5.persamaan differensial orde 2
Post on 24-Feb-2018
234 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
1/24
KULIAH
MATEMATIKA TEKNIK
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2
Dosen
SYISKA YANA, ST., MT.
Departemen Teknk E!ektro, Fak"!tas Teknk
Un#erstas S"matera Utara
Me$an, In$onesa
Semester %an&!
TA 2'(2)2'(*
1
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
2/24
Persamaan diferensial
Syiska Yana, DTE-USU 20142
Persamaan diferensial orde 1 Persamaan diferensial orde 2
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
3/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20143
Persamaan diferensial orde 2 dengan koesienkonstan dapat dilihat pada persamaanberikut :
Dimana a, b dan c merupakan konstanta. Jikasisi kanan pada persamaan bernilai 0 (nol,maka persamaan tersebut menun!ukkanpersamaan diferensial "ang homogen.#amun, !ika sisi kanan dari persamaan tidakbernilai nol maka persamaan tersebut
merupakan persamaan diferensial non$
02
2
=++ cydx
dyb
dx
yda
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
4/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20144
%ontoh persamaan diferensial orde 2 padabidang teknik :
Persamaan muatan listrik pada rangkaianlistrik "ang terdiri dari & resistansi, 'induktansi dan % kapasintasi "angterhubung seri.
Persamaan untuk menghitung !arak s
setelah t detik, dimana m adalah masa, afaktor dam in dan k konstanta.
01
i)(2
2
=++ qCdt
dqR
dt
qdL
0ii)(2
2
=++ ksdt
dsa
dt
sdm
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
5/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20145
Jika dimisalkan :
aka persamaan diferensial orde 2 dapat
ditulis dalam operator D sebagai berikut :
Jika dimisalkan :
2
2
2
dan, Ddx
dD
dx
d==
( ) 02 =++ ycbDaD
mxmxmx eAmdx
ydAme
dx
dyAey 2
2
2
dan,, ===
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
6/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20146
aka persamaan diferensial orde 2 dapatditulis sebagai berikut :
Persamaan diatas memiliki :
( ) ( ) ( )( ) 0
0
0
2
2
2
2
=++=++
=++
cbmamAe
AecAmebeAma
cydx
dyb
dx
yda
mx
mxmxmx
acb
acb
acb
4untukkomplekakardua(iii)
atau,4untuksamayangakardua(ii)
atau,4untukberbedayangakarduai)(
2
2
2
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
7/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20147
'angkah$langkah pen"elesaian persamaan
(a )ulis ulang persamaan :
en!adi :
02
2
=++ cydx
dyb
dx
yda
02
2
=++ cydx
dyb
dx
yda
( ) 02 =++ ycbDaD
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
8/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20148
(b *ubtitusi mke Duntuk persamaan :
(c Jika akar$akar persamaan adalah :
(i real dan berbeda, n"atakan m+danm+, solusi umumn"a :
(ii real dan sama, n"atakan kedua akarm+, solusi umumn"a :
02 =++ cbmam
xx BeAey +=
( ) xeBAxy +=
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
9/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 20149
(iii komplek, n"atakan solusiumumn"a :
%ontoh 1.
Pen"elesaian :
(a bah persamaan kedalam operator D
jm =
( )xBxAey x sincos +=
9dan40
diketahuijika,0352persamaanelesaikan2
2
===
=+
dx
dy, yx
ydx
dy
dx
yd
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
10/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201410
( ) 03522
=+ yDD
( )( )
3atau2
1
03120352
!kemubtitusib)(
2
==
=+=+
mm
mmmm
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
11/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201411
xx
BeAey 321
"diperolehsehinggaberbeda,danrealpersamaanakar#akar$arenac)(
+=
(1)4
4ydan0%jikad)(
32
1
BA
BeAey xx
+=
+=
==
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
12/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201412
xx
xx
eey
BA
BA
BeAe
dx
dy
dxdyx
32
1
32
1
2&"persamaandiperolehakhirolusi
2dan&
"diperoleh(2)dan(1)persamaan!ari
(2)32
19
3
2
1
9dan0jika
=
==
=
=
==
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
13/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201413
Persamaan diferensial orde 2 dengan bentuk :
(3))(
(2))(
)(
)()()()(
ubtitusi
(1))(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xfcvdx
dvb
dx
vda
xfcudx
dubdx
uda
xfcvdx
dvb
dx
vdacu
dx
dub
dx
uda
xfvucdx
vudbdx
vuda
vuy
xfcydx
dyb
dx
yda
=++
=++
=
+++
++
=+++++
+=
=++
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
14/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201414
-ungsi u merupakan fungsi komplementer (%.-
-ungsi merupakan integral partikular (P./
*ehingga : "+ %.- P./
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
15/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201415
'angkah pen"elesaian persamaandiferensial orde 2 dengan bentuk :
( )
0
mdalammenjadiubtitusi)2(
)(
"bentukdalamldi'erensiapersamaanulis(1)
)(
2
2
2
2
=++
=++
=++
cbmam
xfycbDaD
xfcydx
dyb
dx
yda
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
16/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201416
( -ungsi komplementer ( %.- , uditentukan dengan menggunakanprosedur c pada pen"elesaianpersamaan diferensial orde 2
sebelumn"a (hal. 10.
( ntuk menghitung integral partikular(P./ , asumsikan P./ sebagai f(x),
nilai f(3 "ang tidak dapat dihitungdiberikan pada tabel berikut :
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
17/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201417
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
18/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201418
(4 *ubtitusikan P./ pada persamaan(5 6asil akhir diperoleh "+ %.- P./ dimana " +
u
%ontoh :
*elesaikan persamaan diferensial berikut :
Pen"elesaian :
( ) )(2
xfvcbDaD =++
422
2
=+ ydx
dy
dx
yd
( ) 42
!operatordalamdiubah,42)1(
2
2
2
=+
=+
yDD
ydxdy
dxyd
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
19/24
Persamaan diferensial orde 2
Syiska Yana, DTE-USU 201419
( )
( )
2adalahakhiranenyelesai)&(
2*,*+,2dan
42sehingga0dan0,42
menjadi42padakan ubtitusik(5)
31hal*el)(lihat tabnyatakan
konstanjuga*+*nilai,4yaitukonstan-ilai)4(
.*/*,
berbeda,danrealpersamaanakar#kar)3(
2dan1,021diperoleh
dan02!,manubtitusik)2(
2
22
2
2
2
+=+=
======+
=+=
==
+=
===+ =+
xx
x-x
BeAeyvuy
-v-k
k-(k)DD(k)kD-D
vD-D
kv
f(x)f(x)
BeAeu
-mm))(m(m-
mm
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
20/24
Tugas
Syiska Yana, DTE-USU 201420
1. f(3 + konstanta
2. f(3 + polinomial
. f(3 + eksponensial
&3522
2
=+ ydx
dy
dx
yd
2324&2
2
=+ xydx
dy
dx
yd
xey
dxdy
dxyd 2
3
2
2532 = xxx xeBeAey 2
3
2
3
++=
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
21/24
Tugas
Syiska Yana, DTE-USU 201421
. f(3 + fungsi sinus atau cosinus
4. f(3 + !umlah dari (1,2 7 atau (1,2 7
5. f(3 + hasil kali dari (2..
xydx
dy
dx
yd2sin&532
2
2
=+
xxydx
dy
dx
ydsin5012&
2
2
=+
xeydxdy
dxyd x 2cos3222
2
=+
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
22/24
Penyelesaian soal no. 3
Syiska Yana, DTE-USU 201422
.
( )
( )
( )
( )( )
( ) x
xx
x
x
kxeviii
BeAeu
-mmmm-
mm
ii
eyDD
i
eydx
dy
dx
yd
2
3
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
(c))el(lihat tab*+
.*/*berbeda,danrealpersamaanakar
1atau2
3,0132
032
!mubtitusi
532
!operator
532
=
+=
===+
=
=
=
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
23/24
Penyelesaian
Syiska Yana, DTE-USU 201423
. ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) xxxxx
x
xxxx
xxxx
xx
xx
ekxexkexkekxeDD
xke
kexkexkeDkxe
xkeekekxkxe
ekxeDD
evDDkxeviv
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
3
22
3
5312
33
4
9232
34
9
2
31
2
3
2
31
2
3!
12
3
2
3!
532
,532kedalamubtitusi
=
+
+=
+=
++
=
+=
+=
+
=
===
-
7/25/2019 5.Persamaan Differensial Orde 2
24/24
Penyelesaian
Syiska Yana, DTE-USU 201424
.( ) ( )
( ) x
xx
xx
xx
xxxxxx
xxxxx
xeBeAeyvuyv
xekxevk
eke
ekxekexkekekxe
ekxexkexkekxeDDiv
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
*+*,,1
55
532
3&
2
9
5312
3
34
9
232
++=+=
===
=
=+
=
+
+=
top related