEJup unuln Sueprq ue1uJa3 ruululuaur uep ..r].uuncu Suuprq dupuqrel slrleurs Buu{ .rcBa epuaq Inlun e^lqeq uulrtuqrad
1"or'co -nqr)'t -(la -iro1e1- ('r'(, - "g)"1 -,rr.r(.1-,./) - ,q,t =,(tNZ
@Z-ld 1?o'(co -'rol'e7 -([a - ia1{'1- ({r-., - rg)rrt
-..r=r(o1 - 1) _ ,rn).r,rt =nwz
('(,o'co -'q)ti -Qa -fa|:{1- ('cr', -.g)*i -.r,(or(i -,rrl - *r*,r =,'w7
ueltuduprp, uep O slepur'01-lZ 'srad uuleunSSuau uu8uep JuleIS uBuut
Jolle^ uueuusred rrep derl ue1e1u,(ueru ledup ulry
'Hrr+'e'(eH)=eIAIK'H*r*tnioH)=oW3
rpulueru ZZ-IZ.s:r,d.o = O puoruy .uu>1ule8 eueles uDlsuoluelu tut nquns_nquns dupeqlal .+qule,r Bpuaq ursrour rlul lsuq uep uatuohi'epueq uu8uep Totafuaq uop Buosodtal u{ereu e88urq ueqruapes qrpd-p tedup 2 ,r, ..r nquns .o
= O uele.ra8 p,{undrueru Bue,C. z,,f ,r nqung
ru,(undureu nrr u,c,ruos nquns uuqrlrued ua;urqes .;:HTr"i:::f,jilj;uu4udnreur rur 1eq 1e,(ueq ,BIEC .nqou
ls?un{ ru8uges uu1e,u,(urp sruequpueq ursJeur rrur lrs,r{ u,p ueuou nlr BueJu{ u,p ,rur nquns-nquns dupuq-rel (r) rsEroJ ru,(undrueur ludep upueq .unuEN ,.0
= o Buerer 'zz_lz.sradueluuuqrepe,(ueur u,(un1ua1 rur ueeu€s{ulad.z l x l,rsrequr uuncu u18ue,-a1 depuqrel J:qulel tsDlsuotttaq ef,uvq nquns_nquns efiBurq uur{ruepes'g rp psu 11t1t uu8uap Hl1dlp tudep z ,L ,x nquns .unrun uulule8ru,(undurau Epueq n,I'I .0
= U uu{e.ra8 ;u.{undruaru Buet. z.,f ? nqtung'nluauel [Bos ugquceued r8uq qgpnurJel Bue,( ueuou ueeues;ad
uelndurnl uulledupuetu 1nlun qrlrdrp snJuq rur uencu uEIBraB ,qe1se1e; .:i( ? nqruns uulure8 uulduleueu ludep Buuroesas Bueturp nru, u;,t upy^
': '.( '.r uuncerr,p rnrnrp H lr,p nl>re,n dupeq,rel ueqegrued nt'e1 qulepu r'oiH)
rutr tcQz-td '*.t * ,, + 'teH) = c[^trr
0Hxo+t'('(oH)=oI I3
Iputueur IT,-lZ uep0Z-IZ'sted ntl lerl ruulep ,9_02 .sJed
lu^lel uulnluellp snJeq H rrep Ulplrrdepeqral ueunrnl 'lpvt 'Z I X lursreur nquns rrup rn{nrp z tr ,x nqunsrsetor uelSunllqredrueu snJuq ,lZ_lZ uep OZ_IZ.sred r.uelup uuluun8rp3ue,{ ruades ,tplH p = H nUe^ dupeqrel uBunlnl BIEtu ,o upueq :uln8ueueredacel ue8uep opaqraq ludup Buu,( ,15 ruln8ue ueludacel ueluap nnd -taq ?uvl,2 ( ,r nqruns dupuq.rel Bunlrqrp rur ueuoduro>1_ueuoduo>1 u1r1
YI{II{Y\fC XII\DI lIJ YxINVxaW
uulruqe8ueur uuSueq-usrad u3t1 re8uqas rur
(tz-tz)
LBt
TE8 BAB 21 KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Jika sumbu .r, y dan z dipilih sebagai sumbu inersia utama, hasil kaliinersia adalah nol, /,, = 1r, dan seterusnya, dan Pers. 2l-24 menjadi bentuk
LM, = I S1 * - Q, - I r.)* r r r.
EMr= Irgr- U, - /r)or, <,r,
ZM..= Ir9cr- Q*- 1r)r.r r.r,
(2r-2s)
Secara historis kumpulan persamaan ini dikenal sebagai persamactn ge-
rakan Euler yang dinamakan menurut matematikawan Swiss LeonhardEuler, yang pertama kali mengembangkan persamaan ini. Mereka berlakuhanya untuk momen yang dijumlahkan terhadap titik O atau G.
Bila menggunakan persamaan-persamaan ini harus diingat bahwa 6r,6, dan i,l. menyatakan turunan terhadap waktu dari besarnya komponen x,
y, z dari o seperti yang diamati dari x, -1,, z. Karena sumbu x, y z berputardengan O = (D, maka, dari Pers. 20-6, dapat dilihat bahwa [l = 1io;*.,,- + ro
X o. Karena o X o = 0, rir = (il).. Hasil penting ini menyatakan 6ahwaturunan terhadap waktu terhadap io yang diperlukan dapat diperoleh de-
ngan pula-mula mencari komponen ro sepanjang sumbu x, ), z kemudianmengambil turunan terhadap waktu dari besarnya komponen-komponenini, yaitu, (6)-.,atau dengan mencari turunan terhadap waktu dari or ter-hadap sumbu X, y, Z, yaitu. ri, kemudian menentukan komponen io-., a)),,
dan ri.. Dalam praktek, biasapya lebih mudah menghitung drr, rbr, dan
fo.dengan dasar mendapatkan ro. Lihat Contoh 2 t-5.
Sumbu x, !, z yang mempunyai gerakan Q + ol .Unruk me-nyederhanakan perhitungan untuk turunan terhadap waktu dari ro, seringkali enak untuk memilih sumbu x, y, zyang mempunyai kecepatan angularO yang berbeda dengan kecepatan angular benda o. Ini terutama cocokuntuk analisis gasing yang berputar spin dan giroskop yang simetris terha-dap sumbu-sumbu putar mereka.* Bila demikian halnya, momen dan hasil-kali inersia tetap konstan selama gerakan ini.
Persamaan 2l-22 dapat digunakan untuk kumpulan sumbu yang dipilihsemacam itu. Tiap dari dua persamaan vektor ini dapat direduksi menjadikumpulan tiga persamaan skalar yang diturunkan dengan cara yang serupa
dengan Pers. 2l-25.1. yaitu,
zM, = I ritt * - I,c) .ror, + I, {l,a,ZMy= IyiDy- IzC) rro. + IrC) ,a*LMr.= Irltr- 1, O rcu,
+ !, O roy
(21-26)
Di sini O.n Qr, O. menyatakan komponen x, y, z dari O, diukur dari kerang-
ka acuan inefsial.Salah satu dari kumpulan persamaan momen ini, Pers. 2l-24,2l-25
atau 2l-26, menyatakan deret tiga persamaan diferensial nonlinear ordepertama. Persamaan-persamaan ini "digandeng", karena komponen kece-
patan angular ada di semua suku. Keberhasilan dalam menentukan solusiuntuk soal tertentu dengan demikian tergantung pada apa yang tak diketa-hui dalam persamaan-persamaan ini. Kesulitan akan timbul jika menyele
* Pembahasan terinci peralatan semacam ini diberikan di Subbab 21.-5.
i Lihar Soal 21-46
L
J
'rur rnpesord uudErel uuupqtuBSSueu rur lnlrreq Ieos qoluof,-qoluoJ
'nlr JBos {nlun qrlrdrp Buef, z '/t ? tuulp-JooI nqurns {nlun Iococ 3uu,( .rep>1s uauodtuo>1 uueurusred tueuoe{ nulu
'zz-IZ uep 8l -lz rolle^ uBuruBsJed Enpel uB{Bun!) 'uDTuag uoutaosrad
,rfr(sg)
= (D ?uorB{ 'z 'A 'x uencu elSuerel rJup Sunlrqrp ledup uSnl' rur uButl.rnl
'9-02 'sJed rrep 'e>lBtu '&or = U elrl umquq uelrleqred snsnq>l pr?ces'z '{. 'x rywptoo{ rrup lleuretp 3ue,( ruedas o rJep nl{E/r\ depeq;et uuunJnl
3un1q e8nl 'Z l 'X IBISrour nquns rrup rlur.uerp o ueuodurol-ueuoduroy'ue{uaqrp 8ue,{ leos Bl€p rJ€p nBtB Bpueq Rlepu?{ rrep up)nluellp tudepu,(ueserq ruln8uu uuledecey 'epueq reln8uu ueludecred uep spueq ESSeu
]esnd ueledecrad uelnlueueu Inlun sge.r8 uenluuq uuluaquaut Er BuaJ
-e{ 'teeJuurlrreq uq8unur o4l|owaur>1 wot?orp pq edereqaq ueluq 'ruln8ue
ueledacred uep Bpueq reln8ue u4edecal ueuodruol uelnlueJ 'D2l!tD.aau!X
'2 i( ? nqurns depeqret Jquler epuaq 1n1un nlrad 3uu,( ersraur rl€{ Irsuq uepuetuou 3un1rq'e8n1 'IEBS derles epuoq Inlun Erueln ersteut nqruns ue1e1u,(u-eru e{eJ?u e83urq uur{ruepes urec ueSuep 1ere3.leq nquns-nquns BIrq
uueqJepes rpefueu; uoruoru uueuresred umqeq le8ur8ueu snruq Sueroesas'uelsntnueu uplBq 'o * O uep'o = (J '0 - 1y 'n1rc,( 'rur luurpJoo{ uel-srs re,(undrp snreq 3ue,( ede 1y rselor uulu.re8 srual Sueluel lrqruerp snrequesnlnde>1 'leos lBJrs uped Sunluu8roJ'Bpueq uep BSSBureq 1e1 uu8uuluud-red rp nete Ppueq Ip netu {Elelrel uep Iersreur uunce u13uere1 urepp de1a1
deSSuerp SueK'g {!lt rp nBlB 'g upueg BSSetu lesnd rp uu)plutaltp snrpqrur uence lesu IIIrJ'z ( ? leurp-rool ruolsrs ue>{ete,(u uup uelrleqJedrp 8ue,{
lees epud Bpueq seqoq-epuag wotSo?p qulregr.ueg 'sDqoq-Dpuag uo.rSotq're8el epuag rsueurp u8rl ue>lura8 upllegrleul
8ue,( pos uelqereruetu Intun epoleu uB{rJaquau rur ln{rJeq rnposoJd
SISI'IVNV )NJNN UNCESOUd
'relndurol {lu)el uuluunE8ueur 1n1unu€qnlnqal Epe Ispn eSSurqas '8uns8uu1 rsnlos re[unduaru rur sruel leos-1uos uulefuuqel'qe13un1un'Bpuoq uulu.re8 Sueluet rseuuoJur rnqete{rpEIrq'Epueq uped uhaleq 3uu,( renl u?ruou ue{nluaueu ue4snreqrp Suur-oesas 'Iru{el uuleosred ry,(uuq uBlep 'unuetr1 'ra1nduo1 uenlwq uuSuap
IrJeunu epoleu uedurel uulqnlnqueu e.{uusurq lersueleJrp ueuurus:eduullnurs rsnlos uelsnrcq8uaur 8ue,( pos-1uog 'dr1es eduel 3urpur1e33ueu8ue,{ urcurc snsel urelep ruades 'u,{uessuru lesnd rsuysue4 ue8uep upueqrsetor uulSunqnq8ueu 3ue,( elqeuleuDl elepuel u,(uvpe euarul rpelre1
redep ru1 '61-lZ'srad rrEIBIs rselsuurl ueerupsrod e8nel ue8uep uulSunq-e3rp uauou ueeuusred e1r[ lncunu ledep urey uulrlnse;,1 'nlIu,r rs8unS re8-Eqas letuels)e uotuoru rnqule{rp ulrq 'rnqslelrp IBI 8uB,( or ueuodruol rus
T)I}\}'IIIC X IN){AJ YXINYXAW 68I
i
iii;i,iiihiil
-\
CONTOH 21.4
0.2 m
I9O BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENsI BENDA TEGAR
Roda gigi yang ditunjukkan di Gambar 2l-lZa mempunyai massa l0kg dan dipasang pada sudut l0o dengan poros yang berputar yang mas-sanya dapat diabaikan. Jika /- = 0, I kg m2, I*= In= 0,05 kg m2, dan porosberputar dengan kecepatan angular yang konstair sebesar oaa = 30 rad,/s,tentukan reaksi yang diberikan penopang bantalan A dan B di poros padasaat yang ditunjukkan di gambar.
SOLUSI
Diagram Benda-bebqs. Gambar 21-12b. Titik asal sistem koordinat x, y,
e diletakkan di pusat massa roda gigi G, yang juga merupakan titik tetap.Sumbu-sumbu dipasang tetap dan berputar dengan roda gigi, karenasumbu-sumbu ini akan selalu menyatakan sumbu inersia utama untukroda gigi. Jadi O = or.Kinematika. Seperti ditunjukkan di Gambar 2l-12c, kecepatan angularrrr, roda gigi adalah konstan besarnya dan selalu berarah sepanjang sum-bu poros AB. Karena vektor ini diukur dari kerangka acuan inersial X 11
Z, untuk posisi mana pun dari sumbu .r, -y, u o mempunyai komponen x,y, I sebesar
0., = 0 oy = -30 sin 10oor. = 30 cos l0o
Kita akan menghitung (6), t. dari sumbu X, y Z karena C) = 0r,sehingga io = (6L r". Untuk meiakukan ini kita amati bahwa o mem-punyai besar dan arlh yang konstan bila diamati dari X, y, Z, sehingga d:
= (d), ".
= 0. Jadi, 6, = 6, = b. = 0. Juga, karena G adalah titik tetap,(ac)r= (ad),= (a6). = Q.
'
Persamasn Gerakan. Dengan menerapkan Pers.2l-25 (O = oB) meng-hasilkan
=30 rad/det
:-ri.f/
0.25 nrX, -r
l'
A '-a ' ::Il::r::::ri
i'.r' | ' ,i,.tst'ttr' 4". .,isr*Ih. o.:ril .. .l!+iif.is rN ,4'a
0,25 m 4.|8,,f
Gambar 21-12
LMr= Irio*- (1,- 1.)0t.,, ro.
- (A){o,2) + (By)(0,25) = 0 - (0,05 - 0,lX- 30 sin l00)(30 cos
- O,zAy + 0,258y = -'7,70ZMr= Irit, - (/, - /r)ro- ro,
4A0,2) cos l0o - 810,25) cos 10o = 0 + 0
Ax= l'25 Bx
EMr= I1jtr.- (lr- 1r)o, r,r,
Ax(0,2) sin l0o - BxQ,25) sin l0o = 0
Ax= l'25 Bx
Dengan menerapkan Pers. 2l-19, drdapatkan
(2)
100)
(l)
(3)
(4)
LFr= m(a6)*;
LF\,= m(ac)r;
Z,Fr= m(a6),;
Ar+B*=0Ar+ Br- 98,1 = 0
0=0
Dengan memecahkan Pers. I sampai 4 secara simultan didapatkan
Ay+ Br=0 Av = 71,6 N By = 26'4 N lawaban
Perhatikan bahwa reaksi ini akan berubah bila roda gigi berputar,karena mereka tergantung pada komponen kecepatan angular sepanjangsumbu x, y, z,yang adalah tetap pada roda gigi dan berputar dengan rodagigi.
. lpEI'uellnlunlrp SuuF luus eped 7 trX nquns ue8uep lrdurueq upp ('o
- , 15 .reln8ue uetudcoel re,(undtucur
SuuK',2',,1. ',r u34a>1 luurpJool uralsrs uu1eunESuau uu8uep qeloredrp
ludup 7I X nqurns depuqrel Juulor rur uauodruol derl r.rep nt1e,r depeq-rel uuqpqnJad nlul 'l -02 qoluo3 ruades '"g * '., - o Bletu ''/o + '(0 =
(0
uuere;,1'(r-lZ qoluoJ rp snsul >1n1un n1.red leprt rur u^\qeq uelqeq.rad)'Z A 'X dupuq.rat Juuler quru qeqnreg o euelul uu>1eun3rp snJBLl 9-02'sra6 'e,(uue1n{pleur {nlu3 ':'t t(o; uultedepuau Inlun 1e.re3.req 3uu,(z i( ? nqwns 3ueluedes ueuodulo>1 rpulueru uu{ruJnrp uEIu o uerpnuoluep Z l y detat nquns depuqrel 3uu1q1p ueIE o r.rup nUp/r\ dupeq.ral
ueunrnl '?-tz qotuoJ guades 'lpef ':'rt(o) = o EIEru 'o = o uuore)
s -ri EoL\o.)
tl(o ='(,)0=(co
t(o ='t(o
qEIBpB o r.rup Z [ 'r ueuodruol eSSurqas '{ti, +r"(D =
d(D +
s(D = o qelepg'r[l-l Z fiqwu} 'z i( ? nqurns ueSuep lrclur.reg
'Z i'X nquns uep rluruurp 2 1( ? nquns ruln8uu uuludeca; 'DrlltDuaurx
'g = ] uep (1 ='! = 17) erues qelupe
*l urp*l ursJaur ueuolN'0r = (J'rpu1 '8ur1uq-3ur1uq >1n1un Er.uutn ersieur
nquns uulutu{ueu nlules rur nquns-nquns Bueru{ '8ur1uq-8ur;uq epud
du1a1 lquurp uBIe 2 ( 'r nqun5 '(uelruqurp ludep ue4srunserp 3ur1uq
-3ur1uq lereg) 'u1q uup ud atuetlnser qelo uuqetu,(urp 8ur1uq-3ur1eq upud
Sunqnq8ued sorod qnre8uod'qil-lz ruqueg'soqag-Dpuag urot8mq
ISnl0SeI-IZ rsqurB9
t'IJ 1
'luluosrror{ nquns depeq.rel lou ers
-reur ueuou ru,(undureur uep '€{oJer.u lesnd 1e,tra1 uup qBlrq sn.rn1 1e3atSuud nqurns qunqas dupuq:4 / ErsJeur uauou ru,(undu:eu 3uu,( ur.rolrun
Surdue.r Suelug uuludnraur qplrq uulrsunse 'qupnlu ru8y'1u1r1ran rsrsod
ruBIBp Bpe qullq-qullq ulrq 3ur1uq-3urpq upud Surpq-3ur1uq sorod uulrr-aqrp 8uu,( ueuou uelnluel 'qelrq Enp re,{undtueru 3ur1uq-8ur1eq u1r1'sco n['e1 ueSuap urds relndraq lEl'resad Surpq-Eurluq'rur uele:a3 erueles'tlco nlbl uu8uep (,{puets) 1uun1 3uu,( lDtuosuoq uerulnd lenqureru sasorcl
tuelep Suepas DEI-lZ .tequuC rp uu>11nluqrp 8uu,( Sueq:a1 tu/r\Esed
I6I\l)lll\t'^\la x L\>13^r \/xNY>Iaw
I92 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
TOH 21.5 LAN.IUTAN
i"zI
t*'^tcr
ti lrr'f,*-
,-J(l ii '\r"
,,..T --'%, " tl:j \r-..,,..
r
((ll
io = (tl),._r,.,.+ O' X ot
= lril;r,r,,,,.+ (ior)r,r,.,.+ c'r,X (rrl., + crrr,)
=0+0+orrXo.r+opxrop- 0+ 0 + o,k X rrt.ri + 0 = rrr.j
Karena sumbu X, Y Z juga berimpit dengan sumbu x, .ll z pada saat yangditunjukkan di gambar, Gambar 2l-13d, maka komponen ol sepanjangsumbu-sumbu ini adalah
6r=0, 6r=0 6. ='r,Hasil yang sama ini dapat, tentunya, juga ditentukan lewat perhitun-
gan langsung (tD)r r". Untuk melakukan ini, perlu memandang baling-baling dalam suatu iroslsi umun seperti yang ditunjukkan di Gambar 2 I -
l3e. Di sini pesawat telah berputar melalui sudut / dan baling-balingtelah berputar lewat sudut {r/ relatif terhadap pesawat. Perhatikan bahwa<rr, selalu diarahkan sepanjang sumbu telap Z dan <o" mengikuti sumbu x.
Jadi komponen o adalah
0r=0., 0y=-tul,rsint{ @_=@Pcosl/,/
Karena rr:" dan rD, adalah konstan, tulunan terhadap waktu dari kompo-nen-komponen ini meniadi
b, = 0 6,.,.= ./, cos tyiy o. = op sin yriy
tetapi y/= 0o dan fu= @, pada saat yang diperhatikan. Jadi,
6r=o ril, = or, ro, io,=0
yang adalah hasil yang sama dengan hasil yang dihitung di atas.
Persamaan Ge rakan. Dengan menggun akan P er s. 2 l -25, didapatkan
zMr= Irds*- (1., - 1.)r., ,. = 1(0) - (1- 0)(0)@/,
M'= o Jawsban
ZM, = I 16 r- (/.- Ir)ar, or.. = /(r,r, o r) - (0 - 0(0)o/, o.My=z rr,,., Jawaban
LM, = I,6z- (1. - 1r)r" r, = 0(0) - 1/ - l) ro.,(0)
M"= o Jawaban
Gambar 21- 1-1 (sambungan)
tu...tli {t$:l iz9-IZ IBoS
rfrr6r !f.s !
,..,-
lrrrrr fl.if
'reqrxp8 rp uc{Infunlrp 8ue,( rsrsod urepp epe teled
elrtel g uep y uelelueq Suudouod Ip plrue^ rsluer
u?{nluat 'sper gZ reln8uu ueludecel ue8uep :equru8
rp ue>p1n[un1rp 3ue,( qere uelep :u1nd:eq sorod u1r1
'IBIrue^ ue8uep o1e = 0 tnpns lenqueu 1e1ed Sueprq
uSSurqas gy so:od eped Euusedrp N 001 1eled 'Z1-IZ+
'qellq
Enp qrlB-qIIe qelrq ludue Suqeq-Suryuq ue8uep rduISuel-rp ErEpn tel,\esed p{l! s-lz r]oluo:) uEIr.l€red 'Is-Iz
0s-tzl6t-tz &os
4
i..:.*-t:
8'-IZ ISOS
.*i... lu L:z'r
'lur ue4u.le3 rueles
A uep y rp sorod ueleluuq eped uulueqrp 8uu,( unur-urru rslsel uBlnluel's/pBr 8 - (D u€lsuo) uzn[e1e1 ueSu
-ep :e1nfueq sorod ery1 'g rp reueq 3uu,( e,{ulesnd renJ
Ip rxur 0Z Suesudrp 31 pp (uuryc) up8 epog 'gp-lZ*
'g uep y rp sorod uelelueq eped uelrraqrp 3uu( runturs
-Ieu Is{eeJ uB{nluel's/p€r 8 = (D uElsuo{ uenfelel uzSu
-ep relnd:eq sorod erpl g rp Jeuoq 8uu,( e,(ulusnd renl
Ip urtu 0Z Suesedrp 31 67 (ruu.rryc) ep3 epog .4p-17
' 9Z- tZ'sred'nll?,('or
+ (J >lntun:e1ng ue4u:e8 ueeures:ed uelunrnJ.gr-IZ
'n11e,,n depuqrel uDlsuol q?lepe Epueq ersreur rlsl lrsuqEues ueuoul uup o I O ellq'r nquns Suefuedes rselor
uEIEraS ueeuusjad rplels {nlueq uplumnJ .Sy-IZ
'n11um depeqral uDtsuol )lDpu epueq ersJeur r[e{ IrsuqEues ueuo'Jr uup o * (J €llq 'r nquns Suefuudes rselol
ue{BJeE ueeures:ed rclBIs Intueq ue{unlnJ .W-lZ*
=$ .i"i -:fE
i
'Eueteq eped
r'. :-v-r[od uelrJaqrp 3ue,( e,(e8 rrep z i( t ueuodtuol'j:.---:I
-s^u {[9 -] = B ueledec:ed uup s4u {fg}= r -..i j.-ral re,(undueu: 1eto1 'requre8 rp ue11n[un11p
.- -:.. :iqs f pEd Blnqrel 8ue,( 1eto1 qEnqes uep snpq:-=.' i .j-rrrlod 3uefuedes uplp N 67 Sueteg .gg-13
'Suereq
i ueluaqrp 3ue,( e,(e8 uup ?' ,( r uauod
:j'r {{E} = B uutedeired uep s^u {{S}i::juaur IEtoI JequIBB rp ue>11n[un1rp
:\-Li:t ;-ue.i ptol qenqes uep snlEq'':3-"::l:s ruelp N 67Suraeg'69-17
- r -t_ :_
= r -=Il:: l-- r -:- _- *=--:
' rl -.:- t'
LV'[ZIFos
,.,{-.Br{t l
g6II){I }TYNIC X IN)I!U- VXIN\r>IAI/'I
aYos-lYos
I
IIA BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
2l-53. Pecahkan Soal 21-52 jika poros AB dipengaruhimomen kopel M = 12 N.m yang bekerja dalam arahyang ditunjukkan oleh panah melingkar.
"21-56. Sistem gabungan batang ditopang oleh bantalanporos di A dan B, yang menghasilkan hanya gaya reak_si x dan z pada poros. Jika poros AB diberi momen kopelM = {8j } N.m, dan pada saar yang ditunjukkan di gam_bar poros mempunyai kecepatan angular co = {- 5j} rad/s,tentukan reaksi di bantalan sistem gabungan pada saatini. Juga, berapakah percepatan angular poros? Massatiap poros adalah I.5 kg/m.
_!3n 'e'i
Soal 21-55/21-56
2l-57. Batang AB 5 kg ditopang oleh poros yang ber-putar. Penopang di A adalah bantalan poros, yang meng-hasilkan reaksi normal pada batang. penopang di B ada-lah bantalan dorong yang menghasilkan reaksi normalpada batang dan tegak lurus pada sumbu batang. De_ngan mengabaikan gesekan, tentukan komponen x, y, 2
reaksi di penopang-penopang ini ketika batang berputardengan kecepatan angular konstan al = 10 rad/s.
21-58. Pecahkan Soal 21-57 jtka poros diberi perce-patan angular a = 3 rad/s2 ketika kecepatan anguiarnyaor = l0 rad./s.
Soal 2l-53
2l-54. Gabungan batang ditopang oleh sambungan bo-la-dan-soket di C dan bantalan poros di D, yang meng-hasilkan hanya reaksi gaya x dan y. Batang massanya0.75 kg/m. Tentukan percepatan angular batang dankomponen reaksi di penopang-penopang pada saat o =8 rad/s seperti yang ditunjukkan di gambar.
3m
I
- i._-
.s
Soal 21-54
2l-55. Sisrem gabungan batang ditopang oleh bantalanporos di A dan B. vang menghasilkan hanya gaya reak-si.r dan,r' pada poros, Jika poros AB berputar dalam arahyang ditunjukkan di gambar dengan (D = {- 5j } m/s, ten-tukan reaksi di bantalan bila sistem gabungan ada dalamposisi yang ditunjukkan di gambar. Juga, berapakahpercepatan angular poros? Massa tiap poros adalah 1,5
kdm.Soal 2l-57/21-58
.nl}
tees upplwq Bped etraleq EueieleS pep p{lua,r ueuod
-uol rrelntuel 's7pu: { fgp -] - to ue8uep relnd:aq so:od
E:gf 'g uep y 1p ueletu€q qelo Euedotrp 3ue,( sorod
eped Suzsedrp uep 31 gg e,(uussetu repuIIIS '99'IZ
zg-tLfig-tz l€os
-:i:::rq:ed uupp Ewteq sssetu uBIIBqV'nll l?Bs ep?d
i-:::- -p Ct tnpns lrE{nluel 'sper {11} = o r€ln8u?
-:::::r:) re,(unduau so.lod reque8 rp ue4lnluntlp
..-i r7i :ped uep ,rspet l>17j = ,c Jeln8uu ueledec
--:: -:.i -;: .ntnd:aq 8uz,t 1t1rl:a,r so:od a1 Y lP lldafipi"-j":z: :r I \ 0E Eloq Suzdoueru gV Sueleg'Zg-lZ
'ueEunl
-r,i.r?i -.'.-. i',re:eq essetu uEIpqV 'uu1e:e8 zurulas
iur:a: :-rt ; ::tni u?Inluel 'spe: {14} = o €luelsuol
ntel -x5"=c ;::,J-r:q 3ue,{ 1e1ure,r so:od a1 y 1p l}det-rp i:rat; z-rrg \ ,tr eloq Buvdoueur By tuswg 'I9.IZ
09-IZ IEoS
B rsrsod Euereques eped upu Sueleq e1t[ Euelzq
epud sorod w{uaqrp Et;r-f z 'K t uauou ueuodtuol
uelnluoJ's1pu: 7 ueEuep retnfueq uqlu{llp y so:od lBd
-urel eleu Brplueues 's/ppJ 9 - 6l ue1suol n[e1 ue8uep
e,(uqetuel 1pp depeqral retnd:eq 8ue1ug 'uru gg1 e{u-lelol EuB[rrEd uep 31 9'6 eluesseru srda ?uDlog '09-I7x
65-IZ IBoS
'lnqelallp tul nquns-nquns
depeq:et eluersroul IpI lls?q upp Ilqou ueuotu urcueel
Bil\qBq uBllsrunsv'2 ./c t nquns depuqrel tselo: uelere8
ueeuesred ue:tsl1nl ''n uelsuol uen[e141 te,(undrueu
B,(uusseru tesnd uE8urtl u?Illuepes a up.l-l'rr-t ueSuep
3un>13ue1eur wpt r8urlgle8uau lereEraq llqo6 '6S-IZ
,f
L*I
,j'
lv i:l'l:l,.i:,
s6rVXII^IVNIC'IN)AJ VXINV)IShI
196 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
*21-64. Silinder massanya 30 kg dan dipasang pada
poros yang ditopang oleh bantalan di A dan B. Jika
poros dipengaruhi momen kopel M = {- 30j } N m, dan
pada saat yang ditunjukkan mempunyai kecepatan
angular (D = {- 40j} radls, tentukan komponen vertikal
dari gaya yang bekerja pada bantalan saat itu.
21-66. Seorang pria duduk di kursi putar yang sedang
berputar dengan kecepatan angular konstan 3 rad/s. Ia
memegang batang AB 25 N horisontal. Ia tiba-tiba
memberi batang percepatan angular sebesar 2 radlsz,
diukur relatif terhadap orang itu, seperti ditunjukkan digambar. Tentukan komponen gaya dan momen yang
dibutuhkan di genggaman A, yang dibutuhkan untuk
melakukan hal ini. Tetapkan sumbu di pusat massa
batang G, dengan + z ke atas, dan + y diarahkan sepan-
jang sumbu batang ke arah A.
#.!l nt
i Soal 21-66
2L-67 . Batang uniform yang ditekuk ACD beratnya 50
N/m dan ditopang di A olehjepit dan di B oleh tali. Jikaporos vertikal berputar dengan kecepatan angular kon-
stan o = 20 rad/s, tentukan komponen x, y, z dari gaya
dan momen yang dihasilkan di A dan tegangan tali.
ii
Soal 21-64
21-65. Pintu palka uniform yang beratnya 15 kg dan
pusat massanya di G, ditopang dalam bidang horisontal
oleh bantalan di A dan B. Jika sebuah laya vertikal F =300 N diberikan pada pintu seperti ditunjukkan di gam-
bar, tentukan komponen reaksi di bantalan dan per-
cepatan angular pintu. Bantalan di A akan menghambat
komponen gaya dalam arah y, sementara bantalan di Btidak akan menghambat. Untuk perhitungan, asumsikan
pintu sebagai pelat tipis dan abaikan ukuran tiap bantal-
an. Pintu semula diam.
iiti
Il
i llldlr{'
Soal 2l-65 Soal 2l-67
Wurds uBElnd
tI-IZ JBqueC
'rur ueuoduo{e8rlel uEIBp us{Elu{urp l?dep delol Surse8 s) 'unrueu isnrnl 1e3a1 Surpse,(uentuas Iuprl rur rotlo^-rolle^ ?/hr{Bq leqllral 'Vl-lZ tequteg rp ue14nI-unlrp u{erou gplsod qety 'utds uruorud uep tsotnu 'tsasard re8eqes leue{lpSursutu-Sutsew rh uep g 'Q w1,rl?ue ueludecel ueuodruoy 'nlIB,^^ depuqratrelng lnpns ueunrnl urelsp uelulu,{urp rcdup o Surse8 ruln8ue ueludecoluprlrrr.rep uu8uep uup lot1en qeppe rhp urp ep 'Qp Ucq rsetor 'uer{rruepu,(uueupeal undnelu6 '(1-97 requeD tuqll) roqe^ uulnq eSSurq.req
rsulor Buere) 'e8efip snreq 7 uurpnuel 'e 'O ry\ lnpns e8qel uqnrn'prl-lz requeC lrq1u rsrsod ueltudup
-ueu Intun (vZ>rh i 0)zi tnpns te^\el z nquns depeqrel Sursu8 ru1n4'g
'2iI-lZ rEqu.rED'@>0 5 0)A tnpns tu/t\el r nquns depeqret Surse8 retnd'Z
'qvI-l Z ruqureD '@Z> Q 5 0) / tnpns tumal (z nele) 7 depeqrel Surse8 r€lnd 'l
: ln{rJeq qe13ue1
e8r1a1 uu>punSSuaur ue8uap Sutse8 rtqlu rsrsod 'zp1- 17 rBqtuED 'lduueqz 't 'x uep Z i 'X nquns ue8uep re1n61 'Sulsu8 eped deta qelepu rur uence
Bit\qBq uelrsunse 'uesBqBqued uenln1 Inlun 'uB)lnFedrp enpol z '(. 'xnquns uelndunl 'rul .uqIE rsrsod ue4requeSSuau Intun 'ptl-lZ requugrp uerynluntrp luedes lues ntens eped 7 tr 'y de1a1 nquns depeqrel ;rleye.rrsetuerro re,{unduetu uep O lqll eped uelleltp 8urseg 'DVl-lZ rBquEDrp uellnlunlrp 8ue,( Sursu8 eped lenqrp u€noB 'Bpueq lelel uulnlueueurrur lnpns euuurru8eq uu>1mqu:e88ueu Inlun '(rsd 'u1aqt 'Hd) /h '0 'Q
.tarug mpns-tnpns ueleunSSueu ue8uep srsrleuurp ueIE epueq uuluroD'dolsorr8 n1m,( 'lueueur lu8uus 3ue{
1e1e ueleraS rrufeladruaur Inlun ueleun8rp uele rur uuetuesred-ueeuresred'suqeqrp ueIB nquns eped 1e1e1ra1 3uu,( delq {lllt nlens depeqrel lere8requup nquns qenqes dupeq:et suleurs 3ue,( (Sursu8 nule) upuaq uulura8 srsrl-eue8uau {nlun ueleun3rp 8uu( ueeuesrad-ueuuresrad rur quqqns ureluq
{{,3
tsgsa:d
I!?
E)
dOXSOUIC NYXYUflC S'IZ*
V)I hIVNI O XNXIIJ V)IINV)!IhI L6l
f98 BAB2r KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Dalam kasus kita benda (gasing) simetri terhadap sumbu z atau sumbuputaran spin. Jika kita perhatikan gasing di Gambar 2l-15, sumbu x diori-entasikan sedemikian hingga pada saat yang diperhatikan sudut putaranspin y= 0 dan sumbu x, y, z mengikuti gerakan benda hanya dalam nutasidan presesi, yaitu, C).= op * on, maka nutasi dan putaran spin selaludiarahkan masing-masing sepanjang sumbu x dan z. Jadi, kecepatan angu-lar benda dinyatakan hanya dalam suku-suku sudut Euler d, yaitu,
(21-27)
Karena gerakan sumbu-sumbu tidak dipengaruhi oleh komponen putaranspin,
O=?,i+Qj+O.k= 0l+ ($sin fi + ($cos o)k (21-28)
Sumbu x, y, z di Gambar 21-15 menyatakan sumbu inersia utama daribenda untuk tiap putaran spin benda terhadap sumbu-sumbu ini. Jadi,momen inersia adalah konstan dan akan dinyatakan sebagai Io= Iw= /danI rr= I ( Karena O * ol, Pers. 2l-26 Euler digunakan untuk membentuk per-samaan gerakan rotasi. Dengan mensubstitusi ke dalam persamaan-per-samaan ini tiap-tiap komponen kecepatan angular yang ditetapkan lewatPers.2l-2'l dan 2l-28, turunan terhadap waktu mereka yang bersesuaian,
dan komponen momen inersia menghasilkan
ol = crlxi 1*rl *..k .
= 0i + (Q sin 0)i+ (/cos 0 + fik
ZMx= I(?.- ft sin 0 cos 0) + Iri, sinl (i cos d+ y;LMr= t1g-l sjp 0 + 2 itd 9os
0) - t,b 1fr cos 0 + yt1
\Mr= Irll),, Qcos 0 - $esin e)
,#,
(21-2e)
Tiap penjumlahan momen hanya berlaku di titik tetap O atau pusat massa
benda G. Karena persamaan-persamaan itu menyatakan gabungan kumpul-an persamaan diferensial nonlinear orde kedua, secara umum solusi bentuktertutup tidak dapat diperoleh. Alih-alih, sudut-sudut Euler S, 0, dan rydapat diperoleh secara grafik sebagai fungsi waktu dengan menggunakananalisis numerik dan teknik komputer.
Namun, suatu kasus khusus, memang ada di mana penyederhanaan
Pers. 2l-29 dimungkinkan. Biasanya dinyatakan sebagai.presesi tunak halini terjadi bila sudut nutasi, presesi 0 dan putaran spin / semuanya kons-
,an. Persamaan2l-29 kemudian menjadi bentuk
LMr=- If sin 0cos 0+ Ir$sinl(icos d+ 'y) (2r-3O)
ZMt= Q
LMr.=o
Persamaan 2l-30 dapat disederhanakan lebih lanjut dengan mengingat
bahwa, dari Pers. 2l-21 , ar= $ cos I + y, sehingga
ZM;-- /$z sin 0cos 0+ /.S (sin Oco.
atau
EMr= i sin 0 (lrar- 1$ cos d; (21-31)
V r
'o 11p' o tr? reln8uu runtueuoru qorD u oqz qru a d., u tlule qr4e re8eqe 5 . ryrg3
uenleq qEJB e{ (zol nep) o11 un,{u8ueu nples { O B/r\r{uq leqrlret l8rn1,,
uerpl.red eped uulderellp 8ue,( uuuel ue8uq uerntu uBIBunBBueru ue8ueq
(tt-tz)oH*to='w3
uerllrseq8uaru ZZ-IZ.s:ed Suns8uel uure4uured eleu z I? uep neuurp e1r[ uulsuol oH qr* uup Juseq eueJp) .'', 'l = o;7 1nlueqrpulueru r.luqruaq 'rII-lZ'srod 1ume1 Sunlrqrp 8uu,( predes,O >lpp depeq-re1 ruln8ue runlueruou e,(ureseq uep 'tr (J <<' , ,
Ll-lZJBqr.ueC ry ue>;1nl-un1lp Eue,( orr8 rolor {nlun 'rpef 'ulds uerelnd nquns Suuluudes ue)r{prerpue{rsunserp ledep orrS ruln8ue lunlueuou 'sr1>prd uunlnl unures 1n1un'tpu[ 'lalrue^ ngurns dupuqrel e,(urseserd uerelnd nlel epeduep reseq qrqelqnef rur urds uere]nd n[u1 'e,(urrleurs nquns dupeqrel r33uu le8ues Buu,(ntel epud urds relnfueq Suuf rolor qunqes r{BI?pE oug'otr7 re8uqas uu1e1-u,(urp ryulSuuas 3ue( 'dotlsotr? uelure8 uulurue8ued uup Buelep dolsor-p 4eye Sueluel luurur uu11n13uuquou qrqel 8ue,( uee8ered uq8unyq
'do4sotr? 1ap rc?eqes ue4u1e,(urp r1e1 Surres re8el epueq uelere8eped rur eserq luprl 3ue,( epleg '5r dupeqrel Jolor teJeq )ril =
x 7,y7 uaut
-our r8uuqurr8ueru {nlun reueq Erpces qllldlp', o O '7 r1e1 psuq ue)repue
'.uBrxrurap lBprl rp{ossues u,(uueupeel ,unrueS 11s41ner3 qmeSued eue:
-u>I qB^\Eq a1 qnlulro1o.r eEnpueur Sueroeses ,qurrnluu BrEceS .snrnl 1u8e1
Surps qeppe nlr eueJe{ uep Sursuu-Sursutu Eleretu lplsod nqruns Buulued-as etreleq enures =(rr uep '( O ''1413 rolqe,r B/t\qeq leqrlrel requru8 rreq
9I-IZ rBquBO
-{+-----*-', .d =iT
II
7'n
kt-tO ', t u 'I =*wz
rlt(zl =*ttIZ,
)ruueq rpeluaru 0€-IZ 'sradrur Ieq r.uEIBp 'o06 =0 luls IC '91-lZ rcqu;r-g rp urds rulnfueq Bue,(.roto:ueqquqrad rur IBq ureleq 'r nquns r8urgle8ueut ueruoru dupeqrel zt urdsuerelnd uu>lrJeqrp 3ue,( ede qnru8ued lulucuetu {nlun {rJuueu qEIBpV
V)IhTVNIC )IN)AJ VXINVXAI/\I 66f
I
I
I
2N BAB 21 KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Gambar 21-17
ekivalen dengan impuls angular yang disebabkan oleh berat giro terhadapO^,yaitu, fo=LMrdt,pers.2l-20. Juga, karena Ho= Irrrr, dan LMr=O ,, dan Il, saling regak lurus, pers.2l-22 menjadi p"r". )l_iZ.
Bila sebuah giro dipasang dalam cincin gimbal, Gambar 21-rg, ia men-jadi bebas dari momen eksternal yang diberikan pada bagian dasarnya.Jadi. secara teori, momentum angular H tidak akan pernah berpresesi,namun. alih-alih. mempertahankan orientasi tetapnya yang sama sepanjangsumbu putaran spin ketika dasarnya diputar. Jenis giroskop ini dinamakanr i l' giro bebas dan berguna sebagai kompas giro bila sumbu putaran spin girodiarahkan ke utara. Dalam kenyataannya, mekanisme gimbal tidak pernahsamasekali bebas dari gesekan, sehingga peralatan semacam ini hanyaberguna untuk navigasi lokal dari kapal dan pesawat udara. Efek giroskopjuga berguna sebagai alat untuk membuat stabil gerakan menggelindingkapal-kapal di laut dan lintasan peluru kendali dan proyektil. Selanjutnya,efek ini sangat penting dalam perancangan poros dan bantalan untuk rotoryang dipengaruhi presesi paksa.
Gambar 21-18
bantalan
r
uDqDilDI',
uDqDilDf
9.IZ HOINOJ
'teseq qrqel 3uu,( lneuq rSreua uulqntnquau r88url rseserd eueJu{'rleruuJal e,(uuserq qepuer 3uu,( 8ulsu8 rsesard ,u,(uueele,(ue{ tuelec
(qepuer rseserd) slpet 77'9 = Q
(r33up rsesard) spet y11 = (uultuduprp rseserd {nlun rur {nerpen>l uuuuesred uu{qecerueu ue8ueq
(t) o=o'is9+0,0'ou-&
nelB
(s7pur gg1 + o09 sor/)oge u1s ([ r* A4(7_ Ot)S.f1 +
o09 soc o09 uts[ {7*31(r_ Ot)O'ZtJ- - o09 uts (ur g0.0)N S06,t,
(rf +B soc()eWsQ't+0 soc 6r urs {tJruZ
ruqrD'r i3 ueuo.., rr,rB ureppsplsod r nquns #H'::l-i:#1ffi?;prsod Z nquns 'urds uu;u1nd I4BJB ruulup;prsod z nquns ue8uep ,n1ru,(
'u(uesurq rgedes erec ue8uep Inluegrp luurpJoo{ nquns-nquns,q6I-lZruqtrreg rsuqeq-Bpueq uu.r8erp epud uu41n[un1rp rgedeg .>lount rsasatdqBIBpe ue {BJoB uuerul uuqeceued 1n1un ueluun8lp 0€-IZ uuetuusred
IsnloS
ttl 6I-[Z rBquleo
6 ='to
'g delq >1p1t dupeqr4 rn)nrp ,zru BI(r-Ot)O'Zt uep ztu EI (l-0t)S'f Sursuru-Surseru qElEpB Surse8 rrep IBs-JaASUBJ1 uep IBrS{E srsJsur ueruou e/r\r{Eg uB{rsunsv ."co rseserd ueled-ecaI uB{nlual 's/peJ 00I =
trn rup8ue ueludeceq uu8uep urds relnfuaqel EIII 'oOg =0 uBlsuo{ lnpns epud le)lrue^ nguns dupeqrel rseserfuaquep 31 g'g e,(uussuru D6l-lZ rEquBD rp ue>11nlun1rp Buu,{ Burseg
d
t07\t) Itr^IVNIC )IN)I!II Y)INV)SW
--t7-'
CONTOH 21.7
202 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
Cakram I kg yang ditunjukkan di Gambar 2l-2oa berputar spin ter-hadap pusatnya dengan kecepatan angular konstan an= 7O rad/s. Balokdi B massanya 2 kg, dan dengan mengatur posisinya s seseorang dapatmengubah presesi cakram terhadap poros penopangnya di O. Hitunglahposisi s yang memungkinkan cakam mempunyai kecepatan presesikonstan ro, = 0,5 rad/s terhadap poros. Abaikan berat poros.
{,i*
Gambar 21-20
SOLUSIDiagram benda-bebas cakram ditunjukkan di Gambar 2l-20b, de-
ngan F menyatakan reaksi gaya poros pada cakram. Titik asal untuk sis-tem koordinat x, y, z dan X, Y Z diletakkan di tirik O, yang menyarakantilik tetap untuk cakram. (Walaupun titik O tidak terletak di cakram,bayangkan perpanjangan cakram yang tak bermassa ke titik ini). Dalamhaluan yang biasa, sumbu Z dipilih sepanjang sumbu presesi, dan sumbuz adalah sepanjang sumbu putaran spin, sehingga 0 = 9Oo. Karena pre-sesinya tunak, Pers. 2l-31 dapat digunakan untuk pemecahannya. Persa-maan ini berubah menjadi
9,81 N(0,2 m) - F(0,2 m) = 0,5 radtslVzQ kg)(0,05 m)2 11-70 radls;F=10,0N
Seperti ditunjukkan pada diagram benda-bebas poros dan balok B,Gambar 2l-20c, penjumlahan momen terhadap sumbu x membutuhkan
(19,62 N)s = (10,0 N) (0,2 m)
=0, l02m=l02mm
.\. e
i <;. o.$, ;*drr;
: LM*= d lr a,',i....
1',*.tt yans sama dengan Pers. 2l-32. Substitusi data yang dibutuhkan
i*" menghasilkan
Jawqban
tuB{ted€prp'ue)qEoaueu uu8ueC
''r- =d+osoco0 sor ',H I
Ie ulsTg = g uts Q
O=0
uu4eduprp 'Vt-lZ'staduup LZ-IZ 's.red { uupSurseur-Surseru ueluruu,(ueru uu8uep'Br.u?s EIBJ uu8ueq
lt n_____--______;_ T , __\,,0 sor "H 0 uls -H
6[ 6r ueuodurol
Gt-tz)
Gt-rz)z,t-
_= L(()
e soc -H--l^-= i(D
e uls -H0= x<o
IZ-IZ JBqurEC
uelledeprp selu rp ueeurusradBnpel rrup uulnlSuesreq 8ue,( 11 uup 'f t.r ueuodruol ueleruu,(uaur ue8ueq'upueq ruln8uu ueledacel z ( ? ueuodulol uelule,(uevJ:a "\a'rra ue8uep
>l'ro'l + l{rl + l'ol =DHue4edeprp'll I-lZ'srod ueleunE8uatu ue8uep'u,(ulnluuleg
{A soc 911 + !gugoH =cHruBeqes
uu4ule,(urp ludup reln8uu tunlueluoru rur nqtuns uuqrld uu8uep 'n1r uuereluup ? qulupu z uup Z BrBluE {nlueqrp 8ue,( Jelng lnpns 'DlZ-tZ reqrueC'Z uep 2 nguns qelo {nlueqrp 8uu,( Suuprq rp Ielolret ( nquns uup ,HSueluedes uelqurerp Jursod 7 nqutns u33urq ueDJrurepas ue{r.{ururp lursJeuruence e>13ueJoI B^\qEq uBlrsunsBrp uulu 'uulrleqradrp 8uu,( 1BBS Bppd
lsuoc - c11
'n1re,( 'uelsuol sruBq upueq reln8uu unlueuoul
, uelle:e,(suaru rur luq'rc-rc'sJed IJBC 'lou r{BIBpB ussuru lusnd depuqret
) ueruou uuqelunluad uluru 'BpB.3ue,( 1uure1s13 nfr..l u,(un1es-n1es qulepu
rselr,tu:3 eIrI'upueq Inlun 1= *i = ut1 unp 'l = "1u38urq un,1,*"p",
'g Bssurrr lesnd rp {Blalrol z '{. 'x teurpJool IBSB IIIII 'uteurs nqunsue1ulu,(uaur 2 nquns uuSuep 'nlr ruu3Etuas Epuaq qoluoc qe:IJp? Dlz-lz:equreg rp ue11nfunlrp 8uu,( lrlelus 'nqwns sulauc uulrsunsurp uuIB up
' -ueq usseur rsnqrJlsrp'rur uelera8 {psrJelIuJBI uulluqureSSueu Inlun'uolruqerp elepn uBIasaB qmu8ued uu{lesu
- IIlIeFoJd uep 'uulunq 1r1e1us '1euu1d rJn qElEpB rur uelera8 sruef 'rsrol
seqeq UEIBJoB ru8eges uu1e1u,(urp upueq runtun uelure8 uleu 'rselrlur3qalo uulqeqasrp Bpuaq eped u[ra1aq 8uu,( 1eure1s1e e,(u8 e,(unlus-nlus ulg
ir,
ISUOI SYflflfl NY>IYUflC 9'IZx
VXI^iVNIC XIN)AI VXNYXIIhI Eoz
2M BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
e = const
" sumbuputaran
spin
i=&ttororg' II,
Jadi, untuk gerakan bebas torsi benda yang simetris sumbu, sudut dyang dibentuk antara vektor momentum angular dan putaran spin bendatetap konstan. Selanjutnya, momentum angular H5, presesi /, dan putaranspin r/ untuk benda tetap konstan setiap waktu selama gerakan. Denganmengeliminasi H, dari pernyataan kedua dan ketiga Pers. 21-36 dida-patkan hubungan antara putaran spin dan presesi berikut :
kerucut pejal
(b)
Gambar 2l-21 (sambungan)
(21-37)
o=+sumbu presesi
jkerucut kosong .,'
sunrbu rotasisesaat
A=+{coso
kerucutpelal ..
sumbu rotasisesaat
/.,L sxa|r,
presesl
...i "
'2'sumtruputaran
spin
Seperti ditunjukkan di Gambar 21-21b, benda berpresesi terhadap sum-bu Z, yang tetap dalam arahnya, sementara ia berputar spin terhadap sum-bu z. Kedua komponen gerakan angular ini dapat dipelajari dengan meng-gunakan model kerucut sederhana, yang diperkenalkan di Subbab 20.1.Kerucut kosong yang mendetinisikan presesi adalah tetap dari rotasi, kare-na presesi mempunyai arah yang tetap, sementara kerucut pe.ial berputarmengelilingi permukaan luar kerucut kosong tanpa selip. Dengan dasar ini.suatu upaya harus dibuat untuk membayangkan gerakan ini. Sudut interiortiap kerucut dipilih sedemikian hingga kecepatan angular resultante daribenda diarahkan sepanjang garis kontak kedua kerucut itu. Garis kontak inimenyatakan sumbu putaran sesaat untuk kerucut pejal, dan dengan demi,kian kecepatan angular kerucut pejal dan benda harus diarahkan sepanjanggaris ini. Karena putaran spin adalah fungsi momen inersi;r l dan 1. benda.
Pers. 21-36, model kerucut di Gambar 2l-21b adalah memuaskan untukmenggambarkan gerakan ini, andaikan / > 1.. Gerakan bebas torsi yang
memenuhi persyaratan ini dinamakan presesi regular. Jika 1< 1., putaran
spin adalah negatif dan presesi positif. Gerakan ini diwakili oleh gerakan
satelit yang ditunjukkan di Gambar 21-22 (l < 1-). Model kerucut kembalidapat digunakan untuk menyatakan gerakan itu; namun, untuk menjagapenjumlahan vektor yang benar dari spin dan presesi untuk mendapatkan
kecepatan angular or, permukaan dalam kerucut pejal harus menggelindingpada permukaan luar kerucut kosong (yang tetap). Gerakan ini dinyatakansebagai presesi retrograde (yang mundur).
kerucut kosong
Gambar 2l-22
r
uDqDAof
aDqDADf
8.IZ HOJNO:)
s/p,ros'r: I-l - ''=-:',o09sor/[ esor rH
s/pB.I og'z : --- l- : (o)
o09 uls 1t e uls -H
0: xor
uulluduprp 'l Q =9H ue8uep 'tt-JZ 'slad uu>1uun83ueur uu8ueq
s/pel E =a
I\ ora:1 =.
hl I
qulupu urds uerulnd 'LE-lZ'srod uuluunSSueu uu8ueq'o0g = 0 lnpns e{etu 'qtz-lz luquBD rp uuplnlun11p rledes ,rseserd
nquns Sueluudes Z nquns uep urds uuretnd nquns Suuluudas uu>1du1
-elrp ) nquns ulrl'luuorsue^uo) uenleq uepc 'rsJol suqeq e,(uuulura8eluu 'uheleq 3ue,( u,(u8 e,(un1es-n1us quppu >ledeseJoq leleq Eueru)
rsn'Ios€z-Iz rBqruEc
'Brepn rsuulsrse.r qnru8ued uu)ruqv'u,{ure1n3uu uuledaceluup >ledaseloq urds uetulnd u,(uruseq ug)nluol 'essuru lusnd depuq.retrru{up '% qulepu lusro^suurl dupuq;el lerslu ledasuloq ersreur ueruoruorsEr BIt[ 's/pur ! = Q ntq ueSuep lulruo^ nquns dupeq-rel rseserd:eq
ledeseloq 'e3n1 'opg7-12 requeD rp ue11nlun11p rgedes ,leluosrroq
Irep o0[ ur?{qururp teqrlral ledeseloq urds 'e,(utu1ry riu6l ']Bquul ue>1u-re8
.to11c,(ord uuluunSSuetu ue8uep lluruurp ludeseloq qunqes uuIE_raD
,(os't) + ,( oq'z) + ,(o) | =
,('co) + ,( ''co) + ,('ro)
902VXIWVNICI )IN>IAJ VXINV)AN
206 BAB 21 KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
SOAL.SOAL
d'21-68. Sebuah pesawat terbang turun dengan sudut
curam dan kernudian terbang mendatar untuk mendarat.
Jika baling-baling berputar searah jarum jam bila dia-
mati dari bagian belakang pesawat. tentukan arah ke-
mana pesawat cenderung berputar sebagai akibat efekgiroskop ketika pesawat mendatar.
21-69. Batang yang tipis mula-mula berimpit dengan
sumbu Z ketika ia diberi tiga rotasi yang didefinisikanfewat sudut Euler d= 45o,0= 30o, dan Z= 600. Jikarotasi-rotasi ini diberikan dalam urutan yang dinyatakan
itu, tentukan koordinat sudut arah cr, p, y dari batang ter-hadap sumbu X, Y, Z. Apakah arah ini sama untuk tiapurutan rotasi'/ Mengapa?
21-70. Tunjukkan bahwa kecepatan angular benda, di-nyatakan dalam sudut Euler Q, 0, dan ry, dapat dinya-takan sebagai or - (/sin bsin y+ b cos y)+($sin 0cos ry'l - 0 sin ry) + (/ cos 0 * Wk, dengan i, j, dan kdiarahkan sepanjang sumbu.r, _t,, i seperti ditunjukkan diGambar 2l-14d.
21-71. Turbin pada sebuah kapal mempunyai massa400
kg dan dipasang pada bantalan A dan B seperti ditun-
.jukkan pada gambar. Pusat massanya ada di C. jari-jarigirasinya adalah k, = 0,3 m dan t_. - &,= 0,S m. Jika iarnelakukan putaran spin dengan 200 rad/s, tentukan
reaksi vertikal pada bantalan ketika kapal mengalami
rnasin-e-masing dari gerakan berikut ini:(a) menggelin-ding. rrr, = 0,2 rad/s. (b) membelok. oz = 0.8 rad/s, (c)
mengangguk. (D-t = 1.4 rad/s.
;ti
*21-72. Sebuah roda bermassa rlr dan berjari-jari rmenggelinding dengan putaran spin konstan cD terhadap
lintasan lingkaran yang mempunyai jari-jari a. Jika su-
dut inklinasi adalah d. tentukan laju presesi. Perlakukan
roda sebagai cincin tipis. Tidak terjadi selip.
Soal 2l-72
21-73. Giroskop mainan terdiri dari rotor R yang terikatpada kerangka dengan massa yang dapat diabaikan. Jikarotor melakukan spin terhadap porosnya dengan
kecepatan angular on = 150 rad/s, tentukan kecepatan
angular konstan o, ketika kerangka berpresesi terhadap
titik pasak di O. Batang OA bergerak dalam bidang
horisontal. Rotor mempunyai massa 200 g dan jari-jarigirasi tro = 20 mm terhadap OA.
lc!
Soal 2l-71 Soal 21-73
w
LL-rZIBos
'ru ot'l qBlepe epor €rEluE {erBf'srdolsorr8 IaJe qalo wlq?qasrp 3uu,( '3ue4e1eq epo:
IEruJou Er(EA eJBluB usepaqjod ue{nluol 'ruru 00, Bi(uJel
-eursrp uBp 'e,(uurds ue:etnd nqu.rns depeqrel uu 009
- ,7 efurse:r8 pel-pef 't1 91 u,(uessuu epo: dert e11'ru 08 Iref-lrel p,(unduatu 8ue,( leluosuoq eunl rturll-cEuatu u?[Aq 001 =',r ue8uep lere8raq UqoW'LL-qZ
9t-IZ l?os
'qepuaJal 3ue,{ e{ursrsod
eped epe:eq lurrresad eIIleI urseur ueletueq epud
turpq-3uqeq up{ueqrp tue,( >pdolso:r8 1n1el ueru
-ou ue{ntual 'uel4ul 967 uetuep 1e:a8:eq uep u 08rre[-u?[ rci(undureur Eue,( IBITUoA EAJnI InsBu lerrresed
ery1 'urds nquns dzpeq:el s/pBr ggg uped uef urnrefqerues retnd:eq Eurpg-Eurpq '1uinesed uedep uep Deu-Blp ullg 'urds uerstnd nquns depeq-re1 tunlrqrp ur g'g
ufuprorluec rsBr6 uuf-uefuep 3)t SI u,(uesseu p88unt
urseu Sueq:e1 leinused upud Euqeq-Eulle1 '9L-lZ*
'rur ue4era8 uutuep uuEunqnqas
so:od eped g uep y rp uelelueq e,{u8 uulFeqrp Eue,t
ueuou trelnlueJ 's1pu.r {ft} = '(ro ;elnEue ueledacalre,(unduour ul8ueral alelueues 's7per {qgg1} = 'rou?lsuol nfel uped:ulndraq uep 'g uep y lp uulptupq qelo
tuedotp roloru sorod 'z nquns depeq:at ru gg'g rserr8
Iref-FBf mfundureu usp N 0SZ e,(ulereq ro]ohl .S1-IZ
,l-Iz IEos
'y5t depeq:e1 wut OZ - vo)t
rselE uef-uuf uep E 002 Bssutu re{unduelu rolo6 'lel
-uosrror.l Sueprq u:epp 1e n?nq yg Eueleg 'vo rolor re1
-nEue uepdecel uu{nluel 'slryr1- do ue8uep O nquns
{llp &peqrel rsese:draq eq8ue:a>1 E^\qBq upluuJel
e{r[ 'rrelrcqerp ludup Eue{ esseu ueEuap z13uz.re1 upud
lP{lrel EuBi{ U Jolol IJep lrlprel ueul?ul dolsortg'71-17
S4.IZ IEOS
irI .---:-'' ----l
nt,il'iti
t il:! !;; '[i.t-tl1
{5
107,Y)IruYNIC )IN)IAJ YXIN\rTSW
208 BAB 2I KINETIKA TIGA DIMENSI BENDA TEGAR
21-78. Gasing konikal mempunyai massa 0,8 kg dan
momen inersia /, = 1.,, = 3,5(10 - 3) kg m2 dan 1. = 0,8(1Q
- r; kg m2. Jika ia melakukan spin secara bebas dalam
sambungan bola-dan-soket di A dengan kecepatan angu-
lar o, = 750 radls, hitunglah presesi gasing terhadap
sumbu poros AB.
*21-80. Proyektil yang terlihat mengalami gerakan
bebas torsi. Momen inersia transversal dan aksial adalah
I dan Ir. Jika dmenyatakan sudut antara sumbu presesi
Z dan sumbu simetri z, dan p adalah sudut antara
kecepatan angular <o dan sumbu z, tunjukkan bahwa p
dan d dihubungkan oleh persamaan e = U/l ?) tan P.
Soal 21-78
2l-79. Cakram 4 kg dilemparkan dengan putaran spin
oz = 6 rad/s. Jika sudut d diukur sebesar 1 600, tentukan
presesi terhadap sumbu Z.
Soal 21-80
21.81. Sementara roket terbang bebas, ia mempunyai
putaran spin sebesar 3 radls dan berpresesi terhadap
sebuah sumbu yang diukur I 0o dari sumbu putaran spin.
Jika rasio momen inersia aksial terhadap transversal
dari roket adalah 1/15, dihitung terhadap sumbu-sumbu
yang melewati pusat massa G, tentukan sudut yang
dibuat kecepatan angular resultante dengan sumbu putar
spin. Bentuk kerucut pejal dan kosong yang digunakan
untuk menggambarkan gerakan ini. Apakah presesinya
regular (biasa) atau retrograde (mundur)?
rI
= 4. tlt$.15
Soal 21-79 Soal 21-81
r
I
2IO BAB 2I KINETIKATIGADIMENSIBENDATEGAR
isis getaran memegang peranan pentlng
dalam studi perilaku struktur ketika terjadi gem-
pabumi. Dalam bab ini kita akan membahas seba-
gian dari aspek penting getaran.
r4 rTrrEqruBcnul
*
fi1,11..,i;'hf-Bu ly,
uultudeprp 'x = 6tplxTp = p BA\r.{BQ le8urEuaruuu8ueq Jprsod ue8uedtuls rluJe ruelep efre1aq uulrsurnsurp z uuludecred ur-elueues 'uu8uuqurqasel tsrsod e{ uu{quJprp nlules r{ -jr InsBIe qrlnuadeteg'q1-77 ruqurug rp uu41n[un1rp suqeq-Bpueq urur8erq r ue8uedurr"^rsrsod eped Epe {oluq EIneI IoFq uped uele.te8 ueeruusJed uuIuun88ueuue8uap unlnluolrp pdup nqum Sunluu8ril 8ue,( >1o1uq uelere8 uesulur-I
'suleq Bduq sruel Suns8uulreg uB{B rselrso .snleq
qBIBpB Suudoued Uue{nuued ue{rcpuv '0 = r ellq uu8uuqurlesel runlrp lura8req uullnluelaur uBIu Br u88urq uur{rruapos ueludecel nluns rcd-Bcueru Ue>IB {opq '1pefre1 Iul Ellg 'Ioluq Irreuaur se8ad eSSuqes r Sued-urr{ueu 8ue,( rslsod uep uelsedelfp lopq ulrq rpu[re1 ueJBleC 'ry uBn>IqeIrc,(undrueu 3ue,( seSad qunqes eped ue4ru>;lp uep u essutu re,(und-trratrr {opg 'ol-ZZ lr;qtileg rp uaqnfun11p 3uu,( Iepou qelo ue p1u,(urptuu,( 'ruupe:eDlel s?qeq uurele8 r1BIepB Buer{repes Eurpd 8uu,( uerele8 sruel
ue8wquuesal rsrsod
I IY(IflUflJ.YYJ, SYflgB NYUYIflD l'ZZx'uerele8 rroal suqequeur 8ue,(
qnq-Dlnq tuBIEp urelepueu BJBces seqeqp uBp rur ue)EuuqJepesrp Eue,(snsel eped uolrBseprp 1e,(ueq-uuseqeqellelercpreq uelsrs srsrleuv .IBBS
derles ualsrs rsrsod dalSuel BJBces uapuqure88ueu {nlun tuurpJoo{ nlBS
ualq$nqueu e{uuq rur luEEunl-uusuqeqel{elerep uetsrs .qBJB nles luul?pe,(ueq >pre8raq rseluqrp 8ue[ epuaq-epueq Inlun DlBIJeq ue>1u e,(usrsrleuy'sule rp uurela8 sruef >1e1em rreleladuau upIB Blr) Iul quq ureluq
'ruoparu qelepe e,(u:uuaqes ru1e8;eq 3uu,( epuaq qunqesuulere8 u>I?tu 'epu nlr [BuJalsla uup [BuJalur uelesa8 e,{e8 e,(uuuu1e,(ue1urBIEp pueJe) 'srsrluuu ruulup ue{ruqelp uolese8 IeJa BuaJu>I snreueusnrel Suns8uelJoq uep uzpataqq uBJsleD 'rluporol {El ltulu uruparel pdeprur uerele8 sruel unpe;1 'uelsrs epud ueluaqrp Suef uelrr.uretur u,(e8 nele
IeuJels{e 1lporred e,(e8 uu4qeqesrp ostlod uorDpg'{llsBle Eueleq uerele8n€lB InpuEq r{pnqes un,(e8uaur uelere8 e,(upsrtu Iuedes
,4r1se1e qqnuede,(e8 nute rsulrner8 e,(e8 qelo uelueqepedrp uopre8 uyq rpetrc1 soqaquoratag'es1ud uzp suqeq 'uBrBleB sruef Bnp epu ,Lunlun ErEceS .ue8uuq
-unesel rsrsod qenqas rJEp uelqupurdrp 8ue,( ue8unqnqreq Buu,( epueq-Bpueq uolsrs nElB Bpueq qenqas rr?p lrporred uuluraS qBIEpB u0r01ag
NIYUYJ,gO
ii'
ill.
]nil'ii
ZZ
212 BAB22 GETARAN
lro, = mar, -kx=mxDi sini terlihat bahwa percepatan sebanding dengan posisi balok. Gerakan
yang digambarkan dengan cara ini dinamakan gerakan harmonik seder-
hana. Dengan menyusun kembali suku-suku ke dalam "bentuk standar"'
didapatkan
*'+ P2x = 0 (22-r)
Konstanta p dinamakan frekuensi melingkar, yang dinyatakan dalam rad/s,
dan dalam hal ini
(22-2)
Persamaan 22-l jugadapat diperoleh dengan menganggap balok digan-
tung, dan dengan mengukur simpangan y dati posisi kesetimbangan balok,
Gambar 22-2a.Brla balok dalam kesetimbangan, pegas memberikan gaya
ke atas F = W = tng padabalok. Jadi, bila balok disimpangkan sejauh y llb
bawah dari posisi ini, besarnya gaya pegas adalah F = W + lq, Gambar 22-
2b. Terapan persamaan gerakan menghasilkan
posisi kesetimbangan
}r * w. *,-
uttrl
Gambar 22-2
+ I>F, - may;
atau
i,'+ p2y = 0
yang adalah bentuk yang sama dengan Pets.22-1, dengan p didefinisikan
olehPers.22-2.Persamaan 22-l adalah persamaan diferensial homogin, linier orde
kedua dengan koehsien konstan. Dapat ditunjukkan, dengan menggunakan
metode persamaan diferensial, bahwa solusi umum persamaan ini adalah
x=Asinpt+Bcospt (22-3)
dengan A dan B menyatakan dua konstanta integrasi. Kecepatan dan per-
cepatan balok ditentukan dengan mengambil turunan terhadap waktu bertu-
rut-turut, yang menghasilkan
-W-lcy+W=mi
k
m
7
x nuu,,$ eporJd
I,r{ s. 'iEi $!}}..'Ut ,
G-zz)
-uelrp snrEq
(a-zz)
(t-zz)
G-zz)
@'zz)
e-zz rBqurBS
{*r *,l.r,lt ttJ* ,:} &, .i,
(Q+td)urs3=re4ew'Q urs6) soo +Q socg urs (Q +6 ) euerey
1d soc Q urs , + 1d u1s Q soc, - rue4edeprp tZZ'srod ulBIBp eI rur rsnl[sqnsueur ue8uaq
'g uep V rluu8 re8eqes uu>1n1
8ue,( nruq 3uu,( uluelsuo)-Eluutsuo{ qelepe 0 uup J uu8uep
,l.{t:
,.}:l
.{..{,i.,.i
r",$l+
ii
Qsox)-g
Qsoca=y
u8p
lrquY'euBq-repes leprosnurs uulere8 ruelep uululu,(urp tudup e?nf g-77 ueetuesred
(9-zz)dJd soc Ir + Jd urs- = r ' 14
rpeluaurur ue>1era3 ueyeqtueSSueru 3ue,( uuuruusrad 'tZZ'snd urelep eI uulrsnl-nsqnsrp rur relru-relru uqll'd1la - y ue4edepp V-ZZ 'sre6 ueleunSSuaruue3uap '0 = r Ip eped t,r - .1 BuaJB) 'lx = g uu4uduprp E-ZZ's-tedurelep eI0 = J eped lr = -r rsnlrlsqnsueur ue8ueq 'usuel eI I.t ( gursod ) leznu ueledec-eI rreqrp uep uu8uuqurlasel rsrsod rJBp uBuBI e1 Ir qnelas uelSuedurrs-lp qBIa DI-ZZ te.qum1 Ip )oleq uelrupuu 'qotuoc rc8eqeg 'luos le^\u rsrp-uol rrEp uBlnluelp e,(ueserq E-ZZ'sJed Ip B uBp y rseJ8elur Bluulsuo)
'l-ZZ'sred Inlun rBueq 3uu,( rsnlos uu1e1
-e,{uau E-ZZ'sred nI Euare{ uep 'rqnuedrp reuaq-reueq lursuoieJrp uBBues-red u>pru 'l-ZZ 'sod ulppp e{ uelrsnlrlsqnsp S-ZZ uvp E-ZZ.s.red ulrg
td soc dg - td u1s dy -7d urs dg - 1d soc dy
=X=D=X=A
t,lzV)IhIYNIC )IN)AJ V)INVXAhI
214 BABI2GETARAN
Jika persamaan ini digambarkan pada sumbu .r versus p/, maka didapat-kan grafik yang ditunjukkan di Gambar 22-3. Simpangan maksimum barotdari posisi kesetimbangan didefinisikan sebagai o^ptitrdo getaran. Darigambar atau Pers. 22-9 ampritudo adalah c. Sudut / dinamakan sudut fasakarena ia menyatakan banyaknya penyimpangan kurva dari titik asar teti-ka r = 0. Konstanta C dan Q berhubungan dengan A dan B rewatpers. z2-1dan 22-8. Dengan mengkuadratkan dan menambahkan kedua persamaanini, amplitudo menjadi
c=
Jika Pers. 22-8 dibagi oleh pers. 22-7, sudut fasa menjadi
t =27
Perhatikan bahwa kurva sinus, pers. 22-9, menyelesaikandalam waktu r = r ( tau ) bila pt = 2 x
2rr - - (22-12)
p
Lamanya waktu ini dinamakan periode, Gambar 22_3. Dengan menggu_nakan Pers. 22-2, periode.iuga dapat dinyarakan sebagai
Frekuensi / didefinisikan sebagai jumlah sikluswaktu, yang adalah balikan periode :
(22-tO)
(22-n)
satu slklas
(22_13)
yang dibuat per satuan
(22-14)
(22-1s)
Q =run-t !
, -l - P
r2n
^ llkf -_- t_t 2n\ r,
Frekuensi dinyatakan dalam siklus/s. Rasio satuan dinam akan hertz (Hz ).dengan lHz= I siklus/s =2rradls.
Bila sebuah benda atau sistem benda-benda yang berhubungan diberisimpangan awal dari posisi kesetimbangan dan dilepas, rnaka ialkan ber-getar dengan frekuensi tertentu yang dikenal sebagai frekuensi naturql.Jenis vibrasi ini dinamakan getaran bebas, andaikan tidak ada gaya ekster-nal kecuali gaya gravitasi arau gaya elastik yang bekerja pada benda sera-ma gerakan. Juga,jika ampritudo getaran tetap konstan gerakan dikatakantakteredam. Getaran bebas takteredam dari sebuah benda yang mempunyaiderajat kebebasan tunggal mempunyai watak yang sama dengan gi.utunharmonik sederhana barok dan pegas. Akibatnya, gerakan uenaa aigam-barkan oleh persamaan diferensial dengan bentuk sama seperti pe.s. Iz- t,yaitu,
nl
k
f
'rur rnpesord uDIJEqr.uBEEueu rur ln{rJeq r.{oluoc-qoluoJ
{nluaqreq qeloredrp Buu( ueuuesrad rege nrns-nrns ,rno*"! :!;{i!;ue8uap d ue1n1ua1 uup ue>pre8 uuuurusrad tuBIBp e{ rur lrsuq rsrunsqns'p. 'n11e,n depuqral rslsod leurprool Enpa{ ueunJnt tuelup upuequeludecred uu1u1e{u'e1rleueur1 ue>pun38ueu uu8ueq rlurrutauN
'upueq ludecredrp uulure8 ue8uep epueq eped ufreleq3ue,( 1ado1 ueruolu uup rselrrrur8 qnnuad e,(e8 nep {psele e,(e8 uu4-Sunqnq8ueur 1n1un uulure8 uueuusrad uBIBunC .uDyo$D anmraDsrad
'd (lW)Zueruoru uequlunlued urulup uo{qnlnqlp Bue,(nlns-nlns,uu>13uefuqureur {nlun uulqepnr.ueu ueDJnuap uu8uap uup'nD 1 uup 'n ( ce )* '* ( c* )* ueuoduol uu>llnfunuaur ur >1gur8 erecesEUaJB{ uloeuq urer8erp ruqruuEtueur 1nlun eEn[ uel8unlun8ueurUBIB e{eru 'ue>punSrp uule o (lAr)Z =
oillz rselor uE{uJeB uueures-rad e,nqeq uulsnlndrp e1r1 'rsrsod purproo{ uep Sprsod qBJB ruplup BpE8uu,( uunleq ru(undueu sruBq D epueq relnEuu ueledecal nele ge epueqssseu lusnd ueledecred 'renses SuuK b lDlsJaw fiutpr.oal ueleun88ueruue8uep ue8uuquqesel rsrsod depuqrel upuaq lelol ua1nlual 'u,(uuu8uuq-urtasal rsrsod rrep wtlap ?uo{. qo.to{wDtzp uel8uudunsp epuoq u>lrlelepueq rrup spqeq-epuaq urer8ep qulrequreg .saqoq-Dpuog utot*mq
:rur lnlrJeq Jnp-esord ueleunSSuaur uu8uep uu{nluetrp ledep p88unl ueseqeqel 1e[ur-ep rc,(unduetu 8ue,( uetunqnqraq 8uu,( re8e1 ?pueq-Epueq uelsrs nu]?re8el epuaq d rnlSurleur rsuenle4 ,se8ad uep {olug snsul upud rgadeg
srsrlvNY >InJ,Nn uncssoud'91-77 rcdurus f-ZZ 'sred ue>1uun83ueur ue8uep
wlntuelrp ledep upueq rrep urBI uerele8 {ptp^\ uup 31" prnluu rsuen{eg .Iuerele8 eporrad B)tur.u 'mr-lule{p spueq rrup dre>1Eur1eu rsuenle+ BIIf ,lpet
(st-zz)
VXIhIVNIC XINXAI })INV)AN 9LZ
0=rzd+{.
216 BAB22 GETARAN
Til
,#
$#ffil
$
$.ri
t:
iB)
Tentukan periode getaran untuk bandul sederhana yang ditunjukkan
di Gambar 22-4a.Beban massanya zl dan diikatkan pada tali yang pan-
jangnya l. Abaikan ukuran beban.
SOLUSI
Diagram Bendu-bebas. Gerakan sistem akan dihubungkan ke koordinat
posisi (q = )d, Gambar 22-4b.Bilabeban disimpangkan dengan sudut 4gaya pemulih yang bekerja pada beban ditimbulkan oleh komponen
berat 0. Selanjutnya, a, bekerja dalam arah pertambahan s ( atau d).
Persamqan Gerakan. Dengan menerapkan persamaan gerakan dalam
arah tangensial, karena menyangkut gaya pemulih, dihasilkan
+/ LF,= ma,; - mg sin 0= tutt (1)
Kinemutika. at = &sld? = il Selanjutnya, s dapat dihubungkan dengan
s lewat persamaan 9, sehingga s = 10, sehingga dt = 10. Jadi, Pers. I
berubah menjadi bentuk
0=0
Solusi persamaan ini menyangkut penggunaan integral eliptik.Namun, untlk simpangan kecil, sin 0 = d, dalam hal itu
6*Ee = o (3)L
Dengan membandingkan persamaan ini dengan Perc.22-16 (i + p2x = O
), yang adalah "bentuk standar" untuk gerakan harmonik sederhana, ter-
lihat bahwa o = ^frfi Dari Pers. 22-12, periode waktu yang dibu-
tuhkan beban untuk membuat satu ayunan lengkap dengan demikian
adalah
Jqwabun
Hasil menarik ini, yang semula ditemukan oleh Galileo Galilei lewat
eksperimen, menyatakan bahwa periode hanya tergantung pada panjang
tali dan tidak pada massa beban bandul atau sudut d
Solusi Pers. 3 diberikan oleh Pers. 22-3, dengan p =,[glt dan 0
disubstitusi untuk x. Seperti balok dan pegas, konstanta A dan B dalam
soal ini dapat ditentukan jika, diketahui simpangan dan kecepatan beban
pada suatu saat.
(2)6 +{ sinL
illl
t:,):
.$;
ltr/;
2n
p
r$
I
I
I
t
7
aoqoADfs'r /ts 6e'r =
!gt!]' ,. =
d-vz
s-zz rEqurEc
z'zz
qBIEpe uuDlnuep uu8uep uerula8 lernluu oporrad
,u'art80t'O = [ z (urE.0; +, (LxZ.0)](SI OOI : . t
ue8uep lrdurrreq 8uu,('lpBI '(
zQ + zD )w zt4 = 07 qeppe 8ue1eq
ngtuns r{Enqes depeqr4 1u1ed ursteur uoruohtr' 'tlt =,t qBI€PB
re13ur1eursuen{o{ '...rupuels {nlueq,, tuBIBp Bpe rur ueeluesred Buere)
ol0=07+e
ool =o>t -
nBlu
'.no1=oyyg
uotlon8 arDutDs"tad
rsmos
'1e1ed Sueplq lulrelvp 0 pcel ruln8ue ue8uedurrs ueqrp le1ed ulrq teyeduerule8 IEJnlBu aporred uoJnlual 'pu{ru'N g,l = )l leuorsJol uenlu{e{re(undrueur 3ue,( 8ue1eq qenqes epud e,(ulesnd rp uul8unlue8rpog-ZZ :p"gulp-g p ue11nfunllp 3ue,( 31 gg Sueiuud r8esred 1e1e6
-a:::':i:
^11i.;..:.i: '
:.r.,-'1,,-
't,,.1
".. $=l+
'g lylsod qerc uepp ufte1eq 6 reln8uu uuledecreg B ruln8ue ue8uedturs
ue8uep uuue/helreq 8ue[ quril urelup etreleq rur ueruotrAl .7tt = W qelepu
3uu1eq uu{lrseryp 8uu,{ luuorsrot q11ruuad ueruou .rrrpues e,(u8ueprqrp uulSuudurrsrp rc1ed BuerEX 'qg-ZZ teguteg ,sDqaq-opuag uo.r&olg
Ivt
.41 =.J
ItzVXIWVNIC )IN)ItI,I YTINVXIW
218 BABz2GETARAN
22 -3
i--!rx@ ,;
Batang yang ditekuk yang ditunjukkan di Gambar 22-6a mempunyaimassa yang dapat diabaikan dan menopang cincin logam 5 kg di ujung-nya. Tentukan periode natural getaran sistem.
SOLUSI
Diagram bend.a-bebas dan diagram kinetika. Gambar 22-6b. Di sini ba-
tang disimpangkan dengan sudut d kecil dari posisi kesetimbangan.
Karena pegas dipengaruhi kompresi awal sebesar x,, untuk kesetimbang-
an, maka bila simpangan J > .rsr pegas memberikan gaya F, = kx - kxrtpada batang. Untuk mendapatkan "bentuk standar", Pers. 22-16, 5a,bekerja ke atas,yang sesuai dengan simpangan dpositif.
Persamaan Gerakan. Momen akan dijumlahkan terhadap titik B untukmengeliminasi reaksi yang tak diketahui di titik ini. Karena 0 adalah
kecil,
L+ 2M B= L(fi{*)ai
kx( 0,1 m) - krrt( 0,1 m) + 49,05 N( 0,2 m) = - (5 kg)ar(0,2 m)
Suku kedua di ruas kiri, - kx,, ( 0,1 m), menyatakan momen yang ditim-bulkan oleh gaya pegas yang diperlukan untuk menahan cincin logam
dalam kesetimbangan, yaitu, di .r = 0. Karena momen ini sama dan
berlawanan dengan momen 49,05(0,2) yang dihasilkan oleh berat cincinIogam, kedua suku ini saling meniadakan di persamaan di atas, sehing-ga
/o:( 0,1) = - 5ar(0,2) (1)
Kinematika. Posisi pegas dan cincin logam dapat dihubungkan dengan
sudut 4 Gambar 22-6c. Karena 0.adalah kecil, x = ( 0,1 m)d dan y = (0,2 m)0. Karena itu, a, = yi = 0,20. Dengan mensubstitusi ke dalam Pers.
I didapatkan
400(0,1 e) O,l = - 5(0,24)0,2
Dengan menuliskan kembali persamaan ini dalam bentuk standar dida-
Patkan ?i + 2oo = o
Dibandingkan dengan i + p2*= 0 (Gambar 22-16),didapatkan
P2=20 P=4,47radls
Periode natural getaran dengan demikian adalah
.=4= 2n =1.40,p 4.47
lawaban
gJD-
i
L
/'
.,0=0 Z6E+0
uelledeprp e,(uueluueqrape,(ueuruBp I 'sJed tuplup oI rut lrseq-lrsuq rsnlrtqnsuau uu8uaq .N 0S +(us0gZ'O X rultt 00S€ ) ='i qelepu se8ad u{u8 B rsrsod Intun
.uEuEI
e1 elra1eq 3ue,( '1q 0g qBIppE r.rrerIec tutSuoqturlasaq Intun uelqnlnqtp8uu,{ se8ed e,(e8 'og =d BIIS '0gZ'0= s =so,ypef
,gSZ,0 =.{ qnulas unlnl
{opq ueIquqa,(ueu uer{pc lrup6l llce>l 3ue,( yrliiod ue1uedwrs,cl-77JuqtrruD Ip elt1eueuq ue-r3erp uelep uu>plnfuntry Rradas 'Dlrlouauy
(t) (uszo,',(+#). u,(',szo,(i#)i=(tu sz'o )'i - (* gz'o )N os
lo(lW)Z=or,1Z +1
o7 e,,,rqug luaurgueru ueauep uep "(o u,p ro ,rrr", ffllffi;l )i'lr(i";O {!p depuqrel ueuou uulqelutnlueu uu8ue6 .uuptag uDDuDSrad
rtUsod s
qurp ruelep etrcleqeol JolIeA's qnet'es rselsue,ureq 3uu,( ,1o1uq uep Blnpns qalo uoryttotiip 3uu,( rselo.r nuule8ueu 3uu,( ,ururlec ,rnp ,.,,pr"1ua$ts 'qL-ZZ reqweJ'DUtaalX uot8mq uDp sDqaq-Dpuag uot8qq
8'6t dsllt'O=-=-=1 vz lLZ
qBIBpu uerele8 prnleu eporred ,n1 puoru;,1
sTper 9'61 - dZ6E= d
ISmOS
Ar.ftriri-FE
hffi p41,*rif;lggp'*-[P r,,;11 11;c. - v
uDqD&oI',
L-ZZ reqwe{)
s( QS
.A:I
dttu
I
..]:i:l:,-ti
ci ;ffi$Ilt' -T"-:--ii.9.}+r,{--l ,:ilit:i: 0rri
'ualsrs uerule8 lerntuu epoued uulnlual'ul/N 00S[ - Z uBnIuIeI ru,(und-ureur se8e4 'D
L-ZZ &qweg rp uu11nlunyp rlredas .N SL u]u.DIBc qunqes
rnlulatu 3ue( lp1 qenqes eped uulSunluuErp 51 0S loluq r{Bnqes,. ZZ HOINOJ
6l,zV) IhiVNIC )IN)III.I \rXINVXAA
220 BABzIGETARAN
SOAL-SOAL
22.1. Bila beban I 00 N digantungkan pada pegas, pegas
teregang sejauh 100 mm. Tentukan frekuensi natural
dan periode natural getaran untuk beban 50 N yang
dikaitkan pada pegas yang sama.
22-2, Sebtah pegas mempunyai kekakuan 600 N/m.
Jika sebuah balok 4 kg dikaitkan pada pegas, didorong
50 mm di atas posisi kesetimbangannya, dan dile-
paskan dari keadaan diam, tentukan persamaan yang
menggambarkan gerakan balok. Asumsikan simpangan
positif diukur ke bawah.
22-3.Bila balok 3 kg digantungkan pada sebuah pegas.
pegas teregang sejauh 60 mm. Tentukan frekuensi na-
tural dan periode natural getaran untuk balok 0,2 kgyang dikaitkan pada pegas yang sama.
*22-4.Balok 8 kg digantungkan pada pegas yang mem-
punyai kekakuan k = 80 N/m. Jika balok diberi kece-
patan ke atas sebesar 0,4 n/s ketika ia berada 90 mm diatas posisi kesetimbangannya. tentukan persamaan yang
menggambarkan gerakan dan simpangan ke atas maksi-
mum balok diukur dari posisi kesetimbangan.
Asurnsikan bahwa simpangan positif diukur ke bawah.
22-5. Beban l0 N digantungkan pada pegas yang mem-
punrai kekakuan k = 0,5 N/mm. Jika beban ditekan 25
mm ke atas dari posisi kesetimbangannya dan kemudi-:-r dilepaskan dari keadaan diam, tentukan persamaan
\rns menggambarkan gerakan itu. Berapakah amplitu-dr dan frekuensi natural getaran ini?
ll-6. Beban 30 N digantungkan pada pegas yang mem-
punlar kekaliuan k = 0,75 Nimm. Jika beban diberi
kecepatan ke atas sebesar 6 m/sketika ia berada 50 mm31 311i pqrsisi kesetimbangan, tentukan persamaan yang
menggamharkan gerakan itu .dan simpangan ke atas
maksimum dari beban, diukur dari posisi kesetimbang-
an. Asumsikan simpangan positif adalah ke bawah.
22-7. Sebuah pegas diregangkan 175 mm oleh sebuah
balok 8 kg. Jika balok disimpangkan 100 rnm ke bawah
dari posisi kesetimbangannya dan diberi kecepatan ke
bawah 1.50 m/s. tentukan persamaan diferensial yang
menggambarkan gerakan ini. Asumsikan bahwa sim-pangan positif diukur ke bawah. Gunakan metode
Runge Kutta untuk menentukan posisi balok, diukur
dari posisi tanpa regangan. ketika t = 0,22 s. Gunakan
penambahan waktu sebesar A, = 0,02 s.
*22-8. Jika balok pada Soal 22-7 diberi kecepatan ke
atas sebesar 4 m/s ketika ia disimpangkan ke bawah
sejauh 60 mm dari posisi kesetimbangannya, tentukan
persamaan yang menggambarkan gerakan itu.Berapakah amplitudo gerakan? Asumsikan simpangan
positif diukur ke bawah.
22-9. Sebuah bandul mempunyai tali sepanjang 0,4 m
dan diberi kecepatan tangensial 0,2 m/s ke arah vertikal
dari posisi 0 = 0,3 rad. Tentukan persamaan yang
menggambarkan gerakan angular.
22-10. Tentukan seteliti mungkin simpangan angular
maksimum beban di Soal 22-9 jika ia mula-mula disim-pangkan 0 = 0,3 rad dari vertikal dan diberi kecepatan
tangensial sebesar 0,4 m/s menjauhi vertikal.
22-11. Tentukan frekuensi getaran balok. Pegas semula
dikompresi sejauh A.
Soal 22-11
"22-12. Pelat bujursangkar massanya rn dan digantung-
kan di sudutnya lewatjepit O. Tentukan periode natural
osilasinyajika ia disimpangkan sedikit dan dilepaskan.
Soal 22-72
t 7
Lr'7,2 l,sos
'uelwdelp Er €lrq e{ursslrso uE{eJeB UEIJ?q
-u-re88ueu 8ue,( ueeruusred ue1nlue1 'pel t'0 urel runref
rr?rre.{\elJeq z,(uuulSurpurletSueu-r ueSuep'uelSuedurs-rp urur{eJ ery1 e,{uue8uequrlese{ rsrsod depuq"ral rsel
-rsoreq ur EInaI ptuosuoq uzulntu:ed uped drles edwlSurpurleSSuatu uup N 001 e,{ule.leq wer>p) .LI-CZ
9l'zz luos
SI-ZZ pos rsnlos uB{BunD :ynfurua4'9-y rse:r3 r:el-r:el Eunlq uep '9 rselr,rer8 lesnd
IrBp p {elal uelnlueJ 's 96'g = s1 reseqes rnlnrp uerctet
epouad rur IEq ru?lu6 'g rp nesld Bleru qalo Suedolrp er
z,(zdns o691 randrp uup uu4qepurdrp uerpnurel 8ue1eg's 8€'€ = Yr :n1n:e1 uereleE epoued uep y rp nesrd
sleur qsnqos qe10 Euedolrp tunqnqSued EupNa'gl-zz*
sI-zz Ieos
'uaela8 p:n1eu epoued
uelnluel 'uulsudelrp uep ue8uequrlasel rsrsod pup
d Eseqes llllpas ur>tSuudurrsrp epuaq ery1 91 qelepu
9 depuqrel B,(urserr8 pei-ue[ uup 'g rp e,{uesseu lusnd'ar e,tuesseu: 8uu:eqrues >1n1ueq ueSuep €pueg 'SI-ZZ
tyzz Isos
'uulsudepp uup 1r{rpes uelSued-ulrsrp ueJ{?J uqrl uerele8 IBJnt?u epolJad trelntuea'N 002 efuleraq ueru18ur1 qz8uales war>p) .?\-ZZ
tt'27, tvos
'8ue1eq esseur uep su8ad
duq uenle>1e>1 qeySunlrg 's Zg't qBIBp" [B>{rua,r ue:ete8
epoued'efutesnd rp ue)ppietlp E1 69 ussetu e;llf s €g,0reseqes p{ruel ue:eleE epoued rc,(undruau er 'Sueleq
uped Suedolrp 3ue,{ und eda epe )1ul BIIS '1 uues Euu(uzn{e{el ue8uep Surseur-Eurseu 'g tup V se8ad enpqolo e,(utunfn-tunfn rp Swdollp ru:olrun Suelug .g1-77
utlN{.EAI el
l,ZZV}IINVNIC )IN){AI Y>IINV)gNtr
v'
222 BABzIGETARAN
22-18.Pelat yang massanya z ditopang oleh tiga tali
yang panjangnya I yang dipasang secara simetris seper-
ti ditunjukkan di gambar. Jika pelat diberi rotasi sedikit
terhadap sumbu vertikal yang lewat pusatnya dan
dilepaskan, tentukan periode natural osilasinya.
Soal 22-18
22-19. Sementara berdiri di sebuah elevator, orang itu
memegang bandul yang terdiri dari tali 450 mm dan
beban 2.5 N. Jika elevator turun dengan percepatan 4 =| .2 rnlsz, tentukan periode natural getaran untuk ampli-
tudo ayunan yang kecil.
*22-20. Papan penopang AB massanya 400 kg ketika
kosong, pusat massanya di G,, dan periode natural osi-
lasinya t, = 2,38 s.. Jika sebuah mobil, yang massanya
l,2Mg dan pusat massanya di Gr, diletakkan di atas
papan, maka periode natural osilasi menjadi r,r- 3,16 s.
Tentukan momen inersia mobil terhadap sebuah sumbu
yang lewat Gr.
Soal22'20
T2-21. Pentnjuk pada sebuah metronom menopang
peluncurA 2 N, yang diletakkan padajarak yang tetap
dari iepit O penunjuk itu. Bila penunjuk dipindahkan,
sebuah pegas torsional di O memberikan torsi pemulih
pada penunjuk yang besarnya M = (1,84)N m, dengan
I menyatakan sudut simpangan dari vertikal, diukur
dalam radian. Tentukan periode natural getaran bila
penunjuk disimpangkan sedikit 0 dan dilepaskan.
Abaikan massa penunjuk.
'"i,; l.$,\ .ntlra;!
Soal22-21
I
Soal22-L9
I
9Z'ZZpos
'uerp wspea{ rrBp rru{s?delPuep pluosuoq Brecos uttrr 0s u€{Euedurrslp N sz uBqaq
elrq uEIereE uelrequBSSuour Eus^ uuBru€sred uBlnl-uel 'N 0OI uBBuEBel rqrueEuedp gV N/$le>le\$.VZ-ZZ
sz'zzpos
'reqruet rp ue)plnf-ururp 3rrp,t rsrsod EpBd epE SuElpq eltle{ Sue8erel {elseEad-se3ad'wrela3 p:nteu epoued uelnluel'uelsed-ellp upp 1r:aq ueEuudruls paqlp 3ue1eq e41 'O \defqelo Suedotrp wp ra e.(wssuru ru.roJrun Eue1eg.97-77
vz.-zzrB%
s,0= r
'3ue1eq essuru uup
{opq ueJnln uulreqy 'uu>1seda1rp upp lrlrpes uelSuud-rursrp Br BIrq ueqeq uerelet prnleu epouad uelnluolruqupE rp ue11nlunlrp 6ue,{ rsrsod uelep upu ue8unqe8
ruolsrs ?Ine{ Euu8e:at {el se8ed enpel e>|r1 'Sueteq
ueEunqe8 tunfn rp Euesedrp N SZI upqeg .W-ZZ*
tz'zzIBos
:
4( UiI
'tusleqBssuru uB{rEqV 'per4u'N urelep rnlnrp .7 6uerq p-uorsJol uBn)pIeI ue{nluel' gV Buelp"q nqruns tEurlna8-uau r*psoJeq 1elad elrq ''s e'0 = r. uu:e1e8 prnluuepouad re,(undueur p gql Euefired lEas:c,dpp4.g7-77
ZZ.Z7,IBOS
'dl1as eduelturpurreEEuau tuopuelag 'ur Sr'0 = 91 qeppe Euop-ua1eE rserr8 IrB[-lrEf 'uerete8 p:n1eu epoued uelnluel'ue>lsedepp uBrpnue{ llllpes uelEuedtursrp EuopueyeE
e1r1 'se8ed enpe{ ue)tlre{lp N 0SZ Euopue1ag.77-77:i rlrt0 lJsii..+--{{t{t} fl,t I *;
tzzV>IIhTVNIC )IN)I !I.I VXNV>IAI^I
7-
224 BABzz GETARAN
*22.2 METODE ENERGI
Gerakan harmonik sederhana benda, yang dibahas di Subbab 22.l,hanyadisebabkan oleh gaya gravitasi dan gaya pemulih elastik yang beker.la pada
benda. Karena jenis gaya-gaya ini adalah konseruatif, maka persamaan
kekekalan energi dapat digunakan untuk mendapatkan frekuensi natural
benda atau periode getaran. Untuk menunjukkan bagaimana melakukan hal
ini, perhatikan balok dan pegas di Gambar 22-8. Bila balok disinrpangkan
sejauh x sembarang dari posisi kesetimbangan, maka energi kinetika adalah
T = Vz mv| = Vz mx2 dan energi potensial adalah V = Vz mx2. Dati per-
samaan kekekalan energi, Pers. 14-21, penting bahwa
T+V=konstanVz mx2 + th k* = konstan (22-17)
Persamaan diferensial yang menggambarkan gerakan dipercepat darr
balok dapat diperoleh dengan mendiferensia,si persamaan ini terhadap
waktu /, yaitu,
mxx 1' kxx = 0x(mx+kx)= 0
Karena kecepatan -x tidak selalu nol pada sistem yang bergetar,
i+pz x=o p=Jkt*
yang adalah sama dengan Pers.22-1.Jika persamaan energi dituliskan untuk sisrenr benda-benda yang ber-
hubungan, frekuensi natural atau persamaan gerakan juga dapat ditentukan
dengan diferensiasi waktu. Di sini tidak perlu untuk memecah sistem da-
lam bagian-bagian untuk memperhitungkan gaya reaktif dan konektif yang
tidak melakukan kerja. Juga, dengan metode ini, frekuensi melingkar p
dapat diperoleh secara langsung. Sebagai contoh, perhatikan energi meka-
nika total balok dan pegas di Gambar 22-8 ketika balok ada pada simpan-
gan maksimumnya. Pada posisi ini balok diam sesaat, sehingga energi
kinetik adalah nol dan energi potensial, yang tersimpan dalanl pegas,
adalah maksimum. Karena itu, Pers. 22-17 menjadiVz d**= const. Pada
saat balok melewati posisi kesetimbangan, energi kinetik balok adalah
maksimum dan energi potensial pegas adalah nol. Jadi, Pers.22-17 menja-
di th m(x)2,,r* = const. Karena gerakan getaran balok adalah harmonik,
maka solu,si untuk simpangan dan kecepatan dapat dituliskan dalam bentuk
Pers.22-9 dan turunan terhadap waktu, yaitu,
posisi kesetimbangan
l.i
I
irr
e
Gambar 22-8
7
'g gt qpqqns rp uuquq 3ueln nuluruour ue{uerust6l .*
'rur rnpasord uEIrBqLueSSueu tnlrreq rloluoc-r{oluoJ
'0-brd + b. rr?puels Inlueq urulep nlns-nlns rleqtuel unsn,{ueu qeletes qelo-Jedrp d relrN 'uelsrs {nlun uBIeJaB ueer-ues;ed ue{elu,{uetu eluullnser
IsrsusJeJrp ueeurBsJod 'euEs 8uE,{ n{ns uelJenlel uEp lSJoue uuetues-Jed rrep nl1e,tr depeqret uuunrnt qelllquV 'nDIDlA dnpoqtal uDuntnl
. (ue8uequrtesol rsrsod) 0 = ,uueetu Ip uenre nlens uup rnlnrp snrnq 34 'snsnqr u-rece S
'g 1-g 1 .r"d ,'r1
+ " A = ^
'Bpuoq Irlsele uep rselr,rur3 lursuelod r3:eua qeluni qulepe lurs-uetod r8reue uup 'Z-g I 'sred 'zco I I z/r + D, aw z4 - / .epueq rsutor uuprsEISueJl uelere8 ue>lSunlrqreduau snJeq IlleuDI r8Jaue ,unurn ereces'1e3u1 *'rsrsod leurprool ruulep 'uElsuol = ,,1 + J
.upuaq Inlun rSreuo
ueeuresred ue{sntun5 '4ococ 8ue,{ b rsrsod leurpJool 1e,r,rey uu8uequrl-ese1 rsrsod depeqret epueq Ietal ue1u1e,(u uup e,(uuu8uequrlasal rsrsodrwp tDllpas uelSuudurrsrp Br Dlrta{ epuaq requ€ g .1&nug uaDMDSfid
'r8reue uele{ele{ ueeuusred ue>leun88ueur uu8uepue8unqnqreq 8ue,( epueq-upueq ruelsrs nele epueq qenqes d ml8urlerursuen{a{ uelnlueuelu Inlun apoloru uElrJogue[u rur lnlueq Jnpasotd
SISITVNY XNTNN UNGSSOUd
'Z-ZZ'snd ue8uep {luepr quppe 8ue,(
-d
uellseq8uau d ueuecue4
nelu
,sluur,_slBru. . L- /l
ue1lud-eprp( uelsuo\, =A+J ) r8reue wp{e{o) ueeuesred uelderaueur ue8ueq
d) -tW*x J ='In-f
7d7)u = 7))l
uulsuo{ = try| * e7, =
s{u\ ttt z/1
(0+td)socd3-x
V)IhIVNIC )IN)!I.I VT IN\r)Ahi
tu
1
9ZZ
@+ldluISJ=x
uSSurqas
226 BAB2IGETARAN
r-coNToH22-5-a
$i: \1
\1 ''t il\
(irj
Cincin tipis yang ditunjukkan di Gambar 22-9a ditopang oleh sebuahpasak di O. Tentukan periode osilasi untuk amplitudo ayunan yang kecil.Cincin massanya ru.
SOLUSI
Persamaan Energi. Diagram cincin ketika disimpangkan sedikit (q = )0dari posisi kesetimbangan ditunjukkan di Gambar 22-9b.Dengan meng-gunakan tabel pada bagian dalam sampul belakang dan teorema sumbuse.iajar untuk menentukan I o, energi kinetrk dapat dinyatakan sebagai
7 = V2 loa2 = V2 lmi + mP1o2 = ^P 02
Jika acuan horisontal diletakkan lewat pusat gravitasi cincin bila I = 0,
maka pusat gravitasi bergerak ke atas r (1 - cos 0) pada posisi yang di-simpangkan. Unttk sudut-sudut yang kecil, cos 0 dapat diganti oleh ke-dua suku pertama ekspansi deretnya, 0 = I - 02t 2 +. ". Karena itu, ener-gi potensial adalah
Energi total dalam sistem adalah
T+V=^r2e2+
Turunan terhadap Waktu
*Pz'ei .* mgr00 = 0*rb 1zr0 + g0) = Q
Karena d tidak selalu sama dengan nol, dari suku-suku di dalam tandakurung,
e + i-e=o2r
Jadi,
v =n,,r[,_[, {,-))=*,,*
e2mgr
-
t
sehingga
Jawaban
/
0l-77&qtne}
9'27,
aDqDiloI',nd S/C.I=_=_=Xvz 1rz
s/Petl=U=d
eEBurqes
O=091 +0
rupuuls {$ueq rpulueulqeqrr-req se1e Ip uuutuesred 'ur S06t'0 = 3g;zll'g6 =
,ts uueru;E
0 = eztvt - 7gt'o ( ast'o + 't)ooz + eG) z8z'o
n p 1ory1 dopotl.r a, uD u ru nJ
0 ZL'vt - TGsl'o+ "s)00t + z(ilttfo = A + J
'qBIEpu uelsrs lulol r8leue 'n1r eueJu)
d(ur SI'0 )lN t'gO - elO@ SI'0) + r"l(ur/N O0Z) zA=
sftl - z(s +tss) 1 27, - 1
re8uqes uolsrlnlry pdep lersuel-od r8reua eleur 'uesuequnesal >1nlun lsg Suu8ereu se8ed errtqeq tu8u-r8ueur uup Ioluq uu8uuqurlesal rsrsod rp uuncu ue>lduleuaur ue8ueq
z(o)tvt'o =
7( il[ 7@t s I'0 ) (3r 9't, )ztr + z[ e Qil s I'0 )](sr 0t) z/t =,r, ot ,h + laqtu
e7, = 1
r.IBIepB urel-srs {rleupl rSreua B(ur sl'0 ) = s ?uate) 'qovzz requruS rp uu4lnlunlpue8uuqurlesel rsrsod rJBp 6) uup .r lnrnl-lnJnueq qulurnf ruupp uelSued-urrsrp BIrloI tuBDIBc uup {oluq urur8urp qunqos '1fuaug uurutDsfid
ISO10S'tuel
-srs uurule8 IErnlEu apoued uu{nluel'u/N 002 - T uBDIBIOI p,(undureurse8ed e1r; 'DOI-ZZ rBqluBD rp ue>qnfunlyp 11rades '31 E ururluc r8uryrl-a8ueru uu{tlllllp 3uu,( gq upud uulSunlue8rp 34 0I {oleq r{Enqes
t!t.:t .-.: \d
Ii
F- 6.',4
h-
LZZYXIhIVNIC XIN)Iltt Y)INV)A,\I
228 BABI2GETARAN
SOAL.SOAL
I
22-27. Pecahkan Soal 22-ll dengan menggunakan
metode energi.
'k22-28, Pecahkan Soal 22-12 dengan menggunakan
metode energi.
22-29, Pecahkan Soal 22-14 dengan menggunakan
metode energi.
22-30. Pecahkan Soal 22-15 dengan menggunakan
metode energi.
22-31. Batang unifbrm dengan massa nr ditopang oleh
jepit di A dan sebuah pegas di B. Jika ujung B diberi
simpangan ke bawah yang kecil kemudian dilepaskan,
tentukan periode natural getaran ini.
Soal 22-31
4'22-32. Cakram 7 kg dihubungkan dengan jepit di titiktengahnya. Tentukan periode natural getaran cakram
jika pegas mempunyai tegangan yang cukup untuk men-
cegah tali selip pada cakram ketika ia berosilasi.
Petunjuk'. Asumsikan bahwa regangan awal di tiap pe-
gas adalah dr. Suku ini akan saling menghilangkan
setelah mengambil turunan dari persamaan energinya
terhadap waktu.
li..!i*.
'rrr .\r'ui it ? ,, lti) l(.iil.*
i
22-33. Mesin massanya nr dan ditopang secara unitbrm
oleh empat pegas yang masing-masing mempunyai
kekakuan k. Tentukan periode natural getaran vertikal.
r (J i:i
i1 ;l
Soal 22-33
22-34. Tentukan periode natural getaran cakram sete-
ngah lingkaran 50 N.
Soal 22-34
22-35. Tentukan periode natural getaran bola
Abaikan massa batang dan ukuran bola.
3kg
d's St.X,) lr{,,u;
Soal 22-32 Soal 22-35
r
0t'z7lpos
'uelsBdelrp uBrpnlue{ uBp lr)rpos leluos-rroq ue8u?durs uaqrp g Sunln epq uerele8 lernleu rs
-uanle{ ue{nluel 'B Ip IeqEI qBnqas uBp y Ip lelos-uEp-e1oq ue3unqrups qelo lutuosuoq Eueprq rp Euedolrp3ueteq eqrl .u/N
0t e,(u1e:eq Surdtue: Suewg.gg-77*
6g-zz IBos
'3uete.:e1 {el Elmues su8a4 'uerula8 IeJnlBu lsuenler;uBlntuel 'E1 g esseu I?,(unduatu r.uBrlec e\$'6e-72
6ZZ V>rrr MNrC )rN)r:r,t \t>rrNvxaN
ru/N 0ZI 1e:eq rcr(undtreurSurseu-Eurseru uep 'Eurdue: qeppe Euuleq enpal de8-8uy'lnpuuq ue:sla8 Jernleu eporred uolnlual .ge-ZZ
Le-zz IBos
'Euurur ueulnru.led rp drles {Bptl ruBJIEc uelrsunsv'N 0OI ururlm uerele8 prqeu rsuenle{ ue{ntueJ.LS.ZZ
ge-zzvos
iu j. ll
'EIoq uBrnln uu{Pqv.u1oq ue:e1a3
Iernleu Isuenle{ w{nluel uE{req?rp tpdsp E^upsssru
Eue,( 3ue1uq qenqas epud u?Itre{rp N 0S BIoB .9t-22,"
-tt'
\-"' -"--tr '\ .-t;lt
" illl{Jl{ a
n..;x.!(K'
ttr,,\i {tirl = 1
7
230 BABzIGETARAN
?2-41. Batmg massanya 8 kg dan digantungkan pada
dua pegas sedemikian hingga ketika ia dalam kesetim-
bangan, pegas membuat sudut 45o dengan horisontal
seperti ditunjukkan pada gambar. Tentukan periode na-
tural getaran jika batang ditarik ke bawah dalam jarak
yang pendek dan dilepaskan. Tiap pegas mempunyai
kekakuant=40N/m.
22-42. Tentukan persamaan diferensial gerakan gelen-
dong 3 kg. Asumsikan bahwa ia tidak selip di permu-
kaaan kontak ketika ia berosilasi. Jari-jari girasi gelen-
dong terhadap pusat massanya adalah kc = 125 mm.
Soal 22-42Soal22-41
*22.3 GETARAN PAKSA TAKTEREDAM
Getaran paksa takteredam dianggap satu dari jenis getaran yang paling pen-
ting dalam pekerjaan teknik. Prinsip yang menggambarkan sifat gerakan inidapat d igunakan untuk men gan al i sis gay a- gay a y ang menyebab kan getaran
dalam banyak jenis mesin dan struktur.
Gaya periodik. Balok dan pegas yang ditunjukkan di Gambar 22-l1amemberikan "model" yang mudah untuk menyatakan watak getaran sistemyang dipengaruhi gaya periodik F = Fo sin ro/. Gaya ini mempunyai besar
Fo yang maskimum dan frekuensi penggerak ro. Diagram benda-bebas
untuk balok yang disimpangkan sejauh x ditunjukkan di Gambar 22-11b.Dengan menggunakan persamaan gerakan didapatkan
+*XF, - max; F, sin ot/ - kx = nii
atau
t + L*=!L sino,t (22-t8)
Persamaan ini dinamakan sebagai persamaan diferensial orde kedua yang
tidak homogin. Solusi umum terdiri dari sotusi komplementer, x", ditambaltsolusi khusus, x,
F
kz-zz)"(dp)-
rlaws :-------;-= dx
snsnq{ rsnlos uapeduqp'OZ-ZZ 'sred urulup eI rs$nsgns
,(tlllo)-l ,a-(w1t11--1ias = *P, =c 0z-zz)
uu4edepp J Inlun uelr.leJoueu uep lo uelrunle8uaur ue8uaq
aut,(Durs oJ = (trours ))
' + r0urs z(DJ-
uelledeprp gl-ZZ 'sred r.uEIEp a{ u,(ursnlrlsqnsuorr uep nl)p^\depuqr4 Bnpe{ upurunt llqtue8ueur ue8uaq'etuulsuol qelupe 3 ue8uap
(oz'zz)/(DuIS3=dr
{ruuaq tuelsp rsnlos uelrsurnseBueu uu8uep uu>1n1
-ue1rp ledup gI-ZZ 'sJed snsnql r.srllos ,Irpoued qulepe uelu-re8 euere)'z-Zz'sna' '"!t = d 'rq8ullatu lsuen{e{ qelepe d uuEuap
(erzz)7d soc g + td urs y =rr' r\\e [' E-ZZ'sJod r{elo uulrsrugeprp
rsnlos 'I-ZZ 's:e4 uu8uep uele^Dlo quppe tue,( ,e,(uuelpseqrp Eue,( urE-otuoq uueruusred ualqucauraur ueEuap uep lou uutuep Br.uus SI-ZZ
.sJad
uuuu{ suru rp tt>lns lrqure8ueur ue8uep uol$uel1p n1uawa1dwotl tsnlog
II-ZZ rEqurBC
,tq,r
.,t!..,1
IY
'i'""""|la'.i,',
1p3 11rx ilg=.3.,i. .f ' ,.1
t
uu8uequIasa1 rsrsod
rcZV)II MNIO )IN>I!I,I VXINV)IAhI
232 BABz2GETARAN
, ....1,
,
1
i
(>:l
adalah
Gambar 22-12
x=xc+ xp=Asinp, + Bcospt * . F.oll,,r rinrt
t -(atpr
14p= (xP),,"t,
= I
Folk 1 - (t)lpf
Di sini x menggambarkan dua jenis getaran balok. So/usl komplententer x,
menyatakan getaran bebas, yang tergantung pada frekuensi melingkardan konstanta A dan B, Gambar 22-12a. Nilai-nilai spesifik untuk A dan B
diperoleh dengan mengevaluasi Pers.22-23 pada suatu saat bila simpangan
dan kecepatan drketahui. Solusi khusus x, menggambarkan getaran paksa
balok yang disebabkan oleh gaya luar F = Fo sin co/., gatnbar 22-12b. Ge-
taran resultante x ditunjukkan di Gambar 22-12c, Karena semua sistem
yang bergetar dipengaruhi gesekan, getaran bebas, .r,., pada saatnya akan
teredam habis. Untuk alasan ini getaran bebas dinyatakan sebagai transien.
dan getaran paksa dinamakan keadaan tunak, karena ia satu-satunya ge-
taran yang tinggal, Gambar 22-12d.
Dari Pers. 22-21 terllhat bahwa amplitudo getaran paksa tergantungpada rasio fiekuensi alp. Jika faktor penguatatr MF didefinisikan sebagai
rasio amplitudo getaran keadaan tunak, (rr),r.,u*, terhadap defleksi statik
Folk,yang disebabkan oleh amplitudo gaya periodik Fr, maka, dari Pers
22-22,
(22-23)
t))-)4\
Persamaan ini digambarkan di Gambar 22- 13, dimana terlihat bahwa untuk
or = 0, MF r 1. Dalam hal ini, karena frekuensi yang sangat rendah @/-< p.
besarnya gaya F berubah secara lambat dan dengan demikian getaran balok
akan sefasa dengan gaya luar F. Jika gaya atau simpangan dibetikan de-
ngan frekuensi yang dekat dengan frekuensi natural sistem, yaitu a/p = l.maka amplitudo getaran balok menjadi sangat besar. Ini terjadi karena gaya
F diberikan pada balok agar ia selalu mengikuti gerakan balok. Kondisi inr
dinamakan resonansi. dan dalam praktek, getaran resonansi dapat menye-
babkan tegangan yang luar biasa dan cepat rusaknya alat-alat. Bila ga1'a
siklik Fo sin ror. diberikan pada frekuensi tinggi ( a > p,), maka nilai MFmenjadi negatif, yang menyatakan bahwa gerakan balok tidak sefasa de-
ngan gaya.
i
F
,,l'i *
{
er'zz reqTIIBC
lI-72 reqlue)
4iti),;tt'i:() !v i;
,. i ,: I
I
,'/'-\, /^\. ;
j'\,/\'l
i \ i \ I
', l-t -f- \l \,..*.i t,,^i L-/ i
q-*.-*'
r':1r.r rriztir - i. tg
- ':, {ii;,1
f]- .
T
'lco urs og -g Suudouadue8uudurs rqnreSuadrp ulrq Ioluq uelera8 ue>lrequreSSuirur Intun runsas
qulupe e,{ulseq';Z-ZZ rudurus IZ-ZZ'sroA le,rel uelrsrurleprp 8ue,{ rsnlosruelep uulnlulrp rur rsntrtsqns €Ir[ '0gry qrlo t1uo7tp"g uo4loso g l-ZZ s.rad
)ntuaq ueSuep IJluapr qulepu rur ueuuesled 'uulSurpuuqureru uu8uaq
la LuJO)tllS
-=t'- f l ''gYl Gz-zz)
{!t=(/tlursog -x>t -nule
'.'Dl!r = 'r=Tuultuduprp
uelure8 uuetuesrad uuleunSSuau uu8ueq '(i co uts 0g - ,) qulepu se8cdunun ue8uuduns 'nlr Bueru) 'tlrl-Zz.ruqruuD 'gp uu8uep trdurrrag y5r
lerpe.r sr.ru8 e1r1e1 'n1e,{ 'Suudouad 1ou ue8ueduls Irlrl rrup lru{nlp x tuurp-roo>l'qrl-Zz ruqureg rp uopuquu8lp 1ul luq urulep )oleq {nlun seqeq
-Epuoq uer8erq'Suedouad rJeplo urs 0g =p lruourJeq ue>1ure3 qelo uel
-qeqastp 3uu,( 1o1eq q?nqas 4pouad uerule8 uelete,(ueu D?l-ZZ ruquuDrp uellnlunlrp 8ue,( Iepo,\l 'uatsrs Suudoued lrpor.red rselrs)e rrep uellnq-urrlrp redup e8nl uslud uululeD .{lpolJad Suudoueg uu8uedtuls
'lou rle)apueut LIB[Bpe dtr^tr uprlturep ue8uap uep 'Jauotsuls .uduteq du1e1
Ioleq ( d << co ) u,(ur33ur1 Bserq .runl 3ue,( rsuenle.ry Iruun 'B{qlluqes uup'yH ?{ e[re1oq u,(u8 'uruu1 e1 uelSuudturstp loluq Bllq ,lul rsrpuol uped
V>IINiVNIC XIN) gI V)TNV)gfitr
tttz
2U BABz2GETARAN
CONTOH 22.7
Gambar 22-15
t-t--,
Instrumen yang ditunjukkan di Gambar 22-15 diikatkan secara kuat
pada papan penopang P, yang selanjutnya ditopang oleh empat pegas,
masing-masing dengan kekakuan k = 800 N/m. Semula papan penopang
diam ketika lantai mengalami simpangan 6 = 10 sin (8t) mm, dengan I
dalam sekon. Jika instrumen dibatasi untuk bergerak secara vertikal, dan
massa total instrumen dan papan penopang adalah 20 kg, tentukan sim-
pangan vertikal y dari papan penopang, diukur dari posisi kesetimbang-
an, sebagai fungsi waktu. Berapa getaran lantai yang dibutuhkan untuk
menyebabkan resonansi?
SOLUSIKarena getaran yang diimbaskan disebabkan oleh simpangan peno-
pang, gerakan digambarkan oleh Pers,22-23, dengan Fo diganti oleh
k6r, yaitu,
)=Asin pt + Bcosp, + , fo' ,, ,inr, (l)| - latpr
Di sini 5= do sin ro/ = 10 sin (8t) mm, sehingga
do= l0mm or = 8 rad/s
= 1 2.6 rad/sp=
Dari Pers. 22-22, dengan kdo menggantikan Fo, amplitudo getaran
yang disebabkan oleh simpangan lantai adalah
(r,.) = 6' . = 'o ,=l6.7mm\''Plmu
1- (ol/p)2 l- (8rad/s/l26rad/s)'z
(2)
Jadi, Pers. 1 dan turunannya terhadap waktu menjadi
)=A sin ( 12,6t) + B cos (12,6t) + 16,7 sin ( 8r)y=A(12,0 )cos( 12,6r)-B( 12,6)sin (12,6t )+ 133,3cos(8r)
Konstanta A dan B dihitung dari persamaan-persamaan ini. Karena y = 0
danli-0 saatl=0,maka
0=0+B+0O=A(12,6)-0+ 133,3
B=0A=-10,6
Karena itu getaran itu digambarkan oleh persamaan
) = - 10,6 sin (12,6t) + 16,7 sin (8r) lawaban
Resonansi akan terjadi bila amplitudo getaran yang disebabkan oleh
simpangan lantai mendekati tak berhingga. Dari Pers. 2, ini mengharus-
kan
a = P = 12,6tadls Jawaban
.-ff*
k
m
I
i
li&
Iti
&,
/
0=?+\c+ Zytu
uuIIesE BpB rsnlos ,1ou quured {upll ry a Buere)
0=(?+yr+ 7\tu),ranule
g= r(a )t + rla \ r + t\a Z\uuelllsuq8ueur Suel ,77-77.sJed r.uEIBp oI
rur rsnlos rsnlnsqnsueu uu8uep qaloradlp ledep 1 rEIrN .EluelsuoI qunqesgBIBpe (epqruul) y uup lernteu erulrreSol 1o1od ueEuulrq qBIEpB a uutuap
tY2=x
InlueqJoqrsnlos rc{undrueu rur Jeerurl .Bnpe{ epro .urSouroq 6[ErsuaJeJrp ueBruesJed
(tz-zz)0=lq+p+{.Lu
#il={r-q-uelpseqSuaur uelera8 ueuuesred ueeun88ued
u8Eurqes 'uedep aI lopq uelera8 up/r\uloru rc ueruupor u,(u8 uup r7 su8adeteg'q91-77 reqrupD rp uu11n[un1rp uellrseqrp Bue,( seqeq-upueq urer8-urp 'u(uuu8uuqurlese)l rsrsod rrup r qnelas uulSuudrursrp {olBq u)[f
., soIsr^ u?ruupeJ uersueo{ru,(undurou uu{rsrunsurp uepared 1u1oy 'uolsrd urplup [rce{ Bueqnl te,ralnule r8urpla8ueur rrle8uour srupr{ Eprng BueJB>l l?qusqlp uolsrd uelura8ugp 'uprnu rsrJoq repurlrg 'dn1nga1 Japurlrs uelep rrl) eI nElB ueue{ aIlure8req 7 uolsrd upq rpelrat uBrrrupeg .uBuEI rsrs 1p {olpq e1 uel8unqnq-rp Euu,( Qodqsup) ruopatad lopy qqp ueryequre8rp uurueper IeJg
.D9I
-ZZ lr,qulcD rp uapJnlunlrp 3ue,( su8ed uep {opq qelo uuryuqureErp rudupsoISrA uEruupar rc,(undrueru 3ue,( ruelsrs nele Bpueq qEnqes uEJElec
'tu/s'N u3n18sm,(undueru uep scrllstit
(sz-zz)
uDwopar uars{aoy ueler.uuurp , Bluetsuol uu8uop
XJ=J
e,(o1n1uaq 8uu,( uueruusrad qelouo1e1e,(urp rur u,(e3 e,(uruseg .s. lslir uaaopat o,{o3 uB{pr.uBurp rur rsrpuoleped uuryeduprp 3uu[ e,(eE srual .epuaq uen[e1e1 uetuep Burpuuqes uu-4ereE depeqret rsuelsrser'rur uuqeq lu^\ol luqurul >1u;eEreq Bpueq uu>{repuv'rqe8req uelsrs Bueru rp 'erupn nulu ,>p,(urur ,rru rgodes ,uequq qelouE lrseqtp 8ue,{ rsuulsrseJ uu8uep w{lralrp uetuuper pq ry,(uuq uBIEC
'srsrluue ruBJBp ueluueslnlrrp snJer{ ueluepeJ e,(e8 u,(urrpuq ,e,(un1
-1errr uped IluaqJeq uurule8 enluas ?ueJu)'I .e,(uruueqes uelere8 nelepueuu,(ueq qeloredrp Eue,( rsnlos ,u,(uysuq rc8eqas uep .ruelsrs tuulep uuruuparnelu uelesa8 >1a;a dnlucuaur IBpp rur qneles seqeqlp Buu,( ueJBleB srsrleuv
nElE
:xour - r!Z*+
gl-72 Jtqureg
It
I :' ::, ,,::l: : l
t,'-# ,l ** o,t
I
t, -!_.{f- '.
P,I
ffi,o"*G P]Wffii , ,;
:
i
ueSuequrlasal rsrsod
SOXSIA I IYOflUflI SVggfl NYUYIflc ?'ZZX
9ezY>IIruVNI(I) hDI !I.I VXINVX gI^I
I 236 BAB22 GETARAN
Jadi, lewat rumus kuadratik, kedua nilai l" adalah
^c^,
=-- +'2m
^c
.lm
(22-28)
Solusi umum Pers. 22-27 dengan demikian adalah kombinasi linear darieksponensial yang mencakup kedua akar ini. Ada tiga kombinasi L, dan ?,,,
yang mungkin yang harus dipikirkan sebagai solusi umum. Namun, sebe-
lum membahas kombinasi ini, marilah mula-mula mendefinisik an koefisienredaman kritis c, sebagai nilai c yang membuat radikal di Pers. 22-28 sama
dengan nol; yaitu,
fg.l'- k = o\2n) m
Cc=2m '2^p (22-29)
Di sini nilai p adalah frekuensi melingkar p = Jil* , Pers. 22-2.
Sistem Sangat Teredam. Bila c > cr, maka akar-akar 1., dan ),adalah real. Solusi umum Pers.22-27 dengan demikian dapat ditulis seba-
gai
x = AeL" + BeL'' (22-30)
Gerakan yang berhubungan dengan solusi ini tidak bergetar. Pengaruh re-
daman adalah sedemikian besarnya sehingga ketika balok disimpangkandan dilepas, ia hanya merangkak balik ke posisi awalnya tanpa berosilasi.Sistem dikatakan sangat teredam.
Sistem Teredam Kritis. Jika c = cc, maka Lt=Lz= - cc/2 m=- p.
Situasi ini dikenal sebagai redaman kritis,karena ia menyatakan suatu kon-disi dengan c mempunyai nilai terkecil yang diperlukan untuk menyebab-
kan sistem tak bergetar. Dengan menggunakan metode persamaan diferen-sial, dapat ditunjukkan bahwa solusi Pers. 22-27 untuk redaman kritrsadalah
x-(A+Btle-ttt (22-31)
Sistem Kurang Teredam. Seringkali c < c,-, dalam hal itu sistem dr-
katakan sebagai kurang teredam. Dalam hal ini akar-akar tr, dan 1"2 adalah
bilangan kompleks dan dapat ditunjukkan bahwa solusi umum Pers.22-11dapat dituliskan sebagai
x = Dle - @/Zrn)t sin (p, t + Q)l (22-32)
dengan D dan S adalah konstanta yang biasanya ditentukan dari kondisr
awal soal. Konstanta p7 d inamakan fre kue n s i na tural te re dam sistem. Nilai-nya adalah
rlcl2*)
k
,11
lfI
'/r'snsnq>1 rsnlos uep ,'r ,relueu
-e1duro1 rsnlos qulrunl qeppe runrun rsnlos 'urSouroq lpprt SE-ZZ 'sred
Buaru) 'ogl q"p pue8rp 'C 'nll IBr{ urelep 'unure51 .usuepeJ >1ege dnlec-ueur 8ue,( 'D7I-ZZ reqrueD '>lrpoued 3ue,{ Suudoued ue8uudurrs ru,(und-ueur 3ue,( suSad uup Iopq {$un ue{srlnttp ledup udnres uuutuusrad
Gt-zz)nu-(lrours'g -q+xc+na1pe!ueu uelure8 uelreq
-ure33ueu 3ue,( yersue.re;rp uuutuusred EIBru 'DII-ZI JBqr.ueD rp uu14nl-un1rp 3ue,{ se8ed uup >1opq uped upllrnlrp urepered leto{ qunqes eIrI'ele(u 3uu,( uuruupeJ 1e1e,n re,(undrueur 8ue,( uelsrs eped uelderelrp elrq
sqlurd relru ru,(undruetu rur snsnq{ 3uu( uuru1o8 sruel srsrluuy 'uutueper
uelsequrr8uerrr uep eslud uulure8 1e3e uu)Hnseueu uralsrs epq rpel-ra1 p33un1 uesuqoqeI plerep ue8uap uerule8 Sueluel runurn 3ur1ed snsuy
SOXSIA I IYOflUflI VSXYd NYUYJ,flc S'ZZg
LI-72 reqile9
1..(i'1 r' dii tltsi reli FI(/f =,
r lliii ;ttJ - - ..
I.l -i
I ..*-..
-?1
II
il'
'd1u7 = r 'seqeq uerela8 epoued upedrrupruseq qrqel uu4u'P:. 'uruperq uBrEleB epoued '.tE-ZZ'sJed'd >pd eueJu)
Gt'zz)Pd
-=P1 lLZ
rc3eqes uolsrlnlrp ledep uruperal uerule8 eporred
'pd uwpanl IBJnlBu rsuerule{ ueleunSSueur ue8ueq 'prsueuodsle e,rrn1ue>In>Iel tuulep rseleqrp uelure8 BUoJB{ 'uerule8 sn11ls deq Suernryaq '6r'ue1e:a8 p^\e seleg 'LI-ZZ rcqlreg p uq>1nfun\p ZE-ZZ'sred IUBrD
'uDtuDpar rc1yot ue4ewuurp 'c / , orsuJ uu8uep
Gr.-zz)
*
]aj,T?_1
ILezV)IWVNIC XIN)IITT Y)INYXAA
__ lrd
r Y
238 BABz2 GETARAN
Solusi komplementer ditentukan dengan mengambil ruas kanan Pers.22-
35 sama dengan nol dan memecahkan persamaan homogin, yang adalah
ekivalen dengan Pers. 22-27. Karena itu solusi diberikan oleh Pers. 22-30,
22-31 atat 22-32, tergantung pada nilai-nilai I, dan l'2 Namun, karena
semua sistem mengandung gesekan, solusi ini akan teredam habis dengan
waktu. Hanya solusi khusus, yang menggambarkan Setaran keadaan tunak
dari sistem, akan tinggal. Karena fungsi paksaan yang digunakan adalah
harmonik, maka gerakan keadaan tunak juga akan harmonik. Akibatnya'
solusi khusus akan berbentuk
xp= A'sin trl, + B'cos a:, (22-36)
KonstantaA'dan B'ditentukan dengan mengambil turunan terhadap waktu
yang perlu dan mensubstitusi mereka ke dalam Pers.22-35, yang setelah
penyederhanaan menghasilkan
(- A'ma2 - cB'a + &4') sin orr +
(- B'ma2 ' cA'a + kB') cos 1P1 = d sin tD/
Karena persamaan ini berlaku untuk semua waktu, koefisien konstan dari
sin ro/ dan cos o, dapat disamakan; yaitu,
Gambar 22-18
- A'mtt2 - cB'a + kA' = Fo
- B'ma2 - cA'rt + kB' = O
Pencarian A' dan B', dengan mengingat bahwa p2 = ldm, menghasilkan
@ol^lrp'- ")b'- .,'f + ("a1fi2
- relcal*'z)
.$,
i,{h
A'=
B'=b'- r'f + (ral*)z
(22-37)
t'l u88uep Br.uBs rsuenle{ orsEJ uep lou qulBpe uu[uBpeJ rolleJ BIrq B,(uEq rp-u[ra1 sulal rsueuoseg 'Suurnyeq uer.uepeJ Jot{BJ EIrq ququeueq opnlrldueuulen8ued e/(qeq 1eqrlJel rur lger8 yeq'"c1c ururepal :ou1e; p11u pE-BqJaq Intun d7o rsuemgar; orsuJ snsral gl-ZZ tequreD rp uuryequu8rp 961
'Wel : J opnlldure ru,(undtuau esled
ueruleE '88-ZZ 'soa IrBC 'od 1pe1s u,(e8 qelo uu{qsgesrp 8uu,( ue8uud-urrs dupuqr4 usled uerelaE qalo uqquqasrp 3ue{ uetuedturs opnlrldu:uotser re8uqas €'ZZ qeqqns tp uellsrugeplp qulel glSuopn?uad n1log
'ruupoJel ruelsrs uullrsuqrp 8ue,(
{euru uuep?e>l uurele8 uup JBnl e,(e8 uJque esBJ Bpeq ue1u1u,(ueu ,/ lnpng
,KdtArtrp)d . lldtry )tp tl
:=, ='^
L@p) -r I
luidTr*n] ,-*t ='o
(ov-zz)
Ge-zz)
Qt-zz)
=,)
qelepe ,Q wp ,, eluetsuol nlr IEq ureleg
(.0 - rc) uts ,3 =dx
'6-ZZ'sre4 uutuap udmes 8uu,( 1n1ueq urBIBp uBIBlB,(urp tedep u8ni gg-77 'srej
VXI^TVMC )IN>I!I.I \DIINV>IAN
,[(d N) P c tc) z] + rl r( d p) - tl,l
682
240 BABzIGETARAN
CONTOH 22.8Motor elektrik 30 kg yang ditunjukkan di Gambar 22-19 ditopang
oleh empat pegas, masing-masing pegas mempunyai kekakuan 200 N/m.
Jika rotor R tidak seimbang sedemikian hingga efeknya ekivalen dengan
massa 4 kg diletakkan 60 mm dari sumbu putaran, tentukan amplitudo
getaran bila rotor berputar pada ro = l0 rad/s. Faktor redaman adalah clc,
= 0.15.
Gambar 22-19
SOLUSI
Gaya periodik yang menyebabkan motor bergetar adalah gaya sen-
trifugal yang disebabkan rotor yang tak seimbang. Gaya ini mempunyai
besar yang konstan
Fo= man= mr0)2 - 4 kg (0,06 m)(10 rad/s)2 = 24 N
Osilasi dalam arah vertikal dapat dinyatakan dalam bentuk perio<iik F =F, sin ro/, dengan ro = l0 rad"/s. Jadi,
F = 24 sin 10r
Kekakuan seluruh sistem empat pegas adalah k = 4(2N N/m) = $Qg
N/m. Karena itu, frekuensi melingkar getaran adalah
= 5. 16 rad/s30 kg
i
t
Karena faktor redaman diketahui, maka amplitudo keadaan tunak dapat
ditentukan dari persamaan pertama Pers.22-39, yaitu,
.,- Folk
,Jl -Otnl'l? + [2tclc6)@lP)12
24t800
J 1r-1tols. 161212 + t2(0.1s)(10/s.16)12
= 0,0107 m = lO,7 mm Jawabun
u(t)t
tpFp
x
)/tv
7
(t)s
!
b
I se8ad uunleley
, so{sr^ uBtuPpeJ uersueox
tsuelrsudel uEIrlBg
rsuulsrsed
rsueDlnpul
ueBuu8el
{IJISII SNJV
{rrlsrl uutenIAI
3SS€N
runl e,(ug
ueledecey
uuBuedrurg
sluD)law1tr1s17
sluu{a6-{lr1sr1 18opuy l-ZZ 1pqe;'uele^r1o 8ue,( srue>1eu urepered
IetoI-uup-su3ed leporu tenqruoru uu8uep uulSurpuuqrp Boleue relndruolepud lnlueqrp tudep 3ue,( '1rr1sry uure>13uer ntens ueluun88uau uu8ueplrurnr 8ue,{ sruelotu ruolsrs uurela8 rselnrursueur qepnlu qlqel nll eueJul'ueutredsle ueefteled r8eq Surtued uede:a1 m,{undueur rur r8oleuy
'VZZ lreqe1- rp uelrreqrp ueeuesred pnpel erelue r8opuy'rele8req 8ue,( sruu>1eru uotsrs srsrleueSueu ue8uep etues lulsrl uurul8ue.rnluns srsrleue ueluosred elrluueletu u;eces rpul ,etues Bue,{ lnlueq rc,(u-ndueu ZV-ZZ uvp IV-ZZ'snd u/rrr1uq teqrlJel ,uelSurpuuqureur ue8uaq
QV-ZZ)
reBuqes u€ISrlnlrppdup uep rur runleges quqqns rp uuldelelrp rur tuelsrs uelure8 uuuruesred'uurueper uup (/)J unun eslud rs8un; rqnre8uedrp 8ue,{ ,qOZ-ZZ requeD'p33un1 uusuqeqol lelurep sruuleu uletsls lapouJ Sueru>1es uu{rleqred
lP ,lP (t)l =x\ +-r+_:-su xp x,p
-) lP ,tP (t) E = oT* up, *lVt
0z-zz rEqtuE.9
Qv-zz)
nlr pueJe) 'ueru4Suer
eped uu8uu8el ueunrnued qupunl r8uequr8ueru uplrreqrp Bue,( ue8uu8el'JJoqqorry ueSuu8el tun>Jnq tnrnue14l .3p uep bpftp A,dplbzp 7 ru8uqesuelsrlntrp ledup Surseur-Surseur rolrsudel uep rolsrseJ irot{npur urelue rpel-rel 8ue,( ue8ue8el ueunrnued 'rye1 'ry1bp - r uuetues.red le^\el srue ue8uapuelSunqnqrp ledup uulunur 'unrueN 'rolrsudu>1 epud utreleq SueK b uute-ntu rnln8ueur urlSunru e,(uuq uluru 1olsedel rlu,treleru rrlu8ueur ledup{r,1 sruB BueJe) 'ry!
JOD qelepu ueunrnuad rolrsudel rp eqrl snJB elrg uep'ry qeppu ueumnued rolsrsor rte,lneleru.rrle8ueru snre ulrq ,(tp1Dl qulepuue8ue8el ueunrnued (Jol{npur rle,4Aelatu rrlu8ueur snJB plrg 'uerel8ue.r
le,trey rrleSueu Inlun I e,{ueseq 8ue,( snru qulrpulre1 eIer.u .uelrreqrp
(l)9, uu8uu8at ellg ', .rolrsedel uep U rotsrser i7 rot{npur qunqas rrep rrrp-rel 8ue,( 'a1Z-ZZ requeg rp uu4lnlunlrp 3ue,( uerc13uur uelnuqred .Irrl-sr1 uuru>13uur qelo ue{ele,(urp tedep rele8raq 3uu,( srueleru tue}srs {Bled!
XIUISIT NVIYXCNIYU ICO]YNY 9'ZZx
YXINIVNIC XIN)IEI.I Y)INYXSI^I
ttvz
Vi
242 BABz2cETARAN
SOAL.SOAL
22-43. Dengan menggunakan model balok-dan-pegas
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 22-l4a namun
digantungkan pada posisi vertikal dan dipengaruhi sim-
pangan penopang periodik sebesar d- do cos or, ten-
tukan persamaan gerakan untuk sistem, dan dapatkan
solusi umumnya. Tetapkan simpangan y diukur dari po-
sisi kesetimbangan statik balok ketika I = 0.
*22-4. Sebuah beban 20 N dikaitkan pada pegas yang
mempunyai kekakuan ,t = 160 N/m. Beban ditarik ke
bawah sejauh 100 mm dan dilepaskan dari keadaan di-
am. Jika penopang bergerak dengan simpangan vertikal
f = (13 sin 4t ) mm, dengan t dalam sekon, tentukan per-
samaan yang menggambarkan posisi beban sebagai
fungsi waktu.
?.L45. Balok 7 kg digantungkan pada sebuah pegas yang
mempunyai kekakuan t = 350 N/m. Balok ditarik ke ba-
wah 70 mm dari posisi kesetimbangan dan dilepaskan
dari keadaan diam pada r = 0. Jika penopang bergerak
dengan simpangan yang dipaksakan i'= (20 sin 4t) mm,
dengan t dalam sekon, tentukan persamaan yang meng-
gambarkan gerakan vertikal balok. Asumsikan bahwa
simpangan positif diukur ke bawah.
22-46. Dengan menggunakan model balok-dan-pegas
seperti yang ditunjukkan pada Gambar 22-14a, namun
digantungkan pada posisi vertikal dan dipengaruhi sim-
pangan penopang periodik d= do sin cor, tentukan per-
samaan gerakan untuk sistem, dan dapatkan solusi
umumnya. Tetapkan simpangan y diukur dari posisi ke-
setimbangan statik balok ketika I = 0.
22-47. Sebuah balok yang massanya m digantungkan
pada pegas yang mempunyai kekakuan k. Jika gaya ver-
tikal ke bawah yang dipaksakan F = Fo bekerja pada be-
ban, tentukan persamaan yang menggambarkan posisi
balok sebagai fungsi waktu.*22-48. Sebuah beban 25 N digantungkan pada pegas
vertikal yang mempunyai kekakuan 850 N/m. Sebuah
gaya yang dipaksakan F = (1,25 sin 8r) N, dengan r
dalam sekon, bekerja pada beban. Tentukan persamium
gerakan beban bila ia ditarik ke bawah 75 mm dari po-
iisi kesetimbangan dan dilepaskan dari keadaan diam.
22-49.Balok 100 N dikaitkan pada sebuah pegas yang
mempunyai kekakuan 3350 N/m. Sebuah gaya F = (30
cos 2r) N, dengan t dalam sekon, diberikan pada balok.
Tentukan kelajuan maksimum balok setelah gaya-gaya
gesekan menyebabkan getaran bebas teredam habis.
Soal22-49
22-50. Batang elastik ringan menopang bola 4 kg. Bilasebuah gaya vertikal 18 N diberikan pada bola, maka
batang menyimpang 14 mm. Jika dinding berosilasi de-
ngan frekuensi harmonik 2Hz dan mempunyai amplitu-
do 15 mm, tentukan amplitudo getaran untuk bola.
Soal 22-50
22-51. Sebuah pegas mempunyai kekakuan k= 04 N/mm.
Jika sebuah beban 25 N dikaitkan pada pegas dan diberi
kecepatan ke atas 0,6 m/s dari posisi kesetimbangan,
tentukan posisi beban sebagai fungsi waktu. Asumsikan
bahwa gerakan terjadi dalam medium yang menyedia-
kan sebuah gaya penghambat F (newton) yang besamya
secara numerik sama dengan 70 kali kelajuan v beban
itu, dengan v dalam m/s.
r8S'Z7lLS-ZZ|9S-ZZ Isos
'8-ZZ qoluoc sueuad uBItEq l?ql.I )ptuntad as/pBr glqBIBpB sBdDI relntw rlBl€dece]le\ll9S-ZZ FoS eped sed
-pl ryunt uE8p?e{ uBrelaE opnlrldrrE r{P)fedpteg .gs-zz
'8-ZZ qoluoC BIuBUad wltPq l?qll :Infunted is/pEr 0lq?lBp? sedDl r?lnEue uBFdera{ ellgel.gs-zz pos Ip spd
-lI {Bunl usppBel wrBtaS opnllldrup qe>tedarag.Ls-zz
'g-zz qoluoc BruBl
-red uplE€q teql-l2p[uruad 'rp?frel tsueuoser ]BBs sedDl
relnEue uenfepl ue{nluel 'sedq lu:aq psuq re8uqes
uru 0S qeppe Suepq IIlEls ueEuedrurs eT1 'uerelnd
nqurns rrep ruur 001 ue)pplelrp 8ue,{ E1 g'€ Suequres
{el Bsseru uu8uep uep^rle e33urq uerryuepes so:od
eped 44ues1a e:ecas Euesedrp sedrl qellg 'uqr-BqBlp
tpdep BFuBssBr.u 3ue( pluosuoq ls{8uot qenqes Eunln
rp Euesedrp uep 3I gZ esseu rcfundueru sedr) '95-ZZ,*
sg-zztts-Tz, vos
'rsueuoseJ wqqeqefueru w>p Ew[, trg-77pog epud urseu rrup o Isuto.l uenfelal uolnluoJ.SS-ZZ
tlz \DrrhrvNrc )rN)r!r.r v)rN\rxaw
'ur/NI 0€ - 7 m8eqes ue>plei(urp rcdep seted letot uBnI-E{eI e,rqeq uEp 'rp^\Bq aI rnlnrp grlsod uu8uedursueEuep 'p{$e^ qErB luetup ufuBq ruta8req urelsts B/rr
-qpq uelrsunsv'uoles uBIBp, w8uap .N ( ry urs ggg;
= J e${sd e,(eE uqlrseqEueur ,efrelaq elrlel .urseu
uup N{ g', Ielot tereq refundureur utseu uep lopq erytrue srs )leunl usEpBeI uereleE uelrequeD 'se8ed Ewdol-p tuei( )oleq rsupuoJ eped Euesedrp ursey{ .pS-ZZ
es'zz IBos
'N 06 lBlol lBreq rBrundureu Stred
-ouad ueded ugp uounrlsul 'ueurulsur uep Euudoued
uudud p{ue^ ueEuedurs opnlydrue uulnluet .u S0,0
- 09 plpre,r uetuudu.rrs opnllldtuu ueEuep ,zH L = a
uereleE rqnre8uadrp rElrrEI elrf 'ut/N 0EI = I uen)e{e!refundueur se8ed Errseru-Sursew'so8ad rutlwa qeloSrpdolp e,(ulnfueles ?ue[,'4 Euudoued ueded qunqes
zped u:ogrun ereces ue{lzsndrp ueurulsq .1S-ZZ
7,5-ZZ I€oS
.IE{IIEI
r{pl€ rrrcpp rele8:eq e,{ueq :o1otu EA\qBq ue lrsunsv'rpu[-le1 rsueuoser lses eped <o .rBInEuE rseloJ ue{nlue]'ruer{eo lpsnd rlep urur 0Z '{lrtuas{e erecas Euusedtp
tuei( 6r uerlec relnuleu roloul EIlf 'ru/N 0OI uen>Ie>Ie
rc{unduaur setod Eurseru-SursBtu 'so8ad pdutaqalo Eu?dotp uep 31 gg e,(uessEtu ltrtsrl tolot{.ZS-ZZ,*.
7
24 BABz2GETARAN
22-59. Motor listrik memutar roda gila eksentrik yang
ekivalen dengan beban tak seimbang 1,25 N yang dile-
takkan 250 mm dari sumbu rotasi. Jika simpangan sta-
tik batang adalah 25 mm karena berat motor, tentukan
kecepatan angular roda gila saat resonansi terjadi. Berat
motor 750 N. Abaikan massa batang.
*22-60. Berapakah amplitudo getaran keadan tunak
motor di Soal 22-59 jika kecepatan angular roda gila
adalah 20 rad/s?
22-61. Tentukan kecepatan angular motor di Soal 22-59
yang akan menghasilkan amplitudo getaran sebesar
6.25 mm.
S oal 22- 59 I 22- 60 I 22- 6l
22-62. Balok 5 kg digantungkan pada sebuah pegas
yang mempunyai kekakuan 300 N/m. Jika balok dipe-
ngaruhi gaya vertikal F - (7 sin 8t ) N, dengan , dalam
sekon, tentukan persamaan yang menggambarkan ge-
rakan balok bila ia ditarik ke bawah 100 mm dari posisi
i<esetimbangan dan dilepaskan dari keadaan diam pada
t = 0. Asumsikan bahwa simpangan positif diukur ke
bawah.
22-63.Balok 400 N dikaitkan ke sebuah pegas, ujung-
nya dipengaruhi simpangan penopang periodik do =(0,15 sin 8r), dengan r dalam sekon. Tentukan amplitu-
do gerakan keadaan tunak.
*22-64. Gandengan 450 kg ditarik dengan kelajuan kon-
stan nrelalui permukaan jalan bergelombang, yang da-
pat didekati oleh kurva cosinus yang mempunyai ampli-
tudo 50 mm dan panjang gelombang 4 m. Jika kedua
pegas s yang menopang gandengan masing-masing
mempunyai kekakuan 800 N/m, tentukan kelajuan vyang akan menyebabkan getaran terbesar (resonansi)
pada gandengan. Abaikan berat roda-roda.
22-65. Tentukan amplitudo getaran gandengan dalam
Soal22-64 iika kelaiuan v = 15 km/iam.
_:-F+*.+,F
- Im 'i--.X..,x, .i
Soal22-64122-65
22-66. Faktor redaman, c/cr, dapat ditentukan secara
eksperimen dengan mengukur amplitudo getaran sistem
secara berturut-turut. Jika dua dari simpangan-simpang-
an maksimum ini dapat didekati dengan x, dan xr,seperti ditunjukkan di Gambar 22-17, tunjukkan bahwa
,asio rt / *z =znGlc,l rl, 1rl, J . Besaran xrtx,dinamakan pengurangan logaritmik.
22-67.Mototlistrik 1000 N diikat ke ririk rengah batang
yang ditopang begitu saja. Ditemukan bahwa batang
menyimpang 50 mm bila motor tidak bekerja. Motormemutar roda gila eksentrik yang ekivalen dengan
beban takseimbang 5 N yang diletakkan 125 mm dari
sumbu rotasi. Jika motor berputar dengan 100 rpm, ten-
tukan amplitudo getaran keadaan tunak. Faktor redaman
adalah c/cr= 0,20. Abaikan massa batang.
Soal 22-63
Soal22-67
'rrBrBleS uduBl uep-errp sEr?l reSE s?J?I eI u?)lt?)lllp uep rBsBp rp EuEsBd
-rp 3wF s?8ad ?npel rrcp derl uu{qrunqrp 8uz.( uun1e1
-eI uE{nluel 'ru/s'Nl z ueuEpeJ uersgeol rc,(undureur
8ue,{ p33un1 ueporod euorel elnrues rsrsod e1 lpquelEIII 'ur 79'6 qnetes Iro{ar rur ueuour )pquoueu q?l
-etes wp 't>1 664 e,{uesseu rueueru qenqes sprel'LL-ZZ
9L-Z7PoS
esrlrJ{ ruEpeJel
snreq 3ue1eq e>p[ urepe:ad )p]ol ueruuper uersgaol efu-sruEqes qz>pdueq 'e8nt 'SuelBq rselor A lnpns u€ppue1ef,{urp uelz:aE ue>1reqrue33uau 3ue,( IBrsueJaJrp
ueeruesred uelnluel 'uls'N 0001 = J uBrrrepeJ uersrJeo{
rc,{undruau ur?pered IBIoI uep tu/N 0g = ? r.lu1pp?
se8ed uunrple>1 B{lf 'N gg e,{ulereq Euetug'9L-77,*
'7L-ZZ tros rp uepe:ed TBIoI uep su8ed
'{oluq rsuurquol uelunEued rol{eJ ue>{ruue.1 'S1.ZZ
'rur esled uerele8 / ese; lnpns ue{nlual 'g'g =)c1c qe1
-epe uzrrreper rotlpJ EIrf 'uoles ur?pp / uutuap '( 17 urs
gn0'0) =9 qelo ue>pte,{urp ledep 3uu,{ ?uEqrapes {luour-.req rrele:a3 l:eqrp'rreltrelrp seEed Bueru e{ Euedoue4'ru/N 0SZI - 7 e,(uuen1e1a1 3ue,{ se8ad qenqes eped
uul3unrue8rp p 96 e,(urreq Eue,{ lopq qanqes,'lL-Zz
EL-ZZrBas
'{eunt usppeel ue>Jaa8 ue1:uque8Eueru 3ue,{ ueeu-Bsred rrelsrlnI 'uoles tuEIBp I uuEuep 'N (r9 sor 06)
--C lruotrrrzq e,(e8 rs4e rqnre8uadrp B>1g77opg.g7-77
's/u uelEp ,r ueEuep 'N(l^109) = C e^rupseq
Suef ueuuper e,tu3 uelpseq8ueu ru?r{ec eped e[:a1-eq 8ue,{ sprng rsuelsrseJ pl\qeq uep 'qei\{uq aI Jn{nrp
Jlllsod u?Suedturs B/rrqeq u?{rsurnsv 'n1r ue4e;a8 ue1
-:equetEueur Ewf ueeruesred uelnluet'ue8u?qurlaselrsrsod eped sIU t'0 r?seqes r{E,req a{ uuledece>1 uaq-rp uup pprng uepp ueldnJacrp rrreDluc BII1 'ru/N 0g l- r1 u€nry{el re,(undrueru se8ad Eursuru-Eursuu 'se8ed
e8rl eped ue111ell1p E1 p relSuryeu urer{eJ .ZL-ZZ,'
'seqaq ue:e1e8 epouad uulnluel's4u ['0 - d qetepe lopq uen[e1a1 BIrq {opq eped 51 1
ueuepel e,(et uelpeqruau rueparad 1elo{ BItf 'utul/N
Zl'O = )t wn{u{ol rs,(unduiau 8ue{ se8ad qenqas eped
uelSuntusErp E1 g e,{uesseur Eue.{ >1opq rpnqes .I1-ZZ
'69-ZZpos rp uepe:ed >p1o1 uep'suE-ad 'lopq rsuurquo{ rrppnEued rot{eJ uelntuel .gt-ZZ
'es1ed uerele8
/ zse; lnpns uu)1nluet 'g'g =tc1c qEIEpe wueper lol-{eJ BIIf 'uoles tuBIBp I ue8uep '( 17 urs gr0'0) =g qolo
u?{?te,{urp ledep Eue,( 'Eueqrepes lruouteq ue{era8
Ireqlp ue{Irc{Ip suEed ue8uap tuedoued u/N OgZl = )t
wn)p{a rc,(undrueu Eue,( se8ed qenqes epzd uelEunj-ue8rp uep N St praq rcr{undueur {opq Wnqas.69-ZZ
89-ZZ IBoS
e-VrN l,lt:
'uEqeq uBrnln
uBIrBqV wEu?qurlesel rsrsod depeq:et lrcal w.re]e8
Iruun ueuupeJ lernluu rsuanle{ uup 'a sr1u1 ueurupe:
ualsgao{ u?Inluel'N SZ mluet 3ue,( ueqeq uup'uelreq-erp ledup Suef esseu re,(undruetu 3uz,{ '1n>1e1rp Euuf
Suepq uep urp:e1 Euecuo11o18ua ausrue{ell{ 'g9-ZZ,*
t stz
ZL-ZZPOS
'-- rtrin (IiF n :.
tjrriN tlEi} = !
VTIhIVNIC XIN)IAJ YXINYXEII^I
cr*F
246 BABzz GETARAN
22-78. Sistem peredam-balok-pegas l0 kg diredam te-
rus-menerus. Jika balok disimpangkan ke r = 50 mm
dan dilepaskan dari keadaan diam, tentukan waktu yang
dibutuhlian bag:nya untuk kembali ke posisi x = 2 mm.
22-81. Gambarlah rangkaian listrik yang ekivalen de-
ngan sistem mekanika yang ditunjukkan pada gambar.
Tentukan persamaan diferensial yang menggambarkan
gerakan arus dalam rangkaian.
Soal22-78
22-79. Gambwlah rangkaian listrik yang ekivalen de-
ngan sistem mekanik yang ditunjukkan di gambar' Ba-
gaimanakah persamaan diferensial yang menggambar-
kan gerakan arus dalam rangkaian?
Soal 22-81
22-82, Gambarlah rangkaian listrik yang ekivalen de-
ngan sistem mekanik yang ditunjukkan di gambar. Ten-
tukan persamaan diferensial yang menggambarkan ge-
rakan arus dalam rangkaian.
[,
h
t
h
Soal22-79
*22-80. Tentukan persamaan diferensial gerakan untuk'sistem yang bergetar dengan redaman yang ditunjukkan
pada gambar. Jenis gerakan apa yang terjadi?
Soal22-82
22-83. Tentukan analogi mekanik untuk rangkaian lis-
trik di gambar. Persamaan diferensial yang bagaimana
menggambarkan sistem mekanik dan listrik itu?
i:"i' IXrsift tili
Soal 22-83
"{ s I(lfl l\;nt
ll:rt ),;
Soal 22-80
lft rlj " rJl:
r
xP r'l)
- ,,1 qurs = (n qsoc) _ npp
tP tD
-,? uso) - r,, uurs)
np '"PxP ,p
- ,, -tes = (il uel) __
nP 'p
\? ,.0
- r, uls_ = (r sor)_ npp
xP l'p_,, soJ = (r ttrs)_j_np'p
'/' ,,10,, JSJ- = rl, csotl np 'p
i{ r rr*, unr - (r rrr) '7'nppxP tr _ l -rsJ_ = 0r tot)
,
,lp 'p
-A t1l.\'p= I-l-
l'p t? \n)p-il--n q, np
]? lP rp _n+ ,i_(rr,)_ npapP,P |r)
ip r-utttt = ("u)T
uBunJr\l
d,.lsr=0,1o:1 1,,.Jas=d,uu1* '
d so)
-=0uPl0 uls
-a=,\; - {i urs l-,\; = B so)0z\oi-tl ,zsor+li "
P,r1.l --p -r,,, - 0i so:)
p uls e urs + 0 soJ, sot = (0 r ,) soJ
, s0J0 urs c = 0a urs
p urs6 sor ; p soJ0 urs _ 1p ; A) urs
$ l-0rsor+Piuls
I = B ror ,8 = o uu
AV8)J=d.r)s
'_=pSOJ
I=Br,, '2=r,,,.,) v"
JJlaruouoSl.(L uBBrrrBsJad)'qsoc 7 _ . _.ruuel , L
=l.r{sr)) 0 =.r.ulils xqurs
"_d * ,d r "'
,._, _; - " Y,.
{lJoqrodlH IsSundDZ
)ry-iq.^+q-
lBJpBnX UBBruBSrad
tL'r-:t+[-.rqsoJ _l (
i7....+--[-1soJ
-.1' c
iI "* r*
*1'-rquls
'...+ it -1'-rurs
tt'
le{8uBd leree uB8uuqure8ua4
B{IlBruelBH[ uBBruBsred
{
248 MEKANIKA TEKNIK: DINAMIKA
IntegralI.,,a.- t"'' * c.nt' -lJ n* I
I o* = -l lrr (,r r ,.r) * c'
J a*ltx b
I d, _ _ _::," [vl * 2\21 ., c..J a - lr.r' l\ -Da .,r,, - r\'-j]
0. b < 0
I rdr - Ltn(r.rr'd)+c) u*b.t- 2b
f r:t/^ :l- n-rrn't"7*c) utbr: b h...ah tt
I d, :l,nl'-::I +c.,i>r)J r:_.ri 2a"'la_.tJl)I r.,+rr, rlt -' \/(u+ll1)1+ Cl\hf _ -ltZ(l .r1r11\ ilr 'D.r)'] .r\ a + l.t r.Lt - -_--
,=-- r (
t-Ll\ ,r * bt.1-t :I l,E,rj - li,rl,.r l5l'rrrrr'rli + D*Jl -
i iia,; i
I | , .r-lI \,,' - rtJt= ..t\tl--.r-*ti-stn ;_l'
t'
c>0i_l],i,,.
1.itlr -',\ r,;r1 )l+ c
i_ \
I ,'r u- - ,',/, = -lv{71 FI*'r- (rlnr i- r tr'sin-r f) * t' " >o
l-nI \r 1.r-.1r:J tl ,- .--------_l' Itr, t,, lrt:lttt.t -- \::tu:rl +C
ttI .lll:7,l, - , Vr.,t 'ur)'r C)-\
Ekspansi Deret Pangkatx'sinx:x--+"'3!
x2cosx: I --+"'2l
ax'sinh-r:-t+-+"'3!
x2cosh-r:1*-*"'2l
rY
J xrvTrT;} dx: -t-v(r2 = u2t1
^: -)- I*r,?17 irn r, * tQtTVt + c
I dx Z\G+bx:-L.t
-
J \/a*b.r t)
f -r,1-rl-+=:\.r-:rri+CJ V\:1:a'
| -4=== - 1," l"; " ou;; .J la + Dr * r'.tr Vc
-";.;ft] +c.c>o
: -):,in-'(4) * c, .. o\ -c \Vh''4ac'
r
J sin x,1r = -co: r * C
IJcos.tdr=\rn.r+C
/.r.or,,,.,, ar: \cos (ilr) + Isrn (ar) * C
r 2-t ,tlrr - :J .,r
cos (r/.\){h: -, cos (cl.t) - t sln (.1'rr) + c
rrJ e"' ,1r = -c"' i C
tcj .t,"",1r -
-ttt.\ - l) - C
r
J :inh.t dr : cosh r * C
IJ cosh.r d.t : sinh .r * C
.
i
i;
r
'ruu.rSordrp tudup 8ue,( nlus Jotelnllel Intun lleqrp nctu srlntlp rcdup dluur 8uu( u.re.r8o.rd adrl
:ln{ueq unun lur.uro.J ruBlup uBluoqtpsnrur-l rlE{ uruBued uBBrussred-uEEruBsred'ntl uulnlulotu )n]ur}' rnqslollp
{epr} 8ue,{ qnlndas 0l uu8uep ueutuesred 0l ry{ueq 3ur1ud uulrusele,{ueutBdup uep ssnBC rsuulturle Epo]eu uped ue)rEseplp IuI 'rur uenln] InlunuB)€un8rp tedpp I-g reqlueo luelpp uElueqrp 3uu,( retnduo) tuu:8o.r4'Jeeurl Juqell€ uuetxusred uulndunles uBrusela{uad uelnlJeueu 3uupu>1
-8uepe>1 {eJeB ueuruusJed nBlB IIlBts uu8ueqturlosal uB€r.uus.rad uede,reue4
UYflNIf UYflVflY NIYYhIVSUfld I'fl'lnqes.lal epolel'u urBlBp Inqurl ledBp 8ue,( uot
-equr uequlBso{ uEp upoteu Surseur-Sursetu rsEJnIp uelecued lnlSuu,{uoru1nlue1 qrqel 8uu,{ uuurucrqued ruep leqtlrp snreq {rreunu srsrleuu 3ue1
-ual sIoJ *'ueluoqrp eSnl'rpuqud relnduol ue1e,(ueqe1 upud uu4uelel'rp
{n}un Suecuprrp SuBi( 'JISVS Uosorcrl4l ruulep srlnlrp 3uu,{ lrel.rer 3uu,{relnduo) urBrSord uEp 'qoluoc uuSuep uelSuurelrp uEIB tur epotatu 3ur-sBu-Sursuru uBderaued'usBrq l€rsueJoJtp uBuruusJed uelrusela,(ueu uup'nlual;el 1e.r8e1ur rsenlu,re8ueu 'leluapuesueJl nele .requ[1u uuuruusled nlunsue1mse1e,(ueur Inlun uB)Bun8rp tedep 8ue,( luaurnu upoloru uBrl uepleeurl,reqelle uueruusJed uulndrunles uu4ese1e,(ueu >1n1un :e1nduro1 uerSo.rdqunqes 1e>13urs erecas uelrJeqrp ueIE Iuls !q1 ..'ururSordrp 1udep,, 3ue,( 3un1-uE{ rolplnlls) nule relndurolo.r>1rru upud uru;3o.rdrp ludep snsel 1u,(uuqurepp 3ue,( Iueunu spolotu nlens uuldunSSueur uele rlu13ur.res .rn,(ursure:ud 'rur rsenlrs uu8uep uuldepeqrp elrg 'qeloledrp urlSunur IEI nulu ]rlnsdnlnuel->lnlueq uetesele,(ued n]ens Euutu {nlun uueulesled-uueueslad urel-srs ntens e1 nlnuaur ue{u u{rueleu un)nq-un1nq uedereued e,(uuplepy
relnduox uBp {lrarunN slsllBuv
t
r250 MEKANIKA TEKNIK: DINAMIKA
I PRIff"Li!c!r .y!tcr ot cqurtloDt":pnIIt2 Dril r(t0. ll)3 IlPUfilnDut nurbcr of rq[!tiolr : .rlt{ PRIXI5 PIIX?"1 coefficicotr"6tonl=Iiox?r08J=lI0 llI PBIt{I "l(";l;""lJis IilPUtx):trr(IrJ)10 XETT JIt [8rt rI2 PRII{TI3 Piltl?'8 cocffici.!tril14IOf,I:llOxl5 PRI[, "D(";Iil6 ItlFUIi):i,r( I,X+l)l7 lrDrt rl8 cosu! 25!9 PEIrl
20 Pf,ll{l"tlnknornr'2lfonI=lI0x22 PnI[l "I(hi Ii i)!r'iA( Itx+l)23 xEX? I24 EID25 iEtl Subroutinc Guallira26 lon [=l l0 I2? xP=1.{
28 3c:rts(l(il,il) )29fonI:U?0N30 Ir rls(1(l,M))(:16 rtEti 333l Ec=rtls(r(Irll))32 XP:l33 XEIT I34 tt xP=ll llEI a035 tol I = lt t0 il+l36 IE=A(il, I)3? A(tl,I)=l(XP,l)38 r(xP, t)=18
39 N8X1 t,t0 toP I = r+l To I4l Fc'r(l,U)/A(M,Il){2 FoR J : ltrl t0 tt+l{3 l(1, J)=r(I,J)-Fc.r(M.J){{ xEx, J45 XEXI I46 [EXf n4? r(I, I+l) =r(X,l,l+l)/r(I,I)tl8 ton I = I-l to I stEP -l49 Sll=050 foE J=I+l ?0 t{5l SX.Srl+I(I, J) tlrJ, X+l )52 tfExT J53 A(I,x+l ).(A(I,x+l)-SH)/l(I, I)5{ }lEIt I55 NETUNN
Contoh B-l
Arrx, + Arrxr+ ... + Ar,rx,r= B,
Arrx, + Arrx, + ... + Arnx,,= 82
Anrx, + Anax, + ... + Annx, = Bn
Koefisien-koefisien 'A" dan "8" adalah "dipanggil" untuk ketika menja-
Iankan program. Keluaran menghadirkan yang tidak diketahui x1, ... , xn.
TOHB-1Selesaikan dua persamaan berikut
3{x}, + {.r} ,2{xlr-{x)z=
SOLUSIJika program mulai jalan, dia pertama kali memanggil nomor persa-
maan (2); kemudian koefisien-koefisien A dalam barisan All = 3, A12=l, Art + 2, Azz = - 1; dan akhirnya koehsien-koefisien B, = 4, Bz= lO.Keluaran tampil sebagai
Yang tidak diketahui
l0
X(l) = 2,8X(2) = -4,4
Jawablawab
F
z-g rEqtuBc
ONS LTuv ,,, = TPf 6af uI ,,JNIUd g T
t/ (S) JNJ+uV) "H:UV
qI*l IXSN :H+X=X DT(X)lN.{+X+UV=UV eT
( lZ/ZlJ INIZ+11-Z) +Z=\ ZI:N OJ Z=;l UOd TT
H+V:X: (V)JNJ=UV:?N/ (V_S):H 0T%N,,, : Te^.reful T.rpp (Tr[upg ) el6uv upl],{nser^t ,,,lodNI 6
o, o,, _.c+v sEfeg uer{lnseld,,IodNI g
v/,/ = L{pr'leg selpg up:,ilnseN ,,JndNI:INIUd L( x ) 90.r= (x ) JNJ d3A 9
9 JIqg: JNIUd :,,9 NOU IT]EX -Z: ,,JNIUd E:,,NEnlEU Toctuol uelal uerpnuteli ,,J,NIud t
'rur qpneq rp ue{seTe[rp uppups:ad ueupl sen.r rse)trfrpoq -T ,,&NIUd tJNIUd:.,rur lupf,6old rsnlesle6uau Inluo ,,JNIUd Z
JNIUd:,iuosdurrs uefnlv,,J,NIUd 1
'uuJunlel tESEqes uB{rreqrpuurpnuo{ [erSelur relrN '(uDluuu$lEltp) rsn{aslerp ulBrSord ulrlol tr3-Suedrp lu^Jelur qelunluup lerSo]ut qB^ eq uup sele sulug .(uer8old g srruqeped) rs8unJ ue{nlueuau rlBI Er.uegod snreq ulrl .u,(uuu1uun33uetu
)ntuf}'z-g JuqtUsD ruBlBp uulrreqrp rur uuBr.uBsJod )nlun ralnduol ruurSo.td
( t -a) 1,,,( +12-,r + ...+ r( + z\z+(t-u{. +...+ r{ + rf,)? +xp(x)t I
-nr uB8uep uBlnlueltp u?rpnuel nluol lBJ8elur nBlB senl qnrnles uep.Bloq-uJBd qpnqes uE8uop ls?lursloJderp uElnJnlleq lBurp.ro u8rl eJeluB rp EA_rn)'el ruqel re^undueu 8ue,( deue8 le^Jelur-lu^relur nulu ueu8es qultunlasLUBIEp e{ r8eq-r8eqrp snruq uBSBnl 'ntt uElnlBlerr Inlun
.@) { =,,f rs8ung
uDllBqrleu 8uu,{ nlual [EJBelur qenqes rulru Sunlrq8ueur Intun uuluun8rpledep erp 'eynd uurlrueC '(r)"/= ,{ 1rsr1ds1a rs8un; qunqas tu8eqes nule Ig-BJA rE8eqes uB{rroqrp 8ue,( u,,rrn1 qBnqes qe^\Bq rp uEsunl uElnluoueu Inl-ui-ue2elEffi B1a-iEtlEp"ue,(lueunuBpolaruqunqesqelupeuosdrursuernlv
,.,1; =
tgzNVUIdI^IV']
NOSdI,\IIS NYUNLY Z'g
252 MEKANIKA'TEKNIK: STATIKA
0I
2
45
6
Evaluasi integral tentu berrikul
PENYELESAIANIntenal x0 = 2 ke x6 = 5 akan dibagi ke dalam enam bagian yang sama
(rr = 6). masing-nlasing rnempunyai h = (5-2)16 = 0,5. Kita kemudi-an menghitung.t, =fl.r) = In x pada t/p-tiap subbagian
ll
5
Itrv,t.r2
I,,
2,{-1
3.5
06930,916r,099t.2531.386
r,504r.609
/
*.55
Jadi, Persamaan B-l menjadi
[lnr./-r = 9lo.ura* 4(o,s16+ 1,253+t,so4li-1
(+ 2(1,O99+ 1,386)+ 1,609]
= 3.66
Dengan rnenggunakan prograln komputer, kita pertama kali menentu-
\_!t/fungsi ln x, baris 6 dalam Gambar B-2. Selama eksekusi, input (rna-
Jawaban ini ekivalen dengan jawaban eksak pada tiga angka bcrarti (sig-
nrfikan). Dengan.jelas, akurasi pada jumlah angka berarti yang lebih
dapat ditingkatkan dengan memilih suatu interval yang lebih kecil /r (atau
,r yang lebih besar).
sukan) program rnemerlukan batas atas dan bawah 2 dan 5, dan jurnlah in-terval n = 6. Output (keluaran) tampil sebagai
Integral = 3,66082
Jawaban
Juwaban
e-fl rBquBc
(TX) JN.{ 1,, : rur f eIE epPd
Q-a)
zI atau azXO-]X:IX: TX=X 6T
ONE 8TrspnTElrarp rsbun3 ,,!IX!,, = -1P)iV,,JNlud LT
6T NSHJ dS<(XC)S€V II 9Ta-{/ (TX)dNd=xC 9T
oNg:,,'qaloradtp ;i€prl rer{V ,,J,NIud tT9T N3HJ TT< (dd)SSV .S1 TT
(x-rx) / ( (x) JNI- ( Tx) JNd) =dJ ZT
7-87-='IL: I0000' =d3 1T
zrx',, : z* rrrr+ lelii:'*';:":i":X',, : I+ 1Tf rl uel:,{nsEr{ ,,JOdNI B
g'1+ (X) SOI*Z- (X) NIS+q = (x) JNJ JEC L
L JlOE: ,,JNIUd 9
: ,,Nunrsu r"*.." 1'l!i ]Jlil";; ' ;;:lli:: ;
/rur r{empq rp uelsele[tp ueeures:ad ueuP:{ sEn] rs€:irl-rpct{ -T ,,JNrud e
;,NIUd: ,,: tu1 ure:6of d rsn:las.,io6ual .{nlun ,,INIdd Z
JNIUd:,,buoiod srlE: 3polaN ,,,It'lIEd T
'uElstu,(ulp u8nl rur 'uBlnluellp lEdBp IupU ulp D)tlt rEIe tEllu ISUI
-rJrsedsuoru uBJBnle)'u€rcsele{ued llE{epueu u,{edns UEI)nsuutlp snJBq
'tr ugp 0x'le^u ueulJeued Bnp 'Isn1esletp ulerSord ulrg'rue-r3o-rd tuulup L
srreq epud tsSunJ uBlnluaueu sn.tut{ IIeI uLuBl,tad ell) 't-g luquuc tuulup
uelrJeqrp z-g uBBLuBSre4 eped uBlreseplp 3ue,( lalndtuol luu.l3old'uXuuu
-reselefued re8eqes uEIBunBIp snruq ulul Iueunu IruIal-IIulel yYyry9psnse{ tuu leq'uffi uE!ilur-eu-ur )pl ur- le8eil u_u21Qn91$eLu tudq p urlSu n ur
uelquQ-uep'iEqiir=?ittil-reru dnpuqiar isuefremro>1 uep 'ruseq 3ue,( "r tsler
OlUpAa4OmAqAauruelu--5pom-nrIe1el8T5p-ipl,.el]o8-untueS*ufif*g1u>l{-'lg:q_tg uIEI IA'fI@uup "'r depeq-ra1 rsler-o1-lpe1*il>1iiil'?ue3-uulu6)llusfr uIIEut 'BtuulnreJ'lou nlnueur 3un:epuec
uEIu z-g usBtuusrad uuuBI sEnr uped rs1e.ro1 n{ns EuelEl 'g = (x).; rsSun;
relu rlelepuour Suepas ", o{l! rpelre1 uelu IuI luqlloru ledup 3uelg 't'r
= 1+r'r reltu e33uq'u,{usmetes uep'(Z - tt)tx ue{ledupueu uup Sunllqlel
8ue,( Zr rultu uep tr ue8uap Z-g ueuuusJed Ilequrel ueluunSSuetu lnlue1
Elr{ uurpnua) '(l = rr) 7-g uuuues,Ied lrup zr rsunle,retp uullltuep ur:3uep
uup 'l-t' uep 0r'1utre ueel;eued unp uullraqlp n1.red uluur uudu.rauad 1nlun
('-",)"/ -("*)ll-r,x _ ux"x)l-"x=t*"x
qeppe 3uolod srru8 snutn; uep '(l -", -ur)/[(l -u*[ - ('rr)fl quppu rur
uu8urrrurey '(x) I =,t lgur8 dupuqral (ueces) Suolod stre8 uu8utrtuel lrep
uu>1du1e1rp qBlBpE uu>Iuun8rp 8ue,( snunJ B^\IlEq ue1e,(ue1 uep lnqes-re1 u,{u
-pueu uelludepuau Iut epolery '6 = (r)/luluepuesuer] nele.ruqulle uuetuus
-rad (per) e1e,(u.ru1u-relu ltecuotu {ntun uBIBunBrp 8uo1od suu8 epola6l
Nvvss flcorsw) cNorod sluvc s(orsw g's
egzNVUIdI^IV']
\IEKANIKA TEKNIK: STATIKA
B-4ar persamaan
f(x) = 0,5 sin x - 2 cos .r + 1,30 -0
SOLUSI
Terka akar-akar awal akan menjadi xo= 45 dan x, = 30 . Dengan me-
nerapkan Persamaan B-2,
x" = 300 - (- o.tsz t) , (30' - 45') . = 36,48"'-t '' (- o,tszt -0.2393)
Dengan menggunakan ini dalam Persamaan B-2, bersama dengan rl = 30 o
kita peroleh
x, = 36,48o - (- o,oroa;-$$ -l$ = 36,87'
(- 0,0r08 - 0,r 821)
Dengan mengulang proses dengan nilai ini dan xr= 36'480 diperoleh
Jadi x = 36,9 sesuai dengan tiga angka berarti.
x, = 36.89o -,o.roor', (:o'sq'- ro'+9")
= 36,87'(0,0005 + 0,0 I 08 )
Jika soal diselesaikan dengan menggunakan program komputer, perta-
ma kali kita menspesifrkasi fungsi, baris 7 dalam Gambar B-3. Selama ek-
sekusi, terkaan pertama dan kedua harus dimasukkan dalam radian. De-
ngan memilih ini meniadi 0,8 rad dan 0,5 rad, hasilnya muncul sebagai
Akar = 0,6435022Fungsi dievaluasi pada akar ini = 1,668938 - 06.
Hasil ini dikonversi dari radian ke derajat menjadi
x = 36,90 Jawaban
r
I + fx Sunlrq8uau Inlun S-g nBlu t-g 's.red uelup eI rsntrlsqnsrp rur lrsuq-lrsuq wp Sunllqrp 7 ?luetsuol ludurael '0/ 1n1un ry ueqeqrueued qrlrureurue8uaq '(enpe1 apro uuuuesred 1nlun) 0X - !{ uep 0r = !y'01= !1lul\\u rgllu-rulru uu8uep rBlnu BlrI 'rur uuuruesred-ueutuusled uuleunSSueur >1n1u;1
(try + 'l' '1! + r't/ + r't' 'v + rr) lit : rt\r/l
(* * 't"'ry| *'t!+I.r 'e + '/\/r/ : ,) \.Y tl -tl U t
(e-s) (, *'0 ",i*'''i* 't)ttr ='t1r.1..r.1..,11li7 : r1
{rl + t)17. + zla +,ry12 + r.1 -
r+r,r'
(s-s) I
[ttl + i:y 1 ry)2 *'rlv + r.\ - r +'r'
uuleun8 '(x 'x '1)l = r rsur8elurBueu {nlun Enpa{ epJo uEBruBsJad
(t.y + ,.r- ,4
+ !t)!l : r7,
(+ .','i *,t)rir :,,r
(r-a) (i * '' '!- * '')t't :'t(!x'!t).lil : ttl
ueBuap
(t-S) (i.Y + €.YZ +'tlz +'.y12 + '.1' - r+11'
I
uuleunB'duqe1rurep deqa'(x'l[ - r rserEalur8ueur )nlun'eruqrad apJo uBgrugsrad
: ln{rreq re8eqas qulupeunun Inlueq ruEIEp ue{rJoqrp 8ue,( snunl-snung .x uelup uelnl8uus-req 8uu,{ r7 relru uetluquu1 Inlun tr >lgrseds telru-rulru ledepueu {nlun uul-eun8rp 8uu,t snu:nr uelndurnlas ueeunSSued r"tup rrrpJel rur epolel J
.ESBrq
lersuereJrp uueurusred uulr4ucetuetu Inlun ueleun8rp upn;1-e8und epolehtr
992NVUIdI^trV'I
vrrnx'flcNnu flcoJ,sr r ?'fl
256 MEKANIKA TEKNIK: DINAMIKA
=.r,, i, +l = rl,yang berhubungan dengan ti*1= tt= to* h. Pengulanganproses ini dengan menggunakan /1,,r,, i,dan ft, nilai-nilai untuk-r2, x, dant2= tt + ft kemudian dihitung, dan seterusnya.
Program komputer yang memecahkan persamaan diferensial orde per-tama dan kedua dengan metode ini dituliskan masing-masing di GambarB-4 dan B-5. Untuk menggunakan program-program ini, operator mene-tapkan fungsi i =.f(t,x) atau i =l(t x, i/ ( baris 7 ), nilai-nilai awal ro, x,.t6 (untuk persamaan orde kedua), waktu akhir /, dan besarnya penambahan/r. Keluarannya memberikan nilai-nilai /, x dan i untuk tiap penambahan
waktu sampai I,, tercapai.
I PRINT"Runge-Nutta Method for l-st order Differential Equation": PRINT2 PRINT" To execute this prograE:'r:PRINT3 PRINT" l) Modify right hand si.de of the equation given belor,"4 PRINT" then Press RETURN key"5 PRINT" 2) Type nUN 7"6 PRINT: EDIT 77 DEF FNF(T,x):5rT+x8 CLS:PFINT" Initial Conditions":PRIN?I INPUT" Input t = ",7l0 INPUT" x = ", X
l1 INPllT"Final t : ",Tl12 INPUT"step size = ",H:PRINT13 PRINT' t x"14 IF T)=Tl+H THEN 2315 PRINT USING"**#***.*****" ; Ti X
l6 Xi=HrfNF(T, X)17 K2=HTFNF(T+. 5*ll, x+. 5rNI )l8 x3=HtFNF(T+, 5tH, X+.5*l(2)l9 K4-HTFNF(T+H, X+X3)?O T=T+H21 x.X+ ( t(l+I(2+K2+K3+X3rK4)/622 GOTO 1423 END
Gambar B-4
I PRINT"Runge-Xutta ilethod for 2-nd order Differential Equation": PRINT2 PRINT" To execute this prograD:":PFINT3 PRINT" I) Modify riSht hand gide of th€ equation given belot,"4 PRINT" tf,en Press RETURN key"5 PRINT" Z) Type RUN 7"6 PRINT: EDIT 77 DEF FNT(T,X,XD):SINPUT"Input t =",79 INPUT" x = ", X
I0 INPUT" dxldt = ",XDll INPUT"FinaI.t = ",TII2 INPUT"step size = ",H: PRINTI3PRINT" t x dxldt"14 IF T) =TI+H THEN 24l5 PRINT USING"*rl**t.*****" I T; X; XD
l6 Kl=HtFNF(T, x, XD)l7 X2=HtFNF(T+.5rH,X+.5tHrXD,XD+.5rNI)l8 x3=HrFNr( T+.5rH, X+ (.5*H)* ( XD+.5rl(l ), XD+.5r1(2)l9 x4=H*FNF(T+H! X+H*XD+, 5tH*K2, XD+I(3)20 T=?+H2l X:X+H.XD+H*(Kl+K2+X3) /622 XD=XD+(KI+X2+Xg+X3+X3+f4)/623 GOTO I424 END
Gambar B-5
uDqD(fiDf90f00'0 0(l()i-()()I0100'0 (luo'(ttr00000'0 ()()(l{r() r
.1- j
qelupE qcloledrp 3ut ( 1r.r11 :t}llltttattl)Strtt,i 79'11 - Ll ttDp'10'0 = ''t 'O =ri' '0 =
01 ttlr-,p u:.ltiiL, .;-g .tDLltLtDg
o1:tot[ ta1ntlurotl tutu?o.rd uDlDut188uaut tLrt IDos ttDlt!D))riiii)ttt :lnIun
uDqDilDf !r)100'0 =lsoroo'o +(s0u00'0 )z +(togoo'o )z+ zozouo1 ";* r00 0 = t\
80t00'0 = [90t00'0 +(t0'0)91 a0'0 = hsor00'0 = lEEZ00'0 +(i() 0,sl ;u't) =
L.Y
,0r00'0 = [20200'0 +(10 0,s] :(.r'U = rY
'' zoz00;0 = ttotoo'o +(20'0)-cl a0'0 =lzV-g uep U-Er ueetuesrcd uup Sunttqtp 3ue,n:>1es r Inlun ru[ru fQ'Q = {
ueSuep i0100'0 - lr uup ZO'O=ZO'O * 0 = t, teltu ue>1uunS8uaur ue8ueq
t 0 I00'0 = [20200'0 +( I0 t 00'0)Z +( I00'0)Z+ 0] e,,; + 0 - t-r
z0zoo'0 = [t0t00'0 +(20'0)9] zo'o = tz
I0t00'0 = [s000'0 +(t0'0)9] z0'0 = t1
I00'0 = [O +(t'Org] a0'0 =.)0=(0+0)20'0=ly
qalo.red utl) '20'0 = L! 'e = 0, '0 = 0; Inlun\pe| 'V-S uep t-g 'sre4 eSSurqes 'eutu1-red epio ueeuus.rcd qu1u1
rsn10s0=
0r'0 = 0i epud 's Z0'0 = ry ueququreued uuleunSSuetu uu8uep duqut enp
1n1un u,(ulrseq uultedeq 'x + lg - I l€Isuo.IoJtp ueuruesred uu{quoed
,-gH
LgZ-IVNJUIAVHVSN II SVTI
ANALISIS VEKTOR
A=B+C
Gambar C-1
Pembahasan berikut merupakan tinjauan ulang singkat tentang analisrsvektor. Pembahasan yang lebih rinci tentang judul ini diberikan dalamM e kanika Te knik: Statika.
Vektor. Sebuah vektor. A. adalah sebuah besaran vans memDunvai besar
al-n--u*n. dan bgrtambah qr.Ei-Gfr5-ar C- I.lA = B+ Cl denean A adalah vektor resultante d,an B serra--U adalah vektor-veklor komponen
ffir satuan, uo, besarnya satu satuan "takberdimensi" dan bekerja dalam arah yang sama dengan A. Vektor satuanini ditetapkan dengan membagi A dengan besarnya A, yaitu,
(c-1)AlI r =-^A
Notasi Vektor Kartesian. Arah sumbu x, y, z positif didefinisikanrewar veKtor saruan Ca*esrun, *
Seperti ditunjukkan di Gambar C-2, vektor A dirumuskan dengan pen-
iumlahan komponen x, y, e sebagai
A=Axi +Af +A.k (.c-2)
Besarnya A ditentukan dari
A. el +el +A!
Arah A dinyatakan dalam sudut arah koordinat, a, P X,, yang diukur darr
ekor A ke sumbu x, y, z positif, Gambar C-3. Sudut-sudut ini ditentukandari cosinus arah yang menyatakan komponen i, j, k vektor satuan uA,yaitu, dari Pers. C-1 dan C-2,
(c-3)
(c-4)A A,. A, ,4_-u.--='il it 'kN A A A" A
r-
'[- = { X J'ntre,('qapJ€/dry luo3au uenlus
tolaen'uro[ tuntbf qotoas le.ra8req ue8ueq 'f = I x 11 'n1re,( Jnrsod u8ne>1
uunlus rollel uelltseq8uatu uuru13ur1 r8urlrla8uaur wof untol uDuD^4Dl
-raq etec ue8uap upnlps rolla^ enp ..8utsso:c.. EIEIU 'ueplnlunlrp 8ue,( rt-redes ue>lruque8rp uerelSull u>III 'uelqnlnqlp ellq ulel Itseq-llseq uup Iuluelledepueur uelep eun8req S-C .rcqrueg rp uellnlunlrp 8ue,( Buuqlepas
Euu,( ruqueg 'Z-J Juqureg '[ y 1 eped uulde.lalrp 8ue,( 'ueuel ue8uel uu
-Jnlu rrEp uE{nluelrp 11+ u,(uqure u€p '"06 uls (00) qelupe e,(uresoq '[ X Iuelledepueu Inlun 'qoluoc ru8uqe5 'usrseuB3 uentBS .roUe^ ue8uesed
deq 3ue1rs uerpryad rJecueu Intun uuleun8tp tedep L-J uBBtuBSJed
(tt-C)l *@x V) = (Aw) xV = g x (Vrr/) = (B x y)tu II _---J
: 'nll?^
'undedu urec uu8uep u TBIDIS uu8uap uBIIle{Ip tedep 3ue1rs uer1u1:ed uep
€-J rBqtuEc
z-J r8qu€c
(o r -c)
(a-c)
.-qIIV
(E-c)
.qIIE
1ru,( jrlelnurol IEpp ro11a,r Sueps uerlulJed'g uBp
V '.J rBquBC'J qEJB uu11nlunueu lodurel uap gill v lrop uu13un13ue1rp ueu
-e1 uuSuu r-rul-trel uu8uap 'uEuEI ue8uu1 u€rnlE lu/t\ol uelntuelrp J qorv'("ffil;f
(s-c)Qutsf$=lrlBIupB f, o{utosag'g ..ssoJc.. V = J eoeqrp uup
(r-r) f;;v=t\ ru8eqes uu{srlnlrp 'J eluqlnser roqa^ upllrsuq-3ueu 8ue,( 'B uup v rotle^ enp Sueps uurlnl.red .Euulgs uBIIB{Jod
(q-c)X.soc+fl.soc+pzso)B,$qeq lBqrlJel
'€-J 'sJed ueluun8Eueur ue8uep uup'r1X soc + ffl soo + rrr soJ = vn 'rpu[
3xV+gxV=(O+g)xylrsp *nr1n11
VV-
- gsoJ -;- = DSOJ .V 'V
qulupe qem snursoc:e8e
V
- = Isoc .V
nt, I
692NVUIdIAtrV'I
r260 MEKANIKA TEKNIK: DINAMIKA
\.to . B) = (rnA) .B =A . (.Bl = 9:2]c-17),Dengan mGnffrnakan Pers. C-14, perkalian titik antara tiap dua vek-
tor Cartesian dapat ditentukan. Sebagai contoh, i . i = (l)(l)cos 0o = I dantt i.i=(lXl)cos90o=0.
-
Jika A-dan B dinyatakan dalam bentuk komponen Cartesian, maka
dan dibaca A 'dot" B. Sudut€-dibe!4tk a4tara ekor A dan B (0' < 0 < 180').
P"rkaliantiti-i-idufglrfomlr"ld, yultu
-
Jika A dan B dinyatakan dalam bentuk kom Cartesian, maka
perkali dihftung dengan menghitung lnan
(c- r 2)
Ingatlah bahwa perkalian silang digunakan dalam statika untuk mende-
Perkalian Titik. Perkalian titik dua vektor A dan B, yang menghasilkan
skalar, didefi nisikan sebagai
A.B=ABcos0 (c-t4)
(c- 1s)
(c- r 6)
Perkalian skalar dapat dilakukan de ltu
t.I, J
C=AxA=lA. A'
lr, B,
+
()
'\_/-Gambar C-5
Gambar C-5 perkalian titik. Pers. C-14, dapat ditentukan darit<Il.n =A*B*+AuBu+A-B- I(c- l8)
yang menghasilkan
C = (A ),8, - A
".B ))i - (A rB, - A,B *)i - (A..By - A)Br)k
dengan r adalah vektor posisi vang diarahkan*dari tl!1t-O ke sembarang
titik pada garis kerja R!
A.B=B.AHukum distributif berlaku, yaitu,
A.(B+C)=A.B+A.D
k dapat di qtuk nrenentukan sudut 0 yang dibentuk
antara dua vektor. Dari Pers. C- l4
.lIF
ti
(c- l e)
Gz-t)
Gz-t)
Qz-t)
(tz-t)
#., *r.$=(s, y);
'Irtrl u?rlelrad lntun ,u8nl uzrlruraq
[#,').(",.#)=(,,v)T'3ueps uerlel.red 1n1u1
'psj+'pvl =(s+v) j
#.#=1u*v)fElpru 's untues Inlun nurluol uep snJnur qelupu rur rs8un;_rsBunl ue)rupuv'(s)g uep (s)y rol4en rsBuq unpel .u,(ulusrur uu)rluqJod ..rot{a^ rs8un; 1n1-un e8nl nlelloq ru1u1s rs8uhg uurleved uep uuqelurnluad rse:3a1ur unp ,rn-rsuereJrp {n}un uurnrv'Jot{a^ rsSung 1sur3a1u1 uBp IS'EISaraJaO
'9-:)reqtueg 'g qeru uulup uheleq 3ue,( uenlus rolle^ uglelp,(uetu Bn uufuep
(oz-c) snrv-fr.o=esory
qelupe e,(u.resaq 'tl -J srad rreq .e soJ y lu^\el uelrsrurJoplp .9-l leqtuug'fl LIBrB urelEp V rot>le,,t ( rs1e,(o:d nutu) ueuodtuol u,(u.lusaq ,qoluo rDi-BqeS 'Iup uur1u1:ad ueleunSSuatu uu8uep uulnuelrp tedup e8nl'ntuauolqB,Ie tuelup rolle^ qenqes ueuodruol rrecuotu Intun uu)url8unurp u8nl
NVUIdNV'I
t$z
262 MEKANIKA TEKNIK: DINAMIKA
JAWABAN SOAL
Bab 12
l2-1. l:l|mls2, 4.80 s l2-2, 1.92 m/s2, 12.5 s
l2-3. l7 .9 m/s, l.3l s l2-5. 30 s, 792 m
12-6. 41.0 m, 0.996 m/s: l2-7. 54.0 m
l2-9. s = - l8 m, d = 46 m 12-10, 42 m/sr, 135 rn/s
12-11. lantai 9 12-13.0.603 m/s2
12-14. u = 32mls, s = 67 m, d = 66m12-15. 5.63 m 12-17. 3.93 m/s. 9.98 m
12-18. 7.8'1 m 12-19. -0.116 m/s2
12-21. I s.2l.7mls 12-22. 11.9m,0.250m/s
t2-23. -t0.2s-:. 1.56 m 12-25, 5.62s
12-26. 10.3s. 4.ll km -12-27. 9.49mls
12-29. (a\ -30.5 m, (D) 56.0 m, (c) l0 m/s
12-30. 48.3 s
12-31. As = 152 m, (s,r)rurur = 4l m, (ss),or"1 = 200 m
12-33. r=9rui','*',) t2-34.n.2km/s29 \v1- u/f r,ru")
12-35, u = R\/ -'50\ro Y/ . u = 3.02km/sY{R+v1R+1n;
l2-3?. 7..18 s
l2_3E. r = 50s, a = 0, s = 420m
12-39. 0.4 m/s2, 0, 45 m, 300 m
12-41. r=0.2s,s= lm 12-42. l.08km,9m/sL2-43. 0. -0.4 m/s2
12-45. 0. 30m. -l m/s2. 48 m
12-46. 33.3 s
12-47. t = 5 s, r = 50m, r = 30s, s = 750m
12-49, t- = 30 s, u = 24mls, a = 0.8 m/s2
12-50. I1.0 m/s, 15.0 m/s
12-51. t = 40s, u = 612.5 m/s, s = 9625 m
12-53. 13.0s 12-54. 16.5 m/s, 14.6s
12-55. t = 8s, u = 12mls, s = 48 m
12-57. 4.00 m/s2
12-58. t = 60 s, u = 540 m/s, s = l0 125 m
12-59. 4.06 s
12-61. 0.32 m/s2. -0.32 m/s2
t2-62. t7,9 s 12-63. 5.48 s
12-65. 12.7 m/s, 22.8 m/s. 36.1 m/s
12-66. y = (li''' + 5, u = 55.1 m/s, a = 24.1 mls2
12-67. t = 2 s, (6 m, 0), u1 = 18.3 m/s, ua = 6.71 m/s
12-69. -l m/s, {2r}mA, 0, 2 m/s2, , = 1l - x)2
12-70. u, = {3 cos r} m/s, u, = {-4 sin r} m/s,
d, = {-3 sin t} m/s2. an: {-4 cos r} m/s2,
,2 x2'+-=l169
12-71. r = {lli + 2j + 2lk}m12-73. u = 73.1 m/s, o = 80.6", p = 86.9', y = 9.96',
a = 72.2mls2. a = 85.T, B = 90.0', y = 4.76'
12-74. vap = {3.33i + 1.67j} m/s
12-75.4.28m|s
12-77, aas = {0.404i + ?.07J} m/s2, an.' = {2.50i} m/s2
r
s/pEr 0'01 's8I-zI zs/ur ?s'9
zs/pBr t0r00'0 'aBl-zl s/per 8ll0'0-s/ur t'99 =
0r,
'zs/ru I '19- = )o 'slw €'81 =
en 's/ur 9 = /n
zQ qaloZ = oo
'i - ,1)r0 *ao = to 'e qzo =
en 'e *ayo ='a70ol:eo'70Qo- ='D'00D =en'Oo ='n
s/pEr sl'o
zs/ur0g'l- =o,'zs/u 0l'9- :to'slwg'97:en 's/ur00'?- =
rn
s/IrI 8'6t = on 's/ur 08'Z- = 'n
zs/ur g€80'0 = 07,
'zs/u €0t'0- = r, 's/u, zl8'0 = dn 's/ui ?,lz'o- ='nzs/u 80'z = r 's/ur r0'9 = n
zs/u sl'I 's/rrr 86 1
zs/I[ 9'6 = ulu'
'flu9L'6 = I'u, 's/u.t g'y = ulun 's/ru !!'f =
r.ua
zs/u 601'0- = 2o'g
= op'zslw WgO- ='o's/ut66l'0- ='n's7ur77'1 = oa'0:'n
,s1w gg'P - eo
'zstw 6z'z- = "
's/ru 1'61 = on 's/ur ,8'l - = rn
"s1w g7'2 =
eo
'zs/u 0g'l- = )D'slluu
0g'l = en 's/u 0Z'l =
rn
zslwg'ol --eo'ts/u 0L9'0- ='n 'slw 9z'l =
0n 's/ru 0z'l = 'n
zslw OZ'L = oD
'zstw LL't- ='D'slu! 9z'l = 0n'slur 0z'l ='0zstwzt'z -6sl-al rs/ur t = eo'flw Lg'g- ='o
zs/u 19 9 's/psr €tt'o 'rsl-zl slur 86'e
zslw [6, - co
'zs/u ? €6- ='tt 's/u 1'91 = on 's1w79'1 ='n,s1w 197 =
on
'zs/u 98€l - = ', 's/tu 0't8 - ,n 's/tu V?'9 = 'a
,s1wg6'1 =eo'zslu 9L' L =
"'s/ur 16'l = 0n'slrx 0'91 =
Jn
zslur9'81- = o,
'zs/u 8sl - = ', 's/u 16'2 = en 'vl,u t|'z- = tn
Tslw L6'z = eD
'zslw}Z't- ='D'slw LI'Z- =sn'slw9E''l- ='nzs/ur st'0 's E'?l
zslu LL'z = ,a '-s/ru gss'o = ," .E?I-zl
zslwf'fZ = ,, '-s/r.! 99'9 :'D'0 = "a 's/ru g'gl,:,n ,Ztl-Zl
-.-(r-urs + r)f so. gl
zslu 7'32 - Y, '-s/ur 7'99 - eo 's IS'Z .6gI-Zl
zs/u 06t = vD 'zs/u,r g'Zl = so 'ur,'il .ggl-Zl
zslw t6'c = to
.zs/u 86'8 = ,' ,y'9ofl 0 _ 11653.6 = ,t
s t6'7,
tslwzz'l'sluj 6l'€ 'r{I{I zs/u 86 t 's/ru 89 e
is/u f? - /a '-s7r.u 66'9 = "rS 89'I
zs/u8'02's/uIl.'6e '5zl-zl es/u 16 l 'vru0zL
zs/u €99'0 's/ur 8s t 'yal-al' u g'6c '.slut zg'E
zs/u t9i'0 'w-zl ,s/rrl 0z'l 's/rr! g'l
zs/u Z0'l 's/ru 99's 'lzl-zl rq l t l 's/u 0 tgzslwgl.Z =,D'-s/trr6g'5 = "D'siru lrSzs/u 6['t = 'D '-s/ru fr g =
,o 's/ur 0]'tur z6t 'zs/ru s 0l
ru s'cl 'zs/ur 9z'a
zslrx 0s'6 '€II-zI slur lz'gs S,.l '"€ gt = tg 'o1_'p1
= og
ur g8'8
;lgsocaz6socl t[-m:rrr,o )w='o
'to'-zr
s syl '"€'Sa = rg '.Ltl : oe 'ggt-Zls/ur Ig'6 = an 's/ru 17'g = vn '591-31
tu s'zl 's/ur z 8l '€0I-zI ur €€, '.8'8€ .Z0I-ZI
stwz'02's Is't 'I0I-ZI s/rx 9'61 ';s/u 18'6- '66-ZIs 8t'z 'u 0'6I '86-zI ur zr'€ 's/ur L'lt .96-zl
stw vz'g 't6-z,t "69'9 'e6-zt
s/uI o'ze 's ss'E 't6-zl ur L8z .06-zI
s IU I'0 's/u S8'S = '(vn) 's/ur ZE', : 8(vn) '68-ZI
zs/u sol 's/ur I0z '1,8-zI
tp ,tJlS * to ,sA) ,Q t\tro = o
'€8r-zI.I8I-ZI
'6Lt-Zt
.8LT.ZI
'Llt-tl'gLt-zl
,?LI-ZI
'eil-zt
'tLt-zl'0Lt-z,t
'69t-Zt
'Lgt-Zt
'991-Zt
's9I-ZI
't9I-Zr
'z9t-71
't9t-7,1
'8SI-Zr'ssr-zI
'wt-zt
'esr-zr
.ISI-ZI
'0sI-zI
'6tl-7,1'Ltr-zt
'Lel-zl's€I-zt'€tI-zt'rer-zt'0€r-zr'LZt-Zl
'frt-zt'zzt-zt'6lt-zl.8II.ZI
'Llt-zt.5II-ZI
'ttr-zt'Ilt-zI.OII-ZI
'60r-zI
-J-D'l- + t, zsor + rD-urs TQltn: a'gg-Zl
z4 I
w 9Z't Q) 'ur {[tt8'0 + !28'Z-] = s't
'ur{f56r'0 + tB€'t} =vt (4)
'uI E :81' 'u 0?'l = Ys (D) 'gtI-Zl
zD =,o = "t*o ,Sll*Zl
q-o
.IVOS NVSV1Y\YT
zs/Ir {16'€Z + lz'tt + !0rZ} = B
's/u {{C6't + leZ'S - t3r} = a'S8-ZI
zs/u lls'0'uryg'8 '€a-zl zs/u t'll 's/rur'01 'zg-zl
zslu0el'0'stwzz'l '18-71 zslu 8'L€ 'ru00't '6,-zIur lt'E = r'-slluu1 = , 's/u Z: a'0: Kg - ,x + z{
.gL-Zl
892
264 MEKANIKA TEKNIK: STAIIKA
l2-1E6. 7.83 m/s, 2.2'7 mls2
l2-1E7. u : 0.242 m/s, a = 0.169 m/s2, u, : 0.162 m/s,u,' : 0.180 m/s
l2-189. u, : {-0.349i - 0.A127 j 0.937k},u6 : {0.349i + 0.0127j + 0.937k}
12-190. 1.33 nr f 12-191. 0.667 m/s I12-193. 160 s
12-194. u s : 'l .5 m/s f , u67,1 = 4.5 m/s 112-195. 1 m I 12-197. (a) 30 s, (b) 24 s
12-198. 4.5 m/s 12-199. 0
t2-20t. 32 m/s I 12-202. 3.83 s
12-203, 0.667 nr/s I 12-205. 2 mls I12-206. I m l2-2O7. 9 mls I
-21{, ,u af - 16t2-209. ' (s+4)12-210. 2.04 m/s e 12-211. -0.01l3 m/s2
12-213. 0.5 m/s 12-214. 0.170 m/s2
12-215. 875 km/h. 41.5" 0L12-217. t955 km/hr, 0.767" x 0
12-218. 840 km/h, 19.1" -q 0
12-219. 37.5 km
12-221. 22.6 s. 21.3 m/s, 7.11' 0712-222. 6.69 m/s, 53.3" 07,1..52 m/s2, 41.9' 0f12-223. 28.5 km.ft, 14.5" 2.0,3418 km/h2, 80.6" A012-225. I20 km/h j, 400O km/h2, 0.716" 0v12-226. 29.5 m/s, 61 .6" 07,5.95 m/s2. 57,4' A012-227. 34.6kmlh12-229. u s : 5.75 m/s. u 617,
: 17 .8 m/s, 76.2o T6, 9.81 m/s2 Il2-2N. 4.4-1 r..jlls2, 87.4" .a012-231. 0.966 s, u0 : 4'74 m/s. u61s : 7.2'7 m/s,
uo = 4.'71mls +12-233. 3.32 m. I 1.0 m/s
Bab 13
i3-1. 19900r'i) N t3-2. 76.1 N, 20.4 kg, 3.73 misz
.3-3. 1.07 prN 13-5. 0.343 m/s2, 0.436 m/s2
3-6. 1.09 s, 1.54 s. 2.32 s l3-7. 3.01 kN
3-9. 4.66 kN 13-10. 4.55 kN
3-17,. t = 5s. F = 3.21 kN, r : 20s, t': 0.535kN
3-13. 1.43 kN
3-14. (c) 200N, (r) 298N3-15. 23.5 m/s 13-17. 3.05 m/s
13-1E. | .04 m/s2 13-19. 1.59 m. I .80 s
13-21, O.297 mls2 13-22. 0.0595mts2
13-23. 4.92 kN 13-25. 62.3 N
13-26. 8.14 m/s 13-27. 2.56 mls2, 2.94 m/s2
13-29. 5.43 m
13-30. (a), (b) 6.94m1s2, (c) 7.08 m/s2,56.5'0p13-31.7.49m1s2 13-33. 88.1 N
13-34. 4.52mls 13-35. 22.6"
13-37. 8.49 m 13-38. 4.39 m/s
13-39. P:2mgtut0m _ fi1UO
13-41. r:0.693 k,x- Otl-
t3-42. u =W - ff - u6),-,,0n,^,)"'. u = .,
l^gY "2,{^t'r - t1 OA13-43. u= V;t;,ma;).,,= VftflUa
13-45. .r = f co. 1n(l - e-(k/-"1,
mPt m / ms\li = --; " T\ro sin oo + -i)\, - "-'r'^,.r^: I&+&
k
13-46. an : 1.72 mls? +, aB : 2-94 mts2 -13-47. a6 = 0, ac:4.11 m/s2 +, a,:0.162 m/s2 -13-49. (a) 1.17 mls2, (b) ae = 21.6m1s2. aa: 1.96
t3-50.7:mgsin202
13-51. u",s6 - ao sin 6s, 5 : laosin 0t2
13-53. 7.2J mA I3-s4. d - (mt * mdg
k
13-55. 251 m/s, 6.18 kN 13-57. 190 N
13-58. 9.90 m/s
l3-se.&:237N,4=772Nl3-6L. T = 5.10 kN, u : 5.62 m/s, I: 7,46 kN13-62. T: 3 mg sin 0 13-63. 5.56 kN13-65. N = 1.37 kN. F:76.1NL3-66. 47,2"
13-67. 6.30 mls, Fn = 283 N, 4 : 0, fa : 49O N
13-69. 12.1 m/s
13-70. ua = 6.02 m/s, Nc : 39.5 N, ur : 6.34 m/s
13-71. 9.32m 13-73. 2.l0mls13-74. 0.969n|s 13-75. 1.48 m/s
7
"v z = "-v \/hz = **v ',6-rI,lt 21,(- - -\*'wc =z-tn 't6-ll\ I t)
I.pl t0'E 's/ur 8'62 'I6-tI "z'81 '0ff-91
lo{ €1.', 'slru E t7, '68-91 w E9'l '.8' LZ ' Ll-ltur/N €at '98-'I s/ru 16 9 's8-rl
N){ g.9t : ,,a{ ,0 = sN ,ru
0.SZ .e8_rl
51:{ 8 9t - rN '0 = sN 'u g'tz .Zg-tlruru 91, 'I8-rl
arur L'99'6l-gl s/uac'l'8l-tlN 9 t6 's/ur 08't 'LL-tl s/ur rg'E 'st-rt
stlll 07,t'il-lt N Lzz'EL-ttur oge'o 'll-?t ru 0zz0 0 '0t-rt
ur S0Z'0 : s.r 'ur SSZ'0 = Ys '69-rIslw Lt 7, '19-ll
u g'Ln'99-91 urur 6at'sg-rl/$,hUEe s '€9-rI /a\ L'ot '29-nI
Fl 69 I = r",,l\l(rrttg - r09t): J'A\I ,e'eg : d .$-nliA,I 9€'t '65-rI A1.)t €C Z '8S-,InAIt|t 'ts-rl A\ 16r 'ss-rlrAl ?'Se 'rs-r;r sg 0 'gs-rl
tt:').z?g '19-nt lll E8? '0s-rllA. ltg '6n-9t w LBs 'Lt-nI
,^th[ zt t 's/ru t'ot 'gr-tl /\tl0.tt 'sr-]Is,(ep 99'g .6p-91 sVt', .Zt-llslur tt'z .lr-tl ru gs'o .6€-tI
s/u 9l t '8€-rI ru 0gl'0 : s 'lt-ilzstu tz'9'N 89s 'ur sl8'0 .gc-tl
tal0l,'r'te-rls/ru zz'8 'gg-tl ru 0zz0'0 'It-tIs/ur 8r's'0c-rl slu tgz,62-tt
w 6' I | ' LZ-tt ut w' | '97-tlN 08t 'ru 9610 'sz-tl uvrst I't I 'ez-nl
tu S0Z 0 : Bs 'ut SSZ'0 : vs 'ZZ-llslut L9'L 'ur t\'z 'lt-ll
slut 9t z'61-ll s/urzl'l'gI-rIsltll Lt'z 'Ll-91 w q'Lt : tl 'sl-tl
N{ rt l 's/tu S'0t = 8n 'tI-tIstw L[e 'eI-ll
N Z'rI 's^r! ZS'9 'II-tl ruru 6at .0I-,I
zru/Nl { 0'91'6-}I tltut o' L6'L-llruur 9'69 '9-DI ru l'69 'S-?I
s3z
Gi. in:'"'"+ 'e-'I e 'z-tt
/ \rleull r3:eua uuquqn.red
Intun.Esaq qrsrlas 'frl l*Z- :t,n '[{Zl', : "n 'ftl
tI qeg
s/ru 8Ls 'q 06'z 'fe I-eIs/tul aa-Z : arg 's/r! 9gt, : vnv 'I€I-SIs/rul 89 t 'ofl-c[ s/rul l[ L .6zl-tl
url (.r01)8ti ,s/rul t LI .Lzl-el
urt (!01 r0f9 < t (p),uDl (r-0[)otg > / > u:I (,0t )Ll[ (,))'ul)l (€0I )ot9 (s) 'u:t i.0 t )l- t e (D)
*yt e .z 'wruhl 9't I
tuull 16'1 's/iul Zg L 'tZI {I rul { 60t )g 0l
s/tul al'z : xY 'sru,]l g7'1 = oa
utr)lnqrirnt''.uy\i 0L'ts/txl [9'] =
Yn 's/rxl 1 1'y : ta
rur,l ( 501)61.t
N tst0'0- 'sII-cI \ 0ts0 0-N0'll.=J'0=rNxo '11.9
'rs/u 0 l IS9 "ti s ';s/u Z[
N99'S'60I-eI N99'l-:JNt'll=r{'N9tt:.1N8'€l=r! NSIn=d
N 9Zt'0 '€0I-gI N 8 's/pBr 00,111.:{ St'Z = y 'O =
8-+ 'N 001- : ,J
N L9'T
N 691 0 '86-€I N rlt 0
0:-c'N9'92=NNt6'Z:J'Nlt'9=NN8t'l:J'N61.9=N
N Z6t :'.1'O : o.l'N n6Z- :'JN Z'I I = 'r-(YJ) 'N Z IZ = ,.*(v!)
N Z'I Z '68-CI NI O' IN 9'St : U 'U rte : oJ 'N 9'?,6- :'t
"0'nz'i'Z-0sor98'8s:N '@ sot - l)tBZ - ?al": o
u [st'o '€8-€t N 9'sr = "! 'o = ,!3r (ocot)06't 'rg-€I N s'tit
s 6€'L '8t-el N L Of '.s7ru 969'9
'gzt-El'szr-€r'zzr-Et'tzt-et.6II-€I.8II-EI'Ltt-tt.?II-TI.EII-TI.III-CI.OII-€I
'l0I-gr'90I-€r's0I-€I'z0I-€r.IOI-€I
'66-SI'l6-tt's6-e I'16-€I'[6-CI'I6-€I'ffi-eI't8-fr'98-0r
's8-cr'28-€r'6L-el'LL-€.\
t992'IVOS NV8Vl!\Vf
266 MEKANIKA TEKNIK: STATIKA
14-95. u1= I.54 m/s. ao = 452mls
14-91. 0.428 m 14-96. 612 kN/m
l4-9. 0.429m 14-101. 58.5mm
14-102. 6.16m/s 14-103. 30.0m/s, l30m
Bab 15
l5-1.1.53s, ll.5ml5-2, 46'l N, 30'i 0, l.25kg.mls, 14.2" 40l5-3. 0.275 s, 4.68 m/s l5-5, 0.706 N ' s. 40'i 0
15-6, l5kN' s 15-7. 28.3m/s
l5-9. 8.49 N ' s. 17.3" I 0
' '-'n\l15-10. r= rroll - "-ttr\|, .r/ ]l5-ll. F=24.8kN, I= l4.9kNl5-t3, 0.510 s 15-14. 63.4N's15-15. 70.5 N 15-17. 246 s
15-18. 20.4 m/s l5-t9. 12.5 mh
15-21. 21.8m/s 15-22. 269mls
15-23. 3.37 m/s lS-25. '1.14 m/s, 4.55 m
15-26. 12.3 m/s 15-27. 3.08 m/s
15-29. 6.91 m/s 15-30. 7.65 m/s
15-31. 5.72s 15-33. 0.5m/s, l6.9kJ
15-34. 0.l8m/s 15-35. L05 m/s
15-37. 0.986 rn/s 15-38. 375 N
15-39. 120 m/s 15-41. 8.62 m/s
15-42. 0.!09m 15-43. 0.473m
15-45. u6, = 24.1 m/s, up, = 2.55 m/s
15-46. 0.221 m
15-47, u1= 0.475 m/s, , I 0.27t t/,15-49. 7l.4mm 15-50. 7l.4mm
Mun us15_51. u=----:. t=-- mtM- I n\
,r8\l + _/
t5-53. 0.379 m/s
15-54. ur : 0.379 m/s, ur,r,, = 0.632 m/s
15-55. 2.70 m/s
15-57. ue = 3.29 m/s, ua = 2.19 m/s
t5-5E. ur = 2.46 mls, ua = 1.64 m/s
15-59. (ue): = 0.3-53 m/s, (us)2 = 2.35 mls
l5-6t. (u,t)r = 0.400 m/s, (ua)z = 2.40m|s, 0.951 m
15-62. 2.M m, 8.21 rn/s 15-63. 4.13 m
15-65. 2.55 m/s 15-66. 2.67 m
lfr/t+"\l5-ff1. t = \l-l---. 1r g \l -el15-69. uc = 0, uo = U, uB= U, u,1 = 0. U6.= u. ua = 015-70. up = 0.5625u + , ua = 0.8125u, p^ = Q.{!'lJy +15-71. (ua)r = 5.94 m/s, (ut)z = 3.37 m/s, (ua)z = 5.15 m/s,
i
t5-73.t5-74,l5-75.
15-77.
sind/cos0-r.rsin0\15-78.e= 't Isin0\r,sin$+cosgtt5-79. 0.25
l5-E1. 8.86 m/s, 10.2 m/s, 0.770
l5-E2. 0.137 n l5-t3. 14.9 kN/m
l5-E5. u1 = 1.35 m/s +, uD: 5.89 m/s, 0 L.32.9'15-t6. 0.0il315-t7. (u,r)z = l.2}mls, (uo)r : I.87 m/s
l5-E9. us = 3.50 m/s, h = 6.47 mls
15-90. ua = 3.32 m/s, ut = 6.47 mls
ls-91. Hs: {108i + 96J + 40k}kg.m2ls
15-93. (Ir0), = 22.3kg ' m2ls, 1Ho;, = -7,18 kg ' m2/s,
(I/o)c = -21'6 kg ' m2/s
15-94. (HiA = -51 .6 kg ' m2/s, (Hp\s = 94.4 kg ' m2/s,
(llr)c = -41'2 kg ' m2ls
15-95. Ho = {-68.8i + 61.21 - 96.8k} kg . m2ls
15-9?. (Hr)g = {-30.0i - 15.0k} kg . m2ls
l5-9S. t + (IlA)o : 72.0 kg ' m2ls J,
! + (Ha)o = 59.5 kg ' m2/s J
15-9. ! + (H)p = 66.0 kg ' m2/s J,
! + (Hdr = 73.9 kg ' m?s J
l5-I01. 198 Mg . m2/s 15-102. 6.15 m/s
15-103. 1.34s 15-105. 13.4m/s
15-106. 2.77 mls, 4.52 J 15-107. 0.456 m, 0.740 s
15-10. I1.7 s 15-110. l.tl6 m/s, 71.9'
15-Ill. 196mm,75.0' 15-113. 3.39s
15-114. 0.903 s
15-115. 13.3 m/s, 12.2 kg ' m2/s, senar tidak dapatlmenjadi takteregang
15-117. us = 4.19 m/s, (us). = 2.40 m/s
3.38 m
1.25 m
(u,)z= I.y'liil + e)
0.125 m/s
u6(l * c)rz ln - cM\u"= 7i75'ub: uo\;nl,
d / l\2t=-l 1+-luo \ s/
tI
I;
,,r(/-rr)rr =, ,t--r^x
(rt-rx7)tYn =o'CS-9t
s/rug€ l =,n's/pP.r8g t = o'tS-9IllOZ't = co'l7E = ,n '0S-9I
! zai LL9'0 = ro' I o7 = ro'61-91
rD1DIllop -
-l-
=, ?,uls- : o,Lg-91L 0z uts zn l0 zuls - n
t0l o0
"u1sg7rlt ( on ) = r, ?zuls- = o'W-91
z\ "/es/P?r 9'0s - 's/pEr 0t 8 'st-9l
0 soJ ha - = o)D '0 uts ,(D - = n)a 'Cl-gl
zs/u Z9'l - 's/ul 0990 'zr-9lzs/ru (0 urs Sf'€-) = )so'slw (g soc gg'g) = ren 'll-gl
0 uts lzo- = evo '0 sor /o = sva '68-91
s/uzsz'o '8€-9[ zslu I'€l 's/ur0g'z 'a€-9Is/p?r 009 = rro 's/per 00[ = eto 'S€-9Is/p?rggg = ro 's7per691 :ua 'W-gl
ur80'I 's/ur80't 'ge-gl s/pErg'Ot 'I€-9Is/per 8€'€ = ,ra 's/pur 0S', = rra '0€-9I
zslw 9 L|}'slw lzz'0' $L-91
zs/u s'€t 's/ur It'9 '"9'92 'u{-91
eslu 8't[ 'slw9E9 'ya-91
zslldJud z9'z 's/uur ,81 's?-9Ispergzl'tz-91
zs/u gt.S = so ,flwZl.O = vo,slw7,L.0 ,ZZ-91
s/u[u 90't 'lz-9lsipBr s9? '6I-9I ruur z'96 '8I-9I
zs/ruru z8a 's/ruu I Iu ',IJI s/u l'fl 'sI-9I
rs/u 9Ol = 'D '.s/rx 9 g = ,, 's/ur 9'Sl 'tI-9Izslw zLf'l'slu re't'€I-9I
zslw l'Zl : sD
'zstwZ'tZ = v, 's/ru 9 = en 's/ur Zl = va 'll-glzstw L'LE =
aD
'zs/u S'SL = vD 's/ru 9'01 = 8n 's/ru t'lz = vn '01-gl
s/runt 00t 'zs/uut osz 's/urtu Lsl '6-9Is/pEr I'zslPur t'0' L*91
zuru/pBr 00'8 'urru/psr 0'E I '^er t9' I '9-9I
^ar l'6S (q) 'zs/pEr E€'t- (D) 'S-9I
zslu 068'0 's/u 8t8'0 'c-9Iu006'zs/ru:l 80'l : "p'zslu691'0 ='D'Z-91
s l9't '^ar u'e 'vgl
9I qBg
s/ru €9't 'It-IuN t'E, = 8l
'N 9'06 : ,J 'rs7ur lg'l = e,'zs/u Sgl'0 = v, .0S-IU
s/ru ls'9 '6r-Ius/ur t tt .,t-Iu lll €€6.0 .99-IU
zsluLs'l =so'.stw9Oi=Yo (q) 'zs/u lig'0 (r) .S'-IU
AII 8r't ',ft-Ius €'lZ 'Z,-IU t sltu tt'g 'I'-IU
u9'6e-IU NSSI'8e-IUsiur 8t'r 'ag-IU 106'0 's€-Iu
vur l'tt ',f-tu N,t st I .c€-lu
rs/u rL I 'I€-IU N 9 g€ 'of-IU.9',92 A zs/u Zi€ '62-IU Vur l9't 'I,Z-IU
si ur z I 8'0 'gz-Iu s/rlr 91. I 's/rx gtg'0 .sz-Ius/ru 9'd 'gz-Iu zs/ur 0'62 .zz-Iu
f ,82'0- =.9 Il'vurzt.t'o'Iz-Iu
s/rut'ot'6I-IU uj96t'0.8I-IUsiur 8t', 'tI-Iu ,{\{916 'sI-Iu
ru0g6.,.l-tu ru'g.t .€I-Iuru86r'0'II-Iu N{r9'z'0I-Iu
f-=.l-- )u1g=(.6-15 \r+t_-r.\/'-s s 'l-Iu
+s/tl' g6's 's L0't .g-lu s/ur 9'll .s-Ius/tu lr'8 : Yn 's/ru 8'91 = 8n 'C-IU
(eloqered) xg€e 0 + ;180200 = ( .Z-tU
s 8 €z 'I-IU
uBSuEln IEos
f . z( \s!,\ = a.ztt_st\tt/ - r,t / Z,
N(rt'lt +196)=u'trl-st -n,u:J'6€I-sIN)l 6t't '8€I-sI -s/urur z I I 't€I-sIzs/u s l I 'sf,I-sl Nt s't I '?e t-sls/tu I'9t '€tI-sI vur sfl 'I€I-SIEd ZSt 'oCI-SI ydrn: g .671-91
Nt'01 'l,zl-sl zs/u 829'0 'gzl-slltl tz e 'szl-sl N ,ti'z '€zI-sI
rx . N)t 66't 'NI t8'g = ty 'Nrl B6't : 'V 'ZZt-St
NS6Z=!'ruoOS=?'lZr-SlN80r = t'u rez = I 'otr-st
No'il 'SII-SI
LgZ.IVOS NVAVA\VI
268 MEKANIKA TEKNIK: STATIKA
/r(r * dcos 6tt6-54. i=--4o.
1d + rcos d)/lr sin 0\2i - dz + rd cos 0)
(r/+rcos0)1r dsinl1 \
16-55. r' = rodlsin 0+ --::=::-l' 2\/(R * r)j - di s[nj f/
16-57. 213 mm/s 16-58. 315 mm/s
16-59. 2.40 m/s
L6-6I. 2.83 m/s, a;sc' : @,qB = 2.83 rad/s
16-62, 1.64 mls 16-63. 1.70 mA
16-65. 3.72radls 16-66. 9m/s
16-67. 5.33 tat)ls 16-69. 13.9 rad/s. 12.9 m/s
16-70. 10.3 rad/s 16-7f. 0
16-121, 1.47 r^d1s2,7.47 m/s7
16-122, 0.0962radls2, 0.1l5 m/s2
16-123. u6p = 5.M radls, acp = 103 rad/s2
16-125. 4.21 m/s2, 8.75" i 76-126. 3.40 mlsl
16-127. 12.5 mlsz
16-129. als = 0.75 rad/s2. a116: 3.94radls2
16-I30, 2 rad/s. 7.68 rad/s2
16-131. aas = 4.81 rad/s2, aoc = 5.2lradls2
16-133, u16 = 0, a,rc = 28.7 radls2
l6-134. 3.55 m/s2
l6-135. 10.67 radls2. 351 mm/s2
16-137, u" = l.58roa, aa = 1.57'7aa - l;l'la2a16-138. 5.94 m/s2 16-139, 6.21 mts2
16-73. us1= 1.07 rad/s, aou = 9.62a ls 16-141, 14.2 m/s2, 18.4o ={16-74. q = 4rad/s. .oa = 1radh, up = 60mm/s 16-142. 4.73 rad/s, l30rad/s2
16-75. 6 m/s 16-77. 0,1 m/s 16-143. 0.25 rad/s, 1.5 m/s. 0.8?5 rad/s2, 0.452 mA2. 85.2" Sl6-7E. 2radls 16-79. 6radls 16-145. an = {-5.60i - l6j} m/sz
16-81. 20 rad/s, 2 nr/s l6-E2, 4 rad/s, 4,88 m/s 76-745. vs = {-12.0i} m/s, as = {-70.0j} m/s2
16-8J. 2.45m/s,7.81 radls 16-747. vs = {-12.0i}m/s, aB = {-20i - 70j}m/s2
16-85. o5 = 57.5 rad/s. (roA = 10.6 rad/s 16-149. v,, = l.2.25i - l.5j) m/s. a,, = {1.5i + 1.125j} m/s2
16-86. ro.s = l.5.0rad/s, op = 3.(X)radls 16-150. v,,,: {1.5i - l.5j}m/s, a, = {1.5i + 0.15j}m/s216-87. us:3.0Om/s.ur.=0.587m/s l6-15t. (o) ar={-li}m/sz, (r) as={-1.69i}m/s216-89..112mm/s.8. 13" 16-153.2.40m/s
16-9O. u6 = 0.7'16 mls. ua = 1.06 m/s 16-154. 2.40 m/s, a.. = {- 14.4j} m/s'?
16-91, lllmm/s 16-93. t.64m/s 16-155. vo = {-2.63i -4.50j}m/s, a^= {6.15i - 9.19j}m/s: r16-94. 9 m/s 16-95. -5.33 rad/s 16-757. v6: l-2.25i - ll.ljl m/s, a6 = {25.5i - 2.25ilmls:16-97. u1: .1 rad/s. ra3 = I rad/s, 60 rnm/s 16-158. vp = {-9.45i - 3.90j} m/s, ap = {3.90i - 23.9j} m/s
16-98. 4 rad/s. 4.88 nr/s 16-99, I 1.4 radls 16-759, aap = 9.00 rad/s, aco = 249 rtdls2
16-101. uu =0,Dn: l.2nr/s. u1 :0.849nr/s t6-151. 0.720radts,2.02radls2
16-102. uo=0,uo=0.6m/s.u5=0.849m/s t6-162.vs:{-2.t0i+5.20j}m/s,16-103. u.- = 1.8 m/s. ua = 1.2 mls ac = {- 10.4i - 4.65j} m/sl
16-105. r,rp6 = 5.77 rad/s, to66 = 2.11 radls 16-163. vc = {-2.1i + 5.20j} m/s'
16-106. os.-=6.83rad/s. a,,r=2.65radls ac=i-ll6i-2'05jlm/s2
I6-107. 1.93 m/s
16-109. u6 = 0.75 m/s, ua = 2.83 m/s Bab 17
16-110. u6 = 0.75 m/s, ue = 2.37 mls - a
16-111, u1 : 0.75 m/s. ur: l.9u m/s '''-1' 1' = lnl2 17-2' k' = *
l6-1t3. u1 = 18 rn/s, ur. = 66 rn/s, ua = 48.4 rn/s L.60.3o 17-3, I, = *mrt l7-5. t, = Inbz16-114. 7.81 rad/s. 2.45 nr/s 16-115. 13.1 rad/s m ^
16-117. o6 = 26.'l radls, or = 28.75 rad/s, ar,a = 14.0 rad/s 17'6' I'= m(Rz + lall l7-7' l' = ::@2 + h2)
16-118. 58.8 radA -/ aR2 \ rhRa | 2aR21
l6-il9.0332rad/sr.2.36m/s2 L7-9'm=aftR'\kn , )'l'= 2 ln' , j
lL
i
lili
lrli
ij;
I
,or|wl = J'9-Bl f ott'S-8Is/p0r Iaz'e-8I s/p?r6'01 'z-8I
8Iqsfl
ftu tL t ,RI-LL
sl'dJ tl'z 'gzl-Ll s/tu 0z'9 'szI-LIs t0? 0 'ezl-ll s 6nt0 'zzl-Ll
N €'t, 'zvpsr 8'gz 'lzl- Ll
N 9 6I '.s7per 9'6t -- sn 'zvpetg'El = vn '6lr-Ll
zvper Lg'l'N t8 € = 'y 'N SL = ty '8tI-[I
zs/ur E 0 = co'N617 = '7 'N 9l =iV 'Lll-Ll
/orpl) =o'ett-Lt drorfl =n'ttt-Lt \ ,( I Alz/t \
w-ltil
TFAa: ,n : 8o 'Tiitrt
-ils = D 'f II-II
N 9'16 = 'v'N 06l ='v 'III-tIdrJs 1ou seop {sp '6II-1I
N r,0Z : vJ .N E.t6 = vN ,601-Lt
upetTz'9'L$t-Ll
zs/u 9€'l '90I-l,I NI Z€'Z 's/pB.t sz'l 's0I-l,I
zs/P€r 68'S'zs/u l6'?'€0[-lIzs/u 6'il 'zvperELz'} 'z0l-Ll
N 961 'rsTPnr 79 9 'I0I-,I
gur.rJ-- = 1a1
zx,A
'p ursr.{ = t'(u - jilL+I sor,\, = N'6G-Lt\ rz,x J
I t Zr - Z-(9 soc g - )
-B_ =,' (, - r tor,
), urs rul- = J'86-[I
N s z€ = 'Y 'N s zz ='v '16-Ll
08 t6 's/per 6n 16-Ll(d l'o)r_uq : 8'0 sor 8w 97'g = ll'0 uls 3u S Z : t'E6- Ll
Pur Z'SZ 'N 6 99 = "y 'N Z'68 = 'V '16-Ll
s gz't 'N 6'99 = KV'N
2 68 = 'V ',M-Ll
NW n('r '68-rI
1w3 6'9 = n 'Lg-Lt s/Pur gE'l '98-4I
slw7,,'z 's8-Ll zslu Z8 l 'c8-ll(vl,,t+sN+Nl)
6 -e*1t =D'i8-Ll
s/ru 8r9 0 'I8-rI
zs/pu I'eZ = p 'N 682 :'y'0 = 'V '61-LI
(utz+W\^ .(utz+N)A
-l\
= o'- =n'8L-Ll adwg I dwz
u7. - ht (wZ + n)a -t-=4'-=a'LL-LI ' dw dwz
s la9 'st-tl pBr/ru. Nz'LZ'91-LlstPzr tL7 'e L-Ll .stpu 8z'L 'lL-Lls/per ts 6 '01-t I s/pEr 0't I '69-aI
-s/pBr zs a 'N grt 't9-1I
:s/Pe: t : l 'is/PU 69 6 '99-lI
:s,?€r 0 9t -s/per 8'tJ '99Fl,I
s,o t 'tg-l,IN I 86 = 'y '0 = 'F','s/pet6'61 '29-Ll
N I 86= 'y'0 ='t' 'stper?'gg '19-Ll
N Z9Z = ty'0 = 'y '6S-tI ur . N t 0S '8S-tI
N I6L = I '.{ %t : )N ',LS-Lt
zs/Per 96 ['Nlol's'SS-IIzslpBr tz t 'NI 6l't 'ts-t I is/u 0l t 'ES-/,I
N 8tt = '8 'N 89t = '8 \ 86S = vN 'IS-II
N006 = ? 'N09lZ = 'g '.s/u S'tZ '0S-lI
N t9l = 9,V 't't t t t = YN 'zstwll'V '61-Ll
wn60 'Lt-Lt -s/p8r s6's 'gF-LI
N I6t : 'N 'N ZOi = sN '9f-il
N{ t9'n = 9,v 't+t Cg t = Y.ry 'er-lls st't 'zt-ll
s 89 2 'N{ gz't = 8N 'lpt 16 9 = YN 'tt-LlN]{€',91 = 5'UtZOe = ?'Xr L'st = t'6e-LtN 6LL : ? 'r.il qs'e = ? 'r.a 8'01 = r// Tf-rINt 86.9 : YN ,NI t9't = eil 'M fr? = t .LE-LL
zx*9Ll',\ = n'xasz'\ = A'xntttt 0 = N's€-llur ' Nt t 0 t 'm-ll zslw lL? 'Nl I 9z 'ee-ll
zslu 0sz'0 - e, 'N{ g'lL = ''g 't\pl 9'zL : ty 'I€-4I
N 909 = rl{'N S6? = 8N'N t 6Z = I'W-LluI f6'Z 'N SZS = v,{ 'N 91, = sN '62-Ll
zows'l = vt 'LZ-LI zrut ='l 'yL-Ll
,w.flty62'S?-Lt ztu. 310980'CZ-1I
zu . 3{ 0tZ'0 'u EO?,g 'ZZ-LI
zut . 3\9;L 'lZ-Ll
ztu .tn 296 '6[-lI zu . 3r,,1 88€ '8I-lI
zw .E1.t'El 'LI-LI zru . 3I tZ 9 'SI-4I
zw.3\19'L'll-Ll zut. 3:t It't'€I-l,I.tu .?:l 66'9 'tt-tt zu
. 3I Z'€S 'ur 6t'9 '0I-lI
692"IVOS NVSVIY\VI
27O MEKANIKA TEKNIK: STATIKA
lE-7. 0.0271 J 1E-9. 1.48 radls
lE-10. 0.@ m ltl-ll. 221 rad/s
18-13. 237 J 18-14. 7.34 rad/s
l8-15. 8.25 rad/s
It-17. (a) 4.18rad/s, (D) 3.41 rad/s
l8-lt. 0.0636 rad/s lE-19. 2.10 m/s
18-21. 3.29 radls 18-22. 0.759 radls
18-23. I.05 rad/s IE-25. 4.01 m/s
18-26. 0.927 m/s 18-27, ll.0radls18-29. 350 J f8-30. 12.8 radls
18-31. l.66rad lE-33. 9.75m
f1;/,il E" *" JsrE-34. (a).= VT\;/, (bt@: l1-;*;
19-21. l.20kN 19-22. 3.7'l mls
19-23, 3.17 mls 19-25. 11.6 rad/s
19-26. 1.05 m/s 19-27. l5l N19-29.36.3 rad/s, 19.6m/s 19-30. 176rad/s
19-31. 23.4radls 19-33. 70.1 rad/s
l9-4,'l3.6radls 19-35. 1.32s
GL \/1te-37. I =.V? 1e-38. y --Tot9-39. tL
19-42. u6=
19-43. u'= 1.66 m/s, ua : 1,30 m/s
19-45. 0 19-,16. l.9l radis
1947. *ot 19-49. 0.0906rad/s
19-50. 0.0181 rad/s 19-51. 3.56rad/s
19-53. o' = l$o4 u" = 0.985 arl19-54. 0.0669 rad/s
19-55. cu1 : 2.41 tadls, r,rz : 1.86 rad/s
19-57. o: rt;+I2t
I9-5t. (a) 0, (b) o4a=-7ttt, (c) to;a= - rol, l,
II19-59. (c) @M:=@, (b) 0, (c) ap=;at. t.19-61. u2 = ,Q + Scos 0)<.r1
19-62, <o2 = t(l + 2cos 0)ay
19-63. 22.9 rudls 19-65. 0.150 m
19-66. 3.21radls, 32.8o 19-67. 2?.4"
19-69, 4.62 radls L9-70. 1,17 radls
19-71. 0.67 m, 6.1 6 rad/s 19-73. 0.980 m
19-74. (u)r, = e(vc)y, t, {uo;,, : }((u6),, - farlr19-75. 50 rad/s,294 mm
Soal Ulangan 2
R2-1. L80 m/s \2-2. 7 .13 m/s, 0.125 m/s2
Ril-3. 28.6 radts, 24.1 rad, 7.16 m/s, 205 m/s2
Ril-S. 1.80 m
R2-6. 0,2'75 radls, O.O922radls2
R2-7. a) Cy : B, = 7.22N, b) Cy = By = 14.7
R2-9, 632 mm/s, 63.4'l" L84 m/s2, 32.5'h.Ril-10. 8.89rad/s2 Rl!-11. 25.0rad/s
t
18-35. (a) ,: J"Y". @)to= mL18-37. v5 = 3VER lE-38.42.4radls,360NlE-39. 0.09 m lE-41. 7.34 rad/s
lE-42. 0.759 rad/s 18-43. 4.43 m/s
lE-45. (uc)r : 3V!gR- l8-,t5. 2.58 m/s
lE-47. 0.301 m, 163 N 18-49. 42.8 N/m
lE-50. l.82rad/s 18-51. 9.64m/s18-53. l.zl0 m/s 18-54. 16.2 mm
18-55. 1.52m/s 1E-57. 0.925radls
IE-SE. 2.72 rad/s lE-59. 4.61 rad/s
It-61. l.83rad/s lE-62. l9.8rad/s
It-63. l6.6rad/s 18-65. 4.92radls
lE-66. 5.00rad/s 18-67, 1.67kN/m
lE-69. 59.0 mm 18-70. 0.73 m
18-71. L84rad/s 1E-73. 4.00m/s
r Bab 19
l9-5. 56.2 rad/s, 0, 98.1 N 19-6. 0.386 rad/s
l9-7. 25.9 N, 2.56 s l9-9. l4.l rad/s
19-10. 0.708 s
19-11. r.r = 14.l rad/s, r,rz : 5.89 rad/s
19-13. 0.530 s 19-14. 6.03 rad/s
19*15. 3.56 rad/s, 5.12 s
te-17. o=,un-' l(t * 4)"]L \ k(tt' )
19-18. 27.9 rad/s 19-19. 29.2radls
I
19-41. 0.63? s
rs/ur{,109'Z - !Z't +;g1'5-} = ar's/ur {r0'€ + f?g'E + !02's-} : a,r
zs/ru iIS I '0 - |SZ'S - ;g'91 -) = ar
's/ut {{09'0 - lO;Z +;91'g-} = aa
cs/ur{106'g - fSS t + !O'8r-} = /B
's/ul {{r't't + l1t'n + 96'7-l = at
zs/ru{Ig6Z + [t68 - lt'g'8] = vB
's/ur {,100'l - fef't - !et't} = va
,s7ur {14'71 + lL'?,t * !B'q} = vu
's/ut {I€8'Z - [CS'Z - ilr't] = vr
zs/ur {{f'Z[ + [St'S - t8'82-] = ,B's/ur {{008'0 + [00'E + 166'1-] = ca
s/ur {I0'€t - [61'9] = :a'vpEri{00'z - [oo's - !99's-] = @'68-0z
,s7Pur {1g + [o'o[ + !]'ol] = D'zs/tu {ItI I - !9'66} = rE '8€-02
s/ur {I6r'a - ;y'91} = :,r's7pur{196'7 + f09'Z + !6S't} = a 'Le-02
s/u ftSl 0 - JSS'O + lgt't] = ,^ 's/ru {ISt 0-} = ra '99-69
s/u {€€€'0-} = a^
's/pu{{fls'o + ftt'z - t69lol =)0a.s7ur {[96'1] =
an
'.s7per {471'1 + f90t'0 - ryZ't} = )sn
,s7u: {;969'9} : rr
as/ru {ltr0'0-} - vB 's/tu {llgC'O} = nr
us/u {f6z'r-} = 8B
',s7pur {199'1 + [009'0 + l€?'l -] = D
zs/ut {[6e'Z + l6t't -] = 8B
rs/per {r(€-01)zlt'0 - fzzg'o + ltlt'0} = D
s/ut {[g't + l9t8'0-] = o^
'vper{ts€z'o - leoz'o + !0tp'0-] =o '91-02
zs^u {[S'tt-] = sB'SZ-Or
zs/u t'9t '€z-02 sllJJ tg'z 'za-07,
zsltu {16'82-} = sz 'tL-02
zs/psr{!S't€} =oeD'stqz.r {IOO'Z-} =oso '61-0Z
s/p?r {!00'Z-} = aso 'gl-07.
Es/u{rlg8'0 -loz[o - lost'o-} = }E
'Vut {108' I -} = Y^ 'Ll-02
,s7pr.r {:11'99 - [Sg'g + lLt'Z] = o?
slpet ll 1'71 + !St't) = @'St-02
zvpur {I I'92-} = e 's7pur {[1'71 + !9e'r] = a 'tt-02
zslper {!00t9-} = n 's7per {fg9-} = ao '91-ng
rs/tu fi6 t8 - [S'99 - I9'0t -] = r"'s^u il'il -] = v^ 'II-02
f/tu {Itg'z + fl.'] I - ILll} = vR
's/tu {Igt't + [St'6 - !09'e-] = va '0I-02
,s7pur {16'yg + [6'Z8 - W'Zn-] = o?
's7pa {:17'gp + ln'Zb + lZ} : a .6-O,
,s7pur{fg69 - It6'9} = ra'Vpur iIStC-} : o .L-02
zs/u {ItI I - [e t t-] = vB 's/ur {lgg7 O-} = va
'rs/pe,r {!0 9l) = D (s/pBr {t00.t_} = o .9-02
is/u {I0Zi 0 + f?8 e - rt 0t -} : rE'Vur {1008 0 + fggt 0 + lm8 0-} = .?^ .S-OZ
zs/pEr g'?l 's/pEr6'9g .€-02
;s/ur itm; r fat 9 - r00 t-] = YB
's/tu {lL;9 + fS C - !9S t-} = v^ '7,-OZ.
zs/u {!91 ; - IL6 t - tt( L-} -- va
's/ur {lt;9 - 19 t - I9g I -} = Y^ 1-W
0z qBg
s/ur g, E .Is-eu
tur6s80'os-rE ur 1990 .6i-zu
N nS? = Piv'N 69S ='N'N g;i = r.{'zslw 9l.Z,Ll-Te.r'6t 9'-ru
.d.8'0S 'rs/u L ZI = 8D '^ -!ltr 8 Ll = t', 'S'-ZU
N 029 = 9.{ 'N i8g = Yls 'er-zu
is/u 8[ | 'is/u l?'l 'zr-zuN)l 8S'S = 9,V 'tU SL.t = ?., 'mr 09 ? = 9C 'I'-fuur. N0 t t : :i,'* n'62 ='?'N 0'r9 =,E
.6t-UU
s/psr gl'g : ,r', 's/pe-: 0t I = t'o '8t-fg:i 9et : lJ
'Nl t9'9 = Y,v 'tPt f'Sl = lN 'N Z 19 = {;si PU Z ll
N ['tg ='Y 'N 002 = ^Y 'N €fl = '8N 6€l ='Y 'N ZSZ = 'Y 'N 08t = '8
N tC[ = vru 'N e '€l =
oltrir 'zs/r.u 86'0 = e, 'N 0C l = ds/PBr 8',6€ 'o€-ZU stoPJrtt
N ZI I '.s7pr 99'6
I is/u 00'8 = ao 7 "ffy6:0 '-s/u 9 0S : rD
s/tu 098'0 'SZ-ZU sTtu . 31 9'9g
'rc-ru'sf-zu'tf-uu'€f-zu'It-zu'62-rU,LZ-d'vr-z\'€z-zu
'Lt-tlz
'9t-02
'st-02
'e'-0z
'zt-02
'tt-02
'?e-02
'€g-02
'It-02'0t-02
'62-02
'La-tt
I
z(, uls rr) - z(2., + r.r) z
ffi- -oulsorr- =n'zz-z,,
es/p?r 0 lz 'N 8tz 'Iz-ru ur 0L t '6l-zu
tlrttL.7;6r]'-u'r
: o 'tr-zu
s/ru 8L, 'l,I-zu
zs/u [ 26 ']I-Zf,,
,'+ =' 'sl-zu
tLz]VOS NVSVAVI
0 soJ z.D,r- = o '0 uts oJ - = n 'tl-zu
272 MEKANIKA TEKMK: STATIKA
20-49. v1 = {- 1 .73i - 5:77 i + 7.06k} m/s,
a6- = {9.88i - 72.8j + 0.365k} m/s2
20-50. v,1 = {-2.60i + 2.40i - 4.17k} m/s,
ao = {- 1 .2i - 2.3Ij - 0.96k} m/s2
20-51. v, = {-2.60i + 2.40i - 4.17k} m/s,
a! = {--5.37i + 2.49i - 9.27k} mts2
20-53. v6 = {-10.2i - 28j + 52.0k} m/s,
a6 : {-33.0i - l59j - 90k} m/s2
20-54. vp = {-5 40i + l35j + 1.20k} m/s,
ap = {-243i - 4.U6j - 24300ki mA2
20-55. vp : {-7.65i - 4.02j + 6.15k} m/s,
a" : {48.3i - 74.7i - 11.9k} m/s2
20-57. v6 = {-500i + 600j - 75k}mmA,a6 = {-3625i - 60Uj + 200k} mmA2
20-58. v6, = {3i + 6j - 3k} m/s,
a6 : i- 13.0i + 28.5j - 10.2k) m/s2
20-59. v6 = {-5.54i + 5.20j - 3.00k} m/s,
a6 = {-91..5i - 42.6i - 1.00k} m/s2
20-61. v,1 = {-tt.66i + 7,26i + 2.26k} mA,
a^ = {-26.1i - 44.4i + 1.92k} mls2
Bab 21
2,1-2. r,.
2l-5. r,
nl^= -t3a,
+ 4h'\
= 2.3-5 m. k. = 1.80 m
21-3. 30.3 Mg' *'
2t-6, 636p
2l-7. 1.48(l0r) p 2l-9, 1,.-: luh'52l-10. 0.0930 kg mr
zt-tr. t, = 0.341 kg.m:, /,. = 0.0967 kg'nrr,/, = 0.353 kg ' ml
2l-13. 3.1-5 kg . m2 21-14. 37.1 kg ' mz
2l-15. l,3l kg.ni2 2l-17. 0.0945 kg'm2
2l-18. 0.429 kg m: 2l-19. 0.959 kg ' m:
2t-21. 0
2l-22. ,- = 0. t5 m, i = -0.20 m, lt' : 0.134 kg ' m2,
/.. : 0,0765 kg' m?. 1,, = 0.210 kg ' m2
2l-23, I, = It : 664 kg ' mr, /. = 534 kg m2
2l-21, 1.141 2l-29. l5.l rad/s
21-30. 14.7 rad/s
21-31. to = {-0.750j + 1.00k} rad/s
21-33. 23.0J 2l-34. 68.0mm
2l-35. l0.8rad/s 2I-37. 5.52m/s
21-38. 62.5 radA 2l-39' 88.4 rad/s
2l-41. 20.2radls 2l-42. 17-Sradls
2L-43. u = {0.0536i + 0.0536k} rad/s
2l-45, >M, = U'b, - Iryiny - 1,,;D,) -dlr(lrar- Irrat"- I,a,) +q(1.@: - Iua,- Ior,lr)
2l-46' ,M,: I,io, - IP.r.r, * /.Qar.
2l-47. FA = 277 N, Fa : 166 N
2l-49. B.: 24.1 N, A, = - 12,0 N, Ay -- 6.02 N' & = 12.0 N'BY = -6'02 N
2l-50. B, = 7.77 N, A' : -3.89 N, A, = 1.94 p' & = 3.89 N'
Br= -l'94N21-Sl, M, = O, My = 2larot,, M,= 0
2l-53. FA:44.25 N, Fa = 55'75 N
2l-54. D,: -12.9 N, i. = 200 rad/s2, D, : -37.5 N,
C,= -37.5 N,C, = -11.1 N, C: = 36.8 N
2t-55, 25.9ftdlsz, B, = -0.0791 N, 8.: 12.3 *,A, = -1.17 N, A, = 12.3 N
2l-57. B, = 50N, A, = By = 0, A. = l. = 24.5 11
2l-58. & = 50 N, Ar = 2.00 N, 8i = -0.500 N,
Au=&:245Ntl
2t-ss. >M,: j*rfu 2u" = -4uL,2M, = s' p-" ' p'" '2t-61, 70.5' 2l-62. 70.s'
2l-63, Ax : Bx = 0, Ay = - 1.09 kN, B, = 1.33 119
2l-65, -102 radlsz, A,: 8, : 0, A, = 0, A,= 297 N'
B.: -143 N
2l-ffi. A,= 0, Ay = 24.1 N, Ar = 27.3N, M' : -12.6N' m'
Mt:0, Mr: o
2l-67. TB = I .tl9 kN, Mt -- 0, M,: 0, A* = 0,
Ar = -3.06 kN, A. = 1.99 kN
2l-69. a=52.2o,p =69.3", y=45.0"
2l-11. (a) A" - 1.49 kN. B, : 2.43 kN, (b) A' = - 1.24 kN,
Bi - 5.17 kN (c) A, = 1.49 kN' Br : 2.43 kN
2l-73. 4.91 rrdls 2l-74. 368radls
2l-75- M, = 18.3 N ' m, M, = l4l- = g
2t-77. 101 N
Zl-78. l.3l rad/s prosesi rendah r, 255 rad/s (prosesi tinggi)
2l-79. l2.8radls
2l -El, 0.67 3', I prosesi regular
Bab 22
22-1, 0.448 s,2.23 Hz
22-2. x = -0.0-5 cos (12.2t) m
22-3. 7.88H2.0.12'l s
,{#
r1j
l
If.
Jrn urs0? = O! + h7'lo urs0J = ]? + ly/ 'f8-ZZI ' "'
.) 0=ri+qa+n.Zg-zZ
,@sof,os=r/]\ +QN I n.W-zZ \t/
o = afl) + 4u - .4t 'u-z(\(/
s66t.81-77 ur/Nflt=I .LL_77
1660'.91-27, "t8',6',t1-ZztU (.6 e8 - ,9) sor 6ll'0: x '|.L-ZZ
sag L 'tL-zz 1660'01-77,
.t86'.69-ZZ wl.IJ9990',19-72
ujlu ts t .sg-zz ruu 6 st .€g-zz
uu (r8 urs 09f - ,91 t so3 001 + ,gL L urs lgt) : l 'zg-zz
slpvrz6l'I9-zzstpetq 6t ,69-zz ruu s 9[ '8s-zz
wvJgtL ,Ls-27, slpErgz'g .ss-27,
u (rZ uls 82600'0) = ", 'lS-72urul I9 l 'ts-zz
u (,r.e r_rtf,gO'0 * ,rr.s_a€€90'0-) = i '\S-ZZ
wur9 6z '09-zz stwt6l'0 '6t-zz
;- + rd sor g + ld urs V = ,( 'Lt-Zz ujt
.d,I-\ - r\a I
,o uts l----l--- + td sor g 1 ld urs y : .('09
wlro urs
og? = rld a i,'99-77
0:dtl9t+0'T?-ZZ\ I8Z',t?-(z zH9az'6e*zT.
s 19 r 'gg-zz zHzgt'Le-72j l8f'0 'st-zz s t960 'w-27
;/ r If ^,,., =: .tt-zz *,ttz=l.lt-zz -:)
P3r _ i\ ti = ! '0t-72 \ nt'i '62-zzzP + 'z:l I
u, Jl.l- =l'IZ-ZZ (,099) sor SOO -x
.yZ-Ztll I
]!4, =L .sz-zz pBrlu. \ ttt .tz-zzu7 1
___:.J
s89'Z'27.-77, s99r'0'tz-zz
s L(. t '6t-zz Llr'. - J .Bt.zztl
ruu [,, urs f 6Z - JiO _ s..,ul[-ot. r
.l(D so3
;J
u-' - i-0 c uls 9 91-l : ,( 'SV-ZZ
- rd so:r B + rd urs V : ,i 'tt-Zz
'9t-27,
'tt-zt
'0t-27.
'6-ZZ
'L-ZZ
'9-ZZ
J tc
{16 zz ) sor b o : o 'Lr-zz ;o!- u; l, ,, = ' z| z1ls et'?, 'tt-ZZ, ru/N 609 '3I Z ra
W, JL
-A - =/'lt-zz "t'el 1_l r
per [(196 t) sor 0Ot'0 + (rSO't) urs I0l'0-] = 0ruru Z6l '0 = .(1 99 + I
tu 88 0 'u ((rL'St) sor S0'0 - 0L SI) urs gE 0-) = (w (tZ'Z(, sor SZ0 0) : ( 'urur 9Z 'zH Eg'g
t,
eLz.IYOS NVSV,/!\Vi
Dosor Sioliko
Vektor KartesianA=Ari+Arj+A,k
Besar
Aralr
= cos cti +cos pj + cos 1kcos2q,+cos2B+cos2x=1
Perkalian Dot (titik)A.B =ABcos0
= ArB*+ ArBr+ A-Br,
Perkalian Cross (silang)
li j klC = ArB =lA. AI A-l
la, B, B.l
Vektor Posisi Kartesianr = ( x1- x1)i + (.y2 - ylf + Q2- z)k
Vektor Gaya Kartesian
F=Fu=Ffr'l(./Momen Gaya
Mo=Fd
Mp =rx
(u, uo,
M A =\u.(rrF) ,^ r,I
lF, r,Penyederhanaan SistemKopeI
Fn=IF
ZMr=0, ZMy
Gesekan
Statis hnaksimr.tm)
=o,ZM,=o
F, = P.rN
KinetikFF $N
Pusat GravitasiPartikel atau Bagian Diskrit
-_Z,w,- >,*
Benda
- yzaw
)ttwMomen Inetsia Massa dan Luasan
t=1r2dA I=1rzdm
Teorerua Sumbu Paralel
I=7+Ad| I=i+md2
Radius Gyrasi
l;o=l; k=
Kerja Virtual6U=0
A_
(Mn)o = XMo
Kesetimbangan
PartikelXF, = o, XF_,
Benda Pejal DuaXr^-= o, Xr.,,
Benda Pejal Tiga
XF, = o, XF.,
=0,XF-=0Dirnensi'
= O,LMr= O
Dimensi
=0,IF,=0,
A A,.4,,. A..u.=-= 'ir i+ -k^ A A A" A
xF=
Gay
Mo =r
Iomenertentt
MoTer
v
li j kllr. r,, ,,1
lo, F' r- |
a Terhadap Sumbu
u r-l..'lr.l
Gaya dan
f*
t
6-01
s-0L
€-01
oueu
oDIIrU
utu
ud
ru
I00 000 000'0
r00 000'0
100'0
ndas uulaqtay
oureBatu
eBrB
{hID
€0Ie0I601
000 I000 000 r
000 000 000 r
l.
\
s4!at4 ptxtauodsqa lnluag ttaladWX