J.E.N.440Sp ISSN 0031-3397

ALGUNOS RESULTADOSSOBRE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

EN FÍSICA NO-LINEAL

por

Cátedra de Física Teórica de laFacultad de Ciencias Físicas dela Universidad Complutense deMadrid.

JUNTA DE ENERGÍA NUCLEAR

MADRID,1979

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES

F51NONLINEAR PROBLEMSCONSERVATION LAWSVARIATIONAL METHODSSOLITONSWAVE~ FUNCTIONSKORTEWEG-DE VRIES EQUATIONPERTURBANCE THEROYLIE GROUPS

Toda correspondencia en relación con este traba-jo debe dirigirse al Servicio de Documentación Bibliotecay Publicaciones, Junta de Energía Nuclear, Ciudad Uni-versitaria, Madrid-3, ESPAÑA.

Las solicitudes de ejemplares deben dirigirse aeste mismo Servicio.

Los descriptores se han seleccionado del Thesaurodel INIS par a-describir las materias que contiene este in-forme con vistas a su recuperación. Para más detalles con_sultese el informe HJEA-INIS-12 (INIS: Manual de Indiza-ción) y IAEA-INIS-13 (INIS: Thesauro) publicado por el Or-ganismo Internacional de Energía Atómica.

Se autoriza la reproducción de los resúmenes ana-líticos que aparecen en esta publicación.

Este trabajo se ha recibido para su impresión enDiciembre de 1978.

Depósito legal n2 M-5560-1979 I. S.B.N. 84-500-3087-0

NOTA

El presente trabajo corresponde al Informe #2 del

equipo vi) Problemas Físicos no Lineales, del Subprograma

de la J.E.N. sobre Confinamiento Inercial, .proyecto Láser-

Fisión-Fusion, descrito en el Informe JEN-35I.

Í N D I C E

0 . PROLOGO

1. CARACTERIZACIÓN DEL NÚCLEO DE -p- EN ANÁLISIS VARIACIONALóu

L. Abellanas y A. Galindo 4

2. SOBRE LA ECUACIÓN |í- = aou

A. Galindo 11

3. LEYES DE CONSERVACIÓN EN ECUACIONES DE EVOLUCIÓN NO-LINEALES

POLINOMICAS DE ORDEN PAR

L. Abellanas y A. Galindo 16

4. ECUACIONES DE EVOLUCIÓN. CON UN CONJUNTO DADO DE DENSIDADES

CONSERVADAS

A. Galindo 40

5. A CRITICAL-INSIGHT ON SOME THEORETICAL.AND PRACTICAL ASPECTS OF

THE LIE INVARIANCE METHOD I.

L. Abellanas, F. Guil y L. Martínez Alonso 51

6. UNA CLASE SIMPLE DE PERTURBACIONES EN ECUACIONES DE ONDAS NO

LINEALES

R. Fernández Alvarez-Estrada 70

7. ON A LARGE FAMILY OF NON-LINEAR P.D.E. HAVING SOLITON-LIKE

SOLUTIONS

G. García Alcaine y F. Ramírez Cacho 84-

PROLOGO

En esta Memoria se recogen algunos resultados nuevos sobre ecuaciones

no-lineales en derivadas parciales de dos 6 más variables, obtenidos dentro

del programa de investigación que la Cátedra de Física Teórica de la Univer

sidad Complutense de Madrid realizo durante el año 1977, en contrato subveii

cionado por el Instituto de Estudios Nucleares (J.E.N.). Debido a su recien_

te obtención, los presentamos en forma preliminar, que no variará substan-

cialmente sin embargo cuando sean sometidos a publicación en las próximas

semanas.

En su mayoría los trabajos aquí expuestos se inscriben dentro del pro-

blema genérico de hallar las leyes de conservación de ecuaciones no-linea-

les de evolución (en varias variables). La importancia del tema está ligada

a la sospecha de que por una parte el número de ecuaciones que presentan

comportamientos a la KdeV debe ser muy escaso y por otra parte a las sor-

prendentes conexiones que parece haber entre la existencia de solitones y

la de infinitas leyes no triviales de conservación. En el caso particular de

las ecuaciones provenientes de un Lagrangiano, Ibragimov ha probado que to

das" las leyes de conservación son derivables de invarianciss de tipo Lie ge-

neralizado. De ahí el interés de analizar en detalle las posibilidades prác

ticas del método de Lie en la esperanza de llegar a obtener, por algoritmos

sencillos, las leyes de conservación de una ecuación prefijada, asi como in

tentar más adelante llegar a una conexión explícita entre ambas facetas pa-

ra E.D.P. arbitrarias.

Pasamos a resumir brevemente los contenidos de los trabajos de esta me

moria:

1) En el primer trabajo se resuelve completamente el problema de determinar

las leyes de conservación de cualquier ecuación de evolución lineal en n va

riables. El método empleado constituye una extensión del algoritmo introdu-

cido por Gel'fand-Dikii (1975). Su naturaleza puramente algebraica permite

caracterizar el núcleo de -=— de forma elegante, lo que ya de por sí consti¿u - _

tuye un logro notable. La complejidad algebraica de este método para proble

mas polinómicos no lineales obliga a recurrir al análisis funcional en este

caso.

- 2 -

2) En forma dual, el segundo trabajo caracteriza el recorrido de la derivada

variacional mediante un criterio compacto y de sencilla aplicación. Sorpren-

dentemente este tipo de resultados no han sido tratados hasta ahora en Mecá-

nica Variacional.Incluso el criterio equivalente de que la derivada Fréchet

sea autoadjunta para ecuaciones de tipo variacional no fue probado hasta

1969. La equivalencia entre este último criterio y el aquí expuesto parece

ocultar propiedades algebraicas intrínsecas inherentes a la derivada de Fré-

chet.

3) El tercer trabajo inicia de forma sistemática el análisis de las densida_

des conservadas en cualquier ecuación de evolución no lineal y polinómica.

Una exploración preliminar nos mostró la enorme diferencia de comportamiento

que las de orden par y las de orden impar parecen ofrecer. Por ello este tra_

bajo ataca solamente las de orden par en su máxima derivada. La conclusión

quizás más sorprendente es que las densidades no triviales conservadas por

tales ecuaciones dependen tan sólo a lo sumo de un pequeño número de deriva-

das, con lo que fenómenos del tipo KdeV son imposibles en este marco. En

cuanto al número de tales densidades (disequivalentes) lo único que hemos po_

dido concluir es que genéricamente es finito, pero no disponemos de momento

de un resultado riguroso que prohiba la existencia de infinitas para alguna

ecuación particular.

Entre otros casos se discute en detalle la situación de orden 2 y se

dan criterios restrictivos para que una ecuación de orden par tenga una o va_

rias leyes de conservación.

4-) En el cuarto trabajo se ofrece, mediante un algoritmo recurrente,la posi

bilidad de construir explícitamente ecuaciones de evolución (no lineales y

no polinómicas en general) que conservaiuna familia finita prefijada de den_

sidades P ,..,P . Aparte de su interés como método constructivo, la cu-

riosa fórmula obtenida permite concluir resultados generales sobre la forma

de la ecuación para que pueda conservar una o más densidades.

5) En el siguiente trabajo se formula rigurosamente, en lenguaje de varieda-

des, la condición de invariancia Lie de una ecuación arbitraria. Se ha pues-

to especial énfasis en la condición de regularidad del jacobiano, que puede

conducir, por omisión, a aplicaciones erróneas del método. Se hace asimismo

- 3 -

un análisis de la variación del grupo de invariancia con la forma algebrai-

ca de la ecuación, y unas observaciones críticas sobre el alcance real del

método a la hora de hallar soluciones de similaridad, incluyendo la posibi-

lidad de transformaciones dependientes de las derivadas hasta un cierto or-

den.

6) Los problemas de evolución no-lineal cuando existen, además, perturba-

ciones de .tipo estocástico han ido adquiriendo un creciente interés. La com

plejidad del tema sugiere comenzar estudiando modelos matemáticos en los

que es posible controlar la existencia de soluciones, aun cuando estas sean

"pequeñas". Este trabajo, de carácter marcadamente preliminar, contiene al-

gunos resultados de obtención mas bien directa sobre una clase de perturba-

ciones estocásticas en ecuaciones de ondas no-lineales.

7) En este trabajo se estudia una familia de ecuaciones no-lineales que

comprende ejemplos relacionados con importantes problemas físicos. Se discu_

ten las soluciones de tipo onda solitaria, y se prueba que los llamados "s£

litones algebraicos" y las ondas de choque halladas en una generalización

de la ecuación de Korteweg-de Vries existen también para toda esta familia

de ecuaciones y son límites de ondas solitarias del tipo general. Se ha in-

vestigado numéricamente la interacción de ondas solitarias entre sí o con

oscilaciones y se ha comprobado que no experimentan modificaciones aprecia-

bles. El fenómeno de la existencia (exacta o aproximada) de solitones pare-

ce pues ser mucho más frecuente de lo que es generalmente admitido. Ello

ofrece buenas perspectivas a la hora de buscar modelos matemáticos para sis

temas físicos que contengan objetos estables (por ejemplo, partículas ele-

mentales) .

Queremos finalmente agradecer al Instituto de Estudios Nucleares de la

Junta de Energía Nuclear la financiación económica de estos trabajos y la

confianza depositada en nuestro grupo. Asimismo nuestro agradecimiento a

Ascensión Iglesias por el cuidadoso mecanografiado de estas notas.

Madrid, Enero 1978

CARACTERIZACIÓN DEL NÚCLEO DE EN ANÁLISIS VARIACIONAL

L. Abellanas y A. Galindo

1.INTRODUCCIÓN

En esta breve nota presentaremos una demostración rigurosa y directa

del siguiente resultado: -~- = 0 equivale a que f sea una divergencia. Es0 VA. ""*

to ha sido probado por Gel'fand S Dikii \l\ en el caso de una variable

gracias a un elegante algoritmo algebraico que traduce las principales ope_

raciones del análisis variacional en operaciones elementales dentro de un

álgebra de polinomios simbólicos• La técnica que vamos a utilizar es preci_

sámente una generalización de ese algoritmo para una situación general con

n variables. Sin la ayuda de esta estructura algebraica auxiliar aparece

como una tarea muy ardua la demostración del resultado.

Para fijar la notación, sea una función u = u(x,y,..,w) dependiente

de n variables (x,y,..,w) = x, y sea un multiíndice M = (M ,..,M ) con

s M + . . . + M . Denotaremos

uM. M

j 1 —\ nX . . . <7W

Análogamente en el caso de una multivariable 1 = (X,Y,..,W) denotamos

^ S X 1 Y 2...W^.

2. ALGEBRA SIMBÓLICA

Sea G el anillo de polinomios, sobre 0, en las variables u,u , ..,u ,..;

asimismo denotaremos por < Y. el de los polinomios simétricos en las multiva_

riables V , . . . " ) . , . . , donde ~) . •= (X. ,Y.,.. ,W.) es un conjunto de n inde-1 1 1 1 1 J

terminadas.

Vamos a definir una aplicación que a cada polinomio P 6 (j le asignará

un polinomio P 6 (V. . Se define como la extensión lineal de la siguiente

asignación a monomios:

N N NF H U N U N ""N " * ?(}l'-" V " P (^i l l2 2 - - V +simétricos) (D

1 2 r

Más explícitamente si N. =.(N. .,..,!*. ) y si "J • H (X.,.. ,W.), entonces

N N N N N N NF M \ ^ - 1 fy ljL Y 1 2 w l n y 2 1 w 2 n y 3 1 w m + ,-f™ i n on> l S.., >r; - -, CX1 Y1 ..W1 X2 . .W2 X3 . .Wr +sim.) (I1)

entendiendo que la simetrización afecta a los subíndices de ~">. . •. ~\ , tal

como queda patente en (1).

Ejemplo: V y y — > \ ( X ^ + X ^ ) .

De manera que F es un polinomio en r variables, simétrico y de grado

Analizaremos a continuación cómo se realizan en este formalismo las ope

raciones más importantes del análisis variacional.

a) Derivaciones totales

Es inmediato probar que actúan por simple multiplicación

(2)

- 6 -

La analogía que esto sugiere con la transformación de Fourier puede compren_M

derse sin más que observar que en esta asignación simbólica u^ — ^ ^ , que

es equivalente a hacer transformada Fourier y conserva tan sólo el coeficien_

te, puesto que^Cuw)^ ^ u( ] ). Más aún, la aplicación (1) no es sino el

producto tensorial sirnetrizado de J Cu )...T'(u^ ).

b) Derivadas parciales en u_

Es fácil ver que — =21 "\r "*i l i

J ' donde ^ indica lar i

ausencia de u^ en ese sumando. Pues bien, su correspondiente expresión simi

bólica resulta ser:

r

1(3)

Análogamente se prueba que:

donde L! = L I L I ... L 1

c) Derivada variacional

• <r

De la expresión — — = (-1),

M

n

|M|=0

i nJ Dx ...D " deducimos:M+..+M=|M| W UM

Esta sencilla interpretación de - como un desarrollo de Taylor en el álgebra

simbólica es el elegante resultado de Gel'fand S Dikii que permite simplifi-

car extraordinariamente cuestiones como la que nos ocupará en la próxima sec-

cion, a saber cómo ha de ser un polinomio P G(J para quesu = 0.

- 7 -

3. EL NÚCLEO DE

El esquema simbólico que acabamos de exponer permite una demostración

rápida del siguiente:

Teorema: Sea P G M . Entonces

(i) P = div A, A. 6 <f =^> •!£• = 0] W

(ii) -^- = 0, P(0,..,0) = 0 =$• 3 A. 6<J 3> P = div Á*

Demostración: (i) Evidente si se tiene en cuenta que — — D. = 0, donde D.5u D ]

•denota indistintamente D ,.•,D .x w

(ii) Podemos restringirnos al caso de un polinomio homogéneo P(de lo

contrario basta argumentar para cada componente homogénea) de grado r. Sea

P el correspondiente bajo la asignación definida en la sección anterior.

Por hipótesis se verifica

siempre que r f 0, razón por la que se excluyen en el enunciado los

P>P(0,...,0) i 0.

En otras palabras P se anula sobre el n(r-l)-plano definido por

")_. + ... +3 = 0. El teorema de la base finita de Hilbert, junto con el carac_

ter lineal de los generadores de esta variedad de ceros implica que

]A j..,A 6 (^ homogéneos y tales que:

relación que es inmediatamente interpretable en (J como

P(u,ux,..,uM,..) = div A , A = A1,..,A

siendo A. el polinomio de (J que corresponde a A.. (QED)

Así por ejemplo para

P = u -<3u + 3u + 2u u + 4u +3u fu + u 1 + 3u fu + u "1 Vxx yy xx yy xy xL xxx xyy J y L xxy yyy ] r

cuya derivada variacional es nula,el polinomio asociado resulta ser:

+ j (X^+sim) + | (Y^+sim) +-| (X^Y^+sim) + j (Y^X^ + sim)

que puede en efecto descomponerse como" P = (X.+X +X )A +(Y +Y +Y )A , don-X. Á o 1. 1. Á o /,

de:

A = \ (X.X^+sim) +-| (X.Y^+sim) + i (Y X Y +sim) - X X X - \ (X Y Y +sim)

y A se obtiene de A intercambiando X •«—> Y.

Por tanto P = div A, con

2 2A . = u u A u + 2 u ( u u + u u ) - u ( u + u )

1 x x x x y x y x x y

2 2A . = u u A u + 2 u ( u u + u u ) - u ( u + u )

2 y y y y x x y y x y

- 9 -

i+. APLICACIÓN A LAS ECUACIONES DE EVOLUCIÓN LINEALES EN VARIAS VARIABLES

Como ilustración práctica de la potencia del método algebraico antes

esbozado, vamos a analizar las posibles densidades conservadas por una ecua

ción del tipo

(5)

Para una densidad dada ? , que podemos suponer ya homogénea, digamos

P = Uj. ... VL. , el que sea conservada por la ecuación (5) significa que

r /"» » f p s e a u na divergencia. Según el teorema precedente, esto exige quelt i u

— í—*_ P] = 0. En lenguaje simbólico tenemos, con \ . s (X. ,Y.,..,W.):íu V íu / /3 3 3 D

Luego ^ j

Así que finalmente resulta ser, por (4-) y gracias a la simetría de P :P :

Si esto ha de anularse, y supuesto que P no sea trivial (es decir supuesto

íf» ?í 0 ) , ha de ser necesariamente

bu

- 10 -

Más explícitamente

L NL M M_ M^ M

M , . . , M 1 n

M + . . + M M M

( - 1 ) X n ( X 1 + " + X r 1 } ' • ( W 1 + " + W r 1 }

Por el signo (-1) es evidente que si > c¿ f 0, las únicas 9 con_IMlpar ' ~

servadas no triviales son P/^AiA. Que es conservada si y sólo si oC =0.\ J oo..o

Cuando |M| = 1, ?M en P, es decir si P es combinación lineal de

u ,u ,.. ,u , la condición (6) es vacía y en consecuencia V Pes conservada.x y w 1

Y salvo en ese caso especial, cuando ^> o( = 0, la condición (7) es¡Mi par

imposible salvo que r = l,2. Es decir que las únicas P posiblemente conserva-2 ^

das son combinación lineal de u, u , VL. Más aún, es fácil ver que todasL

ellas son conservadas en tal caso. De ahí el siguiente resultado, que permi-

te cerrar el análisis de densidades conservadas por ecuaciones de evolución

lineales en varias variables:

Teorema: (i) Si en (5) es > ^» s¿ 0 > ¥ f ** (conservada si y sóloIMlpar

si oC = 0).o".. .o

( i i ) S i en (5) e s > o4t, = 0 > se conse rvan l a s P combinaciolM|par2

M;« -~- - fnes lineales de u,u^(VL) y sólo éstas. Salvo que P sea combi-

nación lineal de u ,u ,..,u , en cuyo caso ¥ P es conservada.

Resultado que generaliza el obtenido en [3].

Referencias

[l] I.M.Gel'fand £ L.A.Dikii: Russian Math. Surveys 30:5 (1975), 77-113

[2] W.V. Hodge S D. Pedoe: "Methods of Algebraic Geometry" (Cambridge Univ.

Press 1968).

[3] L. Abellanas S A. Galindo: "Leyes de conservación en ecuaciones de evo-

lución no-lineales polinómicas de orden par" (en este volumen).

SOBRE LA ECUACIÓN — = a¿u

A. Galindo .Departamento de Física Teórica, UCM

El proposito de este breve nota es presentar condiciones necesarias y

suficientes sobre el segundo miembro a de la ecuación variacional Sf/S u = a

para que ésta admita alguna solución f. En otras palabras, vamos a caracte-

rizar operacionalmente el recorrido de —— . Para alguna aplicación de estar -. ¿u

caracterización, remitimos a 1AG 78aJ.

1. RECORRIDO DE -|- EN DIMENSIÓN 1¿u

Sea •J' el conjunto de funciones F(u,u.,u ,..) dependientes de una fun-

ción u(x) y de un número finito de sus derivadas u. = D ... D u, D = deri-

ivada total respecto de x, xGJR. Supondremos que todas estas funciones F

son suficientemente derivables respecto de sus argumentos. Y denotaremos

por ST = \ TeS- : F(0,0,...) = 0 j .

Si — i " - D ^ + DD^ -..., es sabido j~GD 75^ que:áu u \ u

2

-- f 9ro) = Ran (D f J O (1)

Por otro lado, es inmediato comprobar las siguientes relaciones:

= 0 (2)¿u Ou

-¿.(-1) ° °u FGRanD, VF G ¿F (3)

- 12 -

por lo que

Ran 4~ <= Ker 4—¿u Su1

o Ran -— c. Ran D, Vk impar\ ou

Ahora bien, estas restricciones (4) no son suficientes para determinar

Ran — — : así a & u + uouq satisface a = 0, o a6 Ran D, y sin embar

go, 3 f tal que a = of/Su (véase (14)).

Puesto que — — preserva el carácter homogéneo, podemos restringirnosou £

(admitiendo analiticidad para las F) a estudiar — — sobre polinomios homogé-¿u sr

neos; y el cálculo simbólico de Gel'fand-Dikii muestra entonces que Ran ——óu

está linealmente subtendido por polinomios cuyos símbolos asociados

*a( fe. , • • •> ,, . , ,T) satisfacen

Recíprocamente, todo a que satisfaga (5) está en Ran — — ; concretamen~ ó '

te, a = f, donde

5*

Pero la condición (5) equivale, via desarrollo de Taylor y cálculo sim-

bólico, a

Z ( M " 5 ( - 1 ) M - S D r ^ a = ^ a, k = 0,l,...,M (7)

r+s=k r UM-s UM-k

donde M es el mayor orden de derivación que aparezca en a.

Definiendo

[ ] u , Ag]R (8)j=o Uj

- 13 -

el sistema anterior (7) se cumple si y solo si K . a = 0, V Á .

En consecuencia

Ran -£— = f\ Ker K. (9)AAsm

A

Finalmente, hacemos notar que para funciones reales de argumentos reales,

K. a = 0 < > da = (da) , donde da es la derivada Fréchet de a. Esta

equivalencia se desprende del estudio de condiciones que aseguran que una

ecuación provenga de una densidad Lagrangiana. Por tanto, ^\ Ker K. proX X

porciona simultáneamente una caracterización operacional de la hermitici-

dad de la derivada Fréchet.

La resolución de la ecuación = a, cuando aSRan -=— , puede hacer

Sn ouse via (6). La solución es única modulo Ker r^— . Así,por ejemplo, sea

áu

a = 2uu4 + 4u±u3 - £^2 + 3u^. (10)

Su símbolo es

que satisface (5). Según (6),

f = | u2u4 + | uUlu3 - 2uUlu2 + uu2 . (12)

satisface f = a. Asimismo, lo hace

Su

2 3f = uu2 + u (13)

que difiere de la anterior en un elemento de Ker

Por contra, si a = u + u u , tenemos

- 14- -

= [ X 2 - (D + X ) 2 ] u 3 + [ > 3 + (D + X ) 3 ] u 2 + [ £ - (D + A

3 + ( D + X ) 3 ] u 2

En orden X , K. a contiene 2 A u , que no es idénticamente nulo. Luego

K a f 0, para algún A , y por tanto, a áE Ran — —A o u

2. RAN — — EN DIMENSIÓN > 1ou

La posibilidad FÁG 78bJ de extender el cálculo de Gel'fand-Dikii al

caso en que las funciones u(x) dependan de xfil , con reglas simbólicas

semejantes a las de la situación unidimensional, nos permite caracterizar

aSu

Ran inmediatamente en l a forma

Ran = í\ Ker KN (15)

d o n d e a h o r a

K = Z _ ^ A - ( -1) 1 " 1 (D+>) <3 (16)X L G ^ n L J UL

s i e n d o X = ( A , . . , A ) G J R n , L = (L , . . ,L ) G j n , I L | S L + . . + L ,

(D + A ) = ( D . + X. ) 1 . . . ( D + > ) n , y uT = D u . La e x p r e s i ó n ( 6 ) q u e p r o -í i n n ij

porciona una solución de —- = a se mantiene como es tá , en e l entendido

de que las § serán ahora mult ivariables de n componentes.

Por ejemplo, s i a = 2u Au + (y u) , es f ác i l ver que K . a = 0, vAsiR .

Y l a fórmula (6) conduce a

f = | u 2 A u + | u ( 7 u ) 2 (17)

o bien, módulo Ker -=— ,o u

f = - u ( V u ) 2 (18)

- 15 -

Por el contrario, a = ( Au) ffi Ker K. , y por tanto la ecuación — = ( Au)* Su

carece " de solución.

REFERENCIAS

[ÁG 78a] L.Abellanas, A.Galindo, "Leyes de conservación en ecuaciones de

evolución no-lineales polinómicas de orden par", en este volumen.

[ÁG 78b] L.Abellanas, A.Galindo, "Caracterización del núcleo de — en aná-

lisis variacional", en este volumen.

|*GD 75] I.M.Gel'fand, L.A.Dikii, Russian Math. Surveys 30:5 (1975) 77-113.

LEYES DE CONSERVACIÓN EN ECUACIONES DE EVOLUCIÓN NO-LINEALES POLINOMICAS

DE ORDEN PAR

L. Abellanas y A. Galindo

1. INTRODUCCIÓN

A raíz del descubrimiento de las extraordinarias propiedades que go-

za la ecuación de Korteweg-deVries (K de V), y concretamente la cadena de

interrelaciones que pueden subyacer a los solitones por un lado y a la

existencia de infinitas leyes de conservación por otro, ha comenzado a

surgir interés por el estudio de las densidades conservadas por ecuacio-

nes (no lineales en general) en derivadas parciales.

Curiosamente no ha habido, en nuestro conocimiento al menos, inten-

tos de analizar la cuestión en profundidad y con cierta generalidad. Qui-

zás la única excepción digna de mención lo constituya una serie de artícu

los enfocados bajo la óptica de los métodos de invariancia de Lie y algu-

nos refinamientos más recientes. Sin embargo el método clásico de Lie, en_

tendiendo por tal el que utilizan grupos de invariancia dependientes de

la función y sus variables independientes, ofrece tan sólo una visión muy

parcial del problema de las cantidades conservadas por las ecuaciones en

estudio. Aparte de su gran laboriosidad, tiene la desventaja de no produ-

cir resultados teóricos generales.

Un simple ejemplo puede dar buena muestra de ello. La ecuación KdeV,

u = uu + u , sólo admite cuatro grupos uniparamétricos de invariancia de

Lie, mientras es bien sabido que admite infinitas leyes de conservación

esencialmente disequivalentes. Podría arguirse que al admitir derivadas en

las transformaciones, las demás leyes de conservación de la serie descu-

biertas por Gardner et al. van apareciendo también. Ahora bien, el cálcu-

lo de tan sólo la quinta de ellas obliga ya a manejar un algoritmo de unos

cuatrocientos términos, y avanzar un par de pasos más en esa serie plantea

ya problemas de tipo operacional realmente difíciles.

- 17 -

Ante el cúmulo de propiedades espectaculares que parecen ir más o me

nos directamente ligadas a las leyes de conservación en KdeV, surge de

forma natural la pregunta de si es frecuente o no que una ecuación en de-

rivadas parciales admita infinitas densidades conservadas. Tal tipo de

cuestiones merece estudio exhaustivo independientemente de la importancia

de la ecuación concreta de KdeV, pues no hace falta insistir sobre el in-

terés que pueden tener para los fenómenos físicos descritos por una ecua-

ción.

En este trabajo nos reduciremos a ecuaciones de evolución para una

función incógnita u = u(x,t) en dos variables x,t, del tipo

u = P(u,u ,..,u M), con u. = — , P un polinomio arbitrario. En particu

lar son de este tipo las ecuaciones de calor, la de KdeV, la de Burgers.

etc. Sin embargo solamente vamos á tratar las de orden M = par, pues la

diferencia enorme de estructuras que impone la paridad de M hace necesa-

rio un estudio separado de los casos par e impar. Aún cuando ello nos

aparta de la moda KdeV, se conseguirá establecer una serie de resultados

que muestran claramente el carácter extraordinario de las propiedades de

Kde V en cuanto a leyes de conservación y presumiblemente, por tanto, en

otras facetas•

Recordemos que una función P = P(u,u ,..,u^) polinómica (como la sil

pondremos siempre) se dice que es una densidad conservada por la ecuación

u = P si y sólo si -yr- es una derivada total en x, es decir si existe

Q(u,u1,...) tal que £ = Q±.

Carece de interés, y por consiguiente serán excluidas de nuestro ana

lisis, aquellas P triviales que sean derivadas totales. En efecto si

?- G , obviamente í Pdkse conserva, pero es idénticamente nula. Más aún,

una cierta P conservada solo es interesante de conocer módulo derivadas/\. ••»

totales. Así pues si ? , P son tales que P = P + derivada total, escri-A

biremos f f y se considerarán equivalentes.

Notación: La derivación total la denotaremos -3— = f. = f u + f u + . . .dx 1 u 1 u1 2

- 18 -

2. ECUACIONES LINEALES: APLICACIÓN DEL ALGORITMO DE GEL'FAND-DIKII

Comenzaremos por las ecuaciones de evolución lineales

Mu = P(u,u ,. . ,u ) = H oí .u (1)

0 J J

con ot. G ]R .. Pese a su carácter lineal, que las hace mucho más sencillas

de estudio bajo la actual teoría de ecuaciones en derivadas parciales, no

parece haber despertado interés entre los matemáticos la cuestión de cono_

cer las densidades conservadas por tales ecuaciones. Antes de proceder a

su análisis detallado puede ser interesante citar dos ejemplos elementales

que muestran la diversidad de comportamiento que puede esperarse a priori,

si bien luego veremos que el abanico de posibilidades es muy estrecho.

Ejemplo 1: u = u . En este caso toda P(u,..,u ) es conservada. En efec_

to P = f u + P (u_ ) +...+ f (u,,) = f u. + P uo+..+ P u.. , = P.\t \u t lu 1 t I uM I t \u 1 I u. 2 I uM M+l (1

luego P es conservada.

Ejemplo 2: u = u (ecuación del calor). Se trata de una ecuación de difu

sión en la que, en consecuencia, es de esperar por argumentos heurísticos

que sea difícil hallar alguna p conservada. Un estudio rápido ofrece una

densidad conservada P =• u (pues p = u , derivada total), y es la única

P(u) conservada. Un análisis por el método de invariancia de Lie-Ovsjan-

nikov conduce de nuevo a P = u y a una colección infinita de densidades

del tipo P(u,v,...,u^,v ), con v(x,t) = u(x,-t), típicamente difusoras,

y que no son admisibles en nuestro análisis, por introducir funciones

cionales.

Hay varios posibles métodos de ataque a la cuestión de saber cuántas

y cuáles son las densidades conservadas por (1). Sin embargo, por su ele-

gancia formal, y por constituir un ejemplo no trivial de aplicación del

algoritmo, vamos a utilizar un álgebra simbólica introducida por I.M.Gel'

fand S L.A.Dikii [l] . Estos autores emplean dicho algoritmo algebraico

para simplificar al máximo las manipulaciones con los operadores -j— y —— ,a x ou

tan frecuentes en el cálculo de variaciones y por tanto en Mecánica.

- 19 -

Concretamente se trata de establecer una correspondencia entre el álge_

bra formal de polinomios simétricos en las variables " , ,.., •? ,... y

los polinomios en la función u y sus derivadas sucesivas u.,.. ,u ,. . . Es-

ta correspondencia, inspirada por la simetrización que produce, se define

como una aplicación lineal cuya acción sobre los monomios es:

F BU. U. ...U. ~ _ _1_:1 32 DN = NI

Así por ejemplo F = u u. = ^ F = — (~) + 3 o + 1 Q ) # ^S ^ecir <lue el cardi-

nal del conjunto de índices de las ~í cuenta el número de veces que la fun-

ción u (derivada o no) aparecía en el monomio F. Y el grado polinómico de F

coincide con el conjunto total de derivadas en F.

En este lenguaje simbólico de los F( "1 ,.., " ), las operaciones funda-

mentales del cálculo de variaciones se realizan en una forma muy elemental.

En efecto, sea P = P("^ ,.., lw) cualquier polinomio simétrico en las varia-

bles • J^ M-I • s claro que existe un P(u,u ,...) que le corresponde bajo la

aplicación anterior. Desarrollando P en monomios es fácil probar que:

. V = ( V-^V^i"- 1^ C3)

Lema 1: Sea P(u,u ,..) un polinomio arbitrario tal que P(0,..,0) = 0. Enton

ces

ÍL = o <É=> 1 R(u,u ,..) 3 P = R

Demostración: [=^1 P("^ ,.., * M) ha de anularse al hacer " +...+ ") = 0.N N

JPor tanto P es divisible por __ . . El polinomio cociente R 5 P/¿_ ~% • lle-

va asociado un R(u,u ,...) que resuelve la cuestión.

Evidente de (3) y (5) (CQD)

- 20

2 S"PEjemplo: El polinomio P = u.u + u.u u satisface -— = 0. Calculemos

SuR 3 P = R .

Basta para ello dividir el polinomio imagen

1 3por }.,+ )o+ ) , ! para obtener finalmente R = u uou - — u •

\L A * o X A o o ¿.

Nótese que ello permite invertir el operador -— , es decir calcular

(-T—) P, siempre que P cumpla — = 0. Este cálculo de primitivas era deax 5u

hecho un objetivo primordial en el trabajo de Gel'fand S Dikii al introdu_

cir el algoritmo P —* P.

Observación: Debemos hacer constar que estamos hablando de funciones

P(u,..,u ) sin dependencia explícita en x,t. Por lo que también R pertene_

ce al anillo de polinomios en u,u ,... sobre JR.

Vayamos ya con el problema de las leyes de conservación para la ecua

ción (1). De ahora en adelante supondremos siempre, aunque no se diga ex-

plícitamente en el texto, que P(0,..,0) = 0 = P(0,..,0). Con tal restric-

ción una densidad f es conservada bajo u. = P si y sólo si -r— _ P dx = 0.

I t dt j JK |

Supondremos tácitamente la existencia de estas integrales, lo que exige

que las funciones u y sus derivadas sucesivas u. tiendan a cero con sufi-

ciente rapidez al hacer |xj —?><» .

Explícitamente, P es conservada si y sólo si

+p u. +.J dx= |£udx= (t fu lt J J u t iTR 7]R

- 21 -

En virtud del lema X tenemos:

Lema 2: Para que P ( u , u , . . . ) sea densidad conservada de u = P(u,u.. , . . . )

es n e c e s a r i o y s u f i c i e n t e que

I Í J P U O (6)

MSupuesto ya un P lineal, P = y~o(.u.s la invariancia de la ecuación (1) bajo

o

la dilatación u — » \u, \Q]R, indica que P es conservada si y sólo si lo

son todas y cada una de sus partes homogéneas. Reduciéndonos ya a P homogé-

neas, sea P (l 1 H) el polinomio asignado a P por el algoritmo prece-

dente . De (5) deducimos que

/M 2 MY como por su parte P(I )=cx' + c * ^ + ^ ^ + + ^ ^

j=l 3

Utilizando ahora en primer lugar (5) y a continuación la simetría de

P , obtenemos:

N-l r N-l . . N-l= N ~

- 22 -

De manera que hay sólo dos posibilidades para lograr que P sea conserva-

da, a saber la anulación de alguno de los dos factores finales:

^ N~1 SPIo) f ( I . , . . , t M . , - V" "í .) = 0. Que por (5) significa -^- = 0 ... es decir

P t r i v i a l .

N-l ^ ^ N-l

Esta última ocurre si y sólo si es c< = 0 y además

N = 1 cuando \O<LI + l°M+-•-

N = 1,2 cuando ti¿-<JM--~-o

Así pues el algoritmo de Gel'fand-Dikii permite clasificar las densidades

conservadas en ecuaciones del tipo (1), módulo P triviales, del siguien-

te modo:

(i) Si P = << u = ^ ¥ p es conservada.u = ^ ¥ p

(di) Si P = o<1u1+ oc3u3 + ct5u5 + ... , |c*3| + \U 5\ + • ..# 0 = ^ Toda'

combinación lineal de u, , u u es conservada y sólo ellas.

Luego salvo triviales toda P conservada es combinación lineal de2 2 2 2 ^

u,u ,ul5u2,...su ,...

Nótese en efecto que por integración por partes es inmediato ver que

salvo factores numéricos irrelevantes:

( i i i ) Si P = ai

p ~ x c u . , c.G3R

- 23 -

Luego la única no trivial para tales P es P = u, salvo factores constan-

tes .

En particular la ecuación del calor en una dimensión u = u ,perte-

nece a este tipo.

Observación final: La prodigiosa rapidez con que el cálculo simbólico de-

cide en el caso de ecuaciones de evolución lineales, es debido a la facto-

rización de — ( —*- P) en su marco. Esta factorización se pierde, como loíu óu

muestra un sencillo cálculo directo, en cuanto pasemos a ecuaciones no li-

neales. Es por tanto harto dudosa su aplicabilidad al caso general no li-

neal. De ahí que en las próximas secciones hayamos de recurrir a otros mé-

todos menos formales y desgraciadamente menos elegantes.

_ 24- -

3. RESULTADOS GENERALES PARA u = P(...uw) M par > 2u = P(...u ) M par >

Consideremos ya una ecuación de evolución no lineal de orden par

u = P(...u ) , M par, P f 0 (7)UM

El próximo teorema proporciona una fuerte diferencia entre las ecua-

ciones de orden par y las de orden impar, por cuanto en éstas (KdeV es el

ejemplo prototipo) pueden existir en una ecuación dada densidades conser-

vadas no triviales dependientes de derivadas arbitrariamente grandes. En

el caso par por el contrario:

Teorema 1: P conservada por (7) =5> P f (u,...,u^ )

Demostración: P^ = P P + ? P.+"...+ P P>T si f>sf(...uTT). Ahora bien,

1 t \ u I u . 1 I u.T N i íí 'M 1 Tí

siempre que N sí — es

Pj/vC-1) (fu ) P , V 3 5 N - 2 - £ D Í N

j j 2 -J 2

En consecuenciaM

M „ . .

^ • + [ ¿ ( - 1 ) Z ( f )M P M (8)1 u . M „ , . i „ M

Vemos pues que la máxima derivada en P es la u „ . Y para que P sea.

2una derivada total, forzosamente la mayor derivada ha de aparecer linealmen

2 • ~

te. Esta sencilla observación exige que el coeficiente de u „ en el mieinN+l

bro de la derecha de (8) sea nulo, es decir P P = 0 . Supuesto queK ^ UMP ^ 0 , ver (7), llegamos a la conclusión 9 = 0 = # P lineal en

U i " N 1 ^ \UMque por integración por partes implica P^ P (...n ). Siendo esto válido

VN | (CQD)VN > | = * (CQD).

- 25 -

Curiosamente un argumento idéntico va a mostrar que genéricamente las

ecuaciones de orden par no admiten ni siquiera una sola densidad conservá-is

da (no trivial, claro). En efecto, puestos ya en el caso N «¿ — ,

es fi.A/ ~~ P = "T~ Q^''-1^ -i s^ queremos que P sea conservada. Pero al

' iu X 'ser esa derivada total lineal en uM, por simple comparación de potencias

de u^ deducimos:

Teorema 2: ín - P(...iO, M par^j\ === ~X 9 conservada (no trivial)

p JÉ o í r \VM

j

Ya estamos en condiciones de asegurar que para hallar alguna P (..

no trivial conservada por (7) hemos de. restringir nuestra atención en una

doble vertiente. Por una parte a densidades que dependen a lo sumo hasta

derivadas u^ , y por otra parte a polinomios lineales en IL, es decir__1

P = a(...uM_1) uM + b(...uM_1), a i. 0.

Hagamos notar que mientras el teorema 1 marca una diferencia esencial

entre los casos M = par, M = impar, el.teorema 2 encierra una propiedad co

mún a ambos casos, en el sentido de que su conclusión es válida siempreM

que N < — , independientemente de la paridad de M.

No está de más observar en este momento que los teoremas 1 y 2, como

propiedades generales compartidas por toda ecuación (7) con H í 2, son óp-

timos. En efecto pueden exhibirse ecuaciones que conservan densidades no2

t r i v i a l e s con P i 0, como u = (u +2uo)ui+ + (4-uQ+l)(uo+uu )1UM . UM , t - 2 3 3 12"-l, j- 1

que conserva 9 - xr: - -5" u (ver sección 6). Y desde luego si P es lineal

en u^ pueden existir P no triviales, como el mismo ejemplo pone de mani-

fiesto .

- 26 -

ANÁLISIS DETALLADO DEL CASO u =

Consideremos la ecuación de evolución de orden M = 2 genérica

i, ,uj (9)

con un polinomio P arbitrario, tal que P ¿ 0.

Por el teorema 1 sabemos que cualquier P conservada es equivalente,i M

módulo derivadas totales, a una P(u). En efecto — - 1 = 0 si M = 2. Y el

teorema 2 nos obliga ya de entrada a considerar solamente polinomios del

tipo

P= aíuju^v^ + bCu,^) (10)

La conservación de 9 exige que sea — P - — ( P'P) = 0, con P'« p .1 t)u du ' i I u

Desarrollando esta igualdad se obtiene

uo2a u,)l - p'b uo + u? fp'al - [p'(u.b -b)l = 0

u . l J u Í u . u 2 1 H J u u \\ l u . J u

Anulando el coeficiente de u y del resto se llega a las ecuaciones

(11)

2Integrando (12) obtenemos u. ( P1 a) = P'(u.b -b)+h(u.), h arbitraria.

Pero derivando esta ecuación respecto de u. y utilizando (11) =^h(u1)=

constante.

De esta forma el par (11), (12) es equivalente a una única ecuación,

a saber:

u?( P1 a) = f (u_b -b) + « (13)f'a)u= f' ( ul\

Sustituyendo para a,b en (13) desarrollos explícitos, digamos a(u,u ) =

- 27 -

= b (u) P'(u)o

(a p')_ = (n + 1) f'bu f'bn+2

Por el carácter polinómico de a,b, p deducimos de la primera que P =Áu,

siempre que oi. i- 0. Situación que conlleva en (13) el que se cumpla paralela-

mente2

u.a - u.b + b = constante i- 0 (15)

Si (15) no se satisface, entonces necesariamente c< = 0. Las posibles situa-

ciones se resumen por tanto así para un P = a(u,u )u^ + b(u,u.) dado:

(i) Si se verifica (15) = ^ V P conservada es de la forma \M.

Esencialmente por tanto, hay una sola P posiblemente conservada, a saber,

f = u. Su conservación depende de que P sea una derivada total o no.

(ii) Si (15) no se verifica, entonces toda P conservada por u = P ha

de verificar (o( = o):

u2A P' a) = P'(u,b -b)1 1 u 1 1 u

1 y de)b (u) = 0o

que son equivalentes a esta otra única condición:

0 escrita en forma explícita, al sistema:

, Vn_>0 (17)

Genéricamente por tanto tales P no tendrán ninguna densidad conservada no tri

vial. Y sólo cuando (17) se verifique tendrán alguna.

Puede escribirse (16) en esta otra forma:

Ulbu " b

ipí

I

- 28 -

Supuesto que existe una tal P conservada, necesariamente el miembro de la

derecha en (18) ha de ser una función R(u) racional de u, nula cuando \u.\-*°

y de polos simples con todos los residuos enteros positivos, es deciro» N n.-J- = y . Y en tal caso, modulo triviales, es calculable P como:

f T u - A i IP (u) = constante \ TT(Í- X.) 1 d"5 (19)r I < ) 1 >

Finalmente la cuestión de saber, dada una f(u),.qué ecuaciones

u = P = au^ + b la conservan,puede contestarse sin dificultad en ios dos

casos:

(i) P = Xu, X 6 3R e s conservada por P = au + b si y solo si P es una

derivada total. Es esencialmente única si (15) se satisface.

(ii) P5 f" i- 0. Sustituyendo en (18) las expresiones polinómicas

a = 21a (u)u., b = Y. b (u) u , y llamando N/D a la expresión fraccional

irreducible de f"/ P' , se llega a :

üRn+l) b _-a'l = Na , Vn > 0 (20)(_ n+¿ nj n

donde a' •= '"J a . Al ser por hipótesis N y D primos entre sí, esto exige

que 3 polinomios <L(U) tales que a = Da . Y por lo tanto

b + 2 = "~IT 1 Nq_ + ^1-) ]• As^ 1ue ^a ecuación más general que conserva f(u)

viene dada por:

V~ n \r" "3t 2 - - TI 1 •¿~

o o n T x

donde q(u) son polinomios arbitrarios en u.

Ejemplo: Sea ? = u3(u-l)3. Entonces N = 10u2 - lOu +2, D = u(u-l)(2u-l).

Una posible ecuación sería pues, tomando q = l , q = 0 , V n S l l a siguien

te:

ut = u(u-l)(2u-l)u + (16u2-

29 -

5. ALGUNOS CRITERIOS PARA QUE EXISTA ALGUNA LEY DE CONSERVACIÓN

Volviendo a la ecuación (7), sabemos ya un par de condiciones necesa-

rias para que conserve una f(...u^).dada, a saber que I < - y en cuanto

a P se refiere, ha de ser del tipo P = a(...VL. . )u,, + b(.. .uM . ) . En esta

sección supondremos ya satisfechas ambas é investigaremos nuevas condicio-

nes necesarias para que P conserve al menos una densidad no trivial.

Que P sea conservada es lo mismo que decir que existe Q(..uM . ) ,

Q i- 0, tal que P r¿ -M- P = Q . 0 en otras palabras, tal queVi I* S U

_( = _L) sea una derivada variacional exacta. Lo cual equivale \2\ a

o uque: Q

K x (-f-) = o , v\

3 D^'-C-U^D + X í 3]^ . Habida cuenta de que K .. .u^ )

° j° j M-2 2'1

es función de u,u.9..,u^ 0, puede cortarse la suma en ^ . Un sencillo0

desarrollo muestra que:

°- J i M-41.. -(M-2)D .. l-^f+O(X ) (22)o-o UM-2" x

Tenemos por tanto tres ecuaciones que encierran posible información sobre

T ^ = c ( . . . V 2 ) :

1 c = 0 <23)UM

ln c = 0 (24)

Vi

- (M-2) D7._ "]c = 0 ^25^

a) De (23) se deduce inmediatamente que:

Q = ac (26)

Vi

b) Y de (24) obtenemos

Q = cP - (ac), (27)UM-2 V i 1

UM-3

- 30 -

Derivando (27) respecto de u^ . y teniendo en cuenta (26)

cP n = 2(ca) + (ca ), (28)

V l V l UM-2 UM-1 1

c) Por su parte (25) conduce a

1 u 9 1 u 14-3 V 2 2 X UM-2 l

2cP_P 1 = P(Q ) . +PQ - Q . P (29)1 uM o uM o 1 uM . 1 uM „M-2 -1 M-3 M-M- M-3

El coeficiente en (29) de su máxima derivada u,, . reproduce (26) al ser

anulado. Mientras que el de u —•=?•

a Fea - cVi L V2

a I = caá (30)UM-2 -i UM-lUM-2

'Una nueva fuente de información la ofrece la reformulación de

P = au +b = A. +B, con A -si a du l5 B = P-A. . Ambas A,B son polino-

mios en u,..,u,, 1. En esta forma tenemos

P Í£_p rj (lf_)B - (ÍL) A (31)¡t ^u Su Ju 1

i- P .La anulación del coeficiente deLa conservación de P exige anular i - P

u9M produce la ecuación

BMn lf-^ - U M - l V l (30)

UM-1T1-1

supuesto que 9^ f (.. .uM ).--2

Otra forma de enunciar la conservación de P es decir que B Q(..uT, „)

tal que ( —t-) B -(—^-)A = Q . Pero comparando en esta última igualdadíu ) u

los exponentes de las potencias dominantes en u 1, resulta que :

S i P ^ f ( . . u ) h a de s e r ó b i e n "0;¿gr B = g r A ó g r A = l , g r B = O.

(33)

Sl [^ f ("\ ' *UM_ ) h a de s e r g r B = g r A + 1 .

- 31 -

donde gr A, gr B denotan los grados en u . de los polinomios A,B.

En la siguiente tabla hemos resumido varios criterios que pueden ser üti

les a la hora de decidir, a la vista de un polinomio PC.-.u^) si admite o no

alguna ley de conservación (no trivial, se sobreentiende).

Criterios elementales

(1) a(...uM_,

b

VIVÍ

(2) a a jí aa n = ^ ](P(...uv. )UM-1 UM-2 UM-lV2 *\ f-2

Vf-v P (...» )(3)

c«

(5)

a jí 0 =Vi

ViVi *

\-iVi "

0 = B

O . B

f-v P (...»

PC.u..Vi Vi

Vi Vi ^» |-2

(6) 0 ?i gr B ?! gr A

gr B jí gr A+l = * ¥ P <v f ( . . .

0 ¿jgr B - gr A|jí 1

J-2

Son consecuencias inmediatas de (28), (30), (30), (32), (32) y (33) respec-

tivamente .

- 32 -

Ejemplos de aplicación:

3(i) u = u. + u no admite ninguna ley de conservación (Criterio 6).

X M* O

(ii) u = u u solamente conserva densidades del tipo P = P(u), por el cri_

terio 3.

2(iii) u. = u + u no admite ninguna densidad conservada del tipo p =p(u,u^

t b 5 - 1

por el criterio 1.

(iv) u = (u +u )u no admite ninguna P(u,u.), por el criterio 2.U 4* 0 O i X

(v) u = uo(u +1) tiene como únicas densidades P (u) conservadas aque-

Has del tipo \u(criterio 4-).

(vi) u = Uj-íu.+u.) no tiene ninguna P(u,u.) conservada (criterio 4).

2

rio 5).

(vii) u_ = u,,uc + uuc carece de densidades P(u,u.,) conservadas (crite-

- 33 -

6. ECUACIÓN MAS GENERAL QUE CONSERVA UNA f PREFIJADA

Apoyándonos en una sencilla observación reduciremos el problema de la

conservación de una P prefijada (no trivial) bajo la ecuación (7), a su

conservación bajo ecuaciones u =F de orden inferior a M. aunque no necesa

riamente polinómicas.

Dado un P = auM + b, siempre puede reescribirse en la forma

P = A + B , A,B polinomios en u,u. ,..,tL. .

Con lo que f ~ -£í- B - (-fJ-) A.H \ t [u ^u 1

Haciendo F = B - (ln A ). A, es evidente que f rJ -=-*— F. Que corres-& W- 1 11 j u.

ponde precisamente a la condición de conservación de P por la ecuación

u = F(. . .u.. . ) . De ahí el siguiente:

Teorema 3: Considérese una P(u,...,u ) densidad conservada por cierta ecua

ción de evolución u =F(...u ), con s ¿ -r- , r < M. Entonces esa misma P es

conservada por toda ecuación del tipo

A + F (34)

para cualquier elección de A(...uM . ) , con A jí 0.

Recíprocamente toda ecuación (7) que conserve alguna ? es de la forma

Corolario: VM , "1 P(...uM) que conserva alguna P(...u^ ) no rebajable

a orden inferior en derivadas.

En efecto, para M > 4 la existencia de leyes de conservación en deri-

vadas arbitrariamente grandes para la ecuación de Korteweg-de-Vries, unida

a la construcción del teorema 3, hacen evidente el corolario. (Si M = 2 la

conclusión es trivial).

2Ejemplo: u = (u +2u )u. + (4uQ+l)(u +uu.) ya citada al final de la

t 2_ 4 _ 1 3g 1

1 3sección 3, conserva P = u - — u , densidad conservada también en KdeV.

Esta ecuación de orden M = 4, se obtiene-por el algoritmo anterior sin más

2 1 3que tomar F = u + uu (KdeV), P = u - -=• u conservada para u = F, y f i

3 1 l i o t2

nalmente eligiendo A = (u + 2u )u .Á ó

En este sentido puede afirmarse que el teorema 1 es óptimo VM par > 4.

MCorolario: Dada f(...u ), s •£ -s- - 1, M par, la ecuación de evolución de

orden M más general que conserva tal P es

ut = -n W l t f m \ O5)

con TV(...u 1) una función arbitraria salvo por la restricción Tí i 0.

TPEn efecto basta reformular el teorema con F -p1— = Q1 , condición de con

servación de P para u = F. Y tomando TTs A + -=r- resulta automáticamente

(35). X

Así por ejemplo la ecuación citada al final de la sección 3 admite la

2 1 X \forma (35) con TT = (u + 2u )(u , + — ) + —= con A arbitrario. Recor-

u + 2u2

2 1 3 Tf 2demos que P = u - -=- u , luego -H— = - (u + 2u ).\ 1 o ^ ¿

- 35 -

7. COTAS AL NUMERO DE DENSIDADES CONSERVADAS (M > M-)

Ante las fuertes restricciones que la sola existencia de alguna p con_

servada no trivial impone a (7), cabe pensar que al crecer el número de P

conservadas por una ecuación simultáneamente, el tipo de ésta queda ya muy

determinado. Incluso cabe esperar que muchas ecuaciones con una densidad -

conservada no admitan otras y así sucesivamente.

Para tratar el caso de dos densidades (no triviales) P , ~P esencialmen_

te disequivalentes en el sentido de que -P rf \P , comenzaremos por escribir

las condiciones de conservación de ambas, es decir que existan F,G tales

que

P = _ J _ - G l ' (36)

Llamando c¿ s i constante, vemos que r< ha de satisfacer

Fl

donde F(...u ), G(...u ), .oC(...uM , ) . Además F i 0 i G

Pues bien, una condición del tipo (37) consiste en lograr un multipli-

cador c¿ que convierta una derivada total en otra derivada total. Vamos a

ver que al ser (X dependiente de derivadas de orden inferior a las que en-

tran en F,G, esto supone severas limitaciones a las posibles ¿< , luego in-

directamente a los pares P , P . Seguimos suponiendo P , f ,F,G polinómicas,

pero o¿ es racional.

Definiendo g = oí F-G (38)

obtenemos de (37) que g = g(...u^_?) ha de verificar

o^F = g1 (39)

cuyos términos en u . obligan a que

04 . = 0 , es decir cK(...u „) (40)UM-2 M" 3

- 36 -

y por otra parte a que F sea lineal en u . . Así que 3 f, f

luego:

P =0,Wl

iterio,: 3f,fCriterio

En otros términos, siempre que P 0 la ecuación (7) admite a

lo sumo una P conservada (esencialmente única). Desde este momento supone-

mos ya que P = 0.

VM-I

Nota: En este y los restantes enunciados de esta sección, al decir P P

suponemos que P , P son esencialmente disequivalentes.

Denotando ya por tanto F = S(...IL. ? ) U M * + "*"(...u ,

M-l+ b(...uM .,), obtenemos al desarrollar en detalle la ecuación F,, = P —'—

que:

= s

De (4-1) y (M-2) se concluye:

Criterio 8:

P = 0UMUM-2

p JÉ o

ViVi

ífEn efecto para tal P será -pe— lineal en u o, de modo que

UM-2 = ai- 0, según (41). Y por tanto (H-2) demuestra que en

2 " 2 "t a l caso es P # 0.

UM-lVl

Criterio 9:

UM-lVl2 " 2

- 37 -

ii) aM-2 = ° f bu um ¿ V-l M-l

Es simple consecuencia de que en ambas situaciones (41), (42) se con-

tradicen en el cálculo de SUM-2

Volviendo de nuevo a (40), y escribiendo en ella explícitamente

UM-2deducimos de ¿^ cA = 0 que

2" 2"

que por comparación del primero y tercer miembro nos conduce a

c< =

I'1

Según el valor de M domina (44) ó (40). Para M > 4 domina ya

Ahora bien, si partimos de una densidad P = P (...u ), es decir

1 7T -C\ = — ( P u + R ) S entonces (40) nos asegura que también

2 " 2 "

P = 0, es decir que P rs/ P (.. .u ). De ahí el siguiente:

2""1 2""1 2

Criterio 10:

P (...u\ I_

- 38 -

De manera que ninguna ecuación del tipo (7) admite una P que no alcanza

u y otra que la alcance esencialmente.

I-1r

Hasta aquí los criterios obtenidos valen para cualquier M par > 4.

Ahora pasamos a algunas condiciones, que rigen en grados superiores M ~* 4.

exclusivamente.

íeSabiendo que dada f(...u ), n > 3, es —!—= f u +n(P ).u. .+u \ n ' ' rw | u u 2n fu u 1 2n-low- I n n I n n

+ 0(uo „), podemos escribir

C\ = — — , con r H f

L V 2 + (!- 1 ) (f.Av 3 + e '• u|-iuf-i

Por lo que9 siempre que M i 8, deducimos de (4-4) que (P )19 = (P ).9.

Que junto con (43) >

" 1 = — (45)

Cf \ f..-

Integrando (45) ==?• P = constante x P . Que tras hacer, si es preciso,* • • \ • •

como siempre;las cosas lineales en u equivalentes a cero por integra-

ción por partes, conduce al siguiente:

Criterio 11: Si 3f,'f para M > 6 » f = constante. P + P (.. .u )

2"" 2

El caso M = 6 se prueba fácilmente por cálculo directo a partir de "uo°( =0,de acuerdo con (44).

Denotando Lf 1 la parte de P con dependencia no trivial en IL , este

resultado significa en particular que si existen dos densidades conserva-

das P , f en el caso M í? 6, han de satisfacer

2 "

ir2)

- 39 -

Luego sería también conservada P -c? - h-ch = H(...tu ). Ahora bien si

la P de partida llega hasta u de forma no trivial, es decir1 -mu» — I

P'f (...u ), del criterio 10 se sigue que:\ ! o

2

Criterio 12: Si u = P(...u ), M par > 6, admite una f f f (...n ) ==^

- ' " 2

==» V P = cp ,c€JR.

Es decir.que, de acuerdo con los criterios 10 y 12, para M > 6 6 ningu_

na p alcanza u (de manera no trivial) 6 todas la alcanzan y son propor

clónales entre sí (es decir, P esencialmente única). Este resultado no ad-2

mite generalización a M = 4-, como lo muestra u = u.uu + 2u , que conserva

Referencias

[l] I.M.Gel'fand, L.A.Dikii, Russian Math. Surveys 30:5 (1975), 77-113.

[2j A.Galindo, "Sobre la ecuación <5f/6u = a", en este volumen.

ECUACIONES DE EVOLUCIÓN CON UN CONJUNTO DADO DE DENSIDADES CONSERVADAS

A. GalindoDepartamento de Física Teórica, UCM

El propósito de esta nota es presentar y demostrar una formula muy sim

pie que proporciona la expresión más general de una ley de evolución que ad

mite un conjunto dado de funciones como densidades conservadas. Aparte de

su interés como algoritmo constructivo, permite dicha fórmula obtener algu-

nos resultados generales respecto de la cuestión, de evidente importancia,

del problema recíproco: dada una ecuación de evolución determinada, ¿cuán-

tas cantidades conservadas esencialmente distintas posee?.

1. NOTACIÓN Y GENERALIDADES

Sea una ley de evolución

^u^,...) (1)

donde u = u(x,t), x = (x ,.. ,x ) G ]Rn, t O , u g Bu/3t,

u. . = "S u/Sx. ..."Sx. .A lo largo de esta nota, todas las funcionesIr I r

de u y sus derivadas u. . que aparezcan se supondrán tácitamente depen-1 r

dientes solo de un número finito de ellas, y tantas veces derivables respec

to de esos parámetros como sea preciso. Denotaremos por cJ el conjunto de*****

estas funciones, y por d? el de aquellas que además se anulan cuando todos

sus argumentos son cero.

Diremos que P£ ü* es una densidad conservada bajo (1) si d n funcio-

nes a.,..,a G J" tales que

donde D = derivada total respecto de t, D. = derivada total respecto de x..

- 4-1 -

La expresión (2) puede escribirse brevemente como

siendo a la 1-forma a.dx + .. + a dx , y ó el operador de coderivacion exte_

rior ( <5 s. (-1) *d* sobre p-formas).

Denotemos por.J9(F) el subconjunto (evidentemente lineal) de d" forma-

do por las densidades p conservadas bajo u = F. Es claro que toda

O - oceSKF) , puesto que P = o c . Esto indica la poca importancia de

tales ^ (veremos enseguida que de ser integrables, su "carga" total es nula)

y sugiere por tanto definir la equivalencia siguiente:

Escribiremos D(F)5 <9(F)/'-v/, y diremos que o es trivial si J/^0.

Sea ¿/¿"u s " - 2 í . ^ + 2 D.D."S -... . Un cálculo elemental,u . i u . .. i ] u.. '

directo, muestra que j- D- = 0, y por tanto § 6 <@(F) = > ¿ft/°a - 0 <

También el recíproco es casi cierto, como prueba la siguiente proposi

ción:

Proposición : f(G$?) = & a = ^ Sf/Sn = 0

f 6 SF , = 0 = = ^ f = <5 a, a. 6 5"

Demostración: Basta centrarnos en la segunda parte. Sabemos que es cierta

para f polinómica \_AG 78aJ. Supuesta f analítica en sus argumentos, razo-

nando separadamente para cada capa de homogeneidad se desprende de inmedia-

to la validez de la proposición a partir del caso polinómico . (CQD).

Nota: Aunque la demostración anterior no cubre funciones no analíticas,

creemos que debe ser cierta también en situaciones más generales. Por ejem-

plo, si n = 1, bastaría proceder según el siguiente algoritmo: óf/ou = 0

= ^ f lineal en su derivada más alta, esto es, f = u g + h, donde g y h son

funciones de u,..,u .. Sea:

y f^j = f-D^g^G 9-o . Es claro que f ^ depende solo de u,..,uM_1, y

siendo frJf,,v, también of,. J o u = 0. Procediendo con f/..\ de igual gui-

sa que con f, llegaremos en un número k de pasos, k é M, a una f,. x^-'f,

tal que f/,% depende solo de u y está en Sr . Luego f/,% = 0, y por tantoV Jw O \K)-i

.

Finalmente, supongamos que |u. . (x,t) j — > 0 suficientemente de-1l"1v

prisa cuando I x \ —*• <x> , y que tanto f , f como a.,.., a se anulan conve_

nientemente al hacer u. . —*• 0. _ ^ . , , _,_i...i Entonces es simple consecuencia del teoIr ^ —

rema de (Barrow-Newton-Gauss-Green-Riemann)-Stokes, aplicado a (3), que

= oVes decir, la "carga" total asociada a P es constante en el tiempo. Recípro_

camente, de cumplirse (4-), se tiene f * O = 0, y por ende o P /<5"u=0.La prc_

posición, muestra entonces que PeS(F). Nótese en particular que si ade-

más 9 ^ 0 , se tendrá \ * 0 = 0.

IRn

2- EXPRESIÓN GENERAL DE F, DADAS f ,..,f Q

Supongamos que P ,.., P 6 <§• son densidades conservadas bajo

u = F , F6 J , linealmente independientes modulo triviales. Se ha de verit O i a y —

ficar, en partircular P <-> 0. Pero

o (i) s p(i> F + Z e ( Í ) D-F+

Por tanto

í±^-r= ¿b(i) , b ^ e ^ (6)

S u ' k o

y como o^1 /^u i¿ 0, para cada par i,j tendremos

Haciendo

b = f 3' b + b , b/."' ' 6 -S"" (8)

la relación (7) conduce a

i.» .2 (9)

cuya solución más general es

siendo c ,..,c 6 v?" arbitrarias salvo por la exigencia de que se

anulen suficientemente deprisa cuando sus argumentos tiendan a cero, de

forma que b, 6 *$r . Por tanto, la forma más general de F que conserva

?(2)es °

<fu

(2 1) (21)

donde b ' , c ' son 1-formas arbitrarias. Nótese que esto es formal-

mente cierto sin ninguna restricción sobre tales b,c, pues el cálculo direc

to con (11) = ^ F—f ^/r —I ^»o.o u ¿u

Comparando ahora las expresiones (11) para los casos P , p , y P ,(3) 3 i

o , se obtiene

Sb ( 2 ' 1 } (2,1)^, ¿ b ( 3 ' 1 } (3,1)-^2ATJ2A)C Df(3,l)>c(3,l)

C

y dado que a y a + o o¿ , d, una 2-forma arbitraria, conducen al

mismo F, podemos suponer sin pérdida de generalidad

Df(2,l)_c(2,l)(2,1) _

Df(3fl) (3,1)(3,1)

y por tanto

¿b ( 3' 1 }

Df(2,l)_c(2,l) " Df(3,l) (2,1)(12)

Esta relación es del mismo tipo que la analizada en (7) y siguientes,

y en consecuencia tendremos

(2,1) _ ¿b ( 3' 2' 1 } (3,2,1)

DfÍ372,l)>c(3,2,l)(13)

con f(3'2>1} =

1-formas arbitrarias.

(3'2'1}

Luego la forma más general de F que conserva J , f , f es

F =(1)

sS u

(2,1)

Df(2,l)>c(2,l)

(3,2,1)

Df(3,2,l)_c(3,2,l)

(2 1) (3 2 1) (3 2 1)donde c ' ,c '-' ,b ' ' son 1-formas arbitrarias. La independencialineal de P , P , P modulo triviales se manifiesta en que es sienrore

(2 1) (3 2 1)posible escoger c ' , c ' ' de forma que no se anulen los denominadoresen

Procediendo ahora con (14) para las ternas f , 9 , Q , y 9 ,(2) (4)

P , P , obtendríamos la forma general de F con 4 densidades conservadas,

etc. Y asi se llega por inducción a la expresión general de la F que conser-

va ?<».... í«':

F =1

6 (1)

6u

6Df (2

c ( 2

,1)_

,1)

c ( 2 ,1)

(3,2,1)

Df(3,2,l)>c(3,2,l)

(15)

donde c(2,1) (N , . . , 2 , l ) ( N , . . , 2 , l )

... ,c son 1-formas arbitrarias, y

; ( j , j - l , . . , D _ Df ( j ' j" 2,..,D (j-l,..,2 (16)

En el caso especial n = 1, la expresión (15) adopta la forma más sim-

ple

T? —

II JThSu

D f(3,2,l) Dl

donde ahora b '"' G & y a r b i t r a r i a , y

(17)

D

j , j - l , . . , l ) _ 1_

5 j _ o (18)

3. EJEMPLOS

3.1 n=l

i ) - u P ( 2 ) = i u 2 p ( N )

- u , y 2 ' * " ' i

N

NI U

< 5 u

F

- 1 f(2'1} = u f^'2'1) - u- i , r - u, f - u , . o ,

= D J - ^ D J l D J .... DH^l HU1 H

= u

Y a s í :

1 NÑTU -» F = u.

1 2q = -i-u^ N=2 F = u.

- 1+6 -

u 1u 2 , N=2 > F =

í V N=3

q = g- u ± 9 N=4 > F = u t

q = u^u2-, N=4 >• F =

i i )

. (2,1)' f = U2

F = _ D, —U2 H U 2

Y as í :

Í "2 F =

111)

U

Así:

v U 2 U 3 "q = u > F = 2

u 31 2 _

q = U U2 " 2 U l * F =

q = l u 2 , F =

q = U Q U , , > F =

Sin embargo, es inmediato comprobar, por medio de (*), que2

F(u,...,u ), F f 0, polinomica, tal que u = F conserve u y u .

3.2 n

(1)

Su

F = V .

= 1, f(2'1} = u

V .b-* -»^ u.c

Así:

i / T*T ^ ^b = (1u)2Vu, c. = (Au)u. + 2Tu.u

F = (Au)2 t 3\7u.VAu t 2 2 V (19)

Este F es invariante bajo rotaciones. Expresiones más simples se obtie_

nen de no exigir tal invariancia. Por ejemplo

c = n (constante), b = — (n."^u) n

F = (n.3 )3u

= n (constante), b = -^ (n. Yu) "n

Precisamente de esta última puede obtenerse (19) promediando sobre las di-

recciones de n.

11) (Vu)

Ó u

Se obtiene del caso precedente por simple sustitución de u por A u en

las expresiones manejadas. Así (19) pasa a ser

F = ( A 2 u) 2 + 3 ? / l u . V / i 2 u + 2 2 ( A u . . ) 2 (21)ij 13

también invariante bajo rotaciones.

4. ALGUNAS APLICACIONES

Las implicaciones de la fórmula clave (15) no han sido aún analizadas

con suficiente detalle. Nos limitaremos a mostrar en esta comunicación pre-

liminar cómo efectivamente es de esperar información, por medio de (15), so_

bre el problema recíproco mencionado al comienzo de esta nota. En lo que si-

gue, ut = FCu,...,!^), F^ / O , n = l,

i) Sean N = 2, p ( 1 ) , f ( 2 )G=3(F). Supongamos que P(1) y ? ( 2 )

dependen esencialmente solo de u,..,u_ , M = Uj - lj • (Este es forzosamen-

te el caso para F polinómico y M par » 2 JAG 78b^]). Entonces S? / S u,"7*2 l)f ' alcanzan, como máximo, a u ^, y por tanto en la fórmula

Su

será preciso que q = q(u,..,u X q ^ 0. Por consiguiente, desarrollando~UM-2

(22) se observa enseguida que dim D(F) = 2 >

(fvi

donde a,b,..,e,f,g son funciones de u,...,u tales que f = 0 =5> b = 0.

Así, una simple inspección a F (u,..,u ) nos revelará enseguida si la ecua-(1)

ción de evolución u = F puede admitir o no dos densidades conservadas ?(2)

p , linealmente independientes módulo triviales, dependientes de u,..,u .\ MSi encima exigimos que F sea polinómica, entonces

+ CVlbUM-l + C

donde a,b,c,d son polinomios que dependen de u,...,u .

ii) Sean f (u), U i * N, De (17) se obtiene sin esfuerzo que:

b '"'' (u) = = » F = D (<4>(u)); para tales F toda p(u) es conservada.

b ( N " " 1 ) ( u , . . , u M _ N ) , M-N-l = > F = c<(u5..,uM_N)uM+ ...

En consecuencia, el número máximo de densidades p(u) G S ( F ) linealmente

independientes, módulo triviales, es M-l, siempre que M >• 2. Este máximo es

alcanzable incluso con F y p's polinómicas: así, para f = u,..,

(N) 1 N „ n ^ , ,(N,..,1) 1 2(N-1) ... . .= T77- u , N 2, tomando b ' ' = , ., u se obtiene un poli-

nomio

Finalmente, si F = f(u)u. + g(u), g jí 0, entonces toda P(u) 6-9 (F) es tri

vial .

iii) Sean f (u ), le iírN. Tanto — como D f^'1"'1' serán

ahora de la forma h(u.)u^, y por tanto:

b '"' (u.) > F(u ); para tales F toda f(u..) e s c o n s e r v ada.

, B-S > 2

En consecuencia, si M > 2, el número máximo de densidades

p(u)6<=S(F), linealmente independientes módulo triviales, es M - l . Pero

si exigimos que F sea un polinomio, tal número máximo es M- 2; y es accesi-,. . o(l) 1 2 _(N) 1 N+l . ,ble, pues si p = " 2 " u i ' - - ' f = " (N+l)! Ul ' t o m a n d o

,(N,..,1) 1 2Nb = -~rr u se llega a un polinomio

N-lF = U2 +

- 50 -

REFERENCIAS

fAG 78al L. Abellanas, A. Galindo, "Caracterización del núcleo de — — en ana

lisis variacional", en este volumen.

PAG 78bl L. Abellanas, A. Galindo, "Leyes de conservación en ecuaciones de

evolución no-lineales polinómicas de orden par", en este volumen.

A CRITICAL INSIGHT ON SOME THEORETICAL AND PRACTICAL ASPECTS

OF THE LIE INVARIANCE METHOD. I.

L. Abe3lanas, F. Guil and L. Martínez Alonso

Departamento de Física Teórica, Facultad de FísicasUniversidad Complutense de Madrid, Madrid-3, Spain

In the first part of this paper we look at the reduction of

the number of variables produced by the Lie's invariance method,

from a purely geometric point of view. At the practical level, we

apply the third order extensión of the group action to build up si-

milarity solutions for the Korteweg-de Vries equations. We also in-

vestígate the influence of some perturbation terms on the invarian-

ce group. It turns out to behave in a rather regular way when the

perturbation parameter goes to the unperturbed valué.

- 52 -

1. INTRODUCTION

During the past years, nonlinear differential equations have attrac-

ted great attention, because they próvida the appropiate mathematical con

text for a wide class of physical problems. Despite of the considerable

effort devoted to nonlinear functional analysis by the mathematiciens,

the absence of a general theory in this field makes it very difficult to

get any deep insight into the structure of nonlinear differential equa-

tions. Therefore, it becomes a matter of great importance to set up prac-

tical methods wich allow the analysis of some particular nonlinear diffe-

rential equations arising in the mathematical description of ühysical pheit- ~

nomena. For example^is well-known the fundamental role played by the in-verse scattering method . Generally speaking it seems to be an unbrid-

(2) (3)geable gap between the abstract techniques ' and the need to findexplicit solutions for practical purposes.

About the general techniques for the construction of explicit solu-

tions, it appears to have been no essential progress from the original

("OLie's work , a hundred years ago. Let us mention however the revival of

the Lie's method by L.V.Ovsjannikov coinciding with a period of increa-

sing interest about the applications of similarity methods in the field

of m-order partial differential equations (PDE-m). Even within the con-

text of ordinary differential equations the classical Lie's method has

played a crucial role . The Ovsjannikov's formulation of. the Lie's me-

thod applies to general systems of P.D.E. on several dependent variables,case(8)

(7)either in the invariant or partial invariance cases. A useful referen-ce for practical purposes is the Bluman-Cole book

This kind of methods with minor modifications has been succesfully(9)

applied to such problems as separation of variables in linear PDE's »

clasification of invariant nonlinear PDE's under the action of Lie

groups ,and many others.

The present paper deals with the construction of invariant solutions

for PDE's depending on á single dependent variable. Section 2 is devoted

to the coherent mathematical description of the Lie's invariance method

(I.M.), with special emphasis in the way the number of independent varia

bles is reduced. This implies the requeriment to clarify the relation-

53

-ship between the geometrical notion of invariance groups and the preser

ving Solutions groups. In Sec.3 we discuss some availables explicit solu_

•tions of the Korteweg-de Vries equation by means of the I.M. Furthermore,

we investígate the behavioup of the I.M. under simple algébrale perturba

"tions -of the equation, in order to test its dependence on the valúes of

the perturbaticn parameter. The last section contains some critical com-

isents about the scope and iimitations of the I.M.

Along this paper the usual convention of sum over repeated Índices

is assumed.

-54-

2. THE INVARIANCE LIE's METHOD FOR A PDE-m

A. INVARIANCE GROUPS

We shall restrict ourselves to real-valued functions u = u(x) defined

at points x » (x.,..,x ) of the space JR . Their derivatives will be deno_

ted:

A PDE-m can be constructed bymeans of a function Í2 =12 (x-,u,Uo¿) of

the variables ( X J U J U ^ ) , i. ¿\'*\£m • The solutions of this equation are

those functions u = u(x) which verify:

£1 (x,u(x),uoo(x)) = 0 (1)

on sorne domain of IR . Every function u = u(x) may be regarded as a maní-

fold -~\ with points (x,u(x)) in the spac<

sentation wili be useful in what follows.

fold -*} with points (x,u(x)) in the space JR . This geometrical repre-

Let G be a one-parameter Lie group acting over the space JR

x1 = x'(x,u;a) , u' = u'(x,u,a) (2)

where a is a real parameter describing the elements of G. We assume that

a is the exponential coordinate. i.e. g(a) = expía ti) with (Xthe infini-

tesimal generator. Under the action of any element g(a) of G, every mani_

fold x5 with points (x,u(x)) transforms in another one~^j , with points

(x'suf(x')). If we consider the mapping

u = u(x) > u' = u'(x') (3)

we obtain an induced action of G over the functions u = u(x) defined in

JRn.x

Def.1 We shall say that G is an "admissible group" for Eq(l), if every

solution of (1) is transformed by (3) into other solution.

N' Let us denote JR the space of points p= ( X J U J U ^ ) , t<Wl£VY|

X U U <Given a one-parameter Lie group G acting on JR we can extend its ac-

x5u

- 55-

Ntrion to the space ]R in such a form that the variables u~ trans-

X U U °C

form as the «,-derivatives of u (see ref. ). That is, for any

function u = u(x) the points p(x) = (x,u(x)jU^(x)) are transferred un-

der the extended action of G to the points p'(xf) = (x1,u'(xf),u^(x') )

with u'oc(x')= ^iiUxO/^x'^ 1 ..-^x|0£n . We shall denote GeKt' theN n

group of these transformaticns over JR.o Ir V 11 11

Our function Ll = ll(x,u,Uo<. )(4.£ KlSwi ) can be considered as a fun£

tion Xl=íl(p) defined in JR1 . Let <5 (íl) be the manifold

4.?:0(p) = 0 \ in IC

Def.2 Given a one-párameter Lie group G acting over H , we shall111 '•"' '•""" X ^ Ut

-say that G is an "invariance group" for Eq(l) if <5 (XI) is lsft inva-

riant under the action of G ' over 3R* . In other words ifjj.(p)=0

implies i.¿(p') = 0 for a11 the transformations of G

Proposition 1. If G is an invariance group, it is an admissible group.

Proof .

Given a solution u = u(x) of (1), the points p(x) = (x,u(x) jU^Cx) )

belong to the manifold ~¿ (Q_) C JR* . Since G is an invariance grouD,

1±e transformed points p'(x') = (x',u'(xf), u'^Cx')) are also in -O(A¿-)

Therefore i.l(x' jU'(x') jU'^Cx')) = 0 and we conclude that uT = u'(x') is

a solution of (1), because of the form in which the extended action has

been defined (QED).

B. REDÜCTION OF THE NÜMBER OF VARIABLES

Let í be a one-parameter Lie group acting over ]R . It is well-

known that there is a coordinate system v\ , 0,..,p V<m3R

such that•the action of G in these coordinates reads

They are called canonical coordinates. They satisfy U- A = 1, IX P. = 0

(i-l,..,n). Denoting cb = 0 and 0= ( P ^ . . , ^ . ) , the equation (1)

can be written in the form:

- 5 6 -

. Fromwhere §u{0i , J ) * ^follows at once that the extended action of G over JRA A ¿ i is given by:

(6)

The next proposition is the foundation upon which most of the follo-

wing work will be based.

Proposition 2. If G is an invariance group for Eq(l), then 12 can be de-

composed as a product \1 = 12 ( ¡ P} §, ) F( 0 jé,^) such that

(i) F does not depend explicitly on the canonical variable A

= 0 implies F( = 0

Proof

Let us denote Úi = (, P j (p j

have from (6) that

. Since G is an invariance group, we

forallaSH (7)

(Q.) is the set M, : ^) = O j . We define the map:

Let F:JRj" — > K be some function such that rhe set { £ IR qj •' +r(t|;)=C) V

CS(Q))

(8)

j ' +r(t|;)=C) Vcoincides with . From (7) we obtain

Therefore if we take some function QoC^^f) such that £lo$,ij0=

for C1 , ) a-o(Q), the conclusión follows. (QED)

This proposition asserts that Eq.(l), when expressed in canonical

coordinates is equivalent to

where F is a function which does not depend explicitly on /\ . Henee, if • •

we look for solutions ¿^¿(P^ depending only on the variables

-57 -

9 ~ C^u • -J fn->) 5 the derivatives <j),¿ with ci^^O vanishes in Eq.(lO)

and therefore this equation becomes_:

where

function, Eq.(ll) will be a differential equation in n-1 variables. Given

a soltrtion Ó = (b(P) one gets a solution u = u(x) of Eq.(l) by means of

the coordinate transíoraation (^9,6) -> C*-> ^n ^ e space JR .

C. INVARIMCE GENERATORS

To first order in the parameter a the transformation law (2) may be

written as:

Given a function F = F(x,u) defined in H we have:

a"

2

where (X is the infinitesimal generator of G:

Similarly, to first order in a the action of G over IRx

trums out to be of the form:

^=a^+a.^ ( o í )(x Ju Ju / 1). (15)

•where V| QX^JHA,") depends on XJUJU^ with i éí(?>\ £ [«¿I . It is an easy

(but rather tedious 1) exercise to compute "/ <y) as a polinomial in the

Un whose coeff icients are linear expressions in 5 ¿j Y] and their deriva-

txves. The generator of G is

L m• íl6)

-58 -

Def.3 If G is an invariance group for Eq(l), we shall say that (\, is

an invariance generator of this equation.

The following proposition will provide us with a useful algorithm

for practical purposes.

Proposition 3. If 11 (x,u,Uo¿-) (l«*Kwi ) is a differentiable function and

its Jacobian raatrix (£1 , £l , Q. ) has rank one at each point p 6 <$ ( ),X. U

then G is an invariance group for Eq(l) if and only if {J^, vanishes on

d(íl), i-e.

Proof

With the hypothesis over the function X ¿ , "i (£1) becomes a regular

submanifold of E , wich is left invariant by G iff LA- is a tan-x,u

gent vector field in A (ÍI) i.e.(ll) iff tleXt_Q_ (p) = 0 for all p Q t?(H)

(QED).

Usually the property (17) it is impossed for the computation of the

invariance group without refearing to the necessity that the rank of the

Jacobian matrix of i¿ is not nuil on the manifold <j (\1_) • This condition

is necessary to conclude the invariance of -¿ (\Ij under the action of the

group generated by r\X, . Consider for example the manifold

íl 3 x (u-x) +u (u -1) which verifies (17) for the generator U.=^— + -—x x k iu

of the group of dilatation of (x,y) which however does not léave invariantthe manifold

Remark. Henceforth we implicitly assume that 11 verifies the hypothesis

of Proposition 3. In order to find invariance generators of a P.D.E.m can

proceed as follows:

(1) From the equation \L (XJUJU^ ) = 0 we obtain a relation u^=u^(x,u,u ,„

for some fí> with ip\-=\r»

(2) We substitute this relation for u P in the condition

-59 _

(3) Proposition 3 tells us that the functions \ .,ú corresponding to inva-

riance generators are of such a form that IX _Q, vanisches identically

in the variables (XJUJU^ ,«). Therefore, we can find these ^ . ,11 collec-

ting together the coefficients in iji, _Q. of lineally independent terms in

the variables u^,. and set all of them equal to zero. In practice it is

quite easy to solve the results of equations for % ., v? because they cons-— i i

titute an overdetermined system.

Remark. Let us note that in general the method provides a Lie algebra of

solutions• The a:

of the equation.

solutions• The associated group is called the "main invariance group"

í\ 1 €25C"fc

Given an invariance generator tv » "tlie method to be used for redu-

cing the number of variables in Eq(l) consists in to look for solution

u = u(x) such that under the action of G verify

u'(x') = u(x') (19)

Infinitesimally this condition reads:

L (2Q)

(12)It is well-known that the general solution of (20) can be found bymeans of an implicit relation

H(flS...,fn) = 0 (21)

where H is an arbitrary function of the n functionally independent solu-

tions of the equation:

(22)

The functions (f , ,f ) care called "similarity variables". We note that

Eq.(22) is nothing but (Xf = 0. Therefore (f.,...,f ) are the canonical

variables (P,...,P ,<p ) (see Sec.2.B) andEq.(21) says that the ca-

nonical coordinates of the points belonging to the manifold (x,u(x)) must

verify some relation of the form

H( P,,..., ü_ ,,(b ) = 0 (23)

_ 60 _

Once we have found the similarity variables ( 0 ,..., P , $ ) of our equa

tion, the following step is to express the variable u in terms of the simi_

larity variables and one other variable t functionally independent of these,

Of course we can take t as the canonical variable A ( W-^ = 1). Thus we get

for some function -T .

If we consider functions u = u(x) which. verify the condition (.19),

then from (23) and (24) it follows that they are of the forra:

(25)

If we substitute (21) in our equation Xi.(xJu,uot) = 0, from Proposi-

tion 2 we shall obtain some equation for

(26)

Solving this equation we get from (25) a family of solutions of our equa-

tion. These solutions are called "similarity solutions".

D. ADMISSIBLE GROUPS VERSUS INVARIANCE GROUPS

From the phys-ical point of view the concept of admissible group is

the relevant one in the mathematical formulation of symmetry principies.•

We have seen (Prop.l) that all the invariance groups are admissible groups.

The question arises as to enquire whether or not admissible groups are in-

variance groups.

Let G be an admissible group for the equationyJCxjUjU,^) = 0 and let

( A , 0 , <p ) be canonical coordinates in H for the action of G. In terms

of them the equation will be of the form XI ( , , cj) ( >3> ,£ ), <j? ( , 9 ))=0

On the otherhand^ the action of G over the functions (p = (p (A ,P ) will be

given by:

<^£ÍK (27)

- 61 -

Let us suppose that G is not an invariance group. Thus there is some

point p = ( X , P , Ó , <b ) in ¿ (H) such that {V?*¥l )(p ) ¿ 0.O O JO 1O TOoC . ,_ O

Since in canonical coordinates (X = y^X •> w e c a n aPPly ^he ImplicitFunction Theorem to conclude the existence of a neighbourhood of p in

O (.0.) in which the equation íl(p) = 0 is equivalent to some relation:

( 2 8 )

If d) = <p ( ,y ) is a solution of -LL= 0 such that its image

( % , j> ,<j) ( ,P ), 4 k ^ ' f i n "^ ) contains the point p Q, then it

must verify

(29)

identically on some neighbourhood of ( 0\ ,9 ). Since G is an admissible

group, the transformed functions (t) = <j) ( A , 9 ) are also solutions of

Xi-=0 for all a S l . If (p is sufficiently regular we can choose a such

that (b verifies (29) on a neighbourhood of ( A , 9 ). This is absurd• a o j o

because of the wroñg consequence:

• \ ^

C30)

Then at points p G 0(XX) along the images of regular solutions, the condi

tion eU e X tX). )(p) = 0 holds.

Therefore as a matter of fact one expects in physically relevant equa_

tions that points of -3 (Q_) pathological with respect .to the action of • an

admissible group.G, will be identified with singular configurations of the

physical systems.

3. THE KORTEWEG-DE VRIES EQUATION

A. APPLICATION OF THE INVARIANCE METHOD

Let us apply the I.M to the well-known Korteweg-de Vries (K-deV)

- 62 -

For this equation the invariance condition requires

U^H ^ =0 (32)

under the assumption \i. = 0. By using

" 3

- 6 tu

and afther substitution u =-uu -u^, we see that the solution is:XXX X t

W sr(33)

The associated similarity variables are

1The K-deV equation reduces to:

S<j)"<j)"V (ScCCJ)-^)^'-^^© (35)27«

This is too hard, any way!. Let us investigate some particular case. The

subgroup 0¿ = 0 leads to similarity variables:

- 63 -

5?here d) is a solution of:

wnich is iaimediately integrated to give

$> Ó) + *~ (b -'bd) •+• - P = K(arbitrary constant) (37)

(13)Hhich leads to the celebrated (first transcendent) Painlevé equation :

H" = H 2 + 6 0 (38)

it suffices to make H = -r\.(4~x) j ~ ~ £ A D "S = ^ $ • We note

tíiat the solutions are something like accelerated waves eith velocity

c(t) = ^t-í- S . They are not» however, in L (]R) because of the struc-

toire of (38). .

Another particular subgrcup o¿ = * = o , consisting of puré trasla-

•tions leads to similarity solutions of constant velocity:

(^) j (39)

(|)Hi4- C^CJ)'- C c j j ^ O

Tnis equations is twice integrable, with final result:

1 + + K' (k,k« arbitrary constants)

with the remarkable (soliton) solutbn for-k = k' =0:

2 3ás another example, taking k = — , k' = -r- in (40) provide us with the

equatfan cpl2- + i (_(+i-c) = O , with solutions S = - \2 (P +

- 64- -

B. HOW BOES G DEPEND ONü?

The manner in which the algoritm is used to f ind the invariance group

G shows the obvious fact that G essentially depends on the explicit form

•of Q.. Thus it would be interésting to ask oneself about the behaviour of

G when some free parameter x> is varied in \i . As a purely roathematical

«example we test this behaviour for some "algebraic perturbations" of the

K—deV equation. It will be clear, from these examples, that a greater regu

larity than expected occurs. We denote G the invariance group (33) asso-

ciated with the K-deV equation.

= o

Sxcept in the cases X> = Ojd. (linear and K-deV) the corresponding invarian

ce groups are all isomorphic:

Thus the group varies continuously at every U^O,-!. . In these two valúes

the dimensión of G suddenly increases. There is some kind of semiconti-

nuity for dim G ^ as a function of the real parameter o».

Q. y 3 Uy>íX+ UU y + ULt-i> =0

It admits the following invariance groups

Let us' note that all of them are isomorphic and they have the same number(2)

of parameters than G • Moreover G \¿ — > G as :

It turns out to admit the groups

which are quite differents from G•^ o

- 65 ~

_ [=0 CM-9)

Here we get:

'^ (50)

In this case the group is a 4—parameter Lie group and it reduces to G

*men v ->O

(51)

We find:

wich are essentially differents from G . When V -> 0 _> G y tends to the

siibgroup ^ = S j t s (bjY) = O |

6) Q^s^x + a ^ + a^o . o °>4.) (53)

Therefore the only non-generic. point is i> - d. , the K-deV case, where the

group increases with an additional parameter.

7 )

The group turns out to be the same for all V 0j 1 . It is characterized

by:

ás above G increases. at i> = 4. .

_ 66 -

4-. FINAL COMMENTS

i) While basically interested about the applications of the I.M. to

nonlinear P.D.E.'s, the linear equations provide a good framework to test( 8 )

its power. For instance it is well-knovrn that the fundamental solution

of u -u = 0 (heat equation) can be obtained by using this method. Ano-t xx

ther typical examples, like u. + u = 0 (Lanlace equation), u -u -u =0Jr r * xx tt " ^ ' t xx yy(heat equation in two spatial dimensions), or u +u =0 (Schrodinger

tr xx

equation) are easily handled to construct their respective fundamental so-

lixtions as similarity Solutions.

ii) As a first incursión into nonlinear -problems, w remaric that "the I.M.

provides the general solution for any quasilinear P.D.E-1. Indeed, let us

consider the equation:

^ ).O (57)

It follows at once that e. = a. (i = l,..,n) and vi = f -determine an inva-

róance group for A ¿ = 0. It is well-known • that the general solution of

(57) can be expressed in terms of an implicit relation

», •-.,?„-.'4o*0 (58)

•where H is an arbitrary function of the n independent Solutions of the

equation:

^ ( X . U ) ^ +Y)(*Ji0'?§ , 0 - (59)

Therefore in this case the I.M. gives the general solution.

iii) In the field of nonlinear P.D.E's, the absence of a general theory

makes it difficult to test the scope of the I.M.. On the other hand, due to

~the incipient status of the theory, the results available by the I.M. acqui_-

re a great interest. This is particularly true for those equations related

with physical probleras. For instance the I.M. has been applied to analyze

equations arising in gas dynamics, ideal liquid motion, field equations, Na

vier-Stokes and many others

67 -

iv) In the formalism of invariance groups for P.D.E.'s it has been propo-(14)sed by Kumei et al , the use of invariance groups wich are not of Lie's

form and such that transformations which depend not only on x ,..,x and u,

but also on the derivatives u¿( t<*l¿vv\) are allowed. This suggests a possi-

ble way to generalize the I.M.

Let us restrict ourselves, for the sake of brevity, to the case n = 2,

so that we consider to first order in the parameter a the transformations:

..) (6o)

A good motivation to admit u^-dependent transformations can be found in the

intermediate role that they play to fill between Lie's and Backlund's trans-

formations . Schematically we have

t1

u1

X t U

Lie

x1

t1

u 1 •

X t U U U.X t

Kumei

x'

t '

u '

u'X

u '

X t U U UX t

Backlund

This seems to be a pretty enough attempt to relate invariance groups with

Backlund transformations, since it offers the possibility to have deriva-

tives in the arguments without being faced to integrability restrictions.

There is an obvious candidate to be used in order to test the relevance of

the generalized invariance groups to find similarity solutions and its re-

lation with Backlund transformations, for example for n = 2, the Sine-Gordon

equation. It is in fact the first example of nonlinear Monge-Ampere equation

wich admits a one-parameter family of Backlund self-transformations. It is

an easy exercise to check that \ -t =0,V7. = u make "¿L _L¿ = *] , *- vycosu=0,

when xl = 0. Here W^must be calculated according to (¿£). It turns out

that the functions Víeí\ dependens on \<i\ + 1-order derivatives. Therefore it

follows at once that there are not similarity variables P=P(t,x,u ) depen

ding on a finite number of variables. This reflects the fact that the group

arising from these transformations does not leave invariant any finite-dimen

- 68 -

sional linear subspace of the extended space ]R (1¿ [°<\ °°)t,x,u,u«.

Therefore these transformations groups are not useful in general to find

similarity solutions of P.E.D.'s.

v) In the case of an O.D.E. JL¿(x,u(x),.. ,u (x)) = 0 we can choose ¿,^

to depend on x,u,u ,..,u" , so obtaining a P.D.E. for the pair of func-

tions § ,y in the variables x,u,..,u . This yields an infinite number

of solutions, whose corresponding invariance groups reduce the original

O.D.E. of order p-1.

As a final question, we like to emphasize the importance to investigate

more closely the relationship between Lie's methods and Backlund transfor-

mations in order to obtain a unification of the theory of transformations

for P.D.E.'s.

vi) The analysis of the examples described in Sec.3B suggests some heu-

ristic comments. Given a P.D.E. 12= 0 with (maximal) invariance group G ,

let us consider the one-parameter family of perturbed equations ±2 ¡¿- o

with -D.y0 =-*Z- It appears that the invariance groups Gp associated with

•ily = 0 are all isomorphic except at a discrete set v'j} . More explici-

tly, one finds that all G í V;¿ v .) are different realizations of some p-di_

mensional Lie group. The valúes {V/j are critical in the sense that their

respective invariance groups Gy . are essentially differents from the fami_

®£ course the dimensión of G^. may be greater than p.

All the examples quoted in Sec.3B exhibit an identical behaviour in

the limit i - Vo , namely Gy tends to some subgroup of G . In spite of

this regularity property, we exphasize that the groups G/are in general(3)

quite different from G (see for instance G in Sec.3B). Consequentlythe similarity variables for -O. , are very different from those arising in

n.

Acknowledgments

We wish to express our grateful acknowledgment to Professor A. Galindo

and G.García for hepful disscussions.

- 69 -

KEFERENCES

(1) A.C.SCOTT, F.Y.F.CKü and D.W.Mc LAUGHLIN; Proc. of the I.E.E.E. 61,1443

(1973). •

(2) M.REED; "Abstract Non-Linear Wave Equations", Springer Lectura Notes in

Mathematics, n° 505, Springer-Verlag, (1976).

(3) M.VAINBERG; "Variational Methods for the Study of Non-Linear Operators",

Holden Day, S. Francisco (1964).

(4) S.LIE; Math. Annalen, 25_, 71-151 (1885).

(5) L.V.OVSJANNIKOV; "Group Theory of Differential Equations", Novosibirsk,

USRR (1962).

(6) E.L. INCE; "Ordinary Differential Equations", Dover, New York (1956).

(7) L.V.OVSJANNIKOV; Dokl.Akad.Nauk SSSR, t.186, N° I (1969) and Soviet Math.

Dokl. 10_, n° 3 (1969).

(8) G.W. BLUMAN and J.D.. COLÉ; "Similarity Methods for Differential Equa-

tions", Springer-Verlag (1974).

(9) W.MILLER; "SynHnetry Groups and Their Applications", Academic Press, New

York (1972).

C.BOYER; E.G.KALUINS and W.MILLER; see J.Math.Phys. (1975-76).

(10) C.BOYER; R.T.SHARP and P.WINTERNITZ; J.Math.Phys. JT7, 1439 (1975).

(11) F.BRICKELL and R.S. CLARK; "Differentiable Manifolds", Van Nostrand,

New York (1970).

(12) H.CARTAN; "Calcul Differentiel", Merman, Paris (1966).

(13) H.T.DAVIS; "Introduction to Non-Linear Differential and Integral Equa-

tions", Dover, New York (1963).

(14) R.L.ANDERSON; S.KUME1 and C.E.WULFMAN; Rev.Mex.Fis 2^,1, 35-(1972);

J.Math.Phys. 14_, 1527 (1973); J.Math.Phys.16_, .2461 (1975).

UNA CLASE SIMPLE DE PERTURBACIONES EN ECUACIONES DE ONDAS NO-LINEALES

R. Fernández Alvarez-Estrada

- 71 -

1. INTRODUCCIÓN

El estudio de fenómenos descritos por ecuaciones no-lineales y, simul-

táneamente , estocásticas es un área de activa investigación [i] . La dificul

tai del tema sugiere la conveniencia de realizar estudios puramente matemá-

ticos de las correspondientes ecuaciones no-lineales estocásticas.

En estas notas, presentaremos algunos métodos y resultados para ellas:

nos limitaremos a extender directamente técnicas cuya utilidad en el estu-

dio de ecuaciones de ondas no lineales [2-4-J esta bien establecida, y a es-

bozar el empleo de otros métodos, típicos del Análisis Funcional Q5-6J s que

creemos son especialmente idóneos para el tratamiento de ciertos problemas

no-lineales con pequeñas fuerzas estocásticas^en intervalos de tiempo peque_

ños. En general, nos concentraremos en la construcción matemática abstracta

de soluciones "pequeñas" (en cortos intervalos de tiempo).

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Sea u = u(x,t) una función real o compleja,o un vector de M componentes

u.(x,t), i = 1...M, dependiente de coordenadas espaciales x = (x .,.x ),

-co< x.< + <*> , j=l...n, 1 .$ n < 3 y del tiempo t, 0 ^ t < + ° o . En lo que

sigue, X representará un parámetro o conjunto de parámetros que varían en

un cierto conjunto ¡\ , que no será preciso especificar. Por hipótesis, u sa-

tisface la siguiente ecuación:

— =-i Au + J[u] + F (2.1)

siendo A un operador autoadjunto que es función de derivadas espaciales y

J[u~] un cierto término no-lineal (por ejemplo, un polinomio en u. u'.") quepo

dría contener también una dependencia explícita en x,t pero no en •

F = F(x,t,X" ) es una función independiente de u y representará una "fuerza

estocástica", dependiente de x,t, y de A . Si M>1, J y F tienen, por su-

puesto, M componentes. Nótese que la única dependencia de (2.1) en X es debi

da a F. Suponiendo que u(x;t = 0) = u es conocida en t = 0 y es independien

- 72 -

te de F y de \ , determinaremos la solución u(x,t) de (2.1) en t> 0 que coin

cide con u en t = 0, para X fijo y F dada. Aunque u(x,t) depende de F (fun-

cionalmente) y;a través de ella, de A, estas dependencias nunca las escribi-

remos explícitamente. La caracterización de F y del proceso descrito por

(2.1) la haremos en general, sin limitarnos a procesos markovianos o gaussia

nos. Supondremos que existe una función densidad de probabilidad P(X), defi-

nida sobre A > "tal que P(X)^-O, dXP(X)= 1. En general, ni F(x,t,X)ni

P(X)son conocidas explícitamente. Lo que por hipótesis, si se conocerá, en

cada caso concreto, son todas las funciones de correlación de F, que la ca-

racterizan como función estocástica. Si M = 1 y F es real, sus funciones de

correlación son (m = 1,2,3,...)

G A - £ \ A ) i \ X j j T / , / \ ) - t V X _ X _ j \ j • i • I \ X j L 5 * / ^ • ( ^ \ A , I - j r \ X _ T . _ y . . • ! \ X u ^ í > \ ¿ + /. )

Si M^l o F es compleja, hay que dar, además, otras funciones de correlación:

por ejemplo, \dXP( X )F.(x t , X ) FJ(X t_X ) •

Suponiendo que la ecuación (2.1) ha sido resuelta para u y F dadas, el

proceso estocástico en cuestión estará determinado por las funciones de co-

rrelación de u. Estas son, si M = 1 y u ,J,F y u son reales:

f.d X P ( A ) u ( x . t , ) . . . u ( x t ) = / u ( x . t . ) . . . u ( x t ) \ , m = 1 , 2 , . . ( 2 . 3 )i 1 1 m m N l l m m 'A

y sus obvias generalizaciones s i M>1 ó u es compleja. En general , cabe espe_

ra r que ¿u(>?.t. ) . . .u(x t ) \ estarán determinadas de forma completa üor u , JN 1 1 m m ' oy e l conjunto de todas las / F ( x . t . ) . . . F ( x t J V l = 1 ,2 , . . . Sea u. =u.Cx,t)

^ 1 1 tí XX

la solución de la ecuación no-lineal (2.1) correspondiente a u y a F = 0.

Estaremos principalmente interesados en el caso en que, si bien F f 0, tanto

las fuerzas estocásticas como sus funciones de correlación son "pequeñas"

por hipótesis y, así, podemos concentrarnos en hallar, en cortos intervalos

de tiempo, las contribuciones de orden más bajo en F's (o en <F>'s) a/u(x.t.)..,u(x t )\ ** u.(x.t.)...u(x t ). En términos más matemáticos, cons-1 1 m m ' l l l i m m

truiremos las funciones de correlación de la diferencial de u en F = 0 en pe

queños intervalos de tiempo. Nuestros resultados constituirán una generaliza

ción de los presentados en H.Haken f lj para el modelo -T~=- = -aq - bq + F^

- 73 -

siendo q = q(t), a y b constantes y F la correspondiente fuerza estocásti-

ca.

3. REDUCCIÓN DE (2.1) A ECUACIÓN INTEGRAL

En primer lugar, transformaremos la ecuación (2.1) en una ecuación in

tegral que incluirá automáticamente el dato inicial, u . Sea G(t) o, en

forma explícita, G(x,^t) la función de Green definida mediante

— = -iAG , G(0) = I (3.1)"St

siendo I el operador identidad. En forma explícita, la segunda condiciónn

es G(x,t) í>- J T T(x.).t->o+ i=l a

La ecuación integral buscada es (F(s) = F(x,s,X) )

u(t) = G(t)u + í dsG(t-s)JÍu(s)] + ds G(t-s)F(s) (3.2)o \

Jo -'o

En efecto: i) derivando la parte derecha de la ecuación (3.2) se obtiene

la de la (2.1), ii) la segunda condición (3.1) garantiza que

u(x,t) >• u(x,0). La representación abstracta de G(t) es: expj-J-i tA .t->o+

Cuando J es una función ordinaria de u.,u" la forma explícita de la ecua-

ción (3.2) es (dx = J~\ dx.)

u(x,t) = dxGíx,*1,t)u(x',0) + ds ídx'G(xrx', t-s)

+ í ds jdx'G(xr x' ,t- s) F(x',s,A) (3.3)

Nótese que la familia de operadores G(t) actuando en el dominio D en que A

esta definido y es autoadjunto tiene las propiedades siguientes:

i) G(0) = I (operador unidad),

ii) G(s)G(t) = G(s+t) con tal que O^s, t < + *=,

iii) para todo G(t) 0.<t<+°o, se tiene !lG(t)|] = Mínima cota superior

de " ; T" = 1, (J> SD donde \\¥\\ designa la norma de <? .

4. APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LA TRANSFORMACIÓN CONTRACTIVA CON F FIJA

Sea D un dominio de funciones <£ (x,t) tal que si CjSD entonces A*? 6D

y en el que A pueda considerarse como un operador autoadjunto. Para fijar

r c o~\ i/o

las ideas, podemos pensar en la norma Ij Ct)!! = dx j'J (x,t)| J , aun-

que prácticamente la totalidad de los métodos y resultados son independien

tes de la norma que se elija.

Supondremos que el término no-lineal J£<P] es tal que si <5 GD enton-

ces Jfi^l GD y que, además, verifica las condiciones siguientes:

U C

para todos cj ,(J ,(f GD, siendo las diversas constantes C finitas, positi

vas y funciones monótonamente crecientes de las normas de que dependan.

Asimismo, supondremos que para \ fijo y todo t <£ T < +°° la "fuerza" Fft °

pertenece a D, de modo que I ds G(t-s)F(s) esté, asimismo, en D.J o

Fijemos T > 0, con T > .T, y sea X el conjunto de las Cj (x,t),

0 4 t < T y tales que: i) <$ GD, ii) <$ y A<? son continuas, iii)

4-

Sea X™ (u ,F) el subconjunto de X formado por todas aquellas Cp(x,t) ta-

les que a) íp(x,0) = u (x), el dato inicial para la ecuación (2.1),

- 75 -

b) li^-GUo-ÍGFll = M ^ \\y(t)-G(t)vc- f 4-

oít<T

Análogamente a [2-4J , pueden demostrarse las propiedades siguientes:

1) |l II es una norma, que convierte a X_ en un espacio de Banach.

2) X_ (u ,F) es un espacio métrico completo.

3) Si para cada ^(x,t) GX (u ,F), definimos la transformación S me-

diante

ft ftcj>< = S<£ = G(t)uQ + dsGCt-s)F(s) + dsG(t-s) TC^Cs)] (4.2)

Jo J o

entonces si T es suficientemente pequeño, se tiene íj '(x,t) SX (u ,F), esi 3 C O

decir:

• 4) Para cada par <$ , <$ G X (u ,F), se tiene

Puede verse que si T suficientemente pequeño, se verifica t) < 1, es de

cir, la transformación S es contractiva. En tal caso, el principio de la

transformación contractiva implica la existencia en X (u ,F) de una única

función^ = u(x,t) tal que u=Sü y hacia la cual converge cualquier sucesión

de iteraciones Cj> . = S cp , n = 0,l,2,... dada por (4.2) que comience en una

< G X, (u ,F). Mas aún, puede probarse que dicha u(x,t) satisface la ecua-

ción (2.1) y u(x,t) > u , para F dada.t-> o+ °

El método actual no se presta bien, para una J[u] dada, a la construc-de <u(x.t_).•.u(x t )^ , pues no es fácil

1 1 m mco sobre.P(X) en ecuaciones del tipo ($ . = S

^ n+1

ción de <u(x.t_).•.u(x t )^ , pues no es fácil tomar el promedio estocásti-1 1 m m

n

No obstante, es fácil ver que la solución u(x,t) de (2.1) ó (2.3) tiene

una dependencia continua y controlable respecto de F. En efecto, sean

F, = F, (x,t,)O , h = 1,2 dos posibles fuerzas y u, = u, (x,t) las correspon-

dientes soluciones de (3.2) para el mismo dato inicial u :

- 76 -

ft t= G(t)u + 1 ds G(t-s) jfu, (s)l t ds G(t-s)F, (s) (4

Jo •> o

Utilizando la condición (H ) y el hecho de que || G(t)|) = 1, se obtiene:

r* ° (*Ut)-wJt)||'é Us|¡FJs)-Fi(s^+ C Llsllu^-i

(4.4)

Iterando esta desigualdad:

f ¿s||Flfó-Faf0H+ C Ls0 0

o

cb t^í-d 5>) [ J As, || F, fO - Fa64)H

El último paso en (4.5) se justifica fácilmente mediante sucesivas integra-

ciones por partes y establece que pequeñas variaciones en F's implican pe-

queños cambios en u's.

5. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITAS PARA F PEQUEÑA EN UN

CORTO INTERVALO TEMPORAL

Desarrollaremos, a continuación, una linea de ataque diferente, en la

que se dará un énfasis especial a la presencia de F en (2.1) y basada en:

i) la construcción de la solución u (x,t) de la ecuación de ondas no lineal

(2.1) cuando F = 0, ii) la utilización posterior del teorema de las funcio_

nes implícitas para determinar la solución u(x,t) de (2.1) cuando F 4 0.

La primera etapa i) es la particularizacion del estudio resumido ante-

riormente para F = 0 y no requiere repetición.

Nos concentraremos en lo que sigue en la segunda etapa ii), para la

cual consideraremos tres espacios de Banach: IX y j , X-

El espacio XÁ. está formado por todas las u's que constituían el espacio

de Banach X^ del apartado 4- y, así, en particular cada u(x,t) solución de

- 77 -

(3.2) para todo x con 0 < t < T ¿ + « es un punto de U.. Sin embargo, la

norma ||ol. de u(x,t)G es algo distinta: ||ü|j = M*-x j( ud)\\ , Nótese

que liui-ji é I'"-p y que, en efecto, L¿ es también un espacio de Banach con

esta nueva norma. En particular, IIII < 11UJT < •+ °° . Los elementos del

espacio'?' son, por hiótesis, las fuerzas estocásticas F(x,t,X ), con norma

'(A es fijo): UFO)|i = M<*x llRt,X)|| donde §F(t,X)l designa una nor-

ma para la dependencia espacial análoga a la usada para u's.

Sea ?®XÍ el espacio producto cuyos elementos son todas las parejas

(F,u), FQ'Í , uGLt. En r^®"iL podría incluso definirse una norma mediante

ll(F,u)|i = Max(|| F|l ||u|| ) (o bien IIFlL + INil ), Sea B un subconjun

to abierto de r£®~LJL que contiene al "punto" (0,u.), es decir, la solución

de (3.2) con F = 0.

El espacio Z es un posible espacio de Banach que contiene a D y a las

funciones z(t) = z(x,t) tales que z(t) = O"(F,u) con

-t ft<r(F,u) = -u(t) + G(t)uQ + dsG(t-s)FCs) + ds G(t-s) j[u(s)J (5.1)

Jo Jo

cuando u Gli. y F S ^ , o bien cuando (F,u) GB. La norma en Z será análoga a

la que se tiene en ZL y en •

De hecho, al construir Z, consideramos automáticamente la siguiente

transformación de 3"®^ ó de B en Z: (F,u) — > CT (F,u) dada en (5.1), que

jugará un importante papel en lo que sigue, para lo cual construiremos las

derivadas de O~ en el "punto" (0,u )• La noción y propiedades generales de

derivadas (funcionales) de una transformación entre espacios de Banach pue

de verse en £5].

La derivada primera de cr respecto a F en el punto genérico (F',u')5

denotada mediante D cKF',u'), es el siguiente operador lineal que transfor

ma 3"F = S"F(x,t,X ) G j- en la siguiente función perteneciente a Z:

(5.2)

- 78 -

Nótese que D ff~(F',u') es independiente de u',F'.

Análogamente, la derivada primera de o~ respecto a u, D G~(F',u'), es

un operador lineal que asocia a Tu = cTu(x,t) 6 ~LL la siguiente función de

Z:

eUG-ft-s)n.Tu. ' (5.3)

donde — representa la derivada funcional de J respecto a u. Si J es

una función ordinaria de u, el lado de la derecha de (5.3) pasa a ser

LTuJu/

siendo ahora ( ) el nuevo polinomio en u obtenido por derivación. AnáTu u'

2logamente, la derivada segunda, D 9CT"(F',u') transforma la pareja

en u

Tul]

y así sucesivamente con las derivadas superiores.

Supondremos que el operador lineal -— ' , actuando sobre Tu 6D pa

ra t fijo produce nuevas funciones en D y es un operador acotado que cum-

ple:

MaxTu, oo

También supondremos que para 0 ¿ t 4. T < + ^ D o~(0,u') es una aplicación

continua de un subespacio de XA. que contiene a u en el conjunto de los

operadores lineales de W en Z, es decir, que 0~ es continuamente diferen-

ciable en un cierto subconjunto que identificaremos con B.

Nótese que D O"(F',u') es independiente de F'. Es claro que para los

operadores (multilineales) derivadas sucesivas respecto a u m. veces y res

- 79 -

pecto a F m veces se tiene

m +m

u F

Enunciaremos, a continuación, el teorema de las funciones implícitas

j_5J en el contexto actual: sean i- ,\X y Z tres espacios de Banach y G~

una transformación continuamente diferenciadle de un súbconjunto abierto B

de 7®ti que contiene al punto (u ,0) (en el cual <T(0,u.,) = 0) en el espa-

cio Z. Supongamos que D cr(0,u..) es un homeomorfismo lineal (es decir, un

operador lineal biunívoco y bicontinuo). Entonces, existe un súbconjunto

abierto T^CT conteniendo el punto F = 0 y tal que para todo súbconjunto

%i C y Q.ue contenga, a su vez, a F = 0, existe una transformación con-

tinua u = u(F) de 1 ' enl¿con las propiedades: a) u(F = 0) = u ,

b) (F,U(F)) g B, c) CT (F,U.(F)) = 0 para todo F S ^ J . Además, u = u(F) es

continuamente diferenciable en 3^ siendo su derivada:

Dpu(F) = - fcuCT(Os u(F))J" DF (0,0) (5.5)

Claramente, para poder aplicar el teorema lo único que queda es ver en

ondiciones es D o~(0,u ) un homeomorfismo.

estudiar en que condiciones tiene la ecuación en

que condiciones es D o~(0,u ) un homeomorfismo. A su vez, esto se reduce a

Tufr) -Ut) + Ui Gft-s) (5.6)

una solución única para cualquier hSD. Nótese que (5.6) no es sino

Iterando (W(t)= f ds G(t-s) \ ^ - ) _ ):J o

- 80 -

Dado que G(t) ewmple;l|&Ct)i!-=Í ? se tiene para t fijo

ij ai)

con lo que

¡NI/ 1MI2 A - T. sa»En consecuencia, si T es tal que

T.Max II"Jo

(5.8)

la ec.(5.6) tiene solución única en "U- y es fácil concluir que D <3~(0,u )

es un homeomorfismo.

Nótese que |D <r(0,u..)l = ¿ h^^J converge si (5.8) es válida.

n=o

El estudio anterior muestra, a posteriori, la conveniencia de haber

construido ~LL con la norma II II en vez de II IS_ .

. Así pues, el teorema de las funciones implícitas garantiza la existen-

cia de una solución u = u(x,t) de (3.2) para cada F. Más aún, (5.5) nos per_

mite construir directamente las funciones de correlación de la diferencial

de u en F = 0, es decir, de

du(x,t) = \ DF<río,o) F

En efecto, dado que D u(0) es independiente de F y recordando (2.2) (supo-

nemos M = 1 y u real):

6. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON A (3.2), CON F FIJA

El análisis presentado en el apartado 5 nos permite aun dar otro cri-

terio de existencia de solución para (3.2) con F fija distinto de las ante

riores. Al igual que el presentado en el apartado 4-, el que ahora discutire_

mos tampoco se presta bien al estudio de funciones de correlación, pero por

complitud hemos preferido incluirlo. En lo que sigue, F G '~$- es fija j

0 < t < T < + ° o y nos concentraremos en los dos espacios de Banach U y Z

con las mismas normas que en apartado 5. Por hipótesis, J es tal que (-—) .

z S"u u1

(operador lineal de L en Z) y (—~) t (operador bilineal de ~LL®2A. en Z)

son acotados para todo u1 en un dominio VciU definido por || uT - u | < J

2En consecuencia, D <j-(0,u') y D 0"(0,u') existen para todo u' GV. In-

u.troduciremos las cotas siguientes:

i) cuando u = u , solución de (3.2) con F = 0:

i-T. lili

i i ) Dz2cr(o,u')

uT , Max para todo u' GV

iii) < v1Á

Es inmediato ver que V = B.~T.

iv) h -

- 82 -

El clásico método de aproximación de Newton, rigorizado por el teorema

de Newton-Kantorovich \_6_3 implica que si h <. — y, además,

1 - íl-2h) 1 / 2

P = V. *— — — , entonces:

a) la ecuación (j~(F,u) = 0 (es decir, (3.2)) tiene una solución única

u = u(F) en el dominio V,

b) la sucesión u ,u ,u ... tal que u . = u - D 0 ~ ( 0 , u ) <T(0,u )X ¿L o . H T X XI L. XI ^ U -i ^

converge hacia dicha solución u = u(F). Nótese que la condición h < -^ res-

tringe los valores de T y de |¡F(t,)>)j| . El teorema también puede refor-

mularse para dar la solución de O~(F,u) = 0, si u. en i), iii) representa

un punto arbitrario de V, en vez de la solución de G~(0,u.) = 0: en tal ca-

so las correspondientes cotas son ligeramente diferentes, pero por brevedad

las omitiremos.

- 83 -

Referencias

[lj H.Haken: "Cooperative Effects in Systems far from Thermal Equilibrium

and in Non-Physical Systems", Rev.Mod.Phys. _47_, 67 (1975).

N.G. Van Kampen: "Stochastic Differential Equations", Physics Reports,

24£, n° 3 (1976).

[2] M. Reed: "Abstract Non-Linear Wave Equations", Springer Lecture Notes

in Mathematics, n° 507, Springer-Verlag, Berlin, 1976.

[3] M. Reed y B. Simón: "Methods in Modern Mathematical Physics", vol.II,

Academic Press, New York, 1975.

[V] A. Galindo: "Ecuaciones de Onda No-Lineales: Problema de Cauchy" en

Ecuaciones de Onda No-Lineales: Técnicas Matemáticas. Memoria presenta

da a la J.E.N. por Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias

Físicas de la Universidad Complutense de Madrid, Madrid 1977.

[5] J.Dieudonné : "Foundations of Modern Analysis", Academic Press, New

York, 1960.

[6] R.L. Warnock: "Non-Linear Analysis Applied to S-Matrix Theory", Lectu-

res at the Institute for Theoretical Physics, University of Colorado,

Boulder, 1968.

ON A LARGE FAMILY OF NON-LINEAR P.D.E. HAVING SOLITON-LIKE SOLUTIONS

G. García Alcaine and F. Ramírez Cacho

Departamento de Física Teórica, Univer_

sidad Complutense, Madrid.

A family of Partial Differential Equations with two non-

linear terms, that includes Korteweg-de Vries (KdV) and modified

Korteweg-de Vries(mKdV) equations,has been studied numerically.

The solitary wave solutions of these equations behave (al least

approximately) as solitons.

- 85 -

1. INTRODUCTION

In the past few years, a great amount of work has been devoted to1 2 3

the study of solitons ' ' , i.e.. solitary wave solutions of Partial Di-

fferential Equation?that conserve their individuality after any interaction.

They are usually associated with the existence of an Inverse Spectral Trans_

form for the equation (one of the very few ways of completely solving a non-

linear P.D.E,j besides linearization), and with other interesting phenomena4-5 6

as B'ácklund transformations, infinite number of conservation laws ' * etc.

One of the most important properties of solitons is that any solution decoin

poses asymptotically in a certain number of them,plus perhaps a sepárate de_

caying oscillatory part. Therefore there is a kind of asymptotic superposi-

tion principie, in spite of the non-linear character of the equations.

The extraordinary stability of solitons suggests the equations that have

this kind of solutions as models for physical systems. The introduction of

some non-linear terms counterbalances the ubiquitous dispersiveness of many

linearized models and gives hopes of explaining- the stability of many physi_

cal phenomena (elementary partióles, for instance).

Unfortunatelly, the equations for which the existence of solitons has

been rigurously proved are scarce and in many cases very remote from being

serious candidates for physical models (for one thing, almost all of them

have only one space and one time variables). Then, it becomes important to

clarify if the existence of solitons is a common phenomenon (givirghope of

finding them also in more realistic situations) or, on the contrary, is a

very extraordinary event, due to some exact compensation between dispersión

and non-linearity. This question was at the origen of the present work.

A large family of third order P.D.E. with two non-linear terms, that

includes the well known KdV and mKdV, was studied in order to find if the

characteristics of these two equations are shared or are specific to the

non-linearities cj> cj> and cjj cj? . Our findings favour the view that many of

the properties are conserved, at least approximately, even if others like

the existence of an infinite number of conservation laws are missing. Soli

tary waves behave "soliton-like" in the interaction with other solitary

- 86 -

waves, with oscillations, and with more complicated objects as "breathers".

Any inelastic effect (emisión of "radiation"), if present at all, is small.

Nevertheles we nave not been able to prove analitically that our solitary

waves are true solitons. Any computer analysis can only set an upper limit

to the existence of radiation (deteriórate by the presence of computational

waves). Anyhow, even if the interactions are not exactly elastic and the

real presence of radiation could be proved, the extraordinary stability of

solitary waves for this continuois family of equations remains.

- 87 -

II. SOLITARY WAVE SOLUTIONS FOR A FAMILY OF NON-LINEAR P.D.E.

Let us consider equations of the form

L 2 a ] = 0 (1)

with 0< a<<=o , k,l = 0,l, u = u(x,t) a real function of two real variables

and b , b , b arbitrary real constants.

The linear term b u could be eliminated by a coordinate transformationo x J

x —?• x - b t, t -*• t, but has been included nevertheles in order to have

"center of mass" collisions and save time in our computer simulations. Note

that for an arbitrary (for instance irrational) valué of the exponent a,

eq.(l) is very different from

+ o* = 0T xxx

that is not defined for real valued functions (a positive initial condition

evolving according to this equation will in general become complex). In the

following we show some examples of the four types of equations included in

(1)

i) k = 1, 1 = 0, a = 2n + r-~r , n,m = 0,1,2,...

u. + I b + b. u + bo u fu + u = 0t I o 1 2 J x xxx

In particular, for n=m =0 we have KdV equation (b =0), both mKdV equations •7 8

(b. =0, b ^ 0) and the sometimes called ' generalized KdV equation (b ;¿0,

ii) k = 0, 1 = 0, a = 2n + 4. + —z

2m+l

u + í b + b . u a + b o u a l u + u = 0t I o 1 2 j x xxx

The formal resemblance of this particular case with the previous one must

not induce to think that both equations are of the same kind. As we shall

- 88 -

show in tables I and II the solutions of both types of equations are quite

different.

1iii) k = 0, 1 = 1, a = 2nt

2n, ¡l/(4m+2) , 2a 13 + b . u u + b . u fu + uo 1 ' ' 2 J x xxx

In particular, for n = m = 0 we have an equation similar to the ones conside-9 10 • ( 1/2 )

red in refs. ' , u + ! b. u +b. u u + b , u = 0 . Nevertheles these' t I 1 2 1 ,J x 3 xxx

authors do not take modulus in u , and then their cquations are not

defined for real valued functions.

iv) k = l, 1 = 1, a = 2n

, ., 2n+l, ,l/(4-m+2) , 2a .b + b . u u + b . u m +u = 0o 1 ' i 2 I x xxx

We are in teres ted in the so l i t a ry wave solutions of e q . ( l ) . If we r e -

place

u ( x , t ) = w ( y ) , -f = x - v t - 5

v, 6 being arbitrary real constants, eq.(l) reduces to an ordinary differen_

tial equation, that can be integrated twice giving

(w1)2 + 2f(w) - vw2 + c w + c = 0 (2)

where

f(w) s i b Q w2 + ^ p | w | a + 2 + K | ¡ w ¡ 2 a + 2

2 sgn(b1) (sgn(w))k (4)

s ,sgn(b ) fsgn(w)l ' (5)

- 89 -

p s i (6)( ) ( + 2)

o - i (7)

(a + l)(2i)

and c , c are integration constants•

If we limit ourselves to solutions of eq.(2) such that w(^ ) and w'(~f )

vanish in at least one of the limits y — > - «o (=>• c = c = 0), then

w(Y) = £ e \1 P + (P + Hqf ) ' Ch(a(3 ) i/a (8)

where

£ s sgn(w) (9)

A H (v-b ) 1 / 2 (10)C o

In order to have a non-trivial real solution, the velocity has to satisfy

v - b > 0 (11)o

K(v-b ) > - p2/q (12)

On the other hand, the singular solution with n = < = -1 must be excluded.

For convenience, we shall denote the three kinds of solutions, áccording

to the signs i? and * ,as follows

s |w 1|K,-<

- 90 -

In particular, when b = 0, <j> reduces to the well known expression

V 2pSech ( 4? ?> í2 ? J

2The limits v —>• b and v —?• v s b + p /a, that were excluded pre-

o s o ^ u ^viously, give also interesting solutions,as we shall see inmediately.

For any fixed valué of f and sufficiently small & we have

z t~a- t 2 2.1/2 , 1 .2 4

and so ,

Then, in the limit /a = 0 the function <b,_ reduces to

2

11 12Therefore, the "algebraic" solitary waves discussed in refs. ' for mKdV

and "generalized" KdV equations are just the limit when v —*• b of the soli

tary waves cj> , and appear also in all equations that have this kind of so-

lutions. The algebraic solitary waves have a máximum amplitude equal to

(2p/q) , and for a given equation are the smaller (and slowest) of all so-

litary waves of type d) .

9In the limit v -*• v s b + p /q the solitary waves <j> tend to "shock-s o

wave" solutions of the form

(16)

To prove this we have to discuss the way in which (8) was obtained. The ge-

neral solution of eq.(2) vanishing itself and its first derivative at o —

can be written down as

- 91 -

where the coefficients g. and g . satisfy the condition

( q (3.

1 2 2 1/2If this product is not zero, we can always choose g. =g =•=- (p + n . q ^ )

(any relative factor between g. and g can always be absorbed in the cons-

tant & in í= x-vt-S ),and then we get (8). If K = -1 the product g g can

be arbitrarily small and then the function cfc„ adopts the form of a plateau..22

arbitrarily wide (see for instance fig:. 6). In the limit /3 = p /q, ei-

ther g. or g has to vanish, and the other one is arbitrary. If this other

coefficient is not zero, we can take it equal to p(by a suitable redefini-

tion of the constant S ), and then we get (16). If both g1 and g are zero,

we have the trivial solution w = £ (p/q) a, that is what one obtains naively2 2

taking p - q £ = 0 in (8).

In summary, the shock waves <¿ are just infinitely wide solitary waves

of type cji . Any has a velocity v < v and therefore a máximum amplitude

smaller than (p/q) , the difference of level of the shock waves at v =-«o

and V =

In the following tables we show the different kinds of solitary wave so-

lutions of the M- types of equations included in (1). We do not write down ex-

plicitely & and i , as they are just special limiting cases of <j> and

c|> , respectively.

TABLE I. Solitary wave solutions of equations with k = 1, 1 = 0

b 1 > 0

b , < 0

b 2 > 0 b ? < 0

+ 3

- 4 3

- 92 -

TABLE II. Solitary wave solutions of equations with k = 0, 1 = 0

V

V

> 0

í 0

b 2

K>4>2-

>

-

-

0

+1

42

b2 =

>

0

(p'0

b < 0

+3- " *3

XTABLE III. Solitary wave solutions of equations with k = 0, 1 = 1

b l >

b l <

> 0

0

b 2

•i-

4

>

-

0

•3

b < 0

- <ÍV *3

- * 2

TABLE IV. Solitary wave solutions of equations with k = 1, 1 = 1

b ± > 0

b 1 < 0

b 2 > 0

• l

b2< 0

- +2- +3

"4l

Note that no equation has solitary waves of different kinds with the same

sign. Therefore, in the decomposition into "solitons" of an arbitrary ini-

tial condition there is no "bifurcation" problem arising from the need to

choose between two different kinds of solitary waves.

- 93 -

The form of the solutions given in (8),(14),(15) and (16) suggests the

change

u = sgn(X) l X | 1 / a (17)

TTien eq.( l ) transforms in

0 = X t + ( b o X + | b 1 [ s g n ( X ) ) k + 1 X 2 + | b 2 ( sgnCX)] 1 * 3 + Xxx +

3 1 ( X x ) 2 X 3

in which the parameter a appears only in the coefficients of the last two

terms.Eq.(18) is again a "conservation law" (that is to say, an equation of

the form X + [FCX)] =0) only if a = 1 (trivially) or a = 2. If a = 1 the

Í3 1 ( V 1term \ — ( 1) — — — V vanishes also. Note that for these two exceptional

[ ¿ a jL J x

valúes the family of equations (1) includes not only KdV and mKdV but also

many other equations, like the ones with nonlinear terms b I 4*1 4

Having in mind the dependence of the solutions of eq.(l) on sgn(b )

and sgn(b ) -see Tables I to IV-, eq.(18) suggests the convenience of consi_

dering the following three regions in the parameter a: 0 < a < l , K a < 2 and

2 < a < «a. The valúes a = 1 and a = 2 could be frontiers between different be-

haviours of the solutions.

Of course, there can be other exceptional valúes of a. For instance in

ref it is argued that the equation u + u u +u = 0 , n = l,2,3,... could& H t X XXX

nave bound states of solitary waves only if n>4.

III. CONSERVED DENSITIES FOR EQ.(l)

Any third order P.D.E. of the form

u + ¿ £ % I U + u =0 (19)t , 2 x xxx

du

has three conserved densities

e1 = u (20)

f 2 = | u2 (21)

e3 =f ( u ) - \ ( V 2 (22)

such that their integráis

(23)[i s / dx ^(x.t) , i = 1,2,3

are time independent. These three conserved quantities are associated, res_

pectively, with the conservation of the área of any solution (sometimes ca

lled "mass"or "charge" of the solution), with the invariance under space

translations (momentum) and with the invariance under time translations

(energy).

If _ — JÉ 0, it can be proved that there are no more conserved den-

sities depending locally on the function u(x,t) and its spatial derivatives

u , u , etc. . Therefore, the only equations of the form (19) that can have

more than three conserved densities of this kind are

u + í b f b_u + 1> u 1 u + u = 0t í o 1 2 J x xxx

that is to say, KdV, mKdV and "generalized" KdV. Actually, as "it. is well

known, these equations have an infinite of conserved quantities.

It is not clear yet whether an infinite of conservation laws is essen_

tial for the existence of solitons or just for the factorization of N-body14collisions into two-body interactions . On the other hand, other kinds of

conserved densities, with non-local dependence on the function u and its de

rivatives and/or explicit dependence on the variables x and t, cannot be ex

cluded a priori.

The three conserved quantities I. will allow us to discuss some necessa_

ry but not sufficient conditions for a solution to be a "puré N-soliton",

that is to say, to decompose asymptotically in N solitary waves, without

any oscillatory ("radiation") component. Let us consider eq.(l) with b =0

(the general case is similar but gives more complicated expressions). For

- 95 -

a solitary wave of the form given in (14) we have

I = & a &X 1

I2 = c 2 ( sa (25)

c 2 e

where

c s ! | L (2p)-1/a r ( | ) / r ( | +1) (27)

c_ s -Jf- (2p)" 2 / a r ( - ) / r ( | - +1) (28)Z Z 3L a. Z.

The área of the solitary waves, I , does not depend on the velocity v if

a = 2, decreases when v increases of a < 2 and increases with v if a > 2.

I has a similar change of behaviour at a=4 (as we said before, the valué13a = 4 could be special in other senses ). The quantity I,-b I is posi-

tive if a < 4 and negative if a>4. Finally |l -b I | is independent of v

if a = 4 and increases with v in all other cases.

The constants I. for a "puré N-soliton" solution can be determined

when the N solitary waves are arbitrarily far away,and therefore

N - - 1 I,

N j - 1 Ia /

N - + 1

(29)

For any given initial data we can compute the integráis I., according to

their definition (23). If the system (-29) is not compatible, then the solu-

tion corresponding to this initial condition cannot be a "puré N-soliton".

Unfortunately, the converse is not true: if the system (29) is compatible

- 96 -

this does not guarantee that the initial data will decompose only into so-

litary waves.

System (29) simplifies notably for some particular valúes of the para-

meter a. For instance, if a = 4, then I9/c,-, is just the number of solitary

waves, I0/c0 = N, and the third equation gives I = b I . In general the¿.2. o O Z

analysis of (29) is not so easy, but some general conditions can be obtai-ned. For instance, if a < 4 and — (I. - b I_) > ~^- (_2)(

1*+a)/(^-a) t h e n

c Ó o ¿ t+a Cp

(29) has no solution. If all solitary waves have the same sign (-4=> k = 1

in eq.(D), a<2, and Io >c ( — | I | ) ( 4 " a ) / ( 2 " a ) then (29) has no solution,

etc.

The three conserved quantities I. are important also from the computa-

tional point of view. They allow us to check the quality of the numerical

schemes used, the accumulation of rounding off errors, etc. In our computer-3

simulations the relative variations of the I. are of order 10 or smaller.

Better approximations could be obtained with longer computer times.

IV. COMPUTER KESULTS

We have tried to do a comprehensive survey of the family of equations

(1), considering examples of the 4- types of equations (k,l = 0,l) and'the 3

more apparent regions on the exponent (0 < a < 1, l<a<2, 2 < a < <*>). Divers

kinds of initial data have been considered: collisions of two solitary waves(-)of the various existing types (d> ,j> ,¿> ,<}> ,cj) , (j> "" ), with the same sign and

O -L Á ó 3. S

different valúes of the quotient of amplitudes (to analize "strong" and

"weak" interactions) and with opposite sign (specially with similar ampli-

tudes jto show the strongly non-linear character of the interaction), múlti-

ple colusión of solitons (the factorization of N-body into 2-body interac-

tion is guarantied only for KdV and mKdV), interaction of solitary waves

with radiation and with breathers (more complicated real solutions that os-

cilate while their "envelope" moves as a solitary wave), decomposition into

radiation and/or solitary waves of assorted initial data, etc.

Of course we cannot include all these results in the limits of an ar-

ticle, and so a sampie has to be made.. In the following paragraps we des-

- 97 -

cribe the cases choosed, with a brief account of the theoretical reasons

that, in our opinión, make them interesting.

a) Small exponent

The limit of eq.(l) when a —> 0 and u(x,t) is a continuóos function

that does not change sign in all the interval (-«o,00) is the linear equa-

tion

u + b u + u = 0 (30)

t X XXX

where

b s bQ + b 1 (sgn(u)) + b2 [sgn(u)]

Eq.(30) has no solitary wave solution vanishing at both v -^ ±<=o .

Their pnly solitary wave solutions are

w(f) = k tk.e^^ + k e ~ ^ if v-b = &*• > o» o 1 ¿ \. '

1 cos(yy) + if v - b = -

ow(t) = k + k. t + k. f if v-b = 0

< O Í ? 2 f

We see therefore that the presence of a non-linear term, however small,

is essential to have solitary waves of finite área. Of course, the linear

character of (30) allow us to construct finite área "wave packet" solutions,

but they will inevitably disperse, due tp the presence of the term t|> . A

non-linear term b 14>1 é , however small b. and/or a, suffices to compen-J. X -i-

sate the dispersión.

Sometimes it is argued that an equation like (1) with a <£ 1 is "almost

lineal" and then the soliton-like character of the solitary waves would be

a consequence of an approximate superposition principie. We show in Fig.l-2

that even for an exponent as small as a = 10 the interaction is intrmse-

cally non-linear. The amplitude at the time of máximum interaction is smaller

than the amplitude of the tallest solitary wave, instead of being the sum of

both amplitudes as in a linear case.

- 98 -

The equation considered in fig.l is

u + j-i+ lu.i1/1OOlu + a = 0 (b o=0,k = 0)tí J x xxx 2

No radiation can be observed.

b) Exponent in the interval 1< a < 2

Fig.2 shows an example of colisión of a positive solitary wave of type

<j> with a negative algebraic solitary wave of almost the same amplitude. The

evolution equation is

u + í - l + ^3/5 + t ^ 6 / 5 ] a + u =o

t t 5 J x xxx

example of type k = l, 1 = 0. Note the character strictly non-linear of the

evolution. At the time of máximum interaction the amplitude of the positive

component is much larger than initially, instead of being almost zero due to

cancellation with the negative compohent, as in any linear "evolution. The «£3.

behaves in the interaction as the rest of solitary waves § ., notwithstan-

ding its algebraic instead of exponential decreasing at •f-*±oo

No radiation shows in fig.3. We believe that the small disturbances

found are computational waves produced by the appreciable variation of the

function between consecutive points of the discrete lattice,at the time of

máximum interaction.

c) Large exponent

In the limit a —^°°, the function w defined in (8) tends to an exponen

tial function,

lim wC^) = £ e (31)

Then, as the exponent a increases, w becomes more and more sharp-pointed.

The computational waves produced in any finite-difference numerical scheme

become more and more disturbing. The numerical study of equations with large

exponent a is therefore difficult.

In Fig.3 we show some preliminary results for the equation

3I A + 1 0 U U . + U . = 0

t X XXX

- 99 -

example of type b =0, k = l. Qualitatively at least, the interaction is soli

ton-like. At present we are running a much improved computation.

Sometimes it is loosely asserted that a non-linear term |u| with u < l

and a » 1 is negligible3and then any equation similar to (1) with very large

a would be "almost linear". This reasoning ignores the fact that for any fi-

nite a there are in general solitary waves of arbitrarily large amplitude

(types 4-i an<i ^o )> a nd then, even if the regions in which the functions are

larger than 1 shrink when a increases, nevertheles in these zones the non-li

nearity is extraordinarily important. In fact, in the limit a —>=o all soli-

tary waves reach the valué 1, and therefore the limit a —>°o of eq.(l) is not

well defined in the sense of functions (the non-linear terms are zero at the

points where u <1 and one at the points where u = 1).

d) "Strong" and "weak" interactions of two solitary waves

Let us consider the colusión of two solitary waves with the same sign

(and therefore with the same valúes of n and K ). We shall denote the quo-

tient of the amplitudes by r. In KdV equation, the valué r =3 is the fron-

tier ' Detween two different behaviours: "weak" interactions (r>3), in

which the tallest solitary wave absorbs completely the smaller one at the

time of crossing (central máximum at máximum interaction time) and "strong"

interactions (r<3) in which the two solitary waves interchange their forms

and velocities without ever merging (central minimum between the two soli-

tary waves at all times). At the frontier, r = 3, there is a central plateau

at the time of máximum interaction.

A similar phenomenon seems to happen for all equations of family (1).

Fig.(l) is an example of weak interaction (r>3) sufficiently cióse to the

valué r =3 so that the central máximum is near fíat. Fig.(3) is an example

of "strong" interaction; the two solitary waves remain always quite apart

of each other.

A general study of "strong" interactions for the equation u +u u + u

can be seem in ref (these authors cali this case "weak" interaction, in

opposition to the rest of authors that nave considered the problem).

- 100 -

Note that if a >) 1 (equations with strong nonlinearity in the ordinary

sense), all solitary waves tend to have the same máximum amplitude (1 in

the limit a —* oo ) and therefore the collisions are usually "strong" in the

sense defined previously (r<3). Conversely, for a <gc 1, a small difference

in the velocities of two solitary waves gives a large ratio of amplitudes

(r>3) and therefore the collisions are mostly "weak".

e) Existence of breathers

Breather is the more commonly used ñame for a solution of mKdV equa-

tion that oscillates and displaces at the same time (the envelope moves

qualitatively as a soliton ) and preserves its individuality in the interac

tions with solitons or other breathers. An early reference to these solu-17

tions can be found m

We do not have analitic expressions of this kind of solutions for other

equations, but we have found experimentally (i.e., numerically) that they

do exist. We have considered the equation

1/9IK + 4-0 I al u + u. = 0t x xxx

9Equations of this form could be related to some physical processes . Fig.

shows an initial condition formed by a solitary wave and something else

that decomposes in a breather and some radiation (this is a consequence of

not having exact expressions for the breathers). Later on,the breather inte

racts elastically with the solitary wave: after the collision both emerge

unchanged. The oscillations that can be observed at the botton of the figure

are a consequence of the radiation component that is being reflected at the

spatial boundaries. Note that the equation considered has no solitary waves

with negative velocity and nevertheles the breather moves to the left (like

the radiation, but with smaller velocity).

f) Some initial conditions that evolve in radiation

The examples discussed previously could induce to think that "almost

anything" will evolve into solitary waves,without radiation. We are going to

show with some examples that this is not the case.

- 101 -

TT 4- XFig.5 shows an initial condition u(x,0) = 3.5 sin(— x) Sech (7-) evol-

1/2ving according to the equation u + 1 u | u + u = 0 . Note that it has

"C X X.XX

qualitatively the same form of the breather of fig.4-, and nevertheles the

behaviour is quite different. Here the final result is almost puré radia-

tion.

Fig.6 is a preliminary versión corresponding to the equation

- •=•=- +|u| - I u I V u + u = 0 , that have shock wave solutions of

75 J x xxx

zero velocity. An initial condition that is 1.5 times higher than the shock

waves (and therefore cannot be a solitary wave) decomposes in a extremaly

wide solitary wave of type <£„ plus some radiation.

g) Múltiple collisions

Finally we show in fig.7 an example of múltiple colusión of solitary

waves. The equation is u, + í- 5 +|u| +|u|{u + u = 0 . No radiationH t <• i x xxxshows.

Acknowledgments

We thank the members of the Departamento de Física Teórica, Universidad

Complutense, for many helpful discussions and specially Prof. A. Galindo for

his useful comments.

- 102 -

(1) A.C.Scott, F.Y.Chu and D.W.Mc Laughlin, Proc. IEEE 61_, 14-43-1483 (1973).

(2) P.Vinciarelli, Acta Phys.Austríaca, Suppl.l5_, 521-568 (1976).

(3) R.K.Bullough, in "Interaction of Radiation with Condensed Matter", IAEA

Vienna (1977), p. 381 to 469.

(4) D.W.Mc Laughlin and A.C.Scott, J.Math.Phys-14_, 1817-1828 (1973).

(5) M.Miyake, K.Shimizu and N.Mugibayashi, J.Phys.Soc.Japan 868-873 (1974).

(6) M.Wadati, H.Sanuki and K.Konno, Progr.Theor.Phys. _53_, 419-436 (1975).

(7) A.Askar, Proc.R.Soc.Lond A334, 83-94. (1973).

(8) F.Yoshida and T.Sakuma, J.Phys.Soc.Japan 42_, 1412-1417 (1977).

(9) H.Schamel, J.Plasma Phys. 9_, 377 (1973).

(10) S.G.Tagare and A.Chakrabarti, Phys. Fluids 37, 1331-1332 (1974).

(11) K.Konno and Y.H.Ichikawa, J.Phys.Soc.Japan j37_, 1631-1636 (1974)."

(12) .H.Ono, J.Phys.Soc.Japan ¿1, 1817-1818 (1976).

(13) K.A.Gorshkov, L.A.Ostrovskii and V.V.Papko, Sov.Phys.JETP 44, 306-311

(1976).

(14) P.P.Kulish, Lecture at the Conference on Non-linear Evolution Equations

Solvable by the Inverse Spectral Transform, Roma, June 1977.

(15) P.D.Lax, Comm. Puré Appl. Math. 21, 467-490 (1968).

(16) L.Y.Shih, J.Phys.A, 7_, 2109-2119 (1974).

(17) M.Wadati, J.Phys.Soc.Japan 34, 1289-1296 (1973).

- 103 -

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Fig.2 Equation u t < - A + uJlí + u l ' M u + u = 0. Collision of two solitary waves .^ .>,. ( -• :|,

I i

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- 110 -

Figure Captions

Fig. 1 Equation u + j- 1 + |u | j u + u

df two solitary waves of type d> .XXX

= 0. "Weak" interaction

F i g . 2 E q u a t i o n u + I - •?• + u + u | u + u = 0 . C o l u s i ó n o f t w ot ' 5 ) x xxx

s o l i t a r y w a v e s cj»t a n c l -cj>

3F i g . 3 E q u a t i o n u + l O u u + u = 0 . " S t r o n g " i n t e r a c t i o n o f t w o

& H t X XXX &

solitary waves of type cj> .

1 / 2F i g . 4- E q u a t i o n u + 4 0 l u í u + u = 0 . C o l u s i ó n o f a s o l i t a r y w a v e& H t ' ' x x x x J

h with a breather.To

1 / 2F i g . 5 E q u a t i o n u + | u | u + u = 0 . A n i n i t i a l c o n d i t i o n t h a t d e -

^ t X XXXcays into radiation.

1 1R 1/9 1

.- -je" + I u I - | u I > u + u = 0 . Decay o f a n i n i -

t i a l c o n d i t i o n i n t o o n e s o l i t a r y wave d> a n d r a d i a t i o n .

F i g . 7 E q u a t i o n u + - 5 + | u | + i u | > u + u = 0 . I n t e r a c t i o n o f& H t i ' ' ) x xxxthree solitary waves•

J.E.N. 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid.

"Algunos resultados sobre problemas matemáticos enfísica no-lineal". .Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid (1979) 110 pp. 7 f igs . 17 refs.

Los resultados básicos obtenidos son los siguientes:I) Caracterización del núcleo y el recorrido da la derivada variacional.II) Cálculo da las leyes de conservación en ecuaciones lineales de evolución y cotas

muy restrictivas en las no lineales de orden par (en dos variables x , t ) al numerode. leyes polinómicas.

i i , i ) Construcción de la ecuación de evolución general que conserva una familia prefi jada!de densidades. ' •,

1v) Condiciones de regularidad para la validez del método de invariancia de Lie.v) Una clase simple de perturbaciones en ecuaciones de onda no lineales.

J.E.N. .440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid."Algunos resultados sobre problemas matemáticos en

física no-lineal".Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid. (1979) 110 pp. 7 f igs. 17 refs.

Los resultados básicos obtenidos son los siguientes:i ) ' Caracterización del núcleo.y el recorrido de la derivada variacional.i i ) Cálculo de las leyes de conservación en ecuaciones lineales de evolución y cotas

muy restrictivas en las no lineales de orden par (en dos variables x, t ) al número. de leyes polinómicas.

111) Construcción de la ecuación de evolución general que conserva una familia prefijadade densidades.

1v) Condiciones de regularidad para la validez del método de invariancia de Lié.v) Una clase simple de perturbaciones en ecuaciones de onda no lineales.

J.E.N. 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid."Algunos resultados sobre problemas matemáticos en

física no-lineal".Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid (1979) 110 pp. 7 f igs. 17 refs.

Los resultados básicos obtenidos son los siguientes:i ) Caracterización del núcleo y el recorrido de la derivada variacional.11) Cálculo de las leyes de conservación en ecuaciones lineales de evolución y cotas

muy restrictivas en las no lineales de orden par (en dos variables x , t ) al númerode leyes polinómicas.

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J.E.N. 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid.

"Algunos resultados sobre problemas matemáticos enfísica no-lineal".Cátedra de Física Teórica'de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid (1979) 110 pp. 7 f igs . 17 refs.

Los resultados básicos obtenidos son los siguientes:i ) Caracterización del núcleo y el recorrido de la derivada variacional.-I i ) Cálculo de las leyes de conservación en ecuaciones lineales de evolución y cotas

muy restrictivas en las no lineales de orden par (en dos variables x f t ) al númerode leyes polinómicas.

111) Construcción de la ecuación de evolución general que conserva una familia prefijada]

de densidades. . . . '1v) Condiciones de regularidad para la validez del método de invariancla-de Lie. ¡v) Iba nlasñ simnlñ de oerturbacIones-en ecuaciones de onda no lineales. '

v i ) Soluciones de t ipo soliton en generalizaciones de la ecuación de Kortewe-de Vries.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Conservation laws. Variatio-ínal litethods. Solitons.Wáve functions. Korteweg-de Vries equation. Perturbance theroy.Lie groups.

vi) Soluciones de t ipo sol i ton en generalizaciones de la ecuación de Kortewo-de Vries.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Conservation laws. Variatio-nal methods. Solitons.Wave functions. Korteweg-de Vries equation. Perturbance theroy.Lie groups.

vi) Soluciones de t ipo soliton en generalizaciones de l a ecuación de Kortewe-de Vries, J«

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Conservation laws. Variatio-ñal methods. Solitons.Wave functions. Korteweg-de Vr,1es equation. Perturbance theroy.Lie groups.

vi) Soluciones de t ipo soliton en generalizaciones de la ecuación de Kortewe-de Vries.

CLASIFICACIÓN INIS Y DESCRIPTORES: F51. Nonlinear problems. Conservation laws. Vari ai Jo-nal methods. Solitons.Wave functions. Korteweg-de Vries equation. Perturbance theroy.Lie groups.

J.E.N. 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid."Mathemat ica l p rob l ems in non- l inea r phys i c s : Some

results".Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid. (1979) 110 pp. 7 flgs. 17 refs.

The basic results prusented in this report are the following:i ) Characterization of the rango and Kernel of the variational derivativa,i i ) Determination of general conservation laws in linear evolution equations, as well ¡

as bounds for the number of polynomial conserved densitles in non-linear evolutionequations in two independent variables of even order.

111) Construction of the most general evolution equation which has a given family of .conserved densitles. ' .;

iv) Regularity conditions for the validity of the Lie invarlance method.v) A simple class óf porturbations in non-linear wave equations.vi) Soliton solutions In generalized KdV equations.

J . E . N . 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid."Mathemat ica l p rob l ems in non- l inea r phys i c s : Some

results".Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid. (1979) 110 pp. 7 figs. 17 refs.

The basic results presented in.this report are the following:i ) .Characterization of the range and Kemel of the variational derivativo.i i ) Determination of general conservation laws in linear evolution equations, as well

as bounds for the number of polynomial conserved densities in non-linear evolutionequations in two independent variables of even order.

l i l ) Construction of the most general evolution equation which has a given family ofconserved dénsities.

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J . E . N . 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de Reactores. Madrid."Mathemat ica l p rob l ems in non- l inear phys i c s : Some

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The basic results presented in this report are the following:1) Characterization of the range and Kemel of the variational derivatlve.I i ) Determination of general conservation laws 1n linear evolution equations, as well

as bounds for the number of polynomial conserved densitles in non-linear evolutionequations In two Independent variables of even order.

111) Construction of the most general evolution equation which has a given family ofconserved densitles.

Iv) Regularity conditions for the validity of the Lie invarlance method.v) A simple class of perturbations in non-linear wave equations.

J . E . N . 440

Junta de Energía Nuclear. Tecnología de-Reactores. Madrid."Mathematical problems in non-linear physics: Some

results".Cátedra de Física Teórica de la Facultad de Ciencias de la Universidad Complutense deMadrid. (1979) 110 pp. 7 fias. 17 refs.

The basic results presented in this,report are the following:1) Characterization of the range and Kemel of the variational derivativa.i i ) Determination of general conservation laws in linear evolution equations, as well

as bounds for the number of polynomial conserved densities in non-linear evolutionequations 1n two Independent variables of even order.

l i i ) Construction of the most'general, evolution equation which has a given family ofconserved densities.

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