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Activités avec GeoGebra
Optimisation
Christine Docq, Sabine Hausmann, Dany Legrand, André Malo, Rosane Tossut
avec la collaboration de
Anne Baudhuin, Jean-Baptiste Coulaud, Cristobald de Kerchove
GEM – Juin 2016
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IntroductionCedocumentproposeuneséquenced’apprentissagedel’optimisationàl’aidedeGeoGebra.Lelogicielestutilisépourvisualiserlessituationsetconjecturerlessolutions.Ilfautcependantgarder à l’esprit que l’objectif principal est la maitrise de l’usage de la dérivée dans lesproblèmesd’optimisation.Lesquatresituationsprésentéesdanscetteséquencesontclassiquesetontétéchoisiesenfonctiondel’utilisationdulogiciel.1. Levolumemaximald’uneboiteobtenueencoupantlesquatrecoinsd’unefeuillecarrée
estl’occasiondepasserdelamanipulationpapieràlaconstructiond’unefiguremobileenGeoGebradanstroisfenêtresdifférentes:lafeuilledécoupéeen2D,lavisualisationdelaboiteen3Detlegraphiquedelafonctionvolume.La capsule vidéo jointe présente un exemple de résolution. Voici deux manières del’utiliser:-leprofesseurpeufamiliariséaveclelogicielpeutsuivrepasàpaslescommandespourlaréalisationetrefaireensuitesapropreconstruction;-lesélèvespeuventlavisionneravecl’objectifderéalisereux-mêmeslafigurepourlesproblèmessuivants.Larésolutionalgébriqueassezsimpleconfirmeetpréciselasolution.
2. Leproblèmedeminimisationdelalongueurdestuyauxd’unedescented’eausymétrique
permetdefaireconstruireauxélèvesunefigureen2Dsansgrossedifficulté.3. Le cylindre de volume maximal dans une sphère est l’occasion de construire une
visualisationen3D.4. Leproblèmedemaximisationduvolumed’unepyramidedroiteàbasecarréepourune
surfacelatéraledonnéedonnel’occasiond’unréinvestissement.Il va de soi que de nombreux autres exercices sont nécessaires pour lamaitrise de cettematière.Quelquesindicationsméthodologiquessontprésentéessurfondgrisé.
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Problème1Onveutconstruireuneboitesanscouvercleendécoupantquatrecarrésauxcoinsd’ungrandcarréetenrepliantverslehautlesbordslibres.Déterminezlaboitedeplusgrandvolumequ’ilestpossibled’obtenir.a)Réalisezconcrètementlaboiteenpartantducarréconstruitsurlepetitcôtéd’unefeuilleA4etcalculezsonvolume.b)ÉlaborezunfichierGeoGebraavecunepremièrefenêtrepourdessinerlasituationendeuxdimensions,unesecondepourvisualiserlasituationentroisdimensionsetunedernièrepourconstruirelegraphiqueduvolumeenfonctionducôtédespetitscarrés.c)Vérifiezanalytiquementlaréponsepressentieàl’aidedesmanipulationsconcrètesetdulogiciel.a)ConstructionsconcrètesPourquelesélèvesprennentconsciencedelavariabilitéduvolumeenfonctiondelalongueurdes côtés des carrés découpés, on leur fait réaliser au préalable la boite en ayant répartidifférentesmesuresdescôtésdespetitscarrés,de1à10cm;ondemandeaussiàchaqueélèvedecalculerlevolumedesaboite. Onproposeauxélèvesdecomparerlesboitesconstruites:sioncouchelesplushautes,onremarquequ’ellesrentrentdanslespluslargesetontdoncunvolumeinférieur.Oncollectelesrésultatsdesvolumesdansuntableauendésignantpar𝑙lalongueurdescôtésdespetitscarrésetpar𝑉(𝑙)levolumecalculé.Onfaitensuiteélaboreruneconjecturerelativeaumaximumdecevolume.b)TravailaveclelogicielGeoGebraVoustrouverezlacapsulevidéoici:https://www.dropbox.com/s/6gni9ls6an6flu6/Capsule_Volume_Maxi_Boite.wmv?dl=0LefichierGeoGebraestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/UaQaCTpQ?doneurl=%2Fgem_llnIls’agitd’unexempled’utilisationdeGeoGebra; ilyad’autresrésolutionspossibles.Nousn’avonspaslimitélavariationdesobjetsauxsituationsvraisemblables,pourattirerl’attentionsurlesdomainesdevalidité.LetravailavecGeoGebrasedérouleentroisétapes:-réaliserledécoupagedelafeuilledansunepremièrefenêtre2D,-construirelaboitedansunefenêtre3D,-réaliser legraphiqueduvolumeen fonctionde lahauteurde laboitedansunenouvellefenêtre2D.
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Legraphiqueduvolumeestintéressantàplusieurspointsdevue:-ilpermetdevérifierlescalculseffectuésàl’étapea)etderepérerl’endroitapproximatifdumaximum;
-onpeutsedemandersitouslespointsdugraphiqueontunsenspourleproblèmeinitialetàqueltypedefonctionlegraphiquecorrespond.
c)RechercheanalytiquedumaximumOnespèrequelesélèvestrouverontd’eux-mêmesqu’ilfautrecouriràladérivée;danslecascontraire,ondirigeraleurrecherchedanscesens.Ilfautd’abordélaboreranalytiquementlafonction𝑉(𝑙),volumedelaboiteetensuiteutilisersadérivéepourconfirmerouinfirmerlesconjecturesfaitesauxétapesa)etb).Commelefonddelaboiteaunelargeurde21cmdiminuéededeuxfoislalongueur𝑙ducôtéducarréetquelahauteurdelaboiteestcelledelalongueurducôtéducarré,onobtientpourlevolume
𝑉 𝑙 = 21 − 2𝑙 )𝑙.Dérivonscettefonction
𝑉* 𝑙 = 2 21 − 2𝑙 −2 𝑙 + 21 − 2𝑙 ).Eneffectuantunemiseenévidence,onobtient
𝑉* 𝑙 = 21 − 2𝑙 −4𝑙 + 21 − 2𝑙 ouencore
𝑉* 𝑙 = 21 − 2𝑙 21 − 6𝑙 .
Ladérivéeduvolumes’annuledoncsoiten𝑙 = 212 =10,5cm,soiten𝑙 = 21
6 = 3,5cm.Ilestclairquelapremièreracineneconvientpaspuisqu’iln’yauraitplusdeboite.Vérifionsqueladeuxièmeracinedonnebienunmaximumlocalàlafonctionvolume.- Soit on analyse le signede la dérivée à gaucheet à droitede cette racine: on a une
expressionduseconddegréenlavariable𝑙avecuncoefficientpositifpourletermeduseconddegré:l’expressionpassedoncbiendusignepositifausignenégatifdepartetd’autredelavaleur3,5.
- Soitonanalyselesignedeladérivéesecondeencetteracine
𝑉** 𝑙 = −2 21 − 6𝑙 + 21 − 2𝑙 −6
𝑉** 𝑙 = 24𝑙 − 168
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etdonc
𝑉** 3,5 = −84.Lesignedeladérivéesecondeétantnégatif,onauneconcavitéverslebasetlepointstationnairecorresponddoncbienàunmaximumlocal.
Calculonsensuitelavaleurdumaximum
𝑉 3,5 = 686𝑐𝑚³.
Dans la résolution de ce problème, nous avons abordé l’optimisation de trois manièresdifférentes:expérimentale,informatiqueetanalytique.-Lesessaisconcretslaissentsupposerquelasolutionsesitueentre3et4cm.-Legraphiquedelafonctionvolume,donnéparlelogiciel,permetd’approchermieuxcettesolution.-Lecalculanalytiqueapporteunesolutionpréciseauproblème.Problème2Surlepignonlatérald’unbâtiment,onveutrécolter,enuneseuledescentecentrale,leseauxdepluiedesdeuxgouttièresdesfaçadesopposées.Aquellehauteurplacerleraccordpourminimiserlalongueurtotaledestuyaux?Quelanglefaitchaqueportionobliqueparrapportàl’horizontale?
a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.
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a)TravailaveclelogicielLeprofesseurpeutproposerauxélèvesdesvaleursdifférentespourlesdimensionsdupignon.Lesvaleursobtenuespourleshauteursoptimalessontdifférentes,maisl’angleobtenuestàchaquefoisde30°.LaréalisationestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/X8nsC5fV?doneurl=%2Fgem_llnLes personnes qui désirent suivre la construction pas à pas peuvent utiliser la fenêtre«Protocoledeconstruction»dulogiciel.b)RésolutionanalytiqueChaqueélèverésoutleproblèmeaveclesvaleursnumériquesde𝐻et𝑙utiliséesàl’étapea).Larésolutiongénéraleestprésentéeci-dessous.La longueur totale des tuyaux correspondà la longueurh augmentéedesdeux longueursobliques notées𝑥 . On peut exprimer ces longueurs𝑥 comme l’hypoténuse d’un trianglerectangle
𝑥 = 𝐻 − ℎ ) + 9²;.
Notonsf(h)lalongueurtotaledestuyaux,avecℎ𝜖 0, 𝐻
𝑓 ℎ = ℎ + 2 ∙ 𝐻 − ℎ ) + 9²;.
Dérivonscettefonction
𝑓* ℎ = 1 +2 ∙ 12 ∙ 2(𝐻 − ℎ)(−1)
𝐻 − ℎ ) + 𝑙²4
= 1 −2(𝐻 − ℎ)
𝐻 − ℎ ) + 𝑙²4
Annulonscettedérivée
𝑓* ℎ = 0 ⇔ 𝐻 − ℎ ) +𝑙)
4 = 2 𝐻 − ℎ
ouencore
𝐻 − ℎ ) +𝑙)
4 = 4 𝐻 − ℎ )
3(𝐻 − ℎ)) =𝑙²4
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𝐻 − ℎ =𝑙
2 3
etfinalement
ℎ = 𝐻 − 𝑙2 3
.
Vérifieranalytiquementqu’ils’agitd’unminimumestunetâcheardue.Maislesgraphiquesobtenusparlesélèvesnousindiquentqu’ils’agitbiend’unminimum.Calculonsàprésentl’angle𝛼entreuneportionobliqueetl’horizontalegrâceàlatangente
𝑡𝑔 𝛼 =𝑙
2 3𝑙2= 1
3.
Donc𝛼 = 30°.Remarquonsquelahauteuroptimaledépenddesdimensionsdupignon,maisquel’angle𝛼,aucontraire,enestindépendant.Problème3QuellessontlesdimensionsducylindredevolumemaximalquenouspouvonsinscriredansunesphèrederayonRdonné?a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.a)RésolutionaveclelogicielGeoGebraCe problème relativement simple donne l’occasion aux élèves de se familiariser avec lesconstructionsen3DdeGeoGebra.Ilpermetaussidetravaillersurunefonctiondu3èmedegréetsadérivée.Nousdonnonsiciunemanièredeprocéder.Nous avons remarqué que GeoGebra ne donne pas toujours des valeurs exactes pour levolume,nousavonspréférédéfinirmanuellementlecalcul.CetteréalisationestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/gb9jYWvE?doneurl=%2Fgem_lln
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Construisons:-unpointOdecoordonnées(0,0,0),- unesphèredecentreOetderayonR=1,parexemple,-unpointCsurl’axedesz,-unplanpassantparlepointCetparallèleauplanxOy,-l’intersectiondeceplanetdelasphère,-C’,lepointsymétriquedupointCparrapportaucentreO,-uncylindre,Cestlecentred’unebase,C’lecentredel’autrebase,lerayonestégalaurayonducercledel’intersection.
EndéplaçantlepointC,nousfaisonsvarierlecylindre.PouréviterlessautsdanslesdéplacementsdupointC,ilconvientdedésactiverlemagnétismepar l’outil Capture de la Barre de style de la fenêtre 3D, après avoir sélectionné l’outilDéplacer/sélectionner.
Pourfaireapparaitrelesvaleursdurayon,delahauteuretduvolume,écrivonsdansleChampdesaisielesdéfinitionsdesnombressuivants:-r=Rayon[e],eétantlenomdonnéaucylindre,-h=Distance[C,C’],-v=pi*r^2*h.LesvaleursnumériquesserontlisiblesdanslafenêtreAlgèbre.Pourobtenirlegrapheduvolumeducylindreenfonctiondelahauteur:-ouvronslafenêtreGraphique2parlemenuAffichage,-créonsunpointPenécrivantdansleChampdesaisie:P=(h,v),-faisonsafficherlepointPdanslafenêtreGraphique2parunclicdroitsurP,Propriétés…,Avancé,etencochantlacasecorrespondante,
-faisonsafficherlatraceparunclicdroitsurlepointP.En déplaçant le point C, nous pouvons repérer un volume maximum pour des valeursapproximativesdeℎetde𝑅.b)RésolutionanalytiqueNotons𝑅lerayondelasphère,𝑟lerayonducylindreetℎlahauteurdecelui-ci.Levolumeducylindres’écrit:
𝑉(ℎ, 𝑟) = 𝜋𝑟)ℎ
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LethéorèmedePythagorenousdonnelarelation
ℎ) + 2𝑟 ) = 2𝑅 )
ℎ) + 4𝑟) = 4𝑅)
𝑟) =4𝑅) − ℎ)
4
𝑟) = 𝑅) − ℎ2
4 .
Pourexprimer levolumeen fonctiond’uneseulevariable,nouspourrionsremplacerℎpar4𝑅) − 4𝑟²,maisilestplusfacilederemplacer𝑟)parl’expressionquenousvenonsd’obtenir
𝑉 ℎ = 𝜋ℎ 𝑅) − ℎ2
4 = 𝜋𝑅)ℎ − 𝜋ℎ3
4 .
Remarquonsqu’enfactorisant𝑉(ℎ) = 𝜋ℎ 𝑅 + ℎ2 𝑅 − ℎ
2 nousfaisonsapparaitrequecettefonctiondu3èmedegréadmettroisracines:ℎ = 2𝑅,ℎ = 0,ℎ = −2𝑅,mais ledomainedevaliditédecettefonctionest[0, 2𝑅].Pourtrouverlesextrémumsde𝑉 ℎ ,dérivonscettefonction
𝑉*(ℎ) = 𝜋𝑅) − 3𝜋ℎ²4 .
Cherchonslesracinesde𝑉′(ℎ)
𝑉* ℎ = 0 ⇔ 𝜋𝑅) −3𝜋ℎ)
4 = 0
3𝜋ℎ)
4 = 𝜋𝑅)
ℎ) = 4𝑅)
3
ℎ = ±4𝑅)
3
ℎ = ±2 33 𝑅.
Laracinenégativeestàrejeter,carunehauteurdoitavoirunevaleurpositive.
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Ensuite,nouspouvonscalculerlerayon𝑟correspondant
𝑟) = 𝑅) −𝑅)
3 =2𝑅)
3
𝑟 = ± 63 𝑅.
Laracinenégativeestàrejeter,carunrayondoitavoirunevaleurpositive.Doncnotresolutionest
ℎ = 2 33 𝑅 ≅ 1,155𝑅et𝑟 = 6
3 𝑅 ≅ 0,816𝑅.
Ces valeurs sont cohérentes avec les valeurs approximatives obtenues avec GeoGebra àl’étapea).Remarquonsquelediamètreducylindreobtenuestplusgrandquelahauteur,etestégalà2ℎ.
Bien que le graphique du volumemontre qu’il s’agit d’unmaximum, nous pouvons nousentraineràlevérifieranalytiquement.Calculonsladérivéeseconde
𝑉"(ℎ) = −3𝜋ℎ2 .
Cettedérivéesecondeseranullesiℎ = 0,positivesiℎ < 0,négativesiℎ > 0.Donc,pourℎ ∈ 0, 2𝑅 ,elleseratoujoursnégative,laconcavitéde𝑉(ℎ)seratournéeverslebas,ils’agitbiend’unmaximum.Nouspouvonségalementutiliseruntableaudesignes:
ℎ −2𝑅 −2 33
𝑅 0 2 33
𝑅 2𝑅
𝑉′(ℎ) - - - 0 + + + 0 - - -
𝑉(ℎ) ↘ 0 ↘ … ↗ 0 ↗ 4 39
𝜋𝑅T ↘ 0 ↘
Lesvaleursdescasesgriséessontàexclurecarℎ ∈ 0, 2𝑅 .
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Problème4On veut fabriquer une tente pyramidale à base carrée. On dispose d’un mât centraltélescopique.Lepoidsmaximumpourlatoiledelasurfacelatéraleestde10kg.Quellesdimensionsdoitavoir latentepourquesonvolumesoitmaximum,sachantquelatoilepèse500gparm2?Sionchoisitlepoidsde10kgpourlatoiledelasurfacelatérale,ellemesureraautotal20m².a)RésolutionaveclelogicielGeoGebraNousdonnonsiciunemanièredeprocéder,utilisantuncurseur. CetteréalisationestdisponiblesurGeoGebraTube:https://www.geogebra.org/m/Qwm9HxZU?doneurl=%2Fgem_llnNousdéfinissons:-uncurseurnomméavariantde0à10,quireprésentelecôtédelabasedelapyramide,- unpointA=(0,0),- unpointB=(a,0),Ensuite,nousconstruisonslabasedelapyramideavecl’outilPolygone,puisnousutilisonsl’outilExtrusionpourconstruireunepyramide(désignéeparlalettreedansnotrefichier)dehauteurégaleàsqrt(400-x(B)^4)/(2x(B)),enutilisantlethéorèmedePythagore.Grâce au curseur, nous faisons varier le côté de la base de la pyramide. Dans la fenêtreAlgèbre,nouspouvonssuivrelesvaleursdelahauteuretduvolumecorrespondants.Pourobtenirlegrapheduvolumeducylindreenfonctiondelahauteur:-ouvronslafenêtreGraphique2parlemenuAffichage,-créonsunpointPeninscrivantdanslechampdesaisieP=(a,Volume[e]),-faisonsafficherlepointPdanslafenêtreGraphique2parunclicdroitsurP,Propriétés…,Avancé,etencochantlacasecorrespondante,
-faisonsafficherlatrace(clicdroitsurlepointP).En utilisant le curseur, nous pouvons encadrer le volume maximum par des valeursapproximativesducôtéaetdelahauteur.En bonus, l’outil Patron de GeoGebra crée un nouveau curseur et une animation dudéveloppementdelapyramideobtenue.
b)RésolutionanalytiqueUnepyramidedroiteàbasecarréeestdéterminéeparlalongueur𝑥desarêtesdelabaseetparlahauteur𝐻;nousauronsaussibesoindelahauteurℎdestrianglesdelasurfacelatérale.
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Lasurfacelatéraleestcomposéedequatretrianglesidentiquesdebase𝑥etdehauteurℎ.Saformuleestdonc
𝑆 = 4 VW)= 2𝑥ℎ.
Nousdevonsrespecterlacontrainte
2𝑥ℎ = 20ou𝑥ℎ = 10.
Nousvoulonsmaximiserlevolumedonnéparlaformule
𝑉(𝑥, 𝐻) = 13 𝑥²𝐻.
Ilfauttrouverlelienentreleshauteurs𝐻etℎ.Ilestdonnéparlaformule
𝐻 = ℎ² − 𝑥²4 = 100
𝑥² −𝑥²4 = 400−𝑥4
4𝑥² = 12𝑥 400 − 𝑥;.
Levolumes’écritdonccommefonctiondelaseulevariable𝑥
𝑉(𝑥) = 13 𝑥² ∙
12𝑥 400 − 𝑥; =
𝑥 400−𝑥46 .
Dérivonscettefonction
𝑉* 𝑥 =16 400 − 𝑥; + 𝑥 ∙
12 400 − 𝑥;
−4𝑥T
=16 ∙
2 400 − 𝑥; − 4𝑥;
400 − 𝑥;
= 16 ∙
800−6𝑥4
400−𝑥4.
Annulonscettedérivée
𝑉* 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥; = 8006 ⟺ 𝑥 = 400
34
≅ 3,398𝑚.
Déterminonslahauteurdelatente
𝐻 =1
2. 4003
4∙ 400 −
4003 =
1
2. 4003
4∙23 ∙ 400
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ouencore
𝐻 = 12 ∙
23∙400
Z[\
13∙400
[\= 400
12;
≅ 2,4𝑚.
Commepourleproblème2, lecalculdeladérivéesecondeestardu,mais legraphiquedevolumemontrequ’ilyabienunmaximum. Réflexions sur l’utilisation de Geogebra : Terminonscetteséquenceenrelevantlesapportsspécifiquesdulogiciel.D'une part, beaucoup d'élèves ont encore à cet âge de réelles difficultés avec lesreprésentations planes d'objets de l'espace. L'utilisation de GeoGebra est une occasiond'exercercettecompétence.Danslepremierproblème,laconstructionconcrèted’unesériedeboitesetlamanipulationd’uneimage3Doùl’onpeutfairevarierlahauteurdelaboite,lafairebasculerettourner,permetdesefamiliariseraveccesreprésentations.Lesfiguresmobilescrééesen3Dpourlesproblèmes3et4peuventégalementaméliorerlaperceptionspatialedecesreprésentations.D'autrepart,legraphed'unefonctionestsouventperçucommeunobjetstatiqueetsonlienavecunphénomènen'estpasforcémentfacileàfaire.Latracedemandéed'unegrandeurenfonctiond'uneautredansladeuxièmefenêtre2Dpermetdevoirlafonctionsetracerpointparpoint,enrelationaveclareprésentationdelasituation.Lafenêtrealgébriquefournitenpluslesvaleursnumériquescorrespondantes.Onpeut également, après la résolutionalgébrique, tracerdans ladeuxième fenêtre2D lafonctiontrouvéeetconstaterlasuperpositionaveclatraceobtenue.Letravailaveclelogicielnechangepasfondamentalementl'apprentissagedel'optimisationmaisilenfacilitelacompréhension,l'enrichitparlesrelationsentrelesdifférentsaspects.Ilpeutégalementconstituerunattraitpourlesélèvesparlecôtéludiquedelamanipulationd'objetsmobiles.
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DOCUMENTSProblème1Onveutconstruireuneboitesanscouvercleendécoupantquatrecarrésauxcoinsd’ungrandcarréetenrepliantverslehautlesbordslibres.Déterminezlaboitedeplusgrandvolumequ’ilestpossibled’obtenir.a)Réalisezconcrètementlaboiteenpartantducarréconstruitsurlepetitcôtéd’unefeuilleA4etcalculezsonvolume.b)ÉlaborezunfichierGeoGebraavecunepremièrefenêtrepourdessinerlasituationendeuxdimensions,unesecondepourvisualiserlasituationentroisdimensionsetunedernièrepourconstruirelegraphiqueduvolumeenfonctionducôtédespetitscarrés.c)Vérifiezanalytiquementlaréponsepressentieàl’aidedesmanipulationsconcrètesetdulogiciel.Problème2Surlepignonlatérald’unbâtiment,onveutrécolterenuneseuledescentecentraleleseauxdepluiedesdeuxgouttièresdesfaçadesopposées.Aquellehauteurplacerleraccordpourminimiserlalongueurtotaledestuyaux?Quelanglefaitchaqueportionobliqueparrapportàl’horizontale?
a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.
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Problème3QuellessontlesdimensionsducylindredevolumemaximalquenouspouvonsinscriredansunesphèrederayonRdonné?a)Résolvezleproblèmeàl’aidedeGeoGebra.b)Vérifiezanalytiquementvotreréponse.Problème4On veut fabriquer une tente pyramidale à base carrée. On dispose d’un mât centraltélescopique.Lepoidsmaximumpourlatoiledelasurfacelatéraleestde10kg.Quellesdimensionsdoitavoir latentepourquesonvolumesoitmaximum,sachantquelatoilepèse500gparm2?