allocation optimale d’actifs sur un portefeuille … · efficient frontier portfolio ......

Mémoire de fin d’études

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ALLOCATION OPTIMALE D’ACTIFS SUR UN PORTEFEUILLE DE RESPONSABILITÉ CIVILE

Thomas Cariou

Promotion 2008

Mémoire de fin d’études présenté en vue de l’obtention du titre d’Actuaire

Juin 2008


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Résumé L’objectif de ce mémoire est de déterminer l’allocation d’actifs optimale sur un portefeuille de Responsabilité Civile en intégrant les contraintes du projet Solvabilité 2. La première méthode pour réaliser cela, sera d’utiliser la théorie de Markowitz, pour déterminer la frontière efficiente du portefeuille (composé de quatre actifs), pour arriver à une composition de ce portefeuille qui présente le meilleur compromis entre le rendement et le risque. La deuxième méthode sera basée sur une approche d’analyse financière dynamique (DFA), qui permettra de maximiser l’adossement entre le passif et l’actif. Mots-clés : Allocation d’actifs, modèle de Markowitz, provisions techniques, DFA, Solvabilité 2, Assurance de Responsabilité Civile. Abstract

The aim of this report is to find the optimal allocation of assets on a portfolio of a civil liability by integrating the constraints of Solvency 2. The first method to achieve this will use the theory of Markowitz, to determine the efficient frontier portfolio (composed of four actives) to reach a composition of this portfolio, which offers the best compromise between performance and risk. The second method will be based on a dynamic financial analysis (DFA), which will maximize the affiliation between liabilities and assets. Key-words : Allocation of assets, Markowitz’s model, technical reserves, DFA, Solvency 2, civil liability insurance.


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Remerciements Je remercie toutes les personnes qui m’ont aidé, conseillé et soutenu, depuis le début de mon stage jusqu’à la rédaction de ce mémoire. Je tiens particulièrement à remercier Messieurs Norbert Gautron, mon maître de stage, et François Leprince, actuaires associés chez GALEA&Associés, pour m’avoir accueilli au sein de leur équipe et proposé cette étude. Je les remercie chaleureusement tous les deux pour leurs conseils éclairés, leur disponibilité et leur bonne humeur permanente. Je tiens aussi à remercier l’ensemble du personnel de GALEA&Associés pour son accueil, sa gentillesse et sa disponibilité. Enfin, je tiens à remercier M.Le Borgne et l’ensemble du corps enseignant de l’EURIA pour la qualité des enseignements dispensés.


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Résumé............................................................................................................................... 2 Remerciements ................................................................................................................... 3 Rapport de stage ................................................................................................................. 6 Introduction ...................................................................................................................... 10 PARTIE I : RAPPELS SUR L’ASSURANCE NON VIE ET PRESENTATION DU PORTEFEUILLE ............................................................................................................... 11 Chapitre 1 : Les provisions ................................................................................................. 12

1.1-LA RESERVE DE CAPITALISATION (R.331-3, R-331-6 ET R.331-1) ................................ 12 1.2-LA PROVISION POUR EGALISATION........................................................................ 13 1.3-LA PROVISION POUR RISQUE D’EXIGIBILITE DES ENGAGEMENTS TECHNIQUES...... 13 1.4-LA PROVISION MATHEMATIQUE DES RENTES ........................................................ 13 1.5-LA PROVISION POUR PRIMES NON ACQUISES ......................................................... 13 1.6-LA PROVISION POUR RISQUES EN COURS ............................................................... 13 1.7-LA PROVISION POUR SINISTRES A PAYER............................................................... 13 1.8-LA PROVISION POUR RISQUE CROISSANT............................................................... 14 1.9-LA PROVISION POUR FRAIS D’ACQUISITION REPORTES .......................................... 14

Chapitre 2 : Les placements ................................................................................................ 14 2.1-LISTE DES PLACEMENTS AUTORISES...................................................................... 14 2.2-REGLES DE DISPERSION......................................................................................... 15 2.3-REGLES DE CONGRUENCE (R332-1 et R332-1-1)......................................................... 15 2.4-EVALUATION DES ELEMENTS D’ACTIFS ................................................................. 15

Chapitre 3 : La marge de solvabilité.................................................................................... 16 3.1-PRESENTATION DE LA MARGE DE SOLVABILITE .................................................... 16 3.2-MODALITES DE CALCUL ........................................................................................ 16 3.3-AVANTAGES/ INCONVENIENTS DE LA MSR............................................................. 17

Chapitre 4 : Bilan simplifié ................................................................................................. 18 Chapitre 5 : Spécificités d’un portefeuille de Responsabilité Civile..................................... 19

5.1-L’ASSURANCE RC .................................................................................................. 19 5.1.1-Garantie de base............................................................................................... 19

5.2-SPÉCIFICITÉ D’UN PORTEFEUILLE RC........................................................................... 19 5.2.1-La tarification................................................................................................... 19 5.2.2-La sinistralité.................................................................................................... 20

5.3-CONTEXTE ET OBJECTIF DE L’ÉTUDE........................................................................... 20 5.3.1-Présentation du portefeuille .............................................................................. 20

PARTIE II:CARACTÉRISTIQUES DU PROJET SOLVABILITÉ 2.................................. 22 Chapitre 1 : Les principales caractéristiques du projet Solvabilité 2 .................................... 23

1.1-LES ACTEURS IMPLIQUES (ACAM, CEIOPS) ............................................................. 23 1.2-BUT DE SOLVABILLITE 2 ........................................................................................ 23

Chapitre 2: Les 3 piliers du projet Solvabilité 2................................................................... 25 2.1-LE PILIER 1 DE SOLVABILITE 2: ASPECTS QUANTITATIFS........................................ 25 2.2-LE PILIER 2 DE SOLVABILITE 2: ACTIVITES DE CONTROLE ...................................... 25 2.3-LE PILIER 3 DE SOLVABILITE 2: L’INFORMATION .................................................... 26


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3.1-PRESENTATION GENERALE DU QUESTIONNAIRE.................................................... 27 3.2-LES PROVISIONS TECHNIQUES: .............................................................................. 27 3.3-LE « BEST ESTIMATE » ........................................................................................... 28 3.4-CALCUL DE LA MARGE DE RISQUE......................................................................... 28 3.5-LE CAPITAL SOUHAITE « SCR » : FORMULE STANDARD........................................... 29 3.6-LE CAPITAL MINIMUM « MCR » : APPROCHES TESTEES ........................................... 30

PARTIE III:ALLOCATION D’ACTIFS : LA THÉORIE DE MARKOWITZ .................... 32 Chapitre 1 :Composantes de l’actif et modelisation............................................................. 34

1.1-MODELISATION DES CLASSES D’ACTIFS................................................................. 34 1.2-HYPOTHESE UTILISEE ET JUSTIFICATION ............................................................... 36 1.3-UN MODELE DE BASE DE GESTION ACTIF/PASSIF ................................................... 39 1.3.1-Le modèle de Markowitz (à deux actifs)........................................................... 39 1.3.2-Modèle à deux actifs avec introduction de nouvelles contraintes....................... 43 1.3.3-Application du modèle de Markowitz à deux actifs, à notre portefeuille : ......... 45

Chapitre 2 : Le modèle de Markowitz à quatre actifs........................................................... 47 2.1-REALISATION DE L’ALLOCATION OPTIMALE POUR UN PORTEFEUILLE CONSTITUE DE QUATRE ACTIFS........................................................................................................... 47

PARTIE IV:PRÉSENTATION DE L’ANALYSE FINANCIÈRE DYNAMIQUE (DYNAMIC FINANCIAL ANALYSIS).................................................... 54 Chapitre 1 :Gestion actif/passif ........................................................................................... 55 Chapitre 2 : présentation des modèles DFA......................................................................... 56

2.1-LES CONDITIONS INITIALES ................................................................................... 57 2.2-LE GENERATEUR DE SCENARIOS............................................................................ 57 2.2.1-Les simulations ................................................................................................ 57 2.3-LE CALCULATEUR FINANCIER ............................................................................... 58 2.4-RESULTATS ........................................................................................................... 58

Chapitre 3 : Schéma récapitulatif ........................................................................................ 59 Partie V:UN OUTIL DE GESTION ACTIF/PASSIF.......................................................... 60 Chapitre 1 :Modélisation de l’actif ...................................................................................... 61

1.1-MODELISATION DE L’INFLATION : ......................................................................... 61 1.1.1- Modèle de Wilkie............................................................................................ 61 1.1.2-Approche de KAUFMANN - GADMER – KLETT.......................................... 62 1.2-MODELISATION DU TAUX D’INTERET :................................................................... 62 1.2.1- Modèle OUV (Orstein-Uhlenbeck-Vasicek) .................................................... 63 1.2.2-Modèle CIR(Cox-Ingersoll-Ross)..................................................................... 63 1.3-MODELISATION DES ACTIONS................................................................................ 64

CONCLUSION .................................................................................................................. 72 BIBLIOGRAPHIE.............................................................................................................. 73 ANNEXES ......................................................................................................................... 75


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RAPPORT DE STAGE


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Introduction Dans le cadre de la formation qu’il dispense, l’EURIA de Brest insiste fortement sur les aspects professionnalisants. En effet, une grande part des enseignements est assurée par des intervenants extérieurs du milieu bancaire, assurantiel ou des grandes entreprises. De plus, l’institut offre aux étudiants la possibilité de se confronter au monde du travail de différentes manières. La première expérience se fait à la fin de la première année au travers d’un « stage ouvrier » de 2 à 4 mois. Ce dernier doit permettre à l’étudiant la découverte de l’entreprise, de son fonctionnement et des qualités de terrain qui lui seront nécessaires. Le contenu même de ce stage n’est pas primordial, l’apprentissage se fait surtout par l’observation des personnes et du fonctionnement de l’entreprise. Dans le courant de la seconde année, l’étudiant est amené à travailler sur une mission définie en relation avec une entreprise, le bureau d’études. Le bureau d’études s’effectue en équipe de trois ou quatre personnes et permet à l’étudiant d’appliquer les connaissances acquises durant la scolarité et lui permet, au travers de recherches bibliographiques, d’approfondir sa culture personnelle. La dernière année d’étude débute par un stage d’environ 6 mois. Ce stage est l’occasion pour les étudiants d’appliquer, en pratique, les connaissances acquises à l’école dans un contexte relativement théorique. Il leur permet aussi d’appréhender réellement la vie active en participant à des projets de moyen long terme au sein de l’entreprise. De plus ce stage est d’une importance forte puisqu’il débouche en général sur un mémoire proposé par l’entreprise d’accueil.


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Présentation et activités de GALEA & Associés -Activités GALEA & Associés est un Cabinet d’Actuaires Conseil, qui assiste ses clients dans les domaines suivants : -retraite / epargne salariale, -prévoyance / frais de santé, -gestion technique, financière et comptable, -contrôle interne, -normes comptables IFRS, -solvabilité. Parallèlement à ses activités de conseil, GALEA & Associés propose des formations dans ces domaines, pour tous les types d’interlocuteurs. -Clients Les clients de GALEA & Associés sont : -des entreprises commerciales (Directions Générales, Directions des Ressources Humaines, Directions Administratives et Financières, Comités d’Entreprises, Intersyndicales, etc.). -des institutionnels (Mutuelles Code de la Mutualité, Institutions de Prévoyance Code de la Sécurité Sociale, Assureurs Code des Assurances). -des associations, -des intermédiaires d’assurance, -des particuliers -des références de clients peuvent être fournies sur demande et après accord préalable des clients concernés. -L’équipe Les consultants de GALEA & Associés interviennent dans ces domaines depuis plus de 15 ans et souhaitent faire bénéficier à leurs clients de leur expérience auprès des institutionnels et des entreprises. -Consultants Norbert GAUTRON Associé, Actuaire Conseil depuis 1992, Membre qualifié de l’Institut des Actuaires et du Syndicat des Actuaires Conseils et des Experts Indépendants. François LEPRINCE Associé, Membre qualifié et Administrateur de l’Institut des Actuaires.


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-Missions Au cours de mon stage, j’ai eu la chance de participer à plusieurs missions et ainsi d’aborder différents sujets. La première mission concernait le domaine de la santé. J’eus à répertorier les différentes offres du marché ainsi que les tarifications correspondantes, puis réussir à les comparer grâce à plusieurs critères (prix, conditions de souscriptions, etc.). Par la suite, il me fut demandé de faire une étude similaire, mais cette fois-ci en matière de dépendance. Pour cette mission, j’ai également réalisé un inventaire des différentes offres du marché, pour pouvoir les examiner et les comparer. Une des plus grosses missions, qui occupa plusieurs semaines, fut un appel d’offre effectué par un groupe mutualiste auprès de sociétés de gestion. En fait, avec l’aide de GALEA & Associés, ce groupe mutualiste envoya un questionnaire qui permettait aux sociétés de gestion d’expliquer comment elles gèreraient les actifs financiers du groupe. J’ai pu participer au dépouillement et à la synthèse des réponses, ce qui m’a permis d’acquérir des connaissances en matière de gestion financière. Il s’agissait de comparer les réponses fournies par les sociétés de gestion pour pouvoir éliminer certaines compagnies et ne garder que celles qui proposaient la meilleure gestion et les meilleurs tarifs. On procéda alors à un « deuxième tour », qui ne regroupait que quelques sociétés, afin de ne retenir qu’un seul candidat. Je fus amené pour ce deuxième tour, à analyser plus particulièrement les reporting financiers des entreprises, c’est-à-dire le support-papier qui regroupe : les caractéristiques et les performances du mandat, les objectifs de gestion, les opérations comptables, etc. J’ai ainsi pu me familiariser avec les notions de « performances par rapport au benchmark » ou encore « performances sur OPCVM », et créer un fichier pour calculer ces performances. Également, plusieurs autres missions de moindre envergure m’ont été confiées. Ainsi j’eus à calculer, sous Excel, des engagements sociaux pour plusieurs compagnies d’assurance. Cela m’a beaucoup appris techniquement ainsi qu’au niveau de la réglementation. En effet, il fallait créer complètement le fichier de calcul, et non pas utiliser un fichier existant. Cela m’a donc permis de mettre en exergue les compétences acquises à L’EURIA au niveau informatique (VBA, Excel), ainsi qu’au niveau des calculs en assurance-vie et non vie. Par exemple, je recevais un fichier répertoriant les noms, date de naissances, salaires et catégories socioprofessionnelles des salariés d’une société, et il fallait déterminer les dates de départ à la retraite, le nombre de trimestres cotisés, la pension Sécurité Sociale, la part ARRCO, AGIRC du salarié. Enfin, j’ai rempli le QIS3 (questionnaire d’impact de solvabilité) pour une Institution de Prévoyance fictive, pour me familiariser avec ce questionnaire. Ensuite, j’ai pu aider une collègue à remplir le QIS3 pour une véritable compagnie. -Lien avec le mémoire Le mémoire ci-après est en lien avec la mission de gestion financière. En effet, j’ai pu au cours de cette mission analyser les allocations d’actifs proposées par différentes sociétés de gestion. Également, ayant pu remplir le QIS3, il me semblait intéressant de comparer un bilan comptable et un bilan « Solvabilité 2 » d’une gestion actif/passif.


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Introduction Le projet Solvabilité 2 est véritablement entré dans une phase décisive. Son entrée en vigueur est prévue en 2009. Le calcul de la marge de solvabilité - « Solvency capital requirements » en anglais, « Solvabilité complète requise » en français (SCR) - va être complètement révisé. Les assureurs auront le choix entre deux possibilités de calcul de la SCR : via une « formule standard » ou via un « modèle interne ». Le but est d’arriver à un bilan plus sécurisant, ce qui implique une augmentation des fonds propres. Or un assureur est régi par des lois prudentielles en matière de recouvrement des actifs admis en représentation du SCR et des provisions techniques. Il peut donc sembler intéressant d’étudier les méthodes d’allocation de ces actifs. Après avoir effectué des rappels sur l’assurance non vie et avoir décrit le portefeuille qui servira à notre étude, nous définirons plus clairement les exigences du projet Solvabilité 2. Ensuite, dans une troisième partie, nous effectuerons une allocation d’actifs qui couvrira le passif de notre portefeuille, en nous aidant de la théorie de Markowitz, en modélisant les différentes classes d’actif, afin de déterminer l’allocation optimale. Nous essaierons également d’étudier l’impact de Solvabilité 2 sur cette allocation. Dans la cinquième partie de notre mémoire, après avoir présenté rapidement l’approche des modèles DFA (Dynamics Financial Analysis), nous présenterons un outil de gestion actif/passif, inspiré de l’approche des modèles DFA. Cet outil permet également de réaliser une allocation sur notre portefeuille, en tenant compte d’une notion essentielle du projet Sovabilité 2, c’est-à-dire la comptabilisation des actifs en valeur de marché, et non en valeur comptable. Nous verrons quelles en sont les conséquences sur le bilan d’une société.


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PARTIE I :

RAPPELS SUR L’ASSURANCE NON VIE ET PRESENTATION DU PORTEFEUILLE


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L’activité d’assurance non vie comprend deux grands types d’activités ; les assurances dommage et les assurances de personnes. Les personnes ayant subies un préjudice peuvent obtenir réparation, que ce préjudice soit direct, ou indirect. On dit qu’un préjudice est : -direct s’il porte sur un bien de l’assuré, on se trouve dans le cas de l’assurance de chose, -indirect s’il est subi par un tiers du fait de l’assuré, on se trouve dans le cas de l’assurance de responsabilité. Dans les assurances de responsabilité, l’assureur s’engage à indemniser, à la place de l’assuré, les tiers victimes de dommages (matériels ou corporels) dont l’assuré est responsable. Le souscripteur et l’assuré sont souvent une seule et même personne ; en revanche, le bénéficiaire est systématiquement un tiers. Ce chapitre récapitule des informations primordiales relatives à l’assurance non vie et à la réglementation. Celle-ci repose sur trois modalités étroitement complémentaires : une évaluation prudente des engagements des assureurs (provisions techniques), le contrôle des actifs admis en représentation de ces engagements et enfin les exigences de fonds propres suffisants. À cet égard, nous nous intéresserons plus particulièrement : • aux provisions, • aux placements, • à la marge de solvabilité, au bilan.

Chapitre 1 : Les provisions L’essentiel du passif d’une compagnie d’assurance est composé de provisions techniques et de réserves diverses. Nous passerons en revue la nature de ces postes du passif. Certaines des provisions présentées ci-après sont communes à l’assurance vie et l’assurance non vie (réserve de capitalisation, la provision pour égalisation, la provision pour risque d’exigibilité des engagements techniques), les autres étant plus spécifiques à l’assurance non vie.

1.1– LA RESERVE DE CAPITALISATION (R.331-3, R-331-6 ET R.331-1)

Destinée à parer à la dépréciation des valeurs comprises dans l’actif de l’entreprise et à la diminution de leur revenu, elle concerne les valeurs visées par le R332-19, à l’exception des obligations à taux variable. Elle doit permettre de maintenir le rendement actuariel des titres en portefeuille en dépit des opérations d’achat et de vente. Les plus-values réalisées lors de vente de titres régis par l’article R 332-19 doivent générer une dotation de réserve de capitalisation ; symétriquement, les moins values réalisées sur ces mêmes titres doivent générer une reprise sur la réserve de capitalisation, dans la limite du montant antérieurement constitué.


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1.2 –LA PROVISION POUR EGALISATION

Elle est destinée à équilibrer les résultats de certains risques où la probabilité de survenance d’un sinistre sur un exercice n’a pas de signification statistique et où il convient de constituer des réserves les années fastes pour faire face à des sinistres rares mais de montants élevés. La constitution des provisions pour égalisation obéit à des règles précises de nature fiscale. Comme il s’agit d’un bénéfice reporté, il y a nécessité de réintégration dans le résultat de la part non utilisée pour le paiement des sinistres au plus tard au bout de dix ans.

1.3-LA PROVISION POUR RISQUE D’EXIGIBILITE DES ENGAGEMENTS TECHNIQUES

Elle est égale à la différence constatée entre la valeur globale des placements en actions et immobiliers évaluée dans le bilan et selon le marché. Son utilité provient du besoin de réconciliation entre valeur de marché des placements et valeurs historiques figurant au bilan.

1.4-LA PROVISION MATHEMATIQUE DES RENTES

Elle représente à l’inventaire la valeur des rentes mises à la charge de la société.

1.5-LA PROVISION POUR PRIMES NON ACQUISES

Elle est destinée à constater, pour l’ensemble des contrats en cours, la part des primes émises et les primes restant à émettre se rapportant à la période comprise entre la date d’inventaire et la date de la prochaine échéance de prime ou, à défaut du terme du contrat. Elle correspond dans les faits à un partage mécanique des primes prorata temporis.

1.6- LA PROVISION POUR RISQUES EN COURS

Cette provision est destinée « à couvrir, pour l’ensemble des contrats en cours, la charge des sinistres et de frais afférents aux contrats, pour la période s’écoulant entre la date de l’inventaire et la date de la première échéance de prime pouvant donner lieu à révision de la prime par assureur ou, à défaut, entre la date de l’inventaire et le terme du contrat, pour la part de ce coût qui n’est pas couverte par la provision pour primes non acquises ».

1.7- LA PROVISION POUR SINISTRES A PAYER

C’est la valeur estimative en principal et en frais, tant internes qu’externes, nécessaire au règlement de tous les sinistres survenus et non payés, y compris les capitaux constitutifs de rentes non encore mis à la charge de l’entreprise. Cette provision doit comprendre : • Une provision pour sinistres inconnus ou déclarés tardivement (après la date d’inventaire). • Une provision de gestion, couvrant les frais futurs liés aux sinistres en suspens, y compris les frais internes comme les salaires versés aux personnes affectées au service sinistre.


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Elle est estimée dossier par dossier par le gestionnaire de sinistres. Le montant comptabilisé sur un dossier donné par le gestionnaire dépend : • Soit de sa connaissance et de son expérience du type de sinistre concerné (estimation forfaitaire « au nez »). • Soit d’un compte-rendu d’expertise. • Soit de l’application d’un coût moyen d’ouverture (quand il ne dispose pas d’éléments lui permettant d’estimer précieusement la charge du dossier, il utilise des indicateurs moyens calculés par l’actuaire). • Soit d’un calcul procédurier propre à la société (on rentre les paramètres du sinistre et le système sort un montant de PSAP à comptabiliser pour le sinistre concerné).

1.8- LA PROVISION POUR RISQUE CROISSANT

Cette provision est constituée pour les opérations d’assurance contre les risques d’invalidité-dépendance ; elle est égale à la différence des valeurs actuelles des engagements respectivement pris par l’assureur et par les assurés. Elle répond donc à la même définition que la provision mathématique en vie.

1.9- LA PROVISION POUR FRAIS D’ACQUISITION REPORTES

Cette provision est destinée à couvrir les charges résultantes du report des frais d’acquisition constatés en application de l’article R 332-35. Les frais d’acquisition à reporter sont inscrits à l’actif du bilan en fonction de la durée de vie résiduelle des contrats. Le montant des frais d’acquisition reporté est au plus égal à l’écart entre les montants des provisions mathématiques inscrites au passif et le montant des provisions mathématiques qui serait à inscrire si les chargements d’acquisition n’étaient pas pris en compte dans les engagements des assureurs. Les frais d’acquisitions reportés sont admis en représentation des provisions techniques.

Chapitre 2 : Les placements A l’actif d’une compagnie d’assurance, on retrouve les placements. En vue de protéger les intérêts des assurés, des bénéficiaires de contrats et des actionnaires, l’assureur est tenu de respecter les articles du Code des Assurances qui imposent des règles prudentielles. Le développement suivant rappelle quelques règles relatives aux placements que les sociétés d’assurances sont autorisées à effectuer en représentation de leurs engagements.

2.1- LISTE DES PLACEMENTS AUTORISES

Les actifs autorisés par l’article R332-2 du Code des Assurances sont les suivants : • Valeurs mobilières et titres assimilés :

obligations, titres participatifs, titres de créances négociables, actions, fonds communs de placement à risque, SICAV.


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• Actifs immobiliers :

droits réels immobiliers, parts ou actions des sociétés à objet strictement immobilier.

• Prêts et dépôts : prêts obtenus ou garantis par les Etats membres de l’O.C.D.E. prêts hypothécaires aux personnes physiques ou morales, autres prêts ou créances, dépôts.

Il est important de préciser que ces placements sont soumis à des limitations. Ainsi, le Code des Assurances dicte « Rapportée à la base de dispersion constituée par la différence entre le montant total des engagements réglementés mentionnés à l’article R. 331-1, toutes monnaies confondues, et le montant total des actifs mentionnés aux articles R. 332-3-4 à R. 332-10, toutes monnaies confondues, la valeur au bilan de chacune des catégories d’actif énumérées ci-après ne peut excéder » :

65% pour les actions, 40% pour les actifs immobiliers 10% pour les prêts, aucune proportion n’est mentionnée pour les obligations.

2.2- REGLES DE DISPERSION

D’autres précisions sont données quant aux règles de dispersion; le Code des Assurances précise que, rapportée au montant défini à l’article R. 332-3, la valeur au bilan des actifs mentionnés ci-après ne peut excéder :

5% pour l’ensemble des valeurs émises, dépôts placés, prêts obtenus ou garantis par un même organisme, 10% pour un même immeuble ou pour les parts ou actions d’une même société immobilière ou foncière 0,5% pour l’ensemble des actions non cotées et des fonds communs de placements à risque.

2.3- REGLES DE CONGRUENCE (R332-1 ET R332-1-1)

Les compagnies d’assurances peuvent prendre des engagements libellés dans différentes monnaies. À ce titre, elles doivent mettre en place une couverture par le biais d’actifs congruents. Le Code des Assurances ajoute néanmoins :

les entreprises d’assurances peuvent, à concurrence de 20% de leurs engagements, ne pas couvrir ceux-ci par des actifs congruents. C’est également le cas lorsqu’elles détiennent dans une monnaie des éléments d’actifs d’un montant ne dépassant pas 7% des éléments d’actifs existant dans l’ensemble des autres monnaies.

2.4- EVALUATION DES ELEMENTS D’ACTIFS

Les méthodes et principes d’évaluation des actifs sont précisés aux articles R332-19 et R332-20. Les valeurs amortissables, autres que les obligations indexées, les parts de fonds communs de créance et les titres participatifs sont inscrits à leur prix d’achats à la date d’acquisition. La différence entre le prix d’achats des titres et leur prix de remboursement est portée sur la durée de vie résiduelle des titres. Les autres placements sont retenus pour leur prix d’achats. Si la valeur de réalisation est inférieure à la valeur d’achat, une provision pour risque d’exigibilité est constituée.


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Chapitre 3 : La marge de solvabilité

3.1- PRESENTATION DE LA MARGE DE SOLVABILITE

Les réglementations prudentielles encadrent l’activité des assureurs pour garantir la sécurité des contrats. Il s’agit essentiellement de protéger les assurés contre le risque d’insolvabilité de leurs assureurs en exigeant de ces derniers qu’ils se plient à diverses exigences qui portent notamment sur le niveau de fonds propres dont ils doivent disposer. La réglementation européenne impose aux assureurs de détenir un montant minimal de fonds propres qui permet d’amortir les chocs affectant soit le rapport sinistres/primes, soit la rentabilité des placements. Ce montant minimal de fonds propres est appelé "marge de solvabilité". Il représente une garantie supplémentaire qui vient s’ajouter aux actifs détenus en contrepartie des provisions techniques. En assurance de dommages et de responsabilité, ce surplus minimal d’actifs est calculé en pourcentage des primes émises ou des sinistres. Par ailleurs, la réglementation en vigueur définit les fonds propres susceptibles d’être pris en compte dans le calcul de la marge de solvabilité. De plus, la marge de solvabilité ne peut tomber en dessous d’un certain montant absolu appelé "fonds minimal de garantie".

3.2- MODALITES DE CALCUL

Les législateurs imposent une capitalisation minimale fonction des primes et des sinistres appelés : a) Méthode sur les primes : 18% des primes brutes de réassurance reçues durant une année dans la limite des 10 premiers millions d’euros souscrits + 16% du montant au dessus de 10 millions d’euros. Exception en assurance santé : 6% jusqu’à 10 millions d’euros puis 5,33% au-delà. b) Méthode sur les sinistres : 26% de la moyenne de la charge de sinistre brutes de réassurance survenues dans l’année dans la limite de 7 millions d’euros + 23% de la moyenne de la charge de sinistre brutes de réassurance survenues dans l’année au delà de 7 millions d’euros. Exception en assurance santé : 8,67% jusqu’à 7 millions d’euros puis 7,67% au-delà. La moyenne de la charge sinistre est calculée sur les trois dernières années dans le cas général et sur les sept dernières années dans le cas particulier de l’assurance tempête, grêle ou gel. c) Montant de la MSR : MSR = % de rétention × Max {méthode sur les primes ; méthode sur les sinistres} La formule de la MSR retient un minimum de 50% pour le taux de rétention. La contrainte à respecter par les assureurs, à tout instant, peut s’exprimer de la manière suivante :

Richesse ≥ MSR Avec Richesse=Capitaux propres+Plus values latentes+Réserve de capitalisation


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3.3– AVANTAGES/ INCONVENIENTS DE LA MSR

Cette méthode : • prend en compte l’expérience individuelle de chaque société, • est simple à administrer. La méthode de calcul de la MSR présente les inconvénients suivants : • elle pénalise les sociétés qui ne sont pas insuffisamment provisionnées et\ou qui ne sous tarifient pas, • elle ne distingue pas les sociétés qui souscrivent des montants identiques pour des risques totalement différents, • elle n’offre pas de distinction assureur\réassureur, • elle prend comme hypothèse implicite que l’expérience passée est un bon guide pour estimer le futur, sans possible ajustement.


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Chapitre 4 : Bilan simplifié Du fait de l’inversion du cycle de production (l’entreprise d’assurance perçoit les primes avant de payer les prestations) et de la durée des engagements souscrits, les sociétés d’assurance doivent constituer des provisions techniques destinées à régler les sinistres futurs. Le montant de ces provisions est estimé par les actuaires notamment à partir des cadences de règlement observées en assurance dommage et de la mortalité en assurance vie. Le bilan recense la situation patrimoniale de la société d’assurance à une date donnée. Le tableau ci-dessous fournit l’architecture du bilan ainsi que les principales rubriques propres à l’assurance non vie et permet d’identifier les postes les plus importants du bilan. Le bilan d’une compagnie d’assurance se présente donc de la manière suivante :

• les placements : ils sont constitués de biens immobiliers, d’obligations, d’actions, des prêts, etc., • part des réassureurs dans les provisions techniques : c’est le deuxième poste le plus important, • créances et autres actifs : on y trouve diverses créances sur les assurés, intermédiaires de contrats, • les capitaux propres : ils se composent du capital social, des réserves, des résultats de l’exercice avant affectation, sans oublier la réserve de capitalisation, • les provisions techniques : elles représentent les engagements de la société d’assurance vis-à-vis des assurés et des bénéficiaires de contrat. La nature des différentes provisions a été précisée dans un chapitre précédent, • les autres postes du passif sont constitués de diverses dettes vis-à-vis des assurés, de l’Etat, des intermédiaires…


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Chapitre 5 : Spécificités d’un portefeuille de Responsabilité Civile1

5.1-L’ASSURANCE RC

« La responsabilité civile est la conséquence, soit de l'inexécution d'un contrat, soit d'un acte volontaire ou non, entraînant pour une personne qui est fautive ou qui est légalement présumée fautive, l'obligation de réparer le dommage subi par une ou plusieurs autres2. » 5.1.1-Garantie de base La garantie responsabilité civile couvre les dommages aux tiers : • causés par la faute du souscripteur, par imprudence ou par négligence, • commis par ses enfants, s'ils vivent sous son toit (les enfants majeurs vivant sous son toit sont en principe également couverts), • causés par les ascendants vivant sous le toit de l’assuré, • causés par les préposés (femme de ménage, jardinier, baby-sitter...), • causés par les animaux de l’assuré, • causés par les objets que possède le souscripteur, ou qu’il a emprunté ou loué, du fait du logement dont il est propriétaire, (par exemple du fait d'un défaut d'entretien ou d'un vice de construction, même si le logement est inoccupé ou loué).

5.1.2-Exclusion de garantie La garantie responsabilité civile ne couvre pas: • les dommages que l’asssuré cause à lui-même ou à ses proches, • les dommages que l’assuré cause intentionnellement à autrui, • les accidents subis par ses préposés dans l'exercice de leurs activités (qui dépendent du régime accident du travail), ses activités professionnelles (assurances spéciales).

5.2-SPECIFICITE D’UN PORTEFEUILLE RC

5.2.1-La tarification L’assurance de responsabilité civile est une branche de l’assurance non-vie difficile à caractériser de par la nature de son périmètre de garantie. En effet, contrairement aux assurances de dommages aux biens, le risque couvert n’est pas précisément quantifiable au moment de la souscription. Ceci pose des problèmes de tarification évidents : si l’assureur veut rester prudent, il doit prendre en compte un risque légèrement surévalué, au risque d’être moins compétitif. Une conséquence est qu’il n’existe, en responsabilité civile, aucune table de tarification; les primes d’assurance sont établies par expérience, en tenant compte de paramètres propres à la société comme le chiffre d’affaire, la sinistralité passée, la masse salariale, l’activité, l’environnement concurrentiel, etc. Le montant des primes que l’assureur demande à ses assurés est le fruit de l’expérience et de l’analyse des coûts moyens, des ratios des sinistres à primes et autres indicateurs techniques.

1 Par la suite nous utiliserons l’abréviation RC. 2 Code civil Article 1382


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5.2.2-La sinistralité En responsabilité civile, la rentabilité d’un contrat s’apprécie sur une longue période notamment à cause de l’importance, dans chaque contrat, du nombre de sinistres tardifs et du temps de traitement, au niveau juridique, que nécessitent certaines grosses affaires. Ainsi, il est courant que l’on ne puisse connaître la sinistralité concernant un exercice de survenance qu’au bout d’une dizaine d’années, voire plus. Des règles prudentielles édictées par le Code des assurances (art. R.331-6 et suivants) imposent aux sociétés d’assurance de prendre les devants en provisionnant un montant de charges probables à venir (provisions pour sinistres à payer, ou PSAP), estimé, d’une part, d’après le rapport d’expertise de chaque sinistre, pour la part des sinistres déclarés (ce qui constitue la provision dossier/dossier) et, d’autre part, d’après des observations du passé, à l’aide de méthodes statistiques, pour la part de sinistres tardifs (ce qui constitue la provision pour tardifs). En outre, un élément important provient de l’aléa que représentent les très gros sinistres et de leurs impacts sur la totalité du portefeuille. Dans ces conditions, il est relativement difficile pour une société de définir des règles précises de provisionnement. 5.3-CONTEXTE ET OBJECTIF DE L’ETUDE 5.3.1 Présentation du portefeuille Nous allons supposer que le portefeuille auquel nous nous intéressons est un portefeuille de RC, à garantie annuelle coïncidant avec l’année civile pour tous les assurés (nous supposerons de plus que toutes les primes sont versées et

comptabilisées en même temps au 1er

janvier de l’année civile). Le portefeuille est constitué de plusieurs catégories de risques correspondant aux différentes garanties du contrat d’assurance : risques corporels et matériels. Pour des raisons de clarté et de confidentialité, nous ne porterons notre étude que sur un des risques du portefeuille (une sous-catégorie du risque corporel). Le provisionnement des sinistres a été effectué suivant la méthode de Chain Ladder standard. Cette méthode pouvant faire l’objet d’un mémoire, nous ne l’aborderons pas ici. On considère donc que le provisionnement est correctement effectué. Nous disposons des données sur 10 ans, fournies par une société dont nous ne divulguerons pas le nom. Données :

Non

Cumulés0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1996 1 933 2 013 1 023 572 161 237 172 50 27 53 702

1997 2 215 2 368 733 570 258 93 116 80 108 94 -

1998 2 279 2 413 827 659 244 194 201 40 55 - -

1999 2 126 2 207 694 580 341 191 160 230 - - -

2000 1 746 1 982 699 251 188 86 417 - - - -

2001 1 956 2 089 661 431 167 201 - - - - -

2002 1 910 2 774 1 013 511 342 - - - - - -

2003 2 267 2 708 894 393 - - - - - - -

2004 2 413 2 201 928 - - - - - - - -

2005 2 690 2 066 - - - - - - - - -

2006 2 739 - - - - - - - - - -


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Le bilan suivant est également fourni par la société (les chiffres sont également transformés) pour conserver l’anonymat : Bilan résumé Actif Passif Réassureurs 2 608 30 165 Fonds propres Placements 58 436 31 460 Provisions

Placements contrats en UC 0 0 Provisions UC Autres actifs 8 602 8 021 Autres passifs Total 69 647 69 647 Total Provisions techniques actualisées (au taux de 3%):

- Provisions techniques années t PT 2007 1 5 963 2008 2 3 304 2009 3 2 313 2010 4 1 611 2011 5 1 383 2012 6 1 353 2013 7 1 089 2014 8 951 2015 9 901 2016 10 954

La somme des flux futurs est le « Best Estimate », ici 19 821K€. Évolution du Best Estimate au cours du temps :


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PARTIE II

CARACTÉRISTIQUES DU PROJET SOLVABILITÉ 2


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Chapitre 1 : Les principales caractéristiques du projet Solvabilité 2

1.1- LES ACTEURS IMPLIQUÉS (ACAM, CEIOPS)

La directive Européenne cadre en matière d’assurance « Solvabilité 2 » dont les effets sont présentés comme pouvant à terme remodeler en profondeur le contexte de l’exercice de l’activité d’assurance doit entrer en vigueur en 2009. Le Comité Européen des Contrôleurs des Assurances et des Pensions professionnelles, CEIOPS, dont l’ACAM fait partie, est régulièrement consulté par la commission pour lui apporter avis et éclairages durant la phase de préparation de cette directive. Le CEIOPS a ainsi été mandaté pour faire des études quantitatives d’impact (QIS) auprès des compagnies d’assurance et des mutuelles.

1.2- BUT DE SOLVABILLITÉ 2

Le principal but de solvabilité 2 est d’arriver à un bilan plus sécurisant. Ce projet permet en effet d’assurer une probabilité de ruine inférieure à 0.5%.

P( Résultat ≤ Capitaux propres ) ≤ 0.5%


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Si les résultats sont équilibrés et pour un capital identique, plus les résultats sont concentrés, plus la probabilité d’enregistrer une situation de ruine est faible. D’un point de vue quantitatif, la mesure des risques est au centre de Solvabilité 2 avec les outils que sont la VaR et la TVaR (VaR conditionnelle).

Emploi de la VaR (Value at Risk) :

Dans la VaR, on s’intéresse au niveau de la perte estimée due aux risques de marché, pour un horizon temporel fixé avec une probabilité de réalisation fixée à un niveau « très petit » et compatible avec la prise de risque envisagée par l’institution financière. Définition :

Soit un actif financier dont l’évolution sur l’intervalle de temps[ ]0, , 0T T > est

représentée par le processus stochastique ( )( ),0S S t t T= ! ! défini sur un espace

probabilisé convenable. En t=0, nous observons la valeur de cet actif sur le marché : 0(0)S S= ,

0S étant

connu. Sur un horizon de longueur T, par exemple le jour, le mois ou une année, la perte éventuelle de l’actif vaut : 0 ( )S S T! , ou S(T) est la valeur future de l’actif en T et

donc inconnue car aléatoire. Il y a perte si cette quantité est négative, autrement l’actif est bonifié. On cherche donc, pour limiter la perte, un nombre appelé « Value at Risk » tel que avec la probabilité « ! »proche de 1, la perte observée soit inférieure à ce nombre.

Ainsi on a la relation suivante : [ ](0) ( )P S S T VaR! !" # =

La VaR dépend aussi de l’horizon de temps T sur lequel on la calcule ; en fait, la valeur de la VaR est donc un quantile de la distribution de S(0)-S(T).

La TVaR indique l’ampleur moyenne de la ruine si le seuil de la VaR est dépassé.


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Chapitre 2: Les 3 piliers du projet Solvabilité 2 Rappels des principales caractéristiques de Solvabilité 1

ACTIF

PASSIF CAPITAUX PROPRES

ACTIFS

PROVISIONS

La comptabilisation des provisions se fait en valeur comptable

2.1-LE PILIER 1 DE SOLVABILITÉ 2: ASPECTS QUANTITATIFS

Le pilier 1 vise à harmoniser les méthodes de calcul des provisions techniques et à ajuster le capital nécessaire aux risques réellement pris. Les sociétés d’assurance vont ainsi être soumises à des exigences particulières qui porteront sur deux niveaux :

-Les provisions techniques,

-Le capital cible (SCR).

Il s’agit donc de déterminer, pour chaque branche, un niveau de provisions techniques qui intègre la dangerosité du risque apprécié par une mesure de risque. Il faut également déterminer un niveau de « capital cible » qui contrôle, avec une forte probabilité, tous les risques supportés par la société sur un horizon fixé.

2.2-LE PILIER 2 DE SOLVABILITE 2: ACTIVITES DE CONTROLE Contrôles internes -L’entreprise doit être correctement gouvernée, c’est-à-dire : des dirigeants honnêtes et capables de rendre des comptes, ainsi qu’impliqués dans la gestion des risques.

-L’entreprise contrôle et gère ses risques : elle a une politique de la gestion du risque, elle mesure et contrôle des expositions aux risques, et s’adapte si son profil de risque évolue.

-L’entreprise modélise correctement l’exhaustivité de ses risques, et adapte ses modèles régulièrement.


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Contrôles externes Les superviseurs doivent coopérer plus entre eux, chercher une convergence des pratiques et être plus transparents. Il est prévu pour cela une harmonisation des processus de contrôle.

Des pouvoirs nouveaux sont attribués au contrôle externe, en particulier, la possibilité de vérifier et ajuster des modèles internes, la vérification des systèmes de gestion du risque et enfin, la possibilité d’exiger un supplément de capital.

2.3-LE PILIER 3 DE SOLVABILITÉ 2: L’INFORMATION

Le pilier 3 vise l’harmonisation de la communication financière qui doit être fournie par les entreprises d’assurance :

-information publique pour renforcer la discipline de marché,

-coordination des dossiers annuels prudentiels,

-règles d’information des assurés.

Les dispositions devraient permettre de créer une cohérence parmi les différents rapports produits et de réduire la charge de travail administrative.


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Chapitre 3:Le QIS 33 (QUANTITATIVE IMPACT STUDIES) 3.1-PRÉSENTATION GÉNÉRALE DU QUESTIONNAIRE

Le questionnaire se présente sous la forme d’un classeur Excel, dans lequel les sociétés interrogées complètent certains onglets. Dans ces onglets, chaque poste est détaillé. Ainsi, il existe un onglet pour la santé, un pour les dommages corporels, un pour la RC automobile,etc. L’objectif est d’obtenir le bilan ci-dessous :

3.2-LES PROVISIONS TECHNIQUES:

Les risques couvrables ou « hedgeable risks »: ce sont les éléments de passif qui peuvent être parfaitement couverts et répliqués sur un marché suffisamment actif, liquide et transparent. On a alors un cours parfaitement observable.

Les risques non couvrables ou « non-hedgeable risks »: ce sont les éléments de passif qui ne sont pas couvrables, le but est de trouver un moyen de les chiffrer le plus précisément possible. Le QIS3 propose de le faire en calculant la somme d’un « Best Estimate » et d’un « Risk Margin ».

Le MCR: Minimum Capital Requirement ou niveau de capital minimum. C’est le niveau seuil en dessous duquel une intervention prudentielle de dernier ressort serait inéluctable.

3 Le travail effectué par la suite dans ce mémoire, l’a été avec l’aide du QIS3. Mais il faut noter que le QIS4 est sorti début 2008.


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Le SCR: Solvency Capital Requirement ou niveau de capital souhaitable. C’est le niveau de fonds propres souhaitable économiquement, c’est-à-dire le niveau de fonds propres dont la société a besoin pour fonctionner avec un faible niveau de faillite. 3.3-LE « BEST ESTIMATE »

Le « Best estimate » doit être évalué à partir de 2 méthodes différentes (qui reposent sur des hypothèses différentes), qui doivent être considérées comme fiables et pertinentes, calculant la valeur actuelle des flux futurs.

Dans l’évaluation du « Best Estimate », il faut prendre en compte: -l’escompte -les dépenses: les futurs frais de gestion, d’acquisition, frais administratifs (avec hypothèse d’accroissement des frais), rachats,… -les taxes -la Réassurance: en fait le calcul du « Best Estimate » se fait en brut et en net de réassurance -les futures primes des contrats existants (mais pas celles de futurs contrats)

3.4-CALCUL DE LA MARGE DE RISQUE

Pour le calcul de la marge de risque, la méthode du coût du capital a été retenue. cette méthode est directement inspirée de notion de coût d'immobilisation des capitaux propres utilisée dans les calculs d'embedded value : de manière très synthétique, il s'agit de mesurer le coût d'opportunité consenti par un investisseur en immobilisant des capitaux propres afin de pouvoir exercer l'activité d'assurance. Cette approche pose le principe de définir la marge de prudence comme étant le complément de dette nécessaire pour qu'un investisseur accepte de reprendre un portefeuille de contrats sans que l'immobilisation de fonds propres complémentaires ne lui génère un coût supplémentaire. Un portefeuille d'assurance ainsi provisionnée pourrait donc être cédé dans des conditions garantissant à l'acquéreur une rémunération des capitaux qu'il devra lui-même immobiliser afin de poursuivre la gestion de ce portefeuille d'assurance.

Les étapes du calcul de la marge de risque dans le cadre de la méthodologie du coût

du capital peut être résumé comme suit:

• Déterminer le SCR pour les années 1, 2, … jusqu’à la liquidation de sinistres du portefeuille. Le SCR projeté pour les années 1, 2, doit être basé sur le calcul du SCR de la formule standard mais il ne doit cependant prendre en compte que certains risques:

Pour les futurs SCR à l’année 1: risques de crédit et risques de marché.

Pour les futurs SCR à l’année 2 et >2, on se limite au risque de souscription, au risque opérationnel, au risque de crédit, et de réassurance.

• Multiplier chacun des futurs SCR par le facteur de coût de capital (par exemple 6% au dessus du taux d’intérêt sans risque) pour obtenir le coût de détention des futurs SCR.

• Escompter chacun des montants calculés au cours de l'étape précédente à l'aide de la courbe de rendement sans risque en t=0. La somme des valeurs escomptées correspond à la marge de risque à rattacher à l’hypothèse la plus probable des passifs concernés en t=0.


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3.5-LE CAPITAL SOUHAITE « SCR » : FORMULE STANDARD

Cette formule standard est la version QIS3, dans la version QIS4 un module :Mktconc = Capital charge for risk concentrations est relié aux modules Mktint,Mkteq,Mktsp

Le capital souhaité « SCR » : Remarques importantes sur les risques de souscription :

Le principal objectif du SCR est d’estimer le risque encouru.

En assurance non vie, le SCR va refléter la volatilité du ratio sinistre à prime sur les années passées.

En assurance santé, la volatilité du portefeuille va aussi engendrer un SCR important.

En assurance vie, l’approche est un peu différente. En effet, des scénarios sont testés sur la tendance du portefeuille. Par exemple, pour le module Life

mort

(mortalité) on fait subir au portefeuille concerné un choc de mortalité de +10%.

Pour rallier tous les modules entre eux des matrices de corrélation sont données par le CEIOPS.

Le capital souhaité « SCR » : Remarques importantes sur les risques de marché :

L’objectif d’évaluation du risque reste le même pour le module de marché.

Quelques exemples d’évaluation:

Pour évaluer le module Mktint

sur le risque de taux, des scénarios de hausse et baisse

des taux sont appliqués. Pour évaluer le module Mkt

eq sur le risque d’action et Mkt

prop sur le risque immobilier,

des scénarios de baisse du cours des actions et de l’immobilier sont effectués. Le principe est donc d’estimer tous les risques encourus par le portefeuille d’actif puis de le regrouper en utilisant la matrice de corrélation.


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Le capital souhaité « SCR » : Remarques importantes sur le risque de défaut de la contrepartie :

Le fait d’être réassurer est un risque qui doit aussi être pris en compte. En effet, si le réassureur fait défaut, c’est un coût pour l’assurance. Pour évaluer ce risque, le CEIOPS se base sur le « rating » du réassureur et sur son coût de remplacement. Plus le rating est faible plus le risque est important et plus le module SCR

def va augmenter.

Le capital souhaité « SCR » : modèles internes :

Le CEIOPS encourage les sociétés qui possèdent un modèle interne à leur en faire part, en précisant bien les hypothèses utilisées et les étapes de calcul. Mais ils doivent tout de même utiliser la formule standard.

3.6-LE CAPITAL MINIMUM « MCR » : APPROCHES TESTEES

RPS : Réduction pour participation aux bénéfices (Reduction for profit sharing)

AMCR : Capital minimum requis absolu (Absolute minimum capital requirement)

Special : risque de souscription santé Exemple d’application Non-Vie : Bilan résumé - Solvabilité I

Actif Passif Solvabilité actuelle

Réassureurs 11 2 608 30 165 Fonds propres Exigence de marge 6 384

Placements (détaillés ci-après)12 58 436 31 460 Provisions Eléments éligibles 45 248

Placements contrats en UC 13 0 0 Provisions UC Fond min. de garantie 2 128

Autres actifs 14 8 602 8 021 Autres passifs

Total 15 69 647 69 647 Total

Bilan résumé - Principes QIS3 Actif net

Actif Passif (NAV)

Réassureurs 21 0 41 640 Fonds propres 41 640

22 1 100 Marge pour risques

Placements (détaillés ci-après)23 60 930 17 155 Provisions Solvabilité QIS3

Placements contrats en UC 24 0 0 Provisions UC SCR 13 060

Autres actifs 25 7 578 8 613 Autres passifs Eléments éligibles 41 640

Total 26 68 508 68 508 Total


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Market Default Underwriting risks Aggregation BSCR SCRop SCR

risk LD risk Life Health Non-Life I.3.26 LD LD

Basic SCR and SCR calculation 01 1 597 29 0 0 12 439 12 998 12 998 1 416 13 060

correlation with SCRmkt 100% 25% 25% 25% 25% Future disc

correlation with SCRdef 25% 100% 25% 25% 50% benefits

correlation with SCRlife 02 25% 25% 100% 25% 0% 0

correlation with SCRhealth 25% 25% 25% 100% 0% BSCR

correlation with SCRnl 25% 50% 0% 0% 100% reduction

Mitigating effect of FPS (KC) 03 0 0 0 0 0 Le calcul du SCR global se fait grâce à une matrice de corrélation illustré ci-dessus.

Le calcul est le suivant : ,. .

r c r c

rxc

SCR CorrSCR SCR SCR= !


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PARTIE III

ALLOCATION D’ACTIFS : LA THÉORIE DE MARKOWITZ


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Préambule sur les entreprises d’assurance, leurs allocations et leurs objectifs La gestion des actifs d’une entreprise d’assurance est un exercice délicat dans la mesure où le gestionnaire doit s’assurer à tout moment que les actifs en portefeuille sont les meilleurs, non seulement en terme de couple rentabilité/risque mais également au regard des engagements souscrits par l’entreprise et des contraintes comptables et réglementaires. Les engagements pris par les entreprises d’assurance peuvent varier sensiblement d’une entreprise à l’autre. Ainsi, par exemple, une mutuelle spécialisée dans la couverture du risque santé percevra des cotisations pour rembourser des sinistres sur 18 mois environ. À l’opposé, un « fonds de pension » percevra des cotisations qui serviront à payer des rentes plusieurs dizaines d’années plus tard. Dans le second cas, la performance de la gestion financière sera prépondérante. Les risques seront également plus importants dans ce cas, surtout si l’assureur a escompté dans sa tarification une performance minimale élevée des actifs financiers. La recherche de l’allocation d’actifs au sein d’une entreprise d’assurance passe donc avant tout par l’analyse exhaustive des engagements contractés. On distingue généralement deux sortes de gestions d’actifs : la gestion tactique et la gestion stratégique. La gestion tactique est une gestion à court terme (entre 1 et 3 mois) visant à profiter des opportunités du marché et donc à réaliser rapidement des plus-values intéressantes. Par opposition, la gestion stratégique est une gestion à moyen long terme. Elle va définir la politique financière de long terme de la société et sera conduite, en moyenne, sur la durée de vie des engagements (en pratique, le gestionnaire n’est pas statique à long terme, il ajustera sa politique en fonction des marchés et en fonction de l’évolution du passif de la société). Dans une première partie, nous utiliserons la méthode mise en place par Markowitz (théorie moderne du portefeuille). Les valeurs des actifs (moyenne et variance) sont décrites par des variables aléatoires. La structure du portefeuille est optimisée de telle manière que les aléas sur la rentabilité soient rémunérés par la rentabilité la plus élevée possible. Dans la deuxième partie de notre mémoire, nous rechercherons l’allocation d’actifs optimale de notre portefeuille en utilisant des simulations stochastiques de flux financiers. Nous nous appuierons sur la théorie de construction de modèles DFA pour créer un outil de gestion actif/passif (ce modèle n’a pas la prétention d’être un outil DFA, mais de s’en inspirer).


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Chapitre 1 :Composantes de l’actif et modélisation Dans le but de réaliser une allocation stratégique de notre portefeuille, nous commençons par modéliser les classes d’actifs. Nous ne présentons ici la démarche que pour une classe d’actifs ; elle est ensuite la même pour toutes.

1.1-MODÉLISATION DES CLASSES D’ACTIFS

Nature des classes et diversification Les classes d’actifs envisagées doivent être relativement homogènes ; il serait totalement incohérent de construire des classes contenant des actions et des obligations, qui ne sont pas du tout sensibles aux mêmes facteurs de risques ; en effet, les caractéristiques de la classe ne rendraient pas bien compte de sa nature et de son contenu. Une première étape consiste donc à choisir le type de classe qui va être utilisé. Cette étape est importante du fait de l’intérêt de la diversification du portefeuille. En effet, on démontre que, pour une espérance de rentabilité donnée, un portefeuille diversifié est moins risqué qu’un portefeuille ne contenant qu’un actif. Les effets de la diversification sont le « résultat » des liens qui existent entre les différents actifs. Ces liens sont résumés dans le coefficient de corrélation (coefficient noté ! par la suite).

Nous allons montrer l’incidence du coefficient de corrélation sur un portefeuille composé de deux actifs, A et B, grâce aux exemples suivants. a) ! =1

Lorsque les deux actifs sont parfaitement corrélés, il n’y a aucune diversification.

b) ! =-1

Les effets de la diversification apparaissent clairement sur cette figure. Lorsqu’à partir du point 1 (portefeuille constitué uniquement de A), on se déplace vers le point 3 (on diminue le poids A et on augmente celui de B), on voit la rentabilité du portefeuille augmenter cependant que le risque diminue. Ce résultat est dû à la corrélation négative entre A et B. Le point 3 correspond à un portefeuille sans risque (poids identique de A et de B dans le portefeuille. Au-delà du point 3, il faut accepter plus de risque pour voir la rentabilité augmenter).


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c) -1< ! <1

Les effets de la diversification sont moindres par rapport au cas précédent, mais ils existent tout de même. D’une manière générale, les effets de la diversification sont d’autant plus forts que le coefficient de corrélation est proche de -1.


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1.2-HYPOTHÈSE UTILISÉE ET JUSTIFICATION

La principale hypothèse utilisée est la suivante : « le rendement des actifs est modélisé par une variable aléatoire gaussienne ». Cette hypothèse est communément utilisée et, d’après le théorème central-limite, ne semble pas absurde a priori. Cependant, il convient de la vérifier. Afin d’effectuer une vérification, nous utilisons un historique4 des cours d’un indice action (la même chose a été faite pour le rendement d’une obligation ; les programmes tapés sous R figurent en annexe). La durée des historiques est de trois mois. (Nous avons calculé le rendement journalier de chaque actif pendant trois mois.) En utilisant le logiciel libre R, nous pouvons tracer l’histogramme des rendements d’une action:

4 Données provenant de www.boursorama.com. Les rendements d’indices sont journaliers (MSCI Euro, MSCI Pan-Euro, etc)


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Toujours avec R, nous pouvons calculer les statistiques descriptives : N Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. Var Ecart 50 -5.6000 -0.6050 0.7750 0.8574 2.5830 6.2000 6.5095 2.5513 L’histogramme semble être celui d’une loi normale. Pour le vérifier, nous pouvons tracer le graphique suivant : Le graphique (QQ-plot) permet de vérifier l’hypothèse de normalité des résidus : si les points sont peu ou prou alignés en se confondant avec la première bissectrice des axes, on peut dire que les résidus suivent une loi normale.


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Enfin, pour confirmer cette hypothèse, appliquons le test de Kolmogorov-Smirnov(implanté dans R) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: rendements D = 0.0529, p-value = 0.99 Le test de Kolmogorov-Smirnov (table fournie en annexe) donne : D = 0,0529.

Pour la loi normale et au seuil α = 1%, pour n=50, la région de rejet est 1,6276

nD

n

> ,

c’est à dire, nD >0,1485.

Ainsi, D <

nD ; nous acceptons donc l’hypothèse de normalité du rendement de

l’indice action. À partir des paramètres estimés dans le chapitre précédent et en faisant l’hypothèse de normalité de la performance du portefeuille, nous pouvons estimer les rendements futurs de ce portefeuille. Les résultats concernant l’obligation sont tout aussi bons ; nous avons donc accepté l’hypothèse que le rendement des actifs sera modélisé par une variable aléatoire gaussienne. Le rendement des actifs sera modélisé par une variable aléatoire gaussienne d’espérance, la moyenne empirique, et d’écart type, l’écart type empirique. Modélisation On commence par construire l’historique du rendement de chaque classe d’actifs. Si ( )iR t est le rendement de l’actif i à la date t et

ip sa proportion dans le portefeuille,

alors le rendement de la classe est :

( ) *i i

i

RC t p R=!

Chaque classe étant constituée d’actifs dont le rendement est modélisé par un vecteur aléatoire gaussien, le rendement de la classe l’est aussi. L’espérance de rendement et la variance de la classe sont :

( ) * ( )i i

i

E RC p E R=!

2( ) * ( )i i

i

Var RC p Var R=!

où ( )i

E R et ( )i

Var R sont estimés par la moyenne et le variance empirique.

La matrice des corrélations : La diversification du portefeuille est très importante en ce qui concerne le couple Rentabilité-Risque. Les effets de la diversification sont le résultat des interactions qui existent entre les différentes classes d’actifs ; ces interactions sont mesurées par les coefficient de corrélation. Il faut donc déterminer la matrice de corrélation des actifs du portefeuille.


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Le coefficient de corrélation entre les classes d’actifs i et j est :

,

( ; )i j

i j

i j

Cov R R!

" "=

où

i! et j

! sont respectivement les écarts types du rendement de la classe i et de la

classe j, et ( ; )i jCov R R , la covariance entre les rendements des classes i et j.

Le portefeuille est maintenant totalement décrit. 1.3-UN MODELE DE BASE DE GESTION ACTIF/PASSIF 1.3.1-Le modèle de Markowitz (à deux actifs) Le modèle de Markowitz est un modèle souvent utilisé dans la gestion actif-passif mais il a des limites. • Présentation du modèle

Le modèle de Markowitz développé en 1952 a constitué le fondement de la théorie moderne de la gestion de portefeuille. Harry Markowitz a en effet été le premier à distinguer le risque du rendement et à pouvoir leur donner une mesure : l'espérance de rentabilité pour le rendement et sa variance pour le risque encouru. Selon cette approche "moyenne-variance", un gestionnaire constituera son portefeuille en fonction de ses prévisions sur les espérances, les variances et les covariances des titres du marché. Cette approche suppose aussi que l'investisseur a une fonction d'utilité quadratique. Une fois ces paramètres estimés, la résolution du problème d'optimisation "minimiser la variance du portefeuille pour une espérance de rentabilité donnée" fournit la composition du portefeuille "efficient" et décide donc de la politique de diversification du gestionnaire. La représentation des portefeuilles efficients dans le plan (E,! )porte le nom de "frontière efficiente". Si l'on suppose le marché constitué par n actifs risqués, on montre, que la frontière efficiente est une parabole. Si l'on suppose en plus qu'il existe un actif sans risque alors la frontière efficiente devient une demi-droite. Dans le modèle que nous allons utiliser, nous prendrons dans un premier temps un marché formé de deux actifs risqués :une action et une obligation. Cette donnée simplifie énormément les calculs car nous verrons que la recherche de l'équation de la frontière efficiente et des portefeuilles optimaux ne nécessite plus l'utilisation des multiplicateurs de Lagrange et l'inversion de la matrice de variances/covariances, comme c'est le cas lorsqu'il y a plus de 2 actifs risqués. • Notations et hypothèses du modèle

( )

AR t : variable aléatoire "taux de rendement continu annualisé obtenu par l'action

sur t années", de moyenne ( )AE t , et de variance ( )

AV t .

( )OR t : variable aléatoire "taux de rendement continu annualisé obtenu par

l’obligation sur t années", de moyenne ( )OE t , de variance ( )

OV t .

,A iR : variable aléatoire "taux de rendement continu de l'action sur l’année i", de

moyenne a

µ , et de variance 2

A! .

,O iR : variable aléatoire "taux de rendement continu de l'obligation sur l’année i",

de moyenne oµ , et de variance 2

O! .


- 40-

Nous faisons l’hypothèse suivante : Les réalisations de chacun des paramètres de la simulation sont générés aléatoirement et distribuées selon une loi Normale ou Lognormale de moyenne m et d’écart type ! . Des études empiriques ont montré que la distribution des rendements des actifs financiers a une forme dite « leptocurtique », (c’est à dire avec un plus grand nombre d’observations extrêmes qu’une loi gaussienne) et cela d’autant plus que la fréquence des données est importante. S’agissant ici de données annuelles, le phénomène de «leptokurtose » intervient peu. Donc :

,A iR :suit une loi 2( , )

A AN µ !

,O iR : suit une loi 2( , )

O ON µ !

Comme par définition, la valeur acquise par l'action au bout de t années vaut

( )

0A

tR t

tS S e= et que cette valeur

tS vaut également

,

0

0

t

A i

i

R

S e =

!on déduit que :

,

0( )

t

A i

i

A

R

R tt

==!

D'où : ( )AR t suit une loi

2

( , )AA

Nt

!µ

et on montre de même que : ( )OR t suit une loi

2

( , )OO

Nt

!µ

Il apparaît clairement que plus la durée sur laquelle on annualise le rendement est longue, plus la volatilité du rendement est réduite : sur le long terme, on est presque certain de réaliser le taux de rendement moyen. • Equation de la frontière efficiente

En fixant x comme étant la part du portefeuille investie dans l'action, la proportion investie dans l'obligation sera égale à (1- x). Les achats et ventes à découvert sont interdits. Nous pouvons calculer simplement la moyenne et la variance de notre portefeuille de la façon suivante :

( ) ( ( )) ( ( )) (1 ) ( ( )) ( ) (1 ) ( )p p A O A OE t E R t xE R t x E R t xE t x E t= = + ! = + !

2 2( ) ( ( )) ( ( )) (1 ) ( ( )) 2 (1 ) ( ( ), ( ))

p p A O A OV t Var R t x Var R t x Var R t x x Cov R t R t= = + ! + !

2 2( ) (1 ) ( ) 2 (1 ) ( ( ), ( ))A O A O

x V t x V t x x Cov R t R t= + ! + !

Avec la première équation, nous pouvons exprimer x à partir de ( )pE t , ( )

AE t , ( )

OE t :

( ( ) ( )) /( ( ) ( ))p O A O

x E t E t E t E t= ! !

Puis en substituant dans l’expression de ( )pV t , on obtient une relation entre

l’espérance de la variance des portefeuilles :

2( ) ( )p pV t t!=

2 2[( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( )p O A A p OE t E t V t E t E t V t= ! + !


- 41-

22( ( ) ( ))( ( ) ( )) ( ( ), ( ))] /( ( ) ( ))p O A p A O A OE t E t E t E t Cov R t R t E t E t+ ! ! !

Le lieu géométrique des couples (moyenne, variance) représentant chacun un portefeuille donné est donc une parabole. En effet, à un point de la courbe, correspond une seule valeur de ( )

pE t et ( )

pV t donc de x.

D’un point de vue économique, seule la partie supérieure de la parabole constituera la frontière efficiente car ses portefeuilles « domineront » ceux de la partie inférieure : ils auront une meilleure espérance de rentabilité pour un niveau de risque identique. En d'autres termes, tout le monde va chercher à détenir une certaine quantité d'actif hors risque et une certaine quantité du portefeuille de marché en fonction de l'attitude face au risque propre à chaque investisseur.

- l'investisseur très averse au risque investira toute sa fortune dans l'actif hors risque (A) -d'autres désireux de supporter certains risques investiront une partie de leur fortune dans l'actif hors risque et l'autre dans l'actif risqué (B) -d'autres, qui sont prêts à assumer plus de risque, investiront toute leur fortune dans l'actif risqué (C) -enfin, ceux qui veulent encore plus de risque, emprunteront pour investir plus que leur fortune dans l'actif risqué (D)

Notons que le portefeuille de marché est le portefeuille qui contient tous les actifs risqués dans les proportions de leurs capitalisations boursières. Illustrons cette notion à l’aide d’un exemple simple : Soit un portefeuille à deux actifs dont les rendements et les volatilités sont les suivants : ( )

aE R = 25% ( )

aV R =15% ( )

oE R =15% ( )

oV R =6%


- 42-

Avec un taux de rendement technique minimum de 3% et un coefficient de corrélation de 0,4, nous obtenons le résultat suivant :

Frontière efficiente

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,200 0,250 0,300 0,350 0,400

Ecart-type

Esp

éran

cee


- 43-

1.3.2-Modèle à deux actifs avec introduction de nouvelles contraintes Le modèle de Markowitz présente néanmoins quelques inconvénients majeurs qui l'empêche d'être utilisable sur un horizon de placement supérieur à 1 an : il pourra par exemple donner l'allocation qui au bout de 10 ans donnera le meilleur rendement avec le risque que certaines années le rendement soit négatif. Il est donc nécessaire d'intégrer des contraintes supplémentaires dans le modèle. Nous introduisons deux types de contrainte : - Une contrainte sur la rentabilité du portefeuille - Une contrainte sur la composition du portefeuille • Contrainte sur la rentabilité du portefeuille

Il s'agit ici de fixer un taux de rentabilité minimum pour le portefeuille. Les rendements des actifs étant aléatoires, il n’est donc pas possible d’atteindre un taux minimum dans 100% des cas simulés. Notre objectif est d’atteindre un taux minimum noté r(t) avec un seuil de risque maximum! fixé. Cette contrainte s’écrit ainsi :

([ ( ) ( )])p

P R t r t !< "

Ce qui revient à écrire

( ) ( ) ( ) ( )([ ])

( ) ( )

p p p

p p

R t E t r t E tP

t t!

" "

# #< $

Ainsi, nous obtenons l’inégalité suivante : ( ) * ( ) ( )p pE t u t r t! "# $ + où u! est le quantile d’ordre! de la loi normale centrée

réduite. Nous définissons (D) : droite d’équation ( ) * ( ) ( )

p pE t u t r t! "= # +

et (P) : demi-plan d’équation ( ) * ( ) ( )p pE t u t r t! "# $ +

On peut supposer u! < 0 car le risque sera petit (donc inférieur à 0,5 risque ! pour

lequel u! = 0) donc la droite (D) est de pente strictement positive.

Par définition, le demi-plan (P) représente l’ensemble des points satisfaisant la contrainte de rentabilité alors que la droite (D) représente l’ensemble des points pour lesquels la contrainte de rentabilité est satisfaite et où la probabilité de ne pas atteindre le taux de rendement minimum est exactement égale au niveau de risque choisi. On choisira donc les portefeuilles efficients de (D) s’il en existe, ceux de (P) sinon. S’il n’existe pas de portefeuille efficient dans le demi-plan (P), alors on choisit arbitrairement de tout investir dans l’actif le moins risqué. L'ensemble des points d'intersection est non vide : S'il y a un unique point d'intersection, ce point permet alors de déduire l'allocation optimale. S'il y a deux points d'intersection, on choisit celui des deux qui représente le rendement du portefeuille le plus élevé. En effet, même si celui-ci présente une plus grande volatilité, il satisfait quand même la contrainte de rentabilité. En fait, on cherche en priorité à maximiser le taux de rendement.


- 44-

L'ensemble des points d'intersection est vide : Parmi les points d'intersection de la courbe avec les contraintes d'extréma, on choisit le point qui a une espérance de rendement maximum. Nous pouvons représenter les 3 situations précédentes dans le plan (E,! ) avec les schémas suivants :

• Contraintes sur la composition du portefeuille

L'objectif de ces contraintes est d'obtenir un portefeuille "équilibré" en définissant des proportions maximales et minimales pour les actifs dans lesquels on investit. Ces proportions peuvent être définies par la réglementation prudentielle. Nous avons déjàvu le cas où aucune vente ou achat de titres à découvert n’avaient lieu, c’est à dire que 0 < x < 1. (et donc 0<1-x<1) Si nous notons :

Part maximale investie dans l’action :max

Ax

Part maximale investie dans l’obligation :max

Ox

Part minimale investie dans l’action :min

Ax

Part minimale investie dans l’obligation :min

Ox

Nous avons donc :

min

Ax <x<

max

Ax

min

Ox <1-x<

max

Ox

D’où les contraintes sur x :

minx <x<

maxx avec

minx =Max(

min

Ax ;1-

max

Ox ) ;

minx =Max(

max

Ax ;1-

min

Ox )

Graphiquement, cette contrainte revient à ne garder qu’une portion de la frontière efficiente. Cela s’explique par le fait qu’on puisse déduire de ces contraintes sur x, de nouvelles contraintes sur ( )

pE t et ( )

pV t . Trois cas sont alors envisageables.

La droite (D) traverse la frontière efficiente (arc supérieur de la parabole) en deux points qui appartiennent à la portion de l’arc définie par la contrainte sur la composition du portefeuille. L’allocation optimale correspond au portefeuille apportant le meilleur taux de rendement entre les deux portefeuilles. -La droite (D) et la portion de la frontière efficiente définie par la contrainte sur la composition du portefeuille n’ont qu’un seul point d’intersection. Ce point définit l’allocation optimale. -La droite (D) et la portion de la frontière efficiente définie par la contrainte sur la composition du portefeuille n’ont aucun point commun. L’allocation optimale est le portefeuille de la portion donnant la meilleure espérance de rendement.


- 45-

1.3.3-Application du modèle de Markowitz à deux actifs, à notre portefeuille :

Rappel : Provisions techniques

année t PT 2007 1 5 963 2008 2 3 304 2009 3 2 313 2010 4 1 611 2011 5 1 383 2012 6 1 353 2013 7 1 089 2014 8 951 2015 9 901 2016 10 954

Les hypothèses du modèle sont les suivantes : • 2 actifs ;

o une action dont l’espérance de rendement vaut 8% et la volatilité 15% o une obligation dont l’espérance de rendement est 5% et la volatilité 4% o une corrélation entre action et obligation égale à 40%.

• Le niveau de risque maximum R vaut 5% • Le rendement minimum à atteindre est de 2.5% • La part investie en actions x vérifie l’inégalité 0 < x < 1.

Le ratio de Sharpe représente la rentabilité engendrée par l'adresse du gestionnaire, comparée au montant de risque qu'il a assumé en remplissant ses fonctions. Ou, formulé autrement, il indique l'unité de rentabilité en termes d'unité de risque. Le ratio de Sharpe se calcule en divisant l’excédent de rentabilité de fonds, au-dessus ou au-dessous du taux de rendement sans risque (par exemple, le rendement sur un placement d'espèces), par le montant de risque que le gestionnaire a assumé pour engendrer cet excédent de rentabilité, mesuré par l'écart-type annualisé des rentabilités.

'rentabilité d un fonds Taux de rendement sans risqueRatio de Sharpe

Ecart type des rendements

!=

!

• Ratio de Sharpe des actions

Il vaut 8% 3%

0,3315%

!=

• Ratio de Sharpe des obligations

Il vaut 5% 3%

0,54%

!=

Le ratio de Sharpe prend implicitement en compte la qualité de diversification du portefeuille. En effet, la variance de la rentabilité d’un fonds tend à baisser avec le nombre de titres. Ainsi, le fonds en obligations génère un ratio de Sharpe plus élevé que celui du fonds en actions. Le placement en obligations devrait donc être privilégié sur du court terme.


- 46-

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Actions

Obligations

Répartition de chaque échéance par type d'actif (scénario : test à 99%)

Horizon Obligations Actions Espérance de rendement

Ecart type du rendement

1 100,0% 0,0% 5% 0,16% 2 100,0% 0,0% 5% 0,16% 3 86,3% 13,7% 5,42% 1,18% 4 67,2% 32,8% 6,10% 2,19% 5 51,7% 48,3% 6,46% 2,41% 6 33,8% 66,2% 7% 2,73% 7 14,1% 85,9% 7,37% 2,96% 8 2,1% 97,9% 7,70% 3,18% 9 0,0% 100,0% 8% 2,25% 10 0,0% 100,0% 8% 2,25%

Ainsi la différence risque action moins risque obligation diminue alors que la différence espérance de rentabilité action moins espérance de rentabilité obligation reste constante : l’investissement dans l’action devient de plus en plus intéressant par rapport à l’obligation. C’est également conforme avec le fait que l’espérance et l’écart-type du taux de rendement du portefeuille solution augmente avec l’horizon de placement (en supposant que l’espérance et l’écart-type du taux de rendement de l’obligation sont supérieurs à ceux de l’obligation). Calculons la duration de notre portefeuille avec la formule de Macaulay suivante :

10

1

10

1

*(1 )

(1 )

i

i

i

i

i

Fi

txD

Fi

tx

=

=

+=

+

!

!=3,85 où les Fi sont les flux de prestations chargées d’horizon i.

La duration vaut presque 4. Hors à l’horizon 4 l’allocation est de 67% en obligation et 33% en actions.


- 47-

Mais cette allocation ne comprend que deux actifs, et aucune contrainte de solvabilité ne lui est appliquée. Elle a juste pour objectif, de décrire le fonctionnement du modèle de Markowitz. Le chapitre suivant présente un modèle plus proche de la réalité, avec prise en compte de contraintes.

Chapitre 2 : Le modèle de Markowitz à quatre actifs Considérons maintenant quatre classes d’actifs, ce qui correspond plus à la réalité d’une compagnie d’assurance : Action, Obligation, Immobilier et Monétaire Le modèle de Markowitz est certes basé sur le couple espérance de rentabilité-variance de chaque classe d’actifs, il n’empêche que l’élément clé est la matrice des corrélations entre les actifs, qui comme nous l’avons déjà vu est à la base même de la diversification. Aussi, pour améliorer les résultats nous avons repris le modèle de Markowitz dans sa forme générale et avons tenté de programmer un outil sous Excel/VBA permettant de calculer l’allocation optimale pour un portefeuille possédant plus de deux actifs. En application, nous présentons les résultats d’une allocation optimale d’un portefeuille consitué de quatre actifs (d’abord étendue à un seul horizon, puis à plusieurs).

2.1-RÉALISATION DE L’ALLOCATION OPTIMALE POUR UN PORTEFEUILLE CONSTITUÉ DE QUATRE ACTIFS

Le modèle de Markowitz suppose intrinsèquement que l’on travaille dans une optique de « run-off », c’est-à-dire que l’on considère qu’il n’y a pas de production nouvelle. Nous verrons dans la suite comment intégrer des contraintes de solvabilité et leurs conséquences sur l’allocation.


- 48-

Nous utiliserons l’algorithme de la ligne critique (expliqué en annexe) qui permet de résoudre le problème de l’optimisation. Cet algorithme se programme sous VBA. Le passif à couvrir est la somme des flux calculés par la méthode de Chain Ladder(Best Estimate). Présentation de l’actif :

Rendement Volatilité Monétaire 2,5% 2,1% Obligation 5,2% 5,5% Immobilier 6,5% 12,5% Action 12,5% 19,8%

Les paramètres des actions et obligations sont inspirés de données historiques vues précédemment. Les paramètres de l’immobilier et du monétaire nous ont été fournis par la société, ils ont été calculés entre mi 2006 et mi 2007, on estime donc qu’ils sont corrects. Matrice des corrélations :

1 0,3 -0,6 0,2 0,3 1 -0,4 0,4 -0,6 -0,4 1 -0,1 0,2 0,4 0,1 1

Les coefficients sont calculés grâce aux espérances, variances et covariances de chaque actif, c’est-à-dire avec la formule pour calculer ! . Résultats : On fixe le rendement à 2%, avec un niveau de confiance à 95%. On obtient :

Portfefeuille - Markowitz

Immobilier monétaire obligation action Total

Rendement

moyen

Portefeuille % 14,92% 5,96% 52,35% 26,77% 100,00% 8,59%

Immobilier monétaire obligation action Rendement Ecart type

Horizon 1 0,0% 0,0% 100,0% 0,0% 2,50% 0,00%

Horizon 2 18,5% 43,5% 32,9% 5,1% 4,58% 1,56%

Horizon 3 30,6% 0,0% 46,3% 23,1% 7,21% 3,18%

Horizon 4 34,9% 0,0% 27,2% 37,8% 8,38% 3,87%

Horizon 5 39,5% 0,0% 8,2% 52,3% 9,46% 4,40%

Horizon 6 30,4% 0,0% 0,0% 69,6% 10,73% 5,32%

Horizon 7 18,6% 0,0% 0,0% 81,4% 11,36% 5,65%

Horizon 8 7,0% 0,0% 0,0% 93,0% 12,04% 6,06%

Horizon 9 0,0% 0,0% 0,0% 100,0% 12,51% 6,25%

Horizon 10 0,0% 0,0% 0,0% 100,0% 12,51% 5,96%

Résultats


- 49-

On remarque que les obligations représentent plus de la moitié du portefeuille. Calculons la duration de notre portefeuille avec la formule de Macaulay suivante :

10

1

10

1

*(1 )

(1 )

i

i

i

i

i

Fi

txD

Fi

tx

=

=

+=

+

!

!=3,85 où les Fi sont les flux de prestations chargées d’horizon i

(avec i=2,5%). On trouve D=3,96 avec i=3%. Nous remarquons qu’à horizon 4 ans, le rendement est de 8,38%, ce qui n’est pas très éloigné du rendement moyen 8,59%. L’allocation semble cohérente. On peut résumer le portefeuille en deux classes, les actifs risqués, et les actifs non risqués.


- 50-

Intégration de la contrainte : Comme on l’a vu en Partie 1, Chapitre 3, actuellement la contrainte de solvabilité est :

Richesse> MSR, avec Richesse=Capitaux propres+Plus values latentes+Réserve de capitalisation et MSR = % de rétention × Max {méthode sur les primes ; méthode sur les sinistres} Mais, les exigences en matière de solvabilité, du projet Solvabilité 2, préconisent que :

-la probabilité de ruine (valeurs des actifs inférieure à celle du passif) ne doit pas excéder 0,5%.

Nous allons donc associer une forte contrainte au niveau du rendement du portefeuille. Nous allons utiliser la VaR à 99,5%, c’est à dire que la probabilté de perte du portefeuille ne doit pas dépasser 0,5% (ou Rp est le rendement réel du portefeuille). Cette contrainte est la probabilité de faillite à un an qui concerne tous les risques (actifs, passif, opérationnel). La variable aléatoire modélisant le rendement du portefeuille suit une loi normale. On peut donc calculer cette probabilité ; soit directement à partir de la densité, ou en effectuant des simulations de Monte-Carlo. Le logiciel R permet d’effectuer un tirage de Monte-Carlo assez facilement. Nous utiliserons donc cette technique. La simulation de Monte Carlo avec de nombreuses itérations prend beaucoup de temps (avec R, ce qui est la contrepartie de sa simplicité), nous nous limiterons à 5 000 simulations. Comme on observe sur les graphiques suivants, cette contrainte fait chuter la proportion des actifs risqués au profit des actifs non risqués.


- 51-

Remarque : Explication de la forte diminution de la part « action » au profit de des obligations : Une part action importante augmente la volatilité du résultat et multiplie les scénarios catastrophes. Le niveau du capital cible (SCR) étant étroitement lié à l’occurrence de ces scénarios, il s’en suit une augmentation significative des exigences de solvabilité pour prévenir une dégradation de cette dernière. Aussi il est préférable d’investir dans les obligations plutôt que dans les actions. Ce raisonnement se généralise pour les actifs risqués au profit des actifs non risqués.

Portfefeuille - Markowitz

Immobilier monétaire obligation action Total

Portefeuille % 6,92% 7,74% 65,21% 20,13% 100,00%


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Sensibilité du modèle : Nous avons seulement fixé deux conditions, qui sont le rendement et le seuil de confiance. Si nous reprenons la première allocation qui a été effectuée avec un rendement minimal de 2% et un niveau de confiance à 95%, en augmentant le niveau de confiance à 99% on obtient :

Frontière efficiente

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,000 0,020 0,040 0,060 0,080

écart type

es

pé

ran

ce

Niveau 99%

Niveau 95%

99%

95%

On remarque que la différence entre le niveau 99% et le niveau 95% augmente avec l’écart type, ce qui signifie que l’augmentation du seuil de confiance du rendement favorise les actifs non risqués. Ce résultat est tout à fait cohérent avec les précédents résultats.


- 53-

Conclusion : On observe que l’allocation varie sensiblement avec l’intégration d’une contrainte ou une variation du niveau de confiance du rendement. Ces variations sont dues au modèle lui-même qui n’intègre pas le passif à couvrir. On remarque que les contraintes choisies favorisent un comportement prudent face au risque, en pénalisant l’investissement en actifs risqués (dont les actions) et en favorisant les obligations. Ainsi, le modèle proposé permet d’avoir une idée des décisions qu’un gestionnaire pourrait avoir, mais n’est en aucun cas un modèle réel, utilisé par les gestionnaires. Le modèle proposé dans la suite du mémoire s’inspire de l’approche DFA, et prend en compte l’adossement actif/passif, mais ne comprend que deux types d’actifs, les actions et les obligations.


- 54-

PARTIE IV

PRÉSENTATION DE L’ANALYSE FINANCIÈRE DYNAMIQUE (DYNAMIC

FINANCIAL ANALYSIS)


- 55-

Chapitre 1 :Gestion actif/passif Un établissement qui coordonne soigneusement la gestion de son actif et de son passif peut fonctionner de manière plus sûre et accroître sa rentabilité. Cette démarche est appelée Gestion/Actif ou ALM (Asset Liability Management). L’ALM peut apporter des avantages importants, mais peu d’assureurs exploitent vraiment ses possibilités. Les assureurs sont exposés à des risques liés aux actifs qu’ils détiennent, à leurs engagements et aux corrélations entre les deux. La gestion actif/passif constitue un cadre permettant d’évaluer et de maîtriser ces risques de manière systématique et efficace. Le terme étant employé différemment selon les professionnels, il semble ici indiqué d’en donner la définition par l’Institut des Actuaires : La gestion actif/passif, ou ALM, désigne un mode de gestion des affaires visant à coordonner les décisions relatives à l’actif et au passif ; il s’agit donc d’un processus continu, impliquant la formulation, la mise en œuvre, le contrôle et la révision de stratégies se rapportant à l’actif et au passif dans le but d’atteindre des objectifs financiers, compte tenu d’une certaine tolérance au risque et de certaines contraintes. La gestion actif/passif est cruciale pour tout établissement devant placer des capitaux pour faire face à ses engagements et désireux de garantir une gestion financière équilibrée. Limites de la gestion actif/passif : Un modèle ne peut aboutir à des résultats de qualité si les données sur lesquelles il se fonde sont approximatives : à entrées erronées, conclusions erronées. Autre limite : la gestion actif/passif permet aux assureurs d’évaluer globalement leur exposition en fonction de leur activité, mais non les sources de risque. Ainsi, l’ALM ne prédit pas plus la probabilité de survenance d’un séisme que le degré de fluctuation des taux d’intérêt. Elle offre plutôt un cadre permettant de confronter les informations disponibles sur les risques, afin d’évaluer les expositions correspondantes de manière cohérente. De la même manière, elle n’a aucune prise sur les risques non encore identifiés, alors que ce sont parfois les plus graves. Aucun modèle, si performant soit-il, ne peut reproduire parfaitement la réalité. Un modèle est le fruit d’un mariage entre technique et créativité. Les utilisateurs ne doivent donc pas se laisser « aveugler » par des résultats apparemment précis. La meilleure solution consiste à rester conscient des forces et des faiblesses de chaque modèle. La gestion actif/passif vise à dynamiter la réflexion stratégique, non à la remplacer. La gestion actif/passif dans l’assurance vie et non vie : La gestion actif/passif est très différente dans les secteurs vie et non vie. Les compagnies d’assurance vie ont développé les tous premiers modèles de gestion actif/passif en se concentrant généralement sur le risque de taux d’intérêt. La gestion actif/passif vue par les assureurs non vie englobe un plus grand nombre de risques, en particulier le risque de souscription. Leurs modèles prennent en compte la société dans son ensemble plutôt qu’un produit d’assurance.


- 56-

Les compagnies non vie ont développé au cours des dernières années, leur propre approche ALM : il s’agit d’un outil appelé « analyse financière dynamique » (DFA ou Dynamic Financial Analysis).

Chapitre 2 : présentation des modèles DFA On peut définir l’analyse financière dynamique comme:

-l’examen approfondi de la situation financière d’une compagnie d’assurance sur la durée, compte tenu des corrélations entre divers éléments qui la composent et de la nature stochastique des facteurs pouvant affecter le résultat.

Plutôt que de ne s’intéresser qu’à un nombre restreint d’aspects du bilan, cette nouvelle méthodologie considère le spectre complet des éléments financiers de la compagnie et analyse sa santé bilancielle dans un univers incertain et changeant. Donnons une définition des différents termes qui composent la mention Dynamic Financial Analysis : • «Dynamic » signifie stochastique ou variable. Ce terme s’oppose à déterministe ou statique et est utilisé de façon à refléter l’incertitude inhérente aux revenus futurs • « Financial » reflète l’intégration, dans les modèles, des postes d’actifs et de passif des sociétés d’assurance. Les approches de type DFA s’opposent aux modèles qui ne visent que la partie souscription. • «Analysis » se définit comme l’examen des différents éléments du modèle et leurs interactions.

Objectifs de la DFA Les modèles DFA tentent de mettre en évidence les éléments suivants : • allocation stratégique des actifs, • allocation du capital, • mesure de la performance, • stratégies de marché, • tarification, • création de produits, • etc.

L’analyse financière dynamique (DFA) est une forme d’actif/passif qui a commencé à s’imposer dans les branches dommage/RC. Elle permet à un assureur d’envisager différents scénarios et de voir leur incidence selon les décisions qu’il prend Les modèles DFA se composent essentiellement de cinq éléments3 :

Conditions initiales |

Générateur de scénarios |

Calculateur financier |

Optimisateur |

Résultats

3 Source :Stephen Philbrick, Swiss Re Investors “Dynamic Financial Analysis: Taxonomy Revisited”


- 57-

2.1-LES CONDITIONS INITIALES

Elles reflètent les performances de la société examinée (volume de primes, sinistralité, etc.) et l’environnement économique dans son ensemble (inflation, croissance du PIB, etc.). Étant donné qu’elles font le lien entre la conjoncture actuelle et les perspectives, les conditions initiales doivent tenir compte des dernières évolutions et générer des résultats raisonnablement modélisables.

2.2-LE GÉNÉRATEUR DE SCÉNARIOS

Le générateur de scénarios, cœur de tout modèle de DFA, construit une série de scénarios plausibles sur la conjoncture en général, les éléments d’actif de la société et ses engagements. Ce dispositif:

• se concentre sur une série déterminée de résultats présentant un intérêt particulier; • attache une distribution statistique à chaque variable et génère des scénarios de manière aléatoire; ou • crée des scénarios en fonction de corrélations théoriques et empiriques prédéfinies. Les résultats des simulations sont souvent résumés sous la forme de courbes de distribution.

2.2.1-Les simulations

Elles deviennent incontournables dans l’actuariat moderne que ce soit dans le domaine de l’assurance vie (où le coût du sinistre est le plus souvent totalement déterminé, et c’est donc l’aspect de la survenance, qui est aléatoire) ou de l’assurance non vie (où les modèles servent principalement à simuler la charge sinistre annuelle d’un portefeuille d’assurance). En ce qui concerne les modèles DFA, l’appel aux méthodes de simulations est incontournable. En effet, la modélisation stochastique de différents items du bilan (inflation, taux d’intérêts, provisions, etc.) pousse à s’intéresser de près aux différentes méthodes de simulation usitées actuellement. Certes la mise en place de tels procédés est fastidieuse, le modèle y gagne néanmoins en précision dans le sens où il permet d’aboutir à la loi de distribution d’une variable, l’intervalle de confiance d’une autre, etc. Il existe actuellement deux types de méthodes permettant d’analyser les différentes stratégies financières entreprises par la société sur un horizon temporel déterminé : • Scénario testing : quelques situations potentielles spécifiques sont sélectionnées. Le scénario testing a longtemps été utilisé par les actuaires, même avant l’accroissement de la volatilité des taux d’intérêts (à la fin des années 70). Les prises de décisions basées sur une telle approche ne sont pas forcément sans intérêt ; étant plus simples que les modélisations stochastiques, leur mise en oeuvre est plus rapide et moins coûteuse. Elles sont cependant plus dangereuses. En effet, ce procédé projette dans le futur les résultats obtenus à partir d’une sélection de scénarios déterministes. Ainsi, les outputs obtenus pour un des scénarii ne sont valables que pour ce seul et unique scénario et ne sont exploitables que dans la mesure où le scénario choisi est correct.


- 58-

• La simulation stochastique : cette approche repose sur des modèles qui reflètent l’incertitude de facteurs tels que le taux d’intérêt, la fréquence et le coût des sinistres. Basées sur les distributions associées à ces modèles, les valeurs sont sélectionnées au hasard et utilisées pour calculer un large éventail d’outputs. La distribution complète de ces outputs peut alors être utilisée pour l’analyse. Une utilisation commune de cette approche est la détermination de la proportion des résultats « inacceptables ». Si cette proportion est considérée comme trop importante, des modifications dans la position financière de la société doivent être envisagées en vue de réduire cette proportion.

La simulation stochastique fournit beaucoup plus d’informations que le scénario testing; les résultats obtenus avec cette dernière approche indiquent seulement si l’assureur est dans une position viable, si un événement ou une série d’événements déterminés surviennent. Généralement, les modèles DFA sont basés sur des simulations stochastiques. À cet égard, il faut être en mesure d’estimer les lois qui gouvernent les différentes variables modélisées ; cet exercice peut s’avérer assez délicat.

2.3-LE CALCULATEUR FINANCIER

Il transpose ces scénarios en résultats financiers. La précision avec laquelle le calculateur procède dépend de la question examinée. Les résultats financiers sont généralement mesurés selon diverses bases comptables: GAAP, législation, contraintes fiscales et économiques. De nombreux modèles de DFA emploient un «optimisateur», qui utilise une grandeur statistique récapitulative ou quelques statistiques pour évaluer et opérer une sélection entre différentes stratégies. La grandeur statistique récapitulative peut mesurer l’utilité, le rendement des capitaux, comme le RAROC (risk-adjusted return on capital ou rendement du capital ajusté au risque), la probabilité d’atteindre un objectif particulier ou de devoir affronter une crise grave (risque de faillite, par exemple). Cette approche à deux variables implique souvent de tracer une frontière efficiente (frontière vue dans la théorie de Markowitz), qui révèle la série de stratégies maximisant la compensation financière pour un niveau de risque donné.

2.4-RÉSULTATS

Le modèle propose une série de résultats qui résument les leçons tirées des simulations. Ceux-ci comprennent la distribution des grandeurs clés et quelques indications quant au choix des variables qui affectent le plus les résultats.


- 59-

Chapitre 3 : Schéma récapitulatif On peut donc étoffer le schéma du Chapitre 1, pour bien comprendre les étapes de construction d’un modèle DFA.

Environnement économique ↓

Identification, choix et modélisation des variables Hypothèses et paramètres du modèle

↓ Simulation des scénarios

↓ Résultats

↓ Analyse

(permet de redéfinir les paramètres et les hypothèses)


- 60-

PARTIE V

UN OUTIL DE GESTION ACTIF/PASSIF


- 61-

Notre outil est inspiré de la modélisation habituelle des systèmes DFA. Mais ce n’est pas réellement un modèle DFA à proprement parlé car ; dans notre modèle, seul l’actif est modélisé. Les données constituant le passif nous étant fournies, nous ne nous intéresserons simplement à la modélisation de l’actif qui permet de couvrir le passif. Les sociétés d’assurance, dans la construction de leurs modèles DFA, modélisent également le passif. À ce titre, le premier chapitre de cette partie présente les modélisations les plus courantes des composantes de l’actif. Il en existe d’autres, mais nous avons sélectionné celles qui semblaient être les plus communément utilisées. Comme nous l’avons précisé ci-dessus, le passif n’étant pas modélisé dans notre outil, nous ne détaillerons pas les différentes modélisations possibles du passif.

Chapitre 1 :Modélisation de l’actif 1.1-MODELISATION DE L’INFLATION : 1.1.1- Modèle de Wilkie Dans ce modèle, le taux d’inflation joue un rôle crucial, dans la mesure où la valeur d’un bon nombre de paramètres économiques en découle. Le modèle de Wilkie est principalement un modèle empirique, établi sur des données économiques du Royaume Uni de 1919 à 1982. L’une des premières modélisations du taux d’inflation fut celle de la« marche aléatoire »(Random Walk, développée par Bachelier en 1900). Même si ce modèle apparaît cohérent dans le cadre de l’étude du cours d’une action, il montre ses limites au moment de rendre compte de l’évolution du taux d’inflation. Wilkie a opté pour un modèle autorégressif. L’évolution de ce processus se traduit par l’équation suivante :

[ ]( ) ( 1)LT LT t

i t i a i t i ! "# = $ # # + $

Avec : • ( )i t : taux d’augmentation de l’indice des prix,

• LTi : taux d’inflation long terme,

• ! : écart type du bruit blanc, • ! : variable aléatoire distribuée selon une loi normale N(0,1). • a coefficient de retour à la moyenne

Néanmoins Wilkie n’utilise pas ce modèle tel quel ; il préfère travailler sur le logarithme de l’indice des prix. En effet, il observe que seules les variations relatives de l’indice des prix sont importantes et non les variations absolues. Il remarque que la variable δ(t) = lnI(t) - lnI(t-1) suit une distribution qui peut être approchée par une loi normale centrée.


- 62-

Ainsi le modèle de Wilkie peut être défini comme suit (avec ( )l t :l’indice des prix de

l’année t) :

( ) ( 1ln ln

( 1) ( 2LT LT t

l t l ti a i

l t l t!"

# $# $ % &'= + ' +( )* +( )' ', - . /, -

[ ] [ ]ln 1 ( ) ln 1 ( )LT LT t

i t i a i t i !"# $+ = + + % +& '

1.1.2-Approche de KAUFMANN - GADMER – KLETT

Dans cette approche, la valeur du taux d’inflation ( )i t est simulée à partir de celle du

taux court termeCTi :

( )CT t

i t i! " #= + $ + où : • ! , ! et ! sont des paramètres qui peuvent être estimés à partir de données

historiques ;

• et t! correspond à un bruit blanc de variance 2! .

1.2-MODELISATION DU TAUX D’INTERET :

Hypothèses : À une date donnée t : le taux instantané r suit le processus de diffusion suivant :

( , ) ( , )t

dr r t dt r t dBµ != +

Avec : dr : variation du taux r au cours de l’instant dt ( , )r tµ : moyenne des changements instantanés du taux par unité de temps (ou

coefficient de dérive) ( , )r t! : écart-type des changements instantanés du taux par unité de temps (ou

coefficient de diffusion, ou encore volatilité)

tdB : un processus standard de Gauss-Wiener vérifiant ( )

tE dB = 0 et 2( )

tE dB = dt

( , )r t! : prix du zéro-coupon '

t! , '

r! , "

r! , désignent respectivement la dérivée partielle première par rapport à t, la

dérivée partielle première par rapport à r et la dérivée du second ordre par rapport à r. On admet que l’équation différentielle du prix d’un zéro coupon est :

[ ]' ' 2 "1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0

2t r r

r t r t t T r tµ ! " "# + $ # + # =


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L’objectif est de modéliser des taux d’intérêt de façon stochastique pour trouver des solutions à cette équation qui permettront alors de trouver la valeur du zéro coupon.

1.2.1- Modèle OUV (ORSTEIN-UHLENBECK-VASICEK)

L’une des premières modélisations stochastiques des taux a été développée par Vasicek en 1977. Cette modélisation du taux instantané à court terme utilise le processus suivant :

( ( ))t

dr a b r t dt dB!= " + où les paramètres a, b et ! (tous positifs) représentent

respectivement le taux limite (valeur moyenne à long terme), la vitesse de convergence et la volatilité. Il convient aussi d’indiquer que le taux du marché λ est supposé constant et que

tdB correspond à un processus de Wiener standard.

Une méthode de résolution assez classique propose d’affecter ( , )t T! à la forme

suivante: ( , )t T! = exp( ( , ) ( , ) ( ))A t T B t T r t+ (1)

Cette structure affine permet alors d’obtenir la valeur du Zéro-Coupon :

[ ]2

2

3

1( , ) exp (1 ) ( ) ( ) ( ) (1 )

4

a at T e R r t R e

a a

! !"!# #$ %

& = # ' # # ' # #( )* +

avec • , 0T t! != " >

• 2

2( )

2R b

a a

!" "# = + $

• ! indépendant de r

Comme 1

( , ) ln ( , )r t T t TT !

= " #"

d’après (1), on a :

[ ]2

2

3

1( , ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )

4

a ar t R r t R e e

a a

! !"#

!

$ $= % + $ % $ + $

Ce modèle permet d’obtenir la plupart des courbes de taux, mais les valeurs négatives des taux d’intérêt peuvent être prises en compte. Pour éviter cela, Cox, Ingersoll et Ross ont mis en place un modèle plus performant

1.2.2-Modèle CIR(Cox-Ingersoll-Ross)

Ce modèle, établi en 1985, introduit un processus en racine carrée qui interdit à un taux initialement positif de prendre des valeurs négatives. En reprenant les notations de la partie précédente, le processus de taux s’écrit sous la forme :

( )t

dr a b r dt rdB!= " +

La valeur du Zéro-Coupon est déterminée par la formule suivante :

( , , ) ( , ) exp( ( , ) ( )r t T A t T B t T r t! = "


- 64-

Avec :

2

2

( )2

( )

( )

( )

2 2

2( , )

( )( 1) 2

2( 1)( , )

( )( 1) 2

( ) 2

( , )

ab

T ta

T t

T t

T t

t T

eA t T

a e

eB t T

a e

a

r t r

!" #

"

"

"

"

" # "

" # "

" # !

##

!

$+ +

$

$

$

<

% &' (=' (+ + $ +' () *

$=

+ + $ +

= + +

=

1.3-MODÉLISATION DES ACTIONS

Le processus de diffusion du cours des actions est supposé suivre un mouvement brownien géométrique :

1( )A

dSr dt dz t

S!= +

où z1(t) est un mouvement brownien ou processus de Wiener standard. • le mouvement brownien possède entre autres les propriétés suivantes : « Il est nul à l’origine »; c’est-à-dire 1(0)z = 0,

• il est à accroissements indépendants et stationnaires, • il est tel que, pour tout t>s, 1( )z s ! 1( )z t suit une loi Normale centrée et d’écart

type t s! " .

Il s’ensuit que le rendement des actions suit une loi Normale, et que le cours des actions suit une loi log-normale. Démonstration : Posons ( ) log( )f S S=

En appliquant le lemme d’Itô et avec les notations suivantes : 1

'( )f SS

= , 2

1''( )f S

S= !

Nous avons, 21( ) '( ). . ''( )

2df S f S dS f S dS!= + < >

2 2

2

1 1 1( ) . . . . .

2df S dS S dt

S S!" = + #

2

1

1 1( ) .( . . . . ( )) . .

2Adf S S r dt S dz t dt

S! !" = + #

2

1

1( ) ( . ). . ( )

2Adf S r dt dz t! !" = # +


- 65-

Intégrons cette expression entre 0 et t; nous obtenons:

2

1

0

1( ) ( . ). . ( )

2

t

Adf S r dt dz t! != " +#

Ainsi, nous obtenons l’équation suivante :

2

1

1( ) (0) ( . ). . ( )

2Af S f r dt dz t! != + " +

2

0 1

1log( ) log( ) ( . ). . ( )

2A

S S r t z t! !" = + # +

2

1

1( ) (0).exp[( . ). . ( )]

2A

S t S r t z t! !" = # +

Le cours des actions suit une loi log-normale, et si nous posons 1 ( ).log( )

(0)

S tZ

t S= suit

une loi normale, de moyenne 21( . )

2Ar !" , et de variance

2

t

! notée 21

( . , )2

AN r

t

!!" .

Hypothèses pour notre modèle Dans la première partie de ce mémoire, nous avons relevé les rendements historiques des actions et les obligations, et avons déterminé que les rendements suivaient une loi normale. Or le passé ne présume pas forcément du futur. Nous allons donc proposé ici une autre modélisation pour les actions et les obligations. Rappel des provisions techniques :

- Provisions techniques années t PT 2007 1 5 963 2008 2 3 304 2009 3 2 313 2010 4 1 611 2011 5 1 383 2012 6 1 353 2013 7 1 089 2014 8 951 2015 9 901 2016 10 954

On considère que l’on est en « run off », c’est à dire qu’aucun nouveau contrat n’a été signé.


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• Les actions Dans notre approche, l’action sera modélisée par la méthode la plus courante, c’est-à-dire, que son rendement suivra un mouvement brownien. L’action sera simulée par une fonction aléatoire d’Itô de volatilité 20%, et de rendement le taux sans risque.

Simulation d’une action de variance 20% et de rendement le taux sans risque

-

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48

Courbe des taux au 1er Janvier 2007

4,0800%

4,1000%

4,1200%

4,1400%

4,1600%

4,1800%

4,2000%

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

années

tau

x

Courbe

des

taux


- 67-

• L’obligation

L’obligation sera une obligation zéro coupon, de taux 5% et de durée 10 ans.

• Bilan : Bilan résumé - Solvabilité I Actif Passif Réassureurs 2 608 30 165 Fonds propres Placements 58 436 31 460 Provisions

Placements contrats en UC 0 0 Provisions UC Autres actifs 8 602 8 021 Autres passifs Total 69 647 69 647 Total Solvabilité actuelle Exigence de marge 6 384 Eléments éligibles 45 248 Fond min. de garantie 2 128 • Objectif de la compagnie :

-couvrir ses flux de passif en tenant compte de la marge de solvabilté, -projeter son bilan de manière comptable et en valeur de marché, pour analyser les différences.


- 68-

a)on peut donc projeter le bilan de cette société sur dix ans :

Valeur comptable des actifs

-

10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

60 000

70 000

80 000

Ann

ée 0

Ann

ée 1

Ann

ée 2

Ann

ée 3

Ann

ée 4

Ann

ée 5

Ann

ée 6

Ann

ée 7

Ann

ée 8

Ann

ée 9

Ann

ée 1

0

Action

Obligation

années Obligation % portefeuille Action % portefeuille total 0 37984 59,8% 25512 40,2% 63496 1 53686 75,7% 17214 24,3% 70900 2 42007 82,2% 9100 17,8% 51107 3 36776 81,2% 8520 18,8% 45296 4 30054 78,3% 8345 21,7% 38399 5 20847 86,3% 3322 13,7% 24169 6 16234 85,1% 2842 14,9% 19076 7 13750 85,9% 2257 14,1% 16007 8 14321 90,6% 1490 9,4% 15811 9 10345 93,1% 769 6,9% 11114

10 7653 100% 0 0% 7653 On remarque, qu’en partant avec une répartition 60% en obligation et 40% en actions, l’allocation est totalement obligataire au bout des 10 ans. Remarques : On a fait l’hypothèse que l’on était en run off, ce qui s’observe sur les graphiques par la diminution de la valeur des actifs, qui sont vendus pour payer les prestations. On remarque cependant que la valeur des actifs de l’année 1 est supérieure à celle de l’année 0. Nous expliquons cela par le fait que le paiement des prestations ne commence qu’à l’année 1 (nous considérons l’année 1 comme étant l‘année allant de 1 à 2, et non de 0 à 1).


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b) Modifications dues à Solvabilité 2 Bilan (simplifié) Solvabilité II Bilan résumé - Solvabilité II (QIS3) Actif Passif Réassureurs 0 40 539 Fonds propres Placements 60 930 1100 Marge pour risques 17 155 Provisions

Placements contrats en UC 0 0 Provisions UC Autres actifs 7 578 8 613 Autres passifs Total 68 508 68 508 Total Solvabilité QIS3 SCR 13 060 Eléments éligibles 40 539 Actif net (NAV) 40 539 Explications des différences : Comme on l’a vu, la différence entre Solvabilité I et Solvabilité II est la comptabilisation en valeur de marché. C'est-à-dire, non pas la valeur comptable, mais une estimation de la « juste valeur ». Ainsi on obtient des valeurs sensiblement différentes par rapport au bilan Solvabilité I. Par exemple, les obligations vont être actualisées en fonction de leurs durées(ici 10 ans) et du taux du coupon(5%), et du taux à 10 ans (donné par la courbe des taux vue précédemment). Également on remarque l’apparition d’une marge pour risques, qui est égale à presque 10% du total des provisions. Cette marge a été obtenue en calculant le maximum entre la méthode sur les primes, et celle sur les sinistres. Toujours dans l’idée d’obtenir une probabilité de ruine inférieure à 0,5% on remarque que le SCR (Solvency Capital Requirement) est très largement supérieur (près du double ) à l’exigence de marge de Solvabilité I. De ce fait, on calcule (conséquence majeure de Solvabilité II) une augmentation très forte des fonds propres (+ 34%).


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c) On peut donc maintenant projeter le bilan en valeur de marché :

Valeur de marché des actifs

-

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

120 000

140 000

Ann

ée 0

Ann

ée 1

Ann

ée 2

Ann

ée 3

Ann

ée 4

Ann

ée 5

Ann

ée 6

Ann

ée 7

Ann

ée 8

Ann

ée 9

Ann

ée 1

0

Action

Obligation

années Obligation % portefeuille Action % portefeuille total

0 55987 60,0% 37326 40,0% 93313 1 72020 60,0% 48100 40,0% 120120 2 68777 70,5% 28778 29,5% 97555 3 59087 77,4% 17269 22,6% 76356 4 62895 87,3% 9170 12,7% 72065 5 60987 90,9% 6098 9,1% 67085 6 56787 94,3% 3450 5,7% 60237 7 49876 95,1% 2567 4,9% 52443 8 40532 95,6% 1876 4,4% 42408 9 35661 97,8% 812 2,2% 36473

10 19654 99,6% 84 0,4% 19738 Là aussi l’allocation devient majoritairement obligataire. Du fait de la différence de comptabilisation, la valeur finale du portefeuille est plus élevée. Pour les mêmes raisons que pour la projection en valeur comptable la valeur de l’année 1 est supérieure à celle de l’année 0.


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Remarques sur la compostion du portefeuille : On remarque que l’allocation devient obligataire, ce qui est un choix de la société à travers les actifs choisis et les contraintes associées. La volatilité diminuant avec l’horizon de placement, nous aurions pu nous attendre à une composition plutôt majoritaire en actions. Cependant, l’action a une forte volatilité mais un rendement peu élevé. Les calculs liés à l’obtention du SCR et à la marge de solvabilité pénalisant les investissements volatils, il n’est donc pas étonnant de calculer cette allocation. Une simulation avec un rendement et une volatilité différents de ceux de nos hypothèses auraient donné une allocation différente. Ainsi la détention d’obligation est préférable dans cette configuration. Cet outil permet de faire des milliers de simulations. Les résultats présentés sont le fruit d’une seule simulation, simplement pour avoir un exemple de projection du bilan en valeur comptable, et une en valeur de marché. Également cela permet de mettre en relief la philosophie d’une approche DFA, c’est-à-dire la génération de scénarii, suite à des simulations stochastiques. Comme nous l’avons expliqué dans le chapitre sur la présentation des modèles DFA, ces modèles doivent permettre de répondre aux objectifs fixés par la société. Dans notre cas, le but de la société était de savoir quel serait l’impact de Solvabilité 2 sur son bilan, et de réussir à couvrir son passif. À travers la projection des bilans (en valeur comptable et en valeur de marché), la société va pouvoir décider si elle doit changer la répartition initiale d’obligations et d’actions dans son portefeuille, ou si elle doit détenir une obligation avec un taux plus élevé ou moins élevé. Egalement, comme nous l’avons signalé précédemment, il serait intéressant de modéliser le passif, par la méthode de Chain Ladder par exemple, et l’intégrer à notre outil. Par manque de temps, cela n’a pas été possible.


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CONCLUSION Ce mémoire avait pour objectif de réaliser une allocation d’actifs optimale sur un portefeuille de Responsabilité Civile en essayant de respecter les contraintes du projet Solvabilité 2 qui entrera en vigueur en 2009. Le passif à couvrir nous étant fourni nous avons commencé par déterminer cette allocation grâce au modèle de Markowitz à deux actifs. Cette étude avait pour but d’expliquer le fonctionnement de la théorie de Markowitz. Nous avons par la suite programmé un outil qui a permis de réaliser une allocation sur un portefeuille contenant quatre actifs, ce qui est déjà plus proche de la réalité. En imposant de fortes contraintes comme la probabilité de ruine à un an calculée avec la VaR à 99,5% comme préconisé par le projet Solvabilité 2, nous avons remarqué que l’allocation évoluait ; les actifs risqués diminuaient au profit des actifs non risqués. Il est à noter que le modèle semble adapté et donne des résultats cohérents qui sont assez proches de ceux obtenus dans la réalité. Toutefois, cet outil ne s’applique que dans un contexte de run-off. Imaginons que ce ne soit pas le cas, le passif de la société n’étant jamais nul, la duration du passif serait infinie et donc la part des actifs risqués devrait tendre vers 100% (ce qui est possible tout en respectant les contraintes réglementaires). Dans cette optique, les primes de l’exercice devraient servir à régler, plus ou moins, les sinistres de l’exercice. Ainsi, la compagnie n’aurait quasiment jamais à toucher à ses placements et, sur le long terme, elle serait gagnante. Cependant, comme nous l’avons vu précédemment, en moyenne, les compagnies sont loin de détenir des portefeuilles composés uniquement d’actifs risqués. Il y a plusieurs raisons à cela. Tout d’abord, pour des raisons prudentes, il ne faut pas « mettre tous ses œufs dans le même panier », c’est-à-dire qu’il faut s’efforcer de diversifier son portefeuille pour qu’il reste suffisamment sain. De plus, pour des raisons de besoin des sociétés en monétaire, il n’est pas possible de tout investir en actifs risqués. En effet, les marchés d’actifs risqués sont beaucoup moins liquides que ceux des actifs non risqués ; si une société a un besoin urgent de fonds, elle doit pouvoir disposer d’actifs très liquides. Nous voyons donc ici une autre limite du modèle de Markowitz, qui, puisqu’il ne permet de faire d’allocations d’actifs que dans un contexte de run-off, ne permet pas de prendre en compte de contrainte sur la nature même des actifs. Ensuite nous avons programmé un deuxième outil, qui ne comportait que deux actifs, mais qui étaient modélisés de façon stochastique. Cet outil s’inspire de l’approche des modèles DFA, car il permet de simuler des scénarios et répond à des objectifs fixés par une société. Également il tient plus compte de la nature des actifs car il essaye de répondre aux contraintes de Solvabilté 2 sur le calcul du SCR et de la marge pour risques. Il possède aussi des limites, comme le fait de ne pas modéliser le passif, ou encore de ne tenir compte que de deux types d’actifs. Il serait intéressant d’étoffer ce modèle, en tenant compte des limites mises en lumière, pour tester sa sensibilité avec plusieurs actifs.


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BIBLIOGRAPHIE


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Ouvrages : Michel Luzi , « Assurance IARD », Economica, 2006. Jean Laurent Viviani, « Gestion de portefeuille(2ème édition) », Dunod, 2001. Florin Aftalion , « La nouvelle finance et la gestion de portefeuille(2ème édition) », Economica, 2004. Pierre Hervé et al, « Allocation d’actifs, Théories et Pratiques », Economica, 2007. Michel Piermay, Pierre Mathoulin, Arnaud Cohen, « La gestion actif/passif d'une compagnie d'assurance ou d'un investisseur institutionnel »,Economica, 2002. Franck Le Vallois et al, « Gestion actif-passif en assurance Vie », Economica, 2003. Le Code des Assurances.

Articles :

Norbert Gautron, Frédéric Planchet, Pierre Thérond, « Métodes financiers et allocations d’actifs en assurance », Août 2003 Laura Ballotta, Nino Savelli, « Dynamic Financial Analysis and Risk-Based Capital for a General Insurer », Septembre 2005 Swiss Re, « La gestion actif/passif à l’usage des assureurs », 2000 Emmanuel Paradis, R pour les débutants, Septembre 2005 Support de cours : Jacques Janssen, « Processus stochastiques en assurance non vie », EURIA 2008. Jacques Janssen, « Finance stochastique », EURIA 2008. Mémoires d’actuariat : Pierre Doré, « Pilotage du provisionnement et allocation stratégique optimale d’un portefeuille d’assurance responsabilité civile », EURIA, 2002. Noémie Bokobza, « Comparaison de modèles stochastiques d’allocation d’actifs pour un portefeuille de Prévoyance Collective », UNIVERSITE PARIS DAUPHINE, 2002. Sadeck Hami, LES MODELES DFA : PRESENTATION, UTILITE ET APPLICATION Sites Internet : www.boursorama.com www.casact.org www.ffsa.fr www.ceiops.org http://www.acam-france.fr


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ANNEXES


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Annexe 1 : programme sous R pour vérifier la normalité des rendements rendements<-read.table("donnees.txt", header=TRUE) # chargement des données > summary(rendements) # calcul de la moyenne, la médiane, 1er quartile,... Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. -5.6000 -0.6050 0.7750 0.8574 2.5830 6.2000 >var(rendements) [1] 6.509538 > ecarttype<-sqrt(var(rendements))# création fonction écart type [1] 2.551380 > hist(rendements,probability=TRUE, col="light blue") > lines(density(temp1), col='red', lwd=3) #affichage de la densité


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> ks.test(rendements,pnorm,mean(rendements),sd(rendements)) One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: rendements D = 0.0529, p-value = 0.999 alternative hypothesis: two-sided Warning message: In ks.test(rendements, pnorm, mean(rendements), sd(rendements)) : cannot compute correct p-values with ties >qqnorm(rendements) # verification de la normalité des données


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Annexe 2 : Table de Kolmogorov-Smirnov 0.10 0.05 0.01 1 0,9500 0.9750 0.9950 2 0,7764 0.8419 0.9293 3 0,6360 0.7076 0.8290 4 0,5652 0.6239 0.7342 5 0,5095 0.5633 0.6685 6 0,4680 0.5193 0.6166 7 0,4361 0.4834 0.5758 8 0,4096 0.4543 0.5418 9 0,3875 0.4300 0.5133 10 0,3697 0.4092 0.4889 11 0,3524 0.3912 0.4677 12 0,3381 0.3754 0.4491 13 0,3255 0.3614 0.4325 14 0,3142 0.3489 0.4176 15 0,3040 0.3376 0.4042 16 0,2947 0.3273 0.3920 17 0,2863 0.3180 0.3809 18 0,2785 0.3094 0.3706 19 0,2714 0.3014 0.3612 20 0,2647 0.2941 0.3524 21 0,2586 0.2872 0.3443 22 0,2528 0.2809 0.3367 23 0,2475 0.2749 0.3295 24 0,2424 0.2693 0.3229 25 0,2377 0.2640 0.3166 30 0,2176 0.2417 0.2899 35 0,2019 0.2242 0.2690 40 0,1891 0.2101 0.2521 45 0,1786 0.1984 0.2380 50 0,1696 0.1884 0.2260 60 0,1551 0.1723 0.2067 70 0,1438 0.1598 0.1917 80 0,1347 0.1496 0.1795 90 0,1271 0.1412 0.1694 100 0,1207 0.1340 0.1608 n>100 1,223/√n 1,358/√n 1,629/√n


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Annexe 3 : algorithme de la ligne critique La détermination d’une allocation stratégique pour plusieurs actifs (ici 4 actifs) passe par le modèle de Markovitz à plusieurs actifs et plus précisément par l’algorithme de la ligne critique. Présentation du problème Soient

ip les proportions investies dans les actifs composant le portefeuille. En notant

Ri le rendement de chaque actif, il est alors possible d’écrire le rendement global du portefeuille :

4

1

port i i

i

R p R=

= !"

L’algorithme de la ligne critique permet d’établir une frontière efficiente lorsque les différentes proportions d’actifs sont encadrées par des inégalités : inf, sup,i i i

p p p! !

Rappelons également que l’équation de la tangente en un point de la frontière efficiente s’écrit : 2

port portE! " #= + où le paramètre λ correspond au coefficient d’affection pour le risque

et portE à l’espérance du portefeuille. Ainsi, un investisseur qui n’accorde aucune

importance au risque se verra « attribuer » un λ infini. Un portefeuille efficient, pour un λ donné, est identifié par l’ensemble des valeurs pi permettant de minimiser la

valeur de 2

port portE! " #= + . De ce fait, la frontière efficiente est construite en balayant

le domaine de définition de λ (à savoir [ [0;! ).

Portefeuille efficient sans contraintes En l’absence de contraintes inégalitaires, les proportions

ip sont calculées par

minimisation de la

valeur de 4 4

1 1

. . .i i i j ij

i i

p E p p! "= =

# +$ $ (où iE correspond à l’espérance de l’actif i) sous la

contrainte4

1

1i

i

p=

=!

La résolution de ce problème fait appel au lagrangien 4 4 4

1 1 1

. . . .( 1)i i i j ij i

i i i

L p E p p p! " #= = =

= $ + + $% % %

En annulant les dérivées partielles par rapport aux

ip et à ! , on aboutit au système

suivant : . .C P A E!= + avec les notations qui suivent :

2.

' 0

Cov IC

I

! "= # $% &

(Cov désigne la matrice de variance covariance de dimension 4×4 et

Ι correspond à un vecteur colonne dont les éléments sont tous égaux à 1).


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4

ip

Pp

!

" #$ %$ %=$ %$ %& '

M,

0

0

1

A

! "# $# $=# $# $% &

M,

1

4

0

E

EE

! "# $# $=# $# $% &

M

Prise en compte des contraintes Supposons que les contraintes inf, sup,i i i

p p p! ! soient prises en considération et que les

statuts des différents ip pour une valeur de λ donnée soient connus, alors des

modifications éventuelles doivent être apportées au système précédent : Si

ip est de statut « In » (sa valeur se situe strictement entre les deux bornes

inf,ip

etsup,ip ),

alors la ième ligne du système présenté dans la section précédent du système

précédent (à savoir 0

i

L

p

!=

!)reste inchangée.

• Si pi est de statut « Down » (sa valeur est égale à la borne inférieureinf,ip ), alors

la ième ligne du système précédent ( à savoir 0

i

L

p

!=

!)est remplacée par pi =

inf,ip .

• Si pi est de statut « Up » (sa valeur est égale à la borne sup,ip ), alors la ième

ligne du système précédent est remplacée par pi =sup,ip i .

En utilisant . .C P A E!= + et les remarques qui viennent d’être faites, nous pouvons établir un récapitulatif des valeurs des pi : • i i ip a b != + " , si le statut du titre est In.

• ip =

inf,ip , si le statut du titre est Down.

• ip =

sup,ip , si le statut du titre est Up.

• a b! !! "= + #

où ia et

ib sont des constantes calculées à partir de C, A et E.

Lorsqu’on balaye l’intervalle de définition de ! , il est possible que les statuts des ip

évoluent. Auquel cas, il faudrait prendre en compte ces évolutions dans le calcul des

ip en utilisant la méthode détaillée quelques lignes plus haut. Mais nous pouvons

également calculer les valeurs critiques de ! qui déclenchent un changement de statut. Supposons à titre d’illustration que pour une valeur

1! , le titre i soit de statut « In » et

que les valeurs de! évoluent de manière décroissante. Deux possibilités peuvent être

envisagées en fonction de la valeur de ib :


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• si ib est positif,

ip aura tendance à se rapprocher de sa borne inférieure et la

valeur critique de! s’écrit : inf,

,

i i

c i

i

p a

b!

"=

• En revanche, si

ib est négatif

ip aura tendance à se rapprocher de sa borne

supérieure et la valeur critique de ! s’écrit : sup,

,

i i

c i

i

p a

b!

"=

allocation optimale d’actifs sur un portefeuille … · efficient frontier portfolio ......

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