Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 1/26

Álgebra LinealMa1010

Vectores de Coordenadas y Cambio de BaseDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 2/26

Introducción

En este tema se presenta el concepto de vector decoordenadas.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 2/26

Introducción

En este tema se presenta el concepto de vector decoordenadas. Este concepto surge de lanecesidad de introducir nuevos sistemascoordenados

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 2/26

Introducción

En este tema se presenta el concepto de vector decoordenadas. Este concepto surge de lanecesidad de introducir nuevos sistemascoordenados o sistemas coordenados que mejorse adapten a una situación.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 3/26

Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita conbase B = {v1, . . . ,vn}.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 3/26

Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita conbase B = {v1, . . . ,vn}. Según un teoremaanterior, para cada v ∈ V existen escalares únicosc1,. . . ,cn tales que:

v = c1v1 + · · ·+ cnvn

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 3/26

Vector de coordenadas

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita conbase B = {v1, . . . ,vn}. Según un teoremaanterior, para cada v ∈ V existen escalares únicosc1,. . . ,cn tales que:

v = c1v1 + · · ·+ cnvn

El vector en Rn cuyas componentes son los

coeficientes de v, expresado como [v]B , sellama vector de coordenadas o vectorcoordenado de v con respecto a B:

[v]B=

c1...cn

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26

NotaObserve que [v]

Bse modifica cuando cambia la

base B.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26

NotaObserve que [v]

Bse modifica cuando cambia la

base B. También [v]B

depende del orden de loselementos de B.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26

NotaObserve que [v]

Bse modifica cuando cambia la

base B. También [v]B

depende del orden de loselementos de B. Mantendremos fijo este ordenusando siempre una base ordenada:

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26

NotaObserve que [v]

Bse modifica cuando cambia la

base B. También [v]B

depende del orden de loselementos de B. Mantendremos fijo este ordenusando siempre una base ordenada: esteconcepto se referirá a una base que a pesar deser conjunto se considerará en un ordendeterminado.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26

NotaObserve que [v]

Bse modifica cuando cambia la

base B. También [v]B

depende del orden de loselementos de B. Mantendremos fijo este ordenusando siempre una base ordenada: esteconcepto se referirá a una base que a pesar deser conjunto se considerará en un ordendeterminado. Recuerde que en la definiciónmatemática de conjunto, el orden de los elementosno afecta el conjunto,

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 4/26

NotaObserve que [v]

Bse modifica cuando cambia la

base B. También [v]B

depende del orden de loselementos de B. Mantendremos fijo este ordenusando siempre una base ordenada: esteconcepto se referirá a una base que a pesar de serconjunto se considerará en un orden determinado.Recuerde que en la definición matemática deconjunto, el orden de los elementos no afecta elconjunto, sin embargo, en la definición de baseordenada el orden es importante.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 5/26

Teniendo disponible una gráfica a veces es posibledeterminar con relativa facilidad los vectores decoordendas.Ejemplo

Si

B =

{[

2

1

]

,

[

−1

1

]}

Se tiene[(

3

3

)]

B

=

(

2

1

)

,

[(

−3

0

)]

B

=

(

−1

1

)

Para ello vea la figura 1.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 6/26

6420-6

4

-2-4

2

0

-2

-4

Figura 1: Nuevo Sistema Coordenado

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n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 7/26

Ejemplo

Determine el polinomio p(x) sabiendo que suvector de coordenadas respecto a la base

B = {v1 = 1− 7 x,v2 = −5− 4 x}

es

[p(x)]B=

[

−6

2

]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 7/26

Ejemplo

Determine el polinomio p(x) sabiendo que suvector de coordenadas respecto a la base

B = {v1 = 1− 7 x,v2 = −5− 4 x}

es

[p(x)]B=

[

−6

2

]

Soluci onRecuerde que el vector de coordenadas se formacon los coeficientes de la combinación lineal delos elementos de la base para dar el vector:

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 8/26

por tantop(x) = −6v1 + 2v2,

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 8/26

por tantop(x) = −6v1 + 2v2,

es decir

p(x) = −6 (1− 7 x) + 2 (−5− 4 x) ,

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 8/26

por tantop(x) = −6v1 + 2v2,

es decir

p(x) = −6 (1− 7 x) + 2 (−5− 4 x) ,

por tanto

p(x) = −6 + 42 x− 10− 8 x = −16 + 34 x �

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 9/26

Ejemplo

Determine la matriz m sabiendo que su vector decoordenadas respecto a la base

B =

{[

−3 5

1 −7

]

,

[

7 0

−5 −6

]

,

[

1 −1

−1 −4

]

,

[

−7 −3

−3 −2

]}

es

[m]B=

−1

−2

−4

3

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n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 10/26

Soluci onDirectamente de la definición de vector decoordenadas:

m = −1

[

−3 5

1 −7

]

− 2

[

7 0

−5 −6

]

+ 4

[

1 −1

−1 −4

]

+ 3

[

−7 −3

−3 −2

]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 10/26

Soluci onDirectamente de la definición de vector decoordenadas:

m = −1

[

−3 5

1 −7

]

− 2

[

7 0

−5 −6

]

+ 4

[

1 −1

−1 −4

]

+ 3

[

−7 −3

−3 −2

]

desarrollando los productos

m =

3 −5

−1 7

+

−14 0

10 12

+

4 −4

−4 −16

+

−21 −9

−9 −6

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n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 10/26

Soluci onDirectamente de la definición de vector decoordenadas:

m = −1

[

−3 5

1 −7

]

− 2

[

7 0

−5 −6

]

+ 4

[

1 −1

−1 −4

]

+ 3

[

−7 −3

−3 −2

]

desarrollando los productos

m =

3 −5

−1 7

+

−14 0

10 12

+

4 −4

−4 −16

+

−21 −9

−9 −6

por tanto

m =

[

−28 −18

−4 −3

]

�

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n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 11/26

Ejemplo

En P1, determine el vector de coordenadas delpolinomio

p(x) = −2− 5 x

respecto a la base ordenada

B = {v1 = 2− 4 x,v2 = 4 + x}

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 11/26

Ejemplo

En P1, determine el vector de coordenadas delpolinomio

p(x) = −2− 5 x

respecto a la base ordenada

B = {v1 = 2− 4 x,v2 = 4 + x}

Soluci onBuscamos escalares c1 y c2 tales que:

−2− 5 x = p(x) = c1 (2− 4 x) + c2 (4 + 1 x)

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 11/26

Ejemplo

En P1, determine el vector de coordenadas delpolinomio

p(x) = −2− 5 x

respecto a la base ordenada

B = {v1 = 2− 4 x,v2 = 4 + x}

Soluci onBuscamos escalares c1 y c2 tales que:

−2− 5 x = p(x) = c1 (2− 4 x) + c2 (4 + 1 x)

Es decir

−2− 5 x = (2 c1 + 4c2) + (−4 c1 + 1 c2)x

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n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 12/26

Esto se convierte en el sistema

2 c1 + 4 c2 = −2

−4 c1 + 1 c2 = −5

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n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 12/26

Esto se convierte en el sistema

2 c1 + 4 c2 = −2

−4 c1 + 1 c2 = −5

Formando la matriz aumentada y reduciéndola[

2 4 −2

−4 1 −5

]

→

[

1 0 1

0 1 −1

]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 12/26

Esto se convierte en el sistema

2 c1 + 4 c2 = −2

−4 c1 + 1 c2 = −5

Formando la matriz aumentada y reduciéndola[

2 4 −2

−4 1 −5

]

→

[

1 0 1

0 1 −1

]

Por tanto, c1 = 1 y c2 = −1 y

[p(x)]B=

[

1

−1

]

�

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

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Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 13/26

Ejemplo

En M2×2, determine el vector de coordenadas dela matriz

m =

[

−4 −1

5 4

]

respecto a la base ordenada

B =

{[

4 −4

0 −5

]

,

[

−3 0

−1 −5

]

,

[

−5 −2

−1 −2

]

,

[

5 −4

5 1

]}

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 14/26

Soluci onBuscamos c1, c2, c3, y c4 tales que:

−4 −1

5 4

= c1

4 −4

0 −5

+c2

−3 0

−1 −5

+c3

−5 −2

−1 −2

+c4

5 −4

5 1

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 14/26

Soluci onBuscamos c1, c2, c3, y c4 tales que:

−4 −1

5 4

= c1

4 −4

0 −5

+c2

−3 0

−1 −5

+c3

−5 −2

−1 −2

+c4

5 −4

5 1

Es decir, tales que:

−4 −1

5 4

=

4c1 − 3 c2 − 5 c3 + 5 c4 −4c1 + 0 c2 − 2 c3 − 4 c4

0c1 − 5 c2 − 1 c3 + 5 c4 −5c1 − 2 c2 − 2 c3 + 1 c4

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 15/26

Igualando cada entrada se convierte en el sistema:

+ 4 c1 − 3 c2 − 5 c3 + 5 c4 = −4

− 4 c1 + 0 c2 − 2 c3 − 4 c4 = −1

+ 0 c1 − 5 c2 − 1 c3 + 5 c4 = 5

− 5 c1 − 2 c2 − 2 c3 + 1 c4 = 4

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 15/26

Igualando cada entrada se convierte en el sistema:

+ 4 c1 − 3 c2 − 5 c3 + 5 c4 = −4

− 4 c1 + 0 c2 − 2 c3 − 4 c4 = −1

+ 0 c1 − 5 c2 − 1 c3 + 5 c4 = 5

− 5 c1 − 2 c2 − 2 c3 + 1 c4 = 4

Al formar la matriz aumentada y reducirla:

4 −3 −5 5 −4

−4 0 −2 −2 −1

0 −5 −1 5 5

−5 −2 −2 1 4

→

1 0 0 0 −13

12

0 1 0 0 1

6

0 0 1 0 5

4

0 0 0 1 17

12

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 16/26

Por tanto,

[m]B=

−13

12

1

6

5

4

17

12

�

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 17/26

Vector de Coordenadas y Rm

Los siguiente resultado permite trasladar losconceptos de dependencia lineal y espaciosgenerados a cualquier base.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 17/26

Vector de Coordenadas y Rm

Los siguiente resultado permite trasladar losconceptos de dependencia lineal y espaciosgenerados a cualquier base. También justificanuestro proceso de vectorización para operar losconceptos de espacios generados y dependencialineal.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 18/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial V de dimensión finita.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 18/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial V de dimensión finita. Seanu,u1,u2, . . . ,um vectores en V .

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 18/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial V de dimensión finita. Seanu,u1,u2, . . . ,um vectores en V . Entonces, ues una combinación lineal de u1, ...., um enV , si y sólo si [u]B es una combinación linealde [u1]B, . . . , [um]B en R

m.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 18/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial V de dimensión finita. Seanu,u1,u2, . . . ,um vectores en V . Entonces, ues una combinación lineal de u1, ...., um enV , si y sólo si [u]B es una combinación linealde [u1]B, . . . , [um]B en R

m. Además, para losescalares c1,. . . ,cm

u = c1 u1 + · · ·+ cm um

si y sólo si

[u]B = c1 [u1]B + · · ·+ cm [um]B

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 19/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial n dimensional V .

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 19/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial n dimensional V . Entonces,{u1, . . . ,um} es linealmente independienteen V

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 19/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial n dimensional V . Entonces,{u1, . . . ,um} es linealmente independienteen V si y sólo si

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 19/26

Teorema

Sea B una base ordenada de un espaciovectorial n dimensional V . Entonces,{u1, . . . ,um} es linealmente independienteen V si y sólo si {[u1]B, . . . , [um]B} eslinealmente independiente en R

n.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 20/26

Matriz de transición: Introducción

Sean B = {v1, . . . ,vn} y B′ = {v′

1, . . . ,v′

n} dosbases ordenadas de un espacio vectorial dedimensión finita.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 20/26

Matriz de transición: Introducción

Sean B = {v1, . . . ,vn} y B′ = {v′

1, . . . ,v′

n} dosbases ordenadas de un espacio vectorial dedimensión finita. Sea P la matriz n× n cuyascolumnas son [v1]B′ , . . . , [vn]B′ :

P = [[v1]B′ [v2]B′ · · · [vn]B′ ]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 20/26

Matriz de transición: Introducción

Sean B = {v1, . . . ,vn} y B′ = {v′

1, . . . ,v′

n} dosbases ordenadas de un espacio vectorial dedimensión finita. Sea P la matriz n× n cuyascolumnas son [v1]B′ , . . . , [vn]B′ :

P = [[v1]B′ [v2]B′ · · · [vn]B′ ]

Entonces P es invertible y ésta es la única matrizen la que para todo v ∈ V :

[v]B′ = P [v]B

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 21/26

Figura 2: Múltiples Sistemas Coordenados

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 22/26

La matriz P del resultado anterior sedenomina matriz de transición o matriz decambio de base de B a B′.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 23/26

Teorema

Si P es la matriz de transición de B a B′,entonces

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 23/26

Teorema

Si P es la matriz de transición de B a B′,entonces P

−1 es la matriz de transición deB′ a B.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 24/26

Ejemplo

En R2, determine la matriz de transición de la

base:

B =

{[

0

1

]

,

[

1

0

]}

a la base:

B′ =

{[

−6

−7

]

,

[

0

5

]}

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 25/26

Soluci onLo que debemos hacer es determinar el vector decoordenas de cada uno de los elementos de labase vieja en función de la base nueva.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 25/26

Soluci onLo que debemos hacer es determinar el vector decoordenas de cada uno de los elementos de labase vieja en función de la base nueva. Aunque laversión oficial consiste en trabajar con los vectoresuno por uno.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 25/26

Soluci onLo que debemos hacer es determinar el vector decoordenas de cada uno de los elementos de labase vieja en función de la base nueva. Aunque laversión oficial consiste en trabajar con los vectoresuno por uno. Es posible trabajarlos un solopaquete combo:

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 25/26

Soluci onLo que debemos hacer es determinar el vector decoordenas de cada uno de los elementos de labase vieja en función de la base nueva. Aunque laversión oficial consiste en trabajar con los vectoresuno por uno. Es posible trabajarlos un solopaquete combo: Se forma la matriz aumentada:

[Basenueva|BaseV ieja]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 25/26

Soluci onLo que debemos hacer es determinar el vector decoordenas de cada uno de los elementos de labase vieja en función de la base nueva. Aunque laversión oficial consiste en trabajar con los vectoresuno por uno. Es posible trabajarlos un solopaquete combo: Se forma la matriz aumentada:

[Basenueva|BaseV ieja]

Y se aplica a esta matriz aumentada el procesode Gauss-Jordan.

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 25/26

Soluci onLo que debemos hacer es determinar el vector decoordenas de cada uno de los elementos de labase vieja en función de la base nueva. Aunque laversión oficial consiste en trabajar con los vectoresuno por uno. Es posible trabajarlos un solopaquete combo: Se forma la matriz aumentada:

[Basenueva|BaseV ieja]

Y se aplica a esta matriz aumentada el procesode Gauss-Jordan. Al aplicar Gauss-Jordanquedarán en el lugar adecuado los vectores decoordenadas de cada un de los vectores de labase vieja respecto a la base nueva:

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 26/26

es decir,[

Basenueva|BaseVieja

]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 26/26

es decir,[

Basenueva|BaseVieja

]

→ [I|P]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 26/26

es decir,[

Basenueva|BaseVieja

]

→ [I|P]

Aplicando esta idea al problema:

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 26/26

es decir,[

Basenueva|BaseVieja

]

→ [I|P]

Aplicando esta idea al problema:[

−6 0 0 1

−7 5 1 0

]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 26/26

es decir,[

Basenueva|BaseVieja

]

→ [I|P]

Aplicando esta idea al problema:[

−6 0 0 1

−7 5 1 0

]

→

[

1 0 0 −1/6

0 1 1/5 −7/30

]

IntroduccionVector deCoordenadasComentariosEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3Ejemplo 4Ejemplo 5Coordenadas yR

n

Teorema 1Teorema 2Matriz deTransicionTeorema 3Ejemplo 6

Vectores de Coordenadas y Cambio de Base Álgebra Lineal - p. 26/26

es decir,[

Basenueva|BaseVieja

]

→ [I|P]

Aplicando esta idea al problema:[

−6 0 0 1

−7 5 1 0

]

→

[

1 0 0 −1/6

0 1 1/5 −7/30

]

Por tanto,

P =

[

0 −1/6

1/5 −7/30

]

�