ax,ay b bx,by bx,by ,bz - university of...
Post on 25-Dec-2019
7 Views
Preview:
TRANSCRIPT
KOLINEARNOST VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA
A
B
a
a
0
Dva ne nula vektora su kolinearni ako imaju isti pravac. Dva vektora i su kolinearni ako i samo ako je za neko , . 0, R ab
a
b
zyx bbbb ,,
zyx aaaa ,,
zyxzyx aaabbb ,,,, ab
z
z
y
y
x
x
ab
ab
ab
Uslov kolinearnosti dva vektora
PRIMER
)3,2,1( a )6,4,2( b
Vektori
Su kolinearni zato što je
23
624
12
)3,2,1( a )3,4,2( b
Vektori
nisu kolinearni zato što je
33
24
12
Odrediti vrednosti parametre i tako da su vektori
kolinearni.
)2,3,(a i ),6,4( b
4,223
64
PRIMER
Ugao izmedju dva vektora je ugao za koji treba zarotirati jedan od njih da bi se poklopio po pravcu I smeru sa drugim vektorom.
a
b
a
b
),( ba
),( ab
UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA
Skalarni proizvod dva vektora i je skalar, koji je jedanak proizvodu intenziteta vektora i kosinusa ugla izmedju njih.
a
b
ba
O
x
y
z
A
a
B
b
cos baba
a
b
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA
O
x
y
z
A
a
B
b
cos baba
Osobine skalarnog proizvoda
abba
bababa cabacba
022 aaaa 00 aaa
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ZADATIH POMOĆU KOORDINATA
O x
y
z
A
a
B
b
zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,
zzyyxx babababa
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
1 0 0
0 1 0
0 0 1
i
j
k
i
j
k
PRIMER
)2,1,1( a )4,1,1( b
84)2()1(111 ba
)2,5,1( a )4,1,1( b
124)2()1(511 ba
)2,2,1( a )3,1,1( b
33)2()1()2(11 ba
Izračunati skalarni proizvod datih vektora:
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐ USLOV ORTOGONALNOSTI DVA VEKTORA
O
x
y
z
A
a
B
b
cos baba
Dva nenula vektora su ortogonalni ako I samo ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli.
0900 ba
zyx aaaa ,, zyx bbbb ,,
00 zzyyxx babababa
Uslov ortogonalnosti vektora zadatih pomoću koordinata
)2,3,3(a )3,6,4( b
Vektori
Su ortogonalni zato sto je
061812)3(2634)3( ba
)2,3,3(a )2,6,4( b
Vektori
nisu ortogonalni zato sto je
0241812)2(2634)3( ba
PRIMER
)2,3,(a ),6,4( b
3
PRIMER
Odrediti vrednost parametra tako da su vektori
ortogonalni. i
02634 ba
0 baba
0186
SKALARNI PROIZVOD VEKTORA ‐ UGAO IZMEDJU DVA VEKTORA
O
x
y
z
A
a
B
b
baba
cos
zyx aaaa ,,
zyx bbbb ,,
zzyyxx babababa
cos baba
222222cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
PRIMER
Data je kocka osnovne ivice sa jednim temenom u koordinatnom početku O i sa ivicama koje polaze iz tog temena koje leze na pozitivnim delovima koordinatnih osa. OA je dijagonala te kocke. OB je dijagonala donje osnove te kocke. Odrediti kosinus ugla izmedju vektora i
1a
OA OB
i
j
k
O x
y
z
C
A
E
D B
a
xa
ya
za )1,1,1( OAa
)0,1,1( OBb
2b
3a
baba
cos
36
32011111cos
PRIMER
)1,0,1(a )1,1,0( b
Odrediti ugao izmedju vektora i .
baba
cos
21
221
1)1(010111)1(001cos
222222
0603
ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA
O
x
y
z
a
B
b
bortaaab
cosPr
bbbort
0Pr ab
A
A
ORTOGONALNA ALGEBARSKA PROJEKCIJA VEKTORA
O x
y
z
a
B
b
bortaaab
cosPr
bbbort
0Pr ab
AA
VEKTORSKI PROIZVOD
a
b
bac
Vektorski proizvod vektora i je vektor čiji je intezitet jednak površini paralelograma konstruisanog nad vektorima i , pravac normalan na ravan odredjenu tim vektorima, a smer je takav da vektori , , čine trijedar iste orjentacije kao i koordinatni sistem.
bac
a b
a
b
a
b
c
VEKTORSKI PROIZVOD
bac
bababacP
,sin
bcac
,a
b
P
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ OSOBINE
a
b
bac
baab
bababa
cabacba
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE
i
j
k
0
0
0
i
i
j
j
k
k
k
k
j
j
i
i
i
j
k
zyx aaaa ,,
zyx bbbb ,,
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
xyyxxzzxyzzy
zyxzyx
babakbabajbabaiba
kbjbibkajaiaba
VEKTORSKI PROIZVOD ‐ IZRAČUNAVANJE
zyx
zyxyx
yx
zx
zx
zy
zy
bbbaaakji
bbaa
kbbaa
jbbaa
iba
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx bbaa
kbbaa
jbbaa
ibbbaaakji
ba
Izracunati determinantu, drugog I treceg reda
19107224331
21321
1423
2143231212
5)3(34)1(4331
221222112221
1211 aaaaaaaa
3231
222113
3331
232112
3332
232211
333231
232221
131211
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
DETERMINANTE DRUGOG I TREĆEG REDA
PRIMER
a
b
bac
Izračunati vektorski proizvod vektora
)2,1,1( a
)0,1,1(b
1111
0121
0121
011211
kjikji
ba
jiba 22
)0,2,2( ba
PRIMER
Za date vektore )2,1,1( a )2,0,1(b
)1,4,2( ba
0111
2121
2021
201211 kji
kjiba
kjiba
42
)1,4,2()1,4,2( baab
Izračunati i . ba
ab
PRIMER
Izračunati površinu paralelograma konstruisanog nad datim vektorima:
a
b
P
)2,5,1( a )2,0,1( b
201251
kji
ba
kiba 510 )5,0,10( ba
0151
2121
2025
kjiba
55125)5(010 222 baP
PRIMER
a
b
P
Izračunati površinu trougla konstruisanog nad datim vektorima:
)2,5,1( a )2,0,1( b
201251
kji
ba
kiba 510 )5,0,10( ba
0151
2121
2025
kjiba
255125
21)5(010
21
21 222 baP
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
Mašoviti proizvod tri vektora je skalarni proizvod vektora i vektora :
cba
,,
ba
c
cbacba )(],,[
O ab
c
VHBcbacbacba cos,,
Mešoviti prozvod tri vektora je skalar, čija je apsolutna vrednost jednaka zapremini paralelopipeda konstruisanog nad tim vektoraima. Znak mešovitog proizvoda označava orjentaciju trijedra koji grade ti vektori u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema. Pozitivan rezultat označava da je trijedar orjentisan isto kao i koordinatni sistem, a negativan rezultat označava da je njegova orjentacija suprotna od orjentacije koordinatnog sistema.
cba
,,
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
Cikličkom permutacijom vektora, vrednost mešovitog proizvoda se ne menja.
bacacbcba )()()(
],,[],,[],,[ bacacbcba
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA
zyx aaaa ,,
zyx bbbb ,,
zyx cccc ,,
zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
cba ],,[
Tri vektora su komplanarni ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli.
cba
,,
0)(],,[ cbacba
USLOV KOMPLANARNOSTI TRI VEKTORA
MEŠOVITI PROIZVOD VEKTORA – USLOV KOMPLANARNOSTI
0],,[
zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
cba
zyx aaaa ,,
zyx bbbb ,,
zyx cccc ,,
PRIMER
)2,2,2( b
)1,2,1( a )1,2,0( c 2],,[ cba Vektori
su nekomplanarni zato sto je
02682221
2211
2120222
121],,[
cba
)3,2,1( a )2,3,2( b
)1,1,3(c
021165],,[ cba
Vektori
su komplanarni zato sto je
1332
31322
21123
1113232
321)(],,[
cbacba
O ab
c
PRIMER
Izračunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima
)2,1,1( a )0,1,1(b
)0,2,1(c
6322111
2],,[ cba
i odrediti orjentaciju u odnosu na orjentaciju koordinatnog sistema.
Trijedar suprotne orjentacije u odnosu na koordinatni sistem.
021011211
)(],,[
cbacba
66],,[ cbaV
06],,[ cba cba ,,
PRIMER
O ab
c
],,[ cbaV pedaparalelopi
],,[31
31
31 cbaVBHV pedaparalelopipiramide
BHV pedaparalelopi
],,[61
61
21
31
31
1 cbaVBHHBV pedaparalelopitetraedra
O ab
c
top related