116559681 s1 mq i analyses mathematiques i prises des notes
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7/29/2019 116559681 S1 MQ I Analyses Mathematiques I Prises Des Notes
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Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Anne Universitaire : 2012/2013
Matire : Analyse Mathmatique I Module : METHODES QUANTITATIVE I
Analyse Mathmatique I Prises des notes Page 1
La Campagne Estudiantine pour Rsumer
les Cours et Organiser les Polycopis
Option : Science Economique et Gestion
Module : METHODES QUANTITATIVES I
Matire : Analyse Mathmatique I
Semestre : 1
Type de document : Prises des notes
Anne universitaire 2012-2013
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7/29/2019 116559681 S1 MQ I Analyses Mathematiques I Prises Des Notes
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Option : Sciences Economiques et Gestion Semestre : 1 Anne Universitaire : 2012/2013
Matire : Analyse Mathmatique I Module : METHODES QUANTITATIVE I
Analyse Mathmatique I Prises des notes Page 2
Chapitre 1 La Continuit
I-La continuit :Dfinition 1 :
Soitf: A IR et soitx0 Afest continue enxo =f(xo)
Dfinition 2 : Une fonction fqui nest pas continue au pointxo est dite discontinue en ce point etxo est
appel un point de discontinuit de f.
Proprit 1 :
Soitfet g etxo IR
On a : f + g(, IR) ; ; (si g (xo) 0)
fet g sont continus auxo.Proprit 2 :
Soitfet g etxo IR= =f(xo) f est continue auxo.
Dfinition 3: fa une discontinuit de premire espce enxo si les limites droite et gauche existence.
Dfinition 4 :fest continue sur IR sifest continue en tout point de IR.
Exemple : Soit f: et IR
Donc f est continue au IR.
Dfinition 5 :Soitfune fonction definie sur I et g une foction dfinie surf(I) :
IRfg
IRf
)I(:
I:
Sifest continue en I0 x et g est continue enf(x0), alors gofest continue enx0.
Remarque : goffog
Exemple : Calculez les fonctions composes gofetfog des deux fonctions suivantes :
3)( 2 xxf et 12)( xxg
443123)()( 22 xxxgxgffog 721621321)(2)( xxxxfxfggof
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Matire : Analyse Mathmatique I Module : METHODES QUANTITATIVE I
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II- La discontinuit : 1er espce liminable :
Cas 1: liminable :[ = ] f(xo)
- f prsente une discontinuit de premire espce liminable. Cas 2: Non liminable :
f(x) = Car : = 1 ; = 0
- f prsente une discontinuit de non liminable.- Si f(xo) = : la discontinuit est dite rgulire. Second espce liminable :
Si les limites gauche ou droite est infinie, fprsente une discontinuit de seconde espce infinie.
f(x) =
- f prsente une discontinuit de seconde espce liminable.III- Domaines de dfinition et de continuit :
- Domaine de dfinition : DD- Domaine de continuit : DC
DC = DD : Le domaine de dfinition de continuit est gal domaine de dfinition sifest continue enxo. Sifest discontinue enx0, le domaine de continuit est gal : DC = DD - 0x . Exemples des domaines de dfinition des fonctions suivants :
La fonctionxe est dfinie sur IR
La fonction )ln(x est dfinie sur *R,0 .La fonction racine est toujours dfinie sur R,0 ; 0R x .
La fonctionf(x) =1
2
x
x; Df= 0
1
2
x
xet 01 x
x + 20 ou x + 2 0 et x1 0
x 2 ou x2 et x 1
,12,Df Calcul des limites
xx
lnlim
xx
lnlim0
x
xelim 0lim
x
xex
0ln
lim nx x
x
1
1lnlim
0
x
x
x
x
ex
xlim 1
1lim
0
x
ex
x
11
lnlim
1
x
x
x 0lnlim
0
xx
x 0lim
x
xe x
x
xe
x
a
1lim
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Chapitre 2 La Drivabilit
I-La drivabilit :1) Dfinition 1 :Soit f: A IR etxo A
On dit que la fonctionfest drivable enx0 si : lxx
xfxf
xx
0
0 )()(
lim0
; (lIR)
Ou : lh
xfhxf
xx
)()(lim 00
0
; (lIR)
Cette limite note parf(x0) et l est la valeur de drive defenx0.
! Si
0
0 )()(lim0 xx
xfxf
xxfest non drivable.
Dfinition 2 :
fest drivable enxo si : l
xx
xfxf
xx
0
0 )()(lim0
et l
xx
xfxf
xx
0
0 )()(lim0
- fd(xo) sappelle valeur de la driv droite dexo.- fg(xo) sappelle valeur de la driv gauche dexo
fest drivable enxo si :fd(xo) =fg(xo)
II- Interprtation gomtrique :Soitdla droite passant par les points : )(A 00 x,fx et )(P xx,f
Lquation de la droitedest : )()()(
00
0
0 xfxXxx
xfxfY
Lquation de la droite test : )()()(lim 000
0
0
xfxXxx
xfxfY
xx
)()(' 000 xfxXxfY
f(x0)reprsente la pente de la droite tangent la courbe de fonctionfau point de cordonn )(A 00 x,fx
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III- Drives des fonctions relles :Fonctionf Fonctionf Fonctionf Fonctionf
0 f+ g f+ g
x 1 .f .fx f. g f. g+ f. g
x x2
1
f
1
'
f
f
x
1
1
x rf
1' rffr
rx 1rrx g
f
''
g
gfgf
n x 1
1nn xn
f f
f
2
'
xlog x
1 n f 1
'n
n fn
f
xcos xsin )(xgof )(')(' xfxfg
xsin xcos )(1 xf )('1
1 xff
xtan *
cos
1tan1
x
x
)cos( bax )(in baxsa
xe xe )sin( bax )cos( baxa
fe f
ef ' )tan( bax baxa
cos
)(sin xarc 1
1
x )(cos xarc
1
1
x
)(sin xfarc
1
'
f
f
)(cos xfarc
1
'
f
f
)(tan xarc 1
1
x )(tan xfarc
1
'
f
f
1
1
x 1)1(
)1(!
n
n
xn
*x
x
x
x
x
xx
x cos
cos
cos
sin
cos
cossin
cos
1
1
cos
sin
x
xx
x
xtan1
cos
sin1
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Chapitre 3 Rgle de lhospital et la formule de Taylor
I-Les formes dtermines : LimitesForme e
0
e 00
0 e IR
e
e
0
l
0
l
)(lim0
xfxx
0 0 l 0 l > 0 l < 0 l > 0 l < 0
+ +
Exemple 11
x
x
x0=1x
x
1
x0 =+
x
x
1
x0=0+
5 x
x0 = 2
3
x
x0=-2
3x
x0=
xx 3
x0= +
x
5
x0=0+
x
5
x0=0+
x
2
x0=0-
2
x
x0=0-
f(x) + l >0 l
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III- Rgle de lhospital :Soitfet g deux fonctions :
On pose :0
0
)(lim
0
xg
f (x)
xxou
)(lim
0 xg
f (x)
xx, dans ces deux cas, on utilise la rgle de lhospital.
)('
'lim
0 xg
(x)f
xx
est parfais ncessaire dappliquer plusieurs fois, la rgle de lhpital, pour pouvoir liminer
lindtermination ou aura :(x)g
(x)f
(x)g
(x)f
xg
f (x)
xxxxxx "
"lim
'
'lim
)(lim
000
IV- Autres types dindterminationde la rgle de lhospital :Les autres types dindtermination peuvent toujours tre ramens une indtermination de
0
0 ou
via les
transformations suivantes :
Expressions Indtermination Transformation Rgle de lhpital
lxgf (x)ax
)(lim
)(
1
)(1
)(1
lim
xgf (x)
xfxg
ax l =
0
0
lxgf (x)ax
)(lim 0.
)(
1
)(lim
xg
xf
ax
)(
1
)(lim
xf
xg
ax
l =0
0
l =
lf (x) xgax
)(lim 0
0 )(log)(lim xfxgax log l = 0.()
lf (x) xgax
)(lim (+) 0 )(log)(lim xfxgax log l = 0.(+)
lf (x) xgax
)(lim (1)
)(log)(lim xfxgax log l = .0
V-Formule de Taylor :Soitf[a,b] IR dfinie et continue sur [a,b] et tous les drivs defjusqu lordre n sont continus sur [a,b]On peut crire la formule de Taylor sous la forme suivante : nxnxf R)(P)(
Avec : )(!
)()(
!2
)('')(
!1
)(')()(P
)(
axn
afax
afax
afafxn
n
et : ),()!1(
)(),(R
1
axn
axaxn n
n
Le terme Rnsappelle le terme Lagrange.
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VI- Thorie dAccroissement Finis (A.F) :Soitf[a,b] IR continue sur [a,b] et drivable sur ]a,b[ , alors c]a,b[ tel que :
(c) =ab
afbf
)()(.
VII- Thorie des Accroissements Finis Gnraliss :Soitfet g deux fonctions dfinit sur [a,b], continue sur [a,b] et drivable sur ]a,b[. si g ne sannule pas en
aucun point de , alors c]a,b[
)('
)(')()(
cg
cf
ab
afbf
VIII-Thorie de Rolle et ses applications :Soitf[a,b] IR continue sur [a,b] tel quef(a) =f(b) Alors c]a,b[ tel que (c) = 0 .
On a continue sur [a,b] : x]a,b[ , )()(lim 00
xfafxx
c [a,b] tel quef(c) = m
c[a,b] tel quef(c) =M
x[a,b] m
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Chapitre 4 Lintgral
I-Tableau dintgral :Fonction Primitive F(x) Fonction Primitive F(x)
x + c xcos cx sin
rx cr
xr
1
1
xsin cx cos
x
1 cx log ou cx ln
xx
cos
1tan1
cx tan
U
U'
cUlog ce
bax
cea
bax 1
xe
ce x
x
x'
cx 2
f cF
U
'U
cU2
cax
ca
ax
ln )(U)(U' xex
ce x )(U
xe cex )cos( bax cbaxs
a )(in
1
'ffr 1
1
r
fr
)sin( bax cbaxa
)(cos1
fef ' cef
1
'
f
f
)(cos xfarc
f+ g F + G 1
'
f
f
)(sin xfarc
f. g+ f.g f. g + C1
'
f
f
)(tan xfarc
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II- Intgrales dfinies :Pour toutes fonctionfet g intgrables sur [a,b] on a :
1) bab
a
b
adxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2) IR : bab
adxxfdxxf )()(
Relation de Chale :c(a,b) :
b
a
c
a
b
cdxxfdxxfdxxf )()()(
Intgrale par partie :Soitfet g deux fonctions drive continue sur [a,b], alors :
dxxgxxgxfdxxgxfb
a
b
a
b
a )(')(F)()()()('
Changement des variables :Soit w une fonction strictement monotone de [a,b] IR drive continue sur [,] etfune fonction
continue de sur w([a,b]) IR, alors : dttwtwfdxxf
)(')()(
Avec : a = w() , b = w() , x = w(t) , dx = w(t).dt
Intgration des fonctions rationnelles enx :Exemple :
Dcomposons en fractions simples la fonction rationnelle :1
B
1
A
)1)(1(
24
xxxx
x
4x + 2 = A(x + 1) + B(x1)
Pour :x = 1 => B = 3
Pour :x =1 => A = 1
Il vient que :1
3
1
1
)1)(1(
24
xxxx
x
Lintgration des fonctions simples ce base sur le rsultat suivant : caxax
dx
ln
Il vient donc pour notre exemple :
13
1)1)(1(
24
x
dx
x
dxdx
xx
x
cxx 1log31log
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Chapitre 5 Suites des nombres rels
I-Dfinitions :
Chapitre 6 Sries numriques
II- Dfinitions :- On appelle srie numrique la suite des sommes partielles IN)S( nn dfinie partir dune suite
IN)U( nn =
n
n
1k
KUS
Srie convergence :- Au lieu de IN)S( nn , on note la srie par
1nU n , elle est dite convergente si SSlim
n
xou SU
1n
n ;
- Une srie non convergente est dite divergente.- Un est appel le terme gnral de la srie.
III- Critre de convergence :1) Critre de comparaison
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