THE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATITHE FORCSEPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIALTHE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIALTHE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIAL THE FORCESPRE MILITAR POLICIALTHE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATI THE FORCESPRE SENATITHE FORCESPRE SENATI

ACADEMIA PRE CADETE THE FORCESProf: Ivn Garcia

CRITERIO DEL ASPA DOBLESe emplea para factorizar polinomios que tienen la siguiente forma general.Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F1ro)Se trazan dos aspas simples entre los trminos Ax2 Cy2 Cy2 F.2do)Se traza un aspa grande entre los extremos Ax2 F.3ro)Se verifican las aspas simples y el aspa grande.4to)Se toman los factores en forma horizontal. Factorizar: 15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 14Descomponiendo los trminos en forma conveniente.15x2 + 14xy + 3y2 + 41x + 23y + 145x3y23xy7Verificaciones:1ra Aspa:5xy + 9xy=14xy2da Aspa:21y + 2y=23y3ra Aspa:35x + 6x=41xTomamos los factores en forma horizontal.(5x + 3y + 2)(3x + y + 7)

CRITERIO DEL ASPA ESPECIAL

Se utiliza para factorizar polinomios de 4to Grado de la forma general:Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E1ro)Se aplica un aspa simple en los trminos extremos Ax4 E.2do)El resultado se resta del trmino central Cx2.3ro)Expresar la diferencia en dos factores y colocarlos debajo del termino central.4to)Luego se aplican dos aspas simples y se toman horizontalmente. Factorizar:

5x4 + 22xy3 + 21x2 + 16x + 65x2+3x2+2

Verificaciones:10x2 + 3x2 = 13x2Entonces: 21x2 13x2 = 8x2Se descompone 8x2 en dos factores (2x)(4x) que se ubican bajo el trmino central:5x2+2x+3x2+4x+2Tomamos los factores en forma horizontal.(5x2 + 2x + 3) (x2 + 4x + 2)

CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOSEste mtodo se emplea para factorizar polinomios de una sola variable y que admiten factores de primer grado. Factorizar:P(x) = x3 + 6x2 + 3x 10Calculamos los posibles ceros: (1, 2, 5, 10) son todos los divisores del trmino independiente con signo .Empezamos con los valores mas pequeos, tomando solo los valores que eliminan al polinomio.Para: x = 1R = P(1) = 13 + 6(1)2 + 3(1) 10R = P(1) = 0Si el polinomio se anula para x = 1 entonces un factor ser (x - 1). P(x) = (x - 1) Q(x) .()

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Calculamos Q(x) por Ruffini.16 3-1011 7+101710 0Q(x) = x2 + 7x + 10x5x2Reemplazando en ()P(x) = (x - 1) (x + 5) (x + 2)PROBLEMAS1. Factorizar:F(x, y) = 3x2 + 7xy + 2y2 + 11x + 7y + 6Entonces un factor primo es:

a) 3x + 2y + 1d) x + 2y + 3b) x + 3y + 2e) x + y + 6c) 3x + 2y + 2

2. Factorizar:F(x; y) = 3x(x - y) 2y(x + y) + 7(2x + y) - 5El trmino de un factor primo es:

a) 2yb) 2xc) -yd) -5e) 3x

3. Factorizar:F(x; y) = (x + 3y)2 + 2(x - 3) + 3(2y - 3)La suma de sus factores primos es:a) 2x + 6y + 3d) 2x + 5y - 14b) 2x + 6y + 2e) 2x + 10y - 1c) 2x + 10y + 2

4. Factorizar:F(x; y) = (3x - y)(x 4y) + 5x(y + 2) 8y + 3La suma de coeficientes de un factor primo es:a) -2b) -1c) 3d) 1e) 2

5. Factorizar:F(x; y) = 4x2 13xy + 10y2 + 12x 15ySealar un factor primo:

a) x + 2y + 3b) 4x + 5yc) 4x 5yd) 4x + 2y + 3e) 4x 2y + 3

6. Factorizar:F(x) = x4 + 5x3 + 13x2 + 17x + 12Uno de sus factores primos es:a) x2 + 3x 4d) x2 + 3x + 4b) x2 + 2x + 2e) x2 + 3x + 3c) x2 + 2x + 4

7. Factorizar:F(x) = (x2 + 2x)(x2 x) + 7x + 3La suma de sus factores primos es:

a) 2x2 + 3x + 1d) 2x2 + 5x + 4b) 2x2 + 2x + 3e) 2x2 + x + 2c) 2x2 + x + 48. Factorizar:F(x) = x4 5x3 + 16x + 8El coeficiente del termino lineal de uno de sus factores primos es:

a) 0b) -1c) -3d) 3e) 2

9. Factorizar:F(x) = x4 + 1 3x(x + 1)(x - 1)La suma de coeficientes de uno de sus factores primos es:

a) -3b) -2c) 2d) 3e) 0

10. Factorizar:F(x) = x3(x - 4) + (2x + 7) (2x - 7)La suma de los trminos lineales de sus factores primos es:

a) 4xb) -2xc) 2xd) 0e) -4x

11. Factorizar:F(x) = x3 + 2x2 5x - 6La suma de factores primos lineales es:

a) 3x + 2b) 3x 2c) 2x - 1d) 3x + 4e) 3x + 5

12. Factorizar:F(x) = x3 5x2 2x + 24La suma de los trminos independientes de sus factores primos es:

a) -11b) -10c) -5d) 11e) 2

13. Factorizar:F(x) = 2x3 + 7x2 + 7x + 2Indicar uno de sus factores lineales.

a) x + 3b) x 1c) 2x + 1d) 2x 1e) x - 2

14. Factorizar:F(x) = 2(x + 1)(x2 x + 1) x(5x - 1)El coeficiente principal de uno de sus factores primos es:

a) -2b) 2c) -1d) 3e) -3

15. Factorizar:F(x) = x(x + 1)(x - 1) + 2 2xEl factor primo que mas se repite es:

a) x + 2b) x 2c) x + 1d) x 1e) x + 3

OTROS

1. Factorizar:

a) 2x2 + 7xy + 6y2 + 11x + 19y + 15b) 6x2 + 17xy + 5y2 + 19x + 28y + 15c) 10x2 + xy 2y2 + 17x 5y + 3

2. Indicar un factor primo de:6(x2 y2) + 7(x - y) + 2(3y + 1)

a) 3x + 3y + 1d) 2x + 3y + 1b) 3x 3y + 2e) 3x + 2y + 2c) 2x 2y + 1

3. Factorizar: a) x4 + 8x3 + 19x2 + 14x + 3b) x4 + 11x3 + 33x2 + 26x + 6c) 2x4 + 3x3 + 2x2 + 14x + 3

4. Indicar un coeficiente de un factor primo de:3(2x4 - 1) + 11x(x2 + x + 1)

a) 5b) 6c) 4d) -5e) 7

5. Factorizar:

a) x3 + 2x2 8x - 21b) x3 + 7x2 + 15x + 12c) x3 3x2 16x - 12

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