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Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Approximation lagrangienne d’écoulements defluides parfaits selon VNR
Bertin Matthias, Posson Marjolaine
Département de MathématiquesLicence - ENS Cachan
Tuteurs : Jean-Michel Ghidaglia, Daniel Chauveheid et Saad Benjelloun
Soutenance de stage24 juin 2010
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Sommaire
1 Introduction2 Etude de la méthode VNR
présentation de la méthodeL’expression de q
3 Equations aux différences finiesEquations aux différences finiesStabilité
4 Etude numérique de la méthodeTube à choc de SodEtude du codemodification du code
5 RechercheAutre point de vue : viscosité et condition deRankine-Hugoniot
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Introduction
Introduction
But : résoudre les équations des mouvements fluides parune méthode lagrangienne d’approximation numérique.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Introduction
Equations des mouvements fluides
Conservation de la quantité de mouvement
ρ0dUdt = − ∂
∂x (p + q)
Conservation de l’énergiedEdt + (p + q)dV
dt = 0
Conservation de la masse
ρ0dVdt = −∂U
∂x
Equation d’état (dans le cas d’un gaz parfait)
E = pVγ−1 , γ > 1
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Introduction
Introduction
Les chocs : surfaces sur lesquelles la densité, la vitesse dufluide, la température... présentent des discontinuités.Les conditions de saut sont compliquées : mouvementinconnu des surfaces de discontinuités par rapport aumaillage.Non linéarité du problème⇒ Le traitement des chocs nécessite de très longs calculs(pour une méthode de suivi de chocs).
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude de la méthode VNR
présentation de la méthode
Idée de base :
Etude d’un article : A method for the numerical calculation ofhydrodynamic shocks - J. VonNeumann et R.D. Richtmyer -1949.
Utiliser les effets bien connus des mécanismes dissipatifs(viscosité...) sur les chocsDonne au choc une épaisseur au moins comparable àl’espacement des points du réseauLes valeurs obtenues pour la température, pression... sontproches des valeurs réelles
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude de la méthode VNR
présentation de la méthode
Idée de base :
Introduire des termes dissipatifs artificiels dans leséquationsMéthode qui traite de manière automatique les chocs(méthode de capture de chocs)Utilisée pour des écoulements 1D.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude de la méthode VNR
L’expression de q
q
q est un terme de pression additionnel positif (∂U∂x < 0
compression)q est négligeable sauf dans la zone de choc.
q
q = − (ρ0c∆x)2
VdVdt |
dVdt | = −
(c∆x)2
V∂U∂x |
∂U∂x |
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Equations aux différences finies
Equations aux différences finies
Schéma
Conservation de la quantité de mouvement
ρ0U
n+ 12
`−U
n− 12
`∆t = −
pn`+ 1
2+q
n− 12
`+ 12−pn
`− 12−q
n− 12
`− 12
∆x .
Conservation de la masse
ρ0
V n+1`+ 1
2−V n
`+ 12
∆t =U
n+ 12
`+1 −Un+ 1
2`
∆x .
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Equations aux différences finies
Equations aux différences finies
Pseudo-viscosité
qn+ 1
2`+ 1
2= − 2(c∆x)2
V n+1`+ 1
2+V n
`+ 12
(Un+ 1
2`+1 −U
n+ 12
`)|U
n+ 12
`+1 −Un+ 1
2`|
(∆x)2 .
Évolution de l’énergie"γ
pn+1`+ 1
2+pn
`+ 12
2 + (γ − 1)qn+ 1
2`+ 1
2
#V n+1
`+ 12−V n
`+ 12
∆t +V n+1
`+ 12
+V n`+ 1
22
pn+1`+ 1
2−pn
`+ 12
∆t = 0.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Equations aux différences finies
Stabilité
On considère l’ajout d’une petite perturbation δU, δV ... à la solutionhomogène dans les équations précédentes.
δU = δU0eikx+αt
Dans les régions normales, la condition de stabilité s’écrit :
∆t 6 (∆x)2
2σ
où σ = 2(c∆x)2
Vρ0| ∂U∂x |
Dans les régions de choc, elle devient :
s0 f ∆t∆x 6 γ
12
2c
où c est une constante et s0f est la vitesse du son.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
Tube à choc de Sod
Tube à choc de Sod
Code scilab de 80 lignesTest du code dans le cas du tube à choc de Sod0@ ρg
pg
ug
1A =
0@ 1.01.00.0
1A et
0@ ρd
pd
ud
1A =
0@ 0.1250.10.0
1A
(a) densité théorique (b) densité obtenue avec le code
FIG.: t = 0,2s
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
Tube à choc de Sod
(a) vitesse théorique (b) vitesse obtenue avec le code
(c) pression théorique (d) pression obtenue avec le code
FIG.: t = 0,2s
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
Etude du code
Etude de la méthode
Mise en évidence expérimentalement de l’instabilité du schéma enl’absence de la pseudo-viscosité.
(a) 100ème itération avec pseudo (b) 100ème itération sans pseudo
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
Etude du code
(c) 200ème iération avec pseudo (d) 200ème itération sans pseudo
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Modification du code
Modification du code de manière à le rendre utilisable pour n’importequelle équation d’état.
Soit P(ρ, e, p) l’équation d’état du fluide, on cherche à résoudre par laméthode de Newton f (pn+1
j ) = 0 où :
f (pn+1j ) = P
„1
V n+1j
, enj −
„pn
j +pn+1j
2 + qnj
«(V n+1
j − V nj ), pn+1
j
«
résultats cohérents lors du test sur l’équation des gaz parfaits
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Equation de Van der Waals
Equation d’état
E − 32
`p + a
τ2
´(τ − b) + a
τ= 0
Prise en compte de l’intéraction (a : pression de cohésion)
Prise en compte de la taille des particules (b : covolume)
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Calcul de la vitesse du son
Identités de la thermodynamique :
TdS = dE + pdτdp = c2
s dρ+ βdS
Vitesse du son
cs =
r2
3(τ−b)
“a + 3ab
τ+ 5τ2p
2
”
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Résultats pour l’équation de Van der Waals
(e) a = 0 et b = 0 (f) a = 0, 1 et b = 0
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Résultats pour l’équation de Van der Waals
(g) a = 1 et b = 0 (h) a = 1 et b = 0, 1
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Stiffened gas equation
Equation d’état
E = (p+π)τN−1
Vitesse du son
cs =q
Np+πρ
Calcul de π
π = ρ0cs20 − Np0
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Résultats : Stiffened gas equation π � p
(i) π = 2 (j) π = 20
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Résultats : Stiffened gas equation π � p
(k) π = 200
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Résultats : équation des gaz parfaits modifiée :π ∼ p
FIG.: Cas π = 0, on retrouve bien le résultat de l’équation des gazparfaits.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Etude numérique de la méthode
modification du code
Résultats : équation des gaz parfaits modifiée :π ∼ p
(a) π = 0, 294 (b) π = −0, 266
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Recherche
Autre point de vue : viscosité et condition de Rankine-Hugoniot
Solution des équations présentant un choc avec deux états constantsséparés par une discontinuité se déplaçant à la vitesse D ≡ dm
dt .
FIG.: Définition de pg et pd
Relations de Rankine-Hugoniot : relations de compatibilité nécessairesà l’existence d’une telle solution
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Recherche
Autre point de vue : viscosité et condition de Rankine-Hugoniot
On pose ∆u = ud − ug
8<:D∆V −∆u = 0D∆u + ∆p = 0D∆E + ∆(pu) = 0
où E = E + 12 |u|
2.
d’où :
∆V ∆p + (∆u)2 = 0
∆E = −(pd ∆V − 12 ∆p∆V )
∆E = ∆(pV )γ−1
Equation quadratique en ∆p
−γpd (∆u)2 + 12 (γ + 1)(∆u)2∆p + Vd (∆p)2 = 0
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Recherche
Autre point de vue : viscosité et condition de Rankine-Hugoniot
Racine négative
pg = pd + 1Vd|∆u|
14 (γ + 1)|∆u|+
r“γ+1
4 |∆u|”2
+ cs2d
!
Choc faible : ∆u → 0
Viscosité linéaire
pg = pd + 1Vd
csd |∆u|
Choc fort : csd → 0
Viscosité quadratique
pg = pd + 1Vd
γ+12 |∆u|2
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Annexe
Conclusion
Conclusion
Commencement de recherche d’une solution stable... pas de résultatpour le moment.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Annexe
Référence
Références I
R. Courant, E. Isaacson, and M. Reeves.
On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences.Communication on pure and applied mathematics, 5(3) :243–255, 1952.
S.K. Godunov.
a finite difference method for the numerical computation of discontinuous solutions of the equations of fluiddynamics.math sbornik, 47 :271–306, 1959.
B. Van Leer.
Towards the ultimate conservative difference schemes iv. a new approach to numerical convection.Journal of computational physics, 23 :276–299, 1977.
P.L. Roe.
Approximate riemann solvers, parameter vectors and difference schemes.Journal of computational physics, 43 :357–372, 1981.
T.J. Barth and D.C. Jespersen.
The design and application of upwind schemes on unstructured meshes.AIAA paper 89-0366, Jan. 1989.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Annexe
Référence
Références II
J. VonNeumann and R.D. Richtmyer.
a method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks.journal of applied physics, pages 232–237, Sep. 1949.
P.D. Lax.
Hyperbolic systems of conservation laws, ii.Communication on pure and applied mathematics, 10, 1957.
A. Harten and G. Zwas.
self adjusting hybrid schemes for shock computations.Journal of computational physics, 9(3) :368–583, 1972.
R.D. Richtmyer and K.W. Morton.
Difference methods for initial-value problems - seconde edition.Interscience, 1967.
D.L. Hicks.
Stability analysis of wondy (a hydrocode based pn the artificial viscosity method of von neumann andrichtmyer) for a special case of maxwell’s law.Mathematics of computation, 32, 1978.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Annexe
Référence
Références III
Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart.
Hyperbolic systems of conservation laws.
ellipse - edition marketing, 1991.
Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart.
Numerical Approximation of Hyperbolic systems of conservation laws.
Springer, 1996.
Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR
Annexe
Référence
Merci pour votre attention !
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