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21 Grundlagen für Zahnräder und Getriebe

a nrä er ü ertragen e re ewegung von e ner e e au e ne zwe te urc ormsc ussder im Eingriff befindlichen Zähne. Bei verschieden großen Zahnrädern wirken sie auch alsDrehmomentwandler. Durch den Formschluss können sie gegenüber Riementrieben erheb-lich höhere Kräfte übertragen, arbeiten jedoch nicht elastisch, kommen dafür aber mit we-sentlich kleineren Achsabständen aus.Dieses Kapitel gibt einen berblick über die Begriffe zur Beschreibung von Zahnrädern und

etr e en, as erza nungsgesetz un e ü c en erza nungsarten.

21.1 Rad- und Getriebearten

Es arbeiten immer ein tre en es Zahnrad und ein getr e enes Zahnrad zusammen, die eina paar en. e nac em, w e e c sen er e en ä er zue nan er egen, erge en

s c o gen e a grun ormen:. t rnra ¨ er (Zylinderräder) bei parallel liegenden Radachsen, und zwar Au enra paare

nach Bild 21.1a (Geradverzahnung) und b (Schrägverzahnung) und nnenradpaare nachBild 21.1c. Beim Innenradpaar heißt das innenverzahnte Rad o ra .

2. Zahnstangen als unendlich groß gedachte Stirnräder zur Umwandlung einer Drehbewe-

gung mittels eines Außenrades in eine hin- und hergehende geradlinige Bewegung nach. .

. ege ra ¨ er bei sich schneidenden Radachsen nach Bild 21.1e (Geradverzahnung) und f (Schrägverzahnung).

4. Schraubenra ¨ der bei sich kreuzenden Radachsen, und zwar nach Bild 21.1g in einem Stirn-rad-Schraubra erpaar, nach Bild 21.1h in einem Schneckenradsatz und nach Bild 21.1i ineinem Kegelrad-Schraubra erpaar.

Der Verlauf der Zähne wird nach dem Verlauf ihrer Flankenlinien gekennzeichnet. Unter einerFlankenlinie versteht man die Schnittlinie der Zahnflanke mit einem Zylinder beim Stirnradbzw. Kegel beim Kegelrad, dessen Achse mit der Radachse zusammenfällt. So kennt man:

1. Gerad-, Stufen-, Schräg-, Doppelschräg- und Kreisbogenzahn-Stirnräder (Bild 21.2)2. Gerad-, Schräg-, Spiral-, Evolventen- und Kreisbogenzahn-Kegelräder (Bild 21.3)

Nach DIN 8 8 (Allgemeine Begriffe und Bestimmungsgrößen) werden bezeichnet:. n e e ges er e en ä er e nes a paares a s a , as m t m gepaarte a a s

Gegenrad.2. Das kleinere der beiden Räder eines Radpaares als Ritzel oder Kleinrad, das größere als

Großrad. Das Ritzel erhält den Index 1, das Großrad den Index 2.. as treibende Rad mit dem Index a, das getriebene Rad mit dem Index b. Diese Unter-

scheidung ist in der Regel nur bei treibendem Großrad erforderlich.. s etr e ezug e ne om nat on von zwe o er me r a paaren, e m te nan er n

Wirkverbindung stehen (Bild 21.4).

. s etr e e e ne augruppe aus e nem o er me reren a paaren un em e a paareumschließenden Gehäuse oder Gestell, das die Lagerungen für die ortsfesten Radachsenträgt. In einem Getriebe können Größe und/oder Richtung von Drehbewegung und Dreh-

a nra er

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Za nrä er 558

Bild 21.1 Grundformen von Zahnrädern in Radpaaren je nach Lage der Radachsen zueinander

a) Stirnradpaar, geradverzahnt, b) Stirnradpaar, schrägverzahnt, c) Innenradpaar,d) Zahnstangenradpaar, e) Kegelradpaar, geradverzahnt, f) Kegelradpaar, schrägverzahnt,

) Stirnrad-Schraubräderpaar, h) Schneckenradsatz, i) Kegel-Schraubräderpaar

Bild 21.2 Zahnverlauf an Stirnrädern (auf dem abgewickelten Zylindermantel)a) Geradzähne, b) Stufenzähne, c) Schrägzähne, d) Pfeilzähne (Doppelschrägzähne),e) Kreisbogenzähne

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moment in einer oder mehreren Getriebestufen umgewandelt werden. Man kennt einstufi-ge und mehrstufige Getriebe, in denen jedes Radpaar eine Stufe darstellt.

. Als Standgetriebe ein Getriebe, bei dem alle Radachsen lagenunveränderlich drehbar gela-gert sind.

7. Als m au - oder anetengetr e e ein Getriebe nach Bild 21.5 mit mindestens drei inr r c tung ntere nan er angeor neten a nrä ern, e enen e a ac sen zwe er

Räder koaxial angeordnet sind und das dritte Rad als Zwischenrad ( m au ra , aneten-rad) in einem um die koaxialen Radachsen drehbaren Steg (Planetenradtra ¨ ger) gelagert istund mit dem Steg umläuft. In Sonderfällen kann anstelle des Hohlrades ein Außenrad ver-wendet werden. In diesem Fall trägt die umlaufende Achse des Steges zwei fest miteinan-der verbundene außenverzahnte Zwischenräder. Der Umlaufgetriebezug besteht dann auszwe n r r c tung ntere nan er angeor neten u enra paaren, von enen e e enn c t m te nan er ver un enen u enrä er oax a s n .

Die bersetzung eines Radpaares ist das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeit a oder der

Drehzahl a des treibenden Rades zur Winkelgeschwindigkeit b oder Drehzahl b des ge-tr e enen a es:

ersetzung ¼ a

b¼

a

b:

e e nem u enra paar a en e e en ä er entgegengesetzten re s nn. es a stihre bersetzung egat v. e m nnenra paar a en e e ä er g e c en re s nn, rebersetzung ist positiv. Bei j j > 1 spricht man von einer bersetzung ins Langsame, beij j

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e o ra ¨ ern st 2 negat v, so ass nnenra paare e nnegatives Zähnezahlverhältnis u haben. Es ist stetsj j 1.

egriffe und Bestimmungsgrößen sind genormtDIN 39 0, DIN 3971, DIN 3998).

21.2 Verzahnungsgesetz

ild 21. zeigt ein im Eingriff befindliches Zahnrad-aar. Man stellt sich die Stirnräder zunächst wie bei ei-

nem Reibradpaar als glatte Zylinder vor, von denender treibende Zylinder den getriebenen ohne Gleitenmitnimmt, sodass sich beide ohne Schlupf aufeinandera wä zen. n esen y n ern en t man s c e er-a nung te s er ö t, te s vert e t ange rac t. -

geme n e en e ge ac ten äc en, e s c o neSchlupf abwälzen, Wälzflächen, in Stirnrädern Wälz-ylinder. In der Ebene erscheinen die Wälzflächen als

Linien, in Stirnrädern als alzkreise nd wBild 21. ).we ä z re se erü ren s c m a zpun t , er

au er er n ungs n e er tte pun te er äm-men en ä e r egt. e m angsgesc w n g e t er

älzkreise an beiden Rädern ist dann dem Betrag nachgleich:

m angsgesc w n g e t er ä z re se wj ¼ w1 d w2 2

w in m/s Umfangsgeschwindigkeit der Wälzkreise,1 in m Wälzkreisdurchmesser des Kleinrades (Ritzels),2 in m Wälzkreisdurchmesser des Großrades,

n1 in s1 Drehzahl des Kleinrades,n in s1 Drehzahl des Großrades.

araus o gt ür e n a paar m t tre en em e nra er etrag er

ersetzung j a

b ¼ ¼ d w2

d w1 ¼ w2

w1 ¼ 2

1 ¼ , :

e e ä neza en 1 un 2 en ä z re s urc messern w1 n w2 re t proport onas n . e tre en em ro ra st j ¼ 1 2 .

e a n an en 1 n 2 (Bild 21. ) müssen so geformt sein, dass sie einen kontinuierli-chen Bewegungsablauf gewährleisten, d. h. sie müssen bestimmten kinematischen Gesetzengehorchen. In Bild 21.7 ist hierzu ein Flankenpaar in drei verschiedenen Bewegungsphasengezeigt. Das in Pfeilrichtung bewegte Rad 1 nimmt das Rad 2 mit, sodass zwangsläufig die

eiden gekrümmten Flanken in Kontakt bleiben. Es berühren sich jeweils die Flankenpunk-e 1 un 2. er un t 1 es tzt e so utgesc w n g e t v1 er un t 2 e so-utgesc w n g e t v2. e e toren von v1 n v ste en ewe s sen rec t au en a en

1 un . urc en erü rpun t er e en an en s n e ne angente un e ne or-male N (senkrecht zu T) gezogen. Zerlegt man nun die Absolutgeschwindigkeiten v1 und vn Tangential- und Normalgeschwindigkeiten vt und vn zw. vt und vn , so zeigt sich nach

Za nrä er 560

Bi d 21. Wä z reise und derenUmfangsgesc windig eit,Punktberührung der Flankenin der Eingriffsebene

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en esetzen er nemat , ass eorma gesc w n g e ten 1 un n2 n

e er ewegungsp ase g e c gro s n !Bei willkürlich geformten Flanken wirdaber das Rad 2 trotz gleichförmigerDrehbewegung des Rades 1 ungleichför-mig bewegt. Das darf selbstverständlich

e a nrä ern n c t gesc e en. u erer erü r e ngung, ass e orma -

gesc w n g e ten 1 un n2 n e erBewegungsphase gleich groß sein müs-sen, muss auch ¼ / konstant blei-ben.

In Bild 21.8 sind die willkürlich geformtenä ne e nes a paares m ngr ar-

geste t. e erü ren s c momentan m ten e en an enpun ten 1 n 2

Das Rad 1 dreht sich mit der Winkel-geschwindigkeit , das Rad 2 mit . erPunkt B1 bewegt sich somit momentanmit der Umfangsgeschwindigkeit (Abso-lutgeschwindigkeit) v1 1 1, er un t

2 m t 2 2. e e ste en a s e -oren jeweils senkrecht auf den zugehöri-

gen Radialstrahlen R1 nd R Zum Prüfender Berührbedingung wird durch den Ber-

ührpunkt eine Tangente T gelegt und zudieser eine Normale N errichtet. Die Zer-egung n angent a - un orma gesc w n-

run agen ür Za nrä er un etrie e 561

Bild 21.7 Geschwindigkeiten der Berührpunkte B1 und B2 zweier Radflanken

Bild 21.8Geschwindigkeitsverhältnisse bei Berührungwillkürlich geformter Flanken

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g e ten ze gt, ass e ge or erte e ngung n1 n2 n c t er ü t st. e angenommenenZahnflanken sind falsch geformt!

ie Normalgeschwindigkeiten vn1 und vn kann man als Umfangsgeschwindigkeiten an denRadien nd auffassen, weil aus den geometrischen Verhältnissen vn ¼ ndvn2 ¼ b2 2 folgt. Bei vn1 ¼ vn2 muss b1 1 ¼ b2 2 sein. Mit ¼ 1 2 ird auch

j j ¼ b2 b1 0

w20

w1. a au er em j j ¼ w2 w1 st, muss w20

w1 ¼ w2 w1 se n. araus ge tervor, ass e vn1 vn2 die bersetzung nur ann onstant e t, wenn s c er un tm t em ä zpun t ec t, a so 0w1 w1 un

0w w2 s n . ese nemat sc en oraus-

setzungen führen zum Verzahnungsgesetz:ie Normale im jeweiligen Beruhrungspunkt (Eingriffspunkt) zweier Zahnflanken muss stets

urc en alzpunkt C gehen.

ieses Gesetz stellt die Aufgabe, kinematisch richtig geformte Zahnflanken zu finden.ild 21.9a zeigt hierzu die Wälzkreise w nd w eines Radpaares und eine willkürlich gestal-

ete Flanke F1 am Rad 1, zu der die zugehörige Flanke F2 am Rad 2 gefunden werden soll.oraussetzung für die (willkürliche) Gestaltung von F1 ist jedoch, dass sämtliche Normalen N

u er an e en ä z re s w1 schneiden (Bild 21.9a), da sonst das Verzahnungsgesetz nicht

er ü t wer en ann. est ste t erner n, ass s c e e an en m ä zpun t erü renmüssen, we o er- o er unter a von e orma e n c t me r urc ge en ann.

Aus der gegebenen Flanke sei ein beliebiger Punkt B nach Bild 21.9b herausgegriffen, durchdiesen eine Tangente T gelegt und eine Normale N errichtet. Die Normale N schneidet den

älzkreis w1 im Punkt W1. Zu diesem wird der zugehörige Punkt W am Wälzkreis w2 -ert, so ass er ogen 2 g e c em ogen 1 st. un en t man s c e e ä er n

e r c tung so we t ge re t, s s c e un te 1 n m ä zpun t tre en. nesem ugen c ge t e orma e zw. trec e n urc en ä zpun t , un e ge-

gebene Flanke befindet sich in der gestrichelt gezeichneten Position. Ihr Punkt B ist nach B

Za nrä er 562

Bild 21.9 Ermitteln der Gegenflanke F2 zu einer gegebenen Flanke F1

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gewan ert. n eser te e muss s c er un t 1 m t e nem un t 2 er egen an eberühren (weil N durch C geht), d. h. in B muss sich der Punkt B1 mit einem Punkt B2 derGegenflanke F treffen.Wenn man sich beide Räder nach Bild 21.9c um den gleichen Betrag zurückgedreht denkt,dann bewegt sich der in C befindliche Punkt des Rades 1 wieder nach W1, der des Rades 2

nac e n e n c en nac 1 un . er gesuc te un t 2 an er egen an e2 muss von 2 en g e c en stan n a en w e von un w e 1 von 1, we s c ae re trec en n ec en, wenn s c 1 n 2 n erü ren.

Führt man diese Konstruktion mit vielen Punkten B1 an der Fußflanke bzw. D1 an der Kopf-flanke der gegebenen Flanke F1 durch, so findet man eine Reihe von Punkten B bzw. D ,deren Verbindungslinie die gesuchte Flanke F liefert, die in jeder Bewegungsphase mit dergegebenen Flanke F das Verzahnungsgesetz erfüllt (Bild 21.9d).Wenn sämtliche Eingriffspunkte B und D, in denen sich jeweils die zugehörigen Flanken-pun te 1 n 2 zw. 1 n 2 erü ren, ver un en wer en, so entste t e ngr s n e

räum c gese en e ngr s a ¨ c e o er as ngr s e . e ngr s n e st e a so-lute Bahn des Beru ¨ hrpunktes (Eingriffspunktes).

Andererseits wandert der Berührpunkt auch auf jeder Zahnflanke entlang: Die Zahnflankensind die relativen Bahnen des Beru rpun tesAus den vorstehenden Darlegungen geht hervor, dass zu einer gegebenen Zahnflanke eineganz est mmte egen an e un e ne est mmte ngr s n e ge ören. mge e rt ge örtzu e ner gege enen ngr s n e e n est mmtes a n an enpaar. egen er n e t c e tun e ner w rtsc a t c en ert gung w r er ngr s n e e ne rege mä ge orm gege en.


Bild 21.10 Zykloidenverzahnunga) Entstehung der Kopfflanke am Rad 2, b) Entstehung der Fußflanke am Rad 1,c) Entstehung der Fußflanke am Rad 2, d) Entstehung der Kopfflanke am Rad 1

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. y o enverza nung

esteht die Eingriffslinie g aus zwei Kreisbogen, dann ergibt sich eine ZykloidenverzahnungBild 21.10). Die Kreise, deren Bögen die Eingriffslinie bilden, sind die Rollkreise r nd r .ie Kopfflanke des Rades 2 ( op an e Flanke vom Wälzkreis w bis zum Kopfkreis a)

entste t , wenn man en o re s r1 au em ä z re s w2 a ro t, . . w2 a s run re senutzt (Bild 21.10a). Die Bahn, die ein am Rollkreis befindlicher Punkt beschreibt, der sich

m t em ä zpun t ec te, s t a s p zy o e e gesuc te op an e. e n et s c erRollkreis r n der Position 10 dann ist momentan die Strecke B ¼ der erzeugendeKrümmungsradius der Zykloide und als dieser gleichzeitig die Normale zum Punkt B .

er Bogen CW2 ist gleich dem Bogen B2 . Wenn das Rad 2 so weit in Pfeilrichtung ge-re t w r , s s c 2 m t ec t, ann äu t e orma e urc en ä zpun t , unegt au er ngr s n e, . . e n et s c n . araus o gt, ass er ogen g e cem ogen 2 st.urch Abrollen des Rollkreises r1 auf dem Wälzkreis w1 entsteht die Fußflanke des Rades 1ußflanke ¼ Flanke vom Wälzkreis w bis zum Fußkreis f) als ypozykloide (Bild 21.10b).

as Abrollen sei um den Bogen CW mit dem Betrag des Bogens CW auf dem Wälzkreis1 erfolgt, sodass die Strecken B1 1 ¼ 1 ¼ 2 2 dem erzeugenden Krümmungsradius sind.enkt man sich das Rad 1 in Pfeilrichtung so weit gedreht, bis sich W 1 mit C deckt, dann

äu t e orma e urc en ä zpun t , un 1 st nac gewan ert. 1 n ommennac re en e er ä er um e ögen 1 2 n zur erü rung, wo e s c ort

ec en en orma en urc en ä zpun t au en. am t st e c t g e t er onstru -ion bewiesen. Die Entstehung der verschiedenen Zykloiden siehe Bild 21.11.

Za nrä er 564

Bild 21.11 Entstehung der Zykloiden zyklische Kurven)a) Epizykloide, b) Hypozykloide, c) Orthozykloide

Bild 21.12 DoppelseitigeZykloidenverzahnung(nach DIN 868)a Epizykloiden,b Hypozykloiden,c Orthozykloide,d Rollkreis,e Wälzkreis,f Wälzgerade,g Stirnrad,

h Zahnstange

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t em o re s r ist sinngemäß zu verfahren (Bilder 21.10c und d). Es ergeben sich danndie Fußflanke des Rades 2 und die Kopfflanke des Rades 1.Hervorgehoben sei, dass die Krümmungsradien der beiden Flanken einer Zykloidenverzah-nung im jeweiligen Berührpunkt gleich groß sind, d. h. jeweils r ¼ rDie Eingriffslinie wird durch die an den Kopfkreisen a1 nd a2 der Räder liegenden Punkte

A (Anfang) und E (Ende) begrenzt und heißt in dieser Länge ngr sstrec e. u er aeser e en op re spun te ann e n ngr me r statt n en.n e t es: e er oppe se t gen y o enverza nung egen e e en o re -

se innerhalb der Wälzkreise eines Radpaares (Bild 21.12). Sie berühren sich im Wälzpunktund bilden die Eingriffslinien. Bei einer Zahnstange sind die Profile von Kopf- und Fußflan-ken Orthozykloiden (die Rollkreise rollen auf einer Geraden ab).Bei der einseitigen Zykloidenverzahnung ist nur ein Rollkreis vorhanden. Die Verzahnungbesteht bei einem der beiden Räder nur aus Kopfflanken, bei dem Gegenrad nur aus Fuß-

an en.egen er e ngung, ass e o re se urc en ä zpun t ge en müssen, s n y o -

denverzahnungen gegen Achsabstandsänderungen des Radpaares empfindlich.

Die un tverza nung ist eine einseitige Zykloidenverzahnung, bei der der Rollkreis mit ei-nem Wälzkreis zusammenfällt. Die Kopfflanken des einen Rades sind Epizykloiden, die Fuß-flanken des Gegenrades schrumpfen zu Punkten zusammen.

ur ea s erung eser erza nungen wer en e un te zu re sen erwe tert, e urcr e stoc e (zylindrische Bolzen, Zapfen, Zapfenrollen oder Nadeln) verwirklicht werden.

e r e stöc e s n au em ä z re s Teilkreis des Triebstockrades (bzw. auf der Wälz-geraden ¼ eilgeraden der Triebstock-Zahnstange) angeordnet (Bild 21.13). Die Profile derGegenflanken entstehen als quidistanten zu den Epizykloiden (als zu ihnen gleichwertigeKurven). Diese Verzahnungen heißen riebstockverzahnungen.Wird aus dem die Zapfen tragenden Triebstockrad eine Triebstock-Zahnstange, dann gehendie Epizykloiden des Gegenrades und ihre quidistanten in Evolventen über (Begriff derEvolvente siehe Abschnitt 21.4).

e y o enverza nung at ür en asc nen au, m t usna me er r e stoc verza -nung, e ne e eutung. es a w r s e n c t we ter e an e t.

e n en ra te ngr ge angen en an en nennt man Ar e ts an en o er a t ve an en.

Es kommt jeweils die Rechtsflanke eines Zahnes mit der Linksflanke des Gegenzahnes zurBerührung. Allen Verzahnungen ist gemeinsam, dass niemals zwei Kopf- oder zwei Fußflan-

en zur eruhrung kommen!


Bild 21.13 Triebstockverzahnung(nach DIN 868)a Zykloide,b Evolventen,

Aquidistante zurZykloide,

d Wälzkreis ¼ Teilkreis,e Wälzgerade ¼ Teil-

erade,f Triebstockrad,Triebstock-Zahn-stange,

h Triebstock-Gegen-rad,

i Eingriffsstrecke

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