bahan kuliah matris iii

Matriks Invers

Inverse Matrices

How to find the inverse of a matrix

The minor determinant

The minor determinant that corresponds to an element is given by deleting the row and column of the element.

The minor determinant

The minor determinant that corresponds to an element is given by deleting the row and column of the element.

2 311

1 4

5 1 2

3 2 3

8 1 4

The minor determinant corresponding to the 5 is 11.

The minor determinant

The minor determinant that corresponds to an element is given by deleting the row and column of the element.

1 22

1 4

The minor determinant corresponding to the -3 is 2.

5 1 2

3 2 3

8 1 4

The minor determinant

The minor determinant that corresponds to an element is given by deleting the row and column of the element.

1 27

2 3

The minor determinant corresponding to the 8 is 7.

5 1 2

3 2 3

8 1 4

Finding Inverses 3x3

An algorithm can be followed to find the inverse of a 3x3 matrix, M.

1. Find the matrix of minor determinants.

2. Alter the signs of the minors which don’t lie on the diagonals.

3. Transpose4. Divide by det(M)

Invers dari sebuah matriks:

A adalah matriks bujur sangkar

Jika AB = BA = I maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B. (invers matriks A dinotasikan dengan A– 1)

Jika B adalah invers dari A dan C adalah invers dari A maka B = C

A = a b dan D = ad – bc 0, maka invers A

c d dapat dihitung dengan

A– 1 = (1/D) d – b

– c a

Matriks InversSuatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5.5-1 atau 5-1.5 = 1, Demikian juga halnya dengan matriks A.A-1 = A-1.A = I

Maka :

Jika tidak ditemukan matriks A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

-1 2 -5 3 5A A

-1 3 1 2

-1 -1 1 0AA A A

0 1

1) Mencari invers dengan definisi

Langkah-langkahnya : Dibuat suatu matrik invers dengan elemen-

elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya.

Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas

Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers.

A A-1 = A-1 A = I

Contoh soal :1. Carilah matrik invers dari :

Jawab : Cara 1)

Misalkan :

=

3 7A

2 5

1A.A I

1 a bA

c d

3 7

2 5

a b

c d

1 0

0 1

3a 7c 3b 7d 1 0

2a 5c 2b 5d 0 1

3a 7c 1 3b 7d 0

2a 5c 0 2b 5d 1

3a 7c 1 x 2 6a 14c 2

2a 5c 0 x 3 6a 15c 0

-c 2

c -2

2a 5c 0

2a 5c 10

a 5

3b 7d 0 x2 6b 14d 0

2b 5d 1 x3 6b 15d 3

d 3

d 3

2b 5d 1 b 7

1 a b 5 7A

c d 2 3

Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan tersebut dapat diubah menjadi bentuk matriks

berikut

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Hal.: 17 Matriks

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh :

1632 yx

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan linear

134 yx

134 yx

Jawab :

Sistem persamaan 1632 yx

Jika dibuat dalam bentuk matriks menjadi

13

16

41

32

y

x

Hal.: 18 Matriks

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Perkalian matriks berbentuk AP = B dengan

13

16,

41

32danB

y

xPA

21

34

5

1

21

34

3.14.2

11A

BAP

BAP 1

13

16

21

34

5

1

y

x

2

5

10

25

5

1

2616

3964

5

1

Jadi nilai x = 5 dan y = 2

Hal.: 19 Matriks

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan determinan atau aturan Cramer.

cbyax Misal SPL

rqypx

Maka dengan aturan Cramer, diperoleh

,

qp

baqr

bc

x

qp

barp

ca

y dan

Hal.: 20 Matriks

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh :Gunakan aturan Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear

543 yx

42 yx

111

11

)4.(21.3

)4.(41).5(

12

4314

45

x

Jawab :

Dengan aturan Cramer diperoleh

211

22

)4.(21.3

)5.(24.3

12

4342

53

y

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1,2)}.

Thank You

Soal Latihan

1.Tentukan invers matriks berikut

A = B = 2 1

3 2

2x + y = 5

x – 2y = 0y = 2x – 6

X + y = 6

2. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:

A. B.