04/22/2304/22/23 Seminario Optimización para la toSeminario Optimización para la toma de decisiones, Sevilla 5 de junima de decisiones, Sevilla 5 de junio de 2007o de 2007

11

Optimización en el Optimización en el Transporte Transporte FerroviarioFerroviario

Juan Antonio Mesa,Juan Antonio Mesa,

Universidad de Universidad de SevillaSevilla

Transporte FerroviarioTransporte Ferroviario

• • De pasajeros (largo, medio y corto De pasajeros (largo, medio y corto recorrido)recorrido)

• • De mercancíasDe mercancías

• • Urbano (tranvía, metro ligero, Urbano (tranvía, metro ligero, metro, cercanías, otros)metro, cercanías, otros)

Niveles de planificaciónNiveles de planificación

•• Estratégico (varios años): Estratégico (varios años): -Diseño de la red. Localización de -Diseño de la red. Localización de

estaciones y otras instalacionesestaciones y otras instalaciones - Adquisición de la flota- Adquisición de la flota• • TácticoTáctico - Elección de rutas, precios- Elección de rutas, precios• • OperacionalOperacional - Horarios, asignación de personal y - Horarios, asignación de personal y

flota, operaciones de recuperaciónflota, operaciones de recuperación

Agentes involucrados Agentes involucrados

•• Agencias gubernamentales (estatales, Agencias gubernamentales (estatales, regionales, locales) o semiautónomas regionales, locales) o semiautónomas (ADIF, RENFE)(ADIF, RENFE)

•• Empresas (de construcción, de operación)Empresas (de construcción, de operación)

•• UsuariosUsuarios

Problemas multiagente

Fases del proceso de Fases del proceso de planificaciónplanificación

Diseño de la red

Planificación de líneas

HorariosSecuenciación

de recursos

Patrones dedemanda

Diseño de la redDiseño de la red

• • Elección de arcos (aristas)Elección de arcos (aristas)

• • Localización de estacionesLocalización de estaciones

• • Localización de otras instalaciones:Localización de otras instalaciones:

cocheras, subestaciones, cocheras, subestaciones, intercambiadores, “park-and-ride”, intercambiadores, “park-and-ride”, etc.etc.

Diseño de la red, Localización Diseño de la red, Localización de estacionesde estaciones

• • Partiendo de la nada o de casi nadaPartiendo de la nada o de casi nada

• • Existe ya una red y se trata de Existe ya una red y se trata de extenderla o mejorarlaextenderla o mejorarla

• • Existe una red (o unos Existe una red (o unos alineamientos previstos) y se trata alineamientos previstos) y se trata de localizar las estacionesde localizar las estaciones

Diseño de la redDiseño de la red

Diseño de la redDiseño de la red

OBJETIVOS:OBJETIVOS:

• • Orientados a los departamentos de Orientados a los departamentos de planificación: Cobertura poblacional, cobertura planificación: Cobertura poblacional, cobertura de viajes, disminución de la congestión y de la de viajes, disminución de la congestión y de la polución, sostenibilidad, etc.polución, sostenibilidad, etc.

• • Orientados a las empresas: costes de Orientados a las empresas: costes de construcción, de material movil y de operaciónconstrucción, de material movil y de operación

• • Orientados a los usuarios: accesibilidad, tiempo Orientados a los usuarios: accesibilidad, tiempo de recorrido, etc.de recorrido, etc.

Diseño de la red: datosDiseño de la red: datos1. G0= (N;A0), posibles estaciones y arcos de la RTN.

2. G00= (N;A00) , posibles estaciones y arcos del modo alternativo.

3. a = (ni ;nj ) 2 A0, longitud di j .

4. ci coste de construir estaci¶on en ni , ca el coste de construir el arco a.

5. Cmax

6. Matriz de origen destino: G = (gw) : w 2 W; donde W es el conjunto depares ordenados: W = fw = (i; j ); ni ;nj 2 N g.

7. uR T Nw uC OM

w costes de satisfacer la demanda w en la RTN o el modocomplementario respectivamente.

8. Factor de congesti¶on ¹

Diseño de la red: variablesDiseño de la red: variables² yl

i = 1; si se construye estaci¶on en ni para la l¶³nea l.

² xli j = 1; si el arco a = (ni ;nj ) 2 A0 pertenece a la l¶³nea l 2 L.

² xi j = 1; si el arco a = (ni ;nj ) 2 A0 pertenece a la RTN.

² f wi j el °ujo normalizado dela demanda w 2 W a trav¶es del arco (ni ;nj ) 2

A0; de ni a nj ; f wi j 2 f0;1g:

² ' wij denotael °ujonormalizadodelademandaw 2 W atrav¶esde(ni ;nj ) 2

A00; de ni a nj , ' wi j 2 f0;1g:

² hl = 1; si se construye la l¶³nea l.

² pw = 1, si la demanda w es asignada a la RTN.

Diseño de la red: función objetivoDiseño de la red: función objetivo

zC OV E R =X

w=(p;q)2W

gwpw:

Diseño de la red: restriccionesDiseño de la red: restriccionesX

n i ;n j 2A 0;i<j

ci j xi j +X

l2L

X

n i 2N

ci yli · Cmax

Diseño de la red: restriccionesDiseño de la red: restricciones

xli j · yl

i ; (ni ;nj ) 2 A0; i < j ; l 2 LP

j 2N (i ) xli j · 2;ni 2 N;l 2 L

xli j · yl

j ; (ni ;nj ) 2 A0; i < j ; l 2 L hl +P

(n i ;n j )2A 0 i<j xli j =

Pn i 2N yl

i ; l 2 L

xli j = xl

j i ; (ni ;nj ) 2 A0; i < j ; l 2 L 12 ¡

P(n i ;n j )2A 0 i<j xl

i j + M hl ¸ 0; l 2 L

xli j · xj i ; (ni ;nj ) 2 A0; i < j ; l 2 L

Pn i 2B

Pn j 2B xl

i j · jB j ¡ 1;B µ N;jB j ¸ 2; l 2 L

xi j ·P

l2L xli j ; (ni ;nj ) 2 A0; i < j 1

2 ¡P

(n i ;n j )2A 0 i<j xli j + M (hl ¡ 1) · 0; l 2 L

Diseño de la red: restriccionesDiseño de la red: restriccionesP

(n i ;np )2A 0 f wip +

P(n i ;np )2A 00 ' w

ip = 0; w = (p;q) 2 W

P(np ;n j )2A 0 f w

pj +P

(np ;n j )2A 00 ' wpj = 1; w = (p;q) 2 W

P(n i ;nq )2A 0 f w

iq +P

(n i ;nq )2A 00 ' wiq = 1; w = (p;q) 2 W

P(nq ;n j )2A 0 f w

qj +P

(nq ;n j )2A 00 ' wqj = 0; w = (p;q) 2 W

P(n i ;nk )2A 0 f w

ik ¡P

(nk ;n j )2A 0 f wkj = 0; if k =2 fp;qg; w = (p;q) 2 W

P(n i ;nk )2A 00 ' w

ik ¡P

(nk ;n j )2A 00 ' wkj = 0; if k =2 fp;qg; w = (p;q) 2 W

f wi j + ' w

i j · 1; (ni ;nj ) 2 A; w 2 W

Diseño de la red: restriccionesDiseño de la red: restricciones

f wi j + pw ¡ 1 ·

Pl2L xl

i j ; (ni ;nj ) 2 A0; w 2 W

" + uw ¡ ¹ uC OMw ¡ M (1¡ pw) · 0; w = (p;q) 2 W

uw =P

(n i ;n j )2A 0 di j f wi j +

P(n i ;n j )2A 00 uC OM

i j ' wi j ,

M ;" > 0xl

i j ; xi j ; yli ; hl ; f w

i j ; ' wi j ; pw 2 f0;1g

Localización de estaciones: Localización de estaciones: modelos discretosmodelos discretos

Conjunto finito de estaciones potencialesConjunto finito de estaciones potenciales Maximización de la cobertura en áreas urbanas Maximización de la cobertura en áreas urbanas

((Laporte, Mesa, Ortega, 2002Laporte, Mesa, Ortega, 2002).). Área de captación dividida en secciones censales Área de captación dividida en secciones censales

(con densidades)(con densidades) Diferentes niveles de atracción dependiendo de la Diferentes niveles de atracción dependiendo de la

distancia a la estacióndistancia a la estación

Función objetivo:Función objetivo:B(xi ;rk) = fv : d(v;xi ) · rkg

maxP

i

Pj

Pk

a½j

(r k ¡ 1+ r k

2 )2Area((B ik nB i k¡ 1) \ cj )

Localización de estaciones: Localización de estaciones: modelos discretos modelos discretos (otros problemas)(otros problemas)

Minimizar el número de estaciones Minimizar el número de estaciones sometido a cobertura totalsometido a cobertura total

Minimizar la suma de los tiempos de Minimizar la suma de los tiempos de accesoacceso

Localización de estaciones: Localización de estaciones: modelos continuosmodelos continuos

Modelo de accesibilidad Modelo de accesibilidad (Hamacher, Liebers, Schöbel, D. Wagner, (Hamacher, Liebers, Schöbel, D. Wagner, F. Wagner, (2001))F. Wagner, (2001))

Localizar un conjunto Localizar un conjunto XX de estaciones en de estaciones en un conjunto de líneas para cubrir la un conjunto de líneas para cubrir la demanda del conjunto de ciudades.demanda del conjunto de ciudades.

Modelos de ahorro de tiempoModelos de ahorro de tiempo– Tiempo extra para los viajerosTiempo extra para los viajeros

– Tiempo ahorradoTiempo ahorradotextra(X ) =

Px2X swe(x)

tahorrado(X ) =P

p2P vpg(l2(p;s); l2(p;s [ X ))

Al diseñar una red de transporte…¡¡Tened en cuenta otros medios de transporte!! COMPETENCIA

Localización de estaciones: Localización de estaciones: competenciacompetencia

Formas de atacar el problemaFormas de atacar el problema

Minimizar el tiempo total de viajeMinimizar el tiempo total de viaje Cobertura de ciudadesCobertura de ciudades Cobertura de viajeCobertura de viaje

Un ejemploUn ejemplo

Planificación de líneasPlanificación de líneas

Planificación de líneasPlanificación de líneas Dada una red física de transporte Dada una red física de transporte RT=(V,E)RT=(V,E)

concon– Paradas: Paradas: VV– Conexiones directas: Conexiones directas: EE

Encontrar un conjunto de líneas, es decirEncontrar un conjunto de líneas, es decir– Determinar su númeroDeterminar su número– Las rutasLas rutas– Sus frecuenciasSus frecuencias

Tal queTal que– Maximice el número de clientes (o los capture Maximice el número de clientes (o los capture

todos)todos)– Minimice tiempos (acceso, ahorro en la red,…)Minimice tiempos (acceso, ahorro en la red,…)– Minimice costesMinimice costes

Planificación de líneasPlanificación de líneas

Concepto de línea Concepto de línea (L,f) L(L,f) L::conjunto de líneasconjunto de líneas f=(ff=(fll)) sus frecuencias sus frecuencias Cada arista tiene asociadas unas Cada arista tiene asociadas unas

frecuencias mínimas y máximas, frecuencias mínimas y máximas, ffllmin min

y fy fllmaxmax

La frecuencia de una arista con respecto a La frecuencia de una arista con respecto a un concepto de líneaun concepto de línea

f (e) =P

l :e2 l f l

Planificación de líneas: funciones Planificación de líneas: funciones objetivoobjetivo

Coste:Coste:

Coste=f(frecuencia, longitud, tiempo, coste por Coste=f(frecuencia, longitud, tiempo, coste por línea y por minuto)línea y por minuto)

Maximizar viajes directos:Maximizar viajes directos:

Tiempo de viaje:Tiempo de viaje:

X

l2L

costel

maxX

±i j 2 V;l 2 Lpi j 2 l

dli j

minP

wstT(Pst)

Horarios: primera formulaciónHorarios: primera formulaciónA partir de un grafo (Time-Space Graph)

V conjunto de nodos:

iU Nodos de llegada a la estación i

iW Nodos de salida de la estación itj AAA ......1

Dos tipos de arcos: arcos segmento, arcos estación

)...()...(},{ 112 ss WWUU

A, conjunto de arcos:

Ejemplo tiempo-distanciaEjemplo tiempo-distancia

RestriccionesRestricciones

El problemaEl problema

jA

Horario del tren jCamino “factible” de a con los arcos de

Horario generalConjunto de caminos “factibles”, a lo más un camino por cada tren.

1,0px Pp

1px Camino p en la solución

0px Caso contrario

jP

tPPP ...1

Caminos factibles del tren j

Variable binaria para cada camino factible de un tren.

Caminos factibles de todos los trenes

Tj MODELO B

FormulaciónFormulación

maxP

p2P ¼pxp

s.a.:P

p2P jxp · 1

Pw2W i :w1 · w<w1+d

Pp2P w xp · 1; i 2 S ¡ f sg;wi 2 W1

Pu2U i :u1· u<u1+a

Pp2P u xp · 1; i 2 S ¡ f1g;u1 2 Ui

Pj 2T

Pw2W i \ V j :wj

1 · w<wj2

Pp2P w

jxp · 1;

i 2 S ¡ f sg;wj1 2 W i ;

wj2 = gj (w1

1; :::;wt1); j 2 T

xp 2 f0;1g;p2 P

OTROS PROBLEMASOTROS PROBLEMAS Asignación de locomotorasAsignación de locomotoras

– Minimizar el número de locomotoras en usoMinimizar el número de locomotoras en uso– Minimizar costesMinimizar costes– Formulaciones de grafos y de IPFormulaciones de grafos y de IP

Asignación de vagonesAsignación de vagones– Minimizar el número de vagones en usoMinimizar el número de vagones en uso– Minimizar costesMinimizar costes– Formulaciones de grafos y de IPFormulaciones de grafos y de IP

Secuenciación del personalSecuenciación del personal– Set covering modelsSet covering models

Asignación de vías en ecuacionesAsignación de vías en ecuaciones– Complejidad computacionalComplejidad computacional– Formulación IPFormulación IP

Aparcamiento de los trenes cuando no operan (Shunting)Aparcamiento de los trenes cuando no operan (Shunting)– Formulación basada en teoría de grafosFormulación basada en teoría de grafos

FinFin

Gracias por su atenciónGracias por su atención