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UNIVERSITAT DE BARCELONA
CONJUNTOS DE NIVEL Y PROLONGACION DE FUNCIONES MONOTONAS
by
Juan Augé
AMS Subject Classification: 06A10, 26A48, 04A05
·111tiílífl 070167Q669
Mathematics Preprint Series No. 72
October 1989
CONJUNTOS DE NIVEL Y PROLONGACION
DE FUNCIONES MONOTONAS
by
Juan Augé•
ABSTRACT
The fundamental concepts of the theory of level sets of real functions defined on an arbitrary set, with no topology, but only with a partial order structure, are exposed. Then we consider monotonic functions defined on subsets of the given set, and their possible extensions to larger sets which preserve monotonicity and have the optima! property that the oscillation of the function remains unchanged.
AMS Subject Classification: 06A10, 26A48, 04A05.
• Departamento de Matemática Aplicada y Análisis, Universidad de Barcelona, Gran Vía Corts 585, 08007 Barcelona, SPAIN.
Expresamos nuestro agradecimiento al Prof. J .E. Martínez-Legaz del citado Departamento, por la ayuda que nos presta constantemente.
CONJUNTOS DE NIVEL Y PROLONGACION DE
FUNCIONES MONOTONAS
l. Conjuntos de nivel de una función real.
Dado un conjunto cualquiera X, consideramos el conjunto ¡¡x de las apli
caciones X ---+ R a valores en el cuerpo real completado con ±oo, R = R U
{-oo, +oo} . Son de gran uso los conceptos:
Definición l.
a) Conjunto de nivel A de la función f sobre el conjunto X es
S>.(f,X) = {x E X lf(x) ~ A} (1)
b) Conjunto estricto de nivel A
o
S>. (f,X) = {x E Xlf(x) < A} (2)
c) Conjunto superior de nivel A
S>.(J,X) = {x E X lf(x) ~A}. (3)
o
También se escriben simplemente S>.(J), S>. (f), s>.(f) .
El conjunto de conjuntos de nivel {S>.(f, X)} nos da una aplicación R---+ P(X) (subconjuntos de X), y otras análogas para los estrictos y los superiores, que tienen las
propiedades consignadas en las dos Proposiciones siguientes:
Proposición l.
a) Siempre es S+=U, X) =X. o
b) La aplicación A ---+ S>. (también la A ---+S>.) es monótona respecto la or-
denación por inclusión de 'P(X), es decir A ~ A' implica S>.(J, X) C S>.1 (J, X),
( monotonía no decreciente).
2
Demostración. a), b ), son consecuencia directa de la
primer lugar vale la inclusión C, y además si x <i S,x,
con J(x)>v>A, x<tS11 , luego x<iílµ>>..Sµ,
Definición 1. Para ver c), en
o sea f(x) >A, siempre 3v
c.q.d.
Proposición 2.
Análogamente para conjuntos de nivel superiores:
a) s-00 (J, X) = X
b) La aplicación ,\ --+ s>.. es monótona no creciente, es decir ,\ ::; ,\' • s>.. :) s>..'
c) S>..(f, X)= ílµ<>.. Sµ(f, X).
Demostración análoga a la anterior.
Ejemplo 1. Sea e E R fijo, y consideramos la función constante J( x) = e. Los
conjuntos de nivel son: S,x = 0, si A < e, S,x = X si A ~ e. Los casos
e = ±oo son casos límites que excluiremos. Este ejemplo elemental muestra que puede
ser S,x1 = S,x 2 aunque A1 < ,\2 , es decir, la aplicación A --+ S,x no es inyectiva,
ni tampoco es exhaustiva (o suprayectiva). Hacemos además la
Hipótesis: 3x E X con J(x) < +oo, y también 3y E X con f(y) > -oo.
Proposición 3.
a) Si / es finita en todo X, S-oo = 0, s+oo = 0 U.xe• S>. = U>.eR s>- = X, y recíprocamente.
b) Si f está acotada, A1 ::; f(x) ::; A2, para Vx E X, entonces, S.x 0 para ,\ < ,\1 , S,x2 =X, s>- = 0 para ,\ > A2, y finalmente s>-1 =X.
c) Si sólo se sabe A1 < f(x) (resp. f(x)<A2), entonces S>. = 0, s>- =X,
para ,\ ::; ,\1 (resp. S>.. =X, s>.. = 0, para A> -X2), y recíprocamente.
Demostraciones directas de la Defin. 1.
Proposición 4. o
Para los conjuntos de nivel estrictos S >.. se verifica
o
S>. (f) = X\S->.(-f). (4)
3
Demostración. S-A(-J) = {x E X 1 - f(x) :S -,q = {x E XI f(x) 2: >.}, y este último o
es el complementario de S A (J), c.q.d.
Escolio l.
o
Esta Proposición define cierta dualidad entre los conjuntos S A , S A , mediante los
cambios ,\ ---t -,\ , J ---t - f , y paso al complementario. De aquí que de las proposi-º ciones anteriores puedan deducirse otras para los conjuntos de nivel estrictos S A • Con-
º viene admitir, para completar la simetría, que S-oo= 0. También pueden introducirse
los conjuntos de nivel superiores estrictos
s:(J,X) = {x E XIJ(x) > ,\}'
y se verifican las relaciones de complementariedad
o
SA = X\S;' SA= X\SA.
2. Sistemas monótonos de conjuntos.
Definición 2.
Dado un conjunto {TAhefl de subconjuntos de X asociados a un parámetro
real ,\, es decir imagen de una aplicación R ---t P(X), diremos que es un sistema
monótono de conjuntos, si verifica las propiedades:
a) T+oo =X.
b) Monotonía, es decir ,\ :S ..\' implica TA C TA, .
Entonces, definimos la función asociada al sistema monótono, mediante
f(x) = inf {µ E Rlx E Tµ}, VxEX. (5)
Casos extremos de estas definiciones son los: 1, Tµ = 0 para Vµ E R, entonces
x (/. Tµ, Vµ E R luego f(x) = +oo, Vx E X;
2. Tµ = X para Vµ E R, que implica x ETµ, para Vx E X, Vµ E R, luego
f(x) = -oo. Estos dos casos no se consideran en lo sucesivo.
4
Proposición 5.
Sea { Tµ} µElii un sistema monótono sobre X , f ( x) la función asociada ( 5 ); en-
tonces:
a) xETµ para Vµ>,\, siysolosi f(x)~,\.
b) x E T _= implica J( x) = -oo y recíprocamente.
c) Si Tµ=X paraµ>,\, es J(x)~,\ para VxEX (Jacotadasupe
riormente).
d) TA e ílµ>A Tµ, pero no puede asegurarse el
Demostración.
a) x ETµ
b) X ETµ
c) Vx E X,
para µ > ,\ ~ inf {µlx ETµ} ~ ,\.
para Vµ E IR por la monotonía.
x ETµ para µ > ,\, luego inf{µlx ETµ} ~ ,\.
d) La inclusión es consecuencia de la monotonía y el ejemplo que sigue a continuación,
demuestra que puede no valer el
Ejemplo 2. Sean, X = R,
TA = { ~o, +oo] [O, +oo]
para ,\<O para ,\=O para ,\>O.
En este caso, ílA>O TA = [O, oo] =/ To = (O, oo].
Análogamente se pueden construir sistemas inversos:
Definición 3.
Dado un conjunto {TA hea de subconjuntos de X, asociados a un parámetro
,\ E R , diremos que es un sistema monótono inverso, si cumple:
a) T-= =X.
b) Monotonía inversa ,\ ~ ,\' implica TA ::> TA' .
Entonces definimos la función asociada al sistema monótono inverso, tomando
g(x) = sup{,\lx E TA}, Vx EX. (5')
Casos extremos son: l. TA = 0 para V,\ E R , entonces g( x) = -oo para
Vx E X; 2. TA= X, para VA, Vx E TA, g(x) = +oo, para Vx E X. Ex
cluiremos estos casos en lo sucesivo.
5
Proposición 5'.
Sea { T>.} >.Eii un sistema monótono inverso sobre X , g( x) la función asociada
(5'); entonces
a) xETµ paraµ<..\ siysolosi g(x)2'.:..\.
b) x E T+00 implica g( x) = +oo y recíprocamente.
c) Si Tµ = X para µ < ..\, es g(x) 2'.: .,\ para Vx E X. (g acotada infe
riormente).
d) Siempre T>. e ílµ<>. Tµ .
Demostración. Parecida a la proposición anterior no la detallamos. Observación parecida
al ejemplo 2.
Proposición 6.
Dada una función f : X --+ R, sus conjuntos de nivel S>., .,\ E R, satisfacen
a las condiciones de la Definición 2, y podemos definir la función asociada
f*(x) = inf{..\lx ES,>.}
Entonces se verifica f*(x) = f(x) para Vx E X. Enunciado análogo para conjuntos
de nivel superiores s>-(¡, X).
Demostración. Para cualquier subconjunto A de los reales R , A C R , se verifica,
si a E A, a = inf {..\l..\ E A, .,\ 2'.: a}; tomando ahora como conjunto A el campo
de valores de la f dada, f(X) = A, a= f(x) E A, obtenemos para Vx E X
J(x) = inf {..\IJ(x) ~ ..\} = inf {..\lx E S,x} = f*(x).
Análogamente se demostraría para conjuntos de nivel superiores con la definición (5') de
función asociada. c.q.d.
Proposición 7.
Dado un sistema monótono (T,xhEi de conjuntos de X con la función asociada
( 5), se verifica:
T>. e S>.(f,X) = n Tµ (6) µ>.\
6
por tanto T>.. = S>.. si y solo si (comparar con Proposición 1, c)) T>.. = ílµ>>.. Tµ.
Demostración. Por ser S>..(J) = {x E XI inf [µlx E Tµ] ~ >.} o sea que x E S>..(J)
significa inf[µlx E Tµ] ~ >., es decir, para Vµ > >., x E Tµ, luego x E
nµ>).. Tµ' S>.. e nµ>A Tµ; pero también vale la inclusión contraria, porque si X E Tµ
para Vµ > >., forzosamente inf [µlx E Tµ] ~ >., luego f(x) ~ >., o sea x E S>...
Por otra parte el signo de inclusión de (6) es consecuencia de la monotonía del sistema
T>.., y el ejemplo 2 comprueba que no se puede sustituir por el c.q.d.
Para sistemas monótonos inversos, vale análogamente:
Proposición 7'.
En el sistema monótono inverso (TA), con la función asociada (5'), se verifica,
T>.. e S>..(g) = n Tµ (7') µ<>.
por tanto T>.. = s>..(g) si y solo si T>.. = ílµ<>.. Tµ .
Demostración. S>..(g) = (x E Xlsup{µlx E Tµ} ~ >.), con lo que x E s>..(g),
significa sup{µlx E Tµ} ~ .A, es decir para Vµ < ..\ es x E Tµ, luego x E
ílµ<.X Tµ , de donde S>..(g) e ílµ<>.. Tµ , pero también vale la inclusión inversa, porque
s1 x E T/J para µ < ..\, entonces sup{µlx E TtJ} ~ ..\, g(x) ~ ..\, o sea
x E S>..(g), y vale la igualdad de (7'). La inclusión de (7') es consecuencia de la mono
tonía.
Dada una familia monótona (T>..).xe11 de subconjuntos de X , siempre se le puede
asociar, siguiendo a Crouzeix [4], otra familia (1\hell, definida por
'Í'>.. = n Tµ, V..\ E R. µ>.X
Se demuestra que la familia ('Í'>..) verifica la propiedad c) de la Proposición 1, y
según la Proposición 7 es la familia de conjuntos de nivel de la función f asociada al
sistema (T>..), o sea 'Í'>.. = S>..(f), V..\ E R. En definitiva obtenemos la
Proposición 8.
Dado un sistema monótono (T>..h E R, la función asociada f, tiene como con
juntos de nivel S>..(f) = ílµ>>.. Tµ ::> T>... El sistema monótono S>..(f), es pues el de
los mayores subconjuntos que forman sistema monótono con la función asociada f.
7
Ejemplo 2. En el mismo ejemplo ya considerado, es
[O, +oo) para ,\~O, J(x) = -oo para x <O,
Correlativamente se puede dar la
Proposición 8'.
t>- = 0 J(x) = O
para
para
,\ < o, X~ Ü.
Dado un sistema (T>..hElii monótono inverso, la función asociada (5') g(x) tiene
como conjuntos de nivel s>-(g) = nµ<>.. TIL ::) TA. El sistema s>-(g) es el de los
mayores subconjuntos que dan como función asociada la g( x) .
Demostración. Se considera el sistema t>- = nµ<>.. TIL ; se demuestra que esta familia
verifica las hipótesis de la Proposición 2, luego también según la Proposición 6' es la familia
de conjuntos de nivel de g(x). c.q.d.
Para los conjuntos de nivel estrictos vale (ver [7, IV]):
Proposición 9.
Con las hipótesis de la Proposición 8, se verifica
para V). E R.
o
Demostración. Si x ES>.. (f), también f(x) < )., inf{µjx E Tµ} < )., lo que
implica :3µ < ). con X E Tµ ' luego X E uµ<>.. Tµ . También el razonamiento vale
a la inversa. c.q.d.
Escolio 2.
En los sistemas monótonos (T>..hEli, hemos considerado hasta ahora que el campo
de valores de ). era toda la ~eta real cerrada R . Pero puede ser que para ciertos valores
de ). sea T>.. = 0. Entonces puede reducirse el conjunto total X, sustituyéndolo por
LJ T>.. donde la unión se extiende a todos los ). con T>.. =f. 0 . Como se ve en el ejemplo 2,
puede ser LJ T>,. =/- X , con lo que hay reducción efectiva de X . Pero por la monotonía del
sistema, el campo de valores de ). será una semirrecta abierta o cerrada. Recíprocamente, si
consideramos sistemas monótonos del tipo (T>..hE(>..o,+oo), siempre se podrá completar
a otro (T>..hElii, tomando p. ej. T>.. = 0 para ). < Ao (puede que haya también
otros sistemas que lo extiendan).
8
De una manera análoga, si es T>,. 0 = X , según la monotorúa será T>,. = X para
,\ > ,\0 , y se podría considerar el sistema reducido (T>.)>.:5>.0
• Pero en todos los casos,
puede pasarse siempre, por monotonía, al sistema (T>.) >.ei . Cosas parecidas pueden
decirse de los conjuntos de nivel de una función, cuyo campo de aplicación podrá exten
derse, utilizando, si es necesario, los valores f ( x) = ±oo . También pueden decirse cosas
análogas de los sistemas inversos y sus funciones asociadas.
3. Funciones Monótonas.
Supongamos ahora que el conjunto total X está dotado de una ordenación ( también
se llama un orden parcial) que verifica los axiomas:
01. Reflexividad: x -< x para Vx E X.
02. Antisimetría: x -< y , y -< x , implica x = y .
03. Transitividad: x -< y , y -< z implica x -< z .
Definición 4.
Una función f : X --+ R se dice que es monótona no decreciente (resp.
no creciente) si y solo si x -< y implica f(x) S f(y) (resp. f(x) ~ f(y)). Si
además x -< y con x -/- y implica f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)), la mono
tonía se dice que es estricta, y que la fes creciente (resp. decreciente).
Proposición 10.
f es no decreciente sobre X, si y solo si verifica que x -< y E S>..(f) implica x E
S>.(f). Análogamente fes no creciente si y solo si x >-- y E S>..(f) implica x E S>..(f).
Demostración. Si x -< y implica f( x) S f(y), entonces x -< y, f (y) S ,\ im
plica f(x) S ,\, o sea x E S>..(f). Recíprocamente, si x-< y ES>.. implica x ES>..,
entonces f(y) S ,\ implica f(x) S ,\, y tomando ,\ = f(y) resulta f(x) < f(y).
En cambio, s1 y-< x implica f(x) S f(y), entonces y E S>..(J), equivalente a
f(y) S ,\, implica f(x) S ,\, x E S>.., y al revés si x >-- y E S>..(f) implica
x E S>.(f), entonces f(y) S ,\, implica f(x) S ,\, luego f(x) S f(y). c.q.d.
Si en lugar de los conjuntos inferiores S>,. se utilizan los superiores s>.., se puede
demostrar la proposición:
9
Proposición 10'.
f es no decreciente ( resp. no creciente) sobre X , si y solo si y >- x E 5>.. implica
y E 5>.. (resp. x -< y E 5>.. implica x Es>..).
Demostración. Limitándonos al caso no decreciente, que x -< y dé f(x) :::; J(y),
obliga a f(x) ~ ,\ implica f(y) ~ ,\, o sea x E 5>.. implica y E S>..;
recíprocamente, si y >- x E 5>.. implica y E 5>.., tomando f ( x) = ,\ será J(y) ~
,\ = f(x), es decir, la monotonía. c.q.d.
Para conjuntos de nivel estrictos puede verse
Proposición 11.
Sean x -< y , x =/- y , dos elementos de X ,
a) s1 f : X --+ R es estrictamente creciente en x, entonces y E S>..(f) implica o
x ES>.. (f). No puede afirmarse el recíproco, pero o o
b) s1 y E S>..(f), y (/.S>.. (f), (o sea f(y) = -\), implica x ES>.. (f), entonces
f es estrictamente creciente.
Demostración. En las hipótesis de a), f(y) :::;_ ,\ implica f(x) < f(y):::; ,\ es decir o
x ES>.. (f); si se cumplen las hipótesis de b) f(y) = ,\, f(x) < ,\, luego f(x) < f(y).
c.q.d.
Consideramos ahora un sistema monótono (T>..heii de subconjuntos de X, y la
función asociada antes definida
f(x) =inf{.Xlx ET>..}: X-+ R (5)
Proposición 12.
f será monótona no decreciente ( resp. no creciente), si y solo si se cumple la
condición : x -< y E Tµ implica x E Tµ (resp. x >- y E Tµ implica x E Tµ)-
Demostración. Consideremos los conjuntos de nivel de f, que según la Proposición 8
serán S>..(f) = ílµ>>.. Tµ, y según Proposición 10, f será no decreciente si y solo si
se verifica que x -< y E S>., implica x E S>.,, es decir, en el caso presente, x -< y E
ílµ>>.. Tµ, o la condición equivalente y E Tµ \/µ > ,\ implica x E Tµ \/µ > ..\, y
10
al verificarse para V,\
creciente).
se cumple la Proposición (Demostración análoga para el caso no
c.q.d.
Utilizando sistemas monótonos inversos (TA) AEi , con la función asociada
g(x) = sup {,\ 1 x E TA} (5')
puede demostrarse una proposición correlativa:
Proposición 12'.
La función g(x) será monótona no decreciente (resp. no creciente) si y solo si, las
condiciones y >- x E TA implican la y E TA (resp. x -< y E TA implica x E T>..).
Demostración. Si hay monotonía, x-< y obliga g(x) ~ g(y), o g(x) ~ ..X implica
g(y) ~ ,\' X E SA(g) = nµ<A Tµ implica y E nµ<>.. Tµ o bien X E Tµ obliga a
y E Tµ ; recíprocamente, si se verifica lo último,
g( x) = sup {µ 1 x E Tµ} ~ sup {µ 1 y E Tµ} = g(y)
y se verifica la monotonía no decreciente. ( análogamente se demuestra para la monotonía
no creciente).
4. Método generalizado de Chabrillac-Crouzeix, para la prolongación de una
función monótona.
Sea ahora M un subconjunto propio del conjunto total X, en el que está
definida una relación de orden parcial, y ahora consideramos la función f : M -+ R , definida solamente en el subconjunto M , y monótona no decreciente ( sería parecido
para no creciente) respecto la ordenación inducida en M por la dada en X . Se trata
de prolongar la función f , a otra J definida en todo X , J : X -+ R , monótona
no decreciente en todo X, y que sea una extensión de la f, es decir, f(x) = J(x)
para Vx E M.
Vamos a exponer en primer lugar una generalización a un conjunto culaquiera X,
del método de Chabrillac-Crouzeix [3] de construcción de una extensión de la f dada
solo sobre M a una J definida en todo X (los autores citados consideran el caso
X= Rn).
11
Consideramos los subconjuntos T>. C X, definidos de la siguiente forma:
{ para ,\ < + oo, para ,\ = +oo,
x E T>. si y solo si :ly E S>.(f, A1) con x -< y.
x E T+ = Vx E X. (7)
Con esta definición, el sistema (T>.helii es un sistema monótono, como consecuencia de
la monotonía de S>.(f, 1'v1). Entonces, aplicando la definición 2, construyo la función
asociada
l(x) = inf {µ 1 x ETµ} , Vx E X (8)
entendiendo como es habitual, J(x) = + oo si x f/. Tµ, Vµ < + oo, f(x) = - oo s1
x E Tµ para Vµ E IR.
Entonces, según Proposición 7, los conjuntos de nivel verifican T>. C S>.(f, X) = ílµ>>. Tµ y también S>.(f, M) C S>.(f, X), porque f(x) ~ ,\, x E M, implican
X ET>,.' y en virtud de la monotonía X Enµ>>. Tµ, De aquí que para X E M, f(x) ~
,\ implica J ( x) ~ ,\, de donde f( x) ~ f ( x ), pero vale siempre el igual, porque
S>.(f, M) = T>. n M, luego para x E M
J ( x) = inf {µ 1 x E Tµ} = inf {µ 1 x E Tµ n M} =
= inf {,\ I x E S>.(f, M)} = f(x).
Además la función extendida J : X --+ R, es monótona no decreciente en X.
Basta para verlo, según Proposición 10, que las relaciones x -< y E S>.(f, X) impliquen
x E S>.(J, X). En efecto, y E S>.(J, X) implica y E Tµ, Vµ > ,\, y existirá Yµ E
Sµ(J, M) con y -< Yµ E Sµ(f, M) de donde x -< y -< Yµ E Sµ(J, M) obliga a
X Enµ>>. Sµ(J, X)= S>.(f, X). En definitiva, hemos demostrado:
Proposición 13.
La extensión generalizada J de Chabrillac-Crouzeix de la función dada f : M --+ R , está definida en todo X , y es allí monótona no decreciente.
5. Extensiones de un subconjunto determinadas por la ordenación
Sea ahora M subconjunto propio del total X , distinto del vacío, y con la orde
nación inducida por la de X .
12
Definición 5.
Designaremos por ( AJ --<) , ( AJ >--) , los conjuntos, extensiones del lvf :
( Al --<) = { X E X 1 3y E A1, y --< X}
( A1 >--) = { X E X 1 3y E A1' y >-- X}
Propositión 14.
Las extensiones anteriores se pueden iterar y se verifica : (M --<) --< = (M --<) :) M,
(M >--) >--= (M >--) = M >--:) M.
Demostración. Es consecuencia inmediata de la reflexividad y transitividad de la relación
de orden.
Ejemplo 9. Consideremos el caso en que X sea de la forma X = AUB, donde A, B,
son conjuntos disjuntos A n B = 0, y solo en el conjunto A tengo dada una orde
nación parcial --<. Esta ordenación la puedo considerar definida en todo X, s1 pienso
no comparables los elementos de B , ni entre sí, ni con los de A. Si tengo definida
una función monótona f : A -t R , y la extiendo a X por el método indicado en el
§ 4, resulta, para Vx E B, x f/. T>.. para V>.. E R, y la extensión J toma el valor
+ oo en todo B . En cierto sentido puede considerarse que es una extensión trivial, si
bien merece destacarse la generalidad del método. Más aún, se pueden considerar A , B ,
cada uno con su propia ordenación, pero que los elementos de A no sean comparables
con los de B. Si el subconjunto M, es una de las partes, p. ej. M = A, toda
función monótona f : A -t R , se extiende a B con J ( x) = + oo , por el método
del § 4, pero poco nos interesa esta extensión.
Para evitar estos casos patológicos, vamos a considerar solo conjuntos X que su
ordenación satisfaga a la usual:
Definición 6.
Diremos que X con la ordenación --< (resp. inferiormente) si y solo si, para Vx, y
x--< z, y--< z (resp. z--< x,z--< y).
Propositión 15.
es un conjunto dirigido superiormente
de X , 3 un elemento z , que verifica
Si X es sistema dirigido superiormente (resp. inferiormente) entonces:
(A1 --<) >--= X (resp. (A1 >--) --<= X).
13
Demostración. Sea Vx E X. Elijo y E AJ
riormente ( resp. inferiormente) 3 z E X con
de donde z E (M -<), x E (Af -<) >--, (resp.
Escolio 3.
arbitrario. Por ser X dirigido supre
x-< z, y-< z, (resp. z-< x, z-< y),
z E AJ>--, , x E (Af >--) -<), c.q.d.
Puede claree un recíproco de la Proposición anterior: Sea X conjunto ordenado
parcialmente tal que para VM subconjunto del mismo, vale (M -<) >--= X (respect.
(M >--) -<= X, entonces X es dirigido superiormente (resp. inferiormente).
Demostración. Sean x, y, cualesquiera en X. Tomemos el subconjunto M = { x }.
Entonces !vf -< es el conjunto de elementos mayores que x, y por otra parte y E
X = ( M -<) >-- ( o bien ( M -<) >-- si es dirigido inferiormente ), es decir 3z E M -< (o bien E M >--), con y-< z, x-< z (o al revés en el caso inferior) c.q.d.
Convendrá considerar los subconjuntos:
Definición 7.
M* = ( M -<) U ( l\,f >--) es el conjunto de elementos de X que son comparables con
alguno de M; AJ = ( M -<) n ( M >--) es el de los elementos que tienen en M uno
posterior y otro anterior a él. Se verifica:
Proposición 16.
a) Se verifican las inclusiones Me M -<, Me M >--, Me Me M* e X, que
pueden ser o no ser estrictas.
b) Si x, y, son elementos de M, y que sean comparables, p. eJ. x -< y, en
tonces todo z comprendido entre ambos x -< z -< y , pertenece también a M.
c) Si X es dirigido ( superior o inferiormente) entonces cualquier elemento es compa
rable con alguno de M*.
d) (M)* = M* (M >--) n (M >--) = M.
Demostración. a) es consecuencia de las Definiciones 6, 7. En la situación de b ),
3 u, v E M con u -< x, y -< v, con lo que u -< z -< v , z E M. Para ver c) basta
aplicar la Proposición 15. Finalmente d) es consecuencia de las definiciones. c.q.d.
14
6. Extensión de funciones monótonas no decrecientes.
Sea A1 subconjunto no vacio del conjunto total X, y sea dada una función f : M -----+ R , monótona no decreciente.
Definición 8.
Para todo x en X , que sea comparable con al menos uno de M , es decir
x E M* , definimos los conjuntos:
Mx = {u E MI u-< x}, Mx = {u E MI x-< u}
que no podrán ser a la vez los dos el vacío, por haber supuesto x E M* , o sea comparable
con alguno de M.
Se trata ahora de obtener una extensión de la función f dada, a todo el conjunto M*,
y que conserve la monotonía no decreciente en toda su extensión, además de satisfacer,
si es posible, a alguna condición de optimalidad, que después precisaremos. Haremos la
prolongación o extensión en dos pasos: primero extenderemos la f al conjunto M = M -< nM >- , y después al conjunto M*. Fuera de este último los elementos no son
comparables con los de M, y la monotonía no impone ninguna condición.
Consideremos pues x E M, con lo que existirán u E Mx, v E Mx, y para
que el valor en x de la función extendida J* conserve la monotonía deberá verificarse
J(u)~J*(x)<J(v) para VuEMx, VvEMx, por tanto
sup {f(u) 1 u E Mx} ~ f*(x) ~ inf {/(v) 1 v E Mx} (9)
Definición 9.
Definimos las dos funciones, que aplican M -----+ R ,
[(x) = sup {/( u) 1 u -< x}, f(x) = inf {f( v) 1 v >- x}
que verificarán:
Proposición 17.
Las funciones f, J, son extensiones de la f definida en M al conjunto Af,
es decir
15
a) Para x E A1, es [(x) = f(x) = ](x).
b) Para x E A1\Af, es [(x) ~ l(x).
c)Si x,y estánen A1, x-<y, implica [(x)~[(y), ](x)~](y).
d) Para toda f* que sea extensión monótona de M a M de la f dada, vale [(x) ~
f*(x) ~ J(x).
Demostración. a) Si x E M, en (9) el supremo y el ínfimo se alcanzan para u = x, v = x, en virtud de la monotonía supuesta para f, luego vale el = en las dos
desigualdades. b) es consecuencia directa de (9). c) si x -< y, entonces, u -< x
implica u-<y, osea Mx::)My, sup{f(u)juEMx}~sup{f(u)luEMy}, y
análogamente, x -< y -< v obliga a v E AfY implica v E Mx, luego AfY C Mx,
inf {f( v) 1 v E AfY} ~ inf {f( v) 1 v E Mx} de donde el enunciado. d) es consecuencia de
la (9). c.q.d.
Escolio 4.
La condición d) de la proposición anterior no asegura de ninguna manera la mono
tonía de f* , que habra que comprobar independientemente. Pueden multiplicarse los
ejemplos, de los que damos uno a continuación.
Ejemplo 4. extremos;
Sea, X = [0,1] intervalo unidad cerrado, M = {O, l} conjunto de los dos
f(O) =O, /(1) = 1, la función dada sobre M. Entonces
{ O en [O, 1) _ { O en x = O
f(x) = f(x) = - 1 en x = 1, 1 en (O, l]
y puede considerarse f*(x) = { Í _ 1 en [O,½) en [½, l] que cumple f_ < f* ~ J 2 2
pero no es monótona.
Las extensiones f_, f, J* , hasta ahora construídas, tienen además una propiedad
optima! que está expresada por la siguiente
Proposición 18.
La oscilación o variación total de las funciones extendidas f_, f, J* , so
bre M , coincide con la oscilación de la f dada sobre el conjunto M . Con
cretamente se verifica
sup {[(y)- [(x) 1 x,y E AJ, x-< y}=
= sup{f(v)-f(u) ju, v E M ,u-< v}
16
y relaciones iguales sustituyendo L por f, o por f * monótona L < f* < f ex
tensión de f.
Demostración. Es trivial la desigualdad 2:: por ser A1 C M. Además, para V x, y E
M con x -< y p. ej., existirán u, v E A1 con u -< x , y -< v, luego por la mono
tonía ya demostrada f(u) ~ [_(x), [_(y)~ f(v), restando [_(y)-[_(x) ~ f(v)-f(u),
lo que obliga al igual al tomar supremos. Lo mismo puede razonarse para f. Finalmente,
si consideramos J* monótona, que sea extensión de f , la oscilación de f * en M no
puede disminuir respecto la de f en AJ, porque f*( x) = f ( x) para x E M C M, y
tampoco puede aumentar, porque siempre hay u, v en M con u -< x -< v, f( u) ~
J*(x) ~ f(v), inf {f(u) 1 u E M} ~ J*(x) ~ sup {f(v) 1 v E M}, y entonces la oscilación
de J* no podrá sobrepasar la de f en M. c.q.d.
Pasemos ahora a considerar, extensiones monótonas de una función f* conocida ya
sobre M, a conjuntos más extensos, que se concretarán en los definidos en el § 5, y que
responden a las notaciones M-<, M >-, M* = (M -<) U (M >-) (ver Prop. 16 d)), con
la propiedad
(M -<) n (M >-) = M. Se cumple también A!-<= M-<, M >-= M >-
En primer lugar consideremos
x E ( M -<) \ M ( resp. x E ( M >-) \ M) (10)
e introduciremos los conjuntos de Def. 8, Mx, Mx, berán ser Mx =f. 0, Mx = 0, Mx C M, (respect.
Definimos entonces:
que por la propiedad ( 10), de
M x = 0, lvfX =f. 0, Mx e M).
Definición 10.
(J* -<) (f* >-), designarán las funciones
(f* -<)(x) = sup {J*( u) I u E Mx} M-< -. R
(f* >-)(x) = inf {J*(u) 1 u E 1\1x} : M >--. R.
Estas funciones nos interesan por las propiedades que poseen, que enunciamos ahora.
17
Proposición 19.
La función (f* --<) (resp. J* >-), es prolongación monótona no decreciente de la - -
función f* M -+ IR al dominio M --< (resp. M >-) es decir: a) para x E M
es (f* --<)(x) = f*(x) (respect. (f* >-)(x) = J*(x)). b) (f* --<) es monótona no
decreciente en M--< (resp. (f* >-) lo es en M >- ). c) la oscilación de (f* --<) en
M --< (respect. (f* >-) en M >- ) coincide con la oscilación de f* en M.
Demostración. a) Para x E M, el sup {J*(u) 1 u E Mx} y el inf {f*(u) 1 u E Mx}
se alcanzan en el punto x. b) Si x,y E M --<, x--< y (resp. x,y E M >-),3u--< x--<
y , u E M --< ( resp. x --< y --< v , v E M >-) entonces
(f* --<)(x) = sup {f*(u) 1 v E Mx}, (f* >-)(x) = inf {f*(v) I v E Mx}
y expresiones análogas en y, con Mx C My, Mx --< Mx, My --< MY, J\1Y C Mx, de
donde (f* --<)(x) ~ (f* --<)(y), o sea f*--< no decreciente, (J* >-)(x) ~ (f* >-)(y),
también J* >- no decreciente. c) En primer lugar, la oscilación solo puede aumentar,
por haber pasado a un dominio más extenso. Por otro lado, de las mismas definiciones se
deduce
inf {f*(u) 1 u E M} ~ (f* --<)(x) ~ sup {J*(u) 1 u E M}
luego la oscilación de (f* >-) tampoco puede superar la de J*. Lo mismo puede de
cirse de (f* >- ). c.q.d.
Escolio 5.
Si partirnos de una f : M -+ R, definida en un subconjunto arbitrario M, habrá
en general, una indeterminación al extender la f de M a M , como se deduce de la
Proposición 17. Los casos extremos son los que designabamos por f, J. Pero una
vez hemos elegido una extensión de f determinada ya en todo M , sea J* , entonces
ya quedan determinadas las extensiones a M >- y a M--< . Pero esto no significa que
estas extensiones sean únicas, sino que la f* --< es la extensión con valores inferiores de
la f* a M --< , y J* >- es la extensión con valores superiores de f * a M >- . Pero,
repetirnos, en dependencia de la J* elegida, que tiene corno extremos posibles, las que
hemos llamado antes [_, f, de las que por nueva prolongación se podría pasar a las
extensiones extremas f >- , f --< , en M >- , M --< , respectivamente.
Las proposiciones anteriores culminan en el
18
Teorema l.
Si X es un sistema dirigido, superior o inferiormente, M subconjunto propio no
vacio de X, con la ordenación inducida por la de X , f una función monótona dada
sobre M , f : M -+ IR , que sea o bien no decreciente, o bien no creciente; entonces, esta
función f admite una extensión monótona no decreciente o no creciente respectivamente a
todo el conjunto X, con el valor de la oscilación en todo X igual al valor de la oscilación
de f en M.
Demostración. Pensemos primero en el caso no decreciente. Sea X dirigido superior
mente (resp. inferiormente); entonces aplicamos a f la Proposición 17 y obtenemos ex
tensiones monótonas a todo el conjunto M; elegida una de ellas f* , podemos aplicarle
la Proposición 19, y construir su extensión optima! a M ~ (resp. a M >-), que hemos
desginado J* ~ (resp. f* >-). Después consideremos esta función monótona en M ~
(resp. en M >-) como definida en un subconjunto de X, y apliquemos de nuevo la
Proposición 19, y obtendremos una extensión (!* ~) >-, (resp. (J* >-) >-) monótona
optima! en (M ~) >- (resp. (M >-) ~), y en virtud de la Proposición 15 este conjunto
coincide con el total X.
El caso no creciente, es conceptualmente equivalente, porque en toda ordenación sobre
un conjunto X, se puede cambiar el orden por el simétrico. O también se llega a la
misma conclusión, considerando la función - f que será no decreciente. c.q.d.
Ejemplo 5. Nos limitamos a citar como fuente de ejemplos el espacio Rn, con
cualquiera de sus ordenaciones, y el teorema nos asegura la extensión a todo el espacio,
conservando la monotonía, de las funciones que sean monótonas en cualquier subconjunto
del espacio.
7. Los conjuntos de nivel en las prolongaciones.
Sea M un subconjunto no vacio del total X, y supongamos que sobre él está definida
una función f: M-+ R, que por el momento no suponemos con ningún tipo de mono
tonía. Las funciones ( 9) definidas en el § anterior pueden considerarse en el caso general,
aunque f no sea monótona y definir como en la definición 9 las funciones L, f.
f(x)= sup {f(u)lu~x}, l(x)= inf {f(v)lv>-x} - uEM vEM
(11)
19
Entonces pueden enunciarse algunas propos1c10nes, menos vinculantes que las de
Proposición 17:
Proposición 1 7'.
Las funciones f_, J, son extensiones de la f ( no necesariamente monótona) al con-
junto M, es decir:
a) Para x E M, es f_(x) = J(x) = f(x).
b) Para x E M\M es f_(x) ~ l(x).
(No se puede afirmar nada sobre monotonía, porque ya no se supone para la J).
Demostración. La misma de Proposición 17.
Tomemos ahora como conjunto M el M-< (resp. M >-).
Proposición 20.
Sea x E M-< (resp. x E M >-). Entonces existe u E M (resp. v E M), tal
que para e> O arbitrario es lf_(x)- J(u)I < e (resp. lf(v)- f(x)I < e), supuesto
que f_(x) (resp. f(x)) seafinito. Si f_(x)=+oo (resp. f(x)=-oo), entonces
existe u E M (resp. v E M), con f(u) > K (resp. f(v) < -K) para VK > O
arbitrario.
Demostración. Es consecuencia directa de las definiciones de supremo o ínfimo.
Corolario.
El campo de valores en R de cada una de las funciones f_, J, es el mismo de la
función f añadiendo algunos supremos, ínfimos, respectivamente, luego está incluído en
la adherencia del conjunto de valores de f sobre M:
{f_(x) 1 x E M -<} U {f(x) 1 x E M -<} e {f(u) 1 u E M}.
Pasemos ahora a considerar los conjuntos de nivel de las funciones extendidas f_, J. Las consideraciones manifestadas en los apartados anteriores en el caso de monotonía, nos
permiten idear una manera de extender los conjuntos de nivel de la f, ya conocidos:
S>.(J,M)={xEMIJ(x)~-X}, s>-(f,M)= {xEMIJ(x)~-X}
20
Consideremos los conjuntos de nivel de [_,
S>.([_,M-<) = {x E Jv[-< l[_(x) ~ ,\} =
{ x E M -< 1 f (u) ~ ,\, para u E Af con u -< x}
y análogamente los de J, pero superiores,
s>-(J,M ~) = {x E M ~ ll(x) ~ ,\} =
= { x E M ~ 1 f( v) ~ ,\ para v E M con x -< v}
Como se ve, las últimas expresiones solo dependen de la función f , y podemos definir
a partir de ella los sistemas de conjuntos S>.(f_, M -<), s>-(J, M ~ ), sin mencionar las
f , J, en la forma
Proposición 21.
U>. = { x E M -< 1 f (u) ~ ,\ para u E M con u -< x}
V>. = { x E M ~ 1 f ( v) ~ ,\ para v E M con x -< v} (12)
El sistema de conjuntos {U>.hElíi , (resp. {V>.hElíi) es un sistema monótono de
conjuntos ( res p. monótono inverso), y la función asociada 9-.( x) = inf { ,\ 1 x E U>.} ( resp.
g( x) = sup { ,\ 1 x E V>.}) coincide con la función extendida anteriormente definida [_
(resp. f), es decir 9-.(x)=f_(x), VxEM-<, (resp. g(x)=l(x), VxEM~).
Demostración. Deriva de haber tomado como conjuntos U>. (resp. v>-), los que son
conjuntos de nivel de f (resp. /), y basta aplicar la Proposición 1 (resp. Proposición
2).
Corolario.
Se verifica la coincidencia de las dos definiciones:
[_(x) = sup{f(u)lu-< x,u E M} = inf{,\jx E U.x}
/(x)= inf{f(v)lv~x,vEM} = sup{,\jxEV_x}.
8. Extensiones monótonas definidas por sus conjuntos de nivel.
Supongamos ahora que la función dada /: M-+ R sea monótona no decreciente;
podemos construir entonces, las extensiones f_ : M -< -+ R , / : M ~ -+ R , a partir de
los sistemas monótonos de conjuntos U>., y>., en las expresiones (12), y se verifica:
21
Teoren1a 2.
Si f es monótona no decreciente sobre M, entonces también las extensiones f_, J, son monótonas no decrecientes sobre los dominios respectivos M --< , M >- , y la os
cilación de cada una de ellas en sus dominios, coincide con la oscilación de f sobre lvf.
Demostración. En virtud del corolario de la Proposición 21, el teorema es un caso par
ticular de la Proposición 19, cuando se elige como J* cada una de las f_, J. El caso en que f sea monótona no creciente se obtendría a través de ligeras modifi
caciones que no detallamos, por no aportar novedad esencial.
Para acabar, diremos que según las últimas Proposiciones, en el Teorema 1 se pueden
construir las extensiones apoyándose en sistemas monótonos de conjuntos definidos direc
tamente a partir de la función f dada.
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22
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