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Abstract
In this research the role of modeling in the training of the engineers is analyzed and
particularly how they can have a place in the course of differential calculus in the
Technological school of Colima. An analysis of the syllabus and interviews to the
professors responsible of teaching this subject, which allow them teach how the
optimization is done , the books of calculus considered has help and the type of problems
proposed for their application.
Some elements of the Anthropological Theory of Didactics are considered, specifically the
notions of institution and praxeology. This allows considering the institutions that
participate in the training of the engineers and their possible relationships. In particular we
consider the subject Management of Operations I, seen has an institution of teaching, to
analyze the role of optimization. The analysis of this course allows identifying the EOQ
model associated to the inventory management and based on this. We have designed a
didactic sequence to mobilize the optimizations technique in a context of specifics’ training
of the industrial engineers.
The context of this sequence simulates an engineering enterprise and particularly a meeting
of three engineers that should determine the minimum cost for an inventory. Different tasks
are proposed to determine the model that allows calculating the costs with the help of the
program Microsoft Excel. The notion of praxeology is used for the design and analysis of
the sequence, before and after its implementation.
Instituto Politécnico Nacional
Centro de Investigación en Ciencia
Aplicada y Tecnología Avanzada del
IPN
Diseño de una secuencia basada en optimización para la
enseñanza del Cálculo Diferencial en formación de
ingenieros
Tesis que para obtener el grado de
Maestro en Matemática Educativa
presenta:
Edna Fabiola Martínez Díaz
Director de la tesis:
Avenilde Romo Vázquez
México, D.F., junio de 2014
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Dedicatoria y Agradecimientos
Quiero dedicar este trabajo de tesis a aquellas personas que
forman parte importante de mi vida.
Gracias Javier el amor de mi vida por creer en mí, darme tu
apoyo incondicional para que yo pudiera escribir y hasta por
las horas de estudio en matemáticas y física que me has
dedicado, soy tu discípula, ¡hacemos un gran equipo juntos!
Johan e Iker, mis peques hermosos, gracias por ser una
inspiración para mi vida y el motor que hace que me levante
temprano todas las mañanas. Con una sonrisa de ustedes
siento que puedo conquistar al mundo, los amo mucho.
A mis padres por todo su amor y cariño y por enseñarme que
con ayuda de Dios todo es posible.
A mi asesora de tesis, maestra y amiga dra Avenilde Romo,
gracias por todo su tiempo y dedicación para guiarme en este
proyecto, por enseñarme a encontrar mi propio estilo para
escribir y sobre todo por mostrarme el camino de la
excelencia. ¡Lo logramos!
Por último te agradezco mi Dios por tu gran amor y
sabiduría para poder concretizar todos mis proyectos, ¡eres la
lámpara que alumbra mi camino y me indica por dónde ir!
Ebenezer.
Tabla de contenido 1 Capítulo 1. Modelización matemática y sus potencialidades para abordar la
optimización en la formación de ingenieros ..................................................................... 8
1.1 Introducción ....................................................................................................... 8
1.2 La modelización matemática nuevo paradigma educativo ................................ 8
1.3 Análisis del plan de estudios de Cálculo Diferencial ...................................... 12
1.3.1 Presentación del curso .............................................................................. 12
1.3.2 Competencias a desarrollar ....................................................................... 13
1.3.3 Objetivo general del curso ........................................................................ 14
1.3.4 Temario ..................................................................................................... 14
1.3.5 Sugerencias didácticas (Desarrollo de competencias genéricas) .............. 14
1.3.6 Fuentes de Información ............................................................................ 15
1.4 Enseñanza de la optimización en el curso de cálculo diferencial .................... 15
1.5 Modelización matemática en la enseñanza del Cálculo, ¿cómo favorecerla? . 17
2 Capítulo 2. Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico para el análisis
de problemas típicos para abordar la optimización ........................................................ 18
2.1 Introducción ..................................................................................................... 18
2.2 Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico ................................... 18
2.2.1 Noción de institución ................................................................................ 18
2.2.2 Noción de praxeología .............................................................................. 19
2.3 Análisis de problemas de optimización abordados en un curso tradicional de
cálculo ......................................................................................................................... 19
2.3.1 Introducción .............................................................................................. 19
2.3.2 Análisis de problemas típicos de optimización ........................................ 20
2.3.3 Conclusiones del análisis de los problemas típicos .................................. 27
2.4 Instituciones que participan en una formación de ingenieros .......................... 27
3 Capítulo 3. Diseño de una secuencia didáctica aplicada a un contexto ingenieril
específico ........................................................................................................................ 30
3.1 Identificación de un área de interés ................................................................. 30
3.2 Análisis del curso administración de las operaciones I E(DI) ......................... 30
3.2.1 Introducción .............................................................................................. 30
3.2.2 Modelo EOQ (Economic Order Quantity) ............................................... 32
3.2.3 Elementos tecnológicos del modelo EOQ ................................................ 33
3.2.4 Elementos tecnológicos matemáticos del modelo .................................... 34
3.2.5 Enseñanza del modelo EOQ (Economic Order Quantity)........................ 35
3.3 Conclusión del análisis del modelo EOQ ........................................................ 37
4 Capítulo 4. Secuencia didáctica para abordar la optimización ............................... 39
4.1 Descripción de la secuencia ............................................................................. 39
4.2 Secuencia Didáctica ......................................................................................... 40
4.3 Conclusión ....................................................................................................... 56
5 ANÁLISIS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA REALIZADA POR
ESTUDIANTES ............................................................................................................. 58
5.1 Introducción ..................................................................................................... 58
5.1.1 Condiciones de la implementación ........................................................... 58
5.1.2 Presentación de la secuencia con el grupo de estudiantes ........................ 60
5.1.3 Análisis de la primera intervención: Supervisor del almacén .................. 60
5.1.4 Análisis de la segunda intervención: Supervisor de logística................... 67
5.1.5 Análisis de la tercera intervención: Gerente de materiales....................... 72
5.2 Conclusión del análisis de la implementación de la secuencia ........................ 81
6 Conclusiones generales........................................................................................... 82
7 Referencias bibliográficas ...................................................................................... 84
Tabla de Ilustraciones
Figura 1. Ciclo de modelización “rígida” ..................................................................................................... 11
Figura 2. Ciclo de modelización “flexible”................................................................................................... 11
Figura 3. Representación gráfica del terreno que se sugiere para resolver el problema ........................... 21
Figura 4. Representación gráfica del triángulo que se sugiere para resolver el problema ........................ 22
Figura 5. Representación gráfica del campo rectangular que limita con un río ......................................... 23
Figura 6. Representación gráfica del área de la lata .................................................................................. 24
Figura 7. Representación gráfica de la caja de cartón ............................................................................... 25
Figura 8. Gráfica del COSTO TOTAL del modelo EOQ ................................................................................. 32
Figura 9. Representación gráfica del modelo de EOQ ................................................................................ 33
Figura 10. Representación gráfica del modelo de EOQ .............................................................................. 40
Figura 11. Representación gráfica del costo anual de mantener el inventario .......................................... 44
Figura 12. Representación gráfica del costo anual de ordenar .................................................................. 48
Figura 13. Ecuación y gráfica del Costo Anual de Mantener el Inventario. ................................................ 54
Figura 14. Ecuación y gráfica del Costo Anual de Ordenar. ........................................................................ 54
Figura 15. Gráfica del Costo Total Anual. ................................................................................................... 55
Figura 16. Gráfica del costo a ordenar C(Q) producida por los estudiantes ............................................... 68
Figura 17. Gráfica del costo anual de mantener el inventario C(Q) y su ecuación realizadas en el Excel. . 77
Figura 18. Gráfica del costo anual de ordenar y su ecuación realizadas en el Excel. ................................ 78
Figura 19. Gráfica del Costo Anual Total y su ecuación realizadas en el Excel ........................................... 79
Esquema 1. Recorridos que sigue una praxeología matemática para pasar de P(M) ............................... 28
Esquema 2. Instituciones consideradas para el diseño de la secuencia didáctica ...................................... 29
Tabla 1. Elementos del modelo de EOQ en contexto con la secuencia ....................................................... 41
Tabla 2. Síntesis de las respuestas de la primera intervención: el supervisor del almacén ........................ 65
Tabla 3. Síntesis de las respuestas de la segunda intervención: el supervisor de logística ........................ 71
Glosario
Institución: Una institución es una organización social estable que enmarca las
actividades humanas generando recursos que las hacen posibles. Estos recursos
materiales o intelectuales, puestos a disposición de los sujetos, han sido producidos por
comunidades a lo largo del enfrentamiento de situaciones problemáticas con el objetivo
de resolverlas con regularidad y eficacia. (Castela y Romo, 2011).
Modelización Matemática: es vista a través de la noción de praxeología y se considera
que puede hacer intervenir diferentes instituciones como son: las matemáticas, la
enseñanza de las matemáticas, las disciplinas intermediarias, la enseñanza de las
disciplinas intermediarias y la práctica.
Modelo EOQ (Economic Order Quantity): El modelo EOQ o cantidad económica a
pedir (CEP) consiste en determinar la cantidad adecuada de producto que se encargará
en cada periodo de tiempo para satisfacer una demanda anual constante en cada periodo.
Praxeología: noción definida en el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
que permite el estudio de la actividad humana, ya sea matemática, de enseñanza, de
modelización, etc., a partir de cuatro componentes: tipos de tareas, técnicas, tecnologías
y teorías.
Teoría Antropológica de lo Didáctico: Teoría que propone un modelo epistemológico
para el estudio de la actividad humana - incluida la matemática- en su dimensión
institucional, y el saber que de ella emerge en términos de organizaciones o
praxeologías matemáticas.
Resumen
En esta investigación se analiza el rol de la modelización en la formación de ingenieros
y en particular cómo puede tener lugar en un curso de Cálculo Diferencial en el
Tecnológico de Colima. Un análisis del plan de estudios y entrevistas a profesores
responsables de la enseñanza de esta asignatura permiten dar cuenta de cómo se enseña
la optimización, los libros de Cálculo considerados como apoyo y el tipo de problemas
propuestos para su aplicación.
Se consideran algunos elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico,
especificamente las nociones de institución y de praxeología. Esto permite considerar
las instituciones que participan en la formación de ingenieros y sus posibles relaciones.
En particular se considera la asignatura Administración de Operaciones I, vista como
una institución de enseñanza, para analizar el rol de la optimización. El análisis de este
curso permite identificar el modelo EOQ asociado al manejo de inventarios y en base a
éste se genera una secuencia didáctica que permite movilizar la técnica de optimización
en un contexto de la formación de especialidad de los ingenieros industriales.
La secuencia didáctica es propuesta en un contexto que simula el de una empresa
ingenieril y más en particular una reunión de tres ingenieros que deben determinar el
mínimo costo para un inventario. Diferentes tareas son propuestas para determinar el
modelo que permite calcular los costos con la ayuda del programa Excel. La noción de
praxeología es utilizada para el diseño y análisis de la secuencia antes y después de su
implementación.
Capítulo I
_________________
1 Capítulo 1. Modelización matemática y sus potencialidades para
abordar la optimización en la formación de ingenieros
1.1 Introducción
En este primer capítulo se aborda la modelización matemática y la importancia que ésta
puede alcanzar en la formación de futuros ingenieros. Para conocer cómo la
modelización en las formaciones más recientes de ingenieros se considera la
contribución de Pollak (1988) al estudio ICMI 3 y las investigaciones de Macias (2012)
y de Soto (2013), en las cuales se analizan los planes de estudio de la asignatura de
álgebra lineal y de ecuaciones diferenciales e integración en ℝn, respectivamente. El
trabajo de Bissell y Dillon (2000) permite reconocer la especificidad de la modelización
matemática en la práctica profesional de ingenieros. Con el objetivo de centrar la
investigación en la modelización asociada a la optimización se analiza el plan de
estudios de la asignatura de Cálculo Diferencial impartida en el Tecnológico de Colima,
así como los textos de referencia para dicho curso. Finalmente, se presenta una visión de
los profesores de esta institución acerca de la forma en que la optimización es abordada
en el curso de Cálculo Diferencial. Este análisis permite enmarcar la presente
investigación cuyo objetivo principal es el diseño de una actividad didáctica basada en
modelización matemática para la clase de cálculo diferencial en una formación de
ingenieros.
1.2 La modelización matemática nuevo paradigma educativo
Las formaciones de ingenieros han ido modificando sus modelos de formación como
puede verse a partir de los primeros modelos de formación de la Escuela Politécnica en
Francia (Romo-Vázquez, 2009). Los modelos se crean y desaparecen siguiendo
diferentes motivaciones tanto académicas como políticas y sociales. Las relaciones entre
las matemáticas académicas (o disciplinares) y sus aplicaciones constituyen una marca
de cada uno de los modelos. En el primero, propuesto por Monge, se busca bajo el ideal
enciclopedista buscar un equilibrio entre las matemáticas y sus aplicaciones, mientras
que en el modelo de Laplace impuesto en 1795 las matemáticas son vistas como un
cuerpo de enseñanza autónomo que debe preceder los otros cursos. El tercer modelo, el
propuesto por Le Verrier va por el contrario dar prioridad a las aplicaciones y señala
que el desarrollo de la teoría matemática no tendrá lugar en esta formación. Las
tensiones entre teoría y aplicaciones pueden apreciarse en estos primeros de formación y
seguirán apareciendo con distintos matices en formaciones más recientes como lo
muestran Noss y Kent (2001) al analizar las discusiones subyacentes a las reformas de
estas formaciones en Inglaterra. A partir del estudio ICMI 3 editado por Howson,
Kahane, Lauginie, y Turckheim un nuevo paradigma es presentado, éste de las
matemáticas vistas como disciplina de servicio. En la contribución de Pollak,
matemático que trabajó durante 33 años en los Laboratorios Bell se señala:
Antes que todo, necesitamos tener conocimiento del hecho que el pensamiento
matemático, el pensamiento analítico, estructural, cuantitativo, sistemático, puede ser
aplicado al mundo real y generar observaciones de gran valor; en otros términos que
la modelización matemática es posible y puede ser eficaz. (Pollak, 1988, p.32)
A partir de este cita puede apreciarse que más que una lista de contenidos, se presentan
diferentes tipos de pensamientos matemáticos asociados a la modelización matemática,
la cual parece ser parte importante en una formación de futuros ingenieros. En el trabajo
de Macias (2012) se analiza el programa de la asignatura de álgebra lineal del
Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli, México. En su presentación
se señala que el curso aporta al futuro ingeniero, “la capacidad para desarrollar un
pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturaleza lineal
y resolver problemas”. De la misma manera que en la cita precedente, se encuentran
aquí diferentes tipos de pensamientos relacionados a la modelización de fenómenos,
pero en este caso de naturaleza lineal. Se supone por tanto que las herramientas
presentadas en este curso permitirán utilizar un modelo lineal para caracterizar
fenómenos con tratamiento más “sencillo”:
Muchos fenómenos de la naturaleza que se presentan en la ingeniería, se pueden
aproximar a través de un modelo lineal. Esta materia nos sirve para caracterizar estos
fenómenos y convertirlos en un modelo lineal ya que es más sencillo de manejar y
graficar y resolver que uno no lineal. (Programa de álgebra lineal, p.1)
Además, una de las sugerencias didácticas consiste en proponer problemas que:
a) Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y
solución.
b) Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias
posteriores.
c) Modelen y resuelvan situaciones reales de ingeniería mediante conceptos
propios del álgebra lineal. (Programa de álgebra lineal, p.7)
Se presentan así algunas de las características que deben tener los problemas planteados
en clase. Sin embargo, no queda claro cómo éstos permitirán la integración de los
contenidos, los tipos de análisis propuestos. ¿Por qué un problema de modelización
permite la conceptualización matemática? ¿Cuáles son las materias posteriores que se
están considerando y cómo? ¿Es posible modelar situaciones reales de ingeniería en la
clase de álgebra lineal? ¿El profesor de matemáticas tiene acceso a dichas situaciones?
En Soto (2013) se analiza el programa de la asignatura de ecuaciones diferenciales e
integración en ℝn de la Universidad Austral de Chile sede Puerto Montt. En el apartado
del programa dedicado a los aprendizajes esperados se señala:
Con el desarrollo de esta asignatura, se pretende garantizar en los estudiantes el logro
de los siguientes aprendizajes (en el ámbito de la aplicación de los conocimientos:
saber hacer):
Modelar un problema conducente al planteamiento de una ecuación diferencial
(ordinaria), o de una ecuación de diferencias, siendo capaz, previamente, de
clasificarla y de aplicar los métodos estudiados para resolverla.
Interpretar, modelar y resolver, un problema práctico que conduzca al
planteamiento de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Distinguir el concepto de sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden en el marco de un problema concreto de las ciencias o la práctica.
(Programa de estudio de ecuaciones diferenciales e integración en ℝn, p.1)
Es interesante notar como el modelamiento de un problema “conducente” debe permitir
al estudiante clasificarla para poder aplicar los métodos estudiados. Esto corresponde a
una lógica de enseñanza, sin embargo no queda claro en qué momento pueden
presentarse estos problemas, ¿una vez que se hayan enseñado cuántos métodos? La
interpretación de modelos parece ser una tarea que requiere únicamente conocimientos
matemáticos, los asociados a la comprensión del problema e incluso los prácticos, ¿se
consideran disponibles en los estudiantes? Finalmente, se asume como posible
distinguir el concepto de sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
dentro de un problema concreto, como si la aplicación práctica no requiriera de
adaptaciones de los modelos y los conceptos asociados. Esta visión de la modelización
matemática puede verse correspondida en los ciclos de modelización “rígida” (hard) y
“flexible” (softer) presentados en Bissell y Dillon (2000). Para definir el ciclo de
modelización “rígida”, los autores hacen referencia a un libro de control de sistemas
dinámicos y señalan que éste se compone de cuatro etapas:
1. describir el sistema físico (physical modelling)
2. describir el sistema matemático (model construction),
3. analizar la descripción matemática (model solution) y
4. interpretar y sacar provecho de esta descripción (system design)
Estas cuatro etapas, según los autores, se corresponden a un “ciclo de modelización”
(ver la figura 1). Un proceso de modelización requiere de varios ciclos de este tipo en
los cuales el ingeniero aplicará o utilizará conocimientos y técnicas matemáticas
reiteradamente hasta obtener una solución al problema real. Para un proceso de este
tipo, dos límites son señalados. El primero asociado a la implementación práctica en la
que pueden encontrarse dificultades relacionadas con la precisión de la formulación del
problema, particularmente a nivel de la simplificación utilizada así como con la
validación de los resultados obtenidos.
Figura 1. Ciclo de modelización “rígida”
El segundo tiene que ver con un punto de vista filosófico y práctico que supone una
correspondencia platónica entre el mundo de los problemas reales y el mundo de los
modelos; todo problema puede ser modelizado matemáticamente. La modelización
“flexible” (softer, figura 2) se presenta como una iteración de ciclos de modelización,
pero más flexible, no viéndose como una relación de tipo espejo entre el mundo de los
problemas reales y éste de los modelos. Los procesos implicados en las fases de
creación, manipulación y evaluación no se especifican. Pero puede suponerse sin
embargo que existe un método y al ser empleado correctamente, termina por asegurar la
obtención de una solución.
Figura 2. Ciclo de modelización “flexible”
Contrariamente a lo que proponen estos ciclos de modelización, clásicos en la literatura,
los autores afirman que el ingeniero crea raramente un nuevo modelo; el ingeniero
selecciona un modelo estándar conocido con soluciones conocidas para adaptarlo o
modificarlo ligeramente. Todo lo anterior lleva a plantearse diferentes cuestiones:
¿Cómo la modelización matemática puede ser llevada a un curso de cálculo para futuros
ingenieros? Y más en específico, ¿qué actividades didácticas pueden favorecer un
trabajo de modelización asociado a la optimización matemática? ¿Qué tipo de modelos
pueden ser considerados para ser adaptados o modificados por los estudiantes? ¿Qué
tipo de actividades deben diseñarse y bajo qué objetivos?
Para abordar estas preguntas se analiza a continuación el plan de estudios de la
asignatura de Cálculo Diferencial del Tecnológico de Colima, institución considerada
para el desarrollo de esta investigación.
realidad (real world)
especificar el
problema
comparar con la
realidad
utilizar los resultados
modelo
formular el
problema
matemático
resolver el
problema
matemático
establecer el
modelo
(simplificación
)
interpretar la
solución
1.3 Análisis del plan de estudios de Cálculo Diferencial
En esta sección se analiza el programa de la asignatura de Cálculo Diferencial del
Tecnológico de Colima, asignatura que forma parte de la formación básica que se ofrece
en este tecnológico, es decir todos los estudiantes, de las siete ingenierías, deben
cursarlo. Dichas ingenierías son: industrial, bioquímica, mecatrónica, ambiental, gestión
empresarial, informática y en sistemas computacionales. Una cuestión que emerge es:
¿Por qué la institución educativa considera que todos los estudiantes deben cursar esta
asignatura? Es decir, ¿cuáles son las herramientas matemáticas que provee esta
asignatura? ¿Su generalidad puede satisfacer las necesidades matemáticas de diferentes
ingenierías? ¿Cómo? ¿Qué aportes generan los conocimientos de cálculo para los
futuros ingenieros? ¿Cuáles son las aplicaciones que pueden ser consideradas en un
curso de cálculo que se ofrece a estudiantes de diferentes especialidades en ingeniería?
Con el objetivo de abordar estas cuestiones se analiza este programa que se compone de
12 apartados: datos de la asignatura, presentación, competencias a desarrollar, historia
del programa, objetivo(s) general(es) del curso (competencia específica a desarrollar en
el curso), competencias previas, temario, sugerencias didácticas, sugerencias de
evaluación, unidades de aprendizaje, fuentes de información y prácticas propuestas, de
los cuales se analizarán:
Presentación del curso
Competencias a desarrollar
Objetivo general del curso
Temario
Fuentes de información
1.3.1 Presentación del curso
En la presentación del curso se muestra que la motivación del estudio de esta asignatura
es dotar a los estudiantes de las bases necesarias para que puedan aprender Cálculo.
La característica más sobresaliente de esta asignatura es que en ella se estudian los
conceptos sobre los que se construye todo el Cálculo: números reales, variable,
función y límite. […] Utilizando estos tres conceptos se establece uno de los
esenciales del Cálculo: la derivada, concepto que permite analizar razones de cambio
entre dos variables, noción de trascendental importancia en las aplicaciones de la
ingeniería. (Plan de estudios de Cálculo Diferencial, p.2)
Se señala que el estudio de tres conceptos fundamentales, números reales, variable,
función y límite permitirá abordar el concepto de derivada, que se reconoce como una
noción fundamental para las aplicaciones de la ingeniería. Sin embargo, no se específica
ninguna de éstas ni cómo esta noción es utilizada en las mismas. Es decir, pareciera que
resulta suficiente conocer la noción de derivada para poder aplicarla en múltiples
situaciones. En la siguiente parte se señala que estos conocimientos favorecen el
desarrollo de diferentes pensamientos, lógico, formal, heurístico y algorítmico
necesarios para el ingeniero: “Esta asignatura contiene los conceptos básicos y
esenciales para cualquier área de la ingeniería y contribuye a desarrollar en el ingeniero
un pensamiento lógico, formal, heurístico y algorítmico”. (Plan de estudios de Cálculo
Diferencial, p.2). Estos cuatro tipos de pensamiento asociados a los conocimientos de
esta asignatura constituyen la base de varias asignaturas de matemáticas, de física y de
la especialidad (ciencias de la ingeniería). Además de dotar a los estudiantes de las
bases para el modelado matemático. “En el Cálculo diferencial el estudiante adquiere
los conocimientos necesarios para afrontar con éxito cálculo integral, cálculo vectorial,
ecuaciones diferenciales, asignaturas de física y ciencias de la ingeniería. Además,
encuentra, también, los principios y las bases para el modelado matemático” (Plan de
estudios de Cálculo Diferencial, p.2)
Puede verse que en la concepción del programa de esta asignatura se asume que una vez
que los estudiantes cuenten con los conocimientos básicos del Cálculo diferencial ellos
podrán continuar con éxito su formación matemática y de especialidad así como
enfrentar tareas de modelización matemática. No se considera por tanto que la
modelización matemática implique relacionar conocimientos matemáticos, físicos y de
ingeniería, y que dichas relaciones no pueden generarse de manera automática al
enfrentar las tareas ingenieriles. Es decir, se considera necesario producir recursos
didácticos específicos para que los estudiantes aprendan a aplicar conocimientos del
cálculo diferencial. La intención didáctica, aparece detallada en cada unidad, en la
quinta unidad se utiliza la derivada en la solución de problemas de razón de cambio y
optimización (máximos y mínimos), sin embargo se habla en general de aplicaciones sin
especificar la área.
1.3.2 Competencias a desarrollar
Esta sección del plan de estudios está dedicada a las competencias a desarrollar, las
cuales se dividen en competencias genéricas y competencias específicas, de acuerdo al
modelo educativo para el siglo XXI de la Dirección General de Educación Superior
Tecnológica:
Las competencias genéricas –instrumentales, interpersonales y sistémicas– son
comunes a todas las profesiones, y hacen factible que el estudiante aprenda,
establezca relaciones interpersonales y actúe con autonomía y sentido ético;
mientras que las competencias específicas son propias de cada profesión, es decir,
saberes y quehaceres aplicables a un ámbito profesional y social determinado.
(p.38)
En el programa de la asignatura de cálculo diferencial se mencionan competencias
específicas, propias a cada profesión, por ejemplo en la unidad 5 (Aplicaciones de la
derivada) la competencia específica es: “Aplicar el concepto de la derivada para la
solución de problemas de optimización y de variación de funciones y el de diferencial
en problemas que requieren de aproximaciones”. (Plan de estudios de Cálculo
Diferencial, p. 10).
Como puede observarse no se menciona el tipo de problemas ni el enfoque en un área
en particular. Esta observación genera la siguiente pregunta de reflexión, ¿se enseñarán
los mismos problemas de aplicaciones para los estudiantes de ingeniería en gestión
empresarial que para los ingenieros en mecatrónica? La misma cuestión puede
plantearse para otras áreas de la ingeniería. En cuanto a las competencias genéricas se
menciona por ejemplo modelar matemáticamente fenómenos y situaciones, resolución
de problemas, analizar la factibilidad de las soluciones, optimizar soluciones, entre
otras.
1.3.3 Objetivo general del curso
El objetivo general del curso, es decir la competencia específica a desarrollar es la de
plantear y resolver problemas que requieren el concepto de función de una variable para
modelar y de la derivada para resolver. Nuevamente se habla en general de problemas,
pero sin especificar el enfoque o área de aplicación. En las competencias previas se
mencionan algunos temas específicos de álgebra y trigonometría, que supuestamente el
alumno debe tener como requisito para cursar la materia.
1.3.4 Temario
El temario se divide en cinco unidades: Números reales, funciones, límites y
continuidad, derivadas y aplicaciones de las derivadas.
La unidad de interés es la de aplicaciones de las derivadas, en la cual se pretende que los
alumnos aprendan los siguientes contenidos:
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo
diferencial.
5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio
de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de
inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
5.4 Análisis de la variación de funciones.
5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.
1.3.5 Sugerencias didácticas (Desarrollo de competencias genéricas)
En las tareas propuestas en las sugerencias didácticas se indica que el profesor debe
propiciar en el alumno la aplicación de los conceptos mediante la experimentación y el
modelado así como desarrollar prácticas para que los alumnos apliquen los
conocimientos adquiridos y los relacionen con su carrera. Menciona que los problemas
propuestos:
Permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su análisis y
solución.
Refuercen la comprensión de conceptos que serán utilizados en materias
posteriores. Modelen y resuelvan situaciones reales mediante conceptos propios
de la asignatura.
Contribuyan a investigar sobre la extensión y profundidad de los conceptos.
(plan de estudios de Cálculo Diferencial p. 5)
En las competencias específicas de la quinta unidad se menciona el aplicar el concepto
de la derivada para la solución de problemas de optimización y de variación
defunciones y el de diferencial en problemas que requieren de aproximaciones. Como
actividades de aprendizaje menciona:
“Resolver problemas de tasas relacionadas.
Resolver problemas de optimización planteando el modelo correspondiente y
aplicando los métodos del cálculo diferencial.
Resolver problemas de aproximación haciendo uso de las diferenciales.” (Plan
de estudios de Cálculo Diferencial p. 10)
En las prácticas propuestas sólo menciona un ejemplo de la interpretación geométrica de
la derivada a través de un software (geogebra), pero no se presenta ningún problema de
aplicación ni tampoco se pide al alumno modelar situaciones reales propias de su área.
1.3.6 Fuentes de Información
1. Larson, Ron. Matemáticas 1 (Cálculo Diferencial), McGraw-Hill, 2009.
2. Purcell, Edwin J. Cálculo, Editorial Pearson, 2007.
3. Ayres, Frank. Cálculo, McGraw-Hill, 2005.
4. Leithold, Louis. El Cálculo con Geometría Analítica, Editorial Oxford
University
5. Press, 2009.
6. Granville, William A. Cálculo Diferencial e Integral, Editorial Limusa, 2009.
7. Hasser, Norman B. Análisis matemático Vol. 1, Editorial Trillas, 2009.
8. Courant, Richard. Introducción al cálculo y análisis matemático Vol. I, Editorial
9. Limusa, 2008.
Libro de referencia:
El libro que se utiliza para el curso no está sugerido en las fuentes de información
propuestas, pero algunos profesores lo utilizan por ser un libro que se adapta al modelo
de competencias. Asimismo cubre los planes de estudio que se imparten en los
Institutos Tecnológicos, especificando en cada capítulo una unidad del temario y
describiendo las competencias genéricas y específicas del temario.
Matemáticas I Cálculo Diferencial
Dennis G. Zill
Ed. Mc Graw Hill
Como se vio en el apartado de sugerencias didácticas (desarrollo de competencias
genéricas) se le invita al docente a “desarrollar prácticas de tal manera que los
estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos y los relacionen con su carreray a
proponer problemas que permitan al estudiante la integración de los contenidos, para su
análisis y solución”. Para tener mayor luz acerca de la forma en que la optimización es
presentada en la clase de matemáticas, se entrevistó a algunos profesores del Instituto
Tecnológico de Colima.
1.4 Enseñanza de la optimización en el curso de cálculo diferencial
Para conocer un poco más la forma en que la optimización tiene lugar en el aula, se
entrevistó a cinco profesores que imparten o han impartido la asignatura de cálculo
diferencial. Se utilizaron algunas preguntas guías para la entrevista, aunque no se realizó
como una entrevista formal, sino como una plática amena entre colaboradores. Las
preguntas guía fueron las siguientes:
La optimización ¿tiene lugar en su clase de cálculo?
¿Cuánto tiempo le dedica a ese tema?
¿Utiliza alguna actividad o recurso didáctico específico para abordar este tema?
Mencione
¿Utiliza algún programa computacional/ aplicación para celular, etc. para la
asignatura de cálculo? Mencione cuál es.
¿Qué tipo de problemas propone?
¿Cómo elige esos problemas?
¿Por qué considera que son útiles?
¿Qué dificultades enfrentan los alumnos cuando realizan el modelo matemático?
¿Considera que debería existir otro tipo de recursos?
¿Qué características deberían tener?
Estas entrevistas permitieron dar cuenta de que todos los profesores abordan el tema de
optimización, casi todos dedican una semana a enseñar problemas de optimización, lo
realizan frente a pizarrón y algunos profesores se auxilian de un software graficador
para que los alumnos ubiquen los puntos máximos/mínimos del modelo con el que se
está trabajando. Aunque en este tema no utilizan ningún software para resolver las
derivadas pues argumentan que los modelos matemáticos adjuntos a los problemas de
optimización son modelos sencillos cuyo proceso de derivar y encontrar el valor que
maximice/minimice según sea el caso, no es complicado de resolver, ya que la
asignatura es cálculo diferencial de una sola variable.
En cuanto a la selección de problemas que se trabajan con los alumnos, mencionan que
se apoyan en los que aparecen en los libros de texto, algunos los adaptan o modifican,
también utilizan problemas que se encuentran en internet o en videos de problemas
resueltos. Todos los profesores coinciden en que explican problemas relacionados con
maximizar/minimizar áreas, volúmenes, utilidades, alcance máximo, etc. Al
cuestionarles por qué seleccionan ese tipo de problemas mencionan que porque son los
que aparecen en los libros de texto, ya que el plan de estudios no hace mención a qué
tipo de problemas. En el temario de la quinta unidad se menciona en el punto 5.6
Problemas de optimización y en la competencia específica de la quinta unidad respecto
a la optimización dice: “Aplicar el concepto de la derivada para la solución de
problemas de optimización” (Plan de estudios de Cálculo Diferencial, p. 10)
Al abordar la cuestión de por qué piensan que son útiles dichos problemas, los
profesores mencionan que son problemas de un contexto que los alumnos conocen
(cálculo de áreas, volúmenes, etc.) y que de alguna forma facilita la
comprensión/asimilación del proceso de optimización.
Las dificultades con las que se enfrentan en el tema de optimización son:
A los alumnos les cuesta trabajo conceptualizar el problema, la mayoría no
identifica cómo plantear el modelo.
Los alumnos no saben utilizar/interpretar el lenguaje algebraico para poder
expresar el problema en términos de variables y números, además de tener
deficiencia en algunos contenidos de álgebra.
Al ser el último tema del curso y siendo el programa extenso, algunas veces no
se tiene el tiempo suficiente para abordar más problemas.
1.5 Modelización matemática en la enseñanza del Cálculo, ¿cómo favorecerla?
En este primer capítulo se ha analizado brevemente el lugar que debe darse a la
modelización en una formación de ingenieros. Pollak puntualiza que la modelización
matemática es posible y eficaz en la práctica del ingeniero, lo que lleva a pensar que
debe ocupar un lugar importante en su formación. Los programas de estudio analizados,
de álgebra lineal en Macias (2002) y de ecuaciones diferenciales e integración en ℝn en
Soto (2013) permiten ver que la modelización de fenómenos aparece planteada como
objetivo de enseñanza. Los cursos de matemáticas deben proveer a los estudiantes de las
herramientas matemáticas necesarias para modelar problemas y/o fenómenos de
ingeniería. La complejidad de cumplir con este requerimiento es puesto en evidencia
por Bissell y Dillon (2000), quienes afirman que la afinación y adaptación de modelos
matemáticos en la práctica del ingeniero solicita además de conocimientos matemáticos
y del fenómeno de “un sentido” para modelar, de intuición y de experiencia. ¿En qué
medida podría la formación proveer elementos de este tipo aunados a la enseñanza de
los modelos matemáticos? El análisis del programa de Cálculo permite ver que el tema
de optimización está asociado al cálculo de la derivada para determinar el máximo o el
mínimo de una función vista como modelo matemático. A pesar de que esta enseñanza
esta propuesta en un modelo de competencias, un enfoque que se considera más
funcional y cercano a las necesidades matemáticas del futuro ingeniero, las entrevistas
hechas a los profesores muestran que este tema es abordado de manera tradicional y
apoyándose en textos que no han sido diseñados en este enfoque. Esto lleva a analizar
en la siguiente sección algunos problemas propuestos en dichos libros para conocer en
qué medida la modelización está presente y qué elementos pueden ser considerados en
el diseño de una secuencia didáctica para abordar la optimización en el curso de Cálculo
Diferencial.
Capítulo II
_________________
2 Capítulo 2. Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
para el análisis de problemas típicos para abordar la optimización
2.1 Introducción
En este capítulo se analizarán algunos problemas presentados en algunos libros de texto
que sirven de apoyo a la clase de Cálculo Diferencial en el Tecnológico de Colima. Este
análisis tiene por objetivo reconocer tareas de modelización, contextos en los cuales se
presentan y su pertinencia en una formación de ingenieros. Para realizar dicho análisis
se ha considerado la noción de praxeología la cual se define dentro de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999). Es por ello que en la primera parte de
este capítulo se presenta dicha noción, así como la de institución y se reconocen otras
instituciones que pueden participar en la formación de ingenieros.
2.2 Elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
La Teoría Antropológica de lo Didáctico fue propuesta por Chevallard y constituye un
modelo epistemológico que permite el análisis de la actividad humana en su dimensión
institucional. Dado que en esta investigación uno de los objetivos es analizar la
actividad de modelización matemática en la formación de ingenieros y luego proponer
una secuencia didáctica centrada en la optimización para el curso de Cálculo
Diferencial, se consideran dos nociones de esta teoría: institución y praxeología. El
análisis de la actividad dentro de esta teoría no se considera de manera individual sino
social, es por ello que la noción de institución es fundamental y se asume que la
actividad humana es posibilitada y al mismo tiempo condicionada por las instituciones
en las cuales se desarrolla. Se presentan a continuación dichas nociones.
2.2.1 Noción de institución
En Castela y Romo, las instituciones son definidas de la manera siguiente:
Las instituciones, es decir, organizaciones sociales estables, enmarcan las
actividades humanas y simultáneamente las hacen posibles por los recursos que
estas instituciones ponen a disposición de sus sujetos. Estos recursos materiales e
intelectuales han sido producidos por comunidades, a lo largo de procesos de
enfrentamiento a situaciones problemáticas, para resolverlas con regularidad y
eficacia. (Castela y Romo, 2011, p.85)
Una complejidad que puede verse asociada a esta noción es que no tiene una precisión
que permita identificar cuando un contexto en el que se desarrolla cierta(s) actividad(es)
es una institución. Sin embargo, al considerar una formación de ingenieros es posible
determinar que se ésta en una institución e incluso, como se verá más adelante, pueden
reconocerse otras instituciones que participan en ella.
2.2.2 Noción de praxeología
La noción de praxeología [T, τ, θ, Θ], es la unidad mínima de análisis sus cuatro
componentes son: tipo de tarea T, técnica τ, tecnología θ y teoría Θ. La tarea es lo que
se hace, la técnica es la manera en que se hace, la tecnología es un discurso que
produce, justifica y explica la técnica, la teoría a su vez produce, justifica y explica la
tecnología.
Estas dos nociones serán utilizadas para analizar algunos problemas de optimización
que son parte del curso de Cálculo Diferencial, según lo indicaron los profesores
entrevistados, en el Tecnológico de Colima.
2.3 Análisis de problemas de optimización abordados en un curso tradicional de
cálculo
2.3.1 Introducción
Los textos que se eligieron para analizar algunos problemas típicos de optimización son
los que regularmente utilizan los profesores del Tecnológico de Colima y que por ende
están disponibles en la biblioteca de dicha institución; algunos de ellos son sugeridos en
las fuentes de información del plan de estudios. Existe un texto en particular que si bien
no viene sugerido en las fuentes de información, fue diseñado especialmente para cubrir
el plan de la asignatura de cálculo diferencial de los sistemas tecnológicos además de
estar orientado en competencias: Cálculo Diferencial de Dennis Zill. Los profesores
utilizan dichos textos ya que como se mencionó están a disposición de los alumnos por
medio de la biblioteca y su contenido se apega al plan de estudios de la asignatura,
contienen ejercicios para resolver y respuestas a los ejercicios.
El tema de optimización es un tema de las aplicaciones del cálculo diferencial. Llamó
nuestra atención porque muchos alumnos si bien pueden obtener la competencia de
derivar e incluso auxiliarse de algún software especializado para resolver derivadas, la
parte de aplicaciones queda muy rezagada y no pueden determinar en qué aplican el
cálculo diferencial, mucho menos identificar algún contexto en que pueda serles de
utilidad. Aunque esta parte se trabaja en el aula junto con los profesores, los problemas
típicos que se resuelven son los de los libros de texto por ejemplo maximizar/minimizar
perímetros, áreas, volúmenes, algunas demostraciones matemáticas y muy pocos
manejan aplicaciones a la economía. Al analizar este tipo de problemas que llamaremos
“típicos” se pretende reconocer cuáles son sus potencialidades y límites y determinar
qué aportan a la formación de un futuro ingeniero.
Se presentan a continuación los seis problemas que serán analizados y los libros en los
cuales aparecen:
Matemáticas 1 Cálculo Diferencial. Zill, D. y Wright W. (2011)
1) Un granjero intenta delimitar un terreno rectangular que tenga un área de 1500 m2. El
terreno estará cercado y dividido en dos partes iguales por medio de una cerca adicional
paralela a dos lados. Encuentre las dimensiones del terreno que requiere la menor
cantidad de cerca.
2) Un canalón para agua de 20 pies de longitud tiene extremos en forma de triángulos
isósceles cuyos lados miden 4 pies de longitud. Determine la dimensión a través del
extremo triangular de modo que el volumen del canalón sea máximo. Encuentre el
volumen máximo.
Cálculo conceptos y contextos. Stewart, J. (1999)
3) Un granjero tiene 2400 ft de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita
con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del
campo que tiene el área más grande?
4) Se va a producir una lata para que contenga 1 L de aceite. Encuentre las dimensiones
que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
Cálculo Diferencial e integral. Purcell E., Varberg D., Rigdon S. (2007)
5) Una caja rectangular se fabrica con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9
de ancho, de la cual se cortan cuadrados idénticos a partir de las cuatro esquinas y se
doblan los lados hacia arriba. Determine las dimensiones de la caja de volumen
máximo. ¿Cuál es este volumen?
6) En la fabricación y venta de x unidades de cierto bien de consumo, las funciones de
precio p y costo C (en dólares) están dadas por:
xxp 002.05)( xxC 1.13)(
Encuentre las expresiones para el ingreso, el costo y la utilidad marginales. Determine
el nivel de producción que producirá la máxima utilidad total.
2.3.2 Análisis de problemas típicos de optimización
Para realizar el análisis de los problemas se han considerado los componentes de la
praxeología, tarea, técnica, tecnología, la teoría no se ha especificado pues se asume el
Cálculo Diferencial, aunque se reconoce que en un análisis más fino, éste elemento
podría ser descrito a través de elementos más locales. Por otra parte, se ha considerado
necesario agregar una descripción del problema, esto se consideró necesario porque los
problemas son propuestos en contextos diversos.
Problema 1
Matemáticas 1 Cálculo Diferencial. Zill, D. y Wright W. (2011)
Un granjero intenta delimitar un terreno rectangular que tenga un área de 1500 m2. El
terreno estará cercado y dividido en dos partes iguales por medio de una cerca adicional
paralela a dos lados. Encuentre las dimensiones del terreno que requiere la menor
cantidad de cerca.
Descripción del problema
El problema está dado en un contexto no matemático, en el cual se describe un terreno
en forma de rectángulo, el cual se dividirá en dos partes iguales por medio de una cerca,
quedando entonces un rectángulo cercado con una división en medio hecha con cerca.
La condición que se pide para hacer la división es que el área de todo el rectángulo sea
de 1500 m2. Bajo esa condición hay que calcular las dimensiones, es decir encontrar la
medida de la base y la altura del terreno para cumplir con la cantidad de área que
solicitan y al mismo tiempo utilizar la cantidad mínima de cerca para cubrir el contorno
del terreno y la división. Este tipo de contexto no es un un contexto ingenieril y en
realidad no aporta mucho a la formación de un futuro ingeniero. Sin embargo, es un
problema que para resolverse requiere que el alumno esté familiarizado con los
conceptos de perímetro y área de un rectángulo, lo cual facilita la presentación del tema
de optimización a los alumnos pues la mayoría conocen dichos conceptos.
Tipo de tarea: Determinar las dimensiones de una figura regular a partir de una figura
dada.
Tarea: Encontrar las dimensiones del siguiente rectángulo (Figura 3).
Figura 3. Representación gráfica del terreno que se sugiere para resolver el problema
Técnica:
Reconocer cómo se calcula el perímetro y área de un rectángulo
Establecer la relación de la cantidad de cerca necesaria, la cual es el perímetro
del rectángulo y la división del centro, es decir 2 bases y 3 alturas, Cerca=
2b+3h
Expresar una relación matemática con la información del problema, la cual es el
área de 1500m2, 1500=bh
Despejar cualquiera de las dos variables de la ecuación anterior y sustituir dicha
variable en la ecuación de la cantidad de cerca necesaria. b= 1500/h
Como el objetivo es minimizar, la ecuación de la cantidad de cerca se deriva y se
iguala a cero para encontrar el mínimo.
Se despeja la variable y se encuentra una de las medidas (sea base o altura
dependiendo de la variable que se despejó)
Encontrar la otra medida
Determinar las dimensiones del terreno
Tecnología: Definición del mínimo de una función: Si f y f' son derivables en a, a es un
mínimo relativo o local si se cumple:
a
b
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Problema 2
Matemáticas 1 Cálculo Diferencial. Zill, D. y Wright W. (2011)
Un canalón para agua de 20 pies de longitud tiene extremos en forma de triángulos
isósceles cuyos lados miden 4 pies de longitud. Determine la dimensión a través del
extremo triangular de modo que el volumen del canalón sea máximo. Encuentre el
volumen máximo.
Descripción del problema
El problema está dado en un contexto no matemático en el cual se propone calcular las
dimensiones de un canalón para agua, que tiene una forma geométrica regular, la de un
prisma con base triangular. Podemos decir que el problema consiste por tanto en
determinar las dimensiones que debería tener este prisma (canalón) para que el volumen
de agua sea el máximo. Por lo cual, resulta difícil señalar las ventajas del contexto
elegido para inscribir el problema.
Tipo de tarea: Determinar las dimensiones máximas de una figura regular (figura dada)
y determinar su volumen.
Tareas:
Determinar las dimensiones del canalón de volumen máximo (ver Figura 4).
Calcular el volumen.
Figura 4. Representación gráfica del triángulo que se sugiere para resolver el problema
Técnica:
Conocer cómo se calcula el volumen de un prisma de base triangular (área de la
base por la altura).
Para calcular el área de la base en este caso un triángulo no se conoce la base (x)
ni la altura (figura 2) pero se puede estimar la altura con el teorema de Pitágoras.
Para estimar el volumen se escribe como la multiplicación del área de la base
(triángulo) por la longitud del canalón.
Como la intención es maximizar el volumen, entonces se deriva la función
volumen.
Se iguala a cero y se despeja el valor de x.
Se encuentran las dimensiones del canalón.
Se calcula el volumen.
Tecnología: Definición del máximo de una función. Si f y f' son derivables en a, a es un
máximo relativo o local si se cumple:
x/2 x/2
4 4
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Problema 3
Cálculo conceptos y contextos. Stewart, J. (1999)
3) Un granjero tiene 2400 ft de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita
con un río recto. No necesita cercar a lo largo del río. ¿Cuáles son las dimensiones del
campo que tiene el área más grande?
Descripción del problema
Nuevamente este problema se presenta en un contexto no matemático, tiene el potencial
de ser un ejercicio fácil de resolver pues sólo se necesitan conocimientos básicos como
el cálculo del área y del perímetro de un rectángulo, lo cual lo hace entendible para que
los estudiantes puedan plantear el modelo matemático y apliquen fácilmente el
procedimiento de optimización pero tiene la desventaja de ser una actividad que limita
la exploración de la optimización en la práctica ingenieril.
Tipo de tarea: Determinar las dimensiones de una figura regular a partir de una figura
dada (ver Figura 5).
Tarea: Encontrar las dimensiones del rectángulo
Figura 5. Representación gráfica del campo rectangular que limita con un río
Técnica:
Reconocer cómo se calcula el perímetro y área de un rectángulo
Establecer la relación entre los lados del rectángulo, es decir 2 alturas y 1 base, y
el perímetro. 2a+b = 2400
Expresar una relación matemática con la información del problema, la cual es el
A=bh
Despejar cualquiera de las dos variables de la ecuación del perímetro (b=2400-
2a) y sustituir dicha variable en la ecuación del área. A=(2400-2a)a
Como el objetivo es maximizar el área, la ecuación del área se deriva y se iguala
a cero para encontrar el máximo.
Se despeja la variable y se encuentra una de las medidas (sea base o altura
dependiendo de la variable que se despejó)
Encontrar la otra medida
Determinar las dimensiones del campo.
Tecnología: Definición del máximo de una función. Si f y f' son derivables en a, a es un
máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
a
b
2. f''(a) < 0
Problema 4
Cálculo conceptos y contextos. Stewart, J. (1999)
4) Se va a producir una lata para que contenga 1 L de aceite. Encuentre las dimensiones
que minimizarán el costo del metal para fabricar la lata.
Descripción del problema
Este problema se presenta en un contexto no matemático. Se trata de encontrar las
dimensiones mínimas de una lata que permitan almacenar 1 L de aceite y por ende el
costo del material será el mínimo. Al almacenar 1 L de aceite estamos hablando de
volumen y para calcular las dimensiones de la lata estamos hablando de la superficie o
del área de la lata (ver Figura 6). Este problema tiene la ventaja que permite al alumno
formular el modelo matemático, es decir de un texto escrito en lenguaje común, el
alumno aprenderá a expresarlo en lenguaje algebraico, lo cual es la parte reto en este
tipo de problemas, ya que la parte de la optimización se resuelve fácilmente una vez que
se haya planteado el modelo matemático. Al igual que en los problemas anteriores
limita la exploración de la optimización a un área ingenieril.
Tipo de tarea: Encontrar las dimensiones de una figura compuesta por figuras regulares,
la figura es dada.
Tarea: Encontrar las dimensiones de la lata.
Figura 6. Representación gráfica del área de la lata
Técnica:
- Reconocer cómo se calcula el volumen de una lata (cilindro)
- Con la información del problema (volumen= 1000 ml) establecer la ecuación de
volumen.
- Como el volumen se expresa por medio de la altura y el radio, despejar una de
las dos variables.
- Expresar una ecuación que represente el área de ese cilindro (dos tapas y un
rectángulo cuya base será la medida del perímetro de la tapa.
- El área quedará expresada en función del radio y de la altura, entonces sustituir
por la ecuación de volumen despejada.
- Minimizar el área
- Encontrar las dimensiones de la lata
h
r
x
Tecnología: Definición del mínimo de una función: Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o
local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) > 0
Problema 5
Cálculo Diferencial e integral. PurcellE., Varberg D., Rigdon S. (2007)
5) Una caja rectangular se fabrica con una pieza de cartón de 24 pulgadas de largo por 9
de ancho, de la cual se cortan cuadrados idénticos a partir de las cuatro esquinas y se
doblan los lados hacia arriba. Determine las dimensiones de la caja de volumen
máximo. ¿Cuál es este volumen?
Descripción del problema
Este problema está dado en un contexto no matemático, en el cual se menciona que se
fabricará una caja de cartón de 24 pulgadas de largo por 9 de ancho. Para fabricarla se
deben cortar cuadrados idénticos en las cuatro esquinas (ver Figura 7), los cuales se
doblarán hacia arriba y formarán la caja. Este problema presenta la ventaja que los
alumnos pueden explorar cómo diferentes tamaños de corte en las esquinas podrán
forman cajas de diferentes volúmenes, este problema es adecuado para demostrar que si
se encuentra la función matemática que exprese el problema, el resultado obtenido
mediante el procedimiento de optimización será el que produzca el mayor volumen y
que no habrá otro que produzca más volumen. Inclusive se les puede pedir
cartulina/cartón a los alumnos y pueden realizar cajas de diferentes tamaños, es una
tarea relativamente fácil y que permite la exploración del concepto de optimización. La
desventaja es que no proporciona un contexto ingenieril, una aplicación directa al área
que están estudiando los alumnos.
Tarea: Encontrar las dimensiones que deberá tener cada corte (x) en la esquina de la
caja para que cuando se doble se forme la caja con su máximo volumen.
Figura 7. Representación gráfica de la caja de cartón
Técnica:
- Reconocer cómo se calcula el volumen de una caja. V=abc
- Expresar el volumen en función del tamaño de los cortes “x”
V = a b c
V = (24-2x)(9-2x)(x)= 216x-66x2+4x
3.
- Como el objetivo es maximizar el volumen, se deriva la función volumen.
24
9
x
x
- Se iguala a cero y se despeja la variable x
- Al igual la ecuación a cero, se encuentran dos valores para la “x”, reconocer el
valor que tiene sentido en el problema. x1= 9, x2= 2. Como no se puede cortar 9
pulgadas a cada lado, se acepta como respuesta correcta a x= 2.
- Se calcula el volumen que se obtiene con la caja que se forma.
Tecnología: Definición del máximo de una función. Si f y f' son derivables en a, a es un
máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
Problema 6
Cálculo Diferencial e integral. PurcellE., Varberg D., Rigdon S. (2007)
6) En la fabricación y venta de x unidades de cierto bien de consumo, las funciones de
precio p y costo C (en dólares) están dadas por:
xxp 002.05)( xxC 1.13)(
Encuentre las expresiones para el ingreso, el costo y la utilidad marginales. Determine
el nivel de producción que producirá la máxima utilidad total.
Descripción del problema
Este problema se presenta en un contexto no matemático el cual es muy interesante
porque a diferencia de los otros problemas que hablan de contextos de perímetros, áreas,
volúmenes, este problema permite explorar la optimización desde el punto de vista de
aplicaciones a la economía. Cabe aclarar que no todos los libros de texto para cálculo
diferencial contienen problemas de este tema (pero sí los encontramos en los libros de
matemáticas aplicadas a la administración y economía) pero algunos sí y los clasifican
precisamente como “aplicaciones a la economía”. Una característica de este tipo de
problemas es que el alumno no tiene la tarea de plantear el modelo matemático de
costos ya que se proporciona en el problema y no forma parte de la enseñanza del curso,
ya que este tipo de problemas se enfocan en que el alumno aplique el proceso de
optimización de la función y aunque puede llegar a cuestionarse cómo se calcula la
ecuación de costos, no necesitará hacerlo y se limitará a derivar, igualar a cero y
despejar la variable.
Técnica:
- Determinar la función de ganancia, se multiplica la función de precio por el
número de artículos (x).
R(x)= (x) p(x) = 5x-0.002x2
- Determinar la función Utilidad, que se calcula como una resta de la función
ganancia menos la función de costo.
U(x)= (5x-0.002x2) -(3+1.1x)
U(x) =-0.002x2+3.9x-3
- Derivar la función utilidad
U´(x) = -0.004x+3.9
- Igualar a cero y despejar
-0.004x+3.9=0
x = 975
Tecnología: Definición del máximo de una función. Si f y f' son derivables en a, a es un
máximo relativo o local si se cumple:
1. f'(a) = 0
2. f''(a) < 0
2.3.3 Conclusiones del análisis de los problemas típicos
Estos problemas permiten a los alumnos abordar el concepto de optimización, aprender
a plantear la solución en términos de funciones, vistas como modelos matemáticos, para
después aplicar el proceso de optimización, es decir encontrar los máximos o mínimos
de la función planteada que se requieren para resolver un problema. Se observa que los
contextos no son matemáticos y tienen algunas limitantes, entre ellas que se encuentran
alejados del contexto ingenieril de interés. La ventaja que tiene es que al ser de un
contexto conocido por los alumnos, puede “facilitar” el aprendizaje del proceso de
optimización, ya que se exploran contextos implícitos en perímetros, áreas, volúmenes,
que son temas en los que los alumnos se sienten familiarizados. Este tipo de problemas
permiten que los alumnos exploren diferentes opciones por ejemplo de dimensiones de
figuras que les arrojarán diferentes valores de área, volumen y se pueden dar cuenta al
hacerlo que debe existir un valor que arroje el mínimo/máximo volumen/área. Después
de explorar diferentes opciones, se espera lleguen a la conclusión que encontrando el
modelo matemático y aplicando la optimización el valor que encuentren será el exacto
teniendo la posibilidad de abandonar una técnica basada en prueba y error.
Aunque los problemas propuestos puedan permitir cumplir el objetivo de que el alumno
aprenda a proponer una resolución de la tarea en términos de una función, vista como
modelo, y a optimizar dichas funciones; algunos alumnos se cuestionan el papel de las
matemáticas en este caso del cálculo diferencial en el área ingenieril elegida. Esta
propuesta no tiene el objetivo de hacer a un lado los problemas de optimización de
aplicación llamados típicos o de contextos que no son referentes al área de estudio de
ingeniería de los alumnos, sino de generar un recurso didáctico que permita
complementar el aprendizaje de los alumnos, proponiendo tareas para optimizar
funciones que se encuentren dentro de un contexto ingenieril, acorde al área de interés
de los alumnos.
Para realizar el diseño de un recurso didáctico aplicado a una área de ingeniería, se
identificó un área de interés en la cual trabajar el diseño para lo cual se analizó un curso
que forma parte de la retícula de una ingeniería del Instituto Tecnológico de Colima y
que no pertenece a las asignaturas generales de la ingeniería, sino que es una asignatura
de aplicación de dicha ingeniería.
2.4 Instituciones que participan en una formación de ingenieros
Una formación de ingenieros puede ser modelada en términos de instituciones. En
Romo-Vázquez (2009) se consideran instituciones de tres tipos: de producción, de
enseñanza y de uso. Las instituciones de producción son las que producen el modelo
matemático, visto como praxeología, se reconocen dos instituciones de producción:
Matemáticas (como disciplina) P(M)
Disciplinas Intermediarias (como disciplina) P(DI)
Las instituciones de enseñanza son las encargadas de difundir las praxeologías (modelos
matemáticos), en estas instituciones se operan adaptaciones necesarias para lograr su
enseñanza. Se reconocen dos instituciones de enseñanza:
Enseñanza de las Matemáticas E(M)
Enseñanza de las Disciplinas Intermediarias E(DI)
Las instituciones usuarias son aquellas donde los modelos o praxeologías matemáticas
son utilizadas para atender las necesidades de la práctica:
Práctica profesional Ip
Actividades prácticas Ap
Así se considera que si una praxeología o modelo matemático se produce en P(M) y es
utilizado en la práctica o en la realización de una actividad práctica Ap que puede tener
lugar dentro de la formación, existen diferentes recorridos que esta praxeología puede
seguir. Estos últimos se pueden modelar bajo un esquema (retomado de Romo-Vázquez,
2014) que aparece a continuación:
Esquema 1. Recorridos que sigue una praxeología matemática para pasar de P(M)
Los recorridos ilustrados en el esquema anterior pueden detallarse de la siguiente
manera:
1. P(M)→E(M)→Ap (simbolizado con )
De la institución de producción de conocimientos matemáticos a la enseñanza de las
matemáticas y de ésta al desarrollo de actividades prácticas.
2. P(M)→P(DI)→E(DI)→ Ap (simbolizado con )
De la institución de producción de conocimientos matemáticos a la institución de
producción de conocimientos intermediarios y de ésta a la enseñanza de las
disciplinas intermediarias y finalmente a las actividades prácticas.
3. P(M)→E(M)→E(DI)→ Ap (simbolizado con )
De la institución de producción de conocimientos matemáticos a la enseñanza de las
matemáticas, de ésta a la enseñanza de las disciplinas intermediarias y finalmente a
la práctica. (Romo-Vázquez, 2014, pp. 325-326)
Considerando lo anterior y el objetivo de esta investigación que es el de generar una
secuencia didáctica basada en modelización matemática para tratar la optimización en el
curso de Cálculo, se considera que estas instituciones podrían estar representadas de la
manera siguiente:
Esquema 2. Instituciones consideradas para el diseño de la secuencia didáctica
Las instituciones mostradas en el Esquema 2 permiten considerar la formación del
Tecnológico de Colima y en específico presentar el área con la que se ha elegido
vincular la optimización enseñada en el curso del Cálculo Diferencial y ésta que tiene
lugar en el curso de Administración de las Operaciones 1. Esto se detallará en el
capítulo 3. Se considera importante señalar que en el Esquema 2 aparecen algunas
relaciones entre las instituciones representadas. Por ejemplo, las matemáticas P(M) y la
investigación de operaciones P(DI) están unidas por dos flechas que van de una hacia a
la otra y viceversa. Con ello se desea indicar que seguramente las matemáticas han
proveído de herramientas a la investigación de operaciones y que ésta última ha podido
generar aportes a la primera, pero estos supuestos no son objeto de investigación en este
trabajo, sino que se intenta dar cuenta de las posibles relaciones que se generan entre
estas instituciones (el modelo es simplificado pues puede haber otras). Lo que si se
estudiará es cómo puede hacerse para vincular el uso que se hace de la optimización en
la enseñanza de la Administración de Operaciones 1 y la del Cálculo Diferencial. Se
considera que este marco permitirá generar una secuencia que pueda a diferencia de los
problemas típicos analizados en este capítulo hacer intervenir un contexto de uso de la
optimización que está situado en la formación de especialidad de los futuros ingenieros
industriales.
Matemáticas
P(M)
Disciplinas intermediarias
P(DI)
Investigación de operaciones
Te
Enseñanza de las
matemáticas E(M)
Cálculo Diferencial
Enseñanza de las disciplinas
intermediarias
E(DI)
Administración de las operaciones
1
Práctica
profesional
Ip
Ingeniería
industrial
Capítulo III
_________________
3 Capítulo 3. Diseño de una secuencia didáctica aplicada a un
contexto ingenieril específico
3.1 Identificación de un área de interés
En la formación de ingenieros se ofrecen diferentes cursos de matemáticas que dotan a
los estudiantes de herramientas para la formación de especialidad y para la práctica,
pero muchas de las veces no se conoce cuáles son las herramientas matemáticas que los
ingenieros utilizan y por tanto necesitan aprender en su formación. Con la finalidad de
conocer algunos de los usos de las matemáticas se realizó un análisis preliminar en la
formación de especialidad de los estudiantes de ingeniería y reconocer algunos usos de
la optimización matemática. Al iniciar dicho análisis se puedo ver que es muy difícil
identificar un uso que pueda ser de interés para todos los estudiantes que cursan la
asignatura de Cálculo Diferencial, pues su formación de especialidad es muy diversa,
como se mencionó anteriormente existen siete especialidades de ingeniería en el
Tecnológico. Debido a que en mi experiencia docente tuve la oportunidad de impartir la
asignatura de Administración de las Operaciones I, en la cual se aborda el manejo de
inventarios y que en éste existe un uso de la optimización matemática, se optó por
analizar dicho curso. El análisis tiene por objetivo reconocer el modelo matemático que
sustenta el manejo de inventarios y el uso que se hace de la optimización matemática
para en base a éste diseñar una secuencia didáctica que pudiera tener lugar en el tema de
optimización de la clase de Cálculo Diferencial.
3.2 Análisis del curso administración de las operaciones I E(DI)
3.2.1 Introducción
El curso de administración de las operaciones I es una asignatura propia de la carrera de
ingeniería industrial y se enseña en el quinto semestre, una vez que los alumnos
cursaron las materias del área de ciencias básicas (cálculo diferencial, cálculo integral,
cálculo vectorial, física, estadística, etc.). Esta asignatura pretende proporcionar al
alumno conceptos esenciales de los sistemas de producción de empresas productoras de
bienes y servicios. Está compuesto por cinco unidades y el objetivo que se declara en el
programa es el siguiente:
Utilizar técnicas de pronósticos y de planeación de la capacidad para tomar
decisiones en la administración de sistemas de producción de bienes y servicios.
Aplicar técnicas de inventarios y de administración de almacenes para optimizar
los sistemas de almacenamiento. (Plan de estudios de Administración de las
Operaciones I, p.6).
Este curso también se seleccionó debido a su aporte al perfil de egreso de los
ingenieros industriales pues les enseña a analizar, diseñar y gestionar sistemas
productivos desde la provisión de insumos hasta la entrega de bienes y servicios,
integrándolos con efectividad. Por lo tanto es una asignatura enfocada a la
práctica de los ingenieros industriales, lo cual es tema de interés para el diseño
de esta actividad.
El análisis se centra en la unidad 3 que se llama Administración de inventarios y su
competencia específica es: “Conocer y aplicar los modelos y sistemas de inventarios y
adecuar a las características propias de la empresa” (Plan de estudios de Administración
de las Operaciones I, p. 10). Aunque no se precisa la naturaleza de estos modelos en una
primera revisión del curso pudo observarse que algunos de éstos son matemáticos y/o
están basados en elementos matemáticos. Es por ello, que se consideró conveniente
analizar esta unidad y reconocer el tipo de modelos matemáticos que se usan y las
formas en que dicho uso tiene lugar. Para este análisis se presentará primeramente la
estructura de esta unidad.
Unidad 3: Administración de inventarios
3.1 Costos involucrados en inventarios.
3.2 Análisis ABC.
3.3 Sistemas de inventarios de cantidad fija:
Modelo CEP clásico,
Modelo CEP se permiten faltantes,
Modelo del Tamaño de lote de producción,
Modelo del Tamaño de lote de producción sin faltantes,
Modelo del Tamaño de lote de producción,
Modelo del Tamaño de lote de producción faltantes permitidos,
Modelo CEP con descuentos por cantidad.
3.4 Sistemas de inventarios de periodo fijo.
3.5 Modelos probabilísticos en inventarios.
En esta unidad se presentan características y funciones de los inventarios, su
importancia para el buen funcionamiento de una empresa, los tipos de inventarios (de
productos terminados, de procesos, de materia prima), sus costos así como las ventajas
y desventajas de tener inventario y se concluye que debe buscarse que la cantidad de
inventario sea adecuada para aprovechar sus beneficios sin incurrir en mayores costos,
es decir buscar un balance entre los costos/beneficios. Para lograr esto, se señala que el
sistema de inventarios debe optimizarse estableciendo un criterio, que en este caso sería
la minimización del costo. Es decir, la cantidad adecuada de inventario es aquella que
produzca el costo total mínimo.
3.2.2 Modelo EOQ (Economic Order Quantity)
Dentro de los diferentes modelos del funcionamiento de los inventarios existe el modelo
EOQ (Economic Order Quantity) o cantidad económica a pedir (CEP). Este modelo
consiste en determinar la cantidad adecuada de producto que se encargará en cada
periodo de tiempo para satisfacer una demanda anual constante en cada periodo. Esta
cantidad se calcula buscando mediar los costos de mantener el inventario (se generan
por el manejo del material, el almacenamiento, conservación del inventario, gastos de
bodega, etc) y los costos de ordenar (procesamiento de facturas, realizar la orden,
tramitación, etc). Estos dos costos conforman la función llamada Costo Total (ver
Figura 8).
Figura 8. Gráfica del COSTO TOTAL del modelo EOQ
Como puede observarse en la Figura 8, el costo de almacenar es una función creciente y
es lineal, es decir conforme el valor de Q crece el costo de almacenar el inventario
también crece de manera proporcional. Este comportamiento es opuesto al costo de
ordenar, que es una función decreciente. Se observa en la gráfica que conforme Q
aumenta, el costo de ordenar va a disminuir, pues entre mayor sea el tamaño de Q,
menos pedidos se harán al año y por lo tanto el costo de ordenar también disminuirá.
Estas dos funciones se suman y forman la función de Costo Total.
La función de Costo Total la observamos en color azul en la Figura 8. Esta función tiene
un mínimo local, el cual lo podemos calcular por medio de la derivada. Recordemos que
al derivar una función e igualarla a cero, encontramos los puntos críticos y podemos
Costo de almacenar
Costo de ordenar
COSTO TOTAL
Q
Óptimo
Costo
mínimo
Costo
Anual Total
Costo anual
de la orden
Costo anual por
mantener el
inventario
= +
determinar por medio de las pendientes si esos puntos críticos corresponden a algún
máximo o mínimo de la función. En este caso se observa que la pendiente antes del
punto crítico es negativa y después del punto crítico es positiva, por lo tanto aplicando
el criterio de la primera derivada, tenemos un mínimo en el punto Q óptimo. Lo que se
interpreta como que el valor Q encontrado será la cantidad que se debe ordenar en cada
periodo de tiempo para satisfacer la demanda y que los costos de ordenar y los costos de
mantener el inventario se mantengan en los niveles mínimos, ningún otro valor de Q
dará un costo menor al calculado con el procedimiento de optimización.
3.2.3 Elementos tecnológicos del modelo EOQ
Según Chase (2005) los supuestos del modelo EOQ son:
Es posible estimar la demanda anual, el costo de almacenar y el costo de pedir
un material
El nivel promedio de inventarios de un material es la cantidad de pedidos
dividida entre 2, no se utiliza existencia de seguridad, la totalidad de los pedidos
se reciben de una vez, los materiales se utilizan a una tasa uniforme, cuando se
recibe el siguiente pedido los materiales se han utilizado en su totalidad.
No son de importancia los faltantes, la sensibilidad a los clientes y otros costos.
No existen descuentos por cantidad.
El modelo EOQ se representa por medio de la siguiente gráfica:
Figura 9. Representación gráfica del modelo de EOQ
Este modelo, como puede verse en la Figura 9, está inserto en el cuadrante 1 de los ejes
coordenados y se representa por medio de periodos, en este caso se muestran 4 (ver
Figura 9). Las líneas rectas que aparecen en rojo con pendiente negativa representan la
manera en que se consume el inventario. Al inicio de cada periodo llega la cantidad que
se solicitó (Q) y al ser la demanda uniforme, su consumo también es uniforme, antes de
que se termine se llega a un punto en que hay que pedirlo, éste es conocido como punto
Q
Punto de
reorden
TIEMPO
Nivel de
inventario
de reorden. Lo anterior, permite que al final del periodo, justo cuando éste se termina
nuevamente llega el pedido (Q) y el nivel de inventario sube a su punto máximo para
después ser consumido nuevamente de manera constante.
Las preguntas obligatorias en este modelo son:
1) ¿Cuánto encargar (Q)?
2) ¿Cuándo encargarlo (punto de reorden)?
3.2.4 Elementos tecnológicos matemáticos del modelo
HQ
SQ
DCT
2
CT = Costo Anual Total
D = Demanda (anual)
Q = Cantidad a ordenar (cantidad óptima a ordenar EOQ)
S = Costo por colocar una orden (o costo por preparación)
H = Costo anual de mantener y almacenar una unidad del inventario promedio.
Los costos implícitos en el Costo Anual Total son el costo anual de la orden y el costo
anual por mantener el inventario:
Costo anual de la orden: Se calcula multiplicando el (número de pedidos al
año)(costo de pedir o de preparación).
Costo anual por mantener el inventario: Se calcula multiplicando el (inventario
promedio) (costo de mantener y almacenar una unidad de inventario por año).
Para encontrar la cantidad óptima a ordenar (Q) se optimiza la función del costo total y
se encuentra el valor Q óptimo que minimiza los costos.
La técnica que permite optimizar la función COSTO ANUAL TOTAL, consiste en
calcular el mínimo de dicha función. Por lo que se presentan los pasos que se han
enseñado en la materia de Cálculo Diferencial y que son: derivar la función, igualarla a
cero y despejar la cantidad Q (cantidad a Ordenar) y ese valor de Q será la cantidad que
genere los costos mínimos.
La técnica se presenta de la siguiente manera:
HQ
SQ
DCT
2
22
H
Q
DS
dQ
dCT
Costo
Anual Total
Costo anual
de la orden
Costo anual por
mantener el
inventario
= +
022
H
Q
DS
H
DSQOPTIMA
2
Con esa Q despejada se puede calcular el tamaño de los pedidos óptimo que permite
mantener los costos en el nivel mínimo. El procedimiento que se utiliza para resolver un
problema de inventarios del modelo EOQ es el de sustituir los valores de la demanda
(D), el costo por colocar la orden (S) y el Costo anual de mantener y almacenar una
unidad del inventario promedio (H) en la ecuación de Q óptima. Los libros de texto de
aplicaciones de ingeniería presentan la ecuación de Q óptima ya despejada y sólo se
debe sustituir para resolver el problema.
3.2.5 Enseñanza del modelo EOQ (Economic Order Quantity)
Este modelo se enseña en el curso de Administración de las Operaciones I a los alumnos
del quinto semestre del área de ingeniería industrial. Se les muestra la representación
gráfica (Figura 8), sus supuestos (elementos tecnológicos, Figura 9) y una explicación
sobre las partes del modelo (periodos, demanda, cantidad a ordenar Q, punto de
reorden). Posteriormente, se definen los costos implícitos en el modelo y se explica
cómo se calculan los costos de ordenar y los costos de mantener el inventario. Algunos
profesores muestran a los alumnos que el punto donde cruzan estos costos es el valor de
Q óptimo y algunos otros hacen mención a que también es el punto mínimo de la
función de costo total. Se les explica de dónde se deduce la ecuación de Q óptima pero
para resolver los ejercicios de este modelo se les dice a los estudiantes:
“Ustedes sólo apréndanse la fórmula de H
DSQOPTIMA
2 y sustituyan los
valores y el resultado será la cantidad a ordenar óptima en este modelo”.
La parte matemática se omite y sólo se enseña a aplicar una fórmula sustituyendo los
valores del problema.
Para complementar este análisis, se entrevistó a un profesor del área de ingeniería
industrial el cual imparte la asignatura de Administración de las Operaciones I, quien
indicó que el libro de texto base que utiliza para la asignatura es: Principios de
Administración Operaciones, séptima edición, Barry Render y JayHeizer. Ed. Pearson.
Este libro presenta material adicional en línea, presentaciones en powerpoint que el
alumno puede ver desde cualquier computadora. El profesor comenta que utiliza dichas
diapositivas para explicar el modelo. Comienza enseñando la gráfica del modelo de
sierra y explica la gráfica de los costos (similar al de la Figura 8) la cual es parte de las
diapositivas.
La justificación para la ecuación de Q óptima se hace a través de la gráfica, se les
enseña a los alumnos que la Q óptima la encontramos cuando igualamos las funciones
de costo anual de mantener el inventario y de costos anual de ordenar, que es el punto
donde se interceptan las gráficas.
H
DSOPTIMA
Q
HDSQ
HQDS
HQ
SQ
D
2
2
2
/2
2
2
No se justifica el por qué en la intersección se encuentra el valor más bajo de la función
de Costo Anual Total y no se aborda la parte de la optimización de la función de Costo
Anual Total. Es decir, no menciona que la función tiene un mínimo, que se puede
calcular cuando se deriva la función, se iguala a cero y despeja la variable. Después de
enseñar las gráficas el profesor se enfoca en la fórmula matemática de Q y entonces
comienza a explicar ejemplos de este modelo que se resolverán aplicando la ecuación de
Q óptima. Se presenta a continuación uno de estos problemas que utiliza el profesor.
Problema: Determina la cantidad óptima que se necesita ordenar si se tiene una
demanda de 1000 unidades, un costo por orden de $10 y un costo por almacenar cada
unidad por año de $0.50 y calcula el Costo Anual Total que se generaría con dicha
cantidad.
Tarea: Determinar la cantidad óptima Q bajo las condiciones mencionadas y el Costo
Anual Total.
Técnica: Identificar los datos del problema
D = 1000
S = $10
H = $0.50
- Sustituir los valores en la ecuación de Q óptima
H
DSQOPTIMA
2
50.0
)10)(1000(2OPTI M AQ
200OPTIMAQ
- Sustituir los valores en la ecuación de Costo Anual Total
HQ
SQ
DCT
2
)5 0.0(2
2 0 0)1 0(
2 0 0
1 0 0 0CT
1 0 0$CT
- Interpretar los resultados
Tecnología:
H
DSOPTIMA
Q
HDSQ
HQDS
HQ
SQ
D
2
2
2
/2
2
2
HQ
SQ
DCT
2
La demanda (D) es de 1000 unidades, el costo de colocar la orden (S) es de $10 por
cada orden y el costo anual de almacenar una unidad por año (H) es de $0.50. Dichos
valores se sustituyen en la fórmula, se multiplican, dividen y se calcula la raíz cuadrada
y se obtiene como resultado 200 unidades, lo que significa que los pedidos que se hagan
tienen que ser de 200 unidades para obtener el costo mínimo, es decir 200 unidades
permiten un balance entre el costo anual de almacenar y el costo anual de ordenar. No
se vuelve a mencionar el por qué da el costo mínimo, se centran en “usar la fórmula de
Q” para encontrar la cantidad óptima a ordenar.
Con respecto al tiempo, el profesor comenta que utiliza sólo una sesión de clase para
explicar el modelo EOQ y empieza a resolver ejercicios. Del tiempo de esa sesión se
dedican aproximadamente 15 minutos a la presentación de los supuestos, representación
gráfica y ecuación del modelo. Puede deberse en parte a que en esta unidad se presentan
otros 7 modelos de inventarios, el temario del curso es muy extenso, sumado a las
deficiencias en las competencias previas de los alumnos y también a que el enfoque está
centrado en los cálculos que permiten resolver tareas como la presentada en el problema
resuelto.
3.3 Conclusión del análisis del modelo EOQ
El análisis de este modelo permite primeramente ver que la optimización está asociada
tanto a su constitución como a su uso, por lo que puede ser considerado para el diseño
de la secuencia didáctica. A partir del trabajo con el profesor del curso de
Administración de las Operaciones 1 puede verse que su enseñanza no privilegia un
tratamiento de la optimización sino un trabajo matemático basado en el uso de una
fórmula. Se pueden identificar algunas condiciones y restricciones institucionales que
determinan la manera de presentar así el modelo EOQ y sus aplicaciones
- Temario tan amplio
- Competencias previas
De los conocimientos de los estudiantes que se suponen disponibles pero no lo están,
dado que muchas de las veces el acento está puesto en un perfeccionamiento de la
técnica pero disociado de discursos tecnológicos (explicaciones, justificaciones y
validaciones). Los estudiantes olvidan dichas técnicas y es necesario hacer un repaso,
que muchas de las veces se hace dentro del mismo enfoque, sin generar un discurso
tecnológico que les permita producir la técnica. En el curso no se modela
matemáticamente sino que el modelo se presenta como se muestra una pintura o un
monumento, el estudiante no tiene que explorarlo, reconocer sus partes y apreciar su
utilidad. Se vuelve un objeto bonito que no se toca y en cambio se le dice como
“mecanizar” su uso. ¿Qué aprende realmente un futuro ingeniero industrial? ¿Podría el
futuro ingeniero modelar problemas nuevos, reconocer otros tipos de modelos
matemáticos?
Los estudiantes deben aprender a utilizar las técnicas en detrimento de un análisis del
modelo y de lo que éste representa. Se considera que una manera de dar lugar a la
modelización matemática es a través del diseño de una actividad didáctica basada en
este modelo pero que tenga lugar en la clase de Cálculo Diferencial. Y más
precisamente en la unidad 5 dedicada a la optimización. Además de proponer una
actividad que permita el análisis matemático del modelo, de sus potencialidades y usos
permitirá relacionar la enseñanza de conceptos como máximos y mínimos de una
función y una de sus aplicaciones en la ingeniería industrial.
Capítulo IV
_________________
4 Capítulo 4. Secuencia didáctica para abordar la optimización
4.1 Descripción de la secuencia
En esta secuencia se pretende que el alumno desarrolle la competencia de la quinta
unidad de cálculo diferencial (aplicaciones de la derivada) la cual consiste en “aplicar el
concepto de derivada para la solución de problemas de optimización”. Para lograrlo en
esta secuencia se proponen diferentes tareas en un contexto que simula una reunión de
un equipo de trabajo en una empresa electrónica dedicada al ensamblaje de
componentes electrónicos. Esta elección se hace considerando que algunos de los
estudiantes del curso de Cálculo Diferencial son futuros ingenieros industriales, en su
formación de especialidad deberán cursar la asignatura Administración de las
Operaciones I, en la cual se analizan diferentes modelos matemáticos para el manejo y
control de inventarios. El objetivo principal de este curso no es el analizar los modelos
matemáticos ni los elementos tecnológicos que los sustentan, sino el de mostrar
fórmulas que permitan resolver cierto tipo de tareas. Es decir la enseñanza está centrada
en la técnica que permite realizar rápidamente tareas relativas al control de inventarios,
por lo que uno de los objetivos de esta secuencia didáctica es hacer visibles algunas
tecnologías asociadas a dichas técnicas. Así a partir de un trabajo sobre los datos dados,
se busca generar algunas reflexiones sobre el comportamiento de los inventarios y la
minimización de costos, tarea central de la secuencia.
La secuencia didáctica se propone en un contexto empresarial y más en específico en
una reunión de trabajo donde se analizan los inventarios por diferentes miembros:
Supervisor de almacén
Supervisor de logística y
Gerente de materiales quien actúa como mediador.
Se pretende que con cada intervención de los diferentes integrantes de la empresa, el
alumno:
- Identifique cuáles son los costos asociados al manejo de los inventarios.
- Cómo se comportan los costos con diferentes tamaños de lotes.
- Cómo podría encontrar un balance entre todos los costos para que genere el
costo mínimo con los mayores beneficios.
Tanto las intervenciones de los participantes de la reunión, como las condiciones
establecidas en la secuencia se basan en el modelo EOQ para manejos de inventarios
(Economic Order Quantity), el cual se detalló en el capítulo anterior. Recordemos que
este modelo puede representarse gráficamente de la siguiente forma:
Figura 10. Representación gráfica del modelo de EOQ
Basados en este modelo, el contexto y la pregunta general de la secuencia se presenta a
continuación.
4.2 Secuencia Didáctica
La empresa Electronics S.A. de C.V. ensambla productos electrónicos recientemente su
director se ha dado cuenta que si quiere una empresa altamente competitiva debe
mejorar sus procedimientos y cambiar algunas políticas, por ejemplo la de inventarios.
Por lo cual, ha establecido una meta minimizar los costos totales en el área de los
inventarios y así incrementar sus utilidades.
La empresa estima que deberá cubrir una demanda de 1000 fuentes de poder por año.
Para ensamblar cada fuente se necesitan diferentes componentes, entre ellos el fusible
T630L250V. Se utiliza un fusible por cada fuente. Según los registros de la empresa, la
demanda de ese fusible es constante, la totalidad de lo pedido se recibe de una vez y se
va consumiendo a una tasa constante de tal forma que cuando se recibe el siguiente
pedido, los materiales se han utilizado en su totalidad. En una reunión del departamento
de materiales, los 3 supervisores, el de almacén, el de logística y el de compras, se
reúnen con su jefe el gerente de materiales y analizan la siguiente pregunta:
Q
Punto de
reorden
TIEMPO
Nivel de
inventario
¿De qué tamaño deben ser los pedidos de dicho componente para cubrir la demanda
anual de 1000 fuentes de poder y al mismo tiempo incurrir en los menores costos de
inventarios?
Debido a que los alumnos no han cursado la asignatura de administración de la
operaciones I (la cual se cursa en el quinto semestre), se han considerado sólo algunos
de los elementos del modelo EOQ, los cuales aparecen en la primera columna de la
Tabla 1 y en la segunda se coloca cómo han sido considerados estos elementos en
términos del contexto de la secuencia.
Elementos del Modelo EOQ Contexto de la secuencia
Tabla 1. Elementos del modelo de EOQ en contexto con la secuencia
Elementos del Modelo EOQ Contexto de la secuencia
Demanda constante en unidades por
año.
Demanda de 1000 fuentes de poder por año, por lo
tanto se necesitarán 1000 fusibles T630L250V al
año.
La cantidad Q a ordenar se recibe en
su totalidad.
La cantidad que se encarga de fusibles se recibe de
una vez.
La cantidad Q se consume a una tasa
constante.
Los fusibles se van utilizando a una tasa constante.
Cuando se recibe la siguiente cantidad
Q, los materiales se han consumido en
su totalidad.
En el instante en que se terminan los fusibles, llega
el siguiente pedido y nunca hay faltantes.
Para poder abordar la pregunta:
¿De qué tamaño deben ser los pedidos de dicho componente para cubrir la demanda
anual de 1000 fuentes de poder y al mismo tiempo incurrir en los menores costos de
inventarios?
Se presentan diferentes tareas que permitirán a los estudiantes ir generando partes de la
respuesta a esta pregunta. Las tareas, como se mencionó anteriormente van
proponiéndose a partir de intervenciones de los miembros del equipo de la empresa,
cada uno de los cuales presenta un punto de vista de cuánto es lo que piensa se debe
encargar a partir de datos que justifican su opinión y propuesta de acción. Se les solicita
a los estudiantes que analicen dichos datos, es decir el comportamiento que siguen para
poder contrastar las diferentes opiniones y el diseño de la secuencia hará que los
estudiantes se den cuenta que a pesar de ser opiniones opuestas no son incorrectas sino
que cada intervención es parcialmente correcta y que las dos en conjunto producirán la
respuesta correcta.
En este sentido los elementos tecnológicos deberán producirse al validar o refutar los
puntos de vista presentados en la reunión.
La primera intervención la hace el supervisor del almacén.
Toma la palabra el supervisor del almacén y afirma:
- Cada pieza tiene un costo anual de almacenamiento de $50. Mi sugerencia es
que se encarguen menos piezas en cada pedido. He realizado la siguiente tabla
con la información del costo anual de mantener los inventarios con respecto a
diferentes tamaños de pedidos (cantidad a ordenar, Q) y comprueben lo que les
comento.
Tabla 1. Información ofrecida el supervisor del almacén.
El supervisor sabe que para evidenciar su punto es necesario graficar el costo
anual de mantener el inventario para diferentes tamaños de Q (los cuales
aparecen en la primera columna de la tabla 1). ¿Le ayudas?
Figura 1. Espacio para realizar la gráfica
Contexto de la tarea:
Está dado por la intervención del supervisor de almacén, quien sugiere pedir menos
piezas en cada pedido, sin declarar la cantidad Q, lo que sugiere un análisis sobre la
forma en que varía C en función de Q. Se presenta una tabla donde se muestran 8
valores de Q y los costos respectivos, pero también aparece el inventario promedio. La
cantidad Q que llegue en cada periodo se irá consumiendo hasta que llega a cero, en ese
instante se vuelve a surtir la cantidad Q y nunca existen faltantes. Para poder calcular el
costo anual por mantener el inventario se multiplica el inventario por el costo de
Q cantidad a
ordenar en
cada periodo
Inventario
promedio
Costo anual
por mantener
el inventario
10 5 250
25 12.5 625
50 25 1250
100 50 2500
125 62.5 3125
250 125 6250
500 250 12500
1000 500 25000
almacenar, pero como el inventario está cambiando, se agrega una columna para
mostrar el inventario promedio que no es otra cosa que el valor de Q dividido entre dos,
y ahora sí se multiplica el inventario promedio por el costo anual de almacenamiento
(en este caso de $50) y obtenemos el costo anual de mantener el inventario. Por ejemplo
si el tamaño de los pedidos fuera de 10 unidades, entonces el inventario promedio sería
10/2= 5 y el costo anual de mantener el inventario sería de (5)*(50) = $250.
Objetivo de la tarea:
Que los estudiantes se familiaricen con las variables C, costo anual y Q cantidad a
ordenar, al graficar los alumnos podrán observar el cambio que ocurre en el costo anual
de mantener el inventario cuando se incrementa la cantidad a ordenar en cada periodo
(Q).
Tarea 1:
Graficar los datos de la tabla 1 para representar el costo anual de mantener el inventario
para diferentes tamaños de pedidos Q.
Técnica 1:
A partir de los datos que aparecen en la tabla 1, los estudiantes deberán graficar el costo
anual en función de Q (Cantidad a ordenar). Se trata de realizar una gráfica de la manera
habitual, ubicación de puntos y unirlos con una recta; la única diferencia es que en la
tabla 1 aparecen tres columnas en lugar de dos. Se espera que los estudiantes no tengan
ninguna dificultad al realizarla.
Para realizar la gráfica se les presenta el primer cuadrante de un plano cartesiano con la
escala previamente determinada para que no tengan problema alguno en hacer la gráfica
y asegurar que todos los alumnos obtendrán la misma gráfica.
Tecnología 1:
Conocimientos necesarios para generar una representación funcional, ubicación de
puntos en el plano cartesiano y unión de dichos puntos. Dado que los alumnos ya
estudiaron el concepto de función, funciones crecientes/decrecientes, tipos de funciones,
gráficas de funciones así como sus principales características -que se suponen
identificables con sólo observar la gráfica de una función-, los alumnos deberían poder
identificar que se trata de una función lineal creciente, lo cual significa que tiene
pendiente positiva, al incrementar la variable independiente, la dependiente también se
incrementará.
La gráfica quedaría de la siguiente forma:
Figura 11. Representación gráfica del costo anual de mantener el inventario
Para que los estudiantes analicen la relación entre la cantidad a ordenar Q y el costo de
almacenar dichas unidades (representada en la Figura 11), se organizarán en equipos y
deberán responder a las siguientes preguntas:
Para conocer en qué elementos se basa la opinión del supervisor, se te propone
responder las siguientes preguntas:
1) ¿Qué pasa con el inventario promedio cuando se incrementa la cantidad
a ordenar (Q)?
2) ¿Qué pasa con el costo anual de mantener el inventario cuando se
incrementa la cantidad a ordenar (Q)?
3) ¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor costo anual de mantener el
inventario y cuánto es dicho costo?
4) ¿Por qué piensas que el supervisor sugiere que se encarguen menos
piezas (menor tamaño de Q)?
5) ¿Crees que el costo de almacenar es el único que debería tomarse en
cuenta al momento de decidir qué cantidad (Q) encargar? ¿Qué otros deberían
tomarse en cuenta?
La praxeología que subyace las preguntas anteriores es la siguiente:
Tarea 2:
Analizar la relación entre inventario promedio, cantidad a ordenar (Q) y costo anual de
mantener el inventario C, para lo cual podrán apoyarse en la tabla 1 y la Figura 11 (que
ellos realizaron).
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
26000
Cantidad a ordenar (Q)
Costo C(Q)
Técnica 2:
Analizar la tabla 1, comparar los diferentes tamaños de Q y del inventario promedio,
luego analizar su gráfica (Figura 11) y determinar cómo varía el costo anual de
mantener el inventario en relación a la cantidad a ordenar Q. Los estudiantes observarán
que el costo C aumentará proporcionalmente a Q.
El objetivo de la pregunta 1 es que los alumnos reconozcan que al incrementar la
cantidad a ordenar (Q), el inventario promedio se incrementará, esto lo pueden observar
ellos en la tabla de datos. Es importante que se analice el comportamiento del inventario
promedio pues éste permite estimar el costo anual de mantener el inventario, el cual se
calcula como el producto del costo anual de almacenamiento de cada unidad
multiplicada por el inventario promedio.
La pregunta 2 es la clave del análisis de la primera intervención en el diálogo (del
supervisor del almacén). El objetivo es que los alumnos identifiquen que al aumentar la
cantidad de piezas a ordenar (Q) el inventario promedio aumentará y con ello el costo
de almacenar las unidades también. Al observar la gráfica puede verse que al
incrementar la cantidad a ordenar (Q) el costo anual de mantener el inventario también
aumentará.
La pregunta 3 tiene como objetivo que el alumno identifique el tamaño de Q que le
generará el menor costo anual de mantener el inventario, esto lo pueden determinar
observando la gráfica e identificando el valor que arroje el menor costo o también se
pueden apoyar de la tabla de datos. Los alumnos identificarán que al ordenar la menor
cantidad (Q=10) se obtiene el costo más bajo el cual es de $250.
La pregunta 4 es para reafirmar todo lo analizado en las preguntas anteriores, se espera
que los alumnos concluyan que es porque menos piezas generarán menor costo anual de
mantener el inventario, lo cual puntualiza la opinión del supervisor del almacén que
sostiene que lo pedidos deber ser de menos piezas para que se genere el menor costo
anual de mantener el inventario. Este pregunta también puede dar lugar a que los
alumnos indaguen un poco sobre por qué el inventario genera costos, lo cual les servirá
para cursos posteriores.
La pregunta 5 es un puente para el análisis de la siguiente intervención (la del
supervisor de logística), su objetivo es que los alumnos empiecen a reflexionar sobre
qué otros costos se pueden generar de la importante decisión de qué cantidad ordenar
(Q) dentro de un proceso productivo.
Tecnología 2:
En la unidad 2 del curso de cálculo diferencial los estudiantes aprendieron el concepto
de función y la interpretación de sus principales características y comportamiento a
través de la observación de su gráfica. Un conocimiento ya asimilado por ellos es el
hecho de que los ejes de la gráfica pueden cambiar de nombre y ahora la variable
dependiente será el costo anual de mantener el inventario y la variable independiente la
cantidad a ordenar, por lo cual serán capaces de identifica cómo la cantidad a ordenar
afectará el costo anual de mantener el inventario.
Por otra parte, considero que las preguntas y los análisis de los estudiantes deben
Motivar la optimización del costo, tanto su técnica como su justificación matemática y
de uso en el contexto de los inventarios.
La segunda intervención la realiza el supervisor de logística:
Después del supervisor del almacén toma la palabra el supervisor de logística y
comenta:
- No estoy de acuerdo contigo, lo mejor es comprar más, porque cada vez que
hacemos un pedido incurrimos en un costo de $250 por hacer el pedido, yo
también traigo una tabla, observa lo siguiente
Tabla 2. Información ofrecida por el supervisor de logística.
Q cantidad a
ordenar en
cada periodo
Número de pedidos al
año para cubrir la
demanda anual de mil
pzas
Costo anual por
ordenar (cada
orden $250)
10 100 25000
25 40 10000
50 20 5000
100 10 2500
125 8 2000
250 4 1000
500 2 500
1000 1 250
El supervisor de logística sabe que para evidenciar su punto es necesario graficar
el costo de ordenar, ¿le puedes ayudar?
Figura 2. Espacio para realizar la gráfica
Contexto de la tarea:
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Cantidad a ordenar Q
Costo C(Q)
Está dado por la intervención del supervisor de logística, quien sugiere que la cantidad a
ordenar sea mayor, es decir que se compre más, opinión contraria a la del supervisor del
almacén quien sugería que se compraran menos piezas. Aunque no indica la cantidad
exacta de compra sí muestra una tabla de valores para evidenciar su punto. En la
primera columna de la tabla se presentan diferentes tamaños de Q (pedidos de 10, 25,
50, etc… piezas), en la segunda columna se presentan el número de pedidos que se
tendrían que realizar al año para cubrir la demanda dada que es de 1000 unidades con
ese tamaño de pedidos. Por ejemplo para cubrir la demanda de 1000 unidades si los
tamaños de los pedidos fueran de 10, entonces tendríamos que hacer 1000/10 = 100
pedidos al año, si los tamaños de los pedidos fueran de 250, tendríamos que hacer
1000/250 = 4 pedidos al año. En la tercera columna se indica el costo anual, el cual se
calcula como el producto del número de pedidos por el costo de hacer el pedido, para el
primer valor a un tamaño de Q igual a 10 le corresponden 100 pedidos al año lo que da
un costo de ordenar de (100)*(250) = $25000.
Objetivo de la tarea:
Que los estudiantes reconozcan la relación entre las variables C (costo anual) y Q
(cantidad a ordenar). Al graficar los alumnos podrán observar el cambio que ocurre en
el costo anual de ordenar cuando se incrementa la cantidad a ordenar en cada periodo
(Q).
Tarea 3:
Graficar los datos de la tabla 2 para representar el costo anual de ordenar para diferentes
tamaños de pedidos Q.
Técnica 3:
A partir de los datos que aparecen en la tabla 2, los estudiantes deberán graficar el costo
anual en función de Q (Cantidad a ordenar). Nuevamente se trata de realizar una gráfica
de la manera habitual, ubicación de puntos y unirlos con una recta; así como en la tabla
1 aparecían tres columnas en lugar de dos, se espera que los estudiantes tampoco tengan
dificultad en realizar la gráfica de la tabla 2. De igual forma se les presenta el primer
cuadrante de un plano cartesiano con la escala previamente determinada (figura 2) para
que no tengan problema alguno en hacer la gráfica, no pierdan tiempo en hacer la escala
y asegurar que todos los alumnos obtendrán la misma gráfica.
Tecnología 3:
Los conocimientos necesarios para generar una representación funcional, ubicación de
puntos en el plano. El análisis de la gráfica debe permitir a los estudiantes determinar el
comportamiento del costo de ordenar al incrementar la cantidad a ordenar, es decir
cuando se hacen los pedidos de mayor tamaño. Nuevamente el concepto de función
queda expuesto y los alumnos pueden determinar aspectos como el tipo de función y su
comportamiento por ejemplo si crece/decrece, etc. Los estudiantes podrán concluir que
al incrementar la cantidad a ordenar, el costo anual de ordenar disminuye. Asimismo
podrán determinar la forma en la cual disminuye.
La gráfica será de la siguiente forma:
Figura 12. Representación gráfica del costo anual de ordenar
Para propiciar los elementos del análisis antes expuesto se les pide a los alumnos que
contesten las siguientes preguntas:
1) Si el tamaño de los pedidos es de 10 unidades y requieres cubrir una
demanda de 1000 unidades, ¿Cuántos pedidos tendrás que hacer?
2) ¿Y si el tamaño de los pedidos fuera de 250 unidades, cuántos pedidos
harías?
3) ¿Qué pasa con el costo de ordenar cuando los tamaños de los pedidos se
incrementan por ejemplo de hacer pedidos de 10 unidades a hacer pedidos de
250 unidades?
4) ¿Por qué crees que pase esto?
5) ¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor costo anual de ordenar y
cuánto es dicho costo?
6) ¿Crees que el costo de pedir es el único que debería tomarse en cuenta
al momento de decidir qué cantidad (Q) encargar? ¿Qué otros deberían tomarse
en cuenta?
La praxeología que subyace las preguntas anteriores es la siguiente:
Tarea 4:
Analizar a partir de la gráfica (Figura 12) la relación entre la cantidad a ordenar (Q),
número de pedidos al año y costo anual de ordenar C.
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
5000
10000
15000
20000
25000
Cantidad a ordenar (Q)
Costo C(Q)
Técnica 4:
Con la información de la tabla 2, los estudiantes van a comparar los diferentes tamaños
de Q (el tamaño de Q determinará el número de pedidos que se harán y cómo esos
diferentes tamaños afectan al costo anual de ordenar. Con este análisis los estudiantes
observarán un comportamiento no lineal y decreciente, podrán analizar que el costo C
disminuye cuando Q aumenta. La Figura 12 muestra cómo quedaría la gráfica y su
ecuación es una función racional, en la cual su dominio pertenece a los números
naturales:
xy
250000
Dado el análisis de la primera intervención, el tamaño pequeño de los pedidos parece
ser el más adecuado, esta segunda intervención tiene por objetivo que los estudiantes
analicen el costo del pedido y cómo este debe tomarse en cuenta para determinar el
tamaño del pedido. Así, la pregunta 1 pretende que los estudiantes analicen lo que
sucede cuando el tamaño de los pedidos es pequeño, particularmente el caso donde el
tamaño es de 10, la demanda sería de 1000 unidades y tendrían que realizarse 100
pedidos al año (1000/10 = 100).Con el objetivo de contrastar los costos, en la pregunta 2
se pide determinar el número de pedidos para un tamaño de 250 (la demanda es de 1000
unidades) entonces se tendrían que realizar sólo 4 pedidos al año (1000/250 = 4). A
partir de estos dos cálculos, los estudiantes podrán notar que el tamaño de los pedidos
afecta el número de pedidos que se realicen al año. Es decir a menor tamaño de Q, se
harán más pedidos y a mayor tamaño de Q se harán menos pedidos. Esta conclusión es
la respuesta a la pregunta 3.Una vez que el alumno relacionó el tamaño de los pedidos
con la cantidad de veces que se tiene que pedir, lo siguiente será que relacione las veces
que tiene que pedir con el costo anual de ordenar, pues cada vez que ordena se genera
un costo. Las preguntas 3 y 4 abordan esto de manera directa y permiten que el alumno
concluya que: con pedidos pequeños se ordenará más seguido y se generará más costo
anual de ordenar y con pedidos mayores se ordenará menos veces y por consiguiente el
costo anual de ordenar disminuirá.
La pregunta 5 solicita el análisis del valor de Q que genera menor costo anual de
ordenar para cubrir una demanda de 1000 unidades el cual es precisamente 1 pedido de
tamaño Q =1000. Esto puntualiza la opinión del supervisor de ordenar más piezas para
que ese costo sea el menor posible, en este caso de $250. La última pregunta tiene por
objetivo que el alumno una vez que ya analizó los puntos de vista de los supervisores,
sea capaz de concluir que los dos costos (de mantener el inventario y de pedir) son
importantes y que deben considerarse al momento de decidir de qué tamaño deben ser
los pedidos (Q.)
La tercera intervención la realiza el gerente de materiales, quien plantea preguntas que
ayudarán a puntualizar las opiniones planteadas de sus supervisores y que a su vez darán
la pauta para juntar los costos analizados y formular el modelo matemático:
El gerente de materiales escuchó atentamente a los supervisores y tratando de
mediar la situación les pregunta lo siguiente:
1) En la primer gráfica (costo anual de mantener el inventario) se puede
observar que cuando el tamaño de los pedidos (Q) aumenta, entonces el
costo anual de mantener el inventario_______________________________
2) En la segunda gráfica (costo anual de ordenar) se puede observar que
cuando el tamaño de los pedidos (Q) aumenta, entonces el costo anual de
ordenar____________________
3) Como se vio, tanto el costo anual de mantener el inventario como el costo
anual de ordenar se ven afectados de acuerdo al tamaño de Q. Estamos de
acuerdo en que a cada valor de Q le corresponde un valor de costo,
entonces:
¿Cómo puedo encontrar el modelo matemático que represente el
comportamiento del costo anual de almacenar, otra que represente
el costo anual de ordenar y una última que represente a los dos
costos.
Objetivo de la tarea 5: Que los alumnos reconozcan la relación entre los costos en cada
una de las intervenciones de los supervisores para que puedan concluir que los dos
costos se ven afectados de manera diferente dependiendo de los valores que asume Q y
que puedan representar matemáticamente dicha relación.
Tarea 5:
Completar los enunciados 1 y 2 con una sola palabra
Técnica 5:
La pregunta 1 resume el análisis de la primera intervención en un enunciado que el
alumno completará escribiendo una sola palabra:
“…cuando el tamaño de los pedidos aumenta, el costo de mantener el inventario…
aumenta).
La pregunta 2 puntualiza el análisis de la segunda intervención, de manera similar el
alumno completará escribiendo una sola palabra:
“…cuando el tamaño de los pedidos aumenta, el costo anual de ordenar… disminuye”
Tecnología 5:
Reconocimiento de la relación entre el tamaño de Q y el costo de mantener el inventario
así como el tamaño de Q y el costo anual de ordenar.
La cuarta parte de la actividad consiste en que los alumnos encuentren el modelo
matemático. Al ser alumnos de primer semestre no han cursado las asignaturas de
estadística inferencial I y de estadística inferencial II, en las cuales se aborda el tema de
las tendencias de un conjunto de datos (lineales y no lineales). En dichos cursos se les
enseña a los alumnos que partir de un conjunto de datos capturados en el programa
Excel, realicen su diagrama de dispersión, observen a partir de la gráfica su
comportamiento; posteriormente utilizar la herramienta “agregar línea de tendencia”
para encontrar la ecuación que representa el comportamiento de ese conjunto de datos y
el coeficiente de determinación (en el Excel se muestra como R cuadrado) el cual
permite saber qué tan bueno es el ajuste de los datos con dicha ecuación. Siguiendo esta
técnica, se espera que los estudiantes puedan determinar la ecuación de cada conjunto
de datos.
Uno de los supervisores recordó una herramienta estadística del Excel que se
utiliza para encontrar la tendencia (comportamiento) que siguen los datos y
muestra la ecuación matemática que representa el mejor ajuste del conjunto de
datos. Además muestra qué tan bueno es el ajuste a través del coeficiente de
determinación (al calcular su raíz cuadrada muestra un valor entre 0 y 1, siendo
0 un mal ajuste con esa ecuación y no será representativa de la función y siendo
1 un ajuste perfecto lo que significa que dicha ecuación será representativa de
la función).
Ayuda a los supervisores a obtener la ecuación de tendencia lineal en el Excel
para el costo anual de almacenar y el costo anual de ordenar.
Objetivo de la tarea 6: Encontrar el modelo matemático que representa al COSTO
TOTAL ANUAL de los inventarios a través de sus ecuaciones de costo anual total de
almacenar y costo anual de ordenar.
Tarea 6:
Encontrar la ecuación de tendencia lineal para el costo anual de almacenar y para el
costo anual de ordenar para posteriormente obtener una sola ecuación de COSTO
TOTAL ANUAL.
Técnica 6:
El alumno seguirá las indicaciones propuestas en la actividad
1) Realiza un diagrama de dispersión con las 2 columnas de datos (tamaño
de Q y costo anual)
2) Ya en la gráfica, da un clic izquierdo a cualquier punto y luego un clic
derecho.
3) Se despliega un menú y selecciona la opción: agregar línea de tendencia
Figura 3. Pantalla de Excel donde se muestra el menú para agregar línea de tendencia.
Aparecerá el siguiente menú:
Figura 4. Pantalla de Excel donde se muestran las opciones de línea de tendencia.
4) Selecciona la tendencia a la que más se parezca la gráfica y que arroje
el valor de R= 1 (o lo más cercano a 1, entre más cerca de 1 será un
mejor ajuste). Las opciones de tendencia que se pueden usar en Excel
son:
o Exponencial
o Lineal
o Logarítmica
o Polinómica
o Potencial
o Media movil
5) Marcar las casillas
Presentar ecuación en el gráfico
Presentar el valor R cuadrado en el gráfico
Figura 5. Pantalla de Excel que muestra cómo aparece la ecuación cuando se hace el ajuste.
1) Haz lo mismo con la tabla de datos del costo anual de ordenar y encuentra la
ecuación de mejor ajuste.
2) Las ecuaciones presentadas en el Excel quedarían de la siguiente forma:
Figura 13. Ecuación y gráfica del Costo Anual de Mantener el Inventario
Figura 14. Ecuación y gráfica del Costo Anual de Ordenar
Tecnología 6:
Aunque no hay elementos previos de otras asignaturas para que el alumno lleve a cabo
dicha actividad, las indicaciones presentadas con las imágenes y los comandos
explicados, les permitirá llegar a las ecuaciones de costos en el programa Excel.
Una vez que el alumno realizó todo el proceso para encontrar las ecuaciones que mejor
se ajusten a los conjuntos de datos presentados, se les pide que las escriban y se hace
hincapié en que la ecuación de COSTO TOTAL ANUAL será la suma de la ecuación
del costo anual de almacenar y la ecuación del costo anual de pedir.
Escribe cómo quedó:
La ecuación del costo anual de almacenar:
xy 25
La ecuación del costo anual de pedir:
xy
250000
El COSTO TOTAL ANUAL será la suma de los dos costos anteriores y su
ecuación sería:
xxy
25000025
Grafica esta ecuación y observa los valores de Q y el costo que generan.
Contesta lo siguiente:
Figura 15. Gráfica del Costo Total Anual
¿En qué valor de Q se encuentra el menor COSTO TOTAL ANUAL?
Cuando Q = 100
La tarea de graficar es una tarea matemática que le permite al alumno analizar la
función costo total anual que involucra a los dos costos en el manejo de inventarios
(almacenar y pedir), como el alumno ya conoce el tema de funciones y sus gráficas, será
capaz de identificar el valor de Q que minimiza el costo total anual (ver Figura 15).
De no contar con la gráfica, ¿de qué manera podrías calcular la cantidad a pedir
(Q) que genere el menor COSTO TOTAL ANUAL?
Por último se le solicita al alumno que reflexione otra forma de calcular el valor Q que
minimice el COSTO TOTAL ANUAL en caso de no contar con la gráfica. Como el
alumno ya conoce la ecuación, esta pregunta pretende que el alumno sea capaz de
realizar todo el proceso para optimizar la función visto en las sesiones anteriores, es
decir que haga lo siguiente:
1) Derivar la función de COSTO TOTAL ANUAL
xxy
25000025
2
25000025
xy
2) Igualarla a cero
0250000
252
x
3) Despejar X (que equivale a Q)
100x
100x
4) Hacer conclusiones con dicho valor
El valor de 100 obtenido en el paso anterior es la cantidad óptima del tamaño
que deben tener los pedidos (Q) para obtener el costo total anual más bajo de
toda la función y no habrá ningún otro valor de Q que genere menor costo.
4.3 Conclusión
Esta secuencia se ha diseñado simulando un contexto empresarial y en particular una
reunión de trabajo para analizar el inventario, los diferentes costos involucrados y
generar así diferentes tareas que permitan a los estudiantes, a partir de una comprensión
del contexto realizar diferentes tareas para optimizar el costo del inventario. Las tareas
propuestan se basan en el modelo EOQ que subyace todo el trabajo matemático
realizado y permite al mismo tiempo movilizar las técnicas enseñadas en el curso de
Cálculo Diferencial para optimizar, es decir para calcular máximos y mínimos. Las
praxeologías propuestas solicitan de realizar diferentes tipos de tareas, algunas básicas y
conocidas por los estudiantes: tratamiento de datos, producción y análisis de gráficas,
reconocimiento de funciones. Otras involucran el reconocimiento del contexto de los
inventarios y particularmente de los costos asociados. Las tareas 5 y 6 están
explícitamente asociadas al trabajo con el modelo que permite el manejo del inventario.
El programa Excel y sus herramientas para el ajuste de datos sirven de apoyo para
construir el modelo que permite calcular el costo total anual. El trabajo con este
programa es un poco orientado con el objetivo de que los estudiantes puedan tratar los
datos y luego otpimizar el costo utilizando la técnica para cálcular el costo mínimo. Se
considera que este conjunto de tareas permite a los estudiantes poner en juego técnicas
conocidas pero dándoles sentido a partir del contexto de inventarios. A diferencia de los
problemas típicos se elige un uso de la optimización que proviene del manejo de
inventarios el cual es introducido a partir de una situación que simula una reunión en
una empresa para determinar el manejo de inventarios. Asimismo no es un problema
que propone sólo la movilización de la técnica para determinar el mínimo de una
función sino que es conjunto de tareas que permiten reconocer el funcionamiento del
modelo EOQ y luego movilizar dicha técnica.
Capítulo V
_________________
5 ANÁLISIS DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA REALIZADA POR
ESTUDIANTES
5.1 Introducción
En este capítulo se presenta un análisis de la secuencia implementada con un grupo de
estudiantes de la materia de Cálculo Diferencial del Tecnológico de Colima. En una
primera instancia se presentan las condiciones en las cuales fue implementada la
secuencia, describiendo la forma de organización y trabajo de los estudiantes durante las
dos horas que utilizaron para realizarla. Posteriormente se describe cómo fue presentada
la secuencia, las instrucciones que fueron dadas y la forma en que se organizó el trabajo,
detallando el rol de la profesora y de los equipos de estudiantes. El análisis de la
actividad de los estudiantes en base a las tres intervenciones que conforman las tres
partes de la secuencia: supervisor de almacén, supervisor de logística y gerente de
materiales. Al final de cada análisis se presenta una tabla que permite mostrar de
manera sintética el trabajo realizado por los estudiantes.
5.1.1 Condiciones de la implementación
La secuencia didáctica se implementó con un grupo de 37 estudiantes de ingeniería
industrial del primer semestre, los cuales cursan la asignatura de cálculo diferencial. El
curso está estructurado en cinco unidades: 1) Números reales, 2) Funciones, 3) Límites
y continuidad, 4) Derivadas y 5) Aplicaciones de las derivadas. La actividad se aplicó el
último día de clases del curso, por lo cual los alumnos ya habían completado en tiempo
y forma los contenidos del temario, además de que días previos a la implementación de
la secuencia, los alumnos resolvieron problemas de optimización similares a los
presentados en el análisis de los problemas típicos. En los cuales debían a partir de una
situación dada, plantear el modelo matemático, es decir la función del problema y
encontrar los máximos/mínimos que permitieran optimizar la función planteada.
Dado que la secuencia está diseñada para que los estudiantes discutan, analicen y
elaboren respuestas consensuadas asociadas a la naturaleza del modelo EOQ por sus
siglas en inglés Economic Orden Quantity, (cantidad económica a ordenar), un día
previo a la implementación se conformaron equipos de trabajo de 5 integrantes,
organizados por los mismos alumnos para que se sintieran cómodos trabajando; se
formaron 7 equipos. Debido a que el aula de clases sólo cuenta con butacas, se trabajó
en la sala de medios, un espacio más grande, que cuenta con mesas adecuadas para la
cantidad de integrantes designada. El tiempo previsto para la actividad fue de 2 horas, la
secuencia les fue entregada al inicio de la sesión.
Recordemos que esta secuencia se diseñó para explorar un modelo matemático aplicado
a la ingeniería industrial, el modelo de manejo de inventarios EOQ y que es enseñado en
el curso de Administración de las Operaciones I para el área de ingeniería industrial. Así
uno de los objetivos es que los estudiantes puedan realizar una actividad matemática
sobre este modelo en el curso de Cálculo Diferencial, sentando las bases de una posible
vinculación con el curso de Administración de las Operaciones antes mencionado,
asignatura del quinto semestre. La implementación estuvo a cargo de la profesora del
curso y autora de esta tesis. Este doble estatus le permite tener conocimiento sobre los
objetivos de la secuencia, la actividad esperada del profesor y de los estudiantes en su
implementación, su lugar en la organización del curso, los saberes y técnicas enseñadas
a los estudiantes.
La profesora empezó la actividad con una explicación breve de los modelos de
inventarios, la asignatura en la cual lo estudiarán, su utilidad, así como la explicación de
la gráfica del modelo de sierra (EOQ), en la cual se hace mención al principal objetivo
del modelo, el cual es encontrar la cantidad óptima del tamaño de los pedidos (Q) que
generará el menor costo total anual. Aunque ellos no han cursado la asignatura de
administración de las operaciones I, se hace mención que cuando la cursen no llevarán a
cabo una exploración detallada del modelo matemático, razón por la cual es adecuado
hacer el análisis en el curso de cálculo diferencial.
De acuerdo al modelo de inventarios que se escogió para diseñar este caso (EOQ), se
establecen las condiciones iniciales para la discusión es decir este modelo establece que
se harán pedidos de Q tamaño cada cierto tiempo durante todo el año para cubrir una
demanda anual que no cambiará, la totalidad de cada pedido se recibe de una sola vez,
lo que se encargue se utilizará a una tasa uniforme y en el momento en que se consuma
en su totalidad se recibe el siguiente pedido de tal forma que no existen faltantes.
Recordemos que la secuencia presenta un caso ficticio de una reunión de trabajo entre el
supervisor del almacén, el supervisor de logística y el gerente de materiales en la cual se
discute desde dos puntos de vista (el del supervisor del almacén y el del supervisor de
logística) el impacto del tamaño de los pedidos que se surtirán en cada periodo de
tiempo, en los costos totales anuales. La discusión principal gira en torno a la cantidad
óptima a ordenar (Q) de cierto componente en cada periodo que genere el menor costo
total anual, pues si se ordena poco se tendrá que pedir más seguido lo que aumentará el
costo por ordenar y si se ordena mucho no se harán pedidos tan seguido pero se
generará mayor costo de almacenar.
La actividad se divide en tres partes: la primera intervención, en la cual el supervisor del
almacén expone su sugerencia para designar el tamaño de los pedidos (Q) a través del
análisis de datos históricos; la segunda intervención, se presenta el análisis y sugerencia
del supervisor de logística; la tercera intervención a cargo del gerente de materiales
quien funge como mediador entre las dos opiniones y orienta a que se analicen y
consensuen los dos razonamientos para finalmente encontrar el tamaño óptimo de Q
que genere el menor costo total anual. Cada intervención solicita a los estudiantes
analizar los datos históricos presentados, discutir en equipo y generar respuestas a las
preguntas propuestas.
5.1.2 Presentación de la secuencia con el grupo de estudiantes
Se les pide a los alumnos que anoten en la primera hoja de la actividad los nombres de
los integrantes del equipo, que lean con detalle la secuencia, discutan en equipo y
contesten las preguntas planteadas. El rol de la profesora fue supervisar el trabajo de los
equipos, observar su análisis e interacción y orientar respondiendo dudas. Se le pidió a
un estudiante que leyera la primera parte de la actividad en donde se presenta el
contexto, en una reunión de trabajo del departamento de materiales de la empresa
Electronics SA de CV, están reunidas tres personas, el supervisor del almacén, el
supervisor de logística y el jefe de ambos, el gerente de materiales. Dicha empresa
pretende incrementar sus utilidades minimizando sus costos, necesita surtir un modelo
de fusibles para una fuente de poder que tiene una demanda de 1000 unidades por año y
requiere analizar la información para tomar decisiones. La pregunta de la discusión de
estos tres personajes y el eje de discusión de la actividad a realizar por los estudiantes
es:
¿De qué tamaño deben ser los pedidos de dicho componente para cubrir la demanda
anual de 1000 fuentes de poder y al mismo tiempo incurrir en los menores costos de
inventarios?
Un punto muy importante era que todos los alumnos tuvieran claro el objetivo a
perseguir. Ellos saben que por ser una clase de matemáticas y un problema de
optimización seguramente tendrán que utilizar una función matemática, derivar y hacer
todos los cálculos matemáticos necesarios. En este momento inicial no se les ha dado
ninguna otra información, al presentar esta pregunta eje, se abre el panorama para que
los alumnos comiencen a pensar en cómo se podrá resolver este problema; las tareas que
deberán realizar, las técnicas que deberán utilizar, relacionar que el tamaño de los
pedidos afectará y generará los costos de los inventarios (aún desconocidos para ellos,
pero que en la actividad se aprenderán). La profesora hace énfasis en los datos dados en
el problema: se harán pedidos cada cierto tiempo para satisfacer la demanda de 1000
unidades por año pero necesitan encontrar la cantidad exacta del tamaño de los pedidos
que genere el menor costo de inventarios. Una vez que se ha expuesto dicho objetivo,
los estudiantes comienzan a analizar y contestar la actividad. A continuación se analiza
la actividad de los estudiantes en base a las tres intervenciones que conforman las tres
partes de la secuencia.
5.1.3 Análisis de la primera intervención: Supervisor del almacén
Primera intervención como aparece en la secuencia.
Toma la palabra el supervisor del almacén y afirma: Cada pieza tiene un costo anual de almacenamiento
de $50. Mi sugerencia es que se encarguen menos piezas en cada pedido. He realizado la siguiente tabla
con la información del costo anual de mantener los inventarios con respecto a diferentes tamaños de
pedidos (cantidad a ordenar, Q) y comprueben lo que les comento.
Tabla 1. Información ofrecida el supervisor del almacén.
El supervisor sabe que para evidenciar su punto es necesario graficar el costo anual de mantener el
inventario para diferentes tamaños de Q (los cuales aparecen en la primera columna de la tabla 1). ¿Le
ayudas?
Figura 1. Espacio para realizar la gráfica
Para conocer en qué elementos se basa la opinión del supervisor del almacén, se te propone responder las
siguientes preguntas:
1) ¿Qué pasa con el inventario promedio cuando se incrementa la cantidad a ordenar (Q)?
2) ¿Qué pasa con el costo anual de mantener el inventario cuando se incrementa la cantidad a ordenar
(Q)?
3) ¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor costo anual de mantener el inventario y cuánto es dicho
costo?
4) ¿Por qué piensas que el supervisor sugiere que se encarguen menos piezas (menor tamaño de Q)?
5) ¿Crees que el costo de almacenar es el único que debería tomarse en cuenta al momento de decidir qué
cantidad (Q) encargar? ¿Qué otros deberían tomarse en cuenta?
Todos los equipos comienzan leyendo la primera intervención, en la cual se presenta la
opinión del supervisor del almacén quien menciona que el costo anual de
almacenamiento de cada pieza es de $50 y en base a una tabla de datos históricos del
comportamiento de diferentes tamaños de pedidos Q y el impacto que tuvieron en el
costo de almacenar, sugiere que se encarguen menos piezas en cada pedido para que se
genere el menor costo de almacenar. La variable por tanto está dada por la cantidad de
piezas a encargar y la condición que debe considerarse es que el tamaño elegido genere
el menor costo de almacenamiento. La profesora acude a cada equipo para asegurarse
que la opinión del supervisor del almacén sea clara y generar preguntas detonantes de la
actividad: ¿por qué creen que tener inventario en el almacén genera costos?, ¿qué tipos
Q cantidad a
ordenar en cada
periodo
Inventario
promedio
Costo anual
por mantener
el inventario
10 5 250
25 12.5 625
50 25 1250
100 50 2500
125 62.5 3125
250 125 6250
500 250 12500
1000 500 25000
de costo creen que se generan? Las respuestas que surgen son por ejemplo “porque
ocupan un espacio”, “porque se paga luz”, “porque alguien se hace cargo de él y hay
que pagarle”, etc. Estas preguntas tienen como objetivo que los estudiantes puedan
identificar la tarea a realizar (determinar Q), la técnica que debe seguirse y la manera de
justificarla.
La mitad de los equipos tuvieron dudas de lo que era el inventario promedio, se explicó
que de acuerdo al modelo de sierra (tecnología) la técnica para calcularlo consiste en
calcular un promedio del inventario al inicio del periodo (que está dado por el tamaño
de Q) y el inventario que resta después que se consume Q (o sea cero) y el promedio
entre un valor y el cero, es ese valor dividido entre dos. Por ejemplo, el primer tamaño
de Q mencionado es de 10 y su promedio se calcula 52
01 0
, quiere decir que en
promedio en el periodo había un inventario de 5 el cual genera un costo de $50 por
unidad. Por lo tanto el costo anual por mantener el inventario generado para ese tamaño
de Q es de (5)(50) = $250. La otra mitad que no preguntó del inventario promedio, sólo
se concretó a graficar. No se retomó este tema con los equipos que no preguntaron
porque el objetivo de la primera intervención era que los estudiantes identificaran el
cambio que produce en los costos de almacenamiento los diferentes tamaños de
pedidos, de hecho para evitar confusión al momento de graficar se les indica que los
datos a tomar aparecen en la primera columna de la tabla.A continuación se presenta un
plano cartesiano en donde se les pide graficar los diferentes tamaños de Q y el costo
anual de mantener el inventario que generan. La gráfica se encuentra en la tabla 1. Se
pudo observar que ningún equipo tuvo problemas al graficar, esto puede deberse en
parte a que se les proporcionó el plano cartesiano con los títulos de los ejes y las escalas
graduadas (ver figura 1), ya que la intención no era enfocarse en el procedimiento de
graficar sino en que los alumnos analizaran el comportamiento de la gráfica. La
profesora pidió a cada equipo que le avisara cuando terminara de graficar y entonces
acudía a cada equipo y les hacía las siguientes preguntas:
¿A qué tipo de función de las estudiadas en clase se parece?
¿Cómo es su pendiente, positiva o negativa?
¿Es creciente o decreciente?
Todos los equipos identificaron los elementos tecnológicos, que se trataba de una
función lineal, que tenía pendiente positiva y que conforme Q crecía, el costo
aumentaba y la gráfica la hicieron correctamente. Para analizar el comportamiento de
las variables se plantearon 5 preguntas, que analizamos a continuación.
Pregunta 1: ¿Qué pasa con el inventario promedio cuando se incrementa la cantidad a
ordenar (Q)?
Ahora sí a los equipos que no se les había explicado el dato del inventario promedio se
les explicó pues en esta pregunta se hace referencia a dicho inventario y sirve como un
elemento tecnológico para responder la pregunta dos pues cuando se conoce el dato del
inventario promedio se puede calcular el costo anual de mantener el inventario. Para
poder contestar esta pregunta los alumnos observaron los datos de la tabla y como ellos
también estudiaron en el curso que una función se puede expresar como una tabla de
datos ordenados, no hubo problema alguno para identificar el cambio en el inventario
promedio. Todos los equipos fueron capaces de identificar que el inventario promedio
aumenta cuando aumenta la cantidad a ordenar, se logró que contestaran lo planeado en
el diseño de esta secuencia. Sus respuestas fueron muy concretas, “aumenta”, “aumenta
proporcional”, etc. Llama la atención una respuesta de un equipo “aumenta 0.5 por cada
Q ordenado, es constante”. Aunque no se les preguntó cómo llegaron a ese
razonamiento, se puede observar que hicieron un análisis de la razón de cambio, aunque
no le llamaron pendiente, ellos la calcularon y su análisis puede decirse que es correcto.
Pregunta 2: ¿Qué pasa con el costo anual de mantener el inventario cuando se
incrementa la cantidad a ordenar (Q)?
Esta pregunta se diseñó con el objetivo de que los alumnos identificaran cómo cambia
el costo con los diferentes tamaños de los pedidos, para lo cual observan la gráfica y
comentan entre sí sus propias reflexiones. Al igual que en la pregunta anterior se
observan respuestas concretas, todos contestaron por ejemplo “aumenta”, “aumenta
proporcionalmente”. Los tres equipos identificaron que el costo anual de mantener el
inventario se incrementa proporcionalmente conforme Q aumenta. De nueva cuenta
llama la atención la respuesta del equipo que logró calcular la razón de cambio en la
pregunta anterior. En esta ocasión su respuesta fue “aumenta 25 por cada unidad, Q es
constante”. Se puede observar que dicho equipo conoce la técnica para calcular la razón
de cambio y aunque no era el objetivo de la pregunta ni de la tarea asociada, ellos
consideran que la determinación del valor numérico es necesario para realizar
adecuadamente la tarea y responder las preguntas 1 y 2 que parecen evocar en ellos la
demostración de un aprendizaje adquirido.
Pregunta 3: ¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor costo anual de mantener el
inventario y cuánto es dicho costo?
Esta pregunta relaciona directamente al estudiante con la pregunta eje, ya que se les
pide que identifiquen en base a la información proporcionada cuál es el tamaño de Q
(cantidad a ordenar) para obtener el menor costo anual de mantener el inventario. En
este momento de la actividad se puede observar que algunos equipos avanzan a un ritmo
diferente y para tratar de compensar el tiempo entre los equipos la profesora acude a
aquellos que se están quedando atrás y para orientarlos les comenta a los alumnos que
observen la gráfica para que identifiquen dicho valor. No hubo ninguna duda planteada
por los alumnos y se observó que los tres equipos identificaron correctamente que el
valor en donde Q genera el menor costo anual de mantener el inventario es en Q = 10. A
excepción de un equipo, todos los demás identificaron que ese valor de Q = 10 genera el
menor costo, en este caso de $250. El equipo que faltó no registró ningún valor para el
costo.
Pregunta 4: ¿Por qué piensas que el supervisor sugiere que se encarguen menos piezas
(menor tamaño de Q)?
Esta pregunta se diseñó para relacionar lo observado en la tabla de datos y en la gráfica
con la opinión del supervisor del almacén, asimismo para que los alumnos puedan
entender su postura de que “se encarguen menos piezas en cada pedido” para que se
genere el menor costo de almacenamiento. Se esperaba que con lo realizado sobre la
gráfica así como en su análisis, los estudiantes fueran capaces de reconocer que menos
piezas generan menos costo, lo cual se vio reflejado en sus respuestas las cuales fueron
similares: “para reducir costos”, “entre menor sea la cantidad de piezas, menor será el
costo”. Lo anterior permite ver cómo los estudiantes han iniciado el reconocimiento de
la relación entre el tamaño de Q y el costo de almacenar el inventario promedio de todo
el año. En el diseño se ha previsto un análisis gradual de esta relación una primera etapa
consiste justamente en identificar la forma en que se relacionan Q y el costo de
almacenar el inventario promedio durante todo el año, una segunda en reconocer
matemáticamente dicha relación y una tercera en considerada con otras variables que
constituyen el modelo sierra.
Pregunta 5: ¿Crees que el costo de almacenar es el único que debería tomarse en
cuenta al momento de decidir qué cantidad (Q) encargar? ¿Qué otros deberían tomarse
en cuenta?
Esta pregunta se diseñó para ser un detonante acerca de los demás costos involucrados
en el manejo de los inventarios, ya que en este punto sólo se ha mencionado el costo de
almacenar. Además de esto, los alumnos al ser estudiantes de segundo semestre no han
cursado ninguna asignatura en dónde se les enseñe los costos involucrados en el manejo
de los inventarios, razón por la cual se generó variedad de respuestas basadas en sus
conocimientos sobre el contexto empresarial:
Costo por hacer el pedido
Costo de transporte
Costo de orden
Las ganancias, con qué constancia se vende
La demanda de Q
Dado que el objetivo era que los estudiantes fueran pensando que existen otros costos
que deben ser tomados en consideración en los modelos de inventarios, en ese momento
no se les comentó cuáles respuestas eran válidas y cuáles no, sino que se dejó que
continuaran con la actividad pues se supone que conforme avancen, ellos mismos
descubrirían los demás costos.
En general en esta primera intervención, los alumnos fueron capaces de identificar las
relaciones entre las dos variables a estudiar: tamaño de los pedidos (Q) y el costo anual
de mantener el inventario, quedando claro el punto que el supervisor del almacén quería
enfatizar, es decir, menos piezas menos costo de almacenarlas. Los conocimientos que
aparecen están relacionados a los enseñados en el curso, función lineal, función
creciente y la relación que representa dicha función en términos del contexto: relación
entre el tamaño de Q y el costo de almacenarlas. Esta primera parte también ha
permitido introducirlos a este contexto de inventarios y a ir identificando las variables
en juego, reconociendo su relación matemática y contextual. Las técnicas empleadas
son básicas, cálculo del promedio, cálculo del costo, graficación de la función lineal,
análisis de la relación funcional, pero todos estos deberán permitirles en las siguientes
intervenciones realizar la optimización requerida.
En la Tabla 2 se muestra una síntesis de las respuestas de la primera intervención.
Tabla 2. Síntesis de las respuestas de la primera intervención: el supervisor del almacén
Tareas Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3
Tarea 1:Graficar el costo anual
de mantener el inventario de
acuerdo a la tabla de datos
proporcionada.
Técnica 1: A partir de los datos que aparecen en la tabla
1, los estudiantes graficaron el costo anual de mantener el
inventario en función de Q (Cantidad a ordenar).
Tecnología 1:Los alumnos identificaron que se trata de
una función lineal creciente, lo cual significa que tiene
pendiente positiva, por lo que al incrementar Q, C(Q) se
incrementa.
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
24000
26000
Cantidad a ordenar (Q)
Costo C(Q)
1) ¿Qué pasa con el inventario promedio
cuando se incrementa la cantidad a ordenar
(Q)?
Aumenta
proporcional
mente
Aumenta Aumenta 0.5 por
cada “Q”
ordenado, es
constante
2) ¿Qué pasa con el costo anual de
mantener el inventario cuando se
incrementa la cantidad a ordenar (Q)?
Aumenta
proporcional
mente
Aumenta Aumenta 25 por
cada unidad Q,
es constante
3)¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor
costo anual de mantener el inventario y
cuánto es dicho costo?
En Q = 10
Costo = 250
En Q =10 En 10 y el costo
es de $250
4) ¿Por qué piensas que el supervisor
sugiere que se encarguen menos piezas
(menor tamaño de Q)?
Para reducir
costos
Para
reducir
costos
Porque entre
menor sea la
cantidad de
piezas menor
será el costo
5) ¿Crees que el costo de almacenar es el
único que debería tomarse en cuenta al
momento de decidir qué cantidad (Q)
encargar? ¿Qué otros deberían tomarse en
cuenta?
Costo por
hacer el
pedido
El costo de
transporte
No, se toma en
cuenta el costo
de ordenar
5.1.4 Análisis de la segunda intervención: Supervisor de logística
La intervención del supervisor de logística en la secuencia es la siguiente:
- No estoy de acuerdo contigo, lo mejor es comprar más, porque cada vez que hacemos un pedido
incurrimos en un costo de $250 por hacer el pedido, yo también traigo una tabla, observa lo
siguiente:
Tabla 2. Información ofrecida el supervisor de compras
Q cantidad a ordenar en
cada periodo
Número de pedidos al año para cubrir
la demanda anual de mil pzas
Costo anual por ordenar
(cada orden $250)
10 100 25000
25 40 10000
50 20 5000
100 10 2500
125 8 2000
250 4 1000
500 2 500
1000 1 250
El supervisor de logística sabe que para evidenciar su punto es necesario graficar el costo de ordenar, ¿le
puedes ayudar?
Figura 2. Espacio para realizar la gráfica
Para conocer en qué elementos se basa la opinión del supervisor de compras, responde lo siguiente:
1) Si el tamaño de los pedidos es de 10 unidades y requieres cubrir una demanda de 1000 unidades,
¿Cuántos pedidos tendrás que hacer?
2) ¿Y si el tamaño de los pedidos fuera de 250 unidades, cuántos pedidos harías?
3) ¿Qué pasa con el costo de ordenar cuando los tamaños de los pedidos se incrementan por ejemplo de
hacer pedidos de 10 unidades a hacer pedidos de 250 unidades?
4) ¿Por qué crees que pase esto?
5) ¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor costo anual de ordenar y cuánto es dicho costo?
6) ¿Crees que el costo de pedir es el único que debería tomarse en cuenta al momento de decidir qué
cantidad (Q) encargar? ¿Qué otros deberían tomarse en cuenta?
Como puede verse el supervisor de logística presenta una opinión contraria al
supervisor del almacén y afirma que lo mejor es encargar más piezas porque cada vez
que se hace un pedido se incurre en un costo de $250 por hacer dicho pedido y al igual
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
5000
10000
15000
20000
25000
30000
Cantidad a ordenar Q
Costo C(Q)
que el supervisor del almacén presenta una tabla de datos en la cual se muestran la
cantidad Q a ordenar, el número de pedidos al año para cubrir la demanda anual de 1000
piezas y el costo anual por ordenar.
La profesora acudió a cada equipo para ver si hay alguna duda y les plantea preguntas
como por ejemplo:
Si necesitas cubrir una demanda de 1000 piezas anuales y haces pedidos de 10
piezas, ¿cuántos pedidos tendrás que hacer en todo el año?
¿Y si tus pedidos fueran de 100 piezas?
Esto fue con el objetivo de que los alumnos no se confundieran al ver tres columnas en
la tabla de datos (ver tabla 2) y se les facilitara realizar la gráfica, la cual es la primera
tarea de esta segunda intervención. Se observó que la mayoría de los equipos realizaron
la gráfica correctamente a excepción de un equipo, quien graficó erróneamente un punto
y eso cambió la forma de la gráfica. Las gráficas de los tres equipos analizados las
realizaron correctamente, la gráfica se puede ver en la Figura 16. Se les pidió que en
equipo analizaran el comportamiento de la gráfica para que identificaran si crecía o
decrecía y se les invitó a contestar seis preguntas para orientar dicho análisis.
Figura 16. Gráfica del costo a ordenar C(Q) producida por los estudiantes
Pregunta 1: Si el tamaño de los pedidos es de 10 unidades y requieres cubrir una
demanda de 1000 unidades, ¿Cuántos pedidos tendrás que hacer?
Esta pregunta la analizaron en conjunto profesora y estudiantes por lo tanto la respuesta
proporcionada por todos los equipos fue “100 pedidos”, lo cual es correcto y es lo que
se esperaba que contestaran los alumnos, lo calculan con una sencilla operación de
dividir 1000/100=10. Esta pregunta nos permite visualizar como el tamaño de los
pedidos afectará también la cantidad de pedidos que se harán en el año y por ende la
cantidad de pedidos repercute en el costo.
Pregunta 2: ¿Y si el tamaño de los pedidos fuera de 250 unidades, cuántos pedidos
harías?
Esta pregunta es similar a la pregunta 1 y el objetivo es reafirmar que el tamaño de los
pedidos afecta la cantidad de pedidos que se harán en todo el año, a lo que todos los
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
5000
10000
15000
20000
25000
Cantidad a ordenar (Q)
Costo C(Q)
alumnos contestan “4 pedidos”. Nuevamente la operación a realizar es una división, la
demanda entre las 250 unidades que es el tamaño de los pedidos 1000/250=4. Se trata
de que los alumnos establezcan la relación que existe entre la demanda y el tamaño de
los lotes lo cual determina el número de pedidos que se harán al año. En la primera
pregunta para cubrir la demanda de 1000 con pedidos de tamaño 10 debo hacer 100
pedidos y en la segunda pregunta para cubrir la demanda de 1000 con pedidos de
tamaño 250, únicamente haría 4 pedidos.
Pregunta 3: ¿Qué pasa con el costo de ordenar cuando los tamaños de los pedidos se
incrementan por ejemplo de hacer pedidos de 10 unidades a hacer pedidos de 250
unidades?
Esta pregunta pretende establecer la relación que existe entre el tamaño de los pedidos
(Q) y el costo de ordenar. Los alumnos se auxilian en la gráfica y en equipo comentan
su comportamiento en la cual se puede observar que entre mayor sea el tamaño de Q, el
costo disminuye. Incluso llegan a comentar que la gráfica tiene un comportamiento
decreciente.
Pregunta 4: ¿Por qué crees que pase esto?
Para analizar el comportamiento del costo de ordenar visto en la pregunta anterior se les
deja a los alumnos la tarea de establecer una justificación para dicho comportamiento,
es decir tratar de transparentar la tecnología implícita en la función de costo de ordenar.
Algunas respuestas observadas:
Entre menos pedidos, menos costo de envío
Porque el costo de cada pedido es de $250 a más pedidos más costo
Porque al hacer menos pedidos gastas menos en el costo.
Se puede observar de acuerdo a dichas respuestas generadas que aunque expresado de
diferentes maneras, todos los equipos logran identificar que si escogen un tamaño
pequeño de pedido entonces tendrán que realizar muchos pedidos y el caso contrario si
escogen un tamaño grande tendrán que realizar menos pedidos, es decir a más pedidos
mayor costo de ordenar.
Pregunta 5: ¿En qué tamaño de Q se obtiene el menor costo anual de ordenar y cuánto
es dicho costo?
Esta pregunta se relaciona directamente con la pregunta eje ya que habla del tamaño de
los pedidos (Q) que generan el menor costo. Todos los equipos pueden identificar dicho
valor, sus respuestas son las mismas: “Cuando Q = 1000 el costo = $250”. Esto cumple
el objetivo planteado para esta pregunta y justifica la opinión del supervisor de logística
el cual afirma que encargar más piezas genera menor costo. La profesora hace énfasis a
los alumnos y pregunta en cada equipo:
¿Quién tiene la razón, el supervisor del almacén o el supervisor de logística?
No les dice la respuesta correcta sino que plantea la pregunta para generar discusión
entre los integrantes de cada equipo, hasta que todos los equipos llegan a la conclusión
de que los dos tienen razón. Esta pequeña discusión dará la pauta a que los alumnos
contesten la siguiente pregunta:
Pregunta 6: ¿Crees que el costo de pedir es el único que debería tomarse en cuenta al
momento de decidir qué cantidad (Q) encargar? ¿Qué otros deberían tomarse en
cuenta?
Esta pregunta es similar a la pregunta 5 de la primera intervención, con la diferencia de
que los estudiantes ya analizaron dos puntos de vista diferentes y observaron que se
generaron dos costos (de almacenar y de ordenar)en el manejo de los inventarios. Los
estudiantes utilizan términos del contexto de inventarios como son: costo por mantener
el inventario, costo por orden, costo de almacén, a diferencia de la primera
intervención.Las respuestas son las siguientes:
El costo por mantener el inventario y el costo por orden
El costo de almacén
La demanda (sólo 2 equipos dan esta respuesta)
Al ser una forma de trabajo similar a la de la primera intervención, esta segunda
intervención fue más fácil y más rápida de resolver, cumpliendo los objetivos
planteados con cada pregunta.
La Tabla 3 muestra una síntesis de las respuestas de la segunda intervención: el
supervisor de logística.
Tabla 3. Síntesis de las respuestas de la segunda intervención: el supervisor de logística
Preguntas Equipo 1 Equipo 2 Equipo 3
Tarea 2. Graficar el costo anual
de ordenar de acuerdo a la tabla
de datos proporcionada
Graficaron correctamente
Técnica 2: A partir de los datos que aparecen en la tabla 2,
los estudiantes graficaron el costo anual de ordenar en
función de Q (Cantidad a ordenar).
Tecnología 2:Los alumnos identificaron que se trata de una
función decreciente, lo cual significa que tiene pendiente
negativa, por lo que al aumentar Q, C(Q) decrece.
1) Si el tamaño de los
pedidos es de 10
unidades y requieres
cubrir una demanda
de 1000 unidades,
¿Cuántos pedidos
tendrás que hacer?
Tarea: Determinar el
número de pedidos
100 pedidos 100 pedidos 100 pedidos
Técnica: Consiste en realizar la siguiente división 1000/100.
Tecnología: La demanda anual dividida entre el tamaño de
los pedidos (Q) determinará el número de pedidos a realizar
para cubrir dicha demanda.
2) ¿Y si el tamaño de los
pedidos fuera de 250
unidades, cuántos
pedidos harías?
Tarea: Determinar el
tamaño de los pedidos
donde 250 unidades
4 pedidos 4 pedidos 4 pedidos
Técnica: Consiste en realizar la siguiente división 1000/250.
Tecnología: La demanda anual dividida entre el tamaño de
los pedidos (Q) determinará el número de pedidos a realizar
para cubrir dicha demanda.
3) ¿Qué pasa con el costo
de ordenar cuando los tamaños
de los pedidos se incrementan
por ejemplo de hacer pedidos de
10 unidades a hacer pedidos de
250 unidades?
Disminuye El costo
aumenta
conforme
aumentan los
pedidos
El costo de ordenar
disminuye
4) ¿Por qué crees que pase
esto?
Porque al hacer
menos pedidos
gastas menos en
el costo. Ya que
si por pedido son
10 los 1000 los
dividimos en 10 y
el resultado se
multiplica por
250 (por cada
orden). Al pedir
Porque el costo
de cada pedido
es de $250, a
más pedidos
más costo.
Entre menos pedidos
menos costo de envío.
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
5000
10000
15000
20000
25000
Cantidad a ordenar (Q)
Costo C(Q)
1000 sólo es 1
así que 1 x 250
=250 es menor el
costo.
5) ¿En qué tamaño de Q se
obtiene el menor costo anual de
ordenar y cuánto es dicho
costo?
Q = 1000
Costo = 250
Cuando Q =
1000 y su costo
es de $250
En 1000 Q y $250
6) ¿Crees que el costo de pedir
es el único que debería tomarse
en cuenta al momento de decidir
qué cantidad (Q) encargar?
¿Qué otros deberían tomarse en
cuenta?
El costo por
mantener el
inventario y el
costo por orden.
No, el costo de
almacén
No, se tiene que tomar
en cuenta la demanda
5.1.5 Análisis de la tercera intervención: Gerente de materiales
Dentro de la secuencia, la tercera intervención la realiza el gerente de materiales, quien
hasta este punto ha permanecido en silencio, escuchando con atención al supervisor del
almacén y al supervisor de logística. El papel del gerente de materiales se ha diseñado
como ésta de un mediador entre las dos opiniones contrarias (encargar mucho, encargar
poco) y para resumir las dos intervenciones anteriores plantea dos preguntas en las
cuales los alumnos deberán completar con una sola palabra:
4) En la primera gráfica (costo anual de mantener el inventario) se puede
observar que cuando el tamaño de los pedidos (Q) aumenta, entonces el
costo anual de mantener el
inventario___________________________________________________
5) En la segunda gráfica (costo anual de ordenar) se puede observar que
cuando el tamaño de los pedidos (Q) aumenta, entonces el costo anual de
ordenar_______________________________________________________
Dentro del diseño, la primera pregunta resume el planteamiento del supervisor del
almacén, en decir puntualiza que cuando Q (tamaño de los pedidos) aumenta, entonces
el costo anual de mantener el inventario también aumenta, pues a mayor cantidad de
piezas, mayor costo de almacenarlas. Las respuestas de los alumnos son acordes con
esta afirmación:
Aumenta
Es mayor
Esas fueron las respuestas de todos los equipos, por lo que se observa que no hubo
dificultad de establecer el tipo de relación que sostienen el tamaño de los pedidos y el
costo anual de mantener el inventario, producto del análisis que hicieron de la tabla de
datos.
En el caso de la segunda pregunta, su comportamiento fue de forma similar. Se resume
el planteamiento del supervisor de logística, cuando Q aumenta (tamaño de los
pedidos), el costo anual de ordenar disminuye, pues entre más grande sea el tamaño de
Q, menos pedidos se harán al año y por lo tanto el costo de pedir disminuye. Las
respuestas de los alumnos afirman lo anterior:
Disminuye
Baja
Todos los equipos contestaron correctamente. La profesora les pregunta: ¿Quién tiene la
razón? ¿Los dos costos deberán ser tomados en cuenta? A lo que todos los equipos
responden que los dos tienen razón y los dos costos deben ser tomados en cuenta en este
modelo de inventarios. Una vez que se ha explicitado la lógica que subyace el punto de
vista de los dos supervisores, el gerente de materiales plantea una pregunta interesante
que dará la pauta al análisis del modelo matemático adjunto a este modelo de
inventarios (EOQ).
¿Cómo puedo encontrar el modelo matemático que represente el comportamiento del
costo anual de almacenar, otro que represente el costo anual de ordenar y un último
que represente a los dos costos?
Esta pregunta es para que los alumnos comiencen a discutir en el interior de sus equipos
cómo encontrar el modelo matemático para cada una de las funciones analizadas. No se
deja un espacio para que coloquen sus respuestas por escrito sino que se deja abierto a
que reflexionen en conjunto. Algunas de las respuestas que se dieron de manera oral son
“a partir de la tabla de datos”, “a partir de la gráfica usando un graficador”,
“calculando la pendiente”. Es importante mencionar que en el curso de cálculo
diferencial uno de los temas es el de funciones (unidad 2) en el cual se abordó cómo
encontrar la ecuación de una función a partir de su gráfica. Esto puede explicar que los
alumnos posean un repertorio básico de funciones que les permita identificar el tipo de
función a partir de su gráfica. En el caso de recta, se abordaron diferentes expresiones
analíticas: punto-punto )( 1
12
121 xx
xx
yyyy
, punto-pendiente )( 11 xxmyy ,
pendiente-ordenada al origen bmxy , etc. En el caso de las funciones racionales
f(x)=P(x)/Q(x) donde P y Q son polinomios con Q(x) diferente de 0, se les explicó
cómo determinar a partir del cálculo de la asíntota horizontal y de la asíntota vertical la
expresión analítica de dichas funciones. Las técnicas solicitadas en esta parte de la
secuencia se basan en el uso de herramientas tecnológicas disponibles como son el uso
de Excel para a partir de una gráfica de dos variables relacionadas, encontrar la
ecuación de mejor ajuste para representar a dicho conjunto de datos y poder estimar la
relación entre dichas variables y reconocer un buen ajuste.
Dado que a cada equipo se le pidió que trajeran una computadora, se pudo usar la
herramienta Excel para encontrar dichas expresiones analíticas.
Uno de los supervisores recordó una herramienta estadística del Excel que se
utiliza para encontrar la tendencia (comportamiento) que siguen los datos y
muestra la ecuación matemática que representa el mejor ajuste del conjunto de
datos. Además muestra qué tan bueno es el ajuste a través del coeficiente de
determinación (al calcular su raíz cuadrada muestra un valor entre 0 y 1, siendo
0 un mal ajuste con esa ecuación y no será representativa de la función y siendo
1 un ajuste perfecto lo que significa que dicha ecuación será representativa de
la función).
Ayuda a los supervisores a obtener la ecuación de tendencia lineal en el Excel
para el costo anual de almacenar y el costo anual de ordenar.
El programa Excel es una herramienta muy útil para el área de estadística y con un gran
potencial para realizar cálculos. A partir de una tabla de datos, es posible realizar el
diagrama de dispersión y con dicho diagrama, el programa Excel permite determinar la
ecuación que mejor representa a ese conjunto de datos. El uso de estas herramientas
solicita por tanto ciertos conocimientos sobre las funciones, como mínimo identificar el
tipo de función que puede representar el ajuste de tendencia. Este elemento tecnológico
permitiría tener un uso más controlado del programa, de lo contrario la técnica puede
basarse en ensayo y error: ajustar a diferentes funciones hasta encontrar una, cuya
gráfica se parezca a la gráfica trazada inicialmente.
En la implementación de la secuencia se consideró importante dar algunas indicaciones
del trabajo a realizarse con el programa Excel, para lo cual se colocaron imágenes de la
hoja de Excel con todo lo que deberían ir viendo ellos en su pantalla (cómo si fuera un
tutorial) para evitar problemas en encontrar las tendencias de los datos. Cabe resaltar
que los alumnos al ser de primer semestre no han cursado la asignatura de Estadística
Inferencial (asignatura del tercer semestre), en la cual se estudia en la última unidad la
regresión lineal, múltiple y no lineal, por lo tanto todos estos conocimientos son nuevos
para ellos pero se enlazan perfectamente con el tema de funciones. Es importante
señalar que si pudiera dedicarse mayor tiempo a la implementación de la secuencia,
estas indicaciones podrían ser reemplazadas por un trabajo de tipo exploratorio por parte
de los estudiantes, orientado por preguntas que favorecieran una identificación de
elementos tecnológicos que permitieran elegir “el mejor ajuste”.
Las indicaciones fueron presentadas de la siguiente manera:
3) Realiza un diagrama de dispersión con las 2 columnas de datos (tamaño
de Q y costo anual)
4) Ya en la gráfica, da un clic izquierdo a cualquier punto y luego un clic
derecho.
5) Se despliega un menú y selecciona la opción: agregar línea de tendencia
Figura 3. Pantalla de Excel donde se muestra el menú para agregar línea de tendencia.
Aparecerá el siguiente menú:
Figura 4. Pantalla de Excel donde se muestran las opciones de línea de tendencia.
6) Selecciona la tendencia a la que más se parezca la gráfica y que arroje
el valor de R= 1 (o lo más cercano a 1, entre más cerca de 1 será un
mejor ajuste). Las opciones de tendencia que se pueden usar en Excel
son:
o Exponencial
o Lineal
o Logarítmica
o Polinómica
o Potencial
o Media móvil
7) Marcar las casillas
Presentar ecuación en el gráfico
Presentar el valor R cuadrado en el gráfico
Figura 5. Pantalla de Excel que muestra cómo aparece la ecuación cuando se hace el ajuste.
8) Haz lo mismo con la tabla de datos del costo anual de ordenar y
encuentra la ecuación de mejor ajuste.
Con esta información proporcionada se pudo observar que los alumnos no tuvieron
problema alguno para encontrar las expresiones analíticas de cada función. Esta parte de
la actividad se diseñó considerando que la técnica que los estudiantes utilizarían sería la
de identificar el tipo de función de acuerdo a la gráfica. Por lo tanto dentro de las
indicaciones no se les señaló la tendencia adecuada para hacer el ajuste, la tarea
consistía en determinarla. En la primera tabla de datos, en el gráfico de dispersión los
alumnos obtienen la gráfica, fácilmente identificable por ellos, de una función lineal por
lo tanto todos los equipos hicieron al primer intento el ajuste a “tendencia lineal”. En
esta primera parte no hubo problema y todos los alumnos encontraron la ecuación en
tiempo y forma (Figura 17).
Figura 17. Gráfica del costo anual de mantener el inventario C(Q) y su ecuación realizadas en el Excel
Intencionalmente se diseñó la actividad para que comenzara con la función lineal, ya
que como se había visto durante el curso, fue la que más se facilitó a los alumnos y en la
cual la mayoría de ellos no tuvo problema alguno para trabajarla. Ciertamente, en este
caso el ajuste lineal corresponde a una situación ideal permitiendo comprender la
técnica basada en el uso del programa Excel para realizar un ajuste de datos. Se les pide
que realicen todo el procedimiento anterior pero ahora para encontrar la ecuación del
costo anual de ordenar, la cual es una función racional. En esta parte se pudo observar
que en la mitad de los equipos tuvieron que hacer dos o más intentos de ajuste pues las
opciones de Excel para hacer los ajustes eran:
Lineal
Logarítmica
Polinómica
Potencial
Media movil
Notemos que en el curso la funciónx
xf1
)( se enseñó en el curso como una función
racional, cuya gráfica se parece al gráfico de dispersión de la función de costo de
ordenar. Sin embargo en el programa Excel no aparece como opción “racional”, lo cual
provocó que los estudiantes tardaran más en encontrarla pero finalmente los alumnos se
dieron cuenta que el mejor ajuste lo encontraron en la opción “potencial”. La gráfica y
la ecuación encontradas se observan en la Figura 18.
Figura 18. Gráfica del costo anual de ordenar y su ecuación realizadas en el Excel
Al ver la expresión analítica y un ajuste perfecto, los alumnos recuerdan que las
funciones racionales pueden ser escritas de dos maneras: f(x) =1/x y f(x) = x-1
.Al
diseñar la actividad, esta parte de encontrar las ecuaciones a través de los ajustes de
tendencias en el Excel, era la parte que consideramos sería la más crítica para los
alumnos porque todavía no habían cursado la asignatura de Estadística Inferencial II,
inclusive evaluamos la posibilidad de omitirla y que buscaran la ecuación mediante la
gráfica como se había visto en clase. Finalmente se decidió que se utilizara la
herramienta de Excel para hacer el ajuste. Además de que les permitió completar su
actividad en tiempo y forma, los estudiantes se fueron satisfechos al haber aprendido
cómo realizar estas técnicas en el programa Excel y les pareció “increíble” que con tan
sólo unos clics se pudiera encontrar la ecuación de un conjunto de datos, preguntándose
para que otros tipos de datos se pudiera utilizar esta poderosa herramienta. Es necesario
aclarar que esta actividad de modelización, ajustar funciones a un conjunto de datos, es
utilizada en la previsión de ventas por ejemplo. Y ha sido objeto de investigación en
diversos trabajos realizados por matemáticos educativos de la Universidad Ramon Llul
en España, en los cuales se proponen cuestiones problemáticas conocidas como:
Recorridos de Estudio y de Investigación, las cuales son abiertas y favorecen un trabajo
autónomo de equipos de estudiantes para elegir funciones que permitan ajustar de mejor
manera los datos y su tratamiento. Un ejemplo de estos trabajos es el de Serrano (2012).
Para conjuntar lo realizado en el programa Excel se les pide que escriban las ecuaciones
encontradas. A continuación se presentan las preguntas y las respuestas proporcionadas
por los estudiantes:
Escribe cómo quedó:
La ecuación del costo anual de almacenar:
xy 25
La ecuación del costo anual de pedir:
1250000 xy
Como puede observarse los alumnos fueron capaces de encontrar la ecuaciones del
conjunto de datos presentado por cada uno de los supervisores con la herramienta del
programa Excel. La siguiente pregunta les pide que escriban la ecuación del costo anual
total:
El COSTO TOTAL ANUAL será la suma de los dos costos anteriores y su ecuación
sería:
xxy
2 5 0 0 0 02 5
Q
QQc2 5 0 0 0 0
2 5)(
QQtoTotal
25000025cos
Los alumnos encontraron la ecuación del COSTO TOTAL ANUAL y vemos que
utilizan distinta nomenclatura. Se esperaba que escribieran las funciones en términos de
Q y c(Q), sin embargo esto no causa confusión alguna para que los estudiantes realicen
la parte final de la actividad y determinen que la ecuación del costo total anual es la
suma de los dos costos implícitos en los inventarios.Para la parte final de la actividad se
hace el análisis del valor que optimiza a la función de COSTO TOTAL ANUAL en dos
partes. En la primera parte se analiza la gráfica que produce dicha función y se les
comenta que pueden usar alguno de los graficadores vistos en clase, la técnica consiste
en teclear la función matemática que representa el Costo Anual Total. En esta parte se
les coloca un plano cartesiano con la escala predeterminada para que los alumnos
grafiquen sin ningún problema la función. Esta tarea la realizan fácilmente utilizando el
software “graph” o el celular pues algunos estudiantes utilizan las aplicaciones de
graficadores de sus celulares. La gráfica realizada por los alumnos se presenta en la
Figura 19.
Figura 19. Gráfica del Costo Anual Total y su ecuación realizadas en el Excel
Observando la gráfica se les pide que contesten lo siguiente:
¿En qué valor de Q se encuentra el menor COSTO TOTAL ANUAL?
“Cuando Q = 100”
Todos los equipos fueron capaces de responden correctamente en Q = 100. Para
determinarlo, los estudiantes pueden hacerle un zoom al gráfico y encontrar el punto
con exactitud, lo cual se facilita porque es un número entero. La profesora pregunta a
todos los alumnos:
¿Qué significa ese valor de Q = 100?
Esta pregunta no está escrita en la actividad pero la profesora acudió a cada equipo y
realizó dicha pregunta para verificar que aunque todos los equipos habían realizado
correctamente la actividad, ellos mismos fueran capaces de reconocer el alcance de lo
que habían calculado, encontramos respuestas del tipo:
Que los pedidos deben ser de tamaño 100 para tener el menor costo
Que el tamaño de la orden debe ser de 100 piezas para que tengamos los
menores costos.
Que 100 piezas por pedido es el tamaño que debo encargar para tener
un equilibrio de costos.
La última pregunta de la actividad:
De no contar con la gráfica, ¿de qué manera podrías calcular la cantidad a pedir
(Q) que genere el menor COSTO TOTAL ANUAL?
Esta última pregunta hace que el alumno reflexione en otra forma de calcular el valor Q
que minimice el COSTO TOTAL ANUAL. Como el alumno ya conoce la ecuación,
esta pregunta pretende que el alumno sea capaz de realizar todo el proceso para
optimizar la función visto en las sesiones anteriores, es decir que utilice la siguiente
técnica:
1) Derivar la función de COSTO TOTAL ANUAL
xxy
2 5 0 0 0 02 5
2
2 5 0 0 0 02 5
xy
2) Igualarla a cero
02 5 0 0 0 0
2 52
x
3) Despejar X (que equivale a Q)
1 0 0x 1 0 0x
4) Hacer conclusiones con dicho valor
El valor de 100 obtenido en el paso anterior es la cantidad óptima del tamaño
que deben tener los pedidos (Q) para obtener el costo total anual más bajo de
toda la función y no habrá ningún otro valor de Q que genere menor costo.
Es interesante notar que ningún equipo tuvo dificultad alguna para realizar todo el
proceso algebraico necesario para encontrar el valor de Q, pues como ya se había
mencionado se había trabajado durante la última semana de clases ejercicios en donde el
alumno aplicara el procedimiento de optimización a algunas funciones matemáticas.
Finalmente entregan la actividad completada a la profesora y se concluye la actividad.
5.2 Conclusión del análisis de la implementación de la secuencia
Esta actividad presentó un reto para los estudiantes, pues fue una actividad
completamente diferente a lo que habían realizado en cuanto al tema de optimización.
Recordemos que para ellos, las aplicaciones se habían enfocado en el uso de los
problemas llamados típicos los cuales les permitían proponer funciones como modelos
en contextos conocidos como áreas, volúmenes, etc. El contexto aquí presentado
proviene de un área de ingeniería, en este caso la ingeniería industrial, les permitió
identificar una relación con la asignatura de cálculo diferencial y las potencialidades de
la derivada. Se considera asimismo que el modelo EOQ, los elementos aquí
considerados, no es muy complejo pero darle sentido desde la clase de Cálculo sí lo fue,
particularmente en el diseño de la secuencia. El contexto propuesto, reunión de tres
integrantes de una empresa para determinar el manejo del inventario permitió estudiar
los componentes del modelo, costo anual de almacenar, costo anual de ordenar y la
suma de éstos. Así como sus comportamientos, la forma de representarlos y modelarlos.
Al enfrentar la secuencia los estudiantes tienen que movilizar diferentes tipos de
conocimientos y técnicas matemáticas, que se suponen disponibles, la dificultad radica
en la capacidad de adaptarlas para resolver las tareas propuestas en el contexto de
inventarios. Por el contrario, el trabajo realizado con ayuda del programa Excel se
considera nuevo para estos estudiantes, las herramientas de este programa para el ajuste
de datos son variadas y un uso basado únicamente en la exploración de las herramientas
no permitiría resolver las tareas propuestas. Es por ello que el trabajo se orienta, se les
muestran las posibilidades pero se indica cuál de éstas resulta más óptima. Quizá esta
parte podría en una nueva implementación dejarse más abierta y que los estudiante
puedan explorar, pero en este caso quizá convendría agregar algunas preguntas/tareas
que ayuden a los estudiantes a generar elementos tecnológicos que les permitan elegir
un modelo sobre otro.
Finalmente puede decirse que las tareas 5 y 6 constituyen el corazón de esta secuencia
pues es aquí donde los estudiantes tienen que proponer un modelo que permita calcular
el costo total y con la ayuda del programa Excel realizar un ajuste de datos. Estas tareas
matemáticas tienen sentido gracias al contexto de inventarios y permiten a los
estudiantes realizar la determinación del mínimo para resolver la tarea, que consiste en
determinar el costo mínimo total. Se considera, que esta secuencia les permite ver un
uso de esta herramienta y al mismo tiempo comprender que una aplicación requiere de
la movilización de técnicas conocidas asociadas a conocimientos propios del contexto.
6 Conclusiones generales
En este trabajo se realizó con el objetivo de diseñar una secuencia didáctica para
abordar la optimización en la clase de Cálculo Diferencial considerando en particular la
formación de futuros ingenieros en el Tecnológico de Colima. La optimización es una
actividad que parece estar presente en diferentes facetas tanto de la vida profesional y
cotidiana de los futuros ingenieros. Sin embargo, en la clase de Cálculo Diferencial este
tema no suele ser tratado con la importancia que se merece, lo cual puede deberse en
parte a que esta asignatura no es su nicho natural como lo son la enseñanza de
investigación de operaciones o de programación lineal. El análisis sobre la modelización
matemática y su incorporación como paradigma educativo motivó el diseño de la
secuencia se propusiera bajo este enfoque. Para lo cual se consideró analizar modelos
matemáticos utilizados en las disciplinas intermediarias que son enseñadas en la
formación de especialidad. Se identificó la asignatura de administración de operaciones
1 y se identificó el modelo EOQ para ser analizado, utilizando dos nociones de la Teoría
Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999) la de institución y la de praxeología.
En particular la primera permite reconocer las instituciones que participan en la
formación de ingenieros y particularmente la enseñanza del cálculo y la enseñanza de la
administración de operaciones. El análisis del plan de estudios así como el de los
problemas tradicionales para abordar la optimización de la primera E(M) y de modelos
para manejos de inventarios de la segunda E(DI) permiten reconocer posibles relaciones
entre éstas. Para lo cual la noción de praxeología resulta fundamental, pues permite
analizar la actividad matemática tanto en una como en la otra y a partir de un análisis de
tareas considerar elementos para el diseño de una secuencia didáctica. La secuencia es
presentada en el capítulo 4 de esta tesis describiendo sus tres partes principales en
términos de praxeologías, lo que permite analizar los tipos de tareas propuestos, las
técnicas y tecnologías asociadas así como su pertinencia para la clase de Cálculo
Diferencial. Esto constituye, además, una base para el análisis del trabajo de los
estudiantes al enfrentarla y que es presentado en el capítulo 5. Dicha secuencia hace
intervenir como elemento tecnológico el modelo EOQ y más precisamente algunas de
sus características pero adaptadas bajo un diseño didáctico al curso del Cálculo
diferencial.
Se considera que el análisis del modelo EOQ permitió reconocer elementos
tecnológicos asociados a la optimización que es abordada en el curso de Cálculo
Diferencial; un elemento clave en este modelo es determinar el menor costo total en el
manejo de un inventario, lo cual constituye una actividad genuina de optimización. La
técnica asociada es la enseñada en el curso de Cálculo Diferencial pero la cual puede
verse cristalizada por el uso de una fórmula a partir del conocimiento de ciertos datos.
Se buscó por tanto generar esta secuencia que permitiera más que un uso, como caja
negra, de la fórmula, transparentar los elementos tecnológicos que posibilitan
determinar el menor costo total de mantener un inventario.
La secuencia se plantea en un contexto que simula el de una empresa y más en
particular una reunión de tres integrantes de la empresa: supervisor de almacén,
supervisor de logística y gerente de materiales. Las intervenciones de estos integrantes
tienen por objetivo analizar los diferentes costos que son considerados en el manejo de
inventarios y su comportamiento, así las tareas propuestas a los estudiantes deben
permitirles, a partir de ciertos datos, reconocer el funcionamiento del inventario y su
posible optimización. Los datos propuestos para la secuencia permiten en las tareas 5 y
6 ajustar con modelos “exactos” los datos, lo cual puede distar de la realidad. Esto
podría ser adaptado en una versión de la secuencia que pudiera trabajarse en más de una
sesión y que permitiera a los estudiantes la elección de un modelo sobre otro para hacer
un ajuste de datos que pueda considerarse como óptimo. Esto permitiría además de
utilizar la técnica basada en el cálculo de la primera y segunda derivada para optimizar,
generar conocimientos del fenómeno que se modela así como del modelo matemático
mismo para determinar el mejor ajuste. En esta secuencia no se consideró debido a que
el objetivo era proponer tareas que permitieran optimizar a partir del cálculo de la
primera y segunda derivada, y además que la optimización se propusiera en un contexto
de uso cercano a la formación de ingenieros.
Se considera que un análisis más amplio que abarque la investigación de operaciones
puede permitir una mayor comprensión sobre el rol de la optimización y las diferentes
técnicas matemáticas asociadas. Esto permitiría tener un referente más sólido sobre el
uso de los modelos y las maneras en qué pueden ser abordados en los cursos de
matemáticas de los primeros años. De la misma manera, se considera que un análisis
más fino de la implementación permitiría generar adaptaciones sobre la secuencia.
La secuencia fue propuesta considerando el Tecnológico de Colima y buscando asociar
la formación de especialidad de los futuros ingenieros industriales con su formación
básica. Sin embargo, se considera que bajo ciertas adaptaciones esta secuencia puede ser
implementada en otros modelos de formación. Una cuestión que queda abierta es si la
optimización es requerida en otras asignaturas de la especialidad, ¿qué forma toma?
¿Qué conocimientos matemáticos son los movilizados? Resultaría muy interesante
poder entrevistar a profesores de otras asignaturas y analizar sus cursos, como se ha
hecho con el de administración de operaciones 1 para poder analizar otras formas de uso
de la optimización y poder adaptar de mejor manera su tratamiento en el curso de
Cálculo Diferencial.
La formación matemática de futuros ingenieros no puede, según los resultados y
reflexiones que se desprenden de este trabajo, ignorar las necesidades matemáticas de la
formación de especialidad y de la práctica profesional.
7 Referencias bibliográficas
Bissell, C. C. y Dillon, C. (2000). Telling tales: models, stories and meanings. For the
Learning of Mathematics, 20(3), 3-11.
Castela, C. y Romo, A. (2011). Des mathématiques a l'automatique : étude des effets de
transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 31(1), 79-130.
Chase, R., Jacobs, F. y Aquilano N. (2005). Administración de la producción y
operaciones (10a ed.). México: McGraw Hill.
Chevallard, Y. (1999). La recherche en didactique et la formation des professeurs :
problématiques, concepts, problèmes. En J.L. Dorier, M. Artaud, M. Artigue, R.
Berthelot y R. Floris (Eds.), Actes de la X Ecole d’été de Didactique (pp. 98-112).
Francia: Académie de Caen.
Howson, A. G., Kahane, J. P., Lauginie, P. y de Turckheim, E. (Eds.) (1988).
Mathematics as a Service Subject ICMI Study Series. Cambridge: Cambridge
University Press.
Kent, P. y Noss, R. (2001). Finding a role for technology in service mathematics for
engineers and scientists. En D. Holton (Ed.), The teaching and learning of
mathematics at university. ICMI Study Series (Vol. 7, pp. 395-404). Netherlands:
Kluwer Academic Publishers.
Macias, C. (2012). Uso de las nuevas tecnologías en la formación de ingenieros (Tesis
de maestría no publicada). CICATA-IPN, México.
Pollak H. O. (1988). Mathematics as a service subject- why? In A. G. Howson et al.
(Eds), Mathematics as a service subject. pp.28-34. Cambridge: Cambridge
University Press (Series: ICMI study).
Purcell, E., Varberg D., Rigdon S. (2007) Cálculo Diferencial e integral. México:
Pearson.
Representantes de los Institutos Tecnológicos. (2010) Plan de estudios de
Administración de las Operaciones I.
Representantes de los Institutos Tecnológicos. (2009) Plan de estudios de Cálculo
Diferencial.
Romo-Vázquez, A. (2009). Les mathématiques dans la formation d’ingénieurs. Paris:
Irem de Paris.
Serrano, L. (2012). La modelización matemática en los estudios universitarios de
economía y empresa: análisis ecológico y propuesta didáctica (Tesis de doctorado
no publicada). Univesitat Ramon Llul, España.
Stewart, J. (1999). Cálculo conceptos y contextos. México: Thomson.
Soto, S. (2013). La modelación matemática y su vinculación con el entorno de la
formación matemática de ingenieros (Tesis de maestría no publicada). CICATA-IPN,
México.
Zill, D. y Wright W. (2011). Matemáticas 1 Cálculo Diferencial. México: McGraw Hill.