bab 1 fismath (analisis vektor)
Post on 14-Oct-2015
63 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
1/24
1
BAB 1
ANALISIS VEKTOR
1.1 Pengenalan Dasar
Dalam ilmu sains atau teknik dikenal berbagai kuantitas seperti kecepatan,
percepatan, daya, suhu dsb. yang dapat dibagi menjadi dua kuantitas dasar yaitu
merupakan besaran vektor dan skalar (sebenarnya terdapat kuantitas tensor yang
berlaku lebih umum dari vektor dan skalar). Kuantitas yang hanya mempunyaibesaran saja dinamakan skalar seperti suhu, energi, daya dsb., sedangkan kuantitas
yang mempunyai besar dan arah (untuk sebuah kuantitas tertentu dibatasi hanya pada
satu arah saja) dinamakan vektor seperti kecepatan, percepatan, gaya dsb. Pada bab
ini hanya akan dibahas pengenalan mengenai kuantitas vektor saja.
1.2 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Pada perhitungan panjang sisi-sisi dari segitiga yang salah satu sudutnya 900,
dengan sisi B dan C saling tegak lurus dan sisi A merupakan sisi terpanjang dari
segitiga tersebut akan berlaku hubungan phytagoras
2 2 2A B C= + . (1.1)
Jika besaran A dapat dituliskan sebagai bentuk harga mutlak dari vektor A, yaitu A =
Amaka terdapat hubungan diantara vektor-vektor A, Bdan C berdasarkan gambar
dibawah ini
BC= A B+ C= A.
Gambar 1.1. Penjumlahan dan pengurangan vektor yang menghasilkan hubungan phytagoras
2 2 2A B C= + dari panjang sisi-sisi segitigaA,Bdan C.
B
C
A
C
BBA
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
2/24
2
Bentuk umum penjumlahan dan pengurangan vektor dengan sudut diantara
vektor Bdan Csebesar dapat diungkapkan sebagai berikut
BC= A B+ C= A
(a) (b)
Gambar 1.2. Bentuk umum diagram vektor dari pengurangan vektor B C = A dan penjumlahan
vektor B + C = A.
Bentuk pengurangan vektor B C = A seperti yang dilukiskan pada gambar 1.2.a
akan mempunyai hubungan diantara panjang vektor-vektor A, B dan C menurut
aturan cosinus sebagai
2 2 2 2 cosA B C AB = + . (1.2)
Demikian pula penjumlahan vektor B+ C= Apada gambar 1.2.b, akan menghasilkan
persamaan diantara panjang vektor-vektor A, Bdan C sebagai
2 2 2 2 cosA B C AB = + + . (1.3)
Dapat disimpulkan bahwa persamaan (1.1) merupakan aplikasi dari persamaan (1.2)
dan (1.3) untuk kasus sudut = 90o.
Contoh 1 : Pada gambar 1.3a, sistem dalam kesetimbangan. Hitunglah berat
beban W jika tegangan tali TA adalah sebesar 50 N.
(a) (b) (c)
Gambar 1.3. Sistem kesetimbangan dari tegangan tali yang mempunyai beban W dengan
penggambaran diagram gaya-gayanya.
C
B
A
C
BA
TB
TA
600
60
W
Ftot
TB
TA
1500
WW
TA
60
60
TB
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
3/24
3
Untuk menyelesaikan persoalan pada gambar 1.3.a, dibuat diagram gaya-
gayanya pada gambar 1.3b. Dengan menggunakan syarat kesetimbangan pada arah
sumbu horizontal diperoleh
0 0 0
cos60 sin 60 tan 60B A B AT T T T = = .Syarat kesetimbangan pada arah vertikal diperoleh
0 0 0
2 00 0 0
0
sin 60 cos 60 tan 60 50 1,73 86,5
sin 60 3 1sin 60 cos60 cos60 50 2
cos 60 4 2
B A B A
B A A A
T T W T T N
W T T T T
= + = = =
= = =
50W N=
Pada diagram vektor dari gambar 1.3c, perhitungan diatas dapat pula diungkapkan
sebagai penjumlahan vektor berikut : Penjumlahan Vektor TA dan TB akan
menghasilkan vektor Ftot. Karena berada dalam kesetimbangan maka harga beban W
akan sama dengan harga Ftot yang diungkapkan sebagai
2 2 02 . cos150tot A B A BW F T T T T = = + +
( )22 0 0 0tan 60 2 . tan 60 cos150A A A AT T T T = + +
( )1
2
1 3 2 3. 3 50A A
T T N= + + = = .
1.3 Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan
Menggunakan koordinat-koordinat basis Kartesian.
Dalam perhitungan penjumlahan vektor-vektor dapat diungkapkan secara
analitis dalam bentuk koordinat-koordinat, khususnya dalam basis-basis kartesian.
Dalam koordinat kartesian, vektor A dapat diungkapkan dalam bentuk basis-basis
kartesian
A =Axi+Ayj+Azk, (1.4)
dimana i,jdan kadalah vektor-vektor basis dari koordinat kartesian pada arah sumbu
x, y dan z berturut-turut yang bersifat orthonormal. Vektor-vektor orthonormal adalah
merupakan gabungan dari sifat-sifat orthogonal (saling tegak lurus) dan normal (harga
mutlaknya bernilai satu), yaitu
Orthogonal : ij k, (1.5)
Normal : i= j= k= 1. (1.6)
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
4/24
4
Komponen-komponen vektor pada arah sumbu-x, y dan z dari vektor A yang
merupakan proyeksi dari vektor A terhadap sumbu koordinat-koordinat x, y dan z
menurut gambar 1.4, dapat diungkapkan sebagai
cos , cos , cosx y zA A A A A A = = = = = =A i A j A ki i i
, (1.7)
dimana pada persamaan diatas terdapat bentuk perkalian titik (skalar) dari vektor A
dengan vektor-vektor basis i, j dan k. Catatan bahwa jika A lenyap, maka semua
komponennya pada arah sumbu x, y dan z secara individual juga harus lenyap, yaitu
A= 0, maka harus berlaku 0x y zA A A= = = . (1.8)
Gambar 1.4. Komponen kartesian dari vektor A.
Sebagai illustrasi penggunaan metoda penjumlahan vektor secara analitis dengan
menggunakan vektor-vektor basis kartesian (hanya diambil pada kasus dua dimensi
pada bidangxy) dapat dilihat pada contoh 2.
Contoh 2 : Hitunglah penjumlahan vektor A + B, dimana vektor-vektor
tersebut mempunyai titik awal pada sumbu koordinat (0, 0) dengan arah vektornya
didefinisikan sebagai
A= -3i+ 4j dan B= 4i + 2j
Jawab :
Misalkan vektor Cmerupakan vektor yang dihasilkan dari penjumlahan vektor Adan
B, dengan Cmerupakan harga mutlak dari vektor Ctersebut.
C =A +B =-3i+ 4j + 4i + 2j= i+6j
C= C=2 2 2 21 6 37x yC C+ = + =
A
(Ax,Ay, 0)
Az
Ay
Ax
(Ax,Ay,Az)
z
y
x
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
5/24
5
Gambar 1.5. Penjumlahan vektor secara analitis dengan menggunakan basis-basis koordinat kartesian
Penggambaran penjumlahan vektor A+ B secara analitisadalah dengan menguraikan
masing-masing vektor Adan Bdalam komponen sumbu-x dan y. Vektor-vektor yang
sudah searah sumbu-x dapat dijumlahkan lebih mudah karena segaris yaitu Cx= Ax+
Bx. Kasus yang sama berlaku pada penjumlahan searah sumbu-y, yaitu Cy= Ay+ By.
Penjumlahan vektor C= A+ Bdapat diperoleh dari penjumlahan vektor C= Cx+ Cy
= i+ 6j.
Beberapa bentuk hukum-hukum Aljabar Vektor adalah
A+ B = B + A, (Hukum kommutatif untuk penjumlahan) (1.9)
A+ (B + C) = (A+ B) + C (Hukum assosiatif untuk penjumlahan) (1.10)
m(nA) = (mn)A= n(mA) (Hukum assosiatif untuk perkalian skalar) (1.11)
(m+ n)A= mA+ nA (Hukum distributif) (1.12)
m(A+ B) = mA+ mB (Hukum distributif) (1.13)
1.4 Perkalian Skalar atau Perkalian Titik.
Pada persamaan (1.7) telah dibahas bentuk perkalian titik atau perkalian skalar
dari vektor A dengan vektor-vektor basis i, j dan k dari koordinat kartesian yang
menghasilkan proyeksi vektor Adalam koordinat kartesian tersebut yaitu Ax, Aydan
Az. Jika didefinisikan vektor lain B =Bxi+ Byj+Bzk, maka perkalian titik diantara
vektor Adan vektor Bdengan menggunakan persamaan (1.7) didefinisikan sebagai
6
2
-3 40
Cy
Cx
By
Bx
Ay
Ax
C
B
A
x
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
6/24
6
( )x y z x y zB B B B B B= + + = + +A B A i j k A i A j A ki i i i i
x x y y z z x x y y z zB A B A B A A B A B A B= + + = + + , (1.14)
dimana pada perkalian titik berlaku hubungan
=A B B Ai i . (1.15)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (1.14), maka dapat didefinisikan
( ) ( )x y z x y zA A A B B B= + + + +A B i j k i j ki i
( ) ( ) ( )x x y z y x y z z x y zA B B B A B B B A B B B= + + + + + + + +i i j k j i j k k i j ki i i
x x y y z zA B A B A B= + + , (1.16)
yang menunjukkan perkalian titik diantara vektor-vektor basis (satuan) dari koordinat
kartesian dapat didefinisikan sebagai
1,= = =i i j j k ki i i (1.17a)
0.= = =i j j k k ii i i (1.17b)
Persamaan (1.17) menunjukkan pada koordinat kartesian, perkalian skalar diantara
dua basis yang sama (sudah tentu searah) akan menghasilkan nilai 1, sedangkan
perkalian skalar diantara dua basis yang saling tegak lurus (karena koordinat kartesian
adalah koordinat yang orthogonal / tegak lurus) akan menghasilkan nilai nol. Nilai
mutlak kuadrat dari vektor Adapat diungkapkan sebagai
( ) ( )2 x y z x y zA A A A A A A= = + + + +A A i j k i j ki i
2 2 2
x y zA A A= + + . (1.18)
Secara umum perkalian titik dari vektor A dan Bdapat diungkapkan dalam
bentuk penggambaran berikut
Gambar 1.6. Perkalian skalar A i B=ABcos
B
z
y
x
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
7/24
7
Misalkan proyeksiABdari A pada arah sebuah vektor B0 sebagaiAB=Acos =
A Bi , dimana /B=B B adalah vektor satuan pada arah Bdan adalah sudut diantara
A dan B seperti diperlihatkan pada gambar 1.6, maka akan diperoleh hubungan
( ) ( ) cosB AB A B A AB AB = = = = =A B A B A Bi i i . (1.19)
Dalam fisika, kerja yang dilakukan pada partikel ketika bergerak dari titik awal ke
titik akhir, dapat diungkapkan sebagai berikut
akhir
awalW d= F ri . (1.20)
dimana Fmenyatakan gaya yang bekerja pada partikel tersebut sepanjang lintasan dr.
Contoh 3 : Sebuah mobil bermassa 2 ton meluncur di atas jalan dengan sudut
kemiringan 300
, mengarah ke atas dengan kecepatan tetap 45 km/jam. Jika gesekandiantara ban dan jalan diabaikan, tentukan usaha total yang dilakukan oleh gaya-gaya
yang diperlihatkan pada gambar 1.7 dibawah, selama 5 menit. Anggaplah percepatan
gravitasi g = 10 m/det2.
Gambar 1.7. Sistem gaya-gaya yang bekerja pada mobil.
Misalkan didefinisikan vektor-vektor satuan yang searah kecepatan mobil sebagai a1
dan vektor yang tegak lurus terhadap kecepatan mobil sebagai a2, sehingga dapat
didefinisikan
F1= mgsin 30oa1, F2= mgcos 30
oa2, N=Na2 dan F= Fa1,
dengan a1 i a2 = 0. Karena mobil bergerak dengan kecepatan konstan, maka
berdasarkan hukum Newton kedua dengan percepatan a= 0, yaitu
mg
a2
a1
30
F
F1= mgsin 30o
F2= mgcos 30o
N
30
v= konstanS
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
8/24
8
0F= , searah vektor a1dan a2.
akan diperoleh
0 2sin30 2000kg .10m/ det .0,5 10.000NF mg= = = .
Kecepatan mobil v= 45 km/jam = 45.000 m/3600 det. = 12,5 m/det. Jarak yang telah
ditempuh selama 5 menit = 300 detik adalah S = 12,5 m/det . 300 detik = 3750 m.
Usaha total yang dilakukan oleh gaya-gaya F2, N dan F (gaya F1 tidak dihitung
karena sudah digantikan oleh gaya F) untuk memindahkan mobil tersebut sejauh 3750
meter adalah
Wtotal= F2 i S+ N i S+ F i S
= mgcos 30oa2 i Sa1+Na2 i Sa1 + Fa1 i Sa1
= FS = 10.000 N . 3750 m = 3,75 . 107Joule.
Jadi dapat disimpulkan bahwa usaha yang dilakukan untuk memindahkan benda
hanya disebabkan oleh gaya-gaya yang searah dengan perpindahan benda,
sedangkan gaya-gaya yang tegak lurus terhadap perpindahan benda tidak
menyumbangkan terhadap besarnya usaha tersebut.
Misalkan vektor C merupakan penjumlahan dari vektor A dan B dengan bagan
yang digambarkan seperti dibawah ini
Gambar 1.7. Bentuk segitiga yang dibangun oleh vektor-vektor A, Bdan C.
Perkalian skalar dari vektor Cdapat diungkapkan sebagai
( ) ( )= + +C C A B A Bi i
2 2 2 2 22 2 cosC A B A B A B = + + = + +A Bi
2 2 2 2 cosC A B A B = + , (1.21)
dimana berlaku hubungan ( )0cos cos 180 cos = = . Formulasi (1.21) sejalan
dengan formulasi sisi terpanjang dari segitiga pada persamaan (1.2) melalui aturan
cosinus.
BC
A
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
9/24
9
1.5 Perkalian Cross.
Bentuk lain perkalian diantara dua vektor adalah yang dinamakan perkalian
cross. Berbeda dengan bentuk perkalian skalar (titik) yang menghasilkan bentuk
skalar maka bentuk perkalian cross akan menghasilkan bentuk vektor. Perkalian cross
dari vektor Adan Byang menghsilkan vektor C, dapat diungkapkan sebagai berikut
=A B C , dengan C=ABsin, (1.22)
dengan adalah sudut diantara vektor Adan B. Penggambaran bentuk perkalian cross
yaitu pada gambar 1.8 dan untuk menentukan arah vektor Cdari bentuk =A B C ,
dapat ditentukan dari aturan tangan kanan pada gambar 1.9.
Gambar 1.8. Diagram vektor vektor dari perkalian vektor =A B C
Gambar 1.9. Aturan tangan kanan untuk menentukan arah vektor Cdari bentuk perkalian vektor =A B C
B
B
A
z
y
x
C
A
B
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
10/24
10
Pada gambar 1.8, diperlihatkan bentuk diagram vektor dari perkalian vektor
=A B C , dimana vektor-vektor A dan B berada pada bidang koordinat xy dan
vektorC
pada arah sumbu z. VektorC
selalu tegak lurus terhadap vektor-vektorA
dan B.Vektor Bpada gambar 1.8 dapat digeser-geser dari titik tangkapnya (vektor B
hanya satu buah dan bisa digeser ke depan). Sudut adalah sudut diantara vektor A
dan B. Pada gambar 1.9 diperlihatkan arah dari vektor Cdengan menggunakan aturan
tangan kanan. Apabila telapak tangan kanan diputar dari vektor Amenuju vektor B,
maka jari jempol akan menunjukkan arah vektor Cyang selalu tegak lurus terhadap
vektor Adan B. Pada perkalian cross berlaku hukum anti kommutasi
= A B B A , (1.23)
sehingga menghasilkan persamaan
0 =A A . (1.24)
Demikian pula untuk vektor satuan berlaku persamaan
0, = = =i i j j k k (1.25)
dan
, , , = = =i j k j k i k i j (1.26)
, , . = = = j i k k j i i k j
Untuk kasus koordinat kartesian dengan definisi vektor-vektor A =Axi+ Ayj+ Azk
dan B =Bxi+Byj+Bzk, maka perkalian vektor A B yang menghasilkan vektor C
= Cxi+ Cyj+ Czk, dapat dituliskan dalam bentuk determinan berikut
x y z
x y z
A A A
B B B
= =
i j k
C A B
( ) ( ) ( )y z z y x z z x x y y xA B A B A B A B A B A B= + C i j k , (1.27)sehingga diperoleh komponen-komponen kartesian dari vektor Csebagai
, ,x y z z y y z x x z z x y y xC A B A B C A B A B C A B A B= = = . (1.28)
Untuk bentuk perkalian ( )A A Bi dan ( )B A Bi , dapat diungkapkan sebagai
berikut
( ) ( ) ( ) ( ) 0x y z z y y z x x z z x y y xA A B A B A A B A B A A B A B = + + =A A Bi , (1.29)
dimana dengan cara yang sesuai akan diperoleh
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
11/24
11
( ) 0 =B A Bi . (1.30)
Beberapa sifat dari hukum-hukum perkalian vektor dapat diungkapkan sebagai
berikut
( ) + = + A B C A B A C , (1.31a)
( )x y z
x y z
x y z
A A A
B B B
C C C
=A B Ci ,
x y z y z x z x y z y x y x z x z yA B C A B C A B C A B C A B C A B C= + + , (1.31b)
( ) ( ) ( ) = A B C B A C C A Bi i , (1.31c)
( ) ( ) ( ) = A B C B A C A B Ci i , (1.31d)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = A B C D A C B D A D B Ci i i i i , (1.31e)
( ) ( ) ( ){ } ( ){ } = A B C D C A B D D A B Ci i ,
( ){ } ( ){ }= B A C D A B C Di i . (1.31f)
Berbagai bentuk aplikasi fisika yang menggunakan perkalian vektor adalah
1. Hubungan diantara momen torka dengan gaya F dan lengan gaya r yang
didefinisikan sebagai= r F . (1.32)
2. Hubungan diantara kecepatan linier vdari sebuah partikel yang berputar pada
lintasan berbentuk lingkaran dengan kecepatan sudut dan jarakpartikel dari
pusat koordinatr,
= v r . (1.33)
3. Hubungan diantara momentum sudut suatu partikel L dengan jarak partikel
dari pusat koordinatrdan momentum linier p,= L r p . (1.34)
4. Dalam elektromagnetik dikenal adanya gaya MF yang disebabkan oleh muatan
listrik qyang bergerak sebesar vdan berada dalam pengaruh medan magnetik
homogen B,
M q= F v B . (1.35)
5. Dalam fisika zat padat dikenal adanya tiga vektor primitif dari kisi-kisi
reciprocal,
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
12/24
12
( )
( )2 3
1
1 2 3
2 =
a ab
a a ai ;
( )
( )3 1
2
1 2 3
2 =
a ab
a a ai ;
( )
( )1 2
3
1 2 3
2 =
a ab
a a ai, (1.36)
dimana a1, a2 dan a3adalah himpunan vektor-vektor primitif yang langsung
terukur dari bentuk kisinya.
(a) (b)
Gambar 1.10. Pada gambar (a) diperlihatkan puntiran oleh gaya F yang dinamakan torka .Sedangkan
pada gambar (b) diperlihatkan kecepatan sudut yang berarah tegak lurus terhadap
bidang lingkaranpada gerak melingkar.
(a) (b)
Gambar 1.11. Pada gambar (a) diperlihatkan akibat bergeraknya muatan q dalam pengaruh medan
homogen B akan memunculkan gaya FM yang membuat lintasan partikel menjadi lingkaran. Pada
gambar (b) vektor momentum sudut yang tegak lurus terhadap vektor posisi dan vektor momentum
linier dari partikel.
v
r
z
y
x
Arah vektor masuk
ke bidang kertasF
r
RFM
v
q
B
p
r
z
y
x
L
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
13/24
13
Pada gambar 1.10a diperlihatkan puntiran pada baud dengan menggunakan
kunci inggris. Puntiran yang dikerjakan oleh gaya F dinamakan momen torka
dengan arah vektornya masuk ke bidang kertas (tanda cross menyatakan vektor
yang arahnya masuk kebidang kertas dan tanda titik untuk arah keluar dari bidangkertas. Pada gambar 1.10 dan 1.11 tanda dan bukan diartikan sebagai tanda
perkalian titik dan cross tapi sebagai arah tanda vektor yang keluar atau masuk bidang
kertas). Pada gambar 1.10b diperlihatkan rotasi dari sebuah partikel yang mengelilingi
sumbu z dengan lintasan berbentuk lingkaran yang mempunyai jarak sebesar r dari
pusat koordinat. Arah dari vektor kecepatan sudut adalah tegak lurus terhadap
bidang lingkaranpada gerak melingkartersebut.
Pada gambar 1.11a diperlihatkan sebuah partikel bermuatan q yang sedangbergerak dengan kecepatan v dalam pengaruh medan magnet homogen B (tanda
berarti arahnya keluar bidang kertas) akan mengakibatkan munculnya gaya magnet
FM yang berarah tegak lurus terhadap vdan B. Munculnya FM akan merubah lintasan
partikel menjadi lingkaran. Pada gambar 1.11b, memperlihatkan vektor dari
momentum sudut partikel yang tegak lurus terhadap vektor posisi dan vektor
momentum linier dari partikel.
Pada sistem kesetimbangan statik dari benda tegar, maka terdapat dua
persyaratan yang harus dipenuhi yaitu kesetimbangan translasi dan kesetimbangan
rotasi. Pada kesetimbangan translasi berlaku hukum Newton kedua 0F= ,
sedangkangkan syarat kesetimbangan rotasi berlaku aturan semua momen torka
adalah nol disetiap titik, 0= (tidak harus terletak pada koordinat benda tegar tapi
juga bisa diluar koordinat benda tegar).
Gambar 1.11. Sistem kesetimbangan statik dari benda tegar (batang AB).
fA
NA
NC
D
W
O A
C
3 m
4 m
1 mB
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
14/24
14
Contoh 4 : Sebuah batang ABhomogen dengan panjang 6 m dan berat 200 N
bersandar pada dinding dengan jarak BC= 1 m. Jika dinding C licin dan lantai OA
kasar, kemudian jarak OC= 3 m seperti yang terlihat pada gambar 1.11, tentukanlah
koefisien gesekan diantara lantai dan batang jika batang dalam kesetimbangan statik.
Jawab :
W= 200 N ; sin 0,6 ; cos 0,8 = = ; 3DA m=
Diagram gaya-gaya dari gambar 1.11 dapat diungkapkan sebagai berikut :
Dari kesetimbangan translasi diperoleh :
0 sin 0,6 ; 0,6
0 cos 0,8
x A C C s A C
y C A C A
F f N N N N
F W N N N N
= = = =
= = + = +
Dari kesetimbangan rotasi diperoleh
0,= diambil pusat rotasinya di titik O (Bisa bebas dimana saja), diperoleh :
( ) ( ) 0OC Cy Cx OD OA A A= + + + + = r N N r W r N f
( ) ( ) ( ) ( )3 cos sin 1,6 1,8 4 0C C A AN N W N f + + + + =j j i i j j i j i
Dengan menggunakan aturan pada persamaan (1.20) dan (1.21), diperoleh
3 sin 1,6 4 0C AN W N + =k k k
yang menghasilkan persamaan :
( )4 1,6 3 sin 1,6 0,8 1,8A C C A CN W N N N N= + = + + , atau
2,4 3,08 ; 0,78CA CA
NN N
N= =
Koefisien gesekan statis : 0,6 0,6 0,78 0,47CsA
N
N
= = =
Cara lain dapat dihitung untuk pusat rotasi yang berbeda, misalkan
Diperoleh :
1 ,DD CO
DA CA=
1
33 1,8
5DD m= =
2DD OA
CD CA=
2
42 1,6
5DD m= =
NCy= NCcos
1 6
1 8 D2
y (m)
D1
fA
NA
NCx= NCsin
D
W
OA
C3
4
x (m)
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
15/24
15
0,= diambil pusat rotasinya di titik A. Pada kasus ini berarti momen torka yang
ditimbulkan oleh gaya NAdan fAakan nol karena tidak mempunyai lengan gaya ( r=
0), diperoleh
( ) 0AC Cy Cx AD= + + = r N N r W
( ) ( ) ( ) ( )4 3 cos sin 2,4 1,8 0C CN N W + + + + =i j j i i j j
4 cos 3 sin 2,4 0C CN N W + =k k k
( )4cos 3sin 2,4CN W + = 96CN N= ,
0,8 200 0,8 96 123, 2A CN W N N= = =
Sehingga diperoleh nilai / 0,78C AN N = , yang sama dengan perhitungan sebelumnya
dan menghasilkan nilai koefisien gesekan 0,47s = .
Contoh 5 : Jika diketahui vector-vektor primitive untuk kisi-kisi simple cubic
(sc), body centered cubic (bcc) dan face-centerd cubic masing-masing adalah
1 2 3; ;a a a= = =a i a j a k untuk sc
( )11 2 3 2; ;a a a= = = + +a i a j a i j k untuk bcc
( ) ( ) ( )1 1 11 2 32 2 2; ;a a a= + = + = +a j k a i k a i j untuk fcc
Carilah vektor primitif dari kisi-kisi reciprocal untuk kisi-kisi sc, bcc dan fcc.
Jawab :
Untuk kisi sc :
( )
( )
( )
( )2 3
1
1 2 3
2 2 2 2
a a a
= = = =
a a j k ib i
a a a i j k i ii i i
( )
( )
( )
( )3 1
2
1 2 3
2 2 2
a a
= = =
a a k ib j
a a a i j ki i
( )
( )1 2
3
1 2 3
2 2
a
= =
a ab k
a a ai
Untuk kisi bcc
1
2
a
=
b i ; 2
2
a
=
b j
( )
( )
{ }
( ){ } { }1 2
3 11 2 3 2
2 2 4 4
a a a
= = = =
+ + +
a a i j kb k
a a a i k ii j i j ki ii
Untuk kisi fcc : ( ) ( ) ( )1 1 11 2 32 2 2; ;a a a= + = + = +a j k a i k a i j
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
16/24
16
( )
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( )1 12 22 3
1 1 1 11 2 3 2 2 2
22 2a a
aa a a
+ + = = = +
+ + +
i k i ja ab k j i
a a a j k i k i ji i
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
1 12 23 1
2
1 1 11 2 3 2 2 2
22 2a a
aa a a
+ + = = = +
+ + +
i j j ka ab k j i
a a a j k i k i ji i
( )
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
( )1 12 21 2
3 1 1 11 2 3 2 2 2
22 2a a
aa a a
+ + = = = + +
+ + +
j k i ka ab k i j
a a a j k i k i ji i
Contoh 6 : Dengan menggunakan hubungan momentum putar = L r p dan
p i = , ( ), ,x y z= , carilah komponen momentum putar , danx y zL L L .
Jawab :
x y z
x y z
p p p
= =i j k
L r p ( ) ( ) ( )z y x z y xy p z p z p x p x p y p= + + i j k ,
diperoleh hubungan dengan notasi xx
,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x z y z y
y x z x z
z y x y x
L y p z p i y z
L z p x p i z x
L x p y p i x y
= =
= =
= =
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
17/24
17
1.6 Gradien dari Potensial Skalar, V
Misalkan didefinisikan fungsi skalar potensial ( ), ,V x y z yang dapat dituliskan variasi
totalnya dengan menggunakan turunan parsial sebagai
V V VdV dx dy dz
x y z
= + +
. (1.37)
Dalam kasus medan listrik statik, untuk memindahkan muatan listrik dari suatu titik
tertentu ke tempat lain yang jaraknya berhingga dibutuhkan suatu kerja yang dapat
dituliskan sebagai
akhir
awal
W q d= E Li , (1.38)
dimana lintasan L yang ditempuh harus ditentukan sebelum integral tersebut dapat
dihitung. Pada kedudukan awal dan kedudukan akhir muatan listrik q dianggap dalam
keadaan diam. Kuantitas vektor E dinamakan medan listrik atau intensitas medan
listrik. Adapun definisi potensial (atau beda potansial) V adalah merupakan kerja
(oleh sumber luar) untuk memindahkan satu satuan muatan positif dari suatu titik ke
titik lain dalam medan listrik, yang dapat dituliskan sebagai
akhir
awal
V d=
E Li . (1.39)
Bentuk integrasi pada persamaan (1.39) dapat dituliskan dalam bentuk differensial
pada koordinat kartesian tiga dimensi sebagai
x y zdV d E dx E dy E dz= = E Li . (1.40)
Dengan menyamakan persamaan (1.40) dengan (1.37) maka akan diperoleh hubungan
,xV
Ex
=
,y
VE
y
=
,z
VE
z
=
(1.41)
dimana medan total E dari sebagai fungsi medan-medan listrik pada koordinat
kartesian dapat dituliskan sebagai
x y zE E E E Vx y z
= + + = + +
i j k i j k . (1.42)
Pada persamaan (1.42) terdapat kuantitas vektor yang dinamakan gradien potensial
V, yang dapat didefinisikan dalam koordinat kartesian sebagai
V Vx y z
= + + i j k , (1.43)
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
18/24
18
dimana dinamakan notasinabla. Formulasi medan listrik dapat dituliskan sebagai
negatif dari gradien potensial,
V= E . (1.44)
Gambar 1.12. Kubus dengan sisi-sisi 0,x 0y dan 0z .
Misalkan potensial V(x) keluar dari pusat kubus melalui enam permukaan
kubus dengan masing-masing sisi-sisi kubus adalah sebesar x , y dan z yang
mendekati nol panjangnya. Jika bagian potensial yang berada pada pusat kubus (atau
pusat koordinat O) adalah V0, maka potensial V(x,y,z) yang keluar dari permukaan
EFGHdapat diungkapkan sebagai
( ) ( ) ( )
2 2
0 02
, , , ,1, , ...
2 2! 2 2
V x y z V x y zx x x VV x y z V V
x x x
= +
, (1.45)
dengan kuantitas / 2x adalah jarak dari pusat koordinat (0,0,0) ke permukaan
EFGH dari sumbu koordinat x. Sedangkan besarnya vektor luasan EFGH dapat
dituliskan sebagai
EFGHd y z= S i , (1.46)
sehingga diperoleh
02
EFGH
x VV d V y z
x
=
S i . (1.47)
Untuk kasus permukaanABCD, dengan cara yang sesuai akan diperoleh
12
x
G H
F
C
A
z
y
x
E
D
B
12
z
12
y
Pusat koordinat :
O (0, 0, 0)
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
19/24
19
02
ABCD
x VV d V y z
x
= +
S i , (1.48)
dengan kuantitas / 2x adalah jarak dari pusat koordinat (0,0,0) ke permukaanABCD
dari sumbu koordinat +x. Jika persamaan (1.47) dan (1.48) dijumlahkan diperoleh
EFGH ABCD
VV d V d x y z
x
+ =
S S i . (1.49)
Dengan cara yang sama untuk penjumlahan integral dari permukaan lainnya diperoleh
ACGE BDHF
VV d V d x y z
y
+ =
S S j , (1.50)
dan
ABEF CDGH
VV d V d x y z
z
+ =
S S j . (1.51)
Integral untuk seluruh permukaan pada kubus ( 6 permukaan) dapat dituliskan sebagai
EFGH ABCD ACGE BDHF ABEF CDGHV d V d V d V d V d V d V d = + + + + + S S S S S S S
V V Vx y z
x y z
= + +
i j k , (1.52)
sehingga gradien V dapat dituliskan sebagai
0lim
V dV V
x y z
= + + =
Si j k
, (1.53)
dengan elemen volume x y z = .
1.7 Divergensi dari Vektor Kerapatan Fluks Listrik, D.
Salah satu aplikasi dari kasus medan listrik yang diakibatkan oleh mengalirnya
fluks-fluks listrik dikenal sebagai hukum Gauss. Untuk meninjau hukum Gauss secara
matematis, maka ditinjau gambar 1.13 berikut : Distribusi muatan (awan muatan)
terlingkungi dalam suatu permukaan tertutup yang berbentuk sembarang. Jika muatan
totalnya adalah Q maka akan mengalir fluks-fluks listrik yang akan menembus
permukaan yang melingkungi awan muatan tersebut. Jika ditinjau pada suatu elemen
luasan tertentu dengan arah vektor luasan dS, maka arah vektor kerapatan fluks listrik
Dspada elemen luasan tersebut akan membentuk sudut terhadap vektor dS. Ds, normal
merupakan proyeksi Dsterhadap vektor luasan dS.
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
20/24
20
Gambar 1.13. Distribusi muatan Q yang terlingkungi permukaan tertutup yang akan mengalirkan
fluks-fluks listrik yang menembus permukaan tertutup tersebut.
Hukum Gauss dari permukaan tertutup tersebut dapat didefinisikan sebagai berikut:
Fluks listrik yang menembus setiap permukaan tertutup sama dengan muatan total
yang dilingkungi oleh permukaan tersebut.
Bentuk hukum Gauss secara matematis adalah
permukaantertutup
sQ d= = D Si , (1.54)
dimana Q adalah muatan total yang terlingkungi muatan tertutup tersebut dan
adalah fluks-fluks yang menembus permukaan tertutup dengan elemen permukaan dS.
Jika muatan total Q dapat diungkapkan dalam bentuk formulasi kerapatan muatan
volumemaka akan diperoleh hubungan
S s d d
= D Si , (1.55)
dimana d adalah elemen volume. Untuk melihat hubungan diantara hukum Gauss
dengan divergensi dari kerapatan fluks listrik Ds, maka dilihat kembali bentuk kubus
pada gambar 1.12. Jika muatan total Qberada pada pusat kubus (titik O) , maka fluks
listrik akan mengalir menembus enam permukaan kubus tersebut, sehingga dapat
dituliskan sebagai
S EFGH ABCD ACGE d d d d = + + D S D S D S D Si i i i
BDHF ABEF CDGH
d d d+ + +
D S D S D Si i i . (1.56)
dS
Ds
Ds, normal
Q
dS
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
21/24
21
Komponen kerapatan fluks listrik Dpada titik O dapat dituliskan sebagai
0 xo yo zoD D D= + +D i j k . (1.57)
Integral bagian pada persamaan (1.56) adalah
belakang belakang x,belakang x,belakangEFGH
d D y z D y z= = = D S D S i ii i i , (1.58)
dimana x,belakangD dapat dituliskan seperti pada persamaan (1.45) yaitu
x,belakang2
xxo
DxD D
x
, (1.59)
sehingga diperoleh
2
xxo
EFGH
Dxd D y z
x
= +
D Si . (1.60)
Untuk fluks listrik yang keluar dari permukaan depanABCD, maka dapat dituliskan,
x,depan2
xxo
DxD D
x
+
, (1.61)
sehingga diperoleh
2
xxo
ABCD
Dxd D y z
x
= +
D Si . (1.62)
Penjumlahan persamaan (1.60) dan (1.62) menghasilkan persamaan
x
EFGH ABCD
Dd d x y zx
+ =
D S D Si i . (1.63)
Dengan cara yang sama untuk integral-integral permukaan atas, bawah, kiri dan kanan
akan menghasilkan
z
ABEF CDGH
Dd d x y z
z
+ =
D S D Si i , (1.64)
y
ACGE BDHF
Dd d x y z
y
+ =
D S D Si i , (1.65)
sehingga diperoleh hasil
S
y yx xz zD DD DD D
d x y zx y z x y z
= + + = + +
D Si . (1.66)
Dari persamaan (1.66) dapat didefinisikan divergensi dari kerapatan fluks listrik D
sebagai berikut
S
0Div lim
yx zdDD D
x y z
= = + + =
D SD D
i
i
. (1.67)
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
22/24
22
Dengan menggunakan persamaan (1.54) diperoleh hukum Maxwell pertama dalam
bidang kelistrikan yaitu
0lim
Q
= =
Di , (1.68)
sehingga persamaan (1.55) dapat dituliskan kembali sebagai
( )S
d d
= D S Di i . (1.69)
Persamaan (1.69) dinamakan sebagai teorema Gauss pada kasus divergensi dari
sebuah vektor D.
1.8 Curl dari Vektor Intensitas Medan Magnet, H.
Untuk menghitung curl dari medan magnet H dengan menggunakan gambar 1.14,
anggaplah terdapat sebuah penghantar yang sangat panjang (l= ) yang mengangkut
sebuah arus Ipada arah sumbu z (ditandai dengan tanda ), dimana besarnya medan
magnetBpada suatu jarak tegak lurusRterhadap kawat lmenurut hukum Biot Savart
adalah
0
2
IB
R
= atau
2
IH
R= , (1.70)
dimana 0B H= .
Gambar 1.14. Lintasan tertutup berbentuk segiempat dari medan H disekitar kawat arus listrikIdengan
panjang tak berhingga pada arah sumbu z.
x
1
2
3
4
Hx
H
y
I
x
y
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
23/24
23
Jika pada bidang xy dibuat lintasan tertutup dari medan H berbentuk segiempat
dengan panjang dan lebar sebesar x dan y , maka menurut hukum Ampere (hanya
berlaku untuk kawat arus listrik yang sangat panjang) berlaku hubungan
I d= H ri , (1.71)dimana radalah lintasan tertutup dari medan H tersebut (bukan panjang kawat arus
berlistrik). Untuk kasus lintasan tertutup berbentuk segiempat 1234, diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4x y x yd H x H y H x H y= + + H ri , (1.72)
dimana tanda negatif karena arah medan yang ke kiri atau ke bawah. Untuk kasus
, 0x y , maka dapat diadakan pendekatan
( ) ( )1 3 xx xH
H H yy
= + , (1.73)
sehingga diperoleh,
( ) ( )3 1 xx xH
H H x x yy
=
. (1.74)
Dengan cara yang sama akan diperoleh hubungan dari dua sirkulasi yang lainnya
yaitu
( ) ( )4 2 y
y y
H
H H y x yx
= , (1.75)
sehingga diperoleh sirkulasi disekitar bujur sangkar adalah
( ){ }y xH H
d x y x yx y
= =
H r H ki i
( ) ( ) ( )S= = H k H Si i
( )s
d d= H r H Si i , (1.76)
dimana S adalah permukaan yang dilingkungi oleh lintasan r, dengan arah vektor
luasannya kearah sumbu z, d dS=S k . Persamaan (1.76) dikenal sebagai teorema
Stokes. Dengan menggunakan hukum Ampere (1.71), dimana arus listrik I diubah
dalam bentuk formulasi kerapatan arus J, diperoleh
( )s s
d I d = = H S J Si i , (1.77)
yang menghasilkan hukum Maxwell kedua dalam bidang kemagnetan yaitu
=H J . (1.78)
Misalkan didefinisikan vektor D dapat diungkapkan sebagai berikut
-
5/24/2018 BAB 1 Fismath (Analisis Vektor)
24/24
24
( ) ( ), , , ,x y z D x y z=D a , (1.79)
dimana a adalah sebuah vektor dengan niali konstan tetapi mempunyai arah yang
berubah-ubah. Dengan menggunakan teorema Gauss (1.69), diperoleh
( ) ( )S Sd D d D d D d = = = D S a S a ai i i i . (1.80)
Persamaan (1.80) di atas dapat dituliskan sebagai
( ){ }S
0D d D d
= a Si . (1.81)
Karena |a||||0 dan arah vektornya berubah-ubah, yang berarti cosinus dari sudut yang
dimasukkan tidak dapat selalu lenyap, yang berarti persamaan dalam kurung kurawal
pada (1.81) harus berharga nol, yang dapat dituliskan sebagai,
( )S D d D d = S . (1.82)
Jika kemudian didefinisikan = D a P , dimana aadalah sebuah vektor yang konstan,
kemudian persamaan (1.82) dikalikan dengan vektor atersebut diperoleh
( )S
d d
= D S D , (1.83)
yang menghasilkan
{ } ( ){ }S
d d
= S a P a P , (1.84)
top related