algebra-moderna-e-introduccion-al-algebra-geometrica

Róbinson Castro Puche

modernaÁlgebrae introducción alálgebra geométrica

ECOE EDICIONES

Róbinson Castro Puche. Licenciado en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá.

Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, Indiana, USA. Profesor titular de la Universidad de Córdoba, Montería, donde además ejerció las funciones de Secretario Académico de la Facultad de Ciencias, Director del departamento de Matemáticas y Director de la oficina de Registro y Admisiones. Es además, docente adscrito a la Universidad Nacional de Colombia, 1993 a 1994.

ALGEBRA MODERNAe introduccion al algebra

geometrica

ROBINSON CASTRO PUCHE

Algebra modernae introduccion al algebra geometrica

Copyright c© Robinson Castro Puche. Es propiedad intelectual del autor.Todos los derechos reservados. Prohibida la reproduccion total o parcial, porcualquier medio o con cualquier proposito, sin autorizacion escrita del autor.Monterıa – Colombiarobinson castro [email protected]

ISBN: 978-958-648-850-1

Primera edicion: 2013Diagramacion: En LATEX realizada por Robinson Castro PucheDiseno de Caratula: Wilson MarulandaImpreso por Ecoe Ediciones Ltda., Bogota

E-mail: [email protected] 19 No 63C-32, Pbx: 2481449, fax. 346 1741Coordinacion editorial: Andrea del Pilar SierraImpreso en ColombiaDeposito legal: Hecho.

Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia

Castro Puche, RóbinsonÁlgebra moderna e introducción al álgebra geométrica / Róbinson

Castro Puche – 1ª. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2013 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)

ISBN 978-958-648-850-1

1. Aritmética 2. Álgebra 3. Geometría algebraica I. Título II. Serie

CDD: 512 ed. 20 CO-BoBN– a834338

www.ecoeediciones.com

mailto:[email protected]

mailto:robinson castro [email protected]

A Olga, la esposa; Milton, Tania, Jaime y Glenna, los hijos;Alejandro, Andrea, Paula, Valery, Daniel y Sara, los nietos.

Indice general

EL AUTOR V

PRESENTACION VII

PREFACIO IX

1. TEORIA DE LA ARITMETICA 3Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2. El m.c.d y el m.c.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3. Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5. Sistemas de numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.1. Cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.5.2. Operaciones en base cualquiera . . . . . . . . . . . . . 45

2. GRUPOS 532.1. Leyes de composicion internas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3. Grupos finitos y construccion de tablas . . . . . . . . . . . . . 612.4. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.5. Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.7. Grupos Cıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.8. Aplicaciones geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS 1013.1. Grupos con operadores externos . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

i

ii INDICE GENERAL

3.2. Producto de las partes de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3. Δ–Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.4. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.5. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.6. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293.7. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4. ANILLOS 1414.1. Definicion y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.2. El Anillo Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1424.3. El anillo de los Endomorfismos de A . . . . . . . . . . . . . . 1474.4. Divisores de Cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.5. Dominios–Semicampos–Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.5.1. Subdominios–Subcampos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594.7. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1634.8. Otras clases de ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1734.9. Dominios Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764.10. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.11. Dominios de factorizacion unica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1844.12. El campo de cocientes de un dominio . . . . . . . . . . . . . . 1854.13. Caracterısticas de Dominios y Campos . . . . . . . . . . . . . 192

5. ANILLOS DE POLINOMIOS 1995.1. Construccion del anillo F [ x ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.2. Polinomios Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2115.3. Extensiones de Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.4. Los ceros de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2185.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ] . . . . . . . . . . . . 230

6. ALGEBRA GEOMETRICA 2396.1. Algebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6.1.1. Bases y dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.1.2. El producto exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.1.3. El producto de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.2. Algebras del plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.2.1. El algebra tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.2.2. Trivectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

INDICE GENERAL iii

6.3. El algebra Cln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.3.1. Bases algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6.4. La transformacion dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.4.1. Propiedades generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2666.4.2. Involuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

6.5. Los productos interno y externo . . . . . . . . . . . . . . . . . 2716.6. Multivectores de grado k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2786.7. La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6.7.1. El inverso de A〈k〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2876.8. Representacion matricial del producto . . . . . . . . . . . . . . 2886.9. El inverso de un multivector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.9.1. El producto geometrico en Cl3 . . . . . . . . . . . . . . 2946.10. Versores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2976.11. El plano euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

6.11.1. Interpretacion geometrica de los bivectores en el planoeuclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

6.11.2. El i-plano espinor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

EL AUTOR

ROBINSON CASTRO PUCHELicenciado en Matematicas, Universidad Nacional de Colombia, Bogota.Master of Arts Mathematics Education, Ball State University, Muncie, In-diana, USA.En la Universidad de Cordoba, en Monterıa, ejercio las funciones de secreta-rio academico de la Facultad de Ciencias, director de la Oficina de Registroy Admisiones, director del Departamento de Matematicas y profesor titular.Tambien fue rector del Colegio El Carmen de Cotorra, Cordoba y entre di-ciembre de 1993 y noviembre de 1994, fue docente adscrito a la UniversidadNacional de Colombia.

v

PRESENTACION

Algebra moderna e introduccion al algebra geometrica es un textocuyo objetivo es promover una actitud matematica positiva entre los estu-diantes de una asignatura reconocida tradicionalmente como una disciplinaabstracta, en la que se estudian entes aparentemente distantes de la realidadconcreta y de la experiencia tangible.

¿Que se persigue con la ensenanza del algebra moderna en las institucionesde educacion superior? Ciertamente no es hacer conocer al futuro matematicouna serie de teoremas y ejercicios ingeniosos relacionados con las estructurasalgebraicas, sino ensenarle a ordenar el pensamiento con arreglo al metodoaxiomatico, para desarrollar el rigor del juicio logico, indispensable en lalabor del matematico.

En ese aspecto, el autor presenta un trabajo prolijo que sera de gran ayu-da a los estudiantes que se inician en el conocimiento del algebra moderna.El texto esta agradablemente redactado y en algunos aspectos presenta ori-ginalidad en la exposicion y concatenacion logica de los temas, cosa difıcil delograr con un material que hoy es completamente estandar. De acuerdo conmi criterio, esto ultimo representa un aspecto muy valioso del libro.

Conociendo las cualidades pedagogicas del profesor Robinson Castro, veoen la presente obra la continuacion de su conviccion de poner en practica lasteorıas de la ensenanza de las matematicas desarrolladas por Piaget; por estarazon puedo afirmar que estamos, sin duda, frente a un material valioso paralos interesados en conocer de cerca los fundamentos del algebra moderna.

RAFAEL OBREGON, Msc.Los Angeles, California, USA. enero de 2013.

vii

PREFACIO

Si nos ubicamos en la posicion del maestro, de ensenar la teorıa o en la delepistemologo, que tiene que ver con la naturaleza de los entes matematicos;el problema consiste en saber si las conexiones matematicas son engendradaspor la inteligencia o si esta las descubre como una relidad exterior.

Jean Piaget en su disertacion, con motivo del Coloquio de la Rochettede Melun en 1952, refiriendose a las estructuras matematicas; expreso: Ungrupo es un sistema operatorio; la cuestion estriba en saber si los elementosde diversa naturaleza a los que se aplica la estructura existen previamentea esta, o si, por el contrario, es la accion de la estructura la que confierea los elementos sus propiedades esenciales. El problema sicologico consisteen establecer si los entes que sirven de elementos a las estructuras son elresultado de las operaciones que los engendran o si preexisten a aquellasoperaciones que se aplican a ellos.

Para dar respuesta al dilema, continuo diciendo: En vez de definir loselementos aisladamente por convenio, la definicion estructural consiste encarcterizarlos por las relaciones operatorias que mantienen entre sı, en fun-cion del sistema. Y la definicion estructural de un elemento hara las vecesde demostracion de la necesidad de este elemento, en cuanto esta concebidocomo perteneciente a un sistema cuyas partes son interdependientes.

Teniendo en cuenta el criterio de Piaget, el objetivo principal de estetrabajo es poner a la consideracion de la comunidad matematica un textoque proporcione a los estudiantes las bases teoricas del algebra moderna queles permita abordar con exito una disciplina con un alto grado de abstraccion.Dominar las ideas expuestas en el texto constituye un paso fundamental parael estudio de teorıas mas avanzadas relacionadas con el desarrollo axiomaticode las matematicas.

En concordancia con lo anterior, el texto esta disenado para usarlo co-mo guia para un primer curso de algebra moderna. Se encuentra dividido

ix

x PREFACIO

en seis capıtulos. En el primero se estudian los aspectos mas relevantes dela aritmetica elemental, comenzando con la caracterizacion de los numerosnaturales tomando como fundamento los postulados de Peano. A partir delconcepto de divisibilidad se estudian las congruencias, concluyendo con unapresentacion suscinta de los sistemas de numercion de base diferente a ladecimal.

Los capıtulos segundo y tercero estan dedicados al desarrollo de los gru-pos. El material consignado es el que tradicionalmente se estudia, pero heconsiderado que desde el punto de vista didactico los subgrupos normales seintroduzcan a traves de los automorfismos internos.

Los capıtulos cuarto y quinto estan dedicados a los anillos. El cuarto seinicia con una descripcion detallado de los enteros modulo n, se extiende elestudio de la divisibilidad a los anillos en general y se desarrolla la teorıacorrespondiente a las estructuras algebraicas hasta la nocion de campo. Elquinto correponde al anillo de los polinomios.

El algebra geometrica es un topico que en la actualidad no cuenta conuna amplia difusion como herramienta matematica aplicada a la solucion dealgunos problemas de la ingenierıa; donde el analisis vectorial estandar, endos y tres dimensiones, y el algebra matricial son las ayudas ampliamenteusadas. Pero lo cierto es que cada dıa aumenta el numero de investigadoresconvencidos de la utilidad de esta rama descubierta por Gunther Grassmann.

Presentar las bases mınimas de esta teorıa, tiene como proposito invitara los interesados a profundizar en su estudio e investigar acerca de la im-portancia de esta herrmienta en la reformulacion de algunos conceptos de lafısica.

El autor.Monterıa, enero de 2013.

ALGEBRA MODERNAe introduccion al algebra

geometrica

Capıtulo 1

TEORIA DE LAARITMETICA

Introduccion

El punto de partida es aceptar que los enteros y sus operaciones aritmeticashan sido objeto de analisis. El interes primario sera estudiar los fundamentosde la aritmetica elemental. Se supone conocido el desarrollo axiomatico delos naturales propuesto por G. Peano en 1889 que permite concebirlos comola coleccion {0, 1, 2, . . . , n, . . . } y una operacion unaria, la funcion siguienteo sucesor que verifica los postulados de Peano:

1. Cero es un numero.

2. El sucesor de un numero es unico.

3. Cero no es el sucesor de ningun numero.

4. Si Sig(n) = Sig(m), entonces n = m.

5. El principio de induccion completa: Dado un conjunto M de numerosnaturales con las dos propiedades siguientes:

a) Cero pertenece a M.

b) Si n pertenece a M implica que Sig(n) tambien pertenece a M ;

entonces M contiene a todos los numeros naturales.

3

4 CAPITULO 1. TEORIA DE LA ARITMETICA

Partiendo de estos fundamentos se define la adicion mediante las formulas:

Sig(n) = n + 1

Sig[Sig(n)] = n + 2

y ası sucesivamente,

n+ Sig(m) = Sig(n+m)

llamadas formulas de recurrencia.La multiplicacion se expresa en terminos de la adicion por:

nm = m+m+ · · ·+m︸︷︷︸n veces

indicando que el numero m se ha sumado n veces.Los enteros seran el resultado de reunir los naturales con sus respectivos

inversos aditivos, o sea:

{. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Mas tarde se estudiaran como ejemplos de sistemas numericos especıficosobjeto del algebra moderna.

La representacion polinomica de los enteros sera igualmente asumida,dandose por cierto que para todo entero t > 1, cada uno de los enteros a > 0puede representarse en forma unica como

a = c0 + c1t+ · · ·+ cn−1tn−1 + cnt

n =n∑

i=0

citi

donde cn es positivo y 0 ≤ ci < t, para 0 ≤ i ≤ n. Esta proposicion garantizaque cada entero mayor que 1 puede servir como base para un sistema denumeracion.

Las precisiones expuestas serviran para movernos con libertad suficienteen el desarrollo de algunos topicos cuya construccion esta por fuera de losobjetivos planteados.

Construir triangulos rectangulos con lados enteros fue objeto de investi-gacion por parte de los babilonios 1600 anos antes de Cristo. No solamentele dieron solucion a este problema sino que lo aplicaron a la trigonometrıa

5

construyendo tablas. Euclides en el decimo libro de los Elementos escribio unanalisis detallado al plantear la solucion en los enteros de la ecuacion:

x2 + y2 = z2

conocida como ecuacion pitagorica, debido a la creencia que fue Pitagorasquien la planteo por primera vez en el ano 550 antes de Cristo. Las solucionesmas simples estan conformadas por 3, 4, 5 y 5, 12, 13 y multiplos de estos, porejemplo 6, 8, 10 que es el doble de la primera y 25, 60, 65 que es cinco veces lasegunda. Tal vez se piense que no haya otras, pero efectivamente las hay. Enlos triangulos de lados 3, 4, 5 y 5, 12, 13 la hipotenusa es una unidad mayorque uno de los catetos. Si a y b son los catetos y la hipotenusa es b + 1, deacuerdo con el teorema de Pitagoras

a2 + b2 = (b+ 1)2.

Realizando las operaciones pertinentes se llega a la igualdad

a2 = 2b+ 1

de donde se concluye que a2 es impar y por lo tanto a tambien lo es. Tomando

a = 2n+ 1,

reemplazando en la igualdad anterior se observa que

b = 2n2 + 2n

lo que lleva a deducir que (2n+1), (2n2+2n), (2n2+2n+1) son los lados de untriangulo rectangulo, donde la ultima expresion corresponde a la hipotenusa.Pero los anteriores distan de ser todos, estos se encuentran a traves de lasolucion de la ecuacion

x2 + y2 = z2

ecuacion que tiene infinitas soluciones si x, y, z son primos relativos; y es parpositivo; x, z ambos impares positivos. Las soluciones vienen dadas por

x = u2 − v2, y = 2uv, z = u2 + v2

donde u, v son enteros que satisfacen las condiciones u > v > 0, son primosrelativos y uno de los dos es par. Si u = 2, v = 1 se tiene la solucion 3, 4, 5.Si u = 3, v = 2, la solucion es 5, 12, 13.


La mejor contribucion de Euclides a la aritmetica fue el desarrollo de lasdemostraciones del algoritmo euclidiano, la existencia de un numero infinitode primos y el teorema fundamental de la aritmetica que establece que todoentero distinto de cero se puede expresar como el producto de un numerofinito de factores primos, conceptos que tienen su fundamento en la relacionde divisibilidad.

Fermat estudio la ecuacion

xn + yn = zn

para enteros n ≥ 3. Afirmo tener una solucion asegurando que, excepto parael caso en que n = 2, no habıa solucion diferente a 0, 0, 0. Desafortunadamenteno la dio a conocer siendo este uno de los tres problemas insolubles masfamosos. Este hecho se nombra en la historia como el ultimo teorema deFermat o el teorema grande de Fermat, en contraposicion al conocido comoel teorema menor de Fermat, cuyo enunciado establece que si p es primo,entonces para todo a,

ap ≡ a mod p.

Y si p no divide a a,ap − 1 ≡ 1 mod p.

Lo de menor tal vez fue para resaltar la importancia del primero. Un casoespecial del teorema menor de Fermat establece que si p es primo, entonces

p|(2p − 2).

Los chinos creyeron por mucho tiempo que el recıproco tambien era cierto ylo verificaron hasta 300. Consideraron durante mas de 23 siglos que era unaregla infalible para decidir primalidad, pero falla para 341 = 11× 31.

Debido a que 2341− 2 consta de 103 cifras comprobarlo se pospone hastacuando haya la teorıa suficiente.

1.1. Divisibilidad

Definicion 1.1.1. Considerense los enteros a, b con a �= 0. Si existe unentero c tal que b = ac, se dice que a divide a b y se escribe a|b. Si a nodivide a b, se escribe a � b.

1.1. DIVISIBILIDAD 7

Como 8 = 2× 3 + 2 , se deduce que 3 � 8. Otros ejemplos son:

5|15, 1|4, (−2)|6, 2|(−8), 5 � 14.

La relacion de divisibilidad no es una equivalencia debido a que no es simetri-ca, por ejemplo 3|6, pero 6 � 3.

Es facil verificar que es reflexiva y transitiva.Para todo entero a diferente de cero, existe el entero 1, tal que a = a× 1

y de acuerdo con la definicion a|a indicando que es reflexiva.Sean a, b, c tres enteros donde a y b son ambos diferentes de cero tales

que a|b y b|c entonces existen enteros d, e que satisfacen las igualdades

b = ad, c = be.

Si el valor de b en la primera igualdad lo reemplazamos en la segunda seobtiene

c = (ad)e = a(de)

y como de es un entero se concluye que a|c, infiriendose que es una relaciontransitiva.

Las siguientes proposiciones son otras propiedades de la divisibilidad quese pueden deducir usando la definicion. Como es tradicional las letras seusaran para representar enteros. Para evitar confusiones las cifras enteras seescriben sin usar los puntos correspondientes a la escritura formal. El puntoy el signo × se usan para expresar producto, por ejemplo, 23 · 45 y 23× 45significan ��23 por 45��, mientras que 2345 debe leerse ��dos mil trescientoscuarenta y cinco��.

1. Si a|b y b|a, entonces a = b o a = −b.

2. Si a|b y a|c, entonces a|(bx ± cy) para toda pareja x, y. En particulara|(b± c). Si a|b, entonces a|bx, para todo x.

3. Si a|b y b > 0, entonces a ≤ b.

4. Para todo a �= 0 y para todo b, a|0 y ±1|b.

5. Sean a, b, k con a �= 0, k �= 0, entonces a|b si y solo si ak|bk.

6. Si a|b y b �= 0, entonces | a | ≤ | b |.


Note que el orden en que aparecen las anteriores proposiciones no es impor-tante, por ejemplo la proposicion (3) se puede considerar como una conse-cuencia de (6) pero es posible hacer una demostracion directa de (3) sin usar(6).

Definicion 1.1.2. Dos enteros a, b ambos diferentes de cero tales que a|b yb|a se dice que son asociados.

De acuerdo con (1) los unicos asociados de un entero a son a y −a.Para demostrar la propiedad (1) se deben tomar dos asociados y concluir

que son iguales o que solo difieren en el signo. Para el efecto tomense losasociados a, b. Por definicion existen c y d tales que

b = ac, a = bd.

Si el valor de a, en la igualdad de la derecha, lo reemplazamos en la de laizquierda se obtiene

b = (bd)c = b(dc)

y de esta ultima se deduce que dc = 1, pero debido a que d y c son enteros,unicamente se pueden tener dos posibilidades, d = c = 1 o d = c = −1. Siocurre la primera posibilidad, reemplazando a c se concluye de la primeraigualdad que b = a. Si ocurre la segunda se obtiene b = −a.

Para demostrar la propiedad (2) se supone que a|b y a|c, luego existenenteros m,n tales que

b = am

c = an.

Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por x y los de lasegunda por y, sumando miembro a miembro y factorizando a, se tiene

bx+ cy = a(mx+ ny).

Por la seleccion de m, x, n, y, (mx+ny) es un entero, t lo que permite concluirque

bx+ cy = at

de donde se puede afirmar que a|(bx + cy). Haciendo x = y = 1, obtenemosa|(b + c). Si reemplazamos a x por 1, a y por −1 entonces a|(b − c). Si seiguala c con cero se concluye que a|bx.


Hay dos hechos importantes de la aritmetica que usaremos a lo largodel texto. El primero afirma que cualquier conjunto de enteros positivos quecontenga al menos un elemento contiene un elemento mınimo, y es conocidocomo el principio de la buena ordenacion. El segundo es una consecuenciadel primero y se ha mencionado con anterioridad, es el algoritmo de Euclideso algoritmo de la division. Se denomina algoritmo porque proporciona unmetodo mediante el cual se pueden hallar cocientes y residuos al momentode dividir.

Definicion 1.1.3. Un entero p es primo si siendo distinto de cero y de ±1es divisible solamente por ±1 y ±p.Definicion 1.1.4. Un natural n �= 1 se dice compuesto si no es primo, estoes, si existen naturales d1 y d2 tales que 1 < d1 < n, 1 < d2 < n con n = d1d2.

Teorema 1.1.1 (El algoritmo de la division). Si a es un numero naturaly b es un entero, existen enteros unicos q, r tales que b = aq+r, con 0 ≤ r < a.

Demostracion. De la igualdad b = at + r, se obtiene r = b − at. Tomese elconjunto

S = {b− at, t ∈ Z} ⊆ Z.

Consideremos b ≥ 0, como t recorre el conjunto de los enteros, sea t = 0. Eneste caso b− at ≥ 0.

Supongamos que b < 0 por identica razon hagamos t = b. En dicho caso,

b− at = b− ab = b(1− a).

Pero, 1 ≤ a entonces, b(1−a) ≥ 0 es decir, b−at ≥ 0, lo que permite afirmarque el conjunto S posee elementos no negativos. Sea D ⊆ S formado porlos elementos no negativos de S. Por el principio de la buena ordenacion, Dtiene un elemento mınimo. Tomando r como este numero y a q como el mayorentero que satisface la condicion b− aq ≥ 0, se deduce que, r = b − aq ≥ 0.Restando a a ambos miembros y factorizando,

r − a = b− aq − a = b− a(q + 1).

Pero, q + 1 > q y por la seleccion de q debe tenerse que

b− a(q + 1) < 0


o sea,r − a < 0

de donde se concluye que r < a lo que permite escribir

0 ≤ r < a.

Para demostrar la unicidad supongamos que q y r no son unicos. Sean q1 yr1 enteros tales que b = aq1 + r1, con 0 ≤ r1 < a. Por la propiedad transitivade la igualdad,

aq1 + r1 = aq + r.

Supongamos que r > r1, entonces r − r1 > 0. Trasponiendo terminos yfactorizando,

0 < r − r1 = a(q1 − q)de donde se tiene que a|(r − r1).

Pero 0 ≤ r1 < a, implica que −a < −r1 ≤ 0 y como 0 ≤ r < a se puedensumar miembro a miembro estas desigualdades dando como resultado

−a < (r − r1) < a

o sea,(r − r1) < a.

De acuerdo con la propiedad (3) de divisibilidad, como a|(r − r1), necesa-riamente a < (r − r1); lo cual es una contradiccion. Por lo tanto, r no esmayor que r1. Suponer que r1 es mayor que r conduce a una contradiccionsimilar, de donde se deduce que r1 no es mayor que r, quedando como unicaposibilidad, r = r1.

De la expresion r − r1 = a(q1 − q) observamos que 0 = a(q1 − q) y comoa es diferente de cero se concluye que (q1 − q) = 0 y por lo tanto, q = q1. Ensıntesis la unicidad del cociente y el residuo quedan demostradas.

El quinto axioma de Peano es el principio de induccion, este enuncia-do establece que dada una proposicion P (n). Si P (0) es verdadera y paracualquier k, la veracidad de P (k) implica la de P (k + 1), entonces P (n) esverdadera para todo natural n. De este principio se conocen cinco formas,la tercera tiene relacion con el buen orden y es la clave para demostrar quetodo subconjunto S de los naturales que contenga a cero y contenga a n+1,siempre que contenga a n, contiene tambien a todos los naturales. La quintaforma nos permite realizar induccion a partir de un determinado natural k.


Para ilustrar el metodo de induccion matematica realizamos el siguienteejercicio.

Ejemplo 1.1.1. Para todo natural s, 11|(102s+1 + 1).

Demostracion. Por induccion.

102+1 + 1 = 103 + 1

= 1001

= 11× 91.

De las igualdades se ve que la proposicion es valida para s = 1.Supongamos que es valida para s, esto es,

102s+1 + 1 = 11k.

Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por 100,

102s+3 + 100 = 100× 11k.

Descomponiendo y factorizando el exponente y transponiendo terminos,

102(s+1)+1 = 100× 11k − 100.

Sumando 1 a ambos miembros,

102(s+1)+1 + 1 = 100× 11k − 99

= 100× 11k − 11× 9

= 11(100k − 9).

Lo anterior permite inferir que la proposicion es valida para s+1, luego debeserlo tambien para todo natural.

Con respecto a los primos surgen algunas inquietudes referentes a sunumero, a la existencia de una regla para calcular su secuencia, formulas paradeterminarlos y muchos otros interrogantes estudiados por los matematicosde todos los tiempos entre los que se pueden mencionar, Euclides, Fermat,Euler, Polya. En 1914 D. N. Lehmer calculo la lista de los primos desde elprimero hasta el que ocupa el 664999-esimo lugar, este ultimo resulto ser10006721.

El siguiente enunciado sirve para establecer primalidad en un solo sentido


Ejemplo 1.1.2. Si 2n − 1 es primo, entonces n es primo, para n ≥ 2.

Solucion. Para demostrarlo supongamos que n es compuesto, es decir, existennaturales a, b tales que, 1 < a < n, 1 < b < n, con n = ab, entonces

2n − 1 = 2ab − 1

= (2a)b − 1

= cb − 1

= (c− 1)(cb−1 + cb−2 + · · ·+ c+ 1)

donde c ≥ 4. En consecuencia, 2n − 1 es el producto de un entero mayor oigual a 3, por un entero mayor o igual a 5, contradiciendo la hipotesis, luegola proposicion se sigue.

El recıproco no es cierto, ya que para 11, 211−1 = 2047 que es compuesto.

Ejemplo 1.1.3. La suma de los cuadrados de dos numeros impares no puedeser un cuadrado perfecto

Solucion. Para un entero cualquiera k, los posibles residuos al dividir por 4son 0, 1, 2, 3, lo que significa que k es de una de las formas 4t, 4t+ 1, 4t+ 2,4t + 3, y por consiguiente k2 se puede escribir como 16t2, 4(4t2 + 2t) + 1,4(4t2 + 4t+ 1), 4(4t2 + 6t+ 2) + 1. Por lo visto el residuo de dividir k2 por 4es 0 o 1.

Tomemos los impares x = 2n+ 1, y = 2m+ 1, elevandolos al cuadrado ysumando

x2 + y2 = (4n2 + 4n+ 1) + (4m2 + 4m+ 1)

= 4(n2 +m2 + n+m) + 2

lo que lleva a concluir que al dividir x2 + y2 por 4 el residuo es 2. En mejorespalabras x2 + y2 no es un cuadrado perfecto.

Teorema 1.1.2. El menor divisor positivo mayor que 1, de un entero n > 1es un primo.

Demostracion. Sea n ∈ N− {1}, m > 1 el menor divisor positivo de n. Pordefinicion m|n. Si n es primo, n = m luego m es primo.Sea n compuesto y suponga que m no es primo. Como m > 1, debe sercompuesto, esto es, existe un natural d tal que 1 < d < m y d|m, pero porhipotesis m|n. Por la propiedad transitiva de la divisibilidad, d|n contradi-ciendo la minimalidad de m. Por consiguiente m debe ser primo.


Teorema 1.1.3. Todo compuesto es el producto de un numero finito defactores primos.

Demostracion. Supongamos que existen compuestos que son el producto deun infinito numero de factores primos. Por el principio de la buena ordenacionexiste m el menor compuesto que puede expresarse como un numero infinitode factores primos. Por el teorema 1.1.2, existe un primo p, 1 < p < mademas p|m, entonces

1

p< 1 <

m

p.

Multiplicando por m la primera desigualdad tenemos, mp< m, luego

1 <m

p< m.

Como mp

es un natural, entonces

m

p= p1p2 · · · pr

con pi un primo, para 1 ≤ i ≤ r, r es un numero fijo. Dicho en otras palabrasmp

debe ser el producto de un numero finito de factores primos ya que es menorque m y como es sabido, m es el menor compuesto que puede escribirse comoel producto de un infinito numero de factores primos. Pero,

m = p(m

p) = p(p1p2 · · · pr)

indicando que m es el producto de un numero finito de factores primos,contradiciendo el supuesto. En conclusion, todo compuesto es el producto deun numero finito de factores primos.

Teorema 1.1.4 (Teorema fundamental de la aritmetica). Todo enterodistinto de cero puede expresarse como el producto de (±1) por un numerofinito de factores primos. Esta expresion es unica salvo el orden en que losfactores se consideren.

Demostracion. Si n es primo el teorema es inmediato. Si es compuesto bastaaplicar el teorema 1.1.3 teniendo en cuenta el signo y asunto concluido.

Unicidad. Dado n > 1 suponga que se puede escribir en dos formasdiferentes como producto de primos

n = p1p2 · · ·pr = q1q2 · · · qs


como p1 es un factor de n, p1|q1q2 · · · qs, por tanto p1|qj para 1 ≤ j ≤ s.Ordenando nuevamente los subındices de ser necesario se concluye que p1|q1.Pero al ser primos cada uno de ellos, obligatoriamente p1 = q1. Cancelandoa ambos miembros de la igualdad se llega a

p2 · · · pr = q2 · · · qs.Siguiendo un proceso similar se concluye que p2 = q2. Y ası sucesivamente,

p3 = q3, . . . , pr = qs.

Sin perdida de generalidad se puede aceptar que r ≤ s. Si r < s cancelandofactores iguales en la primera igualdad se llega a

1 = qr+1 · · · qslo que es imposible porque cada uno de los primos de la derecha es mayorque 1, llegando a la conclusion que r = s y de aquı a que pi = qi, para todoi, 1 ≤ i ≤ r. Si n es negativo el primer factor sera (−1) seguido por factoresprimos positivos.

Para responder a la inquietud relacionada con la cantidad total de primos,supongamos que existe un numero finito de ellos y escribamos la sucesion detodos los primos {p1, p2, . . . , pr}. Sea p el entero definido como sigue

p = (p1p2 . . . pr) + 1, p > pi para 1 ≤ i ≤ r,

p necesariamente es compuesto y debe existir un primo pj de la colecciondada tal que pj |p y como pj |p1p2 . . . pr sigue que pj|(p − p1p2 . . . pr) peroesta afirmacion equivale a decir que pj |1, contraviniendo el hecho de serpj �= 1. Ahora podemos asegurar formalmente que el numero de primos esinfinito.

Como aplicacion del teorema 1.1.4 se propone el siguiente ejercicio.

Ejemplo 1.1.4. Hallar todos los primos que son una unidad menor que uncuadrado perfecto.

Solucion. Para el efecto tomemos un primo p = x2− 1. El teorema de facto-rizacion unica establece que p = (x − 1)(x + 1). Como p es primo se tienenlas dos posibilidades siguientes:

(x− 1) = 1 y (x+ 1) = p o (x− 1) = p y (x+ 1) = 1.


De estas ecuaciones se obtienen las soluciones,

x = 2 y p = 3 o x = 0 y p = −1.

La de la derecha hay que desecharla puesto que p es primo, quedando endefinitiva p = 3. Por tanto 3 es el unico primo que es una unidad menor queun cuadrado perfecto.

Ejemplo 1.1.5. Si n > 1 es compuesto, existe un primo p ≤ √n tal que p|n.Solucion. El teorema 1.1.2 dice que el menor divisor positivo mayor que 1de un entero n mayor que 1 es un primo. Sea p tal primo, como p|n existe d,1 < d < n tal que n = pd.

Por la definicion de p, p ≤ d y por consiguiente p2 ≤ pd, de donde seobtiene por reemplazo p2 ≤ n, esto es, p ≤ √n.

En las igualdades

3 = 2 + 1

7 = 2× 3 + 1

31 = 2× 3× 5 + 1

se observa que 1 mas el producto de los primeros k primos es un primo almenos para k = 2, 3, 5. Se puede pensar que es cierto para todo k pero unejemplo muestra lo contrario,

2× 3× 5× 7× 11× 13 + 1 = 30031 = 59× 509.

EJERCICIOS

1. Demostrar las propiedades 3, 4, 5, 6 de divisibilidad enunciadas ante-riormente.

2. Demostrar que para todo natural n, 11 divide a 102n − 1.

3. Demostrar que para todo natural n, 3 divide a 10n − 1.

4. Demostrar que si 2 no divide a n y 3 no divide a n, entonces 24 dividea n2 + 23.


5. Demostrar que para todo entero n, 3 divide a alguno de los numeros n,n+ 2, n + 4.

6. Demostrar que todo primo impar puede ser expresado de manera unicacomo la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo, 11 = 36− 25.

7. Para todo natural n demostrar que ninguno de los siguientes n − 1enteros consecutivos es primo: n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n.

8. Usando la idea del ejercicio anterior hallar una sucesion de k consecu-tivos naturales compuestos.

9. Demostrar que para n > 1, n4 + 4 es compuesto.

10. Un numero n es compuesto si existe un primo p ≤ √n, tal que p|n.Usando esta idea diga cuales de los siguientes enteros son primos ycuales compuestos : 91, 103, 343, 731.

11. Hallar enteros r, s tales que 144r + 2975s = 5.

12. Demostrar: Si m|(45n+ 37) y m|(9n+ 4), (m > 1) entonces m = 17.

13. Demostrar que el producto de cuatro enteros consecutivos incrementadoen 1, es siempre un cuadrado perfecto.

14. Demuestrar que si p es primo y p|ab, entonces p|a o p|b.15. Demostrar que si a, b son enteros positivos, existe un entero positivo n

tal que na > b. (Considere la diferencia b− na y aplique el axioma delbuen orden).

16. Usando el axioma del buen orden demuestrar que no hay enteros entrecero y uno.

17. Demostrar que si p = 6k + r es un primo diferente de 2 y 3, entoncesr = 1 o r = 5.

18. Demostrar que existen infinitos primos de la forma 6k − 1.

19. Si a > 2 y s > 1. Demostrar as − 1 es compuesto.

20. Demostrar que el producto de numeros de la forma 6k + 1 es de lamisma forma.

1.2. EL M.C.D Y EL M.C.M 17

1.2. El maximo comun divisor y El mınimo

comun multiplo

Si se toman dos enteros a, b puede ocurrir que ambos sean iguales a cero yen este caso cualquier entero es un divisor comun de ellos. Si al menos uno esdiferente de cero, los divisores comunes son finitos; uno de los cuales siemprees 1, deduciendose que existe alguno mayor que todos y debe ser positivo.

Definicion 1.2.1. Dados dos enteros a, b, a2 + b2 �= 0, entonces d ∈ Z−{0}se llama un comun divisor de a y b si y solo si d|a y d|b.

Teorema 1.2.1. Dados dos enteros a y b, a2 + b2 �= 0, existe un entero unicog, tal que

1. g > 0.

2. g|a y g|b.

3. g = min{ax+ by > 0, x, y ∈ Z}.

4. Si d es cualquier entero tal que d|a y d|b, entonces d|g.

La proposicion (4) dice que cualquier divisor comun de a y b divide a g.De la propiedad (6) de divisibilidad se deduce que g es numericamente mayorque los diferentes divisores de a y b. Por lo tanto, del conjunto de divisorescomunes de a y b, g es el maximo desde dos puntos de vista y por esto sele llama el maximo comun divisor de a y b. En forma abreviada se escribeg = (a, b). Note que realmente lo ��maximo�� lo tomamos en el sentido de (4).

Demostracion. Considerense primero a y b positivos, a > b. Por el algoritmode la division existen enteros r1, q1 unicos tales que

a = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b.

Si r1 = 0, entonces b es un comun divisor de a y b. Podemos tomar g = b.

1. g > 0.

2. g|a y g|b.


Tomemos el conjunto

H = {ax+ by > 0, x, y ∈ Z} ⊆ Z.

Si x < 0, necesariamente y > 0 entonces by > 0. Debido a que

ax+ by > 0

debe tenerse

|ax| < by.

Pero cero es el mınimo natural que verifica esta ultima desigualdad, luegox = 0, entonces el mınimo valor para y debe ser 1, por tanto

b = a× 0 + b× 1 > 0

es un elemento de H .Similarmente si y ≤ 0 hallamos y = 0, x = 1 como valores mınimos, o sea

a = a× 1 + y × 0 > 0

pertenece tambien a H , pero b < a.Si x > 0, y > 0, ax > a, by > y; entonces ax+ by > a+ b > b.En sıntesis,

b = g = min{ax + by > 0, x, y ∈ Z}dando por demostrado (3).

(4). Si existe d tal que d|a, d|b debe tenerse d|g puesto que g = b. Si r1 �= 0,la aplicacion repetida del algoritmo de la division demuestra la existencia deparejas unicas qi, ri, 2 ≤ i ≤ k + 1, 0 < ri < ri−1, tales que

a = bq1 + r1

b = r1q2 + r2

r1 = r2q3 + r3

...

rk−2 = rk−1qk + rk

rk−1 = rkqk+1 + 0.


Aquı confrontamos cada etapa con la posibilidad de tener cero por residuo;pero suponemos que esto no sucede sino hasta el k-esimo paso de la division,o diciendolo en otra forma, definimos a k como el numero de la etapa enla cual aparece cero como residuo. En esta parte el proceso debe detenerseporque la division por cero no esta definida. Por otro lado, eventualmentedebe aparecer un cero como residuo puesto que b > r1 > r2 > . . . > rk es unasucesion finita estrictamente decreciente de naturales; y como existen b − 1enteros positivos menores que b, despues de a lo mas b − 1 divisiones debeobtenerse el esperado cero como residuo.

En conclusion, si b no divide a a existe siempre un sistema finito de ecua-ciones de la clase anterior y un k-esimo residuo diferente de cero. Aseguramosque para satisfacer las condiciones (1), (2), (3), (4) podemos tomar g = rk.

De la ultima ecuacion observamos que rk | rk−1 entonces

rk−2 = rk−1 + rk

= (rkqk+1)qk + rk

= rk(qk+1qk + 1)

o sea que rk|rk−2.Siguiendo el proceso vemos de las dos primeras ecuaciones que rk|a y

rk|b, luego rk es un divisor comun a y b. Expresando los residuos sucesivosse obtiene

r1 = a− bq1r2 = b− r1q2

= b− (a− bq1)q2= b− aq2 + bq1q2

= a(−q2) + b(1 + q1q2).

La forma de estas igualdades indica que rk puede obtenerse por reemplazossucesivos como una combinacion lineal de a y b con coeficientes enteros encuya expresion intervienen los qi, o sea,

rk = ax+ by.

Como rk > 0, por el principio de la buena ordenacion existe un elementomınimo en el conjunto H . Sea h tal elemento, luego para algunos enteros x0,y0 se establece la igualdad

h = ax0 + by0 > 0.


Supongamos que h no divide a a, entonces existen enteros unicos q, r talesque

a = hq + r, 0 < r < h

luego

r = a− hq= a− (ax0 + by0)q

= a(1− x0q) + (−y0q).

Como r < h, implicarıa que h no es el mınimo, llegando a una contradiccion;por consiguiente h|a.

Similarmente h|b y de aquı, h|(ax+ by), o sea, h|rk.Por la propiedad (3) de divisibilidad h ≤ rk. Pero rk|a y rk|b implica que

rk|(ax0 + by0) y en consecuencia rk = h. Por la misma propiedad rk ≤ h,concluyendose que rk = h.

En sıntesis, rk es el mınimo del conjunto de los ax+ by > 0.Sea d tal que d|a y d|b, entonces d|(ax+ by), es decir d|rk.Como rk cumple las cuatro condiciones del teorema, es posible afirmar

que rk = g = (a, b).Si a < b, intercambiamos los roles.Si a < 0 y b < 0 determinar g correspondiente a los respectivos valores

absolutos.Si a = 0, entonces | b | = g = (a, b).Para demostrar la unicidad, tomemos g, g1 dos enteros que satisfacen las

condiciones del teorema, entonces g|a y g|b implica que g|g1.Por otra parte g1|a y g1|b implica g1|g y como consecuencia g ≤ g1 y

g1 ≤ g determinandose que g = g1.

El teorema anterior proporciona una regla para hallar el maximo comundivisor de dos numeros por divisiones sucesivas; este es el ultimo residuodiferente de cero que se obtiene al aplicar el algoritmo de Euclides.

El mismo procedimiento puede utilizarse para expresarlo como una com-binacion lineal de dichos numeros. Veamos como es posible mediante el al-goritmo de Euclides calcular el maximo comun divisor de dos numeros.

Ejemplo 1.2.1. Calcular el maximo comun divisor de 42 y 30 y expresarlocomo una combinacion lineal de dichos numeros.


Solucion.

42 = 30× 1 + 12

30 = 12× 2 + 6

12 = 6× 2 + 0.

La ultima igualdad indica que (42, 30) = 6. Ahora,

6 = 30− 12× 2

= 30− (42− 30)2

= 30− 42× 2 + 30× 2

= 30× 3− 42× 2

= 30× 3 + 42(−2).

El ultimo renglon muestra la escritura de 6 como una combinacion lineal de42 y 30, donde intervienen 3 y −2.

Teorema 1.2.2. Sean a, b enteros, entonces,

1. (a, b) = (a, b+ ka).

2. (a, b) = (a,−b) = (−a, b) = (−a,−b).3. (ka, kb) = | k |(a, b) si k �= 0.

4. Si d|a, d|b, entonces (ad, b

d) = 1

|d|(a, b).

5. Si g = (a, b), entonces (ag, b

g) = 1.

Demostracion. Seang = (a, b)

g1 = (a, b+ ka).

Si g|a y g|b, entonces para cualquier entero k, g|(a, b+ka), luego g|g1 y comog > 0, g1 > 0 necesariamente g ≤ g1.

Por otra parte, g1|a, y g1|(b+ ka), implica que g1|(b+ ka− ka), o sea g1|by por razones similares g1 ≤ g.

En atencion a las dos desigualdades se concluye que g = g1.

El resto de la demostracion se asigna como ejercicio.


Definicion 1.2.2. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros, si gi = (ai, ai+1), entonces,gn−1 = (a1, a2, . . . , an). Si gn−1 = 1, los ai se dicen primos relativos ocoprimos.

Un caso particular se da cuando n es igual a 2. La definicion anteriorgarantiza la existencia del maximo comun divisor de mas de dos numeros, elcual se puede considerar como el divisor comun positivo que es divisible portodo comun divisor.

Definicion 1.2.3. Sean ai, 1 ≤ i ≤ n, n enteros. Si (ai, aj) = 1, para i �= jelementos de {1, 2, . . . , n}, entonces se dice que los ai, aj son primos relativosdos a dos.

Por ejemplo (6, 5, 10) = 1, pero ellos no son primos relativos dos a dosporque 5 divide a 10. En cambio 10, 9, y 49 son primos relativos dos a dos.

Teorema 1.2.3. Sean a, b dos enteros, si a = bq+ r, entonces (a, b) = (b, r).

Demostracion. (a, b) = (bq + r, b) = (bq + r − bq, b) = (r, b) = (b, r).

Lema 1.2.1. Lema de Euclides. Si a|bc y (a, b) = 1, entonces a|c.Demostracion. Si (a, b) = 1 existen enteros x, y tales que 1 = ax + by,entonces, c = acx + bcy pero por hipotesis a|bc y a|a luego a|(acx + bcy), osea, a|c.

Esta proposicion se conoce mejor como la primera version del lema deEuclides.

Ejemplo 1.2.2. Si (a, 4) = 2, (b, 4) = 2, demostrar que (a + b, 4) = 4.

Solucion. Si (a, 4) = 2, entonces 2|a, luego existe un impar x tal que a = 2x.Si x fuera par, entonces x = 2m, y por lo tanto a serıa igual a 4m, de donde seconcluirıa que (a, 4) = (4m, 4) = 4. Como (b, 4) = 2, por las mismas razones,b = 2n, para un impar n. Efectuando la suma, a+ b = 2(x+n) = 4z, puestoque x+ n es un par, de donde se concluye que (a+ b, 4) = 4.

Ejemplo 1.2.3. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a+ b, a− b) = 1 o 2

Solucion. Sean (a, b) = 1. Si g = (a+ b, a− b), entonces g| [(a+ b)± (a− b)].Tomando los signos positivo y negativo en ese orden se deduce que g|2a, g|2by por consiguiente g|(2a, 2b), luego g|2(a, b), de donde se concluye que g|2puesto que (a, b) = 1. Pero g > 1, infiriendose que g = 1 o g = 2.


Examinando los conjuntos formados con los multiplos de 2 y de 3 es facildarse cuenta que la interseccion consta de todos los numeros de la forma2 × 3n. De acuerdo con el principio de la buena ordenacion este conjuntoposee un elemento mınimo, el numero 6, indicando que 6 es el menor de losmultiplos comunes a 2 y 3. Esta situacion se puede generalizar a toda parejade enteros con la condicion de ser por lo menos uno de los dos diferente decero, dando como resultado la existencia del mınimo comun multiplo de dosenteros cualesquiera prevista la restriccion anotada. Tome el valor absolutodel producto y divida entre el maximo comun divisor de los numeros dados,este cociente siempre es posible puesto que el divisor nunca es cero y por laforma como esta concebido es un entero positivo.

Teorema 1.2.4. El entero [a, b] = | ab |(a, b)

tiene las siguientes propiedades

1. [a, b] ≥ 0.

2. a| [a, b].3. Si a|m y b|m, entonces [a, b]|m.

La demostracion se deja al estudiante. Al elemento descrito en el teorema1.2.4 se le llama el mınimo comun multiplo de los numeros dados. El conceptoes facilmente extensivo a mas de dos enteros.

EJERCICIOS

1. Demostrar los numerales restantes del teorema 1.2.2.

2. Dado (u, v) = 1; si u|n y v|n, entonces uv|n.

3. Mediante el algoritmo de la division hallar el maximo comun divisorde:

a) 1001 y 7655.

b) 4148 y 7684.

c) 11 y 15.

d) 144 y 24.

e) ) 75, 50 y 125.


4. Demostrar que si (a, b) = 1 y c|a, entonces (c, b) = 1.

5. Demostrar que si (a, b) = 1, entonces (a2 + b2, a+ b) = 1 o 2.

6. Demostrar que el ejercicio 2 no necesariamente es cierto si (u, v) > 1.

7. Demostrar que para todo n, 5|(n5 − n).

8. Si (a, b) = 1, hallar los posibles valores de (a+ 3b, a2 − b2).9. Demostrar que si (a, b) = 1, (ac, b) = (c, b), para todo entero c.

10. Demostrar que si (b, c) = 1, entonces (a,bc) = (a, b)× (a, c).

11. Demostrar que si ax+ by = n, entonces (a, b)|n.

12. Demostrar que no es posible la simplificacion de la fraccion a1+a2

b1+b2, si

a1b2 − a2b1 = ±1.

13. Hallar el mınimo comun multiplo de,

a) 24 y 144.

b) 1001 y 765.

c) 36, 12 y 144.

14. Demostrar que si l = [a, b] y n es un multiplo comun de a y b, entoncesl|n. Sugerencia: Suponer que l no divide a n.

1.3. Congruencias

La solucion en los enteros de la ecuacion ax + by = c, llevo a Diofanto a lacomparacion de residuos entre algunos de sus componentes. Tomemos, porejemplo,

8x− 19y = 2.

Como la diferencia es 2, x puede ser par o impar, y necesariamente debe serpar. Por ejemplo, x = 5, y = 2; x = 24, y = 10.

Usando el algoritmo de Euclides

19 = 8× 2 + 3

1.3. CONGRUENCIAS 25

8 = 3× 2 + 2

3 = 2× 1 + 1.

Despejando y reemplazando en orden inverso y conmutando los productos,

1 = 3− 2× 1

= 3 + 3× 2− 8

= 3× 3− 8

= 3(19− 8× 2)− 8

= 19× 3− 8× 7

= 8(−7)− 19(−3)

multiplicando por 2

2 = 8(−7× 2)− 19(−3× 2).

Sumando y restando 8(19)t al segundo miembro de esta ultima igualdad,despues de conmutar y factorizar, se tiene

2 = 8[(−7× 2) + 19t]− 19[(−3× 2) + 8t].

De esta igualdad se deduce que, si t es un entero; al dividir a 8[(−7×2)+19t]y a 19[(−3× 2) + 8t] por 2, el residuo debe ser el mismo.

La solucion general esta dada por

x = −(7× 2) + 19t, y = −(3× 2) + 8t.

Si t = 1, x = 5, y = 2 y si t = 2, x = 24, y = 10.Existen muchos otros problemas en los cuales debe hacerse comparacion

de residuos. Los numeros que tienen identico residuo se les denomina equirre-siduales o congruentes y es obvio que pertenecen a una misma clase residual.

Definicion 1.3.1. Dados dos enteros a y b, m un natural diferente de cero,se dice que a es congruente con b modulo m si y solo si m|(a− b) y se notaa ≡ b mod m.

Ejemplos 17 ≡ 2 mod 5, 14 ≡ −6 mod 10.La congruencia es una relacion de equivalencia.Para cualquier natural m diferente de cero y para cualquier entero a, m es

un divisor de cero y por ende de a−a; esta situacion conlleva a la reflexividad.


Si m es un divisor de a− b, tambien lo es de b− a, propiedad que implica lasimetrıa.

Si m es simultaneamente divisor de a− b, y, de b− c, lo sera de la sumay por tanto de a− c, verificandose la transitividad.

Para una relacion de equivalencia definida en un conjunto S y para cadaelemento a de S, existe un conjunto formado por todos los elementos relacio-nados con a denominado la clase de equivalencia de a, notado [ a ]. Si b es unelemento de S que no esta relacionado con a tambien existe la clase de equiva-lencia de b y ası sucesivamente. Estas clases tienen la particularidad de no servacıas, de no tener elementos comunes, de poder incluir cada elemento de Sen alguna de ellas y la union de todas debe ser todo S. Ya habra oportunidadde hacer una mejor exposicion de este tema en otro contexto.

Teorema 1.3.1. Sean x, y enteros. Si a ≡ b mod m, c ≡ d mod m, entonces

1. (xa+ yc) ≡ (xb+ yd) mod m.

2. (a+ c) ≡ (b+ d) mod m.

3. xa ≡ xb mod m.

Demostracion. Por hipotesis m|(a − b), m|(c − d). Por la propiedad (2) dedivisibilidad m| [x(a− b)+y(c−d)], entonces m| [(xa+yc)− (xb+yd)] y pordefinicion, (xa + yc) ≡ (xb+ yd) mod m. Si x = y = 1 se tiene (2). Si y = 0se tiene (3).

Teorema 1.3.2. Si a ≡ b mod m y c ≡ d mod m, entonces ac ≡ bd mod m.

Demostracion. Como m|(a− b), m|(c− d), entonces m|(ac− bc+ bc− bd) dedonde m|(ac− bd) y por definicion ac ≡ bd mod m.

Una regla para multiplicar un numero de tres dıgitos por 1001 consisteen escribirlo dos veces. Por ejemplo, 152× 1001 = 152152. Por otra parte ladescomposicion en factores primos de 1001 es 1001 = 7× 143. Estos hechospermiten hallar rapidamente el factor desconocido del producto 143x si cono-cemos los tres ultimos dıgitos del resultado. La clave consiste en multiplicarestas cifras por 7 y tomar nuevamente las tres ultimas cifras de este nuevoproducto. Por ejemplo, si 143x = 61204 se toman las tres ultimas cifras, estoes, 204 y multiplicando por 7 se obtiene 204×7 = 1428. El factor desconocidoes 428. Puede comprobarlo.


En terminos de congruencias, deseamos encontrar un numero x de una,dos o tres cifras donde b es la cantidad formada con las tres ultimas cifras de143x. Esto lo podemos transformar en:

143x ≡ b mod 1000.

Ademas7 ≡ 7 mod 1000.

Multiplicando miembro a miembro

7× 143x ≡ 7b mod 1000

en otros terminos1001x ≡ 7b mod 1000

pero1001 ≡ 1 mod 1000

yx ≡ x mod 1000

por tanto1001x ≡ x mod 1000

finalmentex ≡ 7b mod 1000.

Esta congruencia indica que los tres ultimos dıgitos de x concuerdan con lostres ultimos dıgitos de 7b. Como x tiene a lo mas tres dıgitos, los tres ultimosde 7b determinan completamente a x.

Teorema 1.3.3. Si a ≡ b mod m, entonces para todo n ∈ N, an ≡ bn mod m.

Demostracion. Por induccion matematica.Por hipotesis el teorema se verifica para 1. Supongamos que se verifica

para k, esto es,ak ≡ bk mod m.

Usando el teorema 1.3.2,

aka ≡ bkb mod m,

pero esta expresion es equivalente a

ak+1 ≡ bk+1 mod m.

Es decir la proposicion es valida para todo natural n.


Teorema 1.3.4. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros.

Si a ≡ b mod m, entonces f(a) ≡ f(b) mod m.

Demostracion. Sea f(x) =n∑

i=0

cixi un polinomio con coeficientes enteros,

f(a) =

n∑i=0

ciai

entonces

f(a) ≡n∑

i=0

ciai mod m.

Usando los teoremas 1.3.3 y 1.3.1 respectivamente

n∑i=0

ciai ≡

n∑i=0

cibi ≡ f(b) mod m

y por aplicacion de la propiedad transitiva f(a) ≡ f(b) mod m.

La demostracion del siguiente teorema es una de aquellas tareas faciles sise usa la induccion matematica.

Teorema 1.3.5. Si aj ≡ bj mod m, entoncesn∑

i=0

aj ≡n∑

i=0

bj mod m para todo

n ≥ 1.

En lo que sigue se enuncian algunas propiedades importantes de las con-gruencias, especialmente las restricciones impuestas a la ley cancelativa delproducto. El factor a cancelar puede ser parte decisiva de la divisibilidad in-herente a la congruencia considerada. Dos de estas propiedades se establecende la siguiente manera y sus demostraciones se dejan al interes de los lectores.

1. Sea d �= 0 un natural tal que d|m. Si a ≡ b mod m, a ≡ b mod d.

2. a ≡ b mod xi, 1 ≤ i ≤ n si y solo si a ≡ b mod l, l = [x1, x2, . . . , xn].

Teorema 1.3.6. Si g = (a,m), ax ≡ ay mod m si y solo si x ≡ y mod mg.


Demostracion. Si g = (a,m), existen m1, a1, (m1, a1) = 1, m, g,m1 enterospositivos tales que,

a = a1g, m = m1g.

Peroax ≡ ay mod m, si y solamente si, m|a(x− y)

o equivalentemente, despues de realizar los reemplazos correspondientes ycancelar,

m1|a1(x− y)expresion equivalente, de acuerdo con el lema de Euclides, a

m1|(x− y).La definicion de congruencia indica que

x ≡ y mod m1.

Pero, m1 = mg. Realizando la sustitucion se obtiene lo pedido.

Teorema 1.3.7. Si ax ≡ ay mod m y (a,m) = 1, entonces x ≡ y mod m.

Demostracion. En el teorema anterior tome g = 1.

Teorema 1.3.8. La congruencia ax ≡ b mod m tiene solucion si y solamentesi (a,m)|b. Si g = (a,m), existen g diferentes soluciones modulo m.

Demostracion. Considerese la congruencia

ax ≡ b mod m

donde a, b,m, son enteros y m > 0. Por hipotesis m|(ax− b).Si el entero s es una solucion, m|(as− b). Por la propiedad (2) de divisi-

bilidad para cualquier entero k,

m| [a(s+ km)− b]por tanto

a(s+ km) ≡ b mod m,

o sea, s + km es otra solucion. Ası pues, si s es una solucion tambien loes cualquier otro elemento de la clase de equivalencia [ s ] modulo m. En


consecuencia, si ax ≡ b mod m tiene soluciones, estas son elementos de unao mas clases de equivalencia del conjunto cociente Z/m.

Suponga ahora que

(a,m) = 1 = ra+ tm.

Entonces,b = bra+ btm.

Despejando,a(br)− b = (−bt)m

esto es, m| [a(br)− b)], concluyendose que br es una solucion.Sea s = br y supongamos que u es otra solucion. Como

as ≡ b mod m y au ≡ b mod m,

sigue queas ≡ au mod m,

o sea, m|a(s− u).Pero (a,m) = 1 entonces, por el lema de Euclides, m|(s− u) y de aquı se

concluye s ≡ u mod m.En sıntesis ax ≡ b mod m tiene una solucion s y [ s ] denominada la clase

de congruencia contiene todas las soluciones. Supongamos que

(a,m) = g = ra+ tm > 1.

Como a = cg, m = dg se sigue que si s es una solucion, entonces

as− b = mq = dgq.

Reemplazando y transponiendo terminos de obtiene

b = g(cs− dq).

Ahora es obvio que g|b.Recıprocamente, supongamos que g = (a,m) divide a b y escribamos

a = cg, b = eg, entonces de acuerdo con el hecho de ser ax ≡ b mod m sesigue que cg ≡ eg mod m.

Por el teorema 1.3.6,


cx ≡ e mod n, n =m

g.

Por tanto toda solucion de ax ≡ b mod m es solucion de cx ≡ e mod ny viceversa. Ahora bien, (c, n) = 1 de modo que cx ≡ e mod n tiene unasolucion y por tanto ax ≡ b mod m tiene soluciones, quedando demostradala primera parte del teorema.

Para la segunda parte sea

S = {s, s+ n, s+ 2n, . . . , s+ (g − 1)n} ⊆ [ s ]

el conjunto que contiene la totalidad de las soluciones de cx ≡ e mod n. Parademostrar que no hay dos elementos de S congruentes modulo m, ası queax ≡ b mod m tiene por lo menos g soluciones incongruentes, en tanto quecada elemento de [ s ]−S es congruente modulo m con algun elemento de S.Luego ax ≡ b mod m tiene a lo mas g soluciones incongruentes.

Sean s + kn, s + ln con k �= l dos elementos diferentes de S. Aceptemosque son congruentes modulo m, entonces m|(k− l)n, o sea, ng|(k− l)n, y porconsiguiente g|(k− l), pero (k− l) < g, implicando que k− l = 0, de donde seconcluye que k = l, contradiciendo el supuesto. De modo que los elementosde S son incongruentes modulo m.

Sea por ejemplo,

s+ (qg + r)n, g > r ≥ 0, q > 0

un elemento arbitrario de [ s ] − S. Como gn = m, reordenando y reempla-zando:

s+ (gq + r)n = (s+ rn) + q(gn)

= (s+ rn) + qm.

Pero (s+ rn) + qm ≡ (s+ rn) mod m, y (s+ rn) ∈ S ya que r < g.De modo que ax ≡ b mod m tiene exactamente g soluciones incongruen-

tes, siempre y cuando (a,m) = g, g|b.Teniendo la teorıa suficiente nos proponemos demostrar que a pesar de

ser compuesto, 341 divide a (2341 − 2).

Solucion. El teorema de Fermat establece que

210 ≡ 1 mod 11.


Por tanto2341 ≡ 2(210)34 ≡ 2 mod 11

y en consecuencia11|(2341 − 2).

Ademas,25 ≡ 32 ≡ 1 mod 31

luego2341 ≡ 2(25)68 ≡ 2(1)68 ≡ 2 mod 31

de donde se concluye que31|(2341 − 2).

Puesto que 11 y 31 son primos relativos, su producto divide a (2341−2). Estoes, 341|(2341 − 2).

Los chinos se equivocaron y en honor al equıvoco se dice que un compuestoque verifica la anterior proposicion es un seudoprimo. 341 es un seudoprimo.

Ejemplo 1.3.1. Resolver la congruencia 14x ≡ 5 mod 45.

Solucion. Como (14, 45) = 1 y 1|5, existe una unica solucion. Dado que

5 ≡ 50 mod 45,

por la propiedad transitiva

14x ≡ 50 mod 45.

Pero (2, 45) = 1, luego simplificando por 2, resulta

7x ≡ 25 mod 45.

Pero25 ≡ 70 mod 45,

por tanto7x ≡ 70 mod 45,

ademas (7, 45) = 1, lo que permite simplificar por 7, reduciendose a

x ≡ 10 mod 45,


lo que en terminos de divisibilidad se traduce en

45|(x− 10)

de donde se recibe finalmente la ecuacion,

x = 45k + 10, 0 ≤ k ≤ 44

considerada la solucion general. Si k = 0 se obtiene la solucion particularx = 10.

Ejemplo 1.3.2. Resolver 3x ≡ 2 mod 78.

Solucion. En la congruencia 3x ≡ 2 mod 78, (3, 78) = 3, pero 3 no divide a2, por lo tanto no existe solucion.


Solucion. (6, 14) = 2 y 2|10, entonces existen dos soluciones. Por el teorema1.3.6, simplificando,

3x ≡ 5 mod 7.

Como 5 ≡ 12 mod 7, entonces

3x ≡ 12 mod 7

de dondex ≡ 4 mod 7

porque (3, 7) = 1. En total se obtienen dos soluciones

x ≡ 4 mod 7

x ≡ 4 mod 14

y al final las igualdades

x = 7k + 4, 0 ≤ k ≤ 6

x = 14k + 4, 0 ≤ k ≤ 13.

Para k = 1, se obtienen las soluciones respectivas, x = 11 y x = 18. Observeque 11 y 18 no son congruentes modulo 14.


Algunas veces es de mas utilidad usar el algoritmo de la division pararesolver congruencias como en el caso que presentamos a continuacion quepor lo grande del modulo y los coeficientes, los metodos utilizados hasta ahorano son recomendables


Solucion. Como (343, 1426) = 1, existe una unica solucion. Aplicando elalgoritmo de Euclides,

1426 = 343× 4 + 54

54 = 1426− 343× 4

343 = 54× 6 + 19

19 = 343− 54× 6

54 = 19× 2 + 16

16 = 54− 19× 2

19 = 16× 1 + 3

3 = 19− 16× 1

16 = 3× 5 + 1

1 = 16− 3× 5.

A continuacion procedemos a expresar a 1 como una combinacion lineal de343 y 1426.

1 = 16− 3× 5

= (54− 19× 2)− (19− 16× 1)5

= 54− 19× 7 + 16× 5

= 54− 19× 7 + (54− 19× 2)5

= 54× 6− 19× 17

= 54× 6− (343− 54× 6)17

= 54× 6− 343× 17 + 54× 102

= 54× 108− 343× 17

= (1426− 343× 4)108− 343× 17

= 1426× 108− 343× 432− 343× 17

= 1426× 108− 343× 449.


Multiplicando por 15, el primero y el ultimo miembros,

15 = 1426(108× 15)− 343(449× 15).

Multiplicando por (−1) esta ultima igualdad y transponiendo terminos setransforma en,

343(−449× 15)− 15 = 1426(−108× 15),

expresion que traducida en terminos de congruencia significa

343(−449× 15) ≡ 15 mod 1426.

Comparando esta congruencia con la original, debido al parecido de las ex-presiones se deduce que

x ≡ −449× 15 mod 1426

de donde finalmente se puede escribir como consecuencia de la definicion

x = −449× 15 + 1426k, 0 ≤ k ≤ 1425.

Si k = 1, entonces

x = −449× 15 + 1426

= −6735 + 1426

= −5309.

Si k = 5,

x = −6735 + 1426× 5

= −6735 + 7130

= 395,

corresponde a la primera solucion positiva.

EJERCICIOS

1. Demostrar el teorema 1.3.5.


2. Resolver las siguientes congruencias,

a) 3x ≡ 2 mod 5.

b) 243x+ 17 ≡ 101 mod 725.

c) 5x ≡ 2 mod 7.

d) 9x ≡ 21 mod 12.

e) 6x+ 3 ≡ 1 mod 10 .

3. Demostrar que si m es entero, m2 ≡ 0 o 1 mod 4.

4. Mostrar que la congruencia 6x ≡ 5 mod 78 no tiene solucion.

5. Usando el algoritmo de Euclides resolver las siguientes congruencias,

a) 243x+ 17 ≡ 101 mod 725.

b) 3x ≡ 2 mod 5.

c) 7x ≡ 21 mod 14.

6. Demostrar que para todo x, x3 ≡ x mod 3 y x5 ≡ x mod 5.

7. Demostrar que el discriminante b2 − 4ac ≡ 0 o 1 mod 4.

1.4. Criterios de divisibilidad

Las congruencias hacen posible desarrollar los criterios de divisibilidad usadosen Aritmetica de los cuales se demostraran los mas usados. El primero es elCriterio de divisibilidad por 2.

Ejemplo 1.4.1. Un entero es divisible por 2 si y solo si la cifra de susunidades es un numero par

Solucion. Sea n un entero divisible por 2, n se puede escribir en forma unicacomo

n =m∑

k=0

ak10k

pero 10 ≡ 2 mod 2, entonces por el teorema 1.3.4

m∑k=0

ak10k ≡m∑

k=0

ak2k mod 2

1.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 37

por consiguiente

n ≡m∑

k=0

ak2k mod 2

y como 2|n,

2

∣∣∣∣[n−

(n−

m∑k=0

ak2k

)].

Iniciando la sumatoria con k = 1 y sumando a0, esta expresion se puedeescribir en forma equivalente como,

2

∣∣∣∣[

m∑k=1

ak2k + a0

]

y su validez depende de ser a0 par, puesto que los restantes componentes sontodos divisibles por 2.

Si n es un entero terminado en cifra par se puede escribir

n = 2k +m∑

k=1

ak10k, 2k = a0, 0 ≤ k ≤ 4.

Por la forma de representar a n, se concluye que debe ser par.

Ejemplo 1.4.2. Un entero es divisible por 3 si y solo si la suma de susdıgitos es un multiplo de 3.

Solucion. Sea n un entero divisible por 3.

1k ≡ 10k mod 3

entoncesm∑

k=0

ak10k ≡m∑

k=0

ak1k mod 3

sustituyendo la sumatoria por n

n ≡m∑

k=0

ak1k mod 3.


Por definicion de congruencia,

3

∣∣∣∣[n−

m∑k=0

ak1k

]

Debido a que 3|n la propiedad (2) de divisibilidad y el reemplazo de n porla sumatoria permiten escribir,

3

∣∣∣∣[

m∑k=0

ak10k −(

m∑k=0

ak10k −m∑

k=0

ak

)]

lo que conduce a afirmar que

3

∣∣∣∣ m∑k=0

ak.

Supongamos quem∑

k=0

ak = 3c

luegom∑

k=1

ak + a0 = 3c

despejando,

a0 = 3c−m∑

k=1

ak

sumando,m∑

k=1

ak10k + a0 = 3c+m∑

k=1

ak10k −m∑

k=1

ak

sustituyendo se obtiene

n = 3c+m∑

k=1

ak

(10k − 1

)de donde se observa que 3|n, ya que 3|(10k − 1).


Ejemplo 1.4.3. Un entero es divisible por 7 si y solo si, separando la cifrade las unidades, multiplicandola por 2, restando este producto de lo que quedaa la izquierda y ası sucesivamente, el resultado es cero o un multiplo de 7.

Solucion. Sea n un entero tal que

m∑k=1

ak10k−1 − 2a0 = 7c

multiplicando por 10 ambos miembros

m∑k=1

ak10k − 20a0 = 70c

sumando 21a0 a ambos lados,

n = 70c+ 21a0

o equivalentemente, 7|n.Realizando el proceso r veces

m∑k=r

ak10k−r +

r−1∑k=0

(−1)r−k2r−kak = 7t.

Multiplicando por 10r ambos terminos,

m∑k=r

ak10k +

r−1∑k=0

(−1)r−k2r−kak10r = 7× 10rt.

Sumando a ambos lados la expresion

r−1∑k=0

[10k − (−1)r−k2r−k10r

]ak.

Reorganizando terminos y factorizando se llega a la igualdad

n = 7× 10rt+

r−1∑k=0

10k[1± (2× 10)r−k

]ak.


En la expresion [1± (2× 10)r−k] se toma el signo mas si r − k es impar y elsigno menos si r − k es par, 0 < r − k ≤ m.

Pero 7|[1 + (2× 10)r−k] si r− k es impar e igualmente 7|[1− (2× 10)r−k]si r − k es par. Por lo visto 7|n.

Suponga que n es divisible por 7, pero que

m∑k=1

ak10k−1 = 7s+ r, con 0 < r < 7.

Siguiendo el procedimiento de los casos anteriores n = 70s + 21a0 + 10r, locual implica que 7 no divide a n, contradiciendo el supuesto. Para el casogeneral proceda de la misma manera.

Ejemplo 1.4.4. Un entero es divisible por 11 si y solamente si la diferenciaentre la suma de sus dıgitos de lugar impar y la suma de sus dıgitos de lugarpar es cero o multiplo de 11.

Solucion. Supongamos que n tiene un numero impar de dıgitos y verifica laprimera condicion

n =

2m∑k=0

ak10k.

Pero 10 ≡ −1 mod 11, lo que significa que

2m∑k=0

ak10k ≡2m∑k=0

ak(−1)k mod 11.

Aplicando un razonamiento similar al de las ocasiones precedentes medianteel uso de la propiedad (2) de divisibilidad se llega a

11

∣∣∣∣ 2m∑k=0

ak(−1)k

de esta expresion se concluye

2m∑k=0

a2k −m−1∑k=1

a2k+1 = 11t.

Igualdad que expresa la conclusion deseada y sera el punto de partida parademostrar la segunda parte.


De la ultima igualdad, despues de efectuar algunas transformaciones es-cribimos

a0 = 11t−m∑

k=1

a2k(−1)2k +m+1∑k=0

a2k+1(−1)2k+1

agregando a ambos miembros de la ecuacion la expresion

2m∑k=1

ak10k

se llega a la igualdad

n = 11t+2m∑k=1

(102k − 1)a2k +m+1∑k=0

(102t+1 + 1)a2k+1

factorizando el miembro de la derecha se obtiene

n = 11t+

m∑k=1

(102k − 1)a2k +

m+1∑k=0

(102k+1 + 1)a2k+1.

Pero 11|(102k − 1) y 11|(102k+1 + 1), por lo tanto 11|n.Si n tiene un numero par de dıgitos se procede de semejante manera.Es necesario hacer notar que en la demostracion de los criterios de divisi-

bilidad se asumio que n era un entero positivo a pesar de no hacer mencion ex-plıcita de este hecho. Las propiedades de la divisibilidad ası lo justifican.

EJERCICIOS

1. Demostrar: Un entero es divisible por 5 si y solo si termina en cero oen 5.

2. Demostrar: Un entero es divisible por 13 si y solo si separando la cifrade las unidades, multiplicandola por 9, restando este producto de loque queda a la izquierda y ası sucesivamente, da cero o multiplo de 13.

3. Demostrar: Un entero es divisible por 17 si y solo si separando la cifrade las unidades, multiplicandola por 5, restando este producto por loque queda a la izquierda, y ası sucesivamente da cero o multiplo de 17.

4. Demostrar: Un entero es divisible por 19, si y solo si, separando la cifrade las unidades, multiplicandola por 17, restando este producto de loque queda a la izquierda, y sı sucesivamente, da cero o multiplo de 19.


1.5. Sistemas de numeracion

La invencion de un sistema de numeracion, que ahora luce tan natural costo mu-chos milenios a la humanidad. Los pueblos primitivos trajinaban con conjun-tos muy reducidos y los valoraban o comparaban sin necesidad de conocerlos nombres de sus objetos.

El gran descubrimiento fue hallar un procedimiento para nombrar y re-presentar todos los numeros con un conjunto reducido de palabras y sımbo-los que es el objetivo de cualquier sistema de numeracion. La mayorıa delos sistemas de numeracion tienen su fundamento en un numero clave lla-mado base del sistema, que en el sistema decimal es el 10. Los sımbolos,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se denominan dıgitos cuando se usan para representarenteros. El sistema decimal se desarrollo en la India, pero fue introducidoen Europa por los arabes con motivo de la invasion efectuada por estos ulti-mos al continente, por esta razon se le conoce como hindu-arabico, pero maspopularmente como sistema arabico de numeracion.

Cada entero t mayor que 1 puede servir de base para un sistema denumeracion. Escogemos sımbolos arbitrarios para representar los dıgitos, estoes los elementos, 0, 1, 2, 3, 4, . . . , (t− 1). Y sustituimos el numero

n =

m∑k=0

aktk

por el sımbolon = amam−1am−2 · · ·a1a0(t.

Si la base es mayor que 10 debemos buscar sımbolos para sustituir los dıgitosmayores que 9. Por ejemplo para la base 12, hacemos 10 = α, 11 = β. Ası lascosas en dicha base podemos escribir numeros tales como 507β34, 87α35,4129, β03, y ası sucesivamente.

Siempre se ha pensado que el sistema duodecimal serıa muy practicoporque 12 tiene mas divisores primos que 10 y se puede agrupar mejor pordocenas que por decenas, pero esta inquietud se ha reducido al campo delas especulaciones. Lo cierto es que el sistema decimal esta muy adherido aldesarrollo de la humanidad. El sistema binario o los de potencias de 2 hansido popularizados por las computadoras. La tecnologıa de estos artefactosesta basada en los codigos de verdadero-falso, apagado-encendido. El sistemabinario esta conformado por los dıgitos 0, 1, lo que constituye una aparentedesventaja debido a que se necesita una cantidad grande de dıgitos binarios

1.5. SISTEMAS DE NUMERACION 43

para escribir cualquier numero, por ejemplo 1325 = 10100101101. Pero laaparente desventaja se traduce en versatilidad.

1.5.1. Cambio de bases

1. Paso de un numero escrito en una base cualquiera t a la basedecimal. Sea t > 1 una base cualquiera, n un numero escrito en dicha base

n =m∑

k=0

aktk con 0 ≤ ak ≤ (t− 1) para 0 ≤ k ≤ m

esta igualdad proporciona una regla practica para escribir el numero n enbase 10.

Primero desarrollamos todas las potencias de t, desde la cero hasta lam-esima, despues efectuamos todos los productos y por ultimo procedemosa sumarlos. Si realizamos las operaciones en base 10 el resultado sera larepresentacion de n en base decimal.

Ejemplo 1.5.1. Escribir en base 10 el numero 2αβ12.

Las tres primeras potencias de 12 son 1, 12, 144.

2αβ12 = 2× 144 + 10× 12 + 11× 1 = 288 + 120 + 11 = 419.

2. Paso de un numero escrito en base 10 a una base cualquiera. Seat > 1 una base cualquiera, n un numero escrito en base 10 y sea

n = amam−1am−2 · · ·a1a0(t

la expresion de n en base t.

n =

m∑k=0

aktk =

m∑k=1

aktk + a0.

Del tercer miembro y teniendo en cuenta que los valores absolutos de losdıgitos son siempre menores que la base se deduce que si dividimos n por t


se obtiene un cociente q1 y a0 de residuo, es decir, el residuo corresponde alprimer dıgito leyendo de derecha a izquierda.

m∑k=1

aktk =

m∑k=2

aktk + a1.

De esta igualdad observamos que si dividimos por segunda vez por t ob-tenemos nuevos cocientes y residuos q2 y a1 respectivamente, residuo quecorresponde al segundo dıgito leyendo en el mismo orden. Despues de rei-teradas operaciones llega un momento en que se obtienen por cociente yresiduo finales am y am−1 respectivamente, numeros que corresponden a losdos ultimos dıgitos de n en base t.

Las operaciones anteriores se pueden representar en un grafico ası:

. . .. . .

n t

a0 q1 t

ta1q2

qm−2 tam−3

am−2 qm−1 t

am−1 am

Figura 1.1

Este grafico nos dice que para pasar de un numero escrito en base 10 a unabase cualquiera t dividimos el numero dado (operando en base 10) sucesiva-mente por t hasta que lleguemos a un cociente menor que la base y despuestomamos el ultimo cociente y todos los residuos encontrados pero en sentidoretrogrado y estos valores seran las cifras del numero de izquierda a derecha.Hay que notar que si t es mayor que 10 los residuos pueden ser 10 o ma-yores y entonces tenemos que sustituir esos residuos por los sımbolos que lecorresponden en ese sistema.

Ejemplo 1.5.2. Escribir en base 12 el numero 15135510.


Solucion. Tome 10 = α, 11 = β. Efectuando las divisiones sucesivas

151355 = 12× 12612 + 11

12612 = 12× 1051 + 0

1051 = 12× 87 + 7

87 = 12× 7 + 3.

El numero escrito en base 12 es 7370β12.

Ejemplo 1.5.3. Escribir en base 5 el numero 7210.

Solucion.

72 = 5× 14 + 2

14 = 5× 2 + 4.

La respuesta es 2425.

1.5.2. Operaciones en base cualquiera

Un procedimiento para operar numeros en cualquier base (pero todos en lamisma) serıa pasarlos a la base 10, efectuar las operaciones y el resultadodevolverlo luego a la base original.

Para cantidades pequenas otro metodo consiste en operar en la base res-pectiva teniendo el cuidado de recordar que opera en base diferente a ladecimal con el fin de evitar equıvocos. Cuando hay que realizar muchas ope-raciones lo mejor es utilizar una tabla.

La tabla de sumar

Para construir una tabla de sumar, que puede utilizarse para restar, se escribeen fila la sucesion de los numeros hasta donde se quiera, pero por lo menoshasta agotar los dıgitos.

Debajo de esa primera fila se escriben los mismos numeros agregados en launidad, la tercera sera igual a la segunda mas la unidad y ası sucesivamente.

Para sumar dos numeros se toma uno en la primera columna y el otro enla primera fila y la suma estara en la interseccion de la columna y fila queencabezan los sumandos, aunque la propiedad conmutativa permite tomarlossin importar cual se toma en la fila y cual en la columna.

A continuacion se construye una tabla de sumar en base 5.


+ 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 211 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 222 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 233 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 244 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 3010 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 3111 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31 3212 13 14 20 21 22 23 24 30 31 32 33

Figura 1.2

Ejemplo 1.5.4. Sumar: 11112 + 10102 + 1102 + 111012.

Solucion. Tomando las primeras cifras de derecha a izquierda (unidades) yoperando en base dos,

1 + 0 + 0 + 1 = 1 + 1 = 10.

Escribo 0 en la primera posicion del resultado y traslado 1 a la segundaposicion. Tomando las cifras de la segunda posicion mas 1 que traslado seobtiene.

1 + (1 + 1 + 1 + 0) = 1 + (11) = 100.

Escribo 0 en la segunda posicion y traslado 10 a la tercera. Tomando lascifras de la tercera posicion mas 10 se escribe,

10 + (1 + 0 + 1 + 1) = 10 + (11) = 101.

Escribo 1 en la tercera posicion y traslado 10 a la cuarta. Tomando las cifrasde la cuarta posicion mas 10, se tiene,

10 + (1 + 1 + 0 + 1) = 10 + 11 = 101.

Escribo 1 en la cuarta y traslado 10 a la quinta . Tomando las cifras de laquinta posicion mas 10, se obtiene

10 + (0 + 0 + 0 + 1) = 11

cifra que corresponde al ultimo resultado. Finalmente, escribiendo de izquier-da a derecha se obtiene el total: 1111002.

Escribiendo la suma en forma compacta,


1 1 1 11 0 1 0

+ 1 1 01 1 1 0 1

1 1 1 1 0 0

Ejemplo 1.5.5. Efectuar la diferencia 220237 – 46257.

Solucion. Tomando el desarrollo polinomico de 22023 en base siete

22023 = 2×74+2×73+0×72+2×7+3 = 1×74+11×73+6×72+11×7+13.

Recuerde que estamos haciendo un desarrollo en base 7. El desarrollopolinomico de 4625 es,

4625 = 4× 73 + 6× 72 + 2× 7 + 5.

Ahora basta con efectuar las respectivas restas ası,

13− 5 = 5

11− 2 = 6

6− 6 = 0

11− 4 = 4

1− 0 = 1.

Tomando los resultados en orden ascendente y escribiendolos de izquierda aderecha la respuesta obtenida es, 140657. En forma compacta

2 2 0 2 3– 4 6 2 51 4 0 6 5

La tabla de multiplicar

La tabla de multiplicar que tambien sirve para dividir se construye escribien-do la sucesion de los numeros de la base en el sistema en referencia a partir


de 1. En la segunda fila en correspondencia con la primera se escribe el resul-tado de sumar la primera fila consigo misma. La tercera se obtiene sumandola segunda con la primera. La cuarta es el resultado de sumar la primera conla tercera y ası sucesivamente cada nueva fila se obtiene sumando la primeracon la ultima obtenida. Para hallar el producto de dos numeros se toman losfactores se procede en forma similar a la suma. La siguiente es una tabla demultiplicar en base cinco

× 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 211 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 212 2 4 10 13 20 22 24 31 33 40 423 3 11 13 22 30 33 41 44 102 110 1134 4 13 21 31 40 44 103 112 121 130 13410 10 20 24 40 100 110 120 130 140 200 21011 11 22 32 44 110 121 132 143 204 220 23112 12 24 40 103 120 131 144 211 223 240 302

Figura 1.3

Ejemplo 1.5.6. En base 4 se opera de manera semejante a la base 10, exa-minemos el siguiente producto:

Solucion. Se dispone el producto de manera ordinaria.

1 0 2 1 3× 2 2 1

1 0 2 1 32 1 0 3 2

2 1 0 3 22 3 3 0 3 3 3

El resultado es 23303334.Finalmente se da solucion a la siguiente division en base cinco.

Ejemplo 1.5.7. Dividir 231245 entre 325.

Solucion. La operacion se dispone ası:


2 3 1′2′4′

3 2−2 0 1 3 4 2

1 4 4

3 0 2−2 3 3

−1 1 4

3 0

El algoritmo se desarrolla de la siguiente forma. Se toman las tres primerascifras de la izquierda del dividendo, esto es, 231. El numero que multiplicadopor 32 se aproxima mas a 231 es 3. Se multiplica 32 por 3.

32× 3 = 201.

Se efectua la diferencia231− 201 = 30.

A 30 se le agrega la cuarta cifra del dividendo, obteniendose 302. El numeroque multiplicado por 32 se aproxima mas a 302 es 4. Se multiplica 32 por 4.

32× 4 = 233.

Se realiza la diferencia302− 233 = 14.

Tomando la ultima cifra del dividendo, 4 y agregandola a 14 se obtiene 144.El numero que multiplicado por 32 se aproxima mas a 144 es 2. Multiplicando32 por 2.

32× 2 = 114.

La diferencia144− 114 = 30

produce el residuo 30. El cociente es 3425.

Los enteros obtenidos mediante las diferentes bases son equivalentes, porejemplo las igualdades

125 + 205 = 325

710 + 1010 = 1710

213 + 1013 = 1223


conducen a resultados correspondientes. Estas correspondencias se dice queson isomorfismos y a las estructuras se les denomina isomorfas.

EJERCICIOS

1. Construir tablas de adicion y multiplicacion para las siguientes bases:2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12.

2. Usando las tablas del ejercicio anterior, evaluar:

a) 110112 + 10012 + 112 + 102 + 12 + 11000012 + 10001102.

b) 11220013 + 112200023 + 1112123 + 121211213 + 111110013.

c) 7650418 + 6755028 + 123456708 + 765432108 + 1006368.

d) 9α87654311 − 796α2511.

e) 11100010112 − 10001111002.

f ) βα985304β12 − α908548212.

g) 2α912 × β3012.

h) 1101012 × 10112.

i) 650327 × 3427.

j ) 44105 × 3145.

k) Dividir 434015 entre 3105.

l) Dividir 9αβ3412 entre 1812.

m) Hallar la raız cuadrada de los siguientes numeros : 2112, 6912, α112,1412, 4112.

n) Desarrollar (912 + β12)2.

3. Expresar 1220013 en base 12.




7. Demostrar que en un sistema de base n los numeros n, n2, n3, . . . , estanrepresentados por 10, 100, 1000, . . .


8. ¿En que sistema esta expresado por 333n el numero 9310?

9. ¿En que sistema el cuadrado de 23n esta expresado por 613n?

10. Demostrar: Un numero en base n es divisible por (n− 1) si y solo si lasuma de sus dıgitos es un multiplo de (n− 1).

11. Utilizando el ejercicio anterior enuncie un criterio de divisibilidad por9.

12. Demostrar: Un numero en base n, es divisible por (n + 1) si y solo sila diferencia entre la suma de sus cifras de lugar impar y la suma desus cifras de lugar par, de derecha a izquierda, da cero o multiplo de(n+ 1). Compare este criterio con el de divisibilidad por 11.

13. Demostrar: Si H es un numero escrito en base n, y formamos otronumero K alterando el orden de las cifras de H , la diferencia H −K oK −H es divisible por (n− 1).

Capıtulo 2

GRUPOS

2.1. Leyes de composicion internas

El primer contacto que el estudiante tiene con el algebra se produce cuandoaprende a sumar y a multiplicar. Basicamente estas operaciones son reglasque asocian con cada par de numeros dados un unico numero llamado sumay producto respectivamente.

La importancia de una operacion esta ligada a la calidad de los resultadosobtenidos y estos a su vez dependen de las propiedades que se puedan derivarde dicha regla. Para definir una operacion matematica basta con describir loque deseamos efectuar con los elementos de un determinado conjunto, perosi los resultados no conducen a un desarrollo teorico de interes, es necesarioanalizar la definicion propuesta debido a que las propiedades que resulten endefinitiva son inferencias logicas de esta ultima. En el caso de las operacio-nes antes mencionadas las propiedades basicas son ampliamente conocidas yson de tal calidad que se usaron para describir generalizaciones que susten-taron la construccion de estructuras mas complejas estudiadas por el algebramoderna.

Los grupos por ser una estructura con una sola operacion sirven para darcomienzo. Este hecho no los coloca en desventaja con relacion a otras masamplias, antes por el contrario, al servir de base para estudiar conclusionesque por sus limitaciones no podıan resolver, muestran la calidad reclamadapara las leyes de composicion internas.

Definicion 2.1.1. Una ley de composicion interna ∗ definida en un conjuntono vacıo A, es una regla que asocia con cada pareja de elementos de A un

53

54 CAPITULO 2. GRUPOS

unico elemento de A. El elemento de A que es asociado con la pareja (a, b)se nota a ∗ b. En sımbolos,

A× A −→ A

(a, b) −→ a ∗ b.La suma de numeros naturales, el producto de reales, la suma de matrices2 × 2 son conocidas leyes de composicion internas, en cambio la resta denaturales y la division de racionales no lo son, en el primer caso para efectuarla diferencia a−b es necesario que a sea mayor que b, en el segundo la divisionpor cero no esta definida.

Hasta el momento, sin haberlo mencionado, se ha dado por cierto quelas leyes de composicion se efectuan con parejas de elementos; justificandoel nombre de operaciones binarias, pero restringir las operaciones solo conparejas no conduce a satisfacer la expectativa planteada, por tal razon de-bemos aclarar la forma de operar mas de dos elementos. Por otra parte nose ha mencionado el orden de los elementos a operar, para el proposito seenuncian las definiciones que siguen.

Definicion 2.1.2. Una ley de composicion interna ∗ definida en un conjuntoA, se dice asociativa si y solo si, para los elementos a, b, c de A,

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c).Definicion 2.1.3. Una ley de composicion interna ∗ definida en A se diceconmutativa si y solo si, para a, b elementos de A

a ∗ b = b ∗ a.La suma de reales satisface estas dos propiedades, pero la resta no. El pro-ducto de matrices m×n no satisface la propiedad conmutativa, de allı surgela necesidad de decidir cual factor colocamos a la izquierda.

Definicion 2.1.4. Una ley de composicion interna ∗ en un conjunto A, poseeun elemento de identidad o neutro, si existe e en A tal que para todo elementoa de A,

a ∗ e = e ∗ a = a.

Definicion 2.1.5. Una ley de composicion interna ∗ con elemento de iden-tidad e se denomina inversible con respecto a e, si para todo a de A, existea′ en A tal que

a ∗ a′ = a′ ∗ a = e

a′ se denomina entonces el inverso de a.

2.1. LEYES DE COMPOSICION INTERNAS 55

En los reales diferentes de cero la multiplicacion es una ley de compo-sicion interna asociativa, conmutativa, posee elemento de identidad el 1 yes inversible con respecto al 1 (todo real diferente de cero posee un inversomultiplicativo). En los enteros el producto no es inversible a pesar de tenerelemento de identidad.

EJERCICIOS

1. Decida cuales de las siguientes reglas definen operaciones binarias en elconjunto dado y cuales no. En caso afirmativo demostrarlo y en casonegativo dar una razon.

a) En el conjunto de los reales, a ∗ b = ab.

b) En el conjunto de los reales, a ∗ b = a− b.c) En Z+, a∗b = c, donde c es el mayor entero menor que el producto

ab.

d) En el conjunto de los reales, a ∗ b = (ab)12 .

2. En Zn = {x | 0 ≤ x < n}, a ∗ b = r donde r es el residuo de dividira+ b por n. Demuestre que ∗ es una operacion binaria.

3. Sea Z∗n = Zn − {0}, a ∗ b = r, donde r es el residuo de dividir ab por

n. Demuestre que ∗ es una operacion binaria si n es primo. Diga porque no lo es si n es compuesto.

4. En cada uno de los siguientes ejercicios ∗ es una operacion binariadefinida en los enteros. Diga en cada caso y demuestrelo, si la operaciones asociativa, conmutativa, si posee elemento de identidad y si tieneinverso. En caso negativo dar ejemplos.

a) a ∗ b = b.

b) a ∗ b = a+ b+ ab.

c) a ∗ b = a+ b− 1.

d) a ∗ b = a+ ab.

e) a ∗ b = 2a+ 2b.

f ) a ∗ b = ab+ 1.


g) a ∗ b = a− b.5. Con relacion a los ejercicios 2 y 3 diga y demuestre si ∗ es una ope-

racion asociativa, conmutativa, si posee elemento de identidad y si esinversible. En caso negativo dar ejemplos.

6. Dar un ejemplo de una operacion binaria que posea elemento de iden-tidad y sea inversible pero no sea asociativa ni conmutativa.

2.2. Grupos

Una vez estudiadas las propiedades anteriores, veamos como es posible usar-las en la solucion de problemas relacionados con la operacion definida. Porejemplo una determinada situacion puede llevarnos a plantear igualdades deuna de las formas

a ∗ x = b o x ∗ a = b

donde a, b son elementos dados de A, x es un elemento desconocido de A.Si no podemos dar respuesta a este sencillo problema no vale la pena

continuar, por consiguiente debemos presuponer que es posible una solucion.Tomemos por ejemplo la ecuacion de la izquierda

a ∗ x = b.

Operando a izquierda por a′, el inverso de a

a′ ∗ (a ∗ x) = a′ ∗ b.Usando la propiedad asociativa

(a′ ∗ a) ∗ x = a′ ∗ b.Por la propiedad modulativa

x = a′ ∗ b.Estrictamente hablando no se puede decir que la expresion de la derecha dela ultima igualdad sea la solucion, pero se ha demostrado que es la unicaposibilidad. Para demostrar que efectivamente es una solucion, basta conreemplazar el valor de x por a′ ∗ b. Basicamente se necesito contar con laexistencia del elemento neutro, del inverso de a y de la propiedad asociativa.Note la necesidad de la aplicacion de estas propiedades para poder resolverel problema formulado.

2.2. GRUPOS 57

Definicion 2.2.1. Un grupo 〈G, ∗〉 es un conjunto G dotado de una opera-cion ∗ que es

1. Asociativa.

2. Posee elemento de identidad e.

3. Es inversible con respecto a e.

Definicion 2.2.2. Si la operacion ∗ es conmutativa el grupo se dice conmu-tativo o abeliano.

En lo que sigue notaremos los grupos usando la letra G sola, salvo enalgunos casos especiales.

Ejemplo 2.2.1. Sea X un conjunto arbitrario y T (X) el conjunto de todaslas aplicaciones biyectivas, φ : X −→ X. Entonces 〈T (X), ◦〉 es un grupo sise considera como operacion la composicion de funciones.

Para todo x de X

x(ρ ◦ μ) = x(ρμ) = (xρ)μ.

Observe que se esta usando la notacion xφ para representar la imagen de x.Esta forma de escribir tiene la ventaja de ejecutar las operaciones de izquierdaa derecha por ejemplo, ρ ◦ μ indica que primero debe aplicarse ρ y luego μ.Para abreviar se omite el sımbolo de composicion en lo que sigue.

Solucion. Es claro que la composicion es una operacion asociativa. Para todox de X

x[(τρ)μ] = [x(τρ)]μ

= [(xτ)ρ]μ

= (xτ)(ρμ)

= x[τ(ρμ)].

Por lo tanto(τρ)μ = τ(ρμ).

Tiene elemento neutro. La aplicacion identica i definida en X, tal que paratodo x en X

xi = x


actua como elemento de identidad.

Es inversible con respecto a i puesto que toda biyeccion posee inversa conrespecto a la identica.

T (X) se denomina el grupo de las transformaciones en X y es el ejemplomas importante que podemos citar. Posteriormente habra lugar para referir-nos a el y veremos su trascendencia en el desarrollo de la teorıa.

Teorema 2.2.1. Si G es un grupo, entonces

1. Las dos leyes de cancelacion se verifican, esto es

a) Si a ∗ b = a ∗ c, entonces b = c.

b) Si b ∗ a = c ∗ a, entonces b = c.

2. Si a, b son dos elementos cualesquiera de G, las ecuaciones lineales

a ∗ x = b, y ∗ a = b

tienen soluciones unicas en G.

Demostracion. Como G es un grupo, para todo a de G, existe el inverso a′

en G. Supongamos que

a ∗ b = a ∗ c.Multiplicando a izquierda ambos miembros de la anterior igualdad por a′, seobtiene

a′ ∗ (a ∗ b) = a′ ∗ (a ∗ c).Aplicando la propiedad asociativa

(a′ ∗ a) ∗ b = (a′ ∗ a) ∗ c.

Efectuando operaciones y usando la propiedad modulativa, se llega a

b = c.

De manera semejante se procede con la demostracion de (b).

2.2. GRUPOS 59

Anteriormente se comprobo que una posible solucion a la ecuacion lineala ∗ x = b es a′ ∗ b. Para demostrar que verdaderamente lo es efectuemos elreemplazo correspondiente

a ∗ x = a ∗ (a′ ∗ b)= (a ∗ a′) ∗ b= e ∗ b= b.

Se ha comprobado que a′ ∗ b es una solucion.Para demostrar la unicidad supongamos que existen dos soluciones x1, x2

entoncesa ∗ x1 = b = a ∗ x2.

Por aplicacion de la propiedad transitiva de la igualdad y cancelativa a iz-quierda

x1 = x2.

Indicando que la solucion es unica. La otra demostracion es similar, en estecaso se debe aplicar la propiedad cancelativa a derecha.

Teorema 2.2.2. En un grupo,

1. El elemento de identidad es unico.

2. El inverso de un elemento es unico.

Demostracion. Supongamos que existen dos elementos de identidad e1, e2entonces

e1 ∗ a = a ∗ e1 = a

e2 ∗ a = a ∗ e2 = a.

Por la propiedad transitiva de la igualdad

e1 ∗ a = e2 ∗ a.

Por la propiedad cancelativa a derecha

e1 = e2

o sea, el elemento de identidad es unico.


Definicion 2.2.3. Un sistema 〈G, ∗〉 se dice un grupo a izquierda si

1. La operacion es asociativa.

2. Existe un elemento de identidad a izquierda.

3. Para todo a de G existe a′ en G inverso a izquierda.

Los grupos a izquierda y a derecha son conocidos como grupos unilateros.El siguiente teorema demuestra que el concepto de grupo unilatero no es

diferente del concepto de grupo, mas precisamente: Todo grupo unilatero esun grupo y viceversa.

Teorema 2.2.3. Un sistema 〈G, ∗〉 es un grupo a izquierda (respectivamentea derecha) si y solo si es un grupo.

La demostracion la dejamos al cuidado de los interesados.

EJERCICIOS

1. Demostrar que el conjunto G = {a + b√

2 | a, b ∈ Z} es un grupoabeliano para la adicion.


3. Sea una operacion asociativa definida en un conjunto finito G tal quelas dos leyes de cancelacion se verifican en G. Demuestre que G es ungrupo.

4. Demuestre en cada uno de los siguientes ejercicios si el sistema descritoes o no un grupo. En caso negativo diga cual o cuales de los axiomasno se verifican. Para los grupos hallados diga cuales son abelianos ydemuestrelo.

a) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = ab.

b) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = a− b.c) En el conjunto de los reales diferentes de cero, a ∗ b = ab.

d) En el conjunto de los complejos, a ∗ b = a+ b.

2.3. GRUPOS FINITOS Y CONSTRUCCION DE TABLAS 61

e) En el conjunto de los enteros, a ∗ b = a+ b+ 1.

f ) En el conjunto de los racionales del intervalo (0, 1] , a ∗ b = ab.

5. Sea G = {x ∈ R | x �= −1}, a ∗ b = a+ b+ ab.

a) Demostrar que G es un grupo abeliano.

b) Hallar la solucion de la ecuacion, 5× x× 2 = 8.

6. Demostrar que las matrices 2× 2 con elementos complejos

i =

(1 00 1

), j =

(i 00 −i

), k =

(0 1−1 0

), l =

(0 ii 0

)y sus inversas forman un grupo con respecto al producto, llamado elgrupo de los cuaternios.

2.3. Grupos finitos y construccion de tablas

Para un conjunto finito es posible definir una operacion por medio de unatabla. Sea G = {e, a, b} , y la operacion definida por,

∗ e a be e a ba a b eb b e a

Figura 2.1

La regla que define la ley de composicion expresada mediante una tabla es

ai ∗ aj = aij

donde ai es el i-esimo elemento de la columna de encabezamiento, aj es elj-esimo elemento de la fila de encabezamiento, aij el elemento situado en lainterseccion de la i-esima columna con la j-esima fila de las respuestas. Parala tabla de arriba: a ∗ b = e , b ∗ e = b.

Una operacion definida por medio de una tabla es conmutativa si y solosi sus elementos son simetricos con respecto a la diagonal principal, o sea laque comienza en la parte superior izquierda y termina en la parte inferiorderecha. Note que la operacion de la tabla anterior no es conmutativa.


Suponga que e es el elemento de identidad para un grupo 〈G, ∗〉, considereel conjunto {e}. La igualdad e ∗ e = e es la unica posibilidad para operaren este conjunto. Es sencillo demostrar que {e} forma un grupo abeliano.

∗ ee e

Figura 2.2

Tomemos el conjunto G = {e,a}, tratemos de definir una operacion que loconvierta en un grupo. Comencemos la escritura de la tabla.

Como e es el elemento de identidad,

e ∗ a = a ∗ e = a.

Igualmentee ∗ e = e.

Ademas a debe tener su inverso. Si el inverso de a es e,

a ∗ e = e,

contradiciendo la definicion de e, luego a debe ser su propio inverso, esto es,

a ∗ a = e.

La tabla se puede llenar ası,

∗ e ae e aa a e

Figura 2.3

Se debe verificar que la tabla define un grupo abeliano.A continuacion encontremos las condiciones que deben ser impuestas para

que una operacion definida por medio de una tabla convierta un conjuntofinito G en un grupo.

Primero escribimos los elementos de G horizontalmente en un determina-do orden, encabezados por el elemento de identidad e. A continuacion se es-criben en forma vertical y en el mismo orden predeterminado, conformandose


lo que se denominan fila y columna externas y sirven para leer los elemen-tos a operar. Por ejemplo a ∗ b indica que el primer elemento pertenece ala columna y el segundo a la fila. Esta convencion la vamos a respetar a lolargo del texto y es importante aclararlo porque en los grupos no abelianosel orden es decisivo.

Posteriormente se elaboran las filas y columnas internas correspondientesa la parte donde se van a leer las respuestas, estas se denominaran primera,segunda, tercera y ası sucesivamente, de arriba hacia abajo en el caso de lasfilas y de izquierda a derecha para el caso de las columnas.

Debido a que para todo x en G se debe tener la igualdad

e ∗ x = x

necesariamente debemos formar la primera fila interna escribiendola en elmismo orden de la fila externa.

Por otra parte, la igualdad

x ∗ e = x

nos obliga a escribir la primera columna interna en el mismo orden de lacolumna externa.

El hecho que cada elemento x debe tener un inverso a derecha implicaque e debe aparecer en algun lugar en la fila encabezada por x. Como igualsucede con el inverso a izquierda, e debe aparecer en algun lugar de la columnaencabezada por x.

En otras palabras, e debe aparecer en cada fila y en cada columna.Por el teorema 2.2.1 las ecuaciones

a ∗ x = b, y ∗ a = b

tienen soluciones unicas, esto quiere decir que cada elemento de G debeaparecer una y solamente una vez en cada fila y en cada columna.

Suponga ahora que existe una tabla para una operacion en un conjuntofinito donde aparece un elemento actuando como elemento de identidad y quecumple con todas las condiciones expuestas. Se puede ver que la operaciondefinida convierte al conjunto en un grupo si y solo si se verifica la propiedadasociativa. Generalmente esta es laboriosa de comprobar, pero en la practicala informacion acerca de la asociatividad procede con frecuencia de otrasfuentes.


Si G = {e, a, b}, mirando las restricciones impuestas,existe una unicaposibilidad para confeccionar una tabla que dote a G de una estructura degrupo.

Hechas las consideraciones del caso resulta la tabla


Figura 2.4G es un grupo abeliano.

Definicion 2.3.1. Se denomina orden de un grupo G al numero de elementosdel conjunto G y se nota | G |.

Si el orden de G es finito, diremos que G es un grupo finito, en casocontrario se denomina infinito.

Por ejemplo si G = {2, 3, 4, 5} el orden de G, esto es, | G | = 4. El ordende los enteros es infinito.

Se puede proceder de la siguiente forma para demostrar que solo existendos estructuras de grupo diferentes en un conjunto de orden cuatro.

Sea G = {e, a, b, c} donde e es el elemento identico para la operacion��asterisco��. Una tabla debe iniciarse de la siguiente manera

∗ e a b ce e a b ca a ?b bc c

Figura 2.5

En el espacio con la interrogacion puede escribirse unicamente e, b o c. Sise escribe e, la tabla puede ser confeccionada de dos modos para obtenergrupos. Si se escribe b, puede ser completada de una unica forma. Otro tantosucede si se escribe c. Siguiendo el proceso explicado las tablas quedan ası,


TABLA I TABLA II

∗ e a b c ∗ e a b ce e a b c e e a b ca a e c b a a e c bb b c a e b b c e ac c b e a c c b a e

Figura 2.6 Figura 2.7

TABLA III TABLA IV

∗ e a b c ∗ e a b ce e a b c e e a b ca a b c e a a c e bb b c e a b b e c ac c e a b c c b a e

Figura 2.8 Figura 2.9

Dando por cierto que la propiedad asociativa se verifica en cada uno de loscuatro casos, hemos obtenido cuatro grupos aparentemente diferentes; perola realidad es que las tablas I, III, IV son estructuralmente identicos. Tomela biyeccion φ definida de la siguiente manera

eφ = e

aφ = b

bφ = a

cφ = c

y vuelva a escribir la tabla I en el orden eφ, aφ, bφ, cφ

TABLA I∗ eφ aφ bφ cφeφ eφ aφ bφ cφaφ aφ bφ cφ eφbφ bφ cφ eφ aφcφ cφ eφ aφ bφ

Figura 2.10


Esta ultima tabla se elaboro a partir de la I usando la biyeccion φ, porejemplo, dado que aφ = b, bφ = a, la operacion (aφ)(bφ) se calculo mediantelas igualdades

(aφ)(bφ) = ba = c = cφ.

Note que la tabla I vuelta a escribir es identica con la III, salvo el uso delsımbolo de la funcion. Tome hora la biyeccion ψ definida en la forma

eψ = e

aψ = a

bψ = c

cψ = b

y escriba la tabla IV en el orden eψ, aψ, bψ, cψ

TABLA IV∗ eψ aψ bψ cψeψ eψ aψ bψ cψaψ aψ bψ cψ eψbψ bψ cψ eψ aψcψ cψ eψ aψ bψ

Figura 2.11

La tabla IV tambien es identica a la III, salvo el uso del sımbolo de la funcion.En conclusion, las tablas I, III, IV son estructuralmente identicas. Posterior-mente se dira que son grupos isomorfos.

Miremos el grupo constituido por el conjunto G = {0, 1, 2, 3} con la ope-racion + definida mediante la tabla

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

Figura 2.12


Finalmente vamos a estudiar la biyeccion ρ dada por

eρ = 0

aρ = 1

bρ = 2

cρ = 3.

Escribiendo la tabla de 〈G,+〉 en el orden eρ, aρ, bρ, cρ obtenemos

+ eρ aρ bρ cρeρ eρ aρ bρ cρaρ aρ bρ cρ eρbρ bρ cρ eρ aρcρ cρ eρ aρ bρ

Figura 2.13

Con el resultado obtenido hemos agregado un elemento mas a la lista, pu-diendo afirmar que las tablas I, III, IV y 〈G,+〉 constituyen el mismo grupo.La tabla II es el grupo cuaternario de Klein, en honor del matematico alemanFelik Klein, mientras que 〈G,+〉 corresponde al grupo 〈Z4,+〉 de los enterosmodulo 4, conocido tambien como el grupo cıclico de orden 4. Ambos gruposson abelianos

EJERCICIOS

1. En Zn = {x | 0 ≤ x < n}, a ∗ b = r donde r es el residuo de dividira+ b por n. Demuestre que Zn es un grupo abeliano.

2. De acuerdo con el ejercicio anterior,construya las tablas para Z1, Z3,Z4, Z5, Z6, Z13.

3. Sea Z∗p = Zp −{0}, a ∗ b = r, donde r es el residuo de dividir ab por n.

Demuestre que Z∗p es un grupo abeliano si p es primo.

4. De acuerdo con el ejercicio anterior construya las tablas para Z∗2, Z∗

3,Z∗

5, Z∗7, Z∗

13.

5. Sea n �= 0 un entero, Wn = {x ∈ Z∗ | x es primo relativo con n}. Defi-na ∗ como en el ejercicio 3 y demuestre que Wn es un grupo abeliano.


2.4. Notacion

Con el proposito de simplificar la escritura, los algebristas generalmente usanlos conocidos sımbolos de adicion y multiplicacion para designar la ley decomposicion interna definida en un grupo. Se usa el sımbolo + para los gruposabelianos, reservando la notacion de producto para cuando se hace referenciaa grupos que pueden o no ser abelianos. Si se usa notacion aditiva, en lugarde escribir a ∗ b se escribe a+ b y en este caso el inverso de a se nota −a. Engeneral, expresiones como

a ∗ a ∗ a ∗ · · · ∗ a︸︷︷︸n veces

se pueden escribira+ a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸

n veces

= na.

El termino na no tiene el significado que se le asigna en la multiplicacionusual, en este caso lo que se quiere significar es que el elemento a se haoperado por sı mismo n veces, por ejemplo en 〈Z4,+〉

2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 5× 2

= (2 + 2) + (2 + 2) + 2

= 0 + 0 + 2

= 2.

Si se usa notacion de producto, se escribe ab omitiendo el punto y en estecaso el inverso de a se escribe a−1. El producto generalizado se representa

aaaaa · · ·a︸︷︷︸n veces

= an,

sirve para indicar que el elemento a se ha operado por sı mismo n vecesy no tiene el significado que se le asigna a la potenciacion usual. Haciendoreferencia al grupo de Klein

bbbbb = b5

= (bb)(bb)b

= eeb

= b.

2.4. NOTACION 69

Si usamos notacion multiplicativa convenimos en enunciar las definicionesrecursivas.

Definicion 2.4.1. a0 = e, donde e es el elemento de identidad.

Definicion 2.4.2. a1 = a.

Definicion 2.4.3. an = (an−1)a, n > 1, n en N.

Definicion 2.4.4. a−n = (a−1)n = (an)−1 n > 1, n en N.

Se puede demostrar que algunas de las leyes de los exponentes se verifican,por ejemplo

1. aras = ar+s.

2. (ar)s = ars.

3. En general (ab)r �= arbr.

Si se usa notacion aditiva las definiciones anteriores se traducen en

Definicion 2.4.5. 0a = e.

Definicion 2.4.6. 1a = a.

Definicion 2.4.7. na = (n− 1)a+ a, n > 1, n en N.

Definicion 2.4.8. n(−a) = (−n)a = −na, n > 1, n en N.

Tambien se verifican las siguientes propiedades

1. (mn)a = m(na).

2. (m+ n)a = ma+ na.

3. m(a+ b) = ma+mb.

Los grupos finitos presentan propiedades importantes que merecen ser estu-diadas con el proposito de tener mejor conocimiento del comportamiento detales estructuras, analicemos el

Ejemplo 2.4.1. Demostrar que Si G es un grupo finito con un numero parde elementos ( |G| es un par) entonces existe a ∈ G, a �= e, tal que a2 = e.


Solucion. Sea G = {e, a1, a2, . . . , a2n+1} un grupo finito. Si la operacion estal que para todo elemento a de G a2 = e, el problema esta resuelto.

Supongamos que para todo aj en G, aj �= a−1j . Dada la unicidad de los

inversos, es posible reorganizar los elementos de G de tal manera que cadaelemento quede colocado junto a su inverso, esto es, que a2n−1 sea el inversode a2n, para n ≥ 1. Pero a2n+1 no tiene pareja dentro de este nuevo ordeny como ademas a2n+1 �= e, la unica posibilidad es que sea su propio inversoy por tanto (a2n+1)

2 = e. Pero la anterior afirmacion contradice el supuesto,por lo tanto debe existir al menos un elemento ak �= e tal que a2

k = e,1 ≤ k ≤ 2n+ 1.

Por otra parte, tambien se puede demostrar que el enunciado siguiente esvalido

Ejemplo 2.4.2. Si G es un grupo finito, existe un entero positivo N tal queaN = e, para cualquier a de G.

Demostracion. DadoG finito, la coleccion infinita {a, a2, a3, . . . , at, . . . } debeestar contenida en G, pero en algun momento debe haber repeticiones, dadala finitud de G, entonces para algunos enteros r, s, con r > s > 0,

ar = as.

Por la propiedad cancelativaar−s = e.

Sea (r − s) = n, entoncesan = e.

En igual forma para todo ai de G, existe ni tal que

(ai)ni = e.

Sea N el mınimo comun multiplo de los ni, entonces

aN = e

para todo a ∈ G.

2.4. NOTACION 71

EJERCICIOS

1. Si ∗ es una operacion en un conjunto S, un elemento x de S se diceidempotente para ∗ si x ∗ x = x. Demuestre que en un grupo existe ununico elemento idempotente.

2. Demuestre que en todo grupo se verifican las siguientes propiedades

a) aras = ar+s.

b) (ar)s = ars.

3. Dar un ejemplo de un grupo donde (ab)r �= arbr.

4. Demostrar que en todo grupo aditivo se verifican las propiedades,

a) (mn)a = m(na).

b) (m+ n)a = ma+ na.

c) m(a+ b) = ma+mb.

5. Demostrar que si G es un grupo tal que x2 = e, para todo elemento xde G, entonces es abeliano.

6. Demostrar que todo grupo de orden dos, tres, cuatro o cinco es abeliano.

7. Sea G = {x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6}. En G se ha definido una operacionmediante la formula

xixj = xi+j cuando i+ j < 7

xixj = xi+j−7 cuando i+ j ≥ 7.

Demuestre si G es un grupo, en caso contrario demuestre cuales pro-piedades no se verifican.

8. Demostrar que si G es un grupo abeliano, para todo a, b de G, paratodo entero n

(ab)n = anbn.

9. Demuestre que en todo grupo G,

a) (a−1)−1 = a.


b) (ab)−1 = b−1a−1.

10. Sea G un grupo, si para cada a, b de G, (ab)−1 = a−1b−1, entonces Ges abeliano.

11. Sea G un grupo, si para cada a, b de G, (ab)2 = a2b2, entonces esabeliano.

12. Si G es un grupo para el cual (ab)i = aibi, para tres enteros consecutivosi, i+ 1, i+ 2, y para cada a, b de G, entonces G es abeliano.

13. Demostrar que en todo grupo G siempre se verifica, para cada a, x deG, para todo entero n,

(axa−1)n = axna−1.

14. Sea G = {x = a+ bi | a, b ∈ R, |x| = 1}. Demostrar que G es un grupopara el producto de numeros complejos.

15. Sea G el conjunto de parejas ordenadas de numeros reales (a, b) cona �= 0. En G se ha definido una operacion mediante la formula,

(a, b)(c, d) = (ac, bc + d).

Demostrar que G es un grupo no abeliano.

2.5. Grupos de permutaciones

Iniciamos el estudio de las permutaciones con el analisis de las simetrıas y enparticular con las del triangulo equilatero. Desde el angulo de la geometrıa,dos figuras son congruentes si al ser superpuestas coinciden en cuanto a formay tamano. Las congruencias permiten la posibilidad de hacer coincidir unafigura consigo misma a traves de algunos movimientos que la dejan invariante.Un caso especial es el de las simetrıas.

Para los triangulos, se da la definicion que sigue

Definicion 2.5.1. Sean los triangulos �ABC, �DEF y una corresponden-cia biunıvoca

ABC ←→ DEF

2.5. GRUPOS DE PERMUTACIONES 73

entre sus vertices. Si cada par de lados correspondientes son congruentes ycada par de angulos correspondientes son congruentes, entonces la correspon-dencia es una congruencia.

En un triangulo equilatero de vertices 1, 2, 3 se pueden establecer seisbiyecciones, congruencias o simetrıas ası,

ρ0 : 123←→ 123

ρ1 : 123←→ 231

ρ2 : 123←→ 312

μ1 : 123←→ 132

μ2 : 123←→ 321

μ3 : 123←→ 213.

Las anteriores expresiones son posibles porque los angulos interiores midentodos 60o y los lados son congruentes entre sı.

Dibujando un triangulo equilatero de modo que el ortocentro coincidacon el origen de coordenadas, se pueden analizar las congruencias anterio-res suponiendo que los ejes permanecen estaticos y es posible rotar o re-flejar el triangulo alrededor de algunas lıneas llamadas ejes de simetrıa.

�

�

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

1 2

3

Figura 2.14

Aceptando que todos los giros se efectuaran siguiendo el sentido de las ma-necillas del reloj, la primera congruencia se puede considerar una rotacion de360o.


Como deja fijos todos los vertices se le denomina la identica y se representapor ρ0

ρ0 =

(1 2 31 2 3

).

Para que el vertice 1 pase a ocupar la posicion del 3, el 2 ocupe la del 1 yel 3 la del 2, se necesita realizar un giro de 120o. Este giro corresponde a labiyeccion ρ1

ρ1 =

(1 2 32 3 1

).

Un giro de 240o hace que el vertice 1 pase a la posicion del 2, el 2 a la del 3y el 3 a la del 1, giro correspondiente a la congruencia ρ2, cuya escritura es

ρ2 =

(1 2 33 1 2

).

El triangulo equilatero se puede reflejar en su plano alrededor de cada unade las bisectrices de sus angulos interiores. Estas reflexiones dejan invarianteel vertice correspondiente e intercambian los otros dos. Se representan de lasiguiente manera:

La reflexion μ1 deja invariante el vertice 1

μ1 =

(1 2 31 3 2

).


μ2 =

(1 2 33 2 1

).


μ3 =

(1 2 32 1 3

).

Las simetrıas del triangulo equilatero son un caso especial del grupo de lastransformaciones T (X) cuando X = {1, 2, 3} y la operacion es la composicionde funciones; por tal razon se pueden operar sin riesgo de equıvocos, por


ejemplo

ρ2μ1 =

(1 2 33 1 2

)(1 2 31 3 2

)=

(1 2 32 1 3

)= μ3.

Sea D3 = {ρ0, ρ1, ρ2, μ1, μ2, μ3}. Aprovechando la licencia que nos permiteeste enfoque podemos confeccionar la tabla del grupo de las transformacionesdel triangulo equilatero. El sımbolo proviene del ingles third dihedral group.

∗ ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3

ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3

ρ1 ρ1 ρ2 ρ0 μ2 μ3 μ1

ρ2 ρ2 ρ0 ρ1 μ3 μ1 μ2

μ1 μ1 μ3 μ2 ρ0 ρ2 ρ1

μ2 μ2 μ1 μ3 ρ1 ρ0 ρ2

μ3 μ3 μ2 μ1 ρ2 ρ1 ρ0

Figura 2.15

D3 es un grupo no abeliano y es el grupo no abeliano de menor orden, puescomo se sabe, los de orden menor o igual a 5 son todos conmutativos. Otroejemplo importante es el grupo de las simetrıas del cuadrado, o grupo octicoD4, a traves de ellos se puede ilustrar la mayor parte de los conceptos de lateorıa de grupos. La division en cuatro regiones se explicara mas adelante.

Definicion 2.5.2. Una permutacion es una transformacion biunıvoca de unconjunto finito A en sı mismo.

Por brevedad se le llama una permutacion en A. Al ser funciones biyecti-vas, las transformaciones se asimilan al grupo T (A) y su producto obviamentees la composicion de funciones. Si ρ y μ son dos permutaciones, el productoρμ viene dado por la igualdad,

ρμ = ρ ◦ μsiguiendo la notacion, podemos escribir, para todo x de A

x(ρμ) = (xρ)μ.


Ejemplo 2.5.1. Si A = {1, 2, 3, 4, 5}

ρ =

(1 2 3 4 53 1 4 2 5

), μ =

(1 2 3 4 54 5 1 3 2

),

efectuar el producto ρμ.

Solucion.

ρμ =

(1 2 3 4 53 1 4 2 5

)(1 2 3 4 54 5 1 3 2

)=

(1 2 3 4 51 4 3 5 2

).

Teorema 2.5.1. Sea A = {1, 2, 3, . . . , n} y sea Sn el conjunto de todas laspermutaciones en A, entonces Sn es un grupo para el producto de permuta-ciones y Sn tiene n! elementos.

Demostracion. La primera parte ya se demostro.En la construccion de una permutacion la imagen i1 de 1 puede elegirse

de n formas, la de 2 puede tomarse dentro de los (n−1) elementos diferentesde i1 y ası sucesivamente. En total resultan n(n− 1)× · · · × 3× 2× 1 = n!permutaciones, de manera que Sn tiene orden n!

Definicion 2.5.3. El grupo Sn se denomina el grupo simetrico de grado n.

Si consideramos el polıgono regular de n lados, el conjunto formado portodas las congruencias del polıgono consigo mismo corresponde a las rota-ciones y reflexiones alrededor de sus vertices y estas a la luz de la definicionanterior nos llevan al grupo diedro de orden n (nth dihedral group) Dn.

Tomando A = {1, 2, 3, 4, 5} y la permutacion,

τ =

(1 2 3 4 52 3 4 5 1

).

Observe que

1τ = 2

2τ = 3

3τ = 4

4τ = 5

5τ = 1

de manera que se conserva una ordenacion circular como en la figura


�

�

��

�

1

2

34

5

Figura 2.16

Definicion 2.5.4. Sea A un conjunto finito y sea S = {a1, a2, . . . , ak} unsubconjunto de A (k ≥ 1). La permutacion φ en A tal que

a1φ = a2, a2φ = a3, . . . , akφ = a1,

y para todo x de A que no pertenezca a S, xφ = x se dice un ciclo de longitudk y se nota usando la igualdad

φ = (a1 a2 a3 . . . ak−1 ak).

Se debe advertir que los elementos de un ciclo no necesariamente deben serescritos en orden ascendente. Para el ciclo τ del ejemplo anterior puedenestablecerse las siguientes identidades:

τ = (1 2 3 4 5)

= (2 3 4 5 1)

= (3 4 5 1 2)

= (4 5 1 2 3)

= (5 1 2 3 4).

Obviamente los ciclos se pueden multiplicar, pero el producto no necesaria-mente es un ciclo. Por ejemplo,

(1 3)(2 4) =

(1 2 3 4 53 4 1 2 5

).

Teorema 2.5.2. Toda permutacion puede escribirse como el producto deciclos sin elementos comunes.


Demostracion. No se pierde generalidad al suponer que A = {1, 2, 3, . . . , n}.Considerese el ciclo φ y el conjunto {1, 1φ, 1φ2, 1φ3, 1φ4, . . . }. Como A esfinito la secuencia anterior no puede ser infinita, por tanto en un momentodado debe haber repeticiones.

Sea 1φr el primer elemento que se repite ( r un natural), entonces 1φr = 1.Si existiera s, 0 < s < r tal que 1φr = 1φs se tendrıa 1φr−s = 1, con (r−s) < rcontradiciendo la eleccion de r, por lo tanto la sucesion se reduce a,

{1, 1φ, 1φ2, 1φ3, . . . , 1φr−1}.Sea

φ1 = (1 1φ 1φ2 1φ3 · · · 1φr−1).

De acuerdo con la forma en que hemos obtenido φ1 se tiene que xφ = xφ1,para todo x de la sucesion anterior.

Sea i el primer elemento de A que no aparece en el ciclo φ1. Repitiendoel proceso se obtiene la secuencia

{i, iφ, iφ2, iφ3, . . . , iφs, . . .}y a partir de ella el ciclo φ2.

Los ciclos encontrados deben ser disyuntos, si tuvieran un elemento j encomun necesariamente φ1 = φ2 ya que cada uno de ellos podrıa ser construidopor repetidas aplicaciones de φ iniciando el proceso con j.

Continuando el proceso, se toma el primer elemento de A que no aparezcani en φ1 ni en φ2 y se construye el ciclo φ3 el cual debe ser disyunto con cadauno de los dos anteriores. Como A es finito se debe terminar en un ciclo φm

disyunto con todos sus predecesores. El producto φ1φ2φ3 · · ·φm debe tener elmismo efecto que φ para todos los elementos de A. Concluyendo,

φ = φ1φ2φ3 · · ·φm.

Se deja al estudiante verificar que este producto es unico, salvo el orden delos factores.

Definicion 2.5.5. Un ciclo de longitud dos se dice una transposicion.

Sea (a1 a2 a3 · · ·ak) un ciclo de longitud k, se sugiere demostrar que,

(a1 a2 a3 · · · ak) = (a1 a2)(a1 a3)(a1 a4) · · · (a1 ak).

O sea, que todo ciclo es el producto de transposiciones.De esta proposicion podemos derivar el siguiente,


Corolario. Cualquier permutacion de un conjunto finito de al menos doselementos es el producto de transposiciones.

Definicion 2.5.6. Sea A un conjunto finito y sea ρ una permutacion en A.ρ se dice par si se puede expresar como el producto de un numero par detransposiciones. En caso contrario se dice impar.

Ejemplo 2.5.2. (1 2 3 4 52 3 1 4 5

)= (1 2)(1 3)

es un permutacion par porque es el producto de dos transposiciones, mientrasque (

1 2 3 4 52 3 5 4 1

)= (1 2)(1 3)(1 5)

es una permutacion impar porque es el producto de tres transposiciones.

EJERCICIOS

1. ¿Cuales de las siguientes funciones φ : R −→ R son transformacionesde R?

a) xφ = x+ a, con a un real fijo.

b) xφ = x2.

c) xφ = ex, e es la base de los logaritmos naturales.

d) xφ = x3 + 1.

2. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 8}. En cada caso compute el producto de permu-taciones indicado.

a)

(1 2 3 4 5 6 7 84 1 2 5 3 7 6 8

)(1 2 3 4 5 6 7 82 5 1 3 4 6 7 8

)b)

(1 2 3 4 5 6 7 84 3 2 1 5 6 7 8

)(1 2 3 4 5 6 7 87 8 6 5 4 3 2 1

)3. Sea A = {1, 2, 3, . . . , 9}. En cada caso compute el producto de ciclos

indicado.


a) (1 4 5)(7 8)(2 5 7).

b) (1 2 7)(3 4 1 5)(6 9).

c) (1 3 4 6)(4 8 7 9).

4. Sea A como en el ejercicio anterior. Exprese cada una de las siguientespermutaciones como el producto de ciclos disyuntos y a continuacioncomo el producto de transposiciones. Diga cuales de las permutacionesson pares y cuales son impares.

a)

(1 2 3 4 5 6 7 8 95 6 7 8 4 9 3 1 2

).

b)

(1 2 3 4 5 6 7 8 97 8 9 6 2 5 4 3 1

).

c)

(1 2 3 4 5 6 7 8 99 7 3 1 2 4 5 6 8

).

d)

(1 2 3 4 5 6 7 8 91 3 2 5 4 7 9 8 6

).

5. Sea A un conjunto y sea φ ∈ Sn. Para un elemento fijo x de A, elconjunto

{xφn | n ∈ Z}se llama la orbita de x bajo φ }. Hallar la orbita de 2 bajo las siguientespermutaciones.

a)

(1 2 3 4 5 6 7 8 99 8 4 5 6 1 2 3 7

).

b)

(1 2 3 4 5 6 7 8 97 8 6 9 1 3 2 4 5

).

6. Sean a, b elementos de A, demostrar que si la orbita de a bajo φ y laorbita de b bajo φ tienen un elemento en comun, entonces son iguales.

7. Hallar la inversa de cada una de las siguientes permutaciones.

a)

(1 2 3 4 5 6 7 8 96 5 4 3 2 1 9 8 7

).

b)

(1 2 3 4 5 6 7 8 92 1 5 6 4 7 3 9 8

).

2.6. SUBGRUPOS 81

8. Sea A un conjunto finito. Demostrar que de las n! permutaciones de A,la mitad son pares y la mitad impares.

9. Demostrar que el producto de ciclos es unico salvo el orden de losfactores.

10. Sea c = (a1 a2 a3 · · · ak) un ciclo de longitud k. Demostrar que

c = (a1 a2)(a1 a3) · · · (a1 ak).

11. Sean G un grupo, a ∈ G un elemento fijo. Demostrar que la reglaφa : G −→ G definida por la igualdad xφa = ax para todo x de G, esuna transformacion en G.

2.6. Subgrupos

A menudo se presentan grupos que estan contenidos en otros mas amplios,ası el grupo aditivo de los enteros esta contenido en el grupo aditivo de losracionales y este a su vez es una parte del grupo aditivo de los reales. Si m,n son enteros, el elemento m + n es el mismo no importa si se opera en losenteros o en los reales. Este hecho se expresa afirmando que la suma de losreales esta bien definida para los enteros. En general para un grupo G y unsubconjunto S de G, si para toda pareja (a, b) de elementos de S el productoab computado en G es tambien un elemento de S, entonces la operacion de Gse dice cerrada en S. La operacion ası definida en S se denomina la operacionde G restringida a S.

Definicion 2.6.1. Un subconjunto H de un grupo G se dice que es un sub-grupo de G, si respecto a la operacion de G, H mismo es un grupo. Si H esun subgrupo de G se nota H ≤ G.

Los grupos G y {e} se denominan los subgrupos impropios o triviales, losdemas se llaman subgrupos propios. La tabla

+ 0 20 0 22 2 0

Figura 2.17


define un subgrupo de 〈Z4,+〉, mas aun es el unico subgrupo propio. El grupode Klein tiene tres subgrupos propios, esto es, {e, a}, {e, b}, {e, c}.

Las definiciones no son los mejores criterios para trabajar, por eso esconveniente determinar algunos para decidir cuando un subconjunto es unsubgrupo. Mientras encontramos otros daremos uno que parece el mejor parainiciar.

Teorema 2.6.1. Un subconjunto no vacıo H del grupo G es un subgrupode G si y solo sii) Si a, b son elementos de H , entonces ab ∈ Hii)Si a ∈ H , entonces a−1 ∈ H .

Las condiciones (i) y (ii) se hubieran podido escribir: a+b ∈ H y (−a) ∈ Hpero se prefiere usar notacion de producto.

Demostracion. Si H ≤ G es obvio que (i) y (ii) se verifican. Supongamosque H es un subconjunto de G para el cual se verifican (i) y (ii). Debemosdemostrar que la propiedad asociativa se verifica en H , pero esta condicionnecesariamente debe ser satisfecha en H por ser H un subconjunto de G yeste ultimo conjunto la satisface. Si a ∈ H segun la condicion (ii) a−1 ∈ H yde acuerdo con (i) aa−1 = e ∈ H . La condicion (ii) implica que todo elementode H tiene su inverso en H . De modo que H es un grupo y por definicion unsubgrupo de G.

El teorema anterior establece como consecuencia que si H es un subcon-junto finito no vacıo de G, cerrado para la operacion de G, entonces H es unsubgrupo de G. Lo que indica que para el caso de los grupos finitos podemosprescindir de la condicion (ii).

Usando el teorema 2.6.1 se tiene que (i) es cierto por hipotesis. Escojamosun elemento a de H , como H es cerrado, la coleccion infinita

{a, a2, a3, · · · , at, · · · }debe estar contenida en H , pero como H es finito, en un momento determina-do debe haber repeticiones, es decir para algunos enteros p, q con p > q > 0

ap = aq

entonces por la propiedad cancelativa

ap−q = e ∈ H.

2.6. SUBGRUPOS 83

Como p > q, p− q − 1 ≥ 0, entonces

ap−q−1 = ea−1 = a−1 ∈ H.

Concluimos que H es un subgrupo de G.

Ejemplo 2.6.1. Sean G grupo, a un elemento fijo de G, demostrar que

N [ a ] = {x ∈ G | xa = ax} = {x ∈ G | xax−1 = a}

es un subgrupo de G. N [ a ] se denomina el normalizador o centralizador dea en G.

Solucion. Por hipotesis N [ a ] ⊆ G. Sean x, y elementos de N [ a ] entoncespor la definicion de N [ a ],

xa = ax

ya = ay.

Operando miembro a miembro las igualdades anteriores

(xa)(ya) = (ax)(ay).

Por hipotesis,(ax)(ya) = (ax)(ay)

usando la propiedad asociativa,

a[x(ya)] = a[x(ay)].

Cancelando a izquierda,x(ya) = x(ay).

Por la propiedad asociativa

(xy)a = (xa)y.

Usando la hipotesis(xy)a = (ax)y

y nuevamente la propiedad asociativa,

(xy)a = a(xy).


Se concluye que el producto xy pertenece a N [ a ].Sea x ∈ N [ a ]. Como ea = ae, x−1 ∈ G, reemplazando e por x−1x

(x−1x)a = a(x−1x).

Por la propiedad asociativa,

x−1(xa) = (ax−1)x.

Usando la hipotesis,x−1(ax) = (ax−1)x.

Por la propiedad asociativa,

(x−1a)x = (ax−1)x.

Cancelando a derecha,x−1a = ax−1.

Por consiguiente, x−1 ∈ N [ a ]. Esto es, N [ a ] es un subgrupo de G.

EJERCICIOS

1. Sean H1, H2 subgrupos de G. Demostrar que H1 ∩H2 es un subgrupode G. Generalice este resultado demostrando que la interseccion de unacoleccion de subgrupos de G, es tambien un subgrupo de G.

2. Demostrar: Si n ≥ 2, la coleccion de todas las permutaciones paresde un conjunto finito A forman un subgrupo de Sn de orden n!

2, este

subgrupo se denomina el grupo alternante An de grado n.

3. Hallar el grupo alternante A4.

4. Sean a un elemento fijo de A , Ta el conjunto de las transformaciones deA que verifican la propiedad aφ = a. Demostrar que Ta es un subgrupode T (A).

5. Demostrar que la relacion ��ser subgrupo de�� es un orden parcial.

6. Mostrar con un ejemplo, que un subgrupo propio de un grupo no abe-liano puede ser abeliano.

2.7. GRUPOS CICLICOS 85

7. Demostrar: Sea G un grupo. Un subconjunto H de G es un subgruposi y solo si ab−1 ∈ H , para todo a, b en H .

8. Si G es un grupo, el centro C de G esta definido por

C = {z ∈ G | zx = xz, ∀x ∈ G}.Demostrar que C es un subgrupo de G.

9. Hallar todos los subgrupos del grupo simetrico S3.

10. Sean G un grupo, a un elemento fijo de G, φa : G −→ G, definida porxφa = ax. Demostrar que el conjunto

H = {φa | a ∈ G}es un subgrupo de T (G).

11. Demuestre que si G es un grupo abeliano, entonces todos los x de Gque satisfacen la ecuacion x2 = e, forman un subgrupo de G.

2.7. Grupos Cıclicos

Dados un grupo G y un elemento cualquiera a de G. El conjunto

H = {. . . , a−n, . . . , a−1, a0, a, a2, a3, . . . , an, . . . }= {an | n ∈ Z}

esta totalmente contenido en G. Si r, s son dos enteros, ar y as pertenecena H , luego aras = ar+s tambien es un elemento de H ya que r + s es entero.Ademas a−r pertenece a H por ser r un entero.

Usando la conclusion del teorema 2.6.1 afirmamos que H es un subgrupode G.

Si S es un subgrupo de G que contiene el elemento a, como S es cerradodebe contener todas las potencias enteras positivas de a. De igual forma a−1

pertenece a S indica que S tambien contiene todas las potencias negativasde a. Ademas aa−1 pertenece a S significa que a0 es un elemento de S.Estas afirmaciones llevan a concluir que H es un subgrupo de S, habiendocomprobado que

H = {an | n ∈ Z}


es el menor subgrupo de G que contiene al elemento a.Puede suceder que H coincida con el grupo G, en cuyo caso se dice que

G es un grupo cıclico. Para aclarar la situacion damos las definiciones quesiguen.

Definicion 2.7.1. El grupo

H = {an | n ∈ Z}

es el subgrupo cıclico generado por a, y se nota (a).

Definicion 2.7.2. Se llama orden de un elemento a en un grupo G al menorentero positivo m tal que am = e. Si ninguna potencia de a es igual a e, sedice que a tiene orden infinito.

Definicion 2.7.3. Un elemento a de G se dice que genera al grupo G, si(a) = G. En este caso a es un generador de G.

Definicion 2.7.4. Un grupo G se dice cıclico si existe a ∈ G tal que a es ungenerador de G.

Es necesario aclarar que usando notacion aditiva el grupo H se representapor

H = {na | n ∈ Z}.Como ejemplos se puede mencionar que el grupo aditivo de los enteros escıclico y es generado por 1 y −1. El grupo aditivo Z4 es cıclico y sus genera-dores son 1 y su inverso 3. El grupo de las simetrıas del triangulo equilateroD3 no es cıclico, es facil ver que ninguno de los grupos cıclicos generados porcada uno de sus elementos es igual a D3. El grupo multiplicativo de los realesdiferentes de cero tampoco es cıclico. Si consideramos el grupo aditivo de losenteros, el subgrupo cıclico generado por 2 consta de todos los multiplos dedos tanto positivos como negativos, esto es,

(2) = {. . . ,−6,−4,−2, 0, 2, 4, 6, . . .}.

Si observamos el grupo de los reales diferentes de cero con el producto, elsubgrupo (2) contiene todas las potencias de 2 y sus respectivos inversosmultiplicativos, pero todos sus elementos son estrictamente mayores que cero.

(2) = {. . . , 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16, . . .}.


En los grupos,dependiendo de la notacion, las expresiones

(a−1)−n = an o − (−na) = na

indican que las potencias(multiplos) positivas(os) de un elemento a, coincidencon las potencias(multiplos) negativas(os) de su inverso y viceversa. Ademas

a0 = (a−1)0 = e o 0a = 0(−a) = e.

Razonamiento que permite afirmar que si a es un generador del grupo G, suinverso tambien lo es. Dicho con otras palabras, un elemento y su inversogeneran el mismo grupo. Por otra parte si G es un grupo cıclico que poseeun solo generador a necesariamente, de acuerdo con la notacion,

a = a−1 o a = −a

y de aquı se deduce que

a2 = e o 2a = e.

Pero G es cıclico entonces (si usamos notacion de producto) para todo x deG, existe n, tal que x = an, donde n puede ser par o impar.

Si n = 2s,

x = a2s

= (e)s

= e.

Si n = 2s+ 1,x = a2s+1

y mediante un razonamiento analogo se llega a x = a.En sıntesis, cualquier elemento de G obligatoriamente es a, o es e. Si

a = e, G = {e}. Si a �= e, G = {e, a}. Es decir G posee a lo mas doselementos. (Si se usa notacion de suma solo cambia la nomenclatura).

Hemos comprobado que un grupo cıclico con un solo generador posee alo mas dos elementos.

Sea G un grupo cıclico de orden infinito generado por a, si h, k son enterosdiferentes es correcto afirmar que ah �= ak. Suponga que ah = ak con h > k,entonces h−k > 0 y ah−k = e. Sea m el menor entero positivo tal que am = e


y sea an un elemento de G, se pueden hallar entonces enteros q, r tales quen = mq + r, con 0 < r < m, para los cuales

an = amq+r = (am)qar = eqar = ar.

Las anteriores igualdades indican que en un momento determinado se pro-ducen repeticiones, indicando que G consta realmente de los elementos,

{a, a2, a3, . . . , am−1, am = e}

contradiciendo el supuesto de ser G de orden infinito, por tanto se concluyeque cero es el unico entero tal que a0 = e y por consiguiente ah−k �= e, dedonde se deduce que si h �= k, ah �= ak.

Si G es de orden finito, para algunos enteros h, k, ah = ak y siguiendoun razonamiento similar, se concluye que existe un entero positivo mınimom tal que am = e y para ningun otro entero positivo t, at = e, salvo el casoen que t sea un multiplo de m. En este caso G consta exclusivamente de loselementos

{a, a2, a3, . . . , am−1, am = a0 = e}.Se pueden ubicar los elementos de un grupo cıclico finito en una circunferen-cia, como se aprecia en la grafica

�

�

�

�

�

a2

a1

a0 = e

am−1

a3

��

��

Figura 2.18

En un determinado punto se escribe a0 = e, se escoge una longitud comounidad y a continuacion se escriben los restantes elementos de manera queel elemento ah estara ubicado a h unidades de e en el sentido contrario alas manecillas del reloj. Para operar ah y ak utilizando el diagrama, bastatomar ah y sumar k unidades en el sentido contrario del reloj. Para ver queelemento corresponde a esta operacion tome h + k = mq + r, como en el


algoritmo de Euclides. Se ha dado entonces la vuelta a la circunferencia qveces terminandose el recorrido en el punto ar. Note que lo que se ha efectuadoes la suma de h+ k modulo m, o sea,

h+ k ≡ r mod m.

La relacion entre los grupos cıclicos y los abelianos se da en un solo sentidoporque todo grupo cıclico necesariamente es abeliano, pero el recıproco noes cierto. El grupo de Klein es un grupo conmutativo que no es cıclico. Laprimera afirmacion se demuestra sin muchas complicaciones y es el

Ejemplo 2.7.1. Todo grupo cıclico es abeliano.

Solucion. Sea G un grupo cıclico generado por a, y sean g1, g2 elementos deG entonces existen enteros r, s tales que

g1 = ar, g2 = as

por consiguiente

g1g2 = aras

= ar+s

= as+r

= asar

= g2g1

de manera que G es conmutativo.

Teorema 2.7.1. Todo subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.

Demostracion. Sean G un grupo cıclico generado por a, H un subgrupo deG. Si H = (e) es cıclico. Si H �= (e) existe un entero positivo n tal quean ∈ H.

Sea m el mınimo entero positivo tal que am ∈ H. Vamos a demostrar queam es un generador de H . Para esto, sea b ∈ H . Como H es un subgrupo deG, para algun entero k, b = ak. Por el algoritmo de la division existen enterosq, r tales que k = mq + r, 0 < r < m, entonces,

b = ak = (am)qar.


Despejando,ar = (am)−qak.

El termino de la derecha de la anterior igualdad pertenece a H , luego ar ∈ H .Pero m es el menor entero positivo tal que am ∈ H , entonces r = 0, por lotanto k = mq o sea,

b = ak = (am)q.

De manera que b es una potencia de am, lo cual implica que todo elementode H es una potencia de am, de donde se deduce que am es un generador deH , y consecuentemente H es cıclico.

Teorema 2.7.2. Si G es un grupo de orden n generado por a y b es unelemento de G tal que b = as, entonces b genera un subgrupo H de ordenn/d, donde d es el maximo comun divisor entre n y s. Es mas, todos loselementos de la forma ar, donde r es primo relativo con n, son generadoresde G.

Demostracion. Sean G = (a) un grupo cıclico de orden n, b = as, entoncesH = {bn | n ∈ Z} se comprobo que es el menor subgrupo de G que contienea b. Sea b = as, como G es finito, existe un entero positivo m tal que bm = e,entonces

(as)m = ams = e

y esta igualdad equivale a decir que ms es un multiplo de n, luego n|ms. Pero¿cual es el menor valor de m para el cual n|ms? Sea d = (n, s), entonces d esel mayor entero positivo tal que d|s y d|n. Ahora n = d(n/d) significa que elfactor d de n divide al factor s de (n/d)s, luego n|(n/d)s. Pero para todo t, sit|n y t|s necesariamente t < d, por tanto se obtiene la desigualdad n/d < n/ty por consiguiente, n/d es el menor entero positivo tal que n|(n/d)s. Seam = n/d, entonces n|ms luego

ams = e

= asm

= (as)m

= bm.

Por el razonamiento hecho para los grupos cıclicos finitos concluimos queH = (b) tiene m elementos, lo que en nuestro caso significa que H tieneorden n/d.


Nota. ¿Que sucede si s = 1 o si s = n?Si (n, r) = 1, de acuerdo con la primera parte ar genera un subgrupo de

orden n/d, pero

n/d = n/1

= n

= |H |= |G |,

lo que significa que H = G. Concluimos que ar es un generador de G.

Ejemplo 2.7.2. Hallar todos los subgrupos de 〈Z15,+〉.Solucion. Por el teorema 2.7.2 los generadores de Z15 son 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14.

Comencemos con 3. Como 3 = 13 y (15, 3) = 3. El elemento 3 genera unsubgrupo de orden 15/3 = 5,

(3) = {0, 3, 6, 9, 12}.

Pero todos los elementos de la forma 3h donde 5 es primo relativo con hgeneran este subgrupo. Por otra parte las igualdades

6 = 32 y (5, 2) = 1,

9 = 33 y (5, 3) = 1,

12 = 34 y (5, 4) = 1

indican que

(3) = (6) = (9) = (12).

Debido a que (15, 5) = 5, y 15/5 = 3, el elemento 5 genera un subgrupo deorden 3, esto es

(5) = {0, 5, 10}.Pero 10 = 52 y (3, 5) = 1, entonces

(5) = (10)

Finalmente

(0) = {0}.


En total se tienen los subgrupos

Z15 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}(3) = {0, 3, 6, 9, 12}(5) = {0, 5, 10}(0) = {0}.

Ejemplo 2.7.3. Demostrar que si p es primo, entonces Zp no tiene subgrupospropios.

Solucion. Sea p un primo. Suponga que existe un subgrupo propio H de Zp,entonces H debe ser cıclico y por tanto existe b un generador de H . Dadoque b ∈ G, existe s tal que b = 1s. Pero H debe tener orden p/d, donded = (p, s). Por el hecho de ser p primo, d = 1, o d = p. Si ocurre el primercaso, p/d = p, lo que indica que H debe poseer p elementos y en consecuenciaH = G. Si ocurre el segundo caso, p/d = 1 y en estas circunstancias H debetener orden 1, concluyendose que H = (0). En ambos casos H es un subgrupotrivial contradiciendo la hipotesis de donde se infiere que p no tiene subgrupospropios.

EJERCICIOS

1. Demostrar que todo ciclo de longitud k tiene orden k, esto es,

(a1 a2 a3 · · ·ak)k = I, donde I es la permutacion identica.

2. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Hallar el orden de la permutacion,(1 2 3 4 5 6 7 8 96 4 7 9 8 2 5 1 3

).

3. Se puede definir el orden de un elemento a de un grupo como el orden delgrupo cıclico generado por a. Basandose en esta definicion demostrar

a) Sea a un elemento del grupo G, sea n el menor entero positivo talque an = e. Si k es un entero, ak = e si y solo si k ≡ 0 mod n. Enun sentido mas general, si i, j son enteros entonces ai = aj si ysolo si i ≡ j mod n.


b) Un elemento a del grupo G tiene orden n si y solo si n es el menorentero positivo tal que an = e. Si no existe tal entero se dice quea tiene orden infinito.

4. Demuestre que el grupo multiplicativo Z∗p es cıclico, si p es primo. Ve-

rificar este hecho para p = 7, 11, 13.

5. Hallar todos los subgrupos del grupo aditivo Z20.

6. Demostrar que para cada par de elementos a, b del grupo G, ab y batienen el mismo orden.

7. Sea G un grupo abeliano. Demostrar que si a tiene orden k y b tieneorden j, y si k, j son primos relativos, entonces ab tiene orden kj.Sugerencia. Si (ab)t = e, elevando ambos miembros a la potencia k seconcluye que t debe ser divisible por j. Similarmente demuestre que tdebe ser divisible por k.

8. Hallar los subgrupos cıclicos (ρ0), (ρ2), (μ1) de D3.

9. Construir la tabla del grupo cıclico de S5 generado por(1 2 3 4 52 4 5 1 3

).

10. Hallar el orden de cada uno de los grupos cıclicos siguientes

a) El subgrupo cıclico del grupo aditivo Z30 generado por 25.

b) El subgrupo cıclico del grupo aditivo Z42 generado por 30.

11. Demostrar que cualquier grupo abeliano de orden 6 debe ser cıclico.

12. ¿Cuantos generadores tiene un grupo cıclico de orden 6? Demuestrelo.

13. Sea G un grupo abeliano finito tal que el numero de soluciones dela ecuacion xn = e es cuando mas n, para todo entero positivo n.Demuestre que G debe ser cıclico.

14. Si en el grupo G a5 = e y aba−1 = b2, para los elementos a, b de G,halle el orden de b.


15. Decir cuales de los siguientes grupos son cıclicos. En los casos afirma-tivos decir cuales son los generadores de cada uno de ellos.

a) El grupo aditivo Z.

b) El grupo aditivo 6Z.

c) El grupo aditivo de los racionales.

d) El grupo aditivo {a+ b√

2}.e) El grupo multiplicativo {6n|n ∈ Z}.

16. Demostrar que todo grupo cıclico es abeliano.

2.8. Aplicaciones geometricas

En 1872 Felik Klein dentro del Erlanger Programm, con motivo de su ingresoa la catedra de matematica de la Universidad de Erlanger, dio una definicionde geometrıa, la cual si bien es cierto que no es lo suficientemente completadesde el punto de vista moderno; nos da una idea de la relacion estrecha entreel algebra moderna y esta rama de la matematica. Para Klein una geome-trıa es el estudio de aquellas propiedades de un espacio E que permaneceninvariantes bajo algun subgrupo fijo del grupo de las transformaciones de E.

Terminamos este capıtulo con en analisis somero de algunos grupos queaparecen con mucha frecuencia en el estudio de la geometrıa como son lastraslaciones, reflexiones, homotecias.

Definicion 2.8.1. Sea E un conjunto dotado de una distancia d. Una trans-formacion φ de E se dice una isometrıa si d(x, y) = d(xφ, yφ), esto es, si φpreserva las distancias.

Es claro que el conjunto de las isometrıas es un subgrupo del grupo de lastransformaciones de E. El estudio de la lınea, el plano, el espacio tridimensio-nal es el analisis de aquellas propiedades que permanecen invariantes bajo elgrupo de las isometrıas. Podemos hablar en geometrıa euclidiana de longitudde un segmento, medida de un angulo, numero de lados de un polıgono por-que estas nociones permanecen invariantes bajo las isometrıas. Describamosalgunas isometrıas del plano euclidiano.

Una traslacion del plano es una transformacion que mueve cada punto unadistancia fija en una direccion igualmente fija, por ejemplo una traslacion φab

mueve el punto (x, y) a (x+ a, y + b).

2.8. APLICACIONES GEOMETRICAS 95

Una reflexion en el plano es una funcion μ que envıa en sı mismo cadapunto de una recta fija L y cada punto que no pertenece a L es enviado enotro punto xμ en tal forma que L es el bisector perpendicular del segmentode extremos x, xμ . Como se aprecia en la figura, L actua como un espejo.

��

�

�

xμ

x

L

Figura 2.19

Con las explicaciones anteriores creemos que el estudiante podra comprenderla razon del analisis del grupo S3 mediante el uso de un triangulo equilatero,lo que condujo al grupo D3. Una de las razones de haber dividido la tablaen cuatro regiones significa que se puede construir una nueva, mirada desdeel enfoque geometrico. Si al conjunto {ρ0, ρ1, ρ2} lo denominamos ρrot y alconjunto {μ1, μ2, μ3} se nombra μref es correcto escribir,

∗ ρrot μref

ρrot ρrot μref

μref μref ρrot

Figura 2.20

Geometricamente significa que el producto de dos rotaciones es una rotacion,el producto de una rotacion por una reflexion es una reflexion, el producto deuna reflexion por una rotacion es una reflexion y el producto de dos reflexioneses una rotacion. Observe como de un grupo no conmutativo se obtuvo unoconmutativo. Se podrıa pensar que el grupo de las permutaciones en unconjunto de cuatro elementos, S4 pudiera ser obtenido a partir del grupode las simetrıas del cuadrado D4. Veremos que esto no es posible, primeroporque S4 posee 24 elementos y D4 unicamente 8 y segundo porque en S4

no se preservan las distancias bajo la funcion φ. Por ejemplo el segmento14 tiene menor longitud que el segmento 13 como se observa en la siguientefigura.


�

�

3

1

4

2

Figura 2.21La permutacion (

1 2 3 41 2 4 3

)no es una isometrıa del cuadrado, si lo fuera, se tuviera

d(1, 3) = d(1φ, 3φ) = d(1, 4)

lo que indica que la longitud del segmento 13 serıa igual a la longitud delsegmento 14, contradiciendo el teorema de Pitagoras. Note que Dn coincidecon Sn solo para cuando n = 3.

Si en el plano R× R consideramos que no existen paralelas, esto es, quetodas las rectas se intersectan en un punto y si suponemos que las paralelasdefinidas por Euclides son rectas que se intersectan en un punto en el infinito ydenominamos a tales puntos, puntos ideales y llamamos recta ideal a la rectaque pasa por todos los puntos ideales, hemos construido el plano proyectivo.La geometrıa proyectiva estudia cierto tipo de proyecciones que envıan lıneasen lıneas, cuadrilateros en cuadrilateros pero que no preservan las distancias,el conjunto de tales proyecciones es el grupo proyectivo.

Si para un espacio dado, tenemos precisa la idea de cuando dos puntosestan lo suficientemente cerca para hablar de una transformacion continua,tal espacio se denomina un espacio topologico, entonces se puede definirTopologıa como el estudio de aquellas propiedades de los espacios que soninvariantes bajo el grupo de las transformaciones continuas cuyas inversastambien son continuas. Desde el punto de vista euclidiano la lınea, el plano,R3 son espacios topologicos.

Examinemos la funcion Seno definida en los reales. Es bien conocido quepara cualquier entero n, sen x = sen(x + 2nπ), esto significa que la funcionSeno es invariante bajo una transformacion de su dominio por un elementodel grupo cıclico (2π). Las funciones de una variable real que permanecen


invariantes bajo una transformacion de su dominio por un elemento de ungrupo cıclico infinito se les llama funciones periodicas.

Como estamos interesados en las propiedades de los conjuntos antes des-critos solo desde el punto de vista de los grupos, analicemos los siguientesejemplos.

Ejemplo 2.8.1. Sea G = {φm : R −→ R, m un real diferente de cero}, φm

definida mediante la formula xφm = mx. Demostrar que G es un subgrupo delgrupo de las transformaciones de los reales, T (R). Se conoce como el grupode las homotecias de la recta.

Solucion. Es facil demostrar usando los metodos del Calculo que φm ası de-finido es una biyeccion. Sean a, b reales diferentes de cero, entonces ab ∈ R yademas φa, φb, φab pertenecen a G. Por hipotesis, para todo x de R,

xφa = ax, xφb = bx

x(φaφb) = (xφa)φb

= (ax)φb

= b(ax)

= (ab)x

= xφab

con lo que se demuestra que φaφb = φab ya que ambas tienen por dominio R.Debido a que a es un real diferente de cero, existe su inverso 1/a, por tanto

φ1/a existe en G y esta definida por xφ1/a = (1/a)x. Quedando demostradoque G es un subgrupo de T (R).

Ejemplo 2.8.2. Sean x1, x2 reales. Se denomina segmento de extremos x1,x2 al conjunto

Sg(x1, x2) = {z | z = tx1 + (1− t)x2, t ∈ [0, 1]}.Demuestre que la imagen de un segmento es un segmento si se considera latraslacion φa dada por xφa = x+ a.

Solucion.

Sg[(x1, x2)]φa = [tx1 + (1− t)x2]φa

= [tx1 + (1−)tx2] + a.


Por otra parte,

Sg(x1 + a, x2 + a) = t(x1 + a) + (1− t)(x2 + a)

= [tx1 + (1− t)x2] + a.

El ultimo termino se obtiene despues de realizar operaciones con reales. Con-cluyendo,

Sg[(x1, x2)]φa = Sg(x1 + a, x2 + a)

es decir la imagen de un segmento es un segmento.

EJERCICIOS

1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos son subgrupos delgrupo de las transformaciones de los reales T(R).

a) G = { φa : R −→ R | xφa = x + a }. G se conoce como el grupode las traslaciones de la recta.

b) G = { φab : R −→ R a, b en R a �= 0 | xφab = ax + b }. G es elgrupo de las transformaciones afines de la recta. ¿Que sucede sib = 0. Si a = 1 y b �= 0?

c) G = {φabcd : R −→ R a, b, c, d en R ad − bc �= 0 | φabcd = ax+bcx+d

}.G se denomina el grupo proyectivo.

2. De acuerdo con el ejercicio (1.b). Sea H = { φab ∈ G | a ∈ Q }, Q esel conjunto de los racionales. Demostrar que H es un subgrupo de G.

3. Con relacion a la definicion de segmento, demuestre que la imagen deun segmento es un segmento si se considera la transformacion afın φab

dada en el ejercicio (1.b).

4. Demuestre que cada uno de los conjuntos dados es un subgrupo delgrupo de las transformaciones T (R2).

a) G ={ φab : R2 −→ R2 | (x, y)φab = (x+ a, y + b) }. G es el grupode las traslaciones del plano.

b) G ={ φk : R2 −→ R2 | (x, y)φk = (kx, ky), k ∈ R∗ } G es el grupode las homotecias del plano.


c) G = {φ : R2 −→ R2 }. Donde φ esta definido por la igualdad

(x, y)φ = (x cosα + y senα , y cosα− x senα).

G es el grupo de las rotaciones del plano.

d) G = {φab : R2 −→ R2}. Donde φab esta definido por la igualdad

(x, y)φab = (x cosα+ y senα + a , y cosα− x senα + b).

G es el grupo de los movimientos rıgidos del plano.

Capıtulo 3

SUBGRUPOS NORMALESHOMOMORFISMOS EISOMORFISMOS

3.1. Grupos con operadores externos

El objetivo principal es presentar los subgrupos normales a traves de un tipoespecial de biyecciones denominadas automorfismos internos, los cuales son lagenesis de la definicion tradicional de los mencionados subgrupos. Para lograreste proposito es indispensable dotar al grupo G de una nueva operaciondenominada ley de composicion externa, esto es, una funcion definida enel producto cartesiano Δ × G −→ G, donde Δ es un conjunto no vacıo.Operacion que abrira las puertas a una variedad de conclusiones de capitalinteres.

Definicion 3.1.1. Sea E un conjunto no vacıo, Δ �= ∅ un conjunto cual-quiera. Una ley de composicion externa por la izquierda es una funcionΔ × E −→ E que asocia con cada pareja ordenada del producto Δ × E,un unico elemento de E. El elemento asociado con la pareja (α, x) se notaαx.

El conjunto Δ se denomina un dominio de operadores por la izquierda.De igual manera se define un dominio de operadores por la derecha.

Definicion 3.1.2. Un grupo G provisto de un dominio de operadores y deuna ley de composicion externa por la izquierda (o por la derecha) se dice un

101

102 CAPITULO 3. SUBGRUPOS NORMALES–ISOMORFISMOS

grupo con operadores.

Los operadores ademas pueden poseer la propiedad distributiva dada porla siguiente definicion.

Definicion 3.1.3. Un operador α ∈ Δ se dice distributivo si para cada parde elementos a, b de G,

α(ab) = (αa)(αb)

donde las expresiones (ab) y (αa)(αb) representan la operacion interna deG mientras que α(ab), αa, αb indican la operacion externa por la izquierdamencionada anteriormente.

El dominio de operadores Δ se dice distributivo si todo operador α ∈ Δes distributivo.

Definicion 3.1.4. Un grupo provisto de un dominio de operadores distribu-tivo se denomina un Δ–grupo.

Hasta el momento no se ha dicho cuantas otras propiedades debe satisfa-cer el dominio de operadores, sin embargo veamos que todo grupo abelianose puede convertir en un Δ–grupo. Para el efecto tomemos el grupo (G, +).Sea Δ = Z, para n ∈ Z y a ∈ G, en el capıtulo anterior se definio

na = a+ a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸n veces

indicando que a se ha operado n veces. Como G es abeliano,

n(a+ b) = na+ nb.

Se puede decir que todo grupo abeliano es un Z–grupo. Para el caso especialde los enteros volveremos sobre este concepto cuando estudiemos los anillos.Los espacios vectoriales son otro ejemplo de grupos con operadores. Si eldominio de operadores son los reales, todo espacio vectorial V es un R–grupo.

La definicion que sigue es puerta de entrada al reino de los subgruposnormales.

Definicion 3.1.5. Sean E, E ′ dos conjuntos dotados cada uno de una leyde composicion interna y de una ley de composicion externa definida pormedio del mismo dominio de operadores. Una funcion φ : E −→ E ′ es unhomomorfismo de E en E ′ si,

3.1. GRUPOS CON OPERADORES EXTERNOS 103

i) Para cada par de elementos x, y de E,

(xy)φ = (xφ)(yφ).

ii) Para todo x de E y para todo α en Δ,

(αx)φ = α(xφ).

El conjunto de los homomorfismos de E en E ′ se designa Hom(E, E ′ ). Unhomomorfismo de E en sı mismo se denomina un endomorfismo.

Sea φ : E −→ E ′ una biyeccion. Si φ es un homomorfismo la biyeccionrecıproca φ−1 tambien lo es. La demostracion no es difıcil y se deja a losinteresados. Un homomorfismo biyectivo se dice un isomorfismo, φ−1 se llamaentonces el isomorfismo recıproco de φ. Un isomorfismo de E sobre sı mismose dice un automorfismo.

Definicion 3.1.6. Si a y b son elementos de G se dice que b es un conjugadode a en G si existe g ∈ G tal que b = gag−1.

Un automorfismo interno φ se obtiene escogiendo un elemento cualquieradel grupo, por ejemplo, g y manteniendolo fijo se halla la imagen de cada xde G por conjugacion con g, esto es, para todo x ∈ G, xφ = gxg−1.

Si G tiene n elementos existen n posibles automorfismos internos, unopor cada elemento de G pero algunos pueden coincidir. Para el grupo de lassimetrıas del triangulo equilatero la conjugacion por ρ1, teniendo presenteque (ρ1)

−1 = ρ2, resulta:

ρ0φ = ρ1ρ0(ρ1)−1 = ρ1ρ0ρ2 = ρ0

ρ1φ = ρ1ρ1(ρ1)−1 = ρ1ρ1ρ2 = ρ1

ρ2φ = ρ1ρ2(ρ1)−1 = ρ1ρ2ρ2 = ρ2

μ1φ = ρ1μ1(ρ1)−1 = ρ1μ1ρ2 = μ3

μ2φ = ρ1μ2(ρ1)−1 = ρ1μ2ρ2 = μ1

μ3φ = ρ1μ3(ρ1)−1 = ρ1μ3ρ2 = μ2.

Figura 3.1

Este grupo posee seis automorfismos internos todos diferentes, en cambio D4

solo posee cuatro.


Considerense los homomorfismos φ de E en E ′, ϕ de E ′ en E ′′. La funcioncompuesta φϕ de E en E ′′ es tambien un homomorfismo, en efecto,

(xy)φϕ = [(xy)φ]ϕ

= [(xφ)(yφ)]ϕ

= [(xφ)ϕ][(yφ)ϕ]

= [x(φϕ)][y(φϕ)].

Ademas,

(αx)φϕ = [(αx)φ]ϕ

= [α(xφ)]ϕ

= α[(xφ)ϕ]

= α[x(φϕ)].

Las mismas caracterısticas presentan los isomorfismos, los automorfismos ydemas aplicaciones similares.

Sea ΔE = {φ : G −→ G } el conjunto de los endomorfismos de G, y defi-namos una ley de composicion externa, ΔE ×G −→ G mediante la siguienteformula, φx = xφ , esto es, el producto de φ por x (descrito a la izquierda)es igual a la imagen de x mediante la aplicacion φ. Entonces,

φ(xy) = (xy)φ

= (xφ)(yφ)

= (φx)(φy).

Con el anterior razonamiento se demostro que φ es distributivo. No olvideque φx es el producto de φ por x, mientras que xφ es la imagen de x bajo laaplicacion φ.

Sea G un grupo, ΔE = End(G) el conjunto de los endomorfismos de G.G con la operacion externa antes definida es un Δ–grupo. Igual cosa sucedesi consideramos ΔA = Aut(G), el conjunto de los automorfismos de G.

Considerese un elemento fijo g del grupo G y sea φ el automorfismo de Gen G por conjugacion, esto es, para todo x de G, xφ = gxg−1.

Supongamos que xφ = yφ, entonces gxg−1 = gyg−1 y por la ley cancela-tiva se concluye que x = y, lo que indica que φ es uno a uno.

3.1. GRUPOS CON OPERADORES EXTERNOS 105

Por otra parte, para todo y de G, g−1yg ∈ G. Sea entonces x = g−1yg,luego

xφ = (g−1yg)φ

= g(g−1yg)g−1

= y.

Demostrandose que φ es sobre y por tanto una biyeccion.Ademas, para todo x, y de G

(xφ)(yφ) = (gxg−1)(gyg−1)

= g(xy)g−1

= (xy)φ.

En definitiva se observa que φ es distributivo. Esta aplicacion se denominael automorfismo interno asociado a g. Como el razonamiento es valido paratodo g de G, tomese el dominio de operadores ΔI = Int(G) el conjunto detodos los automorfismos internos de G. El grupo G con la operacion externadefinida en los ejemplos anteriores es un Δ–grupo.

Si se considera en especial el automorfismo interno asociado con el ele-mento de identidad notado por conveniencia i, para todo x ∈ G se observaque

xi = exe−1

= x

esto es, i es el automorfismo identico. Si Δi = { i }, definiendo la opera-cion externa como en los ejemplos anteriores, se ha encontrado la forma maseconomica de transformar cualquier grupo en un Δ–grupo. Un caso especiallo constituyen los grupos abelianos donde la conmutatividad de la opera-cion convierte a todo automorfismo interno por conjugacion en la biyeccionidentica.

EJERCICIOS

1. Sea φ : E −→ E ′ una biyeccion. Si φ es un homomorfismo, demostrarque φ−1 tambien lo es.


2. Defina el concepto de Δ–homomorfismo de un Δ–grupoG en un Δ–grupo G′.Demostrar que el nucleo es un Δ–subgrupo de G.

3. Sean V = { x1, x2, x3, . . . , xn | xi ∈ R } el conjunto de los vectores filacon entradas reales, Δ = R. Demuestre que el grupo aditivo V es unΔ–grupo para el producto por escalares.

4. Sea Δ = { ϕ: V −→ V | ϕ es una transformacion lineal en V}, V unespacio vectorial. Demostrar que el grupo aditivo V es un Δ–grupo.

3.2. Producto de las partes de G

Sea G un grupo, P(G) el conjunto de las partes de G. Se puede definir unaoperacion en P(G) inducida por la ley de composicion interna de G en lasiguiente forma.

Si A ⊆ G, B ⊆ G son dos conjuntos no vacıos se conviene en definir elproducto de A por B mediante la igualdad,

AB = {x | x = ab, a ∈ A, b ∈ B}.

Si alguno de los conjuntos es vacıo, AB = ∅. Puede suceder, por ejemplo, queA = {a}, a ∈ G, en este caso el producto se escribe aB para simplificar la no-tacion. La asociatividad de este producto es consecuencia de la asociatividadde la operacion de G.

Si A ⊆ G se designa por A− al conjunto de los inversos de los elementosde A, esto es,

A− = {a−1 ∈ G | a ∈ A}.No se piense que A− es el inverso de A con respecto al conjunto E = {e}. Lounico que se puede decir es que E ⊆ AA−.

Si x ∈ AB existen a en A, b en B tales que x = ab. Tomando inversos seescribe x−1 = b−1a−1 ∈ B−A−, de aquı se concluye que,

(AB)− = {x−1 ∈ G | x ∈ AB}= {b−1a−1 ∈ G | b−1 ∈ B−, a−1 ∈ A−}= B−A−.

Ahora estamos preparados para demostrar el

3.2. PRODUCTO DE LAS PARTES DE G 107

Teorema 3.2.1. Sea H �= ∅ un subconjunto del grupo G. H es un subgrupode G si y solo si H2 ⊆ H , H− ⊆ H , donde H2 = HH .

Demostracion. Sea xy ∈ H2, entonces x, y pertenecen a H , pero al ser Hestable para la operacion de G, xy ∈ H , luego H2 ⊆ H .

Ademas, si x ∈ H−, x−1 ∈ H , como H es un grupo, x ∈ H , de donde sededuce que H− ⊆ H .

Recıprocamente, suponga que H2 ⊆ H , H− ⊆ H . Si xy ∈ H2, por hipote-sis xy ∈ H indicando que H es estable. Por otra parte, si x ∈ H , x−1 ∈ H−

y por hipotesis x−1 ∈ H . De las dos afirmaciones anteriores se deduce que Hes un subgrupo de G.

Es facil verificar que se cumple la propiedad de isotonıa para el producto,esto es, si A ⊆ A′, entonces AB ⊆ A′B y BA ⊆ BA′. Con esta propiedady suponiendo que H2 ⊆ H y H− ⊆ H se deduce que H2 = H y H− = H .En efecto, como H es un grupo e ∈ H , entonces E ⊆ H y por la propiedadde isotonıa, EH ⊆ H2, pero EH = H , luego H ⊆ H2. Ademas H = (H−)−

que es un subconjunto de H−, por consiguiente H ⊆ H−.Se puede en consecuencia redactar el teorema 3.2.1 en la siguiente forma:

Si H es un subconjunto del grupo G, H es un subgrupo de G si y solo siH2 = H = H−.

Sea H un subgrupo de G, K ⊆ H , entonces KH ⊆ H2 = H , o seaKH ⊆ H . Recıprocamente, si k ∈ K, entonces como H es estable, para todoh ∈ H , kh ∈ H , por consiguiente todo elemento de H se puede expresar comoel producto de k por algun elemento de H . En otras palabras, si k ∈ K, paratodo h de H existe x en H tal que h = kx, luego H ⊆ KH .

En resumen: Para todo H � G y para todo K ⊆ H, KH = H = HK.En particular, para todo h de H, hH = Hh = H .

EJERCICIOS

1. Demostrar la propiedad de isotonıa: Si A ⊆ A′, entonces AB ⊆ A′B yBA ⊆ BA′.

2. Sean H , K dos subgrupos de G. Demostrar que HK es un subgrupode G si y solo si HK = KH .

3. Usando el ejercicio anterior, demuestre que si H , K son subgrupos deun grupo abeliano G, entonces HK es un subgrupo de G.


3.3. Δ–Subgrupos

Dado un Δ–grupo G, surge la inquietud de encontrar algun subconjunto Hde G, para poder pensar en la existencia de los Δ–subgrupos. Este problemaefectivamente tiene solucion y esta se puede plantear a partir de los sub-grupos de G. La siguiente tarea es garantizar que el dominio de operadoresdistributivo de G lo es tambien para H . Ahora la idea surge de una maneranatural con las definiciones que siguen.

Definicion 3.3.1. Dado X un subconjunto del Δ–grupo G, aceptamos endefinir el producto externo de Δ por X, por la formula

ΔX = {αx, α ∈ Δ, x ∈ X}.Definicion 3.3.2. Sea H un subgrupo de G. H es un Δ–subgrupo del Δ–grupoG, si y solo si ΔH ⊆ H.

Ejemplo 3.3.1. Los subgrupos triviales son Δ–subgrupos de G.Si ΔE = End(G), los Δ–subgrupos se llaman subgrupos completamente

invariantes de G.Si ΔA = Aut(G), los Δ–subgrupos reciben el nombre de subgrupos carac-

terısticos.Si Δi = Int(G), los Δ–subgrupos se denominan subgrupos normales.

3.4. Clases laterales

La nocion de clase lateral es de vital importancia en la teorıa de los grupos.Nos proporciona la forma de dividirlos (partirlos) en subconjuntos con algu-nas caracterısticas especiales. Para los grupos abelianos, por ejemplo, estasclases conducen a conclusiones realmente extraordinarias. Al mencionar laidea de dividir en subconjuntos se esta pensando en describir una relacion deequivalencia que permita encontrar una particion para el grupo G, por estarazon iniciamos con la descripcion de algunas relaciones fundamentales.

Definicion 3.4.1. Una relacion R definida en un conjunto E �= ∅, se diceregular por la izquierda si aRb, implica xaRxb, para todo x ∈ E.

Es regular por la derecha si aRb implica axRbx, para todo x ∈ E.Es regular si lo es a izquierda y a derecha.Es lıcita para la ley de composicion externa, si aRb, entonces αaRαb,

para todo α ∈ Δ.

3.4. CLASES LATERALES 109

Definicion 3.4.2. Una relacion de equivalencia R lıcita para el dominio deoperadores Δ se llama una Δ–equivalencia.

Una relacion de equivalencia R regular y lıcita para el dominio de opera-dores Δ es una congruencia.

Si R es una relacion de equivalencia definida en E �= ∅, la clase de equi-valencia de un elemento x ∈ E notada [ x ], es el conjunto de todos los y deE tales que xRy.

[ x ] = { y ∈ E | xRy }.El conjunto de todas las clases de equivalencia es lo que se conoce como elespacio cociente de E sobre R, y viene dado por la igualdad

E/R = { [ x ] | x ∈ E }.Definicion 3.4.3. Sea Ei una familia de subconjuntos de E tales que,

1. ∀i, Ei �= ∅.2. Ei ∩ Ej = ∅, si i �= j.

3. ∪Ei = E.

La familia Ei se llama una particion de E.

El teorema fundamental de las relaciones de equivalencia se enuncia di-ciendo que toda relacion de equivalencia en un conjunto E, produce unaparticion de E al reunir todos los elementos relacionados entre sı en una mis-ma clase de equivalencia y recıprocamente, toda particion de un conjunto Einduce una relacion de equivalencia R en E.

Las condiciones 1, 2, 3 aplicadas a las clases de equivalencia se traducende la siguiente manera,

1. Toda clase de equivalencia [ x ] es diferente de vacıo.

2. Dos clases de equivalencia [x ], [ y ] son identicas o disyuntas.

3. La union de todas las clases de equivalencia reproducen el conjunto E.

Teorema 3.4.1. En un Δ–grupo G, para toda equivalencia regular por laizquierda R, la clase unidad [ e ] = H es un subgrupo de G. Una clase deequivalencia [ a ] viene dada por la igualdad [ a ] = aH . Ademas, si R es unaΔ–equivalencia, H es un Δ–subgrupo.


Demostracion. Sean x, y elementos de [ e ]. Como xRy, por ser R regular porla izquierda, y−1xRy−1y y por consiguiente, y−1xRe. La ultima relacion esequivalente a decir que y−1x ∈ [ e ], de donde se deduce que [ e ] = H es unsubgrupo de G.

Ademas, si x ∈ [ a ], entonces xRa. Esto es, a−1xRe, luego a−1x ∈ H . Portanto existe h en H tal que a−1x = h, de donde se concluye que x = ah ∈ H.La anterior expresion significa que [ a ] ⊆ aH .

Por otra parte, si x = ah ∈ H entonces h ∈ H , de donde se puede escribira−1xRe y de aquı se obtiene xRa o x ∈ [ a ]. Lo que permite concluir que[ a ] ⊆ aH . La doble contenencia garantiza que [ a ] = aH .

Sean α ∈ Δ, h ∈ H . Si hRe, αhRαe. Pero αe = e, porque todo opera-dor distributivo deja invariante a e, (demostrarlo). Entonces αhRe, o sea,αh ∈ H . En sıntesis H es un Δ–subgrupo.

En la demostracion del teorema 3.4.1 se dedujo de modo tacito que paratoda equivalencia R. Si R es regular por la izquierda, entonces para todo parx, y de elementos de H, xRy si y solamente si y−1x ∈ H. Donde H = [ e ].A partir de ahora esta sera la definicion de R cuando se haga referencia a losΔ–grupos.

El recıproco del teorema 3.4.1 tambien es valido, es el

Teorema 3.4.2. Para todo subgrupo H de G, la relacion definida por yRxsi y solo si, x−1y ∈ H ( y ∈ xH) es una equivalencia regular por la izquier-da en la cual [ e ] = H. Si H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo G, R es unaΔ–equivalencia.

Demostracion. 1. R es reflexiva.

aRa, si y solo si, aa−1 = e ∈ H .

Afirmacion que es valida por ser H un grupo.

2. Es simetrica. En efecto,

yRx, si y solo si, x−1y ∈ H.

Lo que equivale a decir que

(x−1y)−1 ∈ H

oracion equivalente ay−1x ∈ H.


Y esta ultima es una forma identica de afirmar que

xRy.

3. Es transitiva. Supongamos que

yRx, xRz.

Aplicando la definicion y multiplicando en el orden adecuado se llega a

(z−1x)(x−1y) ∈ H.

Asociando y cancelando se obtiene

z−1y ∈ H.Lo que es equivalente a decir

yRz.

4. Es regular por la izquierda.

Las siguientes oraciones son equivalentes:

yRx, si y solo si, x−1y ∈ H.

Operando por e = z−1z

x−1(z−1z)y ∈ H, z ∈ H.

Usando la propiedad asociativa

(x−1z−1)(zy) ∈ H.

Por la propiedad del producto de inversos

(zx)−1(zy) ∈ H.

FinalmentezyRzx.


5. Ademas, para todo x de H , e−1x ∈ H , entonces xRe. Luego para todox de H , x ∈ [ e ] o [ e ] = H .

6. Finalmente, sea H un Δ–subgrupo, α ∈Δ, yRx. Aplicando la definiciony la distributividad del operador,

(αx)−1(αy) = (αx−1)(αy) = α(x−1y) ∈ H.Por consiguiente

yRx.

Afirmacion que conduce a decir que R es lıcita para el dominio deoperadores. Se ha comprobado que R es una Δ–equivalencia.

En la anterior demostracion se uso la igualdad (αx)−1 = αx−1. Esta igual-dad es cierta ya que

(αx)(αx−1) = α(xx−1) = αe = e.

Definicion 3.4.4. Las clases [ a ] = aH se denominan las clases lateralesizquierdas con respecto al subgrupo H. Para las equivalencias regulares por laderecha las clases laterales derechas se representan porHa. Si se usa notacionaditiva estas se traducen en a+H, y H + a respectivamente.

En lo que sigue nos referiremos a las clases laterales izquierdas por como-didad, pero observando que los mismos razonamientos son validos para lasderechas. Los teoremas anteriores y los siguientes solo tienen un ligero cambioen la redaccion.

Al tenor de los teoremas 3.4.1 y 3.4.2, las clases laterales forman unaparticion de G en subconjuntos disyuntos dos a dos, por consiguiente dosclases laterales izquierdas (derechas) son identicas o disyuntas.

Considerese la funcion φa : H −→ aH definida por la formula,

hφa = ah

φa es claramente biyectiva y lo invitamos a comprobarlo.Esta biyeccion nos dice en lenguaje informal que H tiene tantos elementos

como aH . Afirmacion valida en toda su magnitud cuando H es finito.La biyeccion anterior se puede establecer entre H y una clase lateral

cualquiera bH ( b en G ). Por esta razon y por el hecho de ser la compuesta de


biyecciones una biyeccion, se concluye que entre dos clases laterales izquierdas(derechas) cualesquiera existe una biyeccion, o equivalentemente, dos claseslaterales izquierdas (derechas) cualesquiera de H “tienen igual numero deelementos”.

Como e ∈ H , es claro que a = ae ∈ H , o sea, cada elemento a de Gpertenece a una clase lateral izquierda (derecha) de H .

En resumen: Si H es un subgrupo de G, entonces dos clases lateralesizquierdas (derechas) son identicas o disyuntas. Entre dos clases izquierdas(derechas) existe una biyeccion y cada elemento de G pertenece a una clasede H .

Teorema 3.4.3. Si H es un subgrupo de G, entonces toda clase lateralizquierda es una clase lateral derecha si y solo si el producto de dos claseslaterales izquierdas es de nuevo una clase lateral izquierda.

Demostracion. Supongamos que toda clase lateral izquierda es una clase la-teral derecha. Entonces,

(aH)(bH) = a(Hb)H Propiedad asociativa,

= a(bH)H Hipotesis,

= (ab)HH Propiedad asociativa,

= (ab)H Porque HH = H.

Esta formula indica que el producto de clases aH , bH es la clase que contieneel producto de dos representantes cualesquiera, uno de aH y otro de bH . Seacostumbra decir que el producto de clases esta bien definido.

Supongamos ahora que el producto de dos clases izquierdas es de nuevouna clase lateral izquierda. Sea a ∈ G. Como eH = H , entonces

H(aH) = (eH)(aH) = eaH = aH

(aH)H = (aH)(eH) = aeH = aH.

Sean h, h1 elementos de H tales que ah1 ∈ aH . Como H(aH) = (aH)H ,existen h2, h3 tales que,

h(ah1) = (ah2)h3.

Despues de aplicar las propiedades asociativa e invertiva se obtiene la igual-dad

ha = a(h2h3)(h1)−1.


Pero H es un grupo, entonces (h2h3)(h1)−1 = h4 ∈ H , por lo tanto,

ha = ah4 ∈ aH.Lo que indica que

Ha ⊆ aH.

Por otra parte

aH(a−1H) = aa−1H = eH = H

a−1H(aH) = a−1aH = eH = H.

De manera que escogiendo representantes arbitrarios, x ∈ aH , a−1 ∈ a−1H ,se obtiene, xa−1 ∈ H , entonces (xa−1)a ∈ Ha y de aquı se sigue que x ∈ Ha,esto es,

aH ⊆ Ha.

De las dos contenencias se obtiene

aH = Ha.

Lo que dicho en palabras significa que toda clase lateral izquierda es unaclase lateral derecha.

Al definir el producto de las partes de un grupo se observo que es asocia-tivo y al ser el producto de clases un caso especial se puede afirmar que elproducto de clases laterales es asociativo, esto es

aH(bH)(cH) = (aH)(bH)cH

= abcH.

En la demostracion del teorema 3.4.2 se dedujeron las igualdades

H(aH) = (aH)H = aH

aH(a−1H) = a−1H(aH) = H.

Las anteriores igualdades significan que H es el elemento de identidad y a−1Hel inverso de aH . Estas conclusiones se obtuvieron a partir del supuesto deser el producto de dos clases laterales izquierdas una clase lateral izquierda.Estas afirmaciones se pueden condensar diciendo:

“Si H es un subgrupo de G y el producto de dos clases laterales izquierdases una clase lateral izquierda, entonces la coleccion de todas las clases late-rales izquierdas de H forman un grupo para el producto de clases”.

Tomese el grupo de las simetrıas del cuadrado D4


* ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 μ1 μ2 δ1 δ2ρ0 ρ0 ρ1 ρ2 ρ3 μ1 μ2 δ1 δ2ρ1 ρ1 ρ2 ρ3 ρ0 δ2 δ1 μ1 μ2

ρ2 ρ2 ρ3 ρ0 ρ1 μ2 μ1 δ2 δ1ρ3 ρ3 ρ0 ρ1 ρ2 δ1 δ2 μ2 μ1

μ1 μ1 δ1 μ2 δ2 ρ0 ρ2 ρ1 ρ3

μ2 μ2 δ2 μ1 δ1 ρ2 ρ0 ρ3 ρ1

δ1 δ1 μ2 δ2 μ1 ρ3 ρ1 ρ0 ρ2

δ2 δ2 μ1 δ1 μ2 ρ1 ρ3 ρ2 ρ0

Figura 3.2

Examinemos el subgrupo H = {ρ0, ρ1, ρ2, ρ3}. Para el caso de un grupofinito G, para hallar las clases laterales del subgrupo H se busca un elementoa de G que no pertenezca a H y se confecciona la clase aH . A continuacion sebusca un elemento b de G que no pertenezca a ninguna de las clases anterioresy se elabora la clase bH . El proceso continua hasta agotar todos los elementosde G. Para el presente caso,

μ1H = {μ1, δ1, μ2, δ2}.Solo existen dos clases. Considerese el conjunto G/H = {H, μ1H}. Si obser-vamos la tabla notamos que hay cuatro combinaciones posibles para operarcon las clases,

HH = H

H(μ1H) = μ1H

(μ1H)H = μ1H

(μ1H)(μ1H) = H.

Las igualdades garantizan que el producto de clases izquierdas esta biendefinido. Por lo visto G/H es un grupo cuya tabla se puede escribir ası:

* H μ1HH H μ1Hμ1H μ1H H

Figura 3.3


Como se vio anteriormente Z6 es un grupo abeliano. Considerese el subgrupoH = {0, 3}, sus clases laterales izquierdas son

H = {0, 3}1 +H = {1, 4}2 +H = {2, 5}.

Estas clases coinciden con las derechas. Para cualquier otro subgrupo la situa-cion es similar. ¿No es asombroso que Z6 posea tal cantidad de propiedades?Mas tarde con la introduccion de algunos criterios veremos que todos losgrupos abelianos presentan igual comportamiento.

Teorema 3.4.4. Teorema de Lagrange. Si G es un grupo finito de orden n,H un subgrupo de G, el orden de H divide al orden de G.

Demostracion. Supongamos que H tiene m elementos. Consideremos la co-leccion de todas las clases laterales izquierdas de H . Son disyuntas dos a dos,tienen igual numero de elementos, en este caso m, y cada elemento de G seencuentra en alguna clase. Supongase que existen en total r clases, entoncesn = rm, o sea, m | n.

Corolario. Todo grupo de orden primo es cıclico.

Demostracion. Sea G un grupo de orden primo p y sea a �= e un elementode G. El grupo cıclico generado por a posee al menos dos elementos {e, a}.Por el teorema de Lagrange el orden m ≥ 2 de este grupo debe dividir a p.Luego necesariamente m = p, de manera que (a) = G, de donde se deduceque G es cıclico.

Teorema 3.4.5. El orden de cualquier elemento de un grupo finito G divideal orden de G.

Demostracion. Recordando que el orden de cualquier elemento es igual alorden del grupo cıclico generado por dicho elemento, este teorema es unaconsecuencia directa del teorema de Lagrange.

Definicion 3.4.5. Sea G un grupo finito, H un subgrupo de G. El ındice deH en G, (H:G), es igual al orden G dividido por el orden de H, esto es,

|G||H| .


Sea G un grupo finito de orden n, H un subgrupo de G de orden m, supon-gamos que H tiene r clases laterales, entonces n = rm, luego n/m = r. Seha demostrado que: El ındice de H en G es el numero de las clases lateralesizquierdas de H.

El teorema de Lagrange afirma que si G es un grupo finito, H un subgrupode G, el orden de H divide al orden de G, pero el recıproco no siempre escierto, porque siG es de orden n, ym divide a n, puede no existir un subgrupode orden m. El grupo alternante A4 tiene orden 12 y sin embargo no tienesubgrupos de orden 6. El recıproco es cierto cuando G es abeliano, es decir:“Si G es un grupo abeliano finito de orden n y m divide a n entonces G tieneun subgrupo H de orden n”.

El teorema de Lagrange es de mucha utilidad en la teorıa de los gruposfinitos, a continuacion presentamos algunos ejemplos.

Ejemplo 3.4.1. Demostrar que si G es un grupo de orden n, entonces an = e,para todo a de G.

Solucion. Sea n el orden de G, m el orden de a, entonces am = e. Por elteorema 3.4.5, m | n, luego existe k �= 0 tal que n = km y por consiguiente,

an = akm = (am)k = ek = e.

Ejemplo 3.4.2. Demostrar que si G es un grupo finito, H un subgrupo deındice dos en G, entonces cada clase lateral izquierda es una clase lateralderecha.

solucion. Por hipotesis H tiene dos clases laterales izquierdas y dos derechas.Si a ∈ G − H , sean aH y eH las dos clases laterales izquierdas, como ellasson disyuntas, para todo x ∈ G, x pertenece a una y solo una de las dosclases, por consiguiente

G−H = aH.

En igual forma para las clases laterales derechas,

G−H = Ha.

De estas igualdades se infiere que, aH = Ha.


EJERCICIOS

1. La relacion R es compatible con la ley de composicion externa si aRa′

y bRb′ implica (ab)R(a′b′).

a) Sea R transitiva. Demostrar que si R es compatible, entonces esregular.

b) Sea R una relacion de equivalencia. Demostrar que R es regular siy solo si es compatible.

2. Asociemos al homomorfismo Ψ : E −→ E ′ la relacion binaria R defi-nida en E por aRa′ si y solo si Ψa = Ψa′. Demostrar que R es unacongruencia, denominada la congruencia nuclear asociada a Ψ.

3. Consideremos la aplicacion canonica γ : E −→ E/R donde R es lacongruencia nuclear asociada a Ψ, definida por γx = [ x ] es la clasemodulo R a la que pertenece x. Demostrar que γ es un homomorfismosuprayectivo canonico de E sobre E/R.

4. Sea κ : E/R −→ EΨ, definida por xκ = xΨ. Demostrar que κ es unisomorfismo canonico asociado a Ψ.

5. Sea λ : EΨ −→ E definida por, ∀ y ∈ EΨ, yλ = y ∈ E ′. Demostrarque λ es una inyeccion (canonica de EΨ ).

6. Demostrar que Ψ = γκλ.

7. Demostrar que hay tantas clases laterales derechas como izquierdas enun subgrupo H de un grupo G, esto es, encuentre una biyeccion entrelas clases derechas y las izquierdas. Este resultado es obvio para ungrupo finito. Demuestrelo para un grupo cualquiera.

8. SeanG un grupo finito,H ,K dos subgrupos deG tales queH ≤ K ≤ G.Demostrar que (G : H) = (G : K)(K : H).

9. Demostrar que un grupo cıclico finito de orden n tiene exactamente unsubgrupo de orden d, para todo d que divida a n. Demuestre ademasque estos son los unicos subgrupos.

10. Sea el grupo aditivo de los enteros y Hn el subgrupo conformado contodos los multiplos de un entero fijo n. Halle el ındice de Hn en G yescriba las clases laterales izquierdas de Hn.

3.5. SUBGRUPOS NORMALES 119

11. ¿Que es Hm ∩Hn (ejercicio anterior), para m, n enteros fijos?

12. Si H , K son dos subgrupos de ındice finito en G, demuestre que H ∩Kes de ındice finito en G.

13. Tome el grupo multiplicativo Z19. Sea H el subgrupo generado por 8.Hallar las clases laterales derechas de H .

14. Tome el grupo aditivo Z20. Hallar las clases laterales derechas del sub-grupo H = {0, 4, 8, 12, 16}.

15. Demuestre que para todo subgrupo H de G la relacion R definida porxRy si y solo si xy−1 ∈ H , (y ∈ Hx) es una equivalencia regular por laderecha en la cual H = [ e ]. Si H es un Δ–subgrupo del Δ–grupo G, R

es una Δ–equivalencia. Demuestre ademas que [ a ] = Ha.

Si tomamos el grupo aditivo de los enteros y Hn es el subgrupo delos multiplos de n, de acuerdo con la notacion aditiva, xy−1 ∈ Hnse reduce a “(x − y) es un multiplo de n” la cual es la relacion decongruencia estudiada en los enteros.

16. Si H , K son dos grupos finitos de G de ordenes |H|, |K| respectiva-mente, entonces |HK| = |H||K| /|H ∩ |K|.

17. Un subconjunto no vacıo K del grupo G es una clase lateral (por laderecha o por la izquierda) con respecto a un subgrupo H de G, si ysolo si, para x, y, z elementos de K, xy−1z ∈ K.

3.5. Subgrupos normales

En la seccion anterior se vio que para algunos subgrupos, por ejemplolos abelianos, las nociones de clase lateral izquierda y derecha coinciden, elproducto de clases esta bien definido y la coleccion de todas las clases formanun grupo, mientras que algunos subgrupos no poseen estas propiedades. Fueel genio de Galois quien descubrio la existencia de estos subgrupos especiales.La presentacion de los subgrupos normales se hara a partir de los automor-fismos internos por conjugacion y de los Δ–subgrupos asociados con ellos. Elpunto de partida es la definicion que sigue.


Definicion 3.5.1. Sea G un grupo, Δi el conjunto de los automorfismosinternos por conjugacion de G. Los Δ–subgrupos del Δ–grupo G reciben elnombre de subgrupos normales de G.

Sean, g un elemento fijo de G, φ el automorfismo interno por conjugacion cong. Tomando el producto externo definido anteriormente, esto es, para todo x∈ G, φx = xφ, se puede escribir

φx = xφ

= gxg−1.

El automorfismo inverso es tambien un automorfismo interno, entonces

φ−1x = xφ−1

= g−1xg.

Por la definicion de Δ–subgrupo, para todo subgrupo normal N de G

φN ⊆ ΔN ⊆ N y φ−1N ⊆ ΔN ⊆ N.

Sea n ∈ N , entonces gng−1 ∈ φ−1N , luego g−1ng ∈ N , en consecuencia existen1 en N tal que g−1ng = n1, por consiguiente n = gn1g

−1 ∈ φN , lo que enotras palabras significa que N ⊆ φN , de esta contenencia y de la obtenidaanteriormente se concluye que N = φN . Pero el anterior razonamiento esvalido para todo g de G y para todo n de N , por lo cual se puede deducirque para todo φ ∈ Δi, φN = N . Pero

φN = {gng−1 | n ∈ N, g ∈ G} = N.

Igualdad que permite concluir que para todo g ∈ G y para todo n ∈ N

gNg−1 = N o gN = Ng.

Recıprocamente, sea N un subgrupo de G tal que para todo g de G y paratodo n de N , gNg−1 = N , es decir, para todos los automorfismos internos porconjugacion de G, φN = N , lo que implica que φN ⊆ N para todo φ ∈ Δi.

La afirmacion anterior es equivalente a ΔiN ⊆ N o N es un Δ–subgrupo,esto es, un subgrupo normal por definicion.

Se ha demostrado que N es un subgrupo normal si y solo si para todo gde G

gNg−1 = N o gN = Ng.

En D3 se pueden construir seis automorfismos internos por conjugacion concada uno de sus elementos ası.


φρ0

ρ0 ↔ ρ0

ρ1 ↔ ρ1

ρ2 ↔ ρ2

μ1 ↔ μ1

μ2 ↔ μ2

μ3 ↔ μ3

φρ1

ρ0 ↔ ρ0

ρ1 ↔ ρ1

ρ2 ↔ ρ2

μ1 ↔ μ3

μ2 ↔ μ1

μ3 ↔ μ2

φρ2

ρ0 ↔ ρ0

ρ1 ↔ ρ1

ρ2 ↔ ρ2

μ1 ↔ μ2

μ2 ↔ μ3

μ3 ↔ μ1

φμ1

ρ0 ↔ ρ0

ρ1 ↔ ρ2

ρ2 ↔ ρ1

μ1 ↔ μ1

μ2 ↔ μ3

μ3 ↔ μ2

φμ2

ρ0 ↔ ρ0

ρ1 ↔ ρ2

ρ2 ↔ ρ1

μ1 ↔ μ3

μ2 ↔ μ2

μ3 ↔ μ1

φμ3

ρ0 ↔ ρ0

ρ1 ↔ ρ2

ρ2 ↔ ρ1

μ1 ↔ μ2

μ2 ↔ μ1

μ3 ↔ μ3

Figura 3.4

Recuerde que todas las imagenes se obtuvieron despues de realizar las corres-pondientes operaciones en D3 tomando la conjugacion con cada uno de suselementos en la forma como se realizo en la figura 3.1 para ρ1.

El conjunto Δi se representa por

Δi = {φρ0 , φρ1, φρ2, φμ1 , φμ2 , φμ3}.Para convertir a D3 en un Δ–grupo tomemos el producto externo definidoanteriormente, esto es

φγix = xφγi

.

Donde φγirepresenta cada uno de los seis elementos de Δi.

La expresion de la izquierda es el producto y la de la derecha, el auto-morfismo correspondiente.

Por ejemplo, para calcular φμ3ρ1, esto es, el producto externo de φμ3 porρ1, se toma la imagen de ρ1 a traves del automorfismo interno φμ3 ; imagenque corresponde a la rotacion ρ2.

En las anteriores condiciones se establecen las igualdades,

φμ3ρ1 = ρ1φμ3

= ρ2.

El ultimo resultado se obtuvo de acuerdo con los automorfismos descritos enla figura 3.4.

La tabla del producto externo es


⊥ ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3

φρ0 ρ0 ρ1 ρ2 μ1 μ2 μ3

φρ1 ρ0 ρ1 ρ2 μ3 μ1 μ2

φρ2 ρ0 ρ1 ρ2 μ2 μ3 μ1

φμ1 ρ0 ρ2 ρ1 μ1 μ3 μ2

φμ2 ρ0 ρ2 ρ1 μ3 μ2 μ1

φμ3 ρ0 ρ2 ρ1 μ2 μ1 μ3

Figura 3.5

Como el producto externo esta bien definido, D3 es un Δ–grupo. Para elsubgrupo H = {ρ0, ρ1, ρ2}, el producto externo ΔiH = {ρ0, ρ1, ρ2} es unsubconjunto de H , significando que H es un Δ–subgrupo y por definicion unsubgrupo normal de D3 (ver la parte sombreada de la figura 3.5).

Por el contrario, el subgrupo H1 = {ρ0, μ1} no es un Δ–subgrupo, elproducto externo ΔiH = {μ1, μ2, μ3} � H1. Se afirma entonces que H1 noes un subgrupo normal de D3.

Esperamos que sea productivo para el estudiante la forma de describirlos subgrupos normales relacionandolos con los automorfismos internos y elproducto externo definido en ellos. A medida que avance en el estudio seira dando cuenta de su relacion fundamental con las clases de equivalenciadadas. Confiamos en que estas hayan servido para facilitar la introduccionde un tema tradicionalmente denso. La idea es tener una mejor comprensiondel concepto de subgrupo normal.

Comprobar que un determinado subgrupo es normal usando la definiciones tarea harto agobiante, pero esta dificultad de obvia con el desarrollo dealgunos criterios, el primero de ellos es el teorema que sigue.

Teorema 3.5.1. El subgrupo H de G es un subgrupo normal de G, si y solosi, toda clase lateral izquierda de H en G es una clase lateral derecha de Hen G.

Demostracion. SiH es un subgrupo normal de G, entonces para todo h deH ,para todo g de G, gHg−1 = H , de donde (gHg−1)g = Hg, esto es, gH = Hg,es decir, las clases laterales izquierdas y derechas coinciden.

Supongamos que toda clase lateral izquierda es una clase lateral derecha.Entonces, gH = Hg, y por consiguiente gHg−1 = H , indicando que H esnormal.


Con el teorema 3.5.1, el ejercicio anterior se reduce a encontrar las claseslaterales izquierdas y derechas de H = {ρ0, ρ1, ρ2}. Como solo hay dos clasesizquierdas o derechas.

μ1H = {μ1ρ0, μ1ρ1, μ1ρ2} = {μ1, μ3, μ2}

Hμ1 = {ρ0μ1, ρ1μ1, ρ2μ1} = {μ1, μ2, μ3}.Ademas

ρ0H = Hρ0 = H.

Por lo visto toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda, indicandoque H es normal.

Con los teoremas 3.4.3 y 3.5.1 es tarea facil comprobar que los subgruposnormales son los subgrupos especiales descubiertos por Galois. El hecho quetodo grupo abeliano pertenezca a tan distinguida clase se demuestra con el

Teorema 3.5.2. Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.

Demostracion. Sea G abeliano y H un subgrupo de G. Para todo h en H ypara todo g en G, ghg−1 = g−1hg = h, entonces H es un subgrupo normalde G.

Definicion 3.5.2. Dos subgrupos H, K de G son conjugados si y solo siH = aKa−1 para algun a de G.

Los subgrupos H = {ρ0, μ1}, K = {ρ0, μ3} son conjugados. Es muysencillo comprobar que H = 2K(2)−1.

Definicion 3.5.3. Sea a un elemento del grupo G. La clase conjugada C[ a ]de a es el conjunto

{x ∈ G | xax−1 = a}.En un grupo abeliano, xax−1 = a, de modo que C[ a ] = {a}.Las clases conjugadas parten el grupo en bloques disyuntos de una manera

similar a como lo hacen las clases laterales, sin embargo las clases conjugadasno necesariamente deben tener igual numero de elementos, no es difıcil darsecuenta que en el fondo hay una relacion de equivalencia.

Definicion 3.5.4. Si N es un subgrupo normal de G, el grupo de las claseslaterales de N para el producto de clases es el grupo cociente (o grupo factor)de G por N y se nota G/N.


Ejemplo 3.5.1. Como el grupo aditivo de los enteros es abeliano, el subgruponZ es normal ( n > 0 ). Existen n clases, 0 + nZ, 1 + nZ, . . . , (n− 1) + nZ,por lo tanto el orden de Z/nZ es n.

Definicion 3.5.5. Un grupo se dice simple si no tiene subgrupos normalespropios.

Definicion 3.5.6. Sea G un grupo, ai ∈ G, para algun i en I, donde I es unconjunto de ındices. El menor subgrupo de G que contiene a {ai | i ∈ I} esel subgrupo generado por {ai | i ∈ I}. Si este subgrupo es igual a G, se diceque {ai | i ∈ I} genera a G y en tal caso se afirma que cada uno de los ai

son generadores de G. Si existe un conjunto finito {ai | i ∈ I} que genera aG, entonces G se dice finitamente generado.

Esta definicion es consistente con la dada para grupos cıclicos. Se dejaa los interesados demostrar que la interseccion de todos los subgrupos deG que contienen a {ai | i ∈ I} es el menor subgrupo de G que contiene a{ai | i ∈ I}.

Teorema 3.5.3. Si G es un grupo, ai ∈ G, para algun i en I, entonces elsubgrupo H generado por {ai | i ∈ I} tiene por elementos precisamenteaquellos de G que son productos finitos de potencias enteras de los ai, dondelas potencias de un ai fijo pueden aparecer varias veces en el producto.

Demostracion. El hecho que las potencias de un ai fijo puedan aparecer variasveces en el producto se debe a que G puede no ser abeliano. Si es abeliano,

(ai)n(aj)

s(ai)m = (ai)

n+m(aj)s

pero esto no es cierto si no es conmutativo.Sea K el conjunto de todos los productos finitos de potencias enteras

de los ai. Es claro que K ⊆ H . Solo se necesita demostrar que K es unsubgrupo de H . Y como H es el menor subgrupo que contiene a ai para todoi de I, entonces K = H . Es obvio que K es cerrado para el producto ya queeste producto es tambien un producto finito de potencias enteras de los ai.Ademas e ∈ K por ser la potencia cero de ai.

Sea k ∈ K, entonces

k = (ai)n(aj)

m . . . (as)r


(m,n, . . . , r) son enteros, (i, j, . . . , s) son elementos de I. Pero (−r, . . . ,−m,−n)son enteros luego,

(k)−1 = (as)−r . . . (aj)

−m(ai)−n ∈ K.De esta manera se demuestra que K es un subgrupo de H .

Ejemplo 3.5.2. Z× Z2 es generado por {(1, 0), (0, 1)} = K.

Solucion. Vamos a comprobar que Z × Z2 es el menor subgrupo de Z × Z2

que contiene a K.Sea H un subgrupo de Z× Z2 que contiene a K, entonces ( −1, 0 ) ∈ H

y ademas

(1, 0)n = (n, 0) ∈ H, n ∈ N.

Como H es un grupo, (−n, 0 ) ∈ H y tambien,

(1, 0) + (−1, 0) = (0, 0) ∈ H.Para todo entero n, (n, 0) ∈ H .

(0, 1)m = (0, 0) si m es par

(0, 1)m = (0, 1) si m es impar.

Para todo entero n y todo impar m,

(1, 0)n + (0, 1)m = (n, 1) ∈ H.En conclusion, para todo entero n ( n, 1) ∈ H . Tambien ( n, 0 )∈ H y de estaultima parte se deduce que H contiene todos los elementos de Z× Z2 o queZ× Z2 esta contenido en H y de aquı se sigue que

Z× Z2 = H.

Definicion 3.5.7. Sean a, b elementos del grupo G, aba−1b−1 se dice elconmutador de a y b.

Teorema 3.5.4. El conjunto de todos los conmutadores aba−1b−1 de ungrupo G genera un subgrupo normal G′ de G, G/G′ es abeliano. AdemasG/N es abeliano si y solo si G′ es un subgrupo de N .


Demostracion. Sea H el subconjunto de G formado por todos los conmuta-dores de G y sea G′ el mınimo subgrupo de G que contiene a H . G′ siempreexiste y es la interseccion de todos los subgrupos que contienen a H . (demos-tracion dejada a los interesados). Como G contiene todos sus conmutadores,debe contener a H , entonces la interseccion de todos los subgrupos que con-tienen a H nunca es vacıa y en el caso mas amplio G = G′. Luego es ciertoque el conjunto de todos los conmutadores de G generan un subgrupo G′

de G. El teorema 3.5.3 muestra que G′ consta de todos los productos finitosde conmutadores. Note que el inverso de un conmutador es tambien un con-mutador, lo mismo que el elemento de identidad. Para demostrar que G′ esnormal (para todo g de G y para todo c, d de G′), las igualdades que siguense obtuvieron usando la propiedad asociativa e introduciendo el elemento deidentidad (g−1d−1dg) en el segundo miembro ası

g(cdc−1d−1)g−1 = (gcdc−1)(g−1d−1dg)(d−1g−1)

= [(gc)d(gc)−1d−1][dgd−1g−1] ∈ G′.

Luego G′ es normal en G.

Dado que b−1a−1ba = b−1a−1(b−1)−1(a−1)−1 es un elemento de G′ debetenerse que la clase

b−1a−1baG′ = eG′.

Como G′ actua como elemento de identidad de G/G′, la clase b−1a−1baG′

actua como elemento de identidad para G/G′, entonces

abG′ = (abG′)(b−1a−1baG′).

Desarrollando la segunda parte se llega a,

abG′ = baG′ = bG′aG′.

Concluyendose que G/G′ es abeliano.

Si G/N es abeliano

aba−1b−1N = (abN)(b−1N)(a−1N)

= abb−1a−1N

= N.


De modo que aba−1b−1 ∈ N y por consiguiente G′ es un subgrupo de N .Finalmente si G′, es un subgrupo de N entonces

(aN)(bN) = abN

= ab(b−1a−1ba)N

= (abb−1a−1)baN

= baN

= (bN)(aN).

Definicion 3.5.8. El subgrupo G’, generado por todos los conmutadores deG, se llama el subgrupo conmutador de G.

Ejemplo 3.5.3. Si G es un grupo y H un subgrupo de ındice dos en Gdemostrar que H es normal en G

Solucion. Como H es de ındice dos, existen dos clases laterales derechas ydos izquierdas, esto es, He, Ha, eH , aH . Es obvio que a ∈ H , pero

He = eH = H.

Por formar las clases laterales una particion

aH = G−H = Ha.

En conclusion toda clase izquierda es una clase derecha y por el teorema3.5.1, H es un subgrupo normal en G.

Ejemplo 3.5.4. Demuestre que el centro de un grupo G es un subgruponormal.

El centro de un grupo G es el conjunto de todos los a de G tales queax = xa para todo x de G, esto es, es el conjunto de aquellos elementos deG que conmutan con todo elemento de G.

Solucion. Lo primero que hay que demostrar es que el centro es un subgrupo,tarea que se deja como ejercicio. Para demostrar que es normal, tomese unelemento cualquiera a que pertenezca al centro, lo que significa que paratodo g de G, ag = ga. Operando a derecha, a = gag−1 es un elemento delcentro.


EJERCICIOS

1. Demostrar que la interseccion de dos subgrupos normales de G es unsubgrupo normal de G.

2. Si H es un subgrupo de G y N es un subgrupo normal de G, demostrarque H ∩N es un subgrupo normal de H .

3. Demostrar que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal.

4. Demostrar que el centro de un grupo es un subgrupo normal.

5. Sea G un grupo finito y sea H el unico subgrupo de orden |H| queposee G. Demuestre que H es un subgrupo normal de G.

6. Si M , N son dos subgrupos normales de G, demuestre que MN es unsubgrupo normal de G.

7. Sean M , N dos subgrupos normales de G tales que M ∩ N = {e},demostrar que para todo m ∈ M , para todo n ∈ N , nm = mn.

8. Demostrar que si T es un grupo cıclico normal de G, entonces todosubgrupo de T es normal en G.

9. Dado un grupo G, se designa por B(G) al conjunto de los elementos deG que conmutan con todo subgrupo H de G.

B(G) = { x ∈ G | xH = Hx, ∀H ∈ λ }. Donde λ es el conjunto de to-dos los subgrupos de G. Demostrar que B(G) es un subgrupo que con-tiene al centro de G, que es un subgrupo caracterıstico de G y queB(G) = B[B(G)].

10. Demostrar que para todo subgrupo H de G se tiene, H∩B(G) ⊆ B(H).

11. Sean Z4 = {0, 1, 2, 3}, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, H el subgrupo cıclicogenerado por (0, 1). Computar el grupo cociente (Z4 × Z6)/H .

12. Demostrar que el grupo cociente de un grupo cıclico es cıclico.

13. Hallar los subgrupos de Z12 generados por {2, 3} y {6, 8, 10}.

3.6. HOMOMORFISMOS 129

3.6. Homomorfismos entre grupos

El concepto de homomorfismo entre grupos es exactamente el mismo dadoen la seccion 3.1. Si Δ = {i}, donde i es el automorfismo identico, vimos comocualquier grupo se convierte en un Δ–grupo mediante el producto externodefinido por

ix = xi = x.

El primer miembro de la igualdad representa el producto de i por el ele-mento x y el segundo es la imagen de x a traves de i. Como esta operaciones distributiva se da por descontado que todo homomorfismo entre grupossatisface la definicion dada anteriormente. Siguiendo este orden de ideas, unhomomorfismo entre grupos es esencialmente una funcion de un grupo G aun grupo similar G′ que preserva la estructura.

Si 〈G, ∗〉, 〈G′, ◦〉 son grupos y φ es una funcion de G en G′ tal que paratoda pareja x, y de elementos de G, existen elementos unicos xφ, yφ en G′

que satisfacen la igualdad

(x ∗ y)φ = xφ ◦ yφ

Se dice que es un homomorfismo entre G y G′.Usualmente se omiten los sımbolos de las operaciones y se usa notacion

multiplicativa para ambas operaciones, esto es, se escribe

(xy)φ = (xφ)(yφ).

Teniendo en cuenta que la operacion de la izquierda es la de G, mientras quela de la derecha es la de G′.

La nocion de homomorfismo esta fuertemente ligada con la de grupocociente y por ende con los subgrupos normales. Esta relacion hace posibleidentificar cada elemento con la clase que lo contiene, reforzando la idea quenos permitio considerar cada clase como un elemento de un nuevo grupodenominado grupo cociente.

Ejemplo 3.6.1. En los grupos aditivos Z y Zn definamos φ mediante laformula xφ = r, donde r es el residuo de dividir x entre n.

Solucion. Para verificar que φ es un homomorfismo, tomense x, y en Z talesque

x = q1 + r1, 0 ≤ r1 ≤ n y = q2 + r2, 0 ≤ r2 ≤ n.


Por la definicion

xφ = r1, yφ = r2.

Luego

xφ+ yφ = r1 + r2 = r3.

Siempre y cuando

r1 + r2 = q3n+ r3, 0 ≤ r3 ≤ n.

Por otra parte

x+ y = (q1 + q2)n+ (r1 + r2) = (q1 + q2 + q3)n + r3.

Con 0 ≤ r3 ≤ n. De manera que

(x+ y)φ = r3.

Comprobandose que φ es un homomorfismo.

Ejemplo 3.6.2. En el grupo aditivo de los enteros definamos la funcion φpor la igualdad, xφ = 2x.

Solucion.

(x+ y)φ = 2(x+ y) = 2x+ 2y = xφ + yφ

Demostrandose que es un homomorfismo.

Ejemplo 3.6.3. La funcion, φ: R −→ C∗ definida por xφ = sin x+ i cosx esun homomorfismo donde R es el grupo aditivo de los reales y C∗ es el grupomultiplicativo de los complejos diferentes de cero.

El siguiente teorema representa una fuente rica en homomorfismos.

Teorema 3.6.1. Si N es un grupo normal de G, entonces la funcion canonicao natural φ : G −→ G/N dada por xφ = xN , para x en G es un homomor-fismo.

Demostracion. Es consecuencia inmediata de la definicion de producto declases laterales en terminos del producto de representantes, es decir

(xy)φ = xyN = (xN)(yN) = (xφ)(yφ).


Definicion 3.6.1. Si φ es un homomorfismo de G en G′ el nucleo Kφ sedefine por la formula

Kφ = { x ∈ G | xφ = e′ }.Donde e′ es el elemento de identidad de G′.

Definicion 3.6.2. Sea φ : X −→ Y . La imagen Aφ de un subconjuntocualquiera A de X es el conjunto de las imagenes de todos los elementosde A. La imagen inversa Bφ−1 de un subconjunto cualquiera B de Y es elconjunto de los elementos de X cuyas imagenes son elementos de B. Esto es

Aφ = { aφ | a ∈ A }, Bφ−1 = { x ∈ X | x ∈ B }.

La primera parte del siguiente teorema demuestra que el nucleo de un ho-momorfismo nunca es vacıo, mientras que la segunda describe algunas carac-terısticas que son preservadas por estas aplicaciones.

Teorema 3.6.2. Si φ es un homomorfismo de G en G′, entonces. Si e es elelemento de identidad de G, eφ es el elemento de identidad de G′ y si a ∈ G,a−1φ = (aφ)−1. Si H es un subgrupo de G, entonces Hφ es un subgrupode G′. Si H es normal entonces Hφ es normal en Gφ. Por otra parte si K ′

es un subgrupo de G′, entonces K ′φ−1 es un subgrupo de G y si K ′ es unsubgrupo normal de Gφ, entonces K ′φ−1 es un subgrupo normal de G. Enotras palabras, bajo los homomorfismos los subgrupos se corresponden lomismo que los subgrupos normales.

Demostracion. Sea φ es un homomorfismo de G en G′, entonces

aφ = (ae)φ = (aφ)(eφ).

Esto es, eφ es el elemento de identidad de G′. La ecuacion,

eφ = (aa−1)φ = (aφ)(a−1φ)

muestra que a−1φ = (aφ)−1.Por otra parte, seanH un subgrupo de G, aφ, bφ dos elementos arbitrarios

de Hφ. Como (ab)φ = (aφ)(bφ), se concluye que (aφ)(bφ) ∈ Hφ. Dado quea−1 pertenece aH , entonces a−1φ pertenece aHφ, por tanto (aφ)−1 pertenecea Hφ, por ser iguales, lo que indica que Hφ es un subgrupo de G′.


La demostracion anterior permite concluir que Gφ en particular es unsubgrupo de G′ y por tanto es un grupo. Ademas H ⊆ G, luego Hφ ⊆ Gφ ycomo ambos conjuntos son grupos con respecto a la operacion de G′ se puedededucir que Hφ es un subgrupo de Gφ.

Supongamos que H es un subgrupo normal de G. Y sea gφ un elementode Gφ. Por la propiedad del inverso y la definicion de φ

gφhφ(gφ)−1 = (ghg−1)φ.

Como, (ghg−1) ∈ H , (ghg−1)φ ∈ Hφ esto es, Hφ es un subgrupo normal deGφ.

Sea K ′ un subgrupo de G′. Suponga que a, b pertenecen a K ′φ−1 entonces(ab)φ = aφbφ ∈ K ′ luego ab ∈ K ′φ−1.

Si a ∈ K ′φ−1 es obvio que aφ ∈ K ′, de modo que (aφ)−1 = a−1φ ∈ K ′ yen consecuencia a−1 ∈ K ′φ−1 lo cual permite decir que K ′φ−1 es un subgrupode G.

Si K ′ es un subgrupo normal de Gφ, entonces, si b pertenece a K ′ y gpertenece G, se deduce que

(gbg−1)φ = gφbφ(gφ)−1 ∈ K ′.

Es decir, gbg−1 ∈ K ′φ−1. Por consiguiente, K ′φ−1 es un subgrupo normal deG.

Por ser facil la demostracion del siguiente teorema la encomendamos alos interesados.

Teorema 3.6.3. Un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G′ es unafuncion uno a uno si y solo si, Kφ = { e }.

EJERCICIOS

1. Dados G = {1,−1} el grupo definido por la tabla

∗ 1 −11 1 −1−1 −1 1

R∗ el grupo multiplicativo de los reales diferentes de cero,

3.7. ISOMORFISMOS 133

φ : R∗ −→ G dado por xφ = 1 si x > 0, xφ = −1 si x < 0.

Demostrar que φ es un homomorfismo y hallar el nucleo.

2. Sean R el grupo aditivo de los reales, R∗ el grupo multiplicativo de losreales diferentes de cero, φ : R −→ R∗ dada por xφ = 3x para todoreal x. Demostrar que φ es un homomorfismo

3. Demostrar que un homomorfismo φ de un grupo G en un grupo G′ esuna funcion uno a uno si y solo si el nucleo de φ es { e }.

4. Determınese en cada caso si las aplicaciones siguientes son o no homo-morfismos. En caso afirmativo hallar el nucleo.

a) R∗ es el grupo de los reales diferentes de cero para el producto,φ : R −→ R∗ definida por xφ = x2.

b) R es el grupo aditivo de los reales, φ : R−→ R, dado por xφ = x+ 1.

c) R es el grupo aditivo de los reales, φ : R −→ R, dado por xφ = 7x.

d) Sea G un grupo abeliano, φ : G −→ G, dado por xφ = x5.

e) R es el grupo aditivo de los reales, C∗ el grupo de los comple-jos diferentes de cero para el producto, φ : R −→ C∗ dada por,xφ = cosx+ i sen x.

f ) Sean G, G′ dos grupos, φ : G×G′ −→ G dado por (x, y)φ = x.

g) Sean Z, R los grupos aditivos de los enteros y los reales respecti-vamente, φ: R −→ Z definido por xφ = el mayor entero menor oigual a x.

5. Demostrar que si φ es un homomorfismo de G en G′ de nucleo Kφ

entonces Kφ es un subgrupo normal de G.

3.7. Isomorfismos

Es la hora de precisar una idea mencionada con anterioridad, esto es,cuando dos grupos son estructuralmente identicos. Desde un punto de vistanetamente matematico carece de importancia la naturaleza de los elementosque constituyen un grupo, lo realmente interesante son las propiedades quepresentan dichos objetos a traves de la operacion respectiva. Son en verdad


estas propiedades los ingredientes caracterısticos de cada grupo. Se dice quedos grupos son isomorfos si son identicos, salvo el nombre de los elementos yoperaciones. Sean G, G′ dos grupos isomorfos, se trata de encontrar la formade obtener a G′ a traves de G. En realidad lo que se debe hacer es definirun homomorfismo biyectivo entre los dos grupos. La biyeccion φ es la quepermite rebautizar los elementos de G.

Concretamos la idea con la definicion que sigue, caso particular de la yaestablecida.

Definicion 3.7.1. Un homomorfismo φ entre los grupos G, G’se dice unisomorfismo si es uno a uno y sobre.

Definicion 3.7.2. Dos grupos G, G′ se dice que son isomorfos si existe unisomorfismo de G sobre G′. En este caso se escribe G ≈ G′.

Por ser la demostracion del siguiente teorema similar a la del teorema 3.6.2,se deja al cuidado de los estudiantes.

Teorema 3.7.1. Si φ es un isomorfismo de G sobre G′, y si e es el elementode identidad de G, entonces eφ es el elemento de identidad para G′. Ademas,para todo a ∈G, a−1φ = (aφ)−1. O sea, que un isomorfismo hace corresponderlos elementos de identidad y los inversos.

Es importante poseer algunas tecnicas que permitan demostrar cuandodos grupos son isomorfos. Tales tecnicas se reducen a los siguientes pasos:Primero definir la funcion la cual nos proporciona el homomorfismo entrelos grupos, segundo demostrar que es una biyeccion y tercero que verifica laigualdad (xy)φ = (xφ)(yφ).

Ejemplo 3.7.1. Demostrar que el grupo aditivo de los reales es isomorfo algrupo multiplicativo de los reales positivos.

Solucion. Defina φ : R −→ R+ mediante la formula xφ = ex, donde e es labase de los ritmos naturales. Del curso de calculo podemos afirmar que φes una funcion uno a uno y sobre, pero si es el caso hay que demostrarlo.Finalmente, para todo x, y de R,

(x+ y)φ = ex+y = exey = (xφ)(yφ).

Queda como ejercicio demostrar que la relacion ser isomorfo es de equiva-lencia.


Ejemplo 3.7.2. Existe solo un grupo de orden uno, uno de orden dos, unode orden tres, dos de orden cuatro, el grupo cuaternario de Klein y el grupoaditivo Z4, salvo isomorfismos.

Teorema 3.7.2. Si un elemento a genera el grupo cıclico G, este quedadeterminado por el orden de a, salvo isomorfismos. Si el orden de a es infinitoG es isomorfo al grupo aditivo de los entero, si el orden de a es el entero n,G es isomorfo al grupo aditivo Zn. Dos grupos cıclicos del mismo orden sonisomorfos.

Demostracion. Sean G un grupo cıclico infinito generado por a, φ : Z −→ Gdado por iφ = ai, para todo i en Z. Si i, j son elementos de Z

(i+ j)φ = ai+j = aiaj = (iφ)(jφ).

Es decir, φ es un homomorfismo.Supongamos a continuacion que i = j, entonces ai = aj .Si i > j, ai−j = e esto es, el orden de a es finito contradiciendo la hipotesis.

Igual sucede si i < j, por consiguiente, i = j. Indicando que φ es uno a uno.Finalmente, cada elemento de G es de la forma ak, para algun entero k y

por lo tanto φ es sobre. Completandose la primera parte de la demostracion.Supongamos que el orden de a es n. Sea φ : G −→ Zn definido por aiφ = i.Si el orden de a es n, at = e, si y solo si, t es cero o un multiplo de n.

De manera que ai = aj equivale a decir que ai−j = e, o en otras palabrasn | (i− j), o sea, i ≡ j mod n. Ademas para todo r de Zn existe ar en G talque arφ = r. Finalmente, (aiaj)φ = i+ j = aiφ + ajφ, por lo tanto es sobrey G ≈ Zn.

Como la relacion ser isomorfo es de equivalencia es posible afirmar quetodos los grupos cıclicos de orden n son isomorfos puesto que lo son con Zn.De acuerdo con el corolario del teorema de Lagrange todo grupo de ordenprimo es cıclico y por el teorema 3.7.2 es isomorfo con Zp, obteniendose comoconclusion que existe un unico grupo, salvo isomorfismos, de un determinadoorden primo p.

Ejemplo 3.7.3. Demostrar que si G es un grupo con al menos dos elementosque no posee subgrupos propios, entonces es finito y de orden primo.

Solucion. Sea, a un elemento de G, como G no tiene subgrupos propios, elsubgrupo cıclico generado por a, esto es, (a) debe ser igual a G, de dondese infiere que G debe ser cıclico, ademas no puede ser infinito puesto que


serıa isomorfo al grupo aditivo de los enteros, pero esto no es posible porquelos enteros poseen subgrupos propios, eso quiere decir que G es de ordenfinito. Como es cıclico debe ser abeliano. Por otra parte sea p el orden deG, si existiera m un divisor de p, el recıproco del teorema de Lagrange paragrupos abelianos garantiza la existencia de un subgrupo de orden m, lo cuales falso por hipotesis, de donde se sigue que p no tiene divisores diferentesde si mismo y la unidad, entonces necesariamente p debe ser primo.

A continuacion se ilustran ciertas formas de comprobar cuando dos gru-pos no son isomorfos. Lo primero que se le ocurre al lector desprevenido eneste caso es demostrar que no existe homomorfismo alguno entre los gruposdados, procedimiento que desgraciadamente falla en algunos ocasiones. Si losgrupos son finitos pero con diferente orden, inmediatamente observamos laimposibilidad de establecer una biyeccion. Pero puede darse el caso de laexistencia de una biyeccion y sin embargo los grupos pueden no ser isomor-fos, en cuyo caso se debe demostrar que uno de ellos posee una propiedadque el otro no posee. Esta propiedad debe depender de la operacion y no delos elementos en particular. Por ejemplo, el grupo aditivo de los enteros noes isomorfo al grupo aditivo de los reales porque no existe biyeccion entreellos. Por otra parte no se puede decir que el grupo aditivo de los enteros noes isomorfo al grupo aditivo de los racionales porque 1

2pertenece al segundo

pero no al primero, la verdadera razon es Z cıclico pero Q no lo es.

El teorema de Cayley

Una considerable parte de los grupos fue concebido previamente comogrupos de permutaciones, adquiriendo posteriormente otras connotacionesen la medida en que el desarrollo de la teorıa les dio vida propia y fue Cayleyel primero en notar que todo grupo podıa presentarse como un grupo depermutaciones. La importancia del teorema de Cayley radica basicamente enel hecho de reducir todo grupo a un grupo de permutaciones, pero algunosalgebristas no le conceden otra. Sin embargo es un teorema clasico de lateorıa de grupos y no se puede pasar por alto porque encadena algunas ideasque se venıan estudiando con anterioridad. El teorema establece que:

Teorema 3.7.3. Todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.

Demostracion. La tarea inicial es encontrar un grupo de permutaciones quesea isomorfo con el grupo G. Piense en el grupo SG, el grupo de las transfor-


maciones enG. En el caso de un grupo finito, SG tiene n! elementos resultandoser demasiado grande para ser isomorfo con G, por lo tanto hay necesidadde buscar un subconjunto con un menor numero de elementos.

Para todo a de G, sea ρa : G −→ G, tal que para todo x de G xρa = xa.Si xρa = yρa, entonces xa = ya, por ende, x = y. Indicando que ρa es

uno a uno.Ademas para todo y ∈ G,

(ya−1)ρa = (ya−1)a = y.

Por consiguiente ρa es sobre, y en consecuencia ρa ∈ SG.Sea G′ = { ρa | a ∈ G}. Se debe comprobar que G′ es un subgrupo de

SG, tarea que dejamos al lector.Toca demostrar queG ≈ G′. Para el efecto tomemos la funcion φ : G −→ G′

dada por aφ = ρa, para todo a de G. Si aφ = bφ, ρa = ρb y en particulareρa = eρb, luego ea = eb o sea, a = b es decir, φ es uno a uno.

Por la definicion de G′ resulta facil demostrar que φ es sobre.Finalmente, (aφ)(bφ) = ρaρb y (ab)φ = ρab. Se dejo al cuidado del estu-

diante demostrar que ρaρb = ρab, lo que lleva a concluir que (aφ)(bφ) = (ab)φ,concluyendose que G es isomorfo a G′.

Para la demostracion se pudo haber usado la transformacion μa = ax,para todo x de G.

Definicion 3.7.3. El grupo G′ = { ρa | a ∈ G}, descrito en la demostraciondel teorema de Cayley, se llama la representacion regular a derecha de G.G′′ = { μa | a ∈ G } es la representacion regular a izquierda de G, donde μa

se definio en la nota anterior.

Ejemplo 3.7.4. Computar la representacion regular a derecha del grupo da-do por la tabla


Solucion . Los elementos de esta representacion son


ρe =

(e a be a b

)ρa =

(e a ba b e

)ρb =

(e a bb e a

)Si hallamos todos los productos posibles podremos calcular la tabla del grupoG′ = { ρe, ρa, ρb }. Suponiendo que tales productos se han calculado la tablaes la siguiente

∗ ρe ρa ρb

ρe ρe ρa ρb

ρa ρa ρb ρe

ρb ρb ρe ρa

Figura 3.6

La estructura del grupo es identica salvo el renombramiento de los elementosde la tabla inferior, donde x se denomina ahora ρx.

Para un grupo finito representado mediante una tabla, ρx es la permu-tacion calculada tomando los elementos en el orden en que aparecen en lacolumna encabezada por x, para todo x de G. Como en la columna encabe-zada por b, los elementos aparecen en el orden (b, e, a) es claro que

ρb =

(e a bb e a

).

EJERCICIOS

1. Sean G un grupo cıclico generado por a y G′ un grupo isomorfo con G.Demostrar que para todo x de G, xφ esta completamente determinadopor el valor de aφ, donde φ es el isomorfismo respectivo.

2. Demostrar que la relacion ser isomorfo es una relacion de equivalencia.

3. Sean 〈G, ·〉 un grupo y ∗ una operacion definida en G, mediante laformula x ∗ y = yx, para x, y elementos de G. Demostrar que 〈G, ∗〉 esun grupo y ademas es isomorfo a 〈G, ·〉. Sugerencia, tome φ dado porxφ = x−1.


4. Sea φ : G −→ G′ un isomorfismo. Demuestre que para todo entero n,xnφ = (xφ)n.

5. Demostrar que si φ : G −→ G′ es un homomorfismo de nucleo Kφ

entonces Gφ es un grupo y existe un isomorfismo canonico de G sobreG/Kφ.

6. Demostrar que si φ : G −→ G′ es un isomorfismo y si H es un subgrupode G, entonces Hφ = { hφ | h ∈ H} es un subgrupo de G′.

7. Sea 〈R−1, ∗〉 un grupo, donde R−1 es el conjunto de los reales diferentesde −1 y ∗ es la operacion definida por la igualdad, x ∗ y = x+ y + xy.Demostrar que 〈R−1, ∗〉 es isomorfo al grupo multiplicativo de los realesdiferentes de cero.

Sugerencia: Considere φ : R∗ −→ R−1 donde xφ = x− 1.

8. Demostrar que la aplicacion φr : G −→ G dada por la igualdadxφr = xr es un automorfismo, donde G es un grupo abeliano finitode orden n y r es un entero positivo primo relativo con n.

9. Deduzca que la ecuacion xr = a siempre tiene solucion en un grupoabeliano finito G si r es primo relativo con el orden de G. ¿ Que sucedesi r no es primo relativo con el orden de G?

10. Sea Int(G) el conjunto de los automorfismos internos del grupo G.Demostrar que la aplicacion φ : G −→ Int(G) dada por la igualdadgφ = ig−1 es un homomorfismo de G sobre Int(G). Demostrar que elnucleo (centro de G) es { a ∈ G | ax = xa, ∀x ∈ G }. Describa cuandoφ es un isomorfismo.

11. Sean G1, G2 grupos, φ1 : G1 −→ G2 , φ2 : G2 −→ G1 homorfismos talesque las respectivas compuestas verifican la igualdad: φ1φ2 = φ2φ1 = i,(la funcion identica). Demostrar que φ1, φ2 son isomorfismos y queφ1 = (φ2)

−1.

12. Considere el grupo cuaternario de Klein. Hallar la representacion regu-lar a izquierda de dicho grupo y construir la tabla correspondiente.

13. Sean G1, G2 grupos notados multiplicativamente. En el producto car-tesiano G1 ×G2 defina una operacion mediante la igualdad,

(a1, a2)(b1, b2) = (a1a2, b1b2)


La operacion de la primera componente es la de G1 y la de la segundaes la de G2

a) Demostrar que esta ley de composicion convierte a G1 × G2 enun grupo denominado el producto directo de G1 por G2, notado∏2

i=1Gi.

b) Dar una generalizacion del producto directo de una familia finitade grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n, y demostrar que el producto directoforma un grupo con la operacion dada.

14. Sean G1 = { e1, a1 }, G2 = { e2, a2 }. Escribir la tabla de∏2

i=1Gi.

15. Considere el grupo S4 de las permutaciones del conjunto { e, a, b, c }.Sea SK el conjunto formado por

(e a b ce a b c

) (e a b ca e c b

) (e a b cb c e a

) (e a b cc b a e

)Las permutaciones involutivas, esto es, cuyo cuadrado es la identica.

a) Demostrar que SK es un grupo y escriba la tabla.

b) Demostrar que SK es isomorfo al producto directo del ejercicio 14.

c) Demostrar que SK es un subgrupo normal de S4.

d) Demostrar que el grupo cociente S4/SK es isomorfo con S3.

e) Demostrar que SK es isomorfo con el grupo cuaternario de Klein.Use el ejercicio 12.

f ) Compare los literales (b) y (e) y obtenga una conclusion.

16. Demostrar que Z4×Z6/H es isomorfo con Z4, donde H es el subgrupocıclico generado por (0, 1).

Capıtulo 4

ANILLOS

4.1. Definicion y Ejemplos

Los anillos son estructuras con dos operaciones. Desde este punto de vistase pueden considerar como sistemas mas complejos, pero a pesar de estadiferencia con los grupos, en su estudio se seguira en lo posible el mismoesquema desarrollado con estos ultimos. Hay una clase especial de subanillos,los ideales, que permiten partir los anillos en clases para construir, como enel caso de los grupos, nuevas estructuras relacionadas con sus generadorasa traves de los homomorfismos. Los ideales serviran para estudiar con unangulo mas amplio la teorıa de la divisibilidad aplicada hasta el momentosolo al anillo de los numeros enteros.

Definicion 4.1.1. Un anillo 〈A,+, ·〉 es un conjunto A dotado de dos ope-raciones, suma y producto que satisfacen las siguientes propiedades.

1. 〈 A, + 〉 es un grupo abeliano.

2. El producto es asociativo.

3. Las propiedades distributivas a izquierda y derecha se verifican, esto es,para cualesquiera a, b, c de A.

a(b+ c) = ab+ ac y (b+ c)a = ba+ ca.

Por abuso del lenguaje, al igual que con los grupos, los anillos y demasestructuras se notaran usando solo la letra respectiva siempre que no hayalugar a confusion. Con Z, Q, R, C se nombraran en ese orden los anillos

141

142 CAPITULO 4. ANILLOS

enteros, racionales, reales y complejos con la suma y producto usuales. Elpunto del producto se usara en los casos estrictamente necesarios.

Ejemplo 4.1.1. Sea A el conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } con las operacionessuma y producto modulo seis, esto es, donde “a + b” y “ab” son el residuoobtenido cuando la suma y el producto usuales se dividen por seis. La es-tructura ası definida se denomina el anillo Z6 y se acostumbra representarlomediante un par de tablas,

Tabla de sumar Tabla de multiplicar

+ 0 1 2 3 4 5 · 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 52 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 43 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 34 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 25 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1

Figura 4.1

4.2. El Anillo Zn

En general, para n ≥ 2 se puede describir a Zn como el anillo de losenteros modulo n. Veamos como es esto posible.

Definicion 4.2.1. Un conjunto de n enteros: a1, a2, a3, . . . , an se denominaun sistema residual completo modulo n si cada entero es congruente modulon con exactamente uno de los ai, 1 ≤ i ≤ n.

El siguiente teorema garantiza que cualquier entero es congruente modulon exactamente con uno de los naturales 0, 1, 2, 3, · · · , n− 1.

Teorema 4.2.1. El conjunto 0, 1, 2, 3, . . . , n − 1 es un sistema residualcompleto modulo n.

Demostracion. Sea a un entero, el algoritmo de la division establece queexisten enteros q, r, con 0 ≤ r ≤ (n− 1), tales que a = nq + r, entonces

a ≡ nq + r ≡ 0q + r ≡ r mod n.

4.2. EL ANILLO ZN 143

Se ha demostrado que a es congruente con al menos uno de los numeros dela coleccion 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1.

Supongamos que existen enteros 0 ≤ r1 ≤ (n− 1), 0 ≤ r2 ≤ (n− 1) talesque

a ≡ r1 mod n, a ≡ r2 mod n y r1 > r2.

Por la propiedad transitiva, r1 ≡ r2 mod n y por definicion n|(r1 − r2). Peror1− r2 es un entero positivo menor que n, por lo tanto no puede ser divisiblepor n, concluyendose que a no puede ser congruente con dos elementos delconjunto 0, 1, 2, 3, . . . , n− 1.

Si agrupamos todos los enteros congruentes con j, 0 ≤ j ≤ (n − 1) enun mismo conjunto y esto lo hacemos con cada uno de los j, obtenemos ncolecciones o clases en la siguiente forma,

[ 0 ] = {. . . ,−2n,−n, 0, n, 2n, 3n, . . . }[ 1 ] = {. . . ,−(2n− 1),−(n− 1), 1, (n+ 1), (2n+ 1), . . .}[ 2 ] = {. . . , (2n− 2),−(n− 2), 2, (n+ 2), (2n+ 2), . . . }

...

[n− 1 ] = {. . . ,−(2n + 1),−(n+ 1), (n− 1), (2n− 1), . . . }.

Colecciones que inducen una particion de los enteros en clases residuales atraves de la congruencia modulo n.

Consideremos el dominio de operadores Δ = N, y la ley de composicionexterna

N× Z→ Z(n, z)→ nz = z + z · · ·+ z︸︷︷︸

n veces

(0, z)→ 0z = 0.

Sean x, y enteros, n un natural, entonces

n(x+ y) = (x+ y) + (x+ y) + · · ·+ (x+ y)︸︷︷︸n veces

= (x+ x+ · · ·+ x)︸︷︷︸n veces

+ (y + y + · · ·+ y)︸︷︷︸n veces

= nx+ ny.


Ademas,

0(x+ y) = 0 = 0 + 0 = 0x+ 0y,

identidades que nos conducen a afirmar que N es un dominio de operadoresdistributivo y de aquı a considerar al grupo Z como un grupo con operadores,o un Δ–grupo. La construccion anterior debe dejar establecido que en generalna no es el producto de elementos del anillo Z, porque el natural n siempreva a ser tomado del dominio de operadores Δ = N que opera a la derecha.

Si a ≡ b mod n, para todo entero x,

x+ a ≡ x+ b mod n y a+ x ≡ b+ x mod n

indicando que la congruencia modulo n es regular puesto que lo es a izquierday a derecha.

De identica manera se ve que para todo natural m,

ma ≡ mb mod n,

es decir, la congruencia es lıcita para la ley de composicion externa N×Z→ Z.En sıntesis, la congruencia modulo n es una congruencia y consecuente-

mente la clase [ 0 ] = [ n ] es un subgrupo de Z, donde las clases de equivalenciavienen dadas por la igualdad,

[ a ] = [ a+ 0 ], 1 ≤ a ≤ (n− 1).

Como Z es abeliano, [ 0 ] es un subgrupo normal. El grupo factor de Z modulon, esto es, Z/n es de orden n.

La suma de clases definida por la igualdad

(a+ [ 0 ]) + (b+ [ 0 ]) = (a+ b) + [ 0 ],

o equivalentemente,

[ a ] + [ b ] = [ a+ b ]

es conmutativa, en efecto,

[ a ] + [ b ] = [ a+ b ]

= [ b+ a ]

= [ b ] + [ a ],

indicando que Z/n es abeliano.

4.2. EL ANILLO ZN 145

Antes de proseguir es indispensable definir en Z una ley de composicioninterna Z× Z → Z llamada producto ası,

(n, z)→ nz = z + z + z + · · ·+ z︸︷︷︸n veces

(0, z)→ 0z = 0

(n, z)→ nz = (−z) + (−z) + · · ·+ (−z)︸︷︷︸(−n) veces

para n < 0.

Se deja al lector demostrar que esta operacion esta bien definida, es asocia-tiva, conmutativa y distributiva lo que no es tarea complicada.

Se define un producto entre clases en la siguiente forma,

(a+ [ 0 ])(b+ [ 0 ]) = ab+ [ 0 ]

o equivalentemente,[ a ][ b ] = [ ab ].

Este producto esta bien definido. Si

a+ [ 0 ] = c + [ 0 ] y b+ [ 0 ] = d+ [ 0 ]

necesariamentea ≡ c mod n y b ≡ d mod n

entoncesab ≡ cd mod n

o sea,ab+ [ 0 ] = cd+ [ 0 ]

o equivalentemente,[ ab ] = [ cd ].

Para demostrar la asociatividad considerense las clases [ a ], [ b ], [ c ], luego

[ a ]([ b ][ c ]) = [ a ]([ bc ])

= [ a(bc) ]

= [ (ab)c ]

= [ ab ][ c ]

= ([ a ][ b ])[ c ].


Es, ademas, distributiva tanto a derecha como a izquierda, ya que,

([ a ] + [ b ])[ c ] = [ a+ b ][ c ]

= [ ac+ bc ]

= [ ac ] + [ bc ]

= [ a ][ c ] + [ b ][ c ].

Igualmente,[ c ]([ a ] + [ b ]) = [ c ][ a ] + [ c ][ b ].

Se ha demostrado que Zn es un anillo, donde las operaciones pueden realizarsetomando elementos arbitrarios de cada una de las clases a operar. Para sumaro multiplicar clases se eligen representantes x, y pertenecientes a estas y sebusca la clase que contiene la suma o producto de los escogidos.

Tome la suma y el producto [ rj + rs ], [ rj ][ rs ] de las clases determinadaspor los residuos modulo n, rj, rs seleccionando los elementos a en [ rj ], b en[ rs ]. Como

a ≡ rj mod n y b ≡ rs mod n.

Sumando y multiplicando miembro a miembro,

a+ b ≡ rj + rs mod n y ab ≡ rjrs mod n,

pero rj + rs y rjrs deben estar ubicados en sus respectivas clases por lo quedeben existir residuos rt, ru tales que,

rj + rs ≡ rt mod n y rjrs ≡ ru mod n,

y en consecuencia,

a+ b ≡ rt mod n y ab ≡ ru mod n,

lo que indica que para sumar o multiplicar clases basta con sumar o multipli-car los correspondientes residuos determinantes de cada clase (representantescanonicos ). Las operaciones suma y producto modulo n estan unıvocamentedeterminadas por la suma y producto de los residuos 0, 1, 2, . . . , n− 1. Cual-quier entero es “igual” a uno de los restos anteriores. Dos de tales residuospueden sumarse o multiplicarse en la forma habitual reduciendo el resultadoa un residuo modulo n que sera en definitiva la respuesta buscada. El algebrade Zn se obtiene reemplazando la congruencia por la igualdad, ya que al fi-nal de cuentas ambas son relaciones de equivalencia. Este reemplazo permite

4.3. EL ANILLO DE LOS ENDOMORFISMOS DE A 147

escribir en general, para los elementos del conjunto {0, 1, 2, 3, . . . , n− 1}, lasigualdades

rj + rs = rt y rjrs = ru,

omitiendo las clases a las que pertenecen cada uno de los r.Mas tarde volveremos a tratar el tema para dar algunos toques finales,

entre tanto mencionaremos indistintamente a Zn y Z/[n ] como si se trataradel mismo anillo. Un ejemplo particular se dio para Z6.

Definicion 4.2.2. El elemento 1 del anillo A se llama un elemento unitariosi para todo a de A, a1 = 1a = a. En este caso se dice que A es un anillocon elemento unitario.

El anillo 2Z de los enteros pares es un anillo sin elemento unitario, encambio Z6 tiene a 1 como elemento unitario.

Definicion 4.2.3. A se dice un anillo conmutativo si el producto lo es, estoes, si para todo a, b en A, ab = ba.

4.3. El anillo de los Endomorfismos de A

Sea A un grupo abeliano, End(A) el conjunto de los endomorfismos deA. Se puede definir una ley de composicion interna “+” en End(A) de lasiguiente manera.

Para cada pareja φi, φj de End(A), φi + φj, esta descrito para todo a deA, por la igualdad,

a(φi + φj) = (aφi)(aφj).

Donde la segunda parte de la igualdad representa la operacion del grupo A,que se ha notado multiplicativamente. Como

(ab)(φi + φj) = [(ab)φi][(ab)φj ]

= [(aφi)(bφi)][(aφj)(bφj)]

= [(aφi)(aφj)][(bφi)(bφj)]

= [a(φi + φj][b(φi + φj)],

indicando que φi+φj pertenece a End(A), esto es, la suma de endomorfismoses un endomorfismo.


Sean φi, φj, φk endomorfismos de A,

a[φi + (φj + φk)] = (aφi)[a(φj + φk)]

= (aφi)[(aφj)(aφk)]

= [(aφi)(aφj)](aφk)

= [a(φi + φj)](aφk)

= a[(φi + φj) + φk],

de donde se deduce que la suma es asociativa.Si e es el elemento de identidad de A, la funcion 0 definida para todo a

de A pora0 = e,

es indudablemente el elemento de identidad para la adicion de End(A). Efec-tivamente, para todo φ que pertenece a End(A) es cierto que,

a(0 + φ) = (a0)(aφ)

= e(aφ)

= aφ

= a(φ+ 0)

= (aφ)(a0)

= (aφ)e

= aφ.

Si φ pertenece a End(A), el endomorfismo (−φ) definido por

a(−φ) = (aφ)−1

pertenece a End(A) porque

(ab)(−φ) = [(ab)φ]−1

= [(aφ)(bφ)]−1

= [aφ]−1[bφ]−1

= [a(−φ)][b(−φ)].

Claramente (−φ) + φ = 0 puesto que

a[−(φ) + φ] = [a(−φ)][aφ]

= [aφ]−1[aφ]

= e

= a0.


Similarmente

φ+ (−φ) = 0.

Como A es abeliano se puede establecer sin dificultad la igualdad

a(φi + φj) = a(φj + φi).

Se ha demostrado que End(A) es un grupo abeliano.

Si en el conjunto End(A) se considera la composicion de funciones comola segunda operacion, esta es asociativa ya que la composicion de funcioneslo es. Ademas la propiedad distributiva a izquierda se verifica sin restriccio-nes para funciones en general y la distributiva a derecha es valida para losendomorfismos, para el efecto tomemos los endomorfismos φi, φj, φk y a enA.

a[(φi + φj) o φk] = [a(φi + φj)]φk

= [(aφi)(aφj)]φk

= [(aφi)φk][(aφj)φk] (Por ser φk un endomorfismo)

= [a(φi o φk)][a(φj o φk)]

= a(φi o φk) + a(φj o φk).

De manera analoga se demuestra para funciones cualesquiera,

a[φk o (φi + φj)] = [a(φk o φi)] + [a(φk o φj)].

En conclusion, End(A) es un anillo llamado el anillo de los endomorfismos delgrupo A. Como la composicion de funciones no es en general conmutativa,End(A) no es en general un anillo conmutativo. Sin embargo, End(Z) esconmutativo cuando se considera el grupo de los enteros con la suma habitual.

Si A es un grupo abeliano y consideramos AA el conjunto de todas lasfunciones de A en A, y definimos las mismas operaciones anteriores, en AA severifican todas las propiedades de los anillos excepto la distributiva a derecha.

El teorema que sigue demuestra algunos hechos de comun ocurrencia enlos enteros que se pueden generalizar. Excepto para el caso el anillo A = {0}donde se han definido las operaciones suma y producto por las igualdades0 + 0 = 0, y 0.0 = 0, en este caso el elemento cero actua a la vez comomodulo aditivo y multiplicativo. En los demas siempre se tendra que dichoselementos deben ser diferentes.


Teorema 4.3.1. Si A es un anillo, entonces para toda pareja a, b de elemen-tos de A.

1. a0 = 0a = 0.

2. a(−b) = (−a)b = −(ab).

3. (−a)(−b) = ab.

4. Si A tiene elemento unitario 1, entonces 1 es el unico elemento deidentidad para el producto.

5. (−1)a = −a.Demostracion. Sea a un elemento de A, entonces,

a0 = a(0 + 0) = a0 + a0.

Por la propiedad cancelativa de la suma

0 = a0.

Similarmente es obvio que 0a = 0.Para demostrar que a(−b) es el inverso de ab, se debe comprobar que

ab+ a(−b) = 0.

Por la propiedad distributiva y (1) obtenemos el resultado deseado.

ab+ (−ab) = a(b+ (−b)) = a0 = 0.

Analogamente se demuestra que (−a)b = −ab.El numeral (3) es una consecuencia de (2) y la dejamos al lector. Por

identica razon dejamos tambien la demostracion de (5). Para demostrar (4)proceda como lo hizo con los grupos.

Definicion 4.3.1. Sea A un anillo, A′ un subconjunto de A. A′ es un suba-nillo de A, si A′ con las operaciones de A es a su vez un anillo.

Teorema 4.3.2. Un subconjunto A′ de un anillo A es un subanillo de A siy solamente si

1. 0 es un elemento de A′.


2. a− b pertenece a A′, siempre que a y b pertenezcan a A′.

3. ab pertenece a A′, siempre que a y b pertenezcan a A′.

Demostracion. En el estudio de la teorıa de grupos se demostro que A′ es unsubgrupo de A si A′ es cerrado para la diferencia. Esto es, si a− b pertenecea A′. Como esto es cierto por hipotesis, A′ es un subgrupo. Como A esabeliano, A′ tambien lo es. Por la condicion (3) el producto es cerrado enA′. Las propiedades asociativa y distributiva de hecho se verifican en A′,porque de no ser ası tampoco se verificarıan en A. Lo mismo sucede con laspropiedades restantes, por lo tanto A′ es un subanillo de A.

Si A′ es un subanillo de A, es igualmente un subgrupo, luego 0 pertenecea A′. Ademas para todo par a, b de A′, −b pertenece a A′, y por ser la sumaestable en A′, a− b = a+ (−b) pertenece a A′. Igual sucede con el productoab.

Ejemplo 4.3.1. Sea a un elemento fijo del anillo A. Demostrar que el con-junto

Ia = { x ∈ A | ax = 0 }es un subanillo de A.

Demostracion. Como 0 ∈ A y a0 = 0, es obvio que 0 ∈ Ia.Sean x, y elementos de Ia, entonces

ax = 0, ay = 0

por tanto a(x− y) = 0, lo que indica que (x− y) ∈ Ia.Similarmente xy ∈ Ia, concluyendose que Ia es un subanillo de A.

EJERCICIOS

1. ¿Cuales de los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas for-man un anillo? Para aquellos que lo son diga cuales son conmutativosy cuales tienen elemento unitario y descrıbalos. Para los que no lo sonestablezca la propiedad que no se cumple.

a) Si A y B son dos anillos, la suma directa de A y B esto es, elconjunto A + B de todos los pares (a, b) con a en A, b en B con


las dos operaciones definidas por

(a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)

(a1, b1)(a2, b2) = (a1a2, b1b2).

b) La suma directa A1 + A2 + A3 + · · · + An de n anillos. Definapreviamente las operaciones correspondientes. Estas son generali-zaciones de las dadas en (a).

c) {a+ b√

2 | a, b ∈ Z} con la suma y el producto usuales.

d) {a+ b√

2 | a, b ∈ Q} con las operaciones usuales.

e) {a√−1 | a ∈ R} con las operaciones entre complejos.

f ) Sea Z[ i ] = {x | x = a + bi a, b son enteros, i =√−1 con las

operaciones entre complejos.

2. Si a, b son elementos de un anillo y m, n son enteros, demuestre que(na)(mb) = (mn)(ab).

3. Si A es un conjunto que satisface todas las propiedades de los anillos conelemento unitario, excepto posiblemente la propiedad conmutativa de lasuma, demuestre que dicha propiedad necesariamente debe verificarseen A.

4. Demostrar que la interseccion de subanilllos de un anillo A, es un sub-anillo de A.

5. Un anillo A es un anillo Booleano si a2 = a, para todo a ∈ A. Demostrarque todo anillo Booleano es conmutativo.

6. Sea A un conjunto. En las partes de A, P(A) defina una suma y unproducto ası: A1 + A2 = (A1 ∪ A2)− (A1 ∩A2) y A1 · A2 = (A1 ∩ A2).Demostrar que P(A) con las operaciones antes definidas en un anilloBooleano.

7. Sea A un anillo en el que se verifica la igualdad x3 = x, para todo x deA. Demuestre que A es un anillo conmutativo.

4.4. DIVISORES DE CERO 153

4.4. Divisores de Cero

En el algebra de los numeros reales es un lugar comun decir que si elproducto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero, hechousado especialmente en la solucion de ecuaciones por el metodo de factori-zacion. Esta propiedad que quisieramos se verificara en todos los anillos noes cierta en general, por ejemplo en Z6 el producto 4× 3 = 0, siendo ambosfactores diferentes de cero.

Definicion 4.4.1. Sean a �= 0, b �= 0 dos elementos de un anillo A tales queab = 0. a y b se denominan divisores de cero, a es un divisor a izquierda,mientras que b lo es a derecha.

Si el anillo es conmutativo no se establece distincion entre divisores a derechao a izquierda. En Z6 los divisores de cero son 2, 3, 4. Note que estos numerosno son primos relativos con 6. Esta situacion se generaliza con el siguienteteorema.

Teorema 4.4.1. En el anillo Zn los divisores de cero son aquellos numerosque no son primos relativos con n.

Demostracion. Sea m �= 0 un elemento de Zn tal que (m,n) = g �= 1,entonces m = gr, n = gs, 1 ≤ r ≤ n− 1, 1 ≤ s ≤ n− 1.

ms = mn

g= n

m

g= nr = 0

por ser nr un multiplo de n. Entonces ms = 0, indicando que m es un divisorde cero.

Por otra parte, supongamos que existen enteros m, s en Zn, tales quems = 0 con (m,n) = 1. Si ms = 0, ms es un multiplo de n, esto es, ms = nt,para 1 ≤ t ≤ n − 1 de donde se deduce que n divide a ms, pero m y n sonprimos relativos entonces la unica posibilidad es que n divida a s, y dado ques es menor que n, s = 0.

El teorema 4.4.1 se usa para demostrar que para todo primo p, Zp notiene divisores de cero. En efecto, para todo m en Zp (m, p) = 1. Si existes en Zp tal que ms = 0, por el teorema mencionado necesariamente s = 0indicando que s no es un divisor de cero.

Observando la tabla de multiplicar de Z6 se nota que 3× 4 = 3× 2 y sinembargo, no se puede asegurar usando la propiedad cancelativa que 4 = 2.Esta propiedad se verifica en un anillo siempre y cuando no existan divisoresde cero y viceversa. La demostracion se propone como ejercicio.


4.5. Dominios de Enteros–Campos

En un anillo A sin divisores de cero, si a �= 0, la ecuacion ax = b tienecuando mas una solucion, dado el cumplimiento de la propiedad cancelativa.Si 1 es el modulo para el producto, la solucion viene dada por x = a−1b,mientras que ba−1 es la solucion de la ecuacion xa = b. En algunos conjuntoscomo los racionales, los reales y otros, el producto es conmutativo y poseeelemento unitario 1, pero en otros estas condiciones no se verifican, por ejem-plo las matrices n×n (n ≥ 2) con componentes enteras no son conmutativaspara el producto. Por otra parte, el conjunto A∗ de los elementos diferentesde cero en un anillo A con elemento unitario, si el producto esta bien defi-nido en A∗ y esta asegurada la existencia de los inversos multiplicativos, A∗

conforma un grupo para dicho producto.

Definicion 4.5.1. Un dominio de enteros es un anillo conmutativo con ele-mento unitario que no tiene divisores de cero.

Los enteros y Zp, para p un primo son dominios de enteros, mientras que Zn

no lo es cuando n es compuesto.Sea Z[ i ] = {x | x = a+bi, a, b son enteros, i =

√−1 } con las operacionesentre complejos. Se asigno como ejercicio demostrar que Z[ i ] es un anilloconmutativo con elemento unitario.

Para demostrar que es un dominio basta comprobar que no tiene divi-sores de cero. Para el efecto tomense los elementos x, y con sus respectivosconjugados x, y. Supongamos que xy = 0, entonces por las propiedades delproducto de complejos se obtienen las igualdades:

(xx)(yy) = (xy)(xy) = 0.

De estas deducimos que

(xx) = 0 o (yy) = 0

y de las ultimas se concluye que x = 0 o y = 0.Z[ i ] es conocido como el dominio de los enteros gaussianos.

Definicion 4.5.2. Sea A un anillo con elemento unitario. Un elemento u deA (u �= 0) se denomina una unidad si el inverso multiplicativo de u tambienpertenece a A.

4.5. DOMINIOS–SEMICAMPOS–CAMPOS 155

En el anillo de los enteros las unicas unidades son 1 y −1 mientras que enlos racionales todo elemento diferente de cero es una unidad.

Definicion 4.5.3. Sea A un anillo con elemento unitario. Si cada elementode A diferente de cero es una unidad, entonces A se llama un anillo condivision o un semicampo

Los racionales forman un semicampo, pero los enteros no.Si A es un semicampo los elementos de A diferentes de cero son todos uni-

dades, esto significa que el inverso multiplicativo de todo elemento diferentede cero tambien es un elemento de A. En adelante el inverso multiplicativode a se notara a−1.

En un semicampo el producto es asociatvo, existe un unico elementounitario y cada a �= 0 es una unidad. Esto es, para todo a �= 0, a1 = 1a = a,existe a−1 en A tal que aa−1 = a−1a = 1. Condiciones que garantizan queen un semicampo los elementos diferentes de cero forman un grupo bajo elproducto.

Ahora estamos en condicion de dar la definicion de la estructura conocidacon el nombre de campo o cuerpo.

Definicion 4.5.4. Un campo es un anillo conmutativo con division.

Los racionales y los reales son dos conocidos campos, mientras que los enterosno lo son. Por ejemplo, 3 es una unidad para los racionales y los reales y nolo es para los enteros.

Dados dos elementos a, b ( b �= 0 ) de un campo, el producto ab−1 tambienle pertenece y al ser esta ultima operacion conmutativa, ab−1 = b−1a. Comono hay lugar a confusion se conviene en establecer la igualdad

ab−1 =a

b

y sera llamado el cociente entre a y b. Las reglas conocidas de la suma yproducto de racionales son casos particulares de unas mas generales de estasmismas operaciones entre cocientes de un campo cualquiera. Estas puedendemostrarse a partir de la suma y el producto del campo en consideracion.Si hacemos referencia a un campo F , y se consideran los elementos a, b, c, den F , donde b �= 0, d �= 0, se puede decir,

1.a

b=c

dsi y solo si ad = bc.


2.a

b+c

d=ad+ bc

bdya

b− c

d=ad− bcbd

.

3.a

b

c

d=ac

bd.

4.a

b+−ab

= 0.

5. Sia

b�= 0 entonces

a

b

b

a= 1.

4.5.1. Subdominios–Subcampos

Ası como se definieron para los grupos y los anillos las nociones de sub-grupo y subanillo, se pueden definir para los dominios y los campos las corres-pondientes subestructuras

Definicion 4.5.5. Un subconjunto de un dominio (campo) se denomina unsubdominio (subcampo) si tal conjunto con las mismas operaciones es a suvez un dominio (campo).

Las propiedades que se verifican en un dominio (campo) tambien se verifi-can en cualquier subconjunto siempre y cuando sea posible realizarlas. Lademostracion del siguiente teorema se deja al cuidado del lector.

Teorema 4.5.1. Sea F un campo. Un subconjunto S de F se dice un sub-campo si y solo si,

1. 0 pertenece a S.

2. 1 pertenece a S, 1 es el elemento unitario de F.

3. S es cerrado para la suma y el producto.

4. Para todo a de S, −a tambien pertenece a S.

5. Para todo a �= 0 en S, a−1 pertenece a S.

Para los subdominios basta con suprimir el numeral (5).

El siguiente teorema permitira dar una infinidad de ejemplos de campos.

Teorema 4.5.2. Todo dominio de enteros finito es un campo.

4.5. DOMINIOS–SEMICAMPOS–CAMPOS 157

Demostracion. Sea A = {0, 1, a2, a3, . . . , an} un dominio de enteros finito.Para demostrar que A es un campo basta comprobar que todo elemento deA diferente de cero tiene su inverso multiplicativo en A. Como 1 es su propioinverso, sea aj �= 0 un elemento de A para 2 ≤ j ≤ n. La sucesion,

0, aj, aja2, aja3, . . . , ajan

es una coleccion de elementos de A. Supongamos que ajai = ajak. Como Ano tiene divisores de cero se puede aplicar la propiedad cancelativa y obtenerai = ak, pero esto es imposible si i �= k.

Si existiera as en A tal que ajas = 0, as fuera un divisor de cero, porconsiguiente, para todo s entre 2 y n, ajas �= 0.

Los anteriores argumentos inducen a concluir que el conjunto

{0, aj, aja2, . . . , ajan} = A.

Por tanto debe existir r, tal que 2 ≤ r ≤ n, se tiene ajar = 1, lo que significaque ar es el inverso de aj. Como aj es un elemento cualquiera se deduceque todos los elementos diferentes de cero tienen su inverso o sea, A es uncampo.

Si p es un primo se demostro que Zp es un dominio de enteros finito ypor lo tanto es un campo.

Ejemplo 4.5.1. Demostrar que 1 y (p−1) son los unicos elementos del campoZp que son sus propios inversos multiplicativos y que (p− 1)! ≡ −1 mod p.

Solucion. Sea a un elemento de Zp diferente de cero, 1 ≤ a ≤ p − 1, luego0 ≤ a − 1 ≤ p − 2. Si 0 ≤ a− 1 ≤ p− 2, el residuo de dividir (a − 1) por pnunca es cero. Este residuo es cero solo en el caso de ser a − 1 = 0, es decira = 1. Por otra parte, 2 ≤ a+ 1 ≤ p, indica que el residuo de dividir (a+ 1)por p es cero solo cuando a+ 1 = p es decir, a = p− 1.

El anterior razonamiento indica que la ecuacion, a2 − 1 = 0 o su equi-valente (a − 1)(a + 1) = 0 tiene por unicas soluciones a = 1, a = p − 1.Soluciones que permiten concluir que 1 y (p− 1) son los unicos elementos deZp tales que, 12 = 1 y (p− 1)2 = 1, es decir son sus propios inversos.

Para la otra parte del ejercicio, si p = 2 o p = 3, entonces, 1 ≡ −1 mod 2y 2 ≡ −1 mod 3.

Considerese un primo p ≥ 5. Excepto 1 y (p−1) que son sus propios inver-sos cada uno de los numeros entre 2 y (p−2) tiene por inverso multiplicativootro numero entre p y (p− 2).


Si tomamos el producto 2 × 3 × 4 × 5 × · · · × (p − 2), este productoesta compuesto por un numero par de elementos. Aplicando las propiedadesasociativa y conmutativa un numero finito de veces es posible escribir cadauno junto a su inverso multiplicativo sin que sobren, de donde se puede inferirque

2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2) = 1

entonces2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2)× (p− 1) = (p− 1)

pero(p− 1) ≡ −1 mod p

luego2× 3× 4× 5× · · · × (p− 2)× (p− 1) ≡ −1 mod p

o equivalentemente (p− 1)! ≡ −1 mod p.

EJERCICIOS

1. Sea A un anillo, U = {u ∈ A | u es una unidad de A}. Demostrar queU con el producto es un grupo. Primero demuestre que el productoesta bien definido.

2. Demostrar que la propiedad cancelativa se verifica en un anillo A si ysolo si en A no existen divisores de cero.

3. Demostrar que la suma directa de dos dominios de enteros no necesa-riamente es un domino de enteros.

4. Describa todas las unidades en los siguientes anillos.

a) Z.

b) Z+Z.

c) Z5.

d) Q.

e) Z+Q+Z.

5. Sea A un conjunto. Considere la estructura 〈A,+, ·〉 tal que:

4.6. IDEALES 159

a) 〈A,+〉 es un grupo.

b) 〈A∗, .〉 es un grupo, donde A∗ es el conjunto de los elementos deA diferentes del elemento de identidad para la suma.

c) a(b+ c) = ab+ ac y (a+ b)c = ac+ bc para todo a, b, c elementosde A.

Demostrar que 〈A,+, ·〉 es un anillo con division.

6. Demostrar que un anillo finito A con elemento unitario y que no con-tiene divisores de cero es un anillo con division.

7. Si D es un dominio, demostrar que el conjunto {n · 1 | n ∈ Z} es unsubdominio de D contenido en todo subdominio de D.

4.6. Ideales

Es valido afirmar que los ideales representan para los anillos lo que lossubgrupos normales representan para los grupos. Esta analogıa se demues-tra a traves de la construccion de los anillos cociente siguiendo los metodosusados en la teorıa de grupos. Se Establecen condiciones semejantes para loshomomorfismos entre anillos teniendo el cuidado de desarrollar las ideas dela parte correspondiente al producto ya que los aspectos relacionados con lasuma han sido tratados con suficiente extension. Como los ideales resultan sersubgrupos normales, se indican con la letra N para seguir usando la mismanomenclatura.

Definicion 4.6.1. Sea A un anillo, un subconjunto no vacıo N de A es unideal si,

1) N es un subgrupo de A bajo la adicion.2) Para todo n de N y para todo a de A, tanto na como an son elementos

de N.

Por la condicion (2),N debe llamarse un ideal bilateral, pero como habra muypoca ocasion de estudiar ideales que no sean bilaterales este ultimo terminose omite en la definicion. En los casos especiales se hara notar la diferencia.Por ser N un grupo abeliano al hacer referencia a las clases laterales no seespecificara si son derechas o izquierdas.

Usando el teorema 4.3.2 se demuestra que N es un subanillo de A. Lasdos primeras condiciones se verifican puesto que N es un subgrupo. Para la


tercera tomense a, n elementos de N . Como N esta contenido en A, a estambien un elemento de A. Por la definicion de ideal an pertenece a N y enconclusion N es un subanillo de A

La condicion (2) de la definicion de ideal se puede expresar equivalente-mente diciendo que tanto Na como aN son subconjuntos de N , para cual-quier a de A, y consecuentemente se puede concebir un ideal N como unsubanillo de A tal que para todo a de A, Na y aN son subconjuntos de N .

Teorema 4.6.1. Si N es un ideal del anillo A, entonces A/N es un anillo.

Demostracion. Considerada la suma como operacion, N es un subgrupo deA. Este hecho permite hacer una particion de A en clases laterales. Sea A/Nel conjunto de todas las clases laterales de N en A. Aplicando los resultadosobtenidos para los grupos A/N es un grupo abeliano bajo la adicion de clasesdescrita mediante la igualdad,

(a+N) + (b+N) = (a+ b) +N.

Que, como se ha visto, es independiente de la seleccion de los elementos delas clases dadas.

Para dotar a A/N de una estructura de anillo es indispensable definirun producto de clases. La forma mas simple esta sugerida por la formulapropuesta para el anillo de los enteros, que resulta ser un caso particular dela que se propone a continuacion,

(a+N)(b+N) = ab+N.

Para que esta identidad tenga sentido se debe demostrar que el productoası representado esta bien definido. Para el efecto se demuestra que el pro-ducto es independiente de la seleccion de los elementos de las clases respec-tivas.

Sean a+ n1, b+ n2 representantes arbitrarios de las clases a+N , b+Nrespectivamente,

(a+ n1)(b+ n2) = ab+ (an2 + n1b+ n1n2) = ab+ n3.

Por serN un ideal, (an2+n1b+n1n2) pertenece a N. Llamando al contenido deeste parentesis n3 se pudo escribir la ultima igualdad. Pero ab+n3 pertenece ala clase ab+N , lo que permite concluir que todos los productos de elementos

4.6. IDEALES 161

de la clase (a + N) por elementos de la clase (b + N) pertenecen a la clase(ab+N), indicando que el producto esta bien definido.

Las propiedades asociativa y distributivas son consecuencia de las res-pectivas propiedades del anillo A, ya que los elementos de A/N son todossubconjuntos de A, lo que garantiza la verificacion de dichas leyes. Se hademostrado que A/N es un anillo llamado el anillo cociente.

Si A tiene elemento unitario, entonces (1 +N) es el elemento unitario deA/N en efecto

(a+N)(1 +N) = a1 +N = a+N

(1 +N)(a+N) = 1a+N = a+N.

Ejemplo 4.6.1. Considerese el subgrupo N = {0, 2, 4} de Z6 representadomediante la tabla

+ 0 2 40 0 2 42 2 4 04 4 0 2

Figura 4.2

El producto de elementos de N por Z6 se representa ası,

· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 02 0 2 4 0 2 44 0 4 2 0 4 2

Figura 4.3

Note que N absorbe la multiplicacion por elementos arbitrarios del anillotanto a izquierda como a derecha (el producto es conmutativo).

En conclusion, para todo n de N , y para todo a en Z6, an y na pertenecena N o sea, N es un ideal.

El anillo A y el subanillo {0} son los denominados ideales impropios otriviales, los restantes son los propios.

Ejemplo 4.6.2. Si N, M son ideales del anillo A.Sea N + M = {n + m | n ∈ N, m ∈ M}. Demostrar que N + M es un

ideal de A.


Solucion. Sean (n1 +m1), (n2 +m2) elementos de N +M , entonces

(n1 +m1) + (n2 +m2) = (n1 + n2) + (m1 +m2)

por ser N , M grupos abelianos para la suma. Por tanto

(n1 +m1) + (n2 +m2) ∈ N +M.

Si (n+m) ∈ N+M entonces −n ∈ N , −m ∈M luego (−n)+(−m) ∈ N+M ,por tanto −(n+m) ∈ N +M . Se ha demostrado que N +M es un subgrupode A.

Tome a ∈ A, entonces (n + m)a = na + ma. Como N , M son ideales,na ∈ N , ma ∈M , por tanto (n +m)a ∈ N +M .

Similarmente, a(n + m) ∈ N + M . En sıntesis, N + M es un ideal deA.

Ejemplo 4.6.3. Demostrar que un campo no tiene ideales propios.

Solucion. Sea F un campo, N un ideal propio de F . Para todo a de F , paratodo n de N , tanto na como an pertenecen a N . En particular si a = n−1,1 = nn−1 ∈ N . Tambien para todo a de F , si n = 1, a = 1a pertenece aN . Se ha demostrado que F es un subconjunto de N y como por definicionN esta contenido en F , se concluye que N = F , indicando que F no tieneideales propios.

EJERCICIOS

1. Dados N un anillo conmutativo, a ∈ N , aN = {an | n ∈ N}. Demues-tre que aN es un ideal de N . Diga que sucede si N no es conmutativo.

2. SeaMN = {x | x =k∑

i=1

mini, mi ∈ M,ni ∈ N, k un natural} dondeN ,

M son ideales de A. Demuestre que MN es un ideal de A. Demuestreademas que MN ⊆ (M ∩N).

3. Sean M un ideal de A, a(M) = {x ∈ A | xm = 0, ∀ m ∈ M}.Demuestre que a(M) es un ideal de A.

4. Sean M , N ideales del anillo conmutativo A. El cociente de M porN , se define por la igualdad: M : N = {a ∈ A | an ∈ M, ∀n ∈ N}.Demostrar que M : N es un ideal de A.


5. Un elemento a del anillo A se dice nilpotente si an = 0, para algunn ∈ Z+. Demuestre que el conjunto de todos los nilpotentes de unanillo conmutativo A es un ideal, el radical de A.

6. De acuerdo con la definicion dada en el ejercicio anterior hallar el radicaldel anillo de los enteros.

7. Sea A un anillo conmutativo y N un ideal. Demostrar que si cadaelemento de N es nilpotente y el radical de A/N es A/N , entonces elradical de A es A.

8. Demostrar que si N es el radical del anillo conmutativo A, entoncesA/N tiene como radical el ideal (0 +N).

9. Hallar todos los ideales de Zn para cualquier n.

4.7. Homomorfismos

Como se habıa anotado, el estudio de los homomorfismos entre anillosse hara siguiendo los mismos parametros marcados a los grupos. Por esono debe sorprender la similitud de los resultados. Al finalizar la seccion sepodra encontrar la analogıa entre los ideales y los subgrupos normales.

La ley de composicion externa definida para los grupos se puede hacerextensiva a los anillos. Si Δ = Z, sea

Z ×A −→ A(n, a) −→ na = a+ a+ a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸

n veces

(0, a) −→ 0a = 0(n, a) −→ na = (−a) + (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸︷︷︸

(−n veces)

. Si n < 0.

Recordemos que en la expresion 0a = 0, el cero de la izquierda es el elementode identidad de la suma de enteros, mientras que el de la derecha es el identicoaditivo del anillo A. Se demostro que con esta ley A es un Δ–grupo , masaun, es un Δ–anillo de acuerdo con la siguiente definicion.

Definicion 4.7.1. Se denomina Δ–anillo (anillo con operadores) a un anilloA dotado de un dominio de operadores por la izquierda tal que


1. A es un Δ–grupo.

2. n(xy) = (nx)y = x(ny), para n en Δ, x, y en A.

El dominio de operadores se ha definido por la izquierda para estar a tonocon la definicion de grupo.

Como A es un Δ–grupo, para demostrar que es un Δ–anillo hay quecomprobar la condicion (2).

Para ello basta con tomar n en Z, a, b en A, entonces,

n(ab) = ab+ ab+ ab+ ab+ · · ·+ ab︸︷︷︸n veces

= a(b+ b+ b+ b+ · · ·+ b)︸︷︷︸n veces

= a(nb).

Por otra parte,

n(ab) = ab+ ab+ ab+ ab+ · · ·+ ab︸︷︷︸n veces

= (a+ a+ a+ a+ · · ·+ a)b︸︷︷︸n veces

= (na)b.

Se deja a los interesados demostrar los casos en que n sea menor o igual acero, lo que es tarea sencilla.

Hemos llegado a la conclusion que A es un anillo con operadores.Ahora estamos preparados para dar la siguiente definicion.

Definicion 4.7.2. Una funcion φ de un anillo A en un anillo A′ es unhomomorfismo si para todo a, b en A,

1. (a+ b)φ = aφ + bφ

2. (ab)φ = (aφ)(bφ).

Un homomorfismo entre anillos lo es tambien entre los respectivos gruposaditivos, por esta razon se verifican las siguientes igualdades

1. 0φ = 0′


2. (−a)φ = −(aφ).

Sea n un entero, a un elemento de A. Si n es mayor que cero, usando ladefinicion de na y las propiedades de φ se pueden escribir las igualdades quesiguen,

(na)φ = (a+ a+ a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸n veces

)φ

= aφ+ aφ + aφ+ aφ+ · · ·+ aφ︸︷︷︸n veces

= n(aφ).

Si n = 0, entonces(0a)φ = 0φ = 0′.

Ademas0(aφ) = 0′.

La ultima igualdad es posible gracias a que Z es un dominio de operadorespor la izquierda para el anillo A′. Si n es menor que cero,

(na)φ = [(−a) + (−a) + (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸︷︷︸n veces

]φ

= [−(a)φ] + [−(a)φ] + [−(a)φ] + [−(a)φ] + · · ·+ [−(a)φ]︸︷︷︸−n veces

= n(aφ).

Lo que quiere decir que en todo homomorfismo entre anillos la condicion

(na)φ = n(aφ)

se verifica si consideramos a Z como el dominio de operadores para A y A′.Por esta razon tampoco se consigna esta igualdad en la definicion.

Considerando los anillos Z y Zn y la funcion,

φ : Z −→ Zn

a −→ [ a ]


donde a es la clase residual modulo n. Demostrar que es un homomorfismoes tarea sencilla y se reduce a recordar las definiciones de suma y productode clases.

Para los homomorfismos entre anillos la nocion de nucleo surge de unamanera natural como consecuencia de ser A un grupo abeliano para la adi-cion. Desde este punto de vista se pretende utilizar la teorıa desarrolladapara estas ultimas estructuras y de paso seguirlas mostrando como el puntode apoyo para el estudio de estructuras mas amplias.

Definicion 4.7.3. Si φ es un homomorfismo de A en A′, el nucleo de φ,notado Kφ, es el conjunto de los elementos a de A tales que aφ = 0′, el cerode A′.

Por brevedad se notara solo con la letra K cuando no haya lugar a confusion.

Definicion 4.7.4. Un homomorfismo de A en A′ se dice un isomorfismo sies uno a uno y sobre.

Teorema 4.7.1. Si φ es un homomorfismo de A en A′, el nucleo de φ es unideal de A.

Demostracion. Usando los resultados de la seccion 3.6 se concluye K es unsubgrupo normal de A. Tomese k en K, a en A, entonces kφ = 0′. Ademas

(ka)φ = (kφ)(aφ) = 0′(aφ) = 0′

luego ka pertenece al nucleo K. Identicamente

(ak)φ = (aφ)(kφ) = (aφ)0′ = 0′

es decir, ak tambien pertenece al nucleo K. En sıntesis, K es un ideal deA. Demostrandose igualmente la analogıa entre los ideales y los subgruposnormales.

Ejemplo 4.7.1. Sea φ : A −→ A′ un homomorfismo definido para todo a deA por la igualdad aφ = 0′, entonces K = A. φ se denomina el homomorfismocero.

Por otra parte si φ : A −→ A′ es el homomorfismo identico, K = {0}.Si consideramos φ : Z −→ Zn dado por aφ = [ a ], K consiste en el

conjunto de los multiplos de n.


A los homomorfismos de anillos tambien se les puede aplicar el hecho deser uno a uno como condicion equivalente de ser su nucleo igual al conjunto{0}, condicion demostrada para los grupos.

Teorema 4.7.2. Sea φ : A −→ A′ un homomorfismo, entonces

1. Si S es un subanillo de A, Sφ es un subanillo de A′.

2. Si S es un ideal de A, Sφ es un ideal de A′.

3. Si S ′ es un subanillo de A′, S ′φ−1 es un subanillo de A.

4. Si S ′ es un ideal de Aφ, S ′φ−1 es un ideal de A.

5. Si A tiene elemento unitario 1, y 1φ �= 0′, 1φ = 1′ es el elementounitario de A.

Demostracion. Sea S un subanillo de A′, entonces 0 pertenece a S por tanto,0φ = 0′ pertenece a Sφ. Los resultados obtenidos en la teorıa de gruposgarantizan que Sφ es un subgrupo de A, entonces si aφ y bφ son elementos deSφ, la diferencia aφ−bφ tambien pertenece a Sφ. Ademas (aφ)(bφ) pertenecea Sφ ya que ab pertenece a S. En conclusion, Sφ es un subanillo de A′.

Indudablemente A es un subanillo de A, entonces de acuerdo con lo de-mostrado en (1) Aφ es un subanillo de A′ y en consecuencia Aφ es a su vezun anillo.

Sea S un ideal de A. Nuevamente apelando a la teorıa de grupos se afirmaque Sφ es un subgrupo de Aφ ya que S es a su vez un grupo, ademas para todos en S, para todo a en A, (aφ)(sφ) = (as)φ pertenece a Sφ. Similarmente(sφ)(aφ) pertenece a Sφ, concluyendose que Sφ es un ideal de Aφ.

Si S ′ es un subanillo de A′, por las razones expuestas anteriormente, S ′φ−1

es un subgrupo de A, entonces si aφ, y bφ pertenecen a S ′, la diferencia aφ−bφes tambien un elemento de S ′, pero esta diferencia es igual a (a − b)φ, dedonde se deduce que (a− b)φ pertenece a S ′, luego (a− b) pertenece a S ′φ−1.Ademas (aφ)(bφ) = (ab)φ pertenece a S ′, lo que equivale a decir que abpertenece a S ′φ−1 o sea, S ′φ−1 es un ideal de A.

Si S ′ es un ideal de Aφ, entonces S ′φ−1 es un subgrupo de Aφ. Ademas,para todo s en S ′φ−1, para todo a en A, (aφ)(sφ) = (as)φ pertenece a S ′,de donde se concluye que as pertenece a S ′φ−1. Igualmente, sa pertenece aS ′φ−1 indicando que S ′φ−1 es un ideal de A.


Si A tiene elemento unitario 1, entonces para todo a de A,

aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ)

aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ).

Si 1φ = 0′, las anteriores igualdades dicen que el elemento 1′ = 1φ es elelemento unitario de Aφ.

Ejemplo 4.7.2. Sea A un anillo con elemento unitario, A′ un anillo, φ unhomomorfismo de A sobre A′. Demostrar que uφ es una unidad de A′ si ysolo si u no pertenece al nucleo de φ. Donde u es una unidad de A.

Solucion. Sea u una unidad de A. Supongamos que uφ es una unidad de A′,entonces, uφ �= 0′, lo que indica que uφ no pertenece al nucleo de φ. Por otraparte sea u una unidad de A que no pertenece al nucleo K de φ, entoncesuφ �= 0′. Como 1 es una unidad, para todo a de A,

aφ = (a1)φ = (aφ)(1φ)

aφ = (1a)φ = (1φ)(aφ).

Estas igualdades dicen que 1φ es un elemento unitario, luego 1φ �= 0′ loque significa que 1φ = 1′ es el elemento unitario de A. Pero al ser φ sobreAφ = A′ concluyendose que 1φ = 1′ es el elemento unitario de A′. Pero u esuna unidad, entonces,

1φ = (uu−1)φ = (uφ)(u−1φ)

1φ = (u−1u)φ = (u−1φ)(uφ).

Ademas 1 �= 0′, entonces de las dos ultimas igualdades se concluye que ne-cesariamente u−1φ �= 0′, por tanto u−1φ es el inverso multiplicativo de uφ oequivalentemente uφ es una unidad de A′.

Nos preguntamos si dado un ideal N , existe un homomorfismo φ tal queN sea el nucleo de φ. La respuesta surge inmediatamente y es afirmativa. Secondensa en el teorema que sigue.

Teorema 4.7.3. Si N es un ideal de A, la funcion canonica φ : A −→ A/Ndefinida por aφ = a +N , para a en A, es un homomorfismo cuyo nucleo esN.


Demostracion. En la teorıa de grupos se estudio que para el grupo aditi-vo A y el subgrupo normal N , la funcion canonica φ : A −→ A/N es unhomomorfismo, luego

(a+ b)φ = aφ+ bφ.

Ademas,(ab)φ = ab+N = (a+N)(b+N) = (aφ)(bφ),

de donde se obtiene que φ es un homomorfismo de anillos. Al ser N unsubgrupo es cerrado para la adicion por tanto, para todo n de N , n+N = N ,lo que equivale a decir que para todo n de N , nφ = n+N = N . De donde seinfiere que K = N , puesto que N es el modulo para la suma de clases.

Teorema 4.7.4. Sea φ un homomorfismo entre los anillos A, A′ de nucleoK, entonces Aφ es isomorfo con el anillo A/K.

Demostracion. Sea φk : A −→ A/K, definido por la igualdad (a+K)φk = aφ.Los estudios previos indican que φk es un isomorfismo entre los respectivosgrupos aditivos, por lo que es uno a uno y sobre y ademas,[

(a+K) + (b+K)]φ = (a+K)φk + (b+K)φk.

Veamos que es un isomorfismo entre anillos. En efecto,[(a+K)(b+K)

]φk = (ab+K)φk

= (ab)φ

= (aφ)(bφ)

= (a+K)φk(b+K)φk.

El teorema anterior establece que para un homomorfismo entre los anillosA, A′ de nucleo K la imagen directa de A, Aφ coincide exactamente conel anillo A/K. El isomorfismo φk se denomina canonico en el sentido que siψ : A −→ A/K es la funcion canonica, entonces φ = ψ ◦ φk. En sımbolos,

φ : Aψ

A/Kφk

Aφ.

Si φ es un homomorfismo sobre, φk es un isomorfismo entre A/K y A′.Ahora es viable decir que una imagen homomorfa de un anillo A esta de-

terminada, salvo isomorfismos, por el nucleo K del homomorfismo respectivo.Regresando al anillo Zn, llamemos φ al homomorfismo de Z en Zn


φ : Z −→ Zn

a −→ aφ = rdonde 0 ≤ r ≤ n− 1 es el residuo de dividir a por n. Es facil verificar que φes un homomorfismo sobre cuyo nucleo es el conjunto de los multiplos de n.

Seaφk : Z/[n ] −→ Zn

a+ [n ] −→ (a+ [n ])φk = aφ = r.

φk es indudablemente un isomorfismo entre Zn y el anillo cociente Z/[n ].Si

ψ : Z −→ Z/[n ]a −→ a+ [n ]

es el homomorfismo canonico, entonces φ = ψ ◦ φk.

φ : Z Z/[n ] Znψ φk

a −→ a+ [n ] −→ aφ = r.El anillo Zn de los enteros modulo n puede finalmente concebirse como elanillo cociente Z/[n ]. Este era el toque formal que hacıa falta para podertrabajar indiscriminadamente con Zn o con Z/[n ].

Desviamos la atencion hacia algunas aplicaciones de Zn a la teorıa de losnumeros, especıficamente hacia un teorema debido a Fermat y a su genera-lizacion enunciada por Euler.

Teorema 4.7.5. Si a es un entero y p es un primo que no divide a a, entoncesap−1 ≡ 1 mod p.

Demostracion. Sea a un entero. Si p|a, entonces a ≡ 0 mod p y el teoremano es valido. Suponga que a no es divisible por p, existe entonces un enteror en Zp tal que a ≡ r mod p, de donde se obtiene ap−1 ≡ rp−1 mod p.

Pero el grupo multiplicativo de los enteros Zp diferentes de cero es deorden (p−1). Si r tiene orden s o sea, rs = 1, como consecuencia del teoremade Lagrange s divide a (p − 1), y por consiguiente rp−1 = rst = 1. Porreemplazo se obtiene ap−1 ≡ 1 mod p.

Definicion 4.7.5. Sea n ≥ 1 un entero. La funcion φ(n) : Z+ −→ Z+

definida por φ(1) = 1 o como el numero de enteros positivos menores oiguales a n y primos relativos con n, si n ≥ 2, se denomina la φ funcion deEuler.

Si n = 8, los enteros positivos menores o iguales a 8 y primos relativos con 8son, 1, 3, 5, 7. Para este caso φ(8) = 4.


Teorema 4.7.6. (Teorema de Euler). Si a es un entero primo relativo conn, entonces aφ(n) ≡ 1 mod n.

Demostracion. Si a es primo relativo con n, la clase a + [n ] contiene a a ytambien a un entero positivo b menor que n y primo relativo con n.

Si (b, n) = g �= 1, entonces por definicion b = gt, n = gk.Como b pertenece a la clase a + [n ], es obvio que b = a + ns, por con-

siguiente gt = a + gks o sea, a = g(t − ks), n = gk, lo que indica que(a, n) �= 1 contradiciendo la hipotesis, luego b es primo relativo con n. Ademasa ≡ b mod n, de donde,

aφ(n) ≡ bφ(n) mod n.

En el ejercicio 5 de la seccion 2.3 se pidio demostrar que el conjunto Wn

formado por los elementos de Zn diferentes de cero y primos relativos con nforman un grupo. El orden de dicho grupo es φ(n).

Como b es primo relativo con n, se puede considerar como un elementode Wn, por lo que bφ(n) = 1, esto es,

aφ(n) ≡ 1 mod n.

Una aplicacion del teorema de Fermat permite encontrar rapidamente el re-siduo de algunas divisiones sin necesidad de efectuarlas, metodo util espe-cialmente cuando se trata de cantidades grandes como en el ejercicio quesigue,

Ejemplo 4.7.3. Hallar el residuo de dividir 48148 entre 17.

Solucion.48148 = (4816)9(484).

De acuerdo con el teorema de Fermat,

4816 ≡ 1 mod 17,

en consecuencia,48148 ≡ (19)(484) mod 17.

Pero,484 = (16× 3)4 = (216)(34).

El teorema de Fermat asegura que

216 ≡ 1 mod 17.


Reemplazando se obtienen las siguientes congruencias.

48148 ≡ (216)(34) ≡ (1)(34) ≡ 34 mod 17.

Por otra parte34 ≡ 81 ≡ 30 ≡ 13 mod 17.

Aplicando la propiedad transitiva

48148 ≡ 13 mod 17.

En sıntesis, el residuo de dividir 48148 entre 17 es 13.

Veamos finalmente un resultado que indica que para un campo el anillode los cocientes no tiene mucha aplicacion.

Un homomorfismo propio para un anillo A sera el que haga correspondera un ideal propio de A el nucleo K del homomorfismo en referencia.

En el ejercicio 4.6.3 se demostro que un campo no tiene ideales propios, es-to quiere decir que no pueden existir homomorfismos propios para los camposo equivalentemente, un campo no tiene ninguna imagen homomorfa propia.

EJERCICIOS

1. Demostrar que cualquier imagen homomorfa de un anillo conmutativoes conmutativa.

2. Si un anillo A tiene un elemento unitario e, demostrar que cualquierimagen homomorfa de A tiene un elemento unitario.

3. Si A1, A2, A3 son anillos y φ : A1 −→ A2, ϕ : A2 −→ A3 son homo-morfismos. Demostrar que φϕ : A1 −→ A3 es un homomorfismo.

4. Sea Z el anillo de los enteros.

a) Describa todos los homomorfismos de Z en Z.

b) Describa todos los homomorfismos de Z + Z en Z.

5. Use el teorema de Fermat para demostrar que para cualquier enteropositivo n, n37 − n es divisible por 383838.

Sugerencia: 383838 = 37× 19× 13× 7× 3× 2.

4.8. OTRAS CLASES DE IDEALES 173

6. Use el teorema de Euler para hallar el residuo de dividir 71000 entre 24.

7. Halle φ(n), para n = 2, 3, 4, 74, 10, 13, 15, 21, 23, 28.

4.8. Otras clases de ideales

Abordamos ahora el estudio de los anillos cociente considerados comodominios de enteros o campos; dando condiciones especiales que los identifi-quen como una de tales estructuras. El primer problema a resolver es el delos divisores de cero de A/N . El segundo tiene que ver con las unidades, siqueremos hablar de campos. Los dilemas planteados tienen solucion y estase da a traves de la introduccion de algunos tipos especiales de ideales.

Definicion 4.8.1. Un ideal maximal de un anillo A es un ideal M �= A talque para todo ideal N de A, si M ⊆ N ⊆ A, entonces M = N o N = A.

En otras palabras, no podemos encontrar un ideal que sea superconjunto deM y subconjunto de A.

Un anillo cualquiera puede, o no, tener ideales maximales y en caso detenerlos pueden ser mas de uno. Mas adelante veremos que el anillo de losenteros posee infinitos.

Dados un anillo conmutativo A, y un elemento a ∈ A, considerese elconjunto (a) = {xa | x ∈ A}. Tomense x1, x2 en A, entonces la suma(x1 + x2) ∈ A, y en consecuencia (x1 + x2)a ∈ (a).

0 = 0a ∈ (a), puesto que 0 es un elemento de A. Ademas para todo x ∈ A,−x tambien es un elemento de A, luego tanto xa como −xa son elementosde (a).

Se ha demostrado que (a) es un subgrupo deA y al ser este ultimo abelianose puede firmar que (a) es un subgrupo normal. Tambien, y(xa) = (yx)apertenece a (a), para todo y de A. Igualmente, (xa)y = (yx)a ∈ (a). Enconclusion (a) es un ideal de A. Mas aun, es el mas pequeno de los idealesde A, que contienen al elemento a, afirmacion que invitamos a verificar.

Definicion 4.8.2. El ideal (a) se denomina un ideal principal.

Definicion 4.8.3. Un dominio de enteros D es un dominio de ideales prin-cipales si todo ideal de D es principal.

El dominio Z de los enteros es un dominio de ideales principales. En estecaso, (a) = {na | n ∈ Z} coincide con el grupo aditivo generado por a.


Definicion 4.8.4. Si A es un anillo conmutativo. Un ideal P �= A es unideal primo si ab ∈ P implica que a ∈ P o b ∈ P .

En el dominio de los enteros, si p es un numero primo, el ideal principal (p)consta de los multiplos de p. Si a y b son enteros y el producto ab pertenecea P , entonces, ab = np, para algun entero n, significando que p divide a ab,pero al ser p primo, se dice que p|a o p|b, pero esto ultimo equivale a decirque a = n1p o b = n2p y en este caso se puede decir que a es un multiplo dep o que b es un multiplo de p, de donde se deduce que a pertenece a (p) o bpertenece a (p), lo que permite concluir que (p) es un ideal primo.

Se ha comprobado que si p es primo, (p) es un ideal primo. Al menospara los enteros los conceptos de primo e ideal primo estan relacionadosıntimamente.

Teorema 4.8.1. Sea A un anillo conmutativo con elemento unitario. A/Mes un dominio de enteros si y solo si M es un ideal primo. A/M es un camposi y solo si M es un ideal maximal.

Demostracion. Dado un anillo conmutativo con elemento unitario A, seaM �= A un ideal de A, entonces A/M es un dominio de enteros si y solo si notiene divisores de cero, lo que equivale a decir que si (a +M)(b +M) = M ,entonces (a + M) = M o (b + M) = M o equivalentemente, si la claseab +M = M , entonces (a+ M) = M o (b+ M) = M . Pero x +M = M siy solo si x pertenece a M , ya que M es el modulo aditivo. Luego la ultimacondicion se puede expresar diciendo que, si ab pertenece a M , entonces apertenece a M o b pertenece a M , indicando que M es un ideal primo.

Para la segunda parte suponga en primera instancia que M es un idealmaximal de A. Por ser A un anillo conmutativo con elemento unitario, elproducto de clases es conmutativo y la clase (1 + M) es el elemento deidentidad para el producto, esto implica que A/M es un anillo conmutativocon elemento unitario.

Sea a ∈ (A−M), entonces a+M �= M esto es, a+M no es el elementode identidad para la suma de A/M .

Para que A/M sea un campo, a+M debe ser una unidad.Como a no pertenece a M , a �= 0. El ideal principal generado por a, esto

es, (a) = {xa | x ∈ A} necesariamente debe ser igual a A, puesto que M esun ideal maximal y a no pertenece a M .

Pero 1 ∈ A = (a), entonces existe b �= 0 en A, tal que 1 = ab. Elhomomorfismo canonico entre A y A/M establece que (ab) = ab+M = 1+M

4.8. OTRAS CLASES DE IDEALES 175

y de esta parte se deduce que (ab +M) = (a+M)(b +M) = 1 +M . Se hademostrado que a+M es una unidad o que A/M es un campo.

Recıprocamente, suponga que A/M es un campo. Sea N un ideal de Atal que M ⊆ N ⊆ A. Sea φ el homomorfismo canonico de A sobre A/M ,entonces Nφ es un ideal de A/M . Por ser M ⊆ N ⊆ A, Mφ ⊆ Nφ ⊆ Aφ.Pero Mφ = M , Aφ = A/M .

Reemplazando se obtiene finalmente M ⊆ Nφ ⊆ A/M . Luego N es unideal propio de A/M contradiciendo el hecho de carecer A �= M de idealespropios. Se concluye que necesariamente M debe ser un ideal maximal.

Si un anillo conmutativo con elemento unitario no tiene ideales propios, elideal {0} es maximal y A/{0} que es isomorfo con A, por el teorema anteriores un campo. Por otra parte, si un anillo conmutativo con elemento unitarioes un campo, no tiene ideales propios ya que ningun campo los tiene.

En sıntesis, un anillo conmutativo con elemento unitario es un campo siy solo si no tiene ideales propios.

Considerese un ideal maximal M , de un anillo conmutativo con elementounitario A. A/M es entonces un campo y por tanto un dominio de enterosy en consecuencia M debe ser un ideal primo por el teorema anterior. Estasaseveraciones indican que todo ideal maximal de un anillo conmutativo conelemento unitario es un ideal primo.

EJERCICIOS

1. Sea A un anillo conmutativo. Demuestre que P es un ideal primo de Asi y solo si P/A es un dominio de enteros.

2. Sea A un anillo conmutativo con elemento unitario. Demuestre quetodo ideal maximal de A es un ideal primo.

3. Si A es un anillo finito con elemento unitario, demuestre que todo idealprimo de A es un ideal maximal.

4. Demuestre que cualquier ideal distinto de cero en los enteros gaussianosdebe contener algun elemento positivo.


4.9. Dominios Euclidianos

Los dominios euclidianos, de los cuales los enteros son el ejemplo tıpico,derivan su nombre del hecho de satisfacer lo que puede considerarse una gene-ralizacion del algoritmo de Euclides, o algoritmo de la division. En un dominioeuclidiano se define una funcion llamada ν-valor euclidiano que sera usadapara generalizar las nociones de divisibilidad de los enteros e igualmente paraaplicarla al anillo de polinomios.

Definicion 4.9.1. Un dominio de enteros D es un dominio euclidiano, sipara todo a diferente de cero en D esta definido un entero no negativo ν(a)tal que,

1. Para los elementos a, b en D, existen q, r en D tales que, a = bq + r,donde r = 0 o ν(r) < ν(b).

2. Para a, b en D, ambos diferentes de cero, ν(a) ≤ ν(ab).

ν(a) se denomina un ν-valor euclidiano.

Si en el dominio de los enteros definimos ν(a) = | a |, a �= 0. Donde ν(a)es el valor absoluto de a, las condiciones (1) y (2) son obvias.

En el dominio Z[ i ] de los enteros gaussianos, sea x = a+ bi �= 0. Definaν(x) por la igualdad

ν(x) = ν(a+ bi) = (a+ bi)(a− bi) = a2 + b2 > 0.

Se da por cierto que las condiciones (1) y (2) se verifican. Los interesadospueden leer a la literatura correspondiente. Se puede afirmar que tanto losenteros como los enteros gaussianos son dominios euclidianos.

Teorema 4.9.1. Todo dominio euclidiano es un dominio de ideales princi-pales.

Demostracion. Sea D un dominio euclidiano, N un ideal de D. Si N = {0},entonces N es un ideal principal.

Supongamos que N tiene al menos un elemento diferente de cero. Comolos ν-valores son enteros positivos deben tener un elemento mınimo. Sea b elelemento de N con menor ν-valor o sea ν(b)< ν(a), para todo a �= 0 enN .Sea a �= b en N , entonces existen q, r en N tales que

a = bq + r,


con r = 0 o ν(r) < ν(b).

Como N es un ideal, r = a − bq pertenece a N . Si ν(r) < ν(b) secontradice la eleccion de b, luego r = 0 y a = bq.

Se ha demostrado que todo elemento de N es un multiplo de b. EntoncesN = (b) es un ideal principal y por definicion D es un dominio de idealesprincipales

Sea D un dominio euclidiano. La condicion (2) de la definicion indica queν(1) ≤ ν(1a) = ν(a). Esta condicion se verifica para todo a diferente de ceroen D, indicando que ν(1) es el menor de los ν-valores de elementos de D.

Supongamos que u es una unidad de D, entonces ν(u) ≤ ν(uu−1) = ν(1),y como ademas ν(1) ≤ ν(u), necesariamente ν(u) = ν(1).

A continuacion consideremos que ν(u) = ν(1). Por el algoritmo de ladivision existen enteros q, r tales que uq + r = 1 donde r = 0 o ν(r) < ν(u).Pero ν(u) = ν(1) y ν(1) es el mınimo de los ν-vlores, entonces ν(r) < ν(u) esimposible, luego r = 0 y qu = 1, de donde se concluye que u es una unidad.En conclusion, u es una unidad de D si y solo si ν(u) = ν(1).

Sean a, b elementos no nulos de D tales que b no es una unidad de D.Sea (a) el ideal generado por a. Para todo x en (a), ν(a) ≤ ν(xa), luego elν-valor de a es el mınimo de los ν-valores de elementos de (a). Como ab es unelemento de (a), supongamos que ν(ab) = ν(a), entonces ν(ab) es el mınimode los ν-valores de elementos de (a). Por lo demostrado en el teorema 4.9.1todo elemento de (a) es un multiplo de ab. De aquı se sigue que a = abx,para algun x de D y por tanto, 1 = bx o sea b es una unidad, contradiciendolo supuesto inicialmente. Entonces, ν(ab) no puede ser igual a ν(a). La unicaposibilidad es ν(a) < ν(ab). Se puede decir en consecuencia que si a, b sonelementos no nulos de D y b no es una unidad, necesariamente ν(a) < ν(ab).

4.10. Divisibilidad

El objeto de esta seccion como se habıa anunciado es generalizar las ideasde divisibilidad de los enteros a un dominio cualquiera. Muchas de las de-mostraciones tienen tal similitud con hechos ya demostrados que bastara conremitirse al capıtulo uno.

Definicion 4.10.1. Sea D un dominio de enteros a, b en D, a �= 0. Se diceque a|b si existe c en D tal que b = ac.


Definicion 4.10.2. Dos elementos a, b en D se dicen asociados si a = bu,donde u es una unidad de D.

El siguiente teorema que fue demostrado para los enteros, por su similitudse deja a los estudiantes.

Teorema 4.10.1. Sea D un dominio de enteros, entonces

1. Si a|b y a|c, a|(bx± cy) para x, y en D. En particular a|(b± c).2. Si a|b, entonces a|bx para todo x en D.

3. Si a|b y b|c, entonces a|c.4. Si a|b y b|a, entonces a y b son asociados. ( a �= 0, b �= 0).

Definicion 4.10.3. Sea D un dominio euclidiano a, b elementos de D. g ∈ Dse dice un maximo comun divisor de a y b, notado g = (a, b), si g|a, g|b yademas si c|a y c|b, entonces c|g.En los anillos conmutativos es posible que el maximo comun divisor no exista,pero en los dominios euclidianos su existencia esta garantizada por el teoremaque a continuacion se transcribe.

Teorema 4.10.2. Sea D un dominio euclidiano. a, b elementos de D nosimultaneamente nulos. Entonces existe un maximo comun divisor de a y b.Ademas g se puede expresar como una combinacion lineal de a y b esto es,existen r, s en D tales que g = ra+ sb.

Demostracion. El conjunto N = {ra + sb r, s en D} es un ideal de D, enefecto

(r1a+ s1b) + (r2a+ s2b) = (r1 + r2)a+ (s1 + s2)b ∈ N0 = 0a+ 0b ∈ N

−(ra+ sb) = (−r)a+ (−s)b ∈ Nt(ra+ sb) = (ra+ sb)t = (rt)a+ (st)b ∈ N.

Como D es un dominio euclidiano, N es un ideal principal, entonces existe gen D tal que N = (g), luego todo elemento de N es un multiplo de g o sea,para todo r, s en D, g|(ra + sb). Si s = 0, r = 1, se concluye que g|a. Porotra parte si s = 1, r = 0 y por consiguiente g|b.


Si c|a, entonces c|b, c|(ra+ sb) para r, s en D y por tanto c|g. De dondese deduce que g es un maximo comun divisor de a y b y por la forma comose ha escogido g, existen r, s en D tales que g = ra+ sb.

Sea g1 un maximo comun divisor de a y b, entonces g|g1 y g1|g. Existepor tanto k en D tal que,

g1 = kg

= k(ra+ sb)

= (kr)a+ (ks)b

= r1a+ s1b.

Se concluye que todo maximo comun divisor de a y b es una combinacionlineal de a y b. Ademas, g1 = kg, g = tg1, con k, t en D, de donde se deduceque g1 = (kt)g1 y de aquı se obtiene que kt = 1 o sea, k es una unidad.Al final se puede afirmar que dos maximos comunes divisores de a y b sonasociados.

El teorema anterior es un caso tıpico de existencia pero no describe unalgoritmo para hallar el maximo comun divisor. El metodo de las divisionessucesivas usado en los enteros es un caso particular donde se ha tomado elvalor absoluto como el ν-valor euclidiano. En los ejercicios se da una genera-lizacion del metodo de las divisiones sucesivas tomando un ν-valor euclidianocualquiera.

Definicion 4.10.4. Sea D un dominio de enteros. Un elemento p �= 0 en Dque no sea una unidad, es un primo o irreducible si siempre que p = ab, cona, b en D se tiene que uno de los dos, a o b es una unidad.

En los dominios euclidianos la inclusion y la divisibilidad van tomadas de lamano. Si g es un maximo comun divisor de a y b, g|a, g|b o a = gc y b = gd.

(a) + (b) = {ar + bs | ar ∈ (a), bs ∈ (b)}

es un ideal. Pero para algun par k, t de elementos de D, g = ak+ bt, luego gpertenece a (a) + (b) y por consiguiente todos los multiplos de g pertenecena (a) + (b), indicando que (g) ⊆ (a) + (b).

Si (ar + bs) pertenece a (a) + (b), reemplazando se obtiene el par deigualdades,

ar = g(cr) y bs = g(ds),


entonces sumando se obtiene

ar + bs = g(cr + ds)

lo que indica que (ar + bs) ∈ (g), por lo que (a) + (b) ⊆ (g). Identificandoseel ideal (a) + (b) con el ideal (g).

En el estudio del algebra elemental es comun escribir un polinomio degrado mayor que cero como el producto de dos polinomios no constantes cuyosgrados sean menores que el polinomio original, todavıa mejor, no es posibledescomponer en factores un polinomio indefinidamente sin llegar a factoresconstantes es decir, polinomios de grado cero. Para el caso de los dominios deideales principales la tarea de descomponer un elemento en factores primosno es obvia, y es el dilema que abordaremos a continuacion, o sea, comprobarque en todo dominio de ideales principales un elemento diferente de cero queno es una unidad es el producto de irreducibles. Para el efecto tomemos eldominio de ideales principales D.

Si a ∈ D, a �= 0 no es una unidad ni un primo, a = a1b1, donde ni a1 nib1 son unidades.

Si n ∈ (a), entonces n = at, con t ∈ D. Reemplazando y aplicando lapropiedad asociativa, n = a1(b1t), de donde se puede decir que n ∈ (a1) y deaquı se deduce que (a) ⊂ (a1).

Ademas (a) �= (a1). Si (a) fuera igual a (a1), se tuviera que a1 = ta parat ∈ D. Reemplazando se tendrıan las igualdades

a = a1b1 = a(tb1)

o sea, 1 = tb1 indicando que b1 serıa una unidad en contradiccion con losupuesto inicialmente. En sıntesis (a) ⊂ (a1).

Si a1 = a2b2, donde ni a2 ni b2 son unidades. Siguiendo un proceso similarse obtiene el ideal (a2) tal que (a1) ⊂ (a2).

Si ai = ai+1bi+1, para i un entero mayor o igual a 2, repitiendo el procesose llega a una sucesion estrictamente creciente de ideales

(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ · · ·Con respecto a esta sucesion se pueden demostrar dos cosas,

1. M =⋃

(ai) con i un natural es un ideal. Donde (a) = (a0).

2. (a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (an) ⊂ · · ·es una sucesion finita.


Sean x, y en M, entonces existen ideales (ai), (aj) con x en (ai), y en (aj).Supongamos que (ai) ⊂ (aj), luego x, y pertenecen a (aj) o sea, x± y, xy

pertenecen a (aj) y por lo tanto a M .Ademas, 0 pertenece a M y por consiguiente 0− x = −x ∈ (aj) y por lo

ende a M . M es entonces un subgrupo de D.Por otra parte, si x ∈ (ai), entonces para y en D, tanto xy como yx

pertenecen a (ai) y por lo tanto pertenecen a M . En conclusion, M es unideal.

Como M es un ideal principal, existe d en D para el cual M = (d). Existeentonces un natural r tal que d ∈ (ar), luego d = art, con t en D, dandoseen consecuencia que (d) ⊆ (ar), lo que equivale a decir que M ⊆ (ar), pero(ar) ⊆M o sea, (ar) = M .

Sea (ar+1) tal que (ar) ⊆ (ar+1), entonces como (ar+1) ⊆ M ⊆ (ar), esobvio que (ar+1) ⊆ (ar) o sea, (ar+1) = (ar). Mas aun, ar es un primo.

Si ar = ar+1br+1, donde br+1 no es una unidad. Como (ar+1) = (ar), sesigue que ar+1 = kar, con k en D o sea, ar = ar(kbr+1), y entonces 1 = kbr+1,esto es, br+1 es una unidad, concluyendose que ar es un primo.

Resumiendo la situacion anterior afirmamos que la sucesion antes men-cionada se debe reducir a la secuencia finita

(a) ⊂ (a1) ⊂ (a2) ⊂ · · · ⊂ (ar),

ar un primo. Las igualdades que dieron origen a la sucesion se reducen enconsecuencia a,

a = a1b1

a1 = a2b2...

ar−1 = arbr

y por reemplazos sucesivos se escribe

a = a1b1

= a2b2b1

=...

= arbrbr−1 · · · b3b2b1= arb


indicando que a posee al menos un factor primo y un numero finito de otrosfactores.

Teorema 4.10.3. Sea D un dominio de ideales principales. Todo elementono nulo de D que no sea una unidad es el producto de un numero finito defactores primos.

Demostracion. Si a ∈ D y a �= 0 no es una unidad, se debe demostrar quedebe tener al menos un factor primo. Si a es primo el problema esta resuelto.Si no lo es, el razonamiento anterior permite decir que posee al menos unfactor primo esto es, a = p1c1 con p1 un primo y c1 no es una unidad.

Siguiendo un proceso similar se afirma que (a) ⊂ (c1) y si c1 no es primodebe tener al menos un factor primo o sea, c1 = p2c2, con p2 un primo y c2no es una unidad, dandose la igualdad a = p1p2c2, y la sucesion de ideales(a) ⊂ (c1) ⊂ (c2).

Si se continua el proceso se debe llegar al final a una sucesion finitaestrictamente creciente de ideales principales, (a) ⊂ (c1) ⊂ (c2) ⊂ · · · ⊂ (cs),con cs = ps+1 un primo y entonces a = p1p2p3 · · · ps+1.

Definicion 4.10.5. Sea D un dominio euclidiano, a, b en D se dice que sonprimos relativos si (a, b) = u, una unidad de D.

Teorema 4.10.4. Sea D un dominio euclidiano. Si para a, b, c en D, a|bc y(a, b) = u, entonces a|c, donde u es una unidad de D.

Demostracion. Es similar a la desarrollada en el capıtulo I.

Teorema 4.10.5. En un dominio de ideales principales (p) es maximal, si ysolo si, p es primo.

Demostracion. Sea (p) un ideal maximal. Supongamos que p = ab. Como pes multiplo de a, entonces (p) ⊆ (a) y al ser (p) maximal, si (p) ⊆ (a) ⊆ D,puede suceder que (p) = (a) o (p) = D. Si (p) = (a), existe d en D tal quea = dp. Pero como p = ab, entonces a = a(db) o 1 = db, significando que bdebe ser una unidad.

Si (a) = D, como 1 pertenece a D, 1 debe ser un multiplo de a, existiendou en D tal que 1 = au, implicando que a es una unidad.

Se ha demostrado que si p = ab, a o b deben ser unidades y por consi-guiente p debe ser un primo.

Recıprocamente, supongamos que p es primo en D.


Sea (a) un ideal tal que (p) ⊆ (a) ⊆ D. La primera contenencia implicaque p = ab.

Si a es una unidad, a−1 ∈ D, entonces todo elemento x de D se pue-de expresar como un multiplo de a, esto es, x = a(a−1x), concluyendoseque x es un elemento de (a) y en consecuencia D ⊆ (a) y como (a) ⊆ D,necesariamente (a) = D.

Si a no es una unidad, b es necesariamente una unidad, por tanto existeu en D tal que 1 = bu.

Ahora, pu = abu = a. De estas igualdades se concluye que (a) ⊆ (p) y deesta contenencia se llega a afirmar que (a) = (p). De este hecho y el anteriorse infiere que (p) es maximal.

En el anillo de los enteros se pueden caracterizar ahora los ideales maxi-males como los generados por los numeros primos. Por ejemplo, (2), (3), (17)son algunos ideales maximales.

Teorema 4.10.6. Sea D un dominio de ideales principales, p un primo. Sip|ab, entonces p|a o p|b.Demostracion. Sea p un primo tal que p|ab, entonces ab = tp, para t en D,ası que (ab) ⊆ (p) o ab ∈ (p). Pero todo ideal maximal es primo, luego (p)es un ideal primo. Si ab ∈ (p), entonces a ∈ (p) o b ∈ (p) y estas dos ultimasafirmaciones significan que p|a o p|b.Corolario. Sea D un dominio de ideales principales, p un primo. Si p divideal producto a1a2 · · ·an (ai en D), entonces p|ai para algun i.

Demostracion. Se deja a los interesados.

Finalmente se puede demostrar que la factorizacion en elementos primoses unica salvo el uso de asociados.

Teorema 4.10.7. Sea D un dominio de ideales principales, a �= 0 un elemen-to de D que no es una unidad. Supongamos que a = p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs,donde cada uno de los pi y cada uno de los qj es primo. Entonces r = s ycada uno de los pi es asociado con algun qj y recıprocamente, (1 ≤ i ≤ r, 1 ≤j ≤ s).

Demostracion. Con ligeros cambios es la misma dada para los enteros.Como p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qs y p1 es uno de los factores de a,

p1|q1q2 · · · qs,


luego p1|qj, 1 ≤ j ≤ s. Ademas,

p1p2 · · · pr = q1q2 · · · qso sea,

p2 · · ·pr = u1q2 · · · qs.Siguiendo un proceso similar y reordenando los ındices en caso de ser nece-sario se observa que

p2|q2, . . . , pr|qs o q2 = p2u2, . . . , qs = prur

donde u2,. . . , ur son unidades, lo que es igual a decir que cada uno de los pi

es asociado de algun qj .Sin perdida de generalidad se puede suponer que r < s, y en tal caso

cancelando sucesivamente se llega a que,

1 = u1u2 · · ·urqr+1 · · · qslo que es imposible porque cada uno de los qj es primo, para r + 1 ≤ j ≤ s,y en consecuencia, r = s.

4.11. Dominios de factorizacion unica

Hasta el momento se han estudiado dominios donde es posible factorizarelementos como el producto de un numero finito de irreducibles. Ahora nosproponemos caracterizarlos.

Definicion 4.11.1. Un dominio de enteros es un dominio de factorizacionunica si,

1. Todo elemento de D diferente de cero que no sea una unidad puedefactorizarse como el producto de un numero finito de irreducibles.

2. Si p1p2 · · · pr y q1q2 · · · qs son dos factorizaciones en irreducibles delmismo elemento de D, entonces, r = s y los qj se pueden reordenar detal manera que pi, qi sean asociados.

Damos un paso en la caracterizacion que estudiamos con el,

Teorema 4.11.1. Todo dominio de ideales principales es un dominio defactorizacion unica.

4.12. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO 185

Demostracion. Es una consecuencia de los teoremas 4.10.3 y 4.10.7.

Corolario. Z es un dominio de factorizacion unica.

Demostracion. Debido a que Z es un dominio de ideales principales, el coro-lario se obtiene como consecuencia del teorema anterior.

EJERCICIOS

1. Demuestre que en un anillo conmutativo con elemento unitario, la re-lacion “a es asociado de b” es una relacion de equivalencia.

2. Demuestre que en un dominio euclidiano dos maximos comun divisoresde a y b son asociados.

3. Demuestre que a es una unidad del dominio euclidiano A si y solo siν(a) = ν(1).

4. Demuestre que si a+bi es una unidad en los enteros gaussianos, entoncesν(a+ bi) > 1.

5. Hallar el maximo comun divisor en los enteros gaussianos de 5 + 4i y4− 5i.

6. Sea D un dominio euclidiano. Demostrar que si a y b son asociados enD, entonces ν(a) = ν(b).

7. Determınense todos los elementos primos en el dominio de los enterosgaussianos.

8. Considere A∗ el conjunto de los elementos diferentes de cero del dominioeuclidiano A. Demostrar que si el entero n es tal que n + ν(1) > 0,γ : A∗ −→ Z esta definida por la igualdad γ(a) = ν(a) + n para todo aen A∗, entonces γ(a) es tambien un ν-valor euclidiano en A.

4.12. El campo de cocientes de un dominio

Un anillo A esta sumergido en un anillo A′ si se puede establecer unisomorfismo de A en A′. Si ambos anillos tienen elemento unitario, estosdeben corresponderse. A′ se dice en este caso que es una extension de A.


Con esta idea en mente veremos que todo dominio puede sumergirse en uncampo.

Dado un dominio D no siempre es posible que todo elemento no nulotenga su inverso respecto al producto, pero a pesar de esta restriccion esposible la construccion de un campo mınimo F que contenga a D y a todoslos elementos de la forma a/b, con a, b en D, b �= 0.

El campo en consideracion se denomina el campo de los cocientes de D.La construccion de F es identica a la construccion de los racionales a partirde los enteros. Q es entonces el campo de cocientes de Z.

Sea S un subconjunto del producto cartesiano D × D definido por laigualdad

S = {(a, b) | a, b en D y b �= 0}.Los elementos de S con algunos arreglos son los candidatos a representar loscocientes a/b, si pensamos en establecer la correspondencia (a, b) −→ a/b.Antes de establecerla se deben definir algunos conceptos preliminares. Comono hay garantıa que tal correspondencia sea uno a uno, es posible que parejasdiferentes representen el mismo cociente. Para mejorar la idea, se convieneen afirmar que dos parejas son “equivalentes” cuando representan el mismocociente, convencion que nos induce a pensar en una relacion de equivalencia.

Definicion 4.12.1. Sean (a, b), (c, d) elementos de S. Se dice que (a, b) esequivalente con (c, d), notado (a, b) ∼ (c, d) si y solo si ad = bc.

La relacion anterior es de equivalencia ya que,

1. (a, b) ∼ (a, b) si y solo si ab = ba. Igualdad que es cierta dado que elproducto en D es conmutativo.

2. Por otra parte las siguientes proposiciones son equivalentes.

(a, b) ∼ (c, d) si y solamente si ad = bc.

Por la propiedad conmutativa del producto cb = da.

Y esta ultima igualdad es valida si y solamente si (c, d) ∼ (a, b).

3. Igualmente (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f) equivale a ad = bc y cf = de.

Multiplicando miembro a miembro se obtiene adcf = bcde.

Aplicando las propiedades asociativa y conmutativa afdc = bedc.

Por la propiedad cancelativa af = be.

igualdad equivalente a firmar que (a, b) ∼ (e, f).


Se define la clase de equivalencia[(a, b)

]ası,[

(a, b)]

= {(x, y) en S | (x, y) ∼ (a, b)}La equivalencia ∼ induce una particion de S en conjuntos no vacıos disyuntosdos a dos, cuya union es todo S. Con estas ideas en mente no hay duda quetoda pareja (a, b) de S pertenece a la clase

[(a, b)

]y para cualesquiera dos

parejas (a, b), (c, d) en S[(a, b)

]= [(c, d)]

o[(a, b)

] ∩ [(c, d)] = ∅.El conjunto cociente S/ ∼ es el campo F que se desea construir. Para

tal fin es indispensable definir dos operaciones binarias en F ası,

Definicion 4.12.2. Sean (a, b), (c, d) en F. La suma y el producto se definenrespectivamente por las igualdades,

(a, b) + (c, d) = (ad+ bc, bd).

(a, b)(c, d) = (ac, bd).

Estas operaciones estan bien definidas, veamos. Como[(a, b)

],[(c, d)

]per-

tenecen a F , las parejas (a, b), (c, d) pertenecen a S, entonces a, b, c, dpertenecen a D. Ademas bd �= 0, lo que indica que (ad+ bc, bd), (ac, bd) sonelementos de S.

Sean (a1, b1) ∈[(a, b)

], (c1, d1) ∈

[(c, d)

]. Se debe demostrar que la suma

(a1d1 + b1c1, b1d1) ∈[(ad+ bc, bd)

]y el producto (a1c1, b1d1) ∈

[(ac, bd)

].

Pero (a1, b1) ∼ (a, b) y (c1, d1) ∼ (c, d) o sea,

a1b = b1a y c1d = d1c.

Multiplicando la primera igualdad por d1d y la segunda por b1b, sumandomiembro a miembro, conmutando, asociando y factorizando se obtiene,

(a1d1 + b1c1)bd = b1d1(ad+ bc)

igualdad equivalente a la expresion,

(a1d1 + b1c1, b1d1) ∼ (ad+ bc, bd)

luego,(a1d1 + b1c1, b1d1) ∈

[(ad+ bc, bd)

].

Multiplicando miembro a miembro las igualdades,

a1b = b1a y c1d = d1c


se obtienea1c1bd = b1d1ac

igualdad equivalente a afirmar que

(a1c1, b1d1) ∼ (ac, bd).

Luego, (a1c1, b1d1) ∈[(ac, bd)

].

Concluyendose que la suma y el producto estan bien definidos, lo quesignifica que sin importar los representantes de S que se escojan al momentode operar, se obtendra el mismo resultado.

Teorema 4.12.1. F con las operaciones anteriormente definidas es un campocon la clase

[(0, 1)

]como modulo aditivo y

[(−a, b)] como inverso aditivo de[

(a, b)]. El elemento unitario es

[(1, 1)

]y ademas, si

[(a, b)

]no es el identico

aditivo, entonces a �= 0 y[(b, a)

]es el inverso de

[(a, b)

]para el producto.

Demostracion. Se debe demostrar con respecto a la adicion: Que es asocia-tiva, que existe elemento de identidad, que es inversible, que es conmutativa.

Con respecto al producto: Que es asociativo, que es conmutativo, queverifica las propiedades distributivas, que posee elemento de identidad, quees inversible.

Se demostraran solamente dos propiedades dejando el resto a los intere-sados.

Propiedad conmutativa de la suma.[(a, b)

]+[(c, d)

]=[(ad+ bc, bd)

]=[(cb+ da, db)

]=[(c, d)

]+[(a, b)

].

Las igualdades anteriores son validas porque la suma y el producto son con-mutativos en D.

Sea[(a, b)

] �= [(0, 1)]. Si a = 0, entonces (a, b) ∼ (0, 1) ya que a×1 = b×0.

Luego[(a, b)

]=[(0, 1)

]significando que

[(0, 1)

]es el identico aditivo. Por

consiguiente, si[(a, b)

] �= [(0, 1)], a �= 0.

Veamos que sucede con el producto [(a, b)][(b, a)].[(a, b)

][(b, a)

]=[(ab, ba)

].

Pero (ab, ba) ∼ (1, 1), ya que ab× 1 = ba× 1.Entonces, [

(ab)][

(b, a)]

=[(1, 1)

].


Veamos como es posible encontrar un isomorfismo entre D y un subdominiode F , de manera que podamos sumergir a D en dicho subdominio. Para elefecto, Sea F1 = {(a, 1) | a ∈ D} ⊆ F .

En primera instancia[(0, 1)

]y[(1, 1)

]son elementos de F1.

Sean[(a, 1)

],[(b, 1)

]elementos de F1, entonces,[

(a, 1)]+[(b, 1)

]=[(a+ b, 1)

] ∈ F1

[(a, 1)

][(b, 1)

]=[(ab, 1)

] ∈ F1.

Ademas[(−a, 1)

]tambien pertenece a F1. En sıntesis, F1 es un subdominio

de F .Tome la aplicacion φ : D −→ F1 definida por la igualdad aφ =

[(a, 1)

].

Supongamos que[(a, 1)

]=[(b, 1)

], de modo que (a, 1) ∼ (b, 1) y por

consiguiente, a× 1 = b× 1, es decir, a = b. Luego φ es inyectivo.Es indudable que φ es sobre, porque para todo

[(a, 1)

]en F1, existe a en

D tal que aφ =[(a, 1)

].

Ademas,

(a+ b)φ =[(a+ b, 1)

]=[(a, 1)

]+[(b, 1)

]= aφ+ bφ.

(ab)φ =[(ab, 1)

]=[(a, 1)

][(b, 1)

]= aφ bφ.

Se ha demostrado que φ es un isomorfismo entre D y un subdominio de F .

Teorema 4.12.2. Cualquier dominio D puede ser sumergido en un campo Fde tal manera que todo elemento de F pueda ser expresado como el cocientede dos elementos de D. F se denomina un campo de cocientes de D.

Demostracion. En la demostracion de este teorema y en el siguiente, ası comoen los corolarios se usara la expresion x/y para indicar el cociente entre x, y,esto es, xy−1.


Como φ : D −→ F1 definido en el parrafo anterior es un isomorfismo,ninguna propiedad de D se pierde si identificamos cada elemento a en D conla clase

[(a, 1)

]. De esta manera sumergimos a D en F .

Sea[(a, b)

]un elemento de F1, entonces,[

(a, b)]

=[(a, 1)

][(1, b)

]=[(a, 1)

][(b, 1)

]−1

=[(a, 1)

]/[(b, 1)

]= aφ/bφ.

El campo F es en cierto sentido el campo mınimo que contiene aD. Cualquierotro campo F ′ que contenga a D contiene un subcampo F ′

0 isomorfo con F ,en este isomorfismo cada elemento de D se corresponde consigo mismo.

Teorema 4.12.3. Sea φ : D −→ D′ un isomorfismo entre los dominios D,D′. Sea F un campo de cocientes de D y sea F ′ un campo que contiene aD′. Entonces existe un isomorfismo ψ entre F y un subcampo de F ′ tal queaψ = aφ, para todo a en D.

Demostracion. Todo x en F es el cociente a/b, con a, b en D, b �= 0.

Definamos ψ por la igualdad (a/b)ψ = aφ/bφ. Se debe demostrar que ψesta bien definido. Como φ es un isomorfismo, si b �= 0, bφ �= 0, aφ/bφ tienesentido.

Como[(a, b)

]=[(c, d)

]equivale a que ad = bc, se puede decir que si

a/b = c/d en F , entonces ad = bc en D, luego (ad)φ = (bc)φ, pero porser φ un isomorfismo, (aφ)(dφ) = (bφ)(cφ) y por tanto se puede escribiraφ/bφ = cφ/dφ.

La ultima igualdad significa, (a/b)ψ = (c/d)ψ en F ′, ası que ψ esta biendefinida.

Tambien,

(a/b+ c/d)ψ =((ad+ bc)/bd)

)ψ

= (ad+ bc)φ/(bd)φ

= (aφ dφ+ bφ cφ)/(bφ)(dφ)

= aφ/bφ+ cφ/dφ

= (a/b)ψ + (c/d)ψ


Igualmente, ((a/b)(c/d)

)ψ = (ac/bd)φ

= aφ cφ/bφ dφ

= (aφ/bφ)(cφ/dφ)

= (a/b)ψ (c/d)ψ.

Supongamos que (a/b)ψ = (c/d)ψ. Entonces,

aφ/bφ = cφ/dφ o aφ dφ = bφ cφ

es decir, (ad)φ = (bc)φ.Pero como φ es inyectiva, ad = bc o sea, a/b = c/d. En sıntesis ψ es

inyectiva.ψ es un isomorfismo de F con F (ψ) y por supuesto F (ψ) es un subcampo

de F ′.Finalmente, sea a en D, Entonces, aψ = (a/1)ψ.Pero (a/1)ψ = aφ/1φ = aφ, ya que 1φ es el elemento de identidad para

D′. Por la propiedad transitiva de la igualdad, aψ = aφ.

Corolario. Todo campo F ′ que contiene un dominio D, contiene un campode cocientes de D.

Demostracion. En el teorema anterior tome D = D′ y la aplicacion identica.Sea F un campo de cocientes de D, entonces para todo a/b en F ,

(a/b)ψ = aφ/bφ = a/b.

Dandose en conclusion que F ≈ F (ψ) ⊆ F ′ o sea, F ′ contiene un campo decocientes de D.

Corolario. Cualesquiera dos campos de cocientes de un dominio D son iso-morfos.

Demostracion. En el teorema anterior suponga que F ′ es un campo de co-cientes de D′, entonces todo elemento de F ′ puede ser expresado como elcociente de elementos de D′ esto es, x/y, con x, y en D′, y �= 0.

Por ser φ sobreyectiva se afirma que existen a, b, en D tales que aφ = x,bφ = y. En consecuencia, (a/b)ψ = x/y, es decir ψ es sobre F ′.

Tome D = D′, φ la aplicacion identica y F un campo de cocientes deD, entonces como en el corolario anterior F ≈ F (ψ) = F ′. La igualdad severifica por ser ψ sobre. En sıntesis, F ≈ F ′. La relacion ≈ es la relacion deisomorfismo.


EJERCICIOS


2. Sea A un anillo conmutativo, N �= {0} un subconjunto no vacıo de A,cerrado para el producto y que no contiene divisores de cero. A partirde A×N se puede construir un anillo de cocientes Q (de una manerasimilar a como se hizo en la discusion previa) donde A este sumergido.Se pide demostrar solo lo siguiente:

a) Q tiene elemento unitario, ası A no lo tenga.

b) En Q cada elemento diferente de cero de N es una unidad.

4.13. Caracterısticas de Dominios y Campos

Considerando D como un anillo, la ley de composicion externa

Δ×D −→ D (Δ = Z)(n, a)→ na = a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸

n sumandos

(0, a)→ 0a = 0(−n, a)→ (−n)a = (−a) + (−a) + · · ·+ (−a)︸︷︷︸

n sumandos

,

se demostro que convierte a D en un Δ-anillo, teniendose por definicion que

(na)b = n(ab) = a(nb).

En la teorıa de grupos se demostro que,

1. (ma)(na) = (m+ n)a.

2. m(na) = (mn)a.

3. (ma)(nb) = (mn)(ab).

Para el caso de Zp, sea a ∈ Zp. Como [ p ] = [ 0 ], son validas las igualdades,

[ pa ] = [ p ][ (a) ] = [ 0 ].

4.13. CARACTERISTICAS DE DOMINIOS Y CAMPOS 193

Obteniendose entonces,

pa = a+ a+ · · ·+ a︸︷︷︸p sumandos

= 0.

Lo que significa que el orden de a en el grupo aditivo Zp es p o un divisor dep. Pero p no tiene divisores diferentes de 1 y sı mismo, esto quiere decir queel orden de a es p, siendo a un elemento cualquiera no nulo de Zp.

En el caso de los enteros, el hecho de ser ab = 0, implica que a es cero ob es cero. Con base en lo anterior decimos que

a+ a+ a+ · · ·+ a = 0

si y solo si a = 0. Se concluye que en los enteros el orden de cualquierelemento no nulo es cero. Los anteriores solo son casos particulares de lasiguiente generalizacion.

Teorema 4.13.1. En el grupo aditivo de un dominio de enteros, los elemen-tos no nulos tienen el mismo orden.

Demostracion. Sea a un elemento no nulo del dominio D de orden n. Enton-ces n es el menor entero positivo tal que na = 0. Sea b un elemento no nulode D. Se debe demostrar que na = 0, si y solo si nb = 0.

Si na = 0, b(na) = 0. Pero

b(na) = (bn)a

= (nb)a

= 0.

Simplificando a se obtiene nb = 0, luego el orden de b es n.Si el orden de b es n, nb = 0 y de aquı se concluye que na = 0 o sea, el

orden de a tambien es n.Se concluye que los elementos no nulos del dominio D considerado como

grupo aditivo, tienen todos el mismo orden.

El teorema 4.13.1 da origen a la siguiente definicion,

Definicion 4.13.1. Se llama caracterıstica de un dominio D al orden comunde los elementos no nulos del grupo aditivo D.


Si D es un dominio con elemento unitario 1 se puede afirmar que la carac-terıstica deD es el menor entero positivo n tal que n×1 = 0. Si n×1 �= 0, paracualquier entero positivo n, se dice que D tiene caracterıstica cero. Algunosautores dicen que es de caracterıstica infinita o que no tiene caracterıstica.

Teorema 4.13.2. La caracterıstica de un dominio es cero o un numero pri-mo.

Demostracion. Suponga que D tiene caracterıstica m = rs, donde r, s noson unidades. Entonces

m× 1 = 0

= (rs)× 1

= (r × 1)(s× 1)

luego r× 1 = 0 o s× 1 = 0. Si r× 1 = 0, m|r o r = mk. Reemplazando m sededuce la igualdad r = (rs)k. Eliminando r se obtiene 1 = sk indicando quer es una unidad lo que va en contra de la hipotesis. Similarmente, si s×1 = 0,se deduce que r debe ser una unidad contradiciendo la hipotesis. Se concluye,en consecuencia, que si m = rs, s es una unidad o r es una unidad y de estose infiere que m debe ser primo. En sıntesis, D tiene caracterıstica un primo,o es de caracterıstica cero. Si la caracterıstica es el primo p, entonces pa = 0.Si es cero, pa = 0 si y solo si a = 0.

Los dominios tıpicos de caracterıstica cero o p son los enteros o Zp res-pectivamente. Los racionales, los reales, los complejos y los polinomios concoeficientes racionales son dominios con caracterıstica cero. El ultimo de losnombrados sera objeto de discusion posterior. Observese que cada uno delos dominios mencionados contiene a los enteros. Esta situacion se puedegeneralizar diciendo que cualquier dominio de caracterıstica cero contiene alos enteros o a un dominio isomorfo con ellos. Igual situacion ocurre con losdominios de caracterıstica p, resultados que se sintetizan en los dos teoremasque siguen.

Teorema 4.13.3. En un dominio con elemento unitario de caracterısticacero, el subgrupo aditivo generado por el elemento unitario es un dominioisomorfo con los enteros.

Demostracion. Sea D un dominio con elemento unitario de caracterısticacero. Sea

G = {n× 1 | n ∈ Z},


el subgrupo cıclico generado por el elemento unitario. Para m, n enteros

(m× 1)(n× 1) = (mn)× 1,

indicando que G es cerrado para el producto. Ademas,

m× 1± n× 1 = (m± n)× 1.

Tambien 1 esta en G. Se dice entonces que G es un subdominio de D concaracterıstica cero. Si no lo fuera, existiera p �= 0 en Z en tal forma quep× 1 = 0, pero p× 1 pertenece a D, luego D no serıa de caracterıstica cero.

Considerese φ : G −→ Z, definida por la igualdad (n× 1)φ = n.φ es indudablemente una biyeccion. Por otra parte,

(m× 1 + n× 1)φ = ((m+ n)× 1)φ

= m+ n

= (m× 1)φ+ (n× 1)φ.

Ademas ((m× 1)(n× 1)

)φ =

((m× n)× 1

)φ

= mn

=((m× 1)φ

)((n× 1)φ

).

Se ha demostrado que φ es un isomorfismo de G sobre Z.

Teorema 4.13.4. En un dominio con elemento unitario de caracterısticap, el subgrupo aditivo generado por el elemento unitario es un subdominioisomorfo con Zp.

Demostracion. El subgrupo aditivo G generado por 1 consta de los elementos1, 2× 1, 3× 1, . . . , (p− 1)× 1, p× 1 = 0. En total p elementos. Es cerradopara la suma y el producto, contiene el elemento unitario 1, ası como el cero,y todo elemento contiene su inverso aditivo. Es por tanto un subdominio. Lafuncion φ : G −→ Zp definida por (n× 1)φ = n es una biyeccion.

Si (n× 1)φ = (m× 1)φ, entonces [n ] = [m ], lo que implica afirmar quen ≡ m mod p o sea n−m = 0. Entonces (n−m)× 1 = 0 y en consecuencian× 1−m× 1 = 0, es decir, n× 1 = m× 1 indicando que φ es uno a uno.


Todo elemento n de Zp es representante de una clase [n ] y como cadaelemento de G puede ser escrito en la forma n× 1, y este elemento es tal que(n,1)φ = [n ], de aquı se concluye que φ es sobre. Ademas,

(n× 1 +m× 1)φ = ((n+m)× 1)φ

= [n+m ]

= [n ] + [m ]

= (n× 1)φ+ (m× 1)φ.

Con respecto al producto, se verifican las igualdades((n× 1)(m× 1)

)φ =

((nm)× 1

)φ

= [nm ]

= [n ][m ]

=((n× 1)φ

)((m× 1)φ

).

φ es un isomorfismo de G sobre Zp.

Teorema 4.13.5. Un campo tiene caracterıstica p un primo y contiene uncampo isomorfo a Zp o es de caracterıstica cero y contiene un campo isomorfoa Q.

Demostracion. Por el hecho de ser todo campo un dominio, los resultadosobtenidos acerca de la caracterıstica son extensibles a los primeros. Si elcampo F tiene caracterıstica p, el subgrupo aditivo generado por el elementounitario ademas de ser un dominio resulta ser necesariamente un subcampoisomorfo a Zp ya que este ultimo es un campo, por ser p primo. Si F tienecaracterıstica cero el subgrupo aditivo D generado por el elemento unitarioes un dominio isomorfo con los enteros. El campo de cocientes de D es unsubcampo de F conformado por los cocientes m× 1/n× 1 con n diferente decero. La correspondencia descrita en la forma m×1/n×1 −→ m/n conservalas operaciones de F llevandonos a identificar los elementos m× 1/n× 1 conlos racionales m/n. De esta manera todo campo de caracterıstica cero debecontener los racionales o cualquier campo isomorfo con ellos. Similarmentecualquier campo de caracterıstica p debe contener al campo Zp. Con estaconvencion los campos Q y Zp son los campos “mınimos”, llamados camposprimos.


En los dominios de caracterıstica cero, si el producto de dos factores esigual a cero, por lo menos uno de los factores debe ser cero, cosa que no escierta en los dominios de caracterıstica p. En un dominio de caracterısticacero la formula del binomio para un exponente natural viene dada por(

a+ b)n

= an +(

n1

)an−1b+

(n2

)an−2b2 + · · ·+ bn,

donde los coeficientes(

nr

)son enteros.

Si D es un dominio de caracterıstica p, entonces(a+ b

)p= ap +

(p1

)ap−1b+

(p2

)ap−2b2 + · · ·+ bp.

Donde (n

r

)=

p !

(p− r)!r! 1 ≤ r ≤ p.

Como r < p y p − r < p, los factores de (p − r)! y de r! son todos primosrelativos con p y en consecuencia

(pr

)tiene a p como factor 1 ≤ r ≤ p o

equivalentemente(

pr

)es un multiplo de p, lo que en Zp significa que

(pr

)= 0.

De lo anterior se deduce que,(a+ b

)p= ap + 0 + 0 + · · ·+ 0 + bp.

Tambien, puede establecer la igualdad,(a− b)p = ap − bp.

El conjunto Dp = {ap | a ∈ D} es un subdominio de D.La funcion φ : D −→ Dp definida por aφ = ap es una biyeccion. Ademas,

(a+ b)φ = ap + bp

= aφ+ bφ,

(ab)φ = (ab)p

= apbp

= (aφ)(bφ).

φ es entonces un isomorfismo de D sobre Dp.Si D = Zp, φ es la funcion identica.


Por el teorema de Fermat,

a ≡ ap mod p,

entoncesaφ = ap ≡ a mod p.

Lo que en el lenguaje de Zp significa que aφ = a. En conclusion, la correspon-dencia a −→ ap establece isomorfismos entre el dominio D de caracterısticap y los subdominios Dp para todos los elementos de D.

EJERCICIOS

1. Hallar la caracterıstica de los siguientes anillos:

a) 2Z.

b) Z + Z.

c) Z3 + Z4.

2. Demostrar que la caracterıstica de un subdominio del dominio D esigual a la caracterıstica de D.

Capıtulo 5

ANILLOS DE POLINOMIOS

5.1. Construccion del anillo F [ x ]

El interes primordial del estudio de los polinomios radica en su presentacioncomo elementos de un dominio euclidiano, que ha heredado su caracter detal, del campo que les da vida. Las propiedades algebraicas del anillo de lospolinomios son fundamentales en la construccion de las extensiones de loscampos, motivo por el cual su desarrollo se sustentara principalmente en elanalisis de dichas propiedades.

Una forma de construir el anillo F [ x ] consiste en tomar sucesiones infi-nitas

(a0, a1, . . . , an, . . . )

de elementos de un campo F , donde los ai son iguales a cero excepto paraun numero finito de ellos. Tomar S como el conjunto de todas las sucesionesası construidas y definir dos operaciones en la forma siguiente:

(a0, a1, . . . , an, . . . ) + (b0, b1, . . . , bn, . . . ) = (a0 + b0, a1 + b1, . . . , an + bn, . . . )

(a0, a1, . . . , an, . . . )(b0, b1, . . . , bn, . . . ) = (c0, c1, . . . , cn, . . . )

dondeci =

∑j+k=i

ajbk i = 0, 1, 2, 3, . . .

Fundamentandose en estas definiciones, demostrar que 〈S,+, ·〉 es un anillocon elemento unitario (1, 0, 0, . . . , 0, . . . ). Siguiendo este orden de ideas, cons-truir F ′ con los elementos de S que tienen la forma (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ), para

199

200 CAPITULO 5. ANILLOS DE POLINOMIOS

cualquier a de F. Comprobar que F ′ con las operaciones de S es un campo.Definir la aplicacion

φ : F −→ F ′

dada por la igualdad,aφ = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . )

que efectivamente es una aplicacion y ademas cumple,

(a+ b)φ = (a+ b, 0, 0, . . . , 0, . . . )

= (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ) + (b, 0, 0, . . . , 0, . . . )

= aφ+ bφ.

(ab)φ = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . )(b, 0, 0, . . . , 0, . . . )

= (ab, 0, 0, . . . , 0, . . . )

= (aφ)(bφ).

Para concluir que φ es un isomorfismo entre F y F ′ que identifica el elementoa de F con la sucesion (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ) de F ′, pudiendose escribir

a = (a, 0, 0, . . . , 0, . . . ).

Finalmente, definir x como la sucesion

(0, 1, 0, . . . , 0, . . . )

y a partir de aquı demostrar que x2 esta representada por (0, 0, 1, . . . , 0, . . . )y en general xk viene dado por

(0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . )

donde el elemento 1 esta ubicado en la posicion (k + 1)–esima y los demasson ceros.

Con estas consideraciones, se establece la igualdad

axk = (0, 0, . . . , 0, a, 0, . . . ).

Cualquier elemento (a0, a1, . . . , an, 0, . . . ) puede ahora representarse en la for-ma,

a0 + a1x+ · · ·+ anxn + · · ·

5.1. CONSTRUCCION DEL ANILLO F [X ] 201

tomando el nombre de polinomio con coeficientes a0, . . . , an en el campo F .La caracterizacion que se le dara a F [ x ] seguira un camino diferente sin

preocuparse de lo que sera el objeto x, simplemente considerandolo como unaindeterminada. Iniciamos con la definicion que sigue.

Definicion 5.1.1. Sea A un anillo. Un polinomio f(x)en la variable x concoeficientes en A es una suma infinita

∞∑n=0

anxn = a0 + a1x+ · · ·+ anx

n + · · ·

con an en A y an = 0 excepto para un numero finito de valores de n. Losan se denominan los coeficientes de f(x). El mayor de los n para los cualesan �= 0 se denomina el grado de f(x) y se nota grf(x). Si tal n > 0 no existe,se dice que f(x) es de grado cero.

Si f(x) es de grado n esto es, si an �= 0 y ai = 0 para i > n se conviene enescribir

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.

Al termino anxn se le denomina el termino principal, su coeficiente an es el

coeficiente principal. Si an = 1 el polinomio se llama monico.Los coeficientes iguales a 1 se omiten por simplicidad esto es, se escri-

be simplemente xk. Igualmente se omiten los terminos con coeficiente cero,excepto para el polinomio nulo f(x) = 0 al cual no se le asigna grado. Elpolinomio f(x) = a (a ∈ A) se le nombra el polinomio constante y su gradoes cero siempre y cuando a sea diferente de cero.

Definicion 5.1.2. Si f(x) =∑∞

k=0 akxk, g(x) =

∑∞k=0 bkx

k son dos polino-mios de grado k se dice que f(x) = g(x) si y solo si para todo entero k ≥ 0ak = bk.

En sıntesis, dos polinomios son iguales si son del mismo grado y sus coefi-cientes correspondientes son iguales.

La adicion y el producto de polinomios se definen en la forma como pro-bablemente se esperaba.

Definicion 5.1.3. Si f(x) =∑∞

k=0 akxk, g(x) =

∑∞k=0 bkx

k son dos polino-mios de grado k, la adicion y el producto se definen por las igualdades,

f(x) + g(x) =

∞∑k=0

(ak + bk

)xk


f(x)g(x) =

∞∑k=0

(∑i+j=k

aibjxk

).

Se insiste en que los coeficientes de la suma y el producto son iguales a cero,excepto para un numero finito de ellos.

Ejemplo 5.1.1. En Z5. Sean f(x) = 4 + x, g(x) = 1 + 4x2.Hallar f(x) + g(x) y f(x)g(x).

Solucion.

f(x) + g(x) = (4 + 1) + (1 + 0)x+ (0 + 4)x2

= 0 + x+ 4x2

= x+ 4x2.

Por su parte

f(x)g(x) =

3∑k=0

(∑i+j=k

aibjxk

).

Desarrollando la sumatoria se llega a

a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + (a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0)x

3.

Reemplazando los valores correspondientes se obtiene

4×1+(4×0+1×1)x+(4×4+1×0+0×1)x2+(4×0+1×4+0×0+0×1)x3.

Efectuando operaciones y teniendo en cuenta que 4×4 = 1 se tiene finalmenteel polinomio

4 + x+ x2 + 4x3.

A pesar de la aparente complicacion, note que la suma y el producto sereducen a ejecutar las mismas operaciones entre polinomios descritas en elalgebra elemental.

Se habıa dicho que el conjunto de los polinomios en la indeterminada xcon coeficientes en A, esto es, A[ x ] tiene estructura de anillo. El siguienteteorema garantiza este hecho.

Teorema 5.1.1. Sea A un anillo. El conjunto A[ x ] de los polinomios enla indeterminada x con coeficientes en A, es un anillo con las operacionesdefinidas anteriormente. Si A es conmutativo tambien lo es A[ x ]. Si A tieneelemento unitario 1, el polinomio constante f(x) = 1 es el elemento unitariode A[ x ].


Demostracion. La forma como se ha definido la suma en funcion de los ele-mentos del anillo A, garantiza que A[ x ] es un grupo abeliano. De no veri-ficarse algunas propiedades en A[ x ], esas mismas propiedades tampoco severificarıan en A.

Las demostraciones de las propiedades asociativa del producto y distribu-tiva corresponden al tipo de comprobaciones faciles pero tediosas. La segundase presenta sin mayores justificaciones esperando que el lector acucioso suplalos detalles que faltan.

f(x)[g(x) + h(x)

]=

∞∑k=0

akxk

[ ∞∑k=0

bkxk +

∞∑k=0

ckxk

]

=

∞∑k=0

[ ∞∑k=0

(bk + ck)xk

]

=

∞∑k=0

[ ∑i+j=k

ai(bj + cj)xk

]

=

∞∑k=0

[ ∑i+j=k

(aibjxk + aicjx

k)

]

=∞∑

k=0

[ ∑i+j=k

aibjxk +

∑i+j=k

aicjxk

]

=

∞∑k=0

[ ∑i+j=k

aibjxk

]+

∞∑k=0

[∑i+j=k

aicjxk

]= f(x)g(x) + f(x)h(x).

Las anteriores igualdades aseguran el cumplimiento de la propiedad distri-butiva. De manera semejante se pueden demostrar las demas propiedades.

Puesto que el producto de A es conmutativo, se puede decir que,

f(x)g(x) =

∞∑k=0

(∑i+j=k

aibjxk

)

=∞∑

k=0

(∑j+i=k

bjaixk

)= g(x)f(x).


Finalmente, por la forma como se ha definido el producto, el polinomio cons-tante f(x) = 1 es el elemento unitario de A[ x ], comprobando ası la demos-tracion. Las propiedades no demostradas se asignan como ejercicios.

Si F es un campo, el conjunto de los polinomios en la indeterminada xcon coeficientes en F se denomina por extension F [ x ]. Es facil demostrar queF [ x ] es un dominio de enteros. Tambien lo es para D[ x ] si D es un dominiode enteros. Antes de proceder a realizar la demostracion se debe analizar unacondicion preliminar enunciada mediante el teorema que sigue.

Teorema 5.1.2. Sea F un campo. Si f(x), g(x) son dos elemento no nulosde F [ x ], entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x).

Demostracion. Supongamos que grf(x) = m, grg(x) = n, en consecuencia,

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm, am �= 0, ai = 0, si i > m.

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn, bn �= 0, bj = 0, si j > m.

No se pierde generalidad al suponer que m > n.

f(x)g(x) =

∞∑k=0

(∑i+j=k

aibjxk

)= a0b0 +

∑i+j=1

aibjx+ · · ·+∑

i+j=m+n

aibjxm+n.

Donde ∑i+j=m+n

aibjxm+n = (am+nb0 + · · ·+ a0bm+n)xm+n

= cm+nxm+n.

Pero para cualquiera de los coeficientes aibj , 0 ≤ i ≤ m+ n, 0 ≤ j ≤ m+n,observe que i+ j = m+ n, o equivalentemente, j = (m+ n)− i.

Supongamos que i < m, entonces i+ n < m+ n, o sea, n < (m+ n)− i.Reemplazando esta ultima expresion por su equivalente j se sigue que n < j,esto es, j > n y en consecuencia bj = 0 por hipotesis. En conclusion, si i < m,el coeficiente aibj = 0. Similarmente, si j < n, ai = 0 luego aibj = 0.

Si i = m, j = n, am �= 0, bn �= 0 y por lo tanto el coeficiente de xm+n sereduce a ambn esto es, cm+n = ambn �= 0.


Falta demostrar que ck = 0, para k ≥ m+ n+ 1,

ck = akb0 + ak−1b+ · · ·+ a0bk.

Para cualquier aibj , i + j = k ≥ m + n + 1, luego i + j ≥ m + n + 1, dedonde se deduce que (m+n+ 1)− i ≤ j. Suponiendo que i ≤ m, sumando aambos miembros n+ 1, aplicando las propiedades del caso y trasponiendo i,se obtiene, n+1 ≤ (m+n+1)− i, y de aquı n+1 ≤ j, lo que necesariamentelleva a afirmar que bj = 0 esto es, aibj = 0.

Similarmente se concluye que si j ≤ n, ai = 0 y aibj = 0.En sıntesis, el termino principal de f(x)g(x) es exactamente ambnx

m+n.Aplicando la definicion se afirma que

gr((x)g(x)) = m+ n = grf(x) + grg(x).

El corolario que sigue precisa una idea que esperabamos.

Corolario. Si f(x), g(x) son dos polinomios no nulos de F [ x ], entoncesgr(f(x)) ≤ gr((x)g(x)).

Demostracion. Como gr(g(x)) ≥ 0, entoncesgr(f(x)) ≤ grf(x) + grg(x) = gr(f(x)g(x)).

Con el argumento que sigue se pretende demostrar que F [ x ] es un domi-nio de enteros, para lo cual considerense f(x), g(x) dos polinomios no nulosde F [ x ].

Si ambos polinomios son de grado cero, existen a, b en F diferentes decero tales que f(x) = a, g(x) = b, de donde f(x)g(x) = ab �= 0. Como ab esuna constante de F , f(x)g(x) es de grado cero.

Si alguno es de grado mayor que cero, por ejemplo, si grf(x) = m > 0,entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x) ≥ m, luego f(x)g(x) es de gradomayor que cero.

El anterior razonamiento se enuncia mediante el condicional: Si f(x), g(x)son dos polinomios no nulos de F [ x ], entonces f(x)g(x) �= 0. La contraposi-tiva indica que si f(x)g(x) = 0, entonces, f(x) = 0 o g(x) = 0.

Se ha comprobado que F [ x ] no tiene divisores de cero y por ende quees un dominio de enteros. Ampliando el horizonte a F [ x ] se podrıa pensarque es un campo, para lo cual es indispensable hallar los inversos para elproducto.

Supongamos que f(x) tiene un polinomio inverso, esto es, existe g(x) talque f(x)g(x) = 1, entonces gr(f(x)g(x)) = grf(x) + grg(x) = 0, luego f(x)


es de grado cero conduciendo a la conclusion que es un polinomio constante,o sea los unicos que tienen inverso son los polinomios constantes. En palabrasequivalentes significa que las unicas unidades de F [ x ] son las unidades de F ,comprobandose ası que F [ x ] no es un campo, pero al ser un dominio se puedeconstruir el campo de cocientes compuesto por los cocientes de polinomios,denominado el campo de las funciones racionales en x sobre F . El terminoracional se usa por ser sus elementos razones de funciones.

La funcion grado se puede sugerir como el ν-valor necesario para convertira F [ x ] en un dominio euclidiano. Esta definida para todo f(x) �= 0 y se hademostrado que:

1. grf(x) ≥ 0. (Es un entero no negativo).

2. grf(x) ≤ gr(f(x)g(x)), para f(x) �= 0.

Falta por demostrar que dados f(x), g(x) �= 0, existen q(x), r(x) en F [ x ]tales que f(x) = q(x)g(x)+r(x), con r(x) = 0 o grr(x) < grg(x). Condicionesque se sintetizan en el algoritmo de Euclides aplicado a las funciones y quea continuacion se demuestra.

Teorema 5.1.3. Dados dos polinomios f(x), g(x) �= 0 en F [ x ], existen q(x),r(x) en F [ x ] tales que

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

donde r(x) = 0 o grr(x) < grg(x).

Demostracion. Sean

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm

polinomios de grado n, m respectivamente. Si m > n, f(x) = 0×g(x)+f(x),donde se han tomado q(x) = 0, r(x) = f(x), y evidentemente grr(x) es menorque grg(x) = m.

Si m ≤ n el proceso a seguir es el usado al dividir polinomios. Como g(x)es de grado m, al multiplicar g(x) por el polinomio (anb

−1m )xn−m se obtiene

un polinomio de grado n.La diferencia

f(x)− (anb−1m )xn−mg(x) = r1(x)


es un polinomio de grado menor que n. Si grr1(x) < m, r1(x) es el restodeseado y,

f(x) = (anb−1m )xn−mg(x) + r1(x).

En caso contrario se repite el proceso hasta obtener un resto de grado menorque m.

Generalizando veamos que sucede cuando m ≤ n, esto es, n −m = k0,con k0 entero positivo. El planteamiento enunciado indica que,

f(x) = t0xk0g(x) + r1(x)

donde r1(x) ∈ F [ x ], grr1(x) = m1, t0 = anb−1m .

Puede suceder:

1. r1(x) = 0.

2. m1 < m < n.

3. m < m1 < n.

Si ocurre (1) o (2) el problema esta resuelto.

Si ocurre (3), entonces, m1 = m+ k1, con k1 entero positivo.

Si

r1(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cm1xm1

el proceso de dividir nos da :

r1(x) = t1xk1g(x) + r2(x)

con r2(x) ∈ F [ x ], grr2(x) = m2, t1 = cm1bm1

Donde m2 puede ser mayor que m, en cuyo caso se escribe, m2 = m+ k2.Ademas m2 < m1 < n, es decir el grado de los residuos correspondientes for-ma una sucesion decreciente de enteros positivos, lo que implica que despuesde un numero finito de veces se obtendra una sucesion finita,

mj < m < · · · < m2 < m1 < n.


Que satisface las igualdades:

n = m+ k0

m1 = m+ k1

m2 = m+ k2

...

mj−1 = m+ kj−1

m = mj + k

y un ultimo residuo rj(x) tal que rj−1(x) = tj−1xkj−1 donde, rj(x) ∈ F [ x ],

el grado de rj(x) es igual a mj y tj−1 se ha escogido como en los casosprecedentes. De la sucesion e igualdades descritas anteriormente se obtiene:

m+ kj−1 < · · · < m+ k2 < m+ k1 < m+ k0.

Cancelando m se obtiene,

kj−1 < · · · < k2 < k1 < k0.

Entonces,

f(x) = t0xk0g(x) + r1(x)

= t0xk0g(x) + t1x

k1g(x) + r2(x)

= t0xk0g(x) + t1x

k1g(x) + t2xk2g(x) + r3(x)

...

= t0xk0g(x) + t1x

k1g(x) + t2xk2g(x) + · · ·+ tj−1x

kj−1g(x) + rj(x)

=(t0x

k0 + t1xk1 + t2x

k2 + · · ·+ tj−1xkj−1)g(x) + rj(x).

Donde rj(x) = 0 o el grado de rj(x) es menor que m.Se puede en consecuencia escribir en general:

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que m.Para demostrar la unicidad supongamos que existen q0(x), q1(x), r0(x),

r1(x), con las condiciones establecidas en el teorema, de tal manera que,

f(x) = q0(x)g(x) + r0(x)

f(x) = q1(x)g(x) + r1(x).


Entonces, [q0(x)− q1(x)

]g(x) = r1(x)− r0(x).

Como el grado de r1(x)−r0(x) es menor que el grado de g(x) la igualdad se dasolo en el caso que q0(x)− q1(x) = 0 o q0(x) = q1(x) luego r1(x)− r0(x) = 0o r1(x) = r0(x).

Corolario. F [ x ] es un dominio euclidiano.

Demostracion. Tomese la funcion grado como el ν-valor euclidiano necesarioy aplıquese la definicion.

1. Si f(x) �= 0, el grado de f(x) es un entero no negativo.

2. Para todo f(x), g(x) �= 0, existen polinomios q(x), r(x) en F [ x ] talesque, f(x) = q(x)g(x) + r(x), donde r(x) = 0 o el grado de r(x) esmenor que el grado de g(x).

3. El grado de g(x) es menor o igual al grado de f(x)g(x).

Ahora se puede decir que F [ x ] es un dominio de ideales principales.Esta conclusion se fundamente en el teorema 4.9.1, pero se puede dar unademostracion directa.

Sean f(x), h(x) dos polinomios de F [ x ]. Considerese el conjunto N for-mado por las combinaciones lineales de f(x) y h(x), siempre y cuando f(x),h(x) no sean simultaneamente nulos.

N = {p(x)f(x) + q(x)h(x) | p(x), q(x) ∈ F [ x ]}.Mediante un razonamiento similar al del teorema 4.10.2 se demuestra queN es un ideal principal de F [ x ], lo que significa que N es generado por unpolinomio de grado mınimo g(x) esto es, N =

(g(x)

).

Como f(x) = 1f(x) + 0h(x) y h(x) = 0f(x) + 1h(x) son elementos deN , entonces f(x) = a(x)g(x), h(x) = b(x)g(x) es decir, g(x)

∣∣f(x), g(x)∣∣h(x).

Ademas g(x) es un elemento de N , y esto quiera decir que

g(x) = u(x)f(x) + t(x)h(x).

O sea, cualquier divisor comun de f(x) y h(x) debe dividir a g(x).Observando la definicion de maximo comun divisor se concluye que dos

polinomios no simultaneamente nulos f(x), h(x) de F [ x ] tienen un maximo


comun divisor g(x) tal que, g(x)∣∣f(x), g(x)

∣∣h(x). Si c(x)∣∣f(x), c(x)

∣∣h(x),entonces c(x)

∣∣g(x). Ademas g(x) es una combinacion lineal de f(x) y h(x).Como todos los asociados de g(x) verifican la condicion de ser un maximo

comun divisor de f(x) y h(x) no hay un maximo comun divisor unico, pero sepuede escoger como el maximo comun divisor a aquel polinomio monico quesatisfaga la definicion, cuya existencia esta garantizada porque la relacion“ser maximo comun divisor” es una relacion de equivalencia.

EJERCICIOS

1. Si A es un anillo

a) Demostrar que A[ x ] con la operacion suma es un grupo abeliano.

b) Demostrar que la propiedad asociativa se verifica en A[ x ].

2. Demostrar que en Z3[ x ], se verifica:

a) (x+ 2)2 = x2 + x+ 1.

b) 2(x+ 2) = 2x+ 1.

3. En Z5 hallar la suma y el producto de f(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1,g(x) = 2x2 + 3x+ 4.

4. Sea D un dominio de enteros.

a) Hallar las unidades de D[ x ]

b) Hallar las unidades de Z[ x ]

c) Hallar las unidades de Z3[ x ].

5. Sea D un dominio de enteros. ¿Son los siguientes conjuntos anillosconmutativos con elemento unitario?

a) {f(x) ∈ D[ x ] | f(0) = 0}.b) {f(x)D[ x ] | f(0) = f(1)}c) {f(x)D[ x ] | f(0) �= 0}.

6. Sea F un campo, demostrar que {f(x) | a0 = 0} forman un ideal deF [ x ].

5.2. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 211

7. Sean F un campo, f(x), g(x) en F [ x ]. Demostrar que

N ={r(x)f(x)+ s(x)g(x)

∣∣ r(x), s(x) ∈ F [ x ]}

es un ideal de F [ x ].

8. Sea S ⊆ F [ x ] tal que si f(x) y g(x) ∈ S, entonces si f(x)− g(x) ∈ Sy si h(x) ∈ S, entonces xh(x) y ah(x) tambien pertenecen a S, paracualquier constante a en F . Demostrar que S es un ideal.

9. En Z5 dados: f(x) = 3x3 +4x2 +2x+1, g(x) = x2 +4. Hallar p(x), r(x)tales f(x) = p(x)g(x) + r(x) y satisfagan las condiciones del algoritmode Euclides.

10. Demostrar: SiA es un anillo conmutativo con elemento unitario,entonces∑ni=0 aix

i es una unidad en A[ x ] si y solo si, a0 es una unidad en A yai es nilpotente en A, para 1 ≤ i ≤ n.

11. Si D es un dominio de enteros, F es su campo de cocientes, demues-tre que cualquier elemento f(x) en F [ x ] puede escribirse usando laigualdad: f(x) = f0(x)/a donde f0(x) ∈ D[ x ], a ∈ D.

12. Sean f(x), g(x), h(x) en F [ x ], demostrar: Si h(x) es primo simultanea-mente con f(x) y g(x), entonces h(x) es primo con f(x)g(x).

13. Sean f(x), g(x), h(x) en F [ x ], demostrar: Si h(x)∣∣f(x)g(x) y h(x) es

primo con f(x) entonces h(x)∣∣g(x).

14. a) En Z[ x ] hallar el (m. c. d.) de x3 − 7x2 + 7x+ 15 y x2 − 2x− 3 .

b) Expresarlo como una combinacion lineal de los polinomios dados.

15. a) Hallar el (m. c. d.) de 2x3 − 6x2 − 10x − 2 y 2x3 + 2x2 − 5x − 1en Z11[ x ].

b) Expresarlo como una combinacion lineal de los polinomios dados.

5.2. Polinomios Irreducibles

Los polinomios irreducibles corresponden a los elementos primos de undominio de enteros y como tales seran tratados.


Definicion 5.2.1. Un polinomio no constante de F [ x ] se denomina irredu-cible sobre F , un irreducible de F [ x ] o un irreducible en F [ x ] si siempreque p(x) = a(x)b(x) en F [ x ], a(x) o b(x) tienen grado cero esto es, sonconstantes de F .

Se especifica la irreducibilidad sobre el campo F , puesto que un polinomioirreducible sobre un determinado campo puede ser reducible sobre otro. Elcaso tıpico es f(x) = x2 + 1, que es irreducible sobre los reales, pero esfactorizable en los complejos.

Los teoremas expresados a continuacion son consecuencias de ser F [ x ]un dominio de ideales principales, pero se sugiere realizar demostracionesdirectas.

Teorema 5.2.1. El ideal(p(x)

)generado por p(x) es maximal si y solo si

p(x) es irreducible sobre F .

Teorema 5.2.2. Sea p(x) un irreducible sobre F . Si p(x)∣∣r(x)s(x), entonces

p(x)∣∣r(x) o p(x)

∣∣s(x).Al igual que en los enteros surge el siguiente corolario.

Corolario. Si el polinomio p(x) es irreducible sobre F , y p(x) divide alproducto r1(x)r2(x) . . . rn(x), ri(x) ∈ F [ x ], 1 ≤ i ≤ n entonces p(x) dividea ri(x), para algun i.

El siguiente teorema indica que F [ x ] es un dominio de factorizacion unica

Teorema 5.2.3. Sea f(x) un polinomio no constante de F [ x ], f(x) pue-de factorizarse como el producto de polinomios irreducibles sobre F . Estafactorizacion es unica salvo el orden de los factores y asociados.

Ejemplo 5.2.1. Demostrar que x4 + 4 es reducible en Z5.

Solucion. Dividiendo x4 + 4 entre x− 1 se obtiene:

5.2. POLINOMIOS IRREDUCIBLES 213

x4 + 4 x − 1

x3 + x2 + x + 1− x4 + x3

0 + x3

− x3 + x2

0 + x2

− x2 + x

0 + x + 4

− x + 1

0 + 0

Dividiendo sucesivamente por (x− 2) y (x− 3) se obtiene la igualdad

x4 + 4 = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

= (x+ 4)(x+ 3)(x+ 2)(x+ 1).

En la ultima expresion se han remplazado los terminos que aparecen consigno negativo por sus inversos en Z5.

EJERCICIOS

1. Demostrar que:

a) x2 + x+ 1 es irreducible sobre Z2.

b) x2 − 6 es irreducible sobre Z7.

c) x3 + 2 es irreducible sobre Z11.

d) x2 + 4 es reducible sobre Z5.

e) x2 + 6 es reducible sobre Z7.

2. Demostrar que:

a) x3 + 3x2 − 8 es irreducible sobre Q.

b) x4 − 22x2 + 1 es irreducible sobre Q.


3. Demostrar sin usar el hecho de ser F [ x ] un dominio de ideales princi-pales.

a) El ideal(p(x)

)generado por p(x) es maximal si y solo si p(x) es

irreducible sobre F .

b) Sea p(x) un irreducible sobre F . Si p(x)∣∣r(x)s(x), entonces p(x)

∣∣r(x)o p(x)

∣∣s(x).c) Si el polinomio p(x) es irreducible sobre F y p(x) divide al pro-

ducto r1(x)r2(x) · · · rn(x), ri(x) ∈ F [ x ], 1 ≤ i ≤ n, entonces p(x)divide a ri(x) para algun i.

d) Sea f(x) un polinomio no constante de F [ x ], f(x) puede factori-zarse como el producto de polinomios irreducibles sobre F . Estafactorizacion es unica salvo el orden de los factores y asociados.

4. Demostrar que el ideal(p(x)

)generado por p(x) es maximal si y solo

si p(x) es irreducible sobre F .

5. Exprese el polinomio x3 +3x2 +4x+2 como el producto de irreduciblesen Z5.

6. Dados F un campo, f(x), g(x) en F [ x ]. Demostrar que f(x)∣∣g(x) si y

solo si g(x) pertenece al ideal(f(x)

).

7. Sean F un campo, f(x), g(x) en F [ x ].

N = {r(x)f(x) + s(x)g(x) | r(x), s(x) ∈ F [ x ]} un ideal de F [ x ].

Demostrar que si f(x) y g(x) tienen grados diferentes y N �= F [ x ],entonces f(x) y g(x) no pueden ser ambos irreducibles sobre F .

8. Hallar todos los ideales primos y todos los maximales de Z12.

9. Hallar un ideal maximal de Z + Z.

10. Hallar un ideal primo de Z + Z que no sea maximal.

11. Hallar un ideal propio de Z + Z que no sea primo.

12. Demostrar que si p(x) ∈ F [ x ] es tal que para todo f(x) ∈ F [ x ], p(x)es primo con f(x) o p(x)|f(x), entonces p(x) es irreducible.

5.3. EXTENSIONES DE CAMPOS 215

5.3. Extensiones de Campos

Dado f(x) un polinomio de F [ x ], surge la pregunta acerca de la posi-bilidad de encontrar un campo E que contenga los ceros de f(x). En otraspalabras de encontrar un campo E donde la igualdad f(t) = 0, resultante dereemplazar la indeterminada x por el elemento t, sea satisfecha por al menosun t de E. Afortunadamente la respuesta es positiva y su construccion esposible a traves del campo F y un irreducible de la descomposicion factorialde f(x).

Definicion 5.3.1. Un campo E es una extension del campo F, si F es unsubcampo de E.

Se inicia la construccion partiendo del campo F y un polinomio cualquieraf(x) no constante de F [ x ]. Como f(x) puede expresarse como el productode polinomios irreducibles en F , sea p(x) un irreducible de la descomposicionfactorial de f(x). Sea N =

(p(x)

)el ideal generado por p(x). Por ser p(x)

un irreducible, N es un ideal maximal de F [ x ] y en consecuencia el anillocociente F [ x ]/N es un campo.

La funcion φ : F −→ F [ x ]/N , definida mediante la igualdad aφ = a+N ,para todo a de F , es un isomorfismo. En efecto, sean a, b elementos de F .

(a+ b)φ = (a+ b) +N

= (a+N) + (b+N)

= aφ+ bφ,

(ab)φ = (ab+N)

= (a+N)(b+N)

= (a)φ(b)φ.

Ademas si a, b son elementos de F tales que aφ = bφ o expresado en formaequivalente, a+N = b+N , entonces se puede decir que a− b pertenece a N ,asi que p(x) debe dividir a a− b, de donde se deduce que grp(x) ≥ 1. Comoa− b pertenece a F , entonces a− b es de grado cero o es el polinomio nulo.Pero esta diferencia no puede ser de grado cero, porque al ser p(x) de gradomayor que cero no la dividirıa, luego a− b = 0 o sea a = b deduciendose queφ es uno a uno.

Si a+N un elemento de F [ x ]/N , existe a en F tal que aφ = a+N , dedonde se concluye que φ es sobre, demostrandose que es un isomorfismo. Se


identifica a F con el conjunto {a+N | a ∈ F} y en tales condiciones F [ x ]/Nes una extension de F que contiene los ceros de f(x).

Estableciendo la igualdad F [ x ]/N = E se ha encontrado la respuesta ala inquietud planteada, o sea siempre es posible encontrar un campo E quecontenga los ceros de cualquier polinomio f(x) ∈ F [ x ].

Mas tarde se construira un campo isomorfo a los complejos que contengalos ceros del polinomio f(x) = x2 + 1, que no los tiene en los reales.

Con la garantıa dada por la consideracion anterior se puede enunciar lasiguiente proposicion.

Teorema 5.3.1. Sean F un campo, E una extension de F, t un elemento deE, x una indeterminada. La funcion φt : F [ x ] −→ E definida por

(a0 + a1x+ · · ·+ anxn)φt = f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ ant

n

es un homomorfismo ademas

1. xφt = t.

2. La imagen directa de F es todo F esto es, Fφt = F .

Se conviene en establecer la igualdad,

f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn.

Demostracion. Sean m > n y

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm.

[f(x) + g(x)

]φt =

[(a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn + · · ·+ bmx

m]φt

= (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)tn + · · ·+ bmtm

= a0 + a1t+ · · ·+ antn + b0 + b1t+ · · ·+ bmt

m

= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn)φt + (b0 + b1t+ · · ·+ bmx

m)φt

= f(x)φt + g(x)φt.

5.3. EXTENSIONES DE CAMPOS 217

Para el producto se escribe

[f(x)g(x)

]φt =

[n+m∑k=0

(∑i+j=k

aibjxk

)]φt

=

[n+m∑k=0

(∑i+j=k

aibjtk

)]=

[f(x)g(x)

]φt

=

[f(x)φt

][g(x)φt

].

Por definicion de φt, xφt = (1x)φt = 1t = t.Para todo a de F el polinomio constante f(x) = a, es tal que f(x)φt = a.De lo anterior se concluye que Fφt = F . En otras palabras, para todo a

de F , xφt = a, lo que indica que φt mirado con esta lente no es otra cosa quela funcion identica, que es un isomorfismo de F sobre sı mismo.

Ejemplo 5.3.1. Sea R una extension de Q, considere el homomorfismo φ3,dado por

f(3) = a0 + a13 + · · ·+ an3n.

Para el polinomio

g(x) = x2 − 7x+ 12,

la imagen de g(x) esta dada por la igualdad

g(3) = 32 − 7× 3 + 12 = 0.

El polinomio

x2 − 7x+ 12 = (x− 3)(x− 4)

pertenece al nucleo de φ3, esto es,

N =((x− 3)

)es el ideal generado por

(x− 3

). En conclusion, Q[ x ]/N ≈ Q.


EJERCICIOS

1. Sea φt : Z7[ x ] −→ Z7 el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.Evaluar:

a) (x2 + 5)φ3.

b) (3x2 + 2x− 5)φ5.

c) (x3 − 2)(x2 + 5x+ 4)φ3.

d) (x3 − 2)(x2 + 5x+ 4)φ0.

2. Sea φt : Q[ x ] −→ R el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.Describir el nucleo de φ3 y hallar 6 de sus elementos.

3. Hallar los ceros en Z5 de (x5 + 3x4 − x2 − 3x) ∈ Z5[ x ]. Sugerencia:Usando el teorema 5.3.1 pruebe con los cinco candidatos posibles.

4. Sea φt : Z5[ x ] −→ Z5 el homomorfismo definido en el teorema 5.3.1.Evaluar (x231 + 3x117 − 2x53 + 1)φ3. Sugerencia: Use el teorema deFermat.

5.4. Los ceros de Polinomios

Definicion 5.4.1. Sea E una extension de F , t un elemento de E, f(x) enF [ x ], φt : F [ x ] −→ E, el homomorfismo descrito en el teorema 5.3.1. Sif(t) = 0, se dice que t es un cero de f(x).

Definicion 5.4.2. Sea E una extension de F, t en E se dice algebraico sobreF, si f(t) = 0 para algun polinomio no nulo de F [ x ]. Si t no es algebraicosobre F, se dice trascendente sobre F .

Si F son los racionales y E los complejos en lugar de decir que un nume-ro es algebraico o trascendente sobre Q, simplemente se dice algebraico otrascendente sin mas especificacion.

Ejemplo 5.4.1. Veamos que√

3−√5 es algebraico sobre Q.

Solucion. Si t =√

3−√5 entonces t2 = 3−√5, luego t2 − 3 = −√5 o sea(t2 − 3)2 = 5 y de aquı, elevando al cuadrado y trasponiendo terminos, seobtiene que t4 − 6t2 + 4 = 0, significando que t es un cero de x4 − 6x2 + 4sobre Q.

5.4. LOS CEROS DE POLINOMIOS 219

Con el teorema que sigue se da respuesta definitiva a la inquietud plan-teada al principio de la seccion

Teorema 5.4.1. Sea F un campo, f(x) un polinomio no constante de F [ x ],entonces existen una extension E de F y un elemento t de E tal que f(t) = 0.

Demostracion. Sea p(x) un polinomio irreducible de la descomposicion fac-torial de f(x). El campo E = F [ x ]/N , con E el ideal generado por p(x) sedemostro que es una extension de F . Sea t = x+N un elemento de E.

p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

φt : F [ x ] −→ E, dada por:

p(x)φt = a0 + a1(x+N) + · · ·+ an(x+N)n = p(t).

Pero en E se opera escogiendo representantes de las clases laterales x+N ycomo x es uno de tales representantes,

p(t) = (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) +N

= p(x) +N

= N

= 0,

ya que N es el cero de E. Se ha encontrado entonces un t en E tal quep(t) = 0 y como p(x) es un factor de f(x) se concluye que f(t) = 0, dandoseque t es un cero de f(x).

Los teoremas que siguen relacionan la reducibilidad con los ceros de unpolinomio.

Teorema 5.4.2. Sea E una extension de F , t ∈ E es un cero de f(x) si ysolo si x− t es un factor de f(x) en F [ x ].

Demostracion. Sea t en E tal que f(t) = 0. Por el algoritmo de la division,existen q(x), r(x) en F [ x ] tales que, f(x) = (x − t)q(x) + r(x), donde elgrado de r(x) es menor que 1. Se debe tener entonces que r(x) = k, con k enF , ası que

f(x) = (x− t)q(x) + k.


Aplicando el homomorfismo φt se llega a

0 = f(t) = (t− t)q(t) + k = 0q(t) + k.

Luego k = 0 y de aquı se deduce que f(x) = (x− t)q(x).Recıprocamente, sea (x− t) un factor de f(x), t en E,

f(x) = (x− t)q(x)f(t) = f(x)φt = (t− t)q(t) = 0q(t) = 0.

Significando lo anterior que f(t) = 0, t es un cero de f(x).

La situacion descrita en el teorema anterior conduce a una generalizacionque se expresa mediante el siguiente corolario.

Corolario. Sea E una extension de F . Un polinomio no nulo f(x) de F [ x ]de grado n tiene a lo mas n ceros en E.

Demostracion. Si t1 es un cero de f(x), entonces

f(x) = (x− t1)q1(x),donde el grado de q1(x) es n − 1. Si continuamos el proceso se llega a laigualdad,

f(x) = (x− t1)(x− t2) · · · (x− tr)qr(x)donde t1, t2 . . . tr son ceros de f(x) y qr(x) no tiene mas ceros. Indudable-mente r ≤ n. Tambien, si c ≤ ti, (1 ≤ i ≤ r), c en E, se puede escribir

f(c) = (c− t1)(c− t2) · · · (c− tr)qr(x) �= 0.

Como E no tiene divisores de cero y (c−ti) �= 0 (por construccion) los unicosceros de f(x) son t1, t2, . . . , tr, (r ≤ n).

Teorema 5.4.3. Sea E una extension de F . f(x) en F [ x ] de grado 2 o 3.f(x) es reducible sobre F si y solo si tiene un cero en E.

Demostracion. Como f(x) es reducible, existen polinomios g(x), h(x) enF [ x ] de grado menor que el de f(x) tales que, f(x) = g(x)h(x). Comoel grado de f(x) es 2 o 3, entonces alguno de los dos g(x) o h(x) es de grado1. Supongamos que g(x) es de grado 1, entonces g(x) es de la forma x − t,excepto por un posible factor en F , luego g(t) = 0, y por tanto f(t) = 0, esdecir f(x) tiene un cero.


El teorema 5.4.2 asegura que si f(t) = 0, t en E, entonces x − t es unfactor de f(x), por lo que se afirma que f(x) es reducible.

Los dos proximos teoremas son de prima importancia porque permitencaracterizar los elementos algebraicos y trascendentes. Muestran ademas lautilidad del homomorfismo φt.

Teorema 5.4.4. Sea E una extension de F, t en E, sea φt el homomorfismodescrito anteriormente, t es trascendente si y solo si φt es uno a uno.

Demostracion. Decir que t es trascendente equivale a afirmar que f(t) esdiferente de cero para todo polinomio no constante f(x) en F [ x ], afirmacionequivalente a decir que el nucleo de φt es {0} y esta ultima equivale a asegurarque φt es uno a uno.

Teorema 5.4.5. Sea E una extension de F . Si t ∈ E, t �= 0 es algebraicosobre F , existe un polinomio irreducible p(x) en F [ x ] tal que p(t) = 0, p(x)esta unıvocamente determinado salvo un factor constante de F y es de gradomınimo ≥ 1 en F [ x ] y tiene a t como cero. Si f(t) = 0, para f(x) �= 0 unpolinomio de F [ x ], entonces p(x) divide a f(x).

Demostracion. Sea φt el homomorfismo de F [ x ] −→ E. El nucleo de φt esun ideal principal generado por algun polinomio monico p(x) de F [ x ]. SeaN =

(p(x)

). N consiste en aquellos elementos de F [ x ] que tienen a t como

cero esto es, si f(t) = 0, para f(x) �= 0, entonces f(x) pertenece a N , luegop(x) divide a f(x). Indudablemente p(x) es un polinomio de grado mınimomayor o igual a 1 que tiene a t como cero, y cualquier otro polinomio delmismo grado que p(x) que tenga a t como cero debe ser de la forma ap(x)para algun a en F . Si p(x) = r(x)q(x) es una descomposicion de p(x) enpolinomios de grado menor, entonces si p(t) = 0 se obtiene r(t)q(t) = 0, esdecir r(t) = 0 o q(t) = 0, contradiciendo el hecho de ser p(x) de grado mınimomayor o igual a 1 tal que p(t) = 0 y en consecuencia p(x) es irreducible.

Definicion 5.4.3. Sea E una extension de F, t ∈ E algebraico sobre F . Elpolinomio monico unico p(x) que satisface las condiciones del teorema 5.4.5es el polinomio monico irreducible para t sobre F . Se nota irr(t, F ). El gradode irr(t, F ) es el grado de t sobre F y se nota gr(t, F ).

Sean E una extension de F, t ∈ E, φt el homomorfismo de F [ x ] −→ Edefinido anteriormente. Analicemos lo que sucede con la imagen directa deF [ x ]. Debido a que las operaciones de suma y producto definidas en F [ x ]


son identicas a las definidas en(F [ x ]

)φt es decir, f(x) + g(x), f(x)g(x),

se realizan de manera semejante a f(t) + g(t), f(t)g(t), es tarea de rutinademostrar que

(F [ x ]

)φt es un dominio de enteros, comprobacion que dejamos

al cuidado el estudiante. Para ilustrar veamos que es cerrado para la suma yel producto esto es, si se toman m > n(

f(x))φt = a0 + a1t+ · · ·+ ant

n

(g(x)

)φt = b0 + b1t+ · · ·+ bmt

m

f(x)φt + g(x)φt = (a0 + b0) + (a1 + b1)t+ · · ·+ (an + bn)tn + · · ·+ bmtm

[f(x)φt

][g(x)φt

]=

m+n∑k=0

(∑i+j=k

aibjtk

).

Son elementos de (F [ x ])φt.Finalmente veamos que todo elemento diferente de cero tiene su inverso.

Sea

f(t) = a0 + a1t+ · · ·+ antn �= 0

lo que significa que

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn

es un polinomio no nulo. Si t es algebraico sobre F, existe un polinomioirreducible p(x) de grado mınimo en F [ x ] tal que p(t) = 0. Por el teoremaanterior, como f(x) no es nulo, p(x) no divide a f(x) ya que por hipotesis,f(t) �= 0.

Por ser p(x) irreducible, 1 es un maximo comun divisor entre p(x) y f(x)esto es, existen polinomios r(x), s(x) tales que

1 = p(x)r(x) + f(x)s(x)

y de aquı se deriva,

1 = p(t)r(t) + f(t)s(t).


Pero p(t) = 0, entonces, 1 = f(t)s(t), lo que indica que el inverso de f(t)es s(t). Lo anterior induce a concluir que

(F [ x ]

)φt es un campo y en con-

secuencia es un subcampo de E, denominado el campo por adjuncion de ta F y se nota F (t). Se deja al cuidado del estudiante demostrar que es lainterseccion de todos los subcampos de E que contienen a t y a F . Por estarazon se dice que es el menor de los subcampos que contienen a t y a F .

Como t es algebraico sobre F el nucleo de φt es N =(irr(t, F )

), el ideal

generado por irr(t, F ), que en este caso es un ideal maximal de F [ x ] y porconsiguiente, de acuerdo con el teorema 4.7.4, el anillo cociente F [ x ]/N esun campo isomorfo a F (t).

Si t es trascendente sobre F,(F [ x ]

)φt no es un campo, pero es un dominio

de enteros que denotaremos F [ t ], en este caso E contiene un campo decocientes de F [ t ] esto es, un campo de la forma {p(t)/q(t)}, con q(t) �= 0,p(t) y q(t) en

(F [ x ]

)φt y es indudablemente el menor subcampo de E que

contiene tanto a t como a F . (Demostrarlo). Lo notamos igualmente F (t).

Definicion 5.4.4. Una extension E de F se dice simple si existe t en F talque F (t) = E.

A continuacion se pretende dar algun sentido al campo F (t) cuando t esalgebraico sobre F , comprobando que todo elemento b de F (t) puede serexpresado de manera unica por la igualdad:

b = b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1.

En efecto, sean E una extension simple del campo F, F (t) =(F [ x ]

)φt con t

algebraico sobre F . Los elementos de F (t) son polinomios en t con coeficientesen F esto es,

f(x)φt = f(t) = c0 + c1t+ · · ·+ crtr.

Sea p(x) el polinomio monico irreducible para t sobre F , p(x) = irr(t, F ), alque suponemos de grado n ≥ 1,

p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ xn, ai ∈ F.Como p(t) = 0

a0 + a1t+ · · ·+ tn = 0.

Despejando tn se escribe,

tn = −an−1tn−1 − an−2t

n−2 − · · · − a1t− a0.


Esta expresion puede usarse para representar a tm (m ≥ n), como una com-binacion de potencias de t menores o iguales a (n− 1) por ejemplo,

tn+1 = t× n = −an−1tn − an−2t

n−1 − · · · − a1t2 − a0t.

Igualdad obtenida por reemplazo de tn. Continuando el proceso, mediante eluso de la induccion matematica, se puede obtener tm como una combinacionde los elementos 1, t, . . . , tn−1, lo que quiere decir que si b pertenece a F (t)puede escribirse en la forma

b = b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1.

Ademas esta escritura es unica. Si

b = b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1

= d0 + d1t+ · · ·+ dn−1tn−1

con, bi, di elementos de F se obtiene,

(b0 − d0) + (b1 − d1)t+ · · ·+ (bn−1 − dn−1)tn−1 = 0.

De esta igualdad se deduce la existencia de un polinomio g(x) en F [ x ] degrado (n − 1), tal que g(t) = 0. Como irr(t, F ) es el polinomio de gradomınimo en F [ x ] que tiene a t como cero se deduce que g(x) = 0, por tanto(bi− di) = 0, de donde bi = di, estableciendose la unicidad de la escritura deb.

Considerese el conjunto formado por las combinaciones de las (n − 1)primeras potencias de t esto es,

Ft = {b0 + b1t+ · · ·+ bn−1tn−1, bi ∈ F}.

Ft es indudablemente un campo. La demostracion como se habıa dicho corres-ponde a esa clase de comprobaciones faciles pero tediosas de alguna ocurren-cia en los polinomios. En realidad es identica a la realizada para el campo F (t)y se cree que cualquier persona capaz de realizar una esta en condicion de de-sarrollar ambas. Sin embargo es conveniente que el estudiante la efectue paraafianzar su destreza. Por definicion de Ft se observa que Ft ⊆ F (t). AdemasFt contiene a F y a t, luego F (t) ⊆ Ft y en consecuencia Ft = F (t). Ahora escorrecto afirmar que F (t) esta generado por las potencias de t menores queel grado de irr(t, F ).


Por la forma de construirlo, F (t) es una extension simple de F . Si t esalgebraico, F (t) se denomina una extension algebraica. En caso contrario sedice trascendente.

Si t es trascendente, se dijo que F (t) contiene a F, t y todos los cocientesp(t)/q(t), q(t) �= 0.

Para los dominios F [ x ], F [ t ], la correspondencia φ : F [ x ] −→ F [ t ]descrita por f(x)φ = f(t) es un isomorfismo.

Supongamos que f(t) = g(t), entonces

a0 + a1x+ · · ·+ amxm = b0 + b1x+ · · ·+ bnx

n

necesariamente m = n y ai = bi.

Si ocurriera que m �= n o ai �= bi para algun i, f(t) − g(t) serıa unpolinomio h(t) con coeficientes en F no todos nulos. Pero al ser f(t) igual ag(t), se tendrıa que h(t) = 0, contradiciendo el hecho de ser t trascendente.

Igualmente, para todo f(t) existe f(x) tal que f(x)φ = f(t).

Por la forma de operar,(f(x) + g(x)

)φ = f(x)φ+ g(x)φ

[f(x)g(x)

]φ =

[f(x)φ

][g(x)φ

].

Este isomorfismo se puede hacer extensivo a los correspondientes cocientesası, [

f(x)/g(x)]φ = f(t)/g(t).

Se ha establecido un isomorfismo entre los campos F (x) y F (t), donde F (x)es el campo de las funciones racionales en la indeterminada x con coeficientesen F esto es,

F (x) = {p(x)/q(x) | q(x) �= 0, p(x), q(x) en F [ x ]}.Finalmente supongamos que F (t) y F (u) son dos extensiones algebraicassimples del campo F engendradas por irr(t, F ) e irr(u, F ) respectivamente.La funcion φ : F (t) −→ F (u) dada por f(t)φ = f(u) es un isomorfismo.

Si f(u) = g(u), f(u) − g(u) = 0. Por el teorema 5.4.5 p(x) divide af(x) − g(x) o sea, f(x) − g(x) = p(x)(q(x). Luego f(t) − g(t) = p(t)(q(t),pero p(t) = 0, lo que significa que f(t)− g(t) = 0 es decir, f(t) = g(t).


Ademas φ es sobre, y al ser semejantes las formas de operar en amboscampos, se verifican las propiedades caracterısticas de los isomorfismos. F (t)es entonces isomorfo a F (u).

El isomorfismo anterior indica que dos ceros cualesquiera de un polinomioirreducible p(x) tienen iguales propiedades algebraicas y que todas las pro-piedades algebraicas de un cero pueden derivarse del polinomio irreducibleque satisfacen.

El polinomio de Z3

p(x) = x2 + 2x+ 2

no tiene ceros en Z3 ya que

p(0) = 0 + 0 + 2 = 2,

p(1) = 1 + 2 + 2 = 2,

p(2) = 1 + 1 + 2 = 1.

Por lo tanto es irreducible en Z3. Pero se sabe que existe una extension E deZ3, t en E tal que p(t) es cero, esto es,

t2 + 2t+ 2 = 0.

Despesjando y teniendo en cuenta que el inverso aditivo de 2 en Z3 es 1,

t2 = −2t− 2 = t+ 1.

F (t) tiene entonces la forma

F (t) = {ai + ajt | ai, aj en Z3}.

Observe que no aparecen terminos en t2. Por calculo directo se obtiene,

F (t) = Z3[ t ] = {0, 1, 2, t, 2t, 1 + t, 2 + 2t, 1 + 2t, 2 + t}.

Excepto el 0, que es su propio inverso, los demas elementos se agruparon porparejas, escribiendo cada uno junto a su inverso aditivo. Es facil verificar laexistencia de los inversos multiplicativos.


Teniendo en cuenta que t2 = t+ 1, veamos por ejemplo:

(1 + t)(2 + 2t) = 2 + 2t+ 2t+ 2t2

= 2t2 + t+ 2

= 2(t+ 1) + t+ 2

= 2t+ 2 + t+ 2

= (2 + 2) + (2 + 1)t

= 1 + 0t

= 1.

Las tablas de la suma y el producto se escriben a continuacion.

+ 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t0 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t1 1 2 0 1 + t 1 + 2t 2 + t 2t 2 + 2t t2 2 0 1 2 + t 2 + 2t t 1 + 2t 2t 1 + tt t 1 + t 2 + t 2t 0 1 + 2t 2 1 2 + 2t2t 2t 1 + 2t 2 + 2t 0 t 1 2 + t 1 + t 2

1 + t 1 + t 2 + t t 1 + 2t 1 2 + 2t 0 2 2t2 + 2t 2 + 2t 2t 1 + 2t 2 2 + t 0 1 + t t 11 + 2t 1 + 2t 2 + 2t 2t 1 1 + t 2 t 2 + t 02 + t 2 + t t 1 + t 2 + 2t 2 2t 1 0 1 + 2t

* 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t2 0 2 1 2t t 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2tt 0 t 2t 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t 2 12t 0 2t t 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t 1 2

1 + t 0 1 + t 2 + 2t 1 + 2t 2 + t 2 1 2t t2 + 2t 0 2 + 2t 1 + t 2 + t 1 + 2t 1 2 t 2t1 + 2t 0 1 + 2t 2 + t 2 1 2t t 2 + 2t 1 + t2 + t 0 2 + t 1 + 2t 1 2 t 2t 1 + t 2 + 2t

Figura 5.1


Con el siguiente ejemplo, veremos que los complejos son generados sobre losreales por los ceros i, −i del polinomio x2 + 1. Existe por tanto un automor-fismo de los complejos que envıa i en −i o a+ bi en su conjugado a− bi.Ejemplo 5.4.2. Los complejos son generados sobre los reales por los cerosi, −i del polinomio x2 + 1.

Solucion. En los reales el polinomio f(x) = x2 + 1 es irreducible. Si N esel ideal generado por f(x), R[ x ]/N es un campo, existe entonces t en dichocampo, un cero de f(x). Sea t = x+N .

t2 + 1 = (x+N)2 + 1

= x2 +N + 1

= (x2 + 1) +N.

Pero (x2 + 1) ∈ N , entonces

(x2 + 1) +N = N

= 0,

indicando que t es un cero de x2 + 1.

F (t) = {ai + ajt | ai, aj ∈ R, t2 + 1 = 0 o t2 = −1}.

Sumando y multiplicando se obtienen las igualdades,

(ai + ajt) + (ak + alt) = (ai + ak) + (aj + al)t

= am + ant

(ai + ajt)(ak + alt) = aiak + (aial + ajak)t+ ajalt2

= (aiak − ajal) + (aial + ajak)t

= aq + art.

Observese que t actua como i, entonces, a+ bt realiza las funciones de a+ bi,indicando que F (t) es isomorfo a los complejos.

Con un razonamiento similar, si u es un cero de x2 + 1, y

F (u) = {ai − aju | ai, aj son reales y u2 = −1}.


La suma y el producto de dos elementos (ai − aju), (ak − alu) de F (u)tienen respectivamente la forma (as − atu) y (av − awu), lo que es facil decomprobar realizando las operaciones y efectuando los reemplazos necesarios.En este caso u actua como −i. Como ya se habıa dicho F (t) es isomorfo aF (u).

EJERCICIOS

1. Demostrar que f(x) = x2 + 7x+ 2 es irreducible en Q.

2. Demostrar que f(x) = x2 − 5 es irreducible en Q.

3. Demostrar que f(x) = x4 − 2x2 + 8x+ 1 es irreducible en Q

4. Demostrar que f(x) = x3 + 3x+ 2 es irreducible en Z5.

5. Sean F un campo, t �= 0 un cero de f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn en

F [ x ] entonces 1/t es un cero de g(x) = an + an−1x+ · · ·+ a0xn.

6. Sea E una extension de F . Demostrar que si t es trascendente sobreF , F [ x ]φt no es un campo, pero es un dominio de enteros denotadoF [ t ]. Ademas E contiene un campo de cocientes de F [ t ] esto es, uncampo de la forma {p(t)/q(t) | q(t) �= 0, p(t), q(t) ∈ F [ x ]φt} y esindudablemente el menor subcampo de E que contiene tanto a t comoa F .

7. Demostrar que cada uno de los complejos t dados es algebraico sobreQ, hallando f(x) en Q[ x ] tal que f(t) = 0. Halle ademas irr(t,Q) ygr(t,Q)

a) 1 +√

3.

b) 1 + i.

c)√

2 +√

3.

8. Demostrar que el polinomio x2 + 1 es irreducible sobre Z3.

9. Sea t un cero de x2 +1, en una extension de Z3. Confeccionar las tablasde la suma y el producto para los nueve elementos de Z3(t). Escrıbalosen el mismo orden en que aparecen en el ejemplo y compare las tablasrespectivas.


10. Use el teorema de Fermat para hallar los ceros en Z5 de

2x219 + 3x74 + 2x57 + 3x44.

5.5. El Dominio de Factorizacion Unica D[ x ]

Dado un dominio de factorizacion unica D se puede construir su campode cocientes F . El anillo F [ x ] es al menos un dominio de factorizacion unica.La idea es ver que cualquier polinomio de D[ x ] se puede factorizar siempre ycuando sea posible hacerlo en F [ x ]. Para el efecto habra necesidad de saberque sucede en D[ x ] con los irreducibles de F [ x ].

Definicion 5.5.1. Sea D un dominio de factorizacion unica. Un polinomiono constante f(x) = a0 + a1x + · · · + anx

n de D[ x ] se denomina primitivosi los unicos divisores comunes de los coeficientes ai, 0 ≤ i ≤ n son lasunidades de D.

En Z[ x ] el polinomio 3x2 +4x+6 es primitivo porque el unico divisor comuna 3, 4 y 6 es 1. En cambio 2x+ 10 no lo es porque 2, es un divisor comun a2, 10 y 2 no es una unidad en Z.

Teorema 5.5.1. Si D es un dominio de factorizacion unica, entonces paracualquier polinomio no constante f(x) en D[ x ] existen c en D, h(x) primitivoen D[ x ] tales que f(x) = ch(x), c y h(x) son unicos excepto por factoresunidades de D. El elemento c se denomina el contenido o factor contingentede f(x).

Demostracion. Sea f(x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn un polinomio del dominio de

factorizacion unica D[ x ]. Sea g = (a0, a1, . . . , an) un maximo comun divisorde todos los coeficientes de f(x). Los asociados de g son tambien maximoscomunes divisores de todos los coeficientes de f(x), entonces para u unaunidad de D, ug = (a0, a1, . . . , an).

De esta igualdad se deduce que u = (a0/g, a1/g, . . . , an/g) y en conse-cuencia el polinomio h(x) = a0/g + (a1/g)x+ · · ·+ (an/g)x

n es primitivo deD[ x ] ya que los divisores comunes de sus coeficientes son unidades de D, yde aquı se concluye que f(x) = gh(x). Escoja c = g y entonces f(x) = ch(x).

Supongamos que f(x) = dh1(x), d en D, h1(x) un polinomio primitivode D[ x ], entonces cada factor primo de c dividira a d y recıprocamente cadafactor primo de d dividira a c.

5.5. EL DOMINIO DE FACTORIZACION UNICA D[X ] 231

Como ch(x) = dh1(x), cancelando factores primos comunes a c y d, seobtiene uh(x) = vh1(x). Como u es una unidad de D, v tambien debe serlo,porque de no ser ası se podrıan cancelar factores primos entre u y d, lo queno es posible. Como u, v son unidades de D, c es unico excepto por factoresunidades. La igualdad f(x) = ch(x) sugiere que el polinomio primitivo h(x)tambien es unico excepto por factores unidades.

Teorema 5.5.2. Si D es un dominio de factorizacion unica, el producto dedos polinomios primitivos de D[ x ] es primitivo.

Demostracion. Sean,

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn,

g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm

polinomios primitivos de D[ x ]. Tomese h(x) = f(x)g(x) y supongase queh(x) no es primitivo. En estas circunstancias todos los coeficientes de h(x)deben ser divisibles por algun elemento de D distinto de 1 y por consiguientepor algun irreducible p en D. Como f(x) y g(x) son primitivos, p no dividea algunos de los ai ni a algunos de los bj . Sea ar el primer coeficiente de f(x)al que p no divide esto es p divide a ai para i < r, pero p no divide a ar.

Similarmente, sea bs el primer coeficiente de g(x) al que p no divide o seap divide a bj para j < s, pero p no divide a bs. El coeficiente de xr+s en h(x)es,

cr+s = (a0br+s + · · ·+ ar−1bs+1) + arbs+1 + (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0).

Por hipotesis, p divide a cr+s. Ademas, dado que p divide a ai para i < r, y pdivide a bj siempre que j < s implica que p divide a (a0br+s+· · ·+ar−1bs+1) yp divide a (ar+1bs−1 + · · ·+ ar+sb0), entonces necesariamente p debe dividir aarbs, lo cual resulta imposible porque p no divide ni a ar ni a bs concluyendoseque h(x) debe ser primitivo.

Del anterior teorema se pueden extraer los dos corolarios que siguen,

Corolario. SiD es un dominio de factorizacion unica y si f(x), g(x) pertene-cen a D[ x ], entonces el contenido del producto f(x)g(x) es igual al productode los contenidos de f(x) y g(x).


Demostracion. Si c y d son respectivamente los contenidos de f(x) y g(x),existen polinomios primitivos h(x), h1(x) en D[ x ] tales que f(x) = ch(x),g(x) = dh1(x), entonces

f(x)g(x) = cdh(x)h1(x).

Pero h(x)h1(x) es un polinomio primitivo, luego el contenido de f(x)g(x) escd.

Igual cosa sucede para un numero finito de polinomios.Usando induccion matematica se demuestra el siguiente corolario.

Corolario. Si D es un dominio de factorizacion unica, el producto de unnumero finito de polinomios primitivos es primitivo.

Para un dominio de factorizacion unica D y su correspondiente campode cocientes F, los irreducibles de D[ x ] son los irreducibles de D junto conlos polinomios primitivos no constantes que son irreducibles en F [ x ]. Estasituacion se describe en el siguiente teorema.

Teorema 5.5.3. Sean D un dominio de factorizacion unica, F un campo decocientes de D, f(x) un polinomio no constante de D[ x ] de grado n. Si f(x)es irreducible en D[ x ] tambien lo es en F [ x ]. Si f(x) es primitivo en D[ x ]e irreducible en F [ x ] es irreducible en D[ x ].

Demostracion. Sea f(x) un polinomio no constante de D[ x ] de grado n. Sif(x) es reducible sobre F esto es, factorizable en polinomios de F [ x ] degrado menor r, s, donde r + s = n, existen polinomios f1(x), f2(x) en F [ x ]tales que f(x) = f1(x)f2(x).

Como F es un campo de cocientes de D.

f1(x) = a0/b0 + (a1/b1)x+ · · ·+ (ar/br)xr

Con ai, bi en D, bi �= 0

f2(x) = c0/d0 + (c1/d1)x+ · · ·+ (cs/ds)xs.

Con cj, dj en D, dj �= 0.

f1(x) = (1/b)(v0 + v1x+ · · ·+ vrxr) = (1/b)f3(x)


f2(x) = (1/d)(w0 + w1x+ · · ·+ wsxs) = (1/d)f4(x)

donde vi, wj son “enteros” esto es, elementos de D, y b = b0b1b2 · · · br,d = d0d1d2 · · ·ds

Reemplazando se demuestra que f(x) = (1/b)(1/d)f3(x)f4(x), teniendopresente que f3(x), f4(x) son polinomios de D[ x ] de grados r, s respectiva-mente. Eliminando denominadores se concluye que

ef(x) = f3(x)f4(x), e = bd.

Pero existen polinomios primitivos h(x), h3(x), h4(x) en D[ x ] y c, c3, c4en D tales que

f(x) = ch(x)

f3(x) = c3h3(x)

f4(x) = c4h4(x).

Ahora,

ef(x) = ech(x)

= f3(x)f4(x)

= c3c4h3(x)h4(x).

Existe una unidad u en D tal que c3c4 = ecu, entonces

ech(x) = ecuh3(x)h4(x)

o sea,

ch(x) = cuh3(x)h4(x).

Reemplazando se deduce la igualdad

f(x) = cuh3(x)h4(x).

Donde h3(x), h4(x) son de grado r, s respectivamente, c, u pertenecen aD. Se ha demostrado que si f(x) tiene una factorizacion no trivial en F [ x ]tambien tiene una factorizacion no trivial en D[ x ] o equivalentemente, sif(x) es irreducible en D[ x ] tambien lo es en F [ x ].

Como D[ x ] es un subconjunto de F [ x ], entonces cualquier polinomio noconstante f(x) en D[ x ] que sea primitivo en D[ x ] e irreducible en F [ x ]debe tambien ser irreducible en D[ x ].


Una consecuencia del teorema anterior es la proposicion que se enunciacomo el siguiente corolario.

Corolario. Si D es un dominio de factorizacion unica, F un campo de co-cientes deD, entonces un polinomio no constante f(x) enD[ x ] es el productode dos polinomios de menor grado en F [ x ] si y solo si es el producto de dospolinomios del mismo grado en D[ x ].

Demostracion. En la demostracion anterior se partio del hecho de factorizara f(x) como el producto de dos polinomios de grados r, s en F [ x ] y secomprobo que f(x) se podıa escribir como el producto de dos polinomios delmismo grado en D[ x ]. El recıproco es obvio ya que D[ x ] es un subconjuntode F [ x ], completandose ası la demostracion.

Como un caso particular del anterior corolario se afirma que si D es elconjunto de los enteros, D[ x ] es el anillo de los polinomios con coeficientesenteros Z[ x ], F es el campo de los racionales y F [ x ] es Q[ x ], entoncesun polinomio no constante de Z[ x ] se puede expresar como el producto dedos polinomios de menor grado en Q[ x ] si y solo si tiene una factorizacionsemejante con polinomios del mismo grado en Z[ x ] o expresado en otrosterminos: Si un polinomio entero monico se factoriza como el producto dedos polinomios no constantes de coeficientes racionales entonces se expresacomo el producto de dos polinomios enteros monicos y recıprocamente.

De esta ultima afirmacion se puede derivar la siguiente: Sea

f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ xn, a0 �= 0

un polinomio monico con coeficientes enteros. Si f(x) tiene un cero racionalt entonces tiene un cero entero r y ademas r divide a a0.

En efecto, si f(x) tiene un cero racional t, se puede escribir mediante laigualdad f(x) = (x − t)q(x), donde q(x) ∈ Q[ x ] y es de grado (n − 1). Esentonces posible escribir a f(x) como el producto de dos polinomios enterosdel mismo grado, luego existe r en Z tal que,

f(x = (x− r)(a0/r + · · ·+ xn−1),

con a0/r en Z y en consecuencia a0 divide a r.

Ejemplo 5.5.1. Demostrar que x2 − 11 es irreducible sobre Q


Solucion. Decir que t es un cero de x2 − 11 significa que t2 − 11 = 0. Perosi el valor absoluto de t es mayor o igual a 4, t2 − 11 es positivo. Si el valorabsoluto de t es menor o igual a 3, t2−11 es negativo. Lo anterior significa quela igualdad, t2 − 11 = 0 no es posible para ningun t, concluyendose entoncesque x2 − 11 no tiene ceros enteros, luego tampoco tiene ceros racionales ypor lo tanto no es posible factorizarlo como (x− t)q(x), con t un racional, esdecir es irreducible.

Ejemplo 5.5.2. Demostrar que el polinomio x3 + 2x2 + x− 5 es irreduciblesobre Q

Solucion. Si f(x) tiene un factor lineal en Q, tambien tiene un cero en Zy este cero debe dividir a −5. Los posibles divisores de −5 son 1 y 5 yninguno de ellos es un cero de dicho polinomio. Si uno de los factores fueracuadratico el otro debıa ser lineal, pero esto es imposible. En conclusion f(x)es irreducible.

El criterio de Eisenstein permite comprobar la irreducibilidad de polino-mios en Q. Su enunciado se expresa como sigue.

Teorema 5.5.4. Sea f(x) = a0+a1x+· · ·+anxn un polinomio con coeficien-

tes enteros. Sea p un primo tal que p divide a ai ( 0 ≤ i ≤ n−1), p no dividea an, p2 no divide a a0. Entonces f(x) es irreducible sobre los racionales.

Demostracion. Si es posible la factorizacion de f(x) como el producto dedos polinomios con coeficientes racionales, es posible factorizarlo como elproducto de dos polinomios con coeficientes enteros.

Supongamos que f(x) es reducible, entonces

f(x) = g(x)h(x) = (b0 + b1x+ · · ·+ brxr)(c0 + c1x+ · · ·+ csx

s)

con r + s = n, bi, cj enteros.Desarrollando el producto se observa que a0 = b0c0. El hecho de p dividir

a a0 implica que p divide a b0 o p divide a c0, pero no a ambos, ya que p2 nodivide a a0.

Supongamos que p divide a b0 entonces no divide a c0.Si p dividiera a cada uno de los bi, (0 ≤ i ≤ r), se tuviera que p fuera un

factor de cada uno de los coeficientes de f(x) y entonces p debıa dividir aan lo que es falso por hipotesis, significando que p no divide a algunos de los


bi. Sea bk el primero de los coeficientes de g(x) no divisibles por p esto es, pdivide a bi (0 ≤ i ≤ k) y p no divide a bk.

Peroak = bkc0 + bk−1c1 + · · ·+ b0ck.

Como p divide a ak necesariamente p divide a bkc0 pero por hipotesis p nodivide a bk ni a c0, luego no debe dividir a bkc0 lo cual es una contradiccion yen conclusion la supuesta factorizacion de f(x) no es posible y necesariamentedebe ser irreducible sobre Q.

Ejemplo 5.5.3. Demostrar que el polinomio 7x4− 15x3 + 10x2 + 5x− 35 esirreducible sobre los racionales.

Solucion. Tome p = 5 y aplique el criterio de Eisenstein.

A continuacion se procede a demostrar que D[ x ] es un dominio de fac-torizacion unica.

Teorema 5.5.5. Si D es un dominio de factorizacion unica, D[ x ] tambienlo es, o equivalentemente D[ x ] es un dominio de factorizacion unica siemprey cuando D lo sea.

Demostracion. Sea D un dominio de factorizacion unica, F un campo decocientes deD, f(x) un polinomio deD[ x ] de grado n. f(x) se puede expresarcomo el producto de un numero finito de polinomios irreducibles en F [ x ] concoeficientes en F , entonces,

f(x) = p1(x)p2(x) · · · pr(x).

Todos los coeficientes de los polinomios de la descomposicion factorial de f(x)se pueden expresar como cocientes de elementos de D es decir, elementos dela forma a/b, b �= 0. Simplificando los denominadores se llega a la igualdad

df(x) = q1(x)q2(x) · · · qr(x)con d ∈ D, qi(x) ∈ D[ x ] esto es, los coeficientes de dichos polinomios sontodos “enteros” o dicho con otros vocablos, elementos de D y el grado deqi(x) es igual al de pi(x). Ademas cada uno de los qi(x) es irreducible. Tam-bien f(x) = cg(x) y qi(x) = cigi(x), con g(x) y gi(x) polinomios primitivos.Entonces

dcg(x) = (c1c2 · · · cr)g1(x)g2(x) · · · gr(x).


Pero g1(x)g2(x) · · · gr(x) es primitivo e irreducible en F [ x ] y c1c2 · · · cr = dcupara alguna unidad u de D. Se puede por tanto escribir

dcg(x) = dcug1(x)g2(x) · · · gr(x)

g1(x), g2(x), . . . , gr(x) son irreducibles en D[ x ] dado que son primitivose irreducibles en F [ x ] por construccion. Ademas cu puede ser factorizadocomo el producto de irreducibles en D.

En conclusion, f(x) se ha factorizado como el producto de irreducibles enD[ x ].

Dado que el grado de f(x) es n, una representacion de f(x) como elproducto de irreducibles sobre D[ x ] constantes o no, no es otra cosa que larepresentacion como el producto de unidades de F y polinomios irreduciblesde F [ x ]. Tales polinomios son unicos en D[ x ] salvo factores unidades. Elproducto de los polinomios irreducibles de grado cero de D[ x ] (constantes deD) que aparecen en la fatorizacion de f(x) es el contenido de dicho polinomio,que es unico salvo el orden y asociados.

Se concluye que D[ x ] es un dominio de factorizacion unica.

EJERCICIOS

1. Exprese cada uno de los siguientes polinomios como el producto de sucontenido con un polinomio primitivo.

a) 15x4 − 9x3 + 21x− 12 en Z[ x ].

b) 10x3 + 5x2 − 15x+ 30 en Z[ x ].

c) 18x2 − 12x+ 48 en Q[ x ].

d) 3x2 − 4x+ 6 en Z7[ x ].

2. Factorizar el polinomio 2x2 + 2x+ 3 en Z7[ x ].

3. Sean D un dominio de enteros, p un irreducible de D y [ p ] el conjuntode todos los asociados de p en D. Demostrar que si p, q son irreduciblesen D tales que [ p ] ∩ [ q ] �= ∅, entonces [ p ] = [ q ].

4. Si D es un dominio de factorizacion unica. Describa los irreduciblesde D[ x ] en terminos de los irreducibles de D y de los irreducibles deF [ x ], donde F es un campo de cocientes de D.


5. Tomando las definiciones de divisibilidad, unidad, asociado, irreducibley dominio de factorizacion unica dadas para los dominios de enteros yadecuandolas a los anillos conmutativos con elemento unitario discutalas factorizaciones en irreducibles de Z + Z. Discuta en particular lafactorizacion de (1, 0).

6. Si D es un dominio de factorizacion unica, demostrar que un divisor noconstante de un polinomio primitivo deD[ x ] es un polinomio primitivo.

7. Demostrar que en un dominio de ideales principales, cada ideal esta con-tenido en un ideal maximal.

8. Factorizar x6 − y6 en irreducibles de Q[ x ] y compruebe que cada unode ellos es irreducible.

9. Se demostro que si D es un dominio de factorizacion unica con un cam-po de cocientes F , un irreducible f(x) de D[ x ] es tambien irreducibleen F [ x ]. Mostrar con un ejemplo que si g(x) ∈ D[ x ] es un irreduciblede F [ x ] no necesariamente debe ser un irreducible de D[ x ].

10. Determinar cuales de los siguientes polinomios en Z[ x ] satisfacen elcriterio de Eisenstein sobre irreducibilidad en los racionales.

a) 4x10 − 9x6 + 24x2 − 6.

b) 3x4 + 14x2 + 35x+ 21.

c) 5x4 + 15x2 + 10x− 15.

d) 5x4 + 3x3 − 6x2 − 9x+ 24.

e) x2 + 2x− 15.

f ) 8x4 + 6x2 − 9x+ 24.

11. Use el criterio de Eisenstein para demostrar que

xp−1 + xp−2 + · · ·+ x2 + x+ 1

donde p es primo, es un polinomio irreducible sobre el campo de losracionales.

12. Demuestre que si p es primo, el polinomio xn − p es irreducible sobreel campo de los racionales.

Capıtulo 6

INTRODUCCION ALALGEBRA GEOMETRICA

6.1. Algebras de Clifford

La geometrıa desarrollada por Euclides como un sistema axiomatico y la ex-presion de las relaciones geometricas usando ecuaciones algebraicas domino elpensamiento matematico hasta el siglo XIX cuando fueron propuestos nue-vos sistemas conocidos como geometrıas no euclidianas. Estas nuevas teorıasse apoyaron en diferentes propiedades algebraicas, por lo que las investiga-ciones se dirigieron a uniformarlas a traves de estructuras con propiedadessemejantes.

El nombre de algebra de Clifford se establecio en honor al matematicoy filosofo ingles William Kingdon Clifford, quien fue uno de los primeros enreconocer la importancia del trabajo de Gunther Grassmann, un profesor desecundaria aleman. Clifford unifico las ideas de Grassmann y Hamilton en untrabajo al que denomino algebras geometricas. Demostro como el algebra delos cuaterniones de Hamilton podıa ser considerada dentro de la estructuraplanteada por Grassmann mediante la introduccion de un nuevo productogeometrico.

El algebra de Clifford fue introducida en la fısica por David Hestenes y suimportancia radica en que mediante su uso se pueden desarrollar las teorıasfısicas dandole significado geometrico a las operaciones e interpretacion fısicaal desarrollo matematico de esta ciencia. Por ejemplo, ayuda a presentar demanera coherente la teorıa de los espinores o multivectores pares del algebra

239

240 CAPITULO 6. ALGEBRA GEOMETRICA

cuando se consideran las variables espacio y tiempo. Su versatilidad consisteen ubicar los tensores y los espinores al mismo nivel, un hecho importante enla teorıa de la relatividad.

Para entender los descubrimientos de Clifford comenzamos examinandobrevemente algunos conceptos de los espacios vectoriales, para introducir elproducto de Clifford ası como el producto externo.

Definicion 6.1.1. Sea F = Δ = {α, β, γ, δ, λ, μ, . . .} un campo. El conjuntoV = {a, b, c, d, . . .} se denomina un espacio lineal o vectorial sobre F , si ysolamente si

1. V es un grupo abeliano.

2. FXV −→ V es una ley de composicion externa tal que V es un grupocon operadores y F es un dominio de operadores distributivo, o sea,

μ(a+ b) = μa+ μb.

3. (λ+ μ)a = λa+ μa.

4. (λμ)a = λ(μa).

5. 1a = a. Donde 1 es el modulo multiplicativo de F .

Note que en (3), el signo + escrito a la izquierda representa la suma delcampo F ; mientras que a la derecha es la suma del espacio V .

6.1.1. Bases y dimension

El concepto de dimension en los reales se usa en forma intutiva. Se dice quelas lıneas son unidimensionales, los planos son bidimensionales, el espacio eu-clidiano es tridimensional y ası sucesivamente. Pero es a traves de los axiomascomo se puede formalizar esta nocion.

Definicion 6.1.2. El vector b se dice que es una combinacion lineal de losvectores a1, a2, . . . , an si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales que

b = λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan.

Un conjunto de vectores {a1, a2, . . . , an} se dice linealmente dependiente,si existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, no todos nulos, tales que

λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = 0.

6.1. ALGEBRAS DE CLIFFORD 241

Se dice que el conjunto {a1, a2, . . . , an} es linealmente independiente si elhecho que

λ1a1 + λ2a2 + · · ·+ λnan = 0

equivale a afirmar que λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.El conjunto {a1, a2, . . . , an} se dice que genera el espacio V , si cada

elemento de V puede ser expresado como una combinacion lineal de elementosde dicho conjunto.

Un conjunto de vectores linealmente independientes que generan el espacioV se denomina una base de V.

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que gene-ran el espacio. En particular, si los elementos de la base son perpendicularesdos a dos la base se denomina ortonormal.

Definicion 6.1.3. Un espacio vectorial diferente de {0} que tiene una basecon n elementos, se dice que es un espacio n-dimensional o simplemente quetiene dimension n.

Para los espacios de dimension finita, el numero de elementos de la baseno es otra cosa que el cardinal de dicho conjunto. En cualquier texto dealgebra lineal se puede leer la demostracion del siguiente teorema.

Teorema 6.1.1. Dado un espacio vectorial V de dimension n.

1. Toda base de V tiene exactamente n elementos.

2. Todo conjunto de vectores linealmente independientes es un subcon-junto de alguna base de V .

3. Cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes forma unabase de V .

Definicion 6.1.4. Sean V , W dos espacios vectoriales sobre el campo F. Sedice que V es isomorfo a W si y solo si existe un isomorfismo φ entre losrespectivos grupos, esto es, para todo a, b en V

(a+ b)φ = aφ+ bφ

y para todo λ en F(λa)φ = λ(aφ).


El espacio de los polinomios de segundo grado con coeficientes reales es iso-morfo con R3. Basta definir φ mediante la igualdad

(λ0 + λ1x+ λ2x2)φ = (λ0, λ1, λ2).

Las operaciones de los espacios vectoriales no son suficientes para abordar lamayorıa de los problemas de la fısica teorica, por lo que se requiere considerarotro tipo de operaciones. Lo primero es dotar los espacios vectoriales de unametrica que permita extender los conceptos de la geometrıa euclidiana. Enprincipio partimos de una metrica con valor real, esto es, una funcion deV XV → R, la cual es viable extender a los complejos.

Definicion 6.1.5. Un producto interno de un espacio vectorial sobre R esuna funcion (·) de V XV → R tal que

1. a · b = b · a, para todo a, b en V .

2. (λa+ μb) · c = λ(a · c) + μ(b · c), para todo a, b en V , λ, μ en R.

3. a · a > 0, si a �= 0.

Particularmente en Rn para a = (x1, x2, . . . , xn), b = (y1, y2, . . . , yn) setiene la igualdad

a · b =

n∑i=1

xiyi.

Definicion 6.1.6. Un espacio vectorial sobre R dotado de un producto in-terno se denomina un espacio euclidiano.

Definicion 6.1.7. En un espacio euclidiano la longitud o norma de un vectora, denominado ‖ a ‖, se define mediante la igualdad

‖ a ‖= √a · a.Definicion 6.1.8. En un espacio euclidiano, dos vectores a, b se dicen orto-gonales o perpendiculares si y solamente si a · b = 0.

Una base se dice ortogonal, si sus elementos son perpendiculares dos a dos.Si ademas, cada uno es un vector unitario, la base se denomina ortonormal.

En un espacio euclidiano siempre es posible, a partir de un vector no nuloa, encontrar un vector unitario b. Este se describe por la igualdad

b =a

‖ a ‖ .


Es facil ver que ‖ b ‖= 1. La situacion anterior permite a partir de unabase ortogonal encontrar una base ortonormal, basta con dividir cada unode los elementos de la base por su respectiva norma. En este punto estamospreparados para introducir el algebra de Clifford.

Partiendo de una base ortonormal cualquiera {e1, e2} en R2, para unvector a = xe1 + ye2

‖ a ‖=√x2 + y2.

Es natural establecer que el producto de a por a, es decir, a2 sea igual alcuadrado de la longitud de a. En sımbolos

a2 =‖ a ‖2 .En otros terminos, se ha establecido un producto que satisface la igualdad

(xe1 + ye2)2 = x2 + y2.

Aplicando las leyes del algebra, excepto la conmutativa, se establece que

(xe1 + ye2)2 = x1

2e12 + xy(e1e2 + e2e1) + y2

2e22

= x2 + y2.

Pero la ultima igualdad se verifica si y solo si

e21 = e22 = 1 y e1e2 = −e2e1,hechos que corresponden a la escogencia de la base.

Para calcular (e1e2)2 se establecen las igualdades

(e1e2)2 = (e1e2)(e1e2)

= e1(e2e1)e2

= e1(−e1e2)e2= −(e1e1)(e2e2)

= −(e1)2(e2)

2

= −(1)(1)

= −1.

El producto e1e2 es un elemento cuyo cuadrado es igual a −1, por lo tantono es un escalar ni un vector. Este producto es una nueva clase de unidad,denominada bivector, representado por el area plana orientada formada porel cuadrado cuyos lados son e1 y e2. Por brevedad se escribe e1e2 = e12 y seconviene en representarlo por e1 ∧ e2.


x

y

e12

e1

e2

Figura 6.1

Observe que al dar un giro de noventa grados en el sentido positivo, los ejescoordenados cambian roles por lo que e2 = −e1 y e1 = e2, obteniendose elproducto e1e2 = e2(−e1) = −e2e1 = −e21.

El conjunto {1, e1, e2, e12} es una base para el algebra de Clifford Cl2del plano vectorial R2. Un elemento A de este algebra viene dado por laigualdad

A = λ0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e12.

Esto es, A es una combinacion lineal de un escalar λ0, un vector (λ1e1 +λ2e2)y un bivector λ3e12.

El algebra de Clifford Cl2 es un espacio lineal 4-dimensional sobre losreales con la siguiente tabla de multiplicar

∗ e1 e2 e12e1 1 e12 e2e2 −e12 1 −e1e12 −e2 e1 −1

Figura 6.2

6.1.2. El producto exterior

Para los propositos del algebra geometrica, el producto exterior provee unaforma de representar bivectores; por lo tanto el resultado del producto ex-terior no es ni un escalar ni un vector. Para dos vectores a = λ1e1 + λ2e2,b = μ1e1 + μ2e2 el producto a ∧ b contiene los siguientes elementos

a ∧ b = (λ1e1 + λ2e2)(μ1e1 + μ2e2)

= λ1μ1(e1)2 + λ1μ2e12 + λ2μ1e21 + λ2μ2(e2)

2

= λ1μ1 + λ1μ2e12 − λ2μ1e12 + λ2μ2

= λ1μ1 + λ2μ2 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12.


Para que el producto tenga sentido es necesario eliminar la parte real, obte-niendose la expresion (λ1μ2 − λ2μ1)e12. Esto permite establecer la siguientedefinicion

Definicion 6.1.9. Dados los vectores a = λ1e1 + λ2e2, b = μ1e1 + μ2e2 elproducto exterior a ∧ b se define mediante la igualdad

a ∧ b = (λ1μ2 − λ2μ1)e12.

El bivector a ∧ b se representa por la region plana conformada por el para-lelogramo de lados a y b. Donde la parte inicial de b se ubica a partir de laparte final de a.

x

y

a ∧ ba

b

Figura 6.3

No se pierde generalidad al suponer que los vertices de dicho paralelogramoson los puntos (0, 0), (λ1, λ2), (λ1 + μ1, λ2 + μ2), (μ1, μ2) el area es igual a lamitad del valor absoluto del determinante formado con las coordenadas delos vertices respectivos, o sea,

1

2

∣∣∣∣∣∣∣∣0 0λ1 λ2

λ1 + μ1 λ2 + μ2

μ1 μ2

∣∣∣∣∣∣∣∣Desarrollando el determinante se obtiene

A =1

2

∣∣∣[0 + λ1(λ2 + μ2) + μ2(λ1 + μ1)− μ1(λ2 + μ2)− λ2(λ1 + μ1)− 0]∣∣∣

=1

2

∣∣∣[λ1λ2 + λ1μ2 + λ1μ2 + μ1μ2 − λ2μ1 − μ1μ2 − λ1λ2 − λ2μ1

]∣∣∣=

1

2

∣∣∣2[λ1μ2 − λ2μ1

]∣∣∣=∣∣λ1μ2 − λ2μ1

∣∣= |a ∧ b|.


Tomando el producto externo b por a

b ∧ a = (μ1λ2 − μ2λ1)e12

= (λ2μ1 − λ1μ2)e12

= −(λ1μ2 − λ2μ1)e12

= −a ∧ b.De acuerdo con la posicion de a y b, los bivectores a∧b, b∧a tienen igual mag-nitud pero sentidos opuestos, este hecho se expresa diciendo que el productoexterior de vectores es anticonmutativo. Ademas, para todo vector a

a ∧ a = 0.

El producto externo es distributivo con respecto a la adicion.Sean a = (λ1e1 + λ2e2), b = (μ1e1 + μ2e2), c = (κ1e1 + κ2e2)

a ∧ (b+ c) = [λ1(μ2 + κ2)− λ2(μ1 + κ1)]e1e2

= [λ1μ2 + λ1κ2 − λ2μ1 − λ2κ1]e1e2

= [(λ1μ2 − λ2μ1) + (λ1κ2 − λ2κ1)]e1e2

= [λ1μ2 − λ2μ1]e1e2 + [λ1κ2 − λ2κ1]e1e2

= a ∧ b+ a ∧ c.

6.1.3. El producto de Clifford

Teniendo en cuenta que al realizar el producto ab se obtiene la igualdad

ab = λ1μ1 + λ2μ2 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12,

y a partir del producto interior

a · b = λ1μ1 + λ2μ2

se establece la definicion

Definicion 6.1.10. Para los vectores a = λ1e1 + λ2e2, b = μ1e1 + μ2e2 elproducto de Clifford ab se define por la igualdad

ab = a · b+ a ∧ b.

6.2. ALGEBRAS DEL PLANO Y EL ESPACIO 247

El producto de Clifford es la combinacion de un escalar y un bivector. Se dapor aceptado que este es asociativo. Esto es, para los vectores a, b, c

a(bc) = (ab)c = abc.

La conmutatividad del producto escalar y la anticonmutatividad del productoexterior implican una relacion entre los productos ab y ba. Esto es,

ba = a · b− a ∧ b.Sumando las anteriores igualdades se obtiene

ab+ ba = 2(a · b).Despejando a · b se llega a

a · b =1

2(ab+ ba).

Por otra parte si restamos estas igualdades y despejamos a ∧ b se concluyeque

a ∧ b =1

2(ab− ba).

Partiendo de los vectores paralelos a = λ1e1 + λ2e2 y b = κλ1e1 + κλ2e2

ab = κ(λ1)2 + κ(λ2)

2 + κ(λ1λ2 − λ1λ2)e12

= κ[(λ1)2 + (λ2)

2]

= ba.

Como en este caso el bivector se anula, ab es un escalar igual a ba y por lotanto se tiene que a ∧ b = 0.

En sıntesis, si a y b son paralelos ab = ba y ademas a ∧ b = 0. Si a y bson perpendiculares a · b = 0, en cuyo caso ab = a ∧ b y por consiguienteab = −ba.

6.2. Algebras geometricas del plano y el

espacio

Considere el espacio bidimensional generado por la base ortonormal {e1, e2}.Teniendo en cuenta que el producto externo de cualquier conjunto de vectores


linealmente dependientes es igual a cero, el elemento de mayor grado que sepuede obtener en este espacio es el bivector e1 ∧ e2.

El algebra del plano, Cl2 es generado por la base {1, e1, e2, e1 ∧ e2}. Cual-quier multivector es una combinacion de elementos de la base. Si e0 = 1,dados los multivectores

A = λ0e0 + λ1e1 + λ2e2 + λ3e1 ∧ e2,B = μ0e0 + μ1e1 + μ2e2 + μ3e1 ∧ e2,

la suma esta dada por

A+B = (λ0 + μ0)e0 + λ1 + μ1)e1 + (λ2 + μ2)e2 + (λ3 + μ3)e1 ∧ e2.De acuerdo con la definicion

e1e2 = e1 · e2 + e1 ∧ e2 = e1 ∧ e2.Por ser perpendiculares, el producto exterior es anticonmutativo,

e2e1 = e2 ∧ e1 = −e1 ∧ e2 = −e1e2.Por otra parte se tiene la igualdad,

(e1e2)2 = −1.

Siempre es posible operar vectores tanto a izquierda como a derecha por elbivector e1 ∧ e2. Por ejemplo, al operar por la izquierda a e1 y e2 se obtiene

(e1 ∧ e2)e1 = (−e2e1)e1 = −e2e1e1 = −e2,(e1 ∧ e2)e2 = (e1e2)e2 = e1e2e2 = e1.

Al operar por la derecha se tiene

e1(e1 ∧ e2) = e1(e1e2) = e1e1e2 = e2,

e2(e1 ∧ e2) = e2(−e2e1) = −e2e2e1 = −e1.Asumiendo que e1, e2 forman un sistema coordenado de mano derecha, sepuede decir que multiplicando un vector a izquierda por e1 ∧ e2 lo rota 90o

en el sentido de las manecillas del reloj o sentido negativo. De igual mane-ra al operar e1 ∧ e2 por la derecha se efectua una rotacion de 90o en sentido


positivo. Si operamos sucesivamente a izquierda o a derecha por e1e2 el resul-tado sera una rotacion de 180o, lo que implica un cambio de sentido, esto esequivalente a multiplicar por −1; lo cual es de esperarse ya que (e1e2)

2 = −1.Por su similitud con la unidad imaginaria de los complejos, a e1 ∧ e2 se

le denomina un seudoescalar y se conviene en representarlo con I. Ahoraes obvia la relacion existente entre el algebra de los complejos y el algebrageometrica bidimensional. La combinacion de un escalar con un bivectorpuede asimilarse a un complejo mediante la igualdad

Z = λ+ μe1e2 = λ+ Iμ.

Es necesario aclarar que mientras los complejos sirven para generar rotacionesy dilataciones mediante su descomposicion polar e igualmente representanvectores en el plano complejo, en el algebra geometrica Cl2 los complejos sonsumas de escalares con bivectores y por su parte los vectores son elementosde grado uno, esto es, son combinaciones lineales de elementos de la base.

Dado un vector a = λ1e1 + λ2e2, es viable multiplicarlo a izquierda pore1 estableciendose las igualdades

e1a = e1(λ1e1 + λ2e2)

= λ1 + λ2e1e2

= λ1 + Iλ2.

Al multiplicar a izquierda por e1 se transforma un vector en un complejo.

6.2.1. El algebra tridimensional

A traves del algebra geometrica en tres dimensiones se pueden presentar losvectores, los planos y los volumenes en un sistema unificado mas amplio queincluye las operaciones clasicas con los vectores. En especial el producto cruzes asimilado a un bivector generalizando este concepto para convertirlo enuna herramienta util en el desarrollo de la geometrıa, contribuyendo de pasoa facilitar el estudio de la mecanica clasica y otros problemas de la fısica.

La idea, como en el caso de Cl2, es partir de tres vectores unitarios per-pendiculares entre sı {e1, e2, e3}, esto es, tales que su producto geometricosea anticonmutativo.

Con e1, e2, e3 solo se pueden construir tres bivectores linealmente inde-pendientes, los que se denominan e1e2, e2e3 y e3e1. Tomando el producto


(e1e2)e3 se obtiene(e1e2)e3 = e1e2e3.

Este producto es un elemento de grado tres al que se denomina un trivectory corresponde a proyectar el plano de e1e2 perpendicularmente a lo largode e3, generando en este caso un cubo orientado. Es el unico que constituyeun volumen en el espacio tridimensional y corresponde al elemento de mayorgrado. Se representa por I y se denomina un seudoescalar ya que su cuadradoes igual a −1, en efecto

(e1e2e3)2 = e1e2e3e1e2e3

= e1e1e2e3e2e3

= −e1e1e2e2e3e3= −1.

e1

e3e2 e2

I

Figura 6.4

El algebra Cl3 se puede generar por el conjunto

{1, e1, e2, e3, e23, e31, e12, e123}.Un escalar, tres vectores, tres bivectores y un trivector. En total son ochoelementos correspondientes al desarrollo de los coeficientes binomiales(

3

0

)+

(3

1

)+

(3

2

)+

(3

3

)=(1 + 1

)3

= 23.

Donde (3

r

)=

3!

(3− r)!r! 0 ≤ r ≤ 3.

El algebra de Cl3 posee algunos nuevos elementos y relaciones a estudiar. Unvector a tiene ahora la forma

a = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3.


El cuadrado de cada uno de los bivectores e1e2, e2e3, e3e1 es igual a −1.Al multiplicar e1, e2, e3 por la derecha por e2e3,

e1(e2e3) = e1e2e3 = I,

e2(e2e3) = e2e2e3 = e3,

e3(e2e3) = e3e2e3 = −e2.

Las anteriores igualdades indican que al operar un vector por la derecha pore2e3 lo rota 90o en sentido positivo en su respectivo plano. Igual cosa sucede sioperamos por e1e2 o por e3e1. En general, cada uno de los bivectores basicosgenera rotaciones de 90o en su propio plano.

Partiendo del hecho que e1, e2, e3 conforman un sistema coordenado amano derecha, el producto externo de dos vectores se puede representar comouna combinacion lineal de los bivectores e2 ∧ e3, e3 ∧ e1 y e1 ∧ e2.Definicion 6.2.1. Si a = (λ1e1 + λ2e2 + λ3e3), b = (μ1e1 + μ2e2 + μ3e3), elproducto externo a ∧ b viene dado por la igualdad

a ∧ b = (λ2μ3 − λ3μ2)e23 + (λ3μ1 − λ1μ3)e31 + (λ1μ2 − λ2μ1)e12.

Las componentes de a ∧ b son las mismas del producto a × b, la diferenciaradica en que en el primer caso son los coeficientes de los bivectores basicose23, e31, e12; en el segundo a× b, a y b conforman un sistema a mano derechay a × b es un vector perpendicular al plano definido por a y b. Por otraparte, mientras el producto externo puede ser definido en cualquier espacio,el producto cruz solo tiene sentido en tres dimensiones.

El conjunto V2 de los bivectores forman un grupo abeliano bajo la suma,poseen un producto externo distributivo V2 × F → F que ademas verificapara los bivectores A,B de V2 y los escalares 1, λ, μ de F .

1. λ(A+B) = λA + λB.

2. (λμ)A = λ(μA).

3. 1A = A,

lo que identifica a V2 como un espacio lineal.Si en Cl3 definimos una funcion φ : V → V2 dada por

(λ1e1 + λ2e2 + λ3e3)φ = λ1e23 + λ2e31 + λ3e12,


es tarea de rutina verificar que φ es un isomorfismo.En Cl3 se verifica la propiedad distributiva del producto externo con res-

pecto a la suma, esto es,

a ∧ (b+ c) = a ∧ b+ a ∧ c.

b + c

a ∧ c

a ∧ (a + c)

a ∧ b

a

a b

c

Figura 6.5

En el espacio tridimensional, la interseccion de dos planos no paralelos es unarecta, si esta lınea se representa por a, los bivectores a∧b, a∧c correspondena los planos.

Al extender el producto geometrico, se obtienen elementos de la formaaA donde a es un vector y A es un bivector. Sin perdida de generalidad,supongamos que a es un vector que no pertenece al plano de e1e2. En estascondiciones a se puede descomponer en la forma

a = a‖ + a⊥.

Donde a‖ esta contenido en el plano de e1e2 y a⊥ es perpendicular a dichoplano. Por otra parte, siempre es posible encontrar un vector b en el planode e1e2 perpendicular a a‖.

a⊥ a

a‖Ab

Figura 6.6

Sea A el bivector conformado por a‖ y b, es decir

A = a‖ ∧ b = a‖b.


Tomando el producto a‖A

a‖A = a‖(a‖b) = a2‖b.

a‖A es un vector contenido en el plano de e1e2. Por su parte

a⊥A = a⊥(a‖ ∧ b) = a⊥a‖b,

a⊥A es un trivector conformado por el producto de tres vectores perpendi-culares.

Como se ha mostrado, el producto de un vector por un bivector en general,esta conformado por vectores y trivectores.

Partiendo de las anteriores consideraciones

a(b ∧ c) = a1

2(bc− cb) =

1

2(abc− acb).

Teniendo en cuenta que

ab = 2(a · b)− ba y ac = 2(a · c)− ca,se trata de establecer la diferencia entre a(b ∧ c) y (b ∧ c)a.

a(b ∧ c) =1

2(abc− acb)

=1

2[(2(a · b)− ba)c− (2(a · c)− ca)b]

=1

2[(2(a · b)c− bac)− (2(a · c)b− cab)]

=1

2[2(a · b)c− 2(a · c)b− bac + cab]

= (a · b)c− (a · c)b− 1

2(bac− cab).

(b ∧ c)a =1

2(bca− cba)

=1

2[(2(b · c)− cb)a− (2(c · b)− bc)a]

=1

2[2(b · c)a− cba− 2(c · b)a+ bca]

=1

2[2(b · c)a− cba− 2(b · c)a+ bca]

=1

2bca− 1

2cba.


Tomando la diferencia,

a(b ∧ c)− (b ∧ c)a = (a · b)c− (a · c)b− 1

2(bac− cab)− 1

2(bca− cba)

= (a · b)c− (a · c)b− 1

2(bac + bca) +

1

2(cab+ cba)

= (a · b)c− (a · c)b− 1

2b(ac + ca) +

1

2c(ab+ ba)

= (a · b)c− (a · c)b− (a · c)b+ (a · b)c= 2(a · b)c− 2(a · c)b.

El resultado anterior muestra que

1

2[a(b ∧ c)− (b ∧ c)a] = (a · b)c− (a · c)b.

Debido a que la parte derecha de la igualdad es un vector, la operacionanterior transformo de alguna manera el producto de vectores por bivectoresen un vector. Ante esta situacion, por su similaridad con el producto interno,se conviene en escribir

a · A =1

2(aA− Aa) = −A · a,

donde A es un bivector cualquiera. La ultima parte de la igualdad muestraque el producto interno de un vector por un bivector, a · A es antisimetrico.

Combinando las dos ultimas igualdades se concluye que

a · (b ∧ c) = (a · b)c− (a · c)b.

De la expesion

a(b ∧ c) = (a · b)c− (a · c)b− 1

2(bac− cab),

se concluye que el producto de un vector por un bivector, en general, esta con-formado por vectores y trivectores. Este producto se nota con ∧ por aumentarel grado de los componentes, por lo que se escribe

a ∧ (b ∧ c) =1

2[a(b ∧ c) + (b ∧ c)a].


De la anterior igualdad se establece

a ∧ A =1

2(aA+ Aa).

Sumando a ·A con a ∧ A,

a · A + a ∧A =1

2[aA− Aa] +

1

2[aA + Aa]

=1

2[aA+ aA] +

1

2[Aa− Aa]

= aA.

En sıntesis, se concluye que, para todo vector a y para todo bivector A

aA = a · A+ a ∧ A.A partir de ahora se puede demostrar la propiedad asociativa del productoexterior.

a ∧ (b ∧ c) =1

2[a(b ∧ c) + (b ∧ c)a]

=1

2[1

2(abc− acb) +

1

2(bca− cba)]

=1

4[abc− acb+ bca− cba].

Sumando 14(bac− bac + cab− cab), reorganizando terminos y factorizando,

a ∧ (b ∧ c) =1

4[(ab− ba)c + b(ac+ ca) + c(ab− ba)− (ca+ ac)b].

Usando la igualdad (ab− ba) = 2(a ∧ b),

a ∧ (b ∧ c) =1

4[2(a ∧ b)c+ b(ac + ca) + 2c(a ∧ b)− (ca+ ac)b]

=1

2[(a ∧ b)c + c(a ∧ b) +

1

2b(ac+ ca)− 1

2(ca+ ac)b]

=1

2[(a ∧ b)c + c(a ∧ b) + b(c · a))− (c · a)b]

=1

2[c(a ∧ b) + (a ∧ b)c]

= (a ∧ b) ∧ c.


Es facil comprobar que el producto externo de un vector por un bivector essimetrico, en efecto

a ∧ A = a ∧ (b ∧ c)= (a ∧ b) ∧ c= −(b ∧ a) ∧ c= −b ∧ (a ∧ c)= b ∧ (c ∧ a)= (b ∧ c) ∧ a= A ∧ a.

6.2.2. Trivectores

Dados tres vectores a, b, c el producto externo a ∧ b ∧ c se denomina untrivector. Se obtiene proyectando el plano de a∧b a lo largo de c y correspondea un volumen orientado. Graficamente se representa por un un paralelepıpedorectangular.

De acuerdo con la propiedad asociativa, a∧ (b∧ c) = (a∧ b)∧ c, situacionque corresponde a decir que a ∧ b ∧ c tambien se obtiene proyectando elplano de b ∧ c a lo largo de a como se ilustra en el grafico. Esto indica quea ∧ b ∧ c = b ∧ c ∧ a.

a

bc

a ∧ ba

b

cb ∧ c

Figura 6.7

Debido a la antisimetrıa del producto externo entre vectores, a ∧ b ∧ c cam-bia de signo al conmutar cualquier par. Geometricamente significa que alconmutar cualquier par de vectores se invierte el sentido de la proyeccion.

Como es obvio, al conmutar sucesivamente una pareja de vectores el sen-tido de la proyeccion no cambia, por esta razon,

a ∧ b ∧ c = c ∧ a ∧ b = b ∧ c ∧ a.

6.3. EL ALGEBRA CLN 257

Debido a que I es el unico trivector unitario, a ∧ b ∧ c necesariamente debeser un multiplo escalar de I, esto es,

a ∧ b ∧ c = κI.

donde | κ | representa el volumen del paralelepıpedo de lados a, b, c.

6.3. El algebra Cln

Iniciamos con una discusion axiomatica del algebra geometrica Cln, en termi-nos de los elementos de lo que se denominara la base canonica de Rn. El obje-tivo es discutir las propiedades que deben tener las operaciones para trabajarcon ciertas ecuaciones propias de Cln.

Sean, Rn el espacio vectorial n-dimensional sobre los reales y un productoescalar conmutativo, ∗ : Rn×Rn −→ R tal que para toda pareja de vectoresa, b de Rn

a ∗ b = b ∗ a ∈ R.

Definicion 6.3.1. La base canonica vectorial de Rn, es el conjunto ordenado

{e1, e2, . . . , en}

donde ei ∗ ei = 1, ei ∗ ej = 0 si i �= j; para 1 ≤ i, j ≤ n.

La combinacion de un espacio vectorial con producto escalar se denominaun espacio cuadratico, estos espacios son la base para la construccion delas algebras geometricas. Iniciamos la construccion de Cln con el siguienteaxioma:

Axioma 6.3.1. Sean Cln el algebra asociativa sobre el espacio cuadrati-co 〈Rn, ∗〉 y el producto geometrico de elementos de Rn. Cln es un algebrageometrica si para a ∈ Rn ⊂ Cln, aa = a ∗ a.

Los elementos de Cln, denominados multivectores, satisfacen los axiomasde un espacio vectorial sobre Rn.

Axioma 6.3.2. En Cln existen dos operaciones denominadas suma y pro-ducto por escalares tales que:

1. Para cada pareja A, B ∈ Cln, existe C ∈ Cln; C = A+B.


2. Para todo A ∈ Cln y para todo escalar α ∈ R; αA ∈ Cln.Axioma 6.3.3. Dados A,B,C ∈ Cln; α, β ∈ R:

1. (A+B) + C = A+ (B + C).

2. A+B = B + A.

3. Existe 0 ∈ Cln tal que:A+ 0 = 0 +A = A.

4. α(βA) = (αβ)A.

5. αA = Aα.

6. Existe 1 ∈ R tal que:1A = A1 = A.

7. α(A+ B) = αA+ αB.

8. (α+ β)A = αA+ βB.

Definicion 6.3.2. Dados A,B ∈ Cln, la diferencia entre A y B, notadaA− B se define por la igualdad:

A− B = A + (−1)B.

Axioma 6.3.4. Existe en Cln un producto denominado producto geometri-co, de modo que para A,B,C ∈ Cln y α, β ∈ R, se verifican las siguientespropiedades:

1. AB ∈ Cln.2. (AB)C= A(BC).

3. A(B+C)= AB + AC.

4. (B + C)A = BA + CA.

5. El producto geometrico de un escalar α por un multivector A, es identicoal producto escalar αA.

Axioma 6.3.5. Si a ∈ Rn, entonces aa = a ∗ a ∈ R.


El axioma anterior establece que el producto geometrico de un vector conel mismo, es un real. Esta aseveracion no es valida para multivectores engeneral.Antes de continuar se establecen unas definiciones preliminares.

Definicion 6.3.3. Dado un conjunto ordenado B = {b1, b2, . . . , bk}, se de-nomina B[ i ] al i-esimo elemento de B. B[ i ] = bi; 1 ≤ i ≤ k.

Si B = {2, 4, 1, 5}, B[ 3 ] = 1.

Definicion 6.3.4. Si {e1, e2, . . . , en} es la base canonica de Rn, el productogeometrico de elementos de Rn se define por la igualdad:

k∏i=1

ei = e1e2 . . . ek, 1 ≤ k ≤ n, {ei} ⊂ Rn.

Definicion 6.3.5. Un k-vector basico de Cln es el producto de un numerode diferentes elementos de la base canonica de Rn. Si B ⊂ {1, 2, . . . , n},entonces eB es el k-vector basico:

eB =

|B |∏i=1

eB[ i ], donde k = |B |.

6.3.1. Bases algebraicas

Dado un conjunto A = {1, 2, 3, . . . , n}, cuyo cardinal |A | = n, el conjuntode las partes de A esta dado por la igualdad:

P(A) ={φ, {1}, {2}, . . . , {n}, {1, 2}, {1, 3}, . . . , A}

P(A) es un conjunto totalmente ordenado de acuerdo con el orden naturalde N: sus 2n elementos se ordenan ası:

1. En forma ascendente de acuerdo con el cardinal de cada subconjunto.

2. Los elementos de cada subconjunto se escriben de menor a mayor.

3. Los subconjuntos con igual cardinal se ordenan teniendo en cuenta elprimer elemento; una vez agotado, este se procede a ordenar teniendoen cuenta el segundo y ası sucesivamente.


4. Debido a que el cardinal de φ es igual a cero, este elemento apareceen primer lugar. Finalmente se escribe el subconjunto A por tener elcardinal mayor.

El conjunto N de los numeros naturales es un conjunto totalmente orde-nado por el orden natural. Dicho orden permite ubicar los elementos de labase mediante la sucesion:

0 < 1 < · · · < 9

y a partir de estos elementos se conviene en escribir:

ab < ac si y solamente si b < c

donde a, b, c son elementos de la base. Para ordenar elementos con tres omas dıgitos se procede comparando los dıgitos que ocupen el tercer lugar yası sucesivamente. Ademas, todo elemento conformado con un numero mayorde dıgitos se ubicara a la derecha.

Se establece una correspondencia biunıvoca de P(A) con los productosgeometricos de Rn, en la siguiente forma:

B ←→ eB, B ⊆ A.

Ademas se establece la relacion:

φ←→ 1 = eφ.

Definicion 6.3.6. La base canonica algebraica de Cln se define mediante elconjunto ordenado:

Bn = {eBi| Bi ∈ P(A)}

Definicion 6.3.7. El elemento eA = e1e2 . . . en, A ∈ P(A) se denomina unseudoescalar y se representa por I.

Teniendo presente, que en Cln, el cuadrado de cada uno de los 1-vectoresbasicos ei es igual a 1, se da la siguiente definicion.

Definicion 6.3.8. El grado del k-vector basico eB, notado gr(eB), se definepor la igualdad:

gr(eB) = |B |.


Como |φ | = 0, por definicion, gr(eφ) = 0 y dado que eφ = 1, se concluyeque gr(1) = 0.

El orden de los elementos de la base canonica de Cln es el mismo de los deP(A), por ejemplo si B y C pertenecen a P(A) y B < C, entonces eB < eC .

Estamos en posicion de afirmar que el conjunto:

Bn ={1, e1, e2, . . . , en, e12, e13, . . . , eBi

, . . . , I}

={eBi| Bi ∈ P(A)

}constituye la base canonica de Cln. Como eiej �= ejei para i �= j, usando unorden diferente, es posible describir diferentes bases. La seleccion de una detales bases es arbitraria, debido a que los espacios que generan son isomorfos.

Debido a la existencia de multiples bases, la escogencia de una determi-nada, condiciona la conformacion de cada uno de los k-vectores basicos eBi

.El producto de los ej ∈ Bi debe hacerse siguiendo el orden de los elementosde Bi, por ejemplo, si Bi = {3, 2, 1}, eBi

= e3e2e1.Para simplificar la notacion se conviene en establecer la igualdad:

eBi= Ei

para designar los elementos de Bn. Con esta convencion, un multivector Ade Cln puede representarse por la ecuacion:

A =2n∑i=1

aiEi,

mientras que el vector a viene dado por:

a =n+1∑i=2

aiEi.

Vimos ademas, que el conjunto:

Bn = {1, e1, e2, e3, e2e3, e3e1, e1e2, e1e2e3}= {1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, I}

es una base de Cl3, donde los bivectores basicos se ubicaron en el orden e2e3,e3e1, e1e2.


Realizando las operaciones del caso se construyo la tabla,

Cl3 1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 I1 1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 IE2 E2 1 E7 −E6 I −E4 E3 E5

E3 E3 −E7 1 E5 E4 I −E2 E6

E4 E4 E6 −E5 1 −E3 E2 I E7

E5 E5 I −E4 E3 −1 −E7 E6 −E2

E6 E6 E4 I −E2 E7 −1 −E5 −E3

E7 E7 −E3 E2 I −E6 E5 −1 −E4

I I E5 E6 E7 −E2 −E3 −E4 −1

Figura 6.8

Si miramos las entradas correspondientes, se observa con relacion a E2, E3,E4 y E5, E6, E7, que presentan simetrıa con respecto a la diagonal principal,excepto por el signo. Esta situacion significa que tanto el producto de losvectores como el de los bivectores basicos es antisimetrico, lo cual era deesperarse teniendo en cuenta la ortogonalidad de los dos sistemas. Por otraparte observe que la ultima columna coincide con la ultima fila, significandoque el trivector I conmuta con cada uno de los elementos de la base. AdemasI2 = −1.

De aquı se sigue que el seudoescalar I conmuta con cada uno de losvectores del espacio tridimensional

Ia = aI.

Esta relacion es cierta para el seudoescalar de los espacios de dimensionimpar, por el contrario en los de dimension par, I anticomnuta con cada unode los vectores, como es el caso de Cl2, ver la tabla de la figura 6.2.

Por otra parte, tomando el producto E2I = IE2 = E5, se nota que elresultado es el bivector perpendicular a E2. Lo mismo ocurre con respecto aE3 y E6 y E4 y E7.

Considerando el producto e3e2e1, si se multiplica a izquierda por I, des-pues de realizar operaciones se obtiene la igualdad:

(e1e2e3)(e3e2e1) = 1.

En igual forma al multiplicar a derecha por I se tiene:

(e3e2e1)(e1e2e3) = 1.


Las anteriores expresiones permiten deducir que e3e2e1 es el inverso de I,esto es:

I−1 = e3e2e1.

Ademas,

I = e1e2e3

= −e1e3e2= e3e1e2

= −e3e2e1

De estas igualdades, sigue que:

−I = e3e2e1.

Finalmente por comparacion se escribe:

−I = I−1.

EJERCICIOS

1. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos, con sus respectivasoperaciones, determina un espacio vectorial.

a) El conjunto de los polinomios de grado n.

b) El conjunto de las matrices n×m.

c) El espacio nulo N(L).

Donde L(y) = 0 es una ecuacion lineal homogenea de orden n, Les el operador diferencial lineal de orden n.

El espacio nulo N(L) es el conjunto de las soluciones de L(y) = 0.

2. Construir la tabla del producto geometrico de los vectores ortonormales{e1, e2, e3} de Cl3. ¿Generan estos elementos un grupo finito?


6.4. La transformacion dual

La transformacion dual es un concepto de importancia para el algebra geometri-ca.

Definicion 6.4.1. Si eB es un k-vector basico de Cln, el dual de eB, notadoe∗B se define por la igualdad

e∗B = eBI−1.

Donde I−1 es el inverso del seudoescalar I de Cln.Considerando la ecuacion

EiE∗i = EiEiI

−1.

Como EiEi ∈ R, se puede deducir que

EiE∗i = kI, donde | k | = 1.

Por otra parte es facil comprobar que, en general, para todo Ei;

(((E∗i )

∗)∗)∗ = Ei.

Si I2 = 1, esto es, II = 1; entonces

((E∗i ))∗ = −I(−IEi)

= IIEi

= Ei.

Volviendo a la tabla 6.8 se observa que,

E∗2 = E2I

−1 = −IE2 = −E5

E∗3 = E3I

−1 = −IE3 = −E6

E∗4 = E4I

−1 = −IE4 = −E7.

De las relaciones anteriores se obtiene:

IE2 = E5

IE3 = E6

6.4. LA TRANSFORMACION DUAL 265

IE4 = E7.

Teniendo en cuenta que E∗5 = E2, E

∗6 = E3, E

∗7 = E4, se puede ahora expresar

cada uno de los bivectores basicos como el producto del seudoescalar I y unvector dual.

Debido a que el producto a ∧ b esta definido por

a ∧ b = (λ2μ3 − λ3μ2)E5 + (λ3μ1 − λ1μ3)E6 + (λ1μ2 − λ2μ1)E7,

(a ∧ b)I−1 = (λ2μ3 − λ3μ2)E∗5 + (λ3μ1 − λ1μ3)E

∗6 + (λ1μ2 − λ2μ1)E

∗7

= (λ2μ3 − λ3μ2)E2 + (λ3μ1 − λ1μ3)E3 + (λ1μ2 − λ2μ1)E4

= (a× b).Pero,

(a ∧ b)I−1 = −I(a ∧ b) = a× b.De esta ultima expresion se deriva una relacion para el doble producto a×b×c,

a× b× c = −Ia ∧ [−I(b ∧ c)]=

1

2I[aI(b ∧ c)− (b ∧ c)Ia]

= −a · (b ∧ c).La igualdad, a× b = (a∧ b)I−1 muestra como el vector a× b se convierte enun bivector mediante la transformacion dual. Como solamente en el espaciotridimensional la transformacion dual de un bivector es un vector, se tienela razon de la falta de sentido del producto cruz en espacios de dimensiondiferente.

El operador dual es distributivo con respecto a la suma y el productoescalar, en efecto, para todo aiEi, bjEJ

(aiEi + bjEj)∗ = −I(aiEi + bjEj)

= ai(−IEi) + bj(−IEj)

= ai(Ei)∗ + bj(Ej)

∗.

Usando la anterior propiedad repetidas veces sobre cada elemento de la basese concluye que [

ai

2n∑i=1

Ei

]∗= ai

2n∑i=1

(Ei)∗.


La igualdad se traduce diciendo que para todo multivector A

A∗ = ai

2n∑i=1

(Ei)∗.

Ejemplo 6.4.1. Sea A = 2E3 − E5, entonces

A∗ = −2E6 − E2 = −E2 − 2E6.

6.4.1. Propiedades generales

El axioma 6.3.5 establece que si a ∈ Rn, entonces aa = a ∗ a ∈ R. Usandoeste hecho se puede derivar el producto escalar de dos vectores diferentes enterminos del producto geometrico. Si a, b son elementos de Rn

(a+ b)(a+ b) = (a+ b) ∗ (a+ b)

aa+ ab+ ba+ bb = a ∗ a+ 2a ∗ b+ b ∗ b.

Cancelando terminos semejantes y dividiendo por 2 se llega a la igualdad

1

2(ab+ ba) = a ∗ b.

La suma 12(ab+ ba) se denomina el producto anticonmutador y se nota a×b,

Por su parte, la diferencia

1

2(ab− ba)

se denomina el producto conmutador y se nota por a×b.Como

b×a =1

2(ba− ab),

Se tiene la igualdad

a×b = −b×a.Por otra parte al sumar a×b con a×b se obtiene

1

2(ab+ ba) +

1

2(ab− ba) = ab.


La anterior igualdad se puede expresar mediante la relacion

ab = a×b+ a×b.En Cl2 la expresion

ab = a · b+ a ∧ bes un caso particular de esta relacion general.

Como en Cln los ei ∈ Rn son ortogonales,

ei×ei �= 0 y ei×ej = 0, i �= j.

Por lo tanto, si i �= j

eiej = ei×ej + ei×ej

= ei×ej ,

ejei = ej×ei + ej×ei

= ej×ei.

Como ei×ej = −ej×ei, se concluye que

eiej = −ejei.

Para los multivectores A, B de Cln, teniendo en cuenta la propiedad distri-butiva; se puede escribir

AB =1

2(AB +BA) +

1

2(AB −BA).

La relacion anterior lleva a expresar el producto geometrico como la suma

AB = A×B + A×B.

EJERCICIOS

1. Demostrar que cada una de las siguientes expresiones son formas equi-valentes del producto cruz a× b.

a) −Ia ∧ b.


b) b · (Ia).c) −a(Ib).

2. Interprete geometricamente cada una de la formas anteriores y demues-tre que

a) a× b× c = −(a · bc− a · cb).b) a · (b× c) = a ∧ b ∧ cI−1.

6.4.2. Involuciones

Una involucion es una operacion que envıa cualquier elemento en sı mis-mo cuando se aplica dos veces. Las involuciones mas usadas en el algebrageometrica son la reversion y la conjugacion. Como en Cln, para todo Ei deRn, E2

i �= −1, no se definira el segundo termino; pero de todas maneras hayque aclarar que en este algebra la conjugacion es equivalente a la reversion.

Definicion 6.4.2. Sea eB un k-vector basico de Cln. El reverso de eB, notadoeB se define mediante la igualdad

eB =k∏

j=1

eB[ k−j+1], donde k = |B |.

Ejemplo 6.4.2. En Cl4 si E14 = e1e3e4, E14 = e4e3e1.

Es obvio que el reverso del reverso de Ei es Ei. Por otra parte, tambiense tiene que

(EiEj)∼ = EjEi.

En efecto, sean Ei, Ej con gr(Ei) = k, gr(Ej) = l; como

(EiEj) = (ei1ei2 · · · eik)(ej1ej2 · · · ej l)

entonces,

(EiEj)∼ = (ej l · · · ej2ej1)(eik · · · ei2ei1)

= EjEj .

Sea Ei ∈ Cln tal que gr(Ei) = k, entonces


Ei = (−1)k(k−1)/2Ei.

La demostracion se realizara por induccion a partir de 2. Sea E2 = ei1ei2

Es cierto que si k = 2,

(−1)k(k−1)/2 = −1.

Ademas,(ei1ei2)

∼ = ei2ei1 = −(ei1ei2).

De las expresiones anteriores se deriva que la proposicion es valida para k = 2.Supongamos que es valida para k, es decir,

Ei = (−1)k(k−1)/2Ei.

Pero k puede ser un natural de una de las cuatro siguientes formas: 4t, 4t+1,4t+ 2, 4t+ 3.

Si k = 4t,

(−1)k(k−1)/2 = 1

y

(−1)(k+1)k/2 = 1.

Partiendo de la hipotesis se establece la igualdad,

ei(k+1)Ei = (−1)k(k−1)/2ei(k+1)Ei.

Como k es par, se puede escribir,

ei(k+1)Ei = Eiei(k+1) = Ei+1

Las anteriores consideraciones permiten escribir

Ei+1 = (−1)(k+1)k/2Ei+1.

Si k = 4t+ 1, entonces

(−1)k(k−1)/2 = 1

y


(−1)(k+1)k/2 = −1 = −(−1)k(k−1)/2.

Pero al ser k impar,

ei(k+1)Ei = −Eiei(k+1) = −Ei+1.

Entonces,

Ei+1 = −(−1)k(k−1)/2Ei+1.

Reemplazando se llega a,

Ei+1 = (−)(−)(−1)(k+1)k/2Ei+1.

O sea,

Ei+1 = (−1)(k+1)k/2Ei+1.

De igual modo se procede en los casos restantes; para concluir finalmente quela proposicion es valida para k + 1, luego es valida para todo natural n ≥ 2.

La reversion es una operacion distributiva, por esta razon para hallar elreverso de un multivector basta aplicar dicha operacion a cada uno de susk-vectores basicos; esto significa que si

A =2n∑i=1

aiEi,

A =2n∑i=1

aiEi.

En Cl3, el multivector A se representa en la forma,

A = a1E1 + a2E2 + a3E3 + a4E4 + a5E5 + a6E6 + a7E7 + a8E8.

Debido a que eiej = −ejei y eiejek = −ekejei. El reverso de A se escribe,

A = a1E1 + a2E2 + a3E3 + a4E4 − a5E5 − a6E6 − a7E7 − a8E8.

6.5. LOS PRODUCTOS INTERNO Y EXTERNO 271

6.5. Los productos interno y externo

El producto interno se puede hacer extensivo a los k-vectores basicos comouna operacion algebraica que no necesariamente debe conducir a un escalar.Inicialmente los productos anteriores se refieren a los k-vectores basicos, peromas tarde se estudiaran como operaciones entre multivectores.

Antes de generalizar los productos interno y externo, estudiamos un con-cepto que tiene que ver con la representacion de un multivector cualquiera.Si volvemos a Cl3, un multivector tıpico esta conformado por la suma de unescalar, un vector, tres bivectores y un trivector. Con esta consideracion seescribe,

A = 〈A〉0 + 〈A〉1 + 〈A〉2 + 〈A〉3.Donde

〈A〉0 = a1E1

〈A〉1 = a2E2 + a3E3 + a4E4

〈A〉2 = a5E5 + a6E6 + a7E7

〈A〉3 = a8E8.

Definicion 6.5.1. Dado Ei, la proyeccion del grado de Ei sobre el grado kse representa por 〈Ei〉k y se define mediante la relacion

〈Ei〉k =

⎧⎨⎩Ei, si gr(Ei) = k,

0, si gr(Ei) �= k.

El operador 〈〉k es distributivo, esto es, si ai ∈ R y A ∈ Cln

〈A〉k =2n∑i=1

ai〈Ei〉k.

〈A〉k se denomina un k-vector.

Definicion 6.5.2. Dados Ei, Ej dos vectores basicos de Rn, cuyos gradosson k y l respectivamente, el producto interno Ei · Ej se define mediante larelacion


Ei · Ej =

⎧⎨⎩〈EiEj〉| k−l |, si i, j > 0,

0, si i = 0 y/o j = 0.

De acuerdo con la definicion, si el grado del producto geometrico EiEj

es | k − l |; entonces Ei · Ej = EiEj. En otras condiciones Ei · Ej es igual acero. Como el grado de un escalar es cero, de la definicion se infiere que elproducto interno de un escalar con cualquier k-vector basico es cero. Por suparte el producto externo se define en la forma que sigue

Definicion 6.5.3. Dados Ei, Ej dos vectores basicos de Rn, cuyos gradosson k y l respectivamente, el producto externo Ei ∧ Ej se define mediante laigualdad

Ei ∧ Ej = 〈EiEj〉k+l.

Si el grado del producto geometrico EiEj es (k+ l); entonces Ei∧Ej = EiEj,en otras condiciones Ei ∧ Ej es igual a cero. Contrario al producto interior,el producto exterior de un escalar con cualquier elemento de Cln coincide conel producto geometrico de dichos elementos.

Lema 6.5.1. Sea B ⊆ {1, 2, . . . , n}, i ∈ {1, 2, . . . , n}, tales que eB, ei ∈ Bn,|B | = k ≤ n; entonces

eieB =

⎧⎨⎩(−1)keBei, si i /∈ B,

(−1)k+1eBei, si i ∈ B.Demostracion. Supongamos que i /∈ B.

SeaeB = ej1ej2 . . . ejk.

Si k es par, despues de conmutar y asociaciar un numero par de veces; debidoa que eiej = −ejei se obtiene la igualdad

eieB = eBei.

Si k es impar, al conmutar y asociar un numero impar de veces se establecela igualdad

eieB = −eBei.


Como el signo depende de la paridad de k, entonces

eieB = (−1)keBei, si i /∈ B.Si i ∈ B, sea ei = ejs.

Si k y s son impares, tanto (ej1ej2 . . . ejs−1) como (ejs+1ejs+2 . . . ejk) tie-nen un numero par de elementos; y en estas circunstancias

eieB = (ej1ej2 . . . ejs−1ejs+1 . . . ejk) = eBei.

Si k impar y s es par, tanto (ej1ej2 . . . ejs−1) como (ejs+1ejs+2 . . . ejk) tienenun numero impar de elementos; por lo tanto

eieB = −(ej1ej2 . . . ejs−1ejs+1 . . . ejk) = eBei.

Como k es impar, (−1)k+1 = 1; entonces

eieB = (−1)k+1eBei, si i ∈ B.Si k par y s es impar

eieB = (ej1ej2 . . . ejs−1ejs+1 . . . ejk).

eBei = −(ej1ej2 . . . ejs−1ejs+1 . . . ejk).

Si k y s son ambos pares

eieB = −(ej1ej2 . . . ejs−1ejs+1 . . . ejk).

eBei = (ej1ej2 . . . ejs−1ejs+1 . . . ejk).

En los dos ultimos casos eieB y eBei tienen signos opuestos y debido a que kes par, (−1)k+1 = −1; se concluye que

eieB = (−1)k+1eBei, si i ∈ B.

La demostracion del siguiente lema se deja al cuidado del lector.

Lema 6.5.2. Sean B ⊆ A ⊆ {1, 2, . . . , n}, tales que eA, eB ∈ Bn, |A | = k,|B| = l, l ≤ k ≤ n; entonces

eAeB = (−1)l(k−1)eBeA.

Demostracion. Ejercicio.



ei · eB =1

2

(eieB − (−1)keBei

).

Demostracion. Si i /∈ B o B = φ,

ei · eB = 〈eieB〉| k−l | = 0

yeieB = (−1)keBei.

Ademas, si k es pareieB = eBei y (−1)k = 1,

entonceseieB − (−1)keBei = 0.

Si k es impareieB = −eBei y (−1)k = −1,

entonceseieB − (−1)keBei = eieB + eBei = 0.

Por consiguiente1

2


)= 0.

De donde se concluye que

ei · eB =1

2


).

Si i ∈ B,ei · eB = eieB = (−1)k+1eBei.

Si k es par,

eieB = −eBei y (−1)k = 1,

entonces

2eieB = eieB + eieB

= eieB − eBei

= eieB − (−1)keBei.


Dividiendo por 2,

eieB =1

2


).

Si k es impar,eieB = eBei y (−1)k = −1.

2eieB = eieB + eieB

= eieB + eBei

= eieB − (−1)keBei.

Dividiendo por 2,

eieB =1

2


).

En conclusion,

ei · eB =1

2


).


ei ∧ eB =1

2

(eieB + (−1)keBei

).

Demostracion. Si i ∈ B,

ei ∧ eB = 〈eieB〉| k+l | = 0

yeieB = (−1)k+1eBei.

Ademas, si k es par

eieB = −eBei y (−1)k = 1,

entonceseieB + (−1)keBei = 0.

Si k es impareieB = eBei y (−1)k = −1,


entonceseieB + (−1)keBei = eieB − eBei = 0.

Por consiguiente1

2

(eieB + (−1)keBei

)= 0.

De donde se concluye que

ei ∧ eB =1

2

(eieB + (−1)keBei

).

Si i /∈ B,ei ∧ eB = eieB = (−1)keBei.

Si k es par,

eieB = eBei y (−1)k = 1,

entonces

2eieB = eieB + eieB

= eieB + eBei

= eieB + (−1)keBei.

Dividiendo por 2,

eieB =1

2

(eieB + (−1)keBei

).

Si k es impar,eieB = −eBei y (−1)k = −1.

2eieB = eieB + eieB

= eieB − eBei

= eieB + (−1)keBei.

Dividiendo por 2,

eieB =1

2

(eieB + (−1)keBei

).

En conclusion,

ei ∧ eB =1

2

(eieB + (−1)keBei

).


Con el fin de ampliar las operaciones a los multivectores, se establecendos nuevos axiomas.

Axioma 6.5.1. Dados α, β en R y A, B; C en Cln, entonces

A · (B + C) = A ·B + A · C,(αA) · (βB) = αβ(A ·B).

Axioma 6.5.2. Dados α, β en R y A, B, C en Cln; entonces

A ∧ (B + C) = A ∧ B + A ∧ C,(αA) ∧ (βB) = αβ(A ∧B).

Los productos interno y externo de dos multivectores A, B de Cln, se puedenrepresentar por las igualdades

A · B =2n∑i=o

2n∑j=o

aibj(Ei · Ej),

A ∧B =2n∑i=o

2n∑j=o

aibj(Ei ∧ Ej).

Es tarea facil la demostracion de la propiedad asociativa del producto externode multivectores, basandose en las propiedades asociativa y distributiva delproducto geometrico de los k-vectores basicos.

Lema 6.5.5. Dados A, B, C en Cln; entonces

A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B) ∧ C.Demostracion. Ejercicio.

EJERCICIOS

1. Demuestre que la dimension del espacio formado con el producto exte-rior de m vectores tomados de un espacio de dimension n, es.

n!

(n−m)!m!.


2. Un polıgono convexo del plno es un conjunto ordenado de puntos,{a0, a1, . . . , an}. Demuestre que el area dirigida del polıgono esta dadapor

1

2(a0 ∧ a1 + a1 ∧ a2 + · · ·+ an ∧ a0).

3. Demuestre el lema 6.5.2.


6.6. Multivectores de grado k

Un multivector de grado k se define como el producto externo de un deter-minado numero de 1-vectores.

Definicion 6.6.1. Sea {ai} ⊂ Rn un conjunto de k 1-vectores linealmenteindependientes (k ≤ n). El producto externo de dichos vectores, notado A〈k〉,se denomina un multivector de grado k o un k-multivector; esto es

A〈k〉 = ai ∧ a2 ∧ . . . ∧ ak =k∧

i=1

ai.

Todo multivector de grado k es una combinacion lineal de k-vectores basicos,pero no toda combinacion lineal de k-vectores basicos es un multivector degrado k. Por ejemplo, e1e2e3 + e1e2e4 es a la vez un multivector de grado 3 yun 3-vector, puesto que

e1e2e3 + e1e2e4 = e1 ∧ e2 ∧ (e3 + e4).

Por otra parte, e1e2e4 + e3e5e6 es un 3-vector pero no es un multivector degrado 3.

Teniendo presente las propiedades del producto geometrico de los k-vectores,dicho producto aplicado a los multivectores A〈k〉, B〈l〉 se representa por laigualdad

A〈k〉B〈l〉 =

n∑r=0

〈A〈k〉B〈l〉〉r.

A〈k〉, B〈l〉 son combinaciones lineales de k-vectores basicos de grado k y lrespectivamente; y debido a que el grado del producto EkEl disminuye en 2s

6.6. MULTIVECTORES DE GRADO K 279

si Ek, El tienen s elementos en comun,

EkEl = 〈EkEl〉k+l−2s.

Entonces el producto se puede escribir en la forma,

A〈k〉B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉| k−l | + 〈A〈k〉B〈l〉〉| k−l |+2 + . . .

+ 〈A〈k〉B〈l〉〉k+l−2 + 〈A〈k〉B〈l〉〉k+l.

En la relacion anterior, 〈A〈k〉B〈l〉〉| k−l | representa el producto interno; mien-tras que 〈A〈k〉B〈l〉〉k+l es el producto exterior. En esta suma, en general nonecesariamente deben aparecen todos los sumandos cuando consideramos ca-sos particulares, ya que algunos de ellos pueden ser iguales a cero.

Ejemplo 6.6.1. Dados A〈k〉 = e1e2 + e1e3, B〈l〉 = e1e2e3 + e1e2e4. HallarA〈k〉B〈l〉, A〈k〉 · B〈l〉, A〈k〉 ∧B〈l〉.

Solucion. Como e1e2 y e1e2e3; e1e2 y e1e2e4; e1e3 y e1e2e3 tienen dos elemen-tos comunes y e1e3, e1e2e4 tienen un elemento comun,

A〈k〉B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉2+3−4 + 〈A〈k〉B〈l〉〉2+3−2

= 〈(e1e2)e1e2e3 + (e1e2)e1e2e4 + (e1e3)e1e2e3〉1 + 〈(e1e3)e1e2e4〉3= 〈−e3 − e4 + e2〉1 + 〈e2e3e4〉3= e2 − e3 − e4 + e2e3e4.

A〈k〉 · B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉| 2−3 |= 〈e1e2e1e2e3 + e1e2e1e2e4 + e1e3e1e2e3〉1 + 〈e1e3e1e2e4〉1= 〈−e3 − e4 + e2〉1 + 〈e2e3e4〉1= e2 − e3 − e4.

A〈k〉 ∧B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉2+3

= 〈e1e2e1e2e3 + e1e2e1e2e4 + e1e3e1e2e3〉5 + 〈e1e3e1e2e4〉5= 〈−e3 − e4 + e2〉5 + 〈e2e3e4〉5= 0.


Debido a que todo A〈k〉 es una combinacion lineal de vectores basicos degrado k, por la propiedad distributiva del producto exterior; dados A〈k〉 yB〈l〉 en Cln.

A〈k〉 ∧B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉k+l.

Por consiguiente, el producto externo es cero o es un multivector de gradok+ l. Teniendo en cuenta lo anterior, si k+ l > n necesariamente A〈k〉 ∧B〈l〉es igual a cero.

Lema 6.6.1. Si a un vector, B〈k〉 un multivector de grado k, entonces

a ∧B〈k〉 =1

2

(aB〈k〉 + (−1)kB〈k〉a

).

Demostracion. Sean a =∑n

i=1 aiei, B〈k〉 =∑s

j=1 bjEk con s = n!(n−k)!k!

.Entonces

a ∧ B〈k〉 =n∑

i=1

s∑j=1

aibj(ei ∧ Ek)

Debido a que

ei ∧Ek =1

2

(eiEk + (−1)kEkei

),

aplicando la propiedad de linearidad de la sumatoria,

a ∧B〈k〉 =1

2

(aB〈k〉 + (−1)kB〈k〉a

).

Para el caso particular de los vectores a y b,

a ∧ b =1

2

(ab− ba),

situacion que se habıa demostrado para Cl2. Igualmente se tiene que paratodo vector de Cln.

a ∧ a = 0.

Suponiendo que a y b son paralelos, entonces b = λa; luego

a ∧ b = a ∧ (λa)

= λ(a ∧ a)= 0.


Antes de enunciar el siguiente teorema, se debe recordar la definicion desubespacio.

Definicion 6.6.2. Sea V un espacio vectorial, W un subconjunto de V . Wse dice un subespacio vectorial de V si

1. Si a, b pertenecen a W , a+ b tambien pertenece a W .

2. Si a pertenece a W , λa pertenece a W , para todo λ ∈ F .

3. 0 ∈ V tambien pertenece a W .

Teorema 6.6.1. El conjunto Bk = {a1, a2, . . . , ak} ⊂ Cln, 1 ≤ k ≤ n, de k1-vectores linealmente independientes; es base del subespacio Sk de Cln. Six =

∑ki=1 λiai, λi ∈ R, es un vector de Sk y A〈k〉 = a1∧a2∧· · ·∧ak; entonces

A〈k〉 ∧ x = 0.

Demostracion. Sean x1 =∑k

i=1 λiai y x2 =∑k

i=1 μiai,

x1 + x2 =

k∑i=1

(λi + μi)ai

=

k∑i=1

κai.

γx =

k∑i=1

γ(λiai).

0 =

k∑i=1

0ai ∈ Rk.

Las igualdades anteriores muestran que Sk es un subespacio de Rn.La segunda parte se demuestra usando induccion matematica, la propie-

dad asociativa y las igualdades, ai ∧ ai = 0 y ai ∧ aj = −aj ∧ ai.Sean

A〈k〉 = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ak,


x =k∑

i=1

λiai,

x1 =k−1∑i=1

λiai.

La proposicion es valida para k = 1, puesto que

a1 ∧1∑

i=1

a1 = a1 ∧ a1 = 0.

Supongamos que es valida para k − 1, o sea

A〈k−1〉 ∧ x1 = a1 ∧ a2 ∧ · · · ∧ ak−1 ∧k−1∑i=1

λiai = 0.

Como x = x1 + λkak, entonces

A〈k〉 ∧ x = Ak ∧ (x1 + λkak)

= A〈k〉 ∧ x1 + λkA〈k〉 ∧ ak

= (−1)k−1ak ∧ [A〈k−1〉 ∧ x1] + λkA〈k−1〉 ∧ ak ∧ ak

= 0 + 0.

Como la proposicion es valida para k, supuesta la validez para k − 1, sedemostro su validez para todo k ≤ n.

Ejemplo 6.6.2. Dado B2 = {e1, e2 + e3} ⊂ R3. Hallar S2 y A〈2〉.

Solucion. S2 = { λ1e1 + λ2(e2 + e3) | λ1, λ2 ∈ R }. A〈2〉 = e1e2 + e1e3,Ademas, para todo x ∈ S2

A〈2〉 ∧ x = λ2e1e2e3 − λ2e1e3e2 = 0.

Definicion 6.6.3. En general, se puede definir a Sk como el conjunto detodos los vectores linealmente dependientes con los vectores que conforman aA〈k〉, o mediante la igualdad

Sk = { x | x ∧ A〈k〉 = 0 },donde x es un vector.

Sk se denomina el espacio nulo con respecto al producto externo.


Sean A〈k〉 =∧k

i=1 ai, B〈l〉 =∧l

j=1 bj . Si A〈k〉 ∧ B〈l〉 = 0, entonces existenas, bt en A〈k〉, B〈l〉, respectivamente, tales que as = λbt. Por lo tanto

λbt ∧A〈k〉 = λbt ∧ B〈l〉 = 0.

En consecuencia, es posible decir que λbt ∈ Sk y λbt ∈ Sl o que Sk ∩ Sl �= φ.Similarmente, si Sk ∩ Sl �= φ; es facil comprobar que A〈k〉 ∧B〈l〉 = 0.De lo anterior se deduce que si Sk

1 es el subespacio determinado por A〈k〉 ySk

2 es el subespacio determinado por B〈k〉. Si Sk1 = Sk

2, entonces A〈k〉 = λB〈k〉,esto es, difieren solo por un escalar.

Como Sk es un subespacio de dimension k, posee una base ortonormal{ni} de 1-vectores. Si N〈k〉 =

∧ki=1 ni, existe λ ∈ R tal que A〈k〉 = λN〈k〉.

Si {ni} es una base ortonormal de vectores, ninj = ni ∧ nj (i �= j),entonces

A〈k〉 =

k∧i=1

ni =

k∏i=1

ni.

A〈k〉 se ha descrito como el producto geometrico de vectores ortonormales.Dado A〈k〉 y el vector a, se tiene que si k es par; A〈k〉 ∧ a = a ∧A〈k〉. Si k

es impar, A〈k〉 ∧ a = −a ∧ A〈k〉. Estas igualdades implican que

A〈k〉 ∧ a = (−1)ka ∧A〈k〉.

Esta ultima igualdad se puede generalizar para A〈k〉 y B〈l〉 mediante la ecua-cion

A〈k〉 ∧ B〈l〉 = (−1)klB〈l〉 ∧A〈k〉.

El producto interno de multivectores de grado k esta basado en la propiedaddistributiva del producto geometrico.

Definicion 6.6.4. Dados A〈k〉, B〈l〉, el producto interno A〈k〉 · B〈l〉 se definemediante la igualdad

A〈k〉 · B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉| k−l |.

El producto interno de los multivectores de grado k, en general no es asocia-tivo y reduce el grado de sus componentes A〈k〉, B〈l〉.Las proposiciones siguientes se asignan como ejercicios.


Lema 6.6.2. Dados B〈k〉 =∧k

i=1 bi y el vector a =∑n

j=1 aj,

a ·B〈k〉 =1

2

(aB〈k〉 − (−1)kB〈k〉a

).

En Rn eL producto interno se desarrolla mediante las igualdades

a · b =

n∑i=1

n∑j=1

aibj〈eiej〉0

=n∑

i=1

aibi〈eiei〉0

=

n∑i=1

aibi.

Por definicion se tiene que a · b = a ∗ b. Y como aibi es un escalar, es obvioque a · b = b · a.Lema 6.6.3. Sean A〈j〉, B〈k〉, C〈l〉 con 1 ≤ j, k, l ≤ n; j + k ≤ l, entonces

(A〈j〉 ∧ B〈k〉) · C〈l〉 = A〈j〉 · (B〈k〉 · C〈l〉).

Lema 6.6.4. Sean A〈j〉, B〈k〉, C〈l〉 con 1 ≤ j, k, l ≤ n; j + l ≤ k, entonces

(A〈j〉 · B〈k〉) · C〈l〉 = A〈j〉 · (B〈k〉 · C〈l〉).

Lema 6.6.5. Sean A〈k〉 y el seudoescalar I de Cln, entonces

A〈k〉 · I = A〈k〉I.

EJERCICIOS





6.7. LA NORMA 285

6.7. La norma

Para un espacio euclidiano se definio la norma de un vector a, en terminosdel producto interior.

‖ a ‖= √a · a.Para generalizar este concepto, es necesario definir un producto entre multi-vectores y a partir de dicho producto definir una norma cuyo resultado seaun escalar positivo.

Definicion 6.7.1. Dados A〈k〉, B〈l〉 en Cln, el producto A〈k〉 � B〈l〉 se definemediante la igualdad

A〈k〉 � B〈l〉 = 〈A〈k〉B〈l〉〉0.Si k = l �= 0, el producto escalar es igual al producto interno y si k �= lA〈k〉 � B〈l〉 = 0

Lema 6.7.1. Sea A〈k〉 en Cln, entonces A〈k〉 � A〈k〉 = A〈k〉A〈k〉.

Demostracion. Dado A〈k〉, existe un conjunto ortonormal de vectores {ni}tales que A〈k〉 =

∏ki=1 ni. Ademas

A〈k〉A〈k〉 = (n1 · · ·nk)(n1 · · ·nk)

= (−1)k(k−1)/2(n1 · · ·nk−1)(nknk)(nk−1 · · ·n1).

Como (nini) ∈ R, para todo i, entonces A〈k〉A〈k〉 ∈ R y por consiguiente

A〈k〉A〈k〉 = 〈A〈k〉A〈k〉〉0 = A〈k〉 � A〈k〉

El reverso de un multivector de grado k, es una generalizacion de la definicionadoptada para los multivectores basicos, esto es, dado A〈k〉 =

∧ki=1 ai

A〈k〉 = ak ∧ ak−1 ∧ · · · ∧ a1 =

1∧i=k

ai.

Como el reverso unicamente cambia el orden de los vectores, A〈k〉 y A〈k〉difieren solo por un signo ası

A〈k〉 = (−1)k(k−1)/2A〈k〉.


Tambien se tienen las relaciones

(A〈k〉 ∧ B〈l〉)∼ = B〈l〉 ∧ A〈k〉,

y

(A〈k〉B〈l〉)∼ = B〈l〉A〈k〉.

Antes de definir una norma es necesario asegurarse que esta es positiva. SiA〈k〉 =

∑ki=1 aiEi, debido a que Ei � Ei = 1

A〈k〉 � A〈k〉 =

k∑i=1

a2i 〈EiEi〉0 =

k∑i=1

a2i ≥ 0.

En general, para los multivectores A, B de Cln

A � B =2n∑i=1

aibi.

Si A �= 0, entonces

A � A =2n∑i=1

a2i > 0.

Para garantizar que la norma sea positiva, se establece la siguiente definicion.

Definicion 6.7.2. Dado el multivector A �= 0 de Cln; la magnitud de A,notada ‖ A ‖, se define mediante la igualdad

‖ A ‖=√A � A.

Se demostro que todo A〈k〉 puede definirse como el producto de k vectoresortogonales {ai}, por lo tanto

‖ A〈k〉 ‖ =

√A〈k〉A〈k〉

=√a1 · a2 · · ·ak · ak · · ·a1

=k∏

i=1

‖ ai ‖ .

6.7. LA NORMA 287

En particular, para el seudoescalar I, II > 0; entonces A〈n〉A〈n〉 > 0. Ademas

A〈n〉 = λ

n∏i=1

ei = λI.

Si como se dijo,{ai} es un conjunto de vectores ortogonales de Rn, se concluyeque

‖ A〈n〉 ‖=n∏

i=1

‖ ai ‖ .

EJERCICIOS

1. Demuestre que en un espacio euclidiano.

‖ +b ‖ ≤ ‖ a ‖ + ‖ b ‖ .

2. Demuestre la desigualdad de Schwarz,

‖ a · b ‖ ≤ ‖ a ‖‖ b ‖ .

6.7.1. El inverso de A〈k〉En contraste con los multivectores, todo A〈k〉 de Cln tiene un inverso.

Lema 6.7.2. Todo A〈k〉 en Cln tiene un iverso dado por

A−1〈k〉 =

A〈k〉A〈k〉A〈k〉

.

Demostracion. Por el lema 6.7.1,

A〈k〉A〈k〉 = A〈k〉 · A〈k〉 = λ ∈ R.

De esta igualdad se concluye que A−1〈k〉 = λ−1A〈k〉 es de grado k.

ComoA〈k〉 · A〈k〉 = (−1)k(k−1)A〈k〉 · A〈k〉,

por ser k(k − 1) un numero par,

A〈k〉 · A〈k〉 = A〈k〉 · A〈k〉


Reemplazando se tiene

A〈k〉A−1〈k〉 = A−1

〈k〉A〈k〉 =λ

λ= 1.

Ejemplo 6.7.1. Sea A〈2〉 = 3E5 + E6 − 2E7. Hallar A−1〈2〉.

Solucion. En Cl3, Ei = −Ei, 5 ≤ i ≤ 7. Entonces

A〈2〉 = −3E5 −E6 + 2E7. (6.1)

A−1〈2〉 =

−3E5 −E6 + 2E7

14. (6.2)

6.8. Representacion matricial del producto

geometrico

Ademas del producto geometrico, los productos interno y externo, la rever-sion y el dual se pueden desarrollar haciendo uso de la teorıa de las matricescuadradas; teniendo en cuenta que estas ideas son familiares a muchas per-sonas. Para iniciar se considera la base algebraica B2 = {E1, E2, E3, E4}, deCl2. Un multivector A tiene la forma

A = a1E1 + a2E2 + a3E3 + a4E4,

donde los ai son reales.Teniendo en cuenta que E1 ≡ 1, E2 ≡ e1, E3 ≡ e2, E4 ≡ e12; el producto

se representa mediante la tabla

Cl2 E1 E2 E3 E4

E1 E1 E2 E3 E4

E2 E2 E1 E4 E3

E3 E3 −E4 E1 −E2

E4 E4 −E3 E2 −E1

Figura 6.9

6.8. REPRESENTACION MATRICIAL DEL PRODUCTO 289

De acuerdo con la definicion 6.7.1, Ei �Ei = 1 y Ei �Ej = 0. Si los elementosque conforman las entradas internas de la tabla se operan a izquierda me-diante el producto �, por cada uno de los reversos de los k-vectores basicos,esto es, E1, E2, E3, E4; se obtienen respectivamente los siguientes arreglos

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

0 1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 −1 0 0

0 0 0 10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0

.

A partir de estos arreglos se definen las matrices

Γ1 =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 −1

⎤⎥⎥⎦ , Γ2 =

⎡⎢⎢⎣0 1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 1 0

⎤⎥⎥⎦

Γ3 =

⎡⎢⎢⎣0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 −1 0 0

⎤⎥⎥⎦ , Γ4 =

⎡⎢⎢⎣0 0 0 10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ .El proposito de esta seccion es ver como todo multivector de Cln se puedeexpresar como una matriz columna 2n × 1, donde cada uno de sus compo-nentes se refiere a los k-vectores basicos. Para el caso de Cl2 si partimos dela matriz fila

M =[E1 E2 E3 E4

]cada uno de los vectores basicos se representa, respectivamente, por

[1 0 0 0

],[

0 1 0 0],[0 0 1 0

],[0 0 0 1

]. Iniciamos con la siguiente definicion.

Definicion 6.8.1. Dados Γi, 1 ≤ i ≤ 4, A = a1E1 + a2E2 + a3E3 + a4E4; lamatriz MA, se define por la igualdad

MA =[

[a1 a2 a3 a4]Γi

]4×4


De acuerdo con la definicion

MA =

⎡⎢⎢⎣a1 a2 a3 −a4

a2 a1 a4 −a3

a3 −a4 a1 a2

a4 −a3 a2 a1

⎤⎥⎥⎦ .De igual forma

ME1 =

⎡⎢⎢⎣1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

⎤⎥⎥⎦ , ME2 =

⎡⎢⎢⎣0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

⎤⎥⎥⎦ ,

ME3 =

⎡⎢⎢⎣0 0 1 00 0 0 −11 0 0 00 −1 0 0

⎤⎥⎥⎦ , ME4 =

⎡⎢⎢⎣0 0 0 −10 0 1 00 −1 0 01 0 0 0

⎤⎥⎥⎦ .A partir de estas matrices se establece la siguiente equivalencia

Ei ≡MEi, 1 ≤ i ≤ 4.

Un multivector A, se expresa ahora en la forma

A =

4∑i=1

aiEi ≡4∑

i=1

aiMEi.

El desarrollo de la sumatoria conduce a la expresion

A ≡

⎡⎢⎢⎣a1 a2 a3 −a4

a2 a1 a4 −a3

a3 −a4 a1 a2

a4 −a3 a2 a1

⎤⎥⎥⎦ =MA.

En general, las matrices cuadradas Mn×n con la suma y el producto dematrices, conforman un algebra geometrica. Un caso particular lo constituyenlas matrices 4× 4, cuya base consta de 16 elementos.

El conjunto

{MEi| 1 ≤ i ≤ 4}

6.8. REPRESENTACION MATRICIAL DEL PRODUCTO 291

es un conjunto linealmente independiente de matrices 4 × 4. Es obvio quegenera un espacio vectorial para la suma de matrices de la misma dimension.Para comprobar que genera un algebra geometrica, se debe demostrar quees cerrado para el producto. Esta operacion se representa en la tablaa quesigue.

◦ ME1 ME2 ME3 ME4

ME1 ME1 ME2 ME3 ME4

ME2 ME2 ME1 ME4 ME3

ME3 ME3 −ME4 ME1 −ME2

ME4 ME4 −ME3 ME2 −ME1

Figura 6.10

Tenga presente, que para los multivectores A y B, el producto

AB = (a1b1 + a2b2 + a3b3 − a4b4)E1

+ (a1b2 + a2b1 − a3b4 + a4b3)E2

+ (a1b3 + a2b4 + a3b1 − a4b2)E3

+ (a1b4 + a2b3 − a3b2 + a4b1)E4

De acuerdo con la tabla, para 1 ≤ i ≤ 4(∑aiMEi

)(∑biMEi

)= (a1b1 + a2b2 + a3b3 − a4b4)ME1

+ (a1b2 + a2b1 − a3b4 + a4b3)ME2

+ (a1b3 + a2b4 + a3b1 − a4b2)ME3

+ (a1b4 + a2b3 − a3b2 + a4b1)ME4

= c1ME1 + c2ME2 + c3ME3 + c4ME4.

De las dos igualdades se deduce la propiedad de cerradura del producto ycomparando con los coeficientes de AB, se establece la relacion,

MAMB =MAB.

Tambien se puede afirmar que

MAB ≡ AB.


En este momento es importante describir una biyeccion que relacione losmultivectores de Cl2 con las matrices MA. Sean {MA} el algebra generadapor {MEi

, 1 ≤ i ≤ 4} y una biyeccion; θ : Cl2 ←→ {MA} definida por laigualdad

Aθ =MA.

Indudablemente θ es un isomorfismo, en efecto

(A+B)θ =M(A+B)

=MA +MB

= Aθ +Bθ,

(AB)θ =MAB

=MAMB

= (Aθ)(Bθ).

A partir de ahora es matematicamente correcto decir que A ≡MA, en cuyocaso el multivector A se asimila a la primera colunma de la matrizMA, o⎡⎢⎢⎣

a1

a2

a3

a4

⎤⎥⎥⎦ .El producto geometrico de los multivectores A, B se puede escribir usandola siguiente definicion

Definicion 6.8.2. Dados los vectores A,B de Cl2, el producto geometricoAB, se define por

AB =MA

[b1 b2 b3 b4

]T,

donde T indica la transpuesta.

Ejemplo 6.8.1. Sean A = E1 + E2 − E4, B = E1 − E2 + E4. Hallar AB.

Solucion.

AB =

⎡⎢⎢⎣1 1 0 11 1 −1 00 1 1 1−1 0 1 1

⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎣

1−101

⎤⎥⎥⎦ =[1 0 0 0

].

En conclusion, AB = E1.

6.9. EL INVERSO DE UN MULTIVECTOR 293

6.9. El inverso de un multivector

Dado un multivector arbitrario, se plantea el problema de verificar si tieneinverso y en caso afirmativo hallar la forma de calcularlo. El algebra linealestablece que una matriz Mn×n es inversible si su determinante es diferentede cero.

Continuando con el proceso desarrollado en Cl2, supongamos que MA

tiene inversa; M−1A . Entonces,

(MA)(M−1A ) = (M−1

A )(MA)

=ME1.

Como θ es sobreyectiva, existen multivectores A,B tales que Aθ = MA,Bθ =M−1

A . Aplicando la funcion inversa, B = (M−1A )θ−1; por lo tanto

(AB)θ = [A(M−1A )θ−1]θ

= Aθ(M−1A )

=MA(M−1A )

=ME1.

En consecuencia,AB = E1.

Mediante un argumento similar se concluye que

BA = E1,

lo que permite decir queB = A−1.

Se ha comprobado que una condicion necsaria para que A tenga inverso, esque el determinante deMA sea diferente de cero. Y en este caso

M−1A =MA−1.

Ejemplo 6.9.1. Sea A = E1 + E2 −E4. Hallar A−1.

Solucion.

MA =

⎡⎢⎢⎣1 1 0 11 1 −1 00 1 1 1−1 0 1 1

⎤⎥⎥⎦ ,


Como MA es invertible,

MA−1 =

⎡⎢⎢⎣1 −1 0 −1−1 1 1 00 −1 1 −11 0 −1 1

⎤⎥⎥⎦ .Luego,

A−1 = E1 −E2 + E4.

6.9.1. El producto geometrico en Cl3

Si se considera la base algebraica B3 = {E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8} de Cl3,un multivector A tiene la forma

A = a1E1 + a2E2 + a3E3 + a4E4 + a5E5 + a6E6 + a7E7 + a8E8,

donde los ai son reales.

Teniendo presente que E1 ≡ 1, E2 ≡ e1, E3 ≡ e2, E4 ≡ e3, E5 ≡ e12,E6 ≡ e31, E7 ≡ e23 y E8 ≡ I; el producto se representa por la tabla

Cl3 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

E1 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8

E2 E2 E1 E5 −E6 E3 −E4 E8 E7

E3 E3 −E5 E1 E7 −E2 E8 E4 E6

E4 E4 E6 −E7 E1 E8 E2 −E3 E5

E5 E5 −E3 E2 E8 −E1 E7 −E6 −E4

E6 E6 E4 E8 −E2 −E7 −E1 E5 −E3

E7 E7 E8 −E4 E3 E6 −E5 −E1 −E2

E8 E8 E7 E6 E5 −E4 −E3 −E2 −E1

Figura 6.11

Siguiendo un proceso similar al desarrollado para Cl2, se construyeMA, unamatriz cuadrada 8× 8. El multivector A, como esta previsto. corresponde ala primera columna de esta matriz.

6.9. EL INVERSO DE UN MULTIVECTOR 295

MA =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a1 a2 a3 a4 −a5 −a6 −a7 −a8

a2 a1 a5 −a6 −a3 a4 −a8 −a7

a3 −a5 a1 a7 a2 −a8 −a4 −a6

a4 a6 −a7 a1 −a8 −a2 a3 −a5

a5 −a3 a2 a8 a1 −a7 a6 a4

a6 a4 a8 −a2 a7 a1 −a5 a3

a7 a8 −a4 a3 −a6 a5 a1 a2

a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

Ejemplo 6.9.2. Sea A = E1 + E2 + E7. Hallar A−1.

Solucion.

MA =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1 1 0 0 0 0 −1 01 1 0 0 0 0 0 −10 0 1 1 1 0 0 00 0 −1 1 0 −1 0 00 0 1 0 1 −1 0 00 0 0 −1 1 1 0 01 0 0 0 0 0 1 10 1 0 0 0 0 1 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

Calculando la inversa deMA, se obtuvo

M−1A =

1

10

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

2 2 0 0 0 0 6 −42 2 0 0 0 0 −4 60 0 2 −6 2 −4 0 00 0 6 2 −4 −2 0 00 0 2 4 2 6 0 00 0 4 −2 −6 2 0 0−6 4 0 0 0 0 2 24 −6 0 0 0 0 2 2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦,

El inverso de A, corresponde al multivector

A−1 =1

10(2E1 + 2E2 − 6E7 + 4E8).


En general, para Cln, el producto geometrico puede ser representado mediantematrices cuadradas de orden 2n × 2n; definiendo las matrices

MA =[[a1 a2 · · · a2n

]Γi

]2n×2n

.

Estableciendo la equivalencia

Ei ≡MEi,

el multivector A se expresa en la forma

A =

2n∑i=1

aiEi ≡2n∑i=1

aiMi.

Se establece un isomorfismo que relaciona los multivectores de Cln con lasmatrices MA. Si {MA} es el algebra generada por {MEi

, 1 ≤ i ≤ 2n}, labiyeccion; θ : Cln ←→ {MA} definida por la igualdad

Aθ =MA.

es el isomorfismo requerido.Finalmente se establece la relacion

A ≡MA.

El multivector A se simila a la primera columna deMA. El producto de losmultivectores A,B se define por la igualdad

AB =MA

[b1 b2 · · · b2n

]T,

y si el determinante de A es diferente de cero, el inverso de A esta dado por

A−1 ≡MA−1.

Un desarrollo formal de lo bosquejado anteriormente se encuentra en la bi-bliografıa.

EJERCICIOS

1. En Cl2, dado A = E1 + E2 + E4.

6.10. VERSORES 297

a) Halle

A−1.

b) Demuestre que

A−1 = A(AA)−1 �= (AA)−1A.

c) Demuestre que

A−1 = (AA)−1A �= A(AA)−1.

2. En Cl2, dado A = a1E1 + a2E2 ∧ E3.

Demuestre que

A−1 =a1E1 − a2E2 ∧ E3

a21 + a2

2

.

6.10. Versores

Los versores son una clase especial de multivectores, concebidos como elproducto geometrico de 1-vectores. Son importante en el desrrollo del algebrageometrica porque permiten la representacion de cierta clase de funcionesdenominadas transformaciones.

Definicion 6.10.1. Un versor es un multivector que puede ser expresado co-mo el producto geometrico de un numero determindo de 1-vectores no nulos.Se representan en la forma V =

∏ki=1 ni, donde {n1, n2, . . . , nk} ⊂ Rn con k

un entero positivo; es un conjunto de vectores no necesariamnte linelmenteindependientes.

Lema 6.10.1. El subconjunto de los versores de Cln forma un grupo para elproducto geometrico. Se denomina el grupo de Clifford.

Demostracion. Para demostrar que el producto esta bien definido, sean BV

el subconjunto de los versores de Cln, V1, V2 versores; entonces

V1 =

k∏i=1

ni, V2 =

l∏i=1

mi.

Como k, l son enteros positivos, sea r = k + l. Renombrando los vectores deV2, se puede escribir

V1 =

k∏i=1

ni, V2 =

r∏i=k+1

ni.


Entonces

V1V2 =

r∏i=1

ni,

igualdad que indica que el producto esta bien definido.La verificacion de la propiedad asociativa y la existencia del elemento de

identidad tanto a izquierda como a derecha son consecuencia de las propie-dades generales del producto geometrico.

Por otra parte, como cada uno de los vectores no nulos ni tiene su inverso,sea

V −1 =

1∏i=k

n−1i .

Definicion 6.10.2. Un versor V se dice unitario si V −1 = V , es decirV V = +1.

Ejemplo 6.10.1. El versor√

55

(E1 − 2E4) es un versor unitario.

La demostracion de los dos lemas que se enuncian a continuacion se asig-nan como ejercicios. Un desarrollo detallado de estos topicos se encuentra enla bibliografıa.

Lema 6.10.2. El conjunto de los versores unitarios de Cln es un subgrupodel grupo de Clifford, denominado el grupo pin.


Definicion 6.10.3. Un versor V de Cln se denomina un espinor si es uni-tario (V V = +1) y se puede expresar como el producto geometrico de unnumero par de 1-vectores. Esto significa que un espinor es una combinacionlineal de multivectores de grado par.

Lema 6.10.3. El conjunto de los espinores de Cln es un subgrupo del grupopin, denominado el grupo spin.


Definicion 6.10.4. Un versor nulo es el producto geometrico de k enterospositivos, no necesariamente linealmente independientes 1-vectores {ni}, ta-

les que V =∏k

i=1 ni y V V = 0. Esto significa que al menos uno de los ni esun vector nulo.

6.11. EL PLANO EUCLIDIANO 299

EJERCICIOS



6.11. El plano euclidiano

De acuerdo con las ideas de David Hestenes, todo vector a determina unaunica lınea orientada. Esto es, si x es un vector tal que para un escalararbitrario k;

x = ka,

entonces x pertenece a la lınea orientada determinada por a. La igualdadanterior se denomina la ecuacion parametrica de la a-lınea.

Un vector x se dice positiva o negativamente orientado, si x · a > 0o x · a < 0; respectivamente. Esta distincion que define la positividad onegatividad de un vector, se conoce como la orientacion o el sentido de laa-lınea y el vector unitario a ‖ a ‖−1 se denomina la direccion.

Segun el teorema 6.6.1, el conjunto {a} es base del espacio nulo

S1 = {ka}.

Por lo tanto, si x ∈ S1; entonces

x ∧ a = 0,

igualdad conocida como la ecuacion no parametrica de la a-lınea.Del razonamiento anterior, se concluye que la ecuacion

x ∧ a = 0

tiene por solucion el espacio nulo S1.De igual manera, a partir de dos vectores ortogonales unitarios, se puede

describir algebraicamente el plano.Dados ν1, ν2 dos vectores ortogonales unitarios e i definido por

i = ν1ν2 = ν1 ∧ ν2 = −ν2 ∧ ν1 = −ν2ν1

donde ν1 · ν2 = 0.


Como todo bivector es de la forma A〈2〉 = ki, con k ∈ R,sea el espacio nulo

S2 = {x | x ∧ A〈2〉 = 0.}Entonces

x ∧ ki = 0.

De esta ecuacion se dice que representa el A-plano, donde el escalar k es ladireccion, i determina una orientacion e i es la orientacion opuesta.

Lo anterior demuestra que todo bivector representa el mismo plano quei con la misma u opuesta orientacion, dependiendo que k sea positivo onegativo.

Ademas, como x ∈ S2

x = λ1ν1 + λ2ν2

igualdad que representa la ecuacion parametrica del i-plano, donde los esca-lares λ1, λ2 son las componentes rectangulares del vector x con respecto ala base {ν1, ν2}. Dos vectores ortogonales se representan por medio de seg-mentos dirigidos perpendiculares y el seudoescalar i, por medio de un areaunitaria dirigida; de tal manera que el area dirigida de cualquier porcion deplano en el i-plano es un multiplo escalar de i.

θi

λ1ν1

λ2ν2

ν2

a = ν1z

ν1−λ2ν1

Figura 6.12

6.11.1. Interpretacion geometrica de los bivectores enel plano euclidiano

En este apartado se estableceran algunos hechos mencionados en la seccion6.1.1, con relacion al seudoescalar i,


Si nultiplicamos a derecha por i a cada uno de los vectores basicos, seobtiene

ν1i = ν1ν1ν2 = ν2

ν2i = ν2ν1ν2 = −ν1.

Las relaciones anteriores muestran que se multiplicamos ν1 a derecha por i,lo transforma en ν2, transformacion que consiste en rotar ν1 noventa gradosen sentido contrario a las manecillas del reloj. Similarmente, multiplicar ν2

a derecha por i, lo rota noventa grados en sentido contrario a las manecillasdel reloj, cambiandole ademas la direccion. Por otra parte,

ν1i2 = −ν1, ν2i

2 = −ν2,

establece que dos rotaciones de noventa grados consecutivas, invierte la di-reccion de cualquier vector, dandole significado geometrico a la igualdad

i2 = −1.

Si tomamos el vector a del i-plano y lo multiplicamos a derecha por i, o sea,

ai = (λ1ν1 + λ2ν2)i = λ1ν2 − λ2ν1,

de donde se infiere que el vector a ha sido rotado noventa grados en sentidocontrario a las manecillas del reloj.

Convencionalmente se etablece que la orientacion positiva de un planocorresponde a girar en sentido contrario a las agujas del reloj.

6.11.2. El i-plano espinor

Teniendo en cuenta que i = ν1ν2 y que ‖ i ‖= 1, es obvio que i es un espinor.La interpretacion geometrica de la ecuacion

i2 = −1,

lleva a la construccion del i-plano espinor. Multiplicando ambos lados dedicha ecuacion por −1, se tiene

−i2 = 1,


A partir de esta relacion y del hecho que i y −i2 son ortogonales, el conjunto{−i2, i} es base de un espacio bidimensional de vectores.

De acuerdo con lo expuesto, todo numero real λ, se puede expresar en laforma

λ = λ(−i2),hecho que permite escribir cualquier elemento z del i-plano espinor mediantela expresion

z = λ1 + iλ2.

Por otra parte, si tomamos el producto geometrico del vector λ1ν1 +λ2ν2 conel vector basico ν1, se obtiene el versor z, ası

z = ν1(λ1ν1 + λ2ν2)

= λ1ν21 + λ2ν1ν2

= λ1 + iλ2.

El i-plano espinor, se puede decir, que esta conformado por los versores z dela forma

z = λ1 + iλ2.

Note la semejanza del versor z con los complejos, pero a pesar de estacircunstancia, tanto i como z tienen propieades geometricas y algebraicasque van mas alla de las presentadas por los complejos.

El conjunto de los versores del i-plano puede ser representado por seg-mentos dirigidos o por puntos del i-plano.

Si escogemos el producto geometrico del vector basico ν1 con el vectora, el versor z se puede representar mediante un sistema coordenado; dondeν1 corresponde al eje de los escalares e i al eje de los seudoescalares, comoaparece en la figura.

eje escalar

eje seudoescalar

θλ1

λ2

i

z = λ1 + λ2ν2

−i1

Figura 6.13


De acuerdo con lo visto, cada versor z es un multiplo escalar de i. Ademas,todo vector a en el i-plano de los vectores determina un unico z en el i-planoespinor, dado por

z = ν1a = ν1(λ1ν1 + λ2ν2) = λ1 + iλ2.

Recıprocamente, cada z en el i-plano espinor, determina un unico vector aen el i-plano de los vectores ası

ν1a = z

ν21a = ν1z

a = ν1z.

Los elementos del i-plano de los vectores presentan propiedades algebraicasdiferentes a los versores del i-plano espinor, debido a las diferentes interpre-taciones de i en cada uno de ellos. La primera es considerar a i como unarea unitaria dirigida determinante de la direccion del plano; la segunda esconsiderarlo como un operador que rota cualquier vector noventa grados, esdecir como un generador de rotaciones.

La igualdad

a = ν1z = ν1(ρ1 + iρ2)

nos dice que si operamos a ν1 a la derecha por el versor z, se transforma enun vector a, mediante una rotacion de ν1 un angulo

ϑ = arctan(ρ2/ρ1)

seguido de una dilatacion

‖ z ‖=√ρ2

1 + ρ22.

Debido a la escogencia arbitraria de z, se concluye que z debe tener el mismoefecto sobre cualquier vector del i-plano. En estas circunstancias, cada versordel i-plano espinor representa una rotacion–dilatacion.

Si se considera el producto az, donde λ1, λ2, ρ1, ρ2 son escalares positivos

az = (λ1ν1 + λ2ν2)(ρ1 + iρ2)

= (λ1ρ1 − λ2ρ2)ν1 + (λ1ρ2 + λ2ρ1)ν2


La igualdad indica que el versor z convierte a a en un vector az. Por otraparte,

‖ az ‖ =√

(λ1ρ1 − λ2ρ2)2 + (λ1ρ2 + λ2ρ1)2

=√

(λ1 + λ2)2(ρ1 + ρ2)2

=‖ a ‖‖ z ‖,

significa una rotacion de a un angulo

ψ = arctan [(λ1ρ2 + λ2ρ1)/(λ1ρ1 − λ2ρ2)]− arctan (λ2/λ1),

seguida de una dilatacion igual a ‖ z ‖.¿Pero que sucede en algunos puntos especiales del plano?Los puntos del cırculo unitario o el conjunto de los versores unitarios,

exceptuando i, −i, 1 y −1; presentan la relacion

λ21 + λ2

2 = ρ21 + ρ2

2 = 1, ‖ az ‖= 1,

relacion que demuestra que a presenta una rotacion igual al angulo ψ, peropermanece invariante con respecto a la dilatacion; o sea que los versoresunitarios representan dilataciones puras.

Respecto a i, −i y −1, representan rotaciones de π2, 3π

2y π: repectiva-

mente.Para los puntos del eje de los escalares

a = ±λ1ν1, z = ±ρ1, az = λ1ρ1ν1,

esta relacion muestra que los punto de los ejes coordenados representan di-lataciones iguales a |ρ1|; los positivos representan dilataciones puras y losnegativos rotaciones iguales a π.

Por su parte, los puntos positivos y negativos del eje de los seudoescalaresrepresentan rotaciones de π

2y 3π

2, respectivamente; seguidas de dilataciones

de |ρ2|.Dado el versor z = λ1 + iλ2 y teniendo en cuenta que

λ1 = λ1, i = −i,

entoncesz = λ1 − iλ2.


Esta igualdad muestra la relacion existente entre el reverso de un versor yel conjugado de un complejo y por consiguiente entre la notacion usual delmodulo del segundo y la norma de z.

‖ z ‖2 = zz

= zz

= λ21 + λ2

2.

La separacion de un versor en sus partes constituyentes, escalar y seudoes-calar, tiene su representacion analoga a la de un complejo en parte real eimaginaria.

λ1 = Re[ z ] =z + z

2

λ2 = Im[ z ] =z − z

2i.

Finalmente, tomando en consideracion lo estudiado, todo multivector A deli-plano se representa por

A = a1 + a2ν1 + a3ν2 + ia4

donde cada uno de los ai es un real.Entonces

A = [a2ν1 + a3ν2] + [a1 + ia4]

= a+ z.

Concluyendose, que todo multivector del i-plano es una combinacion lineal devectores con versores, esto es multivectores de grado impar con multivectoresde grado par.

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Este libro se terminó de imprimir en los talleres de Imagen Editorial en el mes de febrero de 2013

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Oscar Fernández SánchezEdgar A. Valencia Angulo

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9 789586 488501

ISBN 978-958-648-850-1

El estudio del álgebra moderna en las instituciones de educación superior tiene por objeto ordenar el pensamiento con arreglo al método axiomático, para desarrollar el juicio lógico indispensable en la labor del matemático. En este aspecto, el autor presenta un trabajo prolijo que será de gran ayuda al estudiante que se inicia en el conocimiento de esta disciplina.

Estamos sin duda frente a un material valioso para los interesados en conocer de cerca los fundamentos del álgebra moderna.

Colección: Ciencias exactas Área: Matemáticas

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