4 state space

STATE SPACE MODELLING

4.1 Persamaan State Space

HUBUNGAN ANTARA TRANSFER FUNCTION DAN STATE SPACE

System persamaan transfer function

System persamaan state space

Transformasi laplace untuk persamaan state space

Gambar 4.1 Blok diagram system mekanikal

Diasumsikan x(0) = 0, sehingga

Kalikan kedua sisi dengan

Subtitusikan persamaan di atas sehingga

Bandingkan persamaan….. dengan…..sehingga dapat dilihat persamaannya menjadi

Dengan

= polynomial dalam s

= karakteristik polynomial

Kembali ke system mekanikal di atas, sekarang sudah diperoleh persamaan transfer

function dari suatu system yang mempunyai persamaan state space.

Contoh mekanikal

Gambar Spring-mass-dashpot

Untuk system translasi, hokum Newton kedua menyatakan

atau

Bentuk transfoemasi Laplace untuk masing-masing persamaan di atas

Set inisial untuk , , bentuk transformasi laplace pada persamaan

di atas dapat di tulis kembali sebagai

Transfer function untuk system di atas ditulis

Berikutnya adalah mendapatkan model state space

Contoh

Carilah state space pada Gambar 4.1 jika outputnya adalah arus yang melewati resistor.

Gambar 4.1 Rangkaian listrik

Jawab

atau

Output persamaannya adalah

Hasil akhir untuk state space dinyatakan dalam bentuk matrik

Contoh 2

Carilah representatip state-space pada persamaan berikut

Jawab

Buat sebuah perkalian silang

Buat inverse transformasi Laplace

Buat variable derivative untuk tiap state variable

Buat persamaan state untuk kedua sisi

Bentuk vector matrix-nya adalah

Transfer function pada contoh di atas mempunyai sebuah konstanta di numerator. Jika

transfer function mempunyai sebuah polynomial dalam s di numerator yang ordenya lebih

kecil dari polynomial denominator, maka keduanya harus dipisah. Transfer function

pertama adalah denominator yang dikonversikan ke dalam state space seperti berikut.

Gambar decomposing transfer function

Contoh 3

Carilah representatip state space pada persamaan transfer function berikut

Jawab

Dimana,

Buat inverse laplace transform

Dengan demikian persamaannya menjadi

Dan bentuk state space sebagai barikut

Contoh

Carilah transfer function , dimana adalah input dan adalah

output.

Jawab

Pertama carilah

Kemudian carilah

Subtitusikan , B, C, dan D ke dalam persamaan:

Sehingga

Hasil akhir di dapatkan bentuk transfer function sebagai berikut,