alin 6.1-6.3.ppt

24
1 Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS) 6.1. Inner Products 6.2. Angle and Orthogonality in IPS 6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition 6.4. Best Approximation; Least Squares 6.5. Change of Bases 6.6. Orthogonal Matrices

Upload: sandri-ayunier-kusuma

Post on 09-Aug-2015

32 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

aljabar linear

TRANSCRIPT

Page 1: alin 6.1-6.3.ppt

1

Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)

6.1. Inner Products

6.2. Angle and Orthogonality in IPS

6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition

6.4. Best Approximation; Least Squares

6.5. Change of Bases

6.6. Orthogonal Matrices

Page 2: alin 6.1-6.3.ppt

2

Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)

6.1. Inner Products

6.2. Angle and Orthogonality in IPS

6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition

6.4. Best Approximation; Least Squares

6.5. Change of Bases

6.6. Orthogonal Matrices

Page 3: alin 6.1-6.3.ppt

3

DEFINISI:

V = ruang vektor; u, v V, maka u, v = skalar

Bab 3: perkalian titik (dot product, Euclidean Inner Product)

R2 : u • v = u1v1 + u2v2

R3 : u • v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Bab 6: perkalian dalam (bersifat umum)Jika vektor u dan v Rn , maka weighted Euclidean Inner Product u dan v

u, v = u • v = w1u1v1 + w2u2v2 + w3u3v3 + … + wnunvn

w1, w2, w3, …, wn disebut bobot (weight)

Page 4: alin 6.1-6.3.ppt

4

Ruang Perkalian Dalam :Rn : u • v = w1u1v1 + w2u2v2 + w3u3v3 + … + wnunvn

w1, w2, w3, …, wn disebut bobot (weight)

Perkalian Dalam pada sebuah Ruang Vektor V adalah

fungsi yang memetakan pasangan vektor u dan v di V

kepada suatu nilai skalar u, v

Sifat Perkalian Dalam:

1. u, v = v, u

2. u+v, w = u, w + v, w

3. ku, v = ku, v

4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0

Page 5: alin 6.1-6.3.ppt

5

Norm (u) :

di dalam Ruang Perkalian Dalam tertentu

|| u || = u, u ½

Jarak di antara dua titik (dua vektor u dan v)

d(u, v) = || u – v ||

Contoh:

Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2

1. Jika u = (1, 0) maka || u || = (3u12 + 2u2

2) = 3

2. Jika u = (1, 0) dan v = (0, 1) maka d(u, v) = || u – v ||

= || (1, –1) || = (3(1)2 + 2(–1)2) = 5

Page 6: alin 6.1-6.3.ppt

6

Contoh:

Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2

Bukti bahwa 3u1v1 + 2u2v2 adalah perkalian dalam di R2

Sifat Perkalian Dalam:

1. u, v = v, u

2. u+v, w = u, w + v, w

3. ku, v = ku, v

4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0

1. u, v = v, u ?

u, v = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = v, u

3. ku, v = ku, v ?

ku, v = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2= k (3u1v1 + 2u2v2) = k u, v

Page 7: alin 6.1-6.3.ppt

7

Contoh:

Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2

Bukti bahwa 3u1v1 + 2u2v2 adalah perkalian dalam di R2

Sifat Perkalian Dalam:

1. u, v = v, u

2. u+v, w = u, w + v, w

3. ku, v = ku, v

4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0

2. u+v, w = u, w + v, w ?

u+v, w = 3(u1+v1)w1+ 2(u2 + v2)w2

= 3(u1w1+v1w1) + 2(u2w2+v2w2)

= (3u1w1+ 2u2w2) +(3v1w1 + 2v2w2)

= u, w + v, w

Page 8: alin 6.1-6.3.ppt

8

Contoh:

Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2

Bukti bahwa 3u1v1 + 2u2v2 adalah perkalian dalam di R2

Sifat Perkalian Dalam:

1. u, v = v, u

2. u+v, w = u, w + v, w

3. ku, v = ku, v

4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0

4. v, v 0 ?

v, v = 3v1v1 + 2v2v2 = 3v12 + 2v2

2 0

Jika v = 0 maka v, v = 3(0)(0) + 2(0)(0) = 0

Page 9: alin 6.1-6.3.ppt

9

Teorema 6.1.1.

1. 0, v = v, 0 = 0

2. u, v + w = u, v + u, w

3. u, kv = k u, v

4. u – v, w = u, w – v, w

5. u, v – w = u, v – u, w

Page 10: alin 6.1-6.3.ppt

10

PR

Exercise set 6.1 no. 2, 3, 4, 10

Page 11: alin 6.1-6.3.ppt

11

Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)

6.1. Inner Products

6.2. Angle and Orthogonality in IPS

6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition

6.4. Best Approximation; Least Squares

6.5. Change of Bases

6.6. Orthogonal Matrices

Page 12: alin 6.1-6.3.ppt

12

Sudut antara dua vektor:

u, v = || u || || v || cos ,

di mana adalah sudut antara u dan v

Sifat ortogonal:dua vektor u dan v dalam suatu Ruang Perkalian Dalam saling ortogonal jika u, v = 0

Page 13: alin 6.1-6.3.ppt

13

Daftar Teorema: 6.2.1 – 6.2.3

1. Cauchy-Schwarz Inequality

jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam suatu RPD, maka

| u, v | || u || || v ||

2. a. || u || 0

b. || u || = 0 u = 0

c. || ku || = |k| || u ||

d. || u + v || || u || + || v ||

3. a. d( u, v ) 0

b. d( u, v ) = 0 u = v

c. d( u, v ) = d( v, u )

d. d( u, v ) d( u, w ) + d( w, v )

Page 14: alin 6.1-6.3.ppt

14

Sifat ortogonal:dua vektor u dan v dalam suatu Ruang Perkalian Dalam saling ortogonal jika u, v = 0

Komplemen Ortogonal:V = Ruang Vektor, W = subspace dari V

Vektor u V disebut ortogonal pada W jika u ortogonal semua vektor v W.

Himpunan semua vektor u V yang ortogonal pada W disebut

Komplemen Ortogonal dari W, dan dinotasikan W.

Page 15: alin 6.1-6.3.ppt

15

Daftar Teorema: 6.2.4 – 6.2.6

4. Pythagoras: jika u dan v dua vektor yang saling ortogonal, maka

|| u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2

5. Jika W adalah subspace dari Sebuah Ruang Perkalian Dalam V yang dimensinya berhingga, maka

a. W merupakan subspace V

b. Irisan W dan W adalah { vektor nol }

c. (W) = W

6. A adalah matriks (m x n) Dalam ruang Rn dioperasikan Perkalian Dalam Euclidean

a. Ruang Nol (A) komplemen ortogonal dari Ruang Baris (A)b. Ruang Nol (AT) komplemen ortogonal dari Ruang Kolom (A)

Page 16: alin 6.1-6.3.ppt

16

Lihat Example 6

Page 17: alin 6.1-6.3.ppt

17

P.R.

Exercise set 6.2. no.

Page 18: alin 6.1-6.3.ppt

18

Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)

6.1. Inner Products

6.2. Angle and Orthogonality in IPS

6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition

6.4. Best Approximation; Least Squares

6.5. Change of Bases

6.6. Orthogonal Matrices

Page 19: alin 6.1-6.3.ppt

19

Himpunan ortogonal:Sebuah himpunan vektor dalam suatu Ruang Perkalian Dalam (RPD) disebut ortogonal jika untuk semua vektor u, v di RPD (u v )dipenuhi u, v = 0

Contoh:

Ruang Perkalian Dalam : R3 dengan Euclidean product

Himpunan vektor H = { u = (0, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (1, 0, –1) }

H adalah himpunan ortogonal sebab

u, v = 0

u, w = 0

v, w = 0

Page 20: alin 6.1-6.3.ppt

20

Himpunan ortonormal:Sebuah himpunan vektor ortogonal dalam suatu Ruang Perkalian Dalam (RPD) disebut ortonormal jika untuk semua vektor u di RPD || u || = 1

Contoh:

Ruang Perkalian Dalam : R3 dengan Euclidean product

Himpunan vektor H = { u = (0, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (1, 0, –1) }

Normalisasi H menghasilkan himpunan ortonormal H’ = {u’, v’, w’}

Caranya:

u’ = u / || u || = ( 0, 1, 0 )

v’ = v / || v || = ( 1/2, 0, 1/2 )

w’ = w / || w || = ( 1/2, 0, –1/2 )

Page 21: alin 6.1-6.3.ppt

21

Proses Gram-Schmidt

Diketahui V adalah RPD dengan basis B = {u1, u2, …, un}

Dengan proses Gram-Schmidt basis B dapat ditransformasi menjadi

basis ortogonal B’ = {v1, v2, …, vn}

Algoritmanya:

v1 = u1

v2 = u2 – ( u2, v1 / || v1 ||2 ) v1

v3 = u3 – ( u3, v1 / || v1 ||2) v1 – ( u3, v2 / || v2 ||2 ) v2

…………………….

vn = un – ( un, v1 / || v1 ||2 ) v1 – ( un, v2 / || v2 ||2 ) v2 –

………. – ( un, vn–1 / || vn–1 ||2) vn–1

Page 22: alin 6.1-6.3.ppt

22

Contoh 7:

Ruang R3 dengan Euclidean product dan basis B = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1) }. Basis B dijadikan ortogonal B’ = { v1, v2, v3 } dengan proses Gram-Schmidt, menjadi:

v1 = u1 = (1, 1, 1)

u2, v1 = 2, || v1 ||2 = 3

v2 = u2 – ( u2, v1 / || v1 ||2 ) v1

= (0, 1, 1) – (2/3) (1, 1, 1) = (0, 1, 1) – (2/3, 2/3, 2/3)

= (–2/3, 1/3, 1/3)

u3, v1 = 1, u3, v2 = 1/3, || v2 ||2 = 6/9 = 2/3

v3 = u3 – ( u3, v1 / || v1 ||2) v1 – ( u3, v2 / || v2 ||2 ) v2

= (0, 0, 1) – (1/3) / (1, 1, 1) – ((1/3) / (2/3))(–2/3, 1/3, 1/3)

= (0, 0, 1) – (1/3, 1/3, 1/3) – (–1/3, 1/6, 1/6) = (0, –1/2, 1/2)

Page 23: alin 6.1-6.3.ppt

23

Contoh 7:

Ruang R3 dengan Euclidean product dan basis ortogonal B’ dinormalisasi menjadi basis B” = (q1, q2, q3) yang ortonormal

v1 = (1, 1, 1); v2 = (–2/3, 1/3, 1/3); v3 = (0, –1/2, 1/2)

qk = vk / || vk || untuk k = 1, 2, 3

q1 = ( 1/3, 1/3, 1/3 );

q2 = ( –2/6, 1 /6, 1/6 );

q3 = ( 0, –1/2, 1/2 );

Page 24: alin 6.1-6.3.ppt

24

P.R.

Exercise set 6.3. no.