aljabar linier - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 persamaan linear -...
TRANSCRIPT
![Page 1: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/1.jpg)
ALJABAR LINIER
![Page 2: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/2.jpg)
ALJABAR LINIER
Kelas BJUMAT08.00Ruang i.III.3
Kelas AJUMAT09.45Ruang i.III.3
![Page 3: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/3.jpg)
Referensi Utama:
Elementary Linear AlgebraHoward Anton Chris Rores
John Wiley, ninth edition
![Page 4: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/4.jpg)
Chapter 11.1. Introduction to Systems of Linear Equation
1.2. Gaussian Elimination
1.3. Matrices and Matrix Operations
1.4. Inverses, Rules of Matrix Arithmetic
1.5. Elementary Matrices and a Method for Finding A–1
1.6. Further Results
1.7. Diagonal, Triangular, and Symmetric Matrices
![Page 5: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/5.jpg)
Chapter 11.1. Introduction to Systems of Linear Equation
1.2. Gaussian Elimination
1.3. Matrices and Matrix Operations
1.4. Inverses, Rules of Matrix Arithmetic
1.5. Elementary Matrices and a Method for Finding A–1
1.6. Further Results
1.7. Diagonal, Triangular, and Symmetric Matrices
![Page 6: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/6.jpg)
Persamaan linier : (linear equation)
Persamaan yang semua variabelnya berpangkat 1
Contoh:
x + y + 2z = 9
Solusi: berupa suatu “tripel” dengan masing-masing nilai sesuaiurutan (nilai-x, nilai-y, nilai-z) yang memenuhi persamaantersebut.
Himpunan Solusi (Ruang Solusi) untuk persamaan di atas:
{ … ( 0, 1, 4), (1, 0, 4), (4, 5, 0), …. }
(0, 10, 0), (2, 1, 1) tidaktermasuk dalamRuang Solusi
(solution space)
![Page 7: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/7.jpg)
Sistem Persamaan Linier: (systems of linear equations)
Suatu sistemdengan beberapa (2 atau lebih) persamaan linier.
Contoh: x + y = 3
3x + 5y = 11
Ruang Solusi:
berupa semuaordered-pair (nilai-x, nilai-y) yang harus
memenuhi semua persamaan linierdalamsistemtersebut;
untuk sistemini ruang solusinya{ (2, 1) }
(1, 2) bukananggota Ruang Solusi, karena tidak memenuhi
persamaan kedua (3 + 10≠ 11)
![Page 8: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/8.jpg)
Interpretasi Geometrik:
Sistemmenggambarkan 2 garis lurus pada sebuah bidang datar.
g1: x + y = 3
g2: 3x + 5y = 11
Solusi: g1 dan g2 berpotongan di(2, 1)
Kemungkinan:
berpotongan di 1 titik tidak berpotongan berimpit
![Page 9: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/9.jpg)
berpotongan di 1 titik tidak berpotongan berimpit
Ruang Solusi :
{ (x,y) } { } { … (x1, y1), (x2, y2), … }
consistent inconsistent consistent
![Page 10: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/10.jpg)
Solusi Sistem Persamaan Linier
a. Eliminasi
b. Substitusi
c. Eliminasi Gauss
d. Eliminasi Gauss – Jordan
a. Eliminasi
x + y = 3 →→→→ 3x + 3y = 93x – 5y = 1 →→→→ 3x – 5y = 1
8y = 8 →→→→ y = 1
3x – 5 = 1 →→→→ 3x = 6 →→→→ x = 2
x dieliminasi
![Page 11: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/11.jpg)
b. Substitusix + y = 3 atau y = 3 – x y disubstitusi
3x – 5y = 1
3x – 5(3 – x)= 1 atau 3x – 15 + 5x = 1→→→→ 8x = 16 →→→→ x = 2
y = 3 – x →→→→ y = 1
![Page 12: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/12.jpg)
Chapter 11.1. Introduction to Systems of Linear Equation
1.2. Gaussian Elimination
1.3. Matrices and Matrix Operations
1.4. Inverses, Rules of Matrix Arithmetic
1.5. Elementary Matrices and a Method for Finding A–1
1.6. Further Results
1.7. Diagonal, Triangular, and Symmetric Matrices
![Page 13: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/13.jpg)
Augmented Matrix: (Matriks yang diperbesar)
Matriks yang entri-entrinya dibentuk dari koefisien -koefisien Sistem Persamaan Linier, ditambah kolom di kanan tanda “=“
Contoh : x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Augmented Matrix-nya : 1 1 2 9
2 4 -3 1
3 6 -5 0
![Page 14: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/14.jpg)
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
c. Eliminasi Gauss (lihat contoh 3, halaman 5)
x + y + 2z = 9 1 1 2 9
2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1
3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0
lalu diusahakan berbentuk 1 1 2 9
0 ? ? ?
0 0 ? ?
dengan prosesOperasi Baris Elementer (OBE)(Elementary Row Operation - ERO)
ditulis dalam
bentuk matriksaugmented
![Page 15: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/15.jpg)
Operasi Baris Elementer (OBE)(Elementary Row Operation - ERO)Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier
1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k≠≠≠≠ 02. Menukar posisi dua baris3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j
1 1 2 9 1 1 2 9
2 4 -3 1 0 2 -7 -17
3 6 -5 0 0 3 -11 -27
1 1 2 90 2 -7 -170 0 -½ -3/2
baris2 + (-2) x baris1baris3 + (-3) x baris1
baris3 + (-3/2)x baris2
![Page 16: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/16.jpg)
x y z
1 1 2 9 Substitusi Balik:0 2 -7 -170 0 -½ -3/2 -1/2 z = -3/2 z = 3
1 1 2 90 2 -7 -17 2y – 7z = - 170 0 -½ -3/2 2y = 21 – 17 y = 2
1 1 2 9 x + y + 2z = 90 2 -7 -17 x = – 2 – 6 + 9 x = 10 0 -½ -3/2
z
yz
![Page 17: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/17.jpg)
Eliminasi Gauss (ringkasan):
Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Substitusi
Linier Augmented Gauss Balik
OBE
![Page 18: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/18.jpg)
d. Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama)
x + y + 2z = 9 1 1 2 9
2x + 4y – 3z = 1 2 4 -3 1
3x + 6y – 5z = 0 3 6 -5 0
dan diusahakan berbentuk 1 0 0 ?0 1 0 ?
0 0 1 ?
dengan prosesOperasi Baris Elementer (OBE)(Elementary Row Operation - ERO)
![Page 19: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/19.jpg)
Eliminasi Gauss-Jordan(ringkasan):
Sistem Persamaan → Matriks → Eliminasi → Solusi
Linier Augmented Gauss-Jordan (langsung)
OBE
![Page 20: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/20.jpg)
Operasi Baris Elementer (OBE)(Elementary Row Operation - ERO)Perhatikan bahwa tiap baris dari matriks merepresentasikan persamaan linier
1. Mengalikan suatu baris dengan bilangan nyata k≠≠≠≠ 02. Menukar posisi dua baris3. Menambah baris-i dengan k kali baris-j
1 1 2 9 1 1 2 9
2 4 -3 1 0 2 -7 -17
3 6 -5 0 0 3 -11 -27
1 1 2 90 2 -7 -170 0 -½ -3/2
baris-2 + (-2) x baris-1
baris-3 + (-3) x baris-1
baris-3 + (-3/2)x baris-2
![Page 21: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/21.jpg)
x y z
1 1 2 9
0 2 -7 -17 baris 2×××× (1/2)0 0 -½ -3/2 baris 3 ×××× (– 2)
1 1 2 9 baris 1 + (– 2)×××× baris 30 1 -7/2 -17/2 baris 2 + (7/2)×××× baris 30 0 1 3
1 1 0 3 baris 1 + (– 1)×××× baris 20 1 0 20 0 1 3
1 0 0 10 1 0 20 0 1 3
![Page 22: ALJABAR LINIER - elektro.umk.ac.idelektro.umk.ac.id/1qbal/alin/01 Persamaan Linear - Eliminasi... · Eliminasi Gauss-Jordan (contoh yang sama) x + y + 2z = 9 1 1 2 9 2x + 4y – 3z](https://reader031.vdocument.in/reader031/viewer/2022020205/5b89af827f8b9a5b688e271f/html5/thumbnails/22.jpg)
LATIHAN
Selesaikan Persamaan Linier di bawah dengan Eliminasi Gauss – Jordan
x + y + 2z = 3
2x – y + 2z = – 1
3x + 2y + 8z = 4