13. integrasi numerik 3
Post on 05-Jul-2018
236 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
1/57
Integrasi Numerik 3
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
2/57
Penggunaan Ekstrapolasi untuk Integrasi
• Misalkan I (h) adalah perkiraan nilai integrasi dengan jarakantara titik data adalah h (h < 1).
• Dari persaman galat kaidah integrasi (trapesium, Simpson1/3, dll) yang dinyatakan dalam notasi orde:
• dapat dilihat bahwa galat E semakin kecil bila digunakan hyang semakin kecil, seperti yang ditunjukkan oleh diagramgaris berikut:
• Nilai sejati integrasi adalah bila h = 0, tetapi pemilihan h = 0tidak mungkin kita lakukan di dalam rumus integrasi numerik
sebab ia akan membuat nilai integrasi sama dengan 0.
• Yang dapat kita peroleh adalah perkiraan nilai integrasi yanglebih baik dengan melakukan ekstrapolasi ke h = 0.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
3/57
Ekstrapolasi Richardson
• Pandang kembali kaidah trapesium
• yang dapat ditulis sebagai
(1)
• dengan I (h) adalah integrasi dengan menggunakankaidah trapesium dengan jarak antar titik selebar h dan
• Secara umum, kaidah integrasi yang lain dapat kitaditulis sebagai
(2)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
4/57
Ekstrapolasi Richardson
• dengan C dan q adalah konstanta yang tidak bergantung
pada h. Nilai q dapat ditentukan langsung dari orde galatkaidah integrasi, misalnya
kaidah trapesium, q = 2
kaidah titik-tengah, q = 2
kaidah 1/3 Simpson, q = 4• Tujuan ekstrapolasi Richardson ialah menghitung nilai
integrasi yang lebih baik (improve) dibandingkan dengan
I .
• Misalkan J adalah nilai integrasi yang lebih baikdaripada I dengan jarak antar titik adalah h:(3)
)( 2hO
)( 2hO
)( 4
hO
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
5/57
Ekstrapolasi Richardson
• Ekstrapolasikan h menjadi 2h, lalu hitung integrasi
numeriknya
(4)
• Eliminasikan C dengan menyamakan (3) dan (4)
• sehingga diperoleh
(5)
• Sulihkan (5) ke (3) untuk memperoleh(6)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
6/57
Ekstrapolasi Richardson
• Perhatikanlah bahwa jika pernyataan di atas dibalik, kita
telah melakukan ekstrapolasi menuju h = 0, yaitu kitahitung I(2h) lalu hitung I(h).
• Urutan pengerjaan (I(2h) atau I(h) lebih dulu) tidakmempengaruhi solusi akhirnya.
• Sebagai contoh, bila I (h) dan I (2h) dihitung dengankaidah trapesium (q = 2), maka ekstrapolasi Richardson-
nya adalah
(7)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
7/57
Ekstrapolasi Richardson
• dan bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah 1/3
Simpson (q = 4), maka ekstrapolasi Richardson-nyaadalah
(8)
• Perhatikanlah bahwa suku 1/3 [ I(h) - I(2h) ] pada
persamaan (P.7) dan suku 1/15 [I(h) - I(2h)] padapersaman (P.8) merupakan faktor koreksi.
• Artinya, nilai taksiran integrasi I(h) dapat ditingkatkanmenjadi nilai yang lebih baik dengan menambahkan
faktor koreksi tersebut.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
8/57
Ekstrapolasi Richardson
Contoh:
• Hitung kembali integral
• dengan menggunakan ekstrapolasi Richardson, yangdalam hal ini I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidah
trapesium dan h = 0.125.
• Penyelesaian:Jumlah selang: n = (1 - 0)/0.125 = 8
Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
9/57
Ekstrapolasi Richardson
• I (h) adalah nilai integrasi dengan kaidah
trapesium menggunakan h = 0.125:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
10/57
Ekstrapolasi Richardson
• I (2h) adalah nilai integrasi dengan kaidah trapesium
menggunakan 2h = 0.250:
• Nilai integrasi yang lebih baik, J , diperoleh denganekstrpolasi Richardson:
• yang dalam hal ini, q = 2, karena I (h) dan I (2h) dihitungdengan kaidah trapesium (yang mempunyai orde galat =
2)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
11/57
Ekstrapolasi Richardson
• Jadi, taksiran nilai integrasi yang lebih baik adalah
0.69315. Bandingkan dengan nilai integrasi sejatinya:
• yang apabila dibulatkan ke dalam 5 angka bena,f (0.69314718) = 0.69315, hasilnya tepat sama dengannilai integrasi yang dihitung dengan ekstrapolasi
Richardson.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
12/57
Metode Romberg
• Metode integrasi Romberg didasarkan pada perluasan
ekstrapolasi Richardson untuk memperoleh nilaiintegrasi yang semakin baik.
• Sebagai catatan, setiap penerapan ekstrapolasiRichardson akan menaikkan order galat pada hasil
solusinya sebesar dua:
• Misalnya,bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidahtrapesium yang berorde galat , maka ekstrapolasi
Richardson menghaslkan kaidah Simpson 1/3 yangberorde
• Selanjutnya, bila I (h) dan I (2h) dihitung dengan kaidahSimpson 1/3, ekstrapolasi Richardson menghaslkan
kaidah Boole yang berorde
)( 2hO
)( 4hO
)( 6
hO
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
13/57
Metode Romberg
• Tinjau kembali persamaan ekstrapolasi Richardson:
• Misalkan I adalah nilai integrasi sejati yang dinyatakansebagai
• yang dalam hal inih = (b - a)/n
• dan
A k = Perkiraan nilai integrasi dengan kaidah trapesiumdan jumlah pias
• Orde galat Ak adalah O(h2)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
14/57
Metode Romberg
• Sebagai contoh, selang [a, b] dibagi menjadi 64 buah
pias atau upaselang:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
15/57
Metode Romberg
• Gunakan A0, A1,...Ak pada persamaan ekstrapolasi
Richardson untuk mendapatkan runtunan B1, B2, ...,Bk ,yaitu
• Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = Bk +
D'h4 + E 'h6 +… dengan orde galat Bk adalah• Selanjutnya, gunakan B1, B2 ,.., Bk pada persamaan
ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunan
C 2, C 3,..., C k, yaitu
• Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = Ck + E "h6 + ... dengan orde galat Ck adalah
)( 4
hO
)( 6hO
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
16/57
Metode Romberg
• Selanjutnya, gunakan C 2, C 3 ,..., C k pada persamaan
ekstrapolasi Richardson untuk mendapatkan runtunanD3 , D4 , ... , Dk , yaitu
• Jadi, nilai I (yang lebih baik) sekarang adalah I = Dk +E "' + ... dengan orde galat Dk adalah )( 8hO
8h
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
17/57
Metode Romberg
• Dari runtunan tersebut, diperoleh tabel yang dinamakan
tabel Romberg seperti berikut ini:
Contoh• Hitung integral
• dengan metode Romberg (n = 8). Gunakan 5 angka
bena.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
18/57
Metode Romberg
• Penyelesaian:
Jarak antar titik: h = (1 - 0)/8 = 0.125Tabel titik-titik di dalam selang [0,1] dengan h = 0.125:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
19/57
Metode Romberg
Tabel Romberg:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
20/57
Metode Romberg
• Jadi,
• Bandingkan dengan solusi sejati
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
21/57
Ekstrapolasi Aitken
• ekstrapolasi Richardson yang dapat diringkas sebagai
berikut:
• yang dalam hal ini, h = lebar tiap upaselang atau pias (atau jarak antar titik)
C dan q adalah konstanta dengan q diketahui (C dapat
dieliminir)
I (h) adalah hampiran nilai nilai I
Chq adalah galat dari hampiran nilai I maka
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
22/57
Ekstrapolasi Aitken
• bagaimana jika q tidak diketahui?
• Untuk kasus ini kita gunakan tiga buah perkiraan nilai I ,yaitu I(h), I(2h), dan I(4h):
(9)
(10)
(11)
• Eliminasikan nilai C dan q dari (9) dan (10)
(12)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
23/57
Ekstrapolasi Aitken
• dan menyamakan persamaan (10) dan (11)
(13)
• (12) sama dengan (13)
(14)
• kali silangkan kedua ruas persamaan (14)
• Atau (15)
ekstrapolasi Aitken
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
24/57
Ekstrapolasi Aitken
• Sekarang, tinjau kembali:
(16)
(17)
• Bagi persamaan (P.17) dengan persamaan (P1.6)
(18)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
25/57
Ekstrapolasi Aitken
• Besaran C pada persamaan (P.18) dapat dihilangkan
menjadi(19)
• Tinjau kembali persamaan (P.15) yang dapat ditulisulang sebagai
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
26/57
Ekstrapolasi Aitken
• Jadi,
(20)
• yang "mirip" dengan persamaan ekstrapolasiRichardson.
• Ekstrapolasi Aitken akan tepat sama dengan ektrapolasiRichardson jika nilai teoritis
• tepat sama dengan nilai empirik
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
27/57
Ekstrapolasi Aitken
• Perbedaan antara kedua metode ekstrapolasi muncul
bergantung kepada apakah kita mengetahui nilai q atautidak.
• Hal ini diringkas dalam prosedur berikut: – Hitung I (4h), I (2h), dan I (h)
– Hitung nilai empirik
– Hitung nilai teoritik t = 2q (bila q diketahui)
– Jika t teoritik ≠ t empirik harus kita bertanya "mengapa?”
– Gunakan ekstrapolasi Aitken (P.19) dengan nilai empirik t atauekstrapolasi Rihardson (P.15) dengan q.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
28/57
Ekstrapolasi Aitken
Contoh
• Hitung sampai lima angka bena denganmenggunakan kaidah 1/3 Simpson (Gunakan h = 1/8)
• Penyelesaian:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
29/57
Ekstrapolasi Aitken
• Mengapa t teoritik tidak sama dengan t empirik?Perbedaan ini timbul sebab fungsi turunan
√x tidak terdefinisi di x = 0 (singular).• Karena itu, nilai t teoritik (t = 16) tidak dapat dipegang,
sehingga ekstrapolasi Richardson (P.16) tidak dapat
digunakan untuk menghitung perkiraan nilai integrasi
yang lebih baik.• Jadi, gunakan ekstrapolasi Aitken (P.20) dengan nilai t
empirik untuk menghitung perkiraan nilai integrasi yang
lebih baik:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
30/57
Ekstrapolasi Aitken
• Bandingkan solusi ini dengan solusi sejatinya = 0.66667.Perhatikan, kalau kita menggunakan ekstrapolasi
Richardson dengan t teoritik (t = 16), maka solusinya
• yang cukup berbeda jauh dengan solusi eksak. Karenaitu, hasil integrasi dengan ekstrapolasi Aitken yang dapat
diterima, yaitu 0.66668.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
31/57
Integral Ganda
• Dalam bidang teknik, integral sering muncul dalam
bentuk integral ganda dua (atau lipat dua) atau integralganda tiga (lipat tiga).
• Misalkan kita tinjau untuk integral lipat dua. Integral lipatdua didefinisikan sebagai
(21)
• Tafsiran geometri dari integral ganda adalah menghitungvolume ruang di bawah permukaan kurva f(x,y) yang
alasnya adalah berupa bidang yang dibatasi oleh garis-garis x = a, x = b, y = c, dan y = d.
• Volume benda berdimensi tiga adalah
V = luas alas x tinggi
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
32/57
Integral Ganda
• Kaidah-kaidah integrasi numerik yang telah kita bahas
dapat dipakai untuk menghitung integral ganda.• Jika pada fungsi dengan satu peubah, y = f ( x ), luas
daerah dihampiri dengan pias-pias yang berbentuk
segiempat atau trapesium, maka pada fungsi dengan
dua peubah, z = f ( x , y ), volume ruang dihampiri denganbalok-balok yang berbentuk segiempat atau trapesium.
• Solusi integral lipat dua diperoleh dengan melakukanintegrasi dua kali, pertama dalam arah x (dalam hal ini
nilai, nilai y tetap), selanjutnya dalam arah y (dalam halini, nilai x tetap), atau sebaliknya.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
33/57
Integral Ganda
• Dalam arah x berarti kita menghitung luas alas benda,
sedangkan dalam arah y berarti kita mengalikan alasdengan tinggi untuk memperoleh volume benda.
• Tinggi benda dinyatakan secara tidak langsung dengankoefisien-koefisien wi pada persamaan (P.20).
• Misalkan integrasi dalam arah x dihitung dengan kaidahtrapesium, dan integrasi dalam arah y dihitung dengan
kaidah Simpson 1/3. Maka
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
34/57
Integral Ganda
(22)
• dengan
Δ x = jarak antar titik dalam arah x ,Δy = jarak antar titik dalam arah y ,n = jumlah titik diskrit dalam arah x ,
m = jumlah titik diskrit dalam arah y .
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
35/57
Integral Ganda
Contoh
• Diberikan tabel f(x,y) sebagai berikut:
• Hitung
• Penyelesaian:
Misalkan- dalam arah x kita gunakan kaidah trapesium
- dalam arah y kita gunakan kaidah Simpson 1/3
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
36/57
Integral Ganda
• Dalam arah x (y tetap):
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
37/57
Integral Ganda
• Dalam arah y :
• Jadi
• Cara perhitungan integral ganda dua di atas dapatdirampatkan (generalized ) untuk integral ganda tiga
• maupun integral ganda yang lebih tinggi.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
38/57
Kuadratur Gauss
• kita telah membahas kaidah integrasi yang berbasis titik-
titik data diskrit dengan metode Newton-Cotes.• Sebelum melakukan perhitungan integrasi, kita harus
membentuk tabulasi titik-titik diskrit yang berjarak sama.
• Titik-titik diskrit tersebut harus berawal dan berakhir di
ujung-ujung selang a dan b.• Trapesium-trapesium yang menghampiri daerah
integrasi harus berawal dan berakhir di ujung-ujung
selang tersebut.
• Batasan ini mengakibatkan galat yangdihasilkan dengan mekanisme ini ternyata cukup besar.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
39/57
Kuadratur Gauss
• Misalnya bila kita menggunakan kaidah trapesium untuk
menghitung
• maka daerah integrasi dalam selang [-1, 1] (Gambar 1)dihampiri dengan sebuah trapesium yang luasnya
adalah(23)
• dengan h = (1-(-1)) = 2.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
40/57
Kuadratur Gauss
• Perhatikan kembali bahwa persamaan (P.23) dapat
ditulis sebagai
• dengan a = -1, b = 1, c 1 = c 2 = h/2 = 2/2 = 1.
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
41/57
Kuadratur Gauss
• Pendekatan integrasi yang berbeda dengan metode
Newton-Cotes dikembangkan oleh Gauss dandinamakan metode kuadratur Gauss (Gaussian
Quadrature).
• Dengan metode kuadratur Gauss, batasan-batasan yang
terdapat pada metode NewtonCotes kuadraturdihilangkan.
• Di sini kita tidak perlu lagi menentukan titik-titik diskrityang berjarak sama, tetapi nilai integrasi numerik cukup
diperoleh dengan menghitung nilai fungsi f(x) padabeberapa titik tertentu.
• Untuk memberi gambaran tentang kuadratur Gauss,perhatikan Gambar 2.
K d G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
42/57
Kuadratur Gauss
• Sebuah garis lurus ditarik menghubungkan dua titik
sembarang pada kurva y = f ( x).• Titik-titik tersebut diatur sedemikian sehingga garis lurus
tersebut menyeimbangkan galat positif dan galat negatif.
• Luas daerah yang dihitung sekarang adalah luas daerah
di bawah garis lurus, yang dinyatakan sebagai
(25)
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
43/57
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
44/57
Kuadratur Gauss
• Karena ada empat buah peubah yang tidak diketahui,
maka kita harus mempunyai empat buah persamaansimultan yang mengandung x1, x2, c1, dan c2.
• Di atas telah dikatakan bahwa kaidah trapesiumbersesuaian dengan kuadratur Gauss.
• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengankaidah trapesium akan tepat (galatnya = 0) untuk fungsi
tetap dan fungsi lanjar.
• Misalnya untuk f(x) = 1 dan f(x) = x .
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
45/57
Kuadratur Gauss
• Dari dua buah fungsi tersebut, diperoleh duapersamaan:
(26)
(27)
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
46/57
Kuadratur Gauss
• Kita memerlukan dua buah persamaan lagi agar x 1, x 2,
c 1, dan c 2 dapat ditentukan.• Dari penalaran bahwa kaidah trapesium sejati untuk
fungsi tetap dan fungsi lanjar, maka penalaran ini juga
kita perluas dengan menambahkan anggapan bahwa
integrasinya juga sejati untuk
• Sekarang kita menadapatkan dua persamaan tambahan,yaitu
(28)
• dan
(29)
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
47/57
Kuadratur Gauss
• Sekarang, kita sudah mempunyai empat buah
persamaan simultan
• yang bila dipecahkan menghasilkan:
• Jadi,
(30)
• Persamaan (P.30) dinamakan kaidah Gauss-Legendre2-titik.
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
48/57
Kuadratur Gauss
• Dengan kaidah ini, menghitung integral f ( x ) di dalam
selang [-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilaifungsi f di x =1/√3 dan di x = -1√ 3.
• Untuk menghitung integrasi
• kita harus melakukan transformasi:a. selang [a, b] menjadi selang [-1, 1]
b. peubah x menjadi peubah t c. diferensial dx menjadi dt
Selang [a, b] dan [-1, 1] dilukiskan oleh diagram garis berikut:
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
49/57
Kuadratur Gauss
• Dari kedua diagram garis itu kita membuat
perbandingan:
(31)
• Dari persaman (P.31), diperoleh diferensialnya
(32)
K d t G
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
50/57
Kuadratur Gauss
• Transformasikan
• menjadi
• dilakukan dengan menyulihkan (P.31) dan (P.32) kedalam
K adrat r Ga ss
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
51/57
Kuadratur Gauss
Contoh
• Hitung integral
• dengan kaidah Gauss-Legendre 2-titik.Penyelesaian:
• Transformasikan
• menjadi
Kuadratur Gauss
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
52/57
Kuadratur Gauss
• Jadi, dalam hal ini
• Maka
• Dengan demikian
• Nilai integrasi sejatinya adalah:
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
53/57
Kuadratur Gauss
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
54/57
Kuadratur Gauss
Kaidah Gauss-Legendre 3-Titik
• Metode Gauss-Legendre 3-Titik dapat ditulis sebagai
• Parameter x 1 , x 2 , x 3 , c 1 , c 2 , dan c 3 dapat ditemukandengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gaussbernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut:
• Dengan cara yang sama seperti pada penurunan kaidahGauss-Legendre 2-titik, diperoleh 6 buah persaman
simultan yang solusinya adalah
Kuadratur Gauss
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
55/57
Kuadratur Gauss
• Jadi,
(33)
Kuadratur Gauss
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
56/57
Kuadratur Gauss
Kaidah Gauss-Legendre n -Titik
• Penurunan kaidah Gauss-Legendre 2-titik dan Gauss-Legendre 3-titik dapat dirampatkan untuk menghasilkan
kaidah Gauss-Legendre n-titik
(34)
• Nilai-nilai ci dan xi dapat dilihat pada tabel berikut ini
Kuadratur Gauss
-
8/16/2019 13. Integrasi Numerik 3
57/57
Kuadratur Gauss
top related