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CALCUL MENTAL
CYCLES 2 & 3 Formations départementales 2016-2017
MC Croset ESPE Grenoble E. Touchard CPD math-sciences
1
Objectifs de la formation
• Partager un vocabulaire commun
• Identifier les enjeux du calcul mental
• Vivre et analyse une séance de calcul mental
• Concevoir son enseignement : démarches & outils pour la
classe
• Partager sa pratique et s’approprier des ressources
2
Plan
• 1 Définir les différents types de calcul
• 2. Construire une séance de calcul mental
vivre et analyser une séance
• 3. Construire une séquence de calcul mental
apports théoriques et élaboration pratique
• 4. Concevoir son enseignement
s’appuyer une programmation annuelle
3
Affirmations Vrai ou Faux à votre avis ? 1.Le calcul mental s'appuie uniquement sur la mémoire.
2.Lors de séances de calcul mental, seul le résultat peut
être écrit.
3.Le calcul mental, par exemple de 15 x 4 ou 75 : 5, permet
également de travailler les propriétés des opérations.
4.Le calcul mental permet de préparer la résolution de
problèmes.
5.La répétition fréquente des tables suffit a en assurer la
mémorisation.
6.Les compétences en calcul mental se préparent dès les
premières années de maternelle.
7.Il faut imposer aux élèves des procédures de calcul
réfléchi.
4
Fonctionnement
Calcul réfléchi
Calcul automatisé Moyens
Calcul posé
Technique opératoire non
automatisée
Calcul en ligne
Techniques opératoires :
Algorithme
Calcul mental
Procédures automatisées
ou non pour des calculs
exacts ou approchés
Calcul en ligne
Restitution immédiates des
résultats mémorisés
faits numériques
Calcul
instrumenté
Anticipation/ordre de
grandeur
Utilisation usuelle d’instruments
de calcul
5 1- Définir les différents types de calcul (COPIRELEM Juin 2012)
S’entendre sur le vocabulaire
• Calcul mental pas de traitement écrit du calcul lui-
même, même si le résultat peut être écrit (l’énoncé parfois
aussi).
• Calcul posé : usage d’une technique opératoire
• .Calcul en ligne écrits (partiels) des calculs
intermédiaires. Etape vers le calcul mental. Repose sur la
compréhension du nombre, du principe de numération
décimale et des propriétés des opérations
6 1- Définir les différents types de calcul
S’entendre sur le vocabulaire
• Calcul réfléchi élaborer une procédure adaptée en
fonction des opérations et des nombres. Fait appel au
raisonnement, à des procédures automatisées ou non.
• Calcul automatisé réponse à «a x b» ou «a + b (les
tables) restitution la plus directe possible. Pour les tables
on parle de faits mémorisés.
• Calcul rapide critère de performance pour la restitution
des tables, pas une forme de calcul
7 1- Définir les différents types de calcul
« Le calcul mental est
un calcul sur les
nombres plutôt que
sur les chiffres »
(F. Boule)
8 1- Définir les différents types de calcul
MÉMORISER LES FAITS NUMÉRIQUES
• Les doubles et moitiés
• Les décompositions (10 et par le 5)
• Compter de 10
• Les relations entre des nombres d’usage courant : entre
5, 10, 25, 50, 75, 100,
• Les relations entre 15, 30, 45 et 60.
• Les résultats des tables d’addition ? et de multiplication
….
9 1- Définir les différents types de calcul
MÉMORISER LES FAITS NUMÉRIQUES
• Faits du cycle 2
• Tables de multiplication, tables de division(illustrations)
• Compter de 100 en 100
• Compter de 0,5 en 0,5…; compter de ¼ en ¼
• Triple , quart
• Compléments à la dizaine et centaine supérieure
…
10 1- Définir les différents types de calcul
MÉMORISER DES PROCÉDURES
• Les presque doubles 8 + 7
• Ajouter / Retrancher 9, 11
• Multiplier par 11
• L’ ordre de grandeur
• Le nombre de chiffres du quotient
• Convertir un nombre de dizaines en unités
…
11 1- Définir les différents types de calcul
12
2. Une séance pour vous
2. Construire une séance de calcul mental
14
• De l’imagination… pour l’habillage
cf. organigramme, TBI
• Varier les formes de travail au sein d’une séance : au moins 3 en cycle 2; au moins 2 par séance en cycle 3
CollectifArdoise/PropositionEleveOral; IndividuelEcrit/CollectifOral;… Mais aussi TBI, Calculette, boulier, …
• Varier les types de calcul au sein d’une séance
Echauffement avec calculs faciles et sus Entraînement avec calculs automatisés Temps de calculs réfléchis
Des principes pour une séance
2. Construire une séance de calcul mental
Les enjeux du calcul mental
1. Développer des habiletés calculatoires et des
connaissances numériques
Produire des faits numériques (tables) par récupération
en mémoire ou reconstruction instantanées.
Utiliser des procédures élémentaires : compléments à la
dizaine, X par 10, +9, -9…
Mettre en œuvre des procédures variées qui utilisent les
propriétés des nombres pour résoudre des problèmes
oraux.
2. Construire une séance de calcul mental
Les enjeux du calcul mental
2. Développer des capacités de résolution de problèmes
Automatiser des calculs pour libérer de l’espace mental pour
la résolution de problèmes.
Connaitre une grande variété de procédures pour
développer les capacités d’initiative lors de la résolution de
problèmes
Connaitre les nombres et les calculs élémentaires pour
remplacer des données par des nombres plus « familiers »
2. Construire une séance de calcul mental
Les enjeux du calcul mental
3. Développer le calcul approché
Prévoir et contrôler la vraisemblance d’une réponse
Pour l’utiliser dans la vie courante
2. Construire une séance de calcul mental
• Exemple de séance de calcul mental en classe de CP
Vidéo CP
Identifier les trois phases de la séance et les supports
utilisés
A quelle étape de la séquence se situe cette séance ?
Discuter la gestion de l’erreur
18 2. Construire une séance de calcul mental
Une séquence en quatre étapes
1. Etape d’explicitation
Ex: expliquer la construction des tables de + ou X,
expliciter une stratégie : + 9, x 20, x 200…
Production d’un écrit pour expliciter les stratégies
Des séances sur un temps plus long (25 – 30 min)
19 3. Construire une séquence de calcul mental
Une séquence en quatre étapes
2. Etape d’entrainement
- utiliser une règle déjà construite
- restituer des résultats mémorisés
- accroitre la vitesse de restitution (faits/ procédures)
Des séances courtes et fréquentes (15min)
20 3. Construire une séquence de calcul mental
Une séquence en quatre étapes
3. Etape de réinvestissement
- Mobiliser les connaissances dans d’autres contextes: dans les
problèmes, sur d’autres supports (jeux)
Des séances de durée moyenne (20- 30 min)
4. Etape d’évaluation
- En fonction des connaissances : varier les formes d’évaluation
(ceintures, …)
Des séances de durées variables (5 – 15min)
+ Etape de révision
3 semaines après : faire le point et réinvestir ce qui a été vu
21 3. Construire une séquence de calcul mental
Extrait vidéo : une séance en CM2
• Repérer l’objectif de la séance.
• Identifier à quelle(s) étape(s) de la séquence en sont les
élèves.
• Comment est gérée l’hétérogénéité des élèves ?
22 3. Construire une séquence de calcul mental
23
J1 J2 J3 J4 J5
Phase
d’échauffement
Phase
d’entrainement
Phase de calcul
réfléchi
Etapes
d’apprentisasge
Cycle 2 : automatiser les résultats des presque doubles
Cycle 3 : automatiser la procédure de multiplication par 20, 30, 200…
Construire une trame de séquence sur une semaine intégrant 2
phases d’une séance type ainsi que les 4 étapes de la
démarche d’apprentissage
3. Construire une séquence de calcul mental
Les presque doubles 24
J1 J2 J3 J4 J5 ..S
Echauffe-
ment
Donner le
successeur
Donner le
prédécesseur Doubles par
furet
Doubles par
furet(varier 2x3
double de 3 ou 3+3)
R
E
V
I
S
I
O
N
Calcul
automatisé
Doubles
Doubles Automatisation de
la stratégie du
presque double
Automatisation du
résultat (chrono)
4 calculs à
l’oral
Calcul
réfléchi
Explicitation
des
stratégies.
Choix de
s’entraîner a
passer par le
double (inf)
Explicitation
de la
procédure de
s’entraîner a
passer par le
double (inf et
sup)
Addition à trou
6+… = 13
Problème
On cherche le
nombre de billes au
total. Julie a 6 billes
et Paul a 7 billes.
Combien ont-ils de
billes en tout ?
Etapes
d’apprentis-
sage
Explicitation Explicitation
Ou Entraine-
ment
Entrainement
Evaluation
formative
Réinvestissement Evaluation
3. Construire une séquence de calcul mental
Multiplier par un multiple de 10 J1 J2 J3 J4 J5 ..S
Echauffe-
ment
Qui suis-je par
un furet
Qui suis-je
par binôme
Doubles et
moitiés par
furet
Allonger la queue
du serpent 21-210-
2100…. Ecrit
Allonger la
queue du
serpent….
Oral
R
E
V
I
S
I
O
N
Calcul
automatisé
…x 2
….x 10
…x 3
…x 5
….x100
…x 20
….x 30
…x 20
….x 200
4 calculs à
l’écrit
Résolution
d’un problème
Calcul
réfléchi
u x 20
u x 200
8 x 20
4 x 200
Explicitation de
la stratégie
du x 20
u x 30
25 x 20
5 x 30
7 x 300
d0 x 20
c00 x 20
…0 x 20
…00 X 200
Problème
J’ai 20 bouquets
de 6 fleurs.
Combien ai-je de
fleurs?
Etapes
d’apprentis-
sage
Explicitation Explicitation
Ou Entraine-
ment
Entrainement
Evaluation
formative
Réinvestissement Evaluation
25 3. Construire une séquence de calcul mental
4. Concevoir son enseignement a partir…
Des compétences du socle commun
Des programmes et repères de progressivité
Une programmation annuelle
Différents types de séances
Des séances structurées en 3 phases
Des supports variés
D’outils de suivi des progrès
26
• Domaine 1: les langages pour penser et communiquer
• Domaine 2 : les méthodes et outils pour apprendre
• Domaine 4 : les systèmes naturels et les systèmes techniques
• Domaine 5 : les représentations du monde et l'activité humaine
Socle
• Mathématiques cycles 2 et 3 Nombres et calculs- Grandeurs et mesures – Espace et géométrie
Programmes 2016
• Chercher D 2, 4
• Modéliser D 1,2, 4
• Représenter D1, 5
• Raisonner D 2,3, 4
• Calculer D4
• Communiquer D 1, 3
Programmations de cycle
• Le calcul aux cycles 2 et 3
• Le calcul en ligne cycle 2
• Le calcul en ligne cycle 3
Ressources d’accompagnement
4. Concevoir son enseignement
Progression et programmation…
Les apprentissages se construisent dans la durée.
Une programmation est toujours associée aux autres apprentissages mathématiques : quand on étudie la relation centimes /euros, il est impossible d’éviter de revenir au complément à 100, la distributivité dans la technique opératoire de la multiplication doit être travaillée en calcul mental.
Des spécificités sont à respecter : les techniques du calcul mental sont à apprendre spécifiquement. Les techniques de calcul mental s’appliquent prioritairement dans les situations de la vie courante : monnaie, comparaison de mesures, échanges entre enfants.
Les techniques spécifiques au calcul mental ne pourront s’installer durablement que si elles sont comprises, c’est-à-dire reliées à des connaissances déjà installées sur les nombres et sur les opérations : sens et technique sont étroitement liés.
28 4. Concevoir son enseignement
Exemple de progressions • Compétence CP
• Ajouter ou retrancher 1
• Ajouter ou retrancher 2
• Ajouter ou retrancher 5
• Ajouter ou retrancher 10
• Connaître les décompositions de 10
• Décomposer un nombre inférieur a 10 a l’aide du nombre 5
• Décomposer un nombre inférieur a 20 a l’aide du nombre 10
• Additionner deux nombres dont la somme est inférieure à 10
• Décomposer un nombre inférieur a 10 sous forme additive (2, 3… termes)
• Connaître les doubles des nombres inférieurs à 10 et les moitiés correspondantes.
• Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées
• Calculer des sommes des différences et des compléments du type 20+7, 27-7, 20 pour aller à 27.
• Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés : 10, 20, 30, 40, 50, 100, 15, 25
29 4. Concevoir son enseignement
Exemple de progressions • Compétence CE1
• Ajouter ou retrancher 2
• Ajouter ou retrancher 5
• Ajouter ou retrancher 10
• Ajouter ou retrancher 100
• Connaître les compléments à 20
• Connaître les compléments aux dizaines supérieures à 20
• Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées
• Calculer des sommes des différences et des compléments du type 20+7, 27-7, 20 pour aller à 27.
• Calculer des sommes des différences et des compléments du type 200+37, 237-37, 200 pour aller à 237.
• Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondants
• Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés: 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15, 25
• Connaître les tables de multiplication par 2, 5, 4 puis 3.
• Multiplier par 10 et 100
• Calculer les doubles de nombres inférieurs à 50
• Calculer les moitiés de nombres pairs inférieurs à 100, connaitre des tiers
• Calculer le produit de deux nombres inférieurs à 10
30 4. Concevoir son enseignement
Exemple de progressions • Compétence CE2
• Maîtriser le répertoire additif (tables d’addition) : sommes de deux nombres entiers inférieurs à 10, compléments, différences et décompositions associés
• Connaitre les doubles, les moitiés, les triples et les tiers, les quadruples et les quarts de nombres « repères » : les multiples de 10, de 5 ; en particulier, 25, 50, 75 et 100. 15,30,45, 60, etc
• Connaître les tables de multiplication par 2, 3, 4, 5, 6 et les utiliser pour calculer un produit ou un quotient entier
• Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines, des centaines, des milliers
• Ajouter 9, Ajouter 11, ajouter 99, ajouter 101…
• Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270-70, 200 pour aller à 270, ou 2000 + 37, 2037 – 37, 2000 pour aller à 2037
• Retrancher 9, retrancher 11
• Calculer les compléments d’un nombre entier a la dizaine supérieure
• Calculer les compléments à 100
• Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur a 10) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… a un nombre quelconque, dans des cas sans retenue et dans des cas avec retenue
• Multiplier par 10, 100, 1000…sur les nombres entiers
• Diviser par 2, par 5…
31 4. Concevoir son enseignement
• Compétence CM1
• Additionner ou soustraire un nombre proche d’une dizaine ou centaine (9, 11, 19, 101, etc.)
• Calculer avec des nombres entiers, des sommes, des différences ou des compléments du type 200 + 70, 270-70, 200 pour aller à 270, ou 2000 + 37, 2037 – 37, 2000 pour aller à 2037
• Ajouter ou soustraire un nombre entier (inférieur a 10) d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers… a un nombre quelconque, dans des cas sans retenue et dans des cas avec retenue
• Calculer les compléments à 100 et à la centaine supérieure pour des nombres entiers dont, le chiffre des unités est 0
• Maîtriser le répertoire multiplicatif : produit de 2 nombres inférieurs a 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés
• Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers qui « vont bien ensemble »
• Calculer des sommes et des différences de nombres entiers de 2 chiffres (ou dont le calcul peut s’y ramener)
• Evaluer un ordre de grandeur, en utilisant un calcul approché : somme de deux ou plusieurs nombres entiers, différence de deux nombres entiers
• Connaître les relations additives entre multiples de 25 inférieurs à 100 ou de multiples de 250 inférieurs à 1000
• Multiplier par 5, par 20, par 50
• Calculer les produits d’un entier par une puissance de 10 : 30x4, 400x8, 20x30 et les quotients correspondants
• Calculer les doubles, moitiés, triples, tiers, quadruples et quarts de nombres entiers
• Calculer certaines sommes de 2 nombres décimaux (avec un chiffre après la virgule), en particulier ajouter un entier et un décimal
• Décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur
• Calculer les compléments a l’unité supérieure de nombres ayant un chiffre après la virgule
• Utiliser la connaissance des tables pour répondre à des questions du type « Combien de fois 8 dans 50 ? » Situer un nombre entre 2 résultats de table de multiplication
• Multiplier et diviser par 10, 100, 1000… sur les nombres entiers…
32 4. Concevoir son enseignement
• Compétence CM2
• Calculer des sommes de plusieurs nombres entiers qui « vont bien ensemble »
• Evaluer un ordre de grandeur, en utilisant un calcul approché : somme et différence
• Maîtriser le répertoire multiplicatif : produit de 2 nombres inférieurs à 10, recherche d’un facteur, quotients et décompositions associés
• Multiplier par 5, par 20, par 50
• Calculer des sommes et des différences de nombres entiers
• Multiplier et diviser par 10, 100, 1000…
• Calculer certaines sommes de 2 nombres décimaux, en particulier ajouter un entier et un décimal
• Décomposer un nombre décimal en utilisant l’entier immédiatement inférieur
• Multiplier par 0,1
• Calculer les compléments a l’unité supérieure pour des nombres ayant un chiffre après la virgule
• Connaître et utiliser les relations entre les nombres « repères »
• Multiplier par des nombres comme 11, 12, 9, 19, 21, 15, 25
• Décomposer un nombre sous forme de produit de 2 ou plusieurs facteurs
• Evaluer l’ordre de grandeur d’un produit par un calcul approché
• Calculer les doubles, moitiés des nombres supérieurs à 100 (résultats entiers et non entiers)
• Calculer les quadruples, quarts, tiers, triples des nombres supérieurs à 100 (résultats entiers)
33 4. Concevoir son enseignement
Pour la journée 2
1. Comment l’élève, l’enseignant, le parent évalue les
progrès sur une séquence? Sur l’année?
Quels outils utilisez vous?
2. Témoignage d’une séquence de calcul mental avec les
4 étapes :
- Quelle compétence travaillée?
- Quelles activités proposées aux élèves
- Quelles productions : trace écrite collective/
individuelle
3. Mutualiser des exemples de jeux pratiqués en classe
34
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