224695011 integral parsial
Post on 06-Jul-2018
233 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
1/21
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal,
dimana matematika ini memiliki peran penting di semua bidang ilmu
pengetahuan. Melalui perkembangan penalaran dan abstraksi, matematika
berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukuran dan pengkajian sistematis
terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematika secara praktis
menjadi salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis. Kini,
matematika digunakan di seluruh duniasebagai alat penting di berbagai bidang,
termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran atau medis dan ilmu sosial seperti
ekonomi dan psikologi.
Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan
pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat
penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada
pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti statistika
dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika
murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya
penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar
munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
Salah satu cabang dari ilmu matematika yang patut dipelajari adalah
ntegral. ntegraladalah lawan dari proses diferensial. ntegral terbagi atas
beberapa jenis yaitu integral tertentudan integral tak tentu. Perbedaan antaraintegral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integraltertentu memiliki batasan-
batasan,integral tak tentu tidak memiliki batasan-batasan. Penguasaan mata
pelajaran matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga
berfungsi membentuk kompetensi program keahlian.
ntegral parsial adalah cara menyelesaikan integral yang memuat perkalian
fungsi, tetapi tidak dapat diselesaikan secara substitusi biasa. ntegral parsial
memiliki dua variabel pembantu yaitu !u" dan !v". #ariabel !u" dan !v" ini dapatmembantu perhitungan nilai dua perkalian bilangan yang akan diintegralkan.
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
2/21
2
$ntuk lebih memahami pembelajaran mengenai integral parsial, perlu
disusun sebuah makalah yang mampu menjadi wahana bagi setiap individu untuk
memperoleh wawasan, pengetahuan yang berhubungan dengan integral parsial.
%leh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis sebuah makalah yang berjudul
&ntegral Parsial'.
B. Rumusan Masalah
(erdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah
sebagai berikut.
). (agaimana rumus integral parsial*+. (agaimana menghitung integral tak tentu dengan cara parsial*
C. Tujuan Makalah
Sejalan dengan rumusan masalah di atas, makalah ini disusun dengan
tujuan untuk). mengetahui rumus integral parsial*+. menghitung integral tak tentu dengan cara parsial.
D. Manfaat Makalah
Makalah ini disusun dengan harapan memberikan manfaat baik untuk
penulis maupun pembaca, yaitu sebagai wahana dan media informasi penambah
pengetahuan tentang integral parsial.
E. Proseur Makalah
ata teoritis dalam makalah ini dikumpulkan dengan menggunakan teknik studi pustaka, artinya penulis mengambil data melalui kegiatan membaca berbagai
literatur yang berhubungan erat dengan tema makalah.
BAB II
PEMBAHA!AN
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
3/21
3
A. Lanasan Teor"t"s
ntegral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. ntegral ditemukan
menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan
harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan
solusi diferensiasi. ambang integral adalah ∫ .
ntegral parsial adalah suatu cara untuk menaikan pangkat suatu bilangan
dua perkalian fungsi yang berbeda sehingga fungsi bilangan tersebut dapat
menaikan pangkatnya !diintegralkan". ntegral parsial dihubungkan dengan fungsi
bilangan !u" dan !dv" yang fungsi tersebut akan dikali dan diintegralkan sesuai
dengan aturan rumus integral parsial.
ntegral Parsial memiliki cara khusus dimana dua bilangan fungsi dari !u"
dan !dv" akan dihitung untuk mencari penurunan pangkat dari !u" atau biasa
disebut !du" dan mencari kenaikan pangkat !dv" atau biasa disebut !v". (ilangan
fungsi-fungsi diatas memiliki hubungan yang sangat penting dalam integral
parsial
Sering kali terdapat banyak pendapat yang menyatakan bahwa integral
parsial hampir sama penyederhanaannya seperti integral subtitusi. Padahal dalam
konsep penyederhanaan integral parsial lebih rumit dibandingkan integral
subtitusi. ntegral parsial menyederhanakan fungsi dengan pemilihan fungsi yang
akan diturunkan dan yang akan diintegralkan untuk membuat fungsi-fungsi baru
yang akan digunakan pada rumus integral parsial.
B. Pem#ahasan
$. Integral Pars"al
ntegral Parsial sebagian berdasar pada turunan suatu fungsi hasil kali.
isebut integral parsial, karena sebagian bentuk dilakukan operasi turunan
sebagian operasi integral. /ikakitatidakdapatmenyelesaikan integral
suatufungsidenganmetodesubstitusi,
makamungkindapatdiselesaikandenganmetodesubtitusigandaatau integral parsial.
Misalkan
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
4/21
4
u=u ( x ) , v=v ( x ) dan y=u . v
(erdasarkanrumusturunandiperoleh y'= u'.v+ u.v'
dy
dx=
du
dx v+u
dv
dx
dy= v du+ u dv
enganmengintegralkanmasing-masingruaspadapersamaan di atas, diperoleh
dy=¿∫ v.du+u.dv
∫ ¿
y=∫ v.du+u.dv
u . v=∫ v.du+u.dv
u.dv=u . v−¿∫ v.du∫¿
/adi,rumus integral parsialadalah
u.dv=u . v−¿∫ v.du∫¿ Pada rumus diatas biasanya dalam soal kita
memiliki bilangan !u" dan !dv". (ilangan !u" akan diturunkan menjadi !du"
sedangkan !dv" akan diintegralkan menjadi bilangan !v". Sehingga akan
menemukan empat bilangan yang akan dimasukan kedalam rumus integral parsial
sehingga nilai dari integral !u" dikali !dv" sama dengan !u" dikalikan dengan !v"
dikurangi integral !v" dikali !du".
Syarat umum yang harus dipenuhi
a" pilih fungsi yang paling sederhana untuk dipakai sebagai &u'.
b" bagian yang dipilih sebagai &dv' harus dapat di integralkan.
c" integral v.du tidak boleh lebih sulit daripada integral u.dv
%. !oal an Pem#ahasan
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
5/21
5
). 0asil dari ∫2 x (3 x−5) 1dx adalah2.
Pembahasan
∫2 x (3 x−5) 1u.dv=u . v−¿∫ v.du
∫¿
a" Pilih fungsi paling sederhana yang akan dipakai sebagai u. isini kita
memilih atau memakai +3 sebagai fungsi yang akan kita ganti atau
substitusi dengan u.
b" 4unakan fungsi yang lainnya sebagai dv.
c" Karena dalam rumus kita juga butuh nilai du dan v maka kita cari nilai
keduanya dengan
• turunkan u = 2x maka f(u) 5du
dx=2 du = 2x
• integralkan dv = !3x – 5"1 maka
v 5 ∫(3 x−5) 1dx 51
7 (3 x−5 ) 6
du
3
51
7 .1
3 (3 x−5 ) 6 7 8
51
21 (3 x−5 ) 6 7 8
d" Selesaikan rumus dengan menerapkan persamaan
∫2 x (3 x−5) &u.dv=u . v−¿∫ v.du
∫¿
∫2
x (3
x−5
) 1 5 2 x . 1
21 (3 x−5 ) 6 - ∫ 1
21 (3 x−5 ) 6. 2
dx
52
21 x (3 x−5) 6 -
2
21 .1
3. 1
8(3 x−5 ) 9 7 8
52
21 x (3 x−5) 6 -
2
504 (3 x−5 ) 9 7 8
u = 2x
dv = !3x – 5"1
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
6/21
6
52
21 x (3 x−5) 6 -
1
252 (3 x−5 ) 9 7 8
Selain dengan cara di atas, soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara
tan:ali. (erikut adalah pembahasannya
∫2 x (3 x−5) 1
;urunkan ntegralkan7 +3 !"1
-+
1
21 !"6
7?
1
504 !"9
∫2 x (3 x−5) 15 2 x . 1
21(3 x−5 ) 6 - 2.
1
504(3 x−5 ) 9 7 8
52
21 x (3 x−5) 6 -
2
504 (3 x−5 ) 9 7 8
52
21 x (3 x−5 ) 6 -
1
252 (3 x−5 ) 9 7 8
+. 0asil dari @ 13!
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
7/21
7
@ 13!B<
@ 13!
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
8/21
8
a" 8ara dengan rumus integral parsial u.dv=u . v−¿∫ v.du
∫¿
Misalu = x du =dx
dv = ( x+1) )B+ v =2
3 (x + 1)3/2dx
∫ x √ x+1dx dx = x . 2
3 = ∫2
3( x+1) B+ 7 8
52
3 x !3 7 )"
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
9/21
9
∫ x √ (1+ x ) dx 5 x . 2
3( x+1) B+7 8
52
3 x ( x+1) B+7 8
C. 0asil dari ∫ 4 x√ 3 x−2 dxadalah ..........Pembahasan
∫ 4 x√ 3 x−2dx=∫4 x (3 x−2) )B+d3
a" 8ara dengan rumus integral parsial u.dv
=u . v
−¿∫v.du
∫¿
Misal u = 4x du = 4dx
dv = (3 x−2) )B+v =
1
3 (12 +1)(3 x−2)
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
10/21
10
b" 8ara ;an:alin
∫ 4 x√ 3 x−2dx
;urunkan ntegralkan
7 C3 (3 x−2) )B+
- C2
9(3 x−2) B+
∫4
x√ 3
x−2
dx = 4 x .
2
9 (3 x−2) B+7 8
58
9 x (3 x−2) B+ 7 8
>. 0asil dari ∫ x cos x dx adalah .........Pembahasan
a" 8ara dengan rumus integral parsial
u.dv=u . v−¿∫ v.du
∫¿
Misal u = x du =dx
dv = cos3 v = sin x
xcos x dx=¿
∫ ¿ 3.sin 3 - @ sin 3 d3
5 3.sin 3 = !- cos 3" 7 8
5 3.sin 3 7 cos 3 7 8
b" 8ara ;an:alin
∫ x cos x dx
;urunkan ntegralkan7 3 cos 3- ) sin 3
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
11/21
11
7 ? -cos 3 xcos x dx=¿
∫ ¿ 3.sin 3 = ).!-cos 3"
5 3.sin 3 = !- cos 3" 7 8
5 3.sin 3 7 cos 3 7 8
1. 0asil dari ∫3 xcos 2 x dx adalah ..........Pembahasan
a" 8ara dengan rumus integral parsial u.dv=u . v−¿
∫v.du
∫¿
Misal u = 3x du = 3dx
dv = cos +3v =1
2 sin +3
∫3 xcos2 x dx 5 !
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
12/21
12
7 ?−14 cos +3
2 x dx=¿3 x . 1
2
∫3 xcos ¿sin +3 =
−14
3.¿ cos +3" 7 8
53
2 x sin +3 7
3
4 cos +3 7 8
6. 0asil dari @ !
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
13/21
13
@ !
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
14/21
14
(entuk suatu partisi dari P dari R dengan memakai sarana berupa garis-
garis sejajar sumbu 3 dan y !seperti gambar)". ni membagi R menjadi beberapa
persegi panjang kecil, semuanya n-buah, yang kita tunjukkan dengan Rk, dengan k
5),+,
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
15/21
15
ngat bahwa jika f !3,y" I ?, maka ∫a
b
f ( x ) dx menyatakan luas daerah dibawah
kurva y 5 f ( x ) antara a dan b. alam cara yang serupa, jika f !3,y" I ? maka
∬ R f ( x , y )dA menyatakan volume benda pejal dibawah permukaan : 5 f !3,y"
dan diatas persegi panjang R !gambar C". Jyatakan integral ini sebagai definisi
volume benda pejal.
PD;HJLHHJ K$/$HJ
Hpakah semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan pada suatu persegi panjang
R yang diberikan***
/awabannya adalah &;idak semua fungsi dua peubah dapat diintegralkan padasuatu persegi panjang R yang diberikan'. Hlasannya sama seperti kasus pada
integral satu peubah, dimana f terbatas pada Ea,bF. ungsi-fungsi yang dapat
terintegralkan pada setiap selang tertutup Ea,bF yaitu
). ungsi polinomial+. ungsi sinus dan kosinus
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
16/21
16
(erikut ini merupakan contoh suatu fungsi yang tidak dapat diintegralkan
g ( x , y )= x2 y−2 x y− x2
Penyelesaian
tidak akan dapat diintegralkan pada sebarang persegi panjang yang memotong
parabola y 5 3+
Sebagai akibatnya, hampir semua fungsi biasa !asalkan mereka terbatas"
dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang. Misalnya,
x2
(¿ y)f ( x , y )=esin ( xy )− y3cos ¿
(uktinya
adalah dapat diintegralkan pada setiap persegi panjang.
ungsi tangga dari gambar > dapat diintegralkan pada R karena
ketakkontinuannya terjadi sepanjang dua ruas garis.
!I)AT * !I)AT INTE+RAL LIPAT DUA
Teorema A
!;eorema keterintegralan". /ika f terbatas pada suatu persegi panjang
tertutup R dan jika f kontinu disana, kecuali pada sejumlah terhingga kurva
mulus, maka f dapat terintegralkan pada R. dalam hal khusus, jika f kontinu
pada selang R, maka f dapat diintegralkan disana.
Gambar 6Gambar 5
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
17/21
17
ntegral lipat dua hampir mewarisi semua sifat-sifat tunggal.
). ntegral lipat dua adalah linear, yaitu!a" ∬ R k f ( x , y ) dA=k ∬ R f ( x , y ) dA
(ukti
∬ R k f ( x , y ) dA= lim| P|→0
∑k =1
n
[ k f ( ´ xk , ´ yk ) ∆ Ak ]
¿k lim| P|→ 0
∑k =1
n
f ( ´ xk , ́yk ) ∆ A k
¿k ∬ R f ( x , y ) dA (terbukti)
!b" ∬ R [ f ( x , y )+g( x , y )] dA=∬ R f ( x , y ) dA+∬ R g ( x , y ) dA
(ukti
∬ R [ f ( x , y )+g( x , y )] dA= lim| P|→0∑k =1n
[ f ( ´ xk , ´ yk )+g ( ´ xk , ´ y k ) ] ∆ A
k
¿ lim| P|→0 [∑k =1
n
f ( ´ xk , ´ yk ) ∆ Ak +∑k =1
n
g ( ´ xk , ́yk ) ∆ A k ]
¿ lim| P|→0
∑k =1
n
f ( ´ xk , ́yk ) ∆ A k + lim| P|→0
∑k =1
n
g ( ´ xk , ´ y k ) ∆ A k
¿∬ R f ( x , y ) dA+∬ R g ( x , y ) dA
+. ntegral lipat dua adalah aditif pada persegi panjang !gambar 1" yang
saling melengkapi hanya pada suatu ruas garis.
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
18/21
18
∬ R f ( x , y ) dA=∬ R1 f ( x , y ) dA+∬ R2 f ( x , y )dA
(ukti
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
19/21
19
untuk perhitungan integral lipat dua. ;etapi kita telah sanggup menghitung
beberapa integral dan kita dapat mengaproksimasi yang lainnya.
Pertama-tama perhatikan bahwa jika f !3,y" 5 ) pada R, maka integral lipat dua
merupakan luas R, sehingga
∬ R k dA=k ∬ R1dA=k A ( R)
8ontoh ).
Hndaikan f berupa fungsi dengan nilai f !3,y" yaitu sebagai berikut
f ( x , y )={21 ≤ x ≤3,0 ≤ y ≤111≤ x ≤3,1 ≤ y ≤2
33≤ x ≤4,0≤ y ≤2}0itunglah ∬ R f ( x , y ) dA dengan D 5 O!3,y" ) N 3 N C, ? N y N +.
Penyelesaian
ari suatu fungsi diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persegi panjang
D ), D +, dan D
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
20/21
20
BAB III
PENUTUP
A. !"m'ulan(erdasarkan uraian bab sebelumnya penulis dapat mengemukakan
simpulan sebagai berikut.
). Pengintegralan parsial !sebagian" dapat dilakukan jika pengintegralan dengan
teknik substitusi tidak memberikan hasil, dan dengan catatan bagian sisa
pengintegralan lebih sederhana dari integral mula-mula.
u dv=uv−¿∫ v du
∫¿
+. ntegral Parsial adalah suatu cara dimana mengerjakan soal-soal perkalian
integral dengan dua fungsi yang berbeda. ntegral Parsial menggunakan
fungsi u dan dv. Pada integral Parsial dua fungsi tersebut akan diubah untuk
menemukan dua hasil fungsi yang baru yang akan digunakan pada rumus
ntegral Parsial.
-
8/17/2019 224695011 Integral Parsial
21/21
21
B. !aran
Seharusnyauntukbelajarmatematikaitutidakdenganmenghapaltetapidenganbanyak
berlatih.
top related