culegere gheba matematica clasele 5 9 formule
Post on 07-Feb-2018
381 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
1/28
MULIMITITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
1 Relaii ntre mulimiDac avem: }.5;2;3{}5;3;2{}5;!;3;2;1{ === CBA
"#artenen : 2";
$%alitate & : ' & (; Inclu)iune : '"
2 *u+mulime Dac avem: }.5;3;2{}5;!;3;2;1{ == BA Mulimea ' e,te - ,u+mulime a mulimii " #entru c
iecare element /in ' a#arine mulimii ".3 0#eraii cu mulimi Dac avem: }.5;3;2{}!;3;2;1{ == BA
Reuniunea: }{ BxsauAxxBA = ; }5;!;3;2;1{= BA .
Inter,ecia: }{ BxsiAxxBA = ; }3;2{=BA .Dierena: }{ BxsiAxxBA = ;
}!;1{=BA .
r-/u,ul carte)ian:
}2{3 BysiAxyxBA = .
! Mulimi inite 4i mulimiininite
Mulime init e,te mulimea cu un numr init /eelemente.
$em#le /e mulimi inite: }.5;3;2{}!;3;2;1{ == BA Mulime ininit e,te mulimea cu un numr ininit /e
elemente.$em#lu /e mulime ininit: ....}.16677;...;3;2;1;6{=N
5 MulimileN, Z, Q, R, R\Q ....}.16677;...;3;2;1;6{=N ;...}.3;2;1;6;1;2;3{.... =Z
== 1238 baZbZab
aQ .
R e,te mulimea numerel-r reale ce cu#rin/e t-ate cate%-riile/e numere inclu,iv cele ,cri,e ,u+ -rm /e ra/icali.
perfectpatratestenuaaQR = numere irai-nale.9 RelaiaNZQR RQZN
0rice numr natural e,te numr ntre%; 0rice numr ntre% e,te 4i un numr rai-nal; 0rice numr rai-nal e,te numr real.
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
2/28
$em#lu: .!1
222 =
+=+=
*crierea numerel-r naturalen +a)a )ece
De eem#lu un numr natural -rmat /in trei cire ,e ,crie n +a)a)ece a,tel: cbaabc ++= 16166
r-#-)iii a/evrate 4i#r-#-)iii al,e
$em#le /e #r-#-)iii: r-#-)iie a/evrat: 33:12 =+ < r-#-)iie al,: 233:12 =+ e-rema m#ririi cu re,t: . rrcd
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
3/28
53216
32!22
!
==
entru a ala c.m.m./.c. ,e iau act-rii c-muni - ,in%ur/at cu #uterea cea mai mic 4i ,e nmule,c ntre ei:
123216! 2 == . entru a ala c.m.m.m.c. ,e iau act-rii c-muni 4i nec-muni
- ,in%ur /at cu #uterea cea mai mare 4i ,e nmule,c ntreei:
2!6532D16!E 2! == .1 Divi)i+ilitatea n Z Divi)i+ilitatea n Ze,te a,emnt-are cu /ivi)i+ilitatea n N.
=n Z: }!;2;1;1;2;!{! +++=D .
TITLULCONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
17
Aracii ,u+unitareecFiunitare ,u#raunitare Aracii ,u+unitare . ba
b
a
26
"m#liicarea 4i,im#liicarea ractiil-r "m#liicarea .6
= m
mb
ma
b
am
*im#liicarea .6:
:
= mmb
ma
b
a m
21
Aracii ire/ucti+ile Aracie ireductibile,te racia n care numrt-rul 4i numit-rul,unt numere #rime ntre ele. $em#lu /e -+inere a unei raciiire/ucti+ile #a, cu #a,:
.3
!
7
12
1
2!
39
! 322
===
22
>ran,-rmri /e racii Aracii )ecimale inite
166
abcbca = .
Aracii )ecimale #eri-/ice ,im#le77
aabc
bca = .
Aracii )ecimale #eri-/ice mite776
ababcd
cdba = .
$em#le:
15
32
76
172
76
21213312.
3
!
7
12
7
11331.
!
7
166
225252 ==
===
===
0 racie -r/inar ,e #-ate tran,-rma ntrB- racie )ecimal #rinm#rirea numrt-rului la numit-rul raciei. $em#lu:
.33:223
22 ==
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
4/28
23
(-m#ararea -r/-narea 4ire#re)entarea #e a anumerel-r reale
(-m#ararea numerel-r rai-nale
Dintre numerele9
=a 4i5
9=b mai mare ete numrul G.
"/ucem numerele /ate la acela4i numit-r:36
35
9
:5
==a 4i
36
39
5
99
==b . *e -+,erv c numrul mai mare e,te numrul b. *e
#-ate , a/ucem numerele /ate 4i la acela4i numrat-r iar atunci
c-m#arm numit-rii. (-m#ararea numerel-r reale /in care cel #uin unul e,te numr
irai-nalDintre numerele :3=a 4i =b mai mare ete numrul G.Intr-/ucem act-rii ,u+ ra/ical 4i -+inem: 933 ==a 4i
9!==b . *e -+,erv c numrul mai mare e,te numrul b.
TITLUL
CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII
2!
Hal-area a+,-lut a unuinumr real
Hal-area a+,-lut a unui numr real:
=
6
66
6
aa
a
aa
a
Hal-area a+,-lut a unui numr irai-nal Dac avem: ba cel #uin unul e,te irai-nal ba< atunci abba = . $em#lu: .3223 =
25
0#u,ul 4i inver,ul unuinumr real
0#u,ul unui numr real: -#u,ul lui ae,te a.
Inver,ul unui numr real: inver,ul lui ae,tea
1.
29
artea ntrea% 4i #artearaci-nar a unui numrreal
artea ntrea% 4i #artea raci-nar a unui numr real #-)itiv:
!! e,te ntre ! 4i 5.artea ntrea% E!! & !.artea raci-nar {!!} & !! E!! & !! ! & 6!. artea ntrea% 4i #artea raci-nar a unui numr real ne%ativ:
29 e,te ntre 3 4i 2.artea ntrea% E29 & 3.artea raci-nar {29} & 29 E29 & 29 3 & 6!.
2 R-tunJirea 4i a#r-imareaunui numr real Met-/a /e a a#r-ima un numr real mai ale, cCn/ ace,ta e,te -racie )ecimal ,au un numr irai-nal e,te -l-,it la e,timri 4i
eerciii /e c-m#arare. $em#lu: .....!:21357!26 = Dac ,Bar cere a#r-imarea cu /-u )ecimale #rin li#,
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
5/28
atunci am avea: !:!26 = . Dac ,Bar cere a#r-imarea cu /-u )ecimale cu a/a-, atunciam avea: !!26 = .
2
Intervale n R;re#re)entarea #e a
Interval mr%init ncFi, la am+ele mar%ini: ;E ba
Interval mr%init ncFi, la una /in mar%ini mar%ini: D; ba
Interval mr%init /e,cFi, la am+ele mar%ini: ; ba
Interval mr%init ncFi, ,au /e,cFi, la una /in mar%ini 4i nemr%init lacealalt: D; a
Interval nemr%init la am+ele mar%ini: R=+ ;
TITLUL
CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII
27
R/cina #trat a unuinumr natural #trat
#erect
ba = /ac .2 ab =aa =2 /ac .6>a =n %eneral aa =2 .
$em#lu: 1515225 2 == .36
"l%-ritmul /e etra%ere ar/cinii #trate
"4a/ar ra/ical /in 55225e,te e%al cu 235.
* calculm r/cina #trat a lui 55225.De,#rim numrul n %ru#e /e cCte /-u cire /e la /rea#ta ,#re ,tCn%a.
?e ntre+m: care e,te cel mai mare numr al crui #trat e,te mai mic ,au e%al cu5."ce,ta e,te 2; l ,criem n /rea#ta ,u,;=l ri/icm la #trat -+inem ! 4iBl trecem ,u+ 5 alm re,tul ,c/erii 1.(-+-rCm %ru#ul /e urmt-arele 2 cire lCn% re,t.Du+lm #e 2 4i re)ultatul ! l trecem ,u+ 2.?e %Cn/im care cir #unem alturi /e ! 4i re)ultatul l nmulim cu cira alea,a,tel ncCt numrul /at , ,e cu#rin/ n 152.?e %Cn/im care cir #unem alturi /e ! 4i re)ultatul l nmulim cu cira alea,a,tel ncCt numrul /at , ,e cu#rin/ n 152.Re)ultatul iin/ 127 l trecem ,u+ 152 4i alm re,tul ,c/erii.(ira 3 - trecem la re)ultat alturi /e 2.
(-+-rCm urmt-area %ru# /e cire #e 25 lCn% re,tul 23.(-+-rCm /u+lul lui 23 care e,te !9.?e %Cn/im care cir #unem alturi /e !9 numrul -rmat l nmulim cu acea ciriar re)ultatul , ie mai mic ,au e%al cu 2325."ce,ta #-ate i 5 4i acem calculele.>recem re)ultatul 2325 ,u+ numrul 2325 4i eectum ,c/erea.Re,tul iin/ )er- al%-ritmul ,Ba terminat cira 5 - trecm la re)ultat alturi /e 23.
31
*crierea unui numr real#-)itiv ca ra/ical /in#tratul ,u
Dac avem atunci ace,t numr ,e #-ate ,crie 4i !7 2 == .
Dac avem2
5atunci ace,t numr ,e #-ate ,crie 4i
!
25
2
5
2
52
2
== .
32
Re%uli /e calcul cura/icali
D-i ra/icali ,e #-t a/una ,au ,c/ea numai /ac ,unt la el< a/icavem termeni a,emenea:
$em#lu: 53352!15525!5 ==+=+ . =nmulirea ra/icalil-r: baba = ; 36163 = .=m#rirea ra/icalil-r: baba :: = ; 39:1 = .
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
6/28
33
*c-aterea 4i intr-/ucereaact-ril-r ,u+ ra/ical
*c-aterea act-ril-r /e ,u+ ra/ical. re)entm una /in met-/elecele mai utili)ate la ,c-aterea act-ril-r /e ,u+ ra/ical. *e/e,c-m#une numrul /at n #r-/u, /e #uteri /e numere #rime K,e iau #erecFi /e numere #rime e%ale K /intrB- #erecFe va ie4i unact-r /e ,u+ ra/ical K act-rii ne#erecFe v-r rmCne ,u+ ra/ical
K act-rii ie4ii ,au rma4i ,u+ ra/ical ,e nmule,c.$em#lu: 99323232219 33 ===
Intr-/ucerea act-ril-r ,u+ ra/ical ,e +a)ea) #e -#eraiababa = . Dac avem 53 #entru a intr-/uce #e 3 ,u+
ra/ical ,e ri/ic la #uterea 2 numrul 3 /u# care ,e nmule4tecu 5.
!5575353 2 === .
TITLUL
CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII
3!
Rai-nali)area numit-ril-r Rai-nali)area numit-ril-r /e -rma ba .
ab
bm
bba
bm
ba
mb
=
=
.
!
93
12
97
92
97
992
97
92
739
==
=
=
Rai-nali)area numit-ril-r /e -rma cba + . =n #rimul rCn/c-nJu%atul numrului cba + e,te numrul cba . entru
rai-nali)area numit-rului /e acea,t -rm racia ,e vaam#liica cu c-nJu%atul numit-rului.
22
cba
cbam
cbacba
cbam
cba
mcba
=
+
=
+
.
2
3516
!
35162
1219
31626
32!
31626
32!32!
32!5
32!
522
32!
+=
+=
+
=
=+
=+
+=
+
3
5
0#eraii cu numere reale Adunarea i scderea
entru a eectua a/unarea ,au ,c/erea numerel-r rai-nale e,te nece,ara #arcur%e urmt-rii #a4i: *e tran,-rm raciile )ecimale n racii -r/inare; *e a/uc raciile la acela4i numit-r; *e eectuea) a/unarea,c/erea.$em#lu:
.3
1
9
3!
9
19715!2
3
2
3
2
592
2
352
2233
9 ==+
=+=+
r!priet"ile adunrii$
"/unarea e,te c-mutativ: a + b = b + a. "/unarea e,te a,-ciativ: a + b + c = (a + b) + c. $lementul neutru al a/unrii e,te 6: a + 0= a. entru -rice aei,t -#u,ul lui aa,tel ncCt: a + (-a) = 0.
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
7/28
nmulirea La nmulirea unui numr ntre% cu - racie ,e nmule,te numrul
ntre% cu numrt-rul raciei numit-rul rmCnn/ ne,cFim+at; *e tran,-rm raciile )ecimale n racii -r/inare;La nmulirea a /-u racii -r/inare ,e nmule,c numrt-rii ntre ei 4i numit-rii ntre ei.$em#lu:
a .31!
1
!
1
12
1
12
9
==
=
+ .!21
!
3
91!
9
3
1!
99!
21
==
==
r!priet"ile nmul"irii$
=nmultirea e,te c-mutativ: a b = b a; =nmultirea e,te a,-ciativ: a b c = (a b) c; $lementul neutru al nmulirii e,te 1: a = a; =nmulirea e,te /i,tri+utiv a /e a/unare ,au ,c/ere:
a ( b + c ) = a b + ac
TITLULCONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
35
0#eraii cu numere reale m!rireaLa m#rirea a /-u numere rai-nale ,e nmule4te #rimul numr cual /-ilea inver,at.$em#lu:
.3
26
76
966
51
2!25
5
2!
1
25
2!
5:
1
25 36
==
==
%abelul nmul"irii semnel!r$
F1 F2 P+ + +
+
+
+
%abelul mpr"irii semnel!r$
D I C+ + +
+
+
+
Ridicarea la !u"ereuterea e,te - nmulire re#etatermenii /e -rma clun/e c numit coefcientultermenuluire#re)int un numr iar l partea literal a termenului e,te-rmat /in numere re#re)entate #rin litere eventual cu /iver4ie#-neni i numim termeni asemenea/ac #rile l-rliterale ,unt i/entice iar a/unarea l-r ,e nume4te reducereatermenilor asemenea.
.xemple$
1 erecFi /e termeni a,emenea: 22 52 xysixy ; 3232 !5 yxsiyx + .2 "/unarea: 222 2!523 xyxyxyxyxyxy =++ .
3 =nmulirea: ( ) ( ) 3!22 2!!23 yxyxxyx = .
! =m#rirea: ( ) 2335! !:2 xyyxyx = .5 Ri/icarea la - #utere: ( ) 739332 2 )yxy)x = .9 Ri/icarea la - #utere cu e#-nent numr ne%ativ:
22 +
++=
++
ba
dc
dc
ba
2 A-rmulele /e calcul#re,curtat
#$rmule u"ili%a"e&1 r-/u,ul /intre un numr 4i - ,um/ieren: ( ) acabcba =2 tratul unui +in-m: ( ) 222 2 bababa +=
3 8tratul unui trin-m: ( ) ( )bcacabcbacba +++++=++ 22222
! r-/u,ul ,umei cu /ierena: ( ) ( ) 22 bababa =+5 r-/u,ul a /-u #arante)e: ( ) ( ) ( ) ( )nmbnmanmba +++=++
.xemple$
1 ( ) xxxx 9232 2 +=+ ;
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
11/28
2 ( ) 1!!12 22 ++=+ xxx ;
3 ( ) 71216!32 23!22 ++++=++ xxxxxx ;! ( ) ( ) 2575353 2 =+ xxx ;5 ( ) ( ) 16352 2 =+ xxxx .
3 De,c-m#unerea n act-ri #$rmule u"ili%a"e&1 *c-aterea act-rului c-mun: ( )cbaacab =2 Re,trCn%erea #tratului unui +in-m: ( )222 2 bababa =+
3 Dierena /e #trate: ( ) ( )bababa += 22
! De,c-m#unerea unui trin-m /e -rma: nmxx ++2 ; /ac
Zbambasinba =+= atunci: ( ) ( )bxaxnmxx ++=++2 .
.xemple$
1 ( )5352515 2 = xxxx ;2 ( ) 22 !3192!7 =+ xxx ;3 ( ) ( )yxyxyx += 22! 22 ;! ( ) ( )!3122 += xxxx .
TITLUL
CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII
! Ra#-arte /e numerere#re)entate #rin litere
.xemple$
3
2x;
5
yx +;
!
72 x;
2
2
x
xcu c-n/iia ca 6numit!rul .
5 "m#liicarea "m#liicareakn
km
n
mk
=
;
.xemplu$!
93
22
23
2
32
22
+=
++=
+
x
xx
xx
xx
x
xx
.
9 *im#liicarea*im#liicarea
kn
km
n
m k
:
:
= ;
#entru a ,im#liica un ra#-rt /e a#t ,e caut c.m.m./.c. al termenil-rra#-rtului /at.
.xemplu: * ,e ,im#liice ra#-rtul:!
!!2
2
++
x
xx; ,e /e,c-m#un n
act-ri termenii ra#-rtului 4i /u# aceea ,e ,im#liic.( )
( ) ( ) 22
22
2
!
!! 22
2
2
+=
++=
++
+
x
x
xx
x
x
xxx
.
"/unarea ,au ,c/erea "/unarea ,au ,c/erea
k
p/kmnk
/
p
n
m /knk
+=+
::::
;
Un/e k e,te c.m.m.m.c. al lui n4i /,.xemplu:
.22
293
22
293
22
2
2
3
!
2
2
3 222
2 ++
=++
=+
++
=
++
xx
xx
xx
xx
xxx
x
xx
x x
=nmulirea=nmulirea
/n
pm
/
p
n
m
= ;
.xemplu:7
2
33
2
3
2
3 2
2
+=
++=
+
+ xxx
xx
xx
x
x
x
x.
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
12/28
7 =m#rirea=m#rirea
pn
/m
p
/
n
m
/
p
n
m
==: ;
.xemplu:!2
2
122
21
22
2
2
1
2
22:
2
1
+
=+
=
+
=
+
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x.
16
Ri/icarea la #utereRi/icarea la #utere
a
aa
n
m
n
m=
;
.xemplu:1211
2
2
2
22
+
=
=
xx
x
x
x
x
x.
11 Ri/icarea la #utere cue#-nent numr ne%ativ Ri/icarea la #utere a
aa
m
n
n
m=
;
.xemplu: 22
2
22 121
1 x
xx
x
x
x
x +==
.
AU?(II
TITLUL
CONINUTULUIEXEMPLE, EXPLICAII
1 ?-iunea /e uncie Daca iecrui element /in mulimea " i c-re,#un/e un element /inmulimea ' ,#unem c e,te /einit - uncie #e " cu val-ri n '.
*e n-tea): .: BAf " & /-meniul /e /einitie ' & c-/-meniul unctiei.
.xemplu$ { } 33;2;1;6;2: += xxfRf2 Auncii /einite #e
mulimi initee#rimate #rin/ia%rame ta+ele-rmule %raic
' B1 6 2 3 5
1 2 ! 5
'! "'+ 2
3 Auncii /e ti#ul
f$AR f0x1 2 ax +bun/eAe,te uninterval /e numerereale
.xemplu$
* ,e c-n,truia,c %raicul uncieif:EB2;!R, 23 += xxf ;entru ;22922 =+== Afx ;entru 16;!16212!! =+== Bfx ;Oraicul unciei e,te un ,e%ment /e /rea#t ce une4te
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
13/28
#uncteleA4iB ncFi, nA4i /e,cFi, nB.8 Dac mulimeaAe,te un interval /e numeremr%init la - etrem 4i nemr%init la cealaltetrem atunci %raicul unciei e,te - ,emi/rea#tcu -ri%inea n etrema mr%init a intervalului.
! Aunctii /e ti#ulf$RR f0x1 2 ax +b
*'em!lu&*a ,e c-n,truia,c %raicul unciei f$RR,
11
1
11
12 =
xxf ;
entru 5;9511
55
11
1
11
299 Afx ==== ;
entru
;511
11
1
11
9655 ==== Bfx
Oraicul unciei e,te - /rea#t ce trece #rin #uncteleA4iB.
$(U"II I?$(U"II *I*>$M$ D$ $(U"II
TITLULCONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
1 $cuaii /e -rma6=+ bax
.8 RbRa
r-#-)iia cu - varia+il /e -rma ax + b& 6 ,e nume4te ecuaie cu -necun-,cut un/e a4i b,unt numere reale.
=ntrB- ecuaie avem /re#tul< /e a trece termeni /intrBun mem+ru n altmem+ru cu ,emnul ,cFim+at.
=ntrB- ecuaie avem /re#tul< /e nmulim#ri e%alitatea cu un numr/ierit /e )er-. r-ce/eul e,te utili)at #entru eliminarea numit-ril-r 4ila inal alarea necun-,cutei.
.xemplu$ 2233 +=+ xx 3223 =xx
( ) ( )2323 =x
123
23=
=x .
2 $cuaii ecFivalente D-u ecuaii ,unt ecFivalente /ac au aceea4i ,-luie. 'a)Cn/uB,e #e #r-#rietile e%alitatii ,e #-t -+ine ecuaii ecFivalente
#-rnin/ /e la - ecuaiei /at..xemplu$ Aie ecuaia ;6!2 =x
a a/unm la am+ii mem+ri ai ecuaiei numrul 5:512
;565!2=+
+=+xx
+ nmulim ecuaia t-i termeni cu 3:1539
3512=+
=+xx
3 Inecuaii /e -rma6 >
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
14/28
sensul ine(alit"i se sc4imb,
.xemplu$ 9215
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
15/28
"vem ecuaia: !65
2
3++= xxx #e care - re)-lvm:
15!65
2
3
15
35
15 ++= xx
x 9669515 ++= xxx
9669515 = xxx 966! = x kmx 156!
966 == e,te lun%imea t-tal
a /rumului.
*'em!lul (inecuaie)& * ,e %a,ea,c trei numere naturale c-n,ecutive acr-r ,um e,te mai mic /ecCt 19.
Re)!l-are$ *ta+ilim necun-,cuta #rinci#al K numrul cel mai mic #e care l 4in-tm cux;(elelalte /-u numere v-r ix 1 4ix 2 inecuaia: 1921
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
16/28
$EOMET%IE
MQ*UR"R$ I MQ*URITITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII
1 Lun%ime Unitatea /e m,ur a lun%imii e,te metrul 5 m. Multi#lii metrului B m: mdam 161 = . mdam4m 166161 == . mdam4mkm 1666166161 === . km4mdamm 6616616161 === .
*u+multi#lii metrului: mmcmdmm 1666166161 === . mmcmmdm 16616161 === . mmdmmcm 16166161 === . cmdmmmm 1661666161 === .
2 "rie Unitatea /e m,ur a ariei e,te metrul ptrat 5 m6. Multi#lii metrului #trat K m6: 22 1661 mdam = . 222 166661661 mdam4m == . 2222 1666666166661661 mdam4mkm === . 2222 6666616666166161 km4mdamm === .
*u+multi#lii metrului #trat K m6: 2222 1666666166661661 mmcmdmm === . 2222 166661666161 mmcmmdm === . 2222 166616666161 mmdmmcm === . 2222 6166661666666161 cmdmmmm === .
"lte uniti /e m,ur a ariei: 2166661 m4a= . ari4amar 1661;1661 2 == .
3 H-lum Unitatea /e m,ur a v-lumului e,te metrul cub 5 m7. Multi#lii metrului cu+ K m7: 33 16661 mdam = .
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
17/28
333 166666616661 mdam4m == . 3739333 1616161 mdam4mkm === . 3739333 1616161 km4mdamm === .
*u+multi#lii metrului cu+ K m7: 3333 1666666666166666616661 mmcmdmm === . 3333 1666666166666161 mmcmmdm === . 3333 16666661666666161 mmdmmcm === . 3339373 1616161 cmdmmmm
===.
Unitatea /e m,ur a v-lumului K litrul. 311 dml= . ldmm 166616661 33 == . mlcll 16661661 == . .1661;161 l4lldal ==
! Un%Fi Unitatea /e m,ur a m,urii unui un%Fi e,te metrul 5 (radulsexa(esimal.
SSS6 3966961 == . SSS 961 = .
AIOURI I (0R1URI O$0M$>RI($
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
1 unctul /rea#ta #lanul,emi#lanul ,emi/rea#ta,e%mentul /e /rea#tun%Fiul
Pu&c'ule,te i%ura %e-metric ce ,e a,eamn cu - urm l,at /e uncrei-n;
unctul nu are /imen,iune; unctele ,e n-tea) cu litere mari /e ti#ar: " ' (.. "1 "2G
D(e)p')e,te i%ura %e-metric ce ,e a,eamn cu un ir -arte ,u+ire#erect ntin,; Drea#ta are - ,in%ur /imen,iune B lun%imea; Dre#tele ,e n-tea) a,tel: "' '( G d d8 d6 G
Pl)&ule,te i%ura %e-metric ce ,e a,eamn cu - #Cn) -arte ,u+ire#erect ntin,;
lanul are /-u /imen,iuni K lun%imea 4i limea; lanele ,e n-tea) a,tel: "'( ,au , , ,G
*empl)&ulK - /rea#t inclu, ntrBun #lan m#arte #lanul /at n /-u,emi#lane.
*em(e)p')K e,te /rea#ta mr%init la un ca#t.
*e-me&'ul e (e)p'K e,te /rea#ta mr%init la am+ele ca#ete.
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
18/28
U&-/ulK e,te i%ura %e-metric -rmat /e /-u ,emi/re#te cu-ri%inea c-mun.
2 -)iii relative a /-u/re#te n ,#aiu
.xplicatii$a /re#te i/entice;
+ /re#te c-ncurente{ }&dd = 21 ;
c /re#te #aralele = 21 dd 4i c-#lanare;
/ /re#te -arecare = 21 dd4i nec-#lanare;
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
3 Relaia /e #araleli,m n,#aiu
e /ac a||b 4i b||c atunci 4i a||c,
! Relaia /e #er#en/icularitate Dac /re#tele a4i b,unt#er#en/iculare #e acela4i #lanatunci ace,te /re#te ,unt #aralele
ntre ele..;; baba
5 "i-ma #aralelel-r9 Un%Fiurile cu laturile
re,#ective #aralele.xplica"ii$
(a)ul I un%Fiurile ,untc-n%ruente;(a)ul II K un%Fiurile ,unt,u#lementare.
Un%Fiul a /-u /re#te n
,#aiu; /re#te #er#en/iculare
.xplica"ii$
Dac avem /re#tele a4i bnec-#lanare 4ie,te nece,ar , %a,im un%Fiul /intre ele
#r-ce/m a,tel: cutm - /rea#t #aralel cu una /intre
ele 4i care are un #unct c-mun cu cealalt/e e. b||c;
Un%Fiul #e care l -rmea) /rea#ta ccu/rea#ta ae,te 4i un%Fiul /intre /e#tele a4i b un%Fiul /e m,ura .
Drea#ta #er#en/icular #eun #lan
.xplica"ii$
Dac /re#tele a4i b 4i bdsiad atunci 4i .d/e$rem&0 /rea#t #er#en/icular #e un
#lan e,te #er#en/icular #e -rice
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
19/28
/rea#t inclu, n #lanul /at.7 Di,tana /e la un #unct la un
#lan.xplica"ii$
/i,tana /e la un #unct la un #lan e,te/rumul cel mai ,curt< /e la acel #unct la
#lanul /at; /i,tana /e la un #unct la un #lan e,te
lun%imea ,e%mentului /e /rea#t#er#en/icular #e #lanul /at;
T & /i,tana /e la #unctul la #lanul /ac T.
entru a,ta e,te nece,ar:
bbQ
aaQ
16
>e-rema cel-r trei#er#en/iculare
AB
bB
b
bMBbAB
a
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
11 r-iecii /e #uncte /e,e%mente /e /rea#t 4i/e /re#te #e un #lan
.xplicatii$
r-iecia unui #unct #e un #lan e,te un #unct. DacAA9A9e,te#r-iecia luiA#e #lanul .
r-iecia unui ,e%ment /e /rea#t #e un #lan e,te un ,e%ment /e /rea#t.DacAABBA9B9e,te #r-iecia luiAB#e #lanul .
r-iecia unei /re#te #e un #lan e,te - /rea#t. DacAA9BB9A9B9e,te #r-iecia luiAB#e #lanul .
12 Un%Fiul /intre -/rea#t 4i un #lan;lun%imea #r-iecieiunui ,e%ment
.xemplu 3 aplica"ie$
Drea#taABnu e,te #aralel cu #lanul .BC.
Un%Fiul /intre /rea#taAB4i #lanul /at e,te un%FiulBAC/e m,ura . DacBC& 9cm 4iAC& cm
atunci: .!
3
9 ===AC
BCt(
13 Un%Fi /ie/ru; un%Fiul#lan c-re,#un)t-r/ie/rului
.xplica"ii$
dialplanun(4iulabm
==
;;;
1! lane #er#en/iculare.xplicatii$ Dac :
=
b
b
a
*au: D-u #lane ,unt!er!endiculare/acm,ura un%Fiului #lan al /ie/rului cel-r /-u
#lane e,te /e 766.
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
20/28
15 *imetria a /e un#unct n #lan; ,imetriaa /e - /rea#t n
#lan
unctulBe,te ,imetricul lui " a /e #unctul&/acA& B,unt c-liniare 4iA&2&B:
unctulBe,te ,imetricul luiAa /e /rea#taa/acA & B,unt c-liniareABa4i
A&2&B,
19 (alculul /i,tanei /e laun #unct la - /rea#t
.xemplu 3
aplica"ie$
AieABCA9B9C - #ri,m triun%Fiular re%ulat /rea#tcu mucFia +a)ei /e 9 cm 4i nlimea /e cm. * ,eale /i,tana /e la #unctulA9la /rea#taBC,
Re)!l-are:ADBC;AA9ABCA9DBC.
.71U719!2UU
.332
39
2
3
222 cmDAAAADDA
lAD
==+=+=
===
1 (alculul /i,tanei /e laun #unct la un #lan
.xemplu 3 aplica"ie$
Aie ;ABC- #irami/ triun%Fiular re%ulat /rea#t cu "' & 12 cm 4inlimea ;&& 92 cm. *e cere , ,e ale /i,tana /e la #unctul &la #lanul;BC.
Re)!l-are$
[ ] U;;
U;U;
&unde&;A&d;BC&d
BC;ABC&AABC;&
==
.939122!UU;329
312
9
3U 22 ==+=+==== &A;&;A
l&A
.229
212
9
3292
U
Ucm
;A
&A;&& ====
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
1
Un%Fiul /intre /-u#lane
.xemplu 3 aplica"ie$
Aie ;ABCD- #irami/ #atrulater re%ulat /rea#t cuAB& 1cm 4i nlimea;&& 12 cm. *e cere , ,e ale ,inu,ul un%Fiului /intre #lanele ABC 4i;BC.
Re)!l-are$
int
;;;
ABCplaneleredun(4iuleste
BC;BC&ABC;&
=
;72
1
2 === AB
& .152251!!122 ==+=+= ;&&;
.5
!
15
12,in
3
===;
;&
>RIU?OVIULTITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
21/28
1 erimetrul 4i aria erimetrul ;cba ++=
*emi#erimetrul2
cbap
++= ;
"ria 2
,in
2cpbpapp
Bca4aA a =
== ;
"ria unui triun%Fi /re#tun%Fic2
catetcatetA
= ;
"ria unui triun%Fi ecFilateral !32l
A = .
2 *uma m,uril-run%Fiuril-r ntrBuntriun%Fi
*uma m,uril-r un%Fiuril-r ntrBun triun%Fi e,te e%al cu 16. =ntrBun triun%Fi /re#tun%Fi un%Fiurile a,cuite ,unt c-m#lementare.
3 Un%Fi eteri-r unuitriun%Fi
m ACD & m ABC m BAC. m ACD & 16m BCA
! Linii im#-rtante n
triun%Fi
Me/iana
Me/iana e,te,e%mentul /e/rea#t ceune4te vCrulunui triun%Fi cu
miJl-cul laturii-#u,e.unctul /einter,ecie alme/ianel-r ,enume4te centrul/e %reutate.
Me/iat-area
Me/iat-area e,te/rea#ta
#er#en/icular #emiJl-cul uneilaturi.
unctul /einter,ecie alme/iat-arel-r ,enume4te centrulcerculuicircum,cri,triun%Fiului.
'i,ect-area
'i,ect-area e,te,emi/rea#ta cem#arte un%Fiul n/-u un%Fiuria/iacentec-n%ruente.unctul /einter,ecie al
+i,ect-arel-r ,enume4te centrulcercului n,cri,triun%Fiului.
=nlimea
=nlimea e,te#er#en/iculara/u, /in vCrulunui triun%Fi #elatura -#u,.
unctul /einter,ecie alnlimil-r ,enume4te-rt-centrultriun%Fiului.
>RIU?OVIUL
TITLULCONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
5 Linia miJl-cie ntriun%Fi
*e%mentul /e /rea#t ce une4te miJl-acele a /-ulaturi a unui triun%Fi ,e nume4te linia miriun%Fiul i,-,cel K#r-#rieti
>riun%Fiul i,-,cel e,te triun%Fiul care are /-u laturi c-n%ruente.DEDE ACAB
=ntrBun triun%Fi i,-,cel un%Fiurile /e la +a) ,unt c-n%ruente.CB
=ntrBun triun%Fi i,-,cel +i,ect-area un%Fiului /e la vCr e,te 4i me/ian4i nlime 4i me/iat-are.
=ntrBun triun%Fi i,-,cel me/ianele nlimile ,au +i,ect-arelec-re,#un)t-are laturil-r c-n%ruente ,unt c-n%ruente.
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
22/28
>riun%FiulecFilateral K
#r-#rieti
>riun%Fiul ecFilateral e,te triun%Fiul care are t-atecele trei laturi c-n%ruente. DEDEDE BCACAB .
=ntrBun triun%Fi ecFilateral t-ate un%Fiurile ,untc-n%ruente 4i iecare are m,ura e%al cu 96
CBA . =ntrBun triun%Fi ecFilaterat +i,ect-area -ricrui un%Fi
e,te 4i me/ian 4i nlime 4i me/iat-are. (riteriile /e
c-n%ruen atriun%Fiuril-r
(riteriul /e c-n%ruen
LUL
Dac
=
=
UU
UUU
UU
CBBC
CBAABC
BAAB
"tunciUUU CBAABC
(riteriul /e c-n%ruen
ULU
Dac
=
UUU
UU
UUU
ACBBCA
CBBC
CBAABC
"tunciUUU CBAABC
(riteriul /e c-n%ruen
LLL
Dac
=
=
UU
UU
UU
CAAC
CBBC
BAAB
"tunciUUU CBAABC
7 >riun%Fiul/re#tun%Fic K relaiimetrice
>e-rema nlimii "D2& 'DD(>e-rema catetei "'2& 'D'(>e-rema catetei "(2& D('(>e-rema lui ita%-ra "'2I "(2& '(2
16 Relaiitri%-n-metrice
00 0 300
4&
2
1
2
2
2
3
c54
2
3
2
2
2
1
'-
3
31 3
c'-3 1
3
3
ip!tenu)
!puscateta=,in 6ip!tenu)
alaturatcateta=c-,
alaturatcateta
!puscatetat( = 6
!puscateta
alaturatcatetact( =
1c-,,in 22 =+
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
11 >e-rema lui >Fale,4i reci#r-ca ei
Te5(em). & paralel dus la ! latur ntr=un triun(4idetermin pe celelalte d!u 0sau pe prelun(irile l!r1
se(mente pr!p!r"i!nale,
NC
AN
MB
AM=
%ecp(5c).Dac punctele M *i N determin pe cele
d!u laturi ale triun(4iului ABC se(mente
pr!p!r"i!nale atunci MN este paralel cu BC,
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
23/28
12 >e-remaun/amental aa,emnrii
Te5(em). & paralel dus la ! latur ntr=un triun(4i
f!rmea) cu celelalte d!u 0sau cu prelun(irile l!r1 un
triun(4i asemenea cu cel dat,
.AC
AN
BC
MN
AB
AM==
13 (riteriile /ea,emnare a
triun%Fiuril-r
C(+'e(+ul ,e )4em.&)(e
LUL
Doutriunghiurisunt asemeneadacau cte doulaturi respectivproporionale iunghiurile cuprinsentre elecongruente.
;N
BC
MN
AB = 0
N
C(+'e(+ul ,e )4em.&)(e LLL
Doua triunghiuri sunt
asemenea dacau toatelaturile respectivproporionale.
.M
AC
N
BC
MN
AB==
C(+'e(+ul ,e )4em.&)(e UU
Doutriunghiuri sunt
asemenea dacaucte douunghiurirespectiv congruente.
7 N6 C P
1">RUL">$RUL (0?H$W
TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII1 erimetrul 4i aria
#atrulaterel-r ,tu/iateAR>A ?N?> ARA@.@&RAM 4ABinaltimeaba)aA == ,in= ADABA 2 ADAB +=
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
24/28
AR>A ?N?> DR.%?N>
l@A =
2
,in2 =d
A
2 l@ +=AR>A ?N?> A%RA%
2lA=
2
2dA=
l !=AR>A ?N?> R&MB
2
21 ddA
=
4lA = ,in2=lA l !=
AR>A ?N?> %RA.Z
2 4bBA +=
DACDBCAB +++=
2 *uma m,uril-r un%Fiuril-runui #atrulater c-nve
*uma m,uril-r un%Fiuril-r unui #atrulater c-nve e,tee%al cu 396.
3 aralel-%ramul K #r-#rieti
r!prietati$
1. Laturile -#u,e ,unt c-n%ruente /-u cCte /-u. EABECD; EBCEAD .2. Un%Fiurile -#u,e ,unt c-n%ruente A C4i B D;3. Un%Fiurile alturate ,unt ,u#lementare m Am B&1664i
m Bm C&166;!. =ntrBun #aralel-%ram /ia%-nalele ,e inter,ectea)
nJumtin/uB,e E&AE&C; E&BE&D .! Dre#tun%Fiul K #r-#rieti
#articulareAlte pr!priet"i$
1. >-ate un%Fiurile ,unt c-n%ruente 4i /e 766.2. Dia%-nalele ,unt c-n%ruente.
5 tratul K #r-#rieti#articulare
Alte pr!priet"i$
1. >-ate laturile ,unt c-n%ruente;
2. >-ate un%Fiurile ,unt c-n%ruente 4i /e 766
;3. Dia%-nalele ,unt c-n%ruente;!. Dia%-nalele ,e inter,ectea) #er#en/icular
una #e cealalt;5. Dia%-nalele ,unt 4i +i,ect-arele un%Fiuril-r.
TITLUL CONINUTULUI EXEMPLE, EXPLICAII
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
25/28
9 R-m+ul K #r-#rieti#articulare
Alte pr!priet"i$
1. >-ate laturile ,unt c-n%ruente;2. Dia%-nalele ,unt #er#en/iculare;3. Dia%-nalele ,unt 4i +i,ect-arele un%Fiuril-r.
>ra#e)ul K linia miJl-cie ntra#e)
e(mentul de dreapt care une*te
mi
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
26/28
3 (-ar/e 4i arce n cerc 1. Dac arculABe,te c-n%ruent cu arcul CDatunci 4i EABECD. i reci#r-ca e,tea/evrat.
2. DacMC||NDatunci arcul CDe,tec-n%ruent cu arculMN.
3. Dac &RCDatuncie,te miJl-cul lui ECD4iRe,te miJl-cul arcului CD, &e,te centrulcercului; {}&&RCD.
!. (-ar/e e%al /e#rtate /e centru ,untc-n%ruente.
Dac &&&Qatunci ECDEAB.! >an%enta la cerc /intrBun
#unct eteri-r cercului Aie #unctuleteri-r cercului; A4i re,#ectivB,unt tan%ente la
cerc; &AA; &BB; EA EB; &2& &A2A2
5 Lun%imea cercului aria/i,cului
Lun%imea cercului: dR@ ==2"ria /i,cului cercului: 2RA =
Lun%imea arcului /e cerc "(: 616
= R
@AC
"ria ,ect-rului /e cerc 0"(
6
2
396
= R
A &AC
9 (alculul elementel-r ntriun%Fiul ecFilateral 3Rl= 6 2
Ra= 6
!
332
RA= 6
!
32l
A = 6
2
3l4= 6 l 3= .
(alculul elementel-r n #trat2Rl= 6
22
2 lRa == 6
22RA= 6 2lA= 62ld= 6 l != .
(alculul elementel-r nFea%-nul re%ulat Rl= 6 2
3Ra = 6
2
332
RA= 6
2
33 2lA = 6
l 9= .
(0R1URI O$0M$>RI($
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
1 araleli#i#e/ul/re#tun%Fic
De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic
Formule:
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
27/28
+a)a e,te un /re#tun%Fi;abc&dimensiunile
paralelipipedului;d& /ia%-nala
#araleli#i#e/ului
( )
( )
2222
2
2
cbad
abc;
acbcabA
bcac4A
abA
t
bl
b
++=
=++=+==
=
2 (u+ul De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mict-ate eele 9 ,unt #trate;l& mucFia cu+ului;d& /ia%-nala cu+ului;are 12 mucFii.
Formule:
3
9
!
3
2
2
2
ld
l;
lA
lA
lA
t
l
b
=
=
=
=
=
3 ri,ma triun%Fiular De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic+a)a e,te un triun%FiecFilateral;l& latura +a)ei;4& nlimea #ri,mei
Formule:
4A;
AAA
4l4A
lA
b
blt
bl
b
=
+===
=
2
3
!
32
! ri,ma #atrulater De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic+a)a e,te un #trat;l& latura +a)ei;
4& nlimea #ri,mei;d& /ia%-nala #ri,mei
Formule:
222
2
2
2
!
l4d
4A;AAA
4l4A
lA
b
blt
bl
b
+=
= +=
===
TITLUL
CONINUTULUI
EXEMPLE, EXPLICAII
5 irami/a triun%Fiular De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic
Formule:
-
7/21/2019 Culegere Gheba Matematica Clasele 5 9 Formule
28/28
2
22
222
222
2
;
+=
+=
+=
lam
4A&m
a4a
pl
l
bp
+a)a e,te un triun%FiecFilateral;l& latura +a)ei;4& nlimea #irami/ei;ab& a#-tema +a)ei;ap& a#-tema #irami/ei;ml& mucFia lateral;eele ,unt triun%Fiurii,-,cele.
3
2
!
32
4A;
AAA
aA
lA
b
blt
pb
l
b
=
+=
=
=
9 >etrae/rul re%ulat De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic
Formule:
12
2
3
3!
33
2
!
3
3
2
2
2
l4A;
lAAA
laA
lA
b
blt
pb
l
b
=
=
=+=
=
=
= t-ate eele
,unttriun%FiuriecFilaterale;
t-atemucFiile,untc-n%ruente.
irami/a #atrulater
2
22
222
222
2
;
+=
+=
+=
lam
4A&m
a4a
pl
l
bp
De,criere 4i /e,4urata c-r#uluila - ,car mai mic
+a)a e,te un #trat;l& latura +a)ei;4& nlimea #irami/ei;ab& a#-tema +a)ei;ap& a#-tema #irami/ei;ml& mucFia lateral;eele ,unt triun%Fiurii,-,cele.
Formule:
3
2
2
4A;
AAA
aA
lA
b
blt
pb
l
b
=
+=
=
=
top related