alin 3.1 3.3

Chapter 3Vectors in 2-Space and 3-Space

Chapter 33.1. Introduction to Vectors

3.2. Norm of a Vector; Vector Arithmetic

3.3. Dot Products; Projections

3.4. Cross Product

3.5. Lines and Planes in 3-Space

A

B

v

vektor v = AB

A disebut titik awal/inisial

B disebut titik akhir/terminal

Vektor-vektor ekivalen

dianggap sama jika

panjang dan arahnya sama

Negasi vektor v = –v secara geometrik

v–v = (–1) v

Panjang sama, arah berlawanan

Penjumlahan dua vektor: w = u + v secara geometrik

u

v

w

u

w

u

u

u

u

u

u

v

v

v

v

v

Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v)

u

– vwv

u

w

Penjumlahan dua vektor: w = u + v

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3

Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2)

w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2)

= (u1 + v1, u2 + v2)

w1 = u1 + v1

w2 = u2 + v2

secara analitik:

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata /real number)

w = k v ; k = skalar

v

3v–2v

v

secara geometrik:

Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata /real number)

w = k v ; k = skalar

Cara analitik:

Di Ruang-2: w = kv = (kv1, kv2)

(w1, w2) = (kv1, kv2)

w1= kv1

w2 = kv2

Koordinat Cartesius:

P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2)

P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1)

atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen pertama x1 dan komponen kedua y1

P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2)

atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen pertama x2 dan komponen kedua y2

Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1)

Vektor-vektor di ruang-3 Aturan tangan kanan Aturan tangan-kiri

x y

y

z z

x

x : 4 jari y : telapak tangan z : ibu jari

Lihat Gambar 3.1.12

Translasi

(0, 0)

(k, l)

sumbu-x

sumbu-y sumbu-y’

sumbu-x’

(x, y)

(x’, y’)P

x’ = x – k y’ = y – l

y

l

x

x’

k

y’

(0, 0)

x = x’ + k y = y’+ l

Pelajari sendiri contoh

• “Application to Computer Color Models”

pada halaman 128

• “Global Positioning”

pada halaman 133

• Examples 1 – 3




3.4. Cross Product


Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3

Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3

k, l adalah skalar (bilangan real)

a) u+v = v+u

b) (u+v)+w = u+(v+w)

c) u+0 = 0+u = u

d) u+(-u) = (-u)+u = 0

e) k(lu) = (kl)u

f) k(u+v) = ku + kv

g) (k+l)u = ku + lu

h) 1u = u

Bukti teorema 3.2.1.:

1. Secara geometrik (digambarkan)

2. Secara analitik (dijabarkan)

Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3

u = (u1, u2, u3); v = (v1, v2, v3); w = (w1, w2, w3)

u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3) u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)

= (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0)

= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3) = (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)

= v + u = 0 + u

= (u1, u2, u3)

= u

k(lu) = k (lu1, lu2, lu3) k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3))

= (klu1, klu2, klu3) = k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)

= kl(u1, u2, u3) = (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 )

= klu = (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 )

= ku + kv

(k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3)

= (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)

= k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3)

= ku + lu

Norma sebuah vektor:(Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai “panjang” vektor)

u = (u1, u2) vektor di ruang-2

norma vektor u = ||u|| = (u12 + u2

2)

u = (u1, u2, u3) vektor di ruang-3

norma vektor u = ||u|| = (u12 + u2

2 + u3

2)

Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1

Jarak antara dua titik:

Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1)

jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2) =

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

Contoh:

jarak antara P1(2, –1, –5) dan P2(4, –3, 1) = (4 – 2)2 + (–3 + 1)2 + (1 + 5)2

= 44

Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka

norma ku = | k | || u ||




3.4. Cross Product


Sudut apit antara dua vektor u dan v

u u

u

u

v v

v

v

Perkalian titik: u . v = skalarVektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan = sudut apit antara u dan v

||u|| ||v|| cos jika u 0 dan v 0

u . v =

0 jika u = 0 atau v = 0

Catatan: u dan v saling tegak lurus ( = 90o & cos = 0) u . v = 0

Vektor-vektor yang saling tegak lurus disebut vektor-vektor ortogonal

Perkalian titik: u . v = skalarVektor u dan v di Ruang-2 atau di Ruang-3, dengan sudut apit antara u dan v

Catatan: u, v Ruang-2 u = (u1, u2), v = (v1, v2)

u, v Ruang-3 u = (u1, u2 , u3), v = (v1, v2 , v3)

Formula lain untuk u . v :

Ruang-2: u . v = 1u1v1 + 1u2v2

Ruang-3: u . v = 1u1v1 + 1u2v2 + 1u3v3

Teorema 3.3.1 – 3.3.2:Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3; k adalah skalar

• v.v = ||v||2, atau ||v|| = (v.v)1/2

• jika u 0, v 0 dan mengapit sudut , maka

lancip u .v 0

tumpul u .v 0

= 90o u .v = 0

• u . v = v . u

• u . (v + w) = u .v + u .w

• k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

• v .v 0 jika v 0 dan v . v = 0 jika v = 0

Teorema 3.3.1 – 3.3.2:

Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau di Ruang-3; k adalah skalar

Buktikan : v . v = ||v||2, atau ||v|| = (v.v)1/2

Bukti: v . v = ||v|| ||v|| cos 0o v . v = v1v1 + v2v2

= ||v|| ||v|| (1) = ||v||2 = v12 + v2

2

= ||v||2 = ||v||2

Buktikan : u . v = v . u

Bukti : u . v = ||u|| ||v|| cos

= ||v|| ||u|| cos

= v . u

Teorema 3.3.1 – 3.3.2:


Buktikan : u . (v + w) = u .v + u .w

Bukti: u . (v + w) = (u1, u2 , u3) . (v1+w1, v2+w2, v3+w3)

= u1(v1+w1) + u2(v2+w2) + u3(v3+w3)

= (u1v1+u1w1) + (u2v2+u2w2) + (u3v3+u3w3)

= (u1v1+u2v2+ u3v3) + (u1w1 + u2w2+u3w3)

= u .v + u .w

Buktikan : k(u . v) = (ku) . v = u . (kv)

Bukti: k(u . v) = k(u1v1 + u2v2 + u3v3) ………….

= (ku1v1 + ku2v2 + ku3v3) = (u1kv1 + u2kv2 + u3kv3)

= (ku1)v1 + (ku2)v2 + (ku3)v3 = u1(kv1) + u2(kv2) + u3(kv3)

= (ku) . v = u . (kv)

Teorema 3.3.1 – 3.3.2:


Buktikan : jika v 0 maka v . v 0

Bukti : v = (v1, v2) sehingga v . v = v1v1 + v2v2 0

karena kwadrat suatu bilangan selalu positif

Buktikan : jika v = 0 (vektor) maka v . v = 0 (skalar)

Bukti : v = (0, 0) sehingga v . v = 0 + 0 = 0

Proyeksi Ortogonal:

w1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a

= komponen vektor u di sepanjang vektor a

w2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a

u

aw1

w2 u

u

a

a w1

w1

w2

w2

Proyeksi Ortogonal:

u

w1

w2

a

w1 = proyeksi ortogonal dari vektor u pada vektor a

w2 = komponen vektor u ortogonal terhadap vektor a

w1 = ( u . a / || a ||2 ) a w2 = u – ( u . a / || a ||2 ) a

Bukti: w1 = ( k ) a k = ( u . a / || a ||2 ) ?

u = w1 + w2 = k a + w2

u . a = (k a + w2) . a

= ka . a + w2 . a

= k || a ||2 + 0 = k || a ||2

k = ( u . a ) / || a ||2

Norm vektor w1 = || w1 || = | u . a | || a || / || a ||2 = | u . a | / || a ||

Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax +by +c = 0

| axo + byo + c|

(a2 + b2)

Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax +by +c+= 0

g : ax + by + c = 0

n

Q (x1, y1)

Vektor n = (a, b) ortogonal garis g

Bukti bahwa n = (a, b)ortogonal garis g

R(x2, y2)*

* Vektor QR = (x2 – x1, y2 – y1)

Dengan perkalian titik: n . QR = a(x2 – x1) + b (y2 – y1)

R terletak pada garis g, maka: ax2 + by2 + c = 0

Q terletak pada garis g, maka: ax1 + by1 + c = 0

a(x2 – x1) + b (y2 – y1) + 0 = 0

Jadi, n . QR = a(x2 – x1) + b (y2 – y1) = 0

artinya vektor n ortogonal QR, sehingga vektor n ortogonal garis g (terbukti)

Jarak titik Po (xo, yo) ke garis lurus g : ax +by +c+= 0

g : ax + by + c = 0

n

oPo (xo, yo)Q (x1, y1)

Vektor QPo = (xo– x1, yo – y1)

( vektor QPo seperti vektor u;

vektor n seperti vektor a

vektor d seperti vektor w1)

jarak dari titik Po ke garis g = || d ||

d

|| w1 || = | u . a | / || a ||

|| d || = | QPo . n | / ||n|| = |(xo– x1, yo – y1) . (a, b)| / (a2 + b2)

= | (xo– x1)a +(yo – y1)b) | / (a2 + b2) = | xoa – x1a + yo b – y1b | / (a2 + b2)

tetapi Q terletak di g, maka ax1 + by1 + c = 0 atau c = – ax1 – by1

Maka || d || = | axo + byo – ax1 – by1| / (a2 + b2)

= | axo + byo + c| / (a2 + b2)

Pekerjaan Rumah untuk tgl 28-10-2011 (dipresentasikan)

3.1. no. 5, 113.2. no. 3, 93.3. no. 8, 27

alin 3.1 3.3

Technology

u v w v u w

u bukti

u vcos

makanormak u

tumpul u

atau v

maka lancip u

adalah skalar v