¸šทที่ 3(2).pdfบทที่ 3 สมภาค (congruence) สมภาค (congruence....
Post on 31-Jul-2020
2 Views
Preview:
TRANSCRIPT
บทท 3
สมภาค (Congruence)
สมภาค (congruences) เปนเรองเกยวกบการหารลงตวซงกลาวไวในบทท 2
เปนทยอมรบกนวาสมภาคเปนพนฐานส าคญในการศกษาทฤษฎจ านวน แนวคดของสมภาค
ปรากฏครงแรกในหนงสอเลขคณต (Disquisitions Arithmeticae) ของ คารล ฟรดรช
เกาส (Carl Friedrich Gauss, ค.ศ . 1777-1855) นกคณตศาสตรชาวเยอรมน เมอ
ค.ศ. 1801 เปนบคคลแรกทรเรมใชสญลกษณและความสมพนธสมภาค ความสมพนธนชวย
ใหตอบปญหาทตองคดค านวณซบซอนสามารถค านวณไดงายขน และยงเปนแนวทางน าไปส
เรองราวทนาสนใจใหม ๆ อกมากมาย เกาสเปนนกคณตศาสตรทรอบรในสาขาตาง ๆ ของ
คณตศาสตรเกอบทกแขนง จงมผลงานเกยวกบคณตศาสตรเกอบทกเรอง ทานไดให
ความส าคญกบทฤษฎจ านวนเปนอยางมาก ทานกลาวย าวา “คณตศาสตรเปนราชนของ
วทยาศาสตรและทฤษฎจ านวนเปนราชนของคณตศาสตร” (Mathematics is the
Queen of Science, and the theory of number is the Queen of
Mathematics) ในบทนจะกลาวถงสมบตของสมภาค ระบบสวนตกคางมอดโล m สมภาคเชงเสน
ทฤษฎเศษเหลอของชาวจน ทฤษฎบทของวลสน ทฤษฎบทเลกของแฟรมา และทฤษฎบท
ของออยเลอร
3.1 สมบตของสมภาค
ในบทแรกของหนงสอเลขคณต เกาสกลาวถงบทนยามของสมภาคซงแสดง
ความสมพนธระหวางจ านวนเตม 2 จ านวนดงน (จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 89;
จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 108; Rosen, K. H., 2005, p. 142)
64 ทฤษฎจ านวน
บทนยาม 3.1.1
ให m เปนจ านวนเตมบวก a และ b เปนจ านวนเตม ถา m a b กลาววา
ถา a สมภาคกบ b มอดโล m (a is congruent to b modulo m ) เขยนแทนดวยสญลกษณ a b mod m เรยก m วาเปน มอดลส (modulus)
ถา m | a b กลาววา a ไมสมภาคกบ b มอดโล m (a and b are
incongruent modulo m ) เขยนแทนดวยสญลกษณ a b mod m
ตวอยาง 3.1.1
5 2 mod3 เพราะวา 3 5 2
8 1 mod3 เพราะวา 3 8 1
2 5 mod3 เพราะวา 3 2 5
25 12 mod8 เพราะวา 8 | 25 12
การใช Wolfram Alpha เพอตรวจสอบบางสมภาค เชน 5 2 mod3 และ
25 12 mod8 ดงภาพท 3.1.1
ผลลพธ 5 is congruence to 2 (mod3)
ผลลพธ 25 is not congruence to 12 (mod8)
ภาพท 3.1.1 5 2 mod3 และ 25 12 mod8
5 congruence 2 mod 3
25 congruence 12 mod 8
บทท 3 สมภาค 65
สมภาคในชวตประจ าวน เชน นาฬกา มอดโลกบ 12 ชวโมง หรอ 24 ชวโมง และ มอดโลกบ 60 นาทและวนาท ปฎฑน มอดโลกบ 7 วน ในหนงสปดาหและมอดโลกบ 12 เดอน ในหนงป สมภาคในบางครงหมายถงเทากบ ดงทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 108-109; Rosen, K. H., 2005, p. 142)
ทฤษฎบท 3.1.1
ถา a และ b เปนจ านวนเตมใด ๆ จะไดวา a b mod m กตอเมอมจ านวนเตม
k ทท าให a b km
บทพสจน
สมมต a b mod m แลว m a b
ดงนนจะมจ านวนเตม k ท km a b หรอ a b km
ถามจ านวนเตม k ทท าให a b km แลว km a b
จะไดวา m a b ดงนน a b mod m
ตวอยาง 3.1.2
เนองจาก 19 2 mod7 โดยทฤษฎบท 2.1.1 ไดวา 19 2 3 7
การพจารณาจ านวนเตม 2 จ านวน ถาสมภาคกนแลวจะเหลอเศษเทากนดงทฤษฎ
บทตอไปน (สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545, น. 46-47)
ทฤษฎบท 3.1.2
ถา a และ b เปนจ านวนเตมใด ๆ แลว a b mod m กตอเมอ a และ b
ถกหารดวย m แลวเหลอเศษเทากน
66 ทฤษฎจ านวน
บทพสจน
ให a b mod m จากบทนยาม 2.1.1 ดงนน m a b
จะมจ านวนเตม k ท a b km หรอ a b km
จากทฤษฎบท 3.1.1 ในการน า m ไปหาร b
จะมจ านวนเตม q และ r ได ทท าให
b qm r โดยท 0 r m
จาก a km b แทนคา b
จะได a km qm r k q m r โดยท 0 r m
นนคอ เมอน า m ไปหาร a และ b จะเหลอเศษเทากบ r เชนกน
ถาน า m ไปหาร a และ b แลวเหลอเศษ r เทากน
จะไดวา มจ านวนเตม 1 2
q ,q ทท าให
1
a q m r โดยท 0 r m
2
b q m r โดยท 0 r m
ดงนน 1 2a b q q m แต
1 2q q เปนจ านวนเตม จะไดวา
m a b นนคอ a b mod m
ตวอยาง 3.1.3 41 27 mod7
เนองจาก 41 5.7 6 และ 27 3.7 6
ดงนน เศษเหลอจากการหาร 41 และ 27 ดวย 7 คอ 6 เทากน
ตวอยาง 3.1.4 21 14 mod5
เนองจาก 21 5.4 1 เหลอเศษ 1 และ 14 2.5 4 เหลอเศษ 4
ดงนนมเศษเหลอไมเทากน
ความสมพนธสมภาคเปนความสมพนธสมมล (equivalence relation)
ดงทฤษฎบทตอไปน (จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 91; จรนทรทพย เฮงคราวทย,
2558, น. 109)
บทท 3 สมภาค 67
ทฤษฎบท 3.1.3
ก าหนดให a,b,c เปนจ านวนเตมใด ๆ และ m เปนจ านวนเตมบวก จะไดวา ถา
สมภาคมอดโล m มสมบตดงตอไปน 1) สมบตสะทอน (reflexive property)
ถา a a modm
2) สมบตสมมาตร (symmetric property)
ถา a b modm แลว b a mod m
3) สมบตถายทอด (transitive property)
ถา a b modm แลว b c mod m แลว a c mod m
บทพสจน
1) เนองจาก m a a ดงนน a a moda
2) จาก a b modm จะได m a b
จะได m 1 b a ดงนน m b a
นนคอ b a modm
3) จาก a b modm และ b c modm
จะได m a b และ m b c จะได m a b b c
ดงนน m a c นนคอ a c modm
ตวอยาง 3.1.5
1) 10 10 mod5
2) 14 8 mod6 และ 8 14 mod6
3) 22 10 mod6 และ 10 4 mod6 จะได 22 4 mod6
68 ทฤษฎจ านวน
ทฤษฎบทตอไปนแสดงสมบตทส าคญของสมภาค (สมวงษ แปลงประสพโชค,
2545, น. 50-56; จราภา ลมบพศรพร, 2555, น. 92-95; ณรงค ปนนม และ นตตยา
ปภาพจน, 2547, น. 129-130; Raji, W., 2013, pp. 52-54)
ทฤษฎบท 3.1.4
ก าหนดให a,b,c,d เปนจ านวนเตมใด ๆ และ m เปนจ านวนเตมบวก จะไดวา
1) ถา a b modm แลว
1.1) a c b c modm
1.2) a c b c modm
1.3) ac bc modm
1.4) ac bc modmc ส าหรบจ านวนเตม c 0
1.5) n na b modm ส าหรบจ านวนเตม n 0
2) ถา a b modm และ ถา c d modm แลว
2.1) a c b d modm
2.2) a c b d modm
2.3) ac bd modm
3) ถา ca cb modm แลว ma b mod
c
เมอ c เปนจ านวนเตมบวก
4) ถา ca cb modm แลว
ma b mod
c,m
เมอ c เปนจ านวนเตมบวก
5) ถา ca cb modm และ c,m 1 แลว a b modm
เมอ c เปนจ านวนเตมบวก
บทท 3 สมภาค 69
บทพสจน พสจนแตละขอดงน
1.1) จาก a b modm แลว m a b ดงนน ถาบวกเขาและลบออก
ดวยจ านวนเตม c จะได m a b c c
ดงนน m a c b c นนคอ a c b c modm
1.2) จาก a b modm แลว m a b ดงนน ถาลบออกและบวกเขา
ดวยจ านวนเตม c จะได m a b c c
ดงนน m a c b c นนคอ a c b c modm
1.3) จาก a b modm แลว m a b จะมจ านวนเตม k ทท าให
a b km และ ac bc kc m จะได m a b c
ดงนน m ac bc นนคอ ac bc modm
1.4) จาก a b modm แลว m a b จะมจ านวนเตม k ทท าให
a b km และจะได ac bc k mc
ดงนน mc ac bc นนคอ ac bc modmc
ส าหรบจ านวนเตม c 0
1.5) ให P n แทนขอความ n na b modm
1) จาก a b modm ดงนน P 1 เปนจรง
2) สมมต P k เปนจรงนนคอ k ka b modm
จะแสดง P k 1 เปนจรง นนคอ
จะแสดงวา k 1 k 1a b modm
พจารณา k ka a b b modm
จะได k 1 k 1a b modm
ดงนน P k 1 เปนจรง โดยหลกการอปนยเชงคณตศาสตร
จะได P n เปนจรง ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n
นนคอ n na b modm เปนจรง ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n
70 ทฤษฎจ านวน
2.1) จาก a b modm และ c d modm
จะได m a b และ m c d จะมจ านวนเตม r และ s
ทท าให a b rm และ c d sm
จะได a b c d a c b d r s m
ดงนน m a c b d นนคอ a c b d modm
2.2) จาก a b modm และ c d modm
จะได m a b และ m c d จะมจ านวนเตม r และ s
ทท าให a b rm และ c d sm
จะได a b c d a c b d r s m
ดงนน m a c b d นนคอ a c b d modm
2.3) จาก a b modm และ c d modm
จะได m a b และ m c d จะมจ านวนเตม r และ s ทท าให
a b rm และ c d sm
ดงนน ca cb cr m และ bc bd bs m
จะได ca cb bc bd ac bd rc sb m
ดงนน m ac bd นนคอ ac bd modm
3) จาก ca cb modm
จะได m ca cb จะได m c a b แต c m
จะได m
a bc
นนคอ ma b mod
c
4) ให d c,m จะได c
d และ m
d เปนจ านวนเตมและ
c m, 1
d d
จาก ca cb modm จะได m ca cb หรอ
บทท 3 สมภาค 71
ca cb km ส าหรบจ านวน k บางจ านวนทหารดวย d จะได
c m
a b kd d
ดงนน m c
a bd d
แต c m, 1
d d
ดงนน m
a bd
นนคอ
ma b mod
c,m
5) จาก 4) เราทราบวา
ma b mod
c,m
แต c,m 1
ดงนน a b modm
ตวอยาง 3.1.6
1) 50 20 mod15 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.1
จะได 50 5 55 20 5 25 mod15
2) 50 20 mod15 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.2
จะได 50 5 45 20 5 15 mod15
3) 19 16 mod3 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.3
จะได 19 2 38 16.2 32 mod3
4) 19 16 mod3 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.4
จะได 19 2 38 16.2 32 mod3.2 6
5) 20 10 mod5 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5
จะได 2 220 400 10 100 mod5
6) 19 3 mod8 และ 17 9 mod8 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 2.1
จะได 19 17 36 3 9 12 mod8
7) 19 3 mod8 และ 17 9 mod8 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 2.2
จะได 19 17 2 3 9 6 mod8
72 ทฤษฎจ านวน
8) 19 3 mod8 และ 17 9 mod8 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 2.3
จะได 19.17 323 3.9 27 mod8
9) พจารณา 30 6 mod4 จะได 15.2 3.2 mod4
เนองจาก 2,4 2 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 3 จะได 415 3 mod 2
2
10) พจารณา 33 15 mod9 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 4
จะได
911 5 mod 3
3,9
11) พจารณา 42 7 mod5 ทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5
จะได
56 1 mod 5
7,5
ตวอยางตอไปนเปนการประยกตใชโดยการน าความสมพนธสมภาคมาชวยในการ
ตอบปญหาทตองคดค านวณซบซอนสามารถคดค านวณไดงายขน
ตวอยาง 3.1.7 จงแสดงวา 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว
วธท า เนองจาก 52 9 mod41 โดยทฤษฎบท 2.1.4 ขอ 1.5
จะได 4 4
52 9 mod41
2 2
202 9 9 mod41
นนคอ 202 81 . 81 mod41
แต 81 1 mod41 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5
จะได 81 . 81 1 1 mod41 โดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 3
ดงนน 202 1 . 1 mod41
จะได 202 1 mod41
นนคอ 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว
บทท 3 สมภาค 73
การใช Wolfram Alpha เพอตรวจสอบ 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว ดงภาพท 3.1.2
ผลลพธ 0
ภาพท 3.1.2 202 1 เมอถกหารดวย 41 ลงตว
ตวอยาง 3.1.8 จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17
วธท า
เนองจาก 42 1 mod17 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5)
จะได 7 7
42 1 mod17
7
282 1 mod17
จาก 22 4 mod17
ดงนน
30 28 22 2 2 1 . 4 mod17 โดยทฤษฎบท 3.1.3 ขอ 3)
และ 4 13 mod17
จะได 302 13 mod17
นนคอ เศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17 คอ 13
การใช Wolfram Alpha เพอตรวจสอบเศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17
ดงภาพท 3.1.3
202 1mod41
74 ทฤษฎจ านวน
ผลลพธ 13
ภาพท 3.1.3 เศษเหลอทไดจากการหาร 302 ดวย 17
3.2 ระบบสวนตกคางมอดโล m
เราทราบแลววาสมภาคเปนความสมพนธสมมลบนเซตของจ านวนเตม ดงทฤษฎบท
3.1.3 เมอเซตของจ านวนเตมถกแบงออกเปนเซตยอยทไมมสวนรวมกนทกค (pairwise
disjoint subsets) จะเรยกเซตนวา ชนสมภาคมอดโล m (congruence classes
modulo m ) (Rosen, K. H., 2005, p. 143) เชน
10 5 0 5 10 mod5
9 4 1 6 11 mod5
8 3 2 7 12 mod5
7 2 3 8 13 mod5
6 1 4 9 14 mod5
เรยกตวอยางในเซตนวา ชนสมภาคมอดโล 5
จากทฤษฎบท 2.2.1 ขนตอนวธการหารให m เปนจ านวนเตมบวก ส าหรบแตละ
จ านวนเตม a จะม q และ r เพยงค เดยวเทานน ทท า ให a qm r โดยท
0 r m หรอ a r qm โดยท r 0,1,2, ,m 1 ดงนนสมาชกทตางกน
ในเซต 0,1,2, ,m 1 จะไมสมภาคกนมอดโล m และทก ๆ จ านวนเตม a จะม
จ านวนเตม r เพยงตวเดยวเทานนท a r modm เมอ r คอเศษเหลอทไดจากการ
302 mod17
บทท 3 สมภาค 75
หาร a ดวย m หรอเรยกวา สวนตกคาง (residue) ของ r มอดโล m ดงบทนยาม
ตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 116; Rosen, K. H., 2005, p. 143)
บทนยาม 3.2.1
ส าหรบจ านวนเตม a และ r ถา a r modm จะเรยกวาเปน สวนตกคาง
(residue) ของ r มอดโล m ถา 0 r m จะเรยก r วาเปน สวนตกคางทไมเปนลบคานอยสดของ a มอดโล m (least nonnegative residue of a modulo m ) ถา r 0 นนคอ จ านวนเตม a หารดวย m ไมลงตว จะเรยก r วาเปน สวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ a มอดโล m (least positive residue of a
modulo m )
ตวอยาง 3.2.1
เนองจาก 7 3 mod4
7 11 mod4
7 15 mod4
ดงนน 3,11 และ 15 เปนสวนตกคางของ 7 มอดโล 4 และ 3 เปนสวน
ตกคางทไมเปนลบคานอยสดของ 7 มอดโล 4
ตอไปจะกลาวถงระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m และชนสวนตกคาง ดงบท
นยามตอไปน (ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน, 2547, น. 134; จราภา ลมบพศรพร,
2555, น. 97; จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 117)
76 ทฤษฎจ านวน
บทนยาม 3.2.2
เซตของจ านวนเตม 1 2 na ,a , ,a เรยกวาเปน เซตสวนตกคางบรบรณมอดโล m
(complete residues set modulo m ) หรอ ระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m
(complete residues system modulo m ) ถาส าหรบแตละจ านวนเตม a
จะม i
a เมอ i 1,2, ,m 1 เพยงจ านวนเดยวเทานนทท าให ia a modm
ชนสมมล (equivalence class) ของ i
a คอ a a เปนจ านวนเตมและ
ia a modm เรยกวา ชนสวนตกคาง (residues class)
จากบทนยาม 3.2.2 จะไดวา ระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m ทสมาชกแตละ
ตวเปนสวนตกคางทไมเปนลบคานอยสดมอดโล m เรยกวา สวนตกคางทไมเปนลบคานอย
สดมอดโล m (least nonnegative residues modulo m )
ตวอยาง 3.2.2
1) 0,1,2,3,4,5 เปนระบบบรบรณของสวนตกคางมอดโล 6
2) 12,13,8, 3,22,11 เปนระบบบรบรณของสวนตกคางมอดโล 6
ถาน าสมาชกแตละตวในเซต สมาชกใน 12,13,8, 3,22,11 มาหาสวนตกคางท
ไมเปนลบคานอยสดมอดโล 6 จะไดดงน
12 0 mod6 , 13 1 mod6 , 8 2 mod6
3 3 mod6 , 22 4 mod6 , 11 5 mod6
จะเหนวา สมาชกใน 12,13,8, 3,22,11 จะสมภาคกบสมาชกในระบบสวน
ตกคางบรบรณมอดโล 6 ในลกษณะหนงตอหนงไดพอด ถาน าระบบสวนตกคางบรบรณ มอ
ดโล 6 มาหาเซตยอยทมสมาชกของเซตยอยเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 6 เรยกเซตนวา
เปน ระบบสวนตกคางลดรปมอดโล 6 ดงบทนยามตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย,
2558, น. 118)
บทท 3 สมภาค 77
บทนยาม 3.2.3
เซตยอยของระบบบรบรณของสวนตกคางมอดโล m ทอยในรป 1 2 ka ,a , ,a จะ
เรยกวา ระบบสวนตกคางลดรปมอดโล m (reduce residue system modulo
m ) กตอเมอ
1) ia ,m 1 ส าหรบทก ๆ i 1,2, ,k
2) i ja a modm ถา i j
3) ส าหรบจ านวนเตม n ท n,m 1 จะไดวาม k
a ทท าให
kn a modm
ส าหรบเซตยอยของระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m อยในรป
a 0 a m, a,m 1 จะเรยกวา ระบบสวนตกคางลดรปทไมเปนลบคานอย
สดมอดโล m (least nonnegative reduced system modulo m)
ตวอยาง 3.2.3
1) 0,1,2,3,4,5,6,7 เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล 8
แต 1,3,5,7 เปนระบบสวนตกคางลดรปทไมเปนลบคานอยสดมอดโล 8
2) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล 10
แต 1,3,7,9 เปนระบบสวนตกคางลดรปทไมเปนลบคานอยสดมอดโล 10
3.3 สมภาคเชงเสน
ในหวขอนจะกลาวถงการหาผลเฉลยและทฤษฎบทเกยวกบการหาผลเฉลยของ
สมภาคเชงเสน โดยเราจะเรมจากบทนยามดงตอไปน (นพพร ธนะชยขนธ, 2543, น. 81;
สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545,น. 62; Raji, W., 2013, p. 60)
78 ทฤษฎจ านวน
บทนยาม 3.3.1
ให a,b และ m เปนจ านวนเตม ซง m 0 เรยกสมภาคทอยในรป
ax b modm วา สมภาคเชงเสนทม x เปนตวแปร (a linear congruence
in one variable x) เรยก 0
x ทท าให 0ax b modm เปนจรงวา ผลเฉลย
(solution) ของ ax b modm และถามจ านวนเตม 1
x ทท าให
1ax b modm เปนจ านวนจรงอกซง 0 1
x x modm แลวจะเรยก 0
x และ
1x วาเปนผลเฉลยทไมตางกนหรอผลเฉลยทสมภาคกน (congruent solution) แต
ถา 0
x ไมสมภาคกบ 1
x มอดโล m จะเรยก 0
x และ 1
x วาเปนผลเฉลยทตางกน
หรอผลเฉลยทไมสมภาคกน (incongruent solution)
ตวอยาง 3.3.1 จงหาผลเฉลยของ 2x 3 mod5
วธท า เนองจาก 2x 3 mod5 เปนสมภาคเชงเสนมอดโล 5 ทม x เปนตวแปรใน
มอดโล 5 จะมสมาชกในเซตของสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดเพยง 5 ตว ไดแก
0, 1,2,3,4 ทจะน าไปแทนคาของ x ในสมการ 2x 3 mod5 ดงน
แทนคา x 0 จะได 2 0 3 mod5
แทนคา x 1 จะได 2 1 3 mod5
แทนคา x 2 จะได 2 2 3 mod5
แทนคา x 3 จะได 2 3 3 mod5
แทนคา x 4 จะได 2 4 3 mod5
ดงนน x 4 เปนหนงในผลเฉลยของ 2x 3 mod5
กลาวคอ x 4 mod5 คอผลเฉลยของสมภาค
การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 2x 3 mod5 ดงภาพท
3.3.1
บทท 3 สมภาค 79
ผลลพธ x 4 5n และ n
ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 5 คอ x 4
ภาพท 3.3.1 ผลเฉลยของ 2x 3 mod5
ตวอยาง 3.3.2 จงหาผลเฉลยของ 2x 6 mod4
วธท า เนองจาก 2x 6 mod4 เปนสมภาคเชงเสนมอดโล 4 ทม x เปนตวแปรใน
มอดโล 4 จะมสมาชกในเซตของสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดเพยง 4 ตว ไดแก
0, 1,2,3 ทจะน าไปแทนคาของ x ในสมการ 2x 6 mod4 ดงน
แทนคา x 0 จะได 2 0 6 mod4
แทนคา x 1 จะได 2 1 6 mod4
แทนคา x 2 จะได 2 2 6 mod4
แทนคา x 3 จะได 2 3 6 mod4
จะเหนวา x 1 และ x 3 เปนผลเฉลยของ 2x 6 mod4 และ
1 3 mod4 ดงนน x 1 และ x 3 เปนผลเฉลยทไมสมภาคกน
กลาวคอ x 1 mod4 และ x 3 mod4 คอผลเฉลยของสมภาค
จากตวอยางท 3.3.1 และ 3.3.2 เหนไดวาสมภาค ax b modm อาจม
หรอไมมผลเฉลยกได ซงวธการพจารณาวาสมภาค ax b modm จะมผลเฉลยหรอไม
นนจะอาศยทฤษฎบทตอไปน (จรนทรทพย เฮงคราวทย, 2558, น. 126-127; จราภา ลม
บพศรพร, 2555, น. 103-105; ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน, 2547, น. 140-
142; Burton, D. M., 2007, pp. 76-77)
2x congruent3mod5
80 ทฤษฎจ านวน
ทฤษฎบท 3.3.1
ให a,b และ m เปนจ านวนเตม ซง m 0 และ d a,m จะไดวา
1) สมภาคเชงเสน (linear congruence) ax b modm มผลเฉลยใน
จ านวนเตมกตอเมอ d b
2) ถา d b แลวสมภาคเชงเสน ax b modm มผลเฉลยอย d ตว ท
ผลเฉลยไมสมภาคกนในมอดโล m และผลเฉลยเหลานน คอ
0
mx x t modm
d เมอ t 0,1,2, ,d 1 โดยท
0x เปนผลเฉลย
หนงของ a b mx mod
d d d
บทพสจน
1) สมมตวา ax b modm มผลเฉลย
จะไดวา 0
x เปนจ านวนเตม ทท าให 0ax b modm
โดยบทนยาม 3.1.1 แสดงวา 0m ax b
เนองจาก d m และ d a ดงนน d b
สมมตวา d b จะมจ านวนเตม k ทท าให b dk และจาก
d a,m โดยทฤษฎบท 2.3.3 จะไดวาม 0 0
x ,y ทท าให
0 0
d ax my จะไดวา
0 0
0 0
b dk
ax my k
ax k my k
ดงนน 0
m ax k b นนคอ 0ax k b modm
แสดงวา ax b modm มผลเฉลยคอ 0
x k
การพสจนขอ 2 แบงเปน 2 ตอน
บทท 3 สมภาค 81
2) ตอนท 1 จาก a m, 1
d d
และ b
1d
แสดงวา a b mx mod
d d d
มผลเฉลยให 0
x เปนผลเฉลยหนงของ a b mx mod
d d d
จะไดวา 0
m a bx
d d d
แสดงวามจ านวนเตม k ทท าให
0
a b mx k
d d d 3.3.1
ให t เปนจ านวนเตม จะแสดงวา 0
mx t
d เปนผลเฉลยของสมการ
เพราะวา 0 0
m ama x t b ax t b
d d
0adx amt bd
d d d
0
a b ad x mt
d d d
m ad k mt
d d
(แทนคาจาก 3.3.1
am k t
d
จาก d a และ t เปนจ านวนเตม จะได 0
mm a x t b
d
นนคอ 0
ma x t b modm
d
แสดงวา
0
mx t
d เปนผลเฉลยของ
ax b modm ส าหรบทกจ านวนเตม t
ตอไปจะแสดงวาผลเฉลยของ ax b modm จะเขยนอยในรป
0
mx q
d เมอ q เปนจ านวนเตม
ให 1
x เปนผลเฉลยของ ax b modm
82 ทฤษฎจ านวน
จะได 1ax b modm เนองจาก 0
ma x t b modm
d
จะไดวา 1 0
max a x t modm
d
ดงนน 1 0
a a m mx x t mod
d d d d
จาก a m, 1
d d
โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา
1 0
m mx x t mod
d d
แสดงวาจะม จ านวนเตม 1
t ทท าให 1 0 1
m mx x t t
d d
จะไดวา 1 0 1
mx x t t
d
นนคอ ม 1
q t t เปนจ านวนเตมทท าให 1 0
mx x q
d
สรป ผลเฉลยของ ax b modm จะเขยนอยในรป
0
mx x t modm
d
เมอ t เปนจ านวนเตม
โดยท 0
x เปนผลเฉลยหนงของ a b mx mod
d d d
ตอนท 2 ให d a,m และ t เปนจ านวนเตม จะตองแสดงวา
ax b modm มผลเฉลย d ตว ทผลเฉลยไมสมภาคกนในมอดโล m
จาก d, t เปนจ านวนเตม โดยขนตอนวธการหารจะไดวา ม q,r เปนจ านวน
เตมทท าให
t dq r โดยท 0 r d
ดงนน 0 0 0
m m mx t x dq r x mq r
d d d
บทท 3 สมภาค 83
แสดงวา 0 0
m mx t x r modm
d d
โดยท 0 r d 1
สรป ผลเฉลยของ ax b modm จะมอย d ตวเทานนทผลเฉลยไมสม
ภาคกนในมอดโล m คอ
0
mx x t modm
d เมอ t 0,1,2, ,d 1
จากทฤษฎบท 3.3.1 เราพบวา
(1) ถา d | b แลวสมภาคเชงเสน ax b modm ไมมผลเฉลย
(2) ถา 0
x เปนผลเฉลยหนงของสมภาคเชงเสน a mx 1 mod
d d
แลว
1 0
bx x
d จะเปนผลเฉลยของ a b m
x modd d d
สมภาคเชงเสนทมผลเฉลยและมเพยงผลเฉลยเดยว ดงทฤษฎบทตอไปน
(ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน, 2547, น. 142; สมวงษ แปลงประสพโชค, 2545,
น. 63; Burton, D. M., 2007, p. 77)
ทฤษฎบท 3.3.2
ถา a,m 1 แลวสมภาคเชงเสน ax b modm มเพยงผลเฉลยเดยว
บทพสจน
เพราะวา a,m 1 จะไดวา มจ านวนเตม r และ q ทท าให ar ms 1
เปนการรวมเชงเสน คณดวย b จะได
a rb m sb b
a rb b m sb
ดงนน a rb b modm
นนคอ rb เปนผลเฉลยของ ax b mod m ถาม q เปนผลเฉลยอก
84 ทฤษฎจ านวน
คาหนง จะได aq b mod m ดงนน ax arb mod m
แต a,m 1 จะไดวา q rb mod m
สรปจะไดวา ax b mod m มผลเฉลยเพยงเดยว
ตวอยาง 3.3.3 จงหาผลเฉลยของ 4x 1 mod 15
วธท า 4x 1 mod 15 มผลเฉลย 1 ตว เพราะวา 4,15 1 ซง 1 1
ตวอยาง 3.3.4 จงหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสนตอไปน มผลเฉลยหรอไม
1 3x 6 mod 15
2 4x 8 mod 15
3 6x 11 mod 15
วธท า 1 3x 6 mod 15 มผลเฉลย 3 ตว เพราะวา 3,15 3 ซง 3 6
2 4x 8 mod 15 มผลเฉลย 1 ตว เพราะวา 4,15 1 ซง 1 8
3 6x 11 mod 15 ไมมผลเฉลย เพราะวา 6,15 3 ซง 3 | 11
ตวอยาง 3.3.5 จงหาผลเฉลยของ 9x 15 mod 21
วธท า เนองจาก 9,21 3 ซง 3 15 ดงนน มผลเฉลย 3 ตว
จาก 9x 15 mod 21
9 15 21x mod
3 3 3
จากทฤษฎบท 3.3.1 ขอ 2
จะได 3x 5 mod 7
เพราะวา 12 5 mod 7 และ 3,7 1
จะได 3x 12 mod 7
ดงนน x 4 mod 7 หรอ x 4 +7t mod 21 เมอ t 0,1,2
นนคอ สมภาคเชงเสน มผลเฉลยคอ x 4,11,18 mod21
บทท 3 สมภาค 85
การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 9x 15 mod 21 ดงภาพท
3.3.2
ผลลพธ ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 21 คอ
x 7n 4 และ n 0,1,2
ภาพท 3.3.2 ผลเฉลยของ 9x 15 mod 21
ตวอยาง 3.3.6 จงหาผลเฉลยของ 4x 100 mod 56
วธท า เนองจาก 4,56 4 ซง 4 100 ดงนน มผลเฉลย 4 ตว
จาก 4x 100 mod 56
4 100 56x mod
4 4 4
จากทฤษฎบท 3.3.1 ขอ 2
จะได x 25 mod 14
เพราะวา 3 25 mod 14 (เพราะวา 3 25 28 และ 14 28)
ดงนน x 3 mod 14 หรอ x 3 +14t mod 56 เมอ t 0,1,2,3
นนคอ สมภาคเชงเสน มผลเฉลยคอ x 3,17,31,45 mod56
การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 4x 100 mod 56
ดงภาพท 3.3.3
9x congruent15mod21
86 ทฤษฎจ านวน
ผลลพธ ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 56 คอ
x 14n 3 และ n 0,1,2,3
ภาพท 3.3.3 ผลเฉลยของ 4x 100 mod 56
ตวอยาง 3.3.7 จงหาผลเฉลยของ 66x 121 mod 737
วธท า เนองจาก 66,737 11 ซง 11 121 ดงนน มผลเฉลย 11 ตว
จาก 66x 121 mod 737
66 121 737x mod
11 11 11
จากทฤษฎบท 3.3.1 ขอ 2
จะได 6x 11 mod 67
เพราะวา 11 78 mod 67 (เพราะวา 11 78 67 และ 67 67 )
จะได 6x 78 mod 67
ดงนน x 13 mod 67
หรอ x 13 +67t mod 737 เมอ t 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
นนคอ สมภาคเชงเสน มผลเฉลยคอ
x 13,80,147,214,281,348,415,482,549,616,683 mod737
การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยของ 66x 121 mod 737
ดงภาพท 3.3.4
4x congruent 100mod56
บทท 3 สมภาค 87
ผลลพธ ระบบสวนตกคางนอยสด มอดโล 737 คอ
x 67n 13 และ n 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
ภาพท 3.3.4 ผลเฉลยของ 66x 121 mod 737
ตอไปจะกลาวถงตวผกผนมอดโล ดงบทนยามตอไปน (Raji, W., 2013, p.
62)
บทนยาม 3.3.2
ถา a,m 1 ผลเฉลยของสมภาคเชงเสน ax 1 modm จะเรยกวา ตวผกผน
(inverse) ของ a มอดโล m เขยนแทนดวยสญลกษณ a
ตวอยาง 3.3.8 จงหาตวผกผนของ 7 มอดโล 48
วธท า 7x 1 mod48 ตวผกผนของ 7 มอดโล 48 คอ 7
เพราะวา 7 7 1 mod48
นนคอ x 7 mod48
3.4 ทฤษฎเศษเหลอของชาวจน
ในหวขอน เราจะกลาวถงการหาผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสนสองสม
ภาคหรอมากกวาสองสมภาค ตามหลกฐานทางประวตศาสตร ทเกดขนในสมยจนโบราณ
ประมาณครสตศตวรรษแรก ไดตงปญหาวา “จงหาจ านวนเตมเมอหารดวย 3 จะเหลอเศษ
2 เมอหารดวย 5 จะเหลอเศษ 3 และเมอหารดวย 7 จะเหลอเศษ 2” ปญหาดงกลาว
สามารถเขยนใหอยในระบบสมภาคเชงเสนไดดงน
66x congruent121mod737
88 ทฤษฎจ านวน
x 2 mod 3 3.4.1
x 3 mod 5 3.4.2
x 2 mod 7 3.4.3
ปญหาดงกลาวไดมปรากฏในหนงสอเลขคณต (Introduction Arithmaticae)
ของนกคณตศาสตรชาวกรกชอ นโคมาคส (Nicomachus) แตในขณะเดยวกนประมาณ
ครสตศตวรรษท 7 ไดพบปญหาของพรหมคปต (Brahmagupta) หาพนทรปสเหลยม
แนบในวงกลม ในประเทศอนเดย อยางไรกตามประมาณป ค.ศ. 1247 การหาผลเฉลย
รวมกนของระบบสมภาคเชงเสนไดถกตพมพโดย Ch’in Chiu-Shao เปนนกคณตศาสตร
ชาวจน เพอใหเปนเกยรตแกชาวจนจงเรยกทฤษฎบทเกยวกบการหาผลเฉลยรวมกนของ
ระบบสมภาคเชงเสน วา ทฤษฎเศษเหลอของชาวจน (Chinese remainder theorem)
ดงทฤษฎบทตอไปน (นพพร ธนะชยขนธ, 2543, น. 90-91; สมวงษ แปลงประสพโชค,
2545, น. 67-68; Rosen, K. H., 2005, p. 159)
ทฤษฎบท 3.4.1 ทฤษฎบทเศษเหลอของชาวจน (chinese remainder theorem)
ให 1 2 r
m ,m , ,m เปนจ านวนเฉพาะสมพทธบวกทกค แลวระบบสมภาคเชงเสน
ตอไปน
1 1x a mod m
2 2x a mod m
r rx a mod m
จะมผลเฉลยรวมกนเพยงผลเฉลยเดยวมอดโล (unique solution modulo)
1 2 rM m m m
บทท 3 สมภาค 89
บทพสจน
ก าหนดให 1 2 r
M m m m และ k 1 2 k 1 k 1 rk
MM m m m m m
m
เนองจาก 1 2 r
m ,m , ,m เปนจ านวนเฉพาะสมพทธบวกทกค
ดงนน k kM ,m 1 เพราะฉะนนสมภาคเชงเสน k k
M x 1 modm
มเพยงผลเฉลยเดยว ผลเฉลยใหเปน k
x
จะได k k kM x 1 modm และจะได k k k k k
a M x a modm
พจารณา k
M เนองจาก i k
m M ถา i k ก าหนดให
1 1 1 r r ry a M x a M x จะไดวา
1 1 1 r r r k k k k k ky a M x a M x a M x modm a modm
ดงนน y เปนผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน ตอไปจะแสดงวา ระบบสมภาคเชงเสนมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยวทแตกตางกน
มอดโล M
ก าหนดให x เปนผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน
จะไดวา k kx a modm ส าหรบ k 1,2, , r
ดงนน k ky a modm ดงนนจะได k
m y x
เนองจาก 1 2 r
m ,m , ,m เปนจ านวนเฉพาะสมพทธบวกทกค
จะได 1 2 rm ,m , ,m y x
นนคอ 1 2 rx y modm ,m , ,m หรอ x y modM
ตวอยาง 3.4.1 จงหาผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน
x 2 mod 3
x 3 mod 5
x 2 mod 7
90 ทฤษฎจ านวน
วธท า จาก 1 2 r
M m m m
1 1 1 2 2 2 3 3 3x a M x a M x a M x modM
kk
MM
m และ
kx คอผลเฉลยของ k k
M x 1 modm
จาก 1 2
m 3, m 5 และ 3
m 7 จะได M 3 5 7 105
ดงนน 1 2 3
3 5 7 3 5 7 3 5 7M 35, M 21, M 15
3 5 7
จาก 1 2
a 2, a 3 และ 3
a 2
ตอไปจะหา k
x จาก k kM x 1 modm ดงน
135x 1 mod3 จะได 1
x 2 mod3 (เพราะวา 1 70 mod3 )
221x 1 mod5 จะได 2
x 1 mod5 (เพราะวา 1 21 mod5 )
315x 1 mod7 จะได 3
x 1 mod7 (เพราะวา 1 15 mod7 )
นนคอ x 2 35 2 3 21 1 2 15 1 233 mod105
x 23 mod105 (เพราะวา 223 23mod 105 ;105 2 210 )
เปนผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคเชงเสน
การใช Wolfram Alpha เพอหาผลเฉลยรวมกนของระบบสมภาคในตวอยาง
3.4.1 ดงภาพท 3.4.1
ผลลพธ 23
ภาพท 3.4.1 ผลเฉลยรวมกนของ x 2 mod 3 x 3 mod 5 และ
x 2 mod 7
ChineseRemainder[{2,3,2},{3,5,7}]
บทท 3 สมภาค 91
3.5 ทฤษฎบทของวลสน
จอหน วลสน (John Wilson, ค.ศ. 1741-1793) ซงเปนศษยคนหนงของนก
คณตศาสตรชาวองกฤษชอ เอดเวรด วอรนนง (Edward Waring ค.ศ. 1734-1798)
วอรนนง ไดกลาวไวในหนงสอซงถกตพมพในป ค.ศ. 1770 วาศษยของเขาชอ วลสน ไดตง
ขอคาดการณ (Conjecture) ไววา ถา p เปนจ านวนเฉพาะ แลว p หาร p 1 ! 1
ลงตว แนวคดพนฐานมาจากการค านวณ ซงวลสนสงเกตวา 2 หาร 1 1 ! 1 2, 3
หาร 3 1 ! 1 3, 5 หาร 5 1 ! 1 25 และ 7 หาร 7 1 ! 1 721
เปนตน อยางไรกตามทงวอรนนงและวลสนไมสามารถพสจนขอความคาดการณนได
จนกระทงป ค.ศ. 1771 นกคณตศาสตรชาวอตาล ชอ โฌแซฟ หลยส ลากรองฌ (Joseph
Louis Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ไดพสจนขอความดงกลาวนไดส าเรจ และเรยกชอ
ทฤษฎบทดงกลาววา ทฤษฎบทของวลสน (Wilson’s theorem) ดงจะกลาวถงทฤษฎ
บทของวลสนในรปสมภาค ดงน (Rosen, K. H., 2005, pp. 215-216)
ทฤษฎบท 3.5.1 ทฤษฎบทของวลสน (Wilson’s theorem)
ถา p เปนจ านวนเฉพาะ จะไดวา p 1 ! 1 modp
บทพสจน
ถา p 2 จะไดวา 2 1 ! 1 mod2 ดงนน เปนจรงส าหรบ p 2
ส าหรบ p 2 โดยทฤษฎบท 3.3.1 ให a เปนจ านวนเตม ซง 1 a p 1
ดงนน a,p 1 โดยทฤษฎบท 3.3.2 จะมจ านวนเตม 'a ซง '1 a p 1
ทท าให 'aa 1 modp ดงนน a 1 หรอ a p 1 ท าใหไดวา ทก a ท
2 a p 2 ม 'a เพยงตวเดยวท '2 a p 2 จะจบคกนได p 3
2
ค
ทผลคณแตละคจะสมภาคกบ 1 มอดโล p
เพราะฉะนน 2 3 4 p 2 1 modp ทท าให
p 1 ! 1 2 3 4 p 2 p 1 1 p 1 1 modp
92 ทฤษฎจ านวน
ตวอยาง 3.5.1 จงใชทฤษฎบทของวลสนหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 30!
มอดโล 31
วธท า จากทฤษฎบทของวลสน p 31 เปนจ านวนเฉพาะ
ดงนน 31 1 ! 1 mod31
30! 1 mod31
แต 30 1 mod31
นนคอ 30! 30 mod31
การใช Wolfram Alpha เพอหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 30!
มอดโล 31 ดงภาพท 3.5.1
ผลลพธ 30
ภาพท 3.5.1 สวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 30! มอดโล 31
ทฤษฎบทตอไปจะกลาวถงบทกลบของทฤษฎบทของวลสนเปนจรง (จราภา ลมบพ
ศรพร, 2555, น. 130-131; Rosen, K. H., 2005, pp. 216-217)
ทฤษฎบท 3.5.2 บทกลบของทฤษฎบทของวลสน
ถา n เปนจ านวนเตมบวก ซง n 2 ถา n 1 ! 1 modn แลว n เปน
จ านวนเฉพาะ
บทพสจน
สมมต n เปนจ านวนประกอบ และ n 1 ! 1 modn
เนองจาก n เปนจ านวนประกอบ n ab ซง 1 a n และ 1 b n
30!mod31
บทท 3 สมภาค 93
จาก a n ดงนน a n 1 ! แตจากสมมตฐาน n 1 ! 1 modn
โดยบทนยาม 3.1.1 จะไดวา n n 1 ! 1
เพราะวา a n
โดยทฤษฎบท 2.1.1 ขอ 3 จะไดวา a n 1 ! 1
โดยทฤษฎบท 2.1.1 ขอ 9 จะไดวา a n 1 ! 1 n 1 !
นนคอ a 1 แสดงวา a 1 เกดขอขดแยง เพราะวา a 1
เราอาจประยกตใชทฤษฎบทของวลสนโดยใชขอความแยงสลบท ในการตรวจสอบ
วาจ านวนเตมทก าหนดใหเปนจ านวนเฉพาะหรอไม กลาวคอ ถา n 1 ! 1 modn
แลว n ไมเปนจ านวนเฉพาะ ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 3.5.2 จงแสดงวา n 6 เปนจ านวนเฉพาะหรอไมโดยใชทฤษฎบทของวลสน
วธท า จาก n 6 โดยใชขอความแยงสลบทของทฤษฎบทของวลสน
จะเหนวา 6 1 ! 5! 120 0 1 mod6
เพราะฉะนนทฤษฎบทของวลสน จะไดวา 6 ไมเปนจ านวนเฉพาะ
3.6 ทฤษฎบทเลกของแฟรมา
นกคณตศาสตรชาวฝร งเศสชอ ปแยร เดอ แฟรมา (Pierre de Fermat,
ประมาณ ค.ศ. 1601-1665) คนพบทฤษฎบททส าคญตาง ๆ มากมายในทฤษฎจ านวน ใน
ป ค.ศ. 1640 แฟรมาสงจดหมายถงเพอนซงเปนนกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ เบอรนารด
แฟรนเคล เดอ เบสซ (Bernard Frénicle de Bessy, ค.ศ. 1604-1674) ขอความใน
จดหมายวา “จ านวนเฉพาะ p หาร p 1a 1 ลงตว เมอ a เปนจ านวนเตมใด ๆ ซงหาร
ดวย p ไมลงตว” แตแฟรมาไมไดเขยนวธพสจนในจดหมาย ขอความของแฟรมานเปนท
รจกกนในนามทฤษฎบทเลกของแฟรมา (Fermat’s little theorem) ซงตงขนเพอแยก
ความแตกตางระหวางทฤษฎบทเลกของแฟรมาและทฤษฎบทสดทายของแฟรมา
(Fermat's last theorem) จนกระท ง ในป ค .ศ . 1736 เลออนฮารด ออยเลอร
(Leonhard Euler, ค.ศ. 1707-1783) ไดเปนผพสจนทฤษฎบทเลกของแฟรมาเปนคน
94 ทฤษฎจ านวน
แรก (จราภา ลมบพศรพร , 2555, น. 125-126; ณรงค ปนนม และ นตตยา ปภาพจน,
2547, น. 156; Rosen, K. H., 2005, pp. 217-218)
ทฤษฎบท 3.6.1 ทฤษฎบทเลกของแฟรมา (Fermat’s little theorem)
ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม ถา p | a แลว
p 1a 1 modp
บทพสจน
ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม ซง p | a
พจารณาจ านวนเตม p 1 จ านวนดงน a,2a,3a, , p 1 a
ถา ia 0 modp ส าหรบบาง i 1,2, ,p 1
จะไดวา p ia โดยทฤษฎบท 2.5.1
จะไดวา p i หรอ p a แตเนองจาก p | a เพราะฉะนน p i เกดขอขดแยง
เพราะวา 1 j p 1
ดงนน ia ja modp ส าหรบบาง i, j ซง 1 i j p
เนองจาก p,a 1 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา i j modp
นนคอ p i j เกดขอขดแยง เพราะวา 0 i j p
ดงนน ia ja modp p 1 ส าหรบบาง i, j ซง 1 i j p
เพราะฉะนนสวนตกคางทเปนบวกคานอยสดของ a,2a,3a, , p 1 a
มอดโล p คอ 1,2, , p 1 โดยไมค านงถงล าดบ ท าใหไดวาส าหรบแตละ
i 1,2, , p 1 จะม ij 1,2, , p 1 ซง i
ia j modp
คณสมภาคทงหมดเขาดวยกนจะได
a,2a,3a, , p 1 a 1 2 3 p 1 modp
หรอ p 1a p 1 ! p 1 ! modp
บทท 3 สมภาค 95
เพราะวา p 1 !,p 1 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5
จะไดวา p 1a 1 modp
เราจะประยกตใชทฤษฎบทเลกของแฟรมาเพอชวยในการหาเศษเหลอทเกดจาก
การหารจ านวนเตมใด ๆ ดวยจ านวนเฉพาะ ดงตวอยางตอไปน
ตวอยาง 3.6.1 จงหาเศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31
วธท า พจารณา 1015 30 33 25 จะได 1015 30 33 257 7
จากทฤษฎบทเลกของแฟรมา p 1a 1 modp โดยท p 31 และ a 7
จะไดวา 307 1 mod7
พจารณา 257 จะได
27 49 18 13 mod31
4
8
16
7 13 13 324 14 mod31
7 14 14 196 10 mod31
7 10 10 100 7 mod31
จะได 1 8 16257 7 7 7 7 10 7 490 25 mod31
ดงนน 1015 3330 33 257 7 1 25 25 mod31
นนคอ เศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31 คอ 25
การใช Wolfram Alpha เพอหาเศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31
ดงภาพท 3.6.1
ผลลพธ 25
ภาพท 3.6.1 เศษเหลอทเกดจากการหาร 10157 ดวย 31
7^1015mod31
96 ทฤษฎจ านวน
ทฤษฎบทเลกของแฟรมาสามารถขยายไปสกรณทจ านวนเตม a อาจไปเปน
จ านวนเฉพาะสมพทธกบจ านวนเฉพาะ p ดงทฤษฎบทตอไปน (จราภา ลมบพศรพร,
2555, น. 127; Rosen, K. H., 2005, p. 218)
ทฤษฎบท 3.6.2
ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม แลว pa a modp
บทพสจน ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม
ถา p a แลว a 0 modp โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 1.5
จะได pp a แลว pa a 0 modp ดงนน pa a modp
ถา p | a โดยทฤษฎบท 3.6.1 เราทราบวา p 1a 1 modp
คณดวย a ทงสองขางของสมภาคจะได pa a modp
ตวอยาง 3.6.2 จงหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013 มอดโล 11
วธท า จากทฤษฎบทเลกของแฟรมา โดยท p 11 และ a 3
จะไดวา 103 1 mod11
พจารณา 210 10 20 1
จาก 20
10210 10 20 13 3 3 3
จะได 20
103 3 1 3 mod11
ดงนน เศษเหลอทเกดจากการหาร 2013 มอดโล 11 คอ 3
นนคอ 3 เปนสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013 มอดโล 11
การใช Wolfram Alpha เพอหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013
มอดโล 11 ดงภาพท 3.6.2
บทท 3 สมภาค 97
ผลลพธ 3
ภาพท 3.6.2 สวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ 2013 มอดโล 11
นอกจากนเราอาจประยกตใชทฤษฎบทเลกของแฟรมาเพอหาตวผกผน (inverse)
ของจ านวนเตมมอดโลจ านวนเฉพาะ p ดงทฤษฎบทตอไปน (จราภา ลมบพศรพร, 2555,
น. 128; Rosen, K. H., 2005, p. 218)
ทฤษฎบท 3.6.3
ก าหนดให p เปนจ านวนเฉพาะ และ a เปนจ านวนเตม ถา p | a แลว p 2a เปน
ตวผกผน (inverse) ของ a มอดโล p
บทพสจน
สมมต p | a โดยทฤษฎบทเลกของแฟรมา จะไดวา p 1a 1 modp
เพราะฉะนน p 2 p 1a.a a 1 modp
ดงนน p 2a เปนตวผกผนของ a มอดโล p
ตวอยาง 3.6.3 ก าหนดให p 11 และ a 2 จงหาตวผกผนของ a มอดโล p
วธท า
จากทฤษฎบท 3.6.2 จะไดวา p 2 11 2 9a 2 mod112 512 6
นนคอ 6 เปนตวผกผนของ 2 มอดโล 11
การใช Wolfram Alpha เพอหาตวผกผนของ 2 มอดโล 11 ดงภาพท 3.6.3
3^201mod11
98 ทฤษฎจ านวน
ผลลพธ 6
ภาพท 3.6.3 ตวผกผนของ 2 มอดโล 11
3.7 ทฤษฎบทของออยเลอร
นกคณตศาสตรชาวสวสชอ เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler, ค.ศ.
1707-1783) ไดเปนผพสจนและตพมพทฤษฎบทเลกของแฟรมาเปนคนแรกในป ค.ศ.
1736 ตอมาในป ค.ศ. 1760 ออยเลอร ไดพสจนนยทวไปของทฤษฎบทเลกของแฟรมาจาก
กรณสมภาคทมมอดลสเปนจ านวนเฉพาะไปสกรณมอดลสเปนจ านวนเตมบวก ใด ๆ ดง
บทนยามตอไปน (Rosen, K. H., 2005, p. 233)
บทนยาม 3.7.1 ฟงกชนออยเลอร-ฟ (Euler phi-function)
ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวกใด ๆ ฟงกชนออยเลอร-ฟ (Euler phi-function)
เขยนแทนดวย m หมายถงจ านวนของจ านวนเตมบวกทไมเกน m และเปนจ านวน
เฉพาะสมพทธกบ m
ตวอยาง 3.7.1 จงหา 12
วธท า 12 4 เพราะมจ านวนเตมบวก 4 จ านวน ทเปนจ านวนเตมบวกทไมเกน 12
และเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 12 คอ 1,5,7 และ 11
inverse of 2 mod 11
บทท 3 สมภาค 99
บทนยาม 3.7.2
ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวก เรยกเซตของจ านวนเตม m ตวโดยทสมาชก
แตละตวเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m และไมมสมาชกสองตวใด ๆ ทตางกนสมภาค
กนมอดโล m วาระบบสวนตกคางลดรปมอดโล m (reduce residue system
modulo m )
ตวอยาง 3.7.2 จากตวอยาง 3.7.1 จะไดวาระบบสวนตกคางลดรปมอดโล 12 คอ เซต
1,5,7,11
กอนทจะกลาวถงทฤษฎบทของออยเลอร เราจะพสจนทฤษฎบทตอไปนซงแสดงวา
ถา a เปนจ านวนเตมบวกซงเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ m แลวส าหรบแตละ
i 1,2, , m จะม ij 1,2, , m ซ ง i ijaa a modm ดงทฤษฎบท
ตอไปน (จราภา ลมบพศรพร , 2555, น. 134-135; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 143;
Rosen, K. H., 2005, p. 233)
ทฤษฎบท 3.7.1
ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวก ถา 1 2 m
a ,a , ,a
เปนจ านวนเตมบวกซง
ia m และ i
a ,m 1 ส าหรบทก 1 i m ถา a เปนจ านวนเตมบวก ซง
a,m 1 แลวจ านวนเตม 1 2 m
aa ,aa , ,aa
จะสมภาคมอดโล m กบ
1 2 ma ,a , ,a
โดยไมค านงถงล าดบ
บทพสจน ก าหนดให a เปนจ านวนเตมบวก ซง a,m 1
พจารณา 1 2 m
aa ,aa , ,aa
จะแสดงวา 1 i m จะม i1 j m ซง
ii jaa a modm
100 ทฤษฎจ านวน
ถา i jaa aa modm ส าหรบบาง 1 i j m เนองจาก
a,m 1 โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา i ja a modm
ซงเปนไปไมได เพราะฉะนน i jn a a เกดขอขดแยง เพราะวา
i j0 a ,a m
ท าใหไดวา i j
0 a a m
ดงนน i jaa aa modm ส าหรบ i, j 1,2, , m ซง i j
เนองจาก ia ,m 1 และ a,m 1
จะได iaa ,m 1 ส าหรบทก 1 i m
ให i
aa เปนจ านวนทเลอกมาจ านวนหนง จะมจ านวนเตม ir ซง
i1 r m
และ ir,m 1 จะได
i iaa r modm 3.7.1
แตเนองจาก i
0 r m เพราะฉะนนจะม i1 j m ซง i ijr a
ดงนนจาก 3.7.1 จะได i ijaa a modm
ทฤษฎบทตอไปน จะกลาวถงทฤษฎบทของออยเลอร (จราภา ลมบพศรพร, 2555,
น. 135; สมใจ จตพทกษ, 2547, น. 144; Rosen, K. H., 2005, p. 235)
ทฤษฎบท 3.7.2 ทฤษฎบทของออยเลอร (Euler’s theorem)
ก าหนดให m เปนจ านวนเตมบวก และ a เปนจ านวนเตม ซง a,m 1 จะไดวา m
a 1 modm
บทพสจน สมมต a,m 1 ก าหนดให
1 2 ma ,a , ,a
เปนจ านวนเตมซง
i
0 a m และ ia ,m 1 ส าหรบ 1 i m
เนองจาก a,m 1 โดยทฤษฎบท 3.7.1 จะไดวาจ านวนเตม
1 2 m
aa ,aa , ,aa
สมภาคกบ 1 2 m
a ,a , ,a
โดยไมค านงถงล าดบ
บทท 3 สมภาค 101
ดงนน
1
2
m m
1
2
aa a modm
aa a modm
aa a modm
คณสมภาคเหลานเขาดวยกนจะได
1 2 1 2m maa aa aa a a a modm
หรอ
m
1 1 2m ma aa a a a a modm
เนองจาก ia ,m 1
ดงนน 1 2 m
a a a ,n 1
โดยทฤษฎบท 3.1.4 ขอ 5 จะไดวา m
a 1 modm
จากทฤษฎบทของออยเลอร ถา m p เปนจ านวนเฉพาะแลว
m p p 1 ดงนน ถา a,p 1 แลว pp 1a a 1 modm
จะเหนวาทฤษฎบทเลกของแฟรมาเปนกรณเฉพาะของทฤษฎบทออยเลอรเมอมอดลส m
เปนจ านวนเฉพาะ
ตวอยาง 3.7.3 จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร 5011 ดวย 180
วธท า เนองจาก 11,180 1 และ
2 2 1 1 1180 2 3 5 180 1 1 1 48
2 3 5
(วธการหา m ท m มคามาก จะกลาวในหวขอ 5.2 ฟงกชนออยเลอร-ฟ)
โดยทฤษฎบทของออยเลอร จะได
102 ทฤษฎจ านวน
180 4811 11 1 mod180
คณดวย 211 ทงสองขาง จะได
5011 121 mod180
ดงนน เศษเหลอทเกดจากการหาร 5011 ดวย 180 คอ 121
การใช Wolfram Alpha เพอหา 180 และเศษเหลอทไดจากการหาร 5011
ดวย 180 ดงภาพท 3.7.1 และ ภาพท 3.7.2
ผลลพธ 48
ภาพท 3.7.1 180 48
ผลลพธ 121
ภาพท 3.7.2 เศษเหลอทไดจากการหาร 5011 ดวย 180
ตวอยาง 3.7.4 จงหาเลขทาย 2 ตวของ 2563
วธท า ตวอยางนเปนการหาเศษเหลอเหมอนกนตวอยาง 3.7.3 คอการหาเศษเหลอทได
จากการหาร 2563 ดวย 100
เนองจาก 3,100 1 และ
2 2 1 1100 2 5 100 1 1 40
2 5
11^50mod180
Phi (180)
บทท 3 สมภาค 103
โดยทฤษฎบทของออยเลอร จะได
100 403 3 1 mod180
โดยชนตอนวธการหาร 256 6 40 16 ดงนน
6
256 6 40 16 40 16 16 163 3 3 3 1 3 3 mod100 3.7.2
แตเนองจาก 43 81 19 mod100
เพราะฉะนน
16 4 2 2 2
3 19 361 61 39 1521 21 mod100 3.7.3
ดงนนจาก 3.7.2 และ 3.7.3 จะได
2563 21 mod100
ดงนน เลขทาย 2 ตวของ 2563 คอ 21
การใช Wolfram Alpha เพอหาเลขทาย 2 ตวของ 2563 ดงภาพท 3.7.3
ผลลพธ 21
ภาพท 3.7.3 เลขทาย 2 ตวของ 2563
ในบทท 3 ไดกลาวถงสมบตทส าคญเกยวกบสมภาค ซงสมภาคเปนความสมพนธ
สมมลบนเซตของจ านวนเตมทชวยในการหาผลเฉลยทตองคดค านวณซบซอนใหงายขน จาก
ขนตอนวธการหารในบทท 2 ถาหารไมลงตวจะมเศษเหลอจะเรยกเศษเหลอนนวา
สวนตกคาง และสวนตกคางทมากกวาหรอเทากบศนย จะเรยกวาสวนตกคางทไมเปนลบคา
นอยสด ส าหรบการหาผลเฉลยของสมภาคเชงเสน อาจมหรอไมมผลเฉลยกได ตองอาศย
ทฤษฎทส าคญชวยในการตรวจสอบ สวนทฤษฎเศษเหลอของชาวจนกเปนอกทฤษฎหนงท
ชวยในการหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชงเสน และในบทนยงไดกลาวถง ทฤษฎบทของ
3^256mod100
104 ทฤษฎจ านวน
วลสน ทฤษฎบทเลกของแฟรมา และทฤษฎบทของออยเลอร ทเกยวของกบการหารลงตว
ของจ านวนเฉพาะอกดวย ในบทท 3 เปนพนฐานส าคญทจะชวยในการหาผลเฉลยทเปน
จ านวนเตมของระบบสมการไดโอแฟนไทน ดงจะกลาวในบทท 4 ตอไป
แบบฝกหดบทท 3
1. ถา a b modm จงพสจนวา a,m b,m
2. ถา 1a b modm และ 2
a b modm และ 1 2m ,m 1 แลว
จงพสจนวา 1 2a b modm m
3. ถา 2 2a b modp เมอ p เปนจ านวนเฉพาะ แลว p a b หรอ
p a b
4. จงแสดงวา 2,4,6, ,2m ไมเปนระบบสวนตกคางบรบรณ มอดโล m เมอ
m เปนจ านวนเฉพาะค 5. จงหาเศษเหลอซงเกดจากการหาร a ดวย m เมอก าหนด a และ m ดงตอไปน
5.1 100a 2 และ m 5 5.2 58a 3 และ m 7
5.3 98a 2 และ m 11 5.4 a 3 และ m 13 6. จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร 1! 2! 3! 99! 100! ดวย 15
7. 103224 หารดวย 13 เหลอเศษเทาไร 8. จงหาเศษเหลอทไดจากการหาร จ านวนในแตละขอตอไปน
8.1 5020 หารดวย 7 8.2 6541 หารดวย 7 8.3 107 หารดวย 51 8.4 215 หารดวย 127
9. จงหาผลเฉลยทงหมดของสมภาคเชงเสนตอไปน
9.1 2x 5 mod7 9.2 235x 54 mod7
9.3 29x 5 mod34 9.4 35x 5 mod14
9.5 19x 30 mod40 9.6 980x 1500 mod1600
บทท 3 สมภาค 105
9.7 17x 14 mod21 9.8 128x 833 mod1001
9.9 140x 133 mod301
9.10 40x 191 mod6191
10. จงหาผลเฉลยของระบบสมภาคเชงเสน ตอไปน
10.1 x 3 mod4
x 2 mod5
10.2 x 5 mod12
x 7 mod19
10.3 2x 1 mod3
3x 2 mod5
5x 4 mod7
10.4 5x 3 mod7
2x 4 mod8
3x 6 mod9
11. ถาหยบลกหนจากถงซงบรรจลกหนจ านวนหนงครง 3,4,5,7 และ 11 ลกแตละครงจะเหลอ ลกหนอยในถง 1 ลกเสมอ จงหาจ านวนลกหนในถง (ตอบจ านวนนอยทสดเทาทสดเทาทเปนไปได)
12. ถาหยบไขออกจากตะกราใบหนงครงละ 3,4,5 ฟองตามล าดบ จะเหลอไขในตะกรา 2,3,4 ฟอง ตามล าดบ แตถาจะหยบครงละ 7 ฟอง ไขหมดตะกราพอด จงหาจ านวนไขในตะกราทนอยทสดเทาทเปนไปได
13. จงใชทฤษฎบทของวลสนหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ n มอดโล p ในแตละขอตอไปน 13.1 n 88! p 89 13.2 n 21! p 23
13.3 n 64! p 67 13.4 31!
n p 1122!
14. จงพสจนวา ถา p เปนจ านวนเฉพาะคแลว 2 p 3 ! 1 modp
15. จงใชทฤษฎบทเลกของแฟรมาหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ n มอดโล m ในแตละขอตอไปน 15.1 202n 29 m 13 15.2 71n 71 m 17
15.3 100000n 3 m 19 15.4 999999n 99 m 23
16. จงหา m ส าหรบจ านวนเตม m ตงแต 1 ถง 25
106 ทฤษฎจ านวน
17. จงใชทฤษฎบทเลกของออยเลอรหาสวนตกคางทไมเปนลบนอยสดของ n มอดโล m ในแตละขอตอไปน 17.1 198n 29 m 20 17.2 79n 79 m 9
17.3 100000n 3 m 14 17.4 999999n 99 m 26
18. ให n เปนจ านวนเตมทหารดวย 3 ไมลงตว จงพสจนวา 7n n mod63
19. ให n เปนจ านวนเตมทหารดวย 9 ลงตว จงพสจนวา 7n n mod63
20. ให n เปนจ านวนเตมทเปนจ านวนเฉพาะสมพทธกบ 72 จงพสจนวา
12n 1 mod72
21. จงหาจ านวนเตม ซงหารดวย 2,3,6 แล 12 แลวเหลอเศษ 1,2,3 และ 5 ตามล าดบ
22. จงหาจ านวนเตม ซงหารดวย 3,4,5 แล 6 แลวเหลอเศษ 2,3,4 และ 5 ตามล าดบ
23. โจรสลดกลมหนงม 17 คน ไดขโมยเหรยญทองค ามา 1 ถง กลมโจรคดจะแบงเหรยญ คนละเทา ๆ กน ปรากฏวาเหลอเศษ 3 เหรยญ แตในขณะทยงตกลงไมไดวาเศษทเหลอจะเปนของใครปรากฏวาโจรสลดไดถกฆาตาย 1 คน จงตองแบงเหรยญกนใหม คดแลวเหลอเศษ 10 เหรยญ แตยงไมตกลงแบง โจรสลดไดถกฆาตายอก 1 คน จงตองแบงเหรยญ กนใหมระหวางผทมชวตรอดน ซงแบงไดพอด จงหาจ านวนเหรยญทนอยทสดทถกขโมย
top related