a3-theorique-coursturbulence-040913

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Introduction a la turbulence. F. Archambeau/54

Introduction a la turbulence.F. Archambeau

Ce document presente en quelques pages les equations de Navier-Stokes, la notion de moyenne statis-tique, quelques considerations simples sur la cascade energetique et les principaux types d’approchepermettant de traiter la turbulence en ecoulement monophasique (RANSE, LES, DNS). Le documents’adresse a un public non specialiste de la simulation numerique et de la turbulence : en consequence,certains paragraphes, simplifies par souci de clarte, pourront apparaıtre caricaturaux ou incomplets. Labibliographie, neanmoins, permettra aux lecteurs interesses de completer utilement ce tour d’horizonrapide.

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SOMMAIRE

1 MANIFESTATIONS DE LA TURBULENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Exemples d’applications industrielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Evolution des moyens de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 EQUATIONS MOYENNEES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Experience de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Origine de la turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Une equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Une equation non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.3 Melange lie au transport par les perturbations de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3 Decomposition en valeurs moyennes et fluctuations . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Proprietes des moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.3 Decomposition de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3.4 Masse volumique variable : decomposition de Favre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.5 Densite de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.6 Ergodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 LA CASCADE ENERGETIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Equation de l’energie cinetique turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Turbulence homogene isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3.2 Transformees de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.3 Cascade de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 MODELISATION DE LA TURBULENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Modeles a viscosite turbulente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2.2 Viscosite constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.3 Longueur de melange : hypothese de Prandtl (1925) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.4 Longueur de melange : application a un ecoulement entre deux plaques planes paralleles 30

4.2.5 k − l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.6 Le modele de viscosite turbulente a deux equations k − ε . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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4.2.7 Modeles non lineaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3 Modeles aux tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Les equations du modele LRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3.3 Interpretation des differents termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.2 Modelisation de type ”viscosite turbulente” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.3 Comportement en proche paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.5 Conditions aux limites en entree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5.2 Energie cinetique turbulente et dissipation pour les ecoulements internes . . . . . . . . 42

4.5.3 Energie cinetique turbulente et dissipation pour les ecoulements externes . . . . . . . . 43

4.5.4 Modeles aux tensions de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5.5 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.6 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.2 Le modele k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6.3 Le v2 − f , version φ-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 SIMULATION DES GRANDES ECHELLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Simulation des grandes echelles : la demarche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Modeles de sous-maille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.2 Modele de Smagorinsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.3.3 Modeles dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.4 Conditions aux limites en entree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 SIMULATION DIRECTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7 MAILLAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2 Considerations numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.3 Considerations physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.4 Synthese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 CONCLUSION ET PERSPECTIVES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9 BIBLIOGRAPHIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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Repertoire des modifications du document

Reference Designation des modifications Observations

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1 Manifestations de la turbulence

1.1 Introduction

Chacun est capable de citer des effets bien visibles de la turbulence : les flots tumultueux, les rafalesde grand frais, les bourrasques chargees de neige, les tourbillons de retroviseur, le developpement decouche limite le long d’une coque de navire, les tourbillons de bout d’aile, la fumee d’une cigarette oule developpement d’un filet d’eau coulant d’un robinet...

Dans chacun de ces cas, des structures tourbillonnaires plus ou moins organisees rendent l’ecoulementcomplexe et il devient difficile d’en apprehender les details, d’en predire precisement l’evolution ins-tantanee et locale, meme en mettant en œuvre les moyens de calcul de pointe qui ne cessent de voirleur puissance s’accroıtre.

La prise en compte, plus ou moins raffinee, de l’influence de ces structures est cependant indispen-sable dans une grande partie des applications industrielles courantes.

1.2 Exemples d’applications industrielles

La prise en compte de la turbulence est indispensable dans bon nombre d’applications industrielles,meme si elles ne necessitent pas toutes le meme niveau de precision pour la modelisation sous-jacente.Quelques exemples sont proposes ci-dessous.

- Dimensionnement de reseauLors du dimensionnement et de l’optimisation des reseaux de distribution fluides (gaz, eau,petrole...) la perte de charge des conduites doit etre prise en compte. Une modelisation sansprise en compte de la turbulence peut conduire a une forte sous-estimation du frottement (voirl’abaque de Moody) et donc a une large sous-evaluation de la puissance des pompes.Une prise en compte relativement globale par simples correlations pourra dans ce cas suffire.

- EchangeursLes echangeurs de chaleur des moteurs, des unites de production (voir figure 1 la representationd’un generateur de vapeur de centrale nucleaire a eau pressurisee) ont recours a des fluides diverset de viscosite tres differente (hydrogene, azote, air, eau pressurisee, sodium...), dans des volumesplus ou moins confines. Selon le cas, les ecoulements peuvent etre fortement turbulents. Il estindispensable de prendre en compte cette caracteristique pour le calcul des echanges thermiques(la turbulence les augmente en general, voir les correlations de Nusselt en convection forcee).Selon les besoins, les informations recherchees peuvent etre locales (pour la recherche de pointschauds, pour l’analyse de la tenue mecanique) ou globales (determination de rendement par descodes composant ou systeme). Des modelisations plus ou moins raffinees sont alors mises enœuvre, de la simple correlation a la simulation des grandes echelles.

- AeronautiqueLe domaine a tres tot developpe des modelisations adaptees aux couches limites.

- Previsions atmospheriquesLa meteorologie est un domaine qui a ete particulierement moteur dans la modelisation de laturbulence et le calcul numerique (voir par exemple les calculs precurseurs de Deardorff en si-mulation des grandes echelles des 1973 [6], le developpement de divers modeles de longueur demelange...).

- Usure par excitation turbulenteLes tubes de generateur de vapeur (figure 1), les crayons combustibles des grappes (figure 2), sontsoumis a des ecoulements complexes transverses ou longitudinaux de nature fortement turbulente.Bien que le regime soit globalement stationnaire, les structures turbulentes ont pour effet d’exciterces structures ”filaires” et de grande portee (le diametre des crayons est de l’ordre de quelquesmillimetres, pour une longueur de 4 a 5 metres). Par couplage avec leurs modes propres, lesstructures oscillent et s’usent par frottement et choc aux points de guidage, d’ancrage, auxgrilles... Cette usure doit etre apprehendee au mieux, a la fois pour des raisons de surete (la

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gaine des crayons combustibles et le GV sont des barrieres de radiprotection) et pour des raisonsde performance (si des tubes de GV sont perces, ils doivent etre bouches et le generateur devapeur perd de son efficacite).Une modelisation fine des fluctuations est necessaire dans ce cas.

Fig. 1 – Generateur de vapeur d’une centrale nucleaire a eau pressurisee

Fig. 2 – Grappe de commande d’une centrale nucleaire a eau pressurisee

- Interactions aero-acoustiquesLa turbulence est a l’origine de fluctuations de pression dont les effets sont tres varies. Dansl’automobile, elles peuvent nuire au confort auditif des passagers. Dans les centrales thermiquesa gaz, les interactions du bruit avec la flamme (humming) pourront la destabiliser. Dans ledomaine des pompes, des lignes et circuits, l’integrite des materiels et la surete sont en jeu.Il convient dans ces cas d’adopter des modelisations fines.

- CombustionDans le domaine de la combustion (figure 3), la prise en compte de la turbulence est parti-culierement importante dans les chaudieres industrielles, puisque l’avancement des reactions chi-miques, la temperature atteinte, la nature des produits (SOx, NOx...) dependent entre autres du

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niveau de melange local des reactifs.Des modelisations souvent particulieres doivent etre mises en place (Eddy Break Up model parexemple).

Fig. 3 – Flux thermiques aux parois d’une chaudiere a charbon

- Interactions thermomecaniques fluide-structureDans ce domaine, on cherche a utiliser les informations thermiques provenant du fluide commeconditions sur le solide afin de calculer l’amorcage, la propagation et la nocivite des fissures. Cecipermet, selon les cas, d’evaluer les effets de fatigue thermique par cyclage (effets de variationsde temperature de l’ordre du Hertz ou au-dessous), ou les effets de chocs thermiques (brutalevariation de temperature : figure 4). Dans ces cas, selon l’utilisation qui doit etre faite desinformations obtenues, les modeles seront plus ou moins elabores :

- le ”simple” k − ε permettra des analyses de choc thermiques ”en moyenne”,

- les modeles de transport des tensions de Reynolds permettront de capter des effets plusfins, mettant en jeu par exemple des effets de rotation (par exemple, ces modeles peuvents’averer utiles pour capter la penetration d’ecoulements secondaires ou ”vrilles” dans les”bras morts” des conduites ; la modelisation de ces phenomenes est particulierement im-portante pour des ”bras morts” froids connectes a des conduites en charge chaudes, carles ecoulements secondaires peuvent alors soumettre les parois a de fortes variations detemperature, susceptibles de creer de la fatigue thermique).

- les modeles de simulation des grandes echelles ou Large Eddy Simulation (figure 5) pourrontdans certains cas permettre de capter les fluctuations instantanees et les points chauds : uneanalyse mecanique pourra alors utiliser ces informations.

Les quelques textes de reference suivants fournissent une introduction tres complete sur le sujet :

- Launder et Spalding (1974) [11],

- Cebeci et Smith (1974) [5],

- Rodi (1980) [21],

- Patankar (1980) [19],

- Tennekes et Lumley (1983) [24],

- Wilcox (1998) [26].

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Fig. 4 – Etude d’un choc thermique sur une cuve de reacteur a eau pressurisee (Gauche : schema deprincipe - Centre : analyse transitoire sur maquette - Droite : calcul en configuration reacteur

Fig. 5 – Application de la LES a la determination de l’evolution thermique dans le metal d’une conduiteen zone de melange

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1.3 Evolution des moyens de calcul

La puissance des processeurs de PC depasse aujourd’hui celle des supercalculateurs de plus de 5 ans.Ainsi, on peut en 2003, sur un simple PC biprocesseur a 1 ou 2 GHz, realiser des calculs de mecaniquedes fluides sur des maillages a quelques centaines de milliers de mailles, alors qu’en 1980, la realisationde calculs a 10000 mailles sur un supercalculateur vectoriel CRAY restait une gageure.

Le deploiement des clusters de PC (32, 64 processeurs, avec reseau interne a haut debit permetegalement d’acceder a des moyens de calcul performants, en passe de remplacer les anciens supercal-culateurs vectoriels (performants mais chers).

Depuis les annees 90, les moyens de calcul massivement paralleles ont pris leur essor et beaucoupprogresse (par exemple, COMPAQ-HP a 800 processeurs, d’une puissance crete de 2 Teraflops).

2 Equations moyennees

2.1 Experience de Reynolds

Reynolds (1842-1912) imagina une experience permettant de quantifier l’apparition de la turbulence.Un reservoir d’eau se deverse dans une conduite dans laquelle est introduit un colorant. Selon leregime laminaire ou turbulent, le colorant est transporte en droite ligne ou melange par les structurestourbillonnaires. La transition se produit pour une valeur de 2500 du nombre de Reynolds :

Re =UD

ν(1)

ou U est la vitesse moyenne (m s−1), ν la viscosite cinematique moleculaire (m2s−1) et D le diametrehydraulique (m) de la conduite. Le diametre hydraulique D est calcule a partir de la surface passante Set du perimetre mouille P selon une formule qui permet de retrouver le diametre geometrique natureldans une conduite a section circulaire :

D =4 S

P(2)

Dans de nombreuses application industrielles, l’ecoulement est largement turbulent.

Pour l’air, dans les conditions normales de temperature et de pression, la viscosite cinematique estde l’ordre de 10−5. Ainsi dans un conduit d’aeration de 20 cm de diametre, l’ecoulement sera turbulenta partir d’une vitesse de 12, 5 cm s−1.

Pour l’eau, a pression atmospherique et temperature de 20 degres, la viscosite cinematique est del’ordre de 10−6 : dans une conduite de 20 cm de diametre, l’ecoulement sera turbulent a partir d’unevitesse de 12, 5 mm s−1.

On propose quelques illustrations de cette experience dans les figures 6 a 7 (le materiel est visiblea l’Universite de Manchester, ainsi que sur le sitehttp ://www.eng.man.ac.uk/mech/nerg/ReyExhib.htm

2.2 Origine de la turbulence

2.2.1 Une equation lineaire

Considerons l’equation de la chaleur dans un metal dont les proprietes physiques sont constantes :

ρCp∂T

∂t= div (λgrad T ) (3)

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Fig. 6 – Vue globale du systeme utilise par Reynolds

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Fig. 7 – Differents regimes d’ecoulements, de laminaire a turbulent

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Considerons alors une perturbation T ′ sur le champ moyen de temperature T , soit :

T = T + T ′ (4)

Si l’on introduit cette solution dans l’equation de la chaleur, on obtient :

ρCp∂T

∂t+ ρCp

∂T ′

∂t= div

(λgrad T

)+ div (λgrad T ′) (5)

Prenons alors la moyenne de l’equation obtenue, en supposant que l’operateur de moyenne commute

avec les derivations spatio-temporelles, qu’il ait des proprietes de linearite, et que T = T et T ′ = 0 :

ρCp∂T

∂t= div

(λgrad T

)(6)

Par ailleurs, en prenant la difference entre l’equation moyenne et l’equation initiale, on obtient uneequation portant sur la perturbation qui ne fait pas intervenir la moyenne :

ρCp∂T ′

∂t= div (λgrad T ′) (7)

On constate donc que les equations sur la moyenne et sur les fluctuations sont naturellement separeeset qu’en particulier, la perturbation n’a pas d’influence sur la temperature moyenne. Cette proprieteresulte de la linearite du probleme par rapport a la variable resolue.

Dans cette situation, les fluctuations n’auront pas d’effet sur les structures moyennes : la turbulencene se manifeste pas dans l’equation regissant les grandeurs moyennes.

2.2.2 Une equation non lineaire

Considerons a present une equation non lineaire, l’equation de la quantite de mouvement, a pro-prietes physiques constantes :

∂

∂t(ρui) +

∂

∂xj(ρ ujui) = − ∂

∂xjσij (8)

avec σij lineaire par rapport a la vitesse :

σij = Pδij − µ

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)(9)

Considerons alors une perturbation u′ sur le champ de vitesse, soit :

u = u + u′ (10)

On introduit cette formulation dans l’equation de la quantite de mouvement (hormis dans le termeconvectif, que l’on traitera plus tard, par souci de clarte) :

∂

∂t(ρui) +

∂

∂t(ρu′

i) +∂


∂xjσij + − ∂

∂xjσ′

ij (11)

On applique ensuite l’operateur de moyenne (il s’agit du meme operateur que pour l’equation de lachaleur) :

∂

∂t(ρui) +

∂


∂xjσij (12)

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Il faut alors preter attention au terme convectif que l’on n’a pas encore modifie :

∂

∂xj(ρ ujui) =

∂

∂xj(ρ ujui) +

∂

∂xj(ρ uju′

i) +∂

∂xj(ρ u′

jui) +∂

∂xj(ρ u′

ju′i) (13)

soit, en eliminant les termes dont la moyenne est nulle :

∂

∂xj(ρ ujui) =

∂

∂xj(ρ ujui) +

∂

∂xj(ρ u′

ju′i) (14)

L’equation portant sur la moyenne de la vitesse s’ecrit alors :

∂

∂t(ρui) +

∂


∂xjσij −

∂

∂xj(ρ u′

ju′i) (15)

On constate que cette equation depend non seulement de la vitesse moyenne mais egalement desfluctuations. Le terme ∂

∂xj(ρ u′

ju′i) represente le transport des fluctuations de vitesse par elles-memes.

Il est responsable de l’aspect ”chaotique” de la turbulence qui se traduit par des variations de lasolution moyenne dues a des structures tourbillonnaires coherentes de plus petite echelle.

2.2.3 Melange lie au transport par les perturbations de vitesse

On se propose de montrer que le phenomene de transport par les fluctuations de vitesse d’unequantite (les fluctuations de vitesse elles-memes par exemple) est analogue a un phenomene diffusif etpeut donc etre modelise en consequence.

• Une premiere approche consiste a admettre que les fluctuations ont un caractere aleatoire.Dans ces conditions, qualitativement, on comprend que le transport aleatoire qui en resulte tend amelanger les particules fluides, quel que soit leur ecart de vitesse par rapport a la vitesse moyenne. Lesecarts de vitesse tendent donc naturellement a s’homogeneiser, comme sous l’effet d’une diffusion.

• Si l’on n’est pas satisfait par l’explication precedente, on peut se convaincre que l’on a affairea un phenomene de melange analogue a celui d’une diffusion en adoptant une seconde demarche.Placons-nous dans le cadre d’un ecoulement cisaille (par exemple au voisinage d’une paroi plane),invariant dans la direction x (les derivees dans la direction x disparaissent). L’equation de la quantitede mouvement portant sur la composante principale de la vitesse moyenne s’ecrit :

∂

∂t(ρux) +

∂

∂y(ρ uyux) = − ∂

∂yσxy − ∂

∂y(ρ u′

yu′x) (16)

Il s’agit d’evaluer l’effet du dernier terme :

− ∂

∂y(ρ u′

yu′x) (17)

Pour determiner le signe de u′yu′

x, considerons tout d’abord un ecoulement simple dans lequel lavitesse moyenne (figure 8) suit la loi suivante :

ux(y) = U0 yuy(y) = 0

(18)

Considerons alors une particule fluide situee en y = y1, soumise a une fluctuation de vitesse (ecartde la vitesse a la vitesse moyenne) definie par :

u′

x = 0, u′

y = v′ > 0 (19)

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Fig. 8 – Cisaillement simple

Un instant dt plus tard, cette particule se retrouve en y2 = y1 + v′ dt, au sein d’un milieu dont lavitesse moyenne est ux = U2. La vitesse de la particule n’a pas encore eu le temps de s’adapter aunouvel environnement et l’ecart a la vitesse moyenne est donc :

u′

x = U2 − U1 < 0, u′

y = v′ > 0

Dans cette situation, on constate que :

u′

xu′

y = (U2 − U1) v′ < 0

On obtient le meme resultat avec v′ < 0. De plus, si la pente du profil tend vers 0, la grandeur u′

xu′

y

s’annule egalement. De cette analyse simple resulte le fait que u′yu′

x < 0 dans la presente configurationcisaillee.

Considerons a present un profil presentant un pic (figure 9). Pour y < y0, on se trouve dans la memesituation que dans le cas du cisaillement simple precedent : u′

yu′x < 0. Pour y > y0, on a u′

yu′x > 0.

On peut voir sur la figure 9 le profil de u′yu′

x et de sa derivee.

On constate que le terme source de l’equation de la quantite de mouvement, − ∂∂y (ρ u′

yu′x), est

negatif et tend donc a reduire la vitesse autour de y0, diminuant donc le pic comme le ferait un termediffusif. Une modelisation admissible est donc :

− ∂

∂y(ρ u′

yu′x) = αρ

∂2

∂y2(ux) avec (α > 0) (20)

• Si l’on n’est toujours par convaincu, on peut finalement emprunter un troisieme cheminementpour interpreter le terme − ∂

∂y (ρ u′yu′

x) comme un terme diffusif et en obtenir une formulation. Apartir de l’equation de la quantite de mouvement, on obtient une equation portant sur la fluctuationu′

x (en soustrayant a l’equation initiale non moyennee l’equation obtenue en appliquant l’operateur demoyenne ; on neglige en outre les termes visqueux et les fluctuations de pression) :

ρ∂

∂t(u′

x) + ρu′

y∂

∂y(ux) = 0 (21)

soit donc :

u′

x = −τu′

y∂

∂y(ux) (22)

avec τ une echelle de temps relative au mouvement turbulent

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Fig. 9 – Gauche : profil de vitesse - Centre : profil de u′yu′

x - Droite : profil de − ∂∂y (ρ u′

yu′x)

Par analogie, la modelisation suivante peut etre envisagee :

u′xu′

y = −u′yu′

y τ∂

∂y(ux) (23)

et si l’on relie u′yu′

y a l’energie cinetique turbulente k :

u′yu′

y = βk (24)

et l’echelle de temps a k et a sa dissipation ε :

τ =k

ε(25)

on obtient :

u′xu′

y = −βk2

ε

∂

∂y(ux) (26)

Le terme apparaissant dans l’equation de la quantite de mouvement est alors :

− ∂

∂yu′

xu′y =

∂

∂y

(β

k2

ε

∂

∂y(ux)

)(27)

Si l’on neglige les variations de β k2

ε (qui est une viscosite turbulente), le terme est donc en deriveeseconde de la vitesse moyenne : il s’agit bien d’un terme de diffusion. On verra que le modele k − εpropose une modelisation similaire (avec β = Cµ = 0, 09).

En conclusion, le terme source du au transport par les fluctuations de vitesse a un effet quis’apparente a celui d’un terme de diffusion (melange, homogeneisation).

2.3 Decomposition en valeurs moyennes et fluctuations

2.3.1 Introduction

L’observation d’un signal experimental pris dans un ecoulement turbulent fait apparaıtre des fluc-tuations qui rendent la description instantanee difficile (figure 10).

La repetition de cette experience un ”assez grand” nombre de fois permettra, d’un point de vuestatistique, en moyennant les signaux instantanes obtenus, de retrouver le signal moyen ”lisse”.

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Fig. 10 – Signal instantane et signal moyen

2.3.2 Proprietes des moyennes

On utilisera pour moyenne un operateur · verifiant les proprietes suivantes :

linearite : αf + βg = αf + βg avec α et β constantes

commutativite avec les derivations spatiale et temporelle :

∂f

∂t=

∂f

∂tet

∂f

∂xj=

∂f

∂xj

idempotence : f = f

(28)

On deduit de ces proprietes, que pour la fluctuation f ′ = f − f , on a :

f ′ = 0 (29)

Mais il faut remarquer que :f g 6= f g (30)

2.3.3 Decomposition de Reynolds

Considerons les equations de Navier-Stokes, a masse volumique constante :

∂

∂xj(ρuj) = 0

∂

∂t(ρui) +

∂


∂xiP +

∂

∂xjτij + Si

(31)

La decomposition de Reynolds en moyennes et fluctuations se fait sur la base d’une moyenne statis-tique (qu’il est souvent inutile d’expliciter). Pour les equations de masse et de quantite de mouvement,en supposant constantes les proprietes physiques, on adopte la decomposition suivante pour la vitesseet la pression :

u = u + u′ P = P + P ′ (32)

La decomposition du tenseur des contraintes visqueuses (lineaire par rapport a la vitesse) s’ecrit :

τ = τ + τ ′ (33)

avec :

τij = µ

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)− 2

3µ

∂uk

∂xkδij

τ ′

ij = µ

(∂u′

i

∂xj+

∂u′

j

∂xi

)− 2

3µ

∂u′

k

∂xkδij

(34)

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La decomposition du terme source S se fait sur le meme principe :

S = S + S′ (35)

et dans le cas particulier S = ρg, on aura ici S′ = 0.

En introduisant cette decomposition dans les equations de depart (31), puis en prenant la moyennedu systeme obtenu, on obtient la forme suivante, qui fait apparaıtre en particulier les correlations desfluctuations de vitesse dont il a ete question plus haut :

∂

∂xj(ρuj) = 0

∂

∂t(ρui) +

∂


∂xiP +

∂

∂xjτ ij + Si −

∂

∂xj(ρ u′

ju′i)

(36)

Il est egalement possible, en soustrayant ces equations aux equations de depart portant sur lesvariables non moyennees, d’obtenir des equations portant sur les fluctuations. Elles serviront plusloin :

∂

∂xj(ρu′

j) = 0

∂

∂t(ρu′

i) +∂

∂xj(ρ uju

′

i) = − ∂

∂xiP ′ +

∂

∂xjτ ′

ij + S′

i +∂

∂xj(ρ u′

ju′i) −

∂

∂xj(ρ u′

jui) −∂

∂xj(ρ u′

ju′

i)

(37)

Pour l’equation de l’energie, on procede de meme. Pour alleger l’expose, on s’interesse ici uniquementa l’equation ecrite en temperature, toujours a proprietes physiques constantes :

∂

∂t(ρCpT ) +

∂

∂xj(ρ CpujT ) =

∂

∂xj

(λ

∂T

∂xj

)+ ΦT (38)

Par la meme methode que pour la quantite de mouvement, on obtient :

∂

∂t(ρCpT ) +

∂

∂xj(ρ CpujT ) =

∂

∂xj

(λ

∂T

∂xj

)+ ΦT − ∂

∂xj(ρ Cpu′

jT ′) (39)

et sur les fluctuations :

∂

∂t(ρCpT

′)+∂

∂xj(ρ CpujT

′) =∂

∂xj

(λ

∂T ′

∂xj

)+Φ′

T +∂

∂xj(ρ Cpu′

jT ′)− ∂

∂xj(ρ Cpu

′

jT )− ∂

∂xj(ρ Cpu

′

jT′)

(40)

On remplace donc les equations (31) et (38) par les equations moyennees (Reynolds averagedequations) (36) et (39). Les variables a determiner sont les variables moyennes statistiques u, P et Tet non plus les variables u, P et T . Deux termes supplementaires sont cependant apparus : u′

ju′i et

u′jT ′. Ils doivent etre modelises : c’est toute la question de la modelisation de la turbulence dans le

cadre des equations moyennees au sens de Reynolds.

2.3.4 Masse volumique variable : decomposition de Favre

Lorsque la masse volumique est variable, l’application de la moyenne aux equations (31) et (38)fait apparaıtre les grandeurs ρ, ρui, ρujui, P , ρT et ρujT .

Il est donc pertinent d’appliquer la decomposition de Reynolds a la masse volumique et a la pression :

ρ = ρ + ρ′ et P = P + P ′ (41)

Par contre, si l’on applique la decomposition de Reynolds aux variables vitesse et temperature, ilne sera pas aise de faire apparaıtre ρui et ρT . On prefere donc appliquer la decomposition de Reynoldsa ρui et ρT :

ρui = ρui + (ρui)′

et ρT = ρT + (ρT )′

(42)

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On definit ainsi la decomposition de Favre en valeurs moyennes (ui et T ) et fluctuations associees (u′′

i

et T ′′) :

ui = ui + u′′

i et T = T + T ′′ (43)

avec :

ui =ρui

ρet T =

ρT

ρ(44)

On note en particulier les deux proprietes suivantes :

f = f et ρ f ′′ = 0 (45)

La premiere relation de (45) provient de la definition :

ρf = ρf (46)

dont on prend la moyenne :

ρf = ρf (47)

soit :

ρf = ρf (48)

et donc :

f =ρf

ρ= f (49)

La seconde relation de (45) decoule de (en utilisant la premiere relation de (45) ) :

ρf ′′ = ρf − ρf = ρf − ρf = 0 (50)

A partir des equations (31), on peut ecrire, en utilisant la decomposition de Reynolds :

∂

∂xj(ρuj) = 0

∂

∂t(ρui) +

∂


∂xiP +

∂

∂xjτ ij + Si −

∂

∂xj(ρ u′

ju′i)

(51)

Dans ce systeme, on observe l’apparition d’un terme de correlation des fluctuations de vitesse. Ilprovient de la moyenne du terme de convection, comme on le montre ci-dessous :

∂

∂xj(ρ uj ui) =

∂

∂xj(ρ uj ui)

=∂

∂xjρ uj ui

(52)

et en decomposant la vitesse on obtient effectivement :

ρ uj ui = ρ ˜uj ui +ρ ˜uj u′′i +ρ u′′

j ui +ρ u′′j u′′

i

= ρ uj ui +ρ u′′j u′′

i

(53)

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2.3.5 Densite de probabilite

Supposons que la masse volumique soit fonction d’autres variables f (la fraction massique d’uncomposant par exemple) selon une loi d’etat non lineaire (c’est en particulier le cas en combustion) :

ρ = G(f) (54)

Dans ce cas, le calcul de ρ par l’approche suivante peut conduire a des resultats errones :

ρ = G(f ) (55)

En effet, les valeurs extremes de f ne peuvent etre prises en compte dans ce type d’approche.En consequence, si la loi d’etat doit traduire, par exemple, la presence d’un produit de combustionparticulier a partir d’une certaine richesse du melange reactif, cette utilisation d’une valeur moyennesera inadaptee.

Pour se convaincre (voir figure 11), il suffit de considerer une loi d’etat discontinue autour d’unevaleur f0, soit par exemple ρ = G(f) = 1000 pour f < f0 et ρ = G(f) = 0, 5 pour f > f0. Il s’agit d’uneloi d’etat fictive, mais ce type de non linearite peut se rencontrer, par exemple pour rendre compte d’unmelange gazeux au dessus d’une certaine valeur de f et liquide au dessous. C’est typiquement le caspour la combustion d’un melange d’oxygene liquide et d’hydrogene gazeux, dans lequel f representela concentration d’hydrogene.

Considerons alors une evolution de f telle que l’on ait quasiment toujours f > f0, sauf a quelquesoccasions, ou f << f0, de sorte que la moyenne de f soit f = f0 − ε (ε > 0). On peut imaginer qu’enun point donne, plonge en moyenne dans un flux d’hydrogene, passent occasionnellement des bouffeesd’oxygene liquide tres pur, caracterisees par f << f0.

On voit que l’on aura alors G(f ) = 1000 (liquide) alors que la veritable valeur moyenne devrait etreρ = G(f) ≈ 0, 5 (gazeux).

Fig. 11 – Exemple de moyenne sur une loi d’etat non lineaire

Pour cette raison, une approche particuliere par ”densite de probabilite” (probability density func-tion) peut apporter des solutions. Une demarche possible est la suivante :

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- on se donne a priori la forme d’une distribution P (f) (gaussienne, fonction beta, rectangle etDirac...) qui est alors completement definie par ses p premiers moments (moyenne, variance...) ;

- on ajoute au modele une equation sur chacun des p moments necessaires (f , f ′f ′...) et l’ondetermine ainsi completement P (f) ;

- on determine alors la masse volumique (et plus generalement toutes les variables qui ne sont pasdirectement solution d’une equation d’evolution) par integration sur tout le domaine de definitionde f (suppose etre ici [0 ; 1]) :

ρ =

1∫

0

P (f)G(f)df (56)

Fig. 12 – Exemples de formes de pdf

Cette approche permet donc d’integrer dans le calcul de la valeur moyenne de la masse volumiqueρ l’influence de toute la gamme des valeurs de f dont elle depend a priori, valeurs ponderees par laprobabilite qu’elles soient atteintes localement.

2.3.6 Ergodicite

Assez souvent, on peut realiser l’hypothese que l’operateur de moyenne statistique est equivalent aun operateur de moyenne temporelle : c’est l’hypothese d’ergodicite. Il est necessaire que l’intervalled’integration soit superieur a l’echelle de temps caracteristique en dessous de laquelle les phenomenessont correles (duree de vie des tourbillons). De plus, l’intervalle d’integration ne peut etre pris arbi-trairement grand si l’ecoulement n’est pas stationnaire (il faut eviter d’inclure dans les operations demoyennes des variations liees a des changements de regime macroscopiques).

f(x, y, z) = limT→∞

T∫

0

f(x, y, z; t)dt (57)

De meme, lorsque l’ecoulement est homogene (ou a une direction d’homogeneite) il est possible deremplacer la moyenne statistique par une moyenne spatiale. Le volume d’integration doit etre superieura celui des structures coherentes.

f(t) = limΩ→∞

∫

Ω

f(x, y, z; t)dx dy dz (58)

Il n’est pas, en general, necessaire de specifier precisement quelle moyenne est utilisee puisquela resolution des equations (36) et (39) produit directement des variables ”moyennes” qui, dans unnombre de cas assez important, peuvent satisfaire l’ingenieur. Neanmoins, il convient d’etre conscientqu’il s’agit de valeurs moyennes statistiques et qu’elles ne peuvent donc generalement pas rendrecompte des extrema tres locaux ou tres transitoires, quels que soient le raffinement du maillage et lamodelisation employee. Pour obtenir de telles informations, il est necessaire d’abandonner l’approchepar ”moyenne” (ou Reynolds Averaged). On se tourne alors, selon le domaine d’application et lesbesoins et les ressources, vers des simulations numeriques directes (Direct Numerical Simulation) ouvers la simulation des grandes echelles (Large Eddy Simulation).

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3 La cascade energetique

3.1 Introduction

On se propose de presenter ici le mode de transfert de l’energie (cinetique) de l’ecoulement moyenvers les plus petites structures qui la dissipent sous forme de chaleur (on rappelle que selon le premierprincipe, l’energie cinetique ne se conserve pas et qu’elle peut etre transformee en energie interne,en particulier par le travail des forces visqueuses). Pour simplifier l’expose, on se place a proprietesphysiques du fluide uniformes en espace et constantes en temps.

3.2 Equation de l’energie cinetique turbulente

Une equation de l’energie cinetique turbulente (energie cinetique liee aux fluctuations de vitesse)peut etre obtenue a partir de la seconde equation de (37) que l’on simplifie comme suit en utilisantles 2 equations issues de la conservation de la masse (premiere equation de (36) et premiere equationde (37)) :

ρ∂

∂t(u′

i)+ρ uj∂

∂xj(u′

i) = − ∂

∂xiP ′+µ

∂2

∂x2j

(u′

i)+S′

i+ρ∂

∂xj(u′

ju′i)−ρ

∂

∂xj(u′

jui)−ρ∂

∂xj(u′

ju′

i) (59)

On multiplie cette equation par u′

i, on somme sur i variant de 1 a 3 et on prend la moyenne, ennotant k = 1

2u′iu′

i :

ρ∂k

∂t︸︷︷︸Instationnaire

+ ρ uj∂k

∂xj︸︷︷︸Convection

= µ∂2k

∂x2j︸︷︷︸

Diffusion moleculaire

−µ∂u′

i

∂xj

∂u′i

∂xj︸︷︷︸Dissipation

+u′iS′

i

−ρ u′iu′

j∂ui

∂xj︸︷︷︸Production et Destruction

− ∂

∂xi(u′

iP ′) − ρ1

2

∂

∂xj(u′

iu′iu′

j)

︸︷︷︸Diffusion turbulente

(60)

Le terme de ”production et destruction” traduit le transfert d’energie entre le mouvement moyen etle mouvement fluctuant. Son signe n’est pas necessairement positif (les structures turbulentes peuventlocalement et temporairement fournir de l’energie au mouvement moyen).

Le terme de ”diffusion turbulente” traduit le transport (la redistribution spatiale) de la part fluc-

tuante de l’energie h′ = P ′ + 12

3∑i=1

u′2i puisqu’il s’ecrit −u′

j∂h′

∂xj.

Le terme de ”dissipation” est une contribution de signe negatif. Il traduit la destruction de l’energiecinetique liee au mouvement fluctuant par la viscosite moleculaire. Il agit aux plus petites echelles dela turbulence.

Sous cette forme, l’equation de k n’a qu’un interet pratique limite, mais elle va tout de memepermettre de presenter des considerations simples relatives au spectre d’energie cinetique turbulentedans un ecoulement homogene. En outre, on la reutilisera plus loin pour eclairer certains aspects relatifsau modele k − ε.

3.3 Turbulence homogene isotrope

3.3.1 Introduction

La turbulence est dite homogene isotrope lorsque toutes les grandeurs statistiques basees sur lesfluctuations (vitesse et pression) sont uniformes en espace dans toutes les directions. Dans ces condi-tions, il est alors legitime de remplacer les moyennes statistiques par des moyennes spatiales.

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On a donc en particulier, pour l’energie cinetique turbulente :

k =1

2u′

j(x, t)u′j(x, t) =

1

2lim

X→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

u′

j(x, t)u′

j(x, t)dx (61)

Cette configuration va permettre de presenter quelques considerations simples relatives au spectred’energie turbulente et aux echelles de longueur associees.

3.3.2 Transformees de Fourier

La transformee de Fourier des fluctuations de vitesse satisfait la relation :

u′

j(x, t) =

∫

IR3

u′

j(K, t)exp (i(K · x)) dK (62)

Et pour l’energie cinetique turbulente on a alors (en utilisant la moyenne spatiale comme moyennestatistique) :

k =1

2u′

j(x, t)u′j(x, t) =

1

2lim

X→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

u′

j(x, t)u′

j(x, t)dx

=1

2lim

X→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

∫

IR3

u′

j(K, t)exp (i(K · x)) dK

∫

IR3

u′

j(L, t)exp (i(L · x)) dL

dx

=1

2lim

X→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

∫

IR3

∫

IR3

u′

j(K, t) u′

j(L, t) exp (i(K + L) · x)) dK dLdx

(63)

Si l’on integre d’abord en x, l’integrale de l’exponentielle s’annule hormis pour K + L = 0.

En outre, la definition de la transformee inverse donne :

u′

j(K, t) =1

(2π)3

∫

IR3

u′

j(x, t)exp (−i(K · x)) dx (64)

et on a donc en particulier

u′

j(−K, t) = u′∗

j (K, t) (65)

On obtient donc finalement :

k =1

2

∫

IR3

u′

j(K, t) u′∗

j (K, t) dK(66)

Si l’on se place en coordonnees spectrales spheriques (pour s’affranchir de la direction du vecteurd’onde) on peut definir une densite spectrale d’energie sur des spheres de rayon K = ||K|| :

E(K) =

φ=π/2∫

φ=−π/2

θ=2π∫

θ=0

1

2u′

j(K, t) u′∗

j (K, t) K2 cosφ dφ dθ (67)

et l’energie cinetique turbulente s’ecrit alors :

k =

∞∫

0

E(K)dK (68)

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De la meme maniere, on peut preciser la forme de la dissipation (en fonction de la viscositemoleculaire cinematique ν = µ/ρ) :

ε = ν∂u′

m(x, t)

∂xj

∂u′m(x, t)

∂xj= ν lim

X→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

∂u′

m(x, t)

∂xj

∂u′

m(x, t)

∂xjdx

= limX→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

∫

IR3

i Kj u′

m(K, t)exp (i(K · x)) dK

∫

IR3

i Lj u′

m(L, t)exp (i(L · x)) dL

dx

= limX→∞

1

(2 X)3

∫

[−X ; X]3

∫

IR3

∫

IR3

−Kj Lj u′

m(K, t) u′

m(L, t) exp (i(K + L) · x)) dK dL dx

=

∫

IR3

K2 u′

m(K, t) u′∗

m(K, t) dK

(69)

On peut rapprocher cette expression de celle etablie pour k, soit :

ε = ν

∞∫

0

2 K2 E(K)dK (70)

et on definit ainsi la densite spectrale de dissipation :

D(K) = 2 ν K2 E(K) (71)

3.3.3 Cascade de Kolmogorov

Sur la base des considerations precedentes, on peut faire les observations suivantes :

- La densite spectrale d’energie E(K) est naturellement nulle pour les nombres d’onde K nuls (lesstructures de taille infinie). Il en est de meme pour la densite spectrale de dissipation D(K).

- Par ailleurs, la dissipation etant finie, il est necessaire que E(K) tende vers 0 au moins aussi viteque 1

K3 (l’integrale (70) doit converger).

- La relation D(K) = 2 ν K2 E(K) indique que la dissipation atteint son maximum pour un nombred’onde plus grand que l’energie : les structures qui portent l’energie sont donc de plus grandetaille que celles qui les dissipent.

- Si l’on considere une fluctuation monodimensionnelle constituee d’un seul mode (par exempleune fonction cosinus telle que u′(x, t) = u′(t)cos(Kx)), on constate que le terme non lineaire des

equations de Navier-Stokes (u′ ∂u′

∂x ) genere une fluctuation de nombre d’onde double :

(u′(t))2Kcos(Kx)sin(Kx) =1

2(u′(t))2Ksin(2Kx)

Ceci traduit la generation de petits tourbillons a partir des grands, ou, autrement dit, le transfertd’energie des grandes vers les petites structures.

En accord avec ces observations, le modele de Kolmogorov fait les hypotheses suivantes :

- l’energie k est essentiellement portee par les grandes structures qui ne voient pas directement laviscosite du fluide,

- la dissipation ε est essentiellement due aux petites structures, qui sont detruites par l’effet de laviscosite du fluide,

- l’energie dissipee par les petites structures provient des grandes, cette redistribution sur tous lesnombres d’onde etant realisee par les termes non lineaires.

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On deduit alors les echelles de longueur suivantes.

- L’echelle integrale Lt caracterise la taille des plus grands tourbillons1 . Elle ne depend pasdirectement de la viscosite. Elle est liee :

- a l’energie turbulente k, puisque les grandes structures portent l’essentiel de k, et

- a la dissipation, puisque ε indique a quelle vitesse les grandes structures sont detruites pouren former de plus petites (ce qui limite donc naturellement leur taille).

- L’echelle de Kolmogorov λ0 caracterise la taille des plus petites structures (largement plusgrande que l’echelle du mouvement brownien). L’echelle de Kolmogorov ne depend pas directe-ment de l’energie k. Elle depend :

- de la viscosite du fluide, puisqu’en dessous d’une certaine taille, la viscosite transforme lesstructures en chaleur et

- de la dissipation.

Par analyse dimensionnelle, ces deux echelles s’ecrivent :

Lt =k

3

2

εet λ0 =

(ν3

ε

) 1

4

(72)

Entre ces deux echelles, l’etendue du spectre est donnee par (on elimine ε) :

Lt

λ0=

(k

1

2 Lt

ν

) 3

4

= (Ret)3

4 (73)

La valeur du nombre de Reynolds turbulent Ret n’intervient donc pas directement dans lataille des structures (ni des grandes, ni des petites), par contre, elle conditionne l’etendue du spectre.Pour des nombres de Reynolds turbulents assez grands (> 1000) les petites et les grandes structuressont ainsi clairement separees par une zone inertielle dans laquelle transite l’energie. Dans cette zone,l’energie se repartit sur toute la gamme des structures pour qu’une puissance ε puisse etre dissipee enbout de chaıne. Pour un nombre d’onde donne K, la densite spectrale d’energie est donc uniquementliee a la dissipation et au nombre d’onde ; par analyse dimensionnelle, on a alors :

E(K) = Cε2

3 K−5

3 (74)

Cette loi en − 53 est tres bien verifiee experimentalement (avec C de l’ordre de 1, 5).

On peut egalement ecrire pour la dissipation :

D(K) = 2 ν Cε2

3 K1

3 (75)

Finalement, on represente ces relations sous une forme classique (diagramme log-log), figure 13.

Ces considerations permettent deja de noter qu’il sera difficile de representer numeriquement latotalite des echelles de longueur pour les calculs a grand nombre de Reynolds (voir les methodes LESet DNS). En outre, la forme des spectres indique que, a partir d’un nombre de Reynolds assez grand(une fois la zone inertielle etablie), le comportement qualitatif d’un ecoulement donne changera peu(la zone inertielle s’allonge simplement).

4 Modelisation de la turbulence

4.1 Introduction

On a vu plus haut que le spectre des echelles des structures turbulentes s’etendait sur une largegamme, d’autant plus grande que le nombre de Reynolds etait eleve. La resolution directe des equations

1On peut avoir une idee de l’echelle integrale en considerant les caracteristiques geometriques du domaine (plusieurskilometres ou milliers de kilometres dans l’atmosphere, de l’ordre du diametre hydraulique dans une conduite...).

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Grandes Structures inertielle

ZoneStructuresPetites

Echelle de KolmogorovEchelle integraleK

D(K)

E(K)

Pente a −5/3

Fig. 13 – Representation classique pour le spectre d’energie en turbulence homogene isotrope.

de Navier-Stokes en prenant en compte toutes ces echelles conduit a des nombres de mailles trop elevesen pratique (voir le paragraphe DNS). La simulation numerique sur la base des equations moyennees(Reynolds Averaged Navier-Stokes Equations, ou RANSE) s’est averee, jusqu’a aujourd’hui, indispen-sable pour la grande majorite les problemes industriels.

Rappelons ici les equations (36) et (39) de masse, de quantite de mouvement et de temperature(energie), moyennees au sens statistique de Reynolds :

∂

∂xj(ρuj) = 0

∂

∂t(ρui) +

∂


∂xiP +

∂

∂xjτ ij + Si −

∂

∂xj(ρ u′

ju′i)

∂

∂t(ρCpT ) +

∂

∂xj(ρ CpujT ) =

∂

∂xj

(λ

∂T

∂xj

)+ ΦT − ∂

∂xj(ρ Cpu′

jT ′)

(76)

A ces equations est habituellement adjointe une equation d’etat permettant de definir la massevolumique ρ (valeur constante, approximation de Boussinesq...), de sorte que l’on dispose de quatreequations pour quatre inconnues ρ, u, P et T .

Les proprietes physiques du fluide (λ, Cp, µ...) et les termes sources (S, ΦT ) sont supposes connus.

Il reste a determiner les correlations ”en un point”2 des fluctuations de vitesse et de temperature(u′

ju′i et u′

jT ′). Le tenseur des correlations des fluctuations de vitesse est appele le tenseur descontraintes turbulentes ou tenseur de Reynolds. Le vecteur des correlations des fluctuations devitesse et de temperature est le vecteur des flux turbulents.

La modelisation de la turbulence dont il est question dans le present paragraphe n’est destinee qu’afournir un moyen d’evaluer ces quantites afin de fermer le systeme (76).

On presentera deux classes essentielles de modeles.

- La premiere est celle des modeles a viscosite turbulente pour lesquels on evalue le tenseurs descontraintes turbulentes a partir du tenseur des deformations. La loi peut etre une simple pro-portionnalite avec pour coefficient une ”viscosite” turbulente que l’on calcule de maniere plus oumoins sophistiquee (valeur constante, fonction de quantites transportees...). On peut egalement

2On parle de correlations en un point car il s’agit de correlations de variables prises au meme point de l’espace et aumeme instant.

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adopter des lois non lineaires, faisant intervenir les invariants du tenseur des deformations. Onpresentera essentiellement deux modeles importants (longueur de melange et k − ε).

- La seconde classe est celle des modeles aux tensions de Reynolds, pour lesquels on resout uneequation de transport pour chacune des composantes du tenseur des contraintes turbulentes (cequi ajoute donc 6 inconnues au modele).

On ne presentera pas ici les modelisations specifiques fines pour les flux thermiques. On se contenterade presenter un modele relativement courant base sur une hypothese de viscosite turbulente (voir lemodele k − ε).

On notera µ la viscosite dynamique moleculaire et µt l’equivalent turbulent (kg m−1s−1). On noteraν = µ/ρ la viscosite cinematique moleculaire et νt l’equivalent turbulent (m2s−1).

4.2 Modeles a viscosite turbulente

4.2.1 Introduction

Dans les modeles a viscosite turbulente (en Anglais, ”Eddy-Viscosity Model”), la modelisation dutenseur de Reynolds (contraintes turbulentes) s’appuie sur le tenseur des deformations.

De nombreuses approches sont possibles. On s’interesse ici essentiellement aux modeles pour lesquelsla viscosite turbulente depend lineairement du tenseur des deformations. Ce sont les plus repandus etceux dont le pectre d’utilisation est le plus large. Le paragraphe 4.2.7 propose quelques extensions.

Le cadre de travail le plus repandu (et le plus ancien, du a Boussinesq en 1877) propose unemodelisation calquee sur l’expression des contraintes visqueuses pour un fluide newtonien, soit :

u′ju′

i −2

3k δij = −νt

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)+

2

3νt

∂uk

∂xkδij

= −2 νt Sij +2

3νt Skk δij

avec Sij =1

2

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)(77)

Il s’agit a present de definir la viscosite turbulente νt qui est le seul degre de liberte du modele3.

Remarque

Cette formulation conduit a l’expression suivante du terme de production de la turbulence4 (voirl’equation (60)) :

ρ Pk = −1

2ρ u′

iu′j

∂ui

∂xj= 2µtSijSij (78)

Ainsi :

- le terme Pk est toujours positif avec ce modele (ce n’est pas toujours vrai en realite),

- la production est importante dans les zones de cisaillement et dans les zones d’impact en par-ticulier (en realite, l’energie turbulente obtenue dans les zones d’impact est surestimee avec cetype de modele),

3En realite, l’energie cinetique turbulente k est egalement une inconnue du probleme, puisque le terme qui apparaıtau second membre de l’equation de la quantite de mouvement est −

∂∂xj

(ρ u′ju′

i) et non pas celui que l’on a modelise

ici, − ∂∂xj

(ρ (u′ju′

i −2

3k δij)). Neanmoins, comme le terme dependant de k est un gradient, il s’ajoute naturellement

au gradient de pression, et disparaıt formellement des lors que l’on utilise la variable P1 = P −

2

3ρ k en lieu et place de

P . Bien que ceci importe peu tant que la pression n’a pas de signification thermodynamique, il faut garder a l’espritque le gradient de la variable pression P1 (souvent notee simplement P ) contient une part liee a l’energie turbulente(generalement non nulle, meme si elle est souvent faible en valeurs relatives).

4Pour alleger l’expose, on elimine les termes en divu qui sont exactement nuls si la masse volumique est uniforme.

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- la production turbulente s’annule pour les ecoulements ”rotationnels” (tenseur des deformationsnuls, mais gradient de vitesse non nul),

- le modele produit de la turbulence des lors que le tenseur des deformations n’est pas nul. Il n’ya aucune relaxation spatio-temporelle (dans la realite, le tenseur des contraintes turbulentes nes’aligne pas instantanement avec celui des deformations).

4.2.2 Viscosite constante

La modelisation la plus simple pour la viscosite turbulente est due a Boussinesq :

νt = cste (79)

Le domaine d’application de cette loi est limite a certains ecoulements atmospheriques, a certains jetslibres ou ecoulements en canalisation, lorsque l’on ne s’interesse pas a des caracteristiques trop localesde l’ecoulement. La determination de la constante s’appuie sur des mesures experimentales.

4.2.3 Longueur de melange : hypothese de Prandtl (1925)

Expression de la viscosite turbulente

L’observation experimentale permet de remarquer que le melange est meilleur lorsque les grossesstructures (de taille Lt) sont plus grandes et d’autant plus rapide que la vitesse des tourbillons (

√k) est

elevee. Il s’ensuit par analyse dimensionnelle qu’une modelisation admissible de la viscosite turbulenteest :

νt =√

kLt (80)

On cherche alors a s’affranchir des grandeurs turbulentes pour calculer facilement la viscosite.

- L’echelle des grands tourbillons est Lt = k3

2

ε . On l’assimile a l’echelle integrale Lm, reliee auxdimensions caracteristiques macroscopiques du domaine.

- On se place dans l’hypothese d’equilibre Pk = ε, soit donc 2νtSijSij = ε (Sij est le tenseurdes deformations). Cette hypothese signifie que la quantite d’energie turbulente produite par lesgradients moyens est dissipee localement et instantanement par la viscosite moleculaire (il s’agitd’une simplification de l’equation de l’energie cinetique turbulente (60)).

Avec la definition de la taille des grands tourbillons et l’hypothese d‘’equilibre local, on obtientdonc une expression de la viscosite turbulente qui ne depend que des gradients de la vitesse moyenneet d’une longueur caracteristiques ou longueur de melange qu’il faut alors prescrire5 :

νt = L2m

√2 Sij Sij (81)

Choix de la longueur de melange

L’approche s’applique bien a des ecoulements simples qui presentent une direction preferentielle etdes gradients dans la direction transverse : couches limites, jets... Elle a ete largement utilisee et l’esttoujours, en particulier, dans les ecoulements aerodynamiques externes, sous la forme des modeles deCebeci-Smith [5] et Baldwin-Lomax [2] par exemple. En effet, dans ce type d’ecoulements, la turbulencese manifeste dans une zone bien localisee, proche des parois (voilures) et la taille des structures se relienaturellement a l’epaisseur de la couche limite (taille caracteristique Lm egale a environ un dixiemede l’epaisseur de couche limite).

L’approche par longueur de melange est egalement utilisee pour les ecoulements atmospheriquessous la forme du modele de Louis par exemple [12] (Meteo France). Dans ce modele, la longueurcaracteristique depend de la distance au sol, du nombre de Richardson, du vent et de la temperature.

5Cette modelisation a ete proposee par Prandtl sous la forme νt = L2m

‚

‚

‚

∂u1

∂x2

‚

‚

‚pour un ecoulement cisaille (vitesse

principale dans la direction x1 presentant un gradient dans la direction x2).

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Pour certains ecoulements elementaires, on pourra adopter les valeurs du tableau 1, proposees parRodi (δ etant l’epaisseur de couche limite mesuree au point ou la vitesse retrouve 99% de sa valeur al’infini).

Couche de Jet plan Jet rond Sillage planmelange

Lm/δ 0,07 0,09 0,075 0,16

Tab. 1 – Longueur de melange pour quelques ecoulements classiques (Rodi).

Plus generalement, on peut proposer une modelisation de la longueur de melange qui s’appuie surle fait que la taille des tourbillons est limitee par la presence des parois et que, loin de celles-ci (a partird’une distance que l’on peut determiner experimentalement), leur taille tend a se stabiliser. En notantκ = 0, 42 la constante de Karman et y la distance a la paroi, on a :

Lm = κ y pour y < 0, 2δ= κ 0, 2 δ pour y > 0, 2δ

(82)

Pour les ecoulements externes, δ est l’epaisseur de la couche limite. Pour les ecoulements internes, onutilise generalement δ = RH (Rayon hydraulique).

4.2.4 Longueur de melange : application a un ecoulement entre deux plaquesplanes paralleles

Le modele de longueur de melange permet de retrouver des lois verifiees experimentalement pourl’ecoulement bidimensionnel entre deux plaques planes paralleles, infinies, separees par une distance∆ y = 2 e. La direction x est la direction de l’ecoulement, de vitesse u(y). La direction y est normaleaux plaques (vitesse correspondante v = 0). Dans la direction z, la vitesse est w = 0.

Les equations de la quantite de mouvement stationnaires, moyennees au sens de Reynolds, s’ecrivent,avec une masse volumique et une viscosite moleculaire constantes et uniformes :

0 = − ∂

∂xP +µ

∂2

∂y2u −ρ

∂

∂y(u′v′)

0 = − ∂

∂yP −ρ

∂

∂y(v′v′)

(83)

On peut remarquer au passage que l’integration de la premiere equation sur une longueur ∆ x dudomaine indique que la chute de pression lineique (la perte de charge) est due a l’action des contraintesvisqueuses et turbulentes sur les parois.

On va a present utiliser ces equations pour ecrire une loi de variation de vitesse en proche paroi,loi qui est souvent utilisee par ailleurs dans de nombreux modeles plus sophistiques que le modele delongueur de melange et dans des configurations complexes tres eloignees de l’ecoulement elementaireconsidere ici.

Comme v′v′ est independant de x, la premiere equation se reecrit :

∂

∂x(P + v′v′) = µ

∂2

∂y2u − ρ

∂

∂y(u′v′) (84)

D’apres la seconde equation de (83), P + ρv′v′ est independant de y. On en deduit que dans (84),le premier membre est fonction de x uniquement. Comme le second membre n’est fonction que de y,

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les deux membres de (84) sont donc constants, soit −τp/e. Par integration (en utilisant la symetrie eny = e), on a donc :

τp(1 − y/e) = µ∂

∂yu − ρu′v′ (85)

Au passage, en prenant y = 0 dans cette relation, on note que τp represente la contrainte de cisaillementtotale (visqueuse et turbulente) en paroi.

On introduit le modele de viscosite turbulente :

τp(1 − y/e) = (µ + µt)∂

∂yu (86)

On introduit le modele de longueur de melange :

τp(1 − y/e) =

(µ + ρ L2

m

∥∥∥∥∂

∂yu

∥∥∥∥)

∂

∂yu (87)

On definit la vitesse de frottement u∗ =√

τp/ρ et les grandeurs adimensionnelles suivantes :

u + =u

u∗y+ =

yu∗

νLm

+ =Lmu∗

νy+ =

yu∗

ν(88)

On a alors, en divisant (87), l’equation de quantite de mouvement adimensionnelle dans la directionx, par τp = ρu∗2 :

1 − y+/e+ =

(1 + L+

m2∥∥∥∥

∂

∂y+u +

∥∥∥∥)

∂

∂y+u + (89)

Pour faciliter l’integration et l’obtention d’une loi pour u +, on considere deux zones selon les valeursde Lm :

• dans la sous-couche visqueuse, Lm tend vers 0, y+ tend vers 0 et on a donc

1 =∂

∂y+u + (90)

on obtient donc un profil lineaire :

u + = y+ (91)

• au dela de la sous-couche visqueuse, pour y+ > 30 (mais avec encore y+ << e+) on a, selonl’hypothese presentee plus haut, L+

m = κy+ >> 1, soit :

1 =

(κy+ ∂

∂y+u +

)2

(92)

on obtient donc un profil logarithmique (avec C = 5, 2 obtenu experimentalement) :

u + =1

κln(y+) + C (93)

Le point d’intersection de ces lois se situe a y+l ≈ 11 (figure 14). Elles sont en bon accord avec

les profils mesures experimentalement (bien que des variantes plus precises existent) et servent pourla representation de la couche limite dans nombre de modeles plus sophistiques (par exemple dans lesversions ”haut-Reynolds” des modeles k − ε ou Rij − ε, en LES en l’absence de traitement specifiquedes parois...).

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u + = y+ pour y+ 6 y+

l

=1

κln(y+) + C pour y+ > y+

l

0 2 4 6 8 10 12y+

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

u+

ln(y+)/0.42+5.2y+2ln(y+)/0.42+5.22y+2/0.42

Fig. 14 – Vitesse adimensionnelle en paroi.

4.2.5 k − l

Dans le cadre des modeles a viscosite turbulente, on cherche a determiner la viscosite turbulenteνt, donnee par analyse dimensionnelle par :

νt =√

kL (94)

En supposant la longueur L donnee, il reste a determiner k. Il est donc naturel de penser a resoudrel’equation de transport (60) deja presentee. Ceci permet un degre de raffinement supplementaire parrapport au modele de longueur de melange, dont les applications restent tres ciblees (et requierent enoutre un lourd travail de calage).

L’equation (60) est rappelee ici :

ρ∂k

∂t︸︷︷︸Instationnaire

+ ρ uj∂k

∂xj︸︷︷︸Convection

= µ∂2k

∂x2j︸︷︷︸

Diffusion moleculaire

−µ∂u′

i

∂xj

∂u′i

∂xj︸︷︷︸Dissipation

+u′iS′

i

−ρ u′iu′

j∂ui

∂xj︸︷︷︸Production et Destruction

− ∂

∂xi(u′

iP ′) − ρ1

2

∂

∂xj(u′

iu′iu′

j)

︸︷︷︸Diffusion turbulente

(95)

Un travail de modelisation est necessaire pour pouvoir resoudre cette equation :

• le terme de dissipation se note ρε. La dissipation est reliee a la longueur de melange par la relation

L = Cµk

3

2

ε (avec Cµ = 0, 09, coherente avec le modele k − ε presente plus loin) soit donc, ensupposant la longueur de melange connue :

ε = Cµk

3

2

L(96)

• le terme ”production et destruction” est ici un terme de production, (78) :

ρPk = 2µtSijSij (97)

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• la somme du terme de diffusion moleculaire et du terme de diffusion turbulente se modelisecomme un terme de diffusion, soit (σk est determine experimentalement, voir le modele k − ε) :

µ∂2k

∂x2j

− ∂

∂xi(u′

iP ′) − ρ1

2

∂

∂xj(u′

iu′iu′

j) =µt

σk

∂2

∂x2j

k (98)

• le terme de correlation u′iS′

i n’est pas detaille ici : il demande une modelisation specifique, selonla physique mise en jeu.

Pour determiner νt, on doit donc :

• fixer la longueur de melange L

• resoudre l’equation sur l’energie cinetique turbulente k, en notant ε = Cµk

3

2

L :

ρ∂k

∂t+ ρ uj

∂k

∂xj=

µt

σk

∂2k

∂x2j

+ ρ Pk − ρε + u′iS′

i (99)

Ce type de modele ”a une equation de transport” (pour k) est cependant d’utilisation limitee. Eneffet, lorsque l’on souhaite employer un modele plus sophistique qu’un simple modele a longueur demelange, c’est souvent directement vers un modele a deux equations de transport (k − ε) que l’on setourne.

4.2.6 Le modele de viscosite turbulente a deux equations k − ε

Equations de transport pour les variables turbulentes

On cherche, ici encore, a obtenir une valeur de νt, mais cette fois en s’affranchissant de la necessitede specifier une longueur de melange. A partir de l’hypothese de Prandtl :

νt =√

kLt (100)

l’analyse dimensionnelle fournit une valeur de l’echelle des grands tourbillons et permet de relier laviscosite aux deux variables k et ε. On fait apparaıtre un coefficient de proportionnalite qui est obtenuexperimentalement (usuellement Cµ = 0, 09) :

Lt = Cµk

3

2

ε(101)

et donc :

νt = Cµk2

ε(102)

Pour determiner νt, il faut alors calculer les deux variables k et ε.

Pour cela, on reprend l’equation sur k presentee pour le modele k−l (pour alleger l’expose, on aban-donne le terme u′

iS′i), mais la dissipation turbulente n’est plus deduite d’une longueur de melange :

elle est obtenue comme solution d’une equation de transport, calquee6 sur l’equation de k.

Les equations s’ecrivent (sans prise en compte des effets de gravite) comme suit (il s’agit desequations du modele k − ε de Launder et Spalding [11], dit ”haut-Reynolds”) :

ρ∂k

∂t+ ρ uj

∂k

∂xj=

µt

σk

∂2k

∂x2j

+ ρ Pk − ρε

ρ∂ε

∂t+ ρ uj

∂ε

∂xj=

µt

σε

∂2ε

∂x2j

+ ρε

k(Cε1

Pk − Cε2ε)

(103)

Les constantes determinees a partir d’experiences elementaires sont presentees dans le tableau 2.

6En theorie, on peut, comme pour k, deduire une equation pour ε en partant directement de sa definition

ε = −µ∂u′

i∂xj

∂u′

i∂xj

. Neanmoins, cette equation est peu maniable en pratique car elle fait intervenir de trop nombreuses

correlations.

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Cµ σk σε Cε1Cε2

0, 09 1 1, 3 1, 44 1, 92

Tab. 2 – Constantes du k − ε.

Comportement en proche paroi

L’appellation ”haut-Reynolds” peut etre trompeuse. Elle fait reference a des modeles bien adaptesen dehors des sous-couches visqueuses, c’est-a-dire lorsque les effets visqueux sont localement negligeablesdevant les effets turbulents. Dans un ecoulement a ”haut nombre de Reynolds”, en particulier, la sous-couche visqueuse est fine et il est donc possible (selon la nature et la precision des informationsrecherchees) de se satisfaire d’un modele ”haut-Reynolds”, qui sera bien adapte dans la plus grandepartie du domaine.

Par contre, il faut generalement s’abstenir d’appliquer un modele purement ”haut-Reynolds” dansles sous-couches visqueuses. Il faut en particulier veiller, dans les applications numeriques, a ce que lataille des mailles de paroi soit suffisamment grande : plus grande que la sous-couche visqueuse et engeneral caracterisee par une epaisseur adimensionnelle y+ = yu∗

ν > 30. Dans cette relation, y representela demi-hauteur des mailles de paroi (distance du centre des mailles a la paroi) et u∗ est une ”vitessede frottement” locale, qui n’est connue precisement qu’a posteriori mais que l’on peut prendre egale a10% de la vitesse moyenne en premiere approximation.

Dans de nombreux ecoulements industriels, le nombre de Reynolds est si eleve que l’on n’a enpratique aucune difficulte a satisfaire cette contrainte sur la taille des mailles de paroi (les limitationsdes calculateurs bornent naturellement le nombre de mailles et la taille des mailles de paroi est doncsouvent suffisament grande). Neanmoins, il faut preter une attention particuliere a la generation dumaillage lorsque la viscosite du fluide est variable, que la geometrie peut faire apparaıtre des zonesmortes, ou que d’importants phenomenes de convection naturelle doivent etre pris en compte.

La notion de loi de paroi (”wall function” ou “law of the wall”) decoule de cette notion de modele”haut Reynolds”. En effet, le modele n’etant pas adapte a la sous-couche visqueuse, il faut eviter deresoudre ses equations dans cette zone. On utilise alors des ”lois de paroi”, lois analytiques qui, integreesau travers de la premiere maille en paroi, permettent de representer le comportement de la couche limite(sans la mailler finement). Les lois adimensionnelles determinees pour un ecoulement stationnaire surune plaque plane (logarithmique pour la vitesse et la temperature, en 1/y pour la dissipation...) sontgeneralement adoptees, quelle que soit la configuration locale et instantanee de l’ecoulement (on peutdonc naturellement s’interroger sur leur validite, en particulier lorsqu’interviennent des forces de volumeimportantes, de forts gradients de pression adverses, des effets de courbure notables...).

Une autre demarche permet de s’affranchir de cette approche par lois de paroi. Elle repose sur desvariantes des modeles de turbulence dites ”bas Reynolds” qui font intervenir des effets d’amortissementen proche paroi et permettent alors de resoudre correctement la sous-couche visqueuse [4]. Les equationsregissant l’evolution des grandeurs (k et ε) sont modifiees et il devient alors indispensable de maillerfinement la couche limite, jusqu’a placer plusieurs mailles a y+ 6 1. De ce fait, des lors que le nombrede Reynolds moyen s’eleve, meme moderement (10000 ou 100000), la diminution de l’epaisseur de lacouche limite se traduit par la necessite d’utiliser des mailles tres fines et, par voie de consequence,des maillages tres volumineux (a plusieurs millions de mailles). Des modeles bas Reynolds ont etedeveloppes tres tot, mais sont d’utilisation souvent delicate. On note cependant quelques approchesrecentes prometteuses dont le v2 − f (version φ model, [25] par exemple, decrit plus loin).

Atouts et limitations

Le modele k − ε haut Reynolds presente de nombreux avantages :

• il s’agit d’un modele relativement simple, ne demandant que deux equations supplementaires (ket ε), disponible dans (presque) tous les codes,

• le modele presente une grande robustesse qui permet en particulier d’aborder des physiques raides

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sans trop de difficulte (cette robustesse est due au fait que le modele depend essentiellement de sestermes sources, par opposition a des modeles pour lesquels les termes de transport, differentielsd’ordre 1 en espace, sont preponderants)

• de par son anciennete (Launder Spalding 1974), le modele k − ε a un comportement et deslimitations bien connues,

• moyennant ces limitations, le domaine d’application du modele est relativement large (ecoulementsinternes et externes, prise en compte de certains effets thermiques...)

Le modele a cependant des inconvenients et des limitations. On pourra se reporter par exemple audocument [27] qui en propose une synthese complete et tres accessible.

• L’energie cinetique turbulente est surestimee dans les regions d’impact et de reattachement. Ceciconduit en particulier a une large surestimation des transferts thermiques et rend plus diffi-cile l’apparition de detachements tourbillonnaires (derriere un obstacle par exemple). Ces deuxphenomenes vont de pair avec un niveau de turbulence trop eleve. En effet, pour l’aspect ther-mique, plus la turbulence est forte en paroi, plus le melange est efficace et mieux la chaleur peutetre transferee de la proche paroi vers l’ecoulement. Pour l’aspect ”detachement tourbillonnaire”,plus la turbulence est forte en paroi, moins les couches limites se detachent7 (on observe des pro-fils ”bouchons” alors que les ecoulements laminaires ou a faible niveau de turbulence ont plutotdes profils paraboliques). Des corrections du terme de production sont possibles (par exemple [8][14]).

• Les recirculations dans un ecoulement a ”swirl” sont sous-estimees (on peut rapprocher ce com-portement du caractere ”diffusif” du modele qui modelise les tensions de Reynolds sous laforme d’un terme diffusif). Les modeles de transport des tensions de Reynolds sont susceptiblesd’ameliorer les predictions (ainsi que certains modeles a viscosite turbulente ”non-lineaires”).

• Les ecoulements a forts effets de gravite ou dans lesquels les lignes de courant sont tres courbessont generalement assez mal apprehendes par le modele k − ε (les modeles de transport destensions de Reynolds sont souvent mieux adaptes).

• Les separations sous l’effet d’un gradient de pression adverse sont mal prises en compte (laseparation est sous-estimee). Le modele de Baldwin-Lomax est mieux calibre pour ces applica-tions. Le modele k − ω SST de Menter ameliore egalement les predictions ([14] [15] [16] [17]).

• Le reattachement apres un decollement est generalement mal predit (trop rapide derriere unemarche descendante par exemple).

• Le developpement des jets ou des sillages n’est pas correctement predit. Certains modeles aviscosite turbulente ”non lineaires” sont mieux calibres pour ces configurations.

• Le modele n’inclut pas les effets de compressibilite qui peuvent s’averer importants dans lescouches limites ([22], [28]).

• Les zones de transition laminaire-turbulent ne peuvent etre representees. Il n’y a aujourd’huiaucune solution simple (sinon celle de brancher le modele en des zones predeterminees).

• L’utilisation des modelisations ”bas-Reynolds” necessite une bonne expertise (mais certainsmodeles plus recents offrent des perspectives prometteuses : v2−f version φ-model par exemple).

• De tres nombreuses variantes du modele k − ε initial de Launder et Spalding ont ete proposees,pour corriger tel ou tel defaut, mais (de maniere a peine caricaturale) aucune n’a permis derealiser d’incontestable avancee sur une large gamme d’ecoulements. Aujourd’hui neanmoins, desapproches prometteuses emergent (k − ω SST de Menter [14] [15] [16] [17], le modele v2 − f deDurbin [7] et ses variantes plus recentes telles que le φ-model du groupe de Laurence [25]).

Cette longue liste de limitations ne doit pas laisser croire que le modele k − ε est inutilisable, bienau contraire : il faut y voir la preuve que son comportement est tres bien apprehende. En outre, leslimitations evoquees ici doivent etre replacees dans le contexte des objectifs des etudes industriellesspecifiques, pour lesquelles le niveau de detail requis est variable.

7L’introduction locale de turbulence est d’ailleurs utilisee en aerodynamique externe pour eviter ce detachement,controler les couches limites et reduire la traınee.

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Pour ces raisons, le modele k− ε est un des plus couramment utilises dans l’industrie (sinon le pluscouramment utilise).

4.2.7 Modeles non lineaires

Le modeles a viscosite turbulente dits ”non lineaires” sont des modeles dans lesquels on continue adeterminer une viscosite turbulente par la relation :

νt = Cµk2

ε(104)

mais l’hypothese de Boussinesq :

u′ju′

i −2

3kδij = −2νtSij +

2

3νtSkkδij (105)

est remplacee par une relation non lineaire entre le tenseur de Reynolds et le tenseur des deformations,par exemple :

u′ju′

i −2

3kδij = −2νtSij +

2

3νtSkkδij + 4 C1

νtk

ε(SikSkj −

1

3SklSklδij) + 4 C2

νtk

ε(ΩikSkj + ΩjkSki)...

(106)avec les tenseurs rendant compte des deformations et des rotations :

Sij =1

2

(∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

)Ωij =

1

2

(∂ui

∂xj− ∂uj

∂xi

)(107)

Les coefficients Cµ, C1, C2... sont determines a partir d’ecoulements elementaires (couche limite,cisaillement, rotation...). Ils constituent autant de degres de liberte qui permettent de caler le modele.De nombreux modeles non lineaires ont ainsi vu le jour (par exemple [23]), avec un comportementparfait dans un domaine d’application donne, mais pour lesquels le comportement sur une configurationnouvelle peut s’averer difficilement previsible a priori, en particulier pour des utilisateurs non experts.

4.3 Modeles aux tensions de Reynolds

4.3.1 Introduction

Les limitations du modele k − ε conduisent naturellement a rechercher des solutions plus fines, enparticulier pour les ecoulements a swirl par exemple. Pour cette raison, on peut resoudre directementdes equations de transport sur les tensions de Reynolds. Avec cette approche, on s’affranchit donc del’hypothese de Boussinesq (les tensions de Reynolds qui apparaissent dans l’equation de la quantite demouvement sont desormais des variables dont on resout une equation de transport).

Les modeles de ce types sont dits ”aux tensions de Reynolds”, ou ”de transport des tensions deReynolds” ou ”modeles au second ordre” (en Anglais, ”Reynolds Stress Model” ou ”Second MomentClosure”).

La nature numerique du modele s’en trouve profondement modifiee, puisque la turbulence n’apparaıtplus dans l’equation de la quantite de mouvement sous la forme d’un terme (stabilisant) de diffusion,mais sous la forme d’un terme en divergence des tensions de Reynolds. Ce terme (de transport) est denature hyperbolique, et la stabilite numerique du systeme est souvent plus delicate a assurer.

Les equations regissant l’evolution des tensions de Reynolds sont obtenues comme l’equation portantsur l’energie cinetique turbulente et demandent egalement un effort de modelisation pour representerles correlations triples des fluctuations de vitesse, les correlations pression vitesse...

L’equation adoptee pour la dissipation est calquee sur celle utilisee dans le cadre du modele k − ε.

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4.3.2 Les equations du modele LRR

On indique ci-dessous les equations du modele ”LRR” [10] (Launder, Reece, Rodi), d’utilisationrelativement repandue (mais il n’y a pas la meme unanimite que pour le k − ε quant au choix dumeilleur modele aux tensions de Reynolds).

Comme pour le modele k − ε, le modele presente ici est un modele ”haut-Reynolds” avec lois deparoi. Pour la vitesse, en particulier, on utilise la meme loi que pour le k − ε.

On note habituellement les tensions de Reynolds Rij = u′

i u′

j . Les equations s’ecrivent :

ρ∂Rij

∂t+div(ρuRij − µ grad Rij) = dij +Pij +Φij −ρ

2

3εδij

ρ∂ε

∂t+div(ρu ε − µ grad ε) = d ε +Cε1

ε

kP −ρCε2

ε2

k

(108)

Le tableau 3 rassemble les constantes du modele.

Cµ Cε Cε1Cε2

C1 C2 C3 CS C ′

1 C ′

2

0, 09 0, 18 1, 44 1, 92 1, 8 0, 6 0, 55 0, 22 0, 5 0, 3

Tab. 3 – Constantes pour le modele de transport des tensions de Reynolds.

4.3.3 Interpretation des differents termes

Convection, diffusionOn retouve dans ces equations les termes habituels instationnaires et de convection. Les termes dediffusion sont notes d . Comme pour l’equation portant sur k, dij represente les correlations triples desfluctuations de vitesse et les correlations entre les fluctuations de pression et de vitesse.

Production, destruction, dissipationOn retrouve dans ces equations les termes de ”production destruction” Pij (les effets de gravite addi-tionnels, notes habituellement Gij , n’ont pas ete inclus ici). Contrairement au k − ε, le terme Pij nerequiert aucune modelisation puisqu’on dispose des tensions de Reynolds et des gradients de la vitessemoyenne.

Il faut remarquer par ailleurs que les tensions de Reynolds ne sont pas obligatoirement alignees avecle tenseur des deformations et que le terme Pij n’est donc pas necessairement positif. On permet ainsile transfert d’energie des structures turbulentes vers l’ecoulement moyen (c’est un atout par rapportau modeles a viscosite turbulente).

On note egalement que la dissipation est isotrope. Ceci resulte de l’hypothese que les petites struc-tures, responsables de la dissipation, sont considerees comme telles.

Redistribution

Le terme Φij = 1ρP ′

(∂u′

i

∂xj+

∂u′j

∂xi

)est un terme de redistribution d’energie qui represente les correlations

entre les fluctuations de pression et le gradient des fluctuations de vitesse. Il necessite un effort demodelisation important.

Pour interpreter sa modelisation usuelle, placons-nous dans la configuration elementaire d’un ci-saillement moyen (voir paragraphe 2.2.3) : vitesse dans la direction x, gradient dans la direction y. Les

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equations des tensions de Reynolds s’ecrivent alors :

d

dtR11 = −2 R12

∂u

∂y+Φ11 −2

3ε

d

dtR22 = +Φ22 −2

3ε

d

dtR33 = +Φ33 −2

3ε

d

dtR12 = −R22

∂u

∂y+Φ12

(109)

Sous l’effet du cisaillement moyen, soit ∂u∂y , si l’on suppose l’existence d’une fluctuation de vitesse

v′ (on suppose R22 = v′v′ non nul), on constate qu’elle est correlee a la fluctuation u′ (voir paragraphe2.2.3). Ainsi, la correlation R12 = u′v′ est produite par l’action conjointe du gradient de vitesse moyenneet de R22, ce qui est coherent avec l’expression P12 = −R22

∂u∂y . De plus, l’apparition de fluctuations u′

conduit a accroıtre R11 = u′u′ et on comprend l’expression du terme de production P11 = −2 R12∂u∂y .

Cette analyse simple montre que le gradient de vitesse moyenne entretient les correlations R11 et R12.

Les tensions R22 et R33, par contre, ne sont pas directement entretenues par la production dueau gradient de vitesse moyenne. La dissipation visqueuse etant isotrope, ces tensions devraient donctendre vers zero. Neanmoins, l’experience montre qu’elles se maintiennent a un niveau non nul dans cetype d’ecoulement. A partir des equations d’evolution, on constate que seul le terme Φ est susceptiblede les alimenter.

En effet, ce sont les fluctuations de pression (donc l’effet est naturellement tridimensionnel) quipermettent de maintenir le niveau de fluctuations de vitesse v′ et w′. Cette redistribution d’energieprelevee sur R11 est illustree sur la figure 15 et se traduit par la relation8 :

Φ11 = −(Φ22 + Φ33)

Les fluctuations de pression tendent donc a redistribuer l’energie turbulente produite dans toutes lesdirections de l’espace, c’est-a-dire a rendre la production isotrope. Une modelisation (partielle) de Φs’en deduit (modele ”IP” : ”Isotropization of Production”) :

Φij = −C2(Pij −Pkkδij)

Par ailleurs, comme la turbulence revient naturellement a un etat isotrope s’il n’y a pas de cisaille-ment, il est necessaire d’inclure un terme de rappel (assorti d’un temps de relaxation turbulent k/ε,du a Rotta, 1951) :

−k

ε

(Rij −

1

3Rkkδij

)

La modelisation de Φ s’ecrit donc finalement :

Φij = −C1k

ε(Rij −

1

3Rkkδij)

︸︷︷︸Φ1,ij

−C2(Pij −Pkkδij)︸︷︷︸Φ2,ij

(110)

Le terme Φ1,ij est dit ”terme lent” car il n’agit qu’avec un temps de relaxation lie a la turbulencelocale. Le terme Φ2,ij est un ”terme rapide” qui repercute immediatement les variations du gradientde vitesse moyenne sur la turbulence.

8la trace de Φ est nulle si les fluctuations de vitesse sont a divergence nulle, ce qui est le cas pour un ecoulementincompressible

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Fig. 15 – Equilibre dans un cisaillement homogene.

4.4 Thermique

4.4.1 Introduction

La prise en compte de la thermique est faite sur le meme mode que la dynamique, mais les modeless’averent plus delicats a mettre en œuvre (d’autant que les mesures precises sont difficiles a realiser).On se limite ici a presenter une modelisation simple, coherente avec le modele k − ε haut Reynoldspresente precedemment.

4.4.2 Modelisation de type ”viscosite turbulente”

Il est necessaire de modeliser la correlation u′jT ′ qui apparaıt dans (39) :

∂

∂t(ρCpT ) +

∂

∂xj(ρ CpujT ) =

∂

∂xj

(λ

∂T

∂xj

)+ ΦT − ∂

∂xj(ρ Cpu′

jT ′) (111)

Pour cela, on peut utiliser :

u′jT ′ = − νt

σt

∂T

∂xj(112)

Cette modelisation admise, il faut alors se donner σt, le nombre de Prandtl turbulent. La valeurutilisee peut evidemment etre calee au mieux pour certains types d’ecoulements. Par exemple, [18]propose les valeurs reproduites dans le tableau 4.

Neanmoins, dans les applications complexes, pour lesquelles il est generalement impossible dedegager un type d’ecoulement preponderant, on choisit souvent une valeur constante, egale a l’unite.

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Jet plan Jet Couche Canalisation Canalisationaxisymetrique limite circulaire non circulaire

σt 0,5 0,7 0,9 0,9 >1

Tab. 4 – Nombre de Prandtl turbulent pour quelques types decoulements

4.4.3 Comportement en proche paroi

Flux adimensionnelOn trouvera dans [1] une presentation detaillee de la problematique liee a la modelisation des transfertsthermiques turbulents. En particulier, au voisinage d’une paroi plane, dans le cadre des modeles haut-Reynolds, une loi de paroi est necessaire pour representer la couche limite thermique. On detaille lademarche ci-apres, en adoptant un cheminement similaire a celui employe pour obtenir une loi de paroipour la vitesse.

Pour la vitesse, il fallait disposer d’une loi permettant de calculer la contrainte totale en paroiρτp = (µ + µt)

∂u∂y . De meme, pour la thermique, il faut disposer du flux en paroi qui represente l’effet

de la couche limite sur le reste de l’ecoulement :

φp = (λ +Cpµt

σt)∂T

∂y(113)

Pour la vitesse, on a introduit la notation u∗, avec τp = u∗u∗. De meme, pour la thermique, onintroduit ici T ∗ telle que :

φp

ρ= Cpu

∗T ∗ (114)

On adimensionne alors l’expression du flux en paroi (113) en divisant a gauche par φp et a droitepar ρ Cpu

∗T ∗ :

1 = (1

σ+

1

σt

µt

µ)∂T +

∂y+(115)

avec σ =µ

λ/Cpet T + =

T − Tp

T ∗

L’integration de cette relation permet d’obtenir une ”loi de paroi” pour la temperature, a conditionde se donner une loi pour le nombre de Prandtl turbulent au voisinage de la paroi.

Fluides a nombre de Prandtl (moleculaire) voisin de 1Considerons les fuides ”classiques” dans lesquels σ est de l’ordre de l’unite (l’epaisseur de la couchelimite thermique et celle de la couche limite dynamique sont du meme ordre).

En tres proche paroi, ou les effets turbulents sont negligeables (y+ < 10), on a :

1 =1

σ

∂T +

∂y+(116)

Au dela de la sous couche visqueuse (y+ > 30), ce sont les effets de conduction moleculaire qui sontnegligeables (devant la diffusion turbulente). Pour representer analytiquement la viscosite turbulente,on utilise classiquement un modele de longueur de melange, dans lequel la derivee de la vitesse estcalculee en utilisant la loi logarithmique :

νt = (κ y)2∥∥∥∥

∂u

∂y

∥∥∥∥

= (κ y)2u∗

κy= κ y u∗

(117)

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et donc :

1 =κ y+

σt

∂T +

∂y+(118)

On obtient, par integration, les lois suivantes :

T + = y+ pour y+ < 10

=σt

κln(y+) + C pour y+ > 30

(119)

La constante est determinee pour rendre la loi continue en y+0 , dont la valeur, comprise entre 10 et 30,

determine la separation des zones dans lesquelles predominent les effets de conduction moleculaire oules effets de diffusion turbulente.

Une amelioration classique proposee par Arpaci et Larsen consiste a considerer non pas deux, maistrois plages de y+, et a se donner dans la zone intermediaire une loi de variation satisfaisante de( 1

σ + 1σt

µt

µ ) a base de considerations experimentales. On donne ci-dessous le modele a trois couchesdans une des versions proposees par Arpaci et Larsen :

T + = σ y+ pour y+ < y+1

T + = a2 −σt

2 a1 (y+)2pour y+

1 6 y+ < y+2

T + =σt

κln(y+) + a3 pour y+

2 6 y+

(120)

avec

y+1 =

(1000

σ

) 1

3

y+2 =

√1000κ

σt(121)

et

a2 = 15σ2

3 a3 = 15σ2

3 − σt

2κ

(1 + ln

(1000κ

σt

))(122)

Fluides a nombre de Prandtl (moleculaire) tres petit devant 1Pour σ << 1 (sodium liquide en particulier, metaux liquides en general), la situation est differente carla couche limite thermique est generalement beaucoup plus epaisse que la couche limite dynamique, dufait de la grande conductivite thermique du fluide. La couche intermediaire du modele a trois couchesci-dessus n’existe donc pas et un modele a deux couches est adapte. Arpaci et Larsen en proposentplusieurs, dont la version suivante :

T + = σ y+ pour y+ 6 y+0

T + =σt

κln

(y+

y+0

)+ σ y+

0 pour y+0 < y+ (123)

avec

y+0 =

σt

κσ(124)

4.5 Conditions aux limites en entree

4.5.1 Introduction

On se limite ici a fournir un ordre de grandeur des variables turbulentes que l’on peut imposeren entree en l’absence d’informations plus precises. Il est important de garder a l’esprit que, s’il estimportant de preter attention aux valeurs imposees pour chacune des grandeurs turbulentes, il estegalement indispensable de s’assurer de leur coherence. On s’interesse ici essentiellement aux modelesRANS classiques k − ε et Rij − ε.

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0 10 20 30y+

0

2

4

6

8

10

12

14

K

1/Pr0.42 y+/Prta1 (y+)**3/Prt

y+2

1

y+

Fig. 16 – Temperature adimensionnelle en paroi.

4.5.2 Energie cinetique turbulente et dissipation pour les ecoulements internes

En l’absence d’informations plus precises (donnees experimentales, calculs precurseur en amont...),pour les simulations d’ecoulements internes, on utilise en entree de domaine les grandeurs turbulentesd’un ecoulement etabli dans une conduite lisse9, circulaire et de diametre hydraulique egal a celui del’entree consideree. D’ordinaire, il suffira d’imposer une valeur moyenne uniforme sur la surface del’entree.

Ainsi, soit une entree de diametre hydraulique D (voir l’equation (2)) par laquelle penetre un fluidede viscosite cinematique moleculaire ν, de vitesse moyenne U . Le nombre de Reynolds associe a l’entreeconsideree est Re = UD

ν . On recherche une valeur de l’energie cinetique turbulente k et de la dissipationassociee ε.Dans une conduite circulaire de diametre D, a parois lisses, l’ecoulement turbulent etabli d’un fluidede viscosite ν et de vitesse moyenne U est caracterise par une vitesse de frottement u∗ qui peut secalculer par correlations (voir l’abaque de Moody) :

u∗ = U

√λ

8(125)

avecλ = 0.3164 Re−

1

4 pour Re 6 30000

= 0.1840 Re−1

5 pour Re > 30000(126)

Avec cette vitesse de frottement, on deduit les valeurs suivantes de k et de ε qui seront utilisees commevaleurs moyennes uniformes en entree :

k =u∗2

√Cµ

et ε = C3

4

µk

3

2

κ 0, 1 D=

u∗3

κ 0, 1 D(127)

Il est important de noter que les valeurs de k et de ε sont coherentes et conduisent a une viscosite

turbulente νt = Cµk2

ε representative de celle d’un d’un ecoulement turbulent etabli en conduite lisse.En effet, en utilisant les relations precedentes donnant k et ε, on a :

νt = κ 0, 1 D u∗ (128)

Cette relation est bien coherente avec celle proposee pour la viscosite turbulente (paragraphe 4.2.3),dans laquelle on utilise le profil logarithmique pour evaluer le gradient de vitesse et l’hypothese que

9L’abaque de Moody permet egalement de fournir des valeurs pour les conduits rugueux, si necessaire. La demarcheest identique a celle decrite ici.

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l’echelle de longueur turbulente est Lm = κ 0, 2 y, y etant la distance a la paroi :

νt = L2m

∥∥∥∥∂u1

∂x2

∥∥∥∥

= (κ 0, 2 y)2u∗

κy= κ 0, 2 y u∗

(129)

4.5.3 Energie cinetique turbulente et dissipation pour les ecoulements externes

Pour les ecoulements externes (atmospherique, ecoulements autour de vehicules...), en l’absenced’informations plus precises, on se donne :

• une longueur caracteristique de la turbulence L (a determiner au cas par cas selon la tailledes grosses structures susceptibles d’entrer dans le domaine)

• une intensite turbulente I (rapport de l’amplitude des fluctuations de vitesse u′ ≈√

23k a

la vitesse moyenne U).

I =

√23k

U(130)

Cette grandeur I peut etre prise egale a 5% par exemple (I = 0, 05), dans un ecoulement moyen-nement turbulent. La relation permettant d’obtenir la dissipation est souvent prise identique a celleutilisee pour les ecoulements internes. Soit donc :

k =3

2(I U)2 et ε = C

3

4

µk

3

2

κ 0, 1 D(131)

4.5.4 Modeles aux tensions de Reynolds

On peut deduire des relations (127) ou (131) des conditions d’entree pour les grandeurs du modeleRij − ε. Pour cela,

• on utilise d’ordinaire la meme expression pour la dissipation turbulente, soit :

ε = C3

4

µk

3

2

κ 0, 1 Davec, par definition k =

1

2(R11 + R22 + R33)

• on adopte une hypothese d’isotropie de la turbulence pour les tensions de Reynolds, soit :

Rij =2

3kδij

4.5.5 Remarque

Selon les cas, naturellement, il est possible d’imposer des donnees plus precises ou mieux adapteessi les configurations etudiees sont bien documentees. Ainsi, il est possible d’imposer des profils au lieude valeurs moyennes (par exemple, des profils d’ecoulement etabli en conduite) ou de ne pas se limitera l’hypothese d’isotropie en Rij −ε. On peut egalement realiser un calcul preliminaire pour determinerles conditions d’entree. Pour cela, on considere un domaine de calcul plus etendu (eventuellement avecun maillage plus grossier) dans lequel les conditions aux limites, qui sont alors repoussees plus loin deszones d’interet, revetent de ce fait une importance moindre.

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4.6 Perspectives

4.6.1 Introduction

Bien que les travaux en modelisation de la turbulence soient legion, on se limitera ici a mettrel’accent sur deux points particuliers seulement.

Le premier concerne le modele k−ω et ses versions derivees, seule approche susceptible de concur-rencer le modele k − ε standard.

Le deuxieme modele prometteur aborde est le v2 − f et ses versions ameliorees, dont une en parti-culier pourrait se reveler sous peu comme la seule approche bas Reynolds robuste et fiable.

4.6.2 Le modele k − ω SST

Dans les modeles a deux equations, le choix des variables turbulentes k et ε n’est pas le seul

possible. Ainsi, Wilcox [26] utilise en lieu et place les variables k et ω, avec ω =ε

β∗ ket β∗ = 0, 09.

L’avantage majeur est qu’avec ce choix de variables, le comportement en proche paroi est decrit bienplus naturellement qu’avec le modele k − ε.

Le modele resultant presente cependant, par rapport au k−ε, certains inconvenients loin des parois.Pour cette raison, Menter a imagine un modele permettant de basculer progressivement de l’utilisationdu k − ω en proche paroi a l’utilisation du k − ε loin des parois.

La derniere version de ce modele composite, dite k − ω SST (Shear Stress Transport) [15], estparticulierement satisfaisante (tout au moins en ecoulement isotherme) en particulier pres des zonesde separation. S’il faut se garder d’y voir une solution universelle10, le modele paraıt neanmoins promisa une utilisation industrielle croissante.

4.6.3 Le v2 − f , version φ-model

Les modeles bas Reynolds classiques, qui font appel a des fonctions d’amortissement numerique pourprendre en compte la zone de proche paroi, sont pour la plupart relativement peu robustes, souventpeu fiables, et d’implantation delicate dans les codes. Par ailleurs, les modeles de type k − ω, dont lesvariables degenerent naturellement vers leur limite physique en proche paroi, ne sont cependant passatisfaisants d’un point de vue quantitatif dans la sous-couche visqueuse car leurs equations ne sontpas construites pour prendre en compte les effets de paroi dus aux fluctuations de pression et la limitebidimensionnelle des structures turbulentes qui en resulte.

Le modele v2 − f a ete concu pour depasser ces limitations. Il repose sur la determination d’unparametre f solution d’une equation de relaxation elliptique en espace qui traduit l’effet des paroissans avoir recours a des fonctions d’amortissement. Cette approche, appliquee tout d’abord dans lecadre des modeles aux tensions de Reynolds par Durbin, puis simplifiee [13], a enfin ete adaptee aumodele k − ε.

En pratique, dans le modele v2 − f , les variables k et ε restent des inconnues du probleme, avecdes equations pratiquement inchangees. Une variable supplementaire est ajoutee, v2, qui representeapproximativement la tension de Reynolds dans la direction normale aux lignes de courant. C’est dansl’equation de cette variable qu’est introduit le parametre solution de l’equation elliptique qui traduitl’effet de proximite de la paroi. Ces trois variables, k, ε et v2 permettent alors de calculer la viscositeturbulente requise par le modele k − ε, selon la relation νt = Cµv2 T , ou T est une echelle de temps

turbulente (egale, a certaines limitations physiques pres, ak

ε).

De nombreuses versions de ce modele ont ete proposees, dont la plus recente, le φ-model du groupede D. Laurence (UMIST) [25], semble allier des proprietes de stabilite, de robustesse et de simplicite

10Le k − ω SST semble avoir des difficultes a predire avec precision les phenomenes de recollement

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d’implantation numerique.

Le modele resultant semble particulierement prometteur dans un domaine ou l’on ne disposaitjusqua present d’aucune solution satisfaisante pour la communaute scientifique.

5 Simulation des Grandes Echelles

5.1 Introduction

Les considerations presentees dans le chapitre “Modelisation de la turbulence” sont basees sur desvaleurs moyennes statistiques. Elles sont donc naturellement limitees lorsqu’il s’agit d’acceder a desinformations locales ou instantanees. Ces donnees sont cependant indispensables dans un bon nombred’applications. Par exemple :

• la recherche de propagation ou d’amorcage de fissure dans des materiaux soumis a de la fatiguethermique par cyclage,

• la production d’especes polluantes lorsque des maxima de temperature sont atteints en combus-tion,

• la prediction de l’impact du bruit sur les structures (les sources de bruit etant des fluctuationsde pression).

• le controle des couches limites turbulentes pour la reduction de traınee,

• et bien d’autres encore...

La simulation des grandes echelles permet de lever, en partie tout au moins, cette limitation. Il s’agitd’une technique assez ancienne du point de vue theorique (Deardorff 1974) mais dont l’exploitationdans les applications industrielles n’a veritablement ete envisagee que depuis les annees 90 et quicommence a peine a porter ses fruits, en particulier grace a l’augmentation massive des moyens decalcul, de stockage et de traitement des donnees (on voudra bien excuser le caractere caricatural de lapresentation, qui se veut synthetique).

Le chapitre presente les grandes lignes de la technique.

5.2 Simulation des grandes echelles : la demarche

Pour avoir un acces direct aux fluctuations locales et instantanees des variables, on ne peut sesatisfaire d’approches qui produisent les moyennes statistiques des variables. Si l’on admet que l’es-sentiel des fluctuations dues a la turbulence est porte par les grosses structures, il est naturel dechercher a representer precisement ces dernieres. Par ailleurs, on accepte de faire l’hypothese que dansles ecoulements que l’on desire etudier, les petites structures sont isotropes et peuvent etre decritespar un modele relativement rustique. Il s’agit la des bases de la simulation des grandes echelles (ouMacro-simulation de la turbulence, ou Large Eddy Simulation).

Comme le spectre de la turbulente homogene isotrope (figure 17) suggere qu’a partir d’un certainReynolds, il y a une separation nette entre les grosses les petites structures, il est naturel d’introduire unfiltre passe-bas pour selectionner et resoudre les grandes echelles, alors que les petites seront modelisees.On introduit donc un filtrage spatial (et non pas une moyenne statistique) que l’on applique auxequations de Navier-Stokes.

Le filtrage spatial est un produit de convolution et satisfait les memes proprietes que celles desmoyennes statistiques utilisees pour ecrire les equations moyennees au sens de Reynolds. En consequence,l’application du filtrage conduit exactement aux memes equations que l’application de la moyenne sta-tistique de Reynolds, mais les inconnues ne representent pas les memes grandeurs physiques.

Si l’on note < . > l’operateur de filtrage, base sur la fonction g (une gaussienne par exemple) :

< f > (x0, y0, z0) =

∫

IR3

f(x, y, z)g(x − x0, y − y0, z − z0)dx dy dz (132)

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Fig. 17 – Representation classique pour le spectre d’energie en turbulence homogene isotrope.

on obtient pour l’equation de la masse et de la quantite de mouvement :

∂

∂xj(ρ j) = 0

∂

∂t(ρ i) +

∂

∂xj(ρ ji)

= − ∂

∂xi +

∂

∂xj< τ >ij + < S >i −

∂

∂xj(ρ < (u− )j(u− )i >)

(133)

Les inconnues choisies pour les calculs numeriques sont les variables filtrees11, de sorte qu’il n’estpas necessaire de definir explicitement le filtre g (on parle de filtrage implicite).

Conceptuellement, il faut cependant noter que la largeur du filtre est approximativement egale ala taille locale des mailles : les structures plus grandes que les mailles sont explicitement resolues, lesstructures plus petites sont filtrees et leur effet est modelise. De ce fait, pour que le maillage permettede resoudre effectivement les structures qui portent l’energie, il est donc necessaire que la taille desmailles soit assez faible pour correspondre a un nombre d’onde inclus dans la zone inertielle du spectre.

Le terme < (u− )j(u− )i >, caracteristique de l’effet des petites structures, reste adeterminer. On le modelise par un ”modele de sous-maille”. Deux approches classiques sont presenteesci-apres.

5.3 Modeles de sous-maille

5.3.1 Introduction

Pour modeliser < (u− )j(u− )i >, on utilise classiquement une hypothese de typeviscosite turbulente. Cette approche peu sophistiquee ne peut donner de bons resultats que si le maillageest assez fin pour que les structures non representees (structures plus petites que les mailles) soienteffectivement assez petites et isotropes. On ecrit alors :

< (u− )j(u− )i >= µsous-maille < S >ij (134)

Ici, µsous-maille est une viscosite liee a l’effet des petites structures qui ne sont pas resolues par lafinesse du maillage utilise. Son calcul peut etre fait de differentes facons.

11Dans le cadre des modeles RANS, on prend comme inconnues les variables moyennees au sens statistique : la demarcheest donc similaire, bien que les inconnues ne representent pas du tout les memes grandeurs.

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5.3.2 Modele de Smagorinsky

Le modele de Smagorinsky, simple et largement repandu, propose :

µsous-maille = ρ(Cs∆)2√

2 < S >ij< S >ij (135)

ou Cs est une constante (0,18 pour la turbulence homogene isotrope, mais plutot 0,1 dans une conduite),∆ est la largeur estimee du filtre g (generalement ∆ = 2(|Ω|)1/3 ou |Ω| est le volume local des mailles)et < S >ij est le tenseur des deformations calcule a partir de la vitesse resolue .

La limitation essentielle de ce modele est liee a la necessite de fixer la constante. Meme si elle n’ad’effet que sur les petites structures, c’est un inconvenient notable qui a conduit au developpement demodeles ”dynamiques” (Germano, Piomelli...).

5.3.3 Modeles dynamiques

En pratique, les modeles dynamiques ne different du modele de Smagorinsky que par la determinationde la ”constante” Cs qui devient ”dynamique” : auto-adaptative selon les caracteristiques locales etinstantanees de l’ecoulement. Pour determiner la constante, on suppose que le maillage est assez finpour que le comportement des structures de sous-maille vis-a-vis des structures resolues soit iden-tique au comportement des plus petites structures resolues vis-a-vis de structures resolues de tailleimmediatement superieure (on retrouve le concept de ”cascade energetique”). Autrement dit, etantdonne un maillage de taille de maille ∆2 et un filtre explicite G1 de largeur ∆1 > ∆2, on suppose quel’on peut ecrire,

• pour les structures non resolues et filtrees implicitement par la taille des mailles :

Tsous-maille,ij = µsous-maille < S >ij

avec Tsous-maille,ij = < (u− )j(u− )i >

µsous-maille = ρ(Cs∆2)2√

2 < S >ij< S >ij

(136)

• et, avec la meme constante Cs, pour les structures resolues et filtrees explicitement par lefiltre G1 :

T∆1,ij = µ∆1G1(< S >ij)

avecT∆1,ij = G1

(( −G1())j(u − G1())i

)

µ∆1= ρ(Cs∆1)2

√2G1(< S >ij)G1(< S >ij)

(137)

Dans cette derniere relation, toutes les variables sont calculables (variables resolues et variablesexplicitement filtrees), ce qui permet de determiner Cs. On peut alors utiliser la valeur obtenue pourcalculer µsous-maille.

Dans la realite, la determination de la constante n’est pas aussi directe (utilisation de moyennespour des raisons de stabilite par exemple). Par ailleurs, une attention particuliere est requise pour lechoix du filtre explicite.

5.4 Conditions aux limites en entree

En LES, il est important d’accorder une attention specifique aux conditions d’entree. En effet, laLES etant d’ordinaire mise en œuvre pour acceder a des informations fines, il est important que lesconditions aux limites ne degradent pas les conclusions. En particulier, on souhaite autant que possibles’assurer que les fluctuations et les structures coherentes presentes en entree seront representees demaniere adequate par les conditions aux limites. On ne s’etendra pas ici sur les details des methodes lesplus recentes (voir par exemple [3]). On se limite a indiquer brievement quelques exemples d’approchesenvisageables.

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• Rappelons que la LES est par nature une methode instationnaire. Pour disposer de conditionsaux limites instationnaires et reproduisant les fluctuations et les structures coherentes d’un ecoulement,il est possible de realiser un calcul LES ”precurseur”, c’est-a-dire un calcul preliminaire sur un domainesitue en amont du domaine d’etude (dans le cas ou le domaine amont est trop complexe ou mal connu,on peut parfois se contenter de realiser un calcul sur un canal ou une conduite rectiligne). Les resultatsde ce calcul precurseur sont alors utilises comme conditions d’entree du calcul auquel on s’interesse(le calcul precurseur permet de repousser les conditions d’entree plus loin des zones d’interet). Cettemethode est cependant couteuse en temps calcul et necessite le stockage d’une quantite importanted’information (des resultats instationnaires du calcul precurseur doivent etre conserves pour fournirles ”tranches” de donnees a injecter en entree).

• Il est egalement possible d’imposer en entree de domaine une vitesse moyenne a laquelle onsuperpose une fluctuation (pseudo) aleatoire qui traduit l’intensite de la turbulence que l’on souhaiteintroduire dans le domaine. Cette methode ne permet cependant pas de reproduire les structurescoherentes de l’ecoulement et ce defaut est parfois prejudiciable a la qualite des calculs.

• Une methode plus recente consiste a introduire dans le domaine des structures coherentes(tourbillons) dont les echelles caracteristiques correspondent a la turbulence qui doit penetrer dansle domaine (intensite, vitesse de dissipation) et dont le deplacement peut etre gere par des methodesstochastiques. Cette methode a l’avantage de conserver des structures coherentes en entree, ce qui luiconfere une superiorite naturelle sur la precedente.

5.5 Perspectives

Les perspectives evoquees ici ne portent pas uniquement sur la modelisation physique, mais concernentegalement les supports informatiques et l’architecture logicielle des codes. Naturellement, le paragraphene pretend pas etre exhaustif.

Notons en premier lieu que le cout d’un calcul LES est generalement eleve (plusieurs centainesd’heures de calcul, plusieurs centaines de Mo). En effet :

- il est necessaire d’utiliser des maillages suffisamment raffines pour representer suffisamment destructures ;

- la simulation est naturellement instationnaire et chaque instant fournit une image instantaneede l’ecoulement ; ces donnees sont exploitees par des analyses statistiques (evaluation des ex-trema, calcul de moyenne, de variance...) et les durees physiques de simulation doivent doncnaturellement etre suffisamment longues pour que les statistiques soient significatives.

Dans ces conditions, il est important de progresser sur :

- la puissance des machines de calcul (pour cela, les ordinateurs massivement paralleles fournissentdes solutions qu’il faut continuer a exploiter) ;

- le stockage, la manipulation des donnees et le post-traitement de tres grands volumes d’informa-tion ;

- les techniques de generation de tres grands maillages (plusieurs dizaines de millions de mailles) :generation en parallele, raffinement et redecoupage d’elements par exemple ;

- le couplage ”RANS-LES”, de methodes LES (couteuses, mais utilisees uniquement dans les zonescritiques) avec des methodes RANS (moins couteuses, utilisees dans le reste du domaine) ;

- l’utilisation de maillages non conformes pour permettre des raffinements locaux et faciliter lestaches de maillage (pour cela, un travail numerique sur l’impact des non conformites sur lescalculs LES doit etre mene).

Independamment des aspects lies au cout des calculs, il faut egalement progresser sur :

- la generation de conditions d’entree physiquement admissibles et reproduisant les structuresturbulentes de maniere satisfaisante ;

- les lois de paroi en dynamique et en thermique (s’en affranchir eventuellement) ;

- les modeles de sous-maille.

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6 Simulation Directe

L’expose aurait pu commencer par la simulation directe de la turbulence (ou Direct NumericalSimulation), car c’est sans doute la solution la plus naturelle, qui consiste a resoudre les equationsde Navier-Stokes (sans moyenne ni filtrage) sur un maillage suffisamment fin, avec des pas de tempssuffisamment petits. Il n’y a dans ce cas aucun besoin de modelisation. Les resultats dovent etreexploites par une analyse statistique, car ils sont instationnaires et incluent l’aspect chaotique de laturbulence.

Neanmoins, la puissance des calculateurs actuelle ne permet de traiter que des ecoulements a faiblenombre de Reynolds. Avec quelques dizaines de millions de points, des mois de calcul, on peut atteindredes nombres de Reynolds de l’ordre de 5000. En effet le rapport entre la taille des plus grandes structureset la taille des plus petites est proportionnel au Re

3

4 . Pour les ecoulements industriels a nombre deReynolds de plusieurs millions, la taille des maillages permettant de prendre en compte tout la gammedes structures est donc pour ”longtemps encore”, inaccessible. Par contre, la DNS pour les etudesfondamentales ou le calage de modeles reste un outil particulierement utile (voir par exemple les basesde donnees de la NASA et de Standford ; a titre d’illustration : [9]).

7 Maillage

7.1 Introduction

La resolution des equations de la mecanique des fluides, assorties des modeles decrits precedemment,necessite l’utilisation d’un maillage (on n’aborde pas ici les methodes sans maillage) dont il faut definirle raffinement. Plusieurs considerations, numeriques, physiques et pratiques, interviennent. On lesevoque dans ce court paragraphe, sans revenir sur les aspects associes au comportement des modelesen proche paroi (voir la difference entre les modeles haut et bas Reynolds, paragraphe 4.2.6).

7.2 Considerations numeriques

Qualite du maillage

Lors de la resolution numerique des equations de Navier-Stokes (ou de tout autre systeme d’equations)il est indispensable de s’assurer que l’erreur de discretisation spatiale est suffisamment faible pour l’utili-sation que l’on souhaite faire des resultats (l’erreur de discretisation spatiale est l’ecart entre la solutiondiscrete obtenue et la solution exacte continue).

Supposons que le schema de discretisation utilise soit consistant et stable. Ceci permet d’assurer laconvergence vers la bonne solution lorsque le pas d’espace du maillage tend vers 0. Il est du ressort dudeveloppeur de code de garantir cette propriete.

Le developpeur du code peut avoir indique, dans la documentation, certaines contraintes en de-hors desquelles les proprietes de convergence du schema ne sont pas verifiees, sans pour autant quel’execution informatique du code ne soit impossible (exemples : valeur maximale du rapport d’allon-gement des mailles, distorsion des mailles ou des faces, conformite du maillage...). L’utilisateur doitalors prendre garde a respecter ces limitations, sous peine d’obtenir des resultats ne convergeant pasen espace (dans le meilleur des cas) ou convergeant vers une solution stable mais fausse (c’est le piredes cas : sur un calcul complexe, l’utilisateur ne se rendra pas necessairement compte du problemepour peu que la solution paraisse physiquement acceptable). Cette mise en garde, qui peut semblersuperflue, se trouve cependant parfois a l’origine d’erreurs grossieres et graves.

Raffinement du maillage

En supposant que l’on se trouve dans le cadre d’application d’un schema consistant et stable,convergeant vers la bonne solution, il est important de s’assurer que le maillage utilise est suffisammentraffine pour que l’erreur soit faible. Pour cela, il est generalement conseille de realiser plusieurs calculs

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successifs en raffinant le maillage (soit N mailles, puis p3 ∗N mailles, en raffinant d’un facteur p danschaque direction d’espace, puis p6 ∗ N mailles...) jusqu’a ce que les grandeurs recherchees n’evoluentplus (ou evoluent dans une plage admissible, etant donne la precision recherchee).

Cette demarche pourra apparaıtre lourde et parfois difficile a mettre en œuvre en raison des delaisimposes ou des limitations de la puissance des calculateurs. Il est cependant important de s’y astreindreautant que faire se peut, car un resultat non converge en espace peut se reveler faux, a la fois d’unpoint de vue quantitatif et qualitatif. Les etudes parametriques (par exemple : optimisation de formeou de fonctionnement) constituent un exemple particulier pour lequel il est necessaire de travailler aconvergence en espace : dans le cas contraire, les variations entre les differents calculs pourraient nerefleter que le comportement du schema numerique sur un maillage insuffisamment raffine et non pasl’effet des modifications des parametres physiques d’interet.

Remarque : travailler avec un schema numerique d’ordre eleve en espace ne permet pas de s’abs-tenir de l’analyse de convergence decrite precedemment. Un ordre en espace plus eleve signifie quel’erreur diminuera plus vite lorsque l’on raffinera le maillage, mais n’implique en aucun cas que l’er-reur soit faible sur un maillage donne. A titre d’illustration, on propose sur la figure 18 un exemplede decroissance de l’erreur en fonction du pas de maillage sur un probleme fictif. On y observe enparticulier que la convergence ”monotone” ne s’obtient qu’a partir d’un certain raffinement (la taillede maille associee est impossible a prevoir en pratique) ; il faut eviter de realiser les calculs avec desmaillages si peu raffines que le comportement de l’erreur en devient imprevisible. De plus, on constateque le schema d’ordre superieur (celui pour lequel l’erreur decroit le plus vite lorsque le pas de maillagetend vers 0) ne produit pas necessairement une erreur plus faible que celle associee au schema d’ordrele plus faible ; l’utilisation d’un schema d’ordre eleve est certes souhaitable, mais il faut se garder desconclusions hatives quant a la valeur de l’erreur.

Log (Pas d’espace)

Log (Erreur)

Ordre inférieur

Ordre supérieur

Fig. 18 – Exemple de decroissance de l’erreur en fonction du pas de maillage sur un probleme fictif

7.3 Considerations physiques

On adaptera la taille des mailles a la nature des phenomenes que l’on souhaite observer (un tour-billon ne peut generalement pas etre decrit correctement par une seule maille...). Il conviendra doncde s’interroger sur la taille des phenomenes importants (stratifications, tourbillons, jets, epaisseur decouche limite, zones de melange...) et sur les details geometriques indispensables (ailettes, asperites,injecteurs, obstacles...). La taille des mailles devra etre adaptee pour permettre leur representationcorrecte (par exemple, selon la precision recherchee, un ordre de grandeur au-dessous des echelles ainsidefinies). Dans certains cas, ceci sera impossible, etant donnees les contraintes de temps, de calcula-teur. On devra alors recourir a des modeles plus globaux. Par exemple, la representation d’une grillede 0, 5 m de cote percee de 10000 trous de diametre 1 mm pourrait se reveler impossible en pratique(on obtient en 2D des tranches a quelques 2 millions de mailles) ; si l’on ne recherche pas les details del’ecoulement au voisinage de ce composant, une modelisation par perte de charge doit etre envisagee :cette approche globale permet de lever la contrainte sur la taille des mailles imposee par la taille destrous.

Le niveau de modelisation de la turbulence employe doit egalement etre pris en compte. Generalement,plus le modele est fin, plus il est susceptible de resoudre des structures fines et complexes, et plus il

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requiert donc un maillage fin lui permettant de recourir a un niveau de discretisation suffisant.

Ainsi, les methodes de DNS resolvent toutes les structures et necessiteront d’utiliser des tailles demailles permettant de resoudre les tourbillons dont l’echelle caracteristique est celle de Kolmogorov.Par exemple, dans une piece de 10 m3, ou une aeration genere un tourbillon de grandeur caracteristique1 m, avec un niveau de turbulence de 10%, il faudrait pouvoir representer des structures d’approxima-tivement 0, 1 mm, ce qui, en maillage cartesien uniforme, conduirait a quelques 1013 mailles (10 000milliards). Pour des raisons pratiques de limitations des calculateurs actuels, la DNS ne s’appliqueencore aujourd’hui qu’a des configurations a bas nombre de Reynolds (voir la relation entre le nombrede Reynolds, l’echelle de longueur macroscopique et l’echelle de Kolmogorov).

Les methodes de LES necessitent de resoudre les echelles de la turbulence qui ne sont pas prises encompte par le modele de sous-maille. Apparemment, une structure trop petite pour etre resolue (troppetite pour etre discretisee correctement par le maillage utilise), est donc naturellement prise en comptepar le modele. On n’a donc en apparence pas a se preoccuper de la taille des mailles. Neanmoins, lesmodeles de sous-maille sont des modeles relativement simples qui exploitent le fait que les structuresa modeliser seront de petites structures (independantes de la geometrie du domaine, en particulier)et situees dans la zone visqueuse ou dans la partie haute de la zone inertielle du spectre d’energie(voir la figure 13). Il est donc important de s’assurer que la taille de maille permet de resoudre lesgrosses structures de l’ecoulement, jusqu’a l’interieur de la zone inertielle du spectre. La limite de cettezone, cependant, n’est simple a determiner en pratique que pour quelques ecoulements academiques.On s’astreint donc generalement a utiliser le maillage le plus raffine possible si l’on ne connaıt pas letype d’ecoulement a l’avance. Dans le cas contraire, on s’efforce d’utiliser un maillage permettant derepresenter les grosses structures qui auront un effet important sur l’ecoulement. Par exemple, pour unmilieu encombre constitue d’assemblages tubulaires (echangeur par exemple), on s’efforcera de raffinerle maillage afin qu’il permette de discretiser au moins les tourbillons generes par les obstacles (utiliserdes mailles 10 fois plus petites). Ici encore, l’analyse de sensibilite au raffinement du maillage estimportante (mais pour des raisons liees a la modelisation physique et non plus seulement aux schemasnumeriques).

Pour les modeles RANS (resolution des equations de Navier Stokes moyennees au sens de Reynolds),les structures turbulentes etant prises en compte par le modele, il convient de representer correctementsur le maillage les grandeurs moyennes associees. Pour cela, on pourra calculer les echelles de grandeur

des couches limites, de la turbulence ( k3/2

ε ) la taille des phenomenes locaux (jets, obstacles...) ets’assurer par exemple que la taille des mailles est inferieure d’un ordre de grandeur au minimum. Ilconviendra egalement de prendre en compte le comportement specifique des modeles en proche paroi(voir en particulier la difference entre les modeles haut et bas Reynolds, paragraphe 4.2.6), qui estsouvent un critere important pour la definition de la taille des mailles. Enfin, il conviendra d’evaluerla sensibilite des resultats a un raffinement de maillage.

7.4 Synthese

On peut donc retenir les trois points suivants :

• il faut veiller a la convergence en espace : un raffinement du maillage utilise ne doit pas conduirea une modification importante des resultats (etant donne le niveau de precision recherche).

• le raffinement du maillage doit etre adapte aux modeles (et en particulier aux modeles deturbulence) utilises. Le choix de la taille des mailles peut etre base sur les echelles caracteristiquesdes phenomenes et des details geometriques a representer. L’analyse de sensibilite au raffinement dumaillage est utile a ce stade egalement.

• les aspects pratiques (delais d’etude, puissance des calculateurs, volume de donnees a depouiller...)constituent des facteurs limitants bien reels. Neanmoins, ils ne doivent pas etre utilises pour justifiersystematiquement l’absence d’analyse de dependance au maillage.

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8 Conclusion et perspectives

En conclusion de cette presentation rapide, on peut indiquer les points suivants.

- Les modeles de longueur de melange ont pour atout leur simplicite mais le calage de la longueura utiliser est delicat ; de ce fait, l’utilisation de ce type de modele est limite a certains domainesd’application bien precis.

- Le modele a deux equations k− ε est tres utilise dans les applications industrielles. Son domained’application est large, et s’il souffre de certaines limitations, elles sont cependant bien connues.

- Les modeles de transport des tensions de Reynolds constituent un moyen de pallier les deficiencesdu modele k − ε pour certains types d’ecoulements. Leur utilisation ne s’est cependant pasveritablement generalisee, peut-etre en raison du fait que de nombreux codes commerciaux neproposent pas des schemas suffisamment robustes pour les utiliser simplement.

- Deux modeles recents semblent proposer des ameliorations notables par rapport aux modelesclassiques. Il s’agit du k − ω SST de Menter et du modele v2 − f de Durbin (intermediaire entreles modeles a deux equations et les modeles de transport des tensions de Reynolds [7]), ainsi quede ses ameliorations recentes (φ-model groupe de D. Laurence, UMIST).

- La modelisation de proche paroi est encore relativement rudimentaire, et en tous les cas n’est pasencore suffisamment generale pour que les approches par lois de paroi ”logarithmique” classiquessoient clairement depassees ; cette remarque est en particulier valable pour les aspects thermiques.

- Les simulations LES ont fait leur apparition dans les applications industrielles depuis quelquesannees mais elles souffrent encore d’un certain manque de maturite des codes et de puissances decalcul et de traitement des donnees insuffisantes. Par ailleurs, comme on s’attend a voir apparaıtredes fluctuations dans de telles simulations, il est imperatif que les utilisateurs aient l’experiencerequise pour differencier les fluctuations ”physiques” des oscillations purement numeriques quipeuvent naıtre d’une stabilite insuffisante des schemas numeriques.

- Toujours en LES, le traitement des zones de proche paroi, le couplage a d’autres modeles (RANS-LES) et la prise en compte des aspects thermiques sont des champs de recherche encore largementouverts.

- La DNS reste un outil permettant l’etudes de phenomenes elementaires a faible nombre de Rey-nolds (par exemple pour le developpement de modeles).

- Pour tous les domaines, les aspects relatifs aux incertitudes de calcul devront faire l’objet d’untravail specifique (incertitudes numeriques, physiques, intervalle de confiance...).

- Ces perspectives demandent que progressent en meme temps les moyens de calcul (machinesparalleles, acces rapides, temps de retour reduits) et de traitement des donnees (manipulationde grands volumes d’information, pre- et post-traitement, generation de maillages de grandetaille...).

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