บทที ่2บทที่ 2 ทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต

Geometrical Optics

การอธิบายสมบัติทางแสงโดยกำหนดว่า แสงเดินทางเป็นเส้นตรงและเป็นรังสี ดังนั้นแสง จึงไม่สามารถเลี้ยวเบนหรือกระจายรอบๆ วัตถุทึบแสงซึ่งขวางทางเดินแสงไม่ได้และถ้าพิจารณาโดยการเปรียบเทียบขนาดของความยาวคลื่นกับมิติของทัศนูปกรณ์จะอธิบายเกี ่ยวกับแสงได้เป็น สองลักษณะคือ ถ้าแสงมีความยาวคลื่นสั้นกว่ามิติของทัศนูปกรณ ์ จะเรียกว่า แสงเชิงเรขาคณิต (Geometrical Optics ) และถ้าแสงมีความยาวคลื่นมากกว่ามิติของทัศนูปกรณ์ จะเรียกว่า แสงเชิงกายภาพ (physical optics ) ทั้งนี้ในอธิบายถึงแสงเชิงเรขาคณิตจะเป็นการอธิบายเกี่ยวกับการสะท้อนกลับ(reflection) และการหักเห ( refraction)

2.1 กฎการสะท้อนกลับของแสง

เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางหนึ่งไปยังอีกตัวกลางหนึ่งที่บริเวณรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง

และแสงบางส่วนจะทะลุผ่านเข้าไปในอีกตัวกลางหนึ่งและเกิดการหักเหในกลางนั้น นอกจากจะมี

แสงบางส่วนสะท้อนกลับเข้ามาตัวกลางเดิม ซึ่งรังสี(แสง)ที่สะท้อนกลับจะอยู่ในระนาบเดียวกับรังสี

ตกกระทบหรือเรียกได้ว่ารังสีสะท้อนและรังสีตกกระทบอยู่ในตัวกลางเดียวกันและมุมสะท้อนของ

รังสี θr จะขนาดเท่ากับมุมรังสีตกกระทบ θi และเส้นปกติ (Normal Line) คือเส้นที่ตั้งฉากกับผิว

ของตัวกลาง ดังภาพที่ 2.1

ภาพที่ 2.1 เส้นปกติ รังสีตกกระทบ รังสีสะท้อน รังสีหักเห กฎการสะท้อนและกฎการหักเห

9

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

2.2 การหักเหของแสง

เมื่อแสงเดินทางจากตัวกลางหนึ่งไปยังอีกตัวกลางหนึ่งที่บริเวณรอยต่อของตัวกลางทั้งสอง

คลื่นแสงบางส่วนจะทะลุผ่านเข้าไปในอีกตัวกลางหนึ่งนั้นจะเบนไปจากแนวเดิม (เบนจากแนวของรังสีตกกระทบ) ทั้งนี้การหักเหจะขึ้นอยู่กับค่าดรรชนีหักเห เป็นไปตามกฎการหักเหของสเนลส์

ni sinθi = nr sinθr (2.1 )

การหักเหแบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ

1) เบนออกจากแนวเส้นปกต ิ เกิดจาการที่แสงเดินทางผ่านจากตัวกลางที่มีดัชนีมากเกินไปยัง

ตัวกลางที่มีค่าดรรชนีหักเหน้อย

2) เบนเข้าหาแนวเส้นปกติ เกิดจากการที่แสงเดินทางผ่านจากตัวกลางทีมีดัชนีน้อยไปยัง

ตัวกลางที่มีค่าดัชนีมาก

2.3 หลักของฮอยเกนส์

ปีคริตศักราช 1678 คริสเตียน ฮอยเกนส์ ( Christiaan Huygens ; 1629-1695) นักฟิสิกส์

ชาวเนเธอร์แลนด์ ได้อธิบายเกี่ยวกับคลื่นแสงว่า จุดใด ๆ บนหน้าคลื่นจะเป็นแหล่งกำเนิดคลื่น

ทรงกลมที่มีอัตราเร็วและรูปร่างเหมือนกับแหล่งกำเนิดเดิม ถ้าลากเส้นเชือกแต่ละหน้าคลื่นใหม่จะได้

หน้าคลื่นที่เหมือนหน้าคลื่นเดิม ดังภาพที่ 2.2

(ก) (ข)ภาพที ่2.2 หลักของฮอยเกนส์เมื่อหน้าคลื่นเป็น (ก) คลื่นระนาบ (ข)คลื่นวงกลม

10

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

1 กฎการสะท้อนตามหลักของฮอยเกนส์การตกกระทบของรังสีตกกระทบ AD BE และ CF ทำมุม θi กับเส้นปกติ PD ดังแสดง

ในภาพที ่2.3 จะเห็นว่า หน้าคลื่นเป็นคลื่นระนาบ ABC และจุด A B และ C เคลื่อนที่มาถึงรอยต่อ

XY ไม่พร้อมกัน เมื่อสร้างหน้าคลื่นใหม่โดยพิจารณาว่าไม่มีรอยต่อ XY แล้วตามหลักของฮอยเกนส์

แล้วเมื่อรังส ี CF เคลื่อนที่มาถึงรอยต่อ XY ที่จุด I จะได้หน้าคลื่นใหม่ (หน้าคลื่น GHI) ขึ้น

แต่เนื่องจากเกิดการสะท้อนที่บริเวณรอยต่อในช่วงเวลาที่รังสี CF เคลื่อนที่จากจุด F ไปยังจุด I และ

รังสี BE เคลื่อนที่จากจุด E ไปยังจุด J โดยมีระยะทางเท่ากับ JH (JH คือระยะจากจุด J ถึงจุด H )

หลังจากนั้นจะเกิดการสะท้อนที่บริเวณรอยต่อ XY ที่จุด J ซึ่งเราจะวาดหน้าคลื่นใหม่โดยรัศมี

เท่ากับ JH จะได้รังสีสะท้อนรังสี JN

ในทำนองเดียวกันเราจะวาดหน้าคลื่นที่มีรัศมีเท่ากับ DG (DG คือระยะจากจุด D ถึงจุด G)

โดยมีจุด D ของรอยต่อ XY เป็นจุดศูนย์กลาง เราจะได้รังสีสะท้อน DL (DM) และถ้าลากเส้นเชื่อม

จุดบนหน้าคลื่นสะท้อน (M N และ I) แล้วจะได ้หน้าคลื่นใหม่ KI ทั้งนี้มุมสะท้อน θr ของหน้าคลื่น

สะท้อน KI จะมีขนาดเท่ากับ มุมตกกระทบ θi ของหน้าคลื่นตกกระทบ ABC ดังภาพที ่ 2.3

ภาพที่ 2.3 การสร้างหน้าคลื่นสะท้อน หลักของฮอยเกนส์

11

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

2 กฎการหักเหตามหลักของฮอยเกนส์ถ้าแสงเดินทางจากตัวกลางที่มีดัชนี ni คลื่นแสงจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว vi = c ni ไปยัง

อีกตัวกลางหนึ่งที่มีดรรชนีหักเห nt แล้วแสงจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว vt = c nt เมื่อ c คืออัตราเร็ว

ของแสงในสุญญากาศ จากภาพที่ 3.4 เราจะเห็นว่า จุด D Eและ F บนหน้าคลื่นตกกระทบเคลื่อนที่มาถึงรอยต่อ XY ที่จุด D J และ I ในเวลาที่แตกต่างกัน ถ้าไม่มีรอยต่อ XY (ไม่มีผิวหักเห) หน้าคลื่นที่จุด F จะใช้เวลา t ในการเคลื่อนที่มาถึงจุด I แต่รังส ี AD เคลื่อนที่เข้ามารอยต่อ XY เข้าไปใน

ตัวกลางที่มีดรรชนีหักเห nt โดยมีอัตราเร็วจะลดลง ดังนั้นระยะ DG จะเท่ากับ vit เมื่อพิจารณา

รอยต่อจะพบว่ามีการหักเหของแสงเกิดขึ้น รังสี AD จะเคลื่อนที่ข้ามรอยต่อด้วยอัตราเร็ว vt ใช้เวลา

t ในการเคลื่อนที่จากจุด D ไปยังจุด M ดังนั้นระยะ DM จึงหาได้จาก vtt จากเงื่อนไข

DM = vtt และ DG = vit จะได้DM = vt (DG vi ) = vtviDG = c nt

c niDG

ดังนั้นจะได ้

DM = nintDG (2.2)

ภาพที่ 3.4 พบว่ารังส ีDM ทำมุม θt กับเส้นปกต ิPD และรังส ี DG อยู่ในแนวกับรังสี AD

ดังนั้นรังสี DG จึงทำมุม θi กับเส้นปกติ PD เมื่อใช้ความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตจะได้สมการ

sinθt = nint

sinθi เป็นไปตามกฎของสเนล

ni sinθi = nt sinθt (2.3)

ภาพที ่2.4 การสร้างหน้าคลื่นหักเหตามหลักของฮอยเกนส์

12

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

2.4 หลักของเฟอร์แมต

1 กฎการสะท้อนตามหลักของฮีโรหลักของฮีโร (Hero ’s principle) กล่าวว่า เมื่อแสงเคลื่อนที่ระหว่างจุดสองจุดใดๆ

แสงจะเลือกเคลื่อนที่ไปในเส้นทางที่สั้นที่สุด พิจารณาภาพที ่ 3.5 เมื่อแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B ด้วยการสะท้อนจากผิวระนาบ จะเห็นว่ามีเส้นทางที่แสงจะเคลื่อนที่ไป 3 เส้นทาง คือเส้นทาง ACB ADB และ AEB

พิจารณาเส้นทาง ACB สร้างจุด ′A และบนเส้นตั้งฉาก AO โดยให้ระยะ O ′A = AO

ดังนั้นจะได ้ ′A C = AC และ ′A E = AE เมื่อแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B โดยผ่าน

จุด C จะมีระยะทางเท่ากับแสงที่เดินจากจุด ′A ไปยัง B ตามเส้นทาง ′A DB ดังนั้น เส้นทาง

ADB จึงเป็นเส้นทางที่ถูกต้องตามหลักของฮีโร และจะได้ว่ามุมของรังสีสะท้อน θr (รังส ี DB)

มีขนาดเท่ากับมุมของรังสีตกกระทบ θi (รังส ีAD)

ภาพที่ 2.5 การพิสูจน์กฎการสะท้อนจากหลักของฮีโร

2. กฎหักเหตามหลักของเฟอร์แมตเฟอร์แมต (Fermate) ได้นำเอาหลักของฮีโรมาขยายต่อเพื่อใช้ในการพิสูจน์กฎหักเหโดย

พิจารณาว่ารังสีของแสงจะเคลื่อนที่ในเส้นทางที่ใช้เวลาน้อยที่สุดจากจุด A ไปยัง B จากภาพที่ 2.6 จะพบว่า เวลาที่แสงเคลื่อนที่ในตัวกลางที่มีดรรชนีหักเหคงตัว ni ด้วยอัตราเร็วคงตัว vi จนได้

ระยะทางเท่ากับ AO คือ tAO = AO vi เมื่อแสงเคลื่อนที่ทะลุผ่านเข้าไปยังตัวกลางที่มี

ดรรชนีหักเห nt แสงจะมีอัตราเร็วเปลี่ยนไปเป็น vt และเวลาที่แสงเคลื่อนที่เป็นระยะทาง OB

เท่ากับ tOB = OB vt ดั้งนั้นเวลาที่น้อยที่สุด t ที่แสงเคลื่อนที่จึงหาได้จาก

t = AOvi

+OBvt

(2.4)

13

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

จากภาพที ่2.5 จะได้

t = a2 + x2

vi+ b2 + (c − x)2

vt (2.5)

หาเวลาที่น้อยที่สุดได้จาก dt dt = 0 จะได้

dtdx

= ddx

a2 + x2

vi

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

ddx

b2 + (c − x)2

vt

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0 (2.6)

ดังนั้น xvi a2 + x2

= c − xvt b2 + (c − x)2

(2.7)

จากภาพที ่2.6 จะได้ sinθi = xa2 + x2

และ sinθt = c − xb2 + (c − x)2

sinθivi

= sinθtvt

(2.8)

และจาก vi = c ni และ vt = c nt จะได้

ni sinθi = nt sinθt (2.9)

ภาพที ่3.6 การพิสูจน์กฎหักเหตามหลักของเฟอร์แมต

14

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

2.5 กระจกเงา

1 กระจกเงาราบภาพที่เกิดจากกระจกเงาราบ (flat mirror) เป็นภาพเสมือนหัวตั้งและขนาดของภาพ

จะเท่ากับขนาดของวัตถุเสมอ แต่ภาพที่ได้จะกลับด้านกลับวัตถุโดยจะกลับซ้ายเป็นขวาและ

ขวาเป็นซ้าย ภาพที่ 2.7 แสดงการเกิดภาพกระจกเงาราบ

(ก) (ข)

ภาพที่ 2.7 การเกิดภาพจากกระจกเงาราบ

ภาพที่ 2.7 (ก) แสดงภาพที่เกิดจากกระจกเงาราบ เมื่อรังสีจากวัตถุที่มีขนาดซึ่งอยู่ที่จุด S

สะท้อนที่กระจกเงาราบแล้วจะได้ ΔSNP ≅ Δ ′S NP โดยที่ระยะภาพ ′S N จะมีขนาดเท่ากับ SN

เนื่องจากรังสีสะท้อนด้านบนกระจกไม่ตัดกันจึงไม่สามารถใช้ฉากรับภาพได้ แต่ที่ขนาดด้านหลัง

กระจกเงาจะเสมือนมีแนวของรังสีไปตัดกัน ดังนั้นภาพที่ได้จึงเป็นภาพเสมือน และมีขนาดเท่ากับ

วัตถุเสมอ ดังภาพที ่ 2.7 (ข) เมื่อวางวัตถุห่างจากกระจกเงาในระยะที่แตกต่างกัน จะพบว่า

ระยะภาพที่เกิดด้านหลังกระจกเงาราบจะเท่ากับระยะวัตถุเสมอ

2 กระจกโค้งเราหาความสัมพันธ์ระหว่างระยะวัตถุ S และระยะภาพ ′S จากการสะท้อนที่ผิวโค้ง

(กระจกโค้งเว้าและกระจกโค้งนูน) ที่เป็นฟังก์ชันของรัศมีที่มีความโค้งของกระจก R ได้โดยประมาณอันดับหนึ่งค่าของค่าไซน์และโคไซน์ของมุมที่รังสีวัตถุ และรังสีภาพทำกับผิวโค้ง จากอนุกรมเทย์เลอร์

sin x = x − x3

3!+ x

5

5!− ... และ cos x = 1− x

2

2!+ x

4

4!− ... เมื่อพิจารณากรณ ี x ( x→ 0 )

มีค่าน้อยๆ จะได้ sin x ≈ x และ cos x ≈1 ดังนั้น

tan x ≈ sin x ≈ x (2.10)

15

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

ภาพที ่2.8 การสะท้อนที่ผิวโค้ง

จากภาพที่ 2.8 พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก ΔPIC จะได้

IC!P +CP!I + PI"C = 180#

ϕ +θ + (180! − ′α ) = 180!

θ = ′α −ϕ (2.11)

และจาก θ +OP!Q +QP!I + IP!C = 180"

θ + (90! −α )+ (90! − ′α ) = 180!

ดังนั้นจะได ้ 2θ = α+ ′α (2.12)

แทนสมการ (2.11) ลงในสมการ (2.12 ) จะได้

−2ϕ = α − ′α (2.13)

พิจารณามุมสามเหลี่ยม ΔOQP จะได้ α ≈ tanα ≈ − PQS

(2.14a)

16

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

พิจารณามุมสามเหลี่ยม ΔIPQ จะได ้ ′α ≈ tan ′α ≈ PQ′S

(2.14b)

พิจารณามุมสามเหลี่ยม ΔIPC จะได้ ϕ ≈ tanϕ ≈ PQR

(2.14c)

แทนสมการ (2.14) ลงในสมการ (2.13) จะได ้ −2 PQR

= − PQS

− PQ′S

หรือ

2R

= 1S+ 1

′S (2.15 )

เมื่อ R = 2 f จะได้ 1f

= 1S+ 1

′S (2.16)

ทั้งนี้การคำนวณโดยใช้สมการ (2.15) และ (2.16) นั้นเราจำเป็นต้องคำนึงถึงเครื่องหมายบวกและลบ

เป็นสำคัญ ดังตารางที่ 2.1

ตารางที่ 2.1 ชนิดของกระจกโค้ง เครื่องหมายในการคำนวณ และลักษณะของภาพ

ชนิดของ

กระจกโค้ง

ระยะวัตถุ S

ระยะภาพ ′S

รัศมี R โฟกัส f ลักษณะของภาพ

กระจกนูน + - - ภาพเสมือน หัวตั้ง

กระจกเว้า + +- + ภาพจริง หัวกลับ

ภาพเสมือน หัวตั้ง

17

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

2.6 เลนส์

การเกิดภาพจาดเลนส์บางเกิดได้ทังภาพจริงและภาพเสมือนขึ้นอยู่กับชนิดของเลนส์ว่าเป็น

เลนส์นูนหรือเลนส์เว้าและขึ้นอยู่กับระยะวัตถุว่าอยู่ห่างจากเลนส์นูนมากกว่าระยะโฟกัสหรือไม่

ทั้งนี้จะไม่กล่าวรายละเอียด เนื่องจากเรียนในวิชาฟิสิกส์ 2 และใช้สูตรที่ใช้ในการคำนวณก็เป็นไป

ตามสมการ (2.16) แต่อย่างไรก็ตาม จะแตกต่างกันตรงการกำหนดเครื่องหมาย ตามตารางที่ 2.2

ทั้งนี ้ ภาพที่เกิดอยู่ด้านหลังเลนส์จะเป็นภาพจริงหัวกลับ ในขณะที่ภาพที่อยู่ด้านเดียวกับวัตถุจะเป็น

ภาพเสมือนหัวตั้ง และการเกิดภาพจากเลนส์นูนขึ้นอยู่กับตำแหน่งหรือระยะห่างของวัตถุและความ

ยาวโฟกัสของเลนส์ สรุปได้ดังตารางที่ 2.2 ในขณะที่ภาพเกิดจากเลนส์เว้า ไม่ว่าจะวางวัตถุที่ระยะ

ห่างจากเลนส์เท่าใด จะพบว่า จะได้ภาพเสมือนขนาดเล็กกว่าวัตถุ และอยู่หน้าเลนส์เสมอ

ตารางที ่2.2 ชนิดของกระเลนส์บาง เครื่องหมายในการคำนวณ และลักษณะของภาพ

ชนิดของ

เลนส์บาง

ระยะวัตถุ S

ระยะภาพ ′S

รัศมี R โฟกัส f ลักษณะของภาพ

เลนส์นูน + +- + ภาพจริง หัวกลับ

ภาพเสมือน หัวตั้ง

เลนส์เว้า + - - ภาพเสมือน หัวตั้ง

ตารางที ่2.3 สรุปการเกิดภาพจากเลนส์นูน

ระยะวัตถุS

ระยะภาพ

′Sชนิดภาพ กำลังขยาย M

อนันต์ ∞ จุดโฟกัส f ภาพจริง หัวกลับ < 1

S > 2 f 2 f > ′S > f ภาพจริง หัวกลับ < 1

S = 2 f = R ′S = 2 f = R ภาพจริง หัวกลับ 1

2 f > S > f ′S > 2 f ภาพจริง หัวกลับ > 1

S = f อนันต์ ∞ - > 1

S < f ′S > f ภาพเสมือน หัวตั้ง > 1

18

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

กำลังขยาย ( magnification ;M ) คือ อัตราส่วนระหว่างระยะภาพ ′S ต่อระยะวัตถ ุS

หรืออัตราส่วนระหว่างความสูงของภาพ ′h ต่อความสูงของวัตถุ h

M = − ′SS

( 2.17)

ถ้า M <1 แล้วภาพจะมีขนาดเล็กกว่าวัตถุ

ถ้า M = 1 แล้วภาพและวัตถุมีขนาดเท่ากัน

ถ้า M >1 แล้วภาพมีขนาดใหญ่กว่าขนาดของวัตถุ

หรือ M = ′hh

( 2.18)

19

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส ์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560

แบบฝึกหัดประจำบทที่ 2

1) จงพิสูจน์กฎการสะท้อน โดยใช้หลักการองเฟอร์แมต

2) จงแสดงที่มาของสมการ 1S+ 1

′S = 1

f โดยใช้เลนส์นูน

3)วัตถุอันหนึ่งมีความสูง 20 เซนติเมตร วางห่างจากเลนส์สามอัน A B และ C เรียงตามลำดับ ถ้า

เลนส์ A B และ C มีความยาวโฟกัสเป็น 10 15 และ 20 เซนติเมตร ตามลำดับ และเลนส ์ A

กับเลนส ์B วางห่างกัน 30เซนติเมตร และเลนส์ B กับเลนส์ C วางห่างกัน 20 เซนติเมตร แล้ว

จงหาระยะภาพที่เกิดจากเลนส ์ C เมื่อ

3.1) เลนส์ทั้งสามเป็นเลนส์นูน

3.2) เลนส์ A และเลนส์ C เป็นเลนส์นูน แต่เลนส ์B เป็นเลนส์เว้า

3.3) เลนส์ A และเลนส์ C เป็นเลนส์เว้า แต่เลนส ์B เป็นเลนส์นูน

20

อาจารย ์ดร.ชีวะ ทัศนา ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยราชภัฏรำไพพรรณี 2560