a cople magnetic o
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8/17/2019 A Cople Magnetic o
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CIRCUITOS ACOPLADOS
MAGNÉTICAMENTECIRCUITOS ELÉCTRICOS II
ALUMNO: ARANIBAR HUANCAPAZA CHARLES
CODIGO: 1323210081
PROF.: ARMANDO CRUZ
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INDUCTANCIA MUTUA
Autoinductancia
dt
t di Lt v
i1 L1 L2 v2i2
L1 L2v1
M M
La corriente i1 en L1 produce el voltaje de circuito abierto v2 en L2.
La corriente i2 en L2 produce el voltaje de circuito abierto v1 en L1.
dt
t di M t v 1
212
dt
t di M t v 2
121
La inductancia mutua se presenta cuando dos bobinas están lo suficientemente
cerca como para que el flujo magnético de una influya sobre la otra.
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CONVENCIÓN DE LOS PUNTOSUna corriente que entra por la terminal punteada de una bobina produce un voltaje
de circuito abierto entre las terminales de la segunda bobina, cuyo sentido es el de
la dirección indicada por una referencia de voltaje positiva en la terminal punteada
en esta segunda bobina.
i1
L1 L2
M
+
_ dt
di M v 1
2
i1
L1 L2
M
+
_ dt
di M v 1
2
i1
L1 L2
M
+
_ dt
di M v 12
i1
L1 L2
M
+
_ dt
di M v 12
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VOLTAJE MUTUOi1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2 M
i1
L1 L2
+
_ v2v1
+
_
i2 M
dt
di M dt
di Lv
21
11
dt
di M
dt
di Lv 12
22
dt
di M
dt
di Lv 21
11
dt
di M
dt
di Lv 12
22
Para frecuencia
compleja
V1 = – s L1I1 + s M I2
V2 = – s L2I2 + s M I1
Para estado senoidal
V1 = – jw L1I1 + jw M I2
V2 = – jw L2I2 + jw M I1
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ESTRUCTURA DE BOBINAS ACOPLADAS
i1
i2
Flujos magnéticos aditivos
i1
i2
Flujos magnéticos sustractivos
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EJEMPLO
I1
100 H
V2
+
_
M = 9 H
I2
V1 = 10/_0°
w = 10 rad/s
1 H400 W
1 W
+ _
I1(1 + j10) – j90I2 = 10
I2(400 + j1000) – j90I1 = 0
7.1690.6
10
7.161724.0400
1
2
V
V
-
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GRÁFICO DE RESPUESTA EN
FRECUENCIA 400500193600
2
1
2
sss
VV
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EJEMPLO
I1
6 H
M = 2 H
I3V1
7 H3 W
5 W
+ _
(5 + 7s)I1 – 9sI2 + 2sI3 = V1
– 9sI1 + (17s + 1/s) I2 – 8sI3 = 0
2sI1 – 8sI2 + (3 + 6s) I3 = 0
I2
1 F
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CONSIDERACIONES DE ENERGÍA
1
1
111 idt
di Liv
i1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2 M Poniendo en circuito abierto las terminales de la derecha y
haciendo crecer la corriente i1 desde 0 hasta I 1 en t = t 1.
La energía almacenada es.
2
112
1
0 111
1
0 11
1
I Ldii Ldt iv I t
Ahora haciendo crecer la corriente i2 desde 0 hasta I 2 de t = t 1a t = t 2. manteniendo i1 constante
La energía entregada del lado derecho es.
2
222
1
0 22222
22
1
I Ldii Ldt iv I t
t
Sin embargo se entrega energía a la red del lado izquierdo.
211221121
2
1211
2
1
2
1
2
1
I I M di I M dt idt
di M dt iv
t
t
t
t
t
t
2112
2
222
12
112
1 I I M I L I LW total
La energía total es.
Haciendo el proceso inverso, se tiene
2121
2
222
12
112
1 I I M I L I LW total
Por tanto
2112 M M M
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CONSIDERACIONES DE ENERGÍA (CONT)El límite superior para el valor de M es
21 L L M
El Coeficiente de acoplamiento se define como
10
21
k L L
M k
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EJEMPLOSea L1 = 0.4 H. L2 = 2.5 H, k = 0.6 e i1 = 4i2 = 20 cos(500t – 20°) mA. Evalue las
siguientes cantidades en t = 0: a) i2, b) v1, y c) la energía total almacenada en el
sistema.
i1
L1 L2
+
_
v2
v1
+
_
i2 M
a) i2(0) = 20 cos(500(0) – 20°) mA = 4.698 mA
dt
di M
dt
di Lv 21
11
b) Para v1 hay que evaluar
M = k L1 L2 = 0.6 H
v1(0) = 0.4[ – 10 sen( – 20°)] + 0.6[ – 2.5sen( – 20°)] = 1.881 V
c) La energía es
w(t ) = ½ L1[i1(t )]2 + ½ L2[i2(t )]
2 + M [i1(t )] [i2(t )]
w(0) = 0.4/2[18.79]2 + 2.5/2[4.698]2 + 0.6[i1(0)] [i2(0)]
w(0) = 151.2 mJ
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EL TRANSFORMADOR LINEAL
I1
V L
+
_
M
I2V s
R1
+ _
V s = I1Z11 – I2s M
0 = – I1s M + I2Z22 = 0
donde
Z11 = R1 + s L1
Z22 = R2 + s L2 + Z L
22
22
11
1
2
Z
sZ
V
VZ
M ent
Z L L1 L2
R2
En un transformador lineal el
coeficiente de acoplamiento es
de algunas décimas.
Transformador lineal con unafuente en el primario y carga en
el secundario
22
22
Z
s M
Impedancia reflejada:
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
11
X R
X M j
X R
R M ent
w
w ZZ
La reactancia reflejada tiene el signo
contrario al de reactancia X 22
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EJEMPLOLos valores de los elementos de cierto transformador lineal son: R1 = 3W, R2 = 6W, L1 =2mH, L2 = 10mH, M = 4mH, si w = 5,000 rad/s, determine Zent para Z L igual a a) 10W, b) j20W, c) 10 + j20W, d) j20W.
a)
Similarmente b) 3.4862 + 4.3274i c) 4.2413 + 4.5694i d) 5.5641 - 2.8205i
Z11 = R1 + s L1 = 3 + j(5000)(0.002) = 3 + j10
Z22
= R2
+ s L2
+ Z L
= 6 + j(5000)(0.010) + 10 = 16 + j50
22
22
11
1
2
Z
sZ
V
VZ
M ent = 3 + j10 + (5000)2(0.004)2/(16 + j50) = 5.3222 + 2.7431i
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RED EQUIVALENTE Ti1
L1 L2
+
_
v2v1
+
_
i2 M
Ecuaciones de malla para el transformador lineal
dt
di L
dt
di M v
dt
di M
dt
di Lv
2
2
1
2
21
11
Pueden rescribirse como
dt
di M L
dt
iid M v
dt
iid M
dt
di M Lv
2
2
21
2
211
11
Las cuales corresponden a la red
i1
+
_
v2v1
+
_
i2
M
L1 – M L2 – M
-
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EJEMPLODetermine el equivalente T del transformador de la figura
i1
30 mH 60 mH
i240 mH
i1 -10 mH 20 mH
40 mH
L1 – M = – 10 mH
L2 – M = 20 mH
Q
-
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RED EQUIVALENTEPA partir de la ecs. de malla
dt
di L
dt
di M v
dt
di M
dt
di Lv
2
2
1
2
21
11
Se puede despejar i1 e i2, obteniendo
t t
t t
dt v M L L
Ldt v
M L L
M t uii
dt v M L L
M dt v
M L L
Lt uii
0 22
21
1
0 12
21
22
0 22
210
12
21
2
11
0
0
Estas ecs. representan ecs. de nodos
de la red de la figura donde
M L
M L L L
M L
M L L L
M
M L L L
C
A
B
1
2
21
2
2
21
2
21 i1
+
_
v2v1
+
_
i2 L B
LC L A
i1(0)u(t )i2(0)u(t )
-
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EJEMPLO
M L M L L L
M L
M L L L
M
M L L L
C
A
B
1
2
21
2
2
21
2
21
Determine el equivalente T del transformador de la figura
i1
30 mH 60 mH
i240 mH
i1 i25 mH
= 2x10 –4/20x10 –3 = 10mH
= 2x10 –4/( –
10x10 –3)= -20mH
= 2x10 –4/40x10 –3 = 5mH
10 mH – 20 mH
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EL TRANSFORMADOR IDEALEs una aproximación de un transformador fuertemente acoplado.
Las reactancias inductivas del primario y del secundario son muy grandes
comparadas con las impedancias de la terminación.
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RELACIÓN DE VUELTAS
2
2
1
2
2
1
2 a N
N
L
L
Se cumple la siguiente relación:
I1 V2
+
_
k = 1
I2V1
+
_
Z L L1 L2
1: a
a = razón del número de vuelas del secundario al primario = N 2 / N 1
V1 = jw L1I1 – jw M I2
0 = – jw M I1 + (Z L + w L2) I2
Despejando V1:
2
21
2
1
2
22
1
1
1
2
22
1111
L j L L L j
L j
M L j
L j
M L j
L
ent
L
ent
L
www
w
ww
www
ZZ
ZI
VZ
ZIIV
-
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RELACIÓN DE VUELTAS(CONTINUACIÓN)
Si dejamos queL
1 tienda a infinito
Dado que L2 = a2 L1
2
11
2
1
1
2
2
1
222
1
22
1
1
2
2
1
22
1
/ a L j La j
L j
La j
La La L j
La j
La L j
L
L
L
Lent
L
Lent
L
ent
w
w
w
w
www
w
ww
Z
Z
Z
ZZ
Z
Z
Z
ZZ
2a L
ent
ZZ
-
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ACOPLAMIENTO DE IMPEDANCIASSuponga un amplificador con 4000 W de impedancia de salida y una bocinacon 8 W de impedancia.
4.22
4.22
1
500
1
4000
8
84000
2
1
22
N
N
a
aa L
ent
ZZ
-
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RELACIÓN DE CORRIENTES
a L
L
L j
M j
L j
M j
L
1
2
1
221
2 w
w
w
wZI
I
Si suponemos que L2 se hace muy grande.
N 1I1 = N 2I2
Entonces
Para el ejemplo anterior, si el amplificador produce una corriente de 50 mA en
el primario, en ele secundario habrá una corriente de (22.4)(50mA) = 1.12 A.
La potencia en el altavoz es (1.12)2(8) = 10W.
La potencia suministrada por el amplificador es (0.05)2(4000) = 10W
-
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RELACIÓN DE TENSIONES
1
2
1
2
1
22
2
1
2
1
2
1
2
/
N
N a
aa L
L
ent
L
V
V
I
I
ZI
ZI
ZI
ZI
V
V
La relación para tensiones es
Si a > 1, en transformador es elevador
Si a < 1, en transformador es reductor
V1I1 = V2I2
Se cumple
-
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EJEMPLO
I1 I2V1
_
10 k W
1: 10
+
V2
+
_
+ _
100 W
50 V
rms
Encuentre la potencia promedio disipada para el resistor de 10K,
La potencia es simplemente: P = 10000 |I2|2
La impedancia que “se ve” en la entrada es Z L/a2 = 100 W
I1 = 50/(100 + 100) = 250 mA rms
I2 = (1/a) I1 = 25 mA rms, la potencia es P = 6.25 W.
Ó
-
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RELACIONES DE TENSIÓN EN EL TIEMPOi1
L1 L2
+
_
v2
v1
+
_
i2 M Ecuaciones de malla para el transformador ideal
dt
di L
dt
di M v
dt
di M dt
di Lv
2
2
1
2
21
11
Despejando la derivada de i2 en lasegunda ec. y sustituyendo en la primera
y ya que M 2 = L1 L2
22
2
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
11
1v
av
L
Lv
L
M v
dt
di
L
M v
L
M
dt
di Lv
Dividiendo la primera ec. entre L1 ysuponiéndola muy grande
Aaii
dt dia
dt di
dt
di
L
M
dt
di
L
v
21
21
2
1
1
1
1