9 series de fourier
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fouriTRANSCRIPT
-
1Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro Gonzlez
-
2...3
)3(2
)2()(
)(2
)(1
+++
=== =
tsentsentsen
nntsenttf
n
La primera serie de Fourier de la historia
Euler
1744 escribe en una carta a un amigo:
Es cierto?
Observemos que en t = 0 hay problemas /2 = 0
La clave est en el concepto de funcin peridica.
-
3Funciones PeridicasUna funcin peridica f(t)
cumple que para todo
valor de t:f(t) = f(t
+ T).
Al valor mnimo, mayor que cero, de la constante T
que cumple lo anterior se le llama el periodo
fundamental (o simplemente periodo) de la funcin.Observa que:
f(t) = f(t
+ nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...
Cuestin: Es f(t) = cte. una funcin peridica?
-
4Ejemplo: Cul es el periodo de la funcin
Si f(t)
es peridica se debe cumplir:
Como cos(t
+ 2k) = cos(t)
para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1
y T/4 = 2k2
.Es decir:
T = 6k1
= 8k2
con k1
y k2
enteros.El valor mnimo de T se obtiene con k1
= 4, k2
= 3, es decir, T = 24.
?coscos 43 )()(f(t) tt +=
)()(T)f(t TtTt 43 coscos ++ +=+ )()(f(t) tt 43 coscos +==
-
5Grfica de la funcin
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f
(
t
)
24
T
)()(f(t) tt 43 coscos +=
-
6Es la suma de dos funciones peridicas una funcin peridica?Depende. Consideremos la funcin:
f(t) = cos(1
t) + cos(2
t).
Para que sea peridica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
1
T = 2 m y 2
T = 2 n.Es decir, que cumplan:
T = m/ (2 1
) = n/ (2 2
)nm=
2
1
-
7Ejemplo: para la funcin cos(3t) + cos((+3)t) tenemos que
Es peridica?+=
3
32
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+)t)
t
f
(
t
)
-
8Para que exista periodicidad 1
/ 2
debe ser un nmero racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las siguientes funciones, si es que son peridicas:
1)
f(t) = sen(nt), donde n es un entero.2)
f(t) = sen2(2t)
3)
f(t) = sen(t) + sen(t
+ /2)4)
f(t) = sen(1
t) + cos(2
t)5)
f(t) = sen(2 t)
-
9Si f1 (t) tiene periodo T1 y f2 (t) tiene periodo T2 , es posible que f1 (t) + f2 (t) tenga periodo T < min(T1 ,T2 )?
T1
= 5
T2
= 5
T = 2,5
-
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeo como queramos. Sea N
un entero, y definamos:
-
11
Puede una funcin f(t)
cumplir la condicin f(t) = f(t
+ T)
para todo t
y no tener un periodo
fundamental?
=
enterounes nosi0enterounessi1
)(1 tt
tf
1enterossonnoysi0enterossonysi1
)()( 11
=
++=+=
TTtt
TttTtftf
-
12
=
enterounesoirracionalessi0enterounnoperoracionalessi1
)(2 tt
tf
1enterosoesirracionalsonysi0enteros noperoracionalessonysi1
)()( 22
=
++=+=
TTtt
TttTtftf
=+
irracionales si0racionalessi1
)()( 21 tt
tftf
T = ?
-
13
...3
)3(2
)2(2
+++= tsentsentsent
Cmo lo alcanz?
Volvamos al resultado de Euler:
++=
+++=...)(
...)(32
32
titiit
titiit
eetSeeeetS
ttseni
eetS it
it
cos121
21
1)( +==
{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos...)(
21
32
+++++++=+++=
tsentsentsenittteeetS titiit
2;
4...
71
51
311
2
21...
3)3(
2)2(
4
=+=++=
+=+++
CCt
Cttsentsentsen
Integrando trmino a trmino:
Utilizando la frmula de Euler
para cada trmino:
Particularizamos tpara encontrar C:
-
14
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
...3
)3(2
)2(2
+++= tsentsentsent
...3
)3(2
)2()(22
...3
)3(2
)2()(2
=+
+++=+
tsentsentsent
tsentsentsent
-
15
(1) La funcin de Euler
es peridica de periodo T = 2.
(2) La serie es una funcin impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2, la serie aproxima a (-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximacin no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos ltimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
-
16
-
17
-
18
-
19
Joseph FourierEn diciembre de 1807 Joseph Fourier present un sorprendente artculo a la Academia de Ciencias en Pars. En l afirmaba que cualquier funcin puede escribirse en forma de serie trigonomtrica semejante al ejemplo de Euler.
Polmica: Joseph-Louis Lagrange
(1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo as era simplemente imposible...
Jean Baptiste
Joseph Fourier 1768-1830
-
20
-
21
Fourier bas su trabajo en el estudio fsico de la ecuacin del calor o de difusin:
Describe cmo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlnticos, edad de la Tierra,...
tu
kxu
=
12
2
-
22
Serie trigonomtrica de FourierAlgunas funciones peridicas f(t)
de periodo
T
pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonomtrica de Fourier
Donde 0 = 2/T se denomina frecuencia fundamental.
])()cos([)(1
00021
=++=
nnn tnsenbtnaatf
...)3()2()(......)3cos()2cos()cos()(
030201
030201021
++++++++=
tsenbtsenbtsenbtatataatf
-
23
...3
)3(2
)2(2
+++= tsentsentsent
])()cos([)(1
00021
=++=
nnn tnsenbtnaatf
a0 = 0, a1
= 0, a2
= 0 ...
b1
= 1, b2
= 1/2, b3
= 1/3,...
-
24
Cmo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una funcin peridica f(t),
cmo se obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes a0
,a1
,a2
,...,b1
,b2
,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
]t)sen(nbt)(n[aaf(t)n
nn=
++=1
00021 cos
-
25
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto {fk
(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b
si
dos funciones cualesquiera fm
(t), fn
(t)
de dicho conjunto cumplen:
== nmparar nmparadt(t)(t)ff n
b
anm
0
-
26
Ejemplo: las funciones t
y t2
son ortogonales en el intervalo 1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t
y cos t
son ortogonales en el intervalo < t
-
27
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2
< t < T/2
:
{1, cos(0
t), cos(20
t), cos(30
t),..., sen(0
t), sen20
t, sen30
t,...}
con 0
= 2/.
-
28
Vamos a verificarlo probndolo a pares:
1.-
f(t) = 1
vs.
cos(m0
t):
Ya que m
es un entero.
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
20
===
==
m
sen(mm
)T/sen(mm
t)sen(mt)dt(mT/
T/T/
T/
0
= 2/
-
29
2.-
f(t) = 1
vs.
sen(m0
t):
3.-
cos(m0
t) vs. cos(n0
t):
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
20
==
==
)]T/(m)-T/(m[
m
mt)(mt)dtsen(m
T/
T/T/
T/
==
02/0
t)dtt)cos(ncos(m2/
2/00 nmparaT
nmparaT
T
cos A cos B = [cos(A+B)+cos(A-B)]cos2 = (1+cos2)
0
= 2/
-
30
4.-
sen(m0
t) vs. sen(n0
t):
5.-
sen(m0
t) vs. cos(n0
t):
m,ncualquierparat)dt(nt)sen(mT/
T/
0cos2
200 =
==
0202
200 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nsen(m
T/
T/
sen A sen B = [-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2
A = (1-cos2)
sen A cos B = [sen(A+B)+sen(A-B)]
-
31
Cmo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad
que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(0
t), cos(20
t), cos(30
t),..., sen(0
t), sen20
t, sen30
t,...}con 0
= 2/, en el intervalo -T/2
< t < T/2
, para calcular los coeficientes a0
,a1
,a2
,... , b1
,b2
,... de la serie de Fourier:
]t)sen(nbt)(n[aaf(t)n
nn=
++=1
00021 cos
-
32
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(m0
t)
e integrando de T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)cos()(2/
2/0
2 ==
mdttmtfaT
TTm
=
=
+
+=
1
2/
2/00
1
2/
2/00
2/
2/002
12/
2/0
cos
coscos
cos)cos()(
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
T
T
t)dt(mt)sen(nb
t)dt(mt)(na
t)dt(madttmtf
0
0, si m
0
0, si m
0T/2, si m = n
-
33
Observa que el caso anterior no incluye a a0
, m = 0que debemos tratar a parte:
=2/
2/0 )(
2 T
T
dttfT
aTa
t)dt(mt)sen(nb
t)dt(mt)(na
t)dt(madttmtf
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
T
T
0
1
2/
2/00
1
2/
2/00
2/
2/002
12/
2/0
21
cos
coscos
cos)cos()(
=
+
+=
=
=
0
T, si m = 0
0, si m
0T/2, si m = n
-
34
Similarmente, multiplicando por sen(m0
t)
e integrando de T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)()(2/
2/0
2 ==
mdttmsentfbT
TTm
=
=
+
+=
1
2/
2/00
1
2/
2/00
2/
2/002
12/
2/0
cos
)(
n
T
Tn
n
T
Tn
T
T
T
T
t)dtt)sen(msen(nb
t)dtt)sen(m(na
t)dtsen(madtt)sen(mtf0
0
0, si m
0T/2, si m = n
-
35
Un ejemplo histricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la funcin de onda cuadrada de periodo T:
La expresin para f(t)
en T/2
< t < T/2
es:
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
-
36
Coeficiente
a0
:
=2/
2/
10 )(
T
TT dttfa
+=
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
+=
0
2/
2/
02
T
TT tt 0=
-
37
Coeficientes
an
:
=2/
2/0
2 )cos()(T
TTn dttntfa
+=
2/
00
0
2/0
2 )cos(1)cos(1T
TTn dttndttna
0)(1)(1
0
2/
002/
0
00
2 =
+=
T
TT tnsenn
tnsenn
0para n
-
38
Coeficientes bn
:
=2/
2/0
2 )()(T
TTn dttnsentfb
=
+=
2/
00
0
2/0
2 )()(T
TTn dttnsendttnsenb
=
0
2/
002/
0
00
2 )cos(1)cos(1T
TT tnn
tnn
[ ])1)(cos())cos(1(1 = nnn[ ] 0para))1(12 = n
nn
-
39
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armnicos 3, 5 y 7, as como la suma parcial de estos primeros cuatro trminos de la serie para 0 = (0
= 2/), es decir, T = 2:
[ ]( )
==
+++=
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4)(
ntnsen
ntf
tsentsentsentf
-
40
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
C
o
m
p
o
n
e
n
t
e
s
Sumafundamentaltercer armnicoquinto armnicosptimo armnico
[ ]...)5()3()(4)( 0510310 +++= tsentsentsentf
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
-
41
Nota:Para expresarse como serie de Fourier
f(t),
no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde est definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad
de las funciones seno y
coseno no slo se da en el intervalo de T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:
de t0
a t0 + T, con t0
arbitrario,
con el mismo resultado.
-
42
Habamos calculado los coeficientes para:
-
43
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la funcin, ser
lo
mismo:
1f(t)
t
. . . t0 t0 +T . . .-1
====+
TT
Tt
tT
T
T
T
TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22
0
22/
2/
10
0
0
=== T
T
T
TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 02
2/
2/0
2
=== T
T
T
TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 02
2/
2/0
2
-
44
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
2)( ttf =
la funcin con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler
tena razn.
-
45)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3)()(2
1 si ,01 si ,1
)cos())3cos(1(3)cos()(2
2))3cos(1(3)(2
01
01
32
000
32
000
32
00
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
nn
dttntdttntfT
a
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
+=++=
=+==
==+==
=+==
=
=
32 periodo de )3cos(1)( =+= Tttf
Calcula la serie de Fourier de la funcin peridica:
La serie es la propia funcin...
-
46
Nota:
a partir de ahora entenderemos que f(t)
est definida slo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende peridicamente, con periodo T igual al intervalo de definicin. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una funcin. La serie de Fourier
extender peridicamente los patrones siguientes:
t
t
Extensin par
Extensin impar
-
47
Funciones Pares e Impares
Una funcin (peridica o no) se dice funcin par (o con simetra par) si su grfica es simtrica respecto al eje vertical, es decir, la funcin f(t) es par si
f(t) = f(-t)
2
f(t)
t 2
-
48
En forma similar, una funcin f(t) se dice funcin impar (o con simetra impar), si su grfica es simtrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente:
-f(t) = f(-t)
2
f(t)
t 2
-
49
Ejemplo: Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solucin:Como f(-t) = -t -
1/t = -
f(t),
por lo tanto f(t)
es
funcin impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t),
por
lo tanto g(t)
es funcin par.
-
50
Ejemplo: La funcin h(t) = f(1+t2)
es par o impar? (f
es una funcin arbitraria).
Solucin:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2
= 1 + t2 = g(t),
finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es funcin par, sin importar como sea f(t).
-
51
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) -
(1+t2)1/2
etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
-
52
Si
f (x)
es
par:
= a dxxf0
)(2
a
a
dxxf )(
a dxxf0
)(
a-a
a
a
dxxf )(
-
53
Si
f (x)
es
impar:
0=
a
a
dxxf )(
a-a
a
a
dxxf )(
-
54
Como la funcin sen(n0
t)
es una funcin impar
para todo n y la funcin cos(n0
t)
es una funcin par
para todo n, es de esperar
que:
Si f(t)
es par, su serie de Fourier no contendr
trminos seno, por lo tanto
bn
= 0 para todo n.
Si f(t)
es impar, su serie de Fourier no contendr
trminos coseno, por lo tanto
an
= 0 para todo n.
-
55
Por ejemplo, la seal cuadrada, que hemos analizado:
Es una funcin impar, por ello su serie de Fourier no contiene trminos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
[ ]...)5()3()(4)( 0510310 +++= tsentsentsentf
-
56
P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier
de las funciones
== xxxgxxf en cos)(y sin)(Respuesta.
[ ]=
++=1
0 )sin()cos(2
)(n
nn nxbnxaaxf
f(x) = |sen(x)|, x
[-,], 2
peridica
Funcin par desarrollo en cosenos, bn
= 0
-
57
[ ][ ]1)1cos(
121
)1sin()1sin(1
)cos(sin2)cos()(1
2
0
0
=
=++=
===
nn
dxxnxn
dxnxxdxnxxfan
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;4 20 === nn anaa
-
58
14)2cos(42sin 2
1 =
= nnxx
n f(x) = |cos(x)|, x
[-,], 2
peridica
Funcin par desarrollo en cosenos, bn
= 0
[ ]
++=
=== 2/
0
2/
0
)1cos()1cos(2
)cos(cos4)cos()(1
dxxnxn
dxnxxdxnxxgan
-
59
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;4 20 === nn anaa
14)2cos()1(42cos 2
1 =
= nnxx
n
n
-
60
Onda triangular (Triangle Wave)
+++ "222 55cos
33cos
1cos4
2xxx
-
61
Right Triangular Wave
+ "33sin
22sin
1sin2 xxx
-
62
Saw Tooth Wave
+++ "33sin
22sin
1sin2 xxx
-
63
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
-
64
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
+= =
)cos()1(21)()cos(1
22 tnnsent
n
n
y con
= 1/2.
=
+=1
22
)1(21)( n
n
nsen
=
= +=
+=1
21
22 41)1(42
)2/1()1(2
n
n
n
n
nn
-
65
O que si tomamos t =
entonces:
+= =
)cos()1(21)()cos(1
22 tnnsent
n
n
-
66
Que la integral traspase los sumatorios
en la deduccin de las frmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qu es convergencia uniforme.
Sea la serie infinita:
y definamos sus sumas parciales como:
Convergencia uniforme
=
=1
)()(n
n xuxS
=
=k
nnk xuxS
1)()(
-
67
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si
> 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
NkxfxSk >
-
68
(1) Si cada trmino un
(x)
de una serie es continuo en (a, b)
y la serie es uniformemente
convergente a f(x), entonces:
(a) f(x)
es tambin continua en (a, b).
(b) =
==
11)()(
n
b
a n
b
an
n dxxudxxu
(2) Si cada trmino un
(x)
de una serie posee derivada en (a, b)
y la serie derivada es
uniformemente convergente, entonces:
=
==
11)()(
nn
nn xudx
dxudxd
-
69
Cmo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresin "cerrada" para Sk
(x)
y aplicar la definicin o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn
}n
= 1, 2,...
tq. |un
(x)| Mn
y adems
=
=
11nteuniformemeconverge)(converge
nn
nn xuM
-
70
nteuniformemeconverge6
1
1)(1
),(en)()(
2
12
222
12
Sn
nnnxsen
nM
nnxsenxS
n
n
n
=
=
=
=
=
Ejemplo:
-
71
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x)
tiene un nmero finito de discontinuidades en un periodo.
(2) f(x)
tiene un nmero finito de mximos y mnimos en un periodo.
(3)
-
72
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x)
si x
es un punto
de continuidad y a:
si x
es un punto de discontinuidad.
( ))()(21 + + xfxf
-
73
-
74
22
00
0
0
0
)1(11cos
cos1sin1sin)(1
cos)(01cos)(1
nnn
nnx
ndxnx
nnnxx
dxnxxdxdxnxxfa
n
n
=+=
=
+=
+==
nnxdxxbn
1sin)(10
==
=
++=
12 sin
1cos)1(14
)(n
nnx
nnx
nxf
-
75
La funcin f es
continua en (, ) excepto en x = 0. As
su serie de Fourier
converge en x = 0 a:
La serie es una extensin peridica de la funcin f. Las discontinuidades en x = 0, 2, 4,
convergen a:
22)0()0( =++ ff
Y las discontinuidades en x
= , 3,
convergen a:
220
2)0()0( =+=++ ff
02
)0()( =++ ff
-
76
xxxSxxSS 2sin21sincos2
4,sincos2
4 ,
4 321+++=++==
Secuencia de sumas parciales y su representacin grfica
-
77
-
78
-
79
-
80
-
81
-
82
-
83
-
84
-
85
-
86
-
87
-
88
-
89
-
90
-
91
-
92
-
93
-
94
-
95
-
96
-
97
Ejercicio de examen:
Obtener el desarrollo en serie de Fourier
de la funcin
[ ]1,0 ,1)( 2 = tttfde modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier
se pueda definir debe ser 2L- peridica.
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de
modo que: 1. sea continua en [-L,L].
2. sea continua a trozos en [-L,L].
)(~ tf)(~ tf
)(~ tf
-
98
La continuidad se consigue con la extensin par de f (f
= -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1.
Re (z)
Im (z)
parfuncin ser por 0
sincos2
)(~1
0
=
+
+= =
n
nnn
b
tLnbt
Lnaatf
1-1
-
99
N
34
322)1(2)1(
)()1(4
)cos()1(2)cos()1(
1
0
21
1
20
2
1
0
21
1par ~
2
====
=
===
dttdtta
n
dttntdttnta
n
fn
( )tnn
tfn
n
cos)1(4
32)(~
122
=
=
[ ] == 1,0)(~)(
ttftf
-
100
P2. Septiembre 2006
a)
(4 puntos)
1.
Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin
f(x) = x2
- x , con f(x) = f(x
+ 2)
2.
Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-,]
3.
Basndose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numrica
4.
A partir del desarrollo de Fourier de la funcin f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la funcin
g(x) = x(x2
2) - x , con g(x) = g(x
+ 2)
=1
4
1k k
-
101
Respuesta.
1.
f(x) = x2, x
[-,], 2
peridica
Funcin par desarrollo en cosenos, bn
= 0:
===
==
+=
=
0
22
2
0
20
1
0
)cos(2)cos(1322
)cos(2
)(
dxnxxdxnxxa
dxxa
nxaaxf
n
nn
-
102
n
n
nxn
nxxn
nxxn
)1(22
)sin(2)cos(2)sin(12
2
03
02
0
2
=
=
+=
)cos()1(43
)(1
2
2
nxn
xfn
n=
+=
nn n
a )1(42 =
-
103
[ ]( ) uniforme iaconvergenchay ,-en continua
,-en continua
ff
[ ] ( )5522
1
22202
52
51)(
2)(1
==
++=
=
xdxx
baadxxfn
nn
2.
3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
-
104
=
+
=1
4
224 116
21
32
52
n n
901 2
14
==n n
4. ( ) [ ])cos()1(12)(33)(
peridica 2 ,, ,)(
12
22
22
nxn
xfxxg
xxxxg
n
n=
====
)sin()1(12)( :uniforme iaconvergencPor 1
3 nxnxg
n
n=
=
-
105
Fenmeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una funcin f(t)
se trunca para lograr una aproximacin en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos ms armnicos, el sumatorio
se aproximar ms a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t),
en donde el error de la suma finita no
tiende a cero a medida que agregamos armnicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
[ ]...)5()3()(4)( 0510310 +++= tsentsentsentf
-
106-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 1 arm nico
[ ])(4)( 0tsentf =
-
107-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 3 arm nicos
[ ])5()3()(4)( 0510310 tsentsentsentf ++=
-
108-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 5 arm nicos
-
109-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 7 arm nicos
-
110-1 -0.5 0 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 13 arm nicos
-
111
Fenmeno de Fenmeno de GibbsGibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 50 arm nicos
-
112
Fenmeno de Fenmeno de GibbsGibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Serie con 100 arm nicos
-
113
-
114
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una funcin peridica f(t),
con periodo T = 2/0
.
Es posible obtener una forma alternativa usando las frmulas de Euler:
])()cos([)(1
00021
=++=
nnn tnsenbtnaatf
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetn
=+=
-
115
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo:
])()([)(1
21
21
021 0000
= +++=
n
tintinin
tintinn eebeeaatf
])()([)(1
21
21
021 00
=+++=
n
tinnn
tinnn eibaeibaatf
)(),(, 21210210 nnnnnn ibacibacac +
=
=n
tinnectf 0)(
T
2 0 =
-
116
A la expresin obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn
pueden obtenerse a partir de los coeficientes an
, bn
como ya se dijo, o bien:
Para n = 0, 1, 2, 3, ...Demostrarlo.
= T tinTn dtetfc0
1 0)(
=
=n
tinnectf 0)(
Forma { } =ntine 0un conjunto ortogonal?
-
117
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la funcin ya tratada:
Solucin 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonomtrica (an
y bn
), que eran an
= 0 para todo n
y
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
ntodoparan
b nn ])1(1[2 =
-
118
Podemos calcular los coeficientes cn
:
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
])1(1[][ 22121n
nnnn iibac == ])1(1[1 nnn ic =
...)
(...)(000
000
5513
31
3315
512
+++=
tititi
tititi
eee
eeeitf
-
119
Solucin 2. Tambin podemos calcular los coeficientes cn
mediante la integral:
= T tinTn dtetfc0
1 0)(
+= T
T
tinT
tin dtedteT 2/
2/
0
001
=
2/
1
0
2/1 001
T
Ttin
in
Ttin
in eeT oo
[ ])()1(1 2/2/ 000 TinTinTino
eeeTin
=
-
120
Como 0
T = 2
y adems:
que coincide con el resultado ya obtenido.
isene i = cos)])1(1()1)1[(1 nnTinn oc =
])1(1[2 nTn oi = ])1(1[1 nni =
-
121
-
122
al = 12 ilxe H(x)dx
1
1
0 -i0x = 12 dx0
1
= 12
= imparesnsin
iparesnsi
cn ;
; 0
;
21
0 =c
n impar
( ) =
=
+==n
xin
n
xinn en
iecxH0
21
( )>
++=
0
)()cos(Re221)(
n nxnisenxnixH
n impar
>
+=
0Re2
21
n
xinen
i
n impar
( ) >
+=0
)(221
n nxnsenxH
n impar
-
123
-
124
-
125
-
126
La funcin impulso o delta de Dirac
Se trata de una "funcin generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac
como el lmite de una serie de funciones:
if 0( )
0 if 0t
tt
=
t
f1
(t)
f2
(t)f3
(t)
(t)
t
(t)
2)(mtm e
m (t) f =
-
127
Propiedades de la funcin
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) 2 (
exp[ ( ') ] 2 ( '
t dt
t a f t dt t a f a dt f a
i t dt
i t dt
=
= =
= )
= )
t
(t)
-
128
Calcular la serie de Fourier de (x):
( ) =
=n
nxin ecx 2
1)(21 1
1
==
dxxec xinn
( )
>
>
=
+=
++==
0
0
)cos( 21
)( 21
21
21
n
n
xinxin
n
xin
xn
eeex
x( ) >
+=0
)cos( 21
nxn
-
129
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
130
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
131
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
132
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
133
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
134
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
135
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
136
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
137
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
138
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-
139
Los coeficientes cn
son nmeros complejos, y tambin se pueden escribir en forma polar:
Observemos que,
Donde
,para todo n 0.Y para n = 0, c0
es un nmero real:
ninn ecc
=ni
nnn eccc
== *
2221
nnn bac +=
=
n
nn a
barctan
021
0 ac =
-
140
Espectros de frecuencia discreta
Dada una funcin peridica f(t),
le corresponde una y slo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto nico de coeficientes cn
.
Por ello, los coeficientes cn
especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t)
especifica la funcin
en el
dominio del tiempo.
-
141
Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la funcin ya analizada:
Encontramos que:
Por lo tanto:
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
])1(1[1 nnn ic = ])1(1[1 nn n
c =
-
142
A la grfica de la magnitud de los coeficientes cn
contra la frecuencia angular
de la componente correspondiente se le
llama el espectro de amplitud de f(t).
A la grfica del ngulo de fase n
de los coeficientes cn
contra , se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n
slo toma valores enteros, la frecuencia angular = n0
es una variable discreta y los espectros mencionados son grficas discretas.
-
143
El espectro de amplitud se muestra a continuacin
Observacin: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = nmero de armnico = mltiplo de 0
).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
C
n
Frecuencia negativa (?) Frecuencia
-
144
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una funcin PAR por lo que la grfica para n
0
contiene toda la informacin acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una funcin IMPAR por lo que la grfica para n
0
contiene toda la informacin acerca de f(t) y se le conoce como espectro unilateral de fase.
-
145
Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de trminos:
an
cos(n0
t) + bn
sen(n0
t)
se pueden expresar como:
Donde lo nico que hemos hecho es multiplicar y dividir por:
++++ )()cos( 02202222 tnsen
babtn
baaba
nn
n
nn
nnn
22nn ba +
-
146
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en funcin del coseno:
=+
=+n
nn
n
n
nn
n
senba
bba
a
22
22cos
an
bn
22nnn baC +=
n
[ ])()cos(cos 00 tnsensentnC nnn +)cos( 0 nn tnC =
++++ )()cos( 02202222 tnsen
babtn
baaba
nn
n
nn
nnn
=
n
nn a
barctan
-
147
Si adems definimos C0 = a0
/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
Con:
=
+=1
00 )cos()(n
nn tnCCtf
22nnn baC +=
=
n
nn a
barctanEjercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0
, Cn
y n
, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:
=
++=1
00 )()(n
nn tnsenCCtf
-
148
Componentes y armnicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una funcin f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: n
= n0.A la componente sinusoidal de frecuencia n0
: cn
cos(n0
t + n
)
se le llama el ensimo armnico de f(t).
Al primer armnico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).
A la frecuencia 0
= 2 f0 = 2 / T
se le llama frecuencia angular fundamental.
-
149
Ejemplo: La funcin Como vimos, tiene un periodo T = 24, por lo tanto su frecuencia fundamental
es 0 = 2/ =
1/12 rad/s.
O como 0
= 2f0, f0 = 1/ = 1/ 24 Hz.Su
componente fundamental (n = 1) ser:
c0 cos(0
t + 0
) = 0 cos(t/12).
Tercer armnico:cos(3t/12) = cos(t/4)Cuarto armnico:cos(4t/12) = cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f
(
t
)
24
)()(f(t) tt 43 coscos +=
-
150).( de serieen desarrollo delfuncin es queFourier de serie unapor
darepresenta esty peridica es tambin )(' ia,consecuencen
por dados vienen escoeficient los donde
)('
)()('
: a respecto )( Derivando
)(
:siguienteFourier de compleja serie la de sen trmino expresada T periodocon peridica seal una )( Sea
0
0
0
0
0
tftf
cindd
edtf
ecintfdtdtf
ttf
ectf
tf
nn
n
n
tinn
n
tinn
n
tinn
=
=
==
=
=
=
=
-
151
5 10-5-10
20T0
= 10
f(t)
t
f(t) =
4t - 2
0
5 10-5-10
4
T0
= 10f '(t)
t-4
510
-5-10
8
T0
= 10f ''(t)
t-8
Ejercicio:
-
152
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una seal cualquiera f(t)
en un periodo dado T
se
puede calcular como la altura de un rectngulo que tenga la misma rea que el rea bajo la curva de f(t)
1f(t)
t
h = Alturapromedio
= T0
dt)t(fArea
T
Area = T h
-
153
De acuerdo a lo anterior, si la funcin peridica f(t)
representa una seal de voltaje
o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm
en un periodo est
dada por:
Si f(t)
es peridica, tambin lo ser
[f(t)]2
y el promedio en un periodo ser
el promedio en
cualquier otro periodo.
2/
2/
21 )]([T
TT dttf
-
154
El teorema de Parseval
nos permite calcular la integral de [f(t)]2
mediante los coeficientes
complejos cn
de Fourier de la funcin peridica f(t):
O bien, en trminos de los coeficientes an
, bn
:
=
=n
n
T
TT cdttf
22/
2/
21 )]([
=
++=1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
-
155
Teorema o identidad de Parseval
=
++=1
2220
2/
2/
2 )(21
41)]([1
nnn
T
T
baadttfT
( )
=
=
=
=
++
=++
=
++=
1
2220
2/
2/0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
21
4
)()()cos()()(
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfTbdttntf
Tadttf
Ta
dttnsenbtnaatfdttftf
])()cos([)(1
00021
=++=
nnn tnsenbtnaatf
-
156
Ejemplo. Calcular el valor cuadrtico medio de la funcin f(t):
Solucin. Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T/2 0 T/2 T . . .
-1
=
=n
n
T
TT Cdttf
22/
2/
21 )]([
])1(1[1 nnnc =
++++==
...491
251
91182
2
n nc
-
157
La serie numrica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperar.
2337.1...491
251
911 =++++
1)2337.1(8)]([ 22
2/
2/
21 === = n n
T
TT cdttf
-
158
a) Sean , con y la funcin:
1. Calclese la serie de Fourier de f.2. Obtngase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
ella calcule el valor de la serie:
3. Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0?
21, cc 21 cc [ )[ ]
= ,0,
0,,)(
2
1
xcxc
xf
( )
= 1 2121
n n
-
c1
c2
-
159
( )
( )
( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )
=
++=
==
==
==
==
+
=
=+=
=+=
+
=
+=+=
+=
1
1221
1212
2
2121
021
0201
21
021
0201
2121
0 2
0
10
1212
22
)(
12212
02
110coscos
)()()(
00
coscoscos
1
k
k
k
n
n
n
xksenk
ccccxf
kccbkn
bknn
ccnn
cc
dxnxsenccdxnxsencdxnxsencb
sennsenn
cc
nxdxccnxdxcnxdxca
ccccdxcdxca
1.
-
160
2. ( )( )
( )
[ ]( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 8121
1214
2
12142
2
,en ortonormal es )(,cos,21 Como
1212
12212
2)(
2
12
12
2212
221
12
221
21222
12
2
1
1221
==
+
+==+
+
+=
=
=
=
=
kk
k
k
kkcccc
kccccdxxfcc
nxsennx
xksenk
ccccxf
3. ( )( ) ( )
2 generalen y
2012
122
2y )0( que Puesto No.
212
21
1
12212
ccc
ccksenk
cccccfk
+
+=++=
= f es continua a trozosy tiene derivadas laterales
-
161
a) A partir de la serie de Fourier de la funcin definida en el intervalo : determinar los valores de las series:
1. 2.
xxf =)(( ) ( )( )
=
+=1
2 12cos124
2)(
nxn
nxf
[ ] ,
( ) ( )
=
= 1 41 2 121
121
nn nn
1.
( ) ( )( )
( )
( ) 84 2121
1214
20
012cos12
42
0
:0f(0)0,xparaizandoParticular
2
12
12
12
==
=
+=
==
=
=
=
n
n
n
n
n
nn
-
162
2.
( )( )
( )( )
( ) 96121
12116
2321
1216
21
:0,12
4,,)( doSustituyen
2)(1
:ParsevaldeidentidadlaAplicando
4
14
142
23
142
22
20
1
222
02
=
+=
+=
====
++=
=
=
=
=
n
n
n
nn
nnn
n
n
ndxx
bn
aaxxf
baadxxf
Slide Number 1Slide Number 2Funciones PeridicasSlide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Joseph FourierSlide Number 20Slide Number 21Serie trigonomtrica de FourierSlide Number 23Cmo calcular los coeficientes de la serie?OrtogonalidadSlide Number 26Ortogonalidad de senos y cosenosSlide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Cmo calcular los coeficientes de la serie?Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Funciones Pares e ImparesSlide Number 48Slide Number 49Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Slide Number 53Slide Number 54Slide Number 55Slide Number 56Slide Number 57Slide Number 58Slide Number 59Onda triangular (Triangle Wave)Right Triangular WaveSaw Tooth WaveSlide Number 63Slide Number 64Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67Slide Number 68Slide Number 69Slide Number 70Slide Number 71Slide Number 72Slide Number 73Slide Number 74Slide Number 75Slide Number 76Slide Number 77Slide Number 78Slide Number 79Slide Number 80Slide Number 81Slide Number 82Slide Number 83Slide Number 84Slide Number 85Slide Number 86Slide Number 87Slide Number 88Slide Number 89Slide Number 90Slide Number 91Slide Number 92Slide Number 93Slide Number 94Slide Number 95Slide Number 96Slide Number 97Slide Number 98Slide Number 99Slide Number 100Slide Number 101Slide Number 102Slide Number 103Slide Number 104Fenmeno de GibbsSlide Number 106Slide Number 107Slide Number 108Slide Number 109Slide Number 110Fenmeno de GibbsFenmeno de GibbsSlide Number 113Forma compleja de la serie de FourierSlide Number 115Slide Number 116Slide Number 117Slide Number 118Slide Number 119Slide Number 120Slide Number 121Slide Number 122Slide Number 123Slide Number 124Slide Number 125La funcin impulso o delta de DiracPropiedades de la funcin dSlide Number 128Slide Number 129Slide Number 130Slide Number 131Slide Number 132Slide Number 133Slide Number 134Slide Number 135Slide Number 136Slide Number 137Slide Number 138Slide Number 139Espectros de frecuencia discretaEspectros de frecuencia discretaSlide Number 142Slide Number 143Slide Number 144Slide Number 145Slide Number 146Slide Number 147Componentes y armnicosSlide Number 149Slide Number 150Slide Number 151Potencia y Teorema de ParsevalSlide Number 153Slide Number 154Teorema o identidad de ParsevalSlide Number 156Slide Number 157Slide Number 158Slide Number 159Slide Number 160Slide Number 161Slide Number 162