alvaro+g.+parra.+introduccion+al+algebra+matricial (1)

8/18/2019 ALVARO+G.+PARRA.+INTRODUCCION+AL+ALGEBRA+MATRICIAL (1)

1/53

Introducción al Algebra Matricial

Alvaro G. Parra1

Versión preliminar y bajo revisión.

Marzo 2005

1 Alumno de Magíster en Economía Financiera de la Ponti…cia Universidad Católica de Chile. Todos loserrores y omisiones son míos. Si tiene comentarios, favor de enviarlos a [email protected].


2/53

Índice general

1. Operaciones Básicas 31.1. Algunas De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1. Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Matrices cuadradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Igualdad de Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Suma de Matrices y Multiplicación por un Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1. Suma y Resta de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2. Multiplicación de una Matriz por un Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. Multiplicación de Vectores y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1. Multiplicación de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Multiplicación de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Más De…niciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.1. Matriz Transpuesta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4.2. Matriz Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.3. Matrices Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.4. La inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.5. La Traza de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.1. De…nición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5.2. Suma de Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5.3. Multiplicación de Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Determinantes de Matrices Cuadradas 132.1. Permutaciones e Inversiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. El Número Epsilon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. El Determinante de una Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.1. Los términos del Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2. El Determinante de una Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Menores y Cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4. La Expansión de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1


3/53

2.5. La Adjunta de una Matriz Cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6. La Inversa de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7. Determinantes e Inversas de Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.1. Determinantes de Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7.2. Inversas de Matrices Particionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8. Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Espacios Vectoriales y Dependencia Lineal 253.1. Sumas de Vectores y Multiplicación por un Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. Suma de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.1.2. Multiplicación de un Vector por un Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Relaciones y Medidas de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.1. Multiplicación de Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.2. La Norma de un Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Dependencia e Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.1. Sistemas Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5. Espacios, Subespacios y Bases Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5.1. Sistemas no Homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31


4. La Ecuación Característica de una Matriz 344.1. El Problema de los Valores Característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2. Vectores y Valores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.3. La Matriz Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.4. Aplicaciones de la Descomposición Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.1. El Rango de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.2. La Traza de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.3. El Determinante de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.4.4. Potencias de una Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4.5. Matrices Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


5. Formas Lineales, Cuadráticas yCálculo Matricial. 445.1. Formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.2. Formas Cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3. Matrices De…nidas y Semide…nidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4. Cálculo Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.4.1. Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.4.2. Derivadas de Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4.3. Aproximación a una Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


2


4/53

Capítulo 1

Operaciones Básicas

1.1. Algunas De…niciones

1.1.1. MatrizUna matriz es un arreglo rectangular de números encerrados por un par de corchetes. Algunos

ejemplos de matrices son:

A =

1 23 4

; B =

2 3 71 1 5

Se pueden representar en una matriz datos agrupados por columnas, los pagos de un conjunto deactivos en cada estado de la naturaleza, los coe…cientes de un sistema de ecuaciones, etc.

Por convención las matrices se representan con letras en mayúsculas.

Ejemplo 1.1. La matriz B puede ser la matriz de coe…cientes del siguiente sistema deecuaciones.

2x + 3y + 7z = 0

x y + 5z = 0Formalmente, se dice que la matriz

26664

a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n

......

. . . ...

am1 am2 : : : amn

37775 (1.1)

es de orden m x n ya que tiene m …las y n columnas, donde cada elemento aij es un número ouna función que pertenece a los números reales o complejos. Por ejemplo, la matriz A es de orden2 x 2 y la matriz B es de 2 x 3 y sus elementos pertenecen a los números reales.

1.1.2. Matrices cuadradas.Cuando m = n, (1.1) es cuadrada y la llamamos matriz cuadrada de orden n. Si una matriz es

cuadrada y es de orden 1 la llamamos escalar. Un ejemplo de una matriz cuadrada es la matriz A.

3


5/53

1.1.3. Igualdad de Matrices.

Las Matrices A y B son iguales, si y solo si, tienen el mismo orden y cada elemento de A esigual al correspondiente elemento de B .

A = B () aij = bij 8 i; j1.1.4. Vectores

Un vector es un conjunto ordenado de números dispuestos en una …la o una columna, tambiénpueden entenderse como una matriz de una …la o de una columna. Denominamos vector columnaa una matriz de orden m x 1 y vector …la a una matriz de orden 1 x n. Todas las de…nicionesanteriores aplican a los vectores.

1.2. Suma de Matrices y Multiplicación por un Escalar

1.2.1. Suma y Resta de Matrices

Si A y B son dos matrices de orden m x n, su suma (o resta) es una matriz C de orden m x ndonde cada elemento de C es la suma (o resta) de los elementos correspondientes en A y B

A B = C () cij=aij bij i = 1; : ::; m j = 1;:::;n

Ejemplo 1.2. Si A=

1 2 30 1 4

y B =

2 3 01 2 5

entonces:

A + B =

1 + 2 2 + 3 3 + 00 + (1) 1 + 2 4 + 5

=

3 5 31 3 9

A B =

1 2 2 3 3 00 (1) 1 2 4 5

=

1 1 31 1 1

1.2.2. Multiplicación de una Matriz por un Escalar

Si se suma una matriz k veces con ella misma se obtendría una matriz en que cada uno de suselementos sería k veces el inicial. A esto se le llama multiplicación por un escalar, donde el escalares k .

B = kA = Ak () bij = kaij = aij k i = 1; : ::; m j = 1;:::;n

Ejemplo 1.3. Sea A =

1 23 4

, entonces:

A + A + A =

1 23 4

+

1 23 4

+

1 23 4

=

3 69 12

= 3A = A3

Teorema 1.1. Sean A ; B; C matrices de un mismo orden y k un escalar, entonces cumplen con las siguientes propiedades:

A + B = B + A

A + (B + C ) = (A + B) + C

k(A + B) = kA + kB = (A + B)k

4


6/53

1.3. Multiplicación de Vectores y Matrices

1.3.1. Multiplicación de Vectores

Sea A =

a1 a2 ::: am

un vector de orden 1 x m y B =

26664b1b2...

bm

37775un vector m x 1, entonces

su multiplicación C = AB (en ese orden) está de…nida como la sumatoria de la multiplicación delelemento i de la matriz A con el elemento i de la matriz B , esto es:

AB =

a1 a2 ::: am26664

b1b2...

bm

37775 = [a1b1 + a2b2 + ::: + ambm] =

mXi=1

aibi

Ejemplo 1.4. (a)

2 3 4 24

1

1235

= [2(1) + 3(1) + 4(2)] = [7]

(b)

3 1 4 24 26

3

35 = [6 6 + 12] = [0]

Nótese que lo que se hizo fue multiplicar una …la con una columna, esto hay que tenerlo muypresente en la sección que sigue.

1.3.2. Multiplicación de Matrices

Sea A una matriz de orden m x p y B una matriz de orden p x n, es decir, la cantidad decolumnas de A es igual a la cantidad de …las de B, entonces cada elemento cij de la matriz C = AB

(en ese orden) se obtiene multiplicando la …la i de la matriz A con la columna j de la matriz B :26664

a11 a12 : : : a1 pa21 a22 : : : a2 p

......

. . . ...

am1 am2 : : : amp

37775

26664

b11 b12 : : : b1nb21 b22 : : : b2n

......

. . . ...

b p1 b p2 : : : b pn

37775 =

26664

c11 c12 : : : c1nc21 c22 : : : c2n

......

. . . ...

cm1 cm2 : : : cmn

37775

donde

cij = ai1b1j + ai2b2j + ::: + aipb pj =

pXk=1

aikbjk

Ejemplo 1.5.(a) si A =

2

4a11 a12a21 a22a31 a32

3

5 y B =

b11 b12b21 b22

, entonces AB es igual a:

AB =

24 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22

35

5


7/53

(b) si C =

1 2 14 0 2

y D =

24 3 41 5

2 2

35, entonces C D es igual a:

CD = 1(3) + 2(1) + 1(

2) 1(

4) + 2(5) + 1(2)

4(3) + 0(1) + 2(2) 4(4) + 0(5) + 2(2) = 3 8

8 12 Teorema 1.2. Sean las matrices A, B y C compatibles para la multiplicación y k un escalar, entonces se cumple que:

A(BC ) = (AB)C

A(B + C ) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC

k(AB) = (kA)B = A(kB) = (AB)k

Sin embargo hay que tener en cuenta que:

(a) generalmente AB 6= BA:

(b) si AB = 0 no necesariamente implica que A = 0 o B = 0:(c) si AB = AC no necesariamente implica que B = C:

Dado que AB 6= BA, se puede identi…car dos tipos de multiplicaciones. Por ejemplo, si tenemosla multiplicación AB podemos decir que A está premultiplicando a B pero por otro lado, sepodría pensar de otra forma y decir que B está postmultiplicando a A:

Una vez que ya aprendimos a sumar, restar y multiplicar matrices podemos de…nir más matrices.

1.4. Más De…niciones

1.4.1. Matriz Transpuesta.

La transpuesta de una matriz A se obtiene intercambiando las …las de A por las columnas de A

y la denotamos como A0

. Si denotamos B = A0

podemos de…nir la transpuesta de A como:B = A0 () bij = aji 8 i; j

Ejemplo 1.6. Las traspuestas de las matrices A y B , es decir A0 y B 0, son respectiva-mente:

A0 =

1 32 4

; B0 =

24 2 13 1

7 5

35

Teorema 1.3. Si A’ y B’ son las traspuestas de A y B respectivamente, y si k es un escalar cualquiera, entonces:

(A0)0 = A

(A + B)0 = A0 + B0

(kA)0 = kA0

(AB)0 = B0A0

6


8/53

Dado lo anterior podemos de…nir matriz simétrica como aquella matriz que cumple con A =A0.

1.4.2. Matriz Identidad

La matriz identidad es una matriz diagonal de unos, es decir, una matriz cuadrada dondetodos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros y los elementos dentro de la diagonalson unos.

Ejemplo 1.7. Una matriz identidad de orden 3: I 3 =

24 1 0 00 1 0

0 0 1

35 y una de orden 2:

I 2 =

1 00 1

:

Una de las propiedades de la matriz identidad es que AI = I A = A:

1.4.3. Matrices IdempotentesSon aquellas matrices que multiplicadas por sí mismas son ellas mismas, es decir, An = A 8n 2 N:

Por ejemplo, si A2 = AA = A entonces A sería una matriz idempotente, la matriz identidad esidempotente . Además si la matriz es simétrica se cumple que A0A = A:

Ejemplo 1.8. La siguiente matriz es idempotente A =

24 2 2 41 3 4

1 2 3

35 ya que:

A2 =

24 2 2 41 3 4

1 2 3

3524 2 2 41 3 4

1 2 3

35 =

24 2 2 41 3 4

1 2 3

35

1.4.4. La inversa de una matrizSi A y B son matrices cuadradas tal que AB = BA = I , entonces se dice que B es la inversa

de A y la denotamos B = A1: También se puede decir que A es la inversa de B .


24 1 2 31 3 3

1 2 4

35 y B =

24 6 2 31 1 0

1 0 1

35, podemos decir que

una es la inversa de la otra ya que:

24

1 2 31 3 3

1 2 4

3524

6 2 3

1 1 0

1 0 1

35 =

24

6 2 3

1 1 0

1 0 1

3524

1 2 31 3 3

1 2 4

35 =

24

1 0 00 1 0

0 0 1

35

Si una Matriz no tiene inversa se le llama singular y si la matriz tiene inversa, no singular.

7


9/53

1.4.5. La Traza de una Matriz

La traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matrizcuadrada, es decir, en nuestra matriz (1.1) es la suma de a11 + a22 + ::: + ann =

Paii:

Ejemplo 1.10. Sean A y B las matrices del ejemplo anterior, entonces:(a) tr(A) = 1 + 3 + 4 = 8

(b) tr(B) = 6 + 1 + 1 = 8

Teorema 1.4. Sean A, B, C y D matrices cuadradas del mismo orden y k un escalar,entonces se cumple que:

tr(kA) = ktr(A)

tr(A) = tr(A0)

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

tr(I n) = n

tr(ABCD) = tr(BCDA) = tr(CDAB) = tr(DABC )

1.5. Matrices Particionadas

1.5.1. De…nición

Una matriz particionada es una matriz de matrices, ésta puede representar divisiones imaginariasdentro de una matriz o divisiones reales:

Ejemplo 1.11. Podemos particionar la matriz B =

2 3 7 01 1 5 0

de la siguiente

forma: 2 3 71

1 5

00

o de la siguiente 2 3 7 01 1 5 0

para ser una mejor representación del siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 3y + 7z = 0x y + 5z = 0 :

Formalmente, si se toma la matriz (1.1)

2

6664a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n

... ... . . . ...am1 am2 : : : amn

3

7775

8


10/53

y se particiona tomando s grupos de …las (m1; m2;:::;ms) y t grupos de columnas (n1; n2;:::;nt),entonces se podría escribir (1.1) de la siguiente forma:

A =26664

A11 A12 : : : A1t

A21 A22 : : : A2t......

. . . ...

As1 As2 : : : Ast

37775

donde cada elemento Aij de A es una submatriz de orden mi x nj :

Ejemplo 1.12. Sea la matriz particionada A =

24 1 4 52 9 3

8 9 6

35, entonces se puede repre-

sentar de la siguiente forma

A11 A12A21 A22

donde A11 =

1 42 9

; A12 =

53

; A21 =

8 9

y A22 = 6.

Un caso especial es el de la matriz diagonal por bloques:

A11 00 A22

esta matriz es de suma importancia en econometría y por eso la estudiaremos en profundidad.

1.5.2. Suma de Matrices Particionadas

Sean A y B matrices de igual orden y particionadas de la misma forma , entonces la suma deestas matrices es de la forma:

C = A + B =264

A11 + B11 ::: A1t + B1t...

. . . ...As1 + B s1 ::: Ast + Bst

375

y la suma de submatrices se realiza igual que la suma de matrices.


24 1 4 52 9 3

8 9 6

35 y B =

24 4 3 32 0 2

6 8 7

35, entonces A + B es igual a:

24 1 4 52 9 3

8 9 6

35 +

24 4 3 32 0 2

6 8 7

35 =

24

1 42 9

+

4 32 0

53

+

32

8 9

+

6 8

6

+

7

35

24 1 + 4 4 + 3 5 + 32 + 2 9 + 0 3 + 2

8 + 6 9 + 8 6 + 7

35 =

24 5 7 84 9 5

14 17 13

35

9


11/53

1.5.3. Multiplicación de Matrices Particionadas

El estudio de matrices particionadas nació a partir del estudio de la multiplicación de matrices,

recordemos el ejemplo 1.5. Si A =

24

a11 a12a21 a22a31 a32

35 y B =

b11 b12

b21 b22, entonces AB es igual a

AB =

24 a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22

a31b11 + a32b21 a31b12 + a32b22

35 :

La pregunta que surgió fue: ¿Qué pasa si cada uno de los elementos de las matrices A y Bson, a su vez, una matriz? La respuesta es que abría que multiplicar cada uno de estos elementosnuevamente usando la multiplicación de matrices. Pero para que esta operación esté bien de…nidacada una de las submatrices de la columna i de la matriz A tienen que ser conformables para lamultiplicación con cada una de la submatrices de la …la i de la matriz B .

Ejemplo 1.14. (a) Sea A =

A11 A12A21 A22

=

2

43 1 03 2 01 0 1

3

5 y B =

B11 B12B21 B22

=

24 1 1 1 02 1 1 0

3 2 1 2

35, entonces AB es igual a:

AB =

A11B11 + A12B21 A11B12 + A12B22A21B11 + A22B21 A21B12 + A22B22

=

2664

2 13 2

1 1 12 1 1

+

00

2 3 1

2 13 2

00

+

00

2

1 0

1 1 12 1 1

+

1

2 3 1

1 0 0

0

+

1

23775

=

24

4 3 37 5 5

+

0 0 00 0 0

00

+

00

1 1 1

+

2 3 1

0

+

235 =

24

4 3 37 5 5

00

3 4 2 2

35 :

(b) Sea A =

A11 0

0 A22

, entonces A0A es igual a:

A0A =

A11 0

0 A22

0 A11 0

0 A22

=

A011A11 0

0 A022A22

:

1.6. Ejercicios Propuestos

10


12/53

1. De las siguientes matrices, ¿Cuáles son conformables para la suma?. Calcule la suma deaquellas que cumplen con la propiedad anterior.

A =

24

2 7 8 74 5 6 1

3 5 9 0

35 : B =

24

1 7 24

2 3

1 5 6

35

C =

2664

0 1 3 83 0 9 4

2 0 4 74 2 9 0

3775 D =

2664

4 8 67 2 31 3 26 5 1

3775

E =

245 3 66 2 19 0 7

35 F =

24 3 3 65 1 89 7 2

35

G =

2

4

1 2 54 3 23 4 5

3

5 H =

2664

6 3 21 4 10 2 05 0 7

3775

2. Dado A =

241 2 35 0 2

1 1 1

35, B =

243 1 24 2 5

3 0 3

35 y C =

244 1 20 3 2

1 2 3

35 :

a ) Calcule:

1) A + B:

2) A C:3) 2A:

b) Veri…que: A + (B C ) = (A + B) C:c ) Encuentre la matriz D tal que A + D = B:

3. Calcule los siguientes productos:

a )

3 5

82

:

b)9 8 7 6

2664

543

2

3775 :

c )

2 00 1

12 00 2

:

d ) 12 0

0 2 2 0

0 1 :

e )

241 1 20 2 1

0 0 3

35242 1 40 1 2

0 0 1

35 :

11


13/53

f )

24 34

5

354 6 8 :

4. Sea A =24 2 3 51 4 5

1 3 435, B = 241 3 51 3 5

1 3 535 y C = 24 2 2 41 3 4

1 2 335 :

a ) Muestre que AB = BA = 0; AC = A; CA = C:

b) Con los resultados de (a) muestre que:

1) ACB = CBA:

2) A2 B2 = (A B)(A + B):3) (A B)2 = A2 + B2:

5. Demuestre:

a ) tr(A + B) = tr(A) + tr(B):

b) tr(kA) = ktr(A):

6. Calcule AB en cada uno de los siguientes casos:

a ) A =

24 1 0 10 1 1

0 0 1

35 y B =

24 1 0 00 1 0

1 1 0

35 :

b) A =

2664

1 2 0 00 1 0 00 0 0 10 0 2 2

3775 y C =

2664

0 0 0 10 0 2 01 0 0 00 1 0 0

3775 :

c ) A =

26666664

1 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 3 0 0 00 0 0 4 0 00 0 0 0 5 00 0 0 0 0 6

37777775y B =

26666664

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 3 0 00 0 0 0 2 00 0 0 0 0 3

37777775:

12


14/53

Capítulo 2

Determinantes de MatricesCuadradas

2.1. Permutaciones e Inversiones

2.1.1. Permutaciones

Una permutación es la respuesta a la pregunta ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenarn números naturales distintos?, la respuesta es de n! formas distintas ya que en el primer puesto setienen n posibilidades, en el segundo se tienen n 1 posibilidades ya que pusimos un número en elprimer puesto, en el tercero se tienen n 2 posibilidades ya que se puso un número en el primerpuesto y otro en el segundo, y así sucesivamente.

Ejemplo 2.1 ¿De cuántas formas se pueden ordenar los números naturales 1; 2 y 3? De3! = 6 formas distintas:

123 132 213231 312 321

Inversiones

En una permutación de números naturales de 1 a n, si un número precede a otro que es menor,decimos que estos número están invertidos y que la permutación contiene una inversión , luego elnúmero total de inversiones que posee una permutación, por de…nición, es cuántos números menoresprosiguen después de números mayores.

Ejemplo 2.2: Sea 614325 una permutación de números del 1 al 6, ésta posee 8 inver-siones ya que 6 es mayor que 1,4, 3, 2 y 5, además 4 es mayor que 3 y 2, por último 3es mayor que 2.

Si el número de inversiones en una permutación es par (impar), la llamamos permutación par(impar).

13


15/53

2.1.2. El Número Epsilon

Para cada permutación de números naturales del 1 al n, se de…ne el número epsilon de lasiguiente manera:

j1j2:::jn = f 1 si j1 j2:::jn es una permutación par 1 si j1 j2:::jn es una permutación impar Otra forma de verlo es de…niendo como k el número de inversiones, entonces:

j1j2:::jn = (1)k

Ejemplo 2.3. El número epsilon de la permutación 321 es 321 = (1)3 = 1. Por otrolado el de la permutación 312 es 312 = (1)2 = 1:

2.2. El Determinante de una Matriz Cuadrada

2.2.1. Los términos del Determinante

Si se hace el ejercicio de tomar un elemento de cada …la y anotar de qué columna es perono repetimos la columna cada vez que elegimos un elemento de cada …la, es decir, tenemos nelementos (uno por cada …la) y todos de columnas distintas, los multiplicamos entre sí y ademáslo multiplicamos por el número epsilon j1j2:::jn donde j1 representa la columna del elemento de la…la uno, j2 la columna del elemento de la …la 2 y así sucesivamente, se obtendrá un término deldeterminante de una matriz.

j1j2:::jna1j1a2j2 :::anjn

Ejemplo 2.3. Sea la matriz A =

24 a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

35 , entonces todos los términos del

determinante de A son:

123a11a22a33 = (1)a11a22a33

132a11a23a32 = (1)a11a23a32213a12a21a33 = (1)a12a21a33231a12a23a31 = (1)a12a23a31

312a13a21a32 = (1)a13a21a32

321a13a22a31 = (1)a13a22a31

2.2.2. El Determinante de una Matriz Cuadrada

Dado lo anterior se de…ne el determinante de orden n como la suma de todos los términosdel determinante de una matriz de orden n, y lo denotamos como det A, o bien,

jA

j:

det A = jAj =X

j1j2:::jna1j1a2j2 :::anjn

14


16/53

Ejemplo 2.4.

(a)

a11 a12a21 a22

= 12a11a22 + 21a12a21 = a11a22 a12a21

(b)

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= 123a11a22a33 + 132a11a23a32 + 213a12a21a33 + :::+231a12a23a31 + 312a13a21a32 + 321a13a22a31

= a11a22a33 a11a23a32 a12a21a33 + :::

+a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31

= a11(a22a33 a23a32) a12(a21a33 a23a31) + :::

+a13(a21a32 a22a31)

= a11

a22 a23a32 a33 a12

a21 a23a31 a33 + a13

a21 a22a31 a32

(c)

1 23 4

= 1(4) 2(3) = 2

(d)

2 3 51 0 12 1 0

= 20 11 0

31 12 0

+ 51 02 1

= 2(0(0) 1(1)) 3(1(0) 1(2)) + 5(1(1) 0(2))= 2(1) 3(2) + 5(1) = 9

Teorema 2.1: Sea A una matriz cuadrada y k un escalar, entonces se cumple lo sigu-iente:

(a) detA = detA0

(b) Si todos los elementos de una …la o una columna son ceros, entonces detA = 0

(c) Si dos …las o columnas son iguales, entonces detA = 0

(d) Si B es igual a A excepto por que una …la o una columna es k veces la de A, entonces se cumple que detB = kdetA

(e) Si sumamos o restamos k veces una …la o una columna a otra …la o columna, entonces el determinante no cambia

(f) Si intercambiamos 2 …las o 2 columnas de A, entonces el determinante de la nueva matriz es detA(g) Si B es una matriz del mismo orden de A, entonces det(AB) = (detA)(detB)

Ejemplo 2.5. Calculemos los determinantes de las siguientes matrices:

(a) A =

2

40;87632 0;31141 0;112320;31141 0;24418 0;10214

0;11232 0;10214 0;014971

3

5; (b) B =

2

418 11 1327 23 26

45 87 92

3

5Comencemos por la matriz A, ocupando (d) factorizamos la primera columna por0.87632 y se obtiene:

15


17/53

0;87632

1 0;31141 0;11232

0;35536 0;24418 0;102140;12817 0;10214 0;014971

por (e) restamos 0.31141 veces la primera columna a la segunda y 0.11232 veces laprimera a la tercera:

0;87632

1 0 0

0;35536 0;13352 0;062230;12817 0;06223 0;00058

factorizando la segunda columna por 0.13352:

(0;87632)(0;13352)

1 0 0

0;35536 1 0;062230;12817 0;4611 0;00058

substrayendo 0.06223 veces la segunda columna a la primera se tiene que:

(0;87632)(0;13352)

1 0 0

0;35536 1 00;12817 0;4611 0;02843

== (0;87632)(0;13352)(0;02843) = 0;003326:

Para la matriz B , restemos la segunda columna a la tercera:18 11 227 23 345 87 5

y si factorizamos por 9 la primera columna se tiene que:

92 11 23 23 35 87 5

= 0

ya que tenemos dos columnas idénticas.

2.3. Menores y Cofactores

Sea A una matriz cuadrada de orden n cuyo determinante existe. Entonces el determinante dela matriz que obtenemos al eliminar la …la i y la columna j de A la llamamos primer menor deA y es denotado como jM ijj o bien lo llamamos el menor de aij : De la misma forma, el cofactorde aij está de…nido como (1)i+j jM ij j y lo denotamos como ij:

Ejemplo 2.6. Si A =24 a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

35, entonces los menores principales y los cofac-tores de la segunda …la son:

16


18/53

jM 21j =a12 a13a32 a33

; jM 22j =a11 a13a31 a33

; jM 23j =a11 a12a31 a32

y

21 = (1)2+1 jM 21j = jM 21j ; 22 = (1)2+2 jM 22j = jM 22j ;23 = (1)2+3 jM 23j = jM 23j

Así como de…nimos primeros menores , como el determinante de la matriz que resulta al eliminaruna …la y una columna de la matriz A, se puede de…nir los segundos menores como el determinantede la matriz que resulta al eliminar dos …las y dos columnas de la matriz A y así sucesivamente.Imaginemos una matriz cuadrada de orden 5, entonces un segundo y tercer menor son:

jM 23;24j =

a11 a13 a15a41 a43 a45a51 a53 a55

; jM 145;135j =a22 a24a32 a34

Se dice que dos menores son complementarios si uno esta conformado por las …las y columnas

que eliminó el otro menor . Por ejemplo, los dos menores anteriores son complementarios. Así mismo,podemos ampliar la de…nición de cofactor . El cofactor del menor

M (i)(j) está de…nido como:

A(k)( p) = (1)(P

k+P

p)M (k)( p)

dondeM (i)(j) y M (k)( p) son menores complementarios:

Ejemplo 2.7. consideremos la siguiente matriz:2664

1 0 2 02 0 1 00 4 0 30 3 0 4

3775

Entonces el cofactor del menorjM 34;34j =1 02 0

, es:

A12;12 = (1)1+2+1+2 jM 12;12j =0 30 4

2.4. La Expansión de Laplace

Laplace demostró que el determinante de una matriz A puede ser calculado seleccionando r …las(o columnas) de A, formando todos los menores posibles de esas r …las (o columnas), multiplicandotodos los menores con su cofactor y sumando los resultados.

Ejemplo 2.8. Calculemos el determinante de la matriz del ejemplo anterior seleccio-nando las dos primeras …las, esto signi…ca que vamos a tener C 42 = 6 menores ya que setienen las siguientes combinaciones de columnas: la columna 1 con la 2, la 1 con la 3, la1 con la 4, 2 con la 3, la 2 con la 4, la 3 con la 4.

17


19/53

1 0 2 02 0 1 00 4 0 3

0 3 0 4

=

1 02 0

(1)1+2+1+20 30 4

+

1 22 1

(1)1+2+1+34 33 4

+

1 02 0 (1)1+2+1+4

4 03 0 +

0 20 1 (1)1+2+2+3

0 30 4

+

0 00 0 (1)1+2+2+4

0 00 0 +

2 01 0 (1)1+2+3+4

0 40 3

= 21

Corolario: Sea A una matriz cuadrada de orden 3, entonces su determinante puede ser calculado de las siguientes formas:

jAj =X

j

aij ij para cualquier i, o bien

jAj = Xi

aij ij para cualquier j.

El corolario anterior es sumamente útil al momento de invertir matrices cuadradas deorden 3.

2.5. La Adjunta de una Matriz Cuadrada

Sea A una matriz cuadrada de orden n y ij el cofactor del elemento aij, entonces la matrizadjunta esta de…nida como:

adjunta A = adj A =

26664

11 12 : : : 1n21 22 : : : 2n

......

. . . ...n1 n2 : : : nn

37775

Ejemplo 2.9. Para la matriz A =

241 2 32 3 2

3 3 4

35, sus cofactores son:

11 = 6; 12 = 2; 13 = 3; 21 = 1; 22 = 5; 23 = 3; 31 = 5; 32 = 4;33 = 1y su adjunta es:

adj A =

2

46 1 5

2 5 4

3 3

1

3

5Teorema 2.2. Sea A una matriz cuadrada de orden n y adj A su adjunta, entonces se cumple que:

A(adj A) = (adj A)A = jAj I

18


20/53

Ejemplo 2.10. Sea A la matriz del ejemplo anterior, entonces:

A(adj A) =

2

41 2 32 3 23 3 4

3

5

2

46 1 5

2 5 4

3 3

1

3

5 =

2

47 0 00 7 00 0

7

3

5 = 7I

2.6. La Inversa de una Matriz

Del Teorema 2.2 se desprende una forma de calcular la matriz inversa que de…nimos en elpunto 1.4.4. Recordemos que la inversa de A es aquella matriz B que cumple con la siguientepropiedad: AB = BA = I y denotábamos a B = A1: Entonces si dividimos el teorema por jAj ypremultiplicamos por A1; encontramos:

A1 = adj A

jAj =

26664

11= jAj 12= jAj : : : 1n= jAj21= jAj 22= jAj : : : 2n= jAj

......

. . . ...

n1=jA

j n2=

jA

j : : : nn=

jA

j

37775

Ejemplo 2.11. La inversa de la matriz A del ejemplo anterior es:

A1 = adj A

jAj = 1

7

24 6 1 52 5 43 3 1

35 =

240;8571 0;1429 0;71430;2857 0;7143 0;5714

0;4286 0;4286 0;1429

35

Teorema 2.3. Sean A, B y C matrices compatibles para la multiplicación, entonces se cumple que:

A1 = 1jAj(A1)1 = A

(A1)0 = (A0)1

Si A es simétrica, A1 es simétrica.

(AB)1 = B1A1

(ABC )1 = C 1(AB)1 = C 1B1A1

2.7. Determinantes e Inversas de Matrices Particionadas

2.7.1. Determinantes de Matrices Particionadas

El determinante de una matriz particionada es igual al de una matriz común y corriente pero

como las submatrices son de menor orden que la matriz original puede que sea conveniente, parasimpli…car los cálculos, calcular el determinante en función de las submatrices. Acá se presentanalgunos resultados importantes:

19


21/53

El Determinante de la Matriz Diagonal por Bloques

Sea A =

A11 0

0 A22

una matriz particionada diagonal por bloques, entonces su determinante

está de…nido por:

jAj =A11 00 A22

= jA11j jA12j


2664

1 2 0 03 0 0 00 0 5 60 0 9 8

3775, entonces su determinante es:

jAj =1 23 0

5 69 8

= (1(0) (2)(3))((5)(8) (6)(9)) =

= (6)(40 54) = (6)(14) = 84Como tarea puedes tratar de demostrar el método expandiendo por Laplace.

El Determinante de una Matriz Particionada 2 x 2

Sea A =

A11 A12A21 A22

una matriz particionada, entonces su determinante está de…nido por:

A11 A12A21 A22 = jA11j A22 A21A111 A12

= jA22jA11 A12A122 A21


2664

1 2 5 63 0 9 83 8 2 39 7 5 7

3775, entonces su determinante es:

1 23 0

2 35 7

3 89 7

1 23 0

1 5 69 8

== 6

2 35 7

3 89 7

0 0;3330;5 0;1667

5 69 8

= 6

2 35 7

17 21;33334 35;667

= 615 18;333

29

28;667

= 6((15)(28;667) (18;333)(29))= (6)(101;6667) = 610

20


22/53


23/53

A111 =

1 23 0

1=

0 0;3330;5 0;1667

; =

15 18;33329 28;667

, 1 =

0;2820 0;18030;2852 0;1475

entonces

A1 =

26640;1754 0;0344 0;0852 0;14750;0443 0;0180 0;1934 0;06560;4967 0;4246 0;2820 0;18030;6246 0;3656 0;2852 0;1475

3775

2.8. Rango de una Matriz

Antes de de…nir el rango de una matriz se introducirá el concepto de submatriz cuadrada.Una submatriz cuadrada es cualquier matriz que se obtenga eliminando …las y columnas de A, yque formen una matriz cuadrada.


2 1 10 3

2

, entonces todas las submatrices cuadradas de A

son:

2 10 3

;

2 10 2

;

1 13 2

;

2

;

1

;1 ; 0 ; 3 ; 2Entonces el rango de una matriz es el orden de la submatriz cuadrada de mayor orden con

determinante no nulo. En el ejemplo anterior el rango es 2 ya que todas las submatrices cuadradasde orden 2 tienen determinante no nulo, es decir, son no singulares.

Corolario: Si A es una matriz cuadrada de orden n y su rango es r < n, entonces notiene inversa de…nida; ya que A1 = adj AjAj ;pero si r < n signi…ca que jAj = 0; entonces la inversa A no está de…nida. Luego, todas las matrices cuadradas invertibles tienen su rango igual a su orden ( r = n) y las llamaremos matrices de rango completo.

A continuación se presentan 3 propiedades muy útiles del rango de una matriz:(a) rango (A) = rango (A0)(b) rango (AB) mn(rango (A);rango (B))(c) rango (A) = rango (A0A) = rango (AA0)

Si A es de orden M x n con n M y B es una matriz cuadrada de rango n, entonces:(d) rango (AB) = rango (A)

Piense en la diferencia entre (b) y (d).


1. Ocupando los términos del determinante calcule el determinante de las siguientes matrices:

a ) A =

3 24 6

:

22


24/53

b) B =

4 68 1

:

c ) C =

2 12 0

:

d ) D =

242 1 24 6 4

0 1 0

35 :

e ) E =

241 3 23 2 1

2 1 3

35 :

2. Usando las propiedades de los determinantes (teorema 2.1) calcule el determinante de lassiguientes matrices (tal como se hizo en el ejemplo 2.5):

A =

24

1 2 32 2 2

3 2 3

35 ; B =

24

0;6510 0;2234 0;14760;2234 0;5945 0;1162

0;1476 0;1162 0;7129

35 :

3. Calcule todos los menores y cofactores de las siguientes matrices:

a ) A =

3 81 9

:

b) B =

244 5 79 8 6

2 2 2

35 :

c ) C =

245 4 20 3 1

8 7 6

35 :

4. Calcule todos los segundos menores, con sus respectivos complementarios, de la siguientematriz. Luego calcule su determinante expandiendo por Laplace.

2664

4 0 3 03 0 4 00 5 0 70 7 0 5

3775

5. Calcule la adjunta y la inversa de todas la matrices del ejercicio 1.

6. Calcule el determinante y la inversa de las siguientes matrices particionadas:

a ) A =2664

6 3 0 0

5 6 0 00 0 2 40 0 0 1

3775 :

23


25/53

b) B =

2664

1 2 8 05 7 9 13 7 3 25 5 4 4

3775 :

7. Calcule el rango de las siguientes matrices e identi…que aquellas que son de rango completo.

a ) A =

1 78 5

:

b) B =

2 43 6

:

c ) C =

1 2 33 5 6

:

d ) D =

244 79 8

0 1

35 :

e ) E =

241 2 34 5 6

7 8 0

35 :

f ) F =

241 3 24 5 1

3 2 1

35 :

24


26/53

Capítulo 3

Espacios Vectoriales yDependencia Lineal

3.1. Sumas de Vectores y Multiplicación por un EscalarSe puede entender un vector de orden n x 1 como una representación de un punto n-dimensional

en un espacio vectorial de n dimensiones (Rn). Para entender más en profundidad esta idea setrabajará con vectores de 2 dimensiones, es decir, aquellos que pertenecen a R2.

Ejemplo 3.1. El vector x1 = [4 2], representa al punto (4,2) en un espacio vectorialR2, grá…camente:

-

6

*

0

1

2

3

4

56

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 = (4; 2)

x

y

Figura 3.1: El par ordenado (4,2) en un espacio vectorial de 2 dimensiones

3.1.1. Suma de Vectores

Al igual que la suma de matrices, la suma de vectores sólo esta de…nida en vectores del mismoorden y es simplemente la suma elemento a elemento.

25


27/53

Ejemplo 3.2. La suma de los vectores x1 = [4 1]; x2 = [2 3] es igual a x3 = [(4 + 2)(1 + 3)] = [6 4]; grá…camente:

-

6

3

:

:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x2

x1

x1

x2

x3

x

y

Figura 3.2: Suma de vectores

3.1.2. Multiplicación de un Vector por un EscalarLa multiplicación de un vector por un escalar, al igual que la multiplicación de una matriz por

un escalar, es sumar k veces el mismo vector y grá…camente corresponde a aumentar en k veces ladistancia del vector respecto a su origen.

Ejemplo 3.3. Sea x1 = [3 1] un vector de 2 dimensiones, entonces si se multiplica porun escalar k = 2, el nuevo vector será x01 = [6 2]; grá…camente:

-

6

1

1

0

1

2

3

45

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 = (3; 1)

x01 = (6; 2)

x

y

Figura 3.3: Multiplicación por un escalar

3.2. Relaciones y Medidas de Vectores

3.2.1. Multiplicación de Vectores

Recordemos la de…nición del capítulo 1:

26


28/53

Sea A =

a1 a2 ::: am

un vector de orden 1 x m y B =

26664

b1b2...

bm

37775

un vector m x 1, entonces

su multiplicación C = AB (en ese orden) está de…nida como la sumatoria de la multiplicación delelemento i de la matriz A con el elemento i de la matriz B , esto es:

AB =

a1 a2 ::: am26664

b1b2...

bm

37775 = [a1b1 + a2b2 + ::: + ambm] =

mXi=1

aibi

a esta operación también se conoce como producto punto.

Ejemplo 3.4. (a)

2 3 4 2

4

112

3

5 = [2(1) + 3(1) + 4(2)] = [7]

(b)

2 1 1

2

= [2 2] = [0]

Se dicen que dos vectores son ortogonales si su producto punto es igual a 0. Los vectores delejemplo 3.4.b. son ortogonales y grá…camente se ven de la siguiente forma:

-

6

?

*

A A A U

x1 = (2; 1)

x2 = (1; 2)

x

y

Figura 3.4: Vectores ortogonales

Podemos apreciar que los vectores ortogonales son perpendiculares.

3.2.2. La Norma de un Vector

La norma o largo de un vector X está de…nida como la raíz cuadrada del producto punto delvector con sí mismo y lo denotamos como jjX jj :

jjX jj =p

X 0X =q

x21 + x22 + ::: + x

2n

27


29/53


30/53

3.3.1. Sistemas Homogéneos

Un sistema de ecuaciones homogéneo es de la forma:

a1x1 + b1x2 + c1x3 = 0

a2x1 + b2x2 + c2x3 = 0

a3x1 + b3x2 + c3x3 = 0

Donde x1; x2 y x3 son las incógnitas y ai; bi; ci para i = 1; 2; 3 son los coe…cientes (valores).Entonces el sistema puede representarse de las siguientes formas:

24a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3

3524x1x2

x3

35=

2400

0

35 ;

Sx = 0

o bien:

24a1a2a3

35x1 +24b1b2

b3

35x2 +24c1c2

c3

35x3 = 0;s1x1 + s2x2 + s3x3 = 0

Este tipo de sistemas siempre tiene al menos una solución, la cuál es x = 0, esta solución seconoce como solución trivial del sistema homogéneo. Veamos si existe otra: si se premultiplicaen ambos lados por S 1 obtenemos:

S 1Sx = S 10

x = 0

Podemos concluir que si existe inversa, es decir, si S es de rango completo, entonces la solución

trivial será única.Si reordenamos el sistema de la siguiente forma:

24a1a2

a3

35x1 +

24b1b2

b3

35x2 =

24c1c2

c3

35x3

podemos darnos cuenta de que si existiese otra solución aparte de la trivial, podríamos expresar elvector s3 en función de s2 y s1. Luego podemos hacer la siguiente de…nición:

Dependencia lineal: Un conjunto de vectores n-dimensionales F son linealmentedependientes entre sí, si se puede dejar expresado un vector en función del resto.Análogamente podemos de…nir dependencia lineal si el sistema de ecuaciones homogéneoconformado por todos los vectores de F tiene más de una solución, o bien, la matriz S

conformada por los vectores de F no es de rango completo.

Análogamente se puede de…nir independencia lineal :

29


31/53

Independencia lineal: Un conjunto de vectores n-dimensionales F son linealmenteindependientes entre sí, si la solución al sistema:

s1x1 + s2x2 + ::: + snxn = 0

es única, es decir, la matriz S conformada por los vectores de F es de rango completo.

Ejemplo 3.7. (a) Los vectores a =

2424

3

35 ; b =

24351

35 ; c =

24414

1

35 son linealmente

dependientes ya que c = 2b + a:

(b) Los vectores a =

2424

3

35 ; b =

24351

35 ; c =

2412

3

35 son linealmente

independientes ya que la matriz compuesta por los vectores a; b; c tiene determinanteno nulo.

2 3 14 5 23 1 3

= 33


1. Sume y gra…que los siguientes vectores.

a ) X 1 =

2 10

; X 2 =

1 20

b) X 3 =3 20 ; X 4 = 0 10

c ) X 5 =

4 50

; X 6 =6 20

d ) X 7 =

5 40

; X 8 =2 60

2. Multiplique escalarmente y gra…que los siguientes vectores.

a ) X 1 =

1 30

; k = 2

b) X 2 =1 30 ; k = 2

c ) X 3 =

1 30 ; k = 2d ) X 3 =

1 30 ; k = 23. Calcule el producto punto de los siguientes vectores y veri…que que se cumpla X 0Y = 12(jjX + Y jj2

jjX jj2 jjY jj2):

a ) X 1 = 3 1 10

; X 2 = 4 3 20

b) X 3 =

1 3 50 ; X 4 = 2 4 20c ) X 5 =

1 2 3 40 ; X 6 = 2 3 2 120

30


32/53

d ) X 7 =

6 2 1 10 ; X 8 = 2 2 0 104. Muestre que los vectores del ejercicio 3 cumplen con la desigualdad de Schwarz y con la del

Triángulo

5. Determine si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes

a ) X 1 =

1 2 30

; X 2 =

4 3 50

b) X 1 =

1 2 30 ; X 2 = 7 7 150 ; X 3 = 3 1 30c ) X 1 =

1 4 30 ; X 2 = 5 2 40 ; X 3 = 8 3 10d ) X 1 =

11 6 50 ; X 2 = 4 1 20 ; X 3 = 3 4 10e ) X 1 =

1 4 2

0; X 2 =

5 3 20 ; X 3 = 1 1 00

3.5. Espacios, Subespacios y Bases Vectoriales

Antes de de…nir espacio y subespacio vectorial tenemos que de…nir 2 conceptos:

Sea F una colección de vectores n-dimensionales, decimos que F está cerrado bajola suma si para cualquier par de vectores pertenecientes a F se cumple que su sumatambién pertenece a F. Análogamente F está cerrado bajo la multiplicación escalar

si para cualquier vector perteneciente a F y cualquier escalar pertenecientes a los realessu multiplicación también pertenece a F:

Dado lo anterior se puede de…nir espacio vectorial

Espacio Vectorial: Cualquier conjunto de vectores F es un espacio vectorial si F está cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación escalar.

y análogamente se de…ne subespacio vectorial

Subespacio Vectorial: Cualquier subconjunto F 2 F es un subespacio vectorial si F está cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación escalar.

3.5.1. Sistemas no Homogéneos

Un sistema de ecuaciones no homogéneo es de la forma:

a1x1 + b1x2 + c1x3 = d1

a2x1 + b2x2 + c2x3 = d2

a3x1 + b3x2 + c3x3 = d3

Donde x1; x2 y x3 son las incógnitas y ai; bi; ci; di para i = 1; 2; 3 son los coe…cientes (valores).Entonces el sistema puede representarse de las siguientes formas:

31


33/53

24a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3

3524x1x2

x3

35=

24d1d2

d3

35 ;

Sx = D

Nuevamente la solución será única si S es de rango completo, ya que si se premultiplica por S 1

se obtiene:

S 1Sx = S 1D

x = S 1D

Esta solución es más relevante de lo que parece, no sólo nos ayudará a resolver sistemas deecuaciones lineales, sino que también signi…ca que si la matriz S es de rango completo, entoncessiempre podremos encontrar una combinación lineal x de los vectores de S que formen cualquiervector D, es decir, podremos generar cualquier vector en el espacio. Esto nos lleva a otra de…nición:

Base Vectorial: Un conjunto k de vectores F son una base para el espacio vectorialde k dimensiones F si estos k vectores son linealmente independientes.

En otras palabras, si tenemos k vectores pertenecientes a Rk linealmente independientes, podemosgenerar cualquier otro vector perteneciente Rk a través de una combinación lineal de estos.

Ejemplo 3.8. Los vectores a =

2410

0

35 ; b =

2401

0

35 ; c =

2400

1

35 son base para el espacio

vectorial R3, a su vez los vectores a y b no son base para el espacio vectorial R3, pero si

son base para el subespacio de R3 de la forma

24xy

0

35 :

Vectores Elementales: Los vectores elementales E 1

; E 2

;:::;E n son vectores unitarios que sirven como base para Rn y son de la siguiente forma:

E 1 = [1 0 ::: 0]

E 2 = [0 1 ::: 0]

... =...

E n = [0 0 ::: 1]


1. Determine la dimensión del espacio vectorial que generan los siguientes conjuntos de vectores.¿De qué forma son estos espacios?

a ) X 1 =

1 2 30

; X 2 =

4 3 50

b) X 1 =

1 2 30 ; X 2 = 7 7 150 ; X 3 = 3 1 30

32


34/53

c ) X 1 =1 4 30 ; X 2 = 5 2 40 ; X 3 = 8 3 10

d ) X 1 =11 6 50 ; X 2 = 4 1 20 ; X 3 = 3 4 10

e ) X 1 = 1 4 20

; X 2 = 5 3 20

; X 3 = 1 1 0

33


35/53

Capítulo 4

La Ecuación Característica de unaMatriz

4.1. El Problema de los Valores CaracterísticosEn muchas aplicaciones de las matrices a las matemáticas, física y ciencias sociales surge el

siguiente problema: Para una matriz cuadrada A de orden n se necesita encontrar los escalares ylos vectores no nulos X que satisfagan simultáneamente la siguiente ecuación:

AX = X

Este sistema de ecuaciones se conoce como el problema de los valores característicos. Pararesolver el sistema anterior es conveniente escribirlo de la siguiente forma:

(A I )X = 0

lo que corresponde a un sistema de ecuaciones homogéneo con n incógnitas, el cual tendrá solucionesno triviales si el determinante de la matriz de coe…cientes es nulo:

det(A I ) =

a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n

......

. . . ...

am1 am2 : : : amn

= 0

La expansión de este determinante nos entrega un polinomio de grado n en ; al cual denotamospor '() y lo llamamos polinomio característico de A. La ecuación que corresponde a '() = 0la llamamos ecuación característica de A

4.2. Vectores y Valores PropiosLa solución al problema característico está compuesta por 2 elementos:

34


36/53

(a) Las n raíces de la ecuación característica: 1; 2; :::; n:

(b) Un vector asociado a cada raíz característica: X 1; X 2;:::; X n:

Para aclarar los conceptos, los términos Valores Propios, Valores Eigen, Valores Característicos

y Valores Latentes son iguales. Esto es porque el primer lugar donde se dio nombre al estudio de laecuación característica fue en Alemania donde a los les llamaron Eigenwert , cuya traducción alingles fue Proper Values pero, como se verá más adelante, con estos valores podemos caracterizarcompletamente a una matriz y desde entonces recibieron los nombres de valores característicos .

Teorema 4.1. La ecuación AX = X tiene soluciones no triviales si y sólo si es una raíz característica de la ecuación característica de A y la cuál tiene asociado un vector no nulo X con los cuales la ecuación se satisface.

Ejemplo 4.1. Analicemos el problema característico de la siguiente matriz: A =

2 12 3

,

cuya ecuación característica es:

'() = det(A

I ) = 2 1

2 3 = 2

5 + 4 = 0

y sus soluciones son:

(4 )(1 ) = 0 =) 1 = 1; 2 = 4

las cuales tienen asociadas los siguientes vectores propios:

para 1 : AX = X )

2 12 3

x1x2

=

x1x2

) x1 + x2 = 0

2x1 + 2x2 = 0 )

podemos apreciar que la primera ecuación es igual a la segunda, entonces:

x1

=

x2 )

X 2

= 11

para 2 : AX = X )

2 12 3

x1x2

=

4x14x2

) 2x1 + x2 = 0

2x1 x2 = 0 )

nuevamente estas ecuaciones son idénticas, esto siempre sucederá ya que se está cumplien-do el requisito de que (A I ) sea singular

2x1 = x2 ) X 1 =

12

o cualquier multiplicación escalar de X 1; X 21 .

1 Muchos softwares computacionales y libros imponen la pseudo restricción de que la norma sea unitaria (kX ik),así se cierra el problema y se evita de que existan in…nitas soluciones para los vectores propios. Además, bajo ciertascondiciones, es una propiedad deseable.

35


37/53

Geométricamente, los vectores propios son los únicos que se mantienen invariantes ante el oper-ador lineal A y cualquier otro vector que no sea el propio, se mueve a estos ante el operador linealA. Para entender esto, vamos a seguir analizando el problema anterior: aplicaremos al operador Aal siguiente vector B 0 = [0 2] :

2 12 3

02

=

26

grá…camente esto se ve:

-

6

6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 = (0; 2)

x2 = (2; 6)

x

y

Figura 4.1: Transformación A al vector B

Como se aprecia, al premultiplicar B por A tuvimos como resultado un vector que se encuentraa la derecha del inicial. Hagamos lo mismo con C 0 = [2 0]:

2 12 3

20

=

44

grá…camente se ve:

-

6

-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x1 = (2; 0)

x2 = (4; 4)

x

y

Figura 4.2: Transformación A al vector C

36


38/53

Acá, a diferencia del caso anterior, al premultiplicar C por A el resultado se encuentra a laizquierda del vector original. Entonces deberían existir dos vectores en los cuales, estas fuerzas seanulen y que no se muevan ni a la izquierda ni a la derecha. Repitamos el ejercicio con el vectorpropio X 2:

2 12 3

12

=

48

= 4

12

-

6

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 2 = (1; 2)

X 02 = (4; 8)

x

y

Figura 4.3: Transformación A al vector X 2

Se puede apreciar que si se premultiplica X 2 por A, no se desplaza ni a la izquierda ni a laderecha, sino que aumenta en una magnitud igual a su valor propio.

Como tarea repite el ejercicio con vector X 1.

Teorema 4.2. Si las raíces de la ecuación característica son distintas, entonces los vectores característicos asociados a cada una de estas raíces son linealmente independi-entes.

Este teorema puede ser intuitivo por la construcción de los vectores propios, pero como podríapensarse, no podemos decir lo contrario.

Teorema 4.3. Si las raíces de la ecuación característica no son distintas, entonces los vectores característicos asociados a cada una de estas raíces pueden ser linealmente independientes como linealmente dependientes.

Por ejemplo los valores propios de una matriz identidad de orden 2 son 1 = 1; 2 = 1 perocualquier vector puede ser su vector propio.

4.3. La Matriz Modal

La matriz modal es aquella que está compuesta por todos los vectores propios, es decir, es de laforma:M =

X 1 X 2 ::: X n

37


39/53

si se premultiplica esta matriz por la matriz A obtenemos:

AM =

AX 1 AX 2 ::: AX n

pero por de…nición cada uno de los elementos es:AX 1 AX 2 ::: AX n

=

1X 1 2X 2 ::: nX n

= M D

donde D es una matriz diagonal de la forma

26664

1 0 : : : 00 2 : : : 0...

... . . .

...0 0 : : : n

37775 ; entonces podemos concluir que

se cumple:AM = M D

Esta matriz es de suma utilidad ya que nos permitirá escribir (caracterizar) la matriz original enfunción de su valores y vectores propios. A esto se conoce como descomposición espectral deun matriz y se deriva postmultiplicando la expresión anterior por M 1. Para esto tiene que existir

M 1

pero se vio que una condición su…ciente para que esto se cumpla es que los valores propiossean distintos.A = M DM 1

Ejemplo 4.2. Continuando con el ejemplo anterior podemos decir que la descomposiciónespectral de A es:

2 12 3

=

1 11 2

1 00 4

23 1313

13

4.4. Aplicaciones de la Descomposición Espectral

Todas las aplicaciones que siguen están sujetas a que la matriz modal sea invertible, peropodemos estar tranquilos ya que en econometría la mayoría de las matrices con las cuales se traba-

jará son simétricas y por lo tanto, se cumple el siguiente teorema:

Teorema 4.4. Sea A una matriz simétrica de orden k, entonces A tendrá k vectores propios distintos y ortogonales entre sí, luego la matriz modal de A es siempre invert-ible 2 .

4.4.1. El Rango de una Matriz

Ocupando la descomposición espectral de una matriz y las propiedades del rango se puede llegara una expresión simpli…cada del mismo, lo que queremos es conocer:

Rango (A) = Rango (M DM 1)

como sabemos, M es una matriz cuadrada y suponemos que es de rango completo ya que la podemos

invertir, entonces podemos ocupar la propiedad (d) del rango:

Rango (A) = Rango (M D)

2 Si además impusimos la condición que kX ik = 1 se puede demostrar que M 1

= M 0.

38


40/53

ocupando la propiedad (a) y después nuevamente la (d) obtenemos:

Rango (A) = Rango (A0) = Rango (D0M 0) = Rango (D0) = Rango (D)

Deducir el rango de D es simple ya que como D es una matriz diagonal el número de …las o

columnas linealmente independientes será el número de …las o de columnas distintas de cero.Teorema 4.5. El rango de un matriz A será el número de valores propios distintos de cero si y sólo si su matriz modal es invertible.

Ejemplo 4.3. La matriz A del ejemplo anterior es de rango 2 ya que sus dos raíces(1 = 1; 2 = 4) son distintas de cero.

4.4.2. La Traza de una Matriz

Al igual que el rango, se puede encontrar una expresión para la traza de una matriz a través dela descomposición espectral de ésta. Lo que se busca es:

tr(A) = tr(MDM 1)

ocupando la propiedad cíclica de la traza:tr(A) = tr(MDM 1) = tr(M 1MD) = tr(ID) = tr(D)

dado que D es una matriz diagonal que contiene las raíces de A llegamos el siguiente teorema:

Teorema 4.6. La traza de una matriz es igual a la suma de sus raíces características ovalores propios.

Ejemplo 4.4. La traza de nuestra matriz A es la suma de su diagonal 2 + 3 = 5, comotambién la suma de sus raíces 1 + 4 = 5

4.4.3. El Determinante de una Matriz

En este apartado vamos a tratar de encontrar una expresión para el determinante a través de

la descomposición espectral. El determinante de A es igual a:jAj = M DM 1

ocupando la propiedad de que el determinante de la multiplicación es igual a la multiplicación delos determinantes:

jAj = jM j jDj M 1como la multiplicación es conmutativa:

jAj = jM jM 1 jDj

ocupando la primera propiedad pero al revés:

jAj =MM 1

jDj = jI j jDj

como el determinante de la identidad es 1 se tiene que:

jAj = 1 jDj =nYi

i

39


41/53


42/53

Teorema 4.9. Si la matriz A1 existe, entonces sus vectores propios son los mismos que los de A y sus valores propios son los recíprocos de A.

Podemos darnos cuenta que si una o más raíces de A son iguales a cero, es decir, A no es derango completo. Entonces D1 no estaría de…nida y la inversa de A tampoco.

Dado el resultado podemos tratar de encontrar una expresión para An, pero partamos porA2 :

A2 = A1A1

= (MD1M 1)(MD1M 1)

= (MD1M 1MD1M 1)

= (MD1ID1M 1)

= (MD1D1M 1)

= (MD2M 1)

luego, nuevamente es fácil demostrar por inducción que An = M DnM 1:Extendamos el teorema4.8.

Teorema 4.8. Para una matriz A, con inversa de…nida, se cumple que An = M DnM 1

para n perteneciente a cualquier número entero.

De la misma forma, se puede pensar que el resultado anterior podría expandirse a potenciascon números reales, lo cual no es del todo cierto, ya que, si elevamos un número negativo por 12 , seestará buscando su raíz cuadrada y como se sabe la raíz de un número negativo, no esta de…nida.

Teorema 4.11. Para una matriz A con raíces características positivas se cumple que An = M DnM 1 para n perteneciente a cualquier número real.

Ejemplo 4.5. Calculemos A1

2 y A1:

(a) A1

2 = M D1

2 M 1 = 1 1

1 2 1 0

0 2

23

13

1

3

1

3 =

43

13

2

3

5

3 :

(b) A1 = M D1M 1 =

1 11 2

1 00 14

23 1313

13

=

34

14

12 12

4.4.5. Matrices Idempotentes

En el apartado anterior estudiamos las potencias de una matriz y en el que siguiente, aplicare-mos lo aprendido a las matrices idempotentes. Las matrices idempotentes son aquellas matricesque cumplen con la siguiente condición An = A, para entender que implicancia tiene esto en ladescomposición espectral de una matriz estudiemos A2.

A2 = M D2M 1

pero si A es idempotenteA = M D2M 1

lo que implica queMDM 1 = M D2M 1

41


43/53

la única forma que se cumpla esto es que k = , es decir, las raíces características de A tienen queser 0 o 1. Supongamos que todas las raíces son 1.

A = M IM 1

= M M 1

= I

Si las raíces no son todas 1 es decir, son 0 y ocupando la de…nición de rango podemos a…rmarque A es singular.

Teorema 4.12. La única matriz idempotente de rango completo es la matriz identidad.

Teorema 4.13. Todas las matrices idempotentes, excepto la matriz identidad, son sin-gulares.

Por último, tomando en cuenta que el rango de una matriz son los valores propios distintos deceros y que en una matriz idempotente sus raíces son 0 o 1 podemos concluir:

Teorema 4.14. El rango de una matriz idempotente es igual a la suma de sus raíces características, es decir, es igual a su traza.


1. Dadas las siguientes matrices

A =

0 51 4

; B =

0 22 4

; C =

5 11 5

D =

2

42 2 4

1 3 41

2

3

3

5; F =

2

41 3 43 2 3

4

3 3

3

5a ) Encuentre la ecuación característica de cada matriz.

b) Encuentre los vectores y valores propios de cada una de esas matrices imponiendo larestricción de que kX ik = 1.

c ) Encuentre la matriz modal y su inversa para cada una de las matrices.

d ) Calcule M 0M:Usando la descomposición espectral calcule:

e ) El Rango de todas las matrices.

f ) La traza de todas las matrices.

g ) El determinante de todas las matrices.

h ) Las potencias de la forma A3; A3 para todas las matrices.

42


44/53


45/53

Capítulo 5

Formas Lineales, Cuadráticas yCálculo Matricial.

5.1. Formas linealesUn polinomio lineal homogéneo es un polinomio de grado 1 y se puede representar de la siguiente

forma:

q = a1x1 + a2x2 + ::: + anxn =nX

i=1

aixi

y una representación matricial del mismo sería:

q =

a1 a2 ::: an26664

x1x2...

xn

37775

= AX

donde q , A y X pueden pertenecer a los números reales. Este tipo de notación matricial nos serámuy útil en problemas de optimización y en cualquier ámbito donde se manejen muchos polinomiosy ecuaciones.

5.2. Formas Cuadráticas

Un polinomio cuadrático homogéneo es un polinomio compuesto de puros términos de grado 2y se puede representar de la siguiente forma:

q =n

Xj=1n

Xi=1aij xixj

y se puede expresar a través de matrices de la siguiente forma:

q = X 0AX

44


46/53

donde A tiene la propiedad de ser una matriz simétrica y, en general, q puede ser positivo, negativoo cero dependiendo principalmente de los valores que tome X y A:

Ejemplo 5.1. Escribamos en forma matricial la siguiente forma cuadrática:

q = x21 + 2x22 7x23 4x1x2 + 8x1x3

para esto debemos entender la expresión X 0AX , con tres incógnitas esta es:

q =

x1 x2 x3 24 a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

3524x1x2

x3

35

= a11x21 + a22x

22 + a33x

23 + a12x1x2 + a13x1x3 +

+a21x2x1 + a23x2x3 + a31x3x1+a32x3x2

podemos apreciar que los elementos de la diagonal están al cuadrado y que los elementosde la forma aij son los coe…cientes de los términos de la forma xixj , dado lo anterior

nos es conveniente escribir nuestro polinomio de la siguiente forma:

q = x21 + 2x22 7x23 2x1x2 2x2x1 + 4x1x3 + 4x3x1 + 0x2x3 + 0x3x2

luego el polinomio en forma matricial es:

q =

x1 x2 x3 24 1 2 42 2 0

4 0 7

3524x1x2

x3

35

= X 0

24 1 2 42 2 0

4 0 7

35 X

Es interesante conocer cuándo el valor q de las formas cuadráticas es siempre positivo o siem-pre negativo. Esto es posible a pesar de que dependa de A y de X , esto lo logramos estudiandonuevamente la descomposición espectral.

5.3. Matrices De…nidas y Semide…nidas

Como dijimos en el apartado anterior, queremos saber cuando la forma cuadrática es siemprepositiva o siempre negativa pero para esto debemos estudiar la descomposición espectral de A:

A = M DM 1

como en una forma cuadrática A es simétrica sabemos, por el teorema 4.5, que sus vectores car-acterísticos son ortogonales entre sí, además si imponemos la condición de que cada uno de los

45


47/53

vectores característicos sea un vector unitario (M 0i M i = 1) podemos ver que:

M 0M =

2

6664M 01M 02

.

..M 0n

3

7775 M 1 M 2 : : : M n =2

6664M 01M 1 M

01M 2 : : : M

01M n

M 02M 1 M 02M 2 : : : M

02M n

.

..

.

..

.

. .

.

..M 0nM 1 M

0nM 1 : : : M

0nM n

3

7775

=

26664

1 0 : : : 00 1 : : : 0...

... . . .

...0 0 : : : 1

37775 = I

luego se cumple que:M 0M = I ) M 0 = M 1

reemplazando en la descomposición espectral:

A = M DM 0

tomando la forma cuadrática:

X 0AX = X 0MDM 0X

si de…nimos y = M 0X . Entonces:

X 0AX = y0Dy

pero como D es una matriz diagonal podemos escribir la expresión anterior de la siguiente forma:

q = X 0AX =nX

i=1

iy2i

luego, si A es simétrica, el valor de q dependerá sólo de las raíces características.

Teorema 5.1. Sea A una matriz simétrica. Si todas todas las raíces de A son positivas,entonces decimos que A es positiva de…nida. Si las raíces son mayores o iguales a cero,entonces decimos que A es positiva semide…nida , o bien, de…nida no negativa.

Teorema 5.2. Sea A una matriz simétrica. Si todas todas las raíces de A son negativas,entonces decimos que A es negativa de…nida. Si las raíces son menores o iguales a cero, entonces decimos que A es negativa semide…nida , o bien, de…nida no positi-va.

5.4. Cálculo Matricial

5.4.1. Funciones Reales

Una función real f : X ! y es una relación que asocia, de manera única, un conjunto de valoresx 2 X a un valor y 2 R, y se denota y = f (x): En esta relación se denomina a las variables x comovariables independientes o dominio y a la variable y se le denomina variable dependiente orecorrido.

46


48/53

Ejemplo 5.2. La forma lineal corresponde a una función de la forma:

q = a1x1 + a2x2 + ::: + anxn

donde x1; x2; :::; xn son las variables del dominio y q es la variable del recorrido.

5.4.2. Derivadas de Funciones Reales

La derivada de una función representa el cambio de y respecto a un cambio in…nitesimal deuna de las variables independientes. Denominamos vector gradiente a aquel vector columna querepresenta a las primeras derivadas de una función respecto a todas las variables independientes.Son representaciones del vector gradiente :

rf =

266664

@f @x1@f

@x2...

@f @xn

377775 =

26664

f 1f 2...

f n

37775

Ejemplo 5.3. El vector gradiente de una función de la forma:

y = 2x1 4x2 + 3x3 ) y =

2 4 324x1x2

x3

35

es:

rf =

264

@f @x1@f

@x2@f

@x3

375 =

24 24

3

35

entonces podemos concluir que la derivada de la forma lineal es:

@AX

X

= A0

Ejemplo 5.4. El vector gradiente de la forma cuadrática del ejemplo 5.1

y = x21 + 2x22 7x23 4x1x2 + 8x1x3

es:

rf =

264

@f @x1@f

@x2@f

@x3

375 =

242x1 4x2 + 8x34x1 + 4x2

8x1 14x3

35

=

24 2 4 84 4 0

8 0 14

3524x1x2

x3

35

= 224 1 2 42 2 0

4 0 7

3524x1x2x3

35= 2AX

47


49/53

entonces podemos concluir que la derivada de la forma cuadrática es:

@X 0AX

@X = 2AX

Por otro lado denominamos matriz Hessiana a la matriz de segundas derivadas de una función.Se obtiene tomando cada elemento del vector gradiente y derivándolo respecto a cada una de lasvariables independientes, es decir:

H =

266664

@f @x1@x1

@f @x1@x2

@f @x1@xn

@f @x2@x1

@f @x2@x2

@f @x2@xn

......

. . . ...

@f @xn@x1

@f @xn@x2

@f @xn@xn

377775

Teorema de Young. Si una función es continua y doblemente diferenciable, entonces se cumple que:

@f

@xi@xj =

@f

@xj @xi

las derivadas cruzadas son iguales.

Entonces podemos a…rmar que, si la función es doblemente diferenciable, la matriz Hessiana essimétrica.

Ejemplo5.5. La matriz Hessiana de nuestra función cuadrática es:

H =

264

@f @x1@x1

@f @x1@x2

@f @x1@x3

@f @x2@x1

@f @x2@x2

@f @x2@x3

@f @x3@x1

@f @x3@x2

@f @x3@x3

375 =

24 2 4 84 4 0

8 0 14

35

= 224 1

2 4

2 2 04 0 7

35= 2A

entonces podemos concluir que el Hessiano de una forma cuadrática es:

H = @ 2X 0AX

@X 2 = 2A

5.4.3. Aproximación a una Función

Muchas veces nos será más útil aproximarse a una función que trabajar con ella misma. Unaherramienta para hacer esto es la expansión de Taylor. La expansión de Taylor es una aproximación

polinomial de una función, que consiste en caracterizarla en función de sus derivadas y un puntoarbitrario. Nosotros trabajaremos con la expansión de primer y segundo orden pero hay que recalcarque entre mayor el orden de la aproximación mejor sera esta.

48


50/53

Aproximación de Primer Orden

La aproximación de Taylor de primer orden nos entrega una forma funcional lineal de la funciónoriginal y su formula es:

y

f (xo) +

rf (xo)

0(x

xo)

donde xo es el punto de expansión, f (xo) es la función evaluada en el punto de expansión y rf (xo)0es el vector gradiente evaluado en el punto traspuesto.

Ejemplo 5.6. Sea f (x1; x2) = ln(x1) + ln(x2). Su aproximación de primer orden porTaylor entorno al punto xo = (1; 2), sería de la forma:

y ln(1) + ln(2) + 11 12

x1 1x2 2

y 1;307 + x1 + x22

comparemos:

f (1; 2) = ln(1) + ln(2) = 0; 693

y(1; 2) t 1;307 + 1 + 22

= 0; 693

en el punto de expansión son idénticos. Veamos en un punto cercano (1;1; 2;1)

f (1;1; 2;1) = ln(1;1) + ln(2;1) = 0;837

y(1;1; 2;1) t 1;307 + 1;1 + 2;12

= 0; 843

Aproximación de segundo orden

La aproximación de Taylor de segundo orden orden nos entrega una forma funcional lineal de

la función original y su formula es:

y f (xo) + rf (xo)0(x xo) + 12

(x xo)H (xo)(x xo)

donde xo es el punto de expansión, f (xo) es la función evaluada en el punto de expansión, rf (xo)0es el vector gradiente evaluado en el punto traspuesto y H (xo) es el Hessiano de la función evaluadoen el punto.

Ejemplo 5.7. Sea f (x1; x2) = ln(x1) + ln(x2). Su aproximación de segundo orden porTaylor entorno al punto xo = (1; 2), es lo que ya teníamos más el termino del Hessianoevaluado en el punto:

y ln(1) + ln(2) + 11 12 x1 1x2 2

+

x1 1 x2 2 1 0

0 14

x1 1x2 2

y 3;307 + 3x1 + 3x22

x21 x2

4

49


51/53

comparemos:

y(1; 2) 3;307 + 3(1) + 3 22 12 2

2

2 = 0;693

nuevamente en el punto de expansión son iguales. Veamos el punto (1;1; 2;1)

y(1; 2) 3;307 + 3(1;1) + 3 2;12

1;12 2;12

2 = 0;8305


1. Escribir las siguientes formas cuadráticas en notación matricial.

a ) x21 + 4x1x2 + 3x22

b) 2x21 6x1x2 + x23c ) x21 2x22 3x23 + 4x1x2 + 6x1x3 8x2x3

2. Escriba la siguiente matriz como una forma cuadrática.

24 2 3 13 2 4

1 4 5

35

3. Sea A =

26664

a11 a12 : : : a1na21 a22 : : : a2n

......

. . . ...

am1 am2 : : : amn

37775 una matriz, entonces las submatrices de A son:

A1 = [a11] ; A2 = a11 a12

a21 a22 ; A3 =

24

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

35 ;:::;An = A

entonces demuestre que:

a ) Si A es positiva de…nida, entonces los determinantes de las submatrices de A son todospositivos.

b) Si A es positiva semide…nida, entonces los determinantes de las submatrices de A sontodos no-negativos.

c ) Si A es negativa de…nida, entonces los determinantes de las submatrices de A alternande signo partiendo por jA1j 0; jA3j 0.

d ) Si A es negativa semide…nida, entonces los determinantes de las submatrices de A alter-nan de signo partiendo por

jA1

j 0;

jA2

j 0;

jA3

j 0; :::;

jAn

j(

1)n

0.

4. Encuentre @X0AX

@X y @

2X0AX@X2

para todas las formas cuadráticas de los ejercicios 1 y 2.

5. Aproxime por Taylor las siguientes funciones:

50


52/53

a ) f (x) = cos(x), en primer grado y alrededor de :

b) f (x) = sin(x): en primer grado y alrededor de 2 3 :

c ) f (x) = ex; en quinto grado entorno al 0.

d ) f (x1; x2) = x1 ln(x2); en segundo grado entorno al punto (2; 2)

51


53/53

alvaro+g.+parra.+introduccion+al+algebra+matricial (1)

Documents