carte di controllo per attributi - unibg · carta di controllo per numero di unit`a non conformi -...
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Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carte di controllo per attributi
Il controllo per variabili non sempre e effettuabile
• misurazioni troppo difficili o costose
• troppe variabili che definiscono qualita di un prodotto
• le caratteristiche dei prodotti non sono misurabili
In questi casi si utilizza il controllo per attributi che si basa sulla formula-
zione di un giudizio qualitativo sulle unita prodotte che vengono classificate
in conformi oppure non conformi.
Ilia Negri 1
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carta di controllo per frazione di unita non conformi - Carta p
Dato un campione di numerosita n sia d il numero di unita risultate difet-
tose. Se 0 < p < 1 e il livello di difettosita del processo produttivo e se
indichiamo con D la v.c. che conta il numero di difetti in un campione di
numerosita n abbiamo
P (D = d) =(nd
)pd(1− p)n−d, d = 0,1, . . . , n
La frazione di non conformi e definita da p = Dn ed e distribuita approssi-
mativamente come una gaussiana
p ∼ N
(p,
p(1− p)
n
)Se non si conosce p si estraggono m campioni di numerosita n si calcola
per ogni campione la pi = din e quindi si stima p con
p =
∑mi=1 di
mn=
∑mi=1 pi
m
Ilia Negri 2
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
I limiti di controllo per la carta 3-sigma e per la carta di probabilita sono
rispettivamente
UCL = p + 3
√p(1− p)
nCL = p
LCL = p− 3
√p(1− p)
n
UCL = p + z1−α/2
√p(1− p)
nCL = p
LCL = p− z1−α/2
√p(1− p)
n
Se LCL risulta negativo si pone uguale a zero. Le carte di controllo per la
frazione di difettosi tengono sotto controllo sia la media che la variabilita
del processo produttivo.
Ilia Negri 3
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Esempio: (Montgomery). Consideriamo i dati relativi alla produzione di
contenitori per succo d’arancia che vengono prodotti a partire da fogli di
cartone grezzo. Si ispezionano le confezioni finali per controllare che non
perdano liquido. Vi sono m = 30 campioni di n = 50 unita ciascuno. Sulla
base di questo primo campionamento si stimano i limiti di una carta di
controllo 3-sigma. I valori centrale, UCL e LCL sono riportati nel grafico
alla pagina seguente.
Si notano un valore centrale piuttosto elevato (oltre il 20% di pezzi di-
fettosi) e due punti fuori controllo (il 15-esimo e il 23-esimo campione).
Individuato il motivo si tolgono questi due campioni e si ricalcolano i limiti
di controllo per la carta.
Si noti che nel secondo calcolo vi e ancora un punto fuori controllo. Non
avendo trovato nessuna causa apparente del motivo si lascia il punto tra
i campioni. Resta il fatto che la percentuale di pezzi difettosi e troppo
elevata e occorre apportare qualche modifica al processo produttivo.
Ilia Negri 4
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carta p per D[Trial]
Group
Gro
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umm
ary
stat
istic
s
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0.1
0.2
0.3
0.4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
LCL
UCL
●
●
Number of groups = 30Center = 0.2313333StdDev = 0.421685
LCL = 0.05242755UCL = 0.4102391
Number beyond limits = 2Number violating runs = 0
Ilia Negri 5
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carta p senza i punti fuori controllo
Group
Gro
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ary
stat
istic
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●
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●
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27
LCL
UCL●
Number of groups = 28Center = 0.215StdDev = 0.4108223
LCL = 0.04070284UCL = 0.3892972
Number beyond limits = 1Number violating runs = 0
Ilia Negri 6
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
La carta porta a concludere che il processo e sotto controllo con una media
p = 0.215 di frazione di pezzi difettosi. Una percentuale decisamente
alta. Dopo alcuni accorgimenti volti a migliorare il processo di produzione
sono raccolti altri 24 campioni sempre di numerosita 50 e i risultati sono
rappresentati nel grafico seguente.
Si nota un vistoso abbassamento della frazione di difettosi. La carta se-
gnala un punto fuori controllo in basso (non genera preoccupazione) e un
campione che viola il numero di sequenze tutte dalla stessa parte.
A questo punto un test per la verifica dell’uguaglianza delle due proporzioni
nel primo gruppo di 30 campioni e nel secondo di 24 dovrebbe confermare
il cambiamento avvenuto.
Se il test conferma l’ipotesi che la proporzione di non conformi e diminuita
si procede a ricalcolare i nuovi livelli della carta p. (Il test e richiamato in
fondo alla lezione)
Ilia Negri 7
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
p Chartfor D.trial[−out] and D[!trial]
Group
Gro
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umm
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stat
istic
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●
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
1 3 5 7 9 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
LCL
UCL●
●
●
Calibration data in D.trial[−out] New data in D[!trial]
Number of groups = 52Center = 0.215StdDev = 0.4108223
LCL = 0.04070284UCL = 0.3892972
Number beyond limits = 2Number violating runs = 1
Ilia Negri 8
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carta p per D[!Trial]
Group
Gro
up s
umm
ary
stat
istic
s●
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●
●
●
●
●
●
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15 17 19 21 23
LCL
UCL
Number of groups = 24Center = 0.1108333StdDev = 0.3139256
LCL = 0UCL = 0.2440207
Number beyond limits = 0Number violating runs = 0
Ilia Negri 9
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Scelta di n nelle carte di controllo per frazione di non conformi
Dopo aver stimato p con un controllo del 100% della produzione se p
e molto piccolo allora n deve essere molto grande per poter osservarealmeno un difetto. Infatti se p = 0.01 e n = 8 abbiamo che UCL =p + 3
√p(1− p)/n = 0.1155. Se si dovesse osservare una non conformita si
avrebbe p = 1/8 = 0.1250 e quindi il punto cadrebbe oltre UCL e il processosarebbe considerato fuori controllo. Per evitare cio si puo ricorrere a dueprocedure.
Possiamo scegliere n affinche la probabilita di osservare una non conformitasia almeno superiore ad un livello γ fissato P(D ≥ 1) ≥ γ. Dall’approssima-zione della Binomiale con la Poisson
P(D = k) =(nk
)pk(1− p)n−k ∼ e−npnpk
k!,
ricaviamo
n ≥− log(1− γ)
p
Da cui per γ = 0.95 e p = 0.01 ricaviamo n ≥ 300.
Ilia Negri 10
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Un altro approccio consiste nello scegliere n in modo che la carta si accorgadi un cambiamento di specificata entita. Ad esempio se vogliamo che siasegnalato un punto come fuori controllo quando la frazione di non conformie pari a p1 > p allora deve essere
p + 3
√p(1− p)
n≤ p1
ponendo δ = p1 − p ricaviamo
n ≥9p(1− p)
δ2
Se, a titolo d’esempio, vogliamo determinare uno scostamento da p = 0.01a p1 = 0.05 abbiamo, δ = 0.04 e ricaviamo n ≥ 56.
A volte ci si vuole anche garantire di avere un LCL positivo in modo daandare a ispezionare quei casi di frazione di non conformi molto bassi. Intal caso deve essere scelto n in modo che
p− 3
√p(1− p)
n≥ 0 da cui n ≥ 9
1− p
p
Ad esempio per p = 0.01 ricaviamo n ≥ 891, per p = 0.05, n ≥ 171
Ilia Negri 11
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carta di controllo per numero di unita non conformi - Carta np
Invece che costruire la carta per la frazione di non conformi p possiamo
costruire direttamente la carta per il numero di non conformita. I limiti
della carta 3-sigma e di probabilita, rispettivamente, sono i seguenti
UCL = np + 3√
np(1− p)
CL = np
LCL = np + 3√
np(1− p)
UCL = np + z1−α/2
√np(1− p)
CL = np
LCL = np− z1−α/2
√np(1− p)
Non conoscendo p si provvedera a stimarlo.
Ilia Negri 12
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Dimensione campionaria variabile
Capita spesso che la dimensione campionaria sia diversa. In questo caso 3sono gli approcci che si possono seguire. Il primo consiste nel considerarele linee della carta variabili (poco consigliato). Il secondo consiste nelcostruire la carta basandosi sul valore medio di n calcolato come segue
n =1
m
m∑i=1
ni
e utilizzando come stima di p la seguente
p =
∑mi=1 di∑mi=1 ni
I limiti di controllo per la carta 3-sigma sono
UCL = p + 3
√p(1− p)
nCL = p
LCL = p− 3
√p(1− p)
n
Ilia Negri 13
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Il terzo metodo consiste nell’utilizzare i valori standardizzati. Per ogni
campione si calcolano i valori
zi =pi − p√p(1−p)
ni
, i = 1,2, . . . , m
dove pi e la frazione di non conformi nel gruppo i-esimo e a p dobbiamo
sostituire una sua stima. La carta ha come linea centrale zero, mentre
come UCL e LCL rispettivamente 3 e −3.
Ilia Negri 14
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Curva operativa caratteristica
La curva OC descrive la probabilita di accettare erroneamente un puntocome sotto controllo quando invece non lo e, in funzione dello scosta-mento dal valore fissato p0. Si tratta quindi di calcolare la probabilita dicommettere un errore di secondo tipo (β) al variare di p
β(p) = P (p < UCL|p)− P (p < LCL|p)= P (D < nUCL|p)− P (D < nLCL|p)
dove D segue la distribuzione Binomiale con parametri n e p.
Fissati i limiti UCL e LCL avremo una curva per ogni numerosita campiona-ria n. Ad esempio per la carta con limiti LCL=0 e UCL=0.2440 dobbiamocalcolare
β(p) = P (D < 50·0.2440|p)−P (D < 50·0|p) = P (D < 12.2|p) = P (D ≤ 12|p)
Mentre per la carta con limiti LCL=0.0407 e UCL=0.3893 dobbiamocalcolare
β(p) = P (D < 19|p)− P (D ≤ 2|p)
Ilia Negri 15
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Riportiamo il grafico per la carta di pagina 9
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Curva Caratteristica n == 50
p
β(p)
Ilia Negri 16
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Riportiamo il grafico per la carta di pagina 8
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Curva Caratteristica n == 50
p
β(p)
Ilia Negri 17
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Dalla curva OC ricaviamo, se il processo e sotto controllo, con valore della
CL p = 0.215, β(p) = 0.9971 da cui α = 0.0029 e
ARL0 =1
0.0029= 339.38
Per cui si avra un segnale di falso allarme in media ogni 339 campioni.
Se invece il valore di riferimento si sposta a p = 0.3 abbiamo β = 0.9152 e
ARL =1
1− β=
1
1− 0.9152= 11.79
Per cui dovremo aspettare in media 12 campioni prima di avere un segnale
di fuori controllo.
Se il valore si sposta a p = 0.4 abbiamo β = 0.4465 e
ARL =1
1− β=
1
1− 0.4465= 1.807.
Per cui dovremo aspettare in media 2 campioni prima di avere un segnale
di fuori controllo.
Ilia Negri 18
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carte di controllo per numero di non conformita per unita - Carta c
Si e interessati al numero totale di difetti per unita prodotta (ad esempioil numero di falle in un tessuto).
L’ipotesi su cui si basa la costruzione di tali carte e che la v.c. che descriveil numero di difetti abbia la distribuzione di Poisson con parametro c cherappresenta il numero medio di difetti nell’unita di misura prefissata.
P (X = x) =cx
x!e−c, x = 0,1,2, . . .
La carta di controllo con limiti 3-sigma sfrutta l’approssimazione della Pois-son alla Gaussiana N(c, c). Questa approssimazione vale se c = np nel casoin cui cresce n e contemporaneamente diminuisce p mantenendo costanteil prodotto np. I limiti della carta sono dunque i seguenti
UCL = c + 3√
c
CL = c
LCL = c− 3√
c
dove c =∑
ci/m, essendo ci il numero di difetti nell’unita i.
Ilia Negri 19
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Esempio: (Montgomery). Si considerano il numero di non conformita
riscontrate su 26 campioni costituiti da 100 circuiti stampati. La stima di
c e data da c = 51626 = 19.85. I limiti della carta sono rappresentati nella
figura seguente.
c Chartfor x[trial]
Group
Gro
up s
umm
ary
stat
istic
s
●
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●
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●
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●
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●
●
●
●
●
510
1520
2530
3540
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25
LCL
UCL
●
●
Number of groups = 26Center = 19.84615StdDev = 4.454902
LCL = 6.481447UCL = 33.21086
Number beyond limits = 2Number violating runs = 0
Ilia Negri 20
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Si osservano due punti fuori controllo, le unita 6 e 20. Individuate le cause
si tolgono i punti e si ricalcolano i limiti di controllo della carta. La nuova
carta e rappresentata di seguito. La stima di c e data da c = 47224 = 19.67
c Chartfor x[inc]
Group
Gro
up s
umm
ary
stat
istic
s
●
●
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●
●
●
●
●
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●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1015
2025
30
1 2 3 4 5 7 8 9 11 13 15 17 19 22 24 26
LCL
UCL
Number of groups = 24Center = 19.66667StdDev = 4.434712
LCL = 6.362532UCL = 32.9708
Number beyond limits = 0Number violating runs = 0
Ilia Negri 21
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Carte di controllo per frazione di non conformita per unita - Carta u
Si basa sul calcolo del numero medio di non conformita per unita di rife-
rimento. Se vengono rilevate c difformita in n unita di riferimento avremo
che il numero medio di tali difformita per unita di riferimento e
u =c
n
I limiti della carta sono i seguenti
UCL = u + 3
√u
n
CL = u
LCL = u− 3
√u
n
dove u =∑
uim e ui = ci
n e il numero medio di non coformita per unita.
Ilia Negri 22
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Esempio: (Montgomery). Si considerano il numero di non conformita
registrate sull’unita di riferimento posta pari a 5 computer. I dati forniscono
una stima u = 1.93. Il grafico seguente mostra la carta.
u Chartfor x
Group
Gro
up s
umm
ary
stat
istic
s
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
01
23
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20
LCL
UCL
Number of groups = 20Center = 1.93StdDev = 3.106445
LCL = 0.06613305UCL = 3.793867
Number beyond limits = 0Number violating runs = 0
Ilia Negri 23
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Curva operativa caratteristica - Carta c
In questo caso si deve calcolare l’errore di seconda specie β al variare di c.
Indicata con X la v.c. di Poisson che conta il numero di difetti per unita
prodotta
β(c) = P (X < UCL|c)− P (X < LCL|c)
Ad esempio per la carta a pagina 21 con limiti LCL= 6.36 e UCL=32.97
dobbiamo calcolare
β(c) = P (X < 32.97|c)− P (X < 6.36|c) = β(c) = P (X ≤ 32|c)− P (X ≤ 6|c)
Al variare di c.
Ilia Negri 24
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Curva Caratteristica
c
β(p)
Ilia Negri 25
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Dalla curva OC ricaviamo, se il processo e sotto controllo, con valore della
CL c = 19.67, β(c) = 0.9960 da cui α = 0.0040 e
ARL0 =1
0.0040= 247.23
Per cui si avra un segnale di falso allarme in media ogni 247 campioni.
Se invece il valore di riferimento si sposta a c = 24 abbiamo β = 0.9532 e
ARL =1
1− β=
1
1− 0.9532= 21.41
Per cui dovremo aspettare in media 21 campioni prima di avere un segnale
di fuori controllo.
Se il valore si sposta a c = 32 abbiamo β = 0.54.68 e
ARL =1
1− β=
1
1− 0.54.68= 2.21.
Per cui dovremo aspettare in media 2 campioni prima di avere un segnale
di fuori controllo.
Ilia Negri 26
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Verifica di ipotesi per il confronto di due proporzioni
Abbiamo due campioni casuali X1, . . . , Xn1 e Y1, . . . , Yn2 provenienti da po-
polazioni Bernoulliane rispettivamente di parametro p1 e p2.
Vogliamo verificare l’ipotesi nulla
H0 : p1 = p2
contro una delle consuete alternative:
HA : p1 6= p2
per un test a due code, oppure
HA : p1 > p2
o
HA : p1 < p2
per un test ad una coda
Ilia Negri 27
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Denotiamo con
p1 =
∑Xi
n1p2 =
∑Yi
n1
e introduciamo
p =
∑Xi +
∑Yi
n1 + n2
Vale che, sotto l’ipotesi nulla, cioe p1 = p2 ovvero p1 − p2 = 0,
Z =p1 − p2√
p(1− p)(
1n1
+ 1n2
) ∼ N(0,1)
Denotati con k1 e con k2 il numero di successi rispettivamente nel primo
e nel secondo campione e le proporzioni di successi osservati con lo stesso
simbolo p1 = k1n1
e p2 = k2n2
, le regole per decidere se accettare l’ipotesi nulla
sono riassunte nella tabella seguente
Ilia Negri 28
Statistica Industriale - Carte di controllo per attributi
Test per il confronto tra proporzioni
Se p1 = k1n1
e p2 = k2n2
sono le proporzioni di successo su due campioni di
ampiezza n1 ed n2 rispettivamente, si puo costruire un test Z per testare
l’ipotesi nulla H0 : p1 = p2 contro le usuali alternative come segue. Si
calcola il valore della statistica
z =p1 − p2√
p(1− p)(
1n1
+ 1n2
)con p = k1+k2
n1+n2. Il test di livello α corrisponde alle seguenti regole di
decisione
quando HA : p1 6= p2, Rifiutare H0 se |z| > z1−α2
quando HA : p1 > p2, Rifiutare H0 se z > z1−α
quando HA : p1 < p2, Rifiutare H0 se z < zα
Ilia Negri 29
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