บัณฑิตแนะแนว คํานํา¹€ล่ม 1...

บณฑตแนะแนว ตว ONLINE : คอรสสรปเนอหา ป.6 วชาคณตศาสตร 1

คานา หนงสอชด “สรปเนอหา” เปนหนงสอคมอเตรยมสอบแนวใหม ทปรบปรงมาจากหนงสอ “ชด TOP” เหมาะสาหรบนกเรยนทตองการทบทวนเนอหาอยางละเอยด เพอผลการสอบทยอดเยยม และสาหรบครอาจารยใชเปนคมอประกอบการสอน เพราะภายในเลมประกอบดวยเนอหา คาอธบาย ตวอยาง และแบบฝกหด เรยงตามบทเรยนในหลกสตรใหมของกระทรวงศกษาธการ แตละวชาอยางครบถวน อนงการใชหนงสอชดสรปเนอหานใหไดประโยชนสงสด ควรใชควบคกบการด “คลปวดโอการสอนในคอรสสรปเนอหา” ทอาจารยจะชวยอธบายเนอหาในแตละเรองใหนกเรยนเขาใจไดอยางมประสทธภาพ และควรใชควบคกบ “หนงสอ + คลปวดโอการสอนในคอรสตะลยโจทย” ของวชานนๆ ซงจะชวยใหนกเรยนไดรบประสบการณจากการทาโจทยทมระดบความยาก-งาย และพลกแพลงเชนเดยวกบขอสอบแขงขน จนทาใหประสบความสาเรจในทสด สานกงานบณฑตแนะแนวหวงเปนอยางยงวา หนงสอชด “สรปเนอหา” เลมน จะเปนประโยชนสาหรบผทมไวศกษาคนควา และใชเปนแนวทางในการเตรยมตวสอบให ประสบความสาเรจ และหากพบขอบกพรองประการใด โปรดแจงใหทราบดวย เพอจะไดปรบปรงใหดยงขนในโอกาสตอไป

สานกงานบณฑตแนะแนว

กองบรรณาธการ : ไพจตร ศภพมล สทธชย นยมสทธ วภาพร ประมวล นนทปภสร โปกล เพยาว ชาวบานซอง สจตตา ไชยจนลา เพชรไพลน รอดนาค ประไพพร ไขมวง วฒภทร จนทรนาค ธรยทธ พงษศรรตน ปรดาวรรณ ชลชพ ภทรพล รอดนาค

เจาของ : สานกงานบณฑตแนะแนว โทรศพท 02-2794808 แฟกซ 02-6171820 เลขท 1033/4 ถนนพหลโยธน แขวงสามเสนใน เขตพญาไท กทม. 10400

พมพท : หางหนสวนจากดรงเรองสาสนการพมพ เลขท 195/6 หม 5 ซอยพทธบชา 44 แขวงบางมด เขตทงคร กทม. 10140 โทรศพท 02-8706301-3 สงวนลขสทธตามพระราชบญญตลขสทธ พ.ศ. 2537 : หามลอกเลยน คดลอก จดพมพ หรอทาซา

ไมวาสวนใดสวนหนงของหนงสอเลมนกอนไดรบอนญาตเปนลายลกษณอกษร

คอรสสรปเนอหา ป.6 วชาคณตศาสตร

2 บณฑตแนะแนว ตว ONLINE : คอรสสรปเนอหา ป.6 วชาคณตศาสตร

สารบญ

สวนท 1 : สรปเนอหา ป.6 วชาคณตศาสตร

จานวนนบ และการบวก ลบ คณ หารจานวนนบ .........................................................................3 ตวประกอบของจานวนนบ ......................................................................................................... 14 การบวก การลบ การคณ และการหารระคน ............................................................................. 25 มม ............................................................................................................................................... 31 เสนขนาน .................................................................................................................................... 39 ทศและแผนผง ............................................................................................................................ 46 การบวก การลบ การคณ และการหารเศษสวน ......................................................................... 56 การบวก การลบ การคณ และการหารทศนยม .......................................................................... 72 เงน .............................................................................................................................................. 93 เวลา ..........................................................................................................................................102 สมการและการแกสมการ..........................................................................................................114 บทประยกต (การเทยบบญญตไตรยางค รอยละ เปอรเซนต กาไร ขาดทน ดอกเบย)............120 การวดและพนท ........................................................................................................................131 รปสามเหลยม ...........................................................................................................................141 รปสเหลยม ................................................................................................................................154 รปวงกลม ..................................................................................................................................176 รปเรขาคณตสามมตและปรมาตรของทรงสเหลยมมมฉาก ......................................................183 สถตเบองตน..............................................................................................................................193 ความนาจะเปนเบองตน ............................................................................................................205

สวนท 2 : เฉลยแบบฝกหด เฉลยแบบฝกหด ........................................................................................................................208


คาประจาหลกและคาของเลขโดดตามคาประจาหลก จานวน 5,349,123,986 มคาประจาหลกและคาของเลขโดดในแตละหลกดงน

หลก คาประจาหลก เลขโดดท อยในหลก คาของเลขโดดตามคาประจาหลก ในรปเลขยกกาลง

หนวย 1 6 6 × 1 = 6 - สบ 10 8 8 × 10 = 80 - รอย 100 9 9 × 100 = 900 9 × 102 พน 1,000 3 3 × 1,000 = 3,000 3 × 103 หมน 10,000 2 2 × 10,000 = 20,000 2 × 104 แสน 100,000 1 1 × 100,000 = 100,000 1 × 105 ลาน 1,000,000 9 9 × 1,000,000 = 9,000,000 9 × 106 สบลาน 10,000,000 4 4 × 10,000,000 = 40,000,000 4 × 107 รอยลาน 100,000,000 3 3 × 100,000,000 = 300,000,000 3 × 108 พนลาน 1,000,000,000 5 5 × 1,000,000,000 = 5,000,000,000 5 × 109

คาประจาหลกในแตละหลกมคาเปนสบเทาของคาประจาหลกของหลกทอยถดไปทางขวามอ คาของเลขโดดในแตละหลกมคาเทากบผลคณของเลขโดดนนกบคาประจาหลกของเลขโดดนน

การเขยนในรปกระจาย ตวอยาง 39,567,812 จะเขยนในรปกระจายไดดงน 39,567,812 = 30,000,000 + 9,000,000 + 500,000 + 60,000 + 7,000 + 800 + 10 + 2 หรอ = (3 × 10,000,000) + (9 × 1,000,000) + (5 × 100,000) + (6 × 10,000) + (7 × 1,000) + (8 × 100) + (1 × 10) + (2 × 1) หรอ = (3 × 107) + (9 × 106) + (5 × 105) + (6 × 104) + (7 × 103) + (8 × 102) + (1 × 10) + (2 × 1)


การเรยงลาดบจานวนนบ การเรยงลาดบจานวนหลายๆ จานวน ทาไดโดยการเปรยบเทยบจานวนทละคแลวเรยงลาดบจากจานวนทมคานอยไปหาจานวนทมคามาก หรอจากจานวนทมคามากไปหาจานวนทมคานอย สาหรบหลกเกณฑการเปรยบเทยบแยกพจารณาไดดงน 1. จานวนทมจานวนหลกไมเทากน เชน 27,385 และ 9,874 จานวนทมจานวนหลกมากกวาจะมคามากกวา ดงนน 27,385 > 9,874 2. จานวนทมจานวนหลกเทากน เชน 4,798 และ 4,789 ใหเปรยบเทยบคาของเลขโดด ในแตละหลก ทละหลก ตงแตหลกซายมอสดไปทางขวามอ

44

77

98

89

เลขโดดในหลกพนมคาเทากน ใหเปรยบเทยบเลขโดดในหลกถดไปทางขวามอ คอ หลกรอย

เลขโดดในหลกรอยมคาเทากน ใหเปรยบเทยบเลขโดดในหลกถดไปทางขวามอ คอ หลกสบ

เลขโดดในหลกสบ 9 มคามากกวา 8 ดงนน 4,798 > 4,789


การหาคาประมาณและจานวนใกลเคยง ตวอยาง ใหพจารณาจานวน 412 และ 415

410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 412 อยระหวาง 410 และ 420 อยใกล 410 มากกวา ดงนน คาประมาณใกลเคยงจานวนเตมสบของ 412 คอ 410 415 อยกงกลางระหวาง 410 และ 420 ดงนน คาประมาณใกลเคยงจานวนเตมสบของ 415 คอ 420 การประมาณคาทใกลเคยงจานวนเตมสบใหพจารณาหลกหนวย ดงน ถาตากวา 5 ใหประมาณเปนจานวนเตมสบทมคานอยกวาจานวนนน ถาตงแต 5 ขนไป ใหประมาณเปนจานวนเตมสบทมคามากกวาจานวนนน การประมาณคาทใกลเคยงจานวนเตมรอยใหพจารณาหลกสบ ดงน ถาตากวา 50 ใหประมาณเปนจานวนเตมรอยทมคานอยกวาจานวนนน ถาตงแต 50 ขนไป ใหประมาณเปนจานวนเตมรอยทมคามากกวาจานวนนน การประมาณคาทใกลเคยงจานวนเตมพนใหพจารณาหลกรอย ดงน ถาตากวา 500 ใหประมาณเปนจานวนเตมพนทมคานอยกวาจานวนนน ถาตงแต 500 ขนไป ใหประมาณเปนจานวนเตมพนทมคามากกวาจานวนนน การประมาณคาทใกลเคยงจานวนเตมหมนใหพจารณาหลกพน ดงน ถาตากวา 5,000 ใหประมาณเปนจานวนเตมหมนทมคานอยกวาจานวนนน ถาตงแต 5,000 ขนไป ใหประมาณเปนจานวนเตมหมนทมคามากกวาจานวนนน การประมาณคาทใกลเคยงจานวนเตมแสนใหพจารณาหลกหมน ดงน ถาตากวา 50,000 ใหประมาณเปนจานวนเตมแสนทมคานอยกวาจานวนนน ถาตงแต 50,000 ขนไป ใหประมาณเปนจานวนเตมแสนทมคามากกวาจานวนนน การประมาณคาทใกลเคยงจานวนเตมลานใหพจารณาหลกแสน ดงน ถาตากวา 500,000 ใหประมาณเปนจานวนเตมลานทมคานอยกวาจานวนนน ถาตงแต 500,000 ขนไป ใหประมาณเปนจานวนเตมลานทมคามากกวาจานวนนน


การบวก และการลบ 1. สมบตเกยวกบการบวก 1.1 การสลบทของการบวก พจารณา 6 + 5 = 11 และ 5 + 6 = 11 ดงนน 6 + 5 = 5 + 6 สรป นาเลข 2 จานวนมาบวกกน เมอสลบทการบวกจะไดผลบวกเทากน 1.2 การเปลยนหมของการบวก พจารณา (3 + 6) + 5 = 9 + 5 และ 3 + (6 + 5) = 3 + 11 = 14 = 14 ดงนน (3 + 6) + 5 = 3 + (6 + 5) สรป นาเลข 3 จานวนขนไปมาบวกกน เมอสลบกลมการบวกจะไดผลลพธเทากน 2. การบวกและการลบเลขหลายหลก การบวกเลขหลายหลก หลายๆ จานวนจะตองวางเลขใหตรงหลก และบวกเลขในแตละหลกทละหลก ตงแตหลกขวามอสดไปทางซายมอ ถาผลบวกของแตละหลกเกน 10 ใหทดไปทหลกถดไปทางซายมอ เชน 7 5 , 2 6 4 3 , 3 8 9 5 1 8 7 9 , 1 7 1 การลบเลขหลายหลก ใหลบเลขในแตละหลกทละหลก ตงแตหลกทางขวามอสดไปทางซายมอ ในหลกทลบกนถาตวตงมคานอยกวาตวลบใหกระจายหลกทางซายมอมา 1 สบ เพอรวมกบตวตงกอน ผลบวกทไดจงนาไปลบกบตวลบในหลกเดยวกน เชน 12 12 3 2 10 4 2 11 4 3 0 , 5 3 1 2 8 9 , 4 7 5 1 4 1 , 0 5 6

+

1 1 2

-


การคณ และการหาร 1. สมบตเกยวกบการคณ 1.1 การสลบทการคณ พจารณา 6 × 5 = 30 และ 5 × 6 = 30 ดงนน 6 × 5 = 5 × 6 สรป นาเลข 2 จานวนมาคณกน เมอสลบทการคณจะไดผลคณเทากน 1.2 การเปลยนหมการคณ พจารณา (3 × 6) × 5 = 18 × 5 และ 3 × (6 × 5) = 3 × 30 = 90 = 90 ดงนน (3 × 6) × 5 = 3 × (6 × 5) สรป นาเลข 3 จานวนขนไปมาคณกน เมอสลบกลมการคณจะไดผลลพธเทากน 1.3 การแจกแจงการคณ เปนการหาผลคณโดยการเชอมโยงระหวางการคณและการบวก พจารณา 3 × (5 + 7) = 3 × 12 และ (3 × 5) + (3 × 7) = 15 + 21 = 36 = 36 ดงนน 3 × (5 + 7) = (3 × 5) + (3 × 7) สรป การนาจานวนนบมาคณกบการบวกของจานวนนบอกกลมหนงสามารถแจกแจงไดและม

ผลลพธเทากน 2. การคณและการหารเลขหลายหลก ตวอยางท 1 7,034 × 625 = วธทา 7 , 0 3 4 7,034 × 625 6 2 5 = 7,034 × (600 + 20 + 5) 3 5 , 1 7 0 ← 5 × 7,034 1 4 0 , 6 8 0 ← 20 × 7,034 = 7,034 × (5 + 20 + 600) 4 , 2 2 0 , 4 0 0 ← 600 × 7,034 = (7,034 × 5) + (7,034 × 20) + (7,034 × 600) 4 , 3 9 6 , 2 5 0 ตอบ ๔,๓๙๖,๒๕๐

×


แนวคด คณทละหลกจากหลกนอยไปหาหลกมาก แลวนาผลคณมาบวกกน การคณดวย 10, 100, 1,000 ... ผลลพธจะไดเทากบตวตงแลวเตม 0 เทากบจานวน 0 ของตวคณ เชน 5 × 10 = 50, 6 × 100 = 600 ถาคณดวยจานวนทเปนพหคณของ 10, 100, 1,000 ... ใชตวพหคณเปนตวคณแลวเตม 0 เทากบจานวน 0 ของตวคณ เชน 5 × 20 = 100, 18 × 300 = 5,400 ตวอยางท 2 35,867 ÷ 69 = 5 1 9 วธทา 69 3 5 , 8 6 7 3 4 , 5 0 0 ← 500 × 69 1 , 3 6 7 6 9 0 ← 10 × 69 6 7 7 6 2 1 ← 9 × 69 5 6 ตรวจคาตอบ (69 × 519) + 56 = 35,867 ตอบ ๕๑๙ เศษ ๕๖ แนวคด ใหเรมตนหารจากหลกซายมอสด แลวจงหารในหลกถดไปทางขวามอทละหลก เมอตวตงเปนตวพหคณของ 10 เมอหารดวย 10 ใหตด 0 ขางทายตวตงออก 1 ตว เชน 40 ÷ 10 = 4 เมอตวตงเปนตวพหคณของ 100 เมอหารดวย 100 ใหตด 0 ขางทายตวตงออก 2 ตว เชน 500 ÷ 100 = 5 3,000 ÷ 100 = 30 ในทานองเดยวกน 80,000 ÷ 1,000 = 80 9,000,000 ÷ 10,000 = 900


วธลดการคณและการหารดวย 10, 100, 1,000, ... การคณ เมอคณดวย 10, 100, 1,000, ... ใหเขยนตวตงแลวเตมเลข 0 ลงไปใหเทากบตวคณ เชน คณดวย 10 เตม 0 หนงตว ตวอยาง 46 × 10 = 460 คณดวย 100 เตม 0 สองตว ตวอยาง 57 × 100 = 5,700 การหาร เมอหารดวย 10, 100, 1,000, ... ใหตด 0 ของตวตงออกเทากบจานวนเลข 0 ของตวหาร เชน หารดวย 10 ตด 0 ออกหนงตว ตวอยาง 500 ÷ 10 = 500 = 50 หารดวย 100 ตด 0 ออกสองตว ตวอยาง 80,000 ÷ 100 = 80,000 = 800


1. เตมตวเลขลงในตารางและเขยนคาของตวเลขในแตละหลก

ลาน จานวน

รอย สบ หนวย แสน หมน พน รอย สบ หนวย

405,178,263 จากตาราง 1. ตวเลข 3 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 2. ตวเลข 6 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 3. ตวเลข 2 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 4. ตวเลข 8 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 5. ตวเลข 7 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 6. ตวเลข 1 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 7. ตวเลข 5 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 8. ตวเลข 0 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 9. ตวเลข 4 อยในหลก ......................... มคาเปน .................................................................... 2. หาคาตอบทถกตอง 1. 56,304 + 12,874 = .......................................................... 2. 2,438 + 1,569 = .......................................................... 3. 8,293 + 549,163 = .......................................................... 4. 235,326 + 326,325 = ..........................................................


5. (15,840 + 12,171) + 3,610 = .......................................................... 6. 15,840 + (12,171 + 3,610) = .......................................................... 7. 2,558 + 2,559 + 2,560 = .......................................................... 8. 2,560 + 2,559 + 2,558 = .......................................................... 9. 574,126 - 524,010 = .......................................................... 10. 36,407 - 2,601 = .......................................................... 11. 125,647 - 90,101 = .......................................................... 12. 870,000 - (75,400 - 39,547) = .......................................................... 13. (870,000 - 75,400) - 39,547 = .......................................................... 14. 9,511 - (5,055 - 711) = .......................................................... 15. (222,222 - 9,310) - 3,701 = .......................................................... 3. เตมเครองหมาย = หรอ ≠ ลงใน ใหถกตอง 1. 8 - (5 - 4) (8 - 5) - 4 2. (13 - 8) - 3 13 - (8 - 3) 3. (19 - 9) - 4 19 - (9 - 4) 4. 100 - (50 - 40) (100 - 50) - 40 5. 30 - (15 - 9) (30 - 15) - 9 6. (30 - 20) - 10 30 - (20 - 10) 7. 47 - (12 - 8) (47 - 12) - 8 8. (82 - 28) - 47 (82 - 47) - 28


4. หาคาตอบใหถกตอง 1. (6,108,795 - 3,480,716) + 1,560,185 = ................................................................. 2. 3,026,785 - (1,356,001 + 703,912) = ................................................................. 3. 7,304,146 - (5,681,075 + 516,731) = ................................................................. 4. (4,832,014 - 3,428,601) + 951,838 = ................................................................. 5. 3,805,762 - (1,682,933 + 327,759) = ................................................................. 6. (2,154,814 - 1,680,561) + 408,004 = ................................................................. 7. (2,810,569 + 468,369) - 1,111,111 = ................................................................. 8. 1,908,617 - (158,016 + 38,838) = ................................................................. 5. หาคาตอบใหถกตอง 1. 314 × 80 = ..................................................... 2. 799 × 151 = ..................................................... 3. 1,256 × 9 = ..................................................... 4. 67,518 × 6 = ..................................................... 5. 1,248 × 79 = ..................................................... 6. 967 × 542 = ..................................................... 7. 6 × 43 × 52 = ..................................................... 8. (70 × 9) × 529 = ..................................................... 9. 70 × (9 × 529) = ..................................................... 10. 529 × 70 × 9 = .....................................................


6. หาคาตอบใหถกตอง 1. 8,358 ÷ 78 = ..................................................... 2. 23,664 ÷ 24 = ..................................................... 3. 165,164 ÷ 314 = ..................................................... 4. 55,225 ÷ 235 = ..................................................... 5. 875,000 ÷ 250 = ..................................................... 6. 508,530 ÷ 2,010 = .....................................................


ตวประกอบของจานวนนบ

การหารลงตว พจารณาการหารตอไปน 25 ÷ 5 = 5 ไมมเศษ นนคอ 5 หาร 25 ลงตว 21 ÷ 7 = 3 ไมมเศษ นนคอ 7 หาร 21 ลงตว 65 ÷ 9 = 7 เศษ 2 นนคอ 9 หาร 65 ไมลงตว การหารลงตว คอ การหารทไมมเศษ หรอเศษเปน 0 ตวประกอบ เนองจาก 1 หาร 4 ไดลงตว ดงนน 1 จงเปนตวประกอบของ 4 2 หาร 4 ไดลงตว ดงนน 2 จงเปนตวประกอบของ 4 3 หาร 4 ไมลงตว ดงนน 3 จงไมเปนตวประกอบของ 4 4 หาร 4 ไดลงตว ดงนน 4 จงเปนตวประกอบของ 4 ขอสงเกต : ตวประกอบของ 4 คอ 1, 2 และ 4 ตวประกอบของ 6 คอ 1, 2, 3 และ 6 ตวประกอบของจานวนนบใดๆ คอ จานวนนบทนาไปหารจานวนนบนนไดลงตว จานวนเฉพาะ จานวนเฉพาะ คอ จานวนนบทมตวประกอบเพยงสองตว คอ 1 กบจานวนนบนน เชน 2 มตวประกอบสองตว คอ 1 และ 2 ดงนน 2 เปนจานวนเฉพาะ 3 มตวประกอบสองตว คอ 1 และ 3 ดงนน 3 เปนจานวนเฉพาะ 4 มตวประกอบสามตว คอ 1, 2 และ 4 ดงนน 4 ไมเปนจานวนเฉพาะ จานวนนบทมตวประกอบเพยงสองตว คอ 1 และจานวนนบนน เรยกวา จานวนเฉพาะ


ตวประกอบเฉพาะ ตวประกอบเฉพาะ คอ ตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะ เชน ตวประกอบของ 4 คอ 1, 2 และ 4 ม 2 เปนตวประกอบเฉพาะ ตวประกอบของ 9 คอ 1, 3 และ 9 ม 3 เปนตวประกอบเฉพาะ ตวประกอบของ 12 คอ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ม 2 และ 3 เปนตวประกอบเฉพาะ ตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะ เรยกวา ตวประกอบเฉพาะ การแยกตวประกอบ การแยกตวประกอบของจานวนใดๆ หมายถง การเขยนจานวนนนๆ ในรป ผลคณของตวประกอบเฉพาะ ซงอาจจะมตวประกอบมากกวา 2 จานวน ลองพจารณาการเขยนจานวน ในรปผลคณของตวประกอบ 24 = 2 × 12 24 = 3 × 8 24 = 4 × 6 = 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 4 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3 = 3 × 2 × 2 × 2 จะเหนวาสามารถเขยนจานวน 24 ในรปของผลคณของตวประกอบไดหลายแบบ เชน 2 × 12 หรอ 3 × 8 หรอ 4 × 6 หรอ 3 × 2 × 4 แตจะเขยนในรปผลคณของตวประกอบเฉพาะไดเพยงแบบเดยว คอ 24 = 2 × 2 × 2 × 3 หรอเขยนสนๆ ไดวา 23 × 3 ความรเพมเตม จานวนทคณตวเองซากนหลายๆ ครง สามารถเขยนสนๆ เปนเลขยกกาลงได เชน 2 × 2 × 2 = 23 , 3 × 3 = 32 , 5 × 5 × 5 × 5 = 54 , 7 × 7 × 7 × 7 × 7 = 75


การแยกตวประกอบทาได 2 วธ ดงน วธท 1 การแยกตวคณ วธท 2 การตงหาร 12 = 22 × 3 2 6 6 30 = 2 × 3 × 5 3 3 3 48 = 24 × 3 1 1 50 = 2 × 52 66 = 2 × 3 × 11 แนวคด : นาจานวนเฉพาะทหารลงตวมาหารไปเรอยๆ จนไดผลลพธสดทายเปนจานวนเฉพาะ การเขยนจานวนในรปการคณของตวประกอบเฉพาะ เรยกวา การแยกตวประกอบ การใชตวประกอบในการหาผลคณ และผลหาร ตวอยาง จงหาผลคณ 24 × 35 ตวอยาง จงหาผลหาร 693 ÷ 63 วธทา 24 × 35 = 24 × (5 × 7) วธทา 63 = 7 × 9 = (24 × 5) × 7 7 6 9 3 = 120 × 7 9 9 9 = 840 1 1 ตอบ ๘๔๐ ดงนน 693 ÷ 63 = 11 ตอบ ๑๑ แนวคด : ใชสมบตการเปลยนหมการคณมาชวย แนวคด : นาตวประกอบของตวหารไปหารตวตง ทละจานวน


ห.ร.ม. หรอ ตวหารรวมมาก จานวนนบทหาร 9 ลงตว คอ 1 3 9 จานวนนบทหาร 12 ลงตว คอ 1 2 3 4 6 12 จานวนนบทหาร 15 ลงตว คอ 1 3 5 15 จานวนนบทหาร 18 ลงตว คอ 1 2 3 6 9 18 ตวหารรวมของ 9, 12, 15 และ 18 คอ 1, 3 ตวหารรวมทมคามากทสดของ 9, 12, 15 และ 18 คอ 3 หรอเรยกวา ห.ร.ม. • จานวนนบทหารจานวนตงแตสองจานวนขนไปไดลงตว เรยกวา ตวหารรวม หรอ ตวประกอบรวม ของจานวนเหลานน • ตวหารรวมทมคามากทสด เรยกวา ตวหารรวมมาก ใชอกษรยอวา ห.ร.ม. การหา ห.ร.ม. สามารถกระทาได 3 วธ ดงน วธท 1 การหาตวหารรวม จานวนทหาร 12 ไดลงตว คอ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 จานวนทหาร 18 ไดลงตว คอ 1, 2, 3, 6 , 9 และ 18 จานวนทหาร 24 ไดลงตว คอ 1, 2, 3, 4, 6 , 8, 12 และ 24 ตวหารรวมของ 12, 18 และ 24 คอ 1, 2, 3 และ 6 ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คอ 6 วธท 2 การแยกตวประกอบ 12 = 2 × 2 × 3 18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คอ 2 × 3 = 6 (ห.ร.ม. = ผลคณของจานวนเฉพาะทกจานวนทเปนตวหารรวม)


วธท 3 การตงหาร 2 1 2 1 8 2 4 3 6 9 1 2 2 3 4 ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 คอ 2 × 3 = 6 แนวคด : นาจานวนเฉพาะทหารจานวนเหลานนลงตวมาหารทละจานวน ค.ร.น. หรอ ตวคณรวมนอย จานวนทม 4 เปนตวประกอบ คอ 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 ... จานวนทม 6 เปนตวประกอบ คอ 6 12 18 24 30 36 42 48 54 ... จานวนทม 8 เปนตวประกอบ คอ 8 16 24 32 40 48 56 64 72 ... ตวคณรวมของ 4, 6 และ 8 คอ 24, 48, ... ตวคณรวมทมคานอยทสดของ 4, 6 และ 8 คอ 24 หรอเรยกวา ค.ร.น. ตวคณรวมทมคานอยทสด เรยกวา ตวคณรวมนอย ใชอกษรยอวา ค.ร.น. การหา ค.ร.น. สามารถกระทาได 3 วธ ดงน วธท 1 การหาตวคณรวม 4 เปนตวประกอบของ 4, 8, 12, 16, 20, 24 , 28, 32, 36, 40, 44, 48 , ... 6 เปนตวประกอบของ 6, 12, 18, 24 , 30, 36, 42, 48 , ... 8 เปนตวประกอบของ 8, 16, 24 , 32, 40, 48 , ... ตวคณรวมของ 4, 6 และ 8 คอ 24, 48, ... ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คอ 24


วธท 2 การแยกตวประกอบ 4 = 2 × 2 6 = 2 × 3 8 = 2 × 2 × 2 ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 = 2 × 2 × 3 × 2 = 24 (ค.ร.น. = ผลคณของจานวนเฉพาะทเปนตวหารรวมของ 2 จานวนขนไปกบตวประกอบทเหลอ) วธท 3 การตงหาร 2 4 6 8 2 2 3 4 1 3 2 ค.ร.น. ของ 4, 6 และ 8 คอ 2 × 2 × 3 × 2 = 24 แนวคด : นาจานวนเฉพาะทหารลงตวอยางนอย 2 จานวน มาหารทละจานวน ความสมพนธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวน 2 จานวน 1. ห.ร.ม. × ค.ร.น. = ผลคณของจานวน 2 จานวน 2. ห.ร.ม. ของเศษสวน = ห.ร.ม. ของตวเศษ

ค.ร.น. ของตวสวน

3. ค.ร.น. ของเศษสวน = ค.ร.น. ของตวเศษห.ร.ม. ของตวสวน

โจทยปญหา ตวอยางท 1 จงหาจานวนทมากทสดทหาร 489, 1,136 และ 1,784 แลวเหลอเศษ 12, 23 และ 35 ตามลาดบ วธทา นาเศษไปลบออกจากทง 3 จานวน แลวหา ห.ร.ม. ของผลลบ 489 - 12 = 477 = 3 × 159 = 3 × 3 × 53 1,136 - 23 = 1,113 = 3 × 371 = 3 × 7 × 53 ห.ร.ม. = 3 × 53 1,784 - 35 = 1,749 = 3 × 583 = 3 × 11 × 53 = 159 ตอบ ๑๕๙


ตวอยางท 2 จงหาจานวนทมากทสดทหาร 302, 507 และ 630 แลวเหลอเศษเทากน วธทา หาผลตางของทง 3 จานวน แลวหา ห.ร.ม. ของผลตาง 507 - 302 = 205 = 5 × 41 630 - 507 = 123 = 3 × 41 ห.ร.ม. = 41 630 - 302 = 328 = 8 × 41 ตอบ ๔๑ ตวอยางท 3 ถาจะนานกเรยนชน ป.4 จานวน 108 คน ป.5 จานวน 120 คน และ ป.6 จานวน 132 คน มาจดแถวเดนขบวนพาเหรดกฬาสแยกตามชนเรยนใหไดจานวนแตละแถวมากทสด เทากนทกแถวโดยไมมเศษ จะจดไดกแถว และแถวละกคน วธทา หา ห.ร.ม. ของ 108, 120 และ 132 108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 120 = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 132 = 2 × 66 = 2 × 2 × 33 = 2 × 2 × 3 × 11 ห.ร.ม. ของ 108, 120 และ 132 = 2 × 2 × 3 ดงนน จานวนในแตละแถวมากทสด = 12 คน นกเรยนชน ป.4 ม 108 คน จะจดได = 108 ÷ 12 = 9 แถว นกเรยนชน ป.5 ม 120 คน จะจดได = 120 ÷ 12 = 10 แถว นกเรยนชน ป.6 ม 132 คน จะจดได = 132 ÷ 12 = 11 แถว ∴ จะจดแถวเดนขบวนพาเหรดไดทงหมด = 9 + 10 + 11 = 30 แถว ตอบ จดแถวพาเหรดกฬาสได 30 แถว แถวละ 12 คน ตวอยางท 4 จงหาจานวนทนอยทสดทหารดวย 18, 24 และ 32 แลวเหลอเศษ 12 เทากน วธทา หา ค.ร.น. ของทง 3 จานวน แลวนาเศษ 12 มาบวก 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 3 32 = 2 × 16 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 ค.ร.น. ของ 18, 24 และ 32 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 2 × 2 = 288 ดงนน จานวนทตองการ = 288 + 12 = 300 ตอบ ๓๐๐


ตวอยางท 5 ในการฝกซอมของนกกฬาจกรยานจานวน 3 คน โดยปนจกรยานรอบสนาม 1 รอบ ใชเวลา 40, 50 และ 60 วนาท ตามลาดบ ถานกกฬาทงสามเรมออกตวปนจกรยานพรอมกนเวลา 08.00 น. อยากทราบวาเวลาใดทงสามคนจงจะมาพรอมกนทจดตงตนอกครง วธทา หา ค.ร.น. ของเวลาทนกกฬาทงสามคนใชในการปนจกรยาน 1 รอบสนาม 40 = 10 × 4 = 5 × 2 × 2 × 2 50 = 10 × 5 = 5 × 2 × 5 60 = 10 × 6 = 5 × 2 × 2 × 3 ค.ร.น. = 5 × 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 600 วนาท = 60

600 = 10 นาท ∴ ทง 3 คน จะมาพรอมกนทจดตงตนอกครงเวลา 08.10 น. ตอบ ๐๘.๑๐ นาฬกา ตวอยางท 6 เลขสองจานวนม ห.ร.ม. เปน 5 และ ค.ร.น. เปน 210 ถาผลบวกของเลขทงสองจานวนเปน 65 จงหาเลขทงสองจานวนนน วธทา จากโจทย ห.ร.ม. = 5 ค.ร.น. = 210 = 2 × 3 × 5 × 7 สามารถจดกลมของตวประกอบเพอคนหาเลขทง 2 จานวน ไดดงน

รปแบบ การจดกลม

แบบท 1

2 5 37

แบบท 2

3 5 27

แบบท 3

7 5 23

จานวนท 1 5 × 2 = 10 5 × 3 = 15 5 × 7 = 35 จานวนท 2 5 × 3 × 7 = 105 5 × 2 × 7 = 70 5 × 2 × 3 = 30 ผลบวก = 115 = 85 = 65

จะเหนวาการจดกลมตวประกอบในรปแบบท 3 ใหคาเลข 2 จานวน คอ 35 และ 30 ซงสอดคลองกบขอกาหนดของโจทย คอ ห.ร.ม. = 5 ค.ร.น. = 210 และผลบวกเปน 65 ตอบ ๓๐ และ ๓๕


1. หาตวประกอบของจานวนนบตอไปน 1. 8 = ........................................ 2. 25 = ........................................ 3. 26 = ........................................ 4. 30 = ........................................ 5. 40 = ........................................ 6. 99 = ........................................ 7. 111 = ........................................ 2. หาตวประกอบเฉพาะของจานวนนบตอไปน 1. 4 = ........................................ 2. 12 = ........................................ 3. 25 = ........................................ 4. 37 = ........................................ 5. 40 = ........................................ 6. 70 = ........................................ 7. 130 = ........................................ 3. หาตวหารรวมมากจากจานวนนบตอไปน 1. 2, 5 = .............................. 2. 5, 6 = ............................. 3. 6, 7 = .............................. 4. 6, 8 = ............................. 5. 8, 10 = .............................. 6. 10, 12 = ............................. 7. 15, 18 = .............................. 8. 28, 49 = ............................. 9. 27, 72 = .............................. 10. 30, 60 = ............................. 11. 27, 81 = .............................. 12. 101, 131 = ............................. 13. 4, 8, 12 = .............................. 14. 15, 30, 45 = ............................. 15. 54, 63, 72 = ..............................


4. หาตวคณรวมนอยจากจานวนตอไปน 1. 4, 6 = .............................. 2. 6, 9 = ............................. 3. 4, 8 = .............................. 4. 3, 4 = ............................. 5. 4, 7 = .............................. 6. 4, 10 = ............................. 7. 5, 10 = .............................. 8. 8, 12 = ............................. 9. 12, 16 = .............................. 10. 20, 24 = ............................. 11. 28, 14 = .............................. 12. 25, 40 = ............................. 13. 11, 22, 33 = .............................. 14. 15, 30, 45 = ............................. 15. 16, 32, 48 = .............................. 5. กาหนดให A แทน ห.ร.ม. ของจานวนสองจานวน x และ y B แทน ค.ร.น. ของจานวนสองจานวน x และ y และ C แทนผลคณของจานวนสองจานวน x และ y จงหาคาตอบจากเงอนไขโจทยตอไปน 1. A = 5, B = 9 จงหาคา C ................................................................................................................................................. 2. B = 20, C = 180 จงหาคา A ................................................................................................................................................. 3. A = 4, C = 140 จงหาคา B ................................................................................................................................................. 4. A = 27, B = 486 และ x = 54 จงหาคา y .................................................................................................................................................


6. หาคาตอบทถกตอง 1. ผลตางระหวาง ค.ร.น. กบ ห.ร.ม. ของจานวน 87, 116 และ 174 มคาเปนเทาใด 2. จากการหารสน 5 A

9 B 7 8 เศษ 6

อยากทราบวา A และ B มคาเทาใด

3. เลขคสามจานวนม ห.ร.ม. เปน 19 ถาจานวนทมากทสด คอ 95 จงหาเลขคอกสองจานวนทเหลอ 4. เลขสองจานวนม ห.ร.ม. เปน 11 และ ค.ร.น. เปน 330 ถาเลขจานวนหนงมคาเปน 6

5 เทา ของเลขอกจานวนหนง จงหาเลขทงสองจานวนนน

5. มเชอก 3 มวน ยาว 91, 161 และ 245 เมตร ถาจะตดเปนทอนใหแตละทอนยาวเทากน โดยไมเหลอเศษ จะไดเชอกยาวทสดทอนละเทาใด

6. คณยายมมะมวง 12 ผล สม 18 ผล และชมพ 24 ผล ถาจะแบงใหหลานๆ ไดรบผลไมคนละชนดในจานวนทเทากนและไมเหลอเศษ หลานแตละคนจะไดรบผลไมมากทสดคนละกผล

7. สมาคมการตลาด สมาคมผสอขาว และสมาคมนกเขยน มวาระการประชมทกๆ 4, 6 และ 8 สปดาห ตามลาดบ เมอเรมประชมครงแรกพรอมกนแลว อกนานเทาใดจงจะประชมพรอมกนเปนครงทสาม

8. ดนสอกดราคาแทงละ 20 บาท ปากการาคาดามละ 25 บาท และสมดบญชราคาเลมละ 30 บาท ถาตองการจายเงนซอของทง 3 ชนด ดวยเงนจานวนเทาๆ กน จะตองใชเงนอยางนอยทสดกบาท

9. ทดนแปลงหนงรปสเหลยมผนผาขนาดกวาง 20 เมตร และยาว 25 เมตร ถาตองการปกเสาลอมรวโดยรอบใหมระยะหางเทาๆ กน จะตองเวนระยะหางของเสาแตละตนอยางมากทสดเทาใด และตองใชเสาทงหมดกตน

10. จากขอ 9 ถาตองการแบงทดนแปลงดงกลาวออกเปนแปลงยอยรปสเหลยมจตรสทมขนาดเทากนและมพนทมากทสดโดยไมเหลอเศษเพอปลกผกแปลงยอยละ 1 ชนด อยากทราบวาจะปลกผกไดอยางมากทสดกชนด


การบวก การลบ การคณ และการหารระคน จะอยในรปประโยคสญลกษณทม เครองหมาย บวก ลบ คณ หรอหารมากกวาหนงเครองหมาย ตวอยาง (2,004 + 543) - (24,466 ÷ 26) = วธทา ขนตอนท 1 หาผลลพธของ 2,004 + 543 จะได 2 0 0 4 5 4 3 2 5 4 7 ขนตอนท 2 หาผลลพธของ 24,466 ÷ 26 จะได 26 2 4 4 6 6 2 3 4 0 0 1 0 6 0 1 0 4 0 2 6 2 6 0 ขนตอนท 3 นาผลลพธจากขนตอนท 1 มาลบกบผลลพธจากขนตอนท 2 จะได 2 5 4 7 9 4 1 1 6 0 6 ดงนน (2,004 + 543) - (24,466 ÷ 26) = 1,606 ตอบ ๑,๖๐๖

+

-1

9 4 1

-

-

-


การเฉลย การเฉลย เปนการนาผลบวกของขอมลตางๆ หารดวยจานวนขอมลทงหมด และผลลพธทไดจากการหาร เรยกวา คาเฉลยของขอมลทงหมด ตวอยาง หาคาเฉลยของนาหนกนกเรยน 4 คน

42 กก. 48 กก. 36 กก. 51 กก. วธคด 1. นานาหนกของทกคนมารวมกน 42 + 48 + 36 + 51 = 177 กโลกรม 2. นาผลบวกทไดหารดวยจานวนคน 177 ÷ 4 = 44.25 กโลกรม ดงนนนาหนกเฉลยของนกเรยน 4 คน คอ 44.25 กโลกรม ตอบ ๔๔.๒๕ กโลกรม


โจทยปญหาระคน ตวอยางท 1 ลงเขยวมขาวสาร 9,756 กโลกรม ตองการบรรจลงถง ถงละ 18 กโลกรม แลวนาไปขายถงละ 75 บาท ลงเขยวจะไดเงนเทาใด วธทา ประโยคสญลกษณ (9,756 ÷ 18) × 75 = ลงเขยวมขาวสาร 9,756 กโลกรม แบงใสถง ถงละ 18 กโลกรม จะได 9,756 ÷ 18 = 542 ถง ขายขาวสารถงละ 75 บาท ลงเขยวจะไดเงน 542 × 75 = 40,650 บาท ตอบ ๔๐,๖๕๐ บาท ตวอยางท 2 กกไกมเสออย 29 โหล โหลละ 12 ตว นาไปขายตวละ 159 บาท แลวนาไปฝากธนาคาร 14,500 บาท กกไกเหลอเงนกบาท วธทา ประโยคสญลกษณ [(29 × 12) × 159)] - 14,500 = กกไกมเสออย 2 9 โหล โหลละ 1 2 ตว รวมมเสอ 3 4 8 ตว นาไปขายตวละ 1 5 9 บาท จะไดเงน 5 5 , 3 3 2 บาท นาเงนไปฝากธนาคาร 1 4 , 5 0 0 บาท กกไกเหลอเงน 4 0 , 8 3 2 บาท ตอบ ๔๐,๘๓๒ บาท

×

×

-


ตวอยางท 3 จงหาคาของ 4 เทาของ 16 + (432 ÷ 12) - (5 × 4) วธทา คาตอบ = (4 × 16) + (432 ÷ 12) - (5 × 4) = 64 + 36 - 20 = 80 แนวคด 1. ทาในวงเลบกอน 2. เปลยน “ของ” เปนเครองหมายคณแลวใสวงเลบ 3. เครองหมาย × และ ÷ ทาพรอมกน (กอน + และ - ) 4. เครองหมาย + และ - ทาพรอมกน ตวอยางท 4 นารซอสมมา 3 ชนด ชนดแรก 10 กโลกรม กโลกรมละ 24 บาท ชนดทสอง 15

กโลกรม กโลกรมละ 28 บาท และชนดทสาม 26 กโลกรม กโลกรมละ 40 บาท ถานาสมทง 3 ชนดไปคละรวมกนแลวขายในราคากโลกรมละ 35 บาท หากมสมเนา 1 กโลกรม เมอขายสมทเหลอจนหมดนารจะไดกาไรหรอขาดทนเทาใด

วธทา ตนทน = ราคาสมชนดแรก + ราคาสมชนดท 2 + ราคาสมชนดท 3 = (10 × 24) + (15 × 28) + (26 × 40) = 240 + 420 + 1,040 = 1,700 บาท ขายได = (10 + 15 + 26 - 1) × 35 = 50 × 35 = 1,750 บาท กาไร = ราคาขาย - ตนทน = 1,750 - 1,700 = 50 บาท ตอบ ไดกาไร ๕๐ บาท

ลบออก 1 กโลกรม เพราะเปนสมเนาไมสามารถขายได


1. หาคาตอบใหถกตอง 1. (18 + 32) × 45 = ..................................................... 2. 101 × (41 - 28) = ..................................................... 3. 44 ÷ (33 - 11) = ..................................................... 4. (14 × 52) ÷ 4 = ..................................................... 5. 105 ÷ [(2 + 5) × 5] = ..................................................... 6. (480 × 52) ÷ (10 ÷ 2) = ..................................................... 7. (51 × 72) - (62 × 31) = ..................................................... 8. 109 × (57 - 44) = ..................................................... 9. (111 ÷ 3) × 40 = ..................................................... 10. (33 × 40) ÷ (60 ÷ 12) = ..................................................... 11. [67 × (13 + 5)] - 8 = ..................................................... 12. 101 × 20 × 33 = ..................................................... 13. (23 × 53) + (47 × 23) = ..................................................... 14. 845 + (117 × 23) = ..................................................... 15. (2,025 ÷ 45) × (45 - 23) = ..................................................... 16. (110 × 43) - (105 × 42) = ..................................................... 17. (123 + 456) × (456 + 789) = ..................................................... 18. (12 × 13) × (445 - 89) = ..................................................... 19. (20 × 112) - (89 + 34) = ..................................................... 20. [(34 - 7) × (25 × 22)] ÷ 10 = .....................................................


2. หาคาตอบใหถกตอง 1. (3,217 × 35) + 40 = ............................................................................ 2. (5,500 + 3,300) ÷ 30 = ............................................................................ 3. (8,100 + 4,100) ÷ 25 = ............................................................................ 4. (70,000 × 100) ÷ 50 = ............................................................................ 5. (4,500 ÷ 90) × 80 = ............................................................................ 6. (304 × 81) ÷ (1,236 - 936) = ............................................................................ 7. (5,697 × 91) ÷ 27 = ............................................................................ 8. (4,000 ÷ 20) + (29 × 529) = ............................................................................ 9. 90 × (312,132 - 300,132) = ............................................................................ 10. (1,080,000 ÷ 900) ÷ (30 × 40) = ............................................................................ 3. หาคาตอบจากโจทยปญหาตอไปน 1. สมคดขายโทรศพทมอถอได 227 เครอง ราคาเครองละ 9,800 บาท สมคดลงทนไป 2 ลานบาท

สมคดขายโทรศพทมอถอไดเงนมากกวาหรอนอยกวาทลงทนกบาท 2. ในการชมละครเวทไดคาเขาชมรอบละ 55,200 บาท ผชมสามารถเขาชมได 460 คน แตมผชม

ทงหมด 1,380 คน ดงนนจะตองไดรบเงนเทาใด 3. มลกปดสขาว 2,525 เมด และสดา 3,325 เมด นามารวมกนแลวแบงใสถง ถงละ 90 เมด และขาย

ไปถงละ 120 บาท เมอขายหมดจะไดเงนเทาใด 4. ในเดอนพฤศจกายนขายเสอกนหนาวได 34,520 ตว เดอนธนวาคมขายเสอกนหนาวได 48,965 ตว

ถาขายเสอกนหนาวตวละ 100 บาท จะไดเงนทงหมดเทาใด 5. โรงงานผลตลาไยกระปองได 8,550 กลอง แตละกลองบรรจไว 120 กระปอง และนาไปขายกระปองละ

65 บาท อยากทราบวาโรงงานผลตลาไยกระปองไดกกระปอง และขายไดเงนกบาท

โปรดทราบ!

ตวอยางนจะโชวเฉพาะหนา 1-30 เทานน หากจะขอดหนงสอทงเลม ตองตดตอท

บณฑตแนะแนว (โทรศพท 02-2794808)

ซ.พหล

โยธน 3

ไปสะพานควาย ถ.พหลโยธนซ.พ

หลโยธ

น 1

ไปดนแ

ดงถ.ร

าชวถ

ไปราชเทวสนามเปา

สถานรถไฟฟาซ.พหล

โยธน 2

รพ.ราชวถรพ.พระมงกฎ

BTS

รพ.พญาไท 2

TV สชอง 5

สานกงานบณฑตแนะแนว 1033/4 ถ.พหลโยธน สามเสนใน พญาไท กทม. 10400

เวลาทางาน 08.00-17.00 น. Website : www.bunditnaenaew.com ฝายประชาสมพนธ เปดทกวน (จนทร-อาทตย) โทรศพท 02-2794808 แฟกซ 02-6171820

บัณฑิตแนะแนว คํานํา¹€ล่ม 1...

Documents