aiaa 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · aiaa 2001-1212 transonic limit...

10
AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell, Jeffrey P. Thomas, and Kenneth C. Hall Duke University, Durham, NC 27708–0300 42nd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference and Exhibit April 16–19, 2001/Seattle, WA For permission to copy or republish, contact the American Institute of Aeronautics and Astronautics 1801 Alexander Bell Drive, Suite 500, Reston, VA 20191–4344

Upload: others

Post on 14-Aug-2021

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

AIAA 2001-1212Transonic Limit Cycle OscillationAnalysis Using Reduced OrderAerodynamic ModelsEarl H. Dowell, Jeffrey P. Thomas, and Kenneth C. HallDuke University, Durham, NC 27708–0300

42nd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASCStructures, Structural Dynamics, and Materials

Conference and ExhibitApril 16–19, 2001/Seattle, WA

For permission to copy or republish, contact the American Institute of Aeronautics and Astronautics1801 Alexander Bell Drive, Suite 500, Reston, VA 20191–4344

Page 2: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

�������������� ����� �������� ���� ���� �������!����"�# �$�����������&%'�(���$) *+�-,�.� /�-, ���0,$�-�

# �-��1,2���$�3� �� 4 1,$�-���

50687:9<;!=?>A@CBED�9F9HGJILK8DNMO7:D�P1Q=SRUTJ@WVX6ZY�G?[\68]_^ `aDN]_]_D�bcT�de=?;�689f9hg>Ai_j8D!k ]_lFm8D�7:YnlFboP8G?>Ai_7:TS6ZVpGSqedsrWt8t8uWvCwxu8yWuWu

z|{~}�{��(�o��������������{������c�o{��N���(���n���������:���������n�H���:��{��A�Z{��N���������n�H�c��{��N������O}E�����:�o�-��{~�H���������n ¡ {~������¢������c�?�n£����n�o{�}¤�c�����������¥}E�c�����c}¤�c�o{��¦���x}E�����:�~�o§�¨O�����!�Z¢�{~�������©�ª����¢��o��¢��H���?���N����{~�N«�����o{���{��n�S���H������N¢��N���¬�H�¤�o�N���H�o{~�C¢N���­�����o���n�®���C���:����}¤�c����§J¯1{������H�n�¦�:���h�����:�����o�n�°{��U�H�n�C¢��o�:��������n�_���:������������}�{~�¬}E�����:��{~���� �{��S{~�S��� ¡ �±�n����{~�C���O���(���������N²¦�³��{~}�{��x�o�������°������{��~���c��{��N���W�o���c�S}E�:�������¢��<{~�E���H�����®�N��{~�°�C� ¡ {~������¢��C{����������(�¦´8�n�����¬���x�ª�H�o¢����o¢��H�����������Z¢�{~� ���N����{~���n����{���{��n�¦§Jµ®���o��{�������C�:�³���U��{~�H�±�N{~� ¡ {¶�o�U�o�N���H�H�N�Z��¢��H�±���o���·�H���:�C���:�-¸·���o�N}�}E�N���ª�H�o¢����o¢��H���8�������~{��������o{��®��¹?{~�³¢��®�:����-{~�����:�ª��{����c�H�¤�����������N��{~�0�Z¢N�����n�¤�����3��{�}�{����o���n���U������{��~���c��{��N���o§/ºh���/���:�C¢��o�n���N�H���:�����n�H������«����}�{��(}¤�����:�|¢����n�-{��/�o��{��°�������n�������¢�}E�:�¬�o���0��������»�}E����{��N�/{~�³��}E�����Z�����e{�� ���H����������{��N���H��������ª���o¢�����¢��H���8}¤����{��N���o§

¼�½O¾À¿xÁ­Â|îÄJÅCÆ<Ç�¿

È8É�È�Ê Ë$Ì�Í�ÎnÏ�ÐHÑ~ÍNÒ�Í�Ó_Ï�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�Ì|Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î�Ï�×�Ñ�ÖÏ�ÒZØ Ù8Ï�ÚeÛCÑ~Ò�Ü�Õ0Ï�×�Ñ�Ö�ÝCÖ�Õ�Õ�ÞJÑ�Ü�ß|àá É�â Ë�Ö�Õ�ã�Ñ�äªÎ�ÛCÍNÔHØeÏ�Ò�ØeÎ�ÛCÍNÔHØ�Ô�Õ:Ö�Ú8ÕnΦÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æ

âoçªÉ�â�è¤ÉHâ¦é Ë�ΦÍ�Õ�êUÎ�Ñ~ÕnÒ�ÐHÖ³Í�ÓxÌ�Ñ�Ó±Ð:ÝZÏ�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�Ì8ã�ÍNã�ÕnÒ�ÐÏ�ë8Í�ìCÐ<Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î(Ï�×�Ñ�ÖnÝCÏ�Ò�Ø ÙZÏ�Úeã�ÍNã�ÕnÒ�ÐÏ�ë8Í�ìCÐ<ÛCÑ~Ò�Ü�Õ�Ï�×�Ñ�Ö�Ý�ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐHÑ~åNÕ�Ì�æí ÉHî¬É�ï Ë�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�Ì|ÚCÌ~ì�ÒCÜ�ÕNÝ�Ï�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~Ì|Ú�Ñ�Ð�Î�ÛðÝCÏ�Ò�Ø�ÙZÏ�ÚÚCÑ~ÐHÎ�Û-Ø�ÕnÜ�ÔHÕ�ÕnÖ°Í�ÓñÓ·ÔHÕ�Õ:Ø�Í�ãAÝ�ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æò�ó É ò�ô Ë�Ö�ÕnΦÍNÒ�Ø�ã�ÍNã�Õ�Ò�Ð<Í�Ó_Ñ~Ò�Õ�Ô�Ð�Ñ�ÏEÍ�ÓJÏ�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�ÌÏ�ë8Í�ìCÐ<Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î(Ï�×�Ñ�Ö³Ï�Ò�Ø Í�ÓxÙ8Ï�ÚAÏ�ë8Í�ì�ÐÙZÏ�ÚeÛ�Ñ~ÒCÜNÕ�Ï�×�Ñ�ÖnÝ�ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æõ Ë\ö ÷�àø ù É ø ó É ø ô Ë�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�Ì|ÚCÌ~ì�ÒCÜ�Õ0Ö�Ð�Ñ~ú8Ò�ÕnÖHÖ�Ý�Ï�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�Ì8Ð�ÍNÔHÖ�Ñ~ÍNÒ�Ï�ÌÖ�Ð�Ñ~ú8ÒCÕ:Ö�Ö­Ï�ë8Í�ì�Ð<ÕnÌ�ÏNÖ®ÐHÑ�Î�Ï�×�Ñ�Ö�ÝCÏ�Ò�Ø ÙZÏ�ÚÐ�ÍNÔHÖ�Ñ�Í�Ò�Ï�ÌWÖ�Ð�Ñ~úWÒCÕnÖHÖ<Ï�ë8Í�ìCÐ<ÛCÑ~Ò�Ü�Õ�Ï�×�Ñ�Ö�ÝÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æû¥ü Ë2Ó·ÔHÕ�ÕnÖ�Ð�ÔHÕnÏ�ãþýaÏNÎ�Û�Ò�ìCãEëZÕnÔû Ë�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�ÌðÖ�Õ:ÎoÐ�Ñ�Í�ÒZÏ�Ì|ãUÏ�ÖHÖ°Ñ~ÒZΦÌ�ì�Ø�Ñ�ÒCÜUÕ¦úWÕnΦÐÍ�Ó_ãUÏ�ÖHÖ°Í�ÓJÕ¦×�ÚZÕnÔ�Ñ�ã�Õ�Ò�ÐHÏ�Ì|ã�Í�ØCÕ�ÌñÖ�ìCÚCÚ8Í�Ô�ÐHÖ

ÿ Ë�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�ÌðÖ�Õ:ÎoÐ�Ñ�Í�ÒZÏ�Ì|ãUÏ�ÖHÖ� ó É�� ô Ë$Ô�Ï�Ø�Ñ�ì�Ö°Í�Ó_Ü�æ�Ô�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ Í�Ó_Ï�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~ÌðÏ�ëZÍNì�Ð

Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î�Ï�×�Ñ�Ö°Ï�Ò�ØeÍ�ÓxÙZÏ�Ú-Ï�ëZÍNì�аÙZÏ�ÚÛCÑ�ÒCÜ�Õ0Ï�×�Ñ�ÖnÝ�Ô�Õ:Ö�Ú8ÕnΦÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æ���ó Ë ò ó�� ÿ á ��Ý����ô Ë ò ô�� ÿ á �

ó É ô Ë��Ô�Ö®Ð<ã�ÍNã�ÕnÒ�аÍ�ÓJÑ�ÒCÕnÔ�ÐHÑ�Ï�Í�ÓSÏ�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�ÌÏ�ë8Í�ìCÐ<Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î(Ï�×�Ñ�Ö³Ï�Ò�Ø Í�ÓxÙ8Ï�ÚAÏ�ë8Í�ì�ÐÙZÏ�ÚeÛ�Ñ~ÒCÜNÕ�Ï�×�Ñ�ÖnÝ�ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æ

�� ������� ���������������������� ���"!$#%��&�'���(�)*���+(,���.-.��/10�'���23/�'�4657��8�2 9������� 23�:8;'��:<=->'?(���� 2@'�43�$AB/�23���:/���!C'��:<=#D�"'��E57)*����2 ( F:�"!�AB/10��+��4G���57��8�23������� 23��8�!�H���4343��IJ�%KL�D�M�N �����"'���/10O�%� ��23��( '��+(P�7� ���Q����� ����!�#%��&�'���(�)*���+(R���6-.��/10�'��:23/"'�457��8�23������� 23��8*'��:<.->'?(�����2@'�43�DAB/�23���:/���!S-.��)UTV���W�%KL�D�X ����������� �����"!�#%��&�'���(�)*���+(D����-.��/10�'���23/�'�4Y5���8�23������� 23�:8Z'���<>->'?9(���� 2@'�43�DAB/�23����/��[!V�D� ���B/�2@'?(��\H���4343��IJ�%KL�D�

]�^"_�`[acb d?e�fhgi �"j?j�k�l `ZmYn"aporqGsStW^vuxwvo ozy|{�w1}�apw1`Z~|s��7e+^?�\n"� y|n?�+�� wv�+�Bw1fpe�]�s:q�n"o ozsx~Y� l o b �ceBwv� l `�fpeBwG���\wvacb g n?�����+�Lf�b f��[fpwC^"�|��wvac^?�+n?�[�fpb g �7n?�+�$���Lfpap^"�Bn"�+fpb g � yB��� g s+u7b fpe$_�wvac�\b �c�cb ^?��s

� ü Ë2Ó·ÔHÕ�ÕnÖ�Ð�ÔHÕnÏ�ã�å�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�Юæ� Ë$ÔHÕnØ�ì�Î�ÕnØeå�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�Юæ � Ë �?ü � ö ��� ó á� ó É�� ô Ë�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�ÌðÏ�Ò�Ø�ÙZÏ�ÚeÖ�ÐHÏ�Ð�Ñ�Î�ìCÒ�ë�Ï�Ì�Ï�Ò�Î�Õ�Ý

� ó Ë ó � ÿ á ÝY� ô Ë ô � ÿ á��� Ë�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�ÌðÖ®ÐHÕnÏ�ØCæO�·ã�ÕnÏ�Ò7�hë�ÏNÎ���ÜNÔ�ÍNìCÒ�Ø

Ù�Í��2Ï�ÒCÜNÌ~Õ�Í�ÓSÏ�Ð�ÐHÏNÎ��� Ë2Ó·ÔHÕ�Õ�Ú�Ì�Ïcæ/ÔHÕ�ÜNÑ~ÍNÒ Í�ÓxÙZÏ�Ú� Ë$ãUÏ�ÖHÖ°ÔHÏ�Ð�Ñ�Í�Ý�ÿ ���W� ü á �� ü Ë2Ó·ÔHÕ�ÕnÖ�Ð�ÔHÕnÏ�ãþØ�ÕnÒ�Ö�Ñ~Юæ� ô Ë$Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î(Ð�ÍNÔ?��ìCÕ(Ñ�Ò�Ù8Ï�Ú� ÉS�� Ë2Ó·ÔHÕB��ìCÕ�ÒZΦæ�Ï�Ò�Ø�Ô�Õ:Ø�ì�ΦÕ:Ø/Ó·ÔHÕB��ìCÕnÒ�Φæ

ë�ÏNÖ�Õ:Ø�ÍNÒeÏ�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�ÌðÎ�ÛCÍNÔHØ|Ý��� Ë � â � � ü� ù É � ó É � ô Ë$ìCÒ�Î�Í�ìCÚ�Ì~Õ:Ø�ÒZÏ�Ð�ì�ÔHÏ�ÌWÓ·Ô�Õ:�Nì�Õ�Ò�Î�æ/Í�Ó

ÚCÌ�ìCÒCÜNÑ~ÒCÜZÝCÚCÑ~ÐHÎ�ÛCÑ�ÒCÜUÏ�ë8Í�ìCÐ<Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�ÎÏ�×�Ñ�Ö�ÝCÏ�Ò�ØeÍ�ÓxÙZÏ�ÚAÔHÍ�ÐHÏ�Ð�Ñ�Í�ÒeÏ�ë8Í�ì�ÐÙZÏ�ÚeÛ�Ñ~ÒCÜNÕ�Ï�×�Ñ�ÖnÝ�ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æ

�NÁOÅ�ÇC½*�­ÆÂ8Åx�®½¬Á  Û�Õ<ÚCÔHÑ~Ò�Î�Ñ~ÚZÏ�ÌZÓ·Í�Î�ì�Ö?Í�Ó|Ð�ÛCÑ�ÖOÚ�Ï�Ú8Õ�ÔOÑ�ÖOÍ�Ò�ÐHÛCÕ<ÐHÔHÏ�Ò�Ö�ÍNÒCÑ�Î

Ï�ÕnÔ�Í�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î0ë8Õ�ÛZÏcå�Ñ�Í�Ô�Í�ÓhÏ�Ò3Ï�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�Ì\�³Ñ�ÐH۩ΦÍ�Ò�ÐHÔ�ÍNÌ_Ö�ìCÔ�Ó Ï�Î�ÕÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ!Ñ�Ò�Î�Ì~ì�ØCÑ~ÒCÜaÙ�ì�Ð�ÐHÕ�Ô�Ï�Ò�Ø�Ì�Ñ�ã�Ñ~ÐEÎ�æ�Î�Ì~Õ ÍNÖHΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö�ß¡ Ò�ÐHÛCÑ�ÖJ�OÍNÔ"�WÝ¢�OÕ©ÏNÖ�Ö�ìCã�Õ!ÐHÛCÕ¥Ö�ÛCÍ�Î��1ã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò2Ñ�Ö-Ö�ì�ê�äΦÑ�Õ�Ò�Ð�Ì�æAÖ�ãUÏ�Ì�Ì_Ö�ì�Î�ÛAÐHÛ�Ï�Ð(Ñ�Ð�Ñ�ÖP�·Ì�Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ì�æx�³ÚCÔHÍ�Ú8Í�Ô�Ð�Ñ�Í�Ò�Ï�Ì|Ð�ÍÐ�ÛCÕ³Ï�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�ÌNã�Í�Ð�Ñ�Í�ÒðÝ�ÕNß ÜZßxÏ�Ñ~Ô�Ó·Í�Ñ�Ì�ã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö_Ï�Ô�ÕhÌ~Õ:Ö�ÖxÐHÛ�Ï�Ò¤Ð�ÛCÕÕB��ìCÑ�å�Ï�Ì�Õ�Ò�гÍ�Ó_Í�ÒCÕ�Ø�ÕnÜ�ÔHÕ�Õ(Ñ~Ò-Ï�Ò�Ü�Ì�Õ(Í�Ó_Ï�Ð�Ð�Ï�Î��Wß

£ Ö�Ñ�ÒCÜ�Ï�Ò¥¤?ìCÌ�Õ�Ô[¦S§hÞ�¨­äfëZÏ�Ö�ÕnØ©ÔHÕnØ�ìZΦÕnØ�Í�Ô�Ø�ÕnÔ�Ï�Õ�ÔHÍ�ØCæNäÒ�Ï�ã�Ñ�Τã�Í�Ø�ÕnÌFÝJÏ/ÐHÛCÍ�ÔHÍ�ìCÜNÛ�Ö�Ð�ì�ØCæaÍ�Ó?ÐHÛCÕ�Ù�ì�Ð�Ð�ÕnÔ�ëZÍNìCÒ�Ø�äÏ�ÔHæ©�³Ñ~Ð�Û�ý!Ï�Î�Û Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô�Ñ�Öª�Ô�֮РÚ�Ô�Õ:Ö�ÕnÒNÐHÕnØXÑ�Ò Ð�ÛCÕ�Ï�ë�äÖ�ÕnÒ�ΦÕXÍ�Ó�Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ�߬«SÏ�Ô�Ð�Ñ�ΦìCÌ�Ï�ÔHÌ~æ$ÒCÍ�Ð�ÕB�OÍNÔ�ÐHÛ�æ�Ï�Ô�Õ"Ð�ÛCÕÔHÏ�ÚCÑ�ØEÎ�Û�Ï�ÒCÜ�Õ:ÖJÍ�Ó�ÙZì�Ð�ÐHÕ�Ô?ã�Í�ØCÏ�ÌCÎ�Í�Ò�Ð�ÕnÒ�Ð_Ñ�ÒEÐ�ÛCÕ°ÐHÔHÏ�Ò�Ö�ÍNÒCÑ�ÎÔHÏ�ÒCÜ�ÕNß   ÛCÑ�Ö<Ñ�Ö<Ï�Ð�ÐHÔ�Ñ�ëCì�ÐHÕnØeÑ~ÒAÚ�Ï�Ô�гÐHÍ�Ð�ÛCÕ�Ô�Ï�Ú�Ñ�ØeÎ�Û�Ï�Ò�Ü�ÕnÖÍ�Ó<ΦÕnÒ�Ð�Õ�ÔEÍ�Ó³ÚCÔHÕnÖHÖ�ì�Ô�ÕUÌ�Í�Î�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ¥Ï�Ö0Ð�ÛCÕ/ã�Õ:Ï�Ò"Ö�ÛCÍ�Î��!Ú8Í�äÖ�Ñ~Ð�Ñ�Í�Ò©Î�Û�Ï�ÒCÜ�Õ:Ö.�³Ñ�ÐHÛ©ýaÏ�Î�Û�Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô:ß   ÛCÕ:Ö�Õ/Î�ÛZÏ�ÒCÜNÕnÖ�Ñ�ÒÐ�ÛCÕã�Í�Ø�Ï�Ì8Ô�Õ:Ö�Ú8Í�Ò�Ö�Õ­Î�Í�Ò�Ð�ÕnÒNÐhÏ�ÔHÕ­Ï�Ì�Ö�Í0Ó·Í�ìCÒ�Ø Ñ~Ò/Ð�ÛCÕÌ~Ñ�ã�Ñ�ÐΦæ�ΦÌ�Õ�ÍNÖHΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö;��­%§*®.�6�³ÛCÑ�Î�Û�Ï�ÔHÕ¤ÕnÒ�ΦÍNìCÒ�Ð�ÕnÔ�Õ:د�³ÛCÕnÒΦÍNÒNÐHÔ�ÍNÌhÖ�ìCÔ�Ó Ï�Î�Õ/Ó·ÔHÕ�Õ�Ú�Ì�Ïcæ�Ñ�Ö�ÚCÔ�Õ:Ö�ÕnÒ�Ðnß ¡ Ò�Ø�ÕnÕnØ"Ó·Í�Ô�­%§*®EÝÐ�ÛCÕOã�Í�Ø�Ï�Ì�ΦÍ�Ò�ÐHÕ�Ò�ÐxãUÏcæ�Î�Û�Ï�Ò�Ü�Õ¬Ï�ÐJÏ*�×�Õ:Ø0ýaÏNÎ�Û0Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô�³ÛCÕ�ÒeÐHÛCÕ0Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î(ÚCÔ�Õ:Ö�Ö�ìCÔHÕÍNÔ°Ù�Í��pØCÕ�Ò�Ö�Ñ�Юæ Ñ�Ö³å�Ï�Ô�Ñ�ÕnØ|ß

°�±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 3: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

� ÕnÌ~Í�� û ü Ë��Cß ����Ý�Ð�ÛCÕ>­%§*®�Ï�Ò�Ø/Ù�ì�Ð�ÐHÕ�Ô³Í�Ö�Î�Ñ~Ì�Ì�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�ÖÏ�ÔHÕª��ì�Ï�Ì�Ñ~ÐHÏ�ÐHÑ~åNÕ�Ì�æ�Ö�Ñ~ã�Ñ�Ì�Ï�Ô0ÐHÍaÐ�Û�ÍNÖ�Õ/Ó·Í�ì�Ò�Ø¥Ï�ÐEÌ~Í�� ýaÏNÎ�ÛÒ�ìCã¤ë8Õ�ÔR�³Û�Õ�ÔHÕ/ÕnÏ�Ô�Ì�Ñ~ÕnÔ0Ï�Ò�Ï�Ì~æ�Ö�ÕnÖ0Ï�Ò�Ø3Õ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�Ð�Ö0Û�ÏcåNÕëZÕnÕ�Ò©Î�Ï�Ô�ÔHÑ�ÕnØ�Í�ì�Ð:ß��<Í��hÕ�åNÕ�Ô:Ý|Ð�Û�Õ/Ô�Õ:Ö�Ú8Í�ÒZÖ�Õ�ë8Õ�Û�Ïcå�Ñ�Í�Ô�Ñ�ÒÐ�ÛCÕ(ÐHÔHÏ�Ò�Ö�ÍNÒCÑ�Î<Ù�Í��pÔ�ÕnÜ�Ñ�ã�ÕÑ�Ö°ÒCÍ�Ð�Ï�ëCÌ�æ Ø�Ñ~úWÕ�ÔHÕ�Ò�Ðnß�®­Ó_Ö�Ú8Õ¦äΦÑ�Ï�̳Ñ�Ò�Ð�Õ�ÔHÕnÖ�Ð/Ñ�Ö�Ð�ÛCÕ-Í�ÎnΦìCÔHÔ�ÕnÒ�ΦÕAÍ�ÓÙ�ìCÐ�Ð�ÕnÔ/Ñ�Ò Ï�ÒZÏ�ÔHÔ�Í��ÔHÏ�ÒCÜ�ÕÍ�Óxý!Ï�Î�Û Ò�ìCãEëZÕnÔ°Ó·Í�Ô°ÚCÑ~ÐHÎ�ÛeÏ�Ò�Ø ÙZÏ�Ú � Î�Í�Ò�Ð�ÔHÍ�Ì|Ö�ìCÔ�äÓ Ï�Î�Õ:�hØ�Í�ã�Ñ�Ò�Ï�ÐHÕnØ�ã�Í�Ð�Ñ�Í�ÒZÖ�ßSý-ÍNÔ�ÕnÍ�å�Õ�Ô:Ý�ëZÕnæ�Í�ÒZØ�Ï�ΦÕnÔ�Ð�Ï�Ñ�ÒÛCÑ�Ü�Û�Ð�Ô�Ï�ÒZÖ�ÍNÒCÑ�άýaÏ�Î�Û�Ò�ìCãEëZÕnÔU�FÏ�Ó±Ð�ÕnÔðÐHÛCÕOã�Õ:Ï�Ò0Ö�ÛCÍ�Î��Ú8Í�äÖ�Ñ~Ð�Ñ�Í�Ò�Ô�Õ:Ï�Î�ÛCÕ:Ö³ÐHÛCÕ¤ÐHÔHÏ�Ñ~Ì�Ñ�ÒCÜ Õ:Ø�Ü�Õ�Í�ÓSÐHÛCÕUÏ�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~ÌL�oÝWÒCÕnÑ�ÐHÛCÕ�ÔÙ�ì�Ð�Ð�Õ�Ô­ÒCÍ�Ô³Ì�Ñ~ã�Ñ~ЭΦæ�ΦÌ�Õ�ÍNÖHΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Í�ÎnΦìCÔ�Ö�ß

� ��¬Á6��(ÂWÄSÁ­ÂW¿2½ �������­�§*® Ñ�Ö ��ÒCÍ��³Ò ÐHÍ Í�ÎnΦìCÔ�Í�Ò å�Ï�ÔHÑ~ÍNì�Ö Í�Ú8Õ�Ô�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ï�Ì

Ï�ÕnÔ�Í�Ö�Ú�ÏNÎ¦Õ Ù�Ñ~ÜNÛ�Ð/å�Õ�Û�Ñ�Î�Ì~Õ:Ö�ß   ÛCÑ�Ö�Û�Ï�Ö�ë8Õ�ÕnÒ Ï©Ö�ÍNìCÔHÎ�Õ�Í�ÓÖ�ÕnÔ�Ñ�Í�ìZÖ<ΦÍNÒ�ΦÕnÔ�Ò-Ö�Ñ~Ò�Î�Õ�Ð�Û�Õ�ÔHÕ¤Ï�ÔHÕ�ÒCÍ Ï�Ò�Ï�Ì�æ�Ö�Ñ�Ö°Ð�Õ:Î�ÛCÒCÑ���ìCÕnÖÏcå�Ï�Ñ�Ì�Ï�ëCÌ~Õ�ÐHÛ�Ï�Ð�Û�Ïcå�ÕUÚ�Ô�Õ:Ø�Ñ�ΦÐ�Õ:Ø ­%§*®þÑ~Ò�Ï�Ò©Í�Ú8Õ�Ô�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ï�ÌÏ�Ñ�ÔHÎ�ÔHÏ�Ó±Ðnß   ÛCÕ�ÔHÕ/Û�ÏcåNÕ/ëZÕnÕ�ÒXÖ�ÍNã�ÕeÖ�Õnã�Ñ�ä Õ�ã�ÚCÑ�Ô�Ñ�Î�Ï�Ì?ÐHÕnÎ�Û�äÒCÑ��Nì�ÕnÖ�Ø�Õ�åNÕ�Ì�Í�Ú8ÕnØ$ÐHÍ2Î�Í�ÔHÔ�ÕnÌ�Ï�Ð�Õ �³Ñ~Ð�Û ­%§*® ÐHÛ�Ï�Ð�Û�ÏcåNÕëZÕnÕ�ÒUÍNë�Ö�ÕnÔ�åNÕnØEÑ~Ò�ÙZÑ~ÜNÛNÐ:ÝNÏ�Ò�ØEÐ�ÛCÕ:Ö�Õ­Ï�Ô�Õ°ì�Ö�Õ¦Ó·ì�ÌCÓ·Í�Ô¬ìCÒ�Ø�ÕnÔ�äÖ®Ð�Ï�Ò�ØCÑ~ÒCÜ�ÐHÛCÕP­�§*®$ÐHÛ�Ï�ЭÛZÏ�Ö³Í�Î�Î�ìCÔHÔ�Õ:Ø|ß3k��<Í��hÕ�å�ÕnÔ°Ð�ÛCÕ:Ö�ÕÐ�Õ:Î�ÛCÒCÑ��Nì�ÕnÖ0Ï�Ô�Õ�ÒCÍ�ФÏ�Ö0ÖHÏ�ÐHÑ�Ö�Ó Ï�ΦÐ�Í�ÔHæ-Ó·ÍNÔ�Ð�ÛCÕ ØCÕnÖ�Ñ~ÜNÒ3Í�Ó°ÏÒCÕ+� å�ÕnÛCÑ�ΦÌ�ÕUÍ�Ô�Ð�Û�Õ/Ö�ìCëZÖ®Ð�Ï�Ò�Ð�Ñ�Ï�Ì?ã�Í�Ø�ÑQZÎ�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Í�Ó³Ï�Ò3Õ¦×�äÑ�Ö�Ð�Ñ�ÒCÜ0ÍNÒCÕ�ÝNÕ�ß Ü�ß_ÒCÕB� Ö�Ð�ÍNÔ�Õ:Ö_Ð�ͤëZÕ­ÎnÏ�ÔHÔ�Ñ�ÕnØ�ë�æ�Ï�Ò/Ï�Ñ�Ô�ΦÔ�Ï�Ó±Ðnß

¡ Ò �³Ñ�Ò�Ø$ÐHìCÒCÒCÕn̤ÐHÕnÖ�ÐHÖ!Í�ÓUÙ�Ñ�Ü�Û�Ð!åNÕ�ÛCÑ�ΦÌ�Õ¥ÚCÔHÍ�ÐHÍ�Юæ�ÚZÕ:Ö�Ý­%§*®2ÛZÏ�ÖhëZÕnÕ�ÒeÒCÍ�Ð�Ï�ëCÌ�æ/Ï�ëZÖ�ÕnÒNÐhÓ·Í�ÔhÐHÛCÕ�ã�Í�֮аÚ�Ï�Ô�Ð:ß   Û�Ñ�ÖÑ�Ö/ÚZÕnÔ�Û�Ï�Ú�Ö�ÒCÍ�Ð Ï�Ì~Ð�Í�ÜNÕ¦ÐHÛCÕ�ÔUÖ�ìCÔ�Ú�Ô�Ñ�Ö�Ñ�ÒCÜ©Ö�Ñ~Ò�Î�Õ �³Ñ~Ò�ØXÐHìCÒ�äÒCÕ�Ì8Ö�ÎnÏ�Ì�Õ³ã�Í�ØCÕ�Ì�ÖSÛ�Ïcå�Õ³ë8Õ�ÕnÒ/Ø�ÕnÖ�Ñ�Ü�ÒCÕ:ØEëZÏ�Ö�ÕnØ�ìCÚ8Í�ÒUÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�ÔÏ�ÕnÔ�Í�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î-ΦÍNÒ�ΦÕnÚ�ÐHÖnß���ì�Î�Û �³Ñ~Ò�Ø Ð�ìCÒCÒ�Õ�Ì(ã�Í�Ø�ÕnÌ�ÖeÏ�ÒZØÐ�Õ:Ö®Ð�Ö/Û�ÏcåNÕ-ëZÕnÕ�Ò1ì�Ö�ÕnØ�Ö�ì�ÎnΦÕ:Ö�Ö�Ó·ìCÌ�Ì~æ�Ó·Í�Ô/ãUÏ�Ò�æXæ�Õ:Ï�Ô�Ö�Ð�ÍÑ~Ò�åNÕnÖ�Ð�Ñ�ÜNÏ�ÐHÕ¬ÙZì�Ð�ÐHÕ�ÔZ�±ÐHÛCÕ³Í�ÒZÖ�Õ�Ð_Í�ÓWÏ�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�ÎhÌ�Ñ~ÒCÕ:Ï�Ô_Ñ�Ò�Ö®Ð�Ï�äëCÑ�Ì~Ñ~Юæx�oß �<Í��hÕ�åNÕ�Ô¬Ð�ÛCÕnæ Ï�ÔHÕÑ�ÒCÛCÕnÔ�ÕnÒ�Ð�Ì�æUìCÒ�Ï�ë�Ì~ÕÐ�Í�ÚCÔHÕnØ�Ñ�ÎoÐÏ0ÒCÍNÒCÌ�Ñ~ÒCÕ:Ï�ÔOÚCÛCÕ�Ò�Í�ã�Õ�ÒCÍNÒ Ö�ì�Î�Û Ï�Ö�­%§*®pìCÒ�Ì~Õ:Ö�ÖhØ�ÕnÖ�Ñ�Ü�ÒCÕ:Ø�³Ñ�ÐHÛJ­%§*®$Ñ�ÒAã�Ñ~Ò�Øðß

¡ ÒXÐHÛCÑ�Ö/Ô�ÕnÜNÏ�Ô�Ø|Ý?Ñ~Ð Ö�ÛCÍ�ìCÌ�ØXëZÕ-Ò�Í�Ð�Õ:Ø¥ÐHÛ�Ï�Ъ­�§*® ãUÏcæëZÕëZÕnÒCÕ[8ΦÑ�Ï�ÌWÏ�Ö��OÕnÌ~ÌWÏ�ÖOØ�Õ¦ÐHÔ�Ñ�ã�Õ�Ò�ÐHÏ�ÌFß�� Ñ~Ð�ÛCÍNì�ÐOÐHÛCÕ­Ò�Í�Ò�äÌ~Ñ�ÒCÕ:Ï�ÔHÑ�ÐHÑ~Õ:Ö<ÐHÛ�Ï�Ð(Ì~Õ:Ï�Ø-ÐHÍ=­�§*®EÝ�ÐHÛCÕEÍNÒ�Ö�Õ¦ÐÍ�Ó?Ù�ì�Ð�Ð�ÕnÔ(ãUÏcæÌ~Õ:Ï�ØAÐHÍ Î�Ï�ÐHÏNÖ®ÐHÔ�ÍNÚCÛCÑ�Î�Ó Ï�Ñ�Ì~ì�Ô�ÕEÍ�ÓSÐ�Û�ÕEÖ�Ð�ÔHì�ÎoÐHìCÔ�ÕNß��­Õ�Ò�Î�Õ¤Ñ~Ó�OÕEÎ�Ï�ÒAìCÒZØ�Õ�Ô�Ö®Ð�Ï�Ò�Ø-Ï�Ò�ØAÚCÔHÕnØ�Ñ�ÎoТ­%§*®EÝ�Ú8Õ�ÔHÛ�Ï�Ú�Ö*�hÕ¤Î�Ï�ÒÐHÏS��Õ/Ï�ØCåcÏ�Ò�ÐHÏ�ÜNÕ�Í�Ó°Ð�ÛCÕ:Ö�Õ ÒCÍ�ÒCÌ�Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ñ~Ð�Ñ�ÕnÖ(ÐHÍ!Ö�ÛZÏ�Ú8Õ/ã�Í�ÔHÕÓ Ïcå�ÍNÔHÏ�ëCÌ~ÕhÔHÕnÖ�ÚZÍNÒ�Ö�Õ:Ö_Í�ÓWÐ�Û�Õ­Ï�Ñ�ÔHÎ�ÔHÏ�Ó±ÐSÌ~Õ:Ï�Ø�Ñ�ÒCÜ�Ð�Í�ÕnÒCÛ�Ï�Ò�ΦÕ:ØÖ�Ï�ӷզЮæ Ï�Ò�Ø�ÚZÕnÔ�Ó·ÍNÔ�ãUÏ�ÒZΦÕ�ß

� ¿ñÂ��­Á6��ÂWÄSÃ�� � ��Â|Æ!�"� �®½¬Á#%$"&('*),+�-.$"/10�$32547672�+�89'*6;:<6;+�-

  Û�Õ0ÚCÔHÑ~Ò�Î�Ñ~ÚZÏ�ÌxÖ�Í�ì�ÔHÎ�ÕnÖ³Í�ÓJÐHÛCÕ0ÒCÍNÒCÌ�Ñ~ÒCÕ:Ï�ÔHÑ�ÐHÑ~Õ:Ö<Õ:Ö�Ö�Õ�Ò�Ð�Ñ�Ï�ÌÐ�Í�ÐHÛCÕ ­�§*®2Ï�ÔHÕ<ϤÖ�ìCë3=®Õ:ÎoÐOÍ�ÓðΦìCÔHÔ�ÕnÒ�ÐOØ�Õ�ëZÏ�Ð�Õ(Ï�ã�Í�Ò�Ü�Ð�ÛCÕÕ¦×�Ú8Õ�Ô�ÐHÖ_Ñ�ÒEÐHÛCÕ$�ÕnÌ�Ø|ß   ÛCÕ³ÎnÏ�Ò�Ø�Ñ�ØCÏ�Ð�Õ<Ö�Í�ìCÔ�ΦÕ:ÖJÏ�Ô�Õ³Ö�Õ�åNÕ�Ô�Ï�Ì?>

ÞJÌ~ì�Ñ�Ø@A��ÛCÍ�Î�� ã�Í�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö@A��Õ�Ú�Ï�ÔHÏ�Ð�ÕnØ Ù�Í��pã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö

��ÐHÔ�ì�ΦÐ�ìCÔHÕ@¥Þ�Ô�ÕnÕ¦ä ÚCÌ�Ïcæ@AB(ÕnÍ�ã�Õ¦ÐHÔ�Ñ�Î�Ý8Õ�ß Ü�ßÏUÒCÍ�Ò�Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô­ÔHÕ�Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö�Û�Ñ~Ú-ë8Õ¦äÐ��hÕ�ÕnÒ-Ö®ÐHÔHÏ�Ñ~ÒAÏ�Ò�ØeØ�Ñ�Ö�Ú�Ì�ÏNΦÕ�ã�ÕnÒNÐ

@¥ý!Ï�Ð�ÕnÔ�Ñ�Ï�ÌfÝ�Õ�ß ÜUØ�ÔHæUÓ·Ô�Ñ�ÎoÐHÑ~ÍNÒ-ØCÏ�ã�ÚCÑ�ÒCÜ

b b

+hab

a b

Kh

αK

βK f

C 6;D(EGFIHJ6;'K/L$"674GMN6;:<OQP!$"2%:R'K$34S#%&('K/L8T),+�PU$32�VGD3&�'*89:<6;$32SE

W Ì�Ö�Í(ÐHÛCÕ�ÔHÕ°Ñ�ÖSÏÓ·ìCÔ�Ð�ÛCÕnÔ?Ø�Ñ�Ö®ÐHÑ~Ò�ΦÐ�Ñ�Í�Ò�ë8Õ¦Ð��hÕ�Õ�Ò�Ï�Ö®Ð�Ï�ÐHÑ�Îhå�ÕnÔ�äÖ�ìZÖ³Ï�ØCæ�ÒZÏ�ã�Ñ�Î�Ò�Í�ÒCÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�ÔHÑ~Юæ�ß W ÒAÑ~ã�Ú8Í�Ô�ÐHÏ�ÒNÐ<Õ�×CÏ�ã�ÚCÌ�Õ(Í�ÓÐ�ÛCÑ�Ö°Ñ�ÖhÐ�ÛCÕ�ÔHÍ�Ì�ÕÍ�ÓxÏ�Ö�ÛCÍ�Î��h�°Ïcå�ÕÑ~Ò�Ð�ÛCÕ(Ù�ì�Ñ�Ø|ß ¡ Ó_Ï�Ö�ÛCÍ�Î��Ñ�Ö<ÚCÔ�Õ:Ö�ÕnÒ�ÐnÝ�Ð�Û�Õ�ÒAÑ�Ð�Ö<ΦÔHÕnÏ�Ð�Ñ�Í�ÒeÑ�Ö³Ð�ÛCÕ�ÔHÕnÖ�ìCÌ~Ð<Í�ÓSÏ�ØCæ�ÒZÏ�ã�Ñ�ÎÒCÍ�Ò�Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�ÚCÔHÍ�Î�ÕnÖHÖ�ßX�­Í��OÕnå�ÕnÔ�Í�Ò�Î�Õ�Ï-Ö�Ð�Õ:Ï�Ø�æ!Ù�Í��\Ñ�Ö�Õ:Ö®äÐHÏ�ëCÌ~Ñ�Ö�ÛCÕnØ|ÝNÏ�Ò�Ø�Ñ~ÓZÐHÛCÕ³Ï�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~Ì�ã�Í�ÐHÑ~ÍNÒEÑ�Ö?Ö�ì�ê/ΦÑ�Õ�Ò�Ð�Ì�æ¤Ö�ãUÏ�Ì�ÌFÝÐ�ÛCÕnÒ-Ð�Û�Õ�Ö�ÛCÍ�Î���ã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò¯�³Ñ�Ì~Ì_Ï�Ì�Ö�Í/ëZÕ�Ö�ã�Ï�Ì~Ì_Ï�ÒZØAÚCÔ�ÍNÚZÍNÔ�äÐ�Ñ�Í�Ò�Ï�Ì?ÐHÍaÐ�Û�Õ�Ï�Ñ�Ô�Ó·Í�Ñ�̬ã�Í�ÐHÑ~ÍNÒðßQ�<ÕnÒ�ΦÕ�Ñ~Ò¥Ð�ÛCÑ�ÖEÖ�Ñ~Ð�ì�Ï�Ð�Ñ�Í�ÒðÝÐ�ÛCÕEÖ�ÛCÍ�Î��/Ñ~ÐHÖ�Õ�Ì~ÓSÔ�ÕnÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�ÐHÖ<Ï�Ò�Í�ÒCÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�Ô<Ö�ÐHÏ�Ð�Ñ�ÎE�±ÐHÑ~ã�Õ0Ñ�Ò�äØ�Õ�Ú8Õ�ÒZØ�Õ�Ò�Ð��ðÕB��ìCÑ�Ì~Ñ�ëCÔHÑ~ì�ãpÏ�ÒZØ(Ð�ÛCÕ?ã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò�ãUÏcæ­ë8ÕSÐ�ÔHÕnÏ�Ð�Õ:ØÏ�Ö(Ï Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�ÎnÏ�Ì�Ì~æAÌ�Ñ~ÒCÕ:Ï�Ô(ÚZÕnÔ�ÐHìCÔHë�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ!Ï�ë8Í�ì�ÐÐ�ÛCÕ�ã�ÕnÏ�ÒÖ�Û�Í�Î���Ú8ÍNÖ�Ñ�ÐHÑ~ÍNÒðß ¡ Ò/Ð�ÛCÕ­Ó·Í�Ì�Ì~Í��³Ñ�ÒCܤØ�Ñ�ÖHΦì�ÖHÖ�Ñ�Í�ÒñÝS�hÕÏ�ÖHÖ�ìCã�ÕÏAØ�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î�Ï�Ì�Ì�æaÌ~Ñ�ÒCÕ:Ï�Ô�ã�Í�Ø�Õ�Ì?Í�Ó¬ÐHÛCÕ Ö�ÛCÍ�Î��-ã�Í�Ð�Ñ�Í�ÒðÝxëCì�ÐÏ�Ì�Ö�Í3Ñ�Ò�ΦÌ�ì�Ø�ÕaÏ�Ö�Ð�ÔHì�ÎoÐHìCÔHÏ�ÌR� Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î:��ÒCÍ�ÒCÌ�Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ñ~Юæ�ÝOÑFß Õ�ßÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ¤Ñ�ÒUÐHÛCխΦÍNÒCÒCÕ:ÎoÐ�Ñ�Í�ÒUÍ�ÓWÐ�ÛCÕ(ΦÍ�Ò�ÐHÔ�ÍNÌ�Ö�ì�Ô�Ó ÏNΦհÐ�Í0Ð�ÛCÕÏ�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~ÌfßHJ6;'K/L$"674�MN6;:<OAPU$32%:Y'*$"4Z#�&('K/L8T),+ C 'K+[+�\54;8[]_^`$%a(+�4

W Ö��NÕ¦ÐHÎ�Û-Í�Ó_Ð�ÛCÕ�ΦÍ�Òx�Ü�ìCÔ�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ñ�Ö­Ö�ÛCÍ��³Ò-Ñ�ÒaÞJÑ~ÜZßñà�ß ¡ ÐÑ�Ö¬Ï�ΦÍ�Ò�åNÕ�Ò�Ð�Ñ�Í�Ò�Ï�Ì�Юæ�Ú�Ñ�ÎnÏ�Ì�Ö�ÕnΦÐ�Ñ�Í�Ò�ã�Í�ØCÕ�Ì�Õ�×CΦÕ�ÚCÐSÐ�Û�Ï�ÐSÐ�ÛCÕÖ�Ú�Ô�Ñ�ÒCÜ�Ð�Û�Ï�ФÏ�Ð�Ð�Ï�Î�ÛCÕ:ÖÐ�ÛCÕ/Î�Í�Ò�Ð�ÔHÍ�ÌSÖ�ìCÔ�Ó ÏNΦÕ�Ð�ÍeÐHÛCÕ/Ï�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~ÌÛ�Ï�Ö(Ï/Ò�Í�ÒCÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�Ô­Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ�ß   ÛCÕ�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î0ÔHÕnÖ�Ð�ÍNÔ�Ñ�ÒCÜUÐHÍ�Ô��Nì�ÕÍ�Ô<ã�ÍNã�ÕnÒ�ЭÚCÔHÍ�å�Ñ�Ø�Õ:Ø�ë�æ�Ð�ÛCÑ�Ö(Ö�ÚCÔHÑ�ÒCÜUÑ�ÖÖ�Û�Í��³Ò-Ñ~ÒaÞJÑ�Ü�ß(bÏ�Ö/Ï©Ó·ìCÒ�ÎoÐHÑ~ÍNÒ Í�Ó0ΦÍNÒ�Ð�ÔHÍ�Ì­Ö�ìCÔ�Ó Ï�ΦÕ-ÍNÔ/ÙZÏ�Ú Ô�Í�ÐHÏ�Ð�Ñ�Í�Ò Ï�Ò�äÜ�Ì�Õ�Ýðï¬ß   Û�Õ�Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�ÏcæaÏ�ÒCÜNÌ~Õ�Ñ�Ö � ß�c<Í�ÐHÕ�Ð�Û�Ï�ÐR�³ÛCÕ�Ò3ï Ñ�ÖÌ~Õ:Ö�Ö³Ð�Û�Ï�Ò � Ý�ÐHÛCÕ�ÔHÕ0Ñ�ÖUd�ÕnÔ�ÍUÔHÕnÖ�Ð�ÍNÔ�Ñ�ÒCÜ�Ð�ÍNÔ?��ìCÕNÝ��³ÛCÑ�Ì�Õ�Ó·Í�Ô<ïã¤ì�Î�Û!Ü�ÔHÕnÏ�ÐHÕ�Ô³ÐHÛ�Ï�Ò � ÝZÐHÛCÕEÖ�ÚCÔHÑ~Ò�Ü�Ö�Ð�Ñ~ú8ÒCÕ:Ö�ÖÑ�Ö<ÐHÛCÕ¤ÒCÍNã�Ñ�äÒ�Ï�ÌWå�Ï�Ì�ìCÕÑ~Ò�Ð�ÛCÕ�Ï�ëZÖ�ÕnÒ�ΦÕÍ�ÓðÓ·ÔHÕ�ÕnÚCÌ�ÏcæNß   ÛCÕ­Ó·ÔHÕ�ÕnÚCÌ�Ïcæ�ãUÏcæëZÕaÐ�ÛCÍNìCÜ�Û�Ð Í�Ó¤Ï�Ö/Î�Ô�Õ:Ï�Ð�Ñ�ÒCÜ"Ï©Ö�Ð�Ñ~úWÒCÕnÖHÖ ÍNÔO�·ì�Ò�ΦÍNìCÚCÌ�ÕnØ��Ò�Ï�ÐHìCÔ�Ï�ÌxÓ·Ô�Õ:�Nì�Õ�Ò�Î�æeÍ�Ó?Ð�Û�Õ�Ö�ÚCÔHÑ~ÒCÜ Ð�Û�Ï�Ð(å�Ï�Ô�Ñ�ÕnÖ(Ï�Ö(Ï/Ó·ì�Ò�ÎoäÐ�Ñ�Í�ÒUÍ�Ó|ÙZÏ�Ú/Ï�ã�Ú�Ì~Ñ~Ð�ì�ØCÕ�ß   ÛCÑ�Ö?Ñ�ÒNÐHÕ�ÔHÚCÔHÕ¦ÐHÏ�Ð�Ñ�Í�ÒUÑ�Ö¬Ö�ÛCÍ��³ÒUÑ�ÒÞJÑ~ÜZß�eCß��<ÕnÔ�ÕhÐ�Û�Õ³ÙZÏ�Ú�ìCÒZΦÍ�ì�ÚCÌ~Õ:Ø�Ò�Ï�ÐHìCÔHÏ�Ì�Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ¤ÒCÍNÔ�äãUÏ�Ì�ÑfdnÕnØ�ë�æÐ�ÛCÕhÒCÍ�ã�Ñ�Ò�Ï�ÌNå�Ï�Ì�ìCÕ¬Ñ�Ò�Ð�Û�ÕhÏ�ë�Ö�ÕnÒ�ΦլÍ�Ó�Ó·ÔHÕ�Õ�Ú�Ì�ÏcæÑ�ÖEÖ�Û�Í��³Ò�ÏNÖ¤ÏAÓ·ì�Ò�ÎoÐHÑ~ÍNÒ¥Í�Ó°ÙZÏ�Ú¥Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�Õ�ÝSï¬ÝJÒ�Í�ÔHã�Ï�Ì�äÑfdnÕnØEë�æ0Ð�Û�Õ°Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ0Ï�ÒCÜNÌ~ÕNÝ � ß�c<Í�ÐHÕ°Ð�Û�Ï�Ð?Ü�Ñ�å�ÕnÒEÏ�ΦÕnÔ�Ð�Ï�Ñ�ÒÙZÏ�Ú3Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�ÕNÝ|Ð�ÛCÕnÔ�Õ�Ñ�Ö�Ï�Î�Í�ÔHÔ�Õ:Ö�Ú8Í�Ò�ØCÑ~ÒCÜhg�Õ:�Nì�Ñ~å�Ï�Ì�Õ�Ò�ÐRgÙZÏ�ÚAÓ·ÔHÕB��ìCÕnÒ�ΦæNß6®­ÓSÎ�Í�ìCÔ�Ö�Õ�Ó·Í�ÔÏ/Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô­Ö�æ�Ö�Ð�ÕnãþÐHÛCÕEÎ�Í�Ò�äÐ�ÔHÍ�ÌWÖ�ì�Ô�Ó ÏNΦխÍNÔ¬Ù8Ï�ÚUÓ·ÔHÕB��ìCÕnÒ�Φæh�hÍ�ìCÌ�ØUÛ�ÏcåNÕÏRC×�ÕnØ/å�Ï�Ì~ìCÕÑ~ÒZØ�Õ�Ú8Õ�Ò�ØCÕ�Ò�Ð<Í�ÓJÙZÏ�ÚAÏ�ã�ÚCÌ�Ñ~Ð�ì�Ø�ÕNß

  Û�ì�Ö�Î�Í�Ò�Î�Õ�Ú�ÐHì�Ï�Ì�Ì~æ�Ï�Ò�Ø\Î�Í�ã�ÚCì�Ð�Ï�Ð�Ñ�Í�ÒZÏ�Ì�Ì~æ�ÍNÒCÕ�ãUÏcæÚCÔHÍ�Î�Õ�Õ:ØEÏNÖJÓ·Í�Ì�Ì~Í��<ÖnßxÞJÑ�ÔHÖ�ÐnÝNÍ�ÒCÕ³Ø�Õ�Ð�Õ�ÔHã�Ñ~Ò�ÕnÖJÐ�Û�Õ³ÒCÕ�ì�ÐHÔHÏ�Ì~Ì�æÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ³ã�Í�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö_Í�Ó8Ð�ÛCÕÖ�æ�Ö�Ð�Õ�ãÀÑ~Ò�ÐHÛCÕ<Ï�ë�Ö�Õ�ÒZΦճÍ�Ó8Ó·ÔHÕ�Õ�Ú�Ì�ÏcæÓ·Í�Ô0å�Ï�Ô�Ñ�Í�ì�Ö(Ù8Ï�Ú3Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�Ñ~Õ:Ö(Ó·Ô�ÍNãidnÕ�ÔHÍ�ÐHÍ-Ð�Û�ÕUÒCÍ�ã�Ñ�Ò�Ï�Ìå�Ï�Ì�ìCÕ�ß   ÛCÕnÒ Í�ÒCÕ-Ø�Õ�Ð�Õ�ÔHã�Ñ~Ò�ÕnÖ�Ð�Û�ÕaΦÍ�ÔHÔHÕnÖ�ÚZÍNÒ�Ø�Ñ�ÒCÜ�Ò�Õ�ì�ä

à ±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 4: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

0.0Flap Displacement, β

0.0

Tor

que,

τ

(1)

(2)

(3)

β

C 6;D(E����N+9-R:Y$"'*672(DJ^`$���+�2 :�HJ-�8 C &(25),:<6;$"2X$T/GP!$"2%:R'K$34#�&�'*/ 8") +�$T' C 4;89\��N$":R89:<6;$32 HJ2(D34;+3E

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Flap Rotation, β/δ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Equ

ival

ent F

lap

Fre

quen

cy, ω

β/ω

β nom

inal

C 6;D(E�� �%&56 ��8"4;+�2 :N0 $3254;672(+[8T' C 4;8T\ C 'K+�%&(+�25),]�� +['��-<&5- C 4f8T\��N$":R89:<6;$32SE

Ð�Ô�Ï�Ì�Ì~æeÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ0ÒCÍNÒCÌ�Ñ~ÒCÕ:Ï�Ô<Ì�Ñ�ã�Ñ~ÐÎ�æ�Î�Ì~Õ¤ã�Í�Ð�Ñ�Í�ÒðÝZÒ�Ï�ã�ÕnÌ~æ Ð�ÛCÕÙZÏ�ÚaÏ�ã�ÚCÌ~Ñ~Ð�ìZØ�Õ�Ý8Ó·ÔHÍ�ã ÞxÑ�Ü�ß5eCßý-Í�ÔHÕ¤Ø�Õ�ÐHÏ�Ñ�Ì�Ö<Í�ÓSÐHÛCÑ�Ö­ÚCÔHÍ�äΦÕ:Ø�ìCÔHÕU�³Ñ�Ì�ÌCëZÕ³ÜNÑ~åNÕ�Ò�Ì�Ï�Ð�ÕnÔSÑ~Ò�Î�Ì~ìZØ�Ñ~Ò�Ü�Ð�ÛCÕ<Î�Í�Ò�Ö�Ð�ÔHì�ÎoÐHÑ~ÍNÒEÍ�ÓÐ�ÛCÕ�Ì�Ñ~ÒCÕ:Ï�Ô�Ñ�Ò�Ö®Ð�Ï�ëCÑ�Ì�Ñ�Юæ-ÍNÔ­Ù�ìCÐ�Ð�ÕnÔ�ëZÍNìCÒ�ØCÏ�Ô�æAÓ·ÍNÔ­ÐHÛCÑ�Ö�Ö�æ�Ö®äÐ�ÕnãeÝ7�³ÛCÑ�Î�ÛAÖ�Õ�ÔHå�Õ:Ö°Ï�Ö<Ï�ë�ÏNÖ�Ñ�Ö°Ó·Í�ÔØ�Õ¦ÐHÕ�ÔHã�Ñ�ÒCÑ�ÒCÜ�Ð�Û�Õ�Ì~Ñ�ã�Ñ�ÐΦæ�ΦÌ�Õ�ÍNÖHΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Önß

  Û�Ñ�Ö�Ï�ÚCÚCÔHÍNÏNÎ�Û$Û�Ï�Ö!ëZÕnÕ�Ò ì�Ö�ÕnØ�Ö�ì�ÎnΦÕnÖHÖ�Ó·ìCÌ~Ì�æ$Ï�Ð�Ì�Í��ýaÏ�Î�Û�Ò�ì�ã¤ë8Õ�ÔaÏ�ÒZØ Ð�Û�Õ!ÐHÛCÕ�ÍNÔ�Õ�Ð�Ñ�Î�Ï�Ì�ÔHÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖAΦÍNÔ�ÔHÕ�Ì�Ï�ÐHÕnØ�³Ñ�ÐHÛ�Õ�×�ÚZÕnÔ�Ñ�ã�Õ�Ò�ÐHÖnß � y��   ÍeÕ¦×�Ð�ÕnÒ�Ø-ÐHÛCÕnÖ�Õ�ÕnÏ�Ô�Ì�Ñ~ÕnÔ(ÎnÏ�Ì�ΦìCÌ�Ï�äÐ�Ñ�Í�Ò�ÖEÐHÍ!ÐHÔHÏ�Ò�Ö�ÍNÒCÑ�ÎUÙ�Í���ÔHÕB��ìCÑ�ÔHÕnÖ¤Ï3Ö�ìCë�Ö�ÐHÏ�Ò�ÐHÑ�Ï�Ì~Ì�æ©ã�Í�ÔHÕÖ�ÍNÚCÛCÑ�Ö®ÐHÑ�ÎnÏ�ÐHÕnØ|Ý8ëCì�Ð�Ö®ÐHÑ~Ì�ÌJÎ�Í�ã�ÚCì�Ð�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ï�Ì�Ì~æeÕ¦ê/Î�Ñ~ÕnÒNÐ�Ï�ÕnÔ�Í�äØ�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Ωã�Í�Ø�Õ�Ìfß ÞCÍNÔ�ÐHìCÒ�Ï�ÐHÕ�Ì�æpÍNÒCÕ¥Ñ�Ö!Ïcå�Ï�Ñ�Ì�Ï�ëCÌ�Õ¥Ï�Ö!Ñ�ÖØ�ÕnÖHΦÔHÑ�ëZÕ:Ø Ì�Ï�ÐHÕ�Ô:ß

� O(+�#%:Y' &(),:<&('K8"4Z^`$%a(+�4  Û�Ñ�Ö³ã�Í�Ø�ÕnÌñÛ�ÏNÖ°Ð�ÛCÔHÕ�ÕEØ�Õ�ÜNÔ�ÕnÕnÖ°Í�Ó_Ó·ÔHÕ�Õ:Ø�Í�ã�Ñ~Ò-ÚCÌ�ìCÒCÜNÕ�Ý

ÚCÑ~ÐHÎ�Û�Í�Ó�ÐHÛCÕ³Ï�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~ÌfÝ�Ï�ÒZØ0ÙZÏ�Ú¤Í�Ó�Ð�Û�Õ°Î�Í�Ò�Ð�ÔHÍ�Ì�Ö�ìCÔ�Ó Ï�ΦÕNß   ÛCÕÕB��ì�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö°Ï�ÔHÕ¢�OÕnÌ~ÌW��ÒCÍ��³Ò�� y�� �³Ñ~Ð�Û�Ð�ÛCÕ�ÍNÒCÌ�æUÒCÍ�å�ÕnÌ�ЮæUë8Õ¦äÑ~Ò�ÜÐHÛCÕhÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ0Ö�Ð�Ñ~ú8ÒCÕ:Ö�ÖSÏNÖ�Ö�Í�ΦÑ�Ï�ÐHÕnØR�³Ñ~Ð�Û�ÐHÛCÕ°Ô�Í�ÐHÏ�ÐHÑ~ÍNÒ�Ï�ÌÖ�Ú�Ô�Ñ�ÒCÜ­Î�Í�ÒCÒCÕ:ÎoÐHÕnØ�Ó·ÔHÍ�ã2Ð�Û�Õ¬ÙZÏ�Ú0Í�Ô_ΦÍNÒ�Ð�ÔHÍ�ÌNÖ�ìCÔ�Ó Ï�Î�ÕSÐ�Í­Ð�ÛCÕãUÏ�Ñ�ÌðÏ�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~Ìfß

û��í�� ó �î � ô �ï � ø ù í Ë ÷�� ó �í�� ò ó �î ��� ò ô ��á �FÈ Ê ÷3ÈY� ô�� �ï � ø ó î3Ë û ó �®à:� ô �í���� ò ô �"á �FÈ Ê ÷3ÈY� ô�� �î � ò ô �ï � ø ô ï�Ë û ô§OÍNÒ�Ö�Ñ�Ø�ÕnÔ�Ñ�ÒCÜ ÛZÏ�ÔHã�ÍNÒCÑ�Î1ã�Í�ÐHÑ~ÍNÒ �³Ñ�ÐHÛ�Î�Û�Ï�ÔHÏNÎoÐHÕ�ÔHÑ�Ö�Ð�Ñ�Î

Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ � Ý�Ð�ÛCÑ�Ö­Ö�æ�Ö®ÐHÕ�ãþÍ�ÓSÕB��ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö³ãUÏcæ ë8ÕR�³ÔHÑ�Ð�Ð�ÕnÒÑ~ÒeÐHÛCÕ�Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ Ø�ÍNã�Ï�Ñ~ÒAÏ�Ö� ÷E�� � � û � �

� � �� ø �"!$#&%(' Ë � �

#*)(' �LbS�

�³Û�Õ�ÔHÕ� û � Ë,+- û � ÿ � ó � ô� ó ���ó � È�Ê�÷�ÈY�v� ô � ���ô� ô �FÈ�Ê�÷3ÈY��� ô � ���ô ���ô ./ É

� e|�� ø � Ë +- � � ù � � ó ���`� �� ���ó �� � ���ô � � ô � � ó ��� ./ É � �

#&%(' Ë102 3 �í � á�î�ï54 67 É #8)(' Ë102 3 ÷P�âoç

b��â¦èbx�â¦é94 67 É �;:S�

Ï�Ò�Ø �í Ë í=<?>A@CB Ý��â ç Ë â ç <?>A@DB Ý�Õ¦Ð�Î�ß�ß~ß �3Õ©Û�Ïcå�Õ3Í�ã�Ñ~Ð�äÐ�Õ:ØXÖ�Ð�ÔHì�ΦÐ�ìCÔ�Ï�Ì<ØCÏ�ã�ÚCÑ~Ò�Ü3Ñ�ÒXÐ�ÛCÕ:Ö�Õ-Õ:��ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö�ÝOëCì�Ð/ÐHÛ�Ï�ÐÑ�Ö°ÔHÕnÏNØ�Ñ�Ì~æ/Ñ�Ò�Î�Ì~ì�ØCÕnØeÑ�ÓSØ�Õ:Ö�Ñ�Ô�Õ:Ø|ß

  Û�Õ³ÒCÍ�ÒCÌ�Ñ�ÒCÕnÏ�ÔSÔ�ÕnÌ�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö�ÛCÑ�Ú�ë8Õ¦Ð��hÕ�ÕnÒ�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�ÎhÐ�Í�Ô���ìCÕ³Ñ�ÒÐ�ÛCÕ�Ù8Ï�ÚAÖ�ÚCÔHÑ�ÒCÜUÏ�Ò�Ø Ð�ÛCÕ�Ù8Ï�Ú-Ø�Ñ�Ö�ÚCÌ�Ï�Î�Õ�ã�Õ�Ò�гÑ�Ö³Ü�Ñ�å�ÕnÒ ë�æ5>

� ô Ë�E � F ïGFCH �ø ô �·ï-÷ � �IF ïGFCJ � ��K|�

�³ÛCÕ�ÔHÕ ø ô Ñ�Ö¤ÐHÛCÕAÒCÍ�ã�Ñ�Ò�Ï�̳Ì�Ñ�ÒCÕnÏ�Ô¤ÙZÏ�ÚXÖ�ÚCÔHÑ~Ò�Ü3Ö�Ð�Ñ~ú8Ò�ÕnÖHÖ�ÝÏ�Ò�Ø � Ñ�ÖEÐHÛCÕ�ÛZÏ�Ì~Ó±ä Ï�ÒCÜ�Ì�Õ/ÐHÛ�Ï�ÐUØ�Õ[ZÒCÕnÖEÐ�Û�Õ�Ô�Ï�ÒCÜNÕ Í�Ó³Ð�ÛCÕÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ�ß ��ÕnÕ�ÞxÑ�Ü�ß(b�ß

� Ñ~Ð�Û ¤��8ßP��Kr�oݤÏ�Ø�ÕnÖHΦÔHÑ~ë�Ñ~ÒCÜ Ó·ì�Ò�ÎoÐHÑ~ÍNÒ Í�ÔaÛZÏ�ÔHã�ÍNÒCÑ�Îë�Ï�Ì�Ï�ÒZΦդÔHÕ�Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö�ÛCÑ~Ú�ãUÏcæ-ëZÕUØ�ÕnÔ�Ñ�å�Õ:Ø � ÐHÛ�Ï�Ð�ÚCÔHÍ�å�Ñ�Ø�Õ:ÖÏÔ�ÕnÌ�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö�ÛCÑ�Ú�ë8Õ¦Ð��hÕ�ÕnÒ3Ð�ÛCÕUÕ�ú8Õ:ÎoÐ�Ñ�å�ÕUì�Ò�ΦÍNìCÚCÌ�ÕnØ�ÙZÏ�Ú3Ó·ÔHÕ¦ä��ìCÕ�Ò�Î�æ¥Ï�Ò�Ø"Ð�Û�ÕAÏ�ã�ÚCÌ~Ñ~Ð�ìZØ�Õ-Í�Ó<ÐHÛCÕaÏ�ÖHÖ�ìCã�ÕnØ¥ÛZÏ�ÔHã�ÍNÒCÑ�Îã�Í�Ð�Ñ�Í�Òñß ��Õ�Õ¤ÞJÑ�Ü�ß�e�ß ��Õ0Õnã�ÚCÛ�Ï�Ö�Ñ;d�Õ�ÐHÛ�Ï�Ð<ÐHÛCÕ¤ÛZÏ�ÔHã�ÍNÒCÑ�Îë�Ï�Ì�Ï�ÒZΦթÍ�Ô�Ø�ÕnÖHΦÔHÑ~ë�Ñ~ÒCÜ1Ó·ìCÒ�ÎoÐHÑ~ÍNÒ ã�Õ¦ÐHÛCÍ�Ø�Í�Ì�Í�ÜNæpÎ�Ï�Ò$ëZÕì�Ö�ÕnØ©ÐHÍ3Ð�ÔHÕnÏ�Ð�ÒCÍ�Ð�ÍNÒCÌ~æ�Ó·ÔHÕ�ÕnÚCÌ�Ïcæ�Ý?ëCìCÐ�Í�Ð�ÛCÕnÔUÖ®ÐHÔ�ì�ΦÐ�ìCÔ�Ï�ÌÒCÍ�Ò�Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ñ~Ð�Ñ�ÕnÖ°Ï�Ò�ØAÏ�Ì�Ö�ÍEÙ�ìCÑ�ØeÒCÍ�ÒCÌ�Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ñ~Ð�Ñ�ÕnÖ³ÏNÖ$�OÕnÌ~ÌfßP!$���\G&(:R89:<6;$32�8"4 C 47&567a�LJ](2�8��h67)NM�P C LPO!^`$%a(+�47672(D8T25a 6;:R-J^ $�a�8"4QLJ+9) $���\ $3-<6;:<6f$32

W Юæ�ÚCÑ�Î�Ï�Ì�§hÞ%¨�ã�Í�Ø�ÕnÌSÑ�Ö�åNÕ�ÔHæ-Ì�Ï�Ô�ÜNÕEÑ�Ò�Ð�Õ�ÔHãUÖ�Í�ÓOÐ�ÛCÕÒ�ìCã¤ë8Õ�Ô�Í�ÓhÕB��ì�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö(ÔHÕB��ìCÑ�Ô�Õ:Ø-Ð�ÍAë8ÕUÖ�ÍNÌ~åNÕnØ|ß W Ò�Ø�Ð�Û�Ñ�ÖRZ±V²¢³

´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 5: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

ãUÏV��Õ:Ö<Ö�ì�Î�Û-ã�Í�ØCÕ�Ì�Ö<ÚCÔHÍ�ëCÌ�Õ�ãUÏ�Ð�Ñ�Î�Ï�ÌðÓ·Í�ÔÏ�Õ�ÔHÍ�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Îh� Ï�ÒZØÖ�ÍNã�Õ/Í�ÐHÛCÕ�Ô��0Ï�Ò�Ï�Ì�æ�Ö�Õ:Ö�ß!Þ�Í�Ô�Õ¦×CÏ�ã�ÚCÌ�Õ�ÝJÐHÛCÕJ§hÞ�¨ ã�Í�Ø�Õ�Ìì�Ö�ÕnØEÑ~ÒEÐ�ÛCÕ°ÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�Ð��OÍNÔ"��Ñ�Ö_ë�Ï�Ö�ÕnؤìCÚ8Í�Ò�Ð�ÛCÕ*¤¬ìCÌ~ÕnÔ_ÕB��ì�Ï�äÐ�Ñ�Í�Ò�ÖhÍ�ÓðÙ�ìCÑ�Ø/ã�ÕnÎ�ÛZÏ�ÒCÑ�Î�ÖhÏ�Ò�Ø Û�Ï�Ö°Ï�Ö�ÚZÏ�Ð�Ñ�Ï�Ì8Ü�ÔHÑ�ØUÍ�Ó(KD:����� �;K���eD:S�ã�ÕnÖ�Û©ÚZÍNÑ~Ò�Ð�Ö�ß W ФÕ:Ï�Î�Û�Ü�ÔHÑ�Ø3Ú8Í�Ñ�Ò�Ð0Ð�ÛCÕnÔ�Õ�Ï�ÔHÕÓ·Í�ìCÔÙ�ìCÑ�Øaå�Ï�Ô�Ñ�Ï�ëCÌ�ÕnÖ­Ð�Íeë8Õ�Ø�Õ�Ð�ÕnÔ�ã�Ñ�ÒCÕnØ|ß   Û�ì�ÖÐ�Û�Õh§hÞ�¨ã�Í�ØCÕ�ÌðÚ8Õ�Ô<Ö�Õ�Û�Ï�Ö³Ï�ëZÍNì�Ð�b :CÝ �9���¤ìCÒx��ÒCÍ��³Ò�Ö°ÐHÍ�ëZÕ0Ø�Õ�Ð�ÕnÔ�äã�Ñ~ÒCÕ:Ø�ë�æ3Ö�Í�Ì�å�Ñ~ÒCÜ b :�Ý ���9� Õ:��ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö�ß   ÛCÑ�ÖEÑ�ÖEÏaØ�ÍNÏ�ëCÌ�ÕÐHÏNÖ��EÑ�Ó8Ð�ÛCÕÖ®ÐHÔ�ì�ΦÐ�ìCÔ�Ï�Ì�ã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò�Ñ�Ö���ÒCÍ��³Òðß �­Í��OÕnå�ÕnÔSÑ�ÓWÐ�Û�Ñ�Ö§hÞ�¨$ã�Í�Ø�ÕnÌ|Ñ�ÖOÐHÍ�ë8Õ�ΦÍNã¤ëCÑ�ÒCÕnت�³Ñ�ÐHÛeÏ�Ö�զгÍ�Ó_Ö®ÐHÔ�ì�ΦÐ�ìCÔ�Ï�ÌÕB��ì�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö�Í�Ó¤ã�Í�Ð�Ñ�Í�ÒðÝ�Ï�Ò�ØpÖ�ÍNÌ~ìCÐ�Ñ�Í�Ò�ÖeÏ�ÔHÕ!ÐHÍ�ë8Õ3Ó·Í�ìCÒZØÓ·Í�Ô³ãUÏ�Ò�æ Î�Í�ãEëCÑ~ÒZÏ�Ð�Ñ�Í�ÒeÍ�Ó_Ö®ÐHÔ�ìZÎoÐ�ì�ÔHÏ�ÌðÏ�Ò�Ø Ù�ìCÑ�ØeÚ�Ï�Ô�Ï�ã�Õ¦äÐ�ÕnÔHÖnÝ�ÐHÛCÕ�Ò�ÐHÛCÕ?Î�Ï�Ì�Î�ìCÌ�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�ì�Ö�Ñ�ÒCÜ°Ð�ÛCÕ¬Í�ÔHÑ~ÜNÑ~Ò�Ï�Ì|§hÞ�¨¥ã�Í�Ø�Õ�Ì��ìCÑ�Î���Ì�æ¤ÜNÕ¦ÐHÖ¬Í�ì�ÐhÍ�Ó|Û�Ï�Ò�Ø|ß   Û�ì�ÖSÐHÛCÕ­Ö�ÕnÏ�Ô�Î�Û�Ó·Í�ÔhÏ�Ò/Ï�Ì~Ð�ÕnÔ�äÒ�Ï�ÐHÑ~åNÕ�Ï�ÚCÚCÔHÍNÏNÎ�Ûðß

��Õ�å�ÕnÔHÏ�ÌhÖ�Õ�ã�Ñ~äfÕnã�ÚCÑ~ÔHÑ�Î�Ï�Ì°ã�Õ¦ÐHÛCÍ�ØCÖ�Û�ÏcåNÕ ë8Õ�Õ�Ò Ø�ÕnÔ�Ñ�å�Õ:ØÐ�Í ÏNØCØ�ÔHÕnÖHÖ³ÐHÛCÕEÎ�Í�ã�ÚCì�Ð�Ï�Ð�Ñ�Í�ÒZÏ�ÌðÓ·Õ:Ï�Ö�Ñ~ë�Ñ~Ì�Ñ�ЮæeÑ�Ö�Ö�ìCÕ�ß   ÛCÕnÖ�Õ�ÝÏ�Ö6�OÕnÌ~Ì_Ï�Ö<Ð�ÛCÕ�ã�Õ¦Ð�Û�Í�Ø-Ð�Í ë8Õ�Ø�ÕnÖHΦÔHÑ~ë8ÕnØ-Ï�Ò�Ø-ì�Ö�ÕnØaÛCÕ�ÔHÕ�ÝÏ�ÔHÕaØ�Ñ�Ö�Î�ì�Ö�Ö�ÕnØ Ñ�Ò1ã�Í�ÔHÕaØ�ÕnÚ�Ð�Û1Ñ�Ò��³Õ�Ó·Õ�ÔHÕ�Ò�Î�Õ�ß � W ã�Í�ÒCÜÐ�ÛCÕ:Ö�ÕEã�Õ¦Ð�Û�Í�Ø�Ö(Ï�Ô�Õ¤åcÏ�Ô�Ñ�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö<ÍNÒ-Ð�Û�Õ¤ÒCÍ�Ð�Ñ�Í�ÒaÍ�ӬϪ«SÏ�Ø�ÕÏ�ÚCÚ�Ô�Íc×�Ñ�ã�Ï�Ò�Ðnß

  Û�Õ ã�Õ¦ÐHÛCÍ�Ø©ì�Ö�ÕnØ©ÛCÕnÔ�Õ�Ñ�ÖEë�ÏNÖ�Õ:Ø�ìCÚZÍNÒ©Ð�Û�Õ�ÍNë�Ö�ÕnÔ�å�Ï�äÐ�Ñ�Í�Ò-ÐHÛ�Ï�Ð(å�Ñ~Ô�Ð�ì�Ï�Ì~Ì�æAÏ�Ì�Ì�§hÞ�¨\ã�Í�Ø�ÕnÌ�Ö(Î�Ï�Ò-ëZÕ¤Ð�ÛCÍNìCÜ�Û�ÐÍ�ÓÏ�ÖhÛ�Ïcå�Ñ�ÒCÜ�Ï�ã�Í�ØCÏ�ÌðÎ�Í�ã�Ú8ÍNÖ�Ñ�ÐHÑ~ÍNÒðß   ÛCÕ�Ö�Ñ�ã�ÚCÌ~Õ:֮ЭÎ�Í�Ò�Î�Õ�Ú�äÐ�ì�Ï�ÌñÖ�զЭÍ�ÓJã�Í�Ø�ÕnÖ­Ñ�Ö<ÚZÕnÔ�Û�Ï�Ú�Ö°ÐHÛCÕ�Ù�ìCÑ�ØAÍ�Ô<Ï�Õ�ÔHÍ�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�ÎÕ�Ñ�Ü�ÕnÒCã�Í�ØCÕnÖ°Í�ÓJÐ�Û�Õ;§hÞ%¨\ã�Í�ØCÕ�ÌfÝ�Ï�Ò�Ø Ð�Û�ÕnÖ�Õ�ã�Í�Ø�Õ:Ö³Û�ÏcåNÕëZÕnÕ�Òeì�Ö�ÕnØ Ö�ì�ÎnΦÕnÖHÖ�Ó·ìCÌ~Ì�æUÑ�ÒeÎ�Ô�Õ:Ï�Ð�Ñ�ÒCÜEÔ�Õ:Ø�ì�ΦÕ:Ø/ÍNÔHØ�ÕnÔOã�Í�Ø�äÕ�Ì�Ö ��Z®(ýO�SÐHÛ�Ï�гÏ�ÔHÕ­Î�Í�ã�ÚCì�Ð�Ï�Ð�Ñ�Í�ÒZÏ�Ì�Ì~æUÏ�ÒZØ/ΦÍNÒ�ΦÕnÚ�Ð�ì�Ï�Ì~Ì�æÏ�Ð�Ð�Ô�Ï�ÎoÐHÑ~åNÕ�ß � y��

�­Í��OÕnå�ÕnÔ­Ñ~Ð(ÐHìCÔHÒ�Ö�Í�ì�Ð(Ð�ÛZÏ�Ð0Ø�Õ¦ÐHÕ�ÔHã�Ñ~ÒCÑ�ÒCÜ�Ð�ÛCÕUÏ�Õ�ÔHÍ�ØCæNäÒ�Ï�ã�Ñ�Î!ÕnÑ~ÜNÕ�ÒCã�Í�Ø�Õ:Ö Í�ÓEÏ¥Ì�Ï�ÔHÜ�Õ §hÞ%¨sã�Í�Ø�Õ�Ì�Ñ�ÖeÑ�Ð�Ö�ÕnÌ�ÓEÏÎ�Û�Ï�Ì�Ì�Õ�ÒCÜNÑ~ÒCÜaÐHÏ�Ö"�Wß �<Õ�ÒZΦÕAÏ!ã�Õ¦ÐHÛCÍ�Ø"ÎnÏ�Ì�Ì~Õ:Ø©Ð�Û�Õ�ÚCÔHÍ�Ú8Õ�ÔÍ�Ô�Ð�ÛCÍNÜ�ÍNÒ�Ï�Ì8Ø�ÕnÎ�Í�ã�ÚZÍ�Ö�Ñ~Ð�Ñ�Í�Ò � y���y�� �p«U®¢¨.�OÛ�Ï�Öhë8Õ�ÕnÒAØCÕ�å�ÕnÌ�äÍ�Ú8ÕnØ|ß   ÛCÕ;�Ô�Ö®Ð(ì�Ö�Õ�Í�ÓSÐHÛCÑ�Öã�Õ�Ð�ÛCÍ�ØaÑ�Ò!Ï�Ò ¤?ì�Ì~ÕnÔ­ë�ÏNÖ�Õ:ØÏ�ÕnÔ�Í�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î-ΦÍNÒ�Ð�Õ¦×�Ъ�°Ï�Ö ë�æ��<Í�ãUÏ�ÒCÍ��<Ö"��ÑFß � ¡ Ò Ð�Û�Ñ�Öã�Õ¦Ð�Û�Í�ØðÝNë�æ¤ìZÖ�Ñ�ÒCÜ0Ï(Ð�Ñ�ã�Õ<ÛCÑ�Ö®ÐHÍ�ÔHæ¤ÍNÔSÓ·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ¤ÔHÕnÖ�ÚZÍNÒ�Ö�ÕÍ�Ó³ÐHÛCÕJ§hÞ�¨ ã�Í�Ø�Õ�ÌOÐ�Í�ϯ��ÒCÍ��³Ò�Ö®ÐHÔ�ì�ΦÐ�ìCÔ�Ï�ÌhÑ�ÒCÚCì�Ð:Ý?Í�ÒCÕãUÏcæ�Î�Í�Ò�Ö�Ð�ÔHì�ÎoаϤÖ�ãUÏ�Ì�Ì8Ö�Õ¦ÐhÍ�Óðã�Í�Ø�ÕnÖhÍ�ÔOë�Ï�Ö�Ñ�ÖSÓ·ìCÒ�ΦÐ�Ñ�Í�Ò�ÖnÝЮæ�ÚCÑ�ÎnÏ�Ì�Ì~æ3Ì�ÕnÖHÖ0ÐHÛ�Ï�Ò1à,����ß £ Ö�Ñ~Ò�ÜaÐ�Û�ÕnÖ�Õ�ã�Í�Ø�ÕnÖnÝ_Í�ÒCÕeÎ�Ï�ÒÔ�Õ:ΦÍNÒ�Ö®ÐHÑ�ÐHì�Ð�Õ�Ï�ÒZØ!åNÕ�ÔHæAÖ�ìCë�Ö�ÐHÏ�Ò�Ð�Ñ�Ï�Ì�Ì~æ-ÔHÕnØ�ìZΦÕEÐ�ÛCÕ/Ö�ÑfdnÕEÍ�ÓÐ�ÛCÕR§hÞ�¨2ã�Í�Ø�ÕnÌ7�³Ñ~Ð�Û�ÕnÖHÖ�ÕnÒ�Ð�Ñ�Ï�Ì�Ì~æ�ÒCÍEÌ~Í�Ö�Ö¬Ñ~ÒeÏ�Î�Î�ìCÔ�Ï�Φæ�Í�ÔÚCÛ�æ�Ö�Ñ�Î�Ï�ÌWÎ�Í�Ò�Ð�ÕnÒ�Ðnß   ÛCÑ�Ö³Ñ�ÖhÐ�ÛCÕ0Ï�ÚCÚCÔHÍNÏ�Î�Û�ì�Ö�ÕnØ�ÛCÕ�ÔHÕ�ßÞ�Í�ÔÐ�ÛCÕ�ÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�Ð�Ï�Ò�Ï�Ì~æ�Ö�Ñ�ÖnÝ K9eª«$®¢¨Àã�Í�Ø�Õ:Ö(Ï�Ô�Õ¤Ó·Í�ìCÒZØ

Ó·Ô�ÍNã Ð�ÛCÕ�Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ Ô�Õ:Ö�Ú8Í�Ò�Ö�ÕnÖ � Ï�Õ�ÔHÍ�ØCæ�ÒZÏ�ã�Ñ�ÎaÐ�Ô�Ï�Ò�Ö�Ó·Õ�ÔÓ·ìCÒ�ΦÐ�Ñ�Í�Ò�Ö��hÑ~ÒeÙZÏ�ÚðÝCÚCÑ~ÐHÎ�Û-Ï�Ò�ØeÚCÌ~ì�ÒCÜ�Õ�ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐHÑ~åNÕ�Ì�æ Ï�Ð�bCàÓ·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�Ñ~Õ:Ö Ï�Ð ÕnÏNÎ�Û1ýaÏ�Î�Û1Ò�ìCãEëZÕnÔ�Ö�Ð�ì�ØCÑ~Õ:Ø ì�Ö�Ñ~ÒCÜ¥Ð�ÛCÕÍ�ÔHÑ~ÜNÑ~ÒZÏ�Ì7§hÞ�¨�ã�Í�Ø�ÕnÌFß � Ï�Ö�ÕnØ�ìCÚ8Í�Ò/ÚCÔHÕ�å�Ñ�Í�ì�Ö_Õ�×�ÚZÕnÔ�Ñ�Õ�Ò�Î�Õ�ÝÍ�ÒCÕ³ã�Ñ�Ü�Û�Ð?ì�Ö�Õ­Ï�Ò�Õnå�Õ�ÒUÖ�ãUÏ�Ì�Ì~ÕnÔ?Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô?Í�ÓWÏ�Õ�ÔHÍ�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Îã�Í�ØCÕnÖ�Ð�ÛZÏ�ÒXÐ�ÛCÑ�Önß �<Í��hÕ�åNÕ�Ô:Ý?Õ�åNÕ�Ò �³Ñ�ÐHÛ�ÐHÛCÑ�ÖUÜ�ÕnÒCÕ�ÔHÍ�ì�ÖÒ�ìCã¤ë8Õ�Ô0Í�Ó³ã�Í�Ø�Õ:Ö�ÝxÐ�Û�Õ Î¦ÍNã�Ú�ì�ÐHÏ�Ð�Ñ�Í�Ò�ÖEØ�ÕnÖHΦÔHÑ~ë8ÕnØ3ë8Õ�Ì�Í���OÕnÔ�Õ�Ï�Ì�ÌñØ�ÍNÒCÕ�Ñ~Ò-ÏEÓ·Õ+�$ØCÏcæ�Önß

  Û�դΦÍNã�Ú�ì�ÐHÏ�Ð�Ñ�Í�Ò�Ï�ÌðÜ�ÔHÑ�Øeì�Ö�ÕnØ�Ó·ÍNÔ<Ð�Û�Õ,§hÞ�¨ ã�Í�Ø�Õ�ÌxÑ�ÖÖ�Û�Í��³Ò¤Ñ�Ò�ÞJÑ�Ü�ß Ý�Ï�Ò�Ø�ÞxÑ�Ü�ß :Ö�ÛCÍ��<ÖxÐ�ÛCÕ³Î�ÛCÍNÔHØY�³Ñ�Ö�ÕOÖ�Ð�ÕnÏNØ�æÙ�Í��$ÚCÔHÕnÖHÖ�ìCÔHÕ0Ø�Ñ�Ö®ÐHÔ�Ñ�ëCì�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö³Ó·ÍNÔÖ�Õ�åNÕ�Ô�Ï�ÌðýaÏNÎ�Û-Ò�ì�ã¤ë8Õ�Ô�Ö�ßc<Í�Ð�ÕUÐHÛCÕ/ÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�Î�ÕUÍ�Ó°Ð�Û�Õ�Ö�ÛCÍ�Î���Ï�Ð û¥ü Ë ��ß �9�CÝ �Cß ��:�ÝÏ�Ò�Øh�Cß � ��ß

8�O�� '�����4323��� � O�� ��23<¢-.��(�23���

C 6;D(E�� 0 HJP!H�����F ���J'*67a��! �"$#&%('�P!$���\G&�:R8T:<6f$32(8"40 $%a(+�-*)�+.&(:Y+�'-,�$"&525a(89'*] �N8"a56;&5-/.XF0"T)�E

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Airfoil Surface Location, x/c

−0.4

−0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Suf

ace

Pre

ssur

e, −

c p =

(p−

p ∞)/

q ∞M = 0.30M = 0.50M = 0.80M = 0.85M = 0.90

C 6;D(E1" P!$���\5&(:R+�a`0 HJP!H2����F � # :R+[8"a(] C 4;$�M #�&('��/ 8"),+$3 'K+�-<-<&('K+ L 67-R:Y' 6 � &(:<6;$"25-*� ��� .4��E5�$M?a(+[D OKE6 672(+[8T'87Y2(-R:R8 � 6;476;:] M C 47&(:R:Y+�' OÞJÑ�ÔHÖ�ÐnÝ_ΦÍNÒ�Ö�Ñ�Ø�ÕnÔ�Ð�Û�ÕUÙ�ì�Ð�Ð�Õ�ÔEëZÕnÛ�Ïcå�Ñ~ÍNÔ�Ó·Í�Ô0Ð�ÛCÑ�Ö¤Ö�æ�Ö®ÐHÕ�ã

Ñ~Ò/Ð�ÛCÕ(Ï�ë�Ö�Õ�Ò�Î�Õ<Í�ÓWÓ·ÔHÕ�ÕnÚCÌ�ÏcæNß   Û�ÕÖ�ÐHÏ�ë�Ñ~Ì�Ñ�Юæ�Í�Ó|ÐHÛCÑ�ÖOÖ�æ�Ö®ÐHÕ�ã�hÏNÖ�Ï�ÖHÖ�Õ:Ö�Ö�ÕnØ�ë�æ!ΦÍNÒ�Ö�Ð�ÔHì�ÎoÐHÑ~ÒCÜaÏeÔHÍ�Í�Ð0Ì�Í�Î�ì�ÖE� ã�Ñ�Ü�Ô�Ï�ÐHÑ~ÍNÒÍ�Ó�ÐHÛCÕ!ÐHÔ�ì�Õ3Ï�Õ�ÔHÍ�ÕnÌ�ÏNÖ®ÐHÑ�ÎAÕnÑ~ÜNÕ�Ò�å�Ï�Ì�ìCÕnÖ��/ÏNÖ�Ï¥Ó·ìCÒ�ΦÐ�Ñ�Í�Ò�Í�ÓÐ�ÛCÕUÒ�Í�Ò�Ø�Ñ�ã�Õ�Ò�Ö�Ñ�Í�Ò�Ï�Ì?Ï�Ñ�ÔHÖ�ÚZÕnÕnØ�Í�Ô0Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î�ÚCÔHÕnÖHÖ�ì�Ô�ÕEÓ·Í�ÔÕnÏNÎ�Û�ýaÏ�Î�ÛpÒ�ìCã¤ë8Õ�Ô:ß   ÛCÕ�ì�Ö�ì�Ï�Ì�Ö�Ð�ÔHì�ÎoÐHìCÔ�Ï�Ì�Ï�Ò�Ø1Ù�Í��Ú�Ï�Ô�Ï�ã�Õ�Ð�Õ�Ô�Ö(Ï�ÔHÕ�Ø�Õ+�ÒCÕ:Ø�Ñ�Ò   Ï�ëCÌ~ÕAàNß   ÛCÕ:Ö�ÕUÏ�Ô�ÕEЮæ�ÚCÑ�ÎnÏ�ÌÏ�Ò�ØpΦÍNÔ�ÔHÕnÖ�ÚZÍNÒ�ØXÐ�Í�Ð�Û�Õ!ÐHÛCÕ�ÍNÔ�Õ�Ð�Ñ�Î�Ï�Ì�Ï�Ò�Ø Õ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�ÕnÒNÐ�Ï�Ìã�Í�ØCÕ�Ì�Ö�ß@k y �

W ÔHÕ�ÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�ÐHÏ�Ð�Ñ�å�Õ³ÔHÍ�Í�ÐOÌ�Í�Φì�ÖOÔHÕnÖ�ìCÌ�ÐhÑ�ÖhÖ�ÛCÍ��³Ò/Ñ�Ò�ÞJÑ~ÜZßDKÓ·Í�Ô û¥ü Ë �Cß ����ß9�³Í�Í�Ð�Ì~Í�Î�ì�Ö¤ÔHÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖ�Ï�ÔHÕ Ïcå�Ï�Ñ�Ì�Ï�ëCÌ�ÕUÓ·Í�ÔÏ�Ì�Ì�ýaÏNÎ�ÛEÒ�ìCãEëZÕnÔHÖSìZÖ�Õ:ؤÐHÍ0ΦÍNÒ�Ö®ÐHÔ�ìZÎoÐSÐ�Û�Õ°Ù�ì�Ð�ÐHÕ�ÔOëZÍNìCÒ�Ø�äÏ�ÔHæ �³ÛCÑ�Î�Û"Ñ�ÖUÖ�ÛCÍ��³Ò�Ñ~Ò ÞJÑ�Ü�ß � ß §OÍ�Ò�Ö�Ñ�Ø�Õ�Ô,�Ô�Ö®ÐUÞJÑ~ÜZß KCß  ÛCÕ©Õ�Ñ�Ü�ÕnÒ�åcÏ�Ì~ì�ÕnÖeÑ~Ò2ÐHÛCÑ�Ö!Ô�Í�Í�ÐAÌ�Í�Φì�Ö-Ï�Ô�Õ3ÐHÛCÍNÖ�Õ©Í�ÓEÐ�ÛCÕΦÍNìCÚCÌ�ÕnØ�Ù�ìCÑ�Ø7¦�Ö�Ð�ÔHì�ÎoÐHìCÔ�Ï�Ìh� Ï�Õ�ÔHÍ�ÕnÌ�ÏNÖ®ÐHÑ�Î:�eÖ�æ�Ö�Ð�Õ�ãAß �<Í��°äÕ�åNÕ�Ô�Ð�ÛCÕ-ÔHÍ�Í�Ð�Ö¤ÐHÛ�Ï�Ð/ÍNÔ�Ñ�Ü�Ñ�Ò�Ï�Ð�ÕAÏ�ÖUÖ�Ð�ÔHì�ÎoÐHìCÔHÏ�̳ã�Í�ØCÕnÖUÏ�ÐÌ~Í��på�Ï�Ì�ìCÕnÖ³Í�ÓSå�Õ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ/Í�Ô<ØCæ�ÒZÏ�ã�Ñ�Î0ÚCÔ�Õ:Ö�Ö�ìCÔHÕ(Ï�Ô�Õ�ÔHÕnÏNØ�Ñ�Ì~æÑ�ØCÕ�Ò�Ð�ÑQ�ÕnØ�Ï�Ò�Ø!Ì�Ï�ëZÕnÌ~Õ:ØaÑ�ÒaÐHÛCÕPZÜ�ìCÔHÕ�ß   ÛCÕ�å�ÕnÔ�ÐHÑ�ÎnÏ�Ì_Ï�×�Ñ�ÖÑ�Ö0Ð�ÛCÕ Ñ~ãUÏ�ÜNÑ~ÒZÏ�ÔHæ!Ú�Ï�Ô�ФÍ�Ó°Ð�ÛCÕ�Õ�Ñ�Ü�Õ�Ò�å�Ï�Ì�ìCÕUÍNÔ�Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ�ÝÏ�Ò�Ø!Ð�Û�ÕUÛCÍ�ÔHÑfdnÍ�Ò�ÐHÏ�ÌJÏ�×�Ñ�Ö�Ø�Ñ�Ö�ÚCÌ�Ïcæ�ÖÐ�Û�ÕUÔ�Õ:Ï�Ì_Ú�Ï�Ô�Ð�Í�Ô�Ô�Ï�ÐHÕÍ�ÓñÜNÔ�Í��°ÐHÛO�·Ñ~Ó_ÚZÍ�Ö�Ñ~Ð�Ñ�å�Õ��?ÍNÔhØ�Õ:Î�Ïcæ¯� Ñ�ÓJÒCÕ�Ü�Ï�Ð�Ñ�å�Õ��?Í�ÓðÐ�Û�Õ(Í�Ö®äΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö³Ï�ÖHÖ�Í�Î�Ñ�Ï�Ð�Õ:ØE�³Ñ~Ð�ÛAÕnÏNÎ�Û�ÔHÍ�Í�гÍ�Ô°Õ�Ñ�Ü�ÕnÒ�åcÏ�Ì~ì�Õ�ß

: ±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 6: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

���������������� �������������������á Ë ����à,b � ÿ

ÿ�� Ë à�� : K ����� � ÿ��ü Ë à�� b�b�: ��� � ÿ �È Ë ÷U��� :È Ê Ë ��� :� Ë b :�� b � ó Ë ��� e�à&K���ó Ë ��� :[e9eCà

� ô Ë ��� �Cà � ��:���ô Ë ��� �Cà b � b

"! ��#$�&%' (�*),+����*-.��� ! ��/0�*�

� ù Ë � : � �Ud� ó Ë K�� � �Ud� ô Ë à b1� : �Ud

23#$�&%' (�*)4+����*-.��� ! ��/0�*�

� ù Ë � :��Ud� ó Ë � � b�à.�Ud� ô Ë à � � �Ud

5 «?Ì�ìCÒCÜNÕÑ�ÒCÕnÔ�ÐHÑ�Ï�ΦÍNÔ�ÔHÕnΦÐ�Õ:ØUÓ·Í�ÔÕ�×�ÚZÕnÔ�Ñ�ã�Õ�Ò�ÐHÏ�ÌðÖ�ìCÚ�ÚZÍNÔ�Ð<ãUÏ�ÖHÖnß

û � ÿ Ë b1��à&K�K� 8 � 4;+ F # :R'*&5),:<&('K8T4-3Z8T'K8���+[:R+['*- / $"' 0 HJP�H ����F �HJ6;'K/L$"674�MN6;:<OAPU$32%:Y'*$"4Z#�&('K/L8T),+3E

−0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0.00 0.02 0.04

Real Frequency Ratio, Re(λ/ωα)

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Imag

inar

y F

requ

ency

Rat

io, I

m(λ

/ωα)

Plunge (h− )

Pitch (α− )

Flap (β− )

V=0.0

V=0.00.2

0.4

0.9

0.10.3

0.5 0.6 0.7

0.3

1.00.7

0.4

C 6;D(E H +['K$%+�4;8T-R:<67) #%](-R:Y+D� 6;D"+�2 ��8"4;&(+��N$ $": � 6 $�),6�687 . ��E:9�� ) � � .4��E5� M a(+[D OKE

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Mach Number, M

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Flu

tter

Vel

ocity

, VF=U

F/µ

1/2 ω

αb Plunge Mode (h− )

Pitch Mode (α− )Flap Mode (β− )

8�O H�43FB(�(�����AB&V����<

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Mach Number, M

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

Flu

tter

Fre

quen

cy R

atio

, ωF/ω

α

Plunge Mode (h− )

Pitch Mode (α− )Flap Mode (β− )

� O Hx43F:(p( ���GH�� �<;+F�����/>=

C 6;D(E ' ^`8T) O 0 & � � +[' C 47&�:R:R+[' � 'K+�25a��� � .&��E5� M a�+�D�OKE

c­Í�ÐHÕ¤ÕnÖ�Ú8ÕnΦÑ�Ï�Ì�Ì�æ ÐHÛ�Ï�ÐÐ�ÛCÕ g�ÚCÌ�ìCÒCÜNÕ g/Ï�Õ�ÔHÍ�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î�ã�Í�Ø�ÕÛ�Ï�Ö³Ï�ÔHÍ�Í�аÐ�Û�Ï�Ð<Ó·Í�Ô³Ì�Í�� g�ÜNÏ�Ñ~Ò%g �·ÍNÔ°Ù�Í���åNÕ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ/Í�Ô<Ø�æ�äÒ�Ï�ã�Ñ�Î�ÚCÔ�Õ:Ö�Ö�ìCÔHÕ:�ã�Í�å�Õ:Ö­ÐHÍAÐ�ÛCÕUÌ�զӱФÏ�Ò�Ø�ëZÕ:ΦÍ�ã�Õ:Ö�ã�Í�ÔHÕÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ�ß � ì�Ð�Ð�ÛCÕnÒ3ÏNÖÐ�ÛCÕ�Ù�Í��Àå�Õ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ-Ñ~ÒZΦÔHÕnÏ�Ö�ÕnÖnÝWÑ�Ð0ÔHÕ¦äå�ÕnÔHÖ�ÕnÖ�Ø�Ñ�Ô�Õ:ÎoÐHÑ~ÍNÒ Ï�Ò�ØXã�Í�å�ÕnÖ�Ñ�Ò�Ð�Í�ÐHÛCÕ-Ô�Ñ�Ü�Û�Ð/Û�Ï�Ì�Ó�ÚCÌ�Ï�ÒCÕëZÕ:ΦÍNã�Ñ�ÒCܳìCÒZÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ�ß W Ò�Ø�ÐHÛCÕ�Ò0Ï�ÐñÕ�åNÕ�Ò�ÛCÑ�Ü�ÛCÕnÔðå�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�ÐHÑ~Õ:Ö�ÝÑ�Ð�ã�Í�å�Õ:Ö¤ë�ÏNÎ���Ñ~Ò�Ð�Í�Ð�Û�ÕeÌ�Õ¦Ó±Ð�Û�Ï�Ò�Ø¥ÚCÌ�Ï�Ò�ÕeÏ�Ò�Ø¥ë8ÕnÎ�Í�ã�ÕnÖÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ-Ï�Ü�Ï�Ñ�Òðß �­Í��OÕnå�Õ�Ô�ë�æ�Ð�ÛCÕnÒðÝOÐ�ÛCÕ-ÚCÑ~ÐHÎ�ÛXã�Í�Ø�ÕAÛ�Ï�Öã�Í�å�ÕnØ�Ñ�ÒNÐHÍ�Ð�ÛCÕ¤Ô�Ñ�Ü�Û�гÛ�Ï�Ì~ÓSÚCÌ�Ï�ÒCÕ0Ï�Ò�ØeëZÕ:ΦÍ�ã�Õ�ìCÒZÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ�ß�<ÕnÒ�ΦÕ!Ð�ÛCÕ3Ï�Õ�ÔHÍ�Õ�Ì�Ï�Ö�Ð�Ñ�Î-Ö�æ�Ö�Ð�Õnã ÔHÕ�ãUÏ�Ñ�Ò�Ö ìCÒ�Ö�ÐHÏ�ë�Ì~ÕaÍNÒ�ΦÕÐ�ÛCÕÚCÌ�ìCÒCÜ�Õ(ã�Í�Ø�Õ­ë8ÕnÎ�Í�ã�ÕnÖhÏ�Ü�Ï�Ñ�Ò/Ö®Ð�Ï�ëCÌ�ÕÏ�ЬÐ�Û�Ñ�Öhå�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�ЮæÏ�Ò�ØeýaÏNÎ�Û�Ò�ìCãEëZÕnÔnß

W Ì~ÌOÐ�Û�Õ/Í�ÐHÛCÕ�ÔEÔ�Í�Í�Ð�Ö�Ñ�Ò©Ð�ÛCÑ�Ö>ZÜ�ìCÔHÕ�Ý%�³ÛCÑ�Î�Û"Ï�ÚCÚ8ÕnÏ�Ô�Ð�ÍÍ�ÔHÑ~ÜNÑ~ÒZÏ�Ð�ÕeÓ·ÔHÍ�ã ÒCÕnÏ�Ô/ÐHÛCÕaÍ�ÔHÑ�Ü�Ñ�Ò Ï�Ò�Ø ã�Í�å�Õ-Ô�Ï�Ø�Ñ�Ï�Ì�Ì�æ¥Ð�ÍÐ�ÛCÕ!Ì~Õ�ӱЪ�³Ñ�ÐHÛ Ñ~ÒZΦÔHÕnÏ�Ö�Ñ�ÒCÜ3Ù�Í�� å�Õ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ�Ý°Ï�ÔHÕ-ÕnÖHÖ�ÕnÒ�Ð�Ñ�Ï�Ì�Ì~æÏ�ÕnÔ�Í�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î0ÔHÍ�Í�Ð�Ö�ß   ÛCÕ:Ö�Õ�Ô�Í�Í�ÐHÖ(Ï�Ì�ÌJã�Í�åNÕ¤Í�ú©Ñ�Ò�Ð�Í�Ð�ÛCÕÌ~Õ�Ó±Ð�ÛZÏ�Ì~ÓÚCÌ�Ï�ÒCÕ�Ñ~ÒZØ�Ñ�ÎnÏ�ÐHÑ~ÒCÜ�Ð�Û�Õ�æ¥Ï�ÔHÕ�Ï�ÌQ�°Ïcæ�Ö¤Ö�ÐHÏ�ëCÌ~ÕAÏ�ÒZØ

?Z±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 7: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

Ñ~ÒZΦÔHÕnÏ�Ö�Ñ�ÒCÜ�Ì�æ/Ö�ÍUÏNÖ¬ÐHÛCÕ0Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î�ÚCÔHÕnÖHÖ�ì�Ô�Õ(Ñ~ÒZΦÔHÕnÏ�Ö�ÕnÖnß�®ÒÍ�Î�Î�ÏNÖ�Ñ�Í�Ò3Ï�Ò©Ï�ÕnÔ�Í�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î�ÔHÍ�Í�Ð�ã�Ïcæ!ëZÕ:ΦÍ�ã�ÕUìCÒZÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ�ÝÛCÍ��hÕ�å�ÕnÔnÝ:ÐHÛCÍ�ìCÜNÛEÒ�Í�Ð_Ó·Í�Ô_ÐHÛCÕ°Ú�Ï�Ô�Ï�ã�Õ¦ÐHÕ�Ô�Ö_Ö®ÐHì�Ø�Ñ�ÕnØEÑ~Ò�Ð�Û�Ñ�Ö�OÍNÔ"�Wß

W Ö_Ð�Û�Õ­ýaÏ�Î�Û�Ò�ìCãEëZÕnÔ?ëZÕ:ΦÍNã�Õ:ÖSÛCÑ�Ü�ÛCÕnÔnÝ�Ð�ÛCÕ<ã�Í�֮ЬÎ�Ô�Ñ~Ð�äÑ�ÎnÏ�ÌZÔ�Í�Í�ÐOã�Ïcæ�Î�Û�Ï�ÒCÜ�ÕNßJÞ�Í�Ô¬Õ�×CÏ�ã�ÚCÌ�Õ�Ý�Ï�Ð û ü Ë ��ß �D:Ð�ÛCÕÚCÑ~ÐHÎ�Û/ÔHÍ�Í�Ьë8ÕnÎ�Í�ã�ÕnÖ¬ìCÒ�Ö�ÐHÏ�ë�Ì~Õ6�ÔHÖ�ÐnÝ�Ï�ÒZØ�Ó·Í�Ô û ü Ë �Cß � �CÝÑ�Ð�Ñ�Ö0Ð�ÛCÕ ÙZÏ�Ú©ÔHÍ�Í�Ð:ß W ÐEæ�Õ�ÐEÛCÑ�Ü�Û�Õ�Ô¤ýaÏNÎ�Û©Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô�Ö�Ý_ÒCÍÔ�Í�Í�ÐHÖ�ë8ÕnÎ�Í�ã�Õ ìCÒZÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ�ß!Þ�Í�Ô�ëCÔHÕ�å�Ñ�Юæ�Ð�Û�ÕnÖ�Õ/Í�ÐHÛCÕ�Ô�Ô�Í�Í�ÐÌ~Í�Î�ÑðÏ�ÔHÕ(ÍNã�Ñ�Ð�Ð�ÕnØeÛCÕnÔ�ÕNß

  ÏV��Ñ�ÒCÜ Ï�Ì�Ì0Í�Ó�Ð�Û�Ñ�Ö!Ñ~Ò�Ó·ÍNÔ�ãUÏ�Ð�Ñ�Í�ÒpÓ·Ô�ÍNã�Ð�Û�Õ¥Ô�Í�Í�ÐAÌ�Í�ΦÑÏ�Эå�Ï�Ô�Ñ�Í�ì�ÖýaÏ�Î�Û-Ò�ìCãEëZÕnÔHÖnÝZÐ�ÛCÕ¤Ù�ì�Ð�ÐHÕ�Ô(ëZÍNìCÒ�ØCÏ�Ô�æ�Ð�ÔHÕ�ÒZØ�³Ñ�ÐHÛ�ýaÏ�Î�Û2Ò�ìCã¤ë8Õ�ÔaÎnÏ�Ò2ëZÕ¥Ø�Õ�Ð�ÕnÔ�ã�Ñ�ÒCÕnØ|Ý�Ï�Ò�Ø�Ñ�Ö-ÚCÔHÕ¦äÖ�ÕnÒ�Ð�ÕnØ�Ñ�Ò¤ÞJÑ�Ü�ß � ÏCß   Û�Õ�ÔHÕ¬Ï�ÔHÕ?Ö�Õnå�ÕnÔHÏ�Ì�Ñ~Ò�ÐHÕ�ÔHÕnÖ�Ð�Ñ�ÒCÜ°Ó·ÕnÏ�Ð�ìCÔHÕnÖÐ�Í�ÐHÛCÑ�Ö³Ù�ì�Ð�ÐHÕ�ÔëZÍNìCÒ�ØCÏ�Ô�æNß £ ÚAÐ�Í û ü Ë��Cß ����ÝNÐHÛCÕ0ÔHÍ�Í�Ð�äÌ~Í�Î�Ñ�Ï�ÔHÕ°ÔHÏ�Ð�ÛCÕnÔ?Ö�Ñ�ã�Ñ~Ì�Ï�Ô:ÝNÏ�Ò�Ø�Ñ�Ð?Ñ�Ö¬Ï�ÌQ�°Ïcæ�ÖñÐHÛCÕ³ÚCÌ�ìCÒCÜNÕ<Ô�Í�Í�ÐÐ�Û�Ï�ÐhÑ�ְΦÔHÑ�ÐHÑ�ÎnÏ�Ì8Ó·Í�ÔhÙ�ìCÐ�Ð�ÕnÔnß ��Ð�Ï�Ô�Ð�Ñ�ÒCÜ�Ï�Ð û¥ü Ë���ß �9�CÝNÐ�ÛCÕÚCÑ~ÐHÎ�ÛaÔHÍ�Í�Ð(Ï�Ì�Ö�Í Ö�ÛCÍ��<ÖÑ~Ò�Ö�ÐHÏ�ëCÑ�Ì~Ñ~Юæ�Ý|Ï�ÒZØaÏ�Ð û¥ü Ë �Cß �9b�:Ï�Ò�Ø �Cß ��:CÝ�Ñ~Ð?Ñ�Ö_ã�ÍNÖ�ЬΦÔHÑ~Ð�Ñ�Î�Ï�Ì�Ó·ÍNÔ_Ù�ì�Ð�Ð�Õ�Ô:ß W Ð û¥ü Ë �Cß � � :Ï�Ò�Ø ��ß � �CÝ�ÐHÛCÕ³ÙZÏ�Ú�ã�Í�Ø�Õ<Ñ�ÖSã�ÍNÖ�ÐOÎ�Ô�Ñ~Ð�Ñ�Î�Ï�Ì�Ó·Í�ÔSÙ�ìCÐ�Ð�ÕnÔnÝ�Ï�ÒZØÓ·Í�Ô û¥ü Ë �Cß � b : ÐHÍ�Ï�ÐEÌ~Õ:Ï�Ö�Ð û¥ü Ë à�ß�à�Ý_ÒCÍ-ÙZì�Ð�ÐHÕ�Ô�Ñ�ÖÍ�ë�Ö�Õ�ÔHå�Õ:Ø�Ó·Í�ÔÏ ÒCÍ�ÒCä Ø�Ñ�ã�Õ�Ò�Ö�Ñ�Í�Ò�Ï�ÌðÙ�Í��$å�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�ЮæeìCÚ-ÐHÍ�Ï�ÐÌ~Õ:Ï�Ö�ЬÍ�Ò�Õ�ß   ÛCխΦÍNÔ�ÔHÕnÖ�Ú8Í�Ò�Ø�Ñ�ÒCÜ(Ó·ÔHÕB��ìCÕ�ÒZΦÑ�ÕnÖ?Í�ÓWÐ�ÛCÕ­Ù�ì�Ð�ÐHÕ�ÔÍNÖHΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö­Ï�Ô�ÕEÖ�ÛCÍ��³Ò-Ñ�Ò�ÞJÑ�Ü�ß � ëðß.c<Í�Ð�Õ¤Ð�Û�Ï�Ð(Ñ�Ò!ÞJÑ~ÜZß ��³ÛCÕ�ÒXÐ��hÍ©ØCÏ�Ð�Ï�ÚZÍNÑ~Ò�ÐHÖ Ï�ÔHÕAÖ�ÛCÍ��³Ò�Ó·Í�Ô ÖHÏcæ©ÐHÛCÕ-ÚCÌ�ìCÒCÜ�ÕÔ�Í�Í�аÏ�гÏPC×�ÕnØeýaÏNÎ�Û Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô:Ý�Ð�Û�Õ(Ì�Í��hÕ�Ô°å�ÕnÌ~Í�ΦÑ~ЮæUÚ8Í�Ñ�ÒNÐÑ�Ö��³ÛCÕnÒUÙ�ì�Ð�Ð�Õ�Ô°ë8Õ�ÜNÑ~Ò�ÖnÝ�Ï�Ò�Ø�ÐHÛCÕ(ÛCÑ~ÜNÛCÕ�ÔOå�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Юæ�ÚZÍNÑ~Ò�ÐhÑ�Ö�³ÛCÕ�Ò/Ð�ÛCÕ(Ô�Í�Í�ЬÔ�Õ�Ð�ìCÔHÒ�Ö¬Ð�ͤÐ�ÛCÕ�Ö®Ð�Ï�ëCÌ�Õ­Ì�զӱаÛ�Ï�Ì�ÓðÚCÌ�Ï�Ò�ÕÏ�ÒZØÙ�ì�Ð�Ð�Õ�ÔΦÕnÏNÖ�Õ:ÖhÑ~ÒeÐ�ÛZÏ�Ð<ÔHÍ�Í�Ðnß

c­Í�ÐHÕ¤Ï�Ì�Ö�Í/Ð�ÛCÕEÒ�Ï�ÔHÔ�Í��pÔHÏ�ÒCÜ�Õ¤Í�Ó?ýaÏ�Î�Û-Ò�ìCãEëZÕnÔ6�³ÛCÕnÔ�ÕÐ�ÛCÕ¥Î�ÛZÏ�ÒCÜNÕ�Ñ�Ò�ÙZì�Ð�ÐHÕ�Ôaã�Í�Ø�Õ©Í�Î�Î�ìCÔHÖnß �³ÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖAÍ�Ó�Ð�Û�Ñ�ÖЮæ�ÚZÕ-Û�ÏcåNÕAëZÕnÕ�Ò Í�ë�Ö�Õ�ÔHå�Õ:Ø"Ñ�Ò Õ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�Ð�Öh�³ÛCÕ�ÔHÕAÐ�Û�Õ�æÏ�ÔHÕ(ÎnÏ�Ì�Ì~Õ:Ø g�Î�ÛCÑ�ã�ÒCÕ�æ�ÖYgCß �6 6 �h6;:�P!]�) 4;+ +.-<) 6;474;8T:R6;$325-

c­Í���ÐHÛCÕeÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ¥Ñ�ÖUÏ�ØCØ�Õ:Ø¥ÐHÍ3Ð�ÛCÕ-ã�Í�Ø�Õ�ÌÏ�Ò�Ø"Ð�Û�ì�Ö­%§*®�ã�Ïcæ�Í�Î�Φì�Ônß W Ö³Ñ�Ö<ÚZÕnÔ�Û�Ï�Ú�Ö°Í�ë�å�Ñ�Í�ì�ÖhÓ·ÔHÍ�ã�ÚCÛ�æ�Ö�Ñ�Î�Ï�ÌÑ~Ò�ÐHìCÑ�ÐHÑ~ÍNÒðÝG�³Û�Õ�Ò3Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�ÏcæaÑ�Ö�Ï�ØCØCÕnØ|ÝñÐ�ÛCÕ/Ö�Ð�Ñ~ú8Ò�ÕnÖHÖ�Í�ÓOÐ�ÛCÕΦÍNÒNÐHÔ�ÍNÌSÖ�ìCÔ�Ó Ï�Î�Õ¤Ó·ÔHÕ�ÕnÚCÌ�Ïcæ-Ñ�Ö�ÔHÕnØCì�ΦÕ:ØaÓ·ÍNÔ�Ö�ãUÏ�Ì�ÌSã�Í�Ð�Ñ�Í�ÒZÖ�ß�<ÕnÒ�ΦÕ(Í�ÒCÕ(Õ¦×�Ú8ÕnΦÐHÖhÌ~Ñ�ã�Ñ�Ð<Î�æ�Î�Ì~Õ(ÍNÖHΦÑ�Ì�Ì�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö?Ð�Í�Í�ÎnΦìCÔ°ë8Õ¦äÌ~Í���Ð�Û�Õ-Ù�ì�Ð�Ð�Õ�Ô ëZÍNìCÒ�ØCÏ�Ô�æNÝhÑfß Õ�ß$Ï�ÐUÙ�Í�� å�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Ð�Ñ�ÕnÖ/Ì~Õ:Ö�ÖÐ�Û�Ï�Ò�Ð�ÛCÍ�Ö�ÕÖ�ÛCÍ��³ÒUÑ�Ò/ÞJÑ~ÜZß � ÏCß ¡ Ò�Ø�Õ�Õ:Ø/Ï(Ó·Õ+� ã�ÍNã�ÕnÒ�ÐHÖ?Í�ÓÔ�Õ�Ù�ÕnΦÐ�Ñ�Í�Ò�ã�Ïcæ"Ì~Õ:Ï�Ø�Í�ÒCÕeÐ�Í�Õ�×�Ú8ÕnΦÐ�Ð�Û�Ï�Ð/Í�Ò�Î�Õ ÐHÛCÕ-Ì~Ñ�Ò�äÕnÏ�ÔAÙ�ì�Ð�ÐHÕ�Ô�ëZÍNìCÒ�ØCÏ�Ô�æ2Ö�ÛCÍ��³Ò$Ñ�Ò ÞJÑ~ÜZß � Ï Ñ�Ö-Õ¦×CÎ�Õ�ÕnØCÕnØ|ÝÐ�ÛCÕnÒ1Õ¦×�Ú8Í�ÒCÕnÒ�Ð�Ñ�Ï�Ì�Ì~æXÕ¦×�ÚCÌ�ÍNÖ�Ñ~åNÕAÙ�ì�Ð�Ð�Õ�Ô �³Ñ�Ì~Ì(Í�Î�Φì�Ôª�³ÛCÕnÒÐ�ÛCÕ ÒCÍ�ÒCÌ�Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ñ~Юæ!Ñ�Ö¤Ø�ì�ÕUÐ�ÍAÓ·ÔHÕ�ÕnÚCÌ�ÏcæNß   ÛZÏ�ФÑ�Ö�Ó·ÍNìCÒ�Ø3Ð�ÍëZÕ�ÐHÛCÕ¤ÎnÏ�Ö�Õ�ÏNÖ³Ö�Û�Í��³Òeë�æUÐHÛCÕ0ÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�Ð<Ï�ÒZÏ�Ì�æ�Ö�Ñ�Ö³Ï�Ò�ØAÏ�Ì�Ö�Íë�æUÐ�ÛCÕ0Ï�Ò�Ï�Ì�æ�Ö�Ñ�Ö°Ï�Ò�ØeÕ�×�Ú8Õ�ÔHÑ�ã�ÕnÒ�ÐHÖ°Í�Ó �³Õ�Ó·Õ�ÔHÕ�Ò�Î�ÕnÖnß � y �

  ÍAΦÍ�ã�ÚCìCÐ�Õ�Ð�ÛCÕh­�§*® Í�ÒCÕ�ÚCÔHÍ�ΦÕ�Õ:ØCÖ�Ï�ÖÓ·Í�Ì�Ì�Í��<Ö�ߤÞ�Í�ÔÏ�Ì�Ì�Í�Ð�Û�Õ�ÔSÚ�Ï�ÔHÏ�ã�Õ�Ð�ÕnÔHÖGC×�ÕnؤÑ~Ò�Î�Ì~ìZØ�Ñ~Ò�Ü�ý!Ï�Î�Û�Ò�ì�ã¤ë8Õ�Ô:ÝcÐ�ÛCÕÙ�ì�Ð�Ð�Õ�ÔJå�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�Юæ�Ñ�ÖxØ�Õ�Ð�ÕnÔ�ã�Ñ�ÒCÕnØ0Ó·Ô�ÍNã$Ï­Ì~Ñ�ÒCÕ:Ï�ÔðÙZì�Ð�ÐHÕ�ÔSÏ�Ò�Ï�Ì�äæ�Ö�Ñ�ÖñÏNÖñÏ°Ó·ìCÒZÎoÐ�Ñ�Í�ÒEÍ�ÓC�·ì�Ò�ΦÍNìCÚCÌ�ÕnØ��ðÙZÏ�Ú�ÒZÏ�Ð�ì�ÔHÏ�Ì�Ó·ÔHÕB��ìCÕ�ÒZΦæ�·ÍNÔ�Õ:��ìCÑ~å�Ï�Ì~ÕnÒNÐHÌ~æ�Ö�ÚCÔHÑ�ÒCÜ3Ö�Ð�Ñ~úWÒCÕnÖHÖ?�¦ß ��Ñ~Ò�Î�ÕeÐ�ÛCÕAÙZÏ�Ú¥Ó·ÔHÕ¦ä��ìCÕ�Ò�Î�æ �·Í�ÔAÖ�Ð�Ñ~ú8ÒCÕ:Ö�Ö���Ñ�Ö=��ÒCÍ��³Ò�ÏNÖeÏ¥Ó·ìCÒ�ΦÐ�Ñ�Í�Ò�Í�Ó0ÙZÏ�ÚÏ�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�ÕNÝxÖ�Õ�ÕUÞJÑ~ÜZß e � Í�ÔJb|�oÝC�hÕUÑ~ã�ã�ÕnØCÑ�Ï�Ð�Õ�Ì�æ!ÎnÏ�Ò�Ø�Õ¦äÐ�ÕnÔ�ã�Ñ�ÒCÕ³Ó·ÔHÍ�ã Ð�ÛCÕ:Ö�Õ<Ð��OÍ0ÔHÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖ �·ë�æUΦÔHÍNÖHÖ®ä ÚCÌ�Í�Ð�ÐHÑ~Ò�Ür�oÝ�Ð�ÛCÕÙZÏ�Ú3Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�Õ�Ó·ÍNÔ(Ò�Õ�ì�ÐHÔHÏ�Ì~Ì�æaÖ®Ð�Ï�ëCÌ�Õ�ÒCÍ�Ò�Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ôã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö

�p­�§*®.�ÏNÖ�Ï Ó·ì�Ò�ÎoÐHÑ~ÍNÒ3Í�Ó¬Ù�Í��\å�Õ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ�ß W Ö�Ï�Ò�Õ�×�Ï�ã�ÚCÌ~ÕÓ·Í�Ô û ü Ë ��ß �9�CÝ_Ö�ÕnÕ ÞJÑ~ÜZß �Cß ¡ Ò"ÞJÑ�Ü�ß ��ÏCÝxÐ�Û�Õ�g�ÙZì�Ð�ÐHÕ�ÔRgÍ�Ô�Ù�Í��Àå�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Юæ�Ï�ÐR�³ÛCÑ�Î�Û3Ò�Õ�ì�ÐHÔHÏ�Ì~Ì�æ!Ö�ÐHÏ�ë�Ì~ÕUÍ�Ö�Î�Ñ~Ì�Ì�Ï�Ð�Ñ�Í�Ò�ÖãUÏcæ(Í�ÎnΦìCÔJÑ�ÖJÖ�ÛCÍ��³Ò¤Ï�ÖJϳӷì�Ò�ÎoÐHÑ~ÍNÒ¤Í�Ó�ÙZÏ�Ú�Ó·ÔHÕB��ìCÕnÒ�ΦæNß £ Ö®äÑ~Ò�Ü!ÞJÑ~ÜZß eCÝ%�³ÛCÑ�Î�Û¥Ö�Û�Í��<Ö�Ð�ÛCÕ�ÒCÍ�Ò�Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô¤Ø�ÕnÚZÕnÒ�Ø�Õ�ÒZÎ¦Õ Í�ÓÙZÏ�Ú Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ/Ï�ÖhÏ0Ó·ì�Ò�ÎoÐHÑ~ÍNÒ�Í�ÓðÙZÏ�ÚeÏ�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�ÕNÝCÞxÑ�Ü�ß3��ëãUÏcæ3ë8Õ-ΦÍNÒ�Ö®ÐHÔ�ìZÎoÐ�Õ:Ø|ß   ÛCÑ�Ö�Ö�Û�Í��<Ö;­�§*® Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�Õ-Ï�ÖÏeÓ·ìCÒ�ΦÐ�Ñ�Í�Ò¥Í�ÓhÙZÍ��ÀåNÕ�Ì�Í�Î�Ñ�ЮæNß   ÛCÕ Î¦ÍNÔ�ÔHÕnÖ�Ú8Í�Ò�Ø�Ñ�ÒCÜ�g�ÙZì�Ð�äÐ�ÕnÔYgAÓ·ÔHÕB��ìCÕnÒ�Φæ�Ï�ÒZØ�Ð�ÛCÕ ­%§*®�Ó·ÔHÕB��ìCÕnÒ�Φæ�Ï�ÔHÕ Ö�ÛCÍ��³Ò¥Ñ�ÒÞJÑ~Ü�Ö�ß �NÎ(Ï�Ò�Ø ��Ø�Ô�Õ:Ö�Ú8ÕnΦÐ�Ñ�å�ÕnÌ~æNß

W ΦÍNã�ã�ÕnÒ�Ð_ÍNÒ�Ð�Û�Ñ�Ö_ã�Õ¦ÐHÛCÍ�ؤÑ�Ö_Ï�ÚCÚ�Ô�ÍNÚCÔ�Ñ�Ï�ÐHÕ?ÛCÕnÔ�ÕNß   ÛCÕÔ�Õ:Ï�Ø�ÕnÔ�Ó Ï�ã�Ñ~Ì�Ñ�Ï�ÔE�³Ñ~Ð�ÛXÐ�Û�ÕaÛ�Ï�ÔHã�Í�ÒCÑ�Îeë�Ï�Ì�Ï�ÒZΦÕ-Ï�ÚCÚ�Ô�Í�Ï�Î�Û�³Ñ~Ì�Ì<ÔHÕnÎ�Í�Ü�Ò�ÑfdnÕ ÐHÛ�Ï�Ð�Ï�Ö�Ñ~Ò�Ü�Ì�Õ-Û�Ï�ÔHã�Í�ÒCÑ�ÎAÏ�ÚCÚCÔHÍc×�Ñ~ãUÏ�Ð�Ñ�Í�ÒÛ�Ï�Ö�ë8Õ�Õ�Ò�ì�Ö�Õ:Ø ÐHÍ�Ø�Õ:Ö�Î�Ô�Ñ�ëZÕ!Ð�ÛCÕ�Ó·ÔHÕ�Õ�Ú�Ì�ÏcæXÒCÍ�Ò�Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô�Ñ~Юæ�ß  ÛCÑ�Ö¤Ï�Ú�ÚCÔ�Í�Ï�Î�Û3Ñ�ÖEã�Í�ÔHÕ�Ó·ìCÌ�Ì~æ©Ø�Õ:Ö�Î�Ô�Ñ�ëZÕ:Ø�Ñ~Ò¥Ð�ÛCÕ/Ú�Ô�Õ:Ö�ÕnÒNÐΦÍNÒNÐHÕ¦×�Ð�Ñ�Ò �<Õ¦Ó·Õ�ÔHÕ�ÒZΦÕ�ß � ®­ÓEΦÍNìCÔ�Ö�Õ!Ð�ÛCÑ�ÖeÑ�ÖAÏ"Î�Ì�ÏNÖ�Ö�Ñ�Î�Ï�ÌÚCÔHÍ�Î�ÕnØ�ì�Ô�ÕhÓ·Í�ÔSÒ�Í�ÒCÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�Ô?Ö�æ�Ö®ÐHÕ�ãUÖ���Ð�Û�Í�ìCÜNÛ�Ñ~Ð?Ñ�ÖSÒCÍ�Ð?Í�Ó±Ð�ÕnÒì�Ö�ÕnØ-Ó·ÍNÔ�Ö�æ�Ö�Ð�Õ�ãUÖ �³Ñ�ÐHÛ3ÏNÖ­ãUÏ�Ò�æaØCÕ�Ü�ÔHÕ�Õ:Ö­Í�Ó?Ó·ÔHÕ�ÕnØCÍ�ã Ï�ÖÐ�ÛCÕ¬ÚCÔ�Õ:Ö�ÕnÒ�ÐñÍ�ÒCÕNß   ÛCÕ?ÔHÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖñÍ�Ó �³Õ¦Ó·ÕnÔ�ÕnÒ�Î¦Õ � ΦÍNÒY�ÔHã�ÐHÛ�Ï�ÐÐ�ÛCÕ Û�Ï�ÔHã�Í�ÒCÑ�Î�ë�Ï�Ì�Ï�ÒZÎ¦Õ Ï�ÚCÚCÔHÍNÏ�Î�Û3Ü�Ñ�å�Õ:Ö�ÔHÕnÖ�ìCÌ�Ð�Ö�Ñ�Ò¥Ü�Í�Í�ØÏ�ÜNÔ�ÕnÕ�ã�Õ�Ò�Ð=�³Ñ~Ð�ÛpÐ�Û�ÍNÖ�Õ�ÍNë�ÐHÏ�Ñ~ÒCÕ:Ø Ó·ÔHÍ�ã ÐHÑ~ã�Õ�ãUÏ�Ô�Î�ÛCÑ~Ò�ÜÖ�ÍNÌ~ìCÐ�Ñ�Í�Ò�Ö Ð�Û�Ï�Ð-Ñ~Ò�Î�Ì~ìZØ�Õ©Ï�Ì�Ì(ÛZÏ�ÔHã�ÍNÒCÑ�Î�ÖnÝÏ�Ö �hÕ�Ì�Ì�Ï�Ö Ð�ÛCÕÔ�Õ:Ö�ì�Ì�Ð�ÖhÓ·Ô�ÍNã�Õ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�Ð�Ö�ß

  Û�ÕaÔ�Õ:Ö�ì�Ì�Ð�Ö/Í�Ó0ÞJÑ�Ü�ß �©Û�Ïcå�ÕaÖ�Õ�åNÕ�Ô�Ï�Ì<Ñ�Ò�Ð�ÕnÔ�Õ:Ö®ÐHÑ~ÒCÜ�Ó·Õ:Ï�äÐ�ìCÔHÕnÖnß_ÞxÑ�Ô�֮ЬÍ�ÓðÏ�Ì�ÌFÝ�Ð�ÛCÕÌ~Ñ�ã�Ñ�ÐOÎ�æ�ΦÌ�Õ­Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�Õ<Ñ�Ö?Ò�Í�ÔHã�Ï�Ì�äÑfdnÕnØ ë�æ�ÐHÛCÕ(Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�ÏcæUÏ�ÒCÜNÌ~ÕNÝ � ß   ÛCÕ­ÐHÛCÕ�ÍNÔ�æUÚ�Ô�Õ:Ø�Ñ�ΦÐHÖ°Ï�ÒZØÕ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�Ð�Ö�Ï�Ü�ÔHÕ�ÕNÝðÖ�ÕnÕ �³Õ¦Ó·ÕnÔ�ÕnÒ�ΦÕNÝ � ÐHÛ�Ï�ÐR�³Û�Õ�Ò3Ð�ÛCÕUÔHÕ¦äÖ�ì�Ì�Ð�ÖxÏ�Ô�ÕSÒCÍNÔ�ãUÏ�Ì~Ñ;d�Õ:Ø�Ñ~Ò�ÐHÛCÑ�ÖñãUÏ�Ò�ÒCÕ�Ô:Ý:Ð�ÛCÕnæ(Ï�Ô�Õ?ì�ÒCÑ~åNÕ�Ô�Ö�Ï�ÌFß  Û�Ï�ÐðÑ�ÖnÝ�ÐHÛCÕ?Ì�Ñ~ã�Ñ~ÐxΦæ�ΦÌ�Õ?Ï�ã�ÚCÌ�Ñ~Ð�ì�Ø�Õ¬Ñ�ÖñÚCÔ�ÍNÚZÍNÔ�ÐHÑ~ÍNÒ�Ï�Ì:ÐHÍ°Ð�ÛCÕÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæ�Ï�ÒCÜ�Ì�Õ�ßU��Õ:ΦÍNÒ�Ø�Ì�æ�ÝCÐHÛCÕ¤Ì�Í��hÕnÖ�Ð<å�Õ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ�Ï�Ð6�³ÛCÑ�Î�Û­%§*®�ãUÏcæ!Í�Î�Î�ìCÔEÎ�Í�ÔHÔ�Õ:Ö�Ú8Í�Ò�Ø�Ö(Ð�Í-ÐHÛCÕ/ã�Ñ~Ò�Ñ~ãEìCãsÙ�ì�Ð�ÐHÕ�Ôå�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Юæ�Ð�Û�Ï�Ð�Í�Î�Î�ìCÔ�Ö¤Ï�Ð�Ï!Î�Õ�Ô�ÐHÏ�Ñ�Ò�ÙZÏ�Ú©Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ�ß ��Õ�ÕÞJÑ~ÜZß"�NÏ0Ï�ÒZØUÐ�Û�Õ�Ò�Î�Í�ã�Ú�Ï�Ô�Õ­Ð�ÛCÕ(Ì~Í��hÕnÖ�ÐOåNÕ�Ì�Í�ΦÑ~ЮæEÓ·ÍNÔU­�§*®Ñ~ÒUÞJÑ�Ü�ß���ëðß���Ð�ÔHÑ�ΦÐ�Ì�æEÖ�ÚZÕ:ÏV��Ñ~Ò�Ü�ÝNÏ �Ò�Ñ�ÐHÕ­Ø�Ñ�Ö®ÐHìCÔ�ëZÏ�Ò�Î�Õ³Ñ�ÖSÔHÕ¦ä��ìCÑ~ÔHÕnØ�ÐHͤÜNÕ�ÒCÕnÔHÏ�Ð�Õ6­�§*®�Ï�ЬÐHÛCÑ�ÖOÌ�Í��OÕ:֮ЬåNÕ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ�Ï�Ò�Ø�Ó·Í�ÔÏ�Ö�ãUÏ�Ì�ÌSå�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Юæ-Ô�Ï�ÒCÜNÕ¤ÐHÛCÕ�ÔHÕnÏ�Ó±Ð�Õ�Ô:ß;­�§*®�� ÖÓ·ÍNÔ0Ï�Ò�æaØ�Ñ�Ö®äÐ�ìCÔHë�Ï�Ò�ΦÕNÝ8Ò�Í�ãUÏ�Ð�Ð�ÕnÔÛCÍ��ÀÖ�ãUÏ�Ì�ÌfÝ��³Ñ�Ì�ÌJÍNÒCÌ�æeÍ�ÎnΦìCÔ.�³ÛCÕnÒÐ�ÛCÕ�ÙZì�Ð�ÐHÕ�Ô0åNÕ�Ì�Í�Î�Ñ�ЮæaÓ·Í�Ô0Ï�ÙZÏ�Ú�Ó·ÔHÕB��ìCÕ�ÒZΦæ!Í�Ó dnÕ�ÔHÍeÑ�Ö�Õ¦×�äΦÕnÕnØ�Õ:Ø|ß W Ü�Ï�Ñ�ÒeÎ�Í�ã�Ú�Ï�ÔHÕ�ÞJÑ~Ü�Ö ��Ï�Ï�Ò�Øh��ëñß   ÛCÕ�ìCÒ�Ö�ÐHÏ�ëCÌ~Õ­%§*®�� Ö�Ý7�³ÛCÑ�Î�ÛaÏ�ÔHÕ0Ö�ÛCÍ��³Ò-Ï�Ì~ÍNÒCÜh�³Ñ�ÐHÛ-Ð�Û�ÕEÖ�ÐHÏ�ë�Ì~ÕP­�§*®�� Ö�±ÐHÛCÍNÖ�Õ�Ð�Û�Ï�ЭÏ�ÔHÕ�Í�ë�Ö�Õ�ÔHå�Õ:Ø Ñ�Ò-Ï�ÒAÕ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�Ð��oÝCÚCÔHÍ�å�Ñ�ØCÕ�Ïã�ÕnÏ�Ö�ìCÔHÕUÍ�Ó³ÐHÛCÕ/Ì�Õ�å�Õn̬Í�Ó­Ø�Ñ�Ö�Ð�ì�Ô�ë�Ï�Ò�Î¦Õ Ô�Õ:�Nì�Ñ~ÔHÕnØ�Ð�Í�Ñ~Ò�Ñ�ÐHÑ�äÏ�ÐHÕEÐHÛCÕh­%§*®�Ï�Ð�Ð�ÛCÕ�Ì�Í��OÕnÔ(Ù�Í�� å�ÕnÌ~Í�Î�Ñ�ÐHÑ~Õ:Ö�ß ¡ Ò�ÚCÔHÏNÎoÐHÑ�Î�ÕÖ�ìZÎ�Û�ØCÑ�Ö�Ð�ìCÔHë�Ï�Ò�ΦÕ:Ö�Ï�ÔHÕUì�Ö�ìZÏ�Ì�Ì~æaÚ�Ô�Õ:Ö�ÕnÒNÐ0Ñ�Ò �³Ñ�Ò�Ø�Ð�ìCÒCÒ�Õ�ÌÕ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�Ð�Ö³Ï�Ò�Ø Ù�Ñ�Ü�Û�Ð<Í�Ú8Õ�Ô�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö�ß

  Û�ÕOÔHÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖJÍ�ÓZÞJÑ�Ü�ß �(Ï�ÔHÕ?Юæ�ÚCÑ�Î�Ï�Ì�ìCÒ�ÐHÑ~Ì�Í�Ò�ÕOÔHÕnÏNÎ�ÛCÕnÖðÐ�ÛCÕÛCÑ�Ü�ÛCÕnÔUÐ�Ô�Ï�Ò�Ö�Í�Ò�Ñ�Îaý!Ï�Î�Û Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô�ÖE�³ÛCÕnÔ�Õ!Ì~Ñ�ÒCÕnÏ�Ô/ÐHÛCÕ�ÍNÔ�æÚCÔHÕnØ�Ñ�ÎoÐ�Ö³Ù�ì�Ð�Ð�ÕnÔ �³Ñ�Ì~ÌJΦÕ:Ï�Ö�Õ�ß W ЭÐHÛCÕ¤ÛCÑ�Ü�Û�ÕnÖ�ÐýaÏ�Î�Û-Ò�ìCã�äëZÕnÔ?ΦÍNÒ�Ö�Ñ�Ø�ÕnÔ�Õ:ؤÛCÕnÔ�Õ$�³ÛCÕnÔ�ÕhÙ�ìCÐ�Ð�ÕnÔ?Ï�Ò�Ø�­�§*® ãUÏcæ�Í�Î�Φì�ÔnÝû ü Ë`��ß � �CÝ:Ð�ÛCÕ$­%§*®�ÛZÏ�Ö_Ï­Ö�Í�ã�Õ+�³ÛZÏ�ÐJØCÑ�úWÕ�ÔHÕ�Ò�ÐSÎ�Û�Ï�Ô�Ï�ΦäÐ�ÕnÔnß ��ÕnÕ(ÞJÑ�Ü�ß � ß W Ü�Ï�Ñ�Ò/ÐHÛCÕ>­%§*®pÑ�ÖU�ÔHÖ�аÕ�Ò�Î�Í�ìCÒ�Ð�ÕnÔ�Õ:Ø/Ï�ÐÐ�ÛCÕ�ã�Ñ�ÒCÑ�ã¤ìCã å�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Юæ�Ï�ÐZ�³ÛCÑ�Î�Û�ÙZì�Ð�ÐHÕ�Ô6�³Ñ�Ì�ÌðÍ�Î�Φì�Ô<Í�å�ÕnÔÐ�ÛCÕ³Ô�Ï�Ò�Ü�ÕhÍ�Ó8ÙZÏ�ÚEÓ·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�Ñ~Õ:Ö�ß � ì�Ð?ÒCÍ��"Ð�ÛCÕ<Î�Í�ÔHÔ�Õ:Ö�Ú8Í�Ò�Ø�äÑ~Ò�Ü<ÙZÏ�Ú�Ó·Ô�Õ:��ìCÕ�Ò�Î�æ�Ñ�Ö d�ÕnÔ�ÍZß ��Õ�Õ°ÞJÑ~ÜZß � ÏCßJý-Í�ÔHÕ�Í�åNÕ�Ô:Ý+�³ÛCÕnÒÐ�ÛCÕ�Ù�Í���åNÕ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ-Ñ~Ò�Î�Ô�Õ:Ï�Ö�ÕnÖ­Ð�ÍeÛCÑ�Ü�ÛCÕnÔ(å�Ï�Ì~ìCÕ:Ö�ÝWÐHÛCÕ�ÔHÕ�Ï�ÔHÕÐ��OÍ�Ö�ÐHÏ�ë�Ì~Õ-Ì�Ñ~ã�Ñ~РΦæ�ΦÌ�ÕnÖUÏNÖ��OÕnÌ~Ì<ÏNÖ�Í�ÒCÕAìCÒZÖ®Ð�Ï�ëCÌ�ÕAÌ~Ñ�ã�Ñ�ÐΦæ�ΦÌ�Õ�ß   Û�Õ/Ò�Ï�ÐHìCÔHÕ/Í�Ó³ÐHÛCÕ Ø�Ñ�Ö®ÐHìCÔHë�Ï�Ò�Î�ÕnÖ0Ð�Í-ÐHÛCÕ�Ö�æ�Ö®ÐHÕ�ã

�Z±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 8: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Flap Frequency Ratio, ωβ/ωα

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Flu

tter

Vel

ocity

, VF=

UF/µ

1/2 ω

αb

8�O Hx43F:(p( ��������43�+/�2 ( =

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Reduced Velocity, V=U∞/µ1/2ωαb

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

LCO

Fla

p R

otat

ion,

β/δ Stable LCO

Unstable LCO

� O������ Hx4@'�& N ��(1'?(�23���

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Flap Frequency Ratio, ωβ/ωα

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

Flu

tter

Fre

quen

cy R

atio

, ωF/ω

α

) O Hx43F:(p( ���GH�� �<;+F�����/>= N '?( 23�

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Reduced Velocity, V=U∞/µ1/2ωαb

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

LCO

Fre

quen

cy R

atio

, ω/ω

αStable LCOUnstable LCO

a�O������ H���� ;+F�����/>= N '?(�23�C 6;D(E&9 6 6 �h6;:�P!]�) 4;+$,!+�O(8 �(6;$T' � 687 .4��E:9 � ) � � .4�%E5� M a(+[D O<E

�OÍNìCÌ�ؤØ�Õ�Ð�Õ�ÔHã�Ñ~Ò�Õ��³ÛCÑ�Î�Û¤Í�Ó�ÐHÛCÕnÖ�Õ¬Ð��hÍ.­%§*® �hÍ�ìCÌ�Ø0ë8ÕhÍ�ë�äÖ�ÕnÔ�åNÕnØUÑ�Ò�Ï;�³Ñ�Ò�Ø/ÐHìCÒCÒCÕnÌ|Õ¦×�Ú8Õ�ÔHÑ~ã�Õ�Ò�аÍ�ÔhÑ~ÒAÖ�ÐHÏ�ë�Ì~ÕÙ�Ñ�Ü�Û�Ðnßc<Í�Ð�Õ�ÐHÛ�Ï�ÐÐ�ÛCÕ,­%§*®\ëCÔ�Ï�Ò�Î�ÛJ�³Ñ~Ð�Û-ÐHÛCÕ¤Ì�Ï�ÔHÜ�ÕnÔ<Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�Õ�³Ñ~Ì�Ì?Ï�Ü�Ï�Ñ�Ò!ã�Í�å�ÕEÐ�Í-Ï�ã�Ú�Ì~Ñ~Ð�ì�ØCÕnÖ>�³Ñ~Ð�Û3å�ÕnÔ�æ-Ì�Ï�ÔHÜ�Õ�å�Ï�Ì�ìCÕnÖ�±ÐHÍ(Ñ�ÒY�Ò�Ñ�Юæ¤ÏNÎ�Î�Í�Ô�Ø�Ñ~Ò�Ü­ÐHÍ­ÐHÛCÕ³ÚCÔHÕnÖ�Õ�Ò�ÐxÐHÛCÕ�ÍNÔ�Õ�Ð�Ñ�Î�Ï�Ì�ã�Í�Ø�ÕnÌ���³ÛCÕ�Ò¤Ð�ÛCÕhÙ�Í��"å�Õ�Ì�Í�ΦÑ~Юæ�Ï�ÚCÚCÔHÍNÏNÎ�ÛCÕnÖðÐ�ÛCÕ°Ì�Ñ~Ò�ÕnÏ�ÔxÙ�ì�Ð�Ð�ÕnÔSå�Õ¦äÌ~Í�Î�Ñ�ЮæNß

��½¬ÁÂ|Ã�Æ!� ��½¬Á!�  Û�Õ¤ÐHÔHÏ�Ò�Ö�ÍNÒCÑ�Î�Ù�ì�Ð�Ð�ÕnÔ�Ï�Ò�ØaÌ�Ñ�ã�Ñ~Ð0Φæ�ΦÌ�Õ�ÍNÖHΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Ö­Í�Ó

Ï�Ò�Ï�Ñ�Ô�Ó·ÍNÑ~Ì\�³Ñ~Ð�Û©Î�Í�Ò�Ð�ÔHÍ�ÌSÖ�ìCÔ�Ó ÏNΦÕEÓ·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�ÏcæaÛ�ÏcåNÕEë8Õ�ÕnÒ©Ø�Õ¦äÐ�ÕnÔ�ã�Ñ�ÒCÕnØ�ì�Ö�Ñ�ÒCܭϳÒCÕB�©Ï�Õ�ÔHÍ�Ø�æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î_ã�Í�ØCÕ�Ì�Ñ~ÒCÜ<Ð�ÕnÎ�Û�ÒCÑ���ìCÕÐ�Û�Ï�ЬÚCÔHÍ�å�Ñ�Ø�Õ:Ö_Ü�ÔHÕnÏ�Ð�Õ�Ô_ÚCÛ�æ�Ö�Ñ�ÎnÏ�ÌCÑ�Ò�Ö�Ñ~ÜNÛNЬÏ�Ò�Ø�ìCÒ�ØCÕ�Ô�Ö®Ð�Ï�Ò�Ø�äÑ~Ò�Ü�ë�æEÐ�Ô�Ï�Î�Ñ~Ò�ÜÐHÛCÕ³ÐHÔ�ìCÕ­Ô�Í�Í�Ð?Ì�Í�Φì�Ö?Í�ÓWÐ�ÛCÕΦÍ�ÔHÔHÕnÖ�ÚZÍNÒ�Ø�Ñ�ÒCÜÌ~Ñ�ÒCÕ:Ï�Ô­Ï�Õ�ÔHÍ�ÕnÌ�ÏNÖ®ÐHÑ�Î�Ö�æ�Ö®ÐHÕ�ãAß   ÛCÑ�Ö­Ñ�ÒAÐ�ìCÔHÒ-Õ�ÒZÏ�ëCÌ�ÕnÖÏUå�ÕnÔ�æΦÍNã�Ú�ì�ÐHÏ�Ð�Ñ�Í�Ò�Ï�Ì~Ì�æ-Õ¦ê/ΦÑ�Õ�Ò�Ð�Û�Ï�Ô�ã�Í�Ò�Ñ�ÎEë�Ï�Ì�Ï�ÒZΦÕEÐ�ÕnÎ�Û�ÒCÑ���ìCÕÐ�Í0ë8Õ(ì�Ö�Õ:Ø�Ñ~Ò�Ø�Õ¦ÐHÕ�ÔHã�Ñ�ÒCÑ�ÒCÜ0ÐHÛCÕ­Ò�Í�ÒCÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�ÔOÌ~Ñ�ã�Ñ�аΦæ�ΦÌ�Õ­Í�Ö®äΦÑ�Ì~Ì�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ�Önß

c­Õ+�+ÚCÛ�æ�Ö�Ñ�Î�Ï�Ì�Ñ�Ò�Ö�Ñ~ÜNÛNÐ�Ö$ÜNÏ�Ñ~ÒCÕ:Ø Ñ�Ò�ΦÌ�ì�Ø�ÕLÐHÛCÕLÔHÏ�ÚCÑ�ØÎ�Û�Ï�Ò�Ü�Õ-Ñ�Ò Ù�ì�Ð�ÐHÕ�Ô�ã�Í�Ø�Õ!Ð�Û�Ï�Ð Í�Î�Î�ìCÔHÖ/Ñ~Ò ÐHÛCÕ-ÐHÔHÏ�Ò�Ö�ÍNÒCÑ�ÎýaÏ�Î�Û!Ò�ì�ã¤ë8Õ�Ô�ÔHÏ�ÒCÜ�ÕNß   Û�Ñ�Ö(ÚCÛCÕnÒCÍ�ã�ÕnÒCÍ�Ò�Û�Ï�ÖëZÕnÕ�Ò�Í�ë�äÖ�ÕnÔ�åNÕnØ©Ñ�Ò"Õ�×�ÚZÕnÔ�Ñ�ã�Õ�Ò�ÐHÖnÝ �Aë�ì�Ð�ÛZÏ�Ö�ÒCÍ�Ð�ë8Õ�Õ�Ò�ÚCÔHÕ�å�Ñ~ÍNì�Ö�Ì~æÚCÔHÕnØ�Ñ�ÎoÐHÕnØ©ÐHÛCÕ�ÍNÔ�Õ�Ð�Ñ�Î�Ï�Ì~Ì�æ�ß � Ñ~Ð�Û ÔHÕnÖ�ÚZÕ:ÎoÐ�Ð�Í ­%§*®EÝJÐ�ÛCÕ:Ö�ÕÏ�ÔHÕAÐ�ÛCÕO�Ô�֮РÔHÕnÖ�ìCÌ~ÐHÖ/Ïcå�Ï�Ñ~Ì�Ï�ëCÌ�Õ-Ñ�Ò Ð�ÛCÕaÐ�Ô�Ï�Ò�Ö�Í�ÒCÑ�ÎAÔ�Ï�ÒCÜNÕÓ·Í�Ô¬Ð�ÛCÕ(ΦÍ�Òx�Ü�ìCÔ�Ï�ÐHÑ~ÍNÒ/Ö®ÐHì�Ø�Ñ�ÕnØ|ß   ÛCÕã�Í�ØCÕ�ÌWÏ�Ì�Ö�Í0Ú�Ô�Õ:Ø�Ñ�ΦÐHÖÖ�Ñ�Ü�Ò�ÑzZÎnÏ�Ò�Ð0Î�Û�Ï�Ò�Ü�ÕnÖ�Ñ�Ò ­%§*®�ëZÕnÛ�Ïcå�Ñ~ÍNÔ0Ï�Ö�ÏeÓ·ìCÒZÎoÐ�Ñ�Í�Ò©Í�ÓýaÏ�Î�Û�Ò�ìCã¤ë8Õ�Ô:ß �<Í��hÕ�å�ÕnÔnÝ�Ð�ÛCÕ:Ö�Õ�Ï�Ô�Õ(Ï�Öhæ�Õ�ÐhìCÒZΦÍ�Òx�Ô�ã�Õ:Øë�æeÕ�×�ÚZÕnÔ�Ñ�ã�Õ�Ò�ÐHÖnß £ ÚaÐHÍ�ÛCÑ�Ü�Û�Ö�ìCëZÖ�ÍNÒCÑ�ÎEýaÏ�Î�Û!Ò�ì�ã¤ë8Õ�Ô�Ö�ÝÐ�ÛCÕÙ�ì�Ð�Ð�ÕnÔ°Ï�Ò�ت­�§*®pÔ�Õ:Ö�ì�Ì�Ð�ÖOÏ�Ô�Õ(Ö�Ñ�ã�Ñ~Ì�Ï�ÔOÐ�ͤÐ�ÛCÍ�Ö�Õ(ÚCÔHÕ�å�Ñ�äÍ�ì�Ö�Ì�æUÓ·Í�ìCÒZØeÏ�гÌ~Í��2ýaÏ�Î�ÛeÒ�ìCã¤ë8Õ�Ô�Ö�ß

��Æ<ÇCÇC¿xÁ¬Å�� ½?Ç�§Oì�Ô�ÔHÕ�Ò�ÐJ�OÍNÔ"� Ñ�Ö-Ø�Ñ�Ô�Õ:ÎoÐHÕnØ�Ð�Í��°Ï�Ô�Ø�Ï�Ø�Ø�Ô�Õ:Ö�Ö�Ñ�ÒCÜ ­�§*®

Ï�ÔHÑ�Ö�Ñ�ÒCÜ0Ó·ÔHÍ�ã Ì�Ï�ÔHÜ�Õ(Ï�ã�ÚCÌ�Ñ�ÐHì�Ø�Õ�Ö�Û�Í�Î��Uã�Í�Ð�Ñ�Í�Ò�Ö.� Ï�Ò�Ø/Õnå�ÕnÒÑ~ÒLÐHÛCÕ�Ï�ë�Ö�ÕnÒ�Î¦Õ Í�ÓaÏ�Ò�æÀÖ�Ð�ÔHì�ÎoÐHìCÔ�Ï�Ì/ÒCÍNÒCÌ�Ñ~ÒCÕ:Ï�ÔHÑ�Юæ Ö�ìZÎ�ÛÏ�Ö¤Ó·Ô�ÕnÕ�ÚCÌ�Ïcæx�oß «¬Ô�ÕnÌ~Ñ�ã�Ñ~Ò�Ï�Ô�æ3ÔHÕnÖ�ìCÌ�Ð�Ö�Û�Ïcå�Õ�ÒCÍ�� ëZÕnÕ�Ò�Í�ë�ä

±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 9: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Flap Frequency Ratio, ωβ/ωα

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Flu

tter

Vel

ocity

, VF=

UF/µ

1/2 ω

αb

8�O Hx43F:(p( ��������43�+/�2 ( =

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Reduced Velocity, V=U∞/µ1/2ωαb

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

LCO

Fla

p R

otat

ion,

β/δ Stable LCO

Unstable LCO

� O������ Hx4@'�& N ��(1'?(�23���

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Flap Frequency Ratio, ωβ/ωα

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

Flu

tter

Fre

quen

cy R

atio

, ωF/ω

α

) O Hx43F:(p( ���GH�� �<;+F�����/>= N '?( 23�

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Reduced Velocity, V=U∞/µ1/2ωαb

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

LCO

Fre

quen

cy R

atio

, ω/ω

α

Stable LCOUnstable LCO

a�O������ H���� ;+F�����/>= N '?(�23�C 6;D(E % 6 6 �h6;:�P!]�) 4;+$,!+�O(8 �(6;$T' � 687 .4��E % � ) � � .4�%E5� M a(+[D O<E

ÐHÏ�Ñ~ÒCÕ:Ø|Ý_Ï�Ò�Ø �hÕ/Û�ÏcåNÕ/Ø�Õ¦ÐHÕ�ÔHã�Ñ�ÒCÕ:Ø ­%§*® Ð�ÔHÑ~ÜNÜ�Õ�ÔHÕnØ3ë�æ�ÏÖ�Ñ�ÒCÜNÌ~ÕeØ�Õ�ÜNÔ�ÕnÕ/Í�Ó³Ó·ÔHÕ�Õ:Ø�Í�ãsÙ�ì�Ð�Ð�ÕnÔEÑ�Ò"ÚCÑ~ÐHÎ�Û"Ñ~Ò"Ð�ÛCÕ�Ð�Ô�Ï�Ò�äÖ�ÍNÒCÑ�Î�ÔHÏ�ÒCÜ�ÕNß­ÞCÍNÔ<ÐHÛCÕ¤Ú�Ï�Ô�ÐHÑ�Î�ìCÌ�Ï�ÔÎ�Í�ÒYZÜ�ìCÔ�Ï�ÐHÑ~ÍNÒAÖ�Ð�ìZØ�Ñ~Õ:Ø|ÝÙ�ì�Ð�Ð�Õ�ÔUãUÏcæ©Í�Î�Î�ìCÔ�ëZÕnÌ~Í��þÐ�ÛCÕAÌ�Ñ~Ò�ÕnÏ�Ô�Ù�ìCÐ�Ð�ÕnÔUå�ÕnÌ~Í�ΦÑ~Юæ©Ñ~ÓÐ�ÛCÕ�Ø�Ñ�Ö�Ð�ì�Ô�ë�Ï�Ò�ΦÕ�Ñ�Ö!Ö�ì�ê/ΦÑ�Õ�Ò�Ð�Ì�æ�Ì�Ï�ÔHÜ�ÕNÝ�Ö�Ïcæ1ÍNÒ2Ð�ÛCÕ¥ÍNÔ�äØ�Õ�Ô Í�Ó(Ð�ÛCÔHÕ�ÕaØ�ÕnÜ�ÔHÕ�Õ:Ö�Í�Ó�ÚCÑ�Ð�Î�Ûðß   ÛCÕnÖ�Õ-Ô�Õ:Ö�ì�Ì�Ð�Ö/Ï�ÔHÕ-Ø�Õ¦äÖ�Î�Ô�Ñ�ë8ÕnØeÑ~Ò-ÏUÖ�Õ�Ú�Ï�ÔHÏ�Ð�Õ�Ú�Ï�ÚZÕnÔ³Ð�Û�Ï�Ð<Ñ�Ö<ëZÕnÑ~ÒCÜUÚ�Ô�Õ:Ö�ÕnÒNÐHÕnØAÏ�ÐÐ�ÛCÕ b�Ò�Ø W ¡ W�W ¦ W ��ý¯¤$¦ W �7§U¤U¦ W ����¦ W ��§`��ÐHÔ�ìZÎoÐ�ì�Ô�Õ:Ö�Ý��Ð�ÔHì�ΦÐ�ìCÔ�Ï�Ì6¨æ�Ò�Ï�ã�Ñ�Î�ÖnÝhÏ�Ò�Ø ýaÏ�ÐHÕ�ÔHÑ�Ï�Ì�Öª§OÍNÒ�Ó·Õ�ÔHÕ�ÒZΦÕaÏ�ÒZؤS×�ÛCÑ�ëCÑ~Ðnß

� Â�³Á<½���Ã�¿G�U�¬¾ ¿ñÁOÅ �  Û�Ñ�ÖD�OÍNÔ"�¢�°Ï�ÖñÖ�ìCÚCÚ8Í�Ô�Ð�Õ:Ø�ë�æ W Þ%®.� � B(Ô�Ï�Ò�ÐJÞ � K9b���������8à��3���9e��XÏ�Ò�Ø W Þ%®.�(� §OÍ�Ò�Ð�Ô�Ï�ΦÐ�Þ � K9b[��ä � � ä�§¬ä �9��:���L�  *  � �oß7¨Ô:ß�¨Ï�ÒCÑ�Õ�Ì ��ÕnÜNÏ�Ì~ãUÏ�ÒeÑ�Ö°Ð�ÛCÕ�ÔHÕnÖ�Ú8Í�Ò�Ö�Ñ~ë�Ì~ÕR«¬Ô�Í�ä

Ü�Ô�Ï�ã ýaÏ�Ò�Ï�Ü�ÕnÔnß   ÛCÕ¤Ï�ì�Ð�Û�Í�Ô�Ö*�OÍNìCÌ�Ø-Ï�Ì�Ö�Í/Ì�Ñ���Õ�ÐHÍUÐ�Û�Ï�Òx�¨­ÕnÒCÑ�Ö���ÛCÍ�Ì�Í�ØCÏ�Ô3Ó·Í�Ô�Ñ�Ò�Ö�Ñ~ÜNÛNÐ�Ó·ìCÌ Ø�Ñ�ÖHΦì�ÖHÖ�Ñ�Í�ÒZÖ�ÔHÕ�Ü�Ï�Ô�Ø�Ñ�ÒCÜãUÏ�Ð�ÕnÔ�Ñ�Ï�ÌWÑ�ÒeÐ�ÛCÑ�Ö³Ú�Ï�ÚZÕnÔnß

¿ ��¿ðÇ�¿ñÁ­ÂW¿S���� ������������������������ ����!�"����$#%�'&)(*��(+"���,.-)/���0�����(��1"2�3(+"�/�(+4

05��687���,9�:(+7���/<;>=?�@7��BA<(*�C�@4%DE�CF��@"���,��G0H-3/���0�����(*�G"JI3��687�(���;LK�M(+"�/<;LKL�N�G�C��,*6PO���Q�/�0R�MST�G�N;'U��?�)VXW3YZ4[Q\�?4R]_^E4a`.WM4�S�b�b�b14c�d S*eL�$S*b�b�b<�f ��/�����(+"��Z� �hgH�$�i`X�G���L�hgj�i� ���hg)/1=�(*0�0k�ZD?�hl��N�G�N;�Q3��"P4

���5�Z�ZY2�h-����?#%-)/���0�����(��1"amh(*���1n<��/�")/�o��C7%KLF���,��G0\���@"Pop/���026P(+,+7���/��=?�@7���,*/���7P"�/�0$6P L"Pok�G,*(aoq"�(*(*F�05��Kir��j�< ��C(+"���,��G0$�G�N;s(+tLFh(+"����C(*��47u�G0\687� N;LKLOL�$!�/� �"�����0E/�o.VX0� ��5;�6a�G�N; A<7P"� �,+7� �"�(*6*�iQ2/�0k�\S�S��vF�Fv�w bG4�S d bL�$S*b�b�x<�y `X�������hgj�N� ���hgz/�=.(+050k�iD{�Nl��h�G�N;:Q3��"������v�hYE�N-��5��#8YZ�5�C�@7

,+KL,*0�(?mh(*���1n<��/�"2/Go$�G�C���@"Poq/���0N=?�@7��|�),*/���7P"�/�0N6P �"Pop��,*(*OL�L!�/� L"��N�G0/GoEVX0� ��5;�6M����;}A<7P"� �,+7� �"�(+6*��Q2/�0k�ZS1U���F�Fv� w�c b14 w�~�w �XS�b�b w �� lz��0�0k�������3����`.��/��|�G6*��!���^X��������;Hgz/�=�(*0�0R��D?�Gl��5�$#8^\"�/�Fh(+"

� "P7���/���/��N�G0agz(*,*/��CFh/�6P�@7���/���`$(*,u�������� �(Toq/�"T`Z"u����6P/�����,�I3��4687�(���;LK��3(+"�/<;<K������C��,BVX0�/1=?6POL�_�M�P�M���<���<���N��� ��Q�/�0k� c�w �-3/��ZS d �NU d�d�d �hF�FZ�ZS w�~Gc1� S w�� U<�� gz/�=.(*0�0k�MD?�2l����G�N;�lz�G050k�{�����3���C#8�:/<;�(*0������J/Go�VX0� ��5;L4

�Z±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã

Page 10: AIAA 2001-1212people.duke.edu/~jthomas/papers/papers/podlco.pdf · AIAA 2001-1212 Transonic Limit Cycle Oscillation Analysis Using Reduced Order Aerodynamic Models Earl H. Dowell,

A�7P"� �,+7� L"�(��%��7�(+"u��,�7��5/���OL�Z�3���< ���0$WM(*n<��(+=?6)/Go�VX05 ��5; �:(+,�������4��,*6*��Q�/�0k� c�c �NF�Fv�Le�e ~�� e�b d �vU d�d S��

�+`.��/��|�G6*� !���^X�5� l)��0�0k� �����3��� ����; g)/1={4(*0�0k� D{� l��5� #%WM(�;L �,*(�;<4 � "u;�(+" �3(�"�/�(*05��687���, �:/<;L(*0@4����� I)6P����� ^E"�/�Fh(+"P4 � "P7���/���/�����0 gz(*,*/��CFh/�6P�@7���/���6POL��.D2�zA������%�)�����P�.�)A�D��G-)�zA�� Y$������0�(+K � ��7�(+"��N�17��5/��N�G0V�/G"� �� /����3(+"�/�(+0��G687���,*�@7%K_�G�N;�A�7P"� �,+7� L"u��0Mg)KL�N���C��,*6}S*b�b�b<�]���0�0��5���C6Pm� L"�����Q)�@"����������<�h!� ���(�S*b�b�b<�

�a�5��� `)���[#8V�"�(*�< �(*��,�KL4[gz/��|�����s���G"��< ���(*��4 Yv/�(+n�(a�:(+7���/<;�G�N;� 7�6j�3F�F�0��5,*�G7���/�� 7�/ Yv����(*�G"Cg)KL�����C��, A<KL687�(*�C6PO����M�P�M��<���<�u�h��� ��Q�/�0k� c�� ��-)/��ZS�S��$S*b�b w �NF�Fv�NU<S�S�x � U<S1U c �

� W3/��|����/�=?6 �<�Z� ���3���N�G�N;|gz/�=.(*0�0k�ND{�LlH���2#%I36P�5����DE����(*�L4�C/<;L(*6\7�/aV�/�"�� �G�CD��C,*��(*��7.DE �0�(+"��.�G6P(�;�I)��687�(���;<K��M(+"�/<;LK<4�����C��,*6��3�N�G0@K�6P��6POL�<^E"�(+6P(*��7�(�;C�G7�7���(?�zA���D��%��7����:(*,��Z��DE���L���/�����"�(+6P6)�G�N;:D\tLFh/�6P�@7���/��Z�i������,��G��/��8YE�L-)/1nh�vS*b�b�eL�

� AL��0�n��<�H] �z����� #8D\tLFh(+"����C(*��7u��0CA�7�(���;<K ���N; I3��687�(���;LK�M(+"�/<;LKL�N�G�C��,�����; VX0� �7P7�(+"�WM(*6P �0@7�6�op/�" laA��.` A<(*�C��6PFN�G��:/<;L(*0�6PO��.FL"�(*6P(*��7u�G7���/��9�17�7���(:�3(+"�/�6PFN��,+(�VX0� �7P7�(+"C���N; g)K<4�����C��,*6)��/� ���,*��0E�:(*(+7������ �17)-)�zAL�>Y$�G����05(�K}W3(+6P(��G"�,u� ��(*��47�(+"��N���*K}U1e��NU d�d�d �

³Z±V²¢³´�µ�¶B·�¸@¹BºS»R¼c»S½1¾�¸3¾�¿V¾�¶ ±S² ´%¶+· ± »Sº�¿V¾�¸@¹:½%ºV»SÀ;´�½1¾�· ± »Vº�¿V¾�¸@¹�½\ÁSºSÂ+¶+·PÃBÄ+Ä °�Åv° à ° Ã