a markovian model for the stationary behavior of tcp · s tvx{rtbvl`rbnq_`x _ff`tvx§x= cas b acfj...

35
A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP Sophie Fortin, Bruno Sericola To cite this version: Sophie Fortin, Bruno Sericola. A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP. [Re- search Report] RR-4240, INRIA. 2001. <inria-00072347> HAL Id: inria-00072347 https://hal.inria.fr/inria-00072347 Submitted on 23 May 2006 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destin´ ee au d´ epˆ ot et ` a la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publi´ es ou non, ´ emanant des ´ etablissements d’enseignement et de recherche fran¸cais ou ´ etrangers, des laboratoires publics ou priv´ es.

Upload: others

Post on 09-Aug-2020

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP

Sophie Fortin, Bruno Sericola

To cite this version:

Sophie Fortin, Bruno Sericola. A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP. [Re-search Report] RR-4240, INRIA. 2001. <inria-00072347>

HAL Id: inria-00072347

https://hal.inria.fr/inria-00072347

Submitted on 23 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

Page 2: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--42

40--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP

Sophie Fortin and Bruno Sericola

N˚4240

Septembre 2001

THÈME 1

Page 3: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W
Page 4: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

� � ��������� ��� � ������������������� ������� �!���"����# $%�&���&'�!���(���*),+.-

/1032�46587:9�03;=<>58?A@B?6CEDF; G�?60H/I7J;K5MLN03OP@RQ

S�TVU W�X�Y[Z \^]=_`XKacbed"X=f^_hgJ_ifjU W�X _kml`n>ohX=f^p[lhW�nql

\asrtr3nqlif&uVX�l`X=vwTVX lhvwTVXyx{zq|N}c|N~�Z �JX rtf`X W��Vl`X�}s~q~tY[Z �tY�r�as�sX _

�����!���>���s�N� S�TV��_�r�acr3X=l�rVlhX _hX xNfj_�a"uV��_hv l`X!fjX���fj��W�X���acl`�sn���vwT�as��xRW�neutX �m��nql�fjTVX�\^X=xVn��sX l`_h��nqxns��S^� k6¡¢fjTtX�fjl`asxV_hW���_`_`��nqx�v=nqxNfjlhnq�6rtl`nsf`nev=nq�1��nqllhX ���£as�V��X�fjl`asxV_`rBnqlif�nqx"fjTVXF¤¥xNf`X l`xtX=fK¦S�TVX{rtbVl`rBnq_`X��_Ff`TVX§X=�cas��b�acfj��nqx¨ns�^_ifwacf`��nqx�aclhg:S^� k.©�n�ª&_��3X=T�aK�e��nqlFbV_h��xV�«rBX li��nql`W�asxVv=X�W�X as_`btl`X _¬_hbVvwT­ac_FfjTVXW�X asx§fjTVlhnqbV�qTtrVbtfK¦�S�TVX�W�neutX �®��_���as_hX u"nqx�rVl`X!�e��nqbV_�ª¯nql`�°_&ª&TV��vwT"aslhX��sX xVX=ljas����± X=u§�Ng�fwas�°��xV����xNfjnasv v=nqbVxNf^fjTVX�_`��n�ª²_hfjaslhf^rVTVas_`X=_^f`T�acf^asrVrBXKacla��³fjX l�X asvwT´f`��W�X!��nqbtf�lhX v n��sX lhgs¦¯µ:X�v nqxV_h��uVX=l�fjTVX�fjTtl`X XuV��¶3X lhX xNf^rVT�as_hX _^ns��fjTVX�rVlhnsfjnJv nq��·�f`��W�X!��nqbtfK¡J_`��n�ª²_hfjaslhfasxtu"v=nqxV�qX=_hf`��nqx´aK�qnq��u�asxVv=X�acxVu"ª¯X�nq�tfjas��xasx�as�¸g°fj��v as� X!derVlhX _`_h��nqxt_���nslfjTtXFW�X asx¹x°bVWF�BX l[ns��_`X=�qW�X=xNfj_�_hX xNf�uVbVlh��xV��X asvwT�ns�mf`TVX _hX¬rVT�as_hX _�asxVufjTVX=��l&W�XKasx"uVbVl`acfj��nqxI¦»º�btlW�neutX � as��_`n�as����n�ª&_�bV_f`n�X!�sac��b�acf`X�fjTVX�rVlhnqr3nslhfj��nqx�ns�¼��nq_`_hX _^uVbVX�fjn�fjTVXfj��W�X=l X!derV��lhg�asxtu"f`TVX�uVbVrV����vKa�fjX�asvw�°xVn�ª&��X=uV�qW�X xNfj_=¦½´¾N¿®ÀhÁF ��Ã6�c� S^� k�¡m\^X=xVnV¡¼v=nqxV�qX=_hf`��nqx¨v=nqxNfjlhnq�P¡�©�n�ªÄv=nqxNfjlhnq�P¡�fjTVlhnqbV�qTVrtbtfK¡��´asl`�cn>�:vwT�as��xI¡¼��nq_`_rVl`nsr3nqlifj��nqxI¦

ÅÇÆ�ÈÊÉ¥Ë�Ì È�Í6Î�É¥Ï�Ð Ñ

ÒÔÓjÕKÖ=×>Ø>ÙÛÚ!Ü Ý>Ö!ÞMßMÙÛàNá=Ó`â®ÞMã�à>Ö�ÜäÕKÚiÞPÙæåÊÖ!çæè�á�é6ÙêÞPÙæëMè�Ü ìÇÞ

Unité de recherche INRIA RennesIRISA, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES Cedex (France)

Téléphone : 02 99 84 71 00 - International : +33 2 99 84 71 00Télécopie : 02 99 84 71 71 - International : +33 2 99 84 71 71

Page 5: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

� � � �������!��� ���������=�&� ���������!���»�� �����6� �� �&�¬���1����� �!�{���������6��§� ),+.-

�� ����� � � �»X=fmaclhfj��v ��XmrVl`]=_`X xNf`X»bVx�W�nJuVU ��XmuVXÔvwT�a��£xtX¯uVX»��aslh�sn���&f`X W�rV_�uV��_hv l`X!f�rBnqbVl ��a&�sX l`_h��nqx\^X=xVn§uVXFS^� k�¡I��X�rVlhnsfjnJv nq��X{uVX{v nqxNfjl��q��X�uVX{f`ljasxV_hW���_`_h��nqx´r3nqbtl[��X�fjl`asxV_`rBnqlif��¢as�t��X{_hbVl���� ¤¥xNfjX=l`xVX!fK¦�1X"�tbtf�X _if���� ]=�cas��bVacfj��nqx¨uVb v nsW�rBnqlhf`X W�X xNf¬_ifwacf`��nqxVxVas��lhX'uVX§©�bed�S^� k X x btf`������_jasxNf{uVX _�W�X _`btl`X _uVX«r3X=lh��nqlhW'acxVv X�f`X ����X _��JbtX���X¹uV]=�V��f�W�n�gqX=xI¦ �1X�W�neuVU=��X¹X=_hf���ac_`]«_`bVl§utX _�fjl`aK�sacbed rVlh] v ]=uVX xNf`_�°bV�_hnqxNf��q]=xV] l`as����_`]=_�X=xHfjX=x�asxNf�v=nqW�refjX"uVX _�rtT�as_`X=_'uVX´uV] W�aslhljas�qX"��X=xNf��°bV�asrVr�acljas��_`_`X=xNf�asrtl`U _vwT�a!�°bVX�lhX rVlh��_`X^uVX[f`X W�r3nsl`��_`acfj��nqxI¦�"nsbV_ v nsxV_`��uV] lhnqxV_»��X _�fjlhnq��_ÔrVT�as_hX _ ut��¶3] l`X=xNfjX _»uVb�rVlhnsfjnJv nq��X�·¼�£afjX=W�rBnql`��_jacf`��nqx®¡N��X[ut] W�asl`l`as�qX^��X xNf»X=f��#�ê]!�e�¸fjX=W�X=x°f¯uVX�v=nqxV�qX=_hf`��nqx�X!f�xVnqbt_»nq�tf`X xVnsxV_ uVX=_ X!derVlhX _`_h��nqxt_asx�as�¸g°fj�$�°bVX=_�rBnqbVl���XFxVnqWF�tl`XFW�n�gqX x«uVX{_`X �sW�X=x°f`_�X xN�qn�gq]=_�utbVljasxNf�vwT�acv bVxVX¬utX¬v X _�rVTVas_`X=_�X=f���X=bVluVbVlh] X�W�n>gsX xVxtXs¦%"nsf`l`X�W�neutU ��XxVnqbV_»r3X=l`W�X=f�]=�Nas��X=W�X=xNf�u&� ]=�cas��btX l ��a{rVl`nsr3nqlifj��nqx'uVX�rBX lifjX=_�uVbVX _���� X!derV��ljacf`��nqx§uVX���a{fjX W�rBnql`��_jacf`��nqx�X!f'����a¬uVbVrV����vKa�fj��nsx�uVX _^asv=v bV_h] _uVX�l`] v=X rtf`��nqx®¦(  ��� À �*) � � S^� k�¡�\&X xVnt¡�v nsx°f`l+�q��X�utX�v=nqxV�qX=_hfj��nqxI¡6v nqxNfjl��q��X�uVX�©�bed3¡¼uV]=�V��f ¡�vwT�a,�£xVX�uVX§�´asl`�cn>�B¡rVl`nsr3nqlifj��nqx§uVX�r3X=lhf`Xs¦

Page 6: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 �

6 7 ���1�6��� � �Ô� �=���8»X v asbV_hXns�BfjTtX��ql`X acf�X!der�asxtu�ns�BfjTtX�¤¥x°f`X lhxVX=f ¡ta���ncf¼ns�Bª»nsl`�FT�ac_Ô�BX X=x�uVnqxVX&nqx���f`_¼X:9�v=��X xtv=g�asxVu�nqxr3ns_`_`���V��X���W�rVlhn��qX W�X xNf`_ ¦�S�TVX'asrVr�acl`X xNf`��g«_`��W�rt��X¬W�X vwT�asxt��_`W nc�»fjTtX 0-�;���-<>= ��(��2?�� ���,��@4?����>�A,��S^� k bV_hX u �NgCBS�S&k fjljacxV_h��X=l ¡ ����X�fjljacxV_h��X=l ¡�X W�as���¯asxVu�lhX W�nsfjX�asv v=X _`_�T�ac_¬�3X=X x W�nJuVX=��X u:ª&��fjT�casl`��nqbV_�_hf`nevwTVas_hf`��v�fjnJnq��_=¦D6��l`_if�ns�¯as���P¡3a�_`��W�rV��X{�Vbef���xNfjX=l`X _ifj��xV��asrVrVlhnKdt��W'a�fjX���nsl`WFbV��a���nql^fjTVX¬W�XKasx¹f`TVl`nsbV�qTVrVbef�E�nc�»aS^� k ©Vn>ª ª»as_¯�q���sX x���xGFÇYK|�HM¦m¤¥xVuVX=X uI¡tas_`_hbVW���xV�Fa�r3X=l`��neuV��v�ª&��xVuVn�ª X!�qnq��btfj��nqxI¡°W'acl`�sX=u��Ng�ljasxVutnqW��nq_h_§X=�sX xNfj_´_`X rVasljacf`��xV� _hbVv v=X _`_h���sXRv nsxV�qX _ifj��nqxAa��snq��uVasxVv X�rtT�as_`X=_ ¡�f`TVX«asbtf`TVnql`_�ns�IFÇYK|�H�nq�efwas��xVX uEKJ LMONON?P QR>SUT _`X=�qW�X=xNfj_¬rBX l{_hX v=nqxVuI¡�ª&TVX lhXWV+XYX utX xVnsf`X _Ff`TVX�W�XKasx¨lhnqbVxVu¨f`l`��rRfj��W�Xc¡[Z¨��_�fjTVX_`X=�qW�X=xNf��nq_`_�rtl`nq��ac�V������f¥gq¡easxVu]\YJ_^�nsla`e¡VuVX=r3X=xVuV��xt��nsx�ª&TtX=fjTtX l&fjTVX�S^� k­��W�rV��X W�X xNfwa�fj��nsx'uVnJX _nql uVnJX _»xVnsf���xVv ��bVuVX[utX �£aKgsX u"asvw�°xVn�ª&��X=uV�qW�X xNfj_=¦ÔS�TtX�nql`uVX=l»ns�3^cbd Z�ª»as_ ��bVlifjTVX=l uV��_hv bV_h_`X=u"��x�FÇYK|�H�Vbtfas��_`n���xeFÇY�f�HM¡���x§ª&TV��vwT"f`TVX�ª&��xVuVn�ª*_`��± X�uV��_ifjlh���Vbtf`��nqx���btxVv=f`��nqx"asxVu�W�nqW�X xNfj_ ª¯X lhX�v=nqW�rtbtfjX=uI¦

pW�nsxV�Rac���&nsfjTtX l�_hfjbtuV��X=_ ¡�_`btvwT as_GFÇY���HM¡gFÇY>}�HM¡gF¸Y�h�H�acxVuiFjf�HM¡�W'asxNg aslhX���ac_`X uHnqx­a:©VbV��uHasre�rVl`nqasvwT¹asxtu¹aslhX�bt_`b�as����g�acxVu´W�as��xV��g'��xNfjX=l`X _ifjX=u���x"�qX!f`fj��xV��asx´asx�as�¸gJf`��v as�IX!derVlhX _h_`��nsx���nql�fjTVX�W�XKasxfjTVlhnqbV�qTtrVbtf�ns�¯a�_h��xV�q��X�_ifjX asutgN�¥_ifwacf`X¬S^� k*v nsxVxVX v!fj��nqxI¦�¤¥x«asuVuV�¸fj��nqx´f`n�fjTVX=_`X¬l`X!��X lhX xVv=X _�asxVu«as��_`nv nqxt_`��utX l`��xV�"a�©�bV��u«X!�qnq��btfj��nqx«ns�¯f`TVX¬ª&��xVutn>ª _`��± Xs¡3Fê}�HM¡?FÇY�HM¡kFlhcHÔasxVumF |�Hm��nev=bV_�nqx�fjTVX¬ª&��xtuVn�ª%_`��± Xn�o�ohbV_if��BX=��nqlhX�fjTtX.pB�PfjT¹��nq_`_=¡®acxVuqF |�H6f`TVX x�v nqW�rVbtf`X _f`TVX���lh_hf�asxVu¹_hX v nsxVu�W�nsW�X=x°fns�3nGoe¦S�TVXvKas_hX§ns�^WFbV�¸fj��rt��X�S^� k.v=nqxVxVX=v=fj��nqxV_¬��_{fjTVX'_`bV�JohX=v=f�ns��F ��HM¡YF¸YqY:HP¡�asxturFts�HM¦:º[fjTVX=l{fjnJnq��_�T�aK�qX§�BX X=xX!derV��nql`X=uI¡t_hbVvwT�as_¯f`TVX[W�a�d°�¥rt��bV_Ôas���qX �Vl`a���xuFtv�HBª&TVX lhX[fjTVX[asbtf`TVnql`_¯nq�tfjas��x�X!derVlhX _`_h��nqxt_ ns�1fjTtX[W�XKasxfjTVlhnqbV�qTtrVbtf^��x§fjTtX�v as_`X�ns�6_`X!�qX=ljas��l`nqbefjX lh_&��x§_`X=l`��X _ ¦

º�bVl�r�acr3X=l´��_"�Vas_`X=u²nqxErtl`X=�J��nqbV_�ª»nqlh�°_�rVlhX _`X=xNfjX u ��xwFÇY�scHP¡xFÇYcv�H�asxVuyFjz�H�ª&TV��vwT*v nqxV_h��uVX=l�auV��_hv lhX=fjX���f`��W�X{W�neuVX=�¼asxtu«a�uV��_hv l`X!fjX¬X!�qnq��btfj��nqx¹ns��fjTtX{ª&��xVutn>ª._`��± Xc¦�µ:X¬rVlhnqr3ns_`XFTVX=l`X�a�uV��_`v=l`X=f`X!�fj��W�X��´asl`�cn>�«vwTVas��x«W�neuVX=��ª&TV��vwTRas��W�_^fjn��q�¸�qX�asx�as�¸g°fj��v as��X!derVl`X=_`_h��nqxV_���nql�W�XKas_hbVl`X=_�_`bVvwTRas_�fjTVXW�X asx'f`TVl`nqbt�qTVrVbtf»ns� nqxVX�VbV����f`ljasxV_i��X l¯S^� k¼�¥\^X=xVnF©�n�ª*asW�nqxV�{X�denq�qX xtnqbV_»f`lja�9�vs¡e�Vbtf¯ª&TV��vwT�as��_`nas����n�ª&_�bV_�fjn´nq�tfwac��x:�caslh��nqbt_�lhX _`bt��fj_���nql�fjTVX�_`bVv=v X _h_`�¸�qX�S^� k _hfwa�fjX _|{8X!derBnqxVX=x°f`�£as�Ô�qlhn>ª�f`TI¡¼����xVX asl�ql`n�ª�f`T¹asxVu´��uV��X�r3X=l`��neu"ac�³f`X l�fj��W�X��¥nqbtf&utX=fjX=v=f`��nqx#}»f`T�acf��XKacu�f`n'W�nql`X�acv v btljacf`X�uV��_`v=bV_`_h��nqxV_[as�BnqbtfS^� k­�3X=T�aK�J��nql=¦

S�TtX�r�acr3X=l���_�nql`�qasxV��±=X u:as_���nq����n�ª&_ ¦��eX v!fj��nqx¨}�lhX=�J��X!ª&_{S^� kE��l`nsW ��f`_���W�rV��X=W�X=x°fjacfj��nqx�f`n´�¸fj_W�X=vwT�asxV��_`W�_1{���nq_h_�uVX=f`X v=f`��nqx��Ng �% �~I���;���� nql �%�( l=&���1����=&�U $A;���/�.�*25�g< asxVu«ª&��xtuVn�ªyv nqxNf`l`nq��_hfjacfjX=_ ¡x�asW�X u <������<��$����� asxVu A,������,<��% $�������� ������A,� }!¡¢��x�f`TVX{v as_`X{ns�mfjTVXF\^X=xVn'�qX=l`_h��nqx¹nc��S^� k6¦1�JX v=f`��nqx��rVl`X=_`X xNf`_´nqbtl�uV��_hv lhX=fjX���f`��W�X«��aslh�sn�� vwT�as��x W�nJuVX=�[��as_hX uAnqx­fjTtX�xVnsfj��nqx ns� ������&��< ª&Tt����X´fjTVXfjl`asxV_`�¸fj��nqx�rVl`ns��as�V������f`��X=_{ns�^fjTVX´��acl`�sn�� vwT�ac��x�{ ��2 }Fasl`X�X!�sac��b�acf`X u ��x �eX=v=f`��nqx |V¦ S�TV��_�ª&�����¯�3Xv nqW�rV��X=fjX=u���x��eX v!fj��nsx1h�ª&��f`T�f`TVX&��xNfjlhneuVbtv=fj��nqx�ns�®f`TVX ���,<� �������� ������&��< ¦��eX v!fj��nqxIf���_mutX=�qncfjX u�fjn�fjTVXv nqW�rVbtfjacfj��nqx�nc�¼fjTVX{W�X asx´f`��W�X�_hr3X=x°f���x�X asvwT�rVT�ac_`X¬asxtu¹ns�¼f`TVXFW�XKasx´xJbtWF�3X=l[ns��_hX �qW�X xNf`_�_`X=x°fuVbVlh��xV��XKasvwT§ns�®fjTVX=W´¦¼¤¥x�f`T�acf¯_`X=v=fj��nqxI¡Jª»X[as��_hn{rVlhn>�J��uVX[X�dtrtl`X _h_`��nqxV_»��nqlÔfjTVXW�X asx�f`TVl`nsbV�qTVrVbef�asxVu��nql»f`TVX��qnenJuVrVbefK¦�µ:X�rVl`X=_`X=x°f^x°bVW�X lh��vKac�Il`X=_`bV�¸fj_���x"�JX v=f`��nqx]vFacxVu´�eX v!fj��nsx�sFv=nqxVv=��bVuVX=_�fjTVX�r�acr3X=l ¦� � �� �¯�6� ��� �!��� ���A)y+ -

S�TVX�¤¥x°f`X lhxVX=f[�»nqW�WFbVxV��vKacf`��nqx�k�lhnsfjnJv ns�1r�asvw��as�qX�v as����X u�S^� k3�c¤Êk­T�as_&�BX X x"��W�rV��X W�X xNfjX=u�asxVu���W¬�rVl`n��sX u�nqx¬p[lhr�asxVX!fK¡qfjTtX�¤¥x°f`X lhxVX=f�rVlhX uVX=v X=_`_`nsl ¡J��xFfjTtX �3X=�q��xtxV��xV�[ns�¢fjTVXYsq~ �ê_=¦�¤�fmT�ac_¼fjTVX=x�rtl`n��qX=u��¸fj_X:9�v ��X xVv!g¹acxVu¹��f`_[ac�V������f¥g�f`n�asu�acrtf[f`n�fjTtX{X=�snq��befj��nsxW��nsxVX{W����qTNf^_jaKg"fjTVX�X!derV��nq_`��nqxq{�X!der3nsxVX xNfj��as�nql�X=�sX x´T°gJrBX lÊ�¥X!derBnqxVX=x°f`�£as� �qlhn�ª�fjT#}k�'ns��fjTVX�x°bVWF�BX l&ns��v=nqxVxVX=v=fj��nqxV_=¡Bnc�6xtX=f¥ª¯nql`�§v=nqW�rt��X!de�¸f¥g§asxVuns�6bV_`X=l`_^uVX W�asxVuI¦

��� à3�(���,���

Page 7: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

| !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �S�TtX�uVX _hv l`��rtfj��nqxV_�acxVu§l`X=v nqW�W�X=xVu�acf`��nqxt_ ��l`acfjTVX=l»fjTVasx§_hfjasxVu�aslhuV_?��ns�1f`TVX�S^� k3�c¤Êk rVlhnsfjnJv ns��_

asl`Xmrtl`nqrBnq_`X=uI¡�uV��_hv bV_h_`X u�asxVu�bVrBu�acf`X u���x�f`TVX�\ D��»_?{�� ����� �,<�� <�5��Y2?�~ ~I��� ��< }�¡Kª&TV��vwT�vKasx��BX¼��nqbVxVu��nql���xV_hfjasxVv X{��x¹fjTtX¬\ D��²X ut��fjnsl[ª»X=�«r�as�qX�·TNf`fjr®· � �>ª�ª�ª�¦êli��v!�¥X=uV��f`nql ¦ nqlh�V¦�S�TVX¬W'ac��x¹\aD��»_�as�BnqbtffjTVX[uV��¶3X lhX xNf �°��xtuV_ ns�1S^� k �qX=l`_`��nqxV_"{�S�acTVneXc¡t\&X xtnV¡��X=�Nas_ ¡ "X!ª �Ê\&X xVnO}ÔasxVu�f`TVX ��l¯v=nqW�rVasl`��_`nqx'asl`X·Ô\ D�� v�zq�e¡�\ D���}s~s~tYq¡�\aD���} h�stY�asxtu�\aD���} h�sN}e¦�� �� ����� ���������������� �!"� #%$'&'�������(&)�+*,$'�S�ª¯n{f`ljasxV_hr3nslhfÔrVl`ncfjnJv nq��_�asl`X^r�aslif¯nc�1S^� k3�c¤Êk ·qfjTVX 0�� ���-<�~ �<,<� $���2?�� ������ 4?����>�A,�� S^� k asxVu�fjTVX- <����/. ���$����� ��~ 4?����/�A,��10�2 k6¦�p[_�nsrVr3ns_`X u�fjn 0�2 k6¡�S^� k ��_&a¬l`X=���£ac�V��X&fjl`asxV_`rBnqlif&rVl`nsf`nev=nq� {³©�n�ªv nqxNf`l`nq� }¯��nql�v nqxtxVX v!fj��nsx´nqlh��X=x°f`X u�����xV�°_�{8_hX X FÛ}s~cH�asxVu�F¸YK~�H }!¦

S^� k3�c¤Êk asl`vwTV�¸fjX=v=fjbtl`X���_¬�q�¸�qX=x ��xmD����qbtl`X¹Yq¦RS�TVX�S^� k%TVXKasutX l¬v nsx°fjas��xt_���xt��nqlhW'acf`��nqxRas�Bnqbtf_`nqbtl`v X�asxVu'utX _hf`��x�a�fj��nsxI¡erVasvw�sX!f���X=xV�sfjT®¡°ª&��xVuVn�ª _`��± X*{8_`X=X��eX=v=f`��nqx�}J¦æ} }�¡Jasvw�°xVn�ª&��X ut�qW�X=xNfK¡trtl`��nsl`��f¥gs¡X=f`vs¦mS�TVX=_`X[S^� k���TVXKasutX u�r�acvw�sX=f`_�aslhX^v as����X u <��$��~I��� � < {�r�asvw�cX=f btxV��fÔ��x�vKac_`X^ns�1a�S^� k�v nqxVxtX v=f`��nqx }!¦S�TVX�¤Êk TVXKacuVX l�_`rBX v=� ��X=_´�¸fj_§��X xV�sf`TI¡f`TVX�fjl`asxV_`rBnqlif´rtl`nsf`nev=nq�x{8S^� kÄnql 0�2 k3}!¡ f`TVX«_`nqbtl`v X:asxVuuVX _ifj��x�acfj��nqx�¤Êk asuVuVlhX _h_`X _&acxVu§uV��¶3X lhX xNf �°��xVuV_ ns� nsrtfj��nqxV_»_hbVvwT"as_»lhnqbtf`X�l`X=v nqlhuV��xV�t¡Jf`��W�X_ifwasW�rV��xt�V¡X=f`vs¦�p _`X �sW�X=x°f^X=xVvKasrt_`bV��acfjX=u"ª&�¸fjT´asx�¤ÊkHTVXKacuVX l&��_ f`TVX x´vKas����X=u�a ����$����� ��~ ¦

3547698;:=<?>A@?BAC�:D:9>EBA<?8FC�:

G�HDH9I 8;BEJK<?8FC�:

:9>A<5L+C�@?MN8F:O<?>P@RQSJ�BA>HDT=UWV 8;BEJ I :D>A<XL'C�@?M Y[Z \�]^Z`_Eababcedefg_Ah5dei�j

\�]^Z`_Eababcedefg_Ah5dei�j

J H9HDI 8FB�JK<?8FC�:k)l'43m4

_Eababcedefg_Ah5dei�j\�]^ZY[Z

_Eababcedefnpobq5r?sobq5r?s

:9>A<5L+C�@?M%Qt@gJKu%>v6w J�<gJ�x�@gJKuy6V >Ex�u%>E:=<(6

z s_E{r

| _Ah5_

| _Ah5_

| _Ahm_} r_ | rgs

} r_ | r?s

} r_ | r?s } r

_ | rgs | _Ahm_

} r_ | r?s } r

_ | r?s } r_ | rgs | _Ahm_

~"J U >A@ V 6\�]^Z ���'ZsXrcedF_E�bc

r��jbi�j

s�rcedF_E�bc

r��k�@gJK: VRH C�@R< H @?C�<?C=BEC I

8F:=<?>A@RQSJKBE>:D>P<5L'CK@?M

D6���qbVlhXFYq· 0[� �|03254��+�,4 ����A,�� ��>�,A��%�����D��� E� ����� ������#N���K&��S^� ky��_�a«©Vn>ª v nqxNf`l`nq�&rVlhnsfjnJv nq� f`T�acf�uVX!fjX v!fj_�v nqxt�qX _ifj��nsx fjTtl`nqbV�sT ��nq_`_hX _ ¦ ¤�f���_���as_hX uHnsx �BnsfjTasvw�°xVn�ª&��X=uV�qW�X xNf[lhX v=X rtf`��nqx"asxVu"_`����uV��xV�{ª&��xVuVn�ª�¦

¤¥xtuVX X=uI¡X asvwT _`bVv=v X=_`_h��bt����gHl`X=v X �¸�qX=u*r�acvw�sX=f���_��cas����u�acf`X u acxVu v nqx ��l`W�X u­f`nRfjTVX�_hnqbVlhv X��Ng­a_`W�as���er�asvw�cX=f¯vKas����X u¬p^��� { �*25������ ���;����� }!¦�S�TV��_mp^���Ev=nqxNfwas��xV_¼fjTtX^_hX �°bVX=xVv XxJbtWF�3X=l�ns�¢fjTVX&xVX�defX!derBX v=f`X u"�NgJf`X�asxVu�aFlhX v X=���sX l � _ ª&��xtuVn�ª*_h��±=X��q���J��xV�{��xt��nql`W�acf`��nqx�as�Bnqbtf �¸fj_ �tbt¶®X=l nJv v btr�asxVv!gq¦38»btffjTVX¬W�nqlhX{r�asvw�cX=f`_�gsnqb�_`X=xVuI¡1fjTVX{W�nqlhXFp^����_�gqnqb«��XKaK�qXFf`TVl`nqbt�qTVnqbtf[fjTVXFxtX=f¥ª¯nql`�¢¡�asxVu¹f`TVX¬W�nsl`XfjTVX�xVX=f¥ª¯nqlh��W����qTNf^�3X���nNacuVX u�{8X=�sX x¹f`TVnqbV�qT´fjTVX=_`XFr�acvw�sX=f`_�aslhX{_`W�as����}!¦�S�TVacf���_^ª&TNg"fjTVX�l`X v=X �¸�qX l_`nqW�X=f`��W�X _�ª»as��f`_^��nql&W�nql`X�u�acfja�f`n�asvw�°xVn�ª&��X uV�qX��3X!��nql`X�_`X=xVuV��xV��asx"p^���¬¦3S�Ttnq_`X�p^����_[asl`X�fjT°bV_vKas����X=u ����� ��'�;� p^����_ ¦�S�TVXxJbtWF�3X=l \ ns�I_`X �sW�X=x°f`_¯�cas����u�acf`X u�r3X=l»p^���²��_Ôf¥gJrV��vKas����g¬X �JbVas�Bf`n'Ynql }asv v=nql`ut��xV��fjn�f`TVX[��W�rt��X W�X xNfjacfj��nqx¬ns�1S^� k _`T�acl`X u'�°g�f`TVX[X=xVuVrBnq��xNfj_=¦kBn�ª¯X=�qX=l ¡�a�fj��W�X=l3X��¼ª&������_`X=ffjTVX^uVX=r�aslhf`bVl`X^ns�Iasx'p^���²�¸�®xVn�xVX!ª u�acfja���_�f`n��BX^p^����X=u��BX=��nqlhX&f`TV��_mf`��W�X lmX!derV��l`X=_ ¦mS�TVX=l`X=��nsl`Xs¡J���a¬r�asvw�sX!f�acl`l`�¸�qX=_&asxVu§fjTVX�xtX!dJf^nqxVX _&�qX!f&��nq_ifK¡JfjTVX�lhX v X=���sX l&vKasx´acf���XKas_if^asvw�°xVn�ª&��X=uV�qX�fjTVX �Vl`_hf^nqxtXs¦

p_FW�X xNfj��nqxVX u��BX=��nsl`Xs¡mS^� k ��_F�Vas_`X=u nsx a�_`����uV��xV�´ª&��xVuVn�ª utgJx�asW���vs¦«S�TV��_F_`����uV��xV�´ª&��xVuVn�ª�¡��xV�¸fj��as����± X u¹f`nRYq¡6�q���sX _�fjTVX�xJbtWF�3X=l�nc���NgJf`X _{f`T�acf{vKasx:�3X�_`X xNf¬�BX=��nsl`X�l`X v=X �¸�e��xV�¹acx°g�p^���¬¦1�ÔacvwTfj��W�X�acx"p^���.asl`lh���sX _ {�ª&�¸fjTVnqbef&asxNg§��ns_`_ uVX!fjX=v=fj��nqxI¡¢as_�utX _`v=l`���3X=u´��acfjX=l,}!¡JfjTVX�ª&��xVuVn�ª*_`����uVX _ f`n¬fjTVXl`���qTNf3��ac_ _`TVn�ª&x§��x1D����qbVl`X[}g��f`n{lhX ��X as_`X[��xNfjn�fjTVXxVX=f¥ª¯nql`�'as_»W�asxNg��NgJf`X _&as_ÔfjTVX[p^��� �cas����u�a�fjX _=¦

�?�5�(�?�

Page 8: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 hBn�ª¯X=�qX=l ¡�fjTtX�ª&��xVuVn�ªA_`��± Xc¡VuVX xtnsfjX=u"�Ng���� p��¬��x§�Ng°fjX _�nslYn��Ô��x�_`X=�qW�X xNfj_=¡���_ W�neut� ��X=u§asv v=nql`ut��xV�fjn�fjTVX�as���qnqlh��fjTtW rtl`X _hX xNfjX=u���x��JX v=f`��nqx�}e¦ê��asxVu�uVX _hv lh���BX u���x�fjTVX�\aD���}s~q~tY { Fê}eY�H }!¦

� � � � � � �� ¦¸¦�¦V >E:=<�J�: w V >E:=< J�: w @?>EJ w U � U <?> VG l��(> w L J�8e<?8F:DxvQtC�@JKBPMO:9C�L I > w x�u%>E:=< <?C � >V >E:=<

BEC�:Dx�> V <?8FC�:�L)8F: w C�L

D����qbtl`X�}e· !#�U ��� ���� � ��&����N�D6��x�as����gs¡°f`TVX lhX{acl`X�f¥ª¯n��°��xtuV_&ns����nq_`_&uVX!fjX=v=fj��nqx«·

Ú��K×�ÙêÞ��

���

�������! Ì#"%$IË�Î'&�( �*)��+�-,. Ð�/0"21�Ë`Ð�/ 4365 Î7"�&8(

çêÖ ë�ß ëMÚ�9;: Úhà=ß çÛÖ=ë8ß�ëMÚ�9;: Úhà=ß

ë8Ú<9;: Úià ß1ÞPÚÊßMÞ�è�àcë=: ÙæëMëMÙêÖ=à

��>�? (-@ è!Ù ß�ë®ìÇÖ!Þ*A

B Þ�ë�ß*CD� ßMÚ8A

ëMÚ�9E:»Úhà ßIÞPÚÊßPÞPè!à�ë':»ÙæëPë8ÙÛÖ!àßPÙ0: ÚiÞ�� �

#F�ã>×>çÛÙæåièwßPÚ ��>�?më

D����qbVl`X��e·HG �<,<������/�,A��� $���~I�,A,�-��� �<�~.<D�I uVX!fjX v!fj��nqx'�Ng �% �~I���;���� ¡enql3XKJy·¼���®xVn{p^��� ��_Ôl`X=v X=���qX=u'��nqlÔ�NgJf`X[x°bVWF�BX l3p��BX=��nsl`X&fjTVXX!derV��ligns��aRfj��W�X=lIXML�{ �tdeX uAnql�btr3u�a�fjX u �Ng lhnqbVxVu­f`l`��r uVX ��a�g W�XKas_hbVl`X=W�X=x°f`_,}�¡fjTtX xAa �% �~I���;����nJv v btl`_ ¦§S�TtX�_hX �qW�X xNfF_ifwaslifj��xV�§ª&��fjT:�NgJf`XIp ��_�v nsxV_`��uVX lhX uR��nq_hf�asxtuR��_�f`TJbt_{l`X!fjl`asxV_`W���fhfjX=uI¡asxVu"xVn�W�nql`X�u�a�fwa¬��_�_hX xNf[btx°f`���I�Ng°fjX�p«��_�p^����X u�{8_hX X�}e¦ê�¬��nsl ��bVlhf`TVX l&uVX!fwas����_,}ON

I uVX!fjX v!fj��nqx¬�Ng�f`TVX�aslhl`���cas�°ns� � �����,� ����=&�U $A;���/� �*25�g< ¡snsl@XKP ·����¢a[_hX �qW�X xNfm�BX �s��xVxV��xV�ª&�¸fjTF�Ng°fjXp ��_���nq_hf��Vbef�_hnqW�XF��nq����n>ª&��xV��_hX �qW�X xNfj_�aslhX�lhX v=X ���sX uI¡�XKacvwT:ns�¯fjTVX=_`X¬ª&�����¼�qX=xVX l`acfjX�asx«p^���l`X �°bVX _ifj��xt���Ng°fjXIp�¡mfjT�a�fF��_�nqxVX�p^��� l`X �JbtX _hf`��xV���Ng°fjX|p­asxVu�_`btv v X=_`_h���qX�uVbtrV����vKacf`X'p^����_ ¦S�TVX�l`X=v X refj��nsx�nc�¯f`TVX¬fjTV��l`u«uVbVrV����v acfjX¬p^��� {�|�_`��W�����asl[p^����_�}�ª&�����6T�as���sX¬fjTVX¬ª&��xtuVn�ªyasxVu�qX=xVX l`acfjXFf`TVXF_`X=�qW�X xNf�l`X!fjl`asxV_`W���_h_`��nqxI¦�¤¥x¹�8asv!fK¡IutbVrV����vKacf`X{p^����_�vKacx��3XFutbVX{fjn§ut��_`nsl`uVX=l`X u_`X=�qW�X xNf�l`X=v X refj��nsxI¡ asxVu�fjTtX¬asl`lh���cas�6ns�ÔnqxVXFnql�f¥ª¯n�uVbVrV����v acfjX�p^����_���_�xVnsf�v=nqxV_h��uVX=l`X u:as_�arVlhnens�6ns�6��nq_h_ ¦

�� 'Q ����� &�R �TS �(�^����R � &�R � � $URWV #WVXSYR%$+�������S^� k,©Vn>ª v=nqxNfjl`ns�v=nqxV_`��_hf`_'��x fjTVlhX X´rVT�as_hX _¹· <����� <��$����� ¡ A,������,<��� $�� ����� ������A,� asxVu �� �~I���;���� ¦S�TVX ��l�fjl`���q�qX=l`��xt�F��_&v nsx°f`l`nq����X=u§�°g���nq_`_�X!�qX=x°f`_�asxtu"f`TVX�v nqW�r�aslh��_`nsx"nc�6f`TVX�v nqxV�sX _hf`��nqx�ª&��xtuVn�ª²_`��± X{���� p���nqlan�� }¯fjn¬f`TVX <����� <�� ���(�?� �����,<,� �� � {�Z[Z]\<^`_ba-Z[^´�Ng°fjX _^nqlandcfe�_`X �sW�X=x°f`_,}�¦��� à3�(���,���

Page 9: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

f !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

I <������<�� ���(� {'Z Zc} ·kn�� � J�n ���K^X asvwT�f`��W�X&asx'p^���²��_ÔlhX v=X ���sX u {�\»_`X=�qW�X xNfj_¯p^����X=u#}!¦m¤��®fjTVXª&TVnq��XFª&��xVutn>ª.�qX!fj_�_`btv v X=_`_i��bV���¸g¹fjl`asxV_`W���fhfjX=uI¡®fjTtX x���f�ª&�������qX xVX=ljacf`X���n � b�\��'p^����_=¡ ª&TtX l`X���¬utX xVnsf`X _^fjTVX�_`W�as����X _if��xNfjX �sX l�� � ¦ D�nqla\ J ^q¡Ba�ª&��xVuVn�ª ns�m_h��±=X*n � ª&�����If`TJbt_�qX=xVX l`acfjXn � p^����_=¡B_hn���f�ª&�����®�qlhn�ªE��l`nsW n � f`n ` n � ¦¯�»nqxV_`X �°bVX xNfj�¸gq¡�fjTtX�v=nqxV�qX=_hf`��nqx�ª&��xVutn>ª*�qlhn>ª&_X!derBnqxVX=x°f`�£as����g'uVbVl`��xV�FfjTtX�_h��n�ª²_ifwaslif^rVT�as_hXbN

I A,������,<��� $�� ����� ������A,� {�����}�·�XKasvwTHp^��� lhX v=X rtf`��nqx acuVuV_u^�b n��F_`X=�qW�X=xNfj_�f`nRfjTtX´ª&��xtuVn�ª_`��± Xc¡�_`n�fjT�acf&f`TVX�p^����W�X xNf^ns�6fjTVX�ª&TVnq��X�ª&��xVutn>ªE��xVv=l`X as_`X=_+n��Ô�°g ^�b�\�¦»�»nsxV_`X �JbtX xNfj�¸gq¡¢fjTVXv nsxV�qX _ifj��nqx"ª&��xVuVn�ª*�ql`n�ª&_^����xtXKaslh��gu{8ns�6nqxVX�_hX �qW�X xNf^X=�sX lhg]\l`nqbVxtuV_,} uVbVlh��xV�¬f`TVX�v nqxV�sX _hf`��nqxaK�qnq��u�asxVv=X�rVT�as_hXbN

I �� �~I���;���� {7\���}�·tohbV_if�a��³fjX l aYXKJ­��nq_h_1uVX=f`X v!fj��nsxI¡�f`TVXÔasrVr�acl`X xNf`��g���nq_hf _hX �qW�X xNf���_ l`X!fjl`asxV_`W���fhfjX=uI¦p�³f`X l�XKasvwT�lhX=fjl`asxV_hW���_`_`��nqx«�8as����bVl`Xc¡�f`TVX'fj��W�X=l��sac��bVX�uVnqbV�t��X _1{���lhnqW X L{f`n�`�XML�¡���X L�¡���X LK¦¸¦¸¦ }bVxNfj������� XML�¡ asxVu«fjTtX x�l`X W�as��xV_�v nsxV_hfjasxNf1{8asxVu��qX=f`_���asvw��f`n]XML�acf�fjTVX�X=xVu:nc�¯f`TV��_�f`��W�X!�¥nsbtfrBX l`��neu®¡tfjT�a�f&��_ ª&TVX=x´fjTtX�v=nql`lhX _hr3nqxtuV��xV��p^���%acl`l`�¸�qX=_,}!¦

S�TtX{©�n�ª v nqxNfjlhnq�¼ac���qnqlh��f`TVW ª&TV��vwT�vwT�asljacv=fjX=l`��± X _fjTVX¬\&X xtn'�qX=l`_`��nqx�ns��S^� k�¡IuVX _hv lh���BX u���x´fjTVX\ D���}s~s~tY { Fê}eY�H }»��_&as_���nq����n�ª&_ ¡Jª&TVX lhX�����uVX=xVnsfjX=_^f`TVX��ql`X acfjX=_hf^��xNf`X �qX=l���� ¦

I ��xt��fj��as����±Kacf`��nqx�ª&��f`T�n�� � J�^¬asxVuGndcfe � JyndcfeL { FÛ}JY�H�lhX v=nqW�W�X xtuV��xV� fh hc�h��Ng°fjX=_,}ON�Z Z{rtT�as_`Xas_&��nsxV��as_ n����rndcfeL asxVu"xVn���nq_h_�nev=v bVlh_]N¢���@n��Ôl`XKacvwTVX _ ndcfeN¡�_hª&��f`vwT´��xNfjn�a � �'rtT�as_`X N

I ��� a�XKP ��nq_`_�nJv v=bVl`_=¡�fjTVX=xCndcfe � J"!$#&%�'&� n �>b `&��((`�)�asxtuqn�� � J*!$#&%�'+��n�� b `&��(�^&)+N¼_iª&��f`vwT��xNf`n�a ���'rVT�ac_`XbN

I ����a XKJ ��nq_h_&nev=v bVlh_ ¡VfjTtX xun cfe � J,!$#&%�'&� n � b `&��((`�)¯asxVuun � � J ^�N�_iª&��fjvwT"��xNf`n�a \��{rVTVas_`X NI ª&TVX=xRa \���rVTVas_`X¬X=xVuV_ {8��nq_hf�_hX �qW�X xNf�p^����X u#}�¡1fjTVX=x�X=xNfjX l�asxtu�lhX W�as��x���xNfjn�a Z[Z�rVTVas_`X�as_��nsxV��as_an����rndcfe�asxVu"xVn���nq_h_&nev=v bVlh_ ¡¢asxVu�fjTtX x"_hª&��f`vwT´��xNfjn�a � �'rtT�as_`Xc¦

- ) ��� � ���§���

¤��f`TVX§uV��_`r�acf`vwT uVbVlja�fj��nsx�ns�as����fjTVX§_hX �qW�X xNf`_�acxVu ns�as����fjTVX§p^����_�TVX=��u ��x�a��q�¸�qX=x ª&��xVuVn�ªÄ��_xVX �s�����s���V��X�v nqW�r�aslhX u�f`n{fjTtX ������&� ���� l=u�� �~I� \�S�S�¡°fjTtX x'ª¯X�vKacx�ohbV_hf`���³g¬f`TVX��nq����n�ª&��xt��utX ��xV�¸fj��nqx'ns�������&� �q�¸�qX x���xqFÇY�s�HM¡ FÇYcv�HmacxVuCFtz�H ·^a ������&� ��_^fjTVX{r3X=l`��nJu¹ns�mf`��W�X{�BX=f¥ª¯X X=x�f`TVXFuVX=r�aslhf`bVl`X{ns��fjTVX��l`_if�_`X=�qW�X xNf�ns�mf`TVX{v=bVl`lhX xNf�ª&��xVuVn�ª.asxVu�f`TVXFaslhl`�¸�sac�1ns����f`_p^���¬¦®S�TtXF����xVXKasl&uV��as�ql`asW���xuD����qbtl`X|´_hTVn�ª&_�f`T�acf�fjTVX�uVbVl`acfj��nqx�ns� a�l`nsbVxVuR��_�v ��ns_`X¬fjn�fjTVX�l`nsbVxVu:f`l`��r«f`��W�XFª&TVX x�fjTVX�uVX=�£aKgqX=uRp^���fj��W�X=l X � ��_�_`W�as���3v nqW�r�aslhX u§fjn�fjTtX�\6S�S�¦

µ:X�ac��W fjn�W�nJuVX �mf`TVX�ª&��xVuVn�ª,�3X=T�aK�J��nql�bV_`��xV��a´TtnqW�ns�qX xVX=nqbV_�uV��_hv l`X!fjX���fj��W�X'��aslh�sn��:vwT�as��x. J/'0. o1)$o32 L ª&�¸fjT´f¥ª¯n�v=nqW�rBnqxVX=xNfj_4. o J/'$n �o (,n�cfeo )w¦^S�TVX��lh_hf[v nqW�r3nsxVX xNf"n��o utX xVnsf`X _=¡3ª&TVX=xr3ns_`��f`���sXs¡ fjTVX�ª&��xVutn>ª%_`��±=X�utbVl`��xV�"f`TVXIp¢��f`T:lhnqbVxVuI¦§S�TtX�x°bV�����cas��bVX¬��nql n��o ��_�bV_hX uRf`n´lhX rVlhX _`X=xNffjTVX�f`��W�X!�¥nsbtf rBX lh��nJuI¦¼S�TVX�_`X=v nqxtu´v=nqW�rBnqxVX=xNf n cfeo uVX=xVnsfjX=_�fjTVX��cas��btX�ns��fjTVX�_h��n�ªE_ifwaslif�fjTVlhX _hTVnq��uuVbVlh��xV�¬fjTtX�p¢��f`T´lhnqbVxVuI¦¼µ:X�uVX xtnsfjX��Ng]n6587:9[fjTVX�W�a�de��WFbtW ª&��xVuVn�ª²_h��± Xc¡Vª&TV��vwT"��_ f`TVX�l`X=v X �¸�qX=l � _�Vbt¶3X l v asr�asv=��f¥g���xtuV��v acfjX=u'��x�fjTVX[p^����_=¦mS�TVX�uVX=_`v=l`��refj��nsx�ns�If`TVX[_ifwacf`X�_`r�acv X�ns�®fjTV��_���aslh�sn���vwT�as��x��_��q�¸�qX=xI¡�W�nsl`X���nqlhW'as����gs¡e�Ng

I . o J;'0<=(?>@)Ôª&��f`TA<CBEDO^�(GFGFGF ((nH587:93I{asxVuJ>JBKD�`L(GFGFGFM(@��nH587:9�b `&�NI{��� fjTtX�x°bVW{�3X=l^nc��_hX �qW�X xNfj__`X=xNf[uVbtl`��xt��f`TVX�v bVlhl`X=x°f^lhnqbVxVu"��_O<ÔasxVu�fjTtX�_h��n�ª*_hfwaclhf&fjTVlhX _hTVnq��u���_C>¢¡

�?�5�(�?�

Page 10: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 v

���

ë8Úhà F�ÚiÞ

����� ÞMÖ=ã>à F

� ��� ÞMÖ=ã>à F�� ���

�� � �

�� �������� ÞMÖ=ã>à F

�� �������� ÞMÖ=ã>à F

������� � �3ÞMÖ=ã>à F

���

���

ÞPÚhåiÚiÙ! !ÚhÞ

"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52

"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52

"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52

"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52

"$#&%('*),+.-(/&01"324"5"�"3#4"3%6"7'6"3)6"3+4"8-4"3/4"30�#52

9]:<; "8=

% #

9]:<; #?> %@=

9]:<; 'A> )@=

9]:<; +@=

)' +

- 0/"32 "5"9]:<; -B> /@= 9

]:<; 0?>C"32@=9]:<; "5"8="3# "3% "7'"3) "3+ "8-"3/ "30

D§ÙÛà F�Ö @ (

"

D6���qbVlhX�|V· .*�7Ek� ��� $��e/� �I������&�GF �BHO��~ =&���" ���<����� <��$���(� = �-��<��+� �� � \ J `JI �I . o J;'8K@(?>@)¼ª&�¸fjT >JBED�`L(GFGF FM(@� n6587:9�b `&��I�ª&TVX x�f`TVX�v=nqxVxVX=v=fj��nqx���_¯��x�a�f`��W�X!�¥nsbtfÔr3X=l`��nJu�ª&��fjTfjTtl`X _hTVnq��u >�¦

p_���nqxt�§as_�n��o J < � ^q¡ a'f`ljasxt_`��f`��nqx�ns��fjTVX��¹� l`X=rVl`X=_`X=x°f`_�nsxVX¬l`nqbtxVu«asxVu�fjT°bV_���as_hf`_"V+XYX_`X=v nqxVut_ ¦[S�TtX{nq�JohX=v=f`���qX���_&fjn�W'as�cX�f`TVX{W�XKacx´uVbtljacf`��nqx�{8��x"_`X=v nqxtuV_,}nc��a�f`��W�X!�¥nsbtf&r3X=l`��neu�LNM X cPO?QX �°b�as� fjn�fjTVX�W�X asx�x°bVW{�3X=l[ns�m_hbVv v=X _h_`���sXF�J��_`�¸fj_&fjn�fjTVX�_hfjacfjX 'RK@(?>@)»WFbV�¸fj��rt����X=u§�NguV+XYX�¦ µ:X�fjT°bV_uVX �VxVX�f`TVX�f¥ª»n���nq����n�ª&��xV��fjljacxV_`�¸fj��nsxV_»��l`nsW XKasvwT"_hfjacfjX$'8K@(?>@)w¡t��nslC> J `L( FGFGF (L��n6587:9�b�`&�'·

I aFfjl`asxV_`�¸fj��nqx���l`nqW 'RK@(?>@)mf`n ' ^N(?>@)mª&�¸fjT"rVl`nq�Vas�V������f¥g�ZULacf�fjTtX�X=xVu"ns�¼a¬fj��W�X��¥nqbef rBX l`��neu®¡I aFfjl`asxV_`�¸fj��nqx���l`nqW 'RK@(?>@)��Vasvw��fjnA'RKL(?>@)�ª&��fjT�rVlhnq��as�t�����¸f¥gu^ SGZ�Lnsf`TVX liª&��_hXs¦

¤�f¼��nq����n�ª&_�f`T�acfTLUM X cPO?Q J V+XYX b�ZULK¦�¤¥x��JX v=f`��nqx*ft¦�Ys¡cª¯X�nq�tfwac��x�f`TVX»X�derVl`X=_`_`��nqx�ns�VLNM X cPO?Q as_ma��btxVv=f`��nqxns�@V+XaX�¡ZI¡VasxVu�fjTVX���xt��fj��as��fj��W�X=l �sac��bVX+XML�¦S�TtX{���A_hfjacfjX�_hr�asv=X.Wy��_�a¬_`bV�V_hX=fns�XW*Y�J DZK@( FGFGF ((n6587:9&I.[KD�`L( FGFGF (@��nH587:9�b�`&�NI°¦mp[_ ª¯X�_`T�ac���

_`X=X��3X=��n�ª�¡Jf`TVX�_hX=fj_�W%asxVu\W&Y�aslhX�xVnsf»X �°b�as�3_`��xVv X_`nqW�X[_ifwacf`X _ ns�]W&Y¢aslhX[xVX!�qX l�lhXKasvwTtX uI¦3Bn�ª¯X=�sX l ¡ª»X�v asx�as��lhXKasueg�xtnsfj��v X»f`T�acf���nslkn6587:9YJy^^K@(`_aK@(�^^KaK@((`aKbKe¡>f`TVX _hX=fcW*Yqv nqxNfwac��xV_¼lhX _hr3X=v=fj�¸�qX=��g ���V¡�^c` `&�V¡�ed��ed�asxtu�^^d��bdbdF_hfjacfjX=_ ¦

S�TtX�S^� k��¥\^X=xVn�v=nqxV�qX=_hf`��nqx"v nqxNf`l`nq�1W�X vwT�acxV��_hW�_�v asx"f`TVX x"�BX�uVX _hv l`���3X=u¹as_ ��ns����n�ª&_=¦

I Z^f0�[� Z]\ � _[\ {'Z Zc}�·[X!der3nsxVX xNfj��as���sl`n�ª�fjT«ns��fjTtXFª&��xVuVn�ª._`��± X�as_���nqxV��as_.^ �yn �g �wndcfeg asxVuxVn���nq_h_�nev=v bVlh_ ¡��� à3�(���,���

Page 11: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

s !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

I � �cp���a-Z]\ < �cpE���L� <6� �p*�;aW{�����}�·&����xtXKasl&�qlhn>ª�f`T¹ns�mf`TVX�ª&��xVuVn�ª.as_[��nqxV��ac_gndcfeg � n��g � nH587:9{�ª&TtX x�n � l`X asvwTVX _ nH587:9�¡���f&l`X=W'ac��xV_ v=nqxV_ifwasxNf(}�asxtu´xVn���nq_`_&nJv v btl`_ ¡I ��ns_`_�uVX=f`X v=f`��nqx:�Ng�f`TVX�asl`lh���cas�mns�¯fjTVlhX X'utbVrV����vKacf`X�p^����_1{�XKP|}¬· n �g�� L J*!$#&% '&��n �g b�`&� (�^3)asxVuundcfeg�� L J !J#+%�'&� n �g b `&� ((` )`¡VfjTVX=x´��xV��f`�£acf`X�a¬xVX!ª v nqxt�qX _ifj��nsx´aK�snq��u�acxVv X�rVT�ac_`Xs¡

I ��ns_`_�uVX!fjX=v=fj��nqx¹�Ng \ <���a!� ��`\*{ XKJ*}�·+n��g�� L J K�asxVuendcfeg�� L J !$#&%�' �%n��g b `&� ((` )`¡3f`TVX x«X=x°f`X l�axVX!ª�\ <��a!� ���`\5Z a]_3< � ��¡

I \ <��a!� ���`\ { \���}»·¢ohbV_ifÔac�³fjX=l�a"XKJ²uVX!fjX=v=fj��nqxI¡qf`TVX&_`X �sW�X=x°fÔ��_ml`X=f`ljasxt_`W���f`f`X u¬bVxNf`���tf`TVX&l`X v=X rtf`��nqxns�[asx asvw�°xVn�ª&��X=uV�qW�X xNf���nqlFfjTV��_F_`X=�qW�X xNfu{8_`X=X´�eX v!fj��nsx fe¦�Y§��nqlF��bVlifjTVX=l¬X!derV��asx�acf`��nqxV_�}!¡ÔasxVufjTtX x´a�xVX!ª²_h��n�ª²_ifwaslif&rVT�as_hX��BX �q��xV_ ª&��f`T�n �g Jy^q¦�� � ��� ) ¾��Ôp*_h��W�rV��X�X�dtasW�rt��X&ns�®f`TVX^�3X=�q��xVxt��xV��ns�Ia�v nsxVxVX v!fj��nqx���_��q���sX x'�BX ��n�ª­fjn�uVX _hv lh���BX[as���

fjTVX¬rBnq_h_`���t��X{f`ljasxV_h��f`��nqxV_ns��fjTVX����[¦ D�nql[_h��W�rV����v ��f¥gs¡Bª¯XFfwac�sX ndcfeL J �§_`X=�qW�X=xNfj_ ¡ nH587:9.J �§asxVufjTVX�x°bVWF�BX la\[nc��_hX �qW�X xNfj_&�cas����u�acf`X u§rBX l�p^���%��_ fjas�sX=x´X �°b�as�Ifjn]^q¦

�� �G���� (

���������

����������

������

� �

�� (

ßMÞ�è�àcë=: Ùêß8ßMÚ�FëMÚ�9E: Úià ß çêÖ ë�ß ëMÚ�9;: Úhà=ß

� ����� ����G��� !

"�# "�#"�# "�#��� �$��

�G����%

"�# ! ��>�?

� ������

���

D����sbVl`X"hJ· 2?������,<��% $��G� ��&���� A,�� �%��������&�WA,��(���,<>= ��&�� ���� ��� ���-<� ��% $��-<D�¤�f�v asx:�BX�xVnsfjX=u:��xKD6���qbVlhX he¡1fjT�a�fK¡1��nql���xV_ifwasxtv Xs¡�_hfjacfjXA'�&@(��L)^ª&�����¼xVX!�qX l��BX�lhXKasvwTVX=uI¦'S�Tt��_���_

uVbVX�fjn¬fjTtX��8acv=f�fjTVacf�fjTVX�ª&��xVuVn�ª²_h��± X=_&l`XKacvwTVX u´��x§fjTVX�_h��n�ª²_ifwaslif&rVT�as_hX{aslhX

I ��nqlY\ J ^�·&Yq¡�^ �(' ^\*) Ji`J¡#` �+' ` \*) J �V¡ st¡1Y�fe¡��N}e¡ fc|V¡ FGFGFI ��nqlY\ J `§·&Yq¡�^ �(' ^\*) Ji`J¡#` �+' ` \*) J,&t¡#he¡#st¡®Y>}e¡IY�se¡ FGFGFS�Tt��_FX�dVacW�rV��X'��XKasuV_�fjn�f`TVX���nq����n�ª&��xV�"r�aslifj��f`��nqxt��xV����nql�f`TVX�_ifwacf`X§_`r�asv=X§ns��fjTtX��¹�[¡�ª&TV��vwT ��_

l`X=rVl`X=_`X xNf`X u¹��x�D6���qbVlhX"ft¦mS�TVX�_hfjacfjX�_hr�asv X.W%��_ ª&lh��fhfjX x´as_$W_J W L$-/.0-21 ª&TVX lhX

I W L J D1'8K@(?>@)43�` � > � ��nH587:9�b�`&�NI°¡I1 J D ' <�(?>@)53�` � >J� < � nH587:9�acxVu >J� ��n6587:9�b `+�NIN¡

I. J 6 ' <�(?>@)43 ^�� <C��>$� � n6587:9�b `+��asxVu27-p � K�_hbVvwT´f`T�acf <5J98;: o=< ' ^3)?>t¡�ª&TVX lhX@8 ''��)CJ� � � �gb�\��N¡A8 : L< ''��)@J �{¡VasxVu28 : o=< J98 : oCB L <ED 86¡V��nql p � ^ {8_`X=X{ac��_`n��JbV�V_`X=v=f`��nqx�ft¦ê�}!¦ �?�5�(�?�

Page 12: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 z

��� � ����� ( ë8çÛÖ @ ë8ßPè!Þ8ß ë8ßPèwßPÚhë( åÊÖ=à[9!Ú`ë�ßPÙêÖ=àèA !Ö=Ù F�è�à�åiÚ�ë8ßPè�ßMÚhë( ßMÙ : Ú��£Ö!ã�ß1×sÚiÞPÙêÖ-F�ë�ß�èwßPÚhë

� ���

���� �nnnnnn

� �����

� � ��� nenen� � ���� ���

D����qbVl`X+ft· 4 ������ ��� $��K/�"� � �g��2 <�� ���>�g<>=-��A,�D�S�TVX¹r�aclhfj�¸fj��nqx _`TVn�ª&x­��x D����qbVl`X]f���_���x �8asv=f'aRr�aslifj�¸fj��nsx nc�[fjTtX�_hfjacfjX´_`r�acv X W Y asxtu fjTtX�_`X!f .v nqxNfjas��xV_�f`TVX�l`XKacvwT�as�V��X�_ifwacf`X _&ns� . YBuVbVlh��xV�¬f`TVX�_`��n�ª*_hfjaslhf^rVT�ac_`Xs¦

S�Tt��_�uV��_hv l`X!fjX���fj��W�X��¹� ��_���l`lhX uVbVv=���V��Xs¡6asrBX l`��neut��v�asxVu:T�as_{a ��xV�¸fjX�_hfjacfjX�_`r�asv=XUW�¦"¤�f���_�fjT°bV_X lh�qneut��v�asxVu¹�¸fj_^_hfwa�fj��nsx�aslhg�uV��_ifjl`���Vbtf`��nqx��¨��_fjTtX{bVxV� �°bVX{uV��_hf`l`���tbtfj��nqx§�qX lh���³gJ��xt�����yJ��Rª&TVX lhX����_ f`TVX�fjljacxV_`�¸fj��nsx§rVl`nq�Vas�V������f¥g�W'a�fjl`�Çd3¡eª&TV��vwT´��_��q���sX x���x´�eX=v=fj��nqx"|V¦

¤¥xFª&TVacfm��nq����n�ª&_ ¡cª¯X�v nsxV_`��uVX l¼f`TVX&�¹����x¬_ifwacf`��nqx�aclhg�l`X=�q��W�X asxtu�ª¯X&as_h_`bVW�X»fjTVacf¼fjTtX�_`nqbVlhv X��BX!�T�aK�qX=_mas_6a_ja�fjbVl`acfjX=u{_`nsbVl`v=Xs¡sª&TV��vwTFW�XKasxV_ fjTVacf fjTVX=l`X acl`X¯as��ª»aKge_�r�asvw�cX=f`_�ª ac��fj��xV�&��nql1fjljacxV_`W���_h_`��nsxI¦µRX�bV_hX�f`TVX���nq����n�ª&��xV�Fxtnsfwacf`��nqx§������bV_hf`ljacf`X u���x�D6���qbVlhX"ve¦

I � cPO ·Ôx°bVW{�3X=l�ns�¼_hX �qW�X xNfj_�f`ljasxV_hW��¸f`f`X u�uVbVlh��xV��a¬fj��W�X��¥nqbtf»r3X=l`��neuI¡I��X cPO ·mx°bVWF�BX l&ns�6_`btv v X=_`_h���qX��J��_`�¸fj_�ns��fjTtX{���Afjn¬fjTtX�_ifwacf`X _&ns��fjTVX�f`��W�X!�¥nsbtf�rBX l`��neu®¡

I X cPO ·muVbtljacf`��nqx�ns��aFfj��W�X!��nqbtf»r3X=l`��nJuI¦¼µ:X�fjT°bV_&T�aK�qX�X cPO J�V+XYX [ �X cPO ¦I � �A�[·mx°bVW{�3X=l^nc��_hX �qW�X xNfj_&fjl`asxV_hW��¸f`fjX=u§uVbVlh��xV��a¬_`��n>ªE_hfjaslhf^rVT�ac_`Xs¡

I X��A�[·�uVbVl`acfj��nqx§ns��a�_h��n�ª*_hfwaclhf^rVT�as_hXs¡

I � ��� ·mx°bVWF�BX l&ns�6_`X �sW�X=x°f`_^f`ljasxt_`W���f`f`X u§uVbtl`��xt��a¬v=nqxV�qX=_hfj��nqx´a��snq��uVasxVv X�rVTVas_`Xc¡

I X ��� ·ÔutbVljacf`��nqx§nc�¼a¬v nsxV�qX _ifj��nqx�aK�snq��u�acxVv X�rVT�ac_`Xs¡I � ��� ·mW�X asx§x°bVWF�BX l&ns��v nqxt�qX _ifj��nsx�a��snq��uVasxVv X�rVTVas_`X=_^��x�a �"!���f'ax{��P¦ Xs¦m�BX=f¥ª¯X X x"f¥ª»n¬f`��W�X!�¥nsbtfrBX l`��neut_,}!¡

I �$# O �P�[·�W�X asx�xJbtWF�3X=l&ns����nq_`_�utX=fjX=v=f`��nqxV_&rBX l&v=gJv=��Xs¦µ:X�_hf`bVutg�f`TVX�f¥ª»n���nq����n>ª&��xV��©Vn>ª&_.{8_hX X FtzcH�}�·I S�TVX5��aG�p \X_3�p*Z � <.Z[ZG<?��p _3��\<a.EV¡�nql%Z[a�p � _3��\<as¡�fwas�cX _^��xNfjn�asv=v nqbVxNf[as���®_`X �sW�X=x°f`_^f`T�acf^T�aK�qX��X!�³f�fjTVX�_`nqbVlhv Xc¡¼��xVv=��bVut��xV����ns_hf�_`X=�qW�X=xNfj_¬asxtuRl`X!fjl`asxV_`W���_h_`��nqxV_ ¦'S�TVX'_hX xVu�l`acfjX���_�fjT°bV_�fjTVXnqbtf`rVbtf^lja�fjX�_`X=X x´�°g§f`TVX�xVX=f¥ª¯nqlh�B¦

I S�TVX4��aG�p ��%+�,A��% ���� ��`\ Z �`\H_3��\<a�E�L�¡tnql �L�3�[��Z �`\�¡eª&TV��vwT"utneX=_^xtnsf�fwas�cX���xNfjn�asv=v nqbtx°f^xVX=��f`TVX l��ns_hf&_`X=�qW�X xNfj_^xVnql�lhX=fjl`asxV_hW���_`_`��nqxV_=¡V��_ f`TVX�nqbtfjrtbtf^ljacf`X�_`X X=x��Ng�f`TVX�l`X v=X �¸�qX l=¦

S�TVX ��l&X!derVl`X=_`_h��nqx"ª&�����®�3X��q�¸�qX x"��x´�eX=v=f`��nqx�ft¦lhe¦mµRX�_`TVas���1ac��_`n��BX���xNfjX=l`X _ifjX=u���x§f`TVX�ljacf`��n a J E�L�b�Eª&TV��vwT�l`X=rVl`X=_`X xNf`_¯fjTtXX�9�v=��X=xVv=g�ns�3fjTVX&v=nqxVxVX=v=fj��nqx�acxVu�ª¯X^_`T�as���¢as��_hn�nq�tfwac��x�a�W�XKac_`bVlhX&f`n�X!�cas��b�a�fjXfjTVX���W�rBnqlhfjasxVv=X�ns��fjTVX�_`��n�ª²_hfjaslhf&rtT�as_`Xc¦��� à3�(���,���

Page 13: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

Y�~ !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� ��

� ��������

����$����

�G���� ���

���

� ��� ���7� � � � �� �

���

3��;3 /0"D����qbVl`X�vJ· .*�,<�A��( l=&�% $�� /� �]A�'OA����D�

� ) ��� �1����� �1��� �=��� ���6���´�����=�!��� �=��µRX�as_h_`bVW�X¬fjT�a�f���nq_h_`X _�nqxt��g¹nJv v=bVl���x�fjTtX¬uV��lhX v=f`��nqx���lhnqW f`TVX�_`X xtuVX l�fjn§fjTtX�lhX v=X ���sX l {8xtn"��nq_`_�ns�p^����_,}�asxVu§fjTVacf^asxNg�_hX �qW�X xNf^T�as_&a �tdeX u"rVlhnq��as�V�����¸f¥g Z�f`n��qX=f&��nq_hf ¦��´nqlhX�rVl`X=v ��_hX �¸gq¡VfjTtX�ljasxVutnqW�casl`��as�V��X�utX ��xVX=u��Ng§fjTtX�x°bVWF�BX l&ns��v nqxt_`X v=btfj�¸�qX�_`X �sW�X=x°f`_^f`T�acfaslhX�f`ljasxt_`W���f`f`X u��BX=��nqlhX���nq_`_&T�ac_a�qX nsW�X!fjl`��v�uV��_ifjlh���Vbtf`��nqx�ª&��fjT�r�acljasW�X=f`X lg^ S�ZI¦�1X!f'bV_ ��lh_hf�_`bVrVrBnq_hX´fjTVacf�f`TVX"v nqxVxtX v=f`��nqx ��_���x _`��n�ª�_hfjaslhf ¡ �P¦ Xs¦ n �o J < � > J ndcfeo ¦ p[_

��nqxt�Fas_ÔfjTVX���� lhX W�as��xt_¯��x'_`��n�ª _hfwaclhfK¡JfjTVX[v nqxV�sX _hf`��nqx�ª&��xVuVn�ª ��xVv lhXKas_hX _ �Ng´Y�_`X=�qW�X=xNf XKacvwT�fj��W�Xasx p^��� ��_{l`X=v X=���qX=uI¦¨pxVu��3X=vKasbt_`X ��n��o b�\��"_`X �sW�X=x°f`_�asl`X�asvw�°xVn�ª&��X ut�qX u ��nql{f`TVX�ª&TVnq��X�l`nqbtxVuI¡n��o � L J n��o � ��n��o b�\��uJ ���n��o �§ª&�¸fjT� J ^4� ^�b�\�¦�S�TVX�rBnq_`_h���V��X�fjl`asxV_h��fj��nqxV_���l`nqW fjTtX�_hfjacfjX' <�(?>@)�aslhX��q���sX x"��x�D����qbtl`X"st¦¯¤¥x´fjTtX���nq����n�ª&��xt�FrVl`nsr3nq_h��f`��nqxV_=¡Vª»X��q�¸�qX�X!derVlhX _`_h��nqxt_��nql�fjTtX�xVnsxe�¥±=X l`nfjl`asxV_`�¸fj��nqx'rVlhnq��as�t�����¸fj��X _mns�1f`TVX��¹�[¦eS�TVX _hX�X!derVl`X=_`_h��nqxV_��BX ��xV�FX as_hg�fjnFns�tfwas��xI¡°ª»X�nsW��¸f¯f`TVX[rVlhnenc��_ ¦

� �  �  � �³��� Â������ � ��.�;��A,� '0<=(?>@) BW <��#A,�]���-��� ^��,<���> � � n6587:9�b `&��� � � �������I ��� g�� ��� ���! g#"$� �%� J;' ^ S�Z ) g � �� ���<,<*�A,A����,< �I � � g�� ��� � L � 587:9 ��& g(' R*) � R �+� J-,�^$S,' ^ SGZ ) g�.0/ g �+� XKJ ���<,<*�A,A����,< �I � � g�� ��� � 587:9 ��& g(' R*) � L �1� 587:9 �*& g(' R*) � R ��� J-,:^ S,' ^ SGZ ) g. ' ^ S / g ) �g� XKP ���<,<*�A,A�����< �

�@� ����� / g F A,�~ =&���>�;� ��C![�,A��� $��32 I ��������>�,<I��� �.=&��54,�64� ��U ���'u���-����� ���<,< �<|���#�I�>��� �~I���;����+�@� ���n�� J < ��JbVrVrBnq_`X�xVn�ª²fjTVacf&fjTVX�fjl`asxV_hW���_`_`��nqx���_&��x�v=nqxV�qX=_hfj��nqx´a��snq��uVasxVv X���x"_hfjacfjX$'0<=(?>@)w¡¢�M¦êXc¦ n��o J < �

> Jindcfeo ¦mS�TVX�rBnq_h_`���t��X[f`ljasxV_h��f`��nqxV_¯ns�1fjTtX��¹� ��lhnqW _`bVvwT"aF_hfjacfjX�asl`X�as��_`nF������bV_hf`ljacf`X u'��x|D����qbVl`X st¦� �  �  � �³��� Â��37��98 4�<����(�� ����G���-���.A,������,<��% $�� ����� ������A,�*����54,�����U'G� �� �<��,<1��� �|� ��&���� <� �:��94�' ^�b�\;� g���D�<4�' ^ <��$��~I��� � ��������' \ ������&��< � ��� ���.����*�������(' '0<=(?>@) <��#A,�]���-��� ^�� >J�,<C��nH587:9 �

I � � g�� ��� � g�� �%� J;' ^ S�Z ) g>= ^ S ^\@? � �� ���<,<*�A,A����,< �I � � g�� ��� � g�� L � �%� J;' ^ S�Z ) g ^\ �a�� ���<,<*�A,A�����< �I � � g�� ��� � L � 587:9 ��& g(' R*) � R �+� J , ^$S,' ^ SGZ ) g . / g �+� XKJ ���<,<*�A,A����,< �

�?�5�(�?�

Page 14: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 YqY

I ��� g�� ��� � 587:9 ��& g(' R*) � L �1� 587:9 �*& g(' R*) � R ��� J-,:^ S,' ^ SGZ ) g. ' ^ S / g ) �g� XKP ���<,<*�A,A�����<D�¤¥x«nqlhuVX l�f`n"�sX=f�fjTVX�W�neutX ��W�nqlhX�asv v=bVljacf`X�as�3nsbtf�fjTVX�l`as��_hX¬ns�[Y�_hX �qW�X xNf�X=�sX lhg�\{lhnqbVxVut_ ¡1ª»X

_`TVnsbV��u«uVX=v nqW�r3ns_`X{f`TVX��¹� _hfwa�fjX ' <�(?>@)&��xNf`nW\�xVX!ª _ifwacf`X _ ¡ _`a�g ' <�(?>N(�^3)j¡�' <�(?>N((` )j¡�FGFGFÇ¡C' <�(?>N(,\ )w¡1�VbefK¡��l`_if fjTVacf ª¯nqbV��u'ns� v nqbtl`_`X�_h���qxt� ��v asxNfj��g���xVv lhXKas_hX[fjTtX��¹� _`��±=Xx{8X!�qX=x���nsl \ Ji`�}¯asxVu§_hX v=nqxVuV�¸gq¡ef`T�acfª»nsbV��u´xVnsf^vwT�asxV�sX�fjTtX�W�XKas_hbVl`X=_nc�m��xNfjX=l`X=_hf_`��xtv X�fjTVX�_hfjacfj��nqx�aslig§uV��_ifjlh���Vbtf`��nqx§nsx´fjTtX�_ifwacf`X�_hr�asv XWyl`X W�as��xV_»fjTtX�_`asW�X�a��³fjX l�_hbVvwT¹aFf`ljasxV_i��nql`W�acf`��nqxI¦

�G���� ����� ��

������

N�� � �� N��

���� �ë8ßPè�ÞMßëMçêÖ @

� � ��"� �

��G���

N�� � � ���� �

����"�N�

åiÖ!à[9=Úhë8ßMÙÛÖ!àèA =Ö!Ù F>è�à�åiÚ

D����qbVl`X+st· 0�� ���-<� ��� $��-<./�"��� �g�q2r�����( ����x<����� <��$����� ���&�WA,������,<��� $�� ����� ������A,�D�� �  �  � �³��� Â������ !# �~ �� ���(�U' � ����.�;��A,� >@� � �+�-����� �

I � ��������� � ��� ��������� � ��� J;' ^ S�Z ) � ����� � �� ���<,<*�A,A�����< �I � ��� ����� � ��� � L � 587:9 �*&�� ����� ' R*) � R ��� J-,:^ S,' ^ SGZ ) � ����� .0/ � ����� �g� XKJ ���<,<*�A,A����,< �I � ��� ����� � ��� � 587:9 �*&�� ����� ' R*) � L �� 587:9 ��&�� ����� ' R*) � R �+� J-,�^$S,' ^ SGZ ) � ����� . ' ^ S / � ����� ) � � XKP ���<,<��A,A����,<D�µ TtX x§��x�fj��W�X��¥nqbtf ¡NfjTVX���� lhX W�as��xt_¯��x'_hfjacfjX 'RK@(?>@)�uVbVlh��xV� �X cPO lhnqbVxVuV_=¡Vasxtu�fjTVX=x§�qneX=_¯f`nF_hfjacfjX' ^N( > )j¦�¤��@ZUL{utX xVnsf`X _�fjTVX�fjl`asxV_h��fj��nqx�rVlhnq��as�V�����¸f¥g´��lhnqW 'RKL(?>@)&fjnK' ^N(?>@)j¡ f`TVX�W�X asx«_`n�ohnqbtl`x:f`��W�X¬��x

_hfjacfjX$'RKL(?>@)Ô��_g^cb:Z�LK¡VfjT°bV_�ª¯X�T�aK�sX ZUL J ^�baLNM �X cPO?Q ¡V�P¦ Xs¦�·� �  �  � �³��� Â�� ��� 0[� �g�%� ���-<� ��� $�� =&��54,�64� ��U ��% $�,<" ��u�% �~I���;���� ����� �I � � L � �%� � L � �%� Jy^ S ^

LNM �X cPOBQ � ��� �����<�� <��$��~I��� � �-��<����� 4��,���e��A,������ ���;�����;� 'O��� �I � � L � �%� � L � �%� J ^

LNM �X cPOBQ � ��� �.��A,������ ���;����~I��� � �< ���(�( ����;�^�pxFX!derVlhX _h_`��nsx¬ns�VLNM X cPO?Q J V+XYX�[(LNM �X cPOAQ as_¼a��btxVv=f`��nqx�ns��fjTVXÔfj��W�X=l5XML�asxVu{f`TVX»��nq_`_6rVl`ns��as�V������f¥gZ´��_�v nqW�rVbtf`X u"��x"�eX=v=f`��nqx�ft¦¸Yq¦S�TtX{_`TVasr3X�ns�¼f`TVX�f`ljasxt_`��f`��nqx�rVlhnq��as�t�����¸f¥g�W�acfjlh�¸d �,��_������bV_hf`ljacf`X u���x�D����sbVl`X�z'acxVu´f`TVX{lhX �q��nqxV_

v nqlhl`X=_`rBnqxVuV��xV��f`n¬fjTVX�uV�¸¶®X=l`X xNf&f¥gJr3X=_&ns�¼��nq_`_hX _^asl`X�_hTVn�ª&x���x�D6���qbVlhXFY�~t¦

��� à3�(���,���

Page 15: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

Y>} !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

�����

���

�����

���

�����

���� �

��

� ���

� ���

� �� �

� �� �

� �� �

%�

���

%�

���

%�

���

�������

���

���

����

������

���

����

����

����

� �

��

� �

���

��

���

����

������� ���%�� ����� ��� %�� ����� ��� %�� ����� �����

��

���

� �

���!"!

� �

���!"!

� �

#

!"!

D����qbVl`X+zt· 0�� ���-<� ��% $���~ ���%�( PH <,�-��= �@���� nH587:9aJ � ���&� \ J�` F g���D� �WJ_^N(�_JI �

$&%('*),+ +

$ % ' ),+ +

$ % ' ),+ +

-/.$0') ++

' ) + +

)1

D6���qbVlhX¬Y�~t·HG ��-� 4������ �,���G��� ���%� ���-<� ��� $���~ ���%�( PH � ���&��03254��2 3 ��1�=� �����¨�������� �

�1X=f^bV_ ��l`_if^X W�rVT�as_h��± X�f`TVX���nq����n>ª&��xV�{rBnq��x°f`_�·

I µ:X�W�as�cX�fjTVX�as_h_`bVW�rtf`��nqx�f`T�acf&��x�a¬�q�¸�qX=x"lhnqbVxVu®¡VfjTVX���nq_`_�ns�6nqxVX�_hX �qW�X xNf&��XKasuV_ f`n¬fjTVX���nq_`_ns�&fjTtX���nq����n>ª&��xV��_hX �qW�X xNf`_]{8v nsl`l`X=�£acf`X u���nq_`_hX _,}�¦RS�TV��_F_`TtnqbV��u �BX'fjTtX§vKas_hX§��x a¹TV���qT�_`rBX X=uxVX!f¥ª»nqlh����nql���xt_hfwacxVv Xc¦

I ¤¥x¨fjTtX§l`nqbVxtu¨ª&TVX lhX�fjTVX���nq_`_�fwas�cX _¬rV��asv Xc¡m���(4R_`X=�qW�X xNfj_�aslhX�TVn�ª¯X=�qX=l¬fjljacxV_`W���fhfjX uR�3X!��nql`Xv nsxV�qX _ifj��nqxI¡»f`TVX xHf`TVnq_hX�_`X=�qW�X xNfj_�ª&�������sX xVX=ljacf`X´p^����_§asxtu fjTtX"ª&��xVuVn�ª�ª&������_`����uVXs¦HS�TV��_W�XKasxV_ fjTVacf54�xVX=ª _hX �qW�X xNf`_¼aslhXÔf`ljasxV_hW��¸f`f`X u���x�f`TVXÔxVX!dJf¼lhnqbVxVu®¡cª&TV��vwT{��_�vKac����X=u�f`TVXY_�a-ZG<6� � ��f_����#p ��¦

�?�5�(�?�

Page 16: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 Y��

S�Tt��_F�BX T�aK�J��nsl¬��_F_hTVn�ª&x ��xCD����qbtl`X�YsY�ª&TV��vwT uVX=rV��v!fj_FfjTtX"v as_`X�ª&TtX l`X§f`TVX§�£as_if¬_`X=�qW�X xNf�_`X=x°fuVbVlh��xV�¬fjTtX�lhX _h��uVb�ac�1l`nqbVxtu"��_&��nq_ifK¦

��

� � �D����qbVlhX¬YqYq· 0[� �"���,<� ����-���[������&�^�

�� �� � RN���/*,��#v���XRN� R���� �� �  �  � �³��� Â����� 0[� � =&��54,�64� ��U ���' / g � �-��� �1���<,<� �< ��� � �/ XKJ �@� ���e�I���<,<x�A,A�����<.���&� n � J < �<�� ������ 4�' �/ g J

��� �� ' ^ S,' ^$SuZ ) Q S � L ) ,:^�� ' ^ SGZ ) Q S � L S,' ^$SuZ ) g .^ S,' ^ S�Z ) g � <C� & \ � `

^ ���� ����� �<��D� {iYc}4?�,�/�9��0 _`��xV�¬fjTVX�xVncfwacf`��nqx§��x�D6���qbVlhXFYqYq¡eª»X�T�aK�qX

I ¤�� < � & \���^�f`TVX x 4A� & \�asxVu�fjT°bV_^xVn XKP(��nq_`_&v asx�T�acrVr3X=x�{ÊY�p^�����.��uVbtrV����vKacf`X�p^����_xVX=X u]\ � '%\ �K\8� ^3)@J,& \ � ^�_hX �qW�X xNf`_ fjnF�BX[lhX v X=���sX u#}�¦Ô¤¥x�f`TV��_¯vKas_hXs¡tf`TVX���nq_`_ ��_»xVX=v X=_`_jacl`���¸guVbVX�f`n XKJ�¡e�P¦ Xs¦ / g J ^q¦

I ¤�� <C� & \�� `FfjTVX=x:·

� ����4 � & \{·¼��nql f`TVX�_jasW�X�l`X as_`nqx®¡�nqxV��g�a X%J.��nq_h_^v asx"nev=v bVlEN� ��� 4 � & \O�_^¹·�f`TVX lhX���_{auXKJ ��nq_`_{nqxV��g«ª&TVX=x���X=_`_{f`T�asx & \ �y^�_`X=�qW�X xNfj_{��lhnqW fjTVXl`X=_`��uVb�as�¼lhnqbVxVu:aslhl`���sX�acf�uVX _ifj��x�acfj��nqxI¡1�M¦êXc¦FfjTVX f���f`T:_hX �qW�X xNf���l`nqW fjTVX�lhX _`��uVb�as�mlhnqbVxVu�qX!fj_&��nq_ifK¡tª&�¸fjT ^�� f�� & \ �r^q¦

S�T°bV_ ¡t���Iª¯X�uVX=xVnsfjX[�°g���� � L f`TVX�X=�sX xNf�v=nql`lhX _`rBnqxVut��xV�{f`n{fjTtX[��ns_`_»nc�1fjTVX ' 4 �m^3)M��f`T'_`X=�qW�X xNfK¡ª¯X��qX!f

/ g J � ' X%J 3�n � J <�� ��nq_`_ )

J g B L����UL � '%XKJ 3�n � J <������ � L )�� '���� � L 3�n � J <�� ��nq_h_�)

J Q S����UL ' ^ SGZ ) � Z^$S,' ^ SGZ ) g �g B L���� Q S � L

� Q S � L�# � L ' ^ S�Z ) # B L Z�� ' ^ SGZ ) � Z^ S,' ^ SGZ ) g

J ^$S�' ^ S�Z ) Q S � L^ S ' ^ S�Z ) g � ,�^$S,' ^ SGZ ) Q S � L . ' ^$S�Z ) Q S � L ^ S,' ^ SGZ ) g B � Q S � L �^$S,' ^ S�Z ) g

��� à3�(���,���

Page 17: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

YK| !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� � �¾ �R�V��� � ��S�TVX{acbtfjTVnsl`_�ns� F¸Y�s�H�asxVueFjz�H1��nqbVxVu®¡t��nqlY\ Jy^s¡

/ g J ' ^$S�' ^ S�Z ) Q )�' ^�� ' ^ SGZ ) Q S,' ^ S�Z ) g )^ S ' ^ S�Z ) g (

ª&TVX lhXKas_\&X �£a�fj��nsxe{iYc}»�q�¸�qX=_/ g J ' ^$S�' ^ S�Z )��M)�' ^�� ' ^ SGZ )�� S,' ^ S�Z ) g )^ S ' ^ S�Z ) g F

S�TV��_�ut��¶3X l`X=xVv X���_ uVbVX�fjn¬f`TVX��8asv=f�f`T�acf�f`TVX�_`X=�qW�X=xNf&l`X=f`ljasxt_`W���_`_h��nqx§v asbV_hX u��Ng�axXKP ��nq_`_���_�uVnqxVXac�³fjX=l�f`TVl`X=X'uVbVrt����v acfjX�p^�����3¡ ª&TV��vwT¨W�XKacxV_ � �(�>���a������I ������ �� $A;��� �*25�g< {�fjTtX ��lh_hf�asxtu:fjTtX�fjTtl`X XuVbVrV����v acfjX�p^����_,}&asxVu�xVncf^f`TVl`X=X�as_^as_`_hbVW�X=u´��x F¸Y�s�H?{8_hX X���nql���xt_hfwacxVv X Fê}s~�H }!¦� �  �  � �³��� Â������ 0[� �g~I�;���G� ��~ 4���� � # O �A� /�g���<,< �����>�,A��% $��-< = ���*A�'A����� �< �� ������ 4�' �

�$# O �A� J^ S �� g+� �%��� ' ^$S�Z ) g ��' <=( > )

�� g�� �%��� / g ,�^ S ' ^ S�Z ) g�. ��' <=( > )F {P} }

4?�,�/�9� �ÔacvwT�v=gJv ��X*{�_`X=X+D����qbVl`X v }m��_�v=nqW�rBnq_hX u'nc�1_`X!�qX l`as��XKP,��nq_h_`X=_ asxVu�nqxV�¸g¬nqxVXaXKJ ��nq_`_=¦¼S�T°bV_ ¡ª»X�T�aK�qX

^� # O �A� J � '%XKJ 3°��nq_`_�� n � � ^3)@J ��������

g � L / g � ' n � J < 3°��ns_`_ � n � � ^3)

J� ������g � L / g � 'M��nq_`_ 3�n � J < ) � ' n � J <43�n � � ^3)� 'M��ns_`_ 3�n � �_^3) J

� ������g � L / g ,:^ S,' ^ SGZ ) g. � ' n � J < )�$'$n � �_^3)� ������g � L ,�^$S,' ^ SGZ ) g�. � ' n�� J,< )� '$n � � ^3)

J� ������g � L / g ,�^ S ' ^ S�Z ) g. &�������� ' R*)�� � R �C'0<=(?>@)� ������g � L ,�^$S�' ^ S�Z ) g�. & � ����� ' R*)�� � R �C'0<=(?>@)

J�� g�� ������ / g , ^ S,' ^ S�Z ) g . �C' <�(?>@)

�� g�� ������ , ^ S,' ^ S�Z ) g . �C' <�(?>@)F

\&X �qasl`uV��xV�¬fjTVX�W�X asx"xJbtWF�3X=l � ��� ns�mv nsxV�qX _ifj��nqx�aK�snq��u�acxVv X�rVT�as_hX _�rBX l^v=gJv=��Xs¡�ª¯X{T�aK�sX'·»�¸�¼xVn��nq_h_�nev=v bVlh_�uVbVlh��xV��_`��n�ª._ifwaslifK¡If`TVX x � ��� J �$# O �A�w¡1nsf`TVX liª&��_`X � ��� J �$# O �P� S�^q¦{S�Tt��_���X asuV_[f`n§fjTVX��nq����n�ª&��xV�Fns�°�J��nqbV_&l`X=_`bV�¸fK¦

� �  �  � �³��� Â���� �� ��� J � # O �P� SGZ �P� # O �A� ( {M�}

�@� ����� Z �A� # O �A� �<�� � � =&�,54,�64� ��U ���' � �-��� �I���<,<*�A,A����,<������( ���� <����� <��$���(� F A,�~ =&���/�;�I ���![�,A��% $����"��� I �

�?�5�(�?�

Page 18: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 Ych�� E� � �������(�XS � � R��7$'�(� ����*�#WV $UR *������� �  �  � �³��� Â������ 0[� � =&�,54,�64� ��U ���' Z���� � �-��� �I���,<� ��������[������&�|��== �;����<�� �(�>�������<,<� �<a�� ������ 4�'

Z���� J ^ S�Z^ S &�� ����� ' R*)�� � R �C'RK@( > )

^ S �� g�� �%���� ' ^ SGZ ) g �C' <�(?>@) F {8|O}

4?�,�/�9� � X!f�� �BX�f`TVX{l`asxVuVnsW �sacl`�£ac�V��X�X �°b�ac��f`n'fjTVX�x°bVWF�BX l[nc�m_`X=�qW�X=xNfj_[_hX xNf��BX=��nqlhX{��nq_`_^��x"fjTVXl`nqbtxVu'��x�ª&TV��vwT�f`T�acfÔ��nq_h_¯nJv v=bVl`lhX uG{8_`X=X+D����qbVlhX�YqYq¡°��x�ª&TV��vwT�ª»XT�aK�qX^uVljaKª&x'f`TVX^vKas_hX� J 4�}!¦6µRXfjT°bV_^T�aK�qX

Z��� J � '�� �J K 3°��nq_h_���n � � ^3)J ��������

g � L � '�� �J K 3-n � J < � ��nq_h_ ) � '$n � J < 3°��nq_`_ � n � � ^3)J � ������

g � L� ^ S Z^ S,' ^ SGZ ) g � � '8��nq_h_ 3�n � J < ) � ' n � J < 3�n � � ^3)� 'M��nq_`_ 3�n � � ^3)

J� ������g � L ,:^ S,' ^ S�Z ) g SGZ . � ' n��@J < )� ' n � � ^3)��������g � L ,�^ S ' ^ S�Z ) g. � ' n��5J < )� ' n � � ^3)

J ^ S�Z� ������g � L � ' n � J < )

��������g � L ,�^ S ' ^$S�Z ) g. � ' n � J < )

J ^ S�Z^ S &�� ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)

�� g�� �%��� ,:^ S,' ^ SGZ ) g. �C'0<=(?>@)Jy^ S�Z

^$S &�� ����� ' R*)�� � R �C'RKL(?>@)^ S �� g�� �%���� ' ^ SGZ ) g �C'0<=(?>@) F

�¾ �R�V��� 7��²S�TVX�rVlhnq��as�t�����¸f¥g{f`T�acf»a{l`X=_`��utb�as�¢l`nqbtxVu§asrVrBXKacl`_ a��³fjX lÔ��ns_`_Ô��x Z[Z {�l`X _hr3X=v=f`���qX=��g���x � ��}��_�X as_`����g�nq�tfwac��xVX=u§�°g�vwT�asxV�q��xV����x�\&X ��acfj��nqx {8|}!¡tf`TVX�_hfjacfjX�_hr�asv X*W%�Ng�f`TVX�_`bV�V_hX=f . {8lhX _hr3X=v=fj�¸�qX=��g1 }!¦

8¯X vKacbV_`X´l`X _h��uVbVas�&l`nqbVxtuV_�aslhX�xVnsf�v nqxV_h��uVX=l`X=u­��x fjTVX��¹�[¡�fjTVX"uVbVl`acfj��nqx V+XaX�nc��a:rBnq_h_`���t��Xl`X=_`��utb�as�Ôl`nqbVxtu¨asxVu:fjTVX�v nqlhl`X _hr3nsxVuV��xt��x°bVWF�BX l�ns��_`X=�qW�X xNfj_{asl`X�xVnsf�fwas�cX x¨��x°f`n¹asv=v nqbtx°f{��x�fjTVXvKas��v bV��acfj��nqx�ns� LNM X ���`Q ¡ LNM � ���`Q ¡VLUM X��A� Q acxVuGLNM � �A� Q ¦»S�T�acf��_&ª&T°g�ª¯X�ª&�����1xVX=X u�f`n'acuVu´f`TVX���ns����n�ª&��xV��°b�asxNfj�¸f¥g§��x§fjTtX�X�derVl`X=_`_`��nqxV_^ns�@E'asxVu�E�L�¦� �  �  � �³��� Â��� �� 0[� � ~I�;���q� ��~ 4����1/�*<��$��~I��� � < LNM ��� Q ���&� LNM � L� Q /� �G���,<� �������� ������&�u� �-���+��������,<>= �,A��% ������U' <���� �?���&�x<��#A,A,�,<,< �(�����U' <���� � ����� �� ������ 4�'

LNM ��� Q J ^$S�ZZ S�� g�� �%���� <=' ^ S�Z ) g �C' <�(?>@)

^ S �� g�� �%���� ' ^ S�Z ) g �C' <�(?>@) ( {$h }��� à3�(���,���

Page 19: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

Y�f !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

LNM � L� Q J ^ S�ZZ '$`(S�Z )����� `(SGZ S

^ S �� g�� �%���� ' ^ SGZ ) R g �C' <�(?>@)

^ S �� g�� ������ ' ^ S�Z ) g �C'0<=(?>@)

������ F {%f}

4?�,�/�9� p[_�as�Bn��qXs¡Iª¯X¬uVX=xVnsfjX¬�Ng � f`TVX¬ljasxtuVnqW(�sacl`�£ac�V��X�X �°b�as��f`n�fjTVX¬x°bVW{�3X=l�ns��_`X=�qW�X=xNfj_�_`X=x°f�3X!��nql`X���nq_`_���x�f`TVX�l`nqbtxVu´��x�ª&TV��vwT"fjT�a�f&��nq_h_�nev=v bVlhl`X uK{8_hX X D����sbVl`XFYsYc}!¦¼µ:X�T�aK�qX

LNM ��� Q J LNM � 3°��nq_h_ � n � � ^ QJ ��������

g � L LNM � 3�n � J < �.��nq_h_ Q �$'$n � J,<43°��nq_`_�� n � � ^3)J � ������

g � L� g B L����UL 4 ' ^$SuZ ) � Z^ S,' ^ SGZ ) g � �$'8��nq_h_ 3�n�� J < ) � ' n��@J < 3�n���� ^&)� 'M��nq_`_ 3�n � � ^3)

J � ������g � L

� ^ S�ZZ � � ^ S,' ^$S�Z ) g B L ' ^ SGZ � <�Z )^$S,' ^ S�Z ) g � , ^$S,' ^ SGZ ) g�. &�� ����� ' R*)�� � R �C' <�(?>@)

^ S �� g+� �%��� ' ^$S�Z ) g ��' <=( > )

J � ^ S�ZZ � �� g�� ������ ,�^ S < Z ' ^ S�Z ) g B L S,' ^ SGZ ) g1. �C' <�(?>@)

^ S �� g�� �%���� ' ^ S�Z ) g �C' <�(?>@)

J ^ SGZZ S�� g�� ������ <�' ^ S�Z ) g �C'0<=(?>@)

^$S �� g�� ������ ' ^ SGZ ) g �C'0<=(?>@) F

µRX§utX xVnsf`X��Ng � fjTVX'xJbtWF�3X=l¬ns�&_`X=�qW�X xNfj_¬_hbVv v=X _`_i��bV���¸g¨_hX xNf��3X!��nql`X'��nq_h_F��xRf`TVX�lhX _`��uVb�as�¯l`nqbtxVuI¦� J f¯W�X asxV_�fjT�a�fK¡���x�fjTVX�l`X=_`��uVb�as�mlhnqbVxVuI¡Xf»_hX �qW�X xNfj_�aslhX�lhX v=X ���sX u�acxVu�f`TVX�xVX!dJf�nqxVX��qX=f`_���nq_hf ¦µRX�f`TJbt_T�aK�sX

LNM � L� Q J LUM � 3J��nq_`_��wn � � ^ Q J������� B L����UL LUM � 3 � J 4 � ��nq_h_ Q � '�� J 4�3°��nq_h_ �wn � � ^3)�F

S�TVX�v nqxVut��fj��nqx�as�3X!derBX v=fjacfj��nqx�ns� �H��_��q�¸�qX=x´�Ng

LNM � 3 � J 4 �.��nq_`_ Q J�=B L�# �UL f ' ^ SGZ ) # Z � 4 ' ^ S�Z ) � J ' ^ SGZ ) ,�^$S,' ^ SGZ ) � .

Z (

asxVu�fjTVX�v=nqxVuV�¸fj��nsx�as�®rtl`nq��ac�V������f¥g�ns� � vKacx´�BX�ª&l`��fhfjX=x´ac_

�$' � J 4 3J��nq_`_��wn � �_^3) J � ������g � � � L � ' � J 4�3�n � J < � ��nq_h_ ) �$'$n � J,<43°��nq_`_�� n � � ^3)

J � ������g � � � L

� ' ^ S�Z ) � Z^ S,' ^ S�Z ) g �, ^ S,' ^ S�Z ) g. &�� ����� ' R*)�� � R ��' <=( > )

^ S �� g�� �%���� ' ^ SGZ ) g �C' <�(?>@)

�?�5�(�?�

Page 20: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 Ycvkmbtf`f`��xV�¬fjns�qX=f`TVX l�fjTtX _`X�l`X=�£acf`��nqxt_ ¡eª¯X��qX=f

LNM � L� Q J ' ^ S�Z ) ������� B L����UL , ^$S,' ^ S�Z ) � . ' ^ SGZ ) �� ������g � � � L

&�������� ' R*)�� � R �C' <�(?>@)

^ S �� g�� �%��� ' ^ S�Z ) g �C' <�(?>@)

J ' ^ S�Z )��������g � L

&�� ����� ' R*)�� � R �C'0<=(?>@)g B L�� �UL , ^ S ' ^ S�Z ) � . ' ^ S�Z ) �

^ S �� g+� �%��� ' ^ S�Z ) g ��' <=( > )

J ' ^ S�Z )�� g+� �%��� �C' <�(?>@)�� g B L����UL ' ^ S�Z ) � S g B L����UL ' ^ SGZ ) R ���

^ S �� g�� �%��� ' ^ S�Z ) g �C' <�(?>@)

J ^ S�ZZ S � ^ SGZZ ' `(S�Z ) ��� g�� �%���� ,�^ S ' ^$S�Z ) R g. �C'0<=(?>@)

^ S �� g�� ������ ' ^ SGZ ) g �C'0<=(?>@)

�¾ �R�V��� ��� �e��W����£aslh��g¹f`n:\&X W�aslh��}e¡�ª»X"XKac_`���¸g¨�qX!f¬fjTVX�W�XKasx x°bVWF�BX l�ns�_`X=�qW�X xNfj_�fjl`asxV_`W���fi�fjX=u asxVu¨_hbVv v=X _`_i��bV���¸g:f`ljasxt_`W���f`f`X u:uVbVl`��xV�¹a´_`��n�ª,_ifwaslifFl`X=_`��uVb�as�Ôl`nqbtxVu�asxVuRuVbVl`��xV��a"v nqxV�sX _hf`��nqxaK�qnq��u�asxVv=X�lhX _h��uVb�ac�1l`nqbVxtuI¦

� � ������� �!��� � ����� � � � ��� � �,��� �1�¼��� ��� � � �1�=��� �

¤¥x fjTV��_�_hX v!fj��nsxI¡ ª»X´nq�tfjas��x X!derVl`X=_`_h��nqxV_���nql¬fjTVX´W�X asxHuVbtljacf`��nqxV_ LNM X cPO?Q ¡ LNM X��A� Q ¡ LNM X ����Q asxVufjTVX�W�XKasx�x°bVWF�BX l`_�ns� _hX �qW�X xNf`_{_`X=xNf LNM � cPOBQ ¡XLNM � �A� Q ¡ LNM � ���`Q ¡6lhX _hr3X=v=fj�¸�qX=��g«��nql�fjTVX�fj��W�X��¥nqbefK¡1_`��n�ª_hfjaslhf�asxVu¹v=nqxV�qX=_hfj��nqx¹aK�snq��u�acxVv XFrtT�as_`X=_ ¦S�TVX _hXFX!derVlhX _`_h��nqxt_�asl`X��q���sX x¹ac_�a���bVxtv=fj��nqx�nc�¼fj��W�X=laXML�¡fjTVX"W�XKasx l`nsbVxVu fjl`��r�fj��W�XWV+XYX�¡Ôf`TVX���nq_h_�rtl`nq��ac�V������f¥g�ZI¡Ôf`TVX"r�asljacW�X!fjX lx\'asxVu fjTVX"_hfjacfj��nqx�asliguV��_ifjlh���Vbtf`��nqx ��ns��fjTtX{���[¦

� �� � �������[RN* �S�TVX[�BX TVa��J��nql�ns�IS^� k�uVbVlh��xV��a�f`��W�X!��nqbtfmrBX lh��nJu���_Ô������bV_hf`ljacf`X u���x D����qbVl`X�Y>}J¡°ª&TtX l`X%_ _�utX xVnsf`X _ÔfjTVXl`X=_`��utb�as�1l`nsbVxVuK{8_`X=X�as��_hn D6���qbVlhXFYqYc}�¦

S�TtX���ns����n�ª&��xV�Fl`X=_`bV�¸f&vKasx"�BX���nsbVxVu"��x FÇY�s�HM¦¼µRX��q�¸�qX�TVX lhX�a�utX=fwac����X=u�rVl`nJns�6ns�6f`T�acf&lhX _`bt��fK¦

� �  �  � �³��� Â������� 0[� �.~I�;��� � ��~ 4����x/� <��$��~I��� ��<�<���� � �����( ����u�|�� �~I���;����@= ���( $��W���&�W��� � ~I�;�������� ���� $��K/� � �� �~I���;���� = ���( $��1����� �� ������ 4�'LNM � cPOBQ J Z^ S�Z ���&� LNM X cPOBQ J XML ^ � Z � `:Z R � ��Z Q � ��Z ���r^ ��Z� � & `:Z��^ S�Z SCV+XYXOF {$v }

��� à3�(���,���

Page 21: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

Y�s !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

���

���� � � � �

��>�?

� ���� �E� �� �;� �

D����qbVlhXFY>}e· .*���$�� ��5/� �I�� �~I���;���� = ���( $��^�4?�,�/�9� S�TVX�uV��_hfjlh���Vbefj��nsx�ns�®fjTVX�x°bVW{�3X=l»ns�1_hX �qW�X xNf`_ � cPO _`X=x°f uVbVl`��xV��f`��W�X!��nqbtfÔ��_¯XKas_ig�f`nF�qX=f»_`��xVv X� cPO J �:W�XKacxV_FfjT�a�f¬fjTVX�l`X!fjl`asxV_`W���fhfjX=u _hX �qW�X xNf�T�as_¬�BX X=x ��nq_hf �«fj��W�X=_F�3X!��nql`X§�BX ��xV�«v nqlhl`X=v=fj�¸gl`X=v X �¸�qX=uI¦¯S�T°bV_=¡M� cPO T�ac_a¬�qX=nqW�X=fjlh��v�uV��_hf`l`���tbtfj��nqxI¡°fjT�acf^��_� '�� cPO Jd�@)@JmZ��3' ^ SGZ ) acxVu´_hnV¡�LUM � cPOBQ J Z^ SGZ F

�1X=f&bV_&�Vlh��X=©tg�l`X=vKas���3f`TVX�fj��W�X=l W�X=vwT�asxV��_`W"¦¼p�³f`X l�X asvwT�l`X=f`ljasxt_`W���_`_h��nqx��8ac����btl`Xs¡°fjTtX�f`��W�X l¯uVnqbV�V��X _{�XML�¡ `�X L�¡ � XML�¡ ��XML�¡ F FGF }�bVxNfj���8��� XML�asxVu"fjTVX=x�lhX W�as��xV_&X �JbVas��f`n ����X LK¦ µ:X�f`T°bV_[�qX!f�acx�X!derVlhX _h_`��nsxns� LUM X cPO?Q �Ng�ª&l`�¸fj��xt�§·LNM X cPO?Q J � ��

��UL � ��o �UL ` o X L � �

�������� � ��o �UL ' ` o XMLM) � ''�.S �1)?��� XML � � � '�� cPO Jd�@)]SqV+XYX

J XML+' ^ SGZ ) � ����UL ' ` � � L S�^3) � ����

���� ' ^c`� � ���'��&S �1)�) � Z � SCV+XYX

J XML+' ^ SGZ ) � ����UL ' ` � � L S�^3) Z � � ^c`� ����

���� Z � � ����Z � ����

���� '��*S��1) Z � B� � SqV+XYX

J XML+' ^ SGZ ) � ^ �0&�Z ���:Z R � ^^_:Z Q � &-^;Z � � � &�Z �r^c`�:Z � � ^c`�:Z �^ S�Z � ����Z �' ^ S�Z ) R � SCV+XYX

J XML ^��eZ � `:Z R � ��Z Q � �:Z ���r^ ��Z� �0&`:Z��^$S�Z SCV+XYXOF

� E� � ��&�V��¤¥xFfjTVX¯��nq����n>ª&��xV�&l`X=W'aslh�¢¡sª»X»l`X v as���J�Vlh��X=©tg�_hnqW�X»l`X=_`bV�¸fj_¼nsxF_`n�ohnsbVl`xFf`��W�X _���x¬�´asl`�cn>�{vwT�as��xV_ ¦6S�TVX _hXl`X=_`bV�¸fj_&T�aK�qX��3X=X x"nq�tfjas��xVX=u���xeF¸Y�z�HP¦ �¾ �R�V��� �;� �»nqxV_`��uVX l»asx���l`l`X=uVbVv=���V��XuV��_`v=l`X=f`X[fj��W�X��acl`�sn���vwT�as��x'ª&��f`T���xV�¸fjX[_ifwacf`X[_hr�asv X(W asxVufjl`asxV_`�¸fj��nqx�rVl`ns��as�V������f¥g"W�acfjlh�¸d ��¦�µ:X�utX xVnsf`X��°g � ��fj_�_ifwacf`��nqxVaslhg´rVl`ns��as�V������f¥g"uV��_hf`l`���tbtfj��nqxI¡3f`T�acf��_ �GJ ���yasxVu�� � Jy^q¡Vª&TtX l`X���uVX xVncfjX _&fjTtX�v=nq��btW�x§�qX=v=f`nql^ª&�¸fjT"as���®fjTVX�X xNf`l`��X=_&X �°b�as�1fjnW^q¦%�1X=f�%�3X�a�rVlhnqr3X=l�_`bV�t_`X=fns�TW�¦¼µ:X�utX xVnsf`X��Ng��,Y¢fjTVX�v=nqW�rt��X W�X xNfjaslhg�_`bV�t_`X=f(W S���¦ÔS�TtX�rVaslhf`��fj��nqx�O(��&Y¢nc�TWy��xtuVbVv X=_�fjTVX���nq����n�ª&��xV�{uVX v=nqW�rBnq_h��fj��nqx§ns� ��¡��RacxVu��B·

�iJ � ��� ��� � �������� � � ����� � ¡ �uJ-, ��� ����� . asxtu�� J � ������

� F�?�5�(�?�

Page 22: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 Y�zS�TVX§W�acfjlh�¸d��«uVX xVncfjX _Ff`TVX§��utX xNfj�¸f¥gRW�acfjlh�¸d�ns�&ut��W�X xV_h��nqx¨�s���qX=x��NgRfjTtX�v nqxNf`X!dJfK¦ �1X=f � g �BX�fjTVX_hfjacfj��nqx�aslig�rVl`nq�Vas�V������f¥g�fjT�acf�a�_hn�ohnqbVlhx¹��x �y��xV�¸fj�£a�fjX _&��x´_ifwacf`X <`¡ < B���¦ µ:X{uVX=xVnsf`X{�Ng2��f`TVX{lhn�ª�qX=v=fjnslv=nqW�rBnq_hX u�ns��fjTVX4� g asxVu"�°g � ��fjTVX�x°bVWF�BX l�nc��_ifwacf`X _&ns� �.�J��_`�¸fjX=u"utbVl`��xV��_`bVvwT´a¬_`n�ohnqbtl`xI¦D�l`nqW F¸Y�z�HP¡Vª¯X�T�aK�qX�fjT�acf � J ����'��.S ��� )

����'�� S ���8) � � J ����� ����� � ���� � ��� � � � �� F {%s}

LUM � � Q J � '��.S ��� ) B L ��uJ ��� � ���� � ��� � � � � � J ��� ��

������ � � � �� � F {%z}�´nqlhX n��qX=l ¡t��nqlÔX=�sX lig <CB ��¡e��X=f � g�� �´�3X^fjTVXx°bVWF�BX l»nc�I�J��_`�¸fj_�fjnF_ifwacf`X4<6uVbVl`��xV��a{_`n�ohnsbVl`x���x � asxVu��X!f#_ g �BX�acx°g�l`X as�®x°bVW{�3X=l ¦m¤��1ª¯X�uVX xVncfjX��Ng _ ��fjTtX�v nq��bVW�x��qX=v=f`nql v nsW�rBnq_`X=u§ns�1fjTtXT_ g acxVu��Ng�� �fjTVX�l`asxVuVnqWÄ�sacl`�£ac�V��X

� ��J �g � �

_ g � g�� � (ª»X�XKac_`���¸g��qX!f

LNM � � Q J � '�� S ���8) B L _ �GJ ��� _ ���� � ��� � � � �� J ����_ �

������ � � � � � � F {ÊY�~}0 _`��xV�¬fjTVX=_`X�l`X _hbV��f`_ ¡Vª¯X�T�aK�qX�fjTVX���nq����n�ª&��xV�{rVl`nqrBnq_h��fj��nqxI¦

� �  �  � �³��� Â������ � 0[� �+~I�;������ �~I� LNM X S ��� ��� Q 4������ �,���u��� �.���&�|/�g� �� �~I���;�����= ���( $���F ��� � 4��$�� �� � ����/�+<����� <��$����� I ���&� ��� �����BH � XKJ ���<,<" �< �� ������ 4�'

LNM X S �<� � � Q J V+XYXZUL

��������

^& � ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)S�^

���������

F {ÊYqYc}

4?�,�/�9� 8¯g�uVX ��xt��fj��nqx'nc�1LNM X S ��� � � Q ¡°ª¯X�T�aK�qX,LNM X S �<� �

� Q J V+XYX [ULNM ��� � Q ¡Jª&TVX=l`X ������ uVX xVncfjX _¯fjTVXx°bVWF�BX l^ns�¼_ifwacf`X _�J��_`��f`X u"uVbVlh��xV��a�_hn�ohnqbVlhx���x´_hbV�V_`X!f . -21 ¦ D¢ns����n�ª&��xV�¬\&X W�asl`��|t¡3\&X ��acfj��nqxe{%z }!¡ª»X�T�aK�qX

LNM ����� Q J � ���� � ����� ���� '��.S � �� � ) � ���� J �� g�� �%��� ���� �C'0<=(?>@)

� � � � � ���� � �� �

J ^ S �� g�� �%����� �C'0<=(?>@)&�� ����� ' R*)�� � R ZUL �C'8K@(?>@)

J ^ S &�������� ' R*)�� � R �C'RK@( > )

ZUL & � ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)(

ª&TVX lhX f`TVX �£as_if«X �°b�as����f¥g*��nq����n>ª&_¹��lhnqW f`TVX��8asv=f«f`T�acf W L ��_¹f`TVX _`bV�t_`X=fRns��_hfwa�fjX _ '8K@(?>@)w¡ > J`L(GFGF F (@��nH587:9�b `&�q¦� �  �  � �³��� Â���� 7�� 0[� �I~I�;���C� ��~ 4����W/� <��$��~I��� ��< <���� � LNM � S �<� �

� Q ���&� ��� �|~I�;���C� ��~ 4����]/� <��$���~I��� � <*���,A,�� ����;� LNM � S ��� � � L � Q 4������ �,���K��� �I���&�G/�x�]�� �~I���;���� = ���( $��]���&�]��� �x���BH � XKJ ���<,< �������� ������4�'

LNM � S ��� � � Q J

�� g+� �%��� �� � <��C'0<=(?>@)

ZUL &�� ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)( {ÊY>} }��� à3�(���,���

Page 23: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

}s~ !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

LNM � S �<� � � L � Q J ' ^ SGZ )Z

�� g+� �%��� �� � ' ^ S,' ^$SuZ ) g ) �C' <�(?>@)

ZUL & � ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)F {ÊY��}

4?�,�/�9��0 _`��xV�¬fjTVX�lhX _`bt��f&rVlhX _`X=xNfjX u���x"\^X=W'acl`�'|t¡�\^X=�£acf`��nqxe{ÊY�~}�¡tª»X�T�aK�sXLNM � S ��� �

� Q J � ���� _ ����� �� � '��.S � �� � )�� ���� (

ª&TVX lhXFfjTVX{X xNfjlig�' <�(?>@)�ns�m�sX v!fjnql _ �� � ��_fjTtXFx°bVWF�BX l�ns��_hX �qW�X xNf`_�_`X xNf�ª&TVX=x¹fjTVX¬�¹� ��_[��x¹_hfjacfjX' <�(?>@) B . - 1 ¡�f`T�acf��_K_�� g+� �%� J <h¡B��nsl^X!�qX=lhgE' <=( > )OB . - 1 ¦&\&X ��acfj��nqx�{iY>} }���_�f`TVX x¹X as_`����g�nq�efwas��xVX ubV_`��xV��fjTVX�_`asW�X�aslh�qbVW�X xNfj_&ac_^��x§fjTVX�rVlhnens�6ns��kml`nqrBnq_`�¸fj��nqx¹YqYq¦

¤¥x�fjTtX�_jasW�X�ª aKgq¡�ª¯X�T�aK�qXLNM � S ��� � � L

� Q J � �� � _ �� �� ���� '�� S � ���� ) � ���� (

ª&TVX lhX�f`TVX�X xNfjlig ' <�(?>@)^ns�Ô�qX v!fjnql _ �� � ��_�xVn�ª f`TVX¬x°bVWF�BX l�ns�¯_`X=�qW�X=xNfj_�_`bVv=v X=_`_h��bt����g�f`ljasxt_`W���f`f`X uª&TVX x"fjTVX��¹� ��_���x"_ifwacf`X$' <=( > )�B .0-/1 ¡VfjTVacf^��_

_ � g�� �%� J g B L����UL 4 ' ^ SGZ ) � Z � <�' ^ S�Z ) g J ^ S�ZZ ,�^ S ' ^ S�Z ) g. F

p[_���nql&\&X ��acfj��nqxe{iY>}�}!¡�\&X ��acfj��nqx {iYK�}»��_ f`TVX x"XKas_ig§fjn��qX!fK¦� 'Q � VXR � � ��#%$���1X=f�bV_[uVX xVncfjXF�Ng � oe¡ p ��^q¡3f`TVX{_h��± X{ns�¼fjTtXFv nqxt�qX _ifj��nsx�ª&��xVutn>ª uVbtl`��xt��fjTtX*pB�PfjT¹lhnqbVxVu���x�_`��n�ª_hfjaslhfÔrVT�ac_`XasxVu�l`X=vKas���VfjT�acf��|J ^ �e^cb�\>¦�¤�� \ J_^^ª¯XTVa��sX%� o"J ` o B L ¡°�VbtfY� o���_�xVncf�X �°b�as��fjn�� oCB Lª&TVX x�\ �J ^q¦��»nqxV_h��uVX=l�fjTVX¬��x°f`X �qX=l[��bVxVv!fj��nqx 8 � ���� �1� � ��asxtu�utX ��xVX¬lhX v=bVl`_h���qX=��g 8 : L< ''��) J ��¡asxVu 8 : o=< J 8 : o B L < D 86¡V��nql pK� ^s¦¯µ:X�f`T°bV_TVa��sX � o.J 8 : o B L < ' ^&)w¦?D¢nsl pK� ^q¡Vª¯X{uVX=xVnsfjX��Ng�� o¬fjTVXx°bVWF�BX l ns��_hX �qW�X xNfj_»_`X xNf&uVbtl`��xt�{fjTVX p ��l`_if&l`nqbtxVuV_ ns��aF_h��n�ª _hfjaslhf rVT�as_hX�asxVu�ª¯X�_`X!fK� L J Ke¦¼µRXfjT°bV_^XKas_h���¸g��qX!f

�o J o���� L � �3F�1X=f�bV_�v nqxV_h��uVX=l�a"�q�¸�qX=x:_h��n�ª%_ifwaslif�rVT�as_hX���nql�ª&TV��vwT�f`TVX¬fjTVlhX _hTVnq��u���_�X �JbVas�¼fjnJ>¹asxVu�uVX=xVnsfjX��Ngp � fjTtX�W�a�de��W{bVW x°bVWF�BX l�ns�»l`nqbVxtuV_{��x«f`T�acf�_`��n>ª _hfjaslhf�rVT�as_hXs¦��J��xVv=X�utbVl`��xV�"f`T�acf�rVT�ac_`Xs¡ � o"��_��xVv=l`X as_`��xV�¬ª&��fjTWp6¡Vª»X�T�aK�qX"p � J,!$#&% Dcp � ^ 3 � o � > IgJ !���� Dcp6�_^ 3 � o � L � > I°¦� �  �  � �³��� Â���� ��� 0[� � ~I�;��������� ���� $�� LUM X��A� Q /�+�.<������<��$���(� = �-��<��+���&� ��� � ~I�;���]� ��~ 4���� LUM � �A� Q/�+<��$��~I��� � < <���� � �����( ����|� <����� <��$����� = �-��<�� ����� �� ������ 4�'

LUM X��A� Q J V+XYX&�� ����� ' R*)�� � R � B L�g � L �C'0<=(?>@)

ZUL &�� ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@){ÊYK|O}

LNM � �P� Q J& � ����� ' R*)�� � R o

�o � L � o@' ^ SGZ ) ���� �� ��'RK@(?>@)& ������� ' R*)�� � R �C'RKL(?>@)

F {ÊYch }

�?�5�(�?�

Page 24: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 }eY

4?�,�/�9� 8¯g�uVX ��xV�¸fj��nsx�ns�XLNM X��A� Q ¡eª»X�T�aK�sX.LNM X �P� Q J V+XYX [GLNM ��� Q ¡tª&TVX=l`X ��� uVX xtnsfjX=_&f`TVX�x°bVWF�BX lns��_hfjacfjX=_��e��_`�¸fjX u utbVl`��xV��a¨_`n>ohnqbVl`x ��x­_`bV�t_`X=f . ¡^ª&TV��vwT v nqlhl`X _hr3nsxVuV_�fjn¨f`TVX�_`��n�ª _ifwaslif§_hfjacfjX=_ ¦D�nq����n>ª&��xV�¬\&X W�asl`��|V¡�\&X ��acfj��nqxe{%z} acxVu"as_ � � � � � � � � � � � J � � ¡Vª»X�T�aK�qX

LNM �� Q J � � � �� � '�� S � � )�� � J � � � �

� � � � � � � � J �� g�� ����� � �C'0<=(?>@)& ������� ' R*)

�� � R ZUL �C'8K@(?>@)J

&�������� ' R*)�� � R � B L

�g � L �C'0<=(?>@)

ZUL & ������� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)(

�»nsxV_`��uVX l�xtn>ª LNM � �P� Q ¦��1X!f�bV_�uVX=xVnsfjX¬�Ng�� � f`TVX¬_hfjacfjX¬nc�¯_hbV�V_hX=f . �Ng�ª&TV��vwT�a�_`n�ohnqbtl`x«��x .�3X=�q��xt_ ¦�S�TVX _hX�_ifwacf`X _^aslhX�xtX v X=_`_`asl`����g�f`TVX�_hfwa�fjX _�' ^N(?>@)���nqlC>*J ^N(GFGFGF (@��nH587:9�b `&�N¦kD�lhnqW \&X W�asl`��|V¡\^X=�£acf`��nqx1{%s}�¡ � '�� � J ' ^N(?>@)=)®��_¼X �°b�as�ef`n�fjTVX»X xNfjlig ' ^�(?>@)1ns��f`TVX»�qX=v=f`nql � � '��TS � � ) b M � � '��TS � � ) � � Q ¡fjT�a�f��_

� '�� � J ' ^N(?>@)=)@J M � � '��.S � � ) Q ' ^N( > )� � '��.S � � ) � � J M � � � � � � Q ' ^�(?>@)� �� � ���� � � � J ZUL �C'8K@(?>@)&�������� ' R*)

�� � R Z�L �C'RK@( > )J ��'RK@(?>@)&�������� ' R*)

�� � R �C'8K@(?>@)F

"n�ª�¡�����fjTVX�_h��n�ª%_ifwaslif�rVT�as_hX���xV��f`�£acf`X _[�Ng«_ifwacf`X ' ^N(?>@)�f`TVX x�fjTVX¬W�a�de��WFbtW x°bVWF�BX l�ns�¯l`nqbtxVuV_���xfjT�a�f{rVTVas_`X���_�X �°b�as�mf`nup � ¦|D�nql"p,� p � ¡ fjT�acf�rVT�ac_`X'��as_hf`_"p lhnqbVxVuV_1{8�M¦êXc¦'xVn´��nq_h_�nJv v=bVl`_�uVbVlh��xV�fjTVX�p S ^ ��lh_hf§lhnqbVxVuV_§nc��fjTV��_�rVT�as_hX�asxVu a¨��nq_`_�nev=v bVlh_§��xHf`TVXGp¢��fjT lhnqbVxVu }�ª&��f`T­rVl`ns��as�V������f¥g' ^ S�Z ) ���� � ' ^ S ' ^ S�Z )�� � )w¦m¤�f&��as_hf`_ p � lhnqbVxVuV_�{��P¦ Xs¦mxVn���nq_`_ nJv v=bVl`_&uVbtl`��xt�FfjTVXgp � S ^ ��lh_hf&lhnqbVxVuV_ns��fjTV��_�rVT�ac_`X�}ª&�¸fjT�rVlhnq��as�t�����¸f¥gK' ^ SeZ ) � � �� _h��xVv=XF��x¹f`T�acf�v as_`XFf`TVX p � ��f`T�l`nqbtxVu���_[f`TVX¬�£ac_hf�nqxtXs¡a���nq_`_�nJv v=bVl`lh��xV��nql&xVncfK¦�S�TVX�xJbtWF�3X=l&ns��_hX �qW�X xNf`__hX xNf[utbVl`��xV��a�_h��n�ª²_ifwaslif^rVT�as_hX�ns�5p«l`nqbtxVuV_^��_� ot¦mS�T°bV_=¡3�¸� � uVX=xVnsf`X _&fjTVX�x°bVWF�BX l&ns�6l`nqbtxVuV_&��x"a¬_`��n>ª*_hfjaslhf^rVTVas_`Xc¡¢ª¯X�T�aK�qX

LNM � �P�53�� � J;' ^�(?>@) Q J o �o � L � o � ' � J p8)J o B L�o � L � o@' ^ S�Z ) ���� � ' ^ S,' ^ S�Z ) � �N) � � o &' ^ S�Z ) ��� ��J o B L�o � L � o�,G' ^ S�Z ) � �� � S,' ^ S�Z ) � � . � � o +' ^ S�Z ) � � �J o �o � L '�� o(S�� oCB L )�' ^ SGZ ) ���� �J o �o � L � o@' ^ SGZ ) ���� � F

S�TVX�l`X _hbV��f���ns����n�ª&_ �Ng§ª&lh��fj��xV�

LUM � �A� Q J&�� ����� ' R*)�� � R LNM � �A�53�� � J;' ^N(?>@) Q � '�� � J ' ^N(?>@)�) F

� �  �  � �³��� Â���� �;� ��� ��+���<,< �A,A����,< ������ ���� �g<����� <�� ���(�-= �-��<�� ��� ���I��� � ~I�;���I�����;���� $�� LNM X 587:9�P� Q /�� �-����= �-��<�� � ��� �g~I�;���]� ��~ 4���� LUM � 587:9�A� Q /�a<��$��~I��� ��<a<���� �k�����( ���� � �-����= �-��<��g���&� � � �+~I�;���]� ��&������� à3�(���,���

Page 25: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

}q} !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �<� �:�� LNM n 587:9�A� Q �,�;��A,� �;� ��� ��� �*���&�]/�g���-����= �-��<������,� �� ������ 4�'LUM � 587:9�A� Q J

&�� ����� ' R*)�� � R � o ��'RK@(?>@)&�� ����� ' R*)�� � R ��'RK@(?>@)

(`LNM X 587:9�A� Q J V+XaX&�� ����� ' R*)�� � R p � �C'RKL(?>@)&�� ����� ' R*)�� � R �C'8K@(?>@)

(`LNM n 587:9�P� Q J&�� ����� ' R*)�� � R � o ��'RK@(?>@)&�� ����� ' R*)�� � R ��'RK@(?>@)

���&�I� � � =&�,54,�64� ��U ���' Z �A� # O �P� � �-���3�� ���<,<*�A,A�����<.�����( ����1� <����� <��$���(��= �-��<��g �<

Z �A� # O �P� J&�������� ' R*)�� � R ' ^$S�' ^ S�Z ) � � ) �C'RKL(?>@)&�� ����� ' R*)

�� � R �C'RKL(?>@)F {ÊY�f}

4?�,�/�9� S�TVX _hX�l`X=_`bV�¸fj_¯asl`X^XKas_h���¸g�nq�tfwac��xVX=u��Ng�bV_`��xV��f`TVX[_`asW�X[aslh�qbVW�X xNfj_¯as_¯��x�fjTVXrVl`nJns�Inc� kml`nqrBnc�_`�¸fj��nsx�Y��t¦� �  �  � �³��� Â�������� 0[� �"~I�;����� ��~ 4���� LNM � L �P� Q /�+<��#A,A,�,<,< �(�����U'x�%� ���-<�~ ����/�;� <��$��~I��� ��< ������ ����|� <�����<�� ���(��= �-��<��" �< �� ������ 4�'

LNM � L �P� Q J ^ S�ZZ& � ����� ' R*)�� � R , ^$S�' ^ S�Z ) � � . �C'8K@(?>@)&�� ����� ' R*)

�� � R �C'RKL(?>@)F {ÊYcv }

4?�,�/�9� µRX���nq����n�ª fjTVX�_ifjX rt_bV_hX u�fjn�nq�tfjas��x�LNM � �P� Q ��x§fjTtX�rtl`nJns��ns�¼kmlhnqr3ns_`��f`��nqx�YK�t¦ �1X=f&bV_&uVX=xVnsfjX�Ng � f`TVX�x°bVWF�BX l§ns��_hX �qW�X xNfj_���nq_hf§utbVl`��xV�¨fjTVX���as_hf�l`nqbVxtuAnc�Fa¨_h��n�ª _ifwaslif�rVT�as_hXs¦ µ:X�T�aK�qXLNM � L �A� Q J LNM � �P� Q S LNM � Q ¦¨¤��^fjTVX�_h��n�ª _ifwaslif�rVT�as_hX���xV�¸fj�£a�fjX _��Ng�_hfjacfjX ' ^N(?>@)�fjTtX x fjTVX§W�a�de��WFbtWx°bVWF�BX l�ns� lhnqbVxVuV_���x�fjT�a�f�rVT�as_hX���_¯X �°b�as�®f`n p � ¦Ô�ebVrVrBnq_hX�fjT�acf _`bVvwT"aFrVT�ac_`X��£ac_hfj_ p¹l`nqbtxVuV_ ¡efjTVX=xª»X�TVa��sX � BEDZKL(�^N(GFGF FM(+� o I�asxtu�fjT°bV_ ¡t��� � uVX=xVnsf`X _»f`TVX�x°bVWF�BX l nc� l`nqbVxtuV_���x§a�_`��n�ª _ifwaslif�rVT�as_hXs¡ª»X�T�aK�qX

LNM � 3�� � J;' ^N(?>@) Q J o�o � L LNM ��^���� �-o�� Q J o �o � L � ����� L 4�� '�� J 4 ( � Jrp )J o�o � L � ����� L 4 ' ^$S�Z ) ���� � ' ^ SGZ ) � � B � ZJ o�o � L Z ' ^$SuZ ) ���� � � � � B L � ����� L 4 ' ^ SGZ ) B � � LJ o�o � L Z ' ^$SuZ ) ���� � � � � B L ^ S ' ^$S�Z ) B � � ,�^���� o�,�^ S LL B T . ., ^ S LL B T . RJ o�o � L � oL' ^ S�Z ) � � �� S ^ SGZZ

o �o � L ' ^$SuZ ) � �� � ' ^ S,' ^ SGZ ) � ��)J LNM � �P��3�� � J ' ^N( > ) Q S ^ S�ZZ

o�o � L , ' ^$S�Z ) ���� � S,' ^ SGZ ) � � .J LNM � �P��3�� � J ' ^N( > ) Q S ^ S�ZZ ,�^ S ' ^ S�Z ) � � . �?�5�(�?�

Page 26: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 }s�

D���xVas���¸gq¡°ª»X��qX=fLUM � L �A� 3�� � J;' ^N(?>@) Q J ^ SGZZ ,:^ S,' ^ SGZ ) � � . (

asxVu�fjTVX�lhX _`bt��f���nq����n�ª&_��Ng§bVxVv=nqxVuV�¸fj��nsxV��xV�t¦

� �� � R �TS �(� ���XR ��#��WR ����# ��&��� �  �  � �³��� Â���� ��� 0[� �W~I�;��������� ���� $�� LNM X ����Q /���mA,������,<��� $�������� ������A,�.= �-��<��]���&��� � �]~I�;���� ��~ 4���� LNM � ���`Q /�+<��$��~I��� � < <���� � �����( ����1�]A,������,<��% $��G����� ������A,� = �-��<�������� �� ������ 4�'

LUM X ����Q J&�� ����� ' R*)�� � R ,=. � '�� R � ��� R � � L ) � .

� � �� � � .&�� ����� ' R*)�� � R '�� R � ��� R � � L � � )

LNM � ���`Q J&�� ����� ' R*)�� � R ,�� � '�� R � ��� R � � L ) � �

� � �� �� � .&�������� ' R*)�� � R '�� R � ��� R � � L � � )

(

�@� ������ g J-,�^ S ' ^ S�Z ) g. ' ^ S / g ) &�� ����� ' R*)�� � R ��' <=( > ) ���&� � J ��''� o (?>@) ' ^ S�Z ) � � (

������ ����� . g J�V+XYX�' ^ S�Z ) B�������� �����

� � ����� B L��� g �

�� � �

� g J ' ^ SGZ ) B�������� ������ � ����� B L��� g � �

�� � nH587:9 � ���&�

����� ���� ��J ' ^ S�Z ) ������� ���� ^ S ' ^ S�Z ) S �^ S ' ^ S�Z ) �

�uJ ' ^ S�Z ) ��� ����� ��� ����� �����^ S,' ^ S�Z ) � ����� F

4?�,�/�9� S�TVX^f`��W�XYX ��� ��_�_hTVn�ª&x���x D����sbVl`X ve¦ �1X!f»bV_ÔuVX=xVnsfjX�Ng � � f`TVX[_ifwacf`X�Ng¬ª&TV��vwT§a�v nqxV�sX _hf`��nqxaK�qnq��u�asxVv=X�rVTVas_`X��BX �q��xV_ ¦¬µ:X�W{bV_hf�T�aK�qX�xVX=v X _h_jaslh���¸g«X ��f`TVX l � � J ' >N( > )nql � � J ''� o � L (?>@)w¡1��nql> Ji`L( FGFGF (@��nH587:9�b�`&��asxVu"��f���_�r3nq_h_`���V��X�f`T�acf���nql�_hnqW�X >�¡tª¯X�TVa��sX4>.J � o � L ¦¯�enV¡eª»X�T�aK�qXLNM X ����Q J

&�������� ' R*)�� � R , . �! � ��� ��� � .� � �� � �

� � �� � � ��� . ^ � �#"� � � �� � � � & ������� ' R*)�� � R . �! � ��� �%� ^ � � � � � �� � � ( {ÊY�s}asxVu

LNM � ���`Q J&�������� ' R*)�� � R , � �! � ��� ��� �$�

� � �� � �� � �� � � ��� . ^ � �#"� � � � � � � &�������� ' R*)�� � R � �! � ��� �%� ^ � � � � � �� � � ( {ÊY�z}

ª&TVX lhXs¡ ��nql <aJ >´nql � o � L ¡1ª¯X�utX ��xVX$. g J LUM X ��� 3 � � J '0<=(?>@) Q ¡�� g J LNM � ��� 3 � � J ' <=( > ) Q asxVu � g�� ��� J � '�� � J ' <=( > )�)w¦ "^nsfjX�fjTVacf���nqlC> Ji`1(GFGFGF (@��nH587:9�b `&�N¡tª¯X�T�aK�qX � o � L J�`L(GFGFGFM((nH587:9�¦�1X!f»bV_»X=�cas��bVacfjX&fjTVX'�°b�asxNfj�¸fj��X=_�. g ¡%� g acxVu � g�� ��� ¦&� g l`X=rVl`X=_`X xNf`_ fjTVXW�X asx'x°bVWF�BX l¯ns�1_hX �qW�X xNfj_

_`X=x°fuVbVlh��xV��a¬v=nqxV�qX=_hfj��nqx"aK�qnq��u�asxVv=X�rVT�as_hX�ª&Tt��vwT��3X=�q��xt_ ª&��fjT"a¬v nsxV�qX _ifj��nqx�ª&��xVutn>ªE_`��± X�n�� J <`¦2 bVlh��xV��fjTVacf�v nqxV�sX _hf`��nqx rVTVas_`X§fjTt��_Fª&��xtuVn�ª W�a�gR��xVv=l`X as_`X§��l`nsW <�fjn�nH587:9s¦ �JbVrVrBnq_`X§fjTVacf�fjTVX_`��± X'nc��fjTV��_�v=nqxV�qX=_hfj��nqxRª&��xVuVn�ª,��_�X �°b�as�Ôfjn ��¡6��nql � J <=( FGFGF (,n6587:9�¦´¤�fF��xtv l`X as_`X=_{�Ng ^�X=�sX lhg�\l`nqbtxVuV_Ô���3xVn���nq_`_�nJv v=bVl`_=¦Ô�enV¡Nª&TVX x�fjTVX&ª&��xtuVn�ª­_`��± X^��_8��¡°f`TVX x�fjTVX � _`X=�qW�X xNfj_Ôns�®f`TVX _>�PfjT�l`nqbtxVuI¡��� à3�(���,���

Page 27: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

}c| !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �_eJ ^N( FGFGF (�\>¡ÔaslhX�_`X=xNf��¸�&xVn���ns_`_FnJv v=bVl`lhX u uVbVl`��xV��as���¯f`TVX�rVlhX v X=uV��xt��lhnqbVxVut_¬ns�&fjT�acfFv nqxV�sX _hf`��nqxaK�qnq��u�asxVv=X´rVTVas_`Xc¡»ª&TV��vwT �BX �q��xV_¬ª&��fjT n � J <`¦H¤��ª»X"uVX=xVnsfjX"�Ng � '=� (+_�)�fjTVX�fjncfwas� x°bVW{�3X=l�ns�_`X=�qW�X=xNfj_^v nqxNfwac��xVX=u"��x"as���®f`TVX _hX�rtl`X v=X uV��xV��l`nqbtxVuV_ ¡�ª¯X�T�aK�qX

� ''� (+_�)@J \ � � B L���� g 4 � � '=_ S�^3)6� J \+''� ''� S ^3)]S�<=' < S�^3)�)` � '=_ S�^3)6� F

S�TVX�rVlhnq��as�V�����¸f¥gFfjT�a�f»fjTtX�_`X=�qW�X=xNfj_�ns�1f`TVX _���fjT'l`nqbVxtu�ns� _`��± X �Easl`X_`X=x°f&��_»X �JbVas�®fjn ' ^ SGZ ) � � � � � � ¦�enV¡Vª¯X�T�aK�qXs¡���nqlO<5Ji`1(GFGFGF ((nH587:9s¡

� g J������� B L��� g S�

� � L � ' ^ S�Z ) � � � � � � � ����� � L n6587:9�' ^ SGZ ) � ��� ����� � � � F

"nsf`X¬fjT�acf�ª&TVX=x:f`TVX�_`��±=X�nc�»v=nqxV�qX=_hfj��nqx«ª&��xVuVn�ª ��_ n6587:9�¡1f`TVX�x°bVW{�3X=l�nc� l`nsbVxVuV_���_�bVx°�BnqbVxVutX uI¦p�³f`X l&_`nqW�X�as���qX �Vl`at¡tª¯X�XKas_h����g'nq�tfjas��xI¡

� g J ������� B L��� g �

� ' ^ S�Z ) � ������� ��� ����� ���� ��S�� � L ' ^ S�Z ) � � � B L � �

� nH587:93' ^ S�Z ) � � � ����� � � ����� ���� ����� ��� ������� � L ' ^ SGZ ) ������� � � B L �

J ' ^ SGZ ) B�������� ����������� B L��� g �

� ' ^ S�Z ) ������� ���� ^ S,' ^ SGZ ) S �^ S,' ^ SGZ ) � �� nH587:93' ^ S�Z ) B ������� ����� ' ^$SuZ ) ��� ����� � � ����� ����^$S,' ^ S�Z ) �������

J ' ^ SGZ ) B�������� ����� ������� B L�

�� g � �

�� �[n6587:9 �

ª&TVX lhX��J ' ^ SGZ ) ������� ���� ^ S,' ^ S�Z ) S �^ S ' ^ S�Z ) � acxVu �uJ ' ^ S�Z ) �� � ����� � � ����� B L �^ S,' ^ SGZ ) � ����� F

0 _`��xV��_`��W�����asl¯asl`�qbtW�X=x°f`_ ¡Vª¯X�nq�tfwac��xI¡t��nslO<@J�`L(GFGF F ((nH587:9�¡

. g J�V+XYX � ����� B L��� g S�

� � L ' ^ S�Z ) � � � � � � � V+XYX ����� � L ' ^ S�Z ) � � ������� � � � (

ª&TV��vwT"��X asuV_�fjn. g J V+XYX�' ^ S�Z ) B�������� �����

� � ����� B L��� g �

�� � � F

�1X!f�bV_�xVn�ª�uVX!fjX=l`W���xVX�fjTVXÔrVlhnq��as�V�����¸f¥g � g+� �%� ¦6S�TVX¯nqxV�¸g�_hfjacfjX=_��Ng�ª&TV��vwTFa^v=nqxV�qX=_hfj��nqxFaK�snq��u�acxVv XrVT�as_hXFW�a�g"_ifwaslif�aslhX{_hfjacfjX ' >N(?>@)j¡®l`X asvwTVX=u«ac�³fjX=l[aIXKP ��nq_h_ ¡IacxVu¹_hfjacfjX ''� o � L ( > )j¡3lhXKasvwTtX u�ac�³fjX=l[a_`��n>ª%_hfwaclhf�rVT�as_hX�ª&��f`TVnqbtf���nq_`_=¡���nql >�J `1(GFGFGFM(@��nH587:9�b `&�N¦�p XKP ��nq_`_���_�v asbV_`X=u¨�Ng:a"fjl`asxV_h��fj��nqxX �¸fjTVX=l[��l`nqW a�_ifwacf`X ' ` >N( 4 )�fjn�a�_hfwa�fjX ' >N(?>@)&nql��lhnqW a'_hfjacfjX '$` >��i^N( 4 )»fjn§a�_ifwacf`X ' >N( > )j¦�p%_`��n�ª_hfjaslhfrVT�as_hX�ª&�¸fjTVnqbef[��nq_`_^��_&vKacbV_`X=u¹�Ng�a�fjl`asxV_`�¸fj��nqx§��l`nqW(a�_hfwa�fjXJ''� o +(?>@)Ôfjn�_hfwa�fjXJ''� o � L (?>@)w¦��enV¡��nq����n�ª&��xV�¬\&X ��acfj��nqxe{%s }»��x�\&X W�asl`��|t¡tª»X��qX!f

�?�5�(�?�

Page 28: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 } h

I ��� > �J � o � L f`TVX x � ��� �%� J � R � ��� R � � L&�� ����� ' R*)

�� � R '�� R � ��� R � � L � � )asxVu �

� � �� � � �%� J �& � ����� ' R*)�� � R '�� R � � � R � � L � � )

I ��� >*J � o � L f`TVX x � �$� �%� J � R � � � R � � L � �& � ����� ' R*)

�� � R '�� R � � � R � � L � � )(

ª&TVX lhX

� R � J & ������� ' R*)���� R �C'$` >N( 4 ) � � R ��� � � � ��� ��� J &�������� ' R*)���� R �C' `M>N( 4 ) ,:^ S,' ^$S�Z ) R � . ' ^ S / R � ) (��x§fjTtX�_`asW�X�ª aKgq¡

� R � � L J &�� ����� ' R*)���� R �C' `M>4�r^N( 4 ) ,:^ S,' ^ S�Z ) R � � L . ' ^ S / R � � L ) (ª&TVX lhXs¡�ª¯X�_hX=f �C'Rf?( 4)@J KF��nql f � nH587:9�¡¢asxVu

� J ��''� o (?>@) � �� � � �%� � ��� ��� J ��''� o (?>@) ' ^ S�Z ) � � F

\^X=rV�£acv ��xt� � g�� �%� ��x"\^X=�£acf`��nqxt_"{iY�s } asxVu�{iY�z }!¡tª¯X��sX=f

LUM X ���`Q J&�� ����� ' R*)�� � R , . � '�� R � ��� R � � L ) � .

� � �� � � . ^ � �#"� � � �� � �&�� ����� ' R*)�� � R ' � R � ��� R � � L � � )

& � ����� ' R*)�� � R . � '�� R � ��� R � � L � � ),^ � � � � � � � �& ������� ' R*)

�� � R '�� R � � � R � � L � � )J

&�������� ' R*)�� � R ,=. � '�� R � ��� R � � L ) � .

� � �� � � .&�� ����� ' R*)�� � R ' � R � ��� R � � L � � )

asxVuI¡���x§fjTVX�_jacW�X�ª»aKgq¡�ª»X�nq�efwas��x�f`TVX�uVX _h��lhX u"X!derVl`X=_`_h��nqx´ns�TLNM � ���`Q ¦S�TtX���ns����n�ª&��xV�FrVlhnqr3ns_`��f`��nqx'��_�ª»X=���Ç�¥�°xVn�ª&xI¦

� �  �  � �³��� Â���� ��� 0[� �G� ��~ 4���� � L��� /�u<�� A,A,�,<,< �(�����U'q��� ���-<�~ ��%�>�;�C<��$��~I��� ��<������( ���� �rA,������,<��% $������� ������A,� = �-��<�� �-��<.�.���,�~I���%�( $A �� �<����( 4����� $���� �� � =-��� ��~I���>��� ^ SGZ � <� LNM � L��� Q J ' ^$SuZ ) b:Z ���� à3�(���,���

Page 29: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

}�f !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �� � � �(��� $+#%��� #N��� SWR R�� �/*,�� �  �  � �³��� Â������� 0[� �+<����&� �;���>� E ���&� ��� � ������=&��� E�L A;��� 4��*�BH:=&���,<,<��;�1��<

E*J LUM � cPO?Q � LUM � S �<� � �NQ � � # O �P�@LUM ��� QLNM X cPO?Q � LNM X S �<� �

� Q � V+XYX�' � # O �P�XS�^3) Z���� ( {M}s~}E�L J ^ � LNM � S ��� � � L

� Q � �$# O �A� LNM � L� QLNM X cPO?Q � LUM X S �<� � � Q � V+XYX�' � # O �P�XS�^3) Z���� F {M}eYc}

4?�,�/�9� D¢lhnqW D6���qbVlhX ve¡1ª»X�XKas_h���¸g��qX=f�f`TVX�l`acfj��n�ns�¯f`TVX ��l`_if�f`X l`W�_���x�X!derVlhX _`_h��nqxt_|{P}c~}�asxVu {P}eYc}�¦S�TVX��£as_if{f`X l`W�_ ¡mª&TVX=l`X �$# O �P��asrtr3X asl`_=¡¯acl`X§uVbVX�f`n¹fjTVX§lhX _h��uVb�ac�»l`nsbVxVuV_=¦R¤¥x v nqbtx°f`��xV�¹f`TVX§W�XKasxx°bVWF�BX l�ns�¼_`X �sW�X=x°f`_�fjl`asxV_`W���fhfjX=uq{8lhX _hrI¦�_`btv v X=_`_i��bV���¸g´f`ljasxV_hW��¸f`f`X u#}�uVbVlh��xV�'a'v=gJv ��Xs¡®ª¯X¬as��_`n�xVX X=ufjn�fwas�cX{��x°f`n�asv v=nqbVxNf[f`TVX�W�X asx´x°bVW{�3X=lns��_`X=�qW�X=xNfj_[v=nqxV_ifj��f`btfj��xV�¬fjTVX�l`X=_`��uVb�as�1lhnqbVxVuV_^�qX=xVX l`acfjX=u�Ng:f`TVX � # O �A����nq_h_�utX=fjX=v=f`��nqxV_=¦´S�Tt��_�W�X asxRx°bVWF�BX l�ns��_hX �qW�X xNfj_���_�X �°b�as��fjn �$# O �A� LNM ��� Q {�l`X=_`rI¦§fjn�$# O �A� LNM � L� Q }!¦D�nql�ª&T�acf"v nqxtv X lhxV_§fjTVX«W�XKasx v!gev=��X«uVbVl`acfj��nqxI¡^��f§��_§��xVv=l`X as_`X=uA�NgCZ�����V+XYX ��nsl§XKasvwTAns��fjTVX' � # O �P�TSr^3) XKP ��nq_`_hX _=¡®�BX vKacbV_`X{f`TVX.XKJy��ns_`_[lhX _h��uVb�ac��lhnqbVxVu���_fjas�sX=x¹��xNf`n�asv=v nqbVxNf[��x�xtX!dJf�fj��W�X��nqbtf^rBX l`��neu®¡Vas_&_`Ttn>ª&x´��x]D����qbVl`X{Y>}e¦ �¾ �R�V��� ��� � X!f�bV_[uVX xVncfjXF�Ng�p ��� f`TVXFl`asxVuVnqW��caslh�£as�V��X�X �°b�as��fjn'f`TVXFx°bVWF�BX lns� � �§rVTVas_`X=_���x¹av=gJv ��Xs¡qf`T�acf¼��_ � ��� J LNM p ���`Q ¦6µ TVX=l`X as_m��f6��_6v ��X asl6f`T�acfTLUM X S �<� �

� Q J LNM X��A� Q �NLNM p ��� X ���`Q ¡qnqbVl¼x°bVW�X lh��v as�l`X=_`bV�¸fj_ÔT�aK�qX[_hTVn�ª&x�f`T�acf LUM X S �<� � � Q ��_m�qX=lhg�v ��nq_`X=u�f`n LNM X �P� Q � � ��� LNM X ���`Q ¡°ª&TV��vwT'W�XKasxV_mf`T�acf3p ��� asxVuX ��� v asx��BX�v nqxV_h��uVX=l`X=u�as_&��xVutX rBX xVuVX=xNfK¦ S�TVX�_jasW�X�l`X=_`bV�¸fj_^TVnq��u§��nql��caslh�£as�V��X _ p ��� acxVu � ��� asxVu"��nql�casl`��as�V��X=_ p ��� acxVu � L��� ¦

� � � � � ��� � ��� 3 �� �������

���� �:�� ���(�:�

� �>Ü ����� �>Ü ����� ��Ü �:�;� ��Ü �:�; ��Ü � �

ëMÚ�9E: Úià ßPë×sÚiÞ6ë8Ú`åÊÖ!à F

������� � � ��� ��� � � � ���� � �� ë� ��� ���� � � � ë� ��� ����!� ��� ë� ��� ����C� � � ë

D����qbtl`X¬Y��t·�� ����U���% $��e/�"� � �g<����&� � ���>� E ���� �� %+���,��� �k�����U� �,<*/� V+XYX �� ��� ��� ¾ � �«·�S�TVX�_`X=xVu�ljacf`XgE¬�qX=f`_ X �°b�as�3fjnxnH587:9_`X �sW�X=x°f`_�r3X=l V+XYXy{$nH587:9�b�V+XaX _hX �qW�X xNfj_

r3X=l�_hX v=nqxVu#}�ª&TVX x¨��nq_`_�rVlhnq��as�t�����¸f¥g1Z���_�v ��nq_`X�fjn"± X=l`nV¡�asxVu:v nqxN�qX=l`�qX=_�f`n�± X=l`n"ª&TVX x�ZR��xtv l`X as_`X=_ ¦�´nqlhX n��qX=l ¡sf`TVX¯_hTVnqlifjX l5V+XYX¨��_Ô¡>fjTVXÔW�nsl`X�_`X=�qW�X=xNfj_6asl`XÔ_`X=x°f�r3X=l _`X v=nqxVuW{ �°bV��vw��asvw�°xVn�ª&��X=uV�qW�X xNfj_�}!¦�?�5�(�?�

Page 30: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 } v

���� �:�� ���(�:�

� �>Ü ����� �>Ü ����� ��Ü �:�;� ��Ü �:�; ��Ü � �

ëMÚ�9E: Úià ßPë×sÚiÞ6ë8Ú`åÊÖ!à F

� ��� ����C� � � ë � � ��� � ��� ���� � ��� ë� ����� � �� ����� �� �� ����� � ���

D����qbtl`XFYK|t·�� ����U���� $��K/�g� � �g<����&� �;���>� E ���� �� %+������� �3�����U� �,< /� nH587:9 �� ��� ��� ¾ � �R·�µ TtX xun6587:9���xVv lhXKas_hX _=¡¢f`TVX�ª&��xVutn>ªE_`��± X�vKasx"l`X asvwT�Tt���qTVX=l �cas��bVX=_&asxVu�fjTVX�W�XKasx

fjTVlhnqbV�qTtrVbtf�x�acf`bVljas����g[��xVv=l`XKac_`X _1f`nenV¦ "ncfjXmfjT�a�f1��nql1_`W�as���c�sac��bVX=_�nc�ef`TVX���nq_h_�rtl`nq��ac�V������f¥g?ZI¡�El`X asvwTVX=_n6587:9�b�V+XYX%_hX �qW�X xNf`_{rBX l{_hX v=nqxVuI¡macxVu:��nql��£acl`�qX¬�cas��btX _�ns� ZI¡@E¹_`X=X W�_�fjn"�BX'��X=_`_�uVX rBX xtuVX xNf¬nqxn6587:9c¦�¤¥xVuVX=X uI¡¼��nsl ZCJ KL(`K-^q¡@E��qX=f`_{v=��nq_hX�fjnG`aK´nsl &bK´_`X �sW�X=x°f`_{rBX l�_`X v=nqxVuI¡6fjT�acf{��_�asl`nsbVxVu �_`X=�qW�X=xNfj_^r3X=l V+XYXA��nqlan6587:9YJ �@(�^ �@( &`J¦

�>Ü ���Ü �����Ü �����Ü �E���Ü �E

� �>Ü ����� ��Ü �:�(� ��Ü �:�;� �>Ü ���; �>Ü � �

� � � ����� � � � ë ��� � � � � � ����� � ��� ë

� ����� � �� ����� � � �� ����� �\�4�

D����qbVl`X{Yche·�� ����U���� $��K/�g��� � ����A� $����A�' a J E�L�b�E �� ��� ��� ¾ � �­·¬¤¥x�as���mf`TVX'X�dVacW�rV��X _�v nqxV_h��uVX=l`X=uI¡¼fjTVX�X:9�v ��X xVv!g aWJ E�L(b�E�acrVr3X asl`_�fjn¹�BX��°bV�¸fjX

��xVutX rBX xVuVX=xNf�ns��V+XYX�¡��tbtf�ª¯X�vKasx _hX X¹TVX=l`X¹f`T�acf a¹uVX=v lhXKas_hX _�ª&TVX=x nH587:9´��xVv=l`X as_`X=_ ¦ ¤¥x­�8asv!fK¡fjTVX{TV���qTtX lf`TVXF��acxVutª&��uefjT���_=¡3f`TVX{�8as_ifjX lgqnqb�W�aKg´f`ljasxV_hW��¸f[uVacfwat¡3�Vbtf�f`TVXF�V���q�qX=lfjTtXFx°bVWF�BX l�ns�l`X!fjljacxV_`W���_h_`��nsxV_���_ ¦�¤¥xVuVX=X uI¡¼ª&TtX xRf`TVX�ª&��xVuVn�ª,_`��± X'��_���asl`�sX�acxVuRnqxtX'ns� f`TVX �Vl`_hf{_`X=�qW�X=xNfj_F�qX!fj_��nq_ifK¡tf`TVX x´as���®fjTVX���nq����n�ª&��xt�FnqxVX=_^�sX=f&��ns_hf�fjnJnV¦

��� à3�(���,���

Page 31: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

}�s !����5��(�� �� ���&�x)���![���� $A,�� �

��������:� :�� �:�� ���� ���

� �>Ü ����� �>Ü ����� ��Ü �:�;� ��Ü �:�; �>Ü � �

�5����� ����� � � ��� ����C� � ë � � ��� � � � ����� � ë� � ��� ( � � �

��$ $ P ������� � ��°ìÇã>çÛç : ÖDF>ÚiçÖ!ã>ÞI×>ÞPÖ!×sÖ=ëMÚ<F%: ÖDF>Úiç

�(���� ������ (�����������E(���:�����](�����������D(���

� ��Ü �:�:� �>Ü ����� �>Ü ���E� ��Ü �:�; ��Ü � �

������� � �4� � � � � ���� �J� ë � � � � � � � ���� � ë� � ��� ( � � �

��$ $ P ������ � �°ìÇã�çêç : Ö-F�ÚhçÖ=ã>Þ1×>ÞPÖ!×sÖ=ëMÚ<F : Ö-F�Úhç

D6���qbVlhXFY�ft· 2?�~ =-���( �<�����/|���� ���"~I������l<D�� ��� ��� ¾ � �­· "^nsfjX�fjT�acf�fjTtX�f`TVl`nqbt�qTVrVbtf{ns��nqbtl�W�neutX �P¡ X!�sac��b�acf`X u�ª&��fjT:��X=_`_�_`��W�rV��� ��v acfj��nqxV_ ¡

��_���n>ª¯X l�f`T�asx�fjTtX¬nqxVX�nq�tfjas��xVX=u��Ng¹fjTVX�acbtfjTVnsl`_�ns� F¸Y�s�HM¦ 8»btf�f`TVX�TV���qTtX lgV+XYX ��_ ¡®f`TVX�v ��nq_`X=l�fjTVXuV��¶3X lhX xNf^W�nJuVX=��_�aslhXs¦

µ:X�_`TVn�ªE��x]D����sbVl`X=_�Ycv¬asxVu�Y�s¬nsfjTVX=l���W�rVl`n��sX W�X xNfj_&nq�tfjas��xtX u��Ng§bV_`��xV��nqbVl^��aslh�sn���W�neuVX=�P¦

��>Ü ��>Ü ��>Ü ��>Ü �

� �>Ü ���:� ��Ü �:�(� ��Ü �:�;� �>Ü ���E �>Ü � ��

×>ÞPÖ!×sÖ!ÞMßMÙÛÖ!à[Ö�ì����çêÖ ëMëMÚhë

� � � ����C� � � ë ��� � � � �b� ���� � �� ë

�5����� ���������� � � �������� �\�4�

D����qbtl`XFYcvJ· 4 ��,= ��(�� $���/� XKJ �>��'(= �"���<,<��,<D�� ��� ��� ¾ � ��·[S�TtX¬W�nqlhX nH587:9F�sX=fj_�Tt���qTI¡3fjTVX¬W�nql`X XKP X=�qX=xNfj_�W'aKg´nev=v bVl=¡I�3X=vKasbt_`X�l`X=_`��utb�as�

l`nqbtxVuV_�v=nqxNfwas��x�W�nql`X�_`X=�qW�X=xNfj_�asxtu�fjTVX=_`XFlhX _h��uVb�ac�6lhnqbVxVuV_[asl`X�fjTVX�nqxVX=_[fjT�a�f��qX=xVX l`acfjX�uVbVrV����vKa�fjXp^����_ ¦

�?�5�(�?�

Page 32: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

������������ ���������������������� �"!#�$���% $��&���('*)+�,�-���� $��./�103254 }�z

���Ü �]�>Ü ���Ü � �>Ü ���Ü �E

� ��Ü �:�:� ��Ü �:�(� �>Ü ���E� �>Ü ���E �>Ü � ��

��� � �7������ � � � ���� �

� ��� ����C� � � ë ��� ��� � � � ���� � ��� ë� ����� � �� ����� � � �� ����� �\���

D6���qbVlhXFY�st· �(~ = ��(� ����A,�*/� <����� <�� ���(���k=&��,= ����� $���/�"�� �~I�� ����;��A,�GA�'A����D�� ��� ��� ¾ � �¨· S�TVnqbt�qT�fjTtX{rVlhnqr3nslhfj��nqx"ns�¼fj��W�X�_hr3X=x°f[��x´_`��n�ª _ifwaslif[rBX lv=gJv ��X{uVnJX _xVnsf[asrVrBXKasl

fjn¬uVX=r3X=xVu§nqxWV+XYX�¡Jª¯X�vKacx§xVnsfj��v X^fjT�acf»��f»_`X X=W�_¯fjnF�BX�_`X=xV_`�¸fj�¸�qX[f`nxn6587:9[��x�fjTVX[_`X xt_`X�fjT�a�f»ª&TVX=xn6587:9��qX=f`_TV���qTVX=l ¡¢_`��n>ªE_hfjaslhfrVT�as_hX _vKasx´l`XKacvwT�TV���qTVX l�f`TVl`X=_`TVnq��uV_asxVu´f`T°bV_��as_hf^��nqxV�qX=l.{³ª&TVX lhXKas_��x«v nsxV�qX _ifj��nqxRaK�snq��u�acxVv Xc¡ f`TVX��V���s�qX l�f`TVX¬ª&��xVuVn�ª _`��±=X���_ ¡1f`TVX�TV���qTtX l�fjTtX�rtl`nq��ac�V������f¥g�fjT�a�f{a§��nq_`_asrVrBXKaslh_ ¡V_ifjnqrtrV��xV�Ff`T°bV_ fjTVX[v nqxV�sX _hf`��nqx�aK�snq��u�acxVv X�rtT�as_`X�}!¦38»btf»fjTVX�W�as��x�l`X=W'aslh����_»f`T�acf f`TVX�_`��n�ª_hfjaslhf^rVT�ac_`X�W'aKg'l`XKacvwT�^^K¬nqlg^^_¬rBX l&v=X xNf^ns�¼a¬v!gev=��X�uVbVl`acfj��nqxI¦mS�TV��_�_`TVn�ª&_&fjT�a�f�¸f�WFbV_if&�3X�fjas�sX=x��xNfjn�asv=v nqbtx°f&��nql f`TVX�r3X=lh��nqlhW'acxVv X�X!�sac��b�acf`��nqx§nc��S^� k�¦

+��� ��� � ������

����������� �!��"#"%$��'&)(%�+*,�.-����/�10���� "�(2�3�1(4(2�)��56*������657(2� *,�!� "4��"#(2��8�9+� "%����0!� �:�;���+<,�="%&>�6��0?����0@-��+0����A%�6�|{B9+��A%<�� V+XYX }C�)��(D-E*,A%FHGCID��0����60KJ)(%���L(%�+�'�4�)�6�60)�60M(2*N"#�6��0.�19+9H"%��<,�����O(2"P� �/56*���<,�6"Q(2� *,�/-��+�)0�*R-����0'(2����(2� ����� �O(2�6AQS1��938T�7(D-����6�VU4W��X"Y�N$�"Q(E8>�4"%�+<���� Z356���O(29\[N9+*R-]56*,�'&3��A#�60^(2*_(2���4A%*�$���0;(2A%� &^(2�+�'�` *,AP(2�)�a� 0��6�O(%� Z356�1(2� *,�M* ` "%�6&���A2�1(%�60=8�$�A%"Q(2"�J35b��9 9+�60@���)0@0)��Z3����0:��"_c2dfeg>hfi7G

j@*,A%��*kS��6A�J1-E�E"#$�&�&>*,"%��0�(2�3�f(l(%���Y9+*,"#"�&�A%*,8���8��+9 � (D[�m�� "��+��0���&T����0����n(o(2*�(2�)�Y-�� ��0�*R-p"#�+q6�1J�8>�656��$�"%��+�r���+<,�]5b��&3�156� (D[s���7(D-�*�A%Fn"6J�(2���=9+*O�10]* ` �t"%�+�)<,9+�@56*,�)���657(2�+*��u�+"'��*�(/A%�6"#&T*���"%� 8�9+�=* ` 56*���<,�6"Q(2� *,�KGW�*,��5��6A%�)�+��<N9 *,"%"Y56*�A%A%��9v�1(%�+*,�!wx-��)�6�.��"#�6<,�'�6�O(�<,��(%"�9+*�"#(bJy��9 9�(2��� ` *,9+9 *k-�� ��<_*,����"P�+�;(2���z"2���'�LA#*,$���0��9+"#*?<,��(N9+*,"Q(|{7J}-E�@��&�&�9\[~*�$�A^��*0���9Y(%*��)�+<,�p56��&3��5�� (D[p����0����+<��p"%&>�6��0r���7(D-�*�A%Fn"'-��\(2��0�A#*,&y��(���� 9A%*,$y(2�6A#"6Jl�+��-����+5���(2�)��5�*,������5�(2� *,���+"_��*�(_(2�)�'56��$�"#��* ` 56*,�)<,�6"Q(2�+*��~���)0t&3�15�F���(%"�* ` �@<�� S,���tA#*,$���0��A%A#� S��z� �'8)$�A%"Q(�� �'(%���z*RS��6A#��*k-E�60MA#*,$)(%�6A6G�UL��0�0��6"#&�� (%�z�N$)9 (2� &�9+�|�y�+��<�J��aA#*,$)(%�6AYA%�6����� ��" ` $�9+9H�1"Y9 *,��<��"�&3��5�F1��(2"z* ` (2���_"2�1����-�� ��0�*R-���A#A%�\S,�_����0.(2�n$�"�A#���#�657(2"z��9+9�* ` (%���6�@G

���\(2��(2����"%�M��"#"%$��'&)(%�+*,��"�Jo-E�V�3�bS,�M8>�6������8�9 �'(%*:*,8)(2���+�~���3��9\[n(2�+56��9��7�y&�A#�6"#"%�+*���" ` *,Aa(2����"%�6�)0A2�1(%�!�1��0r<�*y*0�&�$)('* ` ��9 *,��<�(2��A%��"#(%�b��0y[n��"#(2�1(2�@56*,�)���657(2�+*���wB"Q(��1(%�+*,����A#[�A#�6<,� ���b{7J ` *,A^(2���@�'�b���0�$�A%�1(2� *,�/�1��0'(%���4���6�����n$���8T��AY* ` "%��<,�'�6�O(2"Y"%���n(P����0���5�Fn��*R-�9+��0�<,�60/�+�;�b��5���(2�+�'�7��*,$)(6J,"%9 *k-]"#(2��A#(����0:5�*,��<,��"#(%�+*,�?�bS�*,�+03�1��56�N&)�3��"%�1GL����� "L&�A#�65��+"%��0��6"#56A%� &)(2� *,�!* ` �4WP����9 9+*R-�"z���?��5�56$�A%�1(2��"#(2$)0)[:* `� (%"�&T��A ` *,A#�/���)56�X�+�.�����O[M��� <,�M"%&>�6��0:����0.-��+0)�_��A%�6�'���7(D-�*�A%Fn"6G

3����1�P�o� .� ���

���6� UL9+�n$�"#"%���+�@U�G3UL8>*,$�q��6� 0KJ>j=$�A%�1(LUzq6� q6*,<,9 $KJ��1��0:�$����\(4 4*R[�GP�(%*y5�����"#(%�+5�j=*0��69 �+��<^* ` �'�y�+��<�9+��4WP�E¡fI����y�6"#"%�+*��/*RS,��A��a z�1��0�*,�£¢�*,"#"PW�����������9�G�ID�M¤z¥2¦.§N¨�©.ª�dfc2«Ri�¬3d�­?dfg/¦�d�®6¯�°+±�²�±7³Bª�dfc2«Ri

´µ´·¶Y¸|¹bº�¹6»

Page 33: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

��� ©����odfc|³B¯�g���g>h��µ©K±7c7¯ ��df°��

��g>h!¨Ed��L­>ey³B¯�g���J3 �$)(2<��6A%"��4��� S��6A%"#� (D[�J��z��-����6A#"%��[�J����TJ>j!�1A%5�� ������� G���f� UL9+�n$�"#"%���+�;U�G1UL8>*,$�q6���+0KJ�$����\(� �*R[,Jn����0�j=$)A2�1(CUzq6�+q�*,<,9 $KGH�(%*y5��3�1"#(2� 5�j=*0��69 �+��<L* ` �4WP�~*RS,�6A

¢µ*�"%"#[M¢µ� ��Fn"6GCID�!¥�²����X¨��E¦! #"$"fJy�l�69��DUµS� S>J3ID"%A%���69�JHj!��A#5�� � �%��� G� � �'& ����A^Uz� (#�)(z��9+9v�19�J+*�� (2���sUL9 (%�/�1�KJ-,LA%� "%".*C9 *,$3��0)<,���+A#��JYj=*��3���'�60/*�A#A2���'03������JY����0/�4*,$10'"2�

j=�+F1*,$KGH���6A ` *,A%������5���* ` �4WP�E¡fI��321(%����5b��"#��* ` (D-�*�W�*,�O(2A#*,9+9 �60;�*,$�A%5��6"�GTID��¥1¨�¨�¨4 576bJ,WP��������"6J8HA%����5���J��z*RS��6�N8>�6A �9����: G

�<;�� *C�\(����!UL9 (%�/�1�KJ>=4*,"#(D[,�MUlSA2�15����6��F1*RSTJl���)0�W��3��0��@?P��A2�1F1�f(bG�U "Q(2*5��3��"Q(2�+5���*0��69l* ` �4WP�Y¡1I��-�� (2�a"#(2�1(2� *,�3��AQ[���A%<,*0��+5CA%����0�*,� 9+*,"#"%�6"�Gn�o��5������+56��9y 4��&T*,AQ(l z P� �%A �B; JkIC�L �IDU�J��4*kS��6�N8>�6A �9���%� G

��Df� *C�\(����^Uz9 (%�/����J$=z*,"Q(D[O�aUlSA2�15����6��F1*RSTJ)����0/W��3��0���?���A2��Ff�1(6GH�4WP�p�+�^&�A#�6"%����56�z* ` 8�$�A%"Q(D[^9+*�"%"%��"6G�o��5������+56��9µ ��6&>*,A#(4 4 �� � ��;E� J)IC�L �IDU�J���$)9 [ ������� G

�GF1� *C�\(����_Uz9 (2�����KJB���6���'?E*,9+*�(6Jf�C�)�+9+� &�&>�H�L��� �KJ�,LA%� "%"�*�9+*,$3�10�<,��� A%��Jfj@*,�3���'�604*�A%A2�1��03�1����Jf���f(2A%� 5�F?�A%*R-��KJ��1��0�,L�6�)���+"_W�*�9+9v�1��<,��GL���6A ` *�A%������56�Nj=*0��69 �+��<�* ` �4WP�Y¡1I�� �+�@���+0��|�DUzA%�b�I�z��(D-E*,A#F>G�o��5������+56��9µ ��6&>*,A#(4 4 �� � ��;E� J)IC�L �IDU�J �����$: G

��:f� 8HA%���7J�*,�+"�?P��5�56�69 9+�o����0K,z*,�O[K(z*���<�GL�4WP���+"�j!�f�n����9 $�"X¢��+���6��A6Gz�o��5������ 5b��9� 4��&T*,AQ(X 4 �� � � A F JIC�L �IDU�J � ���%� G

� A � ���1(%A%�+5�FL?�A#*R-��KG4 4��"%*,$�A#56��"%�3��A#�+��<�* ` �4WP��56*,�)���657(2�+*���"4-��\(2�=0��NMT�6A#�6�O(�A#*,$���0@(2A%� &=(%�+�'�6"6G�ID�¥�²����X¨��E¦! #"$"fJy�l�69��DUµS� S>J3ID"%A%���69�JHj!��A#5�� � �%��� G

�G�1� �z�b�19}WP��A#0)-E�69+9�JT�(2� ` �����)�bS1��<,�1J����)0!����*,����"zUL��0���A%"#*,�KGLj=*y0)�69+� ��<'�4WP� 9+�1(2����5�[�G4ID�:¥�²����PO¨��E¦Q #"$"fJ��l�69��DUµS� S>J�ID"%A%���69�JHj!��A#5�� � �%��� G

�\� � � ,L*,$�<,9+��"�W�*,�'�6A6G]¥7g3³D±7c|g�±7³�ª�dfc2«f¯�g���ª�¯�³x¬�RY¨TSVU)¥WS-XLY}df° e��/±[Z]\�SEc|¯�g>�7¯ ­>°+±�i^X_S�c2df³Dd9��df° i^X��g>h§_cW��¬¯�³D±^�7³�ec2±^Xa`,c%h@±%h�¯�³B¯�dfg3G���A%���O(2�+5��7�)(L��9 9�J �����$D G

�\���6� ����$�9b(z$)A%9+�7[,J����b���y�dcCS,��"�¢��P?�*,$)0��651JO����0^�o�1(2A#�+5�F_����� A2���KGnU3�z*�(%��*,�a(2���e8}���+A#���6"#"o* ` UL0�0)� (2�\S,�ID��56A#�b��"#�����)0:j=$)9 (2� &�9+� 5b�1(%� S��f,L��56A#�b��"#��G�ID�!¥ERY¨gOhZ�ifJ1*�0��+�n8�$�A#<,�KJH�56*�(%9v����0�J���$���� �9����� G

�\�9�f� UL�n$�A2�1<j=X$�����A6G^W�*,��&���A2�1(%� S��;�o�6A ` *,A%������5��;UL�3��9\["%�+"X* `ak ��A%"%� *,��"_* ` �4WP� �+���.¢�*y56��9+�z�7(#�-�*,A#Fn"4-��\(2�@�;¢µ*�"%"#[@¢�� ��FHGY¥^lHlHl�U)§N¨o¦ R)cm��g)in���7³B¯�dfg)i�dfg!²a±7³Bª�dfc�«f¯�g���J F w ; {|J�UL$)<,$�"#( �9�%� A G

�\� � � �XG k G�¢µ��Fn"#���/�1�u����03�z&3�1�/���O[$ j=��0���*R-_G �����!�C��A ` *,A#�/�1��56�@* ` �4WP�Y¡1I�� ` *,Ao�z�7(D-�*,A#Fn"-�� (2�p(z�+<��]?P����0y-��+0)(%�y�C,L��9v�b[t��A%*0�$�5�(%";����0� 4����0)*,� ¢�*,"#"6G�¥Wl-lHlVU)§N¨o¦ Rµcq��g)in���7³B¯�dfg)i@dfg²�±7³Bª�dfc2«f¯�g���J D w � {7J���$��)� �����$: G

�\�n;�� j!�1(%(%����-�j!�1(2�)�+"6J1���rMTA%�7[��y�6�'F��1Js�,���'"%�)�+0�j!����0��RS��J)���)0/�l�6$���� " & (#(bGK�����Lj!��5�A%*,"#56*,&)�+5�?��7��3�bSy� *,A�* ` (2���_�4WP��W�*,�)<,�6"Q(2�+*��@UµS,*��+03���)56�aUL9+<�*,A%�\(2���@GL¨Ed��L­>e³D±7c�¨Ed��t�^eg3¯ �m��³B¯�dfg)ifu�±wvR¯�±7ª�J��: w � {7J���$�9\[ �9�%�$: G

�\�9Df� k �+"#�3��9Kj=�+"#A2�)J�~���\�C?E*x_*���<�J��1��0y,L*,�.�l*k-�"#9+�7[,GY�(%*y5��3�1"#(2� 5z,L��M���A%�6�O(%�v��9>*H{n$3�f(2�+*��@j=*y0)�69+� ��<����0^UL����9 ["%� "�* ` �4WP�������+�)0�*R-�"%�+q��|?��6���RS� *,A6GHID�IS�±7c~}bdfcw�o��g>��±s 5$5�J1ID"#(2���n8�$�9�JO�l$�A#F���[�J & 57(2*,8>�6A�9����� G

�\��F1� �o��$����+".�)G & (#(bJa�)G�(aG�?zGH=_����&>�6A#�/�1�KJY����0rj!�1(#(�j!�1(2�)�+"6G�RK¬3±/i7³ ��³�¯�dfg���c��t®7±�¬1�%vR¯�dfc@dC}M¯Bh±m��°RY¨TS���dfg��±�i7³�¯�dfg��%v�df¯Bh$��g>��±7JyUL$�<�$�"#( �9���%F G}�O(%(%&�2 ¡�¡f-�-�-_G �1A%<,A#�6�6�)��*,$�"#��G 56*,�/¡1&3��&>�6A#"�¡f(x�#*n¡yG

���o´����

Page 34: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

§£¦K��c2«Od�vR¯ ��g=¦td6h±7°B}bdfca³�¬3±_©H³ ��³�¯�dfg���c�� �±�¬1�%vR¯�dfc�dC} RY¨TS � �

�\�9:f� ��� (2����0�A%�s�o��0��O[,�1J k �+57(2*,AL8�� A%*,� $KJ4����0Q,L*,���o*R-�"%9 ��[�G U "#(%*y5��3�1"#(2� 5���*0��69L* ` �4WP�  ��6��*56*,��<��6"#(%�+*,�~�bS,*,� 03����5��/���)0~56*��n(%A%*,9�GV�l�65������ 5b��9Y ��6&>*,A#( ��� � � � J��z�)� S,��A%"#� (D[�* ` j=��"%"%��5��n$�"%"#��(2"�J�9����� G

�\� A � ��� (2����0�A%�M����0��O[���J k �+57(2*,Af8��+A#*,�+$�J>,L*����l*R-�"%9 ��[,Jl���)0 ���+� =_$)A%*,"#��G^j@*y0���9+� ��<V�4WP��(%��A%*,$)<,�y�&�$)( 2C�^"%�+�'&�9 ����*0���9�����0.� (%"��6�'&��+A#�+56��9TS1��9 �+03�1(%�+*,��GoID�?©y¥ � ¨��E¦@¦! 5��,J k ����5�*,$)S,��A6JTWP���3�103�)J�y�6&)(%�6�N8>�6A �9�%� A G

�\���1� x_��A2��A#0�*� 4$)8��+��*��1��0!?�A%$��)*]��6A%� 56*,9+�)G �y*f�#*,$)A%� (2� ����"V�+� j!�1A%F�*RS�&�A#*y5��6"#"%�6"�G��3dfeyc|g���°XdC}§P­O­>° ¯�±%hSEc2d�®^�O®6¯�° ¯�³ �1J �BF J �9� A � G

��� � � � GH 4� 5��3��A%0=�(%��S��6��"�GoRY¨TSVU)¥^S]¥|°�° eni7³Bcq��³�±%h \IY}df°��~Z RK¬3± SEc2df³Dd9��df° i7G�UL0�0�� "%*,������6"#9+�7[,J �9���B; G����6� � G� 4� 5��3��A%0 �(%��S,����"6G RY¨TS i7°+dfª i7³ ��c|³�X[��dfg��±�i7³�¯�dfg �%v�df¯Bh$��g>��±^X�}r�fi7³;c2±7³Bcm��g)iw�^¯�³~X ��g>hy}r�fi7³

c�±^��d�v�±7c��.��°G�dfc|¯�³x¬���i7Js�,���n$3��A#[ �9���$: G} �8lW � ��� � G

´µ´·¶Y¸|¹bº�¹6»

Page 35: A Markovian Model for the Stationary Behavior of TCP · S TVX{rtbVl`rBnq_`X _Ff`TVX§X= cas b acfj nqx¨ns ^_ifwacf` nqx aclhg:S^ k.© n ª&_ 3X=T aK e nqlFbV_h xV «rBX li nql`W

Unité de recherche INRIA Lorraine, Technopôle de Nancy-Brabois, Campus scientifique,615 rue du Jardin Botanique, BP 101, 54600 VILLERS LÈS NANCY

Unité de recherche INRIA Rennes, Irisa, Campus universitaire de Beaulieu, 35042 RENNES CedexUnité de recherche INRIA Rhône-Alpes, 655, avenue de l’Europe, 38330 MONTBONNOT ST MARTIN

Unité de recherche INRIA Rocquencourt, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY CedexUnité de recherche INRIA Sophia-Antipolis, 2004 route des Lucioles, BP 93, 06902 SOPHIA-ANTIPOLIS Cedex

ÉditeurINRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 LE CHESNAY Cedex (France)��������� ������ ������� �� ���

ISSN 0249-6399