a pio logical mtk
TRANSCRIPT
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 1/20
Apiological: mathematical
speculations about bees (Part 1:Honeycomb geometry)By Alistair Bird. Posted January 28, 2015 in Features, Irregulars
Bees have encouraged mathematical seculation !or t"o millennia, since classical scholars
tried to e#lain the geometrically aealing shae o! honeycom$s. %o" do $ees tac&le
comle# ro$lems that humans "ould e#ress mathematically' In this series "e(ll e#lore
three situations "here understanding the maths could hel e#lain the uncanny instincts o!
$ees.
Honeycomb geometry
A curvy "ild honeycom$.
%oney$ees collect nectar !rom !lo"ers and use it to roduce honey, "hich they then store in
honeycom$s made o! $ees"a# )in turn derived !rom honey*. A +uestion that has uledmany in+uiring minds across the ages is- "hy are honeycom$s made o! he#agonal cells'
he /oman scholar arro, in his 1st century B $oo&long oem De Agri Cultura )34n
Agriculture*, $rie!ly states
36oes not the cham$er in the com$ have si# angles, the same num$er as the $ee has !eet' he
geometricians rove that this he#agon inscri$ed in a circular !igure encloses the greatest
amount o! sace1.
his +uote is the earliest &no"n source suggesting a lin& $et"een the he#agonal shae o! the
honeycom$ and a mathematical roerty o! the he#agon, made more e#licit a !e" centurieslater $y Paus o! Ale#andria )sometimes considered to $e the last Ancient 7ree&
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 2/20
mathematician*. riting a!ter the /oman 9mire(s glory
days, Paus oints out that there are three
regular olygons that tile the lane "ithout gas:triangles, s+uares and he#agons:and
$ees, in their "isdom, choose the design that holds the most honey given a set amount o!
$uilding material2.
he idea that $ees economically choose the regular tiling olygon "ith the greatest area !or a
given erimeter satis!ied the ancients. But "hy should all the honeycom$ cells $e identical:
could $ees do any $etter than using regular olygons'
he rhom$oidal $ase o! a "a# !oundation is $ehind the !latness o! domestic honeycom$s. Image !rom reativeommons
he amaingly regular honeycom$s "e are used to seeing are $uilt $y domestic honey$ees,
using er!ectly regular "a# !oundations rovided $y their $ee&eeers as a guide. ild
honey$ees, ho"ever, don(t have the lu#ury o! nest$o#es !itted "ith "a# !oundations. heir
honeycom$ cells, though still very regular, aren(t al"ays he#agonal:sometimes entagons
and hetagons cree in. A!ter choosing an irregularlyshaed tree cavity, many "or&er $ees
"ill start indeendently $uilding the hive(s he#agons at once, meeting in the middle along
seams. It is along these seams "here the !ive and sevensided irregularities and other de!ects
tend to aear ;.
<ore intriguingly, "hat haens i! you rovide honey$ees "ith the "rong sie o! !oundation
as a guide' %. /andall %e$urn tried this "ith variouslysied he#agonal !oundations=)"ith!lat $ases unli&e the standard ridged commercial ones*. he largest caused the $ees to to $uild
gorgeous rosettes:they !illed each large he#agonal !oundation "ith !ive or si# cells )again,
tyically !ive or sevensided* surrounding a central cell. he ne#t sie do"n caused the $ees
to $uild in an irregular attern, "hile the sie smaller than that led to the $ees $uilding
he#agonal cells on each verte# o! the !oundational he#agons, and leaving a he#agonal void or
>!alse cell( in the centre.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 3/20
ell construction $y A!rican honey$ees on !oundations o! various sies. ?9ntomological @ociety o! @outhernA!rica reroduced "ith ermission o! the @ociety
@ame erimeters, $ut di!!erent areas as in )P*.
@o $ees don(t necessarily need to use regular olygons at all. Allo"ing !or the ossi$ility o! a
mi#ture o! shaes leads to t"o su$tly di!!erent mathematical ro$lems-
(A) hich mi#ture o! shaes that tile the lane, and each have unit area, have the minimum
average erimeter'
(P) hich mi#ture o! shaes that tile the lane, and each have unit erimeter, have the
ma#imum average area'
Fees Cth, a %ungarian mathematician, had roved $y 1DE; that the regular he#agonal tiling
"as the solution to the isoerimetric ro$lem, )P*, $ut only roved that it solved the isoareal
ro$lem, )A*, under the assumtion that all the shaes "ere conve#. his conve#ity conditionis more restrictive than it may at !irst seem- a $ulging edge on one shae leads to a concave
indentation on a neigh$ouring shae, so the only conve# shaes that can tile the lane are
olygons.
It "asn(t until 1DDD that homas %ales roved that he#agons also divide a lane into shaes
o! e+ual area "ith the least erimeter.
A &ey ste in the roo! )though not %ales( $rea&through* is sho"ing that, on average, such
shaes "ould have si# sides. a&e a lanar grah )ie. "ith no edges crossing* on a shere.
sing the 9uler characteristic o! a lanar grah )"hich also holds on a shere*, "e &no" that
the num$er o! the vertices, edges and !aces o! the grah satis!ies [Math Processing
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 4/20
Error]V−E+F=2. G
udging the edges slightly, it turns out to $e su!!icient to consider only vertices o! degree ;. It(s
+uite easy to convince onesel! "ith a diagram )li&e the one a$ove* that this is lausi$le.
<oving edges $y a tiny amount, you can ma&e sure no more than three lines meet at one
verte#. Hou might change the num$ers o! edges and vertices, $ut "ithout changing the
erimeter or area $y much.
I! the [Math Processing Error]ith !ace has [Math Processing Error]ei edges )and vertices*,
then adding these u !or each !ace, "e "ould count each edge t"ice and each verte# three
times5. @o, $y the 9uler characteristic o! the "hole grah, overall "e must have [Math
Processing Error]As the num$er o! !aces increases, [Math Processing Error]1−ei6 must
$ecome very small, and so the average o! [Math Processing Error]ei over all !aces [Math
Processing Error]i tends to [Math Processing Error]6 , "hich is the num$er o! sides "e "ere
hoing !or.Ehis ste can $e used to sho" a !inite version o! the theorem on the lane, "hich
is a good start !or the in!inite version.
4en end )a$ove* and closed rhom$ic end )$elo"* o! a rhom$ic dodecahedral honeycom$ cell.
@o out o! all the risms arranged side$yside, he#agonal risms use the least $ees"a# to
$uild a unit $eesied volume. But honeycom$s are not made u o! he#agonal risms- the
hidden end o! the honeycom$ cell is not !lat. here are t"o layers o! cells, $ac&to$ac& and
o!!set, and the endca $et"een them is a yramid made o! three rhom$uses, so the "hole
shae could also $e descri$ed as >hal! o! an elongated rhom$ic dodecahedron(. he ridged
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 5/20
"a# honeycom$ !oundation ictured near the start mimics these rhom$uses. his shae is
more e!!icient than a he#agonal rism "ith a !lat $ase.
hat $ees haven(t realised, is that there(s a slightly more e!!icient "ay to ca o!! their
he#agonal cells. eeing the he#agonal !ootrint o! their hive, they could ma&e reeated use
o! a truncated octahedron, !ormed $y loing o!! the vertices o! an octahedron. his "ouldlead to a saving o! almost 2 in the idealised version "ith "alls o! negligi$le thic&ness,
"hich isn(t much.
sing a curvy nonolyhedral variant o! the truncated octahedron, Kord elvin, the 1Dth
century hysicist, held the record !or >least sur!ace area !or a !i#ed volume( in the three
dimensional version o! the honeycom$ conecture !or a !ull centuryL. his "as assumed to $e
the $est ossi$le until 1DD=, "hen t"o hysicists, 6enis eaire and /o$ert Phelan, armed
"ith comuters, devised an eversoslightly more e!!icient "ay o! dividing sace into cells o!
e+ual volume, using t"o di!!erent curvy solids )2.2 more e!!icient than the rhom$ic
dodecahedra*. It "as a!ter this discovery that the longstanding t"odimensional honeycom$
conecture seemed less o$viously true- a suggestion !rom eaire is "hat nudged %ales toattemt his roo! 8.
6esite the !act that honey$ees do not achieve a theoretical minimum sur!ace area !or a set
volume, honeycom$s are still a sensi$le "ay to reduce the need !or $uilding materials.
%o"ever, "e should +uestion the assumtion that evolution is urely trying to economise on
the $ees( $ehal!, and as& "hether this actually is the main reason "hy honey$ees $uild
he#agonal honeycom$s. Building a tyical "ild nest ta&es aro#imately a &ilogram o! "a#,
roduced $y consuming a$out eight times that amount o! honey. @ince this is also a third o!
the amount o! honey the $ees re+uire to survive the "inter, there is a strong evolutionary
incentive to use as little "a# as ossi$le. here is evidence that $ees do economise in another
sense "hen $uilding hives- they have some re!erence !or nesting sites "here honeycom$s
are already resentD, so they don(t need to $uild ne" ones. An alternative e#lanation to the
economic argument is an engineering one- that he#agonal honeycom$s are strong structures.
It seems retty hard to design e#eriments to determine ho" much each !actor contri$utes to
the $ees( motivations10, so !or the time $eing the e#lanations may "ell remain as Just@o
stories.
4ne use!ul "ay o! loo&ing at the causes o! a articular animal $ehaviour is to as& !our
+uestions, &no"n as in$ergen(s +uestions. he idea is to e#lain the current and historical
reasons !or a $ehaviour(s e#istence $y as&ing +uestions a$out the individual and the secies.
(Current & species: Function) hy have honey$ees evolved to $uild com$s in this shae'
(Historical & species: Phylogeny) %o" has honeycom$ $uilding evolved over time'
(Current & individual: Mechanism) %o" do the $ees construct the honeycom$'
(Historical & individual: Ontogeny) %o" does the $ehaviour develo in an individual $ee'
e(ve $een loo&ing at one ossi$le ans"er to the !irst +uestion, ho"ever this still leaves
three unans"ered. he ontogeny, or $iological and neurological develoment o! $ees(
$uilding $ehaviours is "ell $eyond the scoe o! this article, "hich is convenient $ecause I
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 6/20
&no" a$solutely nothing a$out it. As !or the other t"o +uestions, harles 6ar"in )among
others* had a good crac& at them.
Among the $iological investigations recorded in 6ar"in(s 34n the 4rigin o! @ecies "ere
e#eriments and o$servations relating to honeycom$ !ormation. %e roosed that a rough
evolutionary rogression )the hylogeny* could $e in!erred !rom various tyes o! modern $eenests. Bum$le$ee nests are rough conglomerations o! almost sherical cells !ound
underground. he nest o! the <e#ican stingless $ee, Melipona o!estica, lies some"here
$et"een that o! the $um$le$ee and honey$ee, "ith a he#agonal arrangement $ut more
rounded cells and cylindrical "alls.
Koo&ing at these other $ee nests, 6ar"in suggested that honey$ees once had nests similar to
$um$le$ees, then more li&e those o! the <e#ican stingless $ee, $e!ore their current
honeycom$s. hrough conversation and corresondence, he came to the same conclusion as
some others $e!ore him, that i! $ees $uilt regular arrangements o! cylindrical or sherical
cells closer and closer together over the generations, then at some oint they "ould cro"d
together into the !amous honeycom$ arrangement.
he oronoi cells o! !ive oints.
In more !ormal modern mathematical terms, this is the idea o! Voronoi cells" a&e some
oints in sace- the region closer to one oint than any other is &no"n as that oint(s oronoi
cell. I! you ta&e oints in t"o slightly o!!set layers, all saced e+ually to their closest
neigh$ours )ie. oining the oints "ould !orm e+uilateral triangles and he#agons*, then the
threedimensional oronoi cells !orm the honey$ees( he#agonal cells "ith their rhom$ic
$ases )artial rhom$ic dodecahedra*.
6ar"in "anted to &no" "hether this theory matched u "ith the "ay $ees actually $uild
their hives. %e "atched very closely as his o"n honey$ees constructed their nest and his
o$servations suort the oronoi cell idea o! ho" the nests evolved and ho" they are $uilt.6ar"in conducted some $rilliantly simle e#eriments that involved introducing either a
thic& "a# $loc& or thin coloured "a# sheet into a hive. ith a "a# $loc& introduced, each
$ee dug a small hemishere into the $loc&, until it touched or got e#tremely close to an
adacent $ee(s e#cavation, at "hich oint the $ees $uilt the he#agonal "alls u, leaving a
smooth $asin. his suggests that in the usual situation, the rhom$oid $asins are caused $y
ressures !rom $ees "or&ing on cells on the other side, "hereas in this case there "ere none.
ith a thin sheet introduced, the $ees started e#cavating $ut stoed $e!ore they $ro&e
through to the oosite side, leaving very shallo" and !lat $asins. his is all suorts
6ar"in(s suggested mechanism !or the cell construction.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 7/20
In the classic 1D1L $oo& 34n 7ro"th and Form 6(Arcy homson oints out that the
$ees"a# is "arm and slightly li+uid "hen $eing used !or $uilding, "hich may cause tension
e!!ects to come into lay. he same e!!ects cause $u$$les to naturally see& shaes that
minimise their sur!ace area. his is attractive as an alternative to the oronoi cells idea, and
so gets !re+uently reeated, $ut to me it doesn(t yet seem to $e suorted $y the evidence.
he sur!ace tension e#lanation is most vocally ut !or"ard in the aer #one$%ee co!%s&
construction through a li'ui e'uili%riu! process( )MM*11. he authors suggest that:in
analogy "ith e#eriments "here "a# is melted around closeac&ed ru$$er $ungs:the $ees
!irst construct cylindrical cells, and then heat them until the "a# melts enough !or sur!ace
tension to ta&e over and !orm the he#agons.12
A re$uttal, #e)agonal co!% cells o* hone$%ees are not prouce ia a li'ui e'uili%riu!
process )MM*1;, oints out some "ea&nesses in the aer a$ove. he $ees are seen to actively
move their mandi$les across the cell "alls )video, 22m$ AI*, mechanically shaing them, as
"ell as !eeling them "ith their antennas. @ocial "ass $uild their he#agonal nests"ith
cellulose, a rather di!!erent material to "a#. ellulose doesn(t have the same !luid roertiesunder heating either, so it is merely so!tened $y the "ass using saliva. his means that
"ass achieve similar results to the honey$ees $y actively &neading cells into shae "ithout
sur!ace tension e!!ects. I! in dou$t, "e should re!er arguments that have more e#licative
o"er, and not resort to secial cases !or $ees and "ass.
entral to the argument is the +uestion o! "hether $ees construct intermediate cylinders. his
o$servation only seems to aear once in the literature, in a aer u$lished in 201;)a!ter the
a$ove re$uttal*1=. his aer sho"s a closeu hoto o! the !e" circular cells !ound a!ter the
honey$ees "ere smo&ed out during the construction o! their hive. he circular cells "ere near
the edge o! the gro"ing com$, a $it shorter than the usual 10mm, and the "alls nearest the
$ase o! the circular cells "ere he#agonal. A!ter the $ees returned and comleted their "or&,
these cells "ere modi!ied to their normal he#agonal seci!ications.
n!ortunately, this o$servation doesn(t clinch the argument either "ay. hile it is necessary
!or sur!ace tension to lay a maor role, intermediate cylinders are consistent "ith $oth
e#lanations. he !act that $ees re"or& their cells as the com$ e#ands "as noticed $y
6ar"in, "ho o$served that some vermillioncoloured "a# introduced at the edge "ould
$ecome disersed throughout much o! the com$.
It(s going to ta&e a very "elldesigned e#eriment to convince me that $ees rely largely on
sur!ace tension e!!ects, as oosed to moulding the e#+uisite he#agons themselves. A!ter all,the "or&er $ees are rarely deicted as lay.
Further reading:
harles 6ar"in(s 34n the origin o! secies- is !reely availa$le on Archive.org and Proect
7uten$erg, !or instance, and chealy availa$le in $oo& !orm. hater III- Instinct, Cell,
!a-ing instinct o* the #ie,.ee/ is the section re!erred to a$ove.
A!ter reading a$out 6ar"in(s e#eriments in his o"n "ords, I strongly recommend
reading an account o! 6ar"in(s honeycom$ corresondence "hich includes some modernrecreations o! 6ar"in(s original e#eriments.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 8/20
34n 7ro"th and Form $y 6(Arcy homson not only has a detailed history o! the study o!
honeycom$ geometry, $ut has many interesting !acts a$out $iological and geological shaes
and their gro"th, as "ell as seculation a$out their root causes.
And on the ure mathematical geometry side, Fees Cth(s 3hat the $ees &no" and "hat
they do not &no" gives the $est overvie" o! minimisation ro$lems that $ees( honeycom$sdo solve, and then many more they do not solve.
Apiological part 2: 9stimating nest volumes
1. ranslation $y %ooer and Ash in the Koe$. I(ve $een told that >%e#agonon( is in its singular !orm, and the
only 7ree& "ord )also having 7ree& grammar* amongst this art o! arro(s Katin te#t. I "ould $e haier
that arro understood "hat he "as "riting a$out i! the te#t more e#licitly descri$ed the construction,
erhas >hree he#agons encircling a oint(, or >@i# he#agons arranged around a seventh(. In translation, it
could $e vie"ed as !alsely suggesting that the he#agon is the olygon "ith the greatest area that !its inside a
circle. In his de!ense though, arro also earlier suggests that orchards $e arranged regularly in +uincun#es,
the arrangement o! sots reresenting the num$er !ive on dice, to ta&e u less room and give $etter +uality
roduce. he centres o! he#agons in a regular he#agonal tiling can $e thought o! as an elongated +uincun#,reeated. As this is essentially the same result used in another conte#t, I(ll give arro the $ene!it o! the dou$t
and de!er to arro(s oetic license. N O
2. A translation $y Ivor homas in the Koe$ 37ree& <athematics- olume II3, o! a assage !rom Paus(
@ynagogue, Boo& - 3hat N$eesO have contrived this in accordance "ith a certain geometrical !orethought"e may thus in!er. hey "ould necessarily thin& that the !igures must all $e adacent one to another and have
their sides common, in order that nothing else might !all into the interstices and so de!ile their "or&. Go"there are only three rectilineal !igures "hich "ould satis!y the condition, I mean regular !igures "hich are
e+uilateral and e+uiangular, inasmuch as irregular !igures "ould $e disleasing to the $ees . Nhese $eingO the triangle, the s+uare and the he#agon, the $ees in their "isdom chose !or their "or& that "hich has
the most angles, erceiving that it "ould hold more honey than either o! the t"o others. Bees, then, &no" ust this !act "hich is use!ul to them, that the he#agon is greater than the s+uare and the triangle and "ill
hold more honey !or the same e#enditure o! material in constructing each. N O
;. %e$urn and hi!!ler, 3onstruction de!ects de!ine attern and method in com$ $uilding $y honey$ees3,
Aidologie )1DD1* o$serve that sometimes the entagons and hetagons aear together, and at other times
entagons aear in clusters. hey suggest that the latter can haen "hen a hetagonal com$ is $isected $y
an e#tra "all, giving rise to t"o entagonal cells. N O
=. %./. %e$urn 3om$ onstruction $y the A!rican %oney$ee, Ais melli!era adansonii3, 0ournal o* the
Ento!ological @ociety o* outhern A*rica/ ol.=E, Go.1, .8L101 )1D8;* N O
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 9/20
5. 9#licitly, [Math Processing Error]V=iei3, [Math Processing Error]E=iei2, and [Math Processing
Error]F=i1. N O
E. his art o! the argument "as adated $y %ales !rom Fees Cth(s roo!, e#cet %ales used a torus instead o!
a shere, "hich has the more comutationally elegant 9uler characteristic 9FQ0. N O
L. 4n the 6ivision o! @ace "ith <inimum Partitional Area, @ir illiam homson )1st Baron elvin*, 188L
given that the olyhedral truncated octahedron $eats the rhom$ic dodecahedron any"ay, I(m con!used $y
"hat ro$lem elvin claims is solved in his Hodali&e comment- 3ertainly the rhom$ic dodecahedron is a
solution o* the !ini!a)/ or e'uili%riu!,pro%le!R and certain it is that no other lanesided olyhedron can
$e a solution. N O
8. eaire to %ales- 37iven its cele$rated history, it Nthe honeycom$ conectureO seems "orth a try . . . N
O
D. @eeley and <orse, 3 Gest site selection $y the honey $ee, Ais melli!era M2D.D5, Insectes @ociau# )1DL8* N
O
10. I! the regular he#agonal array is $oth locally otimal !or structural integrity as "ell as !or "a# conservation,
then searating the t"o contri$utions is even more di!!icult N O
11. Pir& et al )M2D.D5*, Gatur"issenscha!ten )200=* N O
12. he aer also ma&es an interesting mista&e, $y remar&ing that the shae o! the honeycom$ $ase is rounded,
and not rhom$oid as usually descri$ed. his is $ased on moulds they made o! the cells. It "as later ointed
out that they must have used old honeycom$ cells, "hich gradually $ecome rounded over time. he authors
ascri$ed the revious rhom$oid o$servations as either having $een ta&en !rom cultivated honeycom$s "ith
"a# !oundations, or the straightedges $eing an otical arte!act !rom vie"ing t"o o!!set layers o! he#agons.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 10/20
hile $eing indeendentminded and relying on your o"n o$servations is admira$le, overturning several
centuries o! o$servations shouldn(t $e ta&en lightly. N O
1;. Bauer and Biene!eld )M2D.D5* Gatur"issenscha!ten )201;* N O
1=. arihaloo et al. 3%oney$ee com$s- ho" the circular cells trans!orm into rounded he#agons3, J./. @oc.
Inter!ace )201;* N O
• GOOGLE+
• HACKERNEWS
ags- $ees, he#agon, mathematical modelling
About the author
•
Alistair BirdApiological: spekulasi matematika tentang lebah (Bagian 1: Honeycomb
geometri)
Oleh Alistair Bird. Diposting 2 !anuari 2"1# di $itur% laskar
&ebah telah mendorong spekulasi matematika selama dua ribu tahun% karena
ulama klasik mencoba men'elaskan bentuk geometris menarik dari sarang.
Bagaimana lebah mengatasi masalah yang kompleks baha manusia akan
mengungkapkan matematis Dalam seri ini kita akan men'ela'ahi tiga situasi di
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 11/20
mana pemahaman matematika bisa membantu men'elaskan naluri luar biasa
dari lebah.
Honeycomb geometri
sarang lebah liar
*ebuah sarang lebah liar melengkung.
&ebah madu mengumpulkan nektar dari bunga dan menggunakannya untuk
menghasilkan madu% yang kemudian mereka simpan di sarang yang terbuat dari
lilin lebah (pada gilirannya berasal dari madu). *ebuah pertanyaan yang
membingungkan banyak pikiran bertanya di usia adalah: mengapa sarang
terbuat dari sel+sel heksagonal
,he -oman sar'ana arro% di abad ke+1 nya B/ puisi buku+lama De Agri /ultura
( 0On ertanian0)% secara singkat menyatakan
0,idak ruang di sisir memiliki enam sudut% 'umlah yang sama seperti lebah
memiliki kaki ,he geometricians membuktikan baha heksagon ini tertulis
dalam angka melingkar membungkus 'umlah terbesar dari space1. 0
utipan ini adalah sumber aal dikenal menun'ukkan hubungan antara bentuk
heksagonal sarang lebah dan properti matematika dari segi enam% membuat
lebih eksplisit beberapa abad kemudian oleh appus dari Ale3andria (kadang+
kadang dianggap sebagai ahli matematika 4unani uno yang terakhir). 5enulis
setelah hari kemuliaan ekaisaran -omai% pesaat poligon -eguler
tilingsappus menun'ukkan baha ada tiga poligon biasa yang genteng pesaat
tanpa kesen'angan+segitiga% kotak dan segi enam+dan lebah% dalam
kebi'aksanaan mereka% memilih desain yang memegang paling madu diberikanmenetapkan 'umlah bangunan material2.
6agasan baha lebah ekonomis memilih poligon ubin biasa dengan daerah
terbesar untuk perimeter diberikan puas dahulu. ,api mengapa harus semua sel
sarang lebah identik+bisa lebah melakukan lebih baik daripada menggunakan
poligon reguler
7a3 pondasi sarang lebah
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 12/20
Dasar rhomboidal dari dasar lilin yang ada di balik kerataan dari sarang
domestik. 6ambar dari /reati8e /ommons
sarang yang biasa biasa kita digunakan untuk seeing dibangun oleh lebah madu
dalam negeri% menggunakan dasar lilin sempurna biasa disediakan oleh peternak
lebah mereka sebagai panduan. lebah madu liar% bagaimanapun% tidak memilikikemeahan nestbo3es dilengkapi dengan yayasan lilin. sel sarang lebah mereka%
meskipun masih sangat teratur% tidak selalu heksagonal+kadang segilima dan
heptagons merayap di. *etelah memilih rongga berbentuk pohon tidak teratur%
banyak lebah peker'a akan mulai mandiri membangun segi enam sarang ini
sekaligus% bertemu di tengah+tengah bersama 'ahitan . 9ni adalah sepan'ang
'ahitan ini di mana penyimpangan lima dan tu'uh+sisi dan cacat lainnya
cenderung appear.
&ebih rasa ingin tahu% apa yang ter'adi 'ika Anda memberikan lebah madudengan ukuran yang salah dari yayasan sebagai panduan H. -andall Hepburn
mencoba ini dengan ;oundations< heksagonal berbagai ukuran (dengan basis
datar tidak seperti yang komersial bergerigi standar). ,erbesar menyebabkan
lebah untuk membangun cantik maar+mereka mengisi setiap dasar heksagonal
besar dengan lima atau enam sel (sekali lagi% biasanya lima atau tu'uh+sisi) yang
mengelilingi sel pusat. =kuran berikutnya turun menyebabkan lebah untuk
membangun dalam pola yang tidak teratur% sedangkan ukuran yang lebih kecil
dari itu menyebabkan lebah membangun sel+sel heksagonal pada setiap titik dari
segi enam dasar% dan meninggalkan kekosongan heksagonal atau >sel palsu> di
tengah.
konstruksi sel dengan lebah madu A;rika tentang dasar+dasar berbagai ukuran. ?
@ntomologi 5asyarakat A;rika *elatan + direproduksi dengan iin dari 5asyarakat
konstruksi sel dengan lebah madu A;rika tentang dasar+dasar berbagai ukuran. ?
@ntomologi 5asyarakat A;rika *elatan + direproduksi dengan iin dari 5asyarakat
perimeter yang sama% tetapi daerah yang berbeda seperti pada ().
!adi lebah tidak perlu menggunakan poligon reguler sama sekali. 5emungkinkan
untuk kemungkinan campuran bentuk menyebabkan dua masalah matematika
agak berbeda:
(A) yang campuran bentuk yang genteng pesaat% dan masing+masing memiliki
satuan luas% memiliki perimeter rata+rata minimum
() yang campuran bentuk yang genteng pesaat% dan masing+masing memilikiunit perimeter% memiliki luas rata+rata maksimum
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 13/20
$e'es ,oth% seorang ahli matematika Hongaria% telah dibuktikan dengan 1C
baha ubin heksagonal biasa adalah solusi untuk masalah isoperimetric% ()%
tetapi hanya membuktikan baha itu memecahkan masalah iso+areal% (A)%
dengan asumsi baha semua bentuk yang cembung. ondisi busung ini lebihketat daripada hal itu mungkin pada aalnya tampak: keunggulan
menggembung pada satu bentuk mengarah ke lekukan cekung pada bentuk
tetangga% 'adi satu+satunya bentuk cembung yang dapat genteng pesaat
adalah poligon.
9a tidak sampai 1 baha ,homas Hales membuktikan baha segienam 'uga
membagi pesaat ke bentuk daerah yang sama dengan setidaknya perimeter.
*ebuah langkah kunci dalam bukti (meskipun terobosan tidak Hales >)
menun'ukkan baha rata+rata% bentuk seperti itu akan memiliki enam sisi. Ambil
gra; planar (yaitu. ,anpa tepi crossing) pada bola. 5enggunakan karakteristik
@uler dari gra; planar (yang 'uga memegang pada bola)% kita tahu baha 'umlah
simpul% tepi dan a'ah para memenuhi grak E5ath rocessing @rrorF +@ G $
2.Iudging tepi sedikit % ternyata cukup untuk mempertimbangkan hanya simpul
berdera'at . ini cukup mudah untuk meyakinkan diri sendiri dengan diagram
(seperti di atas) baha ini adalah masuk akal. Bergerak tepi dengan 'umlah yang
kecil% Anda dapat memastikan tidak lebih dari tiga baris bertemu di satu titik.
Anda mungkin mengubah angka dari tepi dan titik% tetapi tanpa mengubah
perimeter atau daerah banyak.
!ika E5ath rocessing @rrorF engan a'ah memiliki E5ath rocessing @rrorF ei tepi
(dan simpul)% kemudian menambahkan ini untuk setiap a'ah% kita akan
menghitung setiap tepi dua kali dan setiap sudut tiga times#. !adi% dengan
karakteristik @uler dari seluruh grak% secara keseluruhan kami harus memiliki
E5ath rocessing @rrorF
*ebagai 'umlah a'ah meningkat% E5ath rocessing @rrorF 1+eiC harus men'adi
sangat kecil% sehingga rata+rata E5ath rocessing @rrorF ei atas semua a'ah
E5ath rocessing @rrorF saya cenderung E5ath rocessing @rrorF C% yang adalah
'umlah sisi kami berharap ;or.C langkah ini dapat digunakan untuk menampilkan
8ersi terbatas teorema di pesaat% yang merupakan aal yang baik untuk 8ersi
terbatas.
honeycombJ8ies
='ung terbuka (atas) dan belah ketupat tertutup akhir (baah) dari sel sarang
lebah Dodecahedral belah ketupat.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 14/20
!adi dari semua prisma sisi+by+side diatur% prisma heksagonal menggunakan
setidaknya lilin lebah untuk membangun satuan 8olume lebah berukuran. ,api
sarang tidak terdiri dari prisma heksagonal: akhir tersembunyi dari sel sarang
lebah tidak datar. Ada dua lapisan sel% back+to+back dan oKset% dan akhir+tutup
antara mereka adalah piramida yang terbuat dari tiga rhombuses% sehingga
seluruh bentuk 'uga bisa digambarkan sebagai >setengah dari belah ketupatdodecahedron meman'ang>. ,he bergerigi dasar lilin sarang lebah digambarkan
dekat aal meniru rhombuses ini. Bentuk ini lebih esien daripada prisma
heksagonal dengan dasar datar.
Apa lebah tidak menyadari% adalah baha ada cara yang sedikit lebih esien
untuk mengakhiri sel heksagonal mereka. 5en'aga 'e'ak heksagonal sarang
mereka% mereka bisa meman;aatkan berulang dari segi delapan dipotong%
dibentuk dengan memotong simpul dari sebuah segi delapan. Hal ini akan
mengakibatkan penghematan hampir 2L pada 8ersi ideal dengan dinding
ketebalan diabaikan% yang tidak banyak.
5enggunakan 8arian non+polyhedral melengkung dari segi delapan dipotong%
&ord el8in% sikaan abad ke+1% memegang rekor untuk >luas permukaan
setidaknya untuk 8olume tetap> dalam 8ersi tiga dimensi dari dugaan sarang
lebah untuk centuryM penuh. 9ni diasumsikan untuk men'adi yang terbaik
mungkin sampai tahun 1<% ketika dua sikaan% Denis 7eaire dan -obert
helan% dipersen'atai dengan komputer% merancang cara pernah+'adi+sedikit lebihesien membagi ruang ke dalam sel dari 8olume yang sama% menggunakan dua
padat melengkung yang berbeda ( 2%2L lebih esien daripada dodecahedra
belah ketupat). 9tu setelah penemuan ini baha lama sarang lebah dugaan dua
dimensi tampak kurang 'elas benar: saran dari 7eaire yang menyikut Hales
untuk mencoba proo; nya.
,erlepas dari kenyataan baha lebah madu tidak mencapai luas permukaan
minimum teoritis untuk 8olume set% sarang masih cara yang masuk akal untuk
mengurangi kebutuhan untuk bahan bangunan. Iamun% kita harusmempertanyakan asumsi baha e8olusi adalah murni berusaha untuk
menghemat atas nama lebah >% dan bertanya apakah ini benar+benar adalah
alasan utama mengapa lebah madu membangun sarang madu heksagonal.
5embangun sarang liar khas berlangsung sekitar satu kilogram lilin% yang
dihasilkan dengan mengkonsumsi sekitar delapan kali 'umlah madu. arena ini
'uga sepertiga dari 'umlah madu lebah membutuhkan untuk bertahan musim
dingin% ada insenti; e8olusioner yang kuat untuk digunakan sebagai sedikit lilin
mungkin. Ada bukti baha lebah menghemat dalam arti lain ketika membangun
sarang: mereka memiliki beberapa pre;erensi untuk bersarang situs di mana
sarang sudah present% sehingga mereka tidak perlu membangun yang baru.en'elasan alternati; untuk argumen ekonomi adalah rekayasa satu: baha
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 15/20
sarang heksagonal adalah struktur yang kuat. ,ampaknya cukup sulit untuk
merancang percobaan untuk menentukan berapa banyak masing+masing ;aktor
kontribusi untuk moti8ations1" lebah >% sehingga untuk saat ini pen'elasan
mungkin tetap cerita sebagai !ust+*o.
*alah satu cara yang berguna dalam memandang penyebab dari perilaku hean
tertentu adalah dengan menga'ukan empat pertanyaan% yang dikenal sebagai
pertanyaan ,inbergen. 9denya adalah untuk men'elaskan alasan saat ini dan
se'arah untuk keberadaan perilaku ini dengan menga'ukan pertanyaan tentang
indi8idu dan spesies.
(/urrent N spesies: $ungsi) 5engapa lebah madu berkembang untuk
membangun sisir dalam bentuk ini
(Historical N spesies: $ilogeni) Bagaimana membangun sarang lebah
berkembang dari aktu ke aktu
(/urrent N indi8idu: 5ekanisme) Bagaimana lebah membangun sarang madu
(Historical N indi8idu: Ontogeny) Bagaimana perilaku berkembang di lebah
indi8idu
ami sudah melihat satu kemungkinan 'aaban untuk pertanyaan pertama%
namun ini masih menyisakan tiga ter'aab. Ontogeni% atau pengembangan
biologis dan neurologis dari perilaku bangunan lebah >adalah baik di luar lingkup
artikel ini% yang nyaman karena saya tahu apa+apa tentang hal itu. Adapun dua
pertanyaan lainnya% /harles Darin (antara lain) memiliki celah yang baik pada
mereka.
Di antara penyelidikan biologis disimpan di Darin 0On the Origin o; *pecies0
adalah eksperimen dan pengamatan yang berkaitan dengan pembentukan
sarang lebah. Dia mengusulkan baha perkembangan e8olusi kasar (logeni)
bisa disimpulkan dari berbagai 'enis sarang lebah modern. Bumblebee sarang
adalah konglomerasi kasar sel hampir bulat ditemukan di baah tanah. *arang
lebah stingless 5eksiko% 5elipona domestica% terletak di antara yang dari lebah
dan lebah madu% dengan susunan heksagonal tetapi sel lebih bulat dan dinding
silinder.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 16/20
5elihat ini sarang lebah lainnya% Darin menyatakan baha lebah madu pernah
memiliki sarang mirip dengan lebah% maka lebih seperti orang+orang dari &ebah
5eksiko% sebelum sarang mereka saat ini. 5elalui percakapan dan
korespondensi% ia sampai pada kesimpulan yang sama seperti beberapa oranglain sebelum dia% baha 'ika lebah dibangun pengaturan biasa silinder atau sel
bola lebih dekat dan lebih dekat bersama+sama selama beberapa generasi%
kemudian di beberapa titik mereka akan kerumunan bersama+sama ke susunan
sarang lebah yang terkenal.
*el+sel oronoi lima poin.
*el+sel oronoi lima poin.
Dalam resmi istilah matematika yang lebih modern% ini adalah ide sel oronoi.
Ambil beberapa titik dalam ruang: ilayah ini lebih dekat ke satu titik dari yang
lain dikenal sebagai sel oronoi titik ini. !ika Anda mengambil poin di dua sedikit
oKset lapisan% semua spasi sama dengan tetangga terdekat mereka (yaitu.
Bergabung dengan poin akan membentuk segitiga sama sisi dan segi enam)%
maka sel+sel oronoi tiga dimensi membentuk sel+sel heksagonal lebah madu
>dengan basis belah ketupat mereka (parsial dodecahedra belah ketupat).
Darin ingin tahu apakah teori ini cocok dengan cara lebah benar+benarmembangun sarang mereka. Dia mengamati sangat erat sebagai lebah madu
sendiri dibangun sarang mereka dan pengamatannya mendukung gagasan sel
oronoi bagaimana sarang berkembang dan bagaimana mereka dibangun.
Darin melakukan beberapa eksperimen cemerlang sederhana yang melibatkan
memperkenalkan salah satu blok lilin tebal atau tipis lembar lilin berarna
men'adi sarang. Dengan blok lilin diperkenalkan% setiap lebah menggali belahan
kecil ke blok% sampai menyentuh atau mendapat sangat dekat dengan
penggalian lebah yang berdekatan ini% di mana titik lebah dibangun dinding
heksagonal% meninggalkan baskom halus. Hal ini menun'ukkan baha dalam
situasi biasa% cekungan rhomboid disebabkan oleh tekanan dari lebah beker'apada sel+sel di sisi lain% sedangkan dalam kasus ini tidak ada. Dengan lembaran
tipis diperkenalkan% lebah mulai menggali tetapi berhenti sebelum mereka
menerobos ke sisi yang berlaanan% meninggalkan cekungan sangat dangkal
dan datar. 9ni semua mendukung mekanisme disarankan Darin untuk
pembangunan sel.
Dalam klasik 11M buku 0ada ertumbuhan dan $orm0 D>Arcy ,hompson
menun'ukkan baha lebah hangat dan sedikit cair ketika digunakan untuk
bangunan% yang dapat menyebabkan e;ek ketegangan untuk datang ke dalambermain. @;ek yang sama menyebabkan gelembung secara alami mencari
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 17/20
bentuk yang meminimalkan luas permukaan mereka. 9ni adalah menarik sebagai
alternati; untuk sel ide oronoi% dan akan sering diulang% tapi bagi saya itu belum
tampaknya didukung oleh bukti.
en'elasan tegangan permukaan yang paling 8okal dia'ukan di koran Honeybee
sisir: konstruksi melalui proses keseimbangan cairan () 11. ara penulis
menyarankan baha+dalam analogi dengan eksperimen di mana lilin meleleh di
sekitar dekat+dikemas bungs+karet lebah pertama membangun sel+sel silinder%
dan kemudian panas mereka sampai lilin meleleh cukup untuk tegangan
permukaan untuk mengambil alih dan membentuk he3agons.12 yang
*ebuah bantahan% sel sisir He3agonal lebah madu tidak diproduksi melalui
proses keseimbangan cairan () 1% menun'ukkan beberapa kelemahan di ataskertas. &ebah terlihat akti; bergerak rahang mereka di seluruh dinding sel (8ideo%
225B A9)% mekanis membentuk mereka% serta perasaan mereka dengan antena
mereka. taon sosial membangun sarang heksagonal mereka dengan selulosa%
bahan agak berbeda untuk lilin. *elulosa tidak memiliki si;at Puida yang sama di
baah pemanasan baik% sehingga hanya melunak dengan taon menggunakan
air liur. 9ni berarti baha taon mencapai hasil yang sama dengan lebah madu
dengan akti; adonan sel ke bentuk tanpa e;ek tegangan permukaan. !ika ragu%
kita harus memilih argumen yang memiliki kekuatan lebih bersi;at menerangkan%
dan tidak resor untuk kasus khusus untuk lebah dan taon.
usat untuk argumen adalah pertanyaan apakah lebah membangun silinder
menengah. engamatan ini tampaknya hanya muncul sekali dalam literatur%
dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 2"1 (setelah sanggahan
atas) 1<. 5akalah ini menun'ukkan ;oto close+up dari beberapa sel melingkar
ditemukan setelah lebah madu yang merokok selama pembangunan sarang
mereka. *el+sel melingkar berada di dekat tepi sisir tumbuh% sedikit lebih pendek
dari biasanya 1"mm% dan dinding terdekat dasar sel melingkar yang heksagonal.
*etelah lebah kembali dan menyelesaikan peker'aan mereka% sel+sel ini telah
diubah dengan spesikasi heksagonal normal mereka.
*ayangnya% pengamatan ini tidak meraih argumen dengan cara baik. *ementara
itu perlu untuk tegangan permukaan untuk memainkan peran utama% silinder
menengah konsisten dengan kedua pen'elasan. $akta baha lebah ulang sel+sel
mereka sebagai mengembang sisir itu diperhatikan oleh Darin% yang
mengamati baha beberapa lilin 8ermillion berarna diperkenalkan di tepi akan
men'adi tersebar di banyak sisir.
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 18/20
9ni akan mengambil eksperimen yang sangat baik dirancang untuk meyakinkan
saya baha lebah mengandalkan sebagian besar pada e;ek tegangan
permukaan% yang bertentangan dengan molding segi enam yang indah sendiri.
*etelah semua% lebah peker'a 'arang digambarkan sebagai malas.
Bacaan lebih lan'ut:
/harles Darin 0On the Origin o; *pecies0: tersedia secara bebas di Archi8e.org
dan ro'ect 6utenberg% misalnya% dan murah tersedia dalam bentuk buku. Bab
999: 9nstinct% naluri *el pembuatan sarang+Bee% adalah bagian yang disebut di
atas.
*etelah membaca tentang percobaan Darin dalam kata+katanya sendiri% saya
sangat menyarankan membaca akun korespondensi sarang lebah Darin yang
mencakup beberapa rekreasi modern eksperimen asli Darin.
0ada ertumbuhan dan $orm0 oleh D>Arcy ,hompson tidak hanya memiliki
se'arah rinci dari studi sarang lebah geometri% namun memiliki banyak ;akta
menarik tentang bentuk biologis dan geologi dan pertumbuhan mereka% serta
spekulasi tentang akar penyebabnya.
Dan di sisi geometri matematika murni% $e'es ,oth ini 0Apa lebah tahu dan apa
yang mereka tidak tahu0 memberikan gambaran terbaik dari masalah minimisasi
yang sarang lebah >yang memecahkan% dan kemudian banyak lagi mereka tidak
memecahkan.
Apiological bagian 2: 8olume sarang 5emperkirakan
,er'emahan oleh Hooper dan Ash di &oeb. *aya telah diberitahu baha
>He3agonon> dalam bentuk tunggal% serta satu+satunya kata 4unani ('uga
memiliki tata bahasa 4unani) di antara bagian teks &atin arro ini. Aku akan lebih
bahagia baha arro mengerti apa yang ia menulis tentang 'ika teks lebih
eksplisit di'elaskan konstruksi% mungkin >,iga segi enam melingkari titik>% atau
>@nam segi enam diatur di sekitar ketu'uh>. Dalam ter'emahan% itu bisa dilihat
sebagai palsu menun'ukkan baha segi enam adalah poligon dengan daerah
terbesar yang cocok di dalam lingkaran. Dalam pembelaannya meskipun% arro
'uga sebelumnya menun'ukkan baha kebun diatur secara teratur di Quincun3es%
penataan tempat yang meakili nomor lima di dadu% untuk mengambil sedikit
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 19/20
ruang dan memberikan yang lebih baik kualitas produk. usat+pusat segi enam di
ubin heksagonal biasa dapat dianggap sebagai Quincun3 meman'ang% diulang.
arena ini pada dasarnya adalah hasil yang sama digunakan dalam konteks lain%
saya akan memberikan arro man;aat dari keraguan dan menunda untuk lisensi
puitis arro ini. ERF
*ebuah ter'emahan oleh 98or ,homas dalam &oeb 05atematika 4unani: olume
990% dari suatu bagian dari appus >*ynagogue% Buku : 09tu ElebahF telah dibikin
ini sesuai dengan pemikiran geometris tertentu kita sehingga dapat menarik
kesimpulan. 5ereka tentu akan berpikir baha angka+angka semua harus
berdekatan satu sama lain dan memiliki sisi mereka yang umum% agar tidak ada
lagi yang mungkin 'atuh ke dalam celah dan mena'iskan peker'aan mereka.
*ekarang hanya ada tiga tokoh seperti garis lurus yang akan memenuhi kondisi%
maksudku angka biasa yang sama sisi dan pigura yg sudutnya sama% lantaran
tokoh seperti tidak teratur akan tidak menyenangkan ke
te32htmlJrapJinline2<M lebah. E9ni men'adiF segitiga% persegi dan segi enam%lebah dalam kebi'aksanaan mereka memilih untuk peker'aan mereka yang yang
memiliki paling sudut% mengamati baha hal itu akan terus lebih madu daripada
salah satu dari dua orang lain. &ebah% kemudian% tahu persis ;akta ini yang
berguna untuk mereka% baha heksagon lebih besar dari alun+alun dan segitiga
dan akan menyimpan lebih madu untuk pengeluaran yang sama dari bahan
dalam membangun masing+masing. 0ERF
Hepburn dan 7hiSer% 0cacat onstruksi menentukan pola dan metode dalam
membangun sisir oleh lebah madu0% Apidologie (11) mengamati baha
kadang+kadang segilima dan heptagons muncul bersama+sama% dan pada aktu
lain pentagons muncul dalam kelompok. 5ereka menyarankan baha yang
terakhir dapat ter'adi ketika sisir heptagonal adalah membagi oleh dinding
tambahan% sehingga menimbulkan dua sel pentagonal. ERF
H.-. Hepburn 0*isir onstruksi oleh Honeybee A;rika% Apis melli;era adansonii0%
!ournal o; @ntomologi 5asyarakat A;rika *elatan% ol.<C% Io.1% pp.M+1"1 (1)
ERF
*ecara eksplisit% E5ath rocessing @rrorF Tiei% E5ath rocessing @rrorF @
Tiei2% dan E5ath rocessing @rrorF $ Ti1. ERF
9ni bagian dari argumen diadaptasi oleh Hales dari bukti $e'es ,oth% kecuali Hales
digunakan torus bukan bola% yang memiliki lebih komputasi elegan @uler
karakteristik +@ G $ ". ERF
ada Di8isi Antariksa dengan 5inimum artitional Area% *ir 7illiam ,hompson (1
Baron el8in)% 1M + mengingat baha segi delapan dipotong polyhedral
mengalahkan dodecahedron belah ketupat pula% aku bingung dengan apa
masalahnya el8in klaim diselesaikan dalam komentar 4oda+seperti : 0,entu sa'a
belah ketupat dodecahedron adalah solusi dari minima3% atau keseimbangan+
masalahU dan yakin itu adalah baha tidak ada polyhedron pesaat+sisi lainnya
bisa men'adi solusi. 0ERF
7/26/2019 A Pio Logical mtk
http://slidepdf.com/reader/full/a-pio-logical-mtk 20/20
7eaire ke Hales: 05engingat se'arah dirayakan% ia Esarang lebah dugaanF
tampaknya patut dicoba. . . 0ERF
*eeley dan 5orse% 0pemilihan lokasi Iest oleh lebah madu% Apis melli;era0
2%#% insectes *ociau3 (1M) ERF
!ika array heksagonal biasa baik lokal optimal untuk integritas struktural serta
untuk konser8asi lilin% kemudian memisahkan dua kontribusi bahkan lebih sulit
ERF
irk et al ( 2%#)% Iaturissenscha;ten (2""<) ERF
5akalah ini 'uga membuat kesalahan yang menarik% dengan menyatakan baha
bentuk dasar sarang lebah bulat% dan tidak rhomboid seperti biasanya di'elaskan.
Hal ini didasarkan pada cetakan mereka terbuat dari sel. 9a kemudian
menun'ukkan baha mereka harus menggunakan sel sarang lebah tua% yang
secara bertahap men'adi bulat dari aktu ke aktu. ara penulis berasalpengamatan rhomboid sebelumnya sebagai baik yang telah diambil dari sarang
dibudidayakan dengan yayasan lilin% atau lurus+tepi men'adi arte;ak optik dari
melihat dua mengimbangi lapisan segi enam. *ementara berpikiran independen
dan mengandalkan pengamatan Anda sendiri adalah mengagumkan%
men'ungkirbalikkan beberapa abad pengamatan tidak boleh dianggap enteng.
ERF
Bauer dan Biene;eld ( 2%#) Iaturissenscha;ten (2"1) ERF
arihaloo et al. 0Honeybee sisir: bagaimana sel melingkar berubah men'adi segi
enam bulat0% !.-. *oc. 9nter;ace (2"1) ERF
@-9/A=
$A/@BOO
6OO6&@ G
-eddit
HA/@-I@7*
@+5A9&
,ags: lebah% segi enam% pemodelan matematika
,entang enulis
Alistair Bird