apontamentos teóricos - ipb.pthtgomes/ft/manual_ft-cap1-2.pdf · “introduction to heat...
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1
Nota Introdutória
Estes Apontamentos Teóricos foram elaborados com base nos livros
“Introduction to Heat Transfer” (Incropera, DeWitt, Bergman e Lavine) e
“Transferência de Calor” (Çengel). A sua distribuição tem como principal objectivo
fornecer aos alunos da unidade curricular de Fenómenos de Transferência do curso de
Licenciatura em Engenharia de Energias Renováveis da ESTiG-IPB um elemento para o
acompanhamento mais eficiente das aulas teóricas, não devendo de forma alguma,
constituir o principal elemento do seu estudo.
De forma a melhorar futuras versões dos Apontamentos Teóricos, agradeço aos
alunos que me comuniquem possíveis gralhas que possam encontrar, e incentivo
igualmente a colaboração com sugestões que levem a uma melhoria do funcionamento
da unidade curricular.
Desejo um bom trabalho a todos que consultem estes Apontamentos Teóricos.
O docente da unidade curricular de Fenómenos de Transferência,
Helder Gomes
2
Capítulo 1 – Fundamentos da Transferência de Calor
Ao iniciar o estudo da ciência da transferência de calor, a primeira questão que
se pode colocar é “O que é a transferência de calor?”. A sua definição dá-nos a resposta:
“A transferência de calor é a energia em trânsito devido a uma diferença de temperatura
entre dois sistemas”. Por exemplo, se retirarmos de uma estufa um objecto com uma
temperatura inicial de 100ºC e o expusermos ao ar ambiente, irá observar-se uma
transferência de energia na forma de calor no sentido da temperatura mais elevada para
a temperatura mais baixa, isto é, do objecto para o ar circundante. Como consequência
da remoção de calor, a temperatura do objecto irá baixar até atingir um estado de
equilíbrio em que a temperatura do objecto iguala a temperatura do ar circundante e a
transferência de calor cessa. A termodinâmica permite determinar a quantidade de calor
transferida desde o estado inicial ao estado final de equilíbrio, mas não permite saber
quanto tempo demora essa transferência. A ciência da transferência de calor é aquela
que permite determinar qual a velocidade de transferência desse calor.
A transferência de calor pode ocorrer segundo três mecanismos básicos: a
condução, a convecção e a radiação. Nas próximas secções deste capítulo, vamos ver,
de uma forma geral, as particularidades de cada um destes mecanismos. Em capítulos
posteriores faremos uma abordagem mais detalhada.
1.1. Condução
A condução ocorre sempre que existe um gradiente de temperatura num meio
estacionário (sólido ou fluído), consistindo na transferência de energia das partículas
mais energéticas para partículas de menor energia, como resultado de interacções entre
essas partículas (colisões e difusão nos líquidos e nos gases, vibrações moleculares e
transporte de energia por electrões livres nos sólidos). Como exemplo, vamos
considerar uma barra de ferro, inicialmente à temperatura ambiente, usada para remexer
as brasas de uma fogueira. A experiência empírica diz-nos que, se esperarmos tempo
suficiente, a temperatura da extremidade em contacto com a mão (oposta à extremidade
em contacto com as brasas) começa a aumentar. A explicação reside na condução: como
existe um gradiente de temperatura na barra de ferro (a temperatura na extremidade
exposta às brasas é superior à temperatura na extremidade em contacto com a mão), vai
ocorrer transferência de calor por condução no sentido da temperatura mais elevada,
3
para a temperatura mais baixa. Se esperarmos um tempo suficientemente longo, no
equilíbrio, a temperatura da barra irá ficar uniforme, isto é, à temperatura da
extremidade da barra exposta às brasas.
A velocidade da condução de calor através de um meio depende da configuração
geométrica desse meio, da sua espessura, do material de que é feito e da diferença de
temperaturas existente. A evidência empírica mostra que a velocidade de transferência
de calor por condução através de um meio é proporcional à diferença de temperaturas e
à área de transferência de calor (perpendicular ao sentido da transferência de calor) e
inversamente proporcional à espessura do meio.
A constante de proporcionalidade é a condutividade térmica (k) do material, que
é uma medida da capacidade de um material para conduzir calor, e a equação diferencial
que permite determinar a velocidade da transferência de calor por condução é conhecida
como a Lei de Fourier:
dx
dTkAq −=
•
(1)
onde •
q representa a taxa de transferência de calor (J/s ou W), A a área de transferência
de calor (m2), T a temperatura (ºC ou K), x a coordenada espacial (m) e k a
condutividade térmica (W/mºC), característica do material. Notar que dx
dT tem sinal
negativo quando x aumenta no sentido da diminuição da temperatura (Figura 1), pelo
que, o sinal negativo na Lei de Fourier garante que a velocidade de transferência de
calor no sentido positivo de x seja uma quantidade positiva.
4
.q
T2
T1
T
x
Figura 1 – Condução de calor através de um material. A transferência de calor dá-se no
sentido da temperatura mais elevada para a temperatura mais baixa
Exemplo: Condução de calor unidimensional em estado estacionário numa placa plana
Considere a condução de calor em estado estacionário através da parede de uma
casa com espessura ∆x = L e área de transferência de calor A (Figura 2). Considere
ainda que a diferença de temperaturas entre os dois lados da parede é ∆T = T2 – T1, com
T1 > T2 .
Figura 2 – Condução de calor em estado estacionário através de uma parede de
espessura ∆x e área de transferência de calor A
•
q
5
A parede da casa pode ser considerada uma placa plana. Como existe um
gradiente de temperatura entre os dois lados da parede, então haverá transferência de
calor por condução entre a superfície à temperatura T1 e a superfície à temperatura T2.
Como iremos deduzir no capítulo 2, dedicado ao estudo detalhado do mecanismo de
condução em estado estacionário, o perfil de temperaturas numa placa plana é linear, o
que implica que o seu declive seja constante:
L
TT
∆x
∆T
dx
dT 12 −== (2)
Por substituição de dx
dT na Lei de Fourier, deduz-se a equação que permite
determinar a velocidade de transferência de calor por condução unidimensional em
estado estacionário numa placa plana (o termo unidimensional assume que a
transferência de calor se processa apenas numa dimensão, no presente caso na
direcção do eixo dos xx, considerando-se que a placa está isolada nas restantes
faces, impedindo a transferência de energia nas direcções yy e zz):
L
TTkA
L
TTkAq 2112 −
=−
−=•
(3)
Condutividade térmica
A Lei de Fourier para a velocidade de transferência de calor em estado
estacionário também pode ser vista como a equação de definição da condutividade
térmica (k, em W/mºC). Assim, a condutividade térmica de um material pode-se definir
como a velocidade de transferência de calor através de uma espessura unitária de
material, por unidade de área e por unidade de diferença de temperatura. A
condutividade térmica varia com o tipo de material e serve como medida da capacidade
de um material para conduzir calor. Um valor elevado da condutividade térmica indica
que o material é bom condutor de calor e um valor baixo indica que o material é um
mau condutor ou que é um isolante. Para um mesmo material a condutividade térmica
depende da temperatura. Dada a importância da condutividade térmica de um material
no estudo da transferência de calor por condução, os valores de k para vários materiais
6
em função da temperatura encontram-se compilados em tabelas que facilmente se
encontram em manuais de transferência de calor. Para esta unidade curricular podem-se
consultar as Tabelas A3 a A17 disponíveis no material fornecido. Nos capítulos 2 e 3
faremos o estudo detalhado do mecanismo de condução de calor em estado estacionário
e em estado transiente.
Exercício Considere uma placa plana com faces de 3 m x 0.5 m e espessura 0.15 m,
constituída por um material com condutividade térmica, k = 1.7 W/mK. Sabendo que a
temperatura em cada uma das faces é, respectivamente, T1 = 1400 K e T2 = 1150 K e
que a transferência de calor ocorre em regime estacionário, calcule a taxa de
transferência de calor observada, •
q .
Resolução Assumindo que a transferência de calor ocorre por condução
unidimensional (placa isolada, à excepção das faces, Figura 2), podemos utilizar a Lei
de Fourier para determinar a velocidade de transferência de calor unidimensional em
estado estacionário numa placa plana:
W42500.15
115014003)(0.51.7
L
TTkA
L
TTkAq 2112 =
−×××=
−=
−−=
•
1.2. Convecção
A transferência de calor por convecção ocorre entre uma superfície sólida e um
fluído adjacente em movimento, compreendendo os efeitos combinados da condução e
do movimento de fluidos, sempre que se observe uma diferença de temperaturas entre
os dois meios. Quanto mais rápido o fluído se movimentar, maior é a transferência de
calor por convecção. Note que, na ausência de qualquer movimento do fluído, a
transferência de calor entre a superfície sólida e o fluído adjacente, será por condução
pura.
A convecção diz-se forçada, se o escoamento do fluído for causado por meios
externos. Por exemplo, devido a uma ventoínha, ao vento, etc. (Figura 3(a)). A
convecção diz-se natural (ou livre), se o escoamento do fluído for devido a diferenças
de densidade causadas por variações na temperatura do fluído (Figura 3(b)).
7
Figura 3 – Arrefecimento de um ovo cozido por (a) convecção forçada; (b) convecção
natural
A análise detalhada do fenómeno de transferência de calor por convecção pode
ser realizada pela teoria da camada limite. Esta teoria considera que, quando um fluído
em movimento contacta uma superfície sólida, se forma uma camada, chamada de
camada limite, onde a velocidade e a temperatura do fluído variam. Esta teoria
considera ainda que, à superfície, a velocidade do fluído é nula e a sua temperatura
iguala a da superfície. À medida que nos afastamos da superfície, a velocidade do fluído
aumenta e a temperatura varia até chegar ao limite da camada, onde a velocidade do
fluído será igual à velocidade e à temperatura no bulk do fluído (Figura 4).
Figura 4 – Transferência de calor de uma superfície quente para o ar por convecção.
Conceito de camada limite
Tendo em atenção estes conceitos, é fácil compreender que inicialmente a
transferência de calor da superfície para o fluído se dê por condução (o fluído à
Superfície Quente
Variação da temperatura
do ar
Variação da velocidade
do ar
Fluxo de ar
ovo quente
ovo quente
Convecção forçada
Convecção natural
Ar Ar
(a) (b)
8
superfície está estagnado) e que depois (ou em simultâneo) haja uma remoção do calor,
devido ao movimento do fluído.
Apesar da aparente complexidade da convecção, observa-se empiricamente que
a velocidade de transferência de calor por convecção é proporcional à diferença de
temperaturas entre a superfície sólida e o fluído, podendo ser determinada pela Lei de
Arrefecimento de Newton:
)T(ThAq Ssconv ∞
•
−= (4)
onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m2ºC), As a área
superficial de transferência de calor (m2), TS a temperatura da superfície do sólido (ºC
ou K) e T∞ a temperatura do fluído suficientemente afastado da superfície do sólido (ºC
ou K). Ao contrário da condutividade térmica (k) na condução, o coeficiente de
transferência de calor por convecção (h) não é uma propriedade do fluído ou do material
sólido, mas sim um parâmetro que se determina experimentalmente, sendo o seu valor
dependente da geometria do sólido, da natureza do escoamento do fluído e das suas
propriedades termodinâmicas e de transporte.
A convecção, e a teoria da camada limite em particular, serão abordadas no
capítulo 4 destes Apontamentos Teóricos.
1.3. Radiação
A radiação é a energia emitida na forma de ondas electromagnéticas por toda a
matéria, devido a alterações nas configurações dos átomos ou das moléculas
constituintes. Existem diversos tipos de radiação (raios X, raios gama, microondas,
ondas rádio, radiação térmica, …). No estudo dos fenómenos de transferência de calor
estamos interessados na radiação térmica, energia emitida por todos os corpos que se
encontrem a uma temperatura não nula (Ex. Radiação Solar). Ao contrário da condução
e da convecção, a transferência de energia térmica por radiação não requer a presença
de um meio físico, podendo ocorrer no vácuo.
9
A velocidade de emissão de calor por radiação térmica por todos os corpos é
proporcional à sua temperatura absoluta, sendo máxima quando se trata de um corpo
negro, podendo determinar-se a partir da Lei de Stefan-Boltzmann:
4σATq =•
(5)
onde T (K) é a temperatura absoluta da superfície do corpo, A a área da superfície
emissora (m2) e σ a constante de Stefan-Boltzmann (σ = 5.67x10-8 W/m2K4).
A radiação de um corpo negro representa a quantidade máxima de radiação que
pode ser emitida desde uma superfície ideal a uma temperatura específica. A radiação
emitida por todas as superfícies reais é menor que a emitida por um corpo negro à
mesma temperatura e pode ser determinada pela seguinte equação:
4εσATq =•
(6)
onde ε é a emissividade da superfície, que pode tomar valores entre 0 e 1. Para um
corpo negro, ε = 1. Quanto mais próximo de 1 for a emissividade de uma superfície,
mais se aproxima à idealização de corpo negro.
A radiação será abordada em detalhe no Capítulo 6 deste Apontamentos
Teóricos.
10
Capítulo 2 – Condução de Calor em Estado Estacionário (Unidimensional)
No capítulo 1, definiu-se a condução de calor como a transferência de energia
térmica das partículas mais energéticas de um meio estacionário para as partículas
adjacentes com menor energia e vimos que o calor é conduzido no sentido da
temperatura decrescente, observando-se um gradiente de temperatura negativo quando o
calor é conduzido no sentido positivo do eixo dos xx (Figura 1).
Foi também referido no capítulo 1 que a velocidade de transferência de calor
através de um meio, numa direcção específica (por exemplo na direcção do eixo dos
xx), é proporcional à diferença de temperaturas entre as duas extremidades do meio e à
área perpendicular à direcção da transferência de calor, e inversamente proporcional à
distância nessa direcção. A equação que traduz estas dependências é dada pela Lei de
Fourier para a condução de calor, uma lei empírica deduzida a partir de observações
experimentais, que na forma unidimensional é traduzida por:
dx
dTkAq x −=
•
(1)
Neste capítulo, vamos analisar problemas de transferência de calor por condução
em estado estacionário, considerando sempre que essa condução é unidimensional
(desprezam-se possíveis transferências de calor noutras direcções). Nas próximas três
secções vamos deduzir equações que nos permitem calcular o perfil de temperaturas e a
taxa de transferência de calor em sólidos de diferentes geometrias. Consideremos um
elemento de volume infinitesimal de um sólido genérico sujeito a transferência de calor
por condução unidimensional, de espessura dx e área superficial A perpendicular à
direcção da transferência de calor (Figura 5).
11
Figura 5 – Condução unidimensional de calor através de um elemento de volume de um
sólido genérico
Considerando que o elemento de volume não gera calor, do balanço de energia
em estado estacionário vem que:
xq•
= dx x q +
•
(7)
Atendendo a esta relação, pela definição de derivada obtém-se a seguinte
equação, válida para condução de calor em estado estacionário, em meios estacionários
não geradores de calor:
0dx
qqlim
dx
qd xdxx
0dx
x =−
=
•
+
•
→
•
(8)
2.1. Condução em Placas Planas
Seja a condução de calor através de uma parede plana não geradora de calor (a
parede de uma casa ou o vidro de uma janela, por exemplo, Figura 6). É razoável
considerar a condução de calor neste tipo de geometria como sendo unidimensional,
uma vez que a condução de calor será dominante numa das direcções e desprezável nas
outras.
12
Figura 6 - Condução unidimensional de calor através de um elemento de volume de
uma placa plana
Fazendo um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal da placa
plana indicada na Figura 6, obtém-se a equação (7) e pelo mesmo raciocínio utilizado
anteriormente, a equação (8), válida para condução em estado estacionário:
0dx
qd x =
•
(8)
Por sua vez, a taxa de transferência de calor por condução pode ser calculada
pela Lei de Fourier, equação (1):
dx
dTkAq x −=
•
(1)
Considerando que a condutividade térmica (k) na placa é constante (a área de
transferência de calor também), por aplicação da equação (8) à equação (1), vem que:
0dx
Td0
dx
Td-kA
dx
qd2
2
2
2x =⇒==
•
(9)
Elemento de volume
13
Note que a equação diferencial (9) que se obteve para a análise da transferência
de calor por condução unidimensional em estado estacionário em placas planas, é válida
sempre que a área transversal do meio estacionário em estudo seja constante. Por
exemplo, verifique a validade da equação diferencial (9) na análise da transferência de
calor por condução axial na barra cilíndrica apresentada na Figura 7:
Figura 7 – Condução axial num cilindro
A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução em
estado estacionário numa placa plana (ou meio estacionário com área de secção recta
constante) não geradora de calor é conseguida resolvendo a equação diferencial (9).
Para obtermos a solução particular é necessário conhecer as condições fronteira
(consideremos para o efeito que para x = 0, T = T0 e que para x = L, T = TS). Da
integração da equação diferencial (9) obtém-se a solução geral:
2112
2
Cx CTCdx
dT0
dx
Td+=⇒=⇒= (10)
Para obter as constantes de integração C1 e C2 introduzem-se as condições
fronteira. Aplicando a condição para x = 0 à solução geral, obtém-se C2:
x = 0 ⇒ T = C2 = T0
De modo análogo, aplicando a condição para x = L:
14
x = L ⇒ T = C1L + T0 = TS L
TTC 0S
1
−=
Substituindo C1 e C2 na solução geral, equação (10), obtém-se a distribuição de
temperaturas, que é a solução particular do problema:
xL
TTTTTx
L
TTT S0
000S −
−=⇔+−
= (11)
Do resultado obtido torna-se evidente que, para condução de calor
unidimensional em estado estacionário através de uma placa plana não geradora de calor
e condutividade térmica constante, a temperatura varia linearmente com
x:
Uma vez conhecido o perfil de temperaturas na placa, é possível calcular a taxa
de transferência de calor que a atravessa por condução aplicando a Lei de Fourier,
equação (1):
( )S0xx TTL
kAq
dx
dTkAq −=⇔−=
••
(12)
Resistência Térmica
Por ser um conceito muito importante na análise de problemas de transferência
de calor em estado estacionário, vamos introduzir neste ponto a noção de resistência
térmica, que apresenta uma analogia útil com o conceito de resistência eléctrica, como
0 L
T0
TS
x
T
15
iremos abordar mais adiante. Da mesma maneira que a resistência eléctrica é associada
com a condução de electricidade, a resistência térmica pode ser associada com a
transferência de calor. Uma resistência é definida como a razão entre uma força motriz e
a correspondente taxa de transferência. Da equação (12), obtém-se assim a resistência
térmica (RT) para a condução numa placa plana, onde ∆T corresponde à força motriz e
xq•
à taxa de transferência:
kA
LR
q
∆TR T
x
T =⇔=•
(13)
Note que, quanto maior a resistência térmica, menor a taxa de transferência de
calor observada.
2.2. Condução Radial num Cilindro
Um exemplo típico de condução em cilindros ocorre em tubos, cujas superfícies
externa e interna estejam em contacto com fluídos a diferentes temperaturas (Figura 8).
Figura 8 – Tubo cilíndrico com superfícies interna e externa em contacto com fluídos a
diferentes temperaturas
Fluído quente T∞,1, h1
Fluído frio T∞,2, h2
16
Ao contrário do que acontece numa placa plana, num cilindro sujeito a condução
radial, a área de transferência de calor varia com a posição (Ar = 2πrL), pelo que, a taxa
de transferência de calor, dada pela Lei de Fourier, é expressa em função de r:
dr
dTrL 2kπ
dr
dTkAq rr −=−=
•
(14)
Por um raciocínio análogo ao realizado quando abordamos placas planas,
fazendo um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal do cilindro,
obtém-se a equação (8), válida para condução em estado estacionário:
0dr
qd r =
•
(8)
Considerando que a condutividade térmica (k) no cilindro é constante, por
aplicação da equação (8) à equação (14), vem que:
0dr
dTr
dr
d0
dr
dTkA-
dr
d
dr
qdr
r =
⇒=
=
•
(15)
A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução radial
em estado estacionário num cilindro não gerador de calor é conseguida resolvendo a
equação diferencial (15), sujeita a condições fronteira apropriadas. Da integração da
equação diferencial (15) obtém-se a solução geral:
2111 ClnrCTr
drCdTC
dr
dTr0
dr
dTr
dr
d+=⇔=⇔=⇔=
(16)
Para obter as constantes de integração C1 e C2 introduzem-se na equação (16) as
condições fronteira. Para o efeito, consideremos as seguintes condições fronteira (CF):
CF1: r = r1, T = Ts,1 CF2: r = r2, T = Ts,2
17
Das condições fronteira:
( )
( ) ( ) ( )
−−=
−=
⇔
+=
+=
1
2
1s,1s,2s,12
1
2
s,1s,21
221s,2
211s,1
r
rln
rlnTTTC
r
rln
TTC
CrlnCT
CrlnCT
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtém-se a distribuição de temperaturas,
que é a solução particular do problema:
( )
−−=
1
2
1s,2s,1s,1
r
rln
r
rln
TTTT (17)
Note que, para condução radial de calor em estado estacionário através de um
cilindro não gerador de calor e condutividade térmica constante, a temperatura varia
com r de uma forma logarítmica, e não linearmente como observado para placas planas
nas mesmas condições. O perfil logarítmico descrito, encontra-se esquematizado na
imagem interior da Figura 8.
Uma vez conhecido o perfil de temperaturas no cilindro, é possível deduzir a
equação que permite calcular a taxa de transferência de calor por condução que o
atravessa, aplicando a Lei de Fourier:
dr
dTrL 2kπ
dr
dTkAq rr −=−=
•
(14)
Como ( )
r
1
r
rln
TT
dr
dT
1
2
s,2s,1×
−−= ⇒
( )
−=
•
1
2
s,2s,1r
r
rln
TTL 2kπq (18)
18
Resistência Térmica
A partir do resultado anterior torna-se evidente que a resistência térmica
associada à condução radial num cilindro toma a seguinte forma:
kL.2
r
rln
Rq
∆TR 1
2
T
r
Tπ
=⇔=•
(19)
2.3. Condução Radial numa Esfera
Consideremos agora a condução de calor numa esfera oca (Figura 9).
Figura 9 – Condução de calor numa casca esférica
Tal como num cilindro, numa esfera sujeita a condução radial, a área de
transferência de calor varia com a posição (Ar = 4πr2), pelo que a taxa de transferência
de calor, dada pela Lei de Fourier, é expressa em função de r da seguinte forma:
dr
dTr 4kπ
dr
dTkAq 2
rr −=−=•
(20)
Realizando um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal da esfera
considerado na Figura 9, obtém-se a equação (8), válida para condução em estado
estacionário, num sólido sem geração de calor:
19
0dr
qd r =
•
(8)
Considerando que a condutividade térmica (k) na esfera é constante, por
aplicação da equação (8) à equação (20), vem que:
0dr
dTr
dr
d0
dr
dTkA-
dr
d
dr
qd 2r
r =
⇒=
=
•
(21)
A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução radial
em estado estacionário numa esfera não geradora de calor é conseguida resolvendo a
equação diferencial (21), sujeita a condições fronteira apropriadas. Da integração da
equação diferencial (21) obtém-se a solução geral:
21
21122 C
r
CT
r
drCdTC
dr
dTr0
dr
dTr
dr
d+−=⇔=⇔=⇔=
(22)
Para obter as constantes de integração C1 e C2 introduzem-se na equação (22) as
condições fronteira. Para o efeito, consideremos as seguintes condições fronteira (CF):
CF1: r = r1, T = Ts,1 CF2: r = r2, T = Ts,2
Das condições fronteira:
( )
×
−
−−=
−
−−=
⇔
+−=
+−=
1
21
s,2s,1s,12
21
s,2s,11
22
1s,2
21
1s,1
r
1
r
1
r
1
TTTC
r
1
r
1
TTC
Cr
CT
Cr
CT
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtém-se a distribuição de temperaturas,
que é a solução particular do problema:
20
( )
−
−
−−=
r
1
r
1
r
1
r
1
TTTT
1
21
s,2s,1s,1 (23)
Note que, para condução radial de calor em estado estacionário através de uma
esfera não geradora de calor e condutividade térmica constante, a temperatura varia com
r de uma forma hiperbólica.
Uma vez conhecido o perfil de temperaturas na esfera, é possível deduzir a
equação que permite calcular a taxa de transferência de calor por condução que a
atravessa, aplicando a Lei de Fourier:
dr
dTr 4kπ
dr
dTkAq 2
rr −=−=•
(20)
Como ( )
2
21
s,2s,1
r
1
r
1
r
1
TT
dr
dT×
−
−−= ⇒ ( )s,2s,1
21
r TT
r
1
r
14kπ
q −
−
=•
(24)
Resistência Térmica
Da definição de resistência térmica, diferença de temperatura dividida pela taxa
de transferência de calor, obtém-se:
4kπ
r
1
r
1
Rq
∆TR 21
T
r
T
−
=⇔=•
(25)
2.4. Condução de Calor em Sólidos com outras Geometrias
A metodologia utilizada anteriormente para determinar os perfis de temperatura
em placas planas, cilindros e esferas não geradoras de calor sujeitas a condução em
estado estacionário, pode ser facilmente generalizada a sólidos com outras geometrias,
21
salvaguardando que a área de transferência de calor é conhecida em função da
coordenada que caracteriza a direcção da transferência de calor. Seja o exemplo do
sólido apresentado na Figura 10.
Figura 10 – Condução de calor em estado estacionário num sólido com uma geometria
genérica
Considerando a área de transferência de calor Ax = A(x), a taxa de transferência
de calor é dada pela Lei de Fourier em função de x:
( )dx
dTxkA
dx
dTkAq xx −=−=
•
(26)
Realizando um balanço de energia ao elemento de volume infinitesimal da esfera
considerado na Figura 10, obtém-se a equação (8), válida para condução em estado
estacionário, num sólido genérico sem geração de calor:
0dx
qd x =
•
(8)
Considerando que a condutividade térmica (k) no sólido é constante, por
aplicação da equação (8) à equação (26), vem que:
Isolante
Superfície adiabática
22
( ) 0dx
dTxA
dx
d0
dx
dTkA-
dx
d
dx
qdx
x =
⇒=
=
•
(27)
A determinação da solução geral do perfil de temperaturas por condução em
estado estacionário no sólido não gerador de calor é depois conseguida resolvendo a
equação diferencial (27), sujeita a condições fronteira (CF) apropriadas (por exemplo
CF1: x = x0, T = T0; CF2: x = x1, T = T1).
2.5. Resistência Térmica: Analogia com a Teoria dos Circuitos Eléctricos
Referimos anteriormente que existe uma analogia entre a transferência de calor e
a transferência de energia eléctrica. Assim, da mesma maneira que a resistência eléctrica
é associada à transferência de energia eléctrica, a resistência térmica, já definida, pode
ser associada à transferência de calor. Uma vez conhecida essa analogia, a aplicação da
teoria dos circuitos eléctricos e a representação de circuitos eléctricos análogos em
transferência de calor permite de uma forma simples a compreensão e quantificação de
problemas de transferência de calor, que no caso de meios compostos se tornaria mais
complexa doutra forma. Vamos de seguida demonstrar a existência dessa analogia.
O circuito eléctrico mais simples é composto por uma resistência (R, em Ohms,
Ω), que quando atravessada por uma corrente eléctrica (I, em Ampère, A), provoca uma
diferença de potencial (V = VA – VB, em Volts, V) no circuito:
Da teoria dos circuitos eléctricos, pela Lei de Ohm, sabemos que:
V = VA – VB = RI ⇒ V = RI (28)
Resistências em Série
Consideremos agora duas resistências em série:
I R
VA VB
23
As resistências R1 e R2 provocam as seguintes diferenças de potencial no
circuito, calculadas pela Lei de Ohm (a corrente eléctrica atravessa as duas resistências
com a mesma intensidade I):
V1 = VA – VB = R1I
V2 = VB – VC = R2I
Calculando a diferença de potencial global no circuito, obtém-se uma equação
que nos permite calcular a resistência equivalente do circuito, Req, como a soma das
resistências individuais:
V = VA –VC = VB – VC + VA – VB = V2 – V1 = R2I + R1I = (R1 + R2)I
V = (R1 + R2) I = ReqI (29)
Em resumo, num circuito com duas resistências em série:
Req = R1 + R2 (30)
Generalizando para N resistências em série:
V = VA –VB = ReqI , com Req = R1 + R2 + … + RN = ∑=
N
1iiR (31)
I R1
VA VB
R2
VC
I I
I R1
VA VB
R2
I I
…
24
Resistências em Paralelo
Consideremos agora duas resistências em paralelo:
As resistências R1 e R2 provocam as seguintes diferenças de potencial no
circuito, calculadas pela lei de Ohm (neste caso, ao contrário do que sucedia com
resistências em série, a corrente eléctrica atravessa as duas resistências com intensidades
diferentes, I1 e I2):
V1 = VA – VB = V = R1I1
V2 = VA – VB = V = R2I2
Por outro lado, pelo balanço de cargas aos nós do circuito, obtém-se uma
equação que nos permite calcular a resistência equivalente (Req) de um circuito com
resistências em paralelo:
I = I1 + I2 ⇒ IRVI
R
1
R
11
VVR
1
R
1
R
V
R
VI eq
21
2121
=⇒
+
=⇔
+=+=
Em resumo, num circuito com duas resistências em paralelo:
21
eq
R
1
R
11
R+
= (32)
I
R1
VA VB R2
I1
I
I2
25
Generalizando para N resistências em paralelo:
V = VA – VB = ReqI , com
∑=
=N
i 1 i
eq
R
1
1R (33)
Condução de Calor em Placas Planas em Série
Vamos estabelecer agora de uma forma clara a analogia entre circuitos eléctricos
e circuitos térmicos, começando por considerar um problema de condução de calor
através de placas planas em série (Figura 11).
Figura 11 – Análogo eléctrico do circuito térmico de placas planas em série
I
R1
VA VB
R2
I1
I I2
RN
IN
Fluído quente T∞,1, h1
Fluído frio T∞,4, h4
26
Uma vez conhecidas as resistências térmicas de cada uma das placas
=
ii
iTi Ak
LR , podemos obter pela Lei de Fourier a taxa de transferência de calor que
atravessa a parede composta por uma das seguintes expressões:
( )••
=−⇒−= qRTTTTR
1q TA2s,12s,1
TA
( )••
=−⇒−= qRTTTTR
1q TB3232
TB
( )••
=−⇒−= qRTTTTR
1q TCs,43s,43
TC
Determinando a diferença de temperaturas global, obtém-se uma equação que
nos permite calcular a resistência térmica equivalente do sistema de placas em série
(RTeq) como a soma das resistências térmicas individuais:
Ts,1 – Ts,4 = (Ts,1 – Ts) + (T2 – T3) + (T3 – Ts,4) = RTA
•
q + RTB
•
q + RTC
•
q =
= (RTA + RTB + RTC)•
q
∆T = Ts,1 – Ts,4 = RTeq
•
q , com RTeq = RTA + RTB + RTC
Dos resultados obtidos, torna-se evidente a analogia entre um circuito térmico
em série e um circuito eléctrico:
Analogia (N resistências em série):
V = ReqI ∆T = RTeq
•
q
Req = R1 + R2 + ... + RN RTeq = RT1 + RT2 + … + RTN
•
q RTA
Ts,1 Ts,4
RTB
•
q RTC
27
Condução de Calor em Placas Planas em Paralelo
Consideremos agora um problema de condução de calor através de placas planas
em paralelo (Figura 12).
Figura 12 – Circuito térmico de placas planas em paralelo
Pela definição de resistência térmica, equação (13), é possível determinar a
diferença de temperaturas entre as duas extremidades da parede composta (T0 – T1),
usando alternativamente a resistência térmica da placa 1 ou da placa 2:
1T110 qRTT∆T•
=−=
2T210 qRTT T•
=−=∆
Realizando um balanço de energia à parede composta, obtém-se uma equação
que nos permite calcular a resistência térmica equivalente de placas em paralelo (RTeq):
•
q = 1q•
+ 2q•
⇒ ∆TR
1
R
1
R
∆T
R
∆Tq
T2T1T2T1
+=+=
•
⇒ ••
=
+
= qRq
R
1
R
11
∆T Teq
T2T1
T2T1
Teq
R
1
R
11
R+
=
1 2
•
q •
q
1q•
2q•
T0 T1
28
Dos resultados obtidos, torna-se evidente a analogia entre um circuito térmico
em paralelo e um circuito eléctrico:
Analogia (N resistências em paralelo):
V = ReqI ∆T = RTeq
•
q
N21
eq
R
1...
R
1
R
11
R+++
=
TNT2T1
Teq
R
1...
R
1
R
11
R+++
=
Generalização
Os conceitos de resistência térmica em série e em paralelo podem facilmente ser
generalizados a paredes compostas caracterizadas por uma configuração mista em série
e em paralelo, como a apresentada na Figura 13.
Figura 13 – Parede composta caracterizada por placas planas em série e em paralelo
Nesta situação, o análogo eléctrico e a resistência térmica equivalente seriam:
•
q RT1
T0 T1
RT2
•
q
29
TH
TGTF
TETeq R
R
1
R
11
RR +
+
+=
Uma vez determinada a resistência térmica equivalente do sistema, a taxa de
transferência de calor, •
q , pode ser determinada:
∆T = RTeq
•
q
Note que na parede composta do exemplo anterior foi admitida condução de
calor unidimensional (foi assumido que a temperatura na superfície normal ao eixo dos
xx é isotérmica), apesar de na prática esta poder ser multi-dimensional (transferência de
calor no eixo dos yy entre as placas em paralelo). Esta hipótese é tanto mais razoável
quanto menor for a diferença de condutividade térmica dos materiais das placas
dispostas em paralelo, |kF – kG|.
Resistência Térmica à Convecção
É possível determinar também a resistência térmica associada à transferência de
calor por convecção numa superfície, Figura 4. Da Lei de Arrefecimento de Newton,
)T(ThAq Ss ∞
•
−= , deriva-se a resistência térmica associada à convecção:
s
T hA
1
q
∆TR ==
• (34)
30
Condução e Convecção em Simultâneo
A utilização da analogia entre sistemas térmicos e circuitos eléctricos é
particularmente útil em processos de transferência de calor envolvendo mais que um
mecanismo de transferência de calor. O caso mais simples será o da transferência de
calor entre dois meios separados por uma placa plana (Figura 14).
Figura 14 – Transferência de calor por convecção e condução em simultâneo. (a)
Distribuição de temperaturas; (b) Análogo eléctrico
O análogo eléctrico associado ao circuito térmico considerado apresenta-se na
Figura 14(b). Do conhecimento de cada resistência térmica envolvida é possível
relacionar a diferença de temperaturas com a taxa de transferência de calor que
atravessa o circuito:
Fluído quente T∞,1, h1
Fluído frio T∞,2, h2
31
••
••
••
==∞
−
==−
==−∞
qhA
1qT3R,2Ts,2T
qkA
LqT2Rs,2Ts,1T
qhA
1qT1Rs,1T,1T
Por sua vez, a diferença de temperaturas global é relacionada com a resistência
térmica equivalente e com a taxa de transferência de calor que atravessa o circuito:
∆T = T∞,1 - T∞,2 = RTeq
•
q , com RTeq = RT1 + RT2 + RT3 = Ah
1
kA
L
Ah
1
21
++
Em sistemas compostos é por vezes conveniente trabalhar com um coeficiente
global de transferência de calor (U), definido por uma expressão análoga à Lei de
Arrefecimento de Newton:
∆TUA ∆TR
1q
Teq
==•
(35)
onde ∆T é a diferença global de temperaturas e A é a área de transferência de calor
escolhida como referência. Como é facilmente dedutível da equação anterior, o
coeficiente global de transferência de calor relaciona-se com a resistência térmica
equivalente do circuito:
UA = TeqR
1 (36)
No caso do circuito térmico apresentado na Figura 14, o coeficiente global de
transferência de calor calcula-se pela seguinte expressão:
32
UA =
2121
Teq
h
1
k
L
h
11
U
Ah
1
kA
L
Ah
11
R
1
++
=⇒++
=
Determinação do Coeficiente Global de Transferência de Calor num Permutador
de Calor de Tubos Concêntricos
Consideremos o problema da transferência de calor entre dois fluídos num
permutador de calor de tubos concêntricos (Figura 15).
Figura 15 – Permutador de calor de tubos concêntricos
Assumindo que o fluído 1 se encontra a uma temperatura superior à do fluído 2,
irá ocorrer transferência de calor do fluído 1 para o fluído 2, havendo três resistências
térmicas em série envolvidas: a resistência à transferência de calor por convecção entre
o fluído 1 e a superfície interna do tubo, a resistência à transferência de calor por
condução no tubo e a resistência à transferência de calor por convecção da superfície
externa do tubo e o fluído 2. Este processo térmico pode ser representado pelo seu
análogo eléctrico:
Recorrendo à definição de resistência térmica, é possível relacionar as diferenças
de temperaturas envolvidas com a taxa de transferência de calor que atravessa o
sistema:
Fluído 1
Fluído 2
ri re
ri
re Ti
Te
T∞, i
T∞, e
Ti
Te T∞, i
T∞, e
•
q
RT1
T∞∞∞∞,1
RT2
•
q
RT3
T∞∞∞∞,2 Ti Te
33
••
∞ ==− qAh
1qRTT
iiT1i,1
••
==− qkL 2π
r
rln
qRTT i
e
T2ei
••
∞ ==− qAh
1qRTT
eeT32 ,e
A resistência térmica equivalente, calcula-se do conhecimento das resistências
térmicas individuais:
RTeq = RT1 + RT2 + RT3 = iiAh
1 +
kL 2π
rr
lni
e
+ eeAh
1
Por sua vez, a taxa de transferência de calor pode-se calcular através do
conhecimento da resistência térmica equivalente ou do coeficiente global de
transferência de calor:
∆TR
1∆TUA q
Teq
==•
Como referido anteriormente, o coeficiente UA relaciona-se com a resistência
térmica equivalente:
UA = TeqR
1 =
Ah
1 +
kL 2π
r
rln
+ Ah
1
1
ee
i
e
ii
Note agora que, ao contrário do observado no sistema térmico da Figura 14, o
valor numérico do coeficiente global de transferência de calor depende da área de
34
transferência de calor considerada. No caso em estudo Ai ≠ Ae, pelo que poderemos
obter dois valores para U:
i) coeficiente global de transferência de calor baseado na área interna (A = Ai)
Ah
A +
kL 2π
r
rlnA
+ h
1
1U
ee
ii
ei
i
i
=
ii) coeficiente global de transferência de calor baseado na área externa (A = Ae)
h
1 +
kL 2π
r
rlnA
+ Ah
A
1U
e
i
ee
ii
e
e
=
Resistência Térmica de Contacto
Até agora, na análise de paredes compostas, desprezamos a queda de
temperatura que ocorre na interface entre dois materiais, queda essa por vezes muito
acentuada. Esta diferença de temperatura é atribuída à chamada resistência térmica de
contacto, RTC, devida ao efeito da rugosidade das superfícies, que origina falhas
preenchidas com ar (Figura 16).
35
Figura 16 – Queda de temperatura devido à resistência térmica de contacto
A taxa de transferência de calor pode ser determinada conhecendo o coeficiente
de transferência de calor de contacto, hc, por uma equação similar a Lei de
Arrefecimento de Newton, válida para a interface entre os dois materiais:
( )BAc TTAhq −=•
(37)
Da definição de resistência térmica obtém-se a expressão que permite calcular a
resistência térmica de contacto:
Ah
1RqRq
Ah
1TT
cTCTC
cBA =⇒==−
••
(38)
O análogo eléctrico do processo térmico da Figura 16 consiste em três
resistências em série:
T1
T2
•
q
RTA
T1
RTC
•
q
RTB
T3 TA TB
LA LB
contactoq•
falhaq•
36
onde Ak
LR
A
ATA = ,
Ak
LR
B
BTB = e
Ah
1R
cTC =
e ∆T = T1 – T2 = RTeq•
q = (RTA + RTC + RTB) •
q
Outro Tipo de Resistências Térmicas
Existem outros tipos de resistências térmicas não mencionadas aqui, que poderão
ser pertinentes na eficiência de um processo de transferência de calor. Por exemplo, a
presença de incrustações em tubagens, como as utilizadas em casas para aquecimento.
Estas tubagens, normalmente percorridas por água, possuem uma determinada
eficiência energética quando novas. Com o tempo vão-se acumulando impurezas e a
eficiência (transferência de calor) diminui devido ao aparecimento de uma resistência
adicional:
Exercício Duas barras cilíndricas de aço (k = 16.3 W/mK) estão suportadas em
duas superfícies a 100ºC e 0ºC (Figura 17). O diâmetro das barras é de 3 cm e o seu
comprimento é de 10 cm. As duas barras são unidas por compressão à pressão de
50 atm, sendo o coeficiente de transferência de calor de contacto nestas condições de
1894 W/m2ºC. Calcule o débito axial de calor e a queda de temperatura na interface das
barras.
T∞, i T∞, e
deposição de impurezas
T∞, e
T’e T’i
T0
Ti
Te
RTi
Ti
RTS
•
q RTe
Te
•
q
T∞∞∞∞, i T∞∞∞∞, e
RTi
T0
RTS
•
q RTe
Te
•
q
T∞∞∞∞, i T∞∞∞∞, e Ti
RTI
37
Figura 17 – Transferência de calor entre duas superfícies através de duas barras
cilíndricas comprimidas entre si
Resolução A melhor forma de calcular a taxa de transferência de calor, •
q , que
atravessa o sistema, uma vez que se conhecem as temperaturas nas suas extremidades, é
através do cálculo da resistência térmica equivalente, e da sua relação com •
q :
∆TR
1q
Teq
=•
Assim, começamos por considerar o análogo eléctrico do circuito térmico (três
resistências em série, à condução em cada uma das barras e de contacto entre as barras):
A resistência térmica equivalente é dada por RTeq = RT1 + RT2 + RTC. Calculemos
as resistências térmicas envolvidas:
0ºC 100ºC
10 cm 10 cm
3 cm
•
q
•
q
RT1
100ºC
RTC
•
q
RT2
0ºC T1 T2
38
( )
( )
( )K/W 8.679
4
103π16.3
1010
kA
LR
K/W 0.747
4
103π1894
1
Ah
1R
K/W 8.679
4
103π16.3
1010
kA
LR
22
2
T2
22CTC
22
2
T1
=×
×
×==
=×
×
==
=×
×
×==
−
−
−
−
−
RTeq = 8.679 + 0.747 + 8.679 = 18.105 K/W
A taxa de transferência de calor pode agora ser calculada:
( ) W5.52010018.105
1∆T
R
1q
Teq
=−==•
Para obter a queda de temperatura na interface das barras, usa-se a resistência
térmica de contacto:
( ) C4.13º5.520.747qR∆TTTTTR
1q TCC2121
TC
=×===−⇔−=••
2.6. Condução em Sistemas com Geração Interna de Energia
Até agora lidamos apenas com problemas em estado estacionário em sistemas
sem geração interna de energia. Queremos agora considerar problemas em que existe
geração de energia no interior do sistema. Exemplos típicos são a geração de calor em
resistência eléctricas (efeito de Joule) ou uma reacção química exotérmica num meio
homogéneo. Vamos de seguida analisar algumas situações.
39
Placa Plana com Geração Homogénea de Energia
Consideremos a placa plana esquematizada na Figura 18, com geração
homogénea de energia por unidade de volume, área de transferência de calor A e
superfícies mantidas à temperatura TS.
Figura 18 – Condução de calor numa placa plana com geração homogénea de energia e
condições fronteira simétricas
Devido à geração homogénea de calor e às condições fronteira simétricas, a
distribuição de temperaturas apresenta simetria sobre o eixo central da placa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
==
−−=−= 0
dx
xdT 0, x para ,particular em ;
dx
xdT
dx
xdT e xTxT . Vamos
definir Vq•
como o débito de energia gerada por unidade de volume (W/m3) e realizar
um balanço de energia em estado estacionário a um elemento de volume da placa de
espessura dx:
0Aqdx
qqAdxqqq V
xdx x Vxdx x =−
−⇔+=
••
+
•••
+
•
dx
x x + dx
xq•
dxx q +
•
Adxq v
•
dx
40
quando dx 0 ⇒ 0Aqdx
qd0Aq
dx
qqV
xV
xdx x
0=−⇒=
−
− ••
••
+
•
→dxLim (39)
Aplicando a Lei de Fourier
−=
•
dx
dTkAq x à expressão anterior, obtém-se uma
equação diferencial ordinária de 2ª ordem que caracteriza o problema:
0k
q
dx
Td0Aq
dx
TdkA v
2
2
V2
2
=+⇒=−−
••
(40)
Esta equação pode ser resolvida em ordem a T de forma a obter a distribuição de
temperaturas na placa. Como condições fronteira (CF) podemos considerar as seguintes:
CF1: x = 0, 0dx
dT= (condição de simetria)
CF2: x = L, T = TS
Por integração da equação (40), obtém-se a solução geral do problema:
212V CxCx
2k
qT ++−=
•
(41)
Das condições fronteira:
+=
=•
2VS2
1
L2k
qTC
0C
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtém-se a distribuição de temperaturas,
que é a solução particular do problema:
41
( )22VS xL
2k
qTT −+=
•
(42)
Obtém-se um perfil parabólico com simetria sobre o eixo x = 0, onde ocorre a
temperatura máxima:
2VS0 L
2k
qTT
•
+= (43)
Substituindo TS da equação anterior na equação (42), obtém-se uma expressão
que combinada novamente com a equação (42), permite obter a distribuição de
temperaturas com a seguinte apresentação alternativa:
2
S0
0
L
x
TT
TT
=
−
− (44)
A taxa de transferência de calor pode ser calculada em qualquer ponto da placa,
substituindo a equação (42) na Lei de Fourier para a condução. Note que, ao contrário
do que sucede em problemas sem geração interna de energia, a taxa de transferência de
calor em problemas com geração de energia não é independente de x.
Placa Plana com Geração Não Homogénea de Energia
Consideremos agora uma placa plana, exactamente com as mesmas
características que a apresentada na Figura 18, mas com geração não homogénea de
energia. Supor que o débito de energia gerada por unidade de volume varia com a
temperatura de acordo com a relação apresentada na Figura 19.
42
TS
.(q
V)S
.q
V
T
Figura 19 – Dependência do débito de energia gerada por unidade de volume com a
temperatura
Do balanço de energia em estado estacionário obtém-se a equação diferencial
ordinária de 2ª ordem, deduzida anteriormente, equação (40):
0k
q
dx
Td v2
2
=+
•
(40)
Esta equação pode ser resolvida em ordem a T de forma a obter a distribuição de
temperaturas na placa. Como condições fronteira (CF) podemos considerar novamente
as seguintes:
CF1: x = 0, 0dx
dT= (condição de simetria)
CF2: x = L, T = TS
A diferença deste problema para o da placa plana com geração homogénea de
energia, reside no facto de Vq•
variar com a temperatura, pelo que a equação diferencial
a resolver toma o seguinte aspecto:
( )[ ]SS
VV TTβ1qq −+
=
••
43
( )[ ] 0TTβ1k
q
dx
TdS
Sv
2
2
=−+
+
•
(45)
Para resolver esta equação é útil considerar a seguinte mudança de variável:
θ = T – TS => 2
2
2
2
dx
Td
dx
θd= (46)
Introduzindo a nova variável na equação (45) obtém-se a seguinte equação:
0βθk
q
k
q
dx
θd SV
Sv
2
2
=
+
+
••
(47)
sujeita às condições fronteira:
CF1: x = 0, 0dx
dθ=
CF2: x = L, θ = 0
Para resolver a equação (47), consideremos uma nova mudança de variável:
2
2S
V
2
2S
VS
VS
v
dx
θdβ
k
q
dx
φd
dx
dθβ
k
q
dx
dφ βθ
k
q
k
qφ
=⇒
=⇒
+
=
••••
Introduzindo a nova variável na equação (47) e considerando βk
qα S
V
=
•
,
obtém-se a seguinte equação:
44
0αφdx
φd2
2
=+ (48)
sujeita às condições fronteira:
CF1: x = 0, 0dx
dφ=
CF2: x = L, k
qθ S
V
=
•
A equação (48) é uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem homogénea,
que se pode resolver por determinação das raízes da sua equação característica:
iαλ0αλ2 ±=⇔=+
Pelas relações de Euler obtém-se a solução geral do problema:
( ) ( )xαsenCxαcosCφ 21 += (49)
Das condições fronteira, obtém-se C1 e C2:
( )
=
=
•
0C
Lαcos
q
C
2
SV
1
Substituindo C1 e C2 na solução geral, encontramos a solução para ϕ:
45
( )( )αLcos
xαcos
k
qφ S
V
=
•
(50)
Introduzindo as variáveis originais, obtém-se a solução particular do problema:
( ) ( )( )αLcos
xαcos
k
q T-Tβ
k
q
k
qφ S
V
SS
VS
v
=
+
=
•••
⇒ ( )( )
−= 1
αLcos
xαcos
β
1T-T S (51)
A solução particular apresenta um perfil parabólico com simetria sobre o eixo
x = 0, onde ocorre a temperatura máxima:
( )
−+= 1
αLcos
1
β
1TT S0 (52)
Substituindo TS da equação anterior na equação (51), obtém-se uma expressão
que combinada novamente com a equação (51), permite deduzir a distribuição de
temperaturas com a seguinte apresentação alternativa:
( )( )Lαcos1
xαcos1
TT
TT
S0
0
−
−=
−
− (53)
Cilindro com Geração Homogénea de Energia
Existem várias situações em que ocorre geração de calor em sistemas de
geometria radial. Considerar por exemplo um fio condutor de electricidade (Figura 20).
46
Figura 20 – Condução num cilindro com geração homogénea de energia
Em condições de estado estacionário, a taxa global de geração de calor no
cilindro deve igualar a taxa de calor libertada por convecção para um fluído adjacente
ao cilindro. Esta condição permite manter a superfície do cilindro a uma temperatura
constante TS.
Para determinar a distribuição de temperaturas no cilindro, vamos realizar um
balanço de energia em estado estacionário ao elemento de volume de espessura dr
representado na Figura 20:
dVqqq Vrdr r
••
+
•
+= onde dV = 2πrdrL
⇒ 0qrL 2πdr
qqV
rdr r =−− •
•
+
•
quando dr 0 ⇒ 0qrL 2πdr
qd0qrL 2π
dr
qqLim V
rV
rdr r
0dr=−⇒=
−
− ••
••
+
•
→
Aplicando a Lei de Fourier
−=−=
•
dr
dTrL 2kπ
dr
dTkAq rr à equação anterior,
obtém-se uma equação diferencial ordinária de 2ª ordem que caracteriza o problema:
TS
r0 r
r + dr
dr
Fluído frio T∞, h
47
0rk
q
dr
dTr
dr
d0qrL 2π
dr
dTr
dr
dL 2kπ v
V =+
⇒=−
−
••
(54)
Esta equação pode ser integrada de forma a obter a distribuição de temperaturas
no cilindro. Como condições fronteira podemos considerar as seguintes:
CF1: r = r0, T = TS
CF2: r = r0, V20Rs qLπrq
••
= (o calor gerado é libertado por convecção)
A equação (54) pode ser resolvida pelo método de separação de variáveis,
obtendo-se a seguinte solução:
12V Cr
2k
q
dr
dTr +−=
•
Repetindo o procedimento, obtém-se a solução geral do problema:
212V Crln Cr
4k
qT ++−=
•
(55)
Das condições fronteira, determina-se C1 e C2:
+=
=
•
20
VS2
1
r4k
qTC
0C
Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtém-se a distribuição de temperaturas,
que é a solução particular do problema:
48
( )220
VS rr
4k
qTT −+=
•
(56)
A solução obtida apresenta um perfil parabólico com simetria sobre o eixo r = 0,
onde ocorre a temperatura máxima:
20
VS0 r
4k
qTT
•
+= (57)
Substituindo TS da equação anterior na equação (56), obtém-se uma expressão
que, combinada novamente com a equação (56), permite obter a distribuição de
temperaturas com a seguinte apresentação alternativa:
2
0S0
0
r
r
TT
TT
=
−
− (58)
A taxa de transferência de calor pode ser calculada em qualquer ponto do
cilindro, substituindo a equação (57) na Lei de Fourier para a condução.
Condução com Geração de Energia Nuclear por uma Fonte de Forma Esférica
A metodologia estudada anteriormente para deduzir as distribuições de
temperaturas em placas e cilindros com geração de energia, pode ser estendida a
problemas mais complexos. Considerar um sólido esférico com geração de energia
revestido por uma camada de isolante (Figura 21).
Figura 21 – Condução com geração de energia nuclear por uma fonte de forma esférica
TS
RS
geração de energia
R0
T0 isolante
Vq•
49
Supor que o débito de energia gerada por unidade de volume na zona de geração
de energia não é homogéneo e que varia com o raio da esfera de acordo com a seguinte
relação:
+
=
••2
00VV R
rβ1qq
Vamos realizar um balanço de energia em estado estacionário a um elemento de
volume da esfera de espessura dr:
dVqqq Vrdr r
••
+
•
+= onde dV = 4πr2dr
⇒ 0qr 4πdr
qqV
2rdr r =−− •
•
+
•
quando dr 0 ⇒ 0qr 4πdr
qd0qr 4π
dr
qqLim V
2rV
2rdr r
0dr=−⇒=
−
− ••
••
+
•
→ (59)
Na zona isolante não existe geração de calor, pelo que, como estudado em
problemas de condução de calor em esferas em estado estacionário:
0dr
qd r =
•
(8)
T0
R0 r
r + dr
dr
50
Para determinar a distribuição de temperaturas na esfera (zona de geração de
energia e zona isolante) é necessário resolver as equações (59) e (8), podendo-se
considerar as seguintes condições fronteira (CF):
Zona de Geração de Energia
CF1: r = 0, finito é dr
dT (caso contrário haveria uma descontinuidade em T)
CF2: r = R0, +•−•
= rr qq (o calor que sai da zona de geração de energia entra na
zona isolante)
Zona Isolante
CF3: r = R0, 000 TTT == +− (a temperatura na interface zona de geração de
energia/zona isolante é T0)
CF4: r = RS, T = TS
Na zona de geração de energia:
dr
dTr 4kπ
dr
dTkAq 2
rr −=−=•
0rk
q
dr
dTr
dr
d0qr 4π
dr
dTr
dr
d 4kπ 2v2
V22 =+
⇒=−
−⇒
••
+
−=
+
−=
⇒
•
•
20
420
V2
00V
22
R
rβr
k
q
R
rβ1q
k
r
dr
dTr
dr
d
Integrando a equação anterior obtém-se:
21
20
30
V
r
C
5R
rβ
3
r
k
q
dr
dT+
+
−=
•
51
Da condição fronteira CF1, para dr
dT ser finito, necessariamente C1 = 0.
+
−=⇒
•
20
30
V
5R
rβ
3
r
k
q
dr
dT (60) Zona de Geração de Energia
Na zona isolante:
22
222r
r
C
dr
dTC
dr
dTr0
dr
dTr
dr
d0
dr
qd=⇒=⇔=
⇒=
•
Da condição fronteira CF2, como +•−•
= R0R0 qq , obtém-se:
+
−=⇔
⇔−=
+
⇒−=−
•
•
+−
5
β
3
1
k
RqC
R
Ck
5
Rβ
3
Rq
dr
dTAk
dr
dTkA
I
30
0V
2
20
2I
00
0V
RRI
RR
0
0
0
0
2
I
30
0V
r
1
k5
β
3
1Rq
dr
dT×
+
−=⇒
•
(61) Zona Isolante
Integrando agora esta equação e aplicando a condição fronteira CF4 obtém-se a
distribuição de temperaturas na zona isolante:
−×
+×
=−
•
SI
30
0V
S R
1
r
1
5
β
3
1
3k
RqTT (62) Zona Isolante
52
Integrando a equação (60), obtém-se a solução geral da distribuição de
temperaturas na zona de geração de energia:
320
420
V
20
30
V
C20R
rβ
6
r
k
qT
5R
rβ
3
r
k
q
dr
dT+
+
−=⇒
+
−=
••
Por aplicação da condição fronteira CF3 (r = R0, 000 TTT == +− ) às equações
anteriores, obtém-se a distribuição de temperaturas na zona de geração de energia:
−×
+×
+==+
+
−=
•
+
•
S0I
30
0V
S0320
20
200
V-0 R
1
R
1
5
β
3
1
3k
RqTTC
20R
Rβ
6
R
k
qT
+
+
−×
+×
+=⇒
••
20
20
200
V
S0I
30
0V
S3 20R
Rβ
6
R
k
q
R
1
R
1
5
β
3
1
3k
RqTC
−+
−
+
−×
+×
=⇒
••
4
0
2
0
20
0V
S0I
30
0V
S R
r1
10
3β
R
r1
6k
Rq
R
1
R
1
5
3β1
3k
RqT-T
Zona de Geração de Energia (63)
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