a generic space-time-frequency correlation model and its

8/9/2019 A Generic Space-Time-Frequency Correlation Model and Its

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A G e n e r i c S p a c e - T i m e - F r e q u e n c y C o r r e l a t i o n Model a n d I t sC o r r e s p o n d i n g S i m u l a t i o n M o d e l f o r Narrowband MIMO C h a n n e l sX i a n g C h e n g * , C h e n g - X i a n g Wang*, a n d D a v i d I. L a u r e n s o n t

* J o i n t R e s e a r c h I n s t i t u t e i n S i g n a l a n d I m a g e P r o c e s s i n g ,S c h o o l o f E n g i n e e r i n g & P h y s i c a l S c i e n c e s , H e r i o t - W a t t U n i v e r s i t y , E d i n b u r g h , EH14 4 A S , UKE - m a i l : t x c 4 8 , c h e n g - x i a n g . w a n g } ( d , h w . a c . u kt J o i n t R e s e a r c h I n s t i t u t e i n S i g n a l a n d I m a g e P r o c e s s i n g ,S c h o o l o f E n g i n e e r i n g a n d E l e c t r o n i c s , U n i v e r s i t y o f E d i n b ur g h , E d i n b u r g h, EH9 3 J L , UKE - m a i l : D a v e . L a u r e n s o n d 9 e d . a c . u kK e y w o r d : W i r e l e s s c h a n n e l s , N I I M O , STF c o r r e l a t i o n ,d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l .A b s t r a c tF o r t h e a n a l y s i s a n d d e s i g n o f M u l t i p l e - I n p u t M u l t i p l e - O u t p u t(MIMO) w i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s w i t h f r e q u e n c yd i v e r s i t y f e a t u r e s , e . g . , M I M O - O r t h o g o n a l F r e q u e n c y D i v i s i o nM u l t i p l e x i n g (MIMO-OFDM) s y s t e m s , i t i s o f t e n d e s i r a b l e t od e v e l o p a c h a n n e l m o d e l t h a t c a n c h a r a c t e r i s e t h e t h r e e -d i m e n s i o n a l ( 3 - D ) s p a c e - t i m e - f r e q u e n c y ( S T F ) c o r r e l a t i o np r o p e r t i e s o v e r t h e l i n k s o f t h e u n d e r l y i n g MIMO c h a n n e l s .I n t h i s p a p e r , we p r o p o s e a g e n e r i c 3 - D STF c o r r e l a t i o nm o d e l , w h i c h i n c l u d e s many w e l l - k n o w n e x i s t i n g m o d e l s a ss p e c i a l c a s e s , w i t h c l o s e d- f o r m e x p r e s s i o n s o f t h e STFc o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s . B a s e d o n t h e d e v e l o p e d t h e o r e t i c a lr e f e r e n c e m o d e l , a d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l i s t h e np r o p o s e d a n d i t s 3 - D STF c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s a r e a l s oi n v e s t i g a t e d b y p r o v i di n g c l o se d- f o r m e x p r e s s i o n s . I t i ss h o w n t h a t t h e c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e s i m u l a t i o n m o d e lf i t t h o s e o f t h e r e f e r e n c e m o d e l v e r y w e l l w h e n t h ep a r a m e t e r s o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l a r e d e t e r m i n e d b y u s i n gt h e L p - n o r m m e t h o d ( L P N M ) .1 I n t r o d u c t i o nM I M O s y s t e m s h a v e r e c e n t l y r e c e i v e d m u c h a t t e n t i o n b e c a u s eo f t h e i r p o t e n t i a l f o r a c h i e v i n g h i g h e r d a t a r a t e a n d p r o v i d i n gm o r e r e l i a b l e r e c e p t i o n p e r f o r m a n c e c o m p a r e d w i t h t r a d i t i o n a ls i n g l e - a n t e n n a s y s t e m s f o r w i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n s . I n o r d e rt o t h e o r e t i c a l l y a n a l y s e a n d d e s i g n h i g h p e r f o r m a n c e MIMOw i r e l e s s s y s t e m s u n d e r v a r i o u s c i r c u m s t a n c e s , i t i s o f g r e a ti m p o r t a n c e t o h a v e p r o p e r t h e o r e t i c a l r e f e r e n c e m o d e l s [ 2 0 ] f o rt h e u n d e r l y i n g MIMO w i r e l e s s c h a n n e l s . F u r t h e r m o r e , f o r t h ep r a c t i c a l s i m u l a t i o n a n d p e r f o r m a n c e e v a l u a t i o n o f MIMOs y s t e m s , i t i s a d v a n t a g e o u s t o d e v e l o p a c c u r a t e M I M O c h a n n e ls i m u l a t i o n m o d e l s [ 1 4 ] . N o w a d a y s , 3 - D S T F c o r r e l a t i o n m o d e l sa r e r e q u i r e d t o c o m p r e h e n s i v e l y u n d e r s t a n d t h e b e h a v i o u r o fM N M O w i r e l e s s c h a n n e l s w i t h f r e q u e n c y d i v e r s i t y f e a t u r e s , e . g . , i nM I M O - O F D M s y s t e m s [ 4 ] .M o s t e x i s t i n g m o d e l s , e . g . , [ 1 , 2 , 6 , 1 4 ] , w e r e p r o p o s e d t oi n v e s t i g a t e 2 - D s p a c e - t i m e ( S T ) c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s o fn a r r o w b a n d M I M O w i r e l e s s c h a n n e l s , b u t t h e f r e q u e n c yc o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s o f t w o s u b - c h a n n e l s i n a MIMO c h a n n e l

w e r e n o t w e l l u nd e r s t o o d. I n [ 1 9 ] , o n l y 2 - D t i m e - f r e q u e n c y( T F ) c o r r e l a t i o n r e f e r e n c e a n d s i m u l a t i o n m o d e l s w e r es t u d i e d f o r f r e q u e n c y c o r r e l a t e d s i n g l e - i n p u t s i n g l e - o u t p u t( S I S O ) c h a n n e l s u n d e r i s o t r o p i c s c a t t e r i n g a s s u m p t i o n s . T h ea u t h o r s i n [ 1 3 ] i n v e s t i g a t e d s p a c e , t i m e , a n d f r e q u e n c yc o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s s e p a r a t e l y o f MIMO c h a n n e l s b a s e d o nt h e e l l i p t i c a l g e o m e t r y o f s c a t t e r e r s f o r m i c r o c e l l u l a r e n v i r o n m e n t s .H o w e v e r , i n [ 1 3 ] , n o o n e g e n e r i c S T F c o r r e l a t i o n f u n c t i o n ( C F )w a s g i v e n . M o r e o v e r , t h e i n t e g r a l e x p r e s s i o n s o f t h e d e r i v e d s p a c ea n d t i m e C F s c a n o n l y b e n u m e r i c a l l y e v a l u a t e d a s n o c l o s e d -f o r m e x p r e s s i o n s w e r e f o u n d . R a d a n d G a z o r p r o p o s e d n o n -g e o m e t r i c 3 - D S T F c o r r e l a t i o n m o d e l s f o r M I M O o u t d o o rc h a n n e l s [ 8 , 1 5 , 1 6 ] , w h e r e t h e a n g l e o f a r r i v a l ( A o A ) a n d a n g l eo f d e p a r t u r e ( A o D ) w e r e a s s u m e d t o b e i n d e p e n d e n t .I n t h i s p a p e r , we f i r s t d e r i v e a g e n e r i c t h e o r e t i c a l r e f e r e n c em o d e l i n o r d e r t o s t u d y t h e 3 - D S T F c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e sb e t w e e n t h e i m p u l s e r e s p o n s e s o f t w o s u b - c h a n n e l s w i t hd i f f e r e n t c a r r i e r f r e q u e n c i e s i n a n a r r o w b a n d MIMO c h a n n e l .D i f f e r e n t f r o m [ 1 3 ] , t h e p r o p o s e d r e f e r e n c e m o d e l i s b a s e d o nt h e w e l l - k n o w n g e o m e t r i c a l o n e - r i n g s c a t t e r i n g m o d e l [ 1 , 6 ] ,w h i c h h a s w i d e l y b e e n u s e d f o r m o d e l l i n g MIMO c h a n n e l s i nm a c r o c e l l u a r e n v i r o n m e n t s d u e t o i t s s i m p l i c i t y , a n d h a s ac l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n o f t h e g e n e r i c STF C F . I n c o n t r a s t t on o n - g e o m e t r i c m o d e l s [ 8 , 1 5 , 1 6 ] , t h e p r o p o s e d m o d e lc h a r a c t e r i s e s t h e Ao A u s i n g t h e v o n M i s e s a n g u l a r p r o b a b i l i t yd e n s i t y f u n c t i o n ( P D F ) [ 2 ] , w h i c h i s a p p l i c a b l e t o b o t h i s o t r o p i ca n d n o n - i s o t r o p i c s c a t t e r i n g e n v i r o n m e n t s , a n d c o n s i d e r s t h ei n t e r d e p e n d e n c e b e t w e e n t h e Ao A a n d A o D . M o r e i m p o r t a n t l y ,we w i l l d e m o n s t r a t e t h a t t h e d e r i v e d g e n e r i c c l o s e d - f o r me x p r e s s i o n i s v a l i d n o t o n l y f o r t h e 3 - D STF C F , b u t a l s o i t sd e g e n e r a t e 2 - D a n d 1 - D C F s , e . g . , ST CF a n d f r e q u e n c y C F .T h i s m e a n s t h a t a l l t h e C F s h a v e a u n i f o r m e x p r e s s i o n b u tw i t h d i f f e r e n t p a r a m e t e r s . T h e d e r i v e d new 3 - D STFc o r r e l a t i o n m o d e l i s a g e n e r a l i z a t i o n o f many e x i s t i n g m o d e l s[ 1 , 2 , 6 , 7 , 1 0 , 1 1 ] .Due t o i t s i n f i n i t e c o m p l e x i t y , t h e p r o p o s e d n a r r o w b a n d o n e -r i n g STF MIMO r e f e r e n c e m o d e l c a n n o t b e r e a l i z e d d i r e c t l yi n s o f t w a r e o r h a r d w a r e . T h e r e f o r e , t h e c o r r e s p o n d i n g s i m u l a t i o nm o d e l i s v e r y i m p o r t a n t i n p r a c t i c e f o r t h e p e r f o r m a n c ee v a l u a t i o n o f MIMO w i r e l e s s c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s . T h es e c o n d p a r t o f t h i s p a p e r u s e s t h e r e f e r e n c e m o d e l a s t h es t a r t i n g p o i n t f o r t h e d e r i v a t i o n o f a n e f f i c i e n t s i m u l a t i o nm o d e l b y t a k i n g i n t o a c c o u n t a l l t h e 3 - D STF c o r r e l a t i o n

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p r o p e r t i e s o f M I M O c h a n n e l s . T h e p r o p o s e d p r o c e d u r e i sb a s e d o n t h e p r i n c i p l e o f d e t e r m i n i s t i c c h a n n e l m o d e l l i n g [ 1 2 ] .C l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s w i l l b e p r o v i d e d f o r a l l t h e 3 - D , 2 - D ,a n d 1 - D C F s o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l . T h i s a l l o w s u s t o a s s e s st h e p e r f o r m a n c e o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l a n a l y t i c a l l y b yc o m p a r i n g i t s c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s w i t h t h o s e o f t h ed e v e l o p e d g e n e r i c r e f e r e n c e m o d e l . I t i s s h o w n t h a t t h ed e s i g n e d M I M O c h a n n e l s i m u l a t o r m a t c h e s t h e u n d e r l y i n gr e f e r e n c e m o d e l v e r y w e l l w i t h r e s p e c t t o t e m p o r a l , s p a t i a l ,a n d f r e q u e n c y p r o p e r t i e s .T h e p a p e r i s s t r u c t u r e d a s f o l l o w s . T h e o n e - r i n g n a r r o w b a n dMIMO c h a n n e l m o d e l i s i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 2 a n d t h e ne wg e n e r i c c l o s e d - f o r m 3 - D STF CF i s d e r i v e d i n S e c t i o n 3 . I nS e c t i o n 4 , a n e f f i c i e n t d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l i sp r o p o s e d a n d i t s c o r r e s p o n d i n g 3 - D STF CF i s d e r i v e d a s ac l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n . S o m e s i m u l a t i o n r e s u l t s a r e p r e s e n t e d a n dt h e p e r f o r m a n c e o f t h e r e s u l t i n g s i m u l a t i o n m o d e l i s e v a l u a t e di n S e c t i o n 5 . F i n a l l y , c o n c l u s i o n s a r e d r a w n i n S e c t i o n 6 .2 The o n e - r i n g n a r r o w b a n d MIMO m o d e lA o n e - r i n g n a r r o w b a n d M I M O c h a n n e l m o d e l w a s f i r s t p r o p o s e di n [ 6 ] a n d f u r t h e r d e v e l o p e d i n [ 1 ] . T h e o n e - r i n g m o d e l i sa p p r o p r i a t e f o r d e s c r i b i n g s c a t t e r i n g e n v i r o n m e n t s w h e r e t h et r a n s m i t t e r b a s e s t a t i o n ( B S ) i s e l e v a t e d a n d u n o b s t r u c t e d ,w h e r e a s t h e r e c e i v e r m o b i l e s t a t i o n ( M S ) i s s u r r o u n d e d b y al a r g e n u m b e r o f l o c a l s c a t t e r e r s . E a c h s c a t t e r e r i s a s s u m e d t ob e r e f l e c t e d o n l y o n c e . L e t u s c o n s i d e r a o n e - r i n g n a r r o w b a n dMIMO c h a n n e l m o d e l s h o w n i n F i g . 1 . T h e BS a n d MS h a v en B S a n d n M S o m n i - d i r e c t i o n a l a n t e n na e l e me nt s i n t h eh o r i z o n t a l p l a n e , r e s p e c t i v e l y . W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , wec o n s i d e r u n i f o r m l i n e a r a n t e n n a a r r a y s w i t h n B S = n M S = 2 ( a2 x 2 MIMO c h a n n e l ) . T h e a n t e n n a e l e m e n t s p a c i n g s a t t h eBS a n d MS a r e d e s i g n a t e d b y S r a n d J R , r e s p e c t i v e l y . T h el o c a l s c a t t e r e r s a r e l o c a t e d o n a r i n g s u r r o u n d i n g t h e MS w i t hr a d i u s R . I t i s u s u a l l y a s s u m e d t h a t R i s m u c h s m a l l e r t h a n D ,d e n o t i n g t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e BS a n d MS. F u r t h e r m o r e ,i t i s a s s u m e d t h a t b o t h R a n d D a r e m u c h l a r g e r t h a n t h ea n t e n n a e l e m e n t s p a c i n g s S r a n d J R , i . e . , D > > R > > m a A r , 9 R } .T h e m u l t i - e l e m e n t a n t e n n a t i l t a n g l e s a r e d e n o t e d b y a a n d , / .T h e MS m o v e s w i t h a s p e e d v i n t h e d i r e c t i o n d e t e r m i n e d b yt h e a n g l e o f m o t i o n y . T h e a n g l e s p r e a d s e e n a t t h e BS i sd e n o t e d b y A l , w h i c h i s r e l a t e d t o R a n d D b yA z a r c t a n ( R / D ) R / D .W i t h o u t a l i n e - o f - s i g h t c o m p o n e n t , t h e s u b - c h a n n e l c o m p l e xi m p u l s e r e s p o n s e s a t t w o d i f f e r e n t c a r r i e r f r e q u e n c i e s f ca n d f c J c a n b e e x p r e s s e d a s :h l p ( t ) = 1 4 , 1 p ( t ) + j h 2 , l p ( t )

= l i m 1 / > e x p [ j V n - - 2 4 f z , ' p , n + 2 f z D t c o s ( 0 -y ) ] ( ,h m q ( t ) = h t m q ( t ) + j 1 1 m q ( t )

= l i m - = e x p 4 j [ L V , - 2 g C r n q , , + 2 i g D t co4- y)(,w i t h 1 , m = 1 , 2 , . . . , n M s , p , q = 1 , 2 , . . . , n B S , T I p , n = ( f p n + n l ) / c a n d

wave t h r o u g h t h e l i n k T , - , -R I ( T q - n -R m ) s c a t t e r e d b yt h e n t h s c a t t e r e r , S n , a n d c i s t h e s p e e d o f l i g h t . T h e Ao A o ft h e wave t r a v e l l i n g f r o m t h e n t h s c a t t e r e r t o w a r d s t h e MS i sd e n o t e d b y O n R , w h i l e , n , n l , d n , a n d j n m ar e t h e d i s t a n c e sa s f u n c t i o n s o f , n R as s h o w n i n F i g . 1 . A c c o r d i n g t o [ 1 ] , we h a v e t h ef o l l o w i n g a p p r o x i m a t e e q u a t i o n sf p n n - 2 [ c o s ( a ) + A s i n ( a ) s i n ( n ) 1 ( 2 a )2f q n S n + 2 [ c o s ( a ) + As i n ( a ) s i n ( O n R ) 12j n l / Z- R RcoS( o n O 8 ) ,

I n m R +-RcOs(R - g ) ,2

( 2 b )( 2 c )( 2 d )

4 ; z D+ Rc o s ( 4 R ) . ( 2 e )T h e p h a s e s V , are i n d e p e n d e n t a n d i d e n t i c a l l y d i s t r i b u t e d( i . i . d . ) r a n d o m v a r i a b l e s w i t h u n i f o r m d i s t r i b u t i o n s ove r [ 0 , 2 f f ) ;fD i s t h e m a xim u m D o p p l e r f r e q u e n c y ; h i , , ( t ) ( h i t m q ( t ) )

h 2 , 1 ( t ) ( h mq(t) )c o m p o n e n t s o f t h e c o m p l e x i m p u l s e r e s p o n s e h i , ( t ) ( h i m q ( t ) ) ,r e s p e c t i v e l y ; a n d N i s t h e n u m b e r o f i n d e p e n d e n t s c a t t e r e r s ,S n a r o u n d t h e M S .I n t h e l i t e r a t u r e , many d i f f e r e n t s c a t t e r e r d i s t r i b u t i o n s h a v e b e e np r o p o s e d t o c h a r a c t e r i s e t h e A o A , 5 n R , s u c h as t h e u n i f o r m[ 1 7 ] , G a u s s i a n [ 3 ] , w r a p p e d G a u s s i a n [ 1 8 ] , a n d t h e c a r d i o i dPDFs [ 5 ] . I n t h i s paper, t h e von M i s e s P DF [ 2 ] i s u s e d , w h i c hc a n a p p r o x i m a t e a l l t h e a b o v e m e n t i o n e d d i s t r i b u t i o n s . I n [ 2 ] ,i t was s h o w n t h a t t h i s P DF f i t s t h e r e a l d a t a very w e l l . T h evon M i s e s P DF i s d e f i n e d as [ 2 ]

exp[kcos( e R _ ' U ~ ) ]f ( ^ R ) _= l 2 k c I o ( k ) ) I O R E [ 0 , 2 z T ) , ( 3 )w h e r e O 5 R i S t h e c o n t i n u o us d en o t at i o n o f 5 n R when N i s i n f i n i t e ,

I o ( . ) i s t h e z e r o t h - o r d e r m o d i f i e d B e s s e l f u n c t i o n o f t h e f i r s tk i n d , , E [ 0 , 2 z T ) a c c o u n t s f o r t h e mean v a l u e o f t h e A o A , I O R Ia n d k ( k 0 ) i s a r e a l - v a l u e d p a r a m e t e r t h a t c o n t r o l s t h e a n g u l a rs p r e a d o f t h e AOA O ) R F o r k = 0 ( i s o t r o p i c s c a t t e r i n g ) , t h e vonM i s e s P DF r e d u c e s t o t h e u n i f o r m d i s t r i b u t i o n , w h i l e f o r k > O( n o n - i s o t r o p i c s c a t t e r i n g ) , t h e v o n M i s e s P DF a p p r o x i m a t e sd i f f e r e n t d i s t r i b u t i o n s d e p e n d i n g o n d i f f e r e n t v a l u e s o f k [ 2 ] .3 Th e new g e n e r i c S T F C FFrom ( 1 ) , i t f o l l o w s t h a t t h e c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s o f h i ( t ) a n dh t m q ( t ) a r e c o m p l e t e l y d e t e r m i n e d b y t h e u n d e r l y i n g r e a l G a u s s i a nnoiseprocessesh 1 , , , ( t ) and h , m q ( t ) (u,v=,2). Therefore,wec a n r e s t r i c t o u r i n v e s t i g a t i o n s t o t h e f o l l o w i n g STF C F

v m h q j p h T ( 4 )v , m qT m q , n = ( ' C q n + C n m ) / c , w h e r e r l , , , , ( T m q ) i s t h e t r a v e l t i m e o f t h e



3/6

w h e r e E [ . ] d e n o t e s t h e s t a t i s t i c a l a v e r a g e w i t h r e s p e c t t o ) Ra n d V , . I t s h o u l d b e o b s e r v e d t h a t ( 4 ) i s a f u n c t i o n o f t h et i m e s e p a r a t i o n , , s p a c e s e p a r a t i o n , S T a n d S R , a n d f r e q u e n c ys e p a r a t i o n , X = f L i - f , -S u b s t i t u t i n g ( 1 ) - ( 3 ) i n t o ( 4 ) a n d a f t e r s o m e m a t h e m a t i c a lm a n i p u l a t i o n s , t h e 3 - D S T F C F s b e t w e e n h 1 , i 1 1 ( t ) a n d h , , m q ( t + T ) ,a n d s i m i l a r l y b e t w e e n h 1 1 , l ( t ) a n d h U , m q ( t + T ) , a r e g i v e n b yP h i h fi'X) = P h 2 h J 7 - h 2 )

4 I 1 { e k o [ ( A j B ) 1 2 ] + e - c I o [ ( A + j B ) 1 2 ( 5 a )P h l i h T ( C , X ) Ph2 i p h T ( C ' X)2 , m q l , m q( k ){ e J o [ A + B ) 1 ! 2 ] e c j( B ) 1 1 2 ( 5 b )=j 1 k f i e j I o ( A + j B ) / ] - e i c I o [ ( A - B l 2r e s p e c t i v e l y . S i n c e t h e d e r i v a t i o n s o f ( 5 a ) a n d ( 5 b ) a r e s i m i l a r ,o n l y t h e d e r i v a t i o n o f ( 5 a ) i s g i v e n i n t h e A p p e n d i x . C o n s e q u e n t l y ,t h e 3 - D S T F CF b e t w e e n t h e c o m p l e x i m p u l s e r e s p o n s e s h i , ( t )a n d h t q ( t ) c a n b e d i r e c t l y o b t a i n e d a sP h i p h T ( T)) 2 P h l i o p h TT jBX) / 2 1 P h l , h T ( ( 6 ) X )mq l , m q 2 , m q

= cI k e J I o [ A - j B ) 1 1 2 ( 6 )w h e r eA = k 2 _ x 2 _ y 2 _z22 s i n 2 a - 2 y z A s i n a s i n , 8

+ 2 x y c o s ( , 8 - y ) + 2 x z A s i n a s i n y - _ X 2 J+ 2xXK - 2yXL - 2zXM,

B = 2 k [ x c o s ( y - , u ) - y c o s ( , / - , u ) -zA s i n a s i n , - X S ] ,C =zcosa+XT,w i t hx = 2 f D Z ,y=2 ) g - , R I c ,y = 2 J f C S R / c ,X = 2 z x f / c ,J = 2 + ( S T / 4 ) A s i n 2 a + , 5 R 2 4

+ R S R c o s 8g+ ( S T S R I 2 ) A s i n a u s i n g ,K = R c o s y + ( S T / 2 ) A s i n a s i n y + ( S R / 2 ) c o s ( , - y ) ,L = R c o s g 8 + ( S T / 2 ) A s i n a s i n g 8 + S R / 2 ) ,M= ( S T / 2 ) A 2 s i n 2 a + ( S R / 2 ) A s i n a s i n f ,S = R c o s , + ( S T / 2 ) A s i n a s i n f , + S R / 2 ) c o s ( , - , u ) ,T = ( S r / 2 ) c o s a + D + R .

( 8 a )( 8 b )( 8 c )( 8 d )

B = 2 k [ x c o s ( y - , u ) - y c o s ( , - , u ) -zA s i n a s i n u ] , ( 9 b )C =z c o s a . ( 9 c )F r o m ( 5 b ) , w e f i n d t h a t t h e S T F CF P h l = h2 , m q

P h 2 l p h T ( r X)=Oif B = O a n d C = O . F r o m ( 7 b ) , i t i s c l e a rt h a t B = 0 i f k = 0 h o l d s . T h i s m e a n s t h a t B = 0 i n i s o t r o p i cs c a t t e r i n g e n v i r o n m e n t s . By s e t t i n g t h e s p a c e s e p a r a t i o n a t t h eBS T = 0 ( z - O ) a n d t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n X = 0 ( X = O ) i n( 7 c ) , we c a n g e t C=O f o r t h e 2- D ST CF ( s i n g l e - i n p u tm u l t i p l e - o u t p u t ( S I M O ) c a s e ) a n d 1 - D t i m e C F . T h i s c l e a r l yi n d i c a t e s t h a t t h e 2 - D ST CF p h i , i p h 2 , l q ( z ) - P h 2 j p h i l q ( i z ) 0 ( S I M Oc a s e ) a n d 1 - D t i m e CF p h , 2 p ( [ ) p h 2 i p h i p ( i ) 0 i n i s o t r o p i cs c a t t e r i n g e n v i r o n m e n t s . When s e t t i n g t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o nX = O ( X = O ) a n d t h e t i l t a n g l e o f t h e BS c = r / 2 i n ( 7 c ) , we c a na l s o o b t a i n C = 0 f o r t h e 2 - D ST CF (MIMO c a s e ) , 1 - D s p a c eC F , a n d 1 - D t i m e C F . T h i s m e a n s t h a t i n i s o t r o p i c s c a t t e r i n ge n v i r o n m e n t s , t h e 2 - D S T CF P h u p h 2 m q ( / ) p h 2 ] p h i m q ( / ) 0 ( MI MOc a s e ) , 1 - D s p a c e CF p h i } p h 2 , m q = P 2 , 1 P k m q = 0 a n d 1 - D t i m e CF

A h , I p h 2 , l p O c ) = p 2 , 1 P k , , l P O c ) = -T h e p r o p o s e d g e n e r i c 3 - D STF c o r r e l a t i o n m o d e l w i t h ac l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n ( 6 ) i n c l u d e s m a n y e x i s t i n g m o d e l s a ss p e c i a l c a s e s . F o r a S I S O c a s e , t h e t i m e CF g i v e n i n [ 2 ] i so b t a i n e d b y s e t t i n g i S = S R = 0 a n d X = 0 i n ( 6 ) w i t h k . 0 . I fb y f u r t h e r s e t t i n g k = 0 ( i s o t r o p i c s c a t t e r i n g ) i n ( 6 ) , t h e C l a r k e ' st i m e CF i n [ 1 0 ] i s o b t a i n e d . F o r a SIMO c a s e , t h e L e e ' s S T CF i n[ 1 1 ] i s o b t a i n e d b y s u b s t i t u t i n g i S T =0 =0 , , 6 = I a n dk = 0 i n t o ( 6 ) . F o r a m u l t i p l e - i n p u t s i n g l e - o u t p u t ( M I S O )c a s e , t h e ST C F i n [ 6 ] i s o b t a i n e d b ys u b s t i t u t i n g S R = 0 , X = 0 , a n d k = 0 i n t o ( 6 ) . I f f u r t h e rs u b s t i t u t i n g f D = 0 i n t o ( 6 ) , t h e s p a c e CF g i v e n i n [ 7 ] i s o b t a i n e d .F o r a M I M O c a s e , t h e S T CF s h o w n i n [ 1 ] i s o b t a i n e d b ys e t t i n g X = 0 i n ( 6 ) w i t h k . 0 .4 The d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n model

( 8 e ) I n t h i s s e c t i o n , a n e f f i c i e n t d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l i sp r o p o s e d , w h i c h i s o b t a i n e d f r o m t h e r e f e r e n c e m o d e l b y( 8 f ) u t i l i z i n g o n l y a f i n i t e n u m b e r o f s c a t t e r e r s , N , a n d k e e p i n g a l l( 8 g ) t h e m o d e l p a r a m e t e r s f i x e d . H e n c e , t h e i m p u l s e r e s p o n s e s h 4 0 ( t )( 8 h ) a n d h i t q ( t ) o f t h e d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l a r e m o d e l l e d a s( 8 i )( 8 j )I t i s w o r t h s t r e s s i n g h e r e t h a t ( 5 ) a n d ( 6 ) a r e t h e g e n e r i ce x p r e s s i o n s w h i c h a p p l y t o t h e 3 - D STF CF a n d t h es u b s e q u e n t l y p r e s e n t e d 2 - D a n d 1 - D C F s d i f f e r o n l y i n v a l u e so f A , B , a n d C . T h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n s o f A , B , a n d C f o rt h e d e g e n e r a t e 2 - D a n d 1 - D C F s c a n b e e a s i l y o b t a i n e d f r o m ( 7 )b y s e t t i n g r e l e v a n t t e r m s t o z e r o . F o r e x a m p l e , s e t t i n g t h ef r e q u e n c y s e p a r a t i o n X = 0 ( X = O ) i n ( 7 ) g i v e s t h e f o l l o w i n ge x p r e s s i o n s o f A , B , a n d C f o r t h e 2 - D ST C F :A = k 2 _ x 2 _ y 2 _ z 2 t A s i n 2 a - 2 y z A s i n a s i n f 8 ( 9 a )+ 2 x y c o s ( 8 - y ) + 2 x z A s i n a s i n y ,

h / , ( t ) = h 1 , 1 , ( t ) + j h 2 1 , ( t )1 e x p { j w n - 2 f z p f , + 2 g f D t c o s Q p f )] J-

h m & f q ( t ) = 2l+fqt ) + j h 2 ( m q ( t )= i > x p { j [ ! - n - 2 ) f z t m q , n + 2 ) r D t c o s ( 0 n R - 7 ) l J ,

( l O a )

( l O b )w h e r e t h e p h a s e s V l n a r e s i m p l y t h e o u t c o m e s o f a r a n d o mg e n e r a t o r u n i f o r m l y d i s t r i b u t e d o v e r [ 0 , 2 Z T ) , t h e d i s c r e t e AoAs

5 , / w i l l b e k e p t c o n s t a n t d u r i n g s i m u l a t i o n , a n d t h e o t h e rs y m b o l d e f i n i t i o n s a r e t h e s a m e a s i n ( 1 ) . T h e r e f o r e , w e c a n



4/6

a n a l y s e t h e p r o p e r t i e s o f t h e d e t e r m i n i s t i c c h a n n e l s i m u l a t o rb y t i m e a v e r a g e s i n s t e a d o f s t a t i s t i c a l a v e r a g e s . S i m i l a r t o ( 4 ) ,t h e 3 - D S T F CF c an b e d e f i n e d a sP h , i p h T ( ' Z , X ) K h u i p ( t ) h v t m q ( t + ) ( 1 1 )v , m n qw h e r e K . ) d e n o t e s t h e t i m e a v e r a g e o p e r a t o r . S u b s t i t u t i n g ( 1 0 )i n t o ( 1 1 ) , i t i s s h o w n t h a t ( 1 1 ) c a n b e e x p r e s s e d i n t h e c l o s e d - f o r m a sPhlh ( q * P h 2 , m h q ;

-[ c o C s ( C ) c o s ( P c o s Q R + Q s i n R ) ( 1 2 a )2 N , ,s i n ( C ) s i n ( P c o s 0 R + Q s i n 0 R ) ]

P h i i p h ( r , X) P h 2 , 1 p h T(Zi X )2 , m q l , m q2 - - E [ s i n ( C ) c o s ( P c o s t n R + Q s i n n R ) ( 1 2 b )

+ c o s ( C ) s i n ( P c o s G n + Q s i n ( nBy a n a l o g y w i t h ( 6 ) , we c a n f u r t h e r g e t t h e 3 - D STF CFb e t w e e n h k p ( t ) a n d h k , q ( t ) a s2- r , j 2 ~ ~ ~ ~ i - ~h 1 p h t (r,%) 2Phi i p h T ( r , X) 2P hi i p h T Xmq l , m q 2 , m q

NE J C e J ( P C O S 0 R + Q S 1 n 4 H ) ( 1 3 )N n = 1w h e r e C i s t h e s a m e a s i n ( 6 ) , w h i l eP = XY + y c o s , - x c o s y , ( 1 4 a )Q = XZ + y s i n / , + z A s i n a - x s i n y , ( 1 4 b )w i t hY =R+ ( 5 R / 2 ) c o s , 8 ( 1 5 a )Z = ( d / 2 ) A s i n a + ( d R / 2 ) s i n / , . ( 1 5 b )N o t e t h a t x , y , z , a n d X a r e t h e s a m e a s d e f i n e d i n ( 8 a ) - ( 8 d )a b o v e . S i m i l a r l y t o ( 5 ) a n d ( 6 ) , ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) a r e t h e g e n e r i ce x p r e s s i o n s w h i c h a p p l y t o a l l t h e 3 -D , 2 - D, a n d 1 - D C F s o ft h e d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l w i t h d i f f e r e n t C , P , a n d Q .T h e c o r r e s p o n d i n g e x p r e s s i o n s o f P a n d Q f o r t h e d e g e n e r a t e 2 - Da n d 1 - D C F s c a n e a s i l y b e o b t a i n e d f r o m ( 1 4 ) b y s e t t i n g s o m er e l e v a n t t e r m s t o z e r o . C o m p a r i n g ( 1 4 ) w i t h ( 7 ) , w e c a n r e l a t eA a n d B t o P a n d Q b yA = a 2 + b 2 _(P2+Q2 ( 1 6 a )B = - 2 ( a P + b Q ) . ( 1 6 b )From ( 1 2 ) a n d ( 1 3 ) , i t i s o b v i o u s t h a t o n l y { t o n } n n e e d s t o b ed e t e r m i n e d f o r t h i s d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l .4 . 1 P a r a m e t e r c o m p u t a t i o n m e t h o dI n t h i s s u b s e c t i o n , w e w i l l a p p l y t h e LPNM [ 1 2 ] t o c o m p u t et h e m o d e l p a r a m e t e r s { q n = R}o f t h e d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o nm o d e l b a s e d o n c o r r e s p o n d i n g p r o p e r t i e s o f t h e r e f e r e n c em o d e l . T h e 1 - D t i m e CF p h i p h l q ( r ) , 1 - D f r e q u e n c yCF p l h T ( X ) a n d 2 - D s p a c e CF p h i p h m q a r e i d e n t i f i e d a s k e yh i p hp r o p e r t i e s . T h e n t h e LPNM r e q u i r e s t h e n u m e r i c a lm i n i m i z a t i o n o f t h e f o l l o w i n g t h r e e L p - n o r m s :

E ( p ) = '{ f P h l p h i p ( J , h h p h i p ( i ) d r }max12 hlhf(/-h hf dX}

( 1 7 a )( 1 7 b )

r 1 m a x m a x 1 / pE ( p ):=i f h p h m q - P h i p h m q d & T d R , ( 1 7 c )w h e r e p = 1 , 2 , . . . N o t e t h a t T m a x , X m a x , a n d y T m a x a n d 3 R m a Xd e f i n e t h e u p p e r l i m i t s o f t h e r a n g e s o v e r w h i c h t h ea p p r o x i m a t i o n s p A , p ( r ) z p h , p ( r ) , P p T ( & ) ~ Z i p h T ( X ) a n d

P h i p h m q h ih , m q a r e o f i n t e r e s t . F o r P h i p h J ( X ) a n d h p h m q , i f w er e p l a c e 0 , R b y > R a n d > R , r e s p e c t i v e l y , t h e t h r e e e r r o r n o r m sE ( P ) , E ( p ) a n d E ( P ) c a n b e m i n i m i z e d i n d e p e n d e n t l y .5 S i m u l a t i o n r e s u l t sI n t h i s s e c t i o n , d u e t o t h e l i m i t a t i o n o f s p a c e , w e w i l l o n l yf o c u s o n t h e f r e q u e n c y c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s b a s e d o n ( 6 ) ,a n d w i l l e v a l u a t e t h e p e r f o r m a n c e o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l .T h e b a s i c p a r a m e t e r s a r e a s f o l l o w s : f C = I G H z , f D = 9 3 H z ,c=3x108 m / s , D=1200 m , R=100 m , k= 3 , u = z ,a = f f / 6 , g =f T / 3 , a n d y = 7 f T / 1 2 .F i g s . 2 a n d 3 i l l u s t r a t e t h e 2 - D s p a c e - f r e q u e n c y ( S F ) C F sa g a i n s t t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n a n d s p a c e s e p a r a t i o n a t t h eBS a n d M S , r e s p e c t i v e l y . C o m p a r i n g t h e m , w e f i n d t h a t t h ei n f l u e n c e o f t h e n o r m a l i z e d a n t e n n a s p a c e a t t h e MS i s g r e a t e rt h a n a t t h e B S , s i n c e t h e a n g u l a r s p r e a d , A I , a t t h e BS i sg e n e r a l l y s m a l l f o r t h e m a c r o c e l l u l a r c a s e . F i g . 4 s h o w s t h e 2 -D TF CF a l o n g w i t h t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n a n d t i m es e p a r a t i o n . A s s h o w n i n F i g s . 2 - 4 , t h e 2 - D C F s t a k e t h emaximum v a l u e s w h e n t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n X=0 a n dd e c r e a s e w i t h t h e i n c r e a s e o f t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n . F i g s .2 - 4 r e v e a l t h a t t h e s h a p e s o f C F s d e p e n d o n t i m e s e p a r a t i o n ,f r e q u e n c y s e p a r a t i o n , a n d a n t e n n a s p a c i n g . C o m p a r i n g ( a )w i t h ( b ) i n F i g s . 2 - 4 , i t i s o b v i o u s t h a t t h e n o r m a l i z e d a n t e n n as p a c e a t t h e MS o r BS h a s a l a r g e e f f e c t o n t h e 2 - D S F C F s ,w h i l e i t s i n f l u e n c e o n t h e 2 - D TF CF i s n e g l i g i b l y s m a l l .A p l o t o f t h e f u n c t i o n p h p h i p ( r ) o f t h e r e f e r e n c e m o d e l i s s h o w ni n F i g . 5 . T h i s f i g u r e a l s o s h o w s t h e r e s u l t i n g 1 - D t i m e CFp h i p h i p ( ' ) o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l d e s i g n e d w i t h t h e L P N Mu s i n g p = 2 , N = 3 0 , a n d T m a x = 0 . 0 8 s . F i g . 6 d e p i c t s t h e 1 - Df r e q u e n c y CF P h p h T ( x ) o f t h e r e f e r e n c e m o d e l a n d P h i p h ( % )o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l , w h e n a p p l y i n g t h e LPNM w i t hp = 2 , N = 3 0 , a n d X m a x = 8 MHz. F i g . 7 d e p i c t s t h e 2 - Ds p a c e CF p h i p h m q o f t h e r e f e r e n c e m o d e l a n d p h i p h m q o f t h es i m u l a t i o n m o d e l , w i t h N = 3 0 . T h e d i s c r e t e AoAs 0 ) R h a v eb e e n o b t a i n e d b y a p p l y i n g t h e LPNM o n t h e e r r o rn o r m E " ( P ) i n ( 1 7 c ) w i t h p = 2 , 5 T m = 3 0 k , a n d d R ) = 3 / .F i g s . 5 - 7 c l e a r l y d e m o n s t r a t e t h a t t h e p r o p o s e d d e t e r m i n i s t i c



5/6

s i m u l a t i o n m o d e l c a n f i t t h e u n d e r l y i n g r e f e r e n c e m o d e l v e r yw e l l i n t e r m s o f t i m e , f r e q u e n c y , a n d s p a c e c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s .6 C o n c l u s i o n sI n t h i s p a p e r , b a s e d o n t h e w e l l - k n o w n n a r r o w b a n d o n e - r i n gM I M O c h a n n e l m o d e l , w e h a v e p r o p o s e d a n o v e l g e n e r i c 3 - DS T F c o r r e l a t i o n r e f e r e n c e m o d e l . T h e d e v e l o p e d r e f e r e n c e m o d e li s s u i t a b l e f o r t h e a n a l y s i s a n d d e s i g n o f M I M O w i r e l e s sc o m m u n i c a t i o n s y s t e m s w i t h f r e q u e n c y d i v e r s i t y f e a t u r e s , e . g . ,M I M O - O F D M s y s t e m s . T h e p r o p o s e d 3 - D S T F r e f e r e n c e m o d e li s g e n e r a l e n o u g h t o i n c l u d e m a n y w e l l - k n o w n e x i s t i n g m o d e l sa s s p e c i a l c a s e s . D e p e n d i n g o n t h e d e v e l o p e d t h e o r e t i c a lr e f e r e n c e m o d e l , a d e t e r m i n i s t i c s i m u l a t i o n m o d e l i s t h e n p r o p o s e d .T h e c o r r e s p o n d i n g 3 - D S T F C F s o f t h e s i m u l a t i o n m o d e l a r ed e r i v e d w i t h t h e c l o s e d - f o r m e x p r e s s i o n s . N u m e r i c a l r e s u l t ss h o w t h a t t h e c o r r e l a t i o n p r o p e r t i e s o f t h e s i m u l a t i o n m o d e lm a t c h t h o s e o f t h e u n d e r l y i n g t h e o r e t i c a l m o d e l v e r y c l o s e l y .

A p p e n d i xD e r i v a t i o n o f ( 5 a ) :I n t h i s a p p e n d i x , we d e r i v e t h e 3 - D S T F CF p h j p h 1 ( T , ) o fl P h m qh l , l p ( t ) a n d h 1 t m q ( t + r ) a c c o r d i n g t o ( 4 ) :P l , m q t ( X = E h , l ( ) l m ( + )

= l i m -E E { c o s [V n - I p , n + 2 ; T D c o s ( - r ) ]N - x > - N n 1 c o s ( AR 2 - T y ) ( t+ ) jx c o s [ V f n - 2 T f e T n q n + 2 J T f D c o s o ' ~ Y ) ( t + r ) l

i N c o [ 2 T , z . ,l i m E - (N - - > - 2Nn = c l-2 ; 7 T m q , n + 2 ; T c o s ( rk= - c o s [ - 2 ; T f ( m q -Tip ) - 2 ; Z T m q+ 2 z D c o s ( R - R_ ) r ] ( R ) d R ,

( 1 8 )

w h e r e r p =,papR + . R / )/C Tm q = ( d q : p R + f R m )/C * T h e te rm sp R J p O R , f : o p / , a n d J O R , are o b t a i n e d b y r e p l a c i n g b y O 5 R i n ( 2 ) . S u b s t i t u t i n g a l l t h e a b o v e m e n t i o n e d t e r m s a n dP DF i n t o ( 1 8 ) a n d c o n s i d e r i n g ( 1 4 ) , we h a v e

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1h l , P h i m q 4 , z I o (k)x e xp [ k cos ,cos O + k s i n g s i n R] ( 1 9 )xcos [ C + Pcos R+ Q s i n OR ] O RT h e d e f i n i t e i n t e g r a l i n t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e a b o v ee q u a t i o n ca n b e s o l v e d b y u s i n g [ 9 , e q . 3 . 9 3 7 - 1 , p p . 5 2 2 ] .A f t e r some m a n i p u l a t i o n s a n d c o n s i d e r i n g ( 1 6 ) , t h e c l o s e d -f o r m e x p r e s s i o n f o r t h e 3 - D S T F CF P h i l p h T ( Z r , , ) i s g i v e n b y ( 5 a ) .

R e f e r e n c e s[ 1 ] A . A b d i , a n d M . K a v e h , "A s p a c e - t i m e c o r r e l a t i o n m o d e lf o r m u l t i e l e m e n t a n t e n n a s y s t e m s i n m o b i l e f a d i n gc h a n n e l s , " IEEE J . S e l e c t . A r e a s C o m m u n . , v o l u m e 2 0 ,

n o . 3 , p p . 5 5 0 - 5 6 0 , ( 2 0 0 2 ) .[ 2 ] A . A b d i , J . A . B a r g e r , a n d M . K a v e h , "A p a r a m e t r i cm o d e l f o r t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e a n g l e o f a r r i v a l a n d t h ea s s o c i a t e d c o r r e l a t i o n f u n c t i o n a n d p o w e r s p e c t r u m a tt h e m o b i l e s t a t i o n , " IEEE T r a n s . V e h . T e c h n o l . , v o l u m e5 1 , n o . 3 , p p . 4 2 5 - 4 3 4 , ( 2 0 0 2 ) .[ 3 ] F . A d a c h i , M . T . F e e n e y , A . G . W i l l i a m s o n , a n d J . D .P a r s o n s , " C r o s s - c o r r e l a t i o n b e t w e e n t h e e n v e l o p e s o f9 0 0 MHz s i g n a l s r e c e i v e d a t a m o b i l e r a d i o b a s e s t a t i o ns i t e , " IEE P r o c . F , C o m m u n . , R a d a r , S i g n a l P r o c e s s i n g ,v o l u m e 1 3 3 , p p . 5 0 6 - 5 1 2 , ( 1 9 8 6 ) .[ 4 ] H . B o l c s k e i , M . B o r g m a n n , a n d A . P a u l r a j , " I m p a c t o ft h e p r o p a g a t i o n e n v i r o n m e n t o n t h e p e r f o r m a n c e o fs p a c e - f r e q u e n c y c o d e M I M O - O FD M , " IEEE J o u r n a l o nS e l e c t e d A r e a s i n C o m m u n . , v o l u m e 2 1 , n o . 3 , p p . 4 2 7 -4 3 9 , ( 2 0 0 3 ) .[ 5 ] G . J . B y e r s , a n d F . T a k a w i r a , " S p a t i a l l y a n d t e m p o r a l l yc o r r e l a t e d MIMO c h a n n e l s : m o d e l i n g a n d c a p a c i t ya n a l y s i s , " IEEE T r a n s . V e h . T e c h n o l . , v o l u m e 5 3 , n o . 3 ,p p . 6 3 4 - 6 4 3 , ( 2 0 0 4 ) .[ 6 ] T . A . C h e n , M. P . F i t z , W. Y . K u o , M. D . Z o l t o w s k i , a n dJ . H . G r i m m , "A s p a c e - t i m e m o d e l f o r f r e q u e n c yn o n s e l e c t i v e R a y l e i g h f a d i n g c h a n n e l s w i t h a p p l i c a t i o n st o s p a c e - t i m e m o d e m s , " IEEE J . S e l e c t . A r e a sC o m m u n . , v o l u m e 1 8 , p p . 1 1 7 5 - 1 1 9 0 , ( 2 0 0 0 ) .[ 7 ] T . F u l g h u m a n d K . M o l n a r , " T h e J a k e s f a d i n g m o d e li n c o r p o r a t i n g a n g u l a r s p r e a d f o r a d i s k o f s c a t t e r e r s , "P r o c . IEEE V T C , O t t a w a , O N , C a n a d a , p p . 4 8 9 - 4 9 3 ,( 1 9 9 8 ) .[ 8 ] S . G a z o r , a n d H . S . R a d , " S p a c e - t i m e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i z a t i o n o f MIMO w i r e l e s s c h a n n e l s , " IEEET r a n s . W i r e l e s s C o m m u n . , v o l u m e 5 , n o . 9 , p p . 2 3 6 9 -2 3 7 5 , ( 2 0 0 6 ) .[ 9 ] I . S . G r a d s h t e y n , a n d I . M . R y z h i k , T a b l e o f I n t e g r a l s ,S e r i e s , a n d P r o d u c t s , 5 t h e d , A . J e f f r e y , E d . S a n D i e g o ,C A : A c a d e m i c , ( 1 9 9 4 ) .[ 1 0 ] W. C . J a k e s E d . , M i c r o w a v e M o b i l e C o m m u n i c a t i o n s ,N e w J e r s e y : IEEE P r e s s , ( 1 9 9 4 ) .[ 1 1 ] W. C . L . L e e , " L e v e l c r o s s i n g r a t e s o f a n e q u a l - g a i np r e d e t e c t i o n d i v e r s i t y c o m b i n e r , " IEEE T r a n s . C o m m u n .T e c h n o l . , v o l u m e 1 8 , p p . 4 1 7 - 4 2 6 , ( 1 9 7 0 ) .[ 1 2 ] M . P a t z o l d , " M o b i l e F a d i n g C h a n n e l s " , C h i c h e s t e r :J o h n W i l e y & S o n s , ( 2 0 0 2 ) .[ 1 3 ] M . P a t z o l d , a n d B . 0 . H o g s t a d , "A w i d e b a n d MIMOc h a n n e l m o d e l d e r i v e d f r o m t h e g e o m e t r i c e l l i p t i c a ls c a t t e r i n g m o d e l , " P r o c . I S W C S ' 0 6 , V a l e n c i a , S p a i n , p p .1 3 8 - 1 4 3 , ( 2 0 0 6 ) .[ 1 4 ] M. P a t z o l d , a n d B . 0 . H o g s t a d , "A s p a c e - t i m e c h a n n e ls i m u l a t o r f o r MIMO c h a n n e l s b a s e d o n t h e g e o m e t r i c a lo n e - r i n g s c a t t e r i n g m o d e l , " W i r e l e s s C o m m u n i c a t i o n so n M o b i l e C o m p u t i n g , v o l u m e 4 , p p . 7 2 7 - 7 3 7 , ( 2 0 0 4 ) .[ 1 5 ] H . S . R a d , a n d S . G a z o r , " S p a c e - t i m e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i z a t i o n o f 3 d n o n - i s o t r o p i c MIMO m u l t i c a r r i e rp r o p a g a t i o n c h a n n e l s e m p l o y i n g d i r e c t i o n a l a n t e n n a s , "



6/6

IEEE T r a n s . W i r e l e s s C o m m u n . , a c c e p t e d w i t h m i n o rr e v i s i o n , ( 2 0 0 7 ) .[ 1 6 ] H . S . R a d , a n d S . G a z o r , " S p a c e - t i m e - f r e q u e n c yc h a r a c t e r i z a t i o n o f 3D n o n - i s o t r o p i c MIMO m u l t i c a r r i e rp r o p a g a t i o n c h a n n e l s e m p l o y i n g d i r e c t i o n a l a n t e n n a s , "P r o c . IEEE W C N C 2 0 0 7 , H o n g K o n g , C h i n a , p p . 1 8 9 0 -1 8 9 5 , ( 2 0 0 7 ) .[ 1 7 ] J . S a l z , a n d J . H . W i n t e r s , " E f f e c t o f f a d i n g c o r r e l a t i o no n a d a p t i v e a r r a y s i n d i g i t a l m o b i l e r a d i o , " IEEE T r a n s .V e h . T e c h n o l . , v o l u m e 4 3 , p p . 1 0 4 9 - 1 0 5 7 , ( 1 9 9 4 ) .[ 1 8 ] L . S c h u m a c h e r , K . I . P e d e r s e n , a n d P . E . M o g e n s e n ," F r o m a n t e n n a s p a c i n g s t o t h e o r e t i c a l c a p a c i t i e s -g u i d e l i n e s f o r s i m u l a t i n g MIMO s y s t e m s , " P r o c . IEEEP I M R C , v o l u m e 2 , p p . 5 8 7 - 5 9 2 , ( 2 0 0 2 ) .[ 1 9 ] C . X . W a n g , M . P a t z o l d , a n d Q . Y a o , " S t o c h a s t i cm o d e l l i n g a n d s i m u l a t i o n o f f r e q u e n c y c o r r e l a t e dw i d e b a n d f a d i n g c h a n n e l s , " IEEE T r a n s . V e h . T e c h n o l . ,v o l u m e 5 6 , n o . 3 , p p . 1 0 5 0 - 1 0 6 3 , ( 2 0 0 7 ) .

[ 2 0 ] K . Y u , " M u l t i p l e - i n p u t m u l t i p l e - o u t p u t r a d i o p r o p a g a t i o nc h a n n e l s : c h a r a c t e r i s t i c s a n d m o d e l s , " d o c t o r a l t h e s i s ,S i g n a l s , S e n s o r s a n d S y s t e m s , R o y a l I n s t i t u t e o fT e c h n o l o g y ( K T H ) , ( 2 0 0 5 ) .

F i g . 1 . G e o m e t r i c a l c o n f i g u r a t i o n o f a 2 x 2 n a r r o w b a n d o n e -r i n g c h a n n e l m o d e l w i t h l o c a l s c a t t e r s a r o u n d t h e m o b i l e u s e r .

. 0 1

, ~ 0 . 5 -2

enen 0O5 L5225 7 . 5 0 D 7 5

(MHz) 10 0 6 R I X (wave l e n g t h )

o, 0 . 5u)' O 2. 5 5

x ( M H z )M 2 . 2 5) . 7 5

6 R / X (wave length)( a ) ( b )F i g . 2 . T h e 2 - D S F CF P h h , ( X ) v e r s u s t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n X a n dmqt h e n o r m a l i z e d a n t e n n a spacing a t t h e MS i R / ( a ) the normalizeda n t e n n a s p a c i n g a t t h e BS i T / = 0 ( S I M O ) a n d ( b ) t h e n o r m a l i z e da n t e n n a s p a c i n g a t t h e BS d 5 / Z = 5 ( M I M O ) .

c

, 1 5 0 . 5 -u)

6 O

c

0

3 0 3 05 2 2 . 5 1 257 .5 ~15 75 751% ( M H z ) 1 0 0 6 T / X ( w a v e l e n g t h ) x ( M H z ) 1 0 0 6 1 1 X ( w a v e l e n g t h )( a ) ( b )F i g . 3 . T h e 2 - D S F C F P h i p h , ( Z ) v e r s u s t h e f r e q u e n c y s e p a r a t i o n X a n dm qt h e n o r m a l i z e d a n t e n n a s p a c i n g a t t h e BS d T / I A : ( a ) t h e n o r m a l i z e da n t e n n a s p a c i n g a t t h e M S i d R / i A = 0 ( M I S O ) a n d ( b ) t h e n o r m a l i z e da n t e n n a s p a c i n g a t t h e M S i d R / l = 0 . 5 ( M I M O ) .. t , X

* ~ 0 . 5 -u)0 O j0 2 . 5 -

2 1 -o~C u 0 . 5 -u)0 Ol

4 0 4 0- Z V N 2 0 207 . 5 1 0 7 . 5 20x ( M H z ) 1 0 0 X ( m s ) x ( M H z ) 1 0 0 X ( m s )( a ) ( b )F i g . 4 . T h e 2 - D T F CFp( P p h ) v e r s u s t h e t i m e s e p a r a t i o n r a n d

f r e q u e n c y s e p a r a t i o n X : ( a ) t h e n o r m a l i z e d a n t e n n a s p a c i n g a t t h eBS i r / I A = 0 a n d a t t h e M S i d R / I l = 0 ( S I S O ) a n d ( b ) t h e n o r m a l i z e da n t e n n a s p a c i n g a t t h e B S r / T Z = 5 a n d a t t h e M S d 6 R / ) = 0 . 5 ( M I M O ) .

1 llAC F ( r e f . m o d e l )

) 8 AC F ( s i m . m o d e l , N = 3 0 )060 . 6

02

1AC F ( r e f . m o d e l )

08 AC F ( s i m . m o d e l , N = 3 0 )

0 . 2..

0 0 V '0 0 . 0 2 0 . 0 4 0 . 0 6 0 . 0 8 0 . 1 0 2 4 6 8 1 0T i m e s e p a r a t i o n , X(s) F r e q u e n c y s e p a r a t i o n , X ( M H z )F i g . 5 . T h e 1 - D t i m e CF P h . p h . p ( r ) F i g . 6 . T h e 1 - D f r e q u e n c y CF( r e f e r e n c e m o d e l ) a n d P h i p h i p ( T ) p h h h h T ( y ) ( r e f e r e n c e m o d e l ) a n dh i p h( s i m u l a t i o n m o d e l ) w i t h N = 3 0 . P h i ( ) ( s i m u l a t i o n m o d e l )h i p hw i t h N = 3 0 .-05 . 2 0 -* , 0 . 5 ,0.5

0075_ 3 0 0 7 302 . 2 5 7 5 1 5 2 . 2 5 1 58 R / X ( w a v e l e n g t h ) 3 0 & 1 1 X ( w a v e l e n g t h ) 8 R / X ( w a v e l e n g t h ) 3 0 & 1 1 X ( w a v e l e n g t h )( a ) ( b )F i g . 7 . T h e 2 - D s p a c e CF v e r s u s t h e n o r m a l i z e d a n t e n n as p a c i n g a t t h e BS i d / , I a n d a t t h e MS d R / I ( a ) p h i p h m q

( r e f e r e n c e m o d e l ) a n d ( b ) p h i p h m q ( s i m u l a t i o n m o d e l ) w i t hN = 3 0 .

) o - (

0 S

o e 8 z

I -1

a generic space-time-frequency correlation model and its

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