alin 6.1-6.3.ppt
DESCRIPTION
aljabar linearTRANSCRIPT
1
Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)
6.1. Inner Products
6.2. Angle and Orthogonality in IPS
6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition
6.4. Best Approximation; Least Squares
6.5. Change of Bases
6.6. Orthogonal Matrices
2
Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)
6.1. Inner Products
6.2. Angle and Orthogonality in IPS
6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition
6.4. Best Approximation; Least Squares
6.5. Change of Bases
6.6. Orthogonal Matrices
3
DEFINISI:
V = ruang vektor; u, v V, maka u, v = skalar
Bab 3: perkalian titik (dot product, Euclidean Inner Product)
R2 : u • v = u1v1 + u2v2
R3 : u • v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Bab 6: perkalian dalam (bersifat umum)Jika vektor u dan v Rn , maka weighted Euclidean Inner Product u dan v
u, v = u • v = w1u1v1 + w2u2v2 + w3u3v3 + … + wnunvn
w1, w2, w3, …, wn disebut bobot (weight)
4
Ruang Perkalian Dalam :Rn : u • v = w1u1v1 + w2u2v2 + w3u3v3 + … + wnunvn
w1, w2, w3, …, wn disebut bobot (weight)
Perkalian Dalam pada sebuah Ruang Vektor V adalah
fungsi yang memetakan pasangan vektor u dan v di V
kepada suatu nilai skalar u, v
Sifat Perkalian Dalam:
1. u, v = v, u
2. u+v, w = u, w + v, w
3. ku, v = ku, v
4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0
5
Norm (u) :
di dalam Ruang Perkalian Dalam tertentu
|| u || = u, u ½
Jarak di antara dua titik (dua vektor u dan v)
d(u, v) = || u – v ||
Contoh:
Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2
1. Jika u = (1, 0) maka || u || = (3u12 + 2u2
2) = 3
2. Jika u = (1, 0) dan v = (0, 1) maka d(u, v) = || u – v ||
= || (1, –1) || = (3(1)2 + 2(–1)2) = 5
6
Contoh:
Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2
Bukti bahwa 3u1v1 + 2u2v2 adalah perkalian dalam di R2
Sifat Perkalian Dalam:
1. u, v = v, u
2. u+v, w = u, w + v, w
3. ku, v = ku, v
4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0
1. u, v = v, u ?
u, v = 3u1v1 + 2u2v2 = 3v1u1 + 2v2u2 = v, u
3. ku, v = ku, v ?
ku, v = 3(ku1)v1 + 2(ku2)v2= k (3u1v1 + 2u2v2) = k u, v
7
Contoh:
Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2
Bukti bahwa 3u1v1 + 2u2v2 adalah perkalian dalam di R2
Sifat Perkalian Dalam:
1. u, v = v, u
2. u+v, w = u, w + v, w
3. ku, v = ku, v
4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0
2. u+v, w = u, w + v, w ?
u+v, w = 3(u1+v1)w1+ 2(u2 + v2)w2
= 3(u1w1+v1w1) + 2(u2w2+v2w2)
= (3u1w1+ 2u2w2) +(3v1w1 + 2v2w2)
= u, w + v, w
8
Contoh:
Ruang Vektor = R2, dengan perkalian dalam = 3u1v1 + 2u2v2
Bukti bahwa 3u1v1 + 2u2v2 adalah perkalian dalam di R2
Sifat Perkalian Dalam:
1. u, v = v, u
2. u+v, w = u, w + v, w
3. ku, v = ku, v
4. v, v 0 dan v, v = 0 v = 0
4. v, v 0 ?
v, v = 3v1v1 + 2v2v2 = 3v12 + 2v2
2 0
Jika v = 0 maka v, v = 3(0)(0) + 2(0)(0) = 0
9
Teorema 6.1.1.
1. 0, v = v, 0 = 0
2. u, v + w = u, v + u, w
3. u, kv = k u, v
4. u – v, w = u, w – v, w
5. u, v – w = u, v – u, w
10
PR
Exercise set 6.1 no. 2, 3, 4, 10
11
Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)
6.1. Inner Products
6.2. Angle and Orthogonality in IPS
6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition
6.4. Best Approximation; Least Squares
6.5. Change of Bases
6.6. Orthogonal Matrices
12
Sudut antara dua vektor:
u, v = || u || || v || cos ,
di mana adalah sudut antara u dan v
Sifat ortogonal:dua vektor u dan v dalam suatu Ruang Perkalian Dalam saling ortogonal jika u, v = 0
13
Daftar Teorema: 6.2.1 – 6.2.3
1. Cauchy-Schwarz Inequality
jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam suatu RPD, maka
| u, v | || u || || v ||
2. a. || u || 0
b. || u || = 0 u = 0
c. || ku || = |k| || u ||
d. || u + v || || u || + || v ||
3. a. d( u, v ) 0
b. d( u, v ) = 0 u = v
c. d( u, v ) = d( v, u )
d. d( u, v ) d( u, w ) + d( w, v )
14
Sifat ortogonal:dua vektor u dan v dalam suatu Ruang Perkalian Dalam saling ortogonal jika u, v = 0
Komplemen Ortogonal:V = Ruang Vektor, W = subspace dari V
Vektor u V disebut ortogonal pada W jika u ortogonal semua vektor v W.
Himpunan semua vektor u V yang ortogonal pada W disebut
Komplemen Ortogonal dari W, dan dinotasikan W.
15
Daftar Teorema: 6.2.4 – 6.2.6
4. Pythagoras: jika u dan v dua vektor yang saling ortogonal, maka
|| u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2
5. Jika W adalah subspace dari Sebuah Ruang Perkalian Dalam V yang dimensinya berhingga, maka
a. W merupakan subspace V
b. Irisan W dan W adalah { vektor nol }
c. (W) = W
6. A adalah matriks (m x n) Dalam ruang Rn dioperasikan Perkalian Dalam Euclidean
a. Ruang Nol (A) komplemen ortogonal dari Ruang Baris (A)b. Ruang Nol (AT) komplemen ortogonal dari Ruang Kolom (A)
16
Lihat Example 6
17
P.R.
Exercise set 6.2. no.
18
Chapter 6 – Inner Product Spaces (IPS)
6.1. Inner Products
6.2. Angle and Orthogonality in IPS
6.3. Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR Decomposition
6.4. Best Approximation; Least Squares
6.5. Change of Bases
6.6. Orthogonal Matrices
19
Himpunan ortogonal:Sebuah himpunan vektor dalam suatu Ruang Perkalian Dalam (RPD) disebut ortogonal jika untuk semua vektor u, v di RPD (u v )dipenuhi u, v = 0
Contoh:
Ruang Perkalian Dalam : R3 dengan Euclidean product
Himpunan vektor H = { u = (0, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (1, 0, –1) }
H adalah himpunan ortogonal sebab
u, v = 0
u, w = 0
v, w = 0
20
Himpunan ortonormal:Sebuah himpunan vektor ortogonal dalam suatu Ruang Perkalian Dalam (RPD) disebut ortonormal jika untuk semua vektor u di RPD || u || = 1
Contoh:
Ruang Perkalian Dalam : R3 dengan Euclidean product
Himpunan vektor H = { u = (0, 1, 0), v = (1, 0, 1), w = (1, 0, –1) }
Normalisasi H menghasilkan himpunan ortonormal H’ = {u’, v’, w’}
Caranya:
u’ = u / || u || = ( 0, 1, 0 )
v’ = v / || v || = ( 1/2, 0, 1/2 )
w’ = w / || w || = ( 1/2, 0, –1/2 )
21
Proses Gram-Schmidt
Diketahui V adalah RPD dengan basis B = {u1, u2, …, un}
Dengan proses Gram-Schmidt basis B dapat ditransformasi menjadi
basis ortogonal B’ = {v1, v2, …, vn}
Algoritmanya:
v1 = u1
v2 = u2 – ( u2, v1 / || v1 ||2 ) v1
v3 = u3 – ( u3, v1 / || v1 ||2) v1 – ( u3, v2 / || v2 ||2 ) v2
…………………….
vn = un – ( un, v1 / || v1 ||2 ) v1 – ( un, v2 / || v2 ||2 ) v2 –
………. – ( un, vn–1 / || vn–1 ||2) vn–1
22
Contoh 7:
Ruang R3 dengan Euclidean product dan basis B = {u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1) }. Basis B dijadikan ortogonal B’ = { v1, v2, v3 } dengan proses Gram-Schmidt, menjadi:
v1 = u1 = (1, 1, 1)
u2, v1 = 2, || v1 ||2 = 3
v2 = u2 – ( u2, v1 / || v1 ||2 ) v1
= (0, 1, 1) – (2/3) (1, 1, 1) = (0, 1, 1) – (2/3, 2/3, 2/3)
= (–2/3, 1/3, 1/3)
u3, v1 = 1, u3, v2 = 1/3, || v2 ||2 = 6/9 = 2/3
v3 = u3 – ( u3, v1 / || v1 ||2) v1 – ( u3, v2 / || v2 ||2 ) v2
= (0, 0, 1) – (1/3) / (1, 1, 1) – ((1/3) / (2/3))(–2/3, 1/3, 1/3)
= (0, 0, 1) – (1/3, 1/3, 1/3) – (–1/3, 1/6, 1/6) = (0, –1/2, 1/2)
23
Contoh 7:
Ruang R3 dengan Euclidean product dan basis ortogonal B’ dinormalisasi menjadi basis B” = (q1, q2, q3) yang ortonormal
v1 = (1, 1, 1); v2 = (–2/3, 1/3, 1/3); v3 = (0, –1/2, 1/2)
qk = vk / || vk || untuk k = 1, 2, 3
q1 = ( 1/3, 1/3, 1/3 );
q2 = ( –2/6, 1 /6, 1/6 );
q3 = ( 0, –1/2, 1/2 );
24
P.R.
Exercise set 6.3. no.