ang pos normal

Prof:: Jesús Ciro Callupe Guzmán

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER MAGNITUD

ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Un ángulo está en posición normal, estándar o canónica, si su vértice está en el origen de un sistema de ejes coordenados y su lado inicial coincide con el eje X positivo.

X

Y

O A

Bq

X

YConsiderando el ángulo en posición normal , cuyo lado final está en el punto P(x ; y); esta vez como se trata del Plano Cartesiano la base es: La abscisa (x), la ordenada (y) y el radio vector (r), de un punto del final del ángulo.

Rs. Ts. DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

P(x;y)

q

y

x

r

0y ,yr

vectorradio

0 x,xr

Sec

vectorradio

0y ,yx

P de

P de abscisa

0 x,xy

P de P de ordenada

rx

P de abscisa

ry

P de ordenada

CscPdeordenada

Csc

PdeabscisaSec

Ctgordenada

Ctg

Tgabscisa

Tg

Cosvectorradio

Cos

senvectorradio

Sen

22xr

:que

y

recordar

Sea un ángulo en posición normal y P(x,y)un punto del lado final de dicho ángulo, entonces las R.T. se definen de la siguiente manera:

X

Y

P(x;y)

q

y

x

r

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN CADA CUADRANTE

X

Y

PS

T C

Todas son positivasSenoCosecante

TangenteCotangente

CosenoSecante

Las Rs. Ts. que seanotan son positivas

IC IIC IIIC IVC

Sen + + - -

Cos + - - +

Tg + - + -

Ctg + - + -

Sec + - - +

Csc + + - -

Se dice que un ángulo es cuadrantal, cuando su lado final coincide con uno de los semiejes.

Las definiciones de las razones trigonométricas son válidas para éstos ángulos, aunque para algunos no está definido por tener denominador cero.

Ángulos Cuadrantales

, , , , son cuadrantales

RESUMEN DE LAS R.T.DE ÁNGULOS CUADRANTALES

(rad) 0 /2 3/2 2

(grados)

0 90° 180° 270° 360°

Sen 0 1 0 -1 0

Cos 1 0 -1 0 1

Tg 0 ND 0 ND 0

Ctg ND 0 ND 0 ND

Sec 1 ND -1 ND 1

Csc ND 1 ND -1 ND

Los ángulos coterminales son aquellos ángulos que tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final, obviamente el, mismo vértice.

Ángulos Coterminales

X

Y

O A

B

a

b

PROPIEDAD 1

La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número entero de vueltas (n Є Z- {0} ).

Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son coterminales con un ángulo dado.

PROPIEDAD 2

Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son respectivamente iguales Si y son ángulos coterminales y los ubicamos en posición normal(evidentemente pertenecen al mismo cuadrante). Como tienen el mismo lado final se cumple:

vueltasn 360 n rad 2 n

CosCos

SenSen

CtgCtg

TgTg

CscCsc

SecSec

PROPIEDADES

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS:

Dado los puntos P y P1; Observa que:

ySen

rx

Cos rx

Tany

xCot

y

rSec

xr

Cs cy

X

Y

O

a

-a

P(x;y)

r

r

P1(x;-y)

-ySen (- )

rx

Cos -rx

Tan -y

yCot -

xr

Sec -xr

Csc -y

Rs. Ts. Ángulo positivo

Rs. Ts. Ángulo

negativo

De éstas dos igualdades se deduce:

sen (- ) sen

cos - cos

tan - tan

cot - cot

sec - sec

csc - csc

X

Y

O

a

-a

P(x;y)

r

r

P1(x;-y)

PRACTICAMOS1) Si el lado terminal del ángulo α en posición normal pasa por el punto P(4,-3) determina el valor de

Csc α

a) 4/3 b) 5/4 c) -4/5 d) -5/3

2) Sea θ un ángulo en posición normal, ¿En qué cuadrante el Sen (θ) y la Tg (θ) tienen el mismo signo?

a) I y III b) I y II c )I y IV d) II y III 3) El resultado de: Csc270º (Sen90º + cos180º), es:

a) 0 b) -1 c) 2 d) -2

4) ¿Son coterminales los ángulos?

) 445º y 85º

b) 69º y 429º

-17º y 343º

d) 735º y 25º

5) El valor de [sen(-30)]3 es:

A a) -1/2 b) -1/4 c) -1/8 d) -1/6

UNO MÁS EN LA FAMILIA

El matemático P. G. Lejeune Dirichlet no era muy amigo de escribir cartas. Hizo una excepción cuando nació su rimer hijo.

Dirichlet mandó un telegrama a su suegro con el siguiente mensaje:    1+1=3

ANO LUZ

El año luz es la distancia que recorre la luz en un año.La luz viaja a 300.000 kilometros por segundo,18.000.000 kilometros por minutos,o 1.080.000.000 kilometros por hora(lo mismo que mi auto),los que mas le guste.En un día recorre 25.920.000.000.

Curiosidades