edge stabilization for the incompressible navier-stokes … · 2020-07-04 · issn 0249-6399 isrn...

HAL Id: inria-00070653https://hal.inria.fr/inria-00070653

Submitted on 19 May 2006

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinée au dépôt et à la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publiés ou non,émanant des établissements d’enseignement et derecherche français ou étrangers, des laboratoirespublics ou privés.

Edge Stabilization for the Incompressible Navier-StokesEquations: a Continuous Interior Penalty Finite

Element MethodErik Burman, Miguel Angel Fernández, Peter Hansbo

To cite this version:Erik Burman, Miguel Angel Fernández, Peter Hansbo. Edge Stabilization for the IncompressibleNavier-Stokes Equations: a Continuous Interior Penalty Finite Element Method. [Research Report]RR-5349, INRIA. 2004, pp.34. inria-00070653

ISS

N 0

249-

6399

ISR

N IN

RIA

/RR

--53

49--

FR

+E

NG

ap por t de r ech er ch e

Thème BIO

INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE

Edge Stabilization for the IncompressibleNavier-Stokes Equations: a Continuous Interior

Penalty Finite Element Method

Erik Burman — Miguel Ángel Fernández — Peter Hansbo

N° 5349

Octobre 2004

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Téléphone : +33 1 39 63 55 11 — Télécopie : +33 1 39 63 53 30

! "#%$'&(*)+), .-/10235467*)982:)<;=?>@%%A2::) BC3(ED9*%FHGJIK,.9L$M*C

NOP

QRTSVUXWY(R[ZK\H]∗ ^`_ SbaBYAced*f]AaBcedLg`ceR[]`h"](iAcej † ^`k cmlnceRo\H](pTqsr ‡t3uwvx2yz|~v[xyT3mmmey[

yL*|LwHLyy[Fuy[Fuwy¡ "¢`£¤m¥¦§~|¨mwy©ªª¥~«¤m¥2wy[

¬®­A¯[°±²³m°m´ µ u3¶m·P¶<y¨y[y eL ®y¸y Hm ¹uy e ewmw yº3Hy[ wºPx2yuwm¹»1mm¼ w½»¼"m eC¾ ¿5yT,wy%À1y[L Áu[ºÃ"Ä`mbÂ1£ÅÁÆÇ[¦ÈÉÊ*©mªeÈnË5Puy% wmx2y[yÀ¼n̺y[Íe·myTy[ewº w[§t3uyxyuÎm HFm¹1ÏwººÐ[y[ÒÑmºy[· Ó¹Ômx%º Õwº yTewBmFy[ ey["mº Ö¹Ôm3y[y HÖÌmy[º×Â(tP ey3 wwº×ºyT*y¨uyyTÍynØÌmyºm wÃ"my%®uwºuÏ[A*y ¼ x%"yTÃB¶<ymÏ®wººÐTº yxºÌ

L2 ͵m e¹uy+wxC¹uysºy[ e+Ìmy[5yyx2y e(y[y[<ÆÙ¹Úmy[º C¤m»Ê6Luwy< HFÑmºy[· ®¹ÔxCm +Âszm ww® wºm wLmyx2HeyTº Á¶y[·y[ wyw ÖPm wy[ e"y Hº§¹ÔxCm ÛyÖ§ÀLºFuyÂÏÜÝyÌmyPy[ ym§Hy½msymyTºxPy[Cº HyÍ"y Hy eP¹Luyº[**y w% xCHy[Ö wÒmÌmymx2y x2y[y¸x2y[y[Ìyº w½uyuyym"y[º[ÂÞ½ßeàBáâ%ã ±äA¯m´ |¨yy[ yTewº 5ú eyº"y Hºmúy[ ex25ÃHx2º xP+mºÐyT®x2yu

∗ åÙæTçVèVé èbêTè<ëeì íæîFï ðTçVñLñè3ò6îFïôóênï5õ[óéôñæèVé ö÷ênñøÙò6ùò5õnúåÙíò5õnûµüwýwóþ,ïôñLÿþ,ï ðèVñónænéô÷ênññënñVîFïôñ¼ëTñîFênç îFænæTñüõ+é èñVï îFæTëø !"#$&%'[û

† å)(+*5åÙí<ü-,Úþ.Úñµè/*+ý10Õø234 #$" 5 67 89" û‡ : ñ,îÔè;*ñæèsþ<Bí+,7,nïôéôñëCùñó=nîFænéôóçüò1îFï2;*ñÚç?>æTé @ñÚçbé èÙðþ<BAñó=nænþ,ïôþCFðüwõTý8DEFGHIKJ+LFèVñMmþ&CnüHõ6ñënñæON

øP'7QRTS1&%'# TQO&Q û

) & &*%)+ C3(*:® :.$P*L$M*%A)) &Ý: *)*82:%)!-/10235467*)

#%$'&(*)+),

¯ ´ »¨ wCyPnÌ Õº eº% yy¸y[ wº Óy®½xuwy®yÖ wmºm Õ Íºy[yCy®»¼mwmm¼y»1"m eP¾ ¿5y[yCÀ1y[¨º §uÂÃ6Ä`mb£ÅÏÆÇ[¦ÈÉʼ©ªÈTËAm§[m¨y[Tewº w`yLÀ1nÌy͵m·y[A wxwyTºwºy¿+xuy*yTy[ ewyLv[`mºm 2y*xuyyÑy·e nÌmy[¨yxx2ymFy ey["mº "m12̺y[yy12y[m 5¿+y[ wmºº[¼y[¼§mwmmy̺y[ynØnwyTº 5ÃÁºyTy[¨*y[e wmL¸[ºy[ÌTÃB em×yTy[ CFm e¼¼¹ÔxCm yLÑy·e %w Cyx2ymºm e y* emy

L2mFmºy[ ``ºyT`y[3ÆÙ¹Úy[Ay[ 2¤»¨Ê¿5yT`m H׺ w(¸Cºx2×y[`m e`ºx2"y[¹Úm×Íwºy[xy[ e(y[ %ºm `L¹ÔxCm C [ w![yy*À1×FFuyÂ`|¼ Cx2m eyy[Ay[xPm HA" y[yw w¼ x2yCyC# [ ymy w$[Hy[ w ey[Ï wmx%wyyLy m¼º[b¿+y[¨y¸y[xwºyT1 Íx[ey[3yy[ ey[3[ºFu%[meyTÂ&@ã °T¯ á ³' ¯¼´)( ewm |¨y[y 5ÃT%[ wº º e[ywyÃT+ymFmy eTÃxuy<mº![yx2 x2mºy

!#"$%'&('*)+-,.0/ ¤

1 "C+(P:#s

t3uwy% wH,m ½m¹2w ºyCyyx2y e1x2yu1¹ÔmLuy% wmx2y[y%À1nÌy͵em·y[3y[ewm wuwy%mww HÏm[Fy¹Ôm¶*yCF y¹3*y w1 xCHy[¨yxP w¨®Fuwmºy º wwºy[xÂ(t3uwym wmÑy·e ®x2yuyTwºy[<uwy¼¹Ôw32wxy[ eL¹+uy 54768 09 m*z3H·ÍzyÐ[Ð5 wºm 5ÃH¶*uFuy[3Puy% yyTm¹`w Px2º¸yTº eyHm wÆVy[yÖ¾ £Ã"©ÇËÙÊÂ*|¼Ì×ÍwºÃ¹Ômx uymx2º w""m *m¹+̺y[¶Ãeº*x2my1w,mwCHy¨y[ewm"yº ey["ͺ ¹Ôm1uyCÌmyºm wy[wywmy[[ÂLt3uLy[eyT*uH¼mººLx2HeyT½ Ïx2ymuy[¹Úmuº 5Â;:1wmºÖÖy[m =<'%>07/ 2w ºyy[ºy[xy[ eLHy[ºyT¶*uyyxy¼y[xPmymwy[Ö2y uH wy¼uyF×ÖwHy[ºyT<m¹5uwyxyu6Â`µ mw׺ ®uy¹Úm,º m¹<uy 04768 709 m H׺ ÝuyÖx2yuÓx%H"y®wºyP¶*ºuÕy[HyT,½uyÖm ÌmyT,ºÌyCyxPÃm w2mÌmy@?Öy e1 B¹Auy wx2yTººÖm H׺ 5ÂA "mwm®wemFuKuwmÖHy[y XÎFºÐy½"uXuyÏÌmyºy[Öm wKuwyÁy[ywº

uy®y[mx yP¶*º HÓAy¶3͵Ñmºy[· Ïx2yu9ÆV.:L<ÑÊÂAt3ux2yuÓ¶3m#2wF% wmºÐyT¹Ô®uyÕÀ1nÌyCBem·myTPy[ewm w ÒÌmyºXÌmmºK¹Ômx%º 9 ¾ô©ÉnË Ã¼m w uy wyTyÌy×Ò¹Ômx%º Î =¾ ©m¤Ã<©mªÃ©m¦nËbÂt3uyÏ@:LÑ!xyuK¶y[2º®w[yT2Óuyw 32Hy[yTx2y[ ¼¹`Ìmy[ººy[1 wy[yTÂ3 ¼mº¶L3¹Ô¼Pm5y*y[xPyT*uwy wy[Hy[ wy[ ¹suyP*y[e wm1 xCHy[ w½uHm¨Hy[y §wyTÁy¸ey wÌmyº §Fm,y%¶*ºuÝmy[º[ÂDL¶yÌmy[[Ãeuy%@:LÑ x2yuuwm*mx2y wyTFy¨¹Ôy[y[5EF %2H6"mw w®m wºm H3m Ìmyºy[*m w®wyTy¨my Hy[HGF %2H6 wm ͵x2x2y¼yxP*y¼ ewyTIGF uyy[Lewy[<y[x º ewy[*m32HmByTyÍ Ìmy[ººPº e3º uyxPº¸GF uy®ºyTm%ewmyT¨yx xPm·my[xPx2 Áx"ºyÖ HϺx2y®y[ Án¶*·¶mHGÕnÛ wy[ 2m wyuwCÓyTm%ÝÓwmyÍbx2yJ2w w×yy[ºy[x2y eÖFuÕwº m e mw*mn¸ºxPº Ö ºx2yKG

F u¶9Pwy¨x2º¸y[L2w ºyy[ºy[xy[ e3 mxCº Hm ¶*ºuÁ@:LÑ Lº5w wy[m[ÂtÌmy[mx2ysuy[y1mÌ eFmyT(xy* wy¶ FºÐTm CyTFu ey[`uHnÌmy*"yy Py[Ìmy[ºHyT

wFuÖ`uwy1yT,m 2x2yuPm"y[2NM<º wÖ¾ºÇn£ÃHÇ[¥Ë Ãmuy¼2Ìeº%x2yuPmmyT,º xyu%HeyTѨyx2m wP¾ô©m©nËm wzy[F·yA wzFmF·C¾Ç,Ë wuyHºeÍ wmx2my[wy3yT,m x2yu2ezFuwyÌ%m w2»1uxPm 2y[Hy[º ¾ô©nË ÂPOÁmy*yTy eºuy®yTmyFºÐ[m Õx2yuÕ¹1»¼mwmm%m wÕ»¼H e¾Ç[É˶yÌÌmy[Õ%m Ûºy wÌmym P¶3m2u¶* Ò ¾ÇmÇmÃ*Ç[ªnË*uw2uwyx2yuKFºÐyT2HmuKº HFººy[PyÓmx2 wº m ÌmyT,º 2m wP wwº×ºyT<yLuwy1Ìmy[º×eÍ yTy*mwº HÂPO½y[Ìmy[`×3¶su¶* P ¾ È[ËAu¶uLx2yuÌy[*Ö wm6º ·Hy¶<y[y Ám ¹Ôx2 P w ͵m ¹Ômx Q2w ºyy[ºy[x2y ePxyu[ÂK 2¶3mwy[Î ¾ÇT©TË*ÓÌyÓ*y[ m x%"yP wy[Hy[ wy e®m×ÍÐy[ݹÔxCm Ó¹Ôuy[ wm ͵ ¹Ômx2º

P1M<mwÐyº¸Í 1nÌewn¸x2m §¹Ôm

uyÌmy[º×ºyT*mxC y[¶*×uyyx2y e¶*y w e*y[wyTµ §uwmHy[¨¶ymÌmyCuy 2wFy¸y wº Ïm¹uy2x2yuÁuy2º yTºÐ[y[ÁÀ¼n̺y[Íe·myT

yTewº wÂÜÝy®"m Cmuw%uyHeyTÝxyuÕºFxCÌmy[ Fuy®mHÌyPxy[ em yT

* * æRSTEH

¥ "@& ) /K >P '<

wm Ìmy[ ºy[ wyT*¹`uyP@:L<Ñ xyu§1uy%wyC¹smx2y%mwy[Ámwº ¼ ½uyem xP׸IGeuywm w¶*u¹uyyx xPº¸y[º ¶wmy¨ºx2y Hm w3m wPy[3 uyyÖwmyÖºx2y[ wm HÂt3uyP¹Ômx%wm Õº¶L¨¹Ômy[ yF`w wH,wyT§x2yTuyTµ ÓuwH"y¶<ym wº½yT¨uyP[myCm¹<y[ewm(mFy¨º eyHm Á¹ÔyTy[¨ w§Ìmy[º×ºyTÂmuymyLm¹x2ºFºÐTm yºyT`¹Ô<y[ºy[xy[ e<wmºF<¹Ôº wuy¿+z3z<͵m H׺ P¶<yy¹Ôy[3¾ ÅË Â

wmuy¨º y[mÐyT2À1n̺y[ Be·myT(y[ewº w1ÆV ·B wÂ`|¨yy[ " sy[ewm wFÊ(¶y1ÌmyLÖÆVewmÊxPAÖº+yLy[xPyCº ÁuyCy y[ x wy"y Hy e¹(uy2*y[e wmL xCHy[1º¹uy2ºº Á¼@?Öy e½ymwm[¼ܧyCuy[ §m wy¨uy[mºmmwmy׺yT¹ÔAuy*"y[y[ e(*y[ mA x%"y(ymx2y[[ A Cy[my[x2y¹Ômuwy

L2 Í mx¡¹wuy3Ìmy[º×1uy[ §ÌmyT6 wmº½¶<ywuyC"y¹ÔmxP wy%m¹uy x2y[(Fuwyx2y% §mx2y%º wy[x2y[yTL ½¶Ö wuyy%wmy%x2y wº w[Â1mx2x2y¹`uy[yy[ºLuHnÌmy"yy[ ÁyTmm wyT*y¹A yº Ó¾ ¦nË Â

F.*L$M*C $MP A)+**) *82:

ÜÝy wy[[Ã Ω ⊂ R

d ¶*ºuH wm ∂ΩÃuymyxm¹(m̺ w

σu + β · ∇u + ∇p− 2ν∇ · ε(u) = f

Ω,

∇ · u = 0º

Ω,

u = 0m

∂Ω.

ÆÇTÊ

¶*uwyyu ∈ [H1

0 (Ω)]d ∩ H0(div; Ω)Ãβ ∈ W 1,∞(Ω) ∩ H0(div; Ω)

Ãp ∈ L2

0(Ω)Ãf ∈ [L2(Ω)]d

2ºÌy Fy¨y[xÃ

σ H

νmy"mw wy["׺Ìy¹Ô w,º w[Â<z

H0(div; Ω)¶yy wyuy

¹Ôw w,º w* [L2(Ω)]d

HFu®uw∇ · u = 0

Âܧyy myuwyL2 Í mmwwLÌmy[ Ω

(·, ·)m w®uymyT"m wº x

‖ · ‖0,ΩÂt3uy

Hs(Ω) wmx¶*º5"yy wyT®

‖ · ‖s,ΩÂ

t3uy¶y[m·2¹Ômx%º m¹mwºy[x ÆÇnÊyTm5EP2w w(u, p) ∈ [H1

0 (Ω)]d × L20(Ω)

wFuuw

a(u,v) + b(p,v) = (f ,v)

b(q,u) = 0∀(v, q) ∈ [H1

0 (Ω)]d × L20(Ω),

Æb©mÊ

¶*uwyya(u,v)

def= (σ u, v) + (β · ∇u, v) + 2(νε(u), ε(v)),

b(p,v)def= −(p,∇ · v).

ÆÚ¤Ê

t3uwy¼¶y×Í "y[ yT<¹umyx ¹Ôº¶LsPuy¿+¸ÍO½ºmx yx2xPy[Ö uywmy[H1

0 (Ω)]d ∩H0(div; Ω)ÆÚyyùÔm* w HymÃ+¾ ©Ç,ËÔÊ,Â

¿+yThy my1¨ wmº m¹Buy1mxP

Ω¶*ºuwmsuH º wy[[ÂwmsyTmFu

K ∈ ThÃ

¶yºyhK

def= max

e⊂∂Khe,

¶*ºuheuyx2yy¹*uwyyTmy

eÂÓt3uyº eyº%¹1Ï ºy

K¶*º3Hyy wyTÕ

KÂ

OÁmyÌmy[<¶y¶*º5mx2y¼uw*uyx2y[u3ymuyy wy¨uw

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ £

F ÆÔuwmHyymºÊhKx

(K)< C, ∀K ∈ Th,

¶*uyyCmx(K)

m w1¹ÔmLuyCmxyy[1¹`uy%myTL wº"y[Áw Km w

C1

2¸y[ w e0GF ÆÔ5ewB w×¹Ôx2ºÊs¹Ô3m 2¶<yyx2y eF K,K ′ ∈ Th

uwn̺ *y[m3m yx2x yuwyyuwm

hK ≤ ρhK′

¶*uy[yρ > 0

PÓwFx2yyPy[Hy[ w Õm Îuwy½xyTuy[mºmÂ

wm3uyym w[Ãe¶yuw6wy¼uy¹Ôm¶*º y¨º yTew×

‖v‖20,∂K ≤ C

(

h−1K ‖v‖2

0,K + hK‖v‖21,K

)

∀v ∈ H1(K),ÆÚ¥eÊ

¶*uwyyC*Cy y[ wF e*º Hy"y wy eL¹

hKÆÙ¹ÔmL2w¹Ay[yP¾ ©mÅÃ5Âs©ÉËÙÊÂ

wmLmÌmy[ y[y¶*ym e mw¹Ôw w,º ϕÃuy3x2

JϕKeÌmy[3yTmy

eLy'2w y[

JϕKe(x)def=

lim

t→0+(ϕ(x + tne) − ϕ(x − tne)),

º¹e 6⊂ ∂Ω,

0,º¹

e ⊂ ∂Ω,

¶*uwyyneL xPm"w ×¼Ìmy[

e w

x ∈ eÂ

µ ½u¼H"y1¶y%yV k

h

y myuym wm½wmy¹sm e mH3¹Ô wm w¨¹`y[y¶*y" mx2BmFy[

k ≥ 1Ã

V kh

def=

v ∈ H1(Ω) : v|K ∈ Pk(K), ∀K ∈ Th

.

m wH2(Th)

uywmy¼m¹Ay[y¶*yH2 ¹Ôw w,º w

H2(Th)def=

v : Ω −→ R : v|K ∈ H2(K), ∀K ∈ Th

.

wmuyÛÌmy[º×ºyT¶<yÕ¶*ºCwyÓuyÛwmy[V k

h ]d w¹Ô½uyÒyTy§¶yÕ¶*ºCwy

Qkh =

V kh ∩ L2

0(Ω)Â µ uy§y[ey[VÃ*¶yÁy

πhy my½uy§m wm

L2 Íbwmy[,º Xm"yFÖm euy 2H ×y¼y[ºy[x2y ewmy[[Ãm wP¶y1xP·yL % wm wmHByy wy1"y¶yy 2uy¨my[m Pm euy*Ìmy[º×m w%wyTywmy[[Â+ÜÝyL ewy3y[y[¶*yº y[mwn¸x2yTÌmy[º×βh ∈ [V 1

h ]dwFuuw

‖β − βh‖0,∞,K ≤ ChK‖β‖1,∞,K , ∀K ∈ Th.ÆV£mÊ

»¼y m ½uyÖw,%wyW k

hdef= [V k

h ]d × Qkh

2w w×yÖyyx2y ex2yuÓyTm5E 2w H(uh, ph) ∈ W k

h

HFu®uw

A((uh, ph), (vh, qh)

)= F

((vh, qh)

), ∀(vh, qh) ∈ W k

h ,ÆÚÉÊ

* * æRSTEH

É "@& ) /K >P '<

¶*ºu

A((uh, ph), (vh, qh)

) def= ah(uh,vh) + bh(ph,vh) − bh(qh,uh)

+ ju(uh,vh) + jp(ph, qh),ÆbÈÊ

ah(uh,vh)def= a(uh,vh) − 〈2νε(uh)n,vh〉∂Ω − 〈uh, 2νε(vh)n〉∂Ω

− 〈β · nuh,vh〉∂Ωin+

⟨

γνν

huh,vh

⟩

∂Ω+

⟨

γn max

|β|,ν

h

uh · n,vh · n⟩

∂Ω,

ÆÚÅÊ

bh(ph,vh)def= b(ph,vh) + 〈ph,vh · n〉∂Ω ,

ÆÚ¦Ê

ju(uh,vh)def=

∑

K∈Th

γβ

h2K

‖β‖0,∞,K

∫

∂K

(βh · J∇uhK) · (βh · J∇vhK) ds

+∑

K∈Th

γdivh2K‖β‖0,∞,K

∫

∂K

J∇ · uhKJ∇ · vhK ds,ÆÇ[ªÊ

jp(ph, qh)def=

∑

K∈Th

γpξ(ReK)h2

K

‖β‖0,∞,K

∫

∂K

J∇phK · J∇qhK ds,ÆÇmÇTÊ

F((vh, qh)

) def= (f ,vh),

nuym¶m®Hº e P xPmH

∂ΩÃm wwº uy Fº

ReKdef=

‖β‖0,∞,KhK

ν, ξ(λ)

def= min1, λ,

〈x, y〉∂Ωdef=

∑

e⊂∂Ω

∫

e

xy ds, ∂Ωindef= x ∈ ∂Ω : (β · n)(x) < 0.

t3uwy¨y e(x2yxP*y[Ìy¼uyyHeyT'EÇmÂ*FºÐTm ¹Auwym Ìy[,ºÌyLyx2%ÆÙuwy#2wLwx ÓÆÇ[ªmÊÊG©Â3m̺ Pºm wm5m e"m¹uy wxwyTºwº×Öm w׺ ÝÆÔuy%y[m wx ÓÆÇ[ªmÊÊG¤Â3xP·º wCuyyÐ[m 54 09 mºyÖÆÔuyx º ÓÆÇÇTÊÊÂ

ÜÝy%¶*yy% uwyC H*uHLuy[yuy[ymy[,ºÌy[¼ymº yTº Áuymxy¹Úuwº m wuw¼yTy ePuyCmFmy e(x2ÁHy[mL[ ½wººÐ[y% º wmººwÌm·myTÖ2HmFy¨y[xÂ2 %um§HyP myTÁuw¹ÔuyÖ[myCm¹suwyPº wmx2y[yÀ¼n̺y[Íe·myTyTewº w2×xmue®"yÏÌ emmywCÒwºy½uy½y[xM emº ÝuyÖx2wÖ XuyºÌymy Hy2Ïuy®m[y[%ewy[mºÐ ½y[x

(γdivh∇ · uh,∇ · vh)º Ûy

·yy[϶* Áuy2w H¶*×uÏm¹uy2xPº¸6 DL¶yÌyL¹Ôxyxwºy¸ÁyxPwFu§m¨º¶3ÍOÏmFuw¶9uy3x2yx 3y¸"y[y[uHnÌmyx2yÌ emmyTÂA x2º wÓ@?Öy ePymwmº§m¹1uyy¸m2mm ÎuwymHÌyÖ¹ÔxCm Î2m º

m wy e[Â

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ È

<ß Û²²%' ß ± 2±n° ãHã ² ' Ô° à 7 @&(Q-,.(u, p)

$, @ 4 ÆÇTÊ <7% -,. 97

[H3/2+ε(Ω)]d+1-,

ε > 0!/ %

(uh, ph) ∈ W kh

<7#-,. @+ 4 ÆÚÉÊ ,

A((u − uh, p− ph), (vh, qh)

)= 0, ∀(vh, qh) ∈ W k

h . 5C4 t3uAA Cºx2x2y[ym wy[ey[ wy<¹uy3m Hy w¹uym wm%Ñmºy[· x2yuwm wÏuy2¹Ú,uw wy[uyPy×½mx2m w

jp(p, qh) = 0 w

ju(u,vh) = 0Ã+ wy

J∇pKe = 0 w

J∇uKe = 0¹ÔmLmº6 ey[m*yTmyT

eÂ

CA FHG %ÒA $MP

wº×Cº uyLy[myLwººÐTº Cx2yu2wmy[m uy3¹Ômº¶* yx2xP¶*uFu2¶3m`wÌy[¹Ôsy[y¶*y¼º yT<m e mHswn¸xPm Ͼ È[ËbÂD1yy1¶yLy¸y[ wPusy[º×m"m mx2symyyÂÀ1yPuwC¶yÖmÌmyÖ¶y"m HÕm¶ybÂt3uw%% % wyy[y[ݹÔm%uym w[Ãew1uw¶Luw3 ½x2yy Hy¨uwyFºÐ y[xP*mymx2mVÂ<ß Û²"!# ,.' Q%$K 8'9% 9'

π∗h : [H2(Th)]d −→ [V k

h ]d /&7.

γβ

γlow

/K89/' -,.J%7!& C,K7&(' / ,#93 & /=(= 7 <'@ # -,. 7 &( , %>0 )7, -,.

γlowjβ(vh,vh) ≤ ‖h12

(βh · ∇vh − π∗

h(βh · ∇vh))‖20,Ω ≤ jβ(vh,vh)

4 vh ∈ [V k

h ]d* ,

jβ(vh,vh) = γβ

∑

K∈Th

∫

∂K

h2K |βh · J∇vhK|2 ds.

5C4 m¨y[FuÁ yxiÃ6ºy

ni"yuy x%"y¹<yyx2y em emº

xim¨® wymÂt3uy[

¶yy2H y2Hm×Í º eyHm π∗

h

¹Aymyyk

π∗hv(xi)

def=

1

ni

∑

K : xi∈K

v|K(xi), ∀v ∈ [H2(Th)]d.

wm*yTmFu®y[ºy[x2y eK ∈ Th

m Hyuy¹Ô wm

δKdef= h

12

K

(βh · ∇vh|K − π∗

h(βh · ∇vh)|K).

M<y[mmÃδK(xj) = 0

¹ÔmLyTmFuº eyº* yxj ∈

K¶*uyy[*m uwyyyx2y eLyTmyTÃb ymÂ<¹Ôm1mº

wy[xj ∈ ∂K

ö<yuwnÌy

δK(xj) = h12

K

1

nj

∑

K′ : xj∈K′

βh ·(∇vh|K(xj) −∇vh|K′(xj)

)

= h12

K

1

nj

∑

K′ : xj∈K′

∑

e∈P (K,K′)

βh(xj) · J∇vhKe(xj),ÆÇT©mÊ

* * æRSTEH

Å "@& ) /K >P '<

¶*uwyyP (K,K ′)

F wws¹Ôsuyym¹+y[my[<"y¶yy Km w

K ′ ÆÙuwy¨umyTwuHÊ,Â`ÜÝy ¶ ewy¨uyy¹Ôyy wy¼y[ºy[x2y eK w6ùÔm*y[Fu

K ∈ ThÃuy?2 wyx2m

FK(x) = BK x + bK , ∀x ∈ K,

wFuÏuwFK(K) = K

 wmºmÃ5yϕK

j

ÃB¹Ôj = 1, . . . , k

Ã6uy2wm1¹Ôw w,º wm KÂ2º Hy

δK(xj) = 0¹Ôm<y[Fu ey[m wy

xj ∈

KÃ‖δK FK‖2

0,∂K= 0

x2ºyT`uHδK FK = 0

KÂ

t3uwyy¹ÔmymÃ6§y[eÌnmºy[ wy2m¹< xPm ÕyyPwmy[[Ã6wº Ám wFÝ[º mwxy[ eÆVy[y2¾ ©ÇÃ5¦ÉËÔÊ<m wÝÆÇT©Ê,ú*¹Ôm¶Lsuw

‖δK‖20,K = detBK‖δK FK‖2

0,K

≤ C detBK‖δK FK‖20,∂K

=

∫

∂K

1

|B−TK n|

|δK FK |2 detBK |B−TK n| ds

︸ ︷︷ ︸

ds

≤ C|BTK |

∫

∂K

|δK |2 ds

≤ ChK

∫

∂K

|δK |2 ds

≤ ChK

∫

∂K

k∑

j=1

|δK(xj)|2(ϕK

j )2 ds

≤ Ch2K

∫

∂K

k∑

j=1

1

nj

∑

K′ : xj∈K′

∑

e∈P (K,K′)

|βh(xj) · J∇vhKe(xj)|2(ϕK

j )2 ds

≤ Ch2K

∫

∂K

k∑

j=1

1

nj

∑

e∈E(K)

|βh(xj) · J∇vhKe(xj)|2(ϕK

j )2 ds

≤ Ch2K

∑

e∈E(K)

∫

e

|βh · J∇vhKe|2 ds,

¶*uwyymÃw ½uy¶P¼º yTew׺yTÃE(K)

y[ y[*uyCy¨¹`y[my[1m eF º w®x2y ym¹K¼|¼ uyCuy¼uw w5Ãwuy%Hm+ymwmº®m¹

Thxwºy[Luw1uwy%xP¸x%x x%"y

m¹+y Hy[<¹(%yTmy¨ mº"uwyyFE(K)

H wyT®Ö 2¸y[m HF e wy[Hy[ wy[ *m¹hKÂt3uy +ÃewxxPm m

Köymy3uy"yL"mw w

‖h12

(βh · ∇vh − π∗

h(βh · ∇vh))‖20,Ω ≤ C

∑

K∈Th

h2K

∑

e∈E(K)

∫

e

|βh · J∇vhKe|2 ds,

≤ C∑

K∈Th

∫

∂K

h2K |βh · J∇vhK|2 ds,

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ¦

t3uwy¶yAH w%¹Ômº¶LA wy[ ¼uyL2 Íb wmx¡¹uyLm e mw+¹Ô wm δ Ìyuyy¹Ôy[y[ wyHFu

Gm wº Pm¹(uyCy¹Ôyy wyyyx2y e

K wº1 y[myTL y[ºuH[Â M<ºyTº

º¹‖δ‖G = 0

uy βh · ∇vh = π∗

hβh · ∇vh GÂ`t3u<xyT wsuH

βh · ∇vh e ewmw<º

Gm w2uy[ wy ∑

e∈E(K)

∫

e hKJβh ·∇vhK2 ds = 0ÂDLy[ wy¼ wmx yTwºÌy HyL ®yy1wmy[

¶yuwnÌmy∑

e∈E(K)

∫

e

Jβh · ∇vhK2 ds ≤ ‖δG‖20,G

t3uwymºx.uy ιÔmº¶LC Òuy½mxy¹Úmum ÒCuy 2wF2wm2¹Luyem¹1Û[º w§ Hy¸y Hm P5m¹

ThÂ

:¼ uy1x2y3yTFu wy*¶<y*x2xyTy[ºuwnÌy3uy3¹Ôº¶*º wmm¶*uyy3¹Ômsxwº,ͺPuyº¶y3"m HLy¨mx2×yT6 㠱 ã ' 'Ú²± à !# /=' ,# '& ( 7 @& 9 . & &( ! ,

‖h12

(∇ · vh − π∗

h(∇ · vh))‖20,Ω ≤ γdiv

∑

K∈Th

∫

∂K

h2KJ∇ · vhK2 ds,

‖h12

(∇qh − π∗

h(∇qh))‖20,Ω ≤ γp

∑

K∈Th

∫

∂K

h2K |J∇qhK|2 ds,

ÆÇ[¤Ê

4 (vh, qh) ∈ W k

h

/ -,γdiv, γp > 0

7. # /K89/=' 4h

À1¶ÃH Ïy[*mÌmy1xPmº Ïmººy[º[ÃB wmxy[ºuwy% ¹ÙÍ Ým H׺ ¹ÔmAÃ"¶<y

y2w yy["y[,ºÌy2uy¹Ôº¶* 2xyTuÍ y[Hy[ wy[ Lyx2ºÍb x w mx W k

h

E

|||(vh, qh)|||2 def

= ‖σ12 vh‖

20,Ω + ‖ν

12∇vh‖

20,Ω + ju(vh,vh) + jp(qh, qh) + ‖|β · n|

12 vh‖

20,∂Ωin

+ ‖γ12ν (ν/h)

12 vh‖

20,∂Ω + ‖γ

12n max

|β|,ν

h

12

vh · n‖20,∂Ω,

|||(vh, qh)|||2∗

def= |||(vh, qh)|||

2+ ‖qh‖

20,Ω,

¹ÔL(vh, qh) ∈ W k

h

Ât3uy§¹Ôm¶*º Òºy[xxPÒmÌmy[®uwy§y[ºÌºKm¹mm"yFmÖ¶*ºuyT"y[®Òuy§mHÌy

x2yTu͵y[Hy[ wy e1yx2ºÍb xÂ<ß Û²"!# ã5ß ±³ Ô° à , %$K J .

C > 0 /=9.' /

Ω/

γν

)7, -,.ah(vh,vh) + ju(vh,vh) + jp(qh, qh)︸ ︷︷ ︸

A((vh, qh), (vh, qh)

)

≥ C|||(vh, qh)|||2,

4 (vh, qh) ∈ W k

h

* * æRSTEH

ÇTª "@& ) /K >P '<

5C4 wx ÆÚÉeʶ<yy

ah(vh,vh) + ju(vh,vh) + jp(qh, qh) ≥ ‖σ12 vh‖

20,Ω

+ 2‖ν12 ε(vh)‖2

0,Ω + ju(vh,vh) + jp(qh, qh) +1

2‖|β · n|

12 vh‖

20,∂Ω

+ ‖γ12ν

(ν

h

) 12

vh‖20,∂Ω + ‖γ

12n max

|β|,ν

h

12

vh · n‖20,∂Ω − 〈4νε(vh)n,vh〉∂Ω

ÆÇ¥eÊ

¶*uwyy¨¶ywy[uy¨¹Ú,*uH[ÃH¹Ùy[*º eymFº ®®H[Ã

(β · ∇vh,vh) =1

2〈β · nvh,vh〉∂Ω .

t3uwymy[x« XÆǥʨ Ý"y"mw wy[Ýw uyJMHFueeÍFu¶mÐ%º yTew×¹Ôº¶y[§eÁm6º Ìmy[y¨º yTew×Ã2m

| 〈4νε(vh)n,vh〉∂Ω | ≤cI2γν

‖ν12 ε(vh)‖2

0,Ω +1

2‖γ

12ν

(ν

h

) 12

vh‖20,∂Ω.

ÜÝyFuyγν >

cI

2 > 0 H®¶ym Hwyuwym¹wº w¼m " º yTew×Â

ÜÝy ¶y¨uymººPyTw×3¹Ôm3uyyy¨¹Ômx%º §ÆVÉÊsuyw¹¹¶*uwFum "y¹Ômw wº A "y H׸ A  ßã ± ß !#6°T²­ ' Ú° à ,.' %$= J 7 8

C > 0/=9.' /K C4

h /

ν 7)7,

-,.

sup06=(vh,qh)∈W k

h

A((uh, ph), (vh, qh)

)

|||(vh, qh)|||∗≥ C|||(uh, ph)|||∗,

4 (uh, ph) ∈W k

h

ß Û²± !# ,#9 5 -,.7 & & 9 N-,. -,.J/ '#9 =<'%'& ÆVÉÊ K/& N @ '@

>@03A%*# Ò $MP

À1y1uw3uwymºÐyTP¹Ômx%wm ® *y[ ºyP wy"y Hy e*¹5uyº[6*y w< xÍ"yTÂ3t3uywmmxyy[3¹ÔmLuyy[ymºÐ[º ½[y[L

h2/|β|¶*uwy uwyº[Ly m

xCHy[ReK

wºÏm wÕmh3/ν

¶*uy[ ReK

%x2mºbÂܧy¶*ºs w¶ u¶ uw%uC[º wºÌy[<mºxPm5%m"y[my[xPy[º uwyuºu§ÆÚºmÊ*y[ m x%"y*yºx2y¨¶*uy uymº Ïx2u5Ã

(u, p) ∈ [Hk+1(Ω)]d+1 m wÁ §uy2¶ ÆÔmʼ*y w¼ xCHy[y[mx2yw wyPm wFÕymºÓmx2º w[ÂÝÜÝyuy[ ÎÌmyÃ(w §uy A wº Í À1×FFuywmººy[Fu weyÓÆÚyyÃsym w¾ºÇÈ[ËÙÊÃsuw2uyÌmyºy[CuwnÌmymx2m*m Ìymy HyÖy[mݺ ÎuyL2 Í mx ¶*uy[ §uyP[*y[ m x%"y¶Ã5¶*×um% Ïmw׺ w`x2%2Hm wm¹uyÖwººÐTº 5 AºFm¹3mºs¶<y2Ìmyuwy2¹Ômº¶* m"y½¹uy

L2 Í my[m Ým ÝuywyV k

h

öyy2H yCºy x m wu¶ wn¸x2mººPyTw×TÂ

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ÇÇ

<ß Û² 'Th<7QN% ' ;@ 4& &( , /

l ≥ 1,

∑

K∈Th

‖hl∇πhu‖2l,Ω ≤ C‖u‖2

1,Ω,

-,C > 0

7 7 !/=9.' /K C4h

5C4 t3uwyC¹ Áx2xyTy2 wy[ey Hy%m¹uwyH1 Í mºº¹uy L2 Í y[m ½ mºÖewm×Í º¹Ômx x2y[uy[ÆVy[y¾ ¥ËÔÊ<º x% wº ®¶*ºuºmBº Ìmy[y1yTºxPymà Hx2ymÃ

∑

K∈Th

‖hlK∇πhu‖

2l,K ≤ C‖∇πhu‖

20,Ω ≤ C‖u‖2

1,Ω.

<ß Û² '(u, p) ∈ [Hk+1(Ω)]d+1

;4J &(k ≥ 1

/KJ, 7 @& 9 C4N%7' 6@ 4& 4 , & C, ! ,

|||(u − πhu, p− πhp)||| ≤ C(

σ12 hk+1 + max

ν, ‖β‖0,∞,Ωh

12 hk

)

‖u‖k+1,Ω

+ C maxK∈Th

‖β‖− 1

2

0,∞,Khk+ 1

2 ‖p‖k+1,Ω,

-,C > 0

7 7 $/K89/' γν

γnγβ

γdiv

/γp

5C4 z®uy HF®y[m3yTºxPy¨¹Ôm3uwyL2 Í yT,m ÝÆÚyy2¾ÇnÈ[ËÔʶ<yuHnÌmy

‖σ12 (u − πhu)‖0,Ω ≤ Cσ

12hk+1‖u‖k+1,Ω.

:¼ ½ ¶@uyH1 ͵F×Ám¹3uy L2 Í my[m Ým Óº[ºÏewºÍ º¹Ômx«x2y[uy[ÖÆVy[y½¾ ¥mËÙÊ

¶y¨myTö*×uihy m uy m6º ey["m e* w2F wwFÖ yHm y<yTºxPymÃ

‖ν12∇(ihu − πhu)‖0,Ω ≤ C‖ν

12∇(ihu − u)‖0,Ω ≤ Cν

12 hk‖u‖k+1,Ω.

ÜÝyyT*uwy%"m wwÖy[xP*H 2uwyFmyº wy[ewº§ÆÔ¥Ê3 ÁmxC wº ¶*ºuuy%mHÌyyTºxPy[¹Ô3uy

L2 Í mx H®uyH1 Í yx26 xÃym wÂÃ

‖u− πhu‖20,∂Ω ≤ C

∑

e⊂∂Ω

(h−1

e ‖u− πhu‖20,Ke

+ he‖u− πhu‖21,Ke

)

≤ Ch2k+1‖u‖2k+1,Ω,

ÆÇT£mÊ

¶*uwyyKe

y my[%uwyºx2y¸ÒwFuÕuwe ⊂ ∂Ke ∩ ∂Ω

ÂÓt3uwy eym%"y HºÓyxPCmyyTy[º uwymxy¨¹Úum muy"m ww2yxPÂ`ÜÝyuwnÌy

ju(u − πhu,u − πhu) ≤ ju(ihu− πhu, ihu − πhu)

+ ju(u − ihu,u − ihu).

ÆÇ[ÉÊ

* * æRSTEH

Çn© "@& ) /K >P '<

t3uwyQ2Hyx« Ïuº wy[ewºÁ Ý"yPy[x2yTÏw uyFmyC yTH×KÆÔ¥eʨm wÁuy ¿+yx2xP¥wÂÇúy[º

ju(ihu − πhu, ihu− πhu) =∑

K∈Th

[

γβ

h2K

‖β‖0,∞,K

∫

∂K

|βh · J∇(ihu− πhu)K|2 ds

+ γdivh2K‖β‖0,∞,K

∫

∂K

J∇ · (ihu− πhu)K2 ds

]

≤ C‖β‖0,∞,Ω

∑

K∈Th

h2K‖∇(ihu− πhu)‖2

0,∂K

≤ C‖β‖0,∞,Ω

∑

K∈Th

(hK‖∇(ihu− πhu)‖2

0,K + h3K‖∇(ihu − πhu)‖2

1,K

)

≤ C‖β‖0,∞,Ωh2k+1‖u‖2

k+1,Ω,

ÆÇnÈÊ

wm3uyyT wÖyx ÓÆÇ[ÉmʶymF 5à ®uyx2y¨¹Úmuº 5Ã

ju(u− ihu,u− ihu) ≤ C‖β‖0,∞,Ωh2k+1‖u‖2

k+1,Ω.ÆÇ[ÅÊ

A wmüuyÓy[wy®x2yx yTyT9w ÒuyÕmx2yÝmx2y em w uyݹÚmuwξ(ReK) ≤ 1

Ât3u3ºy[[Ã

jp(p− πhp, p− πhp) ≤ C maxK∈Th

‖β‖−10,∞,Kh

2k+1‖p‖2k+1,Ω,

¶*uwFuxwºyy[uy¹Â

!#"$%&(')*

µ uw*y[m ®¶yÌmy¼m Ìmy[y wyL ®uyºwºy¨ mxÂ`t3uy[yyTº3my¨mºxPm6º wy"y Íy eÖ¹Auwyºm5*y w3 ewx%"y*¶*uy[ uyy¸,Lºm *@?Öy ex2u+ ßã ± ß # @& Q,

(u, p) ∈ [Hk+1(Ω)]d+1I4 &(

k ≥ 1 Q-,. '@ 4 ÆÇTÊ

/(uh, ph) ∈ W k

h

<7 , '@ C4 ÆVÉÊ ,.'

|||(u − uh, p− ph)||| ≤ C

[ (

σ12 +

‖β‖1,∞,Ω

σ1/2

)

hk+1 + maxν, ‖β‖0,∞,Ωh12 hk

]

‖u‖k+1,Ω

+ C maxK∈Th

‖β‖− 1

2

0,∞,Khk+ 1

2 ‖p‖k+1,Ω,

-,C > 0

7 7 $/K89/' γν

γnγβ

γdiv

/γp

5C4 ¿+y1yTx"y¨uyy[m(u − uh, p− ph)

º ¶H

u− uh = u− πhu︸ ︷︷ ︸

eπ

+πhu − uh︸ ︷︷ ︸

−eh

= eπ − eh,

p− ph = p− πhp︸ ︷︷ ︸

yπ

+πhp− ph︸ ︷︷ ︸

−yh

= yπ − yh.

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ÇT¤

*¹Ôº¶L<uy[ uw

|||(u − uh, p− ph)||| ≤ |||(eπ, yπ)||| + |||(eh, yh)|||.¿+yx2xPÏ¥HÂ ©ÏmÌmyT2 ÒyTºxPy¹Ôm

|||(eπ, yπ)|||Ã<uy Hy×Ö@?ÖyT%Õw

|||(eh, yh)|||Â :1º

yFÌeºÖ Humm wmººmÿ5y[x2x2*¤Âô©%m w½©ÂÇöymy

C|||(eh, yh)|||2≤ A

((eh, yh), (eh, yh)

)

= A((eπ, yπ), (eh, yh)

)

= ah(eπ, eh) + bh(yπ, eh) − bh(yh, eπ)

+ ju(eπ, eh) + jp(yπ, yh)

ÆÇ[¦Ê

zÁm Ým[m ϹsuyJMwFueÍFu¶mÐ y[ewmºº½ ÏuyPx2x2yCH¨m¹uyPyyy[ºm"yFm* w y CÖH3 uy Ìmy[Ìmy¼y[x¶ym

ah(eπ, eh) ≤ |||(eπ, 0)||||||(eh, 0)||| + |(eπ,β · ∇eh)|

− 〈2νε(eπ)n, eh〉∂Ω − 〈eπ, 2νε(eh)n〉∂Ω ,¶*uwyymÃ6¹Ôx2ººmÃuwyPH wm½yx ¹Ômx«uyP ym ÏÁHuwHy[y Õ wwyT uwy 2wF1yxEm uy%ºue1uw H½ymÂ*ÜÝy% wyuw¼ ½uymx2y¶n¶<y%uwnÌmyÃwwº wPuyMmwFue͵Fu¶3ÐL y[ewmººmÃCFmyº yTew× w2º[6 eÌyFy¨ y[ewmººmÃ

〈2νε(eh)n, eπ〉∂Ω ≤ C|||(eh, 0)||||||(eπ, 0)|||.wmuy®y[m wÝ"m ww½y[x!¶<yPHyPuy MmwFuÍFu¶3Ð% y[ewmººÁ¹Ôº¶<yTÏÓFmy yTH×®m w n¸ºxPm mx2y e[ÃxÁÆÇ[ÉmʵÍFÆÇnÈÊÃPmº

〈2νε(eπ)n, eh〉∂Ω ≤ Cν12 hk‖u‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||.

t3uwy< Ìmy[Ìmy`yx¡A emºyTw Le eÌyFysº yTew×m wuwy<umm wmºº1m¹uyL2 Í y[m 5Ã6¹ÙyuHnÌe y[yT½uwy2m e mH¼Ìyº 2wy β

½ºy[y¶*y2º wy[ ey["m e

βh

Ã

|(eπ,β · ∇eh)| ≤ |(eπ, (β − βh) · ∇eh)| + |(eπ,βh · ∇eh)|

≤∑

K∈Th

‖β‖1,∞,K‖eπ‖0,KhK‖∇eh‖0,K

+ |(eπ,βh · ∇eh − π∗h(βh · ∇eh))|

≤ C‖β‖1,∞,Ω

σ1/2hk+1‖u‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||

+ ‖h−12 e

π‖0,Ω‖h12 (βh · ∇eh − π∗

h(βh · ∇eh))‖0,Ω.À1¶¶y®¿+yx2xPP¤ÂÇ1PmF

‖h−12 e

π‖0,Ω‖h12 (βh · ∇eh − π∗

hβh · ∇eh)‖0,Ω ≤ ‖h−12 e

π‖0,Ω‖β‖12

0,∞,Ωju(eh, eh)12

≤ C‖β‖12

0,∞,Ωhk+ 1

2|‖u‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||.

* * æRSTEH

Ç[¥ "@& ) /K >P '<

M<ºy[ y[xP3¶y¨uHnÌmy

ah(eπ, eh) ≤ C|||(eπ, 0)||||||(eh, 0)|||

+ Cν12hk‖u‖k+1,Ω |||(eh, 0)|||

+ C‖β‖1,∞,Ω

σ1/2hk+1‖u‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||

+ C‖β‖12

0,∞,Ωhk+ 1

2 ‖u‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||.

Æb©ªÊ

wm*uy%y[m wy[x ¶yuwnÌmyÃwº 2uy%umm wmººP¹(uyL2 ÍbyT,º m wy[m

u¶*ºup ÓÆÇT£ÊÃ

bh(yπ, eh) = −(yπ,∇ · eh − π∗h(∇ · eh)) + 〈yπ, eh · n〉∂Ω

≤ ‖h−12 yπ‖0,Ω‖h

12 (∇ · eh − π∗

h(∇ · eh))‖0,Ω

+ C maxK∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

1

2

‖yπ‖0,∂Ω|||(eh, 0)|||

≤ C maxK∈Th

‖β‖− 1

2

0,∞,K‖h−12 yπ‖0,Ωju(eh, eh)

12

+ C maxK∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

1

2

hk+ 12 ‖p‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||

≤ C maxK∈Th

‖β‖− 1

2

0,∞,Khk+ 1

2 ‖p‖k+1,Ω|||(eh, 0)|||.

Æb©ÇTÊ

µ ½2ºx2m<¹Úuwº 5Ãw¹Ùy* eym e®w3 uyuºFy[xÃm wy¨mº H

bh(yh, eπ) = −(yh,∇ · eπ) + 〈yh, e

π · n〉∂Ω = (∇yh, eπ)

= (∇yh − π∗h(∇yh), eπ)

≤ ‖h12 (∇yh − π∗

h(∇yh))‖0,Ω‖h− 1

2 eπ‖0,Ω

≤ Ch−12 max

K∈Th

ν, ‖β‖0,∞,KhK12 jp(yh, yh)

12hk+ 1

2 ‖u‖k+1,Ω

≤ Cmaxν, ‖β‖0,∞,Ωh12 |||(0, yh)|||hk‖u‖k+1,Ω.

Æb©m©mÊ

A wmÃuwyº ey[m*"y HºPy[xP*¹Ô

ju(eπ, eh) + jp(yπ, yh) ≤ C|||(eπ, yπ)||||||(eh, yh)|||.

Æb©¤ÊÜÝy%m wºwyuy%m¹`mºyT,º 2uyy[ºLm¹%ÆV©mªÊ Í,ÆV©m¤mÊ3 ÒÆÇT¦mÊ*m w½wº 2uywn¸ºÍxPm ¿5yx2xP¥wÂô©Â

®ß ³ ã ß ± ° ß ± ß ¯[¯ +± ßµ uyCÖm+y[m*yTºxPyÌy[t3uwymyx ¥wÂÇuwy%y[wyy[m*1 w¼m emºyT Ï® mxÂ1µ Áu¼y[m 5ÃB¶y%uw¶¡u¶ ®y[Ìmy[1 +m¹`uy

L2 Í xE¹`uy%wyTyy[mTÂ

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ Çn£

ßã ± ß (u, p) ∈ [Hk+1(Ω)]d+1

I4Q '& k ≥ 1

<7Q '@ C4 ÆÇnÊ /(uh, ph)<7 ,# '3@ 4 ÆVÉmÊ ;-,.' -,.' #,. /

‖p− ph‖0,Ω ≤ C(

h+ maxν, ‖β‖0,∞,Ωh12

)

hk(‖p‖k+1,Ω + ‖u‖k+1,Ω

),

-,C > 0

. * /K89/=' 4h/

ν

5C4 wmº¶* ¾ô©Çà M<ºÖ©Â ¥Ë Ãuy[yy¸vp ∈ [H1

0 (Ω)]dwFu®uw

∇ · vp = p− ph, ‖vp‖1,Ω ≤ C‖p− ph‖0,Ω.Æb©¥eÊ

:¼ uw* ½x% wº ®¶*ºuÁÑy·º muwmm wº¶yyTmÖmF

‖p− ph‖20,Ω = (p− ph,∇ · vp)

= (p− ph,∇ · (vp − πhvp)) + 〈p− ph, πhvp · n〉∂Ω

+ ah(u − uh, πhvp) + ju(u− uh, πhvp).

t3uw[à y Cw[Ã×*¹Ôº¶Luw

‖p− ph‖20,Ω = (∇(p− ph),vp − πhvp)

︸ ︷︷ ︸

I

+ ah(u− uh, πhvp)︸ ︷︷ ︸

II

+ ju(u− uh, πhvp)︸ ︷︷ ︸

III

.

Æb©m£mÊ

wm<uy2wFy[xÃwº w%uy¼umm wmºº%m¹5uwyL2 Í my[m 5Ã.MwFueÍFu¶mÐ3 y[ewmººmÃ

M<ºP¤ÂÇÃ+Æb©¥Ê3m wmn¸ºxPº 5ö<yy

I = (∇(p− ph) − πh∇p+ π∗h∇ph,vp − πhvp)

≤(‖h(∇p− πh∇p)‖0,Ω + ‖h(∇ph − π∗

h∇ph)‖0,Ω

)‖h−1(vp − πhvp)‖0,Ω

≤ C(

hk+1‖p‖k+1,Ω + maxν, ‖β‖0,∞,Ωh12 jp(ph, ph)

12

)

‖p− ph‖0,Ω.

M< wy[L ¶uyCyTm Hm wuwºFy[xP* ÛÆV©£Ê :1 Puwy%y2H ׺ ½¹(uwyº y[m*¹ÔmxahÆVÅÊ,Ãw¶<yuwnÌymùÙy* eym e®w3 uym ÌmyT,Ìmy¼y[xÃ

II + III ≤ |||(u − uh, 0)||||||(πhvp, 0)||| + (u− uh,β · ∇πhvp)

− 〈2νε(u − uh)n, πhvp〉∂Ω − 〈u − uh, 2νε(πhvp)n〉∂Ω.

Æb©ÉÊ

wm3uy eÌy[Ìmy¼yx¶yuwnÌmyÃw uwyH1 Fºº®m¹+uy L2 ÍbyT,º H§Æb©¥eÊÃ

(u − uh,β · ∇πhvp) ≤ ‖β‖0,∞,Ω‖u− uh‖0,Ω‖∇πhvp‖0,Ω

≤ C‖β‖0,∞,Ω‖u− uh‖0,Ω‖p− ph‖0,Ω.

* * æRSTEH

ÇTÉ "@& ) /K >P '<

t3uwy¨"mw wPyx2*mym emºyTÖ uy¹Ôº¶*º w%¹Úum

〈2νε(u − uh)n, πhvp〉∂Ω + 〈u − uh, 2νε(πhvp)n〉∂Ω

≤ ‖(2νh)12 ε(u − uh)‖0,∂Ω‖(2ν)

12 h−

12 πhvp‖0,∂Ω

+ ‖(2νh)12 ε(πhvp)‖0,∂Ω‖(2ν)

12 h−

12 (u − uh)‖0,∂Ω.

µ ½ºm 5öyuwnÌmy

‖(2νh)12 ε(u − uh)‖0,∂Ω ≤ ‖(2νh)

12 ε(u − πhu)‖0,∂Ω

+ ‖(2νh)12 ε(πhu − uh)‖0,∂Ω,

¶*uwyy¼uy 2wF3y[x 2Hy[[ÃeH P yyx2y e¶*y¨y¨º yTew×Ö¹Ômº¶y[®en¸ºxPͺ 5Ã

‖(2νh)12 ε(u − πhu)‖0,∂Ω ≤ Cν

12hk‖u‖k+1,Ω,

m w®uyy[m w6ÃH PCFmy y[ewmººP¹Ôº¶<yT®®6 Ìmy[y¼ yTH×Ã

‖(2νh)12 ε(πhu− uh)‖0,∂Ω ≤ C|||(πhu− uh, 0)|||.

µ uymxy¨¹Úum ¶ym Hwy¨uw

‖(2ν)12h−

12πhvp‖0,∂Ω ≤ C|||(πhvp, 0)|||,

m w‖(2νh)

12 ε(πhvp)‖0,∂Ω ≤ C|||(πhvp, 0)|||.

ÜÝyy H®uyem¹® w uH|||(πhvp, 0)||| ≤ C‖p− ph‖0,Ω.

ß Û²± &Q%Q @& ! '7/ $9=9/ $ 9 ,7 '&

( # u ∈ [H2(Ω)]d

p ∈ H1(Ω)

µ ®uyy1¶<y% w3uwnÌmy*uy¨yTBymwmºCx2y[P Öuy¨y[̺wuyy[x ¶<y¨ºBmyxPyyTºxPy[sº 2uyL¶Î"*y w` x%"y<y[mxyÂAt3uwyLxP Ö Byy Hy3¹Ômxuy"m eL¹`̺y[¶m¹`m w3*uH*uwyy[yFºÐTm yx uw3P"yyTyTmLm wm wy[ eyxÂ`Ü ×uuLx uwy¹Ômº¶* 2ºy[x2x2¶*º+Ìy¼Hy¹Ô<ß Û² ! '

p ∈ H1(Ω)-,.'

jp(πhp, πhp) ≤ C maxK∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

h‖p‖21,Ω.

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ÇÈ

5C4 t3uwym¹+¹Ôm¶L<®uyy¨º yTew× º ÌyFy¨º wy[ewº® w¿5y[x2x2¥HºÇÂM<y[m¶*uy[ CuyLLy m` xCHy[`º¶Î¶<y*uwnÌy

jp(πhp, πhp) ≤ Ch2‖p‖21,Ω

 wyp º my[¼uHm¼uy2ymºyTeºy[½¹Ôm

jp(p, p)xPm·my2y[ wyCuwyCyC wmx x%wHy

y[y2w yT6Â(ܧyxwºwyCºy wmx¶*×um*uyy[y¨"y wm×Pyxà wx2y[ºÃ

|||vh|||2u

= ‖σ12 vh‖

20,Ω + ‖ν

12∇vh‖

20,Ω + jv(vh,vh) + ‖|β · n|

12 vh‖

20,∂Ωin

+ ‖(γνν)12h−

12 vh‖

20,∂Ω + ‖γ

12n max

|β|,ν

h

12

vh · n‖20,∂Ω,

¹ÔLvh ∈ [V k

h ]dÂ

<ß Û² ¬ ± ã Û²­ ' Ô° à 'u ∈ [H2(Ω)]d

-,.'+-,.' #,.%/

|||u− πhu|||u ≤ C(

σ12h2 + max

ν, ‖β‖0,∞,Ωh

12 h

)

‖u‖2,Ω,

5C4 y emB2uwym¹¹(¿5y[xxP2¥HÂ ©Â

ßã ± ß ! (u, p) ∈ [H2(Ω)]d ×H1(Ω)

<7Q,Q '@ 4 ÆÇ[Ê /(uh, ph) ∈ W k

h

<7-,. '@ 4 ÆÚÉeÊ ;-,.'

|||u− uh|||u ≤ C

[(

σ12 +

‖β‖1,∞,Ω

σ1/2

)

h2 + maxν, ‖β‖0,∞,Ωh12h

]

‖u‖2,Ω

+ C maxK∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

1

2

h12 ‖p‖1,Ω.

5C4 ܧy¶*º< §º wyÖuwy®¹*uyyÖºÌ ÏHyT¹Ôw% Õu¶ ½yTuy® wm Ím wy e¼ eym1"y Hºyx ¹Ôm¼uyy[ym A ¼º ÏuyyÌmw¼my%º¼.?Pºy[ e1wÌy1uy eÌymy[ wy¼¹

eh = uh − πhuÂ

:¼ Öy[ºÌºÁÆÚ¿5y[x2x2P¤w ©mÊ3my̺wº®m wyTº CuH

|||(eh, yh)|||2

= |||eh|||2u

+ jp(yh, yh),

¶*uwyyyh = ph − πhp

öyuwnÌmy

C|||(eh, yh)|||2 ≤ ah(eh, eh) + ju(eh, eh) + jp(yh, yh).Æb©ÈÊ

t3uwy¨x2%2wy[½Ñmºy[· umm wmºº·y[uy¹Ômx

ah(uh − u,vh) + bh(ph − p,vh) + ju(uh − u,vh)

− bh(qh,uh − u) = −jp(ph, qh),Æb©ÅÊ

¹ÔL(vh, qh) ∈ W k

h

Â;:¼ P ¶ ÆV©mÅmʺ ÕÆb©ÈʶyuwnÌmy

C|||(eh, yh)|||2≤ ah(eπ, eh) − bh(yπ, eh) + bh(yh, e

π) + ju(eπ, eh)

− jp(πhp, yh).

Æb©¦Ê

* * æRSTEH

ÇTÅ "@& ) /K >P '<

t3uwy 2wF¼¹Ô¨yxP¨º §uy2ºue¨uwm wÏyCm¹2Æb©¦mʨmyCy[y[Ïm¨º §uwyw¹m¹t3uy[myx¥HºÇmÂt3u3y

ah(eπ, eh) ≤ C

(

|||(eπ, 0)||| + ν12h‖u‖2,Ω +

‖β‖1,∞,Ω

σ1/2h2‖u‖2,Ω

+ ‖β‖12

0,∞,Ωh32 ‖u‖2,Ω

)

|||(eh, yh)|||,

bh(yh, eπ) ≤ Cmaxν, ‖β‖0,∞,Ωh

12h‖u‖2,Ω|||(eh, yh)|||,

ju(eπ, eh) ≤ |||eπ|||u|||(eh, yh)|||.

wm3uyyT wÖuyx ÕÆV©¦Ê¶<y 2wFLy[["uw

(yπ,∇ · eh) ≤ ν−12 ‖yπ‖0,Ω|||(eh, 0)|||

≤ Ch

ν‖p‖1,Ω|||(eh, 0)|||,

m wPuy[ wyÃPx% uyTºxPº Ö¶*ºuPuy¼ yLw uyLy[Fu ey1m¹¨Æb©Ç[Ês¶<y1mF

bh(yπ, eh) ≤ C maxK∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

1

2

h12 ‖p‖1,Ω|||(eh, yh)|||,

A wmùÔm3uy w wy e3y[x uwnÌmy¨ ÓÆb©¦mʶyuwnÌy

jp(πhp, yh) ≤ jp(πhp, πhp)12 jp(yh, yh)

12

≤ jp(πhp, πhp)12 |||(eh, yh)|||

m w¶<y wwy®m m[º m¹(¿+yx2xPC¥HÂ ¤CyTºxPyjp(πhp, πhp)

12

Ât3uy1¹Ômº¶* %mmm% Px2xyTy¨ wyTey wyL¹6uy¼mHÌyL eÌymy[ wy* HÂ

ã ± ã ' 'Ú²± à (u, p) ∈ [H2(Ω)]d ×H1(Ω)

<7 , '@ C4 ÆÇTÊ (uh, ph) ∈ W k

h

<7 -,. '@ 4 ÆÚÉÊ /

yhdef= ph − πhp

,.' , %$K Q 7 7 C > 0

/=9.' /K 4h )7, -,.

jp(yh, yh)12 ≤ C max

K∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

1

2

h12 ‖p‖1,Ω

+ C(

1 + maxν, ‖β‖0,∞,Ωh12

)

h‖u‖2,Ω,

jp(ph, ph) ≤ Cjp(yh, yh).À1¶¶yFy2 Ìmymy[ wy¼yTw×3¹Ôm3uyy[wyÂ

ßã ± ß (u, p) ∈ [H2(Ω)]d ×H1(Ω)

*< '@ 4 ÆÇTÊ /(uh, ph)

<7 -,. 7 '6 9/; 8 '%& '; '@ C4 ÆVÉÊ -,.'+-,.' ,. /

‖p− ph‖0,Ω ≤ C maxK∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,h

ν

1

2

h12

(‖p‖1,Ω + ‖u‖2,Ω

).

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ÇT¦

5C4 µ uwymxyºº*uy¹A¹At3uwymyx ¥H ©Â;:1º JM<ºC¥HºǨ¹ÔwÌ %uwuyyyy[wy¨mFmy eAx2wLm Ìmy[y[[Â

t3uy®¹Ômº¶* uyy[x/ºÌy[m ÕmºxPL2 Beymy[xPyÖ¹ÔmCÌmy[ººÏ¶*uwy Õuy®Ly m3 xCHy[*3¶Â

ßã ± ß (u, p) ∈ [H2(Ω)]d ×H1(Ω)

<7Q,Q '@ 4 ÆÇ[Ê /(uh, ph) ∈ W k

h

<7-,. '@ 4 ÆÚÉeÊ 7 @&( ,

‖β‖0,∞,Ωh ≤ ν,ÆÚ¤ªÊ

/N,$, '3@ (ϕ, ψ)

C4 , K/' P9 K< &

σϕ− β · ∇ϕ− 2ν∇ · ε(ϕ) −∇ψ = u− uh

Ω,

∇ · ϕ = 0

Ω,

ϕ = 0

∂Ω,

ÆV¤ÇTÊ

<7'%' [H2(Ω)]d × [H1(Ω)]

/ $

‖ϕ‖2,Ω + ‖ψ‖1,Ω ≤ C‖u − uh‖0,Ω.ÆV¤©mÊ

, , %$= &7. C > 0

/=9.' /K C4h )7, -,.

‖u− uh‖0,Ω ≤ Ch2(‖u‖2,Ω + ‖p‖1,Ω

).

5C4 O½ºº Õuy 2wF®y[ewm ¹ÝÆÚ¤ÇTÊPu − uh

wKuy§y[m wX−(p − ph)

à ey[mF Öw*m ww 2uyx232wyTÑmºy[· umm wmººÁÆV©mÅÊÃ×¹A¹Ôm¶Lsuw

‖u− uh‖20,Ω = ah(u − uh, ϕ) + bh(p− ph, ϕ) − bh(ψ,u − uh)

= ah(u − uh, ϕ− πhϕ) + bh(p− ph, ϕ− πhϕ) − bh(ψ − πhψ,u− uh)︸ ︷︷ ︸

I

+ ju(u − uh, ϕ− πhϕ)︸ ︷︷ ︸

II

+ jp(ph, πhψ)︸ ︷︷ ︸

III

.

wmº¶* Cuymx2y e*¹uy¹Ú3m¹At3uy[myxP3¥wÂǨm w¥wÂô©Ãwm w§ÆV¤mªmʶymy

I ≤ |||u − uh|||u|||ϕ− πhϕ|||u + |(u − uh,β · ∇(ϕ − πhϕ))|

− 〈2νε(u − uh)n, ϕ− πhϕ〉∂Ω − 〈u− uh, 2νε(ϕ− πhϕ)n〉∂Ω

≤ C|||u − uh|||u|||ϕ− πhϕ|||u + C|||u − uh|||uh‖ϕ‖2,Ω

+ C‖p− ph‖0,Ωh‖ϕ‖2,Ω + C|||u− uh|||u‖h‖ψ‖1,Ω.

:¼ JMHFueeÍFu¶mм wÓÆÇTÉmÊ Í,ÆÇTÅmÊm wy¨mº H

II ≤ ju(u − uh,u− uh)12 ju(ϕ− πhϕ, ϕ− πhϕ)

12

≤ C‖β‖0,∞,Ω|||u− uh|||uh32 ‖ϕ‖2,Ω.

* * æRSTEH

©mª "@& ) /K >P '<

A wmÃwº wLM<mmm2¥w ¤ wÓÆÚ¤ªmÊ,ùÔm3uwy3y[x ¶<yuwnÌy

III ≤ jp(ph, ph)12 jp(πhψ, πhψ)

12

≤ Cjp(ph, ph)12 max

K∈Th

min‖β‖−1

0,∞,K ,hK

ν

1

2

h12 ‖ψ‖1,Ω

≤C

νjp(ph, ph)

12h‖ψ‖1,Ω

t3uwyem¹(m wºHy[1ex% Puwy%"ÌmyyTºxPº w*¶*ºuÒÆV¤mªmÊÃ"t3uwymyxP*¥H ¤Pm w¥w ¥ÃM<ºÖ©¦ÃH w®uyx2y[ymwmÐ %"yuHnÌemÆV¤©mÊÂ

¿+y2wCx Òuyy[×Fmº yTÒ½¹ÚTÂÓt3uyy[x!¥H异 wÒt3uyy[x!¥H ©Áu¶ uw¶*uwy 2uwy1["*y s x%"y<suºuÖ wuy¼mº Psy[m¶yL¶*ºHy 2 PxPO(hk+ 1

2 )ym Ìymy Hy%m¹suy2y¼ Ïuy

L2 x ¹Ô¨uy2Ìmy[º×Ám wÁuy2y[ymÂwmºm w¼uHy%y[¼y¼t3uwymyx ¥H ¤uw¶LLuw¶*uy §uwyCy[yC¨

H1(Ω)m wPuy¨Ìmyº2º [H2(Ω)]d

¶y¨my* mºxPmO(h)

y[xPy¼ Öuyy y[ wmx ¶*uwy uymH*y[e wms xCHy[<<º¶Ãe*%"mºxPByTºxPy1m¹

O(h12 )¶*uy Öuy¨º[B*y

xCHy[3umu5Â`t3u3y1uy¼¹Úmuwuwy¨ wm wy[ wy[ ÖuyyTy¼mºÐ[º "myTuyy[ ymÖ wmxy[xPy¨¹Ô3uyÌy׺yTÂ

¬ 'Ô° ß ± A²° ß ¯°T²­ ' m²° ã ²±²% ß ° ß ±¯ ã ±*° ß ®ßeà ã 'ÚäA¯ §­ ß ±3± ß' ßA ¶3n§m¹1mF §m Òy[xPy®¶*uFuÒ%xP3 Ò"uÒuyumuÎmFyCy[mxy wÛuy¶ mFy%y[mxy®¶*uy ÒuyyTyPCm wº

H1 Ïx2º¹ÔÝuyFºÐTm ÕHFx2yyF§ºÌym emº XÝ my[% x ÛuyuºuÎ*y[ m x%"y2ymx2ymÂÕµ Îu2yT,º ¶yÁm"yÏwFu9 9m×y wºÌyÏym¹FºÐ[m wmmx2yy[[Â@ wyÏuyÏyTFu wy[Öm¹w¹¨y®y emÝuey¹1uyyÌmwyT,º Ò¶y ºÕ yuyem¹Ú F2¶<yPuyy[Hy[ wy Hy¨¹5uy¼m"*y[ m< ewx%"yº ®uy¨y[y¼mºÐ[m ®m wP wy[ wyTmy¼uyCmºÐ[m m uwy% wxwyTºwº×m H׺ 5Â*t3uL¶3nPuy%ºwºy x ¶*º"y%x2º wyTe®uy

H1 Í x º uy¶A*y w* x%"yLyºx2ym w®uyH Ì Í wmx«º ÓuyPumuÕ*y[e wm x%"yyºx2y wy

u ∈ [H2(Ω)]d w

p ∈ H1(Ω)¶yPx%H

y¸uwymºÐ[º Á¹suyy[y Ïy[1 e1¹Ô1uyC wm wy[ wÂt+mF xP×K¶*uy[ 9y[xP ÕuyÏwyTyÁÌmy[ººÎmwº Õyx2®uwy§m y®m emLm¹uyP wxwyTºwº×Ý wºm Ý%yTwºy[6ÂPÜ ºuÓu%xÃ+¶yÖ wy[uyy2uy®x%2wyTmºÐ[m yxPùÔ3uymºÐ[m ¹+uy wxwyTºwº× w®uywyTy

∑

K∈Th

γdivhK

∫

∂K

J∇ · uhKJ∇ · vhK ds,

∑

K∈Th

γph3K

∫

∂K

J∇phK · J∇qhK ds.

ÆV¤m¤Ê

ÜÝyCx2º¹ÔÖuwy[º 2¶*ºuh¹Auwy*"m wwPy[xm¹ÆÚÅÊ<F· 2 ¶

⟨γnh

−1uh · n,vh · n

⟩

∂Ω.

ÆV¤¥eÊ

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ©Ç

A% my®uw%uwy® w wy e%wyTyx2Õy[x.uwuy®ºue%mFyTÂÁt3u¹Ôº¶L¿+yx2xP%¥H ¤C¶*ºuuy y[¶mºÐ CHFx2yyT A 5ú Hy

peyT *uwnÌy1uyy[m×

y[ey[2¹Ôjp(p, p)

CxP·y¨y Hy¼uy¨y¨ wmx x%w*Hyy[y'2w y[®º 2x2º<¹Úmum m Áy[m ¥wÂô©Â;DLy[ wy¶ywyy mx¶*ºu*uywyTy¼"y wm×®y[xà wmxy[ºÃ

|||vh|||2u

= ‖σ12 vh‖

20,Ω + ‖ν

12∇vh‖

20,Ω + jv(vh,vh) + ‖|β · n|

12 vh‖

20,∂Ωin

+ ‖(γνν)12h−

12 vh‖

20,∂Ω + ‖γ

12nh

− 12 vh · n‖2

0,∂Ω,

¹ÔLvh ∈ [V k

h ]dÂ

<ß Û² 'u ∈ [H2(Ω)]d

,+, #,.%/

|||u − πhu|||u ≤

[

σ12 h2 + max‖β‖0,∞,Ωh, ν

12h+ γdivh

]

‖u‖2,Ω,

5C4 y[ euwyC¹m¹s¿5yx2xP¥wÂô©Ã"· ® emm e¼uyx232wyTÏmºÐ[º HFx2yy3º uyº Hmx2y[º×ÖmºÐ[º 5Â

À1yuw2uwymn¸ºxPº ÕmFy2m¹¼¿5y[xxP§¥wÂô£ÁP¶3nhÂε ÒuyumuX*y

xCHy[1yºx2ymÃ"¶yCu¶=º ½uy¹Ôº¶* Öyx2xPPuH1uyCºy xEºÌy[1m em+¹‖∇ ·

uh‖0,ΩÂ;DLy[ wy¨uwyn¸ºxPmººPyTº*LmºxPbÂ

<ß Û² -,.&(0/ $7/ =<'%>' &Q ÆÚ¤¤mÊ P,/ ' 4&Q@ ÆÚÉeÊ ' *

‖∇ · uh‖0,Ω ≤ |||(uh, ph)|||u.

5C4 ty[ P¶*ºu(vh, qh) = (0, πh∇ · vh)

ºy[w

‖∇ · uh‖20,Ω ≤ ‖∇ · uh − πh∇ · uh‖

20,Ω + jp(ph, πh∇ · uh) + 〈πh∇ · uh,uh · n〉∂Ω .

wm3uy#2wF3y[xöyuwnÌmy

‖∇ · uh − πh∇ · uh‖20,Ω ≤ ‖∇ · uh − π∗

h∇ · uh‖20,Ω ≤ ju(uh,uh).

wm<uyy[ wPyxÃmº MwFueÍFu¶mÐ* y[ewmººmÃFmy¨ y[ewmººP w Ö ÌmyFy yTH×ö<ym

jp(ph, πh∇ · uh) ≤ jp(ph, ph)12 jp(πh∇ · uh, πh∇ · uh)

12

≤ ε−1jp(ph, ph) + εC‖∇ · uh‖2,

¶*ºuε > 0

m wm e1Hy 2¸y[½y¨m 5 Aº wmºmÃ"¹Ô1uy%"m HyxÃB¶<ymº Ϻ Ïuyx2y¨¹Úmum

〈πh∇ · uh,uh · n〉∂Ω ≤ ε−1‖γnh− 1

2 uh · n‖2∂Ω + εC‖∇ · uh‖

2.

ÜÝy wwy¹AeFuº ε > 0

xP6y wmu5Â

* * æRSTEH

©© "@& ) /K >P '<

ßã ± ß (u, p) ∈ [H2(Ω)]d ×H1(Ω)

<7 , @ 4 ÆÇTÊ /(uh, ph) ∈ Wh

<7-,. '@ 4 ÆÚÉeÊ ,

|||u − uh|||u ≤ Ch‖p‖1,Ω

+ C

[ (

σ12 +

‖β‖1,∞,Ω

σ1/2

)

h2 + max‖β‖0,∞,Ωh, ν12h+ γdivh

]

‖u‖2,Ω.

5C4 ܧy¹Ôm¶=uy2¹sm¹<t3uyy[xE¥w ¤ÖF·º w® m e¨uyyTw×F¼m¹<¿5y[x2x2¨¥w Ém w¥w ¤Ât3uwöyuwnÌy

bh(yπ, eh) = −(yπ,∇ · eh) + 〈yπ, eh · n〉∂Ω

≤ ‖yπ‖0,Ω‖∇ · eh − π∗h∇ · eh‖0,Ω + C‖yπh

12 ‖0,∂Ω‖γ

12nh

− 12 eh · n‖0,∂Ω

≤ Ch‖p‖1,Ω|||(eh, yh)|||,

jp(πhp, yh) ≤ jp(πhp, πhp)12 jp(yh, yh)

12

≤ jp(πhp, πhp)12 |||(eh, yh)|||

≤ Ch‖p‖1,Ω|||(eh, yh)|||,

¶*uwFuº¶wPmº wy[®uyyTy[y[x2yÂA x2x2y[ym HyTwy wy¨m¹+uy"Ìmy eÌymy[ wy¨ wmº3uy¹Ôº¶* mmm

ã ± ã ' 'Ú²± à yh = ph − πhp

-,.' #,.%/

jp(yh, yh)12 ≤ Ch‖p‖1,Ω + C(ν

12h+ h)‖u‖2,Ω,

jp(ph, ph) ≤ Cjp(yh, yh).

ßã ± ß (u, p) ∈ [H2(Ω)]d ×H1(Ω)

<7 @ 4 ÆÇ[Ê /(uh, ph)

<7Q, 6 9 /; 8 & ; '3@ 4 ÆÚÉeÊ -,.'+-,.' ,%/

‖p− ph‖ ≤ Ch(‖p‖1,Ω + ‖u‖2,Ω)

5C4 µ Ýuy®x2yPºº%muyPem¹m¹3t3uwymyx ¥wÂô©ÃH M<mm¥H ©Á (uyyy¨wyTy¼ºy[ ex2w[Â

9.)6 <A (.*G)+$ :A

t3uwy<x2yuy[y ey[%mHÌyuwAmx2ymx2x2m %¹Ôy[y[¶*×uCÌmº wx%º[y<x2yu¹Ômy<y[x%º wÆÔÄO§ÊAmº ewy[ ¾ô©¥ËbÂAÌmy[ umumwxP %y[Ìmy<¹ÔxCy<2w ºy<yyx2y eAxyu%¶*uFu%AFy`¹ÔAmº*y w5 x%"yF+uy<º ey[wyº m¹+uyy[y¨mºÐ[m xyuwº PÀ1×FFuy"y¶<yT·ºPx2HeyT®"mw w®m wºm mx2yuϹÔm¿5Ï yy[ wÂ(DL¶yÌy¨ º·yuyPÄ OÏÁ¶*uwyyC¶[y[

Vh w

VHy

m wyy[6Ãmº Psy3uy2w w×y1yyx2y[ wyVhyy[y eFAuy¼m %y[mÌmyTCmºyLm wuy

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ©m¤

wwºy[ ¼ÌeºPmm Ö ÖuwymºyT<uw*my¼ *y[mÌmyTPm VhÂ`ÀLmyCuH3uy

¶y[m·"m wwC wºm ws¶*ºH,sPH wmm H׺ w` 2uy1uºuÖ*y w` x%"yyºx2y H3 ͵ºm w׺ w*¶*uy[ uy"m HÖnmyF3yyTºÌy[ÖÌyÖx%HFu·mym y¶mwݺ·y2uy[x Ͻ Û¿5<BÂA*y[y e§ÁÄOÏݶ3mm"y[Ýw Áy[m Ýx2yuw¹ÔFx2y[¶<·¾ô©m£nË Ât3uyy[¶3mP¶<·P ®¶P Byy e1mºyT

Vhm w

VH wº ewyuy

y wy%x2y(m wºm Ïuy 2w y[mºyTLyy[y ey[½Vh \ VH

Ât3uy%¹ÔxCm ½m¹1¾ô©m£TËyTy emº·y[suy¨¹Ôx ¹ACm wF®Ñmºy[· Ö¹Ômx%wm P¹Ô

uhwyx2y eyTÖ¶*ºuuy

y eLÌeºÖm 2m Öm uwy#2w yy[ uy¹Ôxm¹(m ºm wmBy[x

(νT (I − PH)ε(uh), (I − PH)ε(vh)),ÆV¤£mÊ

¶*uwyyPH

2mx2yx2mÛ¹Ômx 2H ymºyTCÓmymºyT M<mx2w Ï ¶ ¶*×uÒuyyTmymºÐ[m xyu2¶y*¶<Fuweey

H = h wueH`xP·my3uy3wwºy[ <Ìeº%mm

½uwyCy[Luwmy% ¨yTºÌy[m uy2wyVh A º ¿5y[xxP¤ÂǶ<yCºx2x2y[y

yL yº*Hy[ wºÖ eyyFm ¹uyyx/ÆV¤£Êö*×uPH

def= π∗

h

Ã

‖ν12

T (I − π∗h)ε(uh)‖2

Ω ≤∑

K∈Th

∫

∂K

νThKJε(uh)K : Jε(uh)K ds

m w¶<y wwyuwL2"ywmx2yº yx¶<"y

jT (uh,vh) =∑

K∈Th

∫

∂K\∂Ω

νThKJε(uh)K : Jε(vh)K ds

¶*uwyy<uyLFuy<m¹νT w¶Ò`¼x2y[º ym suwmHy3 my[Cuw`uyLFumy

νT = γhKºÌy[*H¼2yxE¶*uFu½¨mex2[ºy[eÌnmºy[ e1ÖuyCy[yCwººÐTº Hy[Lwº uy½¶*uºy½ºy[ e[Â9t3uPx2y[m w2uHm eÎFumy¹

νT¶*ºuXumuwyÖy[Pº

hK¶*º¼Hy

wymmºyxHy[ÓÏuyyBy[,Pm¹Luy½mºÐ Áyx2[ wm2º HF wyÖuwy½x2mm w·ey wysx2yemÌmy[ e

νT = Ch2K |ε(uh)|

y[ º uy*2w y[y[5xCw"y<y¸"y[yTHy®mx2yyÏmx2 wy[ݽuwyÖFºÐ y[xPy¸y¶*uy

|∇uh| ≈ h−1K

 A uy ey[yTº wyÌnm º u¹Ômx2y¶m·`uw¹Ôx@"m mx2wy[myy3uy[y3uy[y*y¸C1 wwmy1m¹ Vh

¶*ºuwn¸xPm PwHy[ºyT¼ÆVF C¶*ºuuwy¼y[Hy[LD1ºy[uÍCM<ºmuÍtFuywmymÃ5yy¾ºÇT¤nËÔÊ, ¨¹Ôº¶L¼uwuyPmm ÝxPn½HyPyTmx2"y[Ϻ e y

C1 wm¶*uwFuÓ ewFuy[§ÁuyÖFºÐ[º yxP wÝ wuwyC0 wm¶*uwFuÝHy[ wºÐ[y[6Âܧym wºHy1uwuwy¼x2yu®y[ uy[y¼ywmm Pm"yPFuwFmy[*¹Ôm3Ìm wm

xCº[yx2yuww6m"y[ P¾ ©¥Ë¨Hº x2mmmFy[5uy[5uw ¨uºy[mFuw(x2y[uyTÂwmx2myymºy[Ówm Ó wy[ wº ÓÆÔmʼyT,m ÓwººÐ[y[+2w ºyPy[ºy[xy[ e Hmy¨y[w®ºxCm y[yP¾ ¤ËbÂ

-/:$M3(#<%ÕA*):,)

µ Óu%y[,º Õ¶<y®y[H%yÌyF` x2y[y¸Hy[x2y euwCuw¶Luy®mÝm Ìmy[y wywHy[ºyT`¹6mwsFºÐ[y[ 2w ºy¼yyx2y esx2yu6Â(µ Pwmm[ö<y*y[Ìmy[(uy1m Ìmy[y wyFy[m yT ½y[m ¥Â

* * æRSTEH

©¥ "@& ) /K >P '<

) #') ( *"&& )(

¿+yλ = (ν−1 − (ν−2 + 16π2)

12 )/2

Ât3uwy uyy¸,Lmm ÁÆÇTÊ3mÌmy[ ÏÆVy[yP¾ ©eÈ[ËÙÊ

u1(x1, x2) = 1 − eλx1 cos 2π x2,

u2(x1, x2) = λx1

2π eλ sin 2π x2,

p = 12e

2λx + C,

¶*ºuβ = u

Ãσ = 0

m wÓmueuwm wÕy®x2Fu uyÖy¸,%mm 5µ Õmwy¸x2y[[öy®mÁFuy

CÁºÌyPÐy[½x2y[m Õy[ymÂÜÝymÌmy[§u%myx!n¸ºxPÌmyÁ

Ω = (−1/2, 3/2) × (0, 2)Ã5wº wº×ÏwFx2yyF1H FººÁwmmx2yy[

γβ = γp =γ = 1/100

m wγβ = 1/10

Â+ÜÝyy[y e<uyºm wm ®¶<2"y[y[ e3x2yTuyT3º L2wy©C Hǵ 2wy¤2¶yu¶uy Ìmymy[ wy¼¹Ôm

ν = 10−4 Â

Aºy2ÇKE(¿+y¹Ù0Emy¨xyTuÌy׺yTÂ`*mue0E 2H yx2y[uÌyºy[

Amy©@E¿+y¹Ù5Emy¼x2yTuy[ymÂ`*mue0E 2H yx2y[uwyTy

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ©£

-6 -4 -2 0 2

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

log( h)

log(

L2-e

rror

)

VelocityPressure

Aºy¤E!M<m Ìmy[y wy1umP¹Ômν = 10−4

) #') ( *"&& )(

ÜÝym Hy< ¶ myx ÆÇTÊsº ®¤» ¶*×u® Íbuwmx2my y[mw`"mw wP wºm w[ÂAt3uwy¼ºueuH wy

fm wuy"m HÖF2yFuwy ® mFyPy wy1uw*uyy¸mLºº m¹

ÆÇTÊ<*mÌmy[ Puy¹Ômº¶* y¸y[m §¾ºÇTÅnË8E

u1(x1, x2, x3) = bea(x1−x3)+b(x2−x3) − aea(x3−x2)+b(x1−x2),

u2(x1, x2, x3) = bea(x2−x1)+b(x3−x2) − aea(x1−x3)+b(x2−x3),

u3(x1, x2, x3) = bea(x3−x2)+b(x1−x2) − aea(x2−x1)+b(x3−x1),

p(x1, x2, x3) = (a2 + b2 + ab)

[

ea(x1−x2)+b(x1−x3)

+ ea(x2−x3)+b(x2−x1) + ea(x3−x1)+b(x3−x2)

]

.

ÆV¤mÉÊ

¶*ºuβ = u

Ãσ = 1

Ãν = 10−4 Ã a = b = 0.75

wΩ = (0, 1)3

uyw ×1"ymÂt3uyPy[º ½ º wmyx ¶ºÌy[Ýn¸ºxPÌmywº uyÖwººÐ[y[ÝÍ

yy¨¹Ômx%wm §ÆVÉÊÃu¶yÌmy[uy"m HÖ wºm w*¶yy mPy ¹Ôy[6 A º+ ewxy[Ímy[2uHnÌmyHy[y XHy[¹Ôx2yTÛwº wÓm ¹Ôx2 Ï y[mÖ wÎHmFJ2w ºy½y[ºy[xy[ eC¹ÔmÌyº HyTymÃH wx2y

P1/P1 w

P2/P2ÆÔx2ºy[x2y eyTÁ ÁÖ¤m»@yTyTFFuyÖ¾ºÇT¦nËÔÊ,Â

t3uwymºÐ[m wFx2yyFº ÌmºÌy[®º uwy3x2w3y[xPÆÇ[ªÊm wÓÆÇmÇTʶ<y[yFuey[ m

γp = γβ = γdiv =

1

8

×¹k = 1,

1

32

×¹k = 2,

* * æRSTEH

©mÉ "@& ) /K >P '<

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.01 0.1 1

erro

r

h

pressure L

velocity H hh

velocity L

2

21

2

Aºy¨¥ E*M<m Ìmy[y wy1umE(º y[m3yyx2y e(k = 1)

1e−05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1

erro

r

h

erro

r

pressure L

velocity H h

velocity L 21

2

h 5/2h 3

2

Aºy£.E!M<m Ìmy[y wy1umE(ewF¨yyx2y eF(k = 2)

µ 2wyT¥Ým wK£Ï¶yu¶Ãy["y[,ºÌymÃ`uy½Ìmy[º×Ûm wÛy[y Ìmymy[ wy®uy[¹Ô

k = 1m w

k = 2ÂÕÀLmyuw[Ã Ò"uÎyTÃ(uy ewxy[mmº Ûy¸uºmºxPm

m Ìmy[y wy1y[[Ãuy[ wyà mmyy[xy[ e¶*ºu½t3uy[myxP¥wÂÇm w¥wÂô©ÂÜÝy1u¶Ãm 2wmy¼È1uwyLy[y* mF( C¶"y[y[ esx2y[uy[LÆÚ¶*uFu2myLy,y[2

2Hmy1ÉmÊswº %º y[msy[ºy[xy[ e[Â(À1CºwwyTy*ºº wsmyLwyÌmy[5Â+ÜÝy¼y"ms 2Hmy1Åuy¼m e¹Buy¨yT wPx"m wy es¹

uhÃuh2

ö*×uγβ = 1/8

wγβ = 0

Ãmm Öuyº wwm y

x = 0.5 A ºuwmuÁuwyy¸m,mm §xmuÁuy2¹uy2 wmºÐy[

mº XÆÚmue,ʨy¸u×F%ºweºm w[ÂÀ1yPuwuwy®wmHÌmy[ººÁeºm wÆÚmue,Ê<mymx2yy[ºm eºy[®e®uyy[mx2º y͵y[ÌÌmysx2wÆÚºy¹ÙFÊ,Â

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ©eÈ

AºyÉE!M<Fy¼x2y[uÓÆV©¦e©¦%yFuyTPÊ HJ2H yx2y[uÝÆÇ[¦mÉÉmªÅyFuyTFÊ

Amy%ÈE`y[y emw5E`my1x2yTuÕÆÔy¹Ù,Ê* HN2w wyxyTuÓÆÔmueFÊ

AmyÅ.E(Ä`yº§Æuh2

Êm e 2º Pwm y=E`wººÐ[y[ÓÆÔy¹Ù,Ê,ÃH¶*×uγβ = 0

ÆÔºu,Ê

µ uwyyTwy6¶y¨¶*5y[myú ÕÆV¤mÉmÊÃuyy¸yTm Ö¹Ô3uywyTy¼

p(x1, x2, x3) =

2x2º¹

0 ≤ x2 ≤1

2,

2(1 − x2)º¹ 1

2≤ x2 ≤ 1.

* * æRSTEH

©mÅ "@& ) /K >P '<

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1

erro

r

h

erro

r

pressure L

velocity H

h

velocity L 21

2

h 3/2

h 1/2

Aºy¦E*M<m Ìmy[y wy1umEA y[m*yyx2y e[Ã Í x2uy[wy

Amy2Ç[ªE;M< P wy¨wyTy=E(my¨xyTu½m wN2H yx2y[u

M<y[mmÃHuw1¹Ô wm §C2wyTp ∈ H1(Ω)

y[¼ ¨Hy[º ÖH2(Ω)

Ã6PuH¶<yyº uy*¹ÔFx2y¶m·¹+yT,º ¥H ©ÂAmyÇ[ªu¶LAuyLy[wy* emw` Ps¹6eFy* H 2H y%x2y[u5Â1|¼ wyxy w®wmH*y[ym w*mywy[Ìy[6 Aºy¦Öuw¶L3uyÌyºÁ wÏyTyCm Ìmy[y wy%umºyT1H º yTyyx2y eFÂCܧy2my¼uyÖÍ mºxPO(h

12 )mFys¹Ôm<uy¨Ìmy[ººº ®uy

H1 B mx º ®uyy¼¹5umuÖm"*y[ m< ewx%"yFà mmyy[xy[ e1¶*×u§t3uy[myx ¥w ¤Ât3uyL2 Í x ¹uyÌmyºy[1m Áuy%muy[¼uH wϨº(

¹Úms¹Ômx uy¨ew"mx2mO(h

32 ) eÌymy[ wy*y[[ A <y¸"y[y[5ö*uy Puy¨ºm6*y

Ö¶.ÆÙ¹Ômº HF wyν = 0.1

Ê,Ã*¶y½yTÌy2uwyÁmºxPmO(h)

Ã1yy 2wmyÛÇmÇ¡µ 9ºm 5Ãy[,y[ݺ Õt3uy[myx«¥H £Ã¶y2 y2uwuy®m Ìmy[y wy%y[¹ÔmuyPÌmy[ººÁ ÓuyL2 B mx

O(h2)Â

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ©m¦

pressure L

velocity H hh

velocity L

2

21

2

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1

erro

r

h

erro

r

Amy®ÇÇ=E M<m Ìymy HyumE*º y[m¼y[ºy[x2y e[ÃB m ͵xmu½y[wyÃH¶¡º[(*y xCHy[

pressure L

velocity H hh

velocity L

2

21

2

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

0.01 0.1 1

erro

r

h

erro

r

Amy2ÇT©.E;M< Ìmymy[ wy¨umEA y[m*yyx2y e[à ͵x2uy[yúy wÌmywFx2yÍyF

A wºÃ2wyÇT©¨uw¶LAuw`uy1m×y wºÌy*FºÐ[m wFx2yyF(m"y[Cº ÖyT,º ¥H ©ÂºÇ¨mÌmyxP5 Ìmymy[ wy¼mFy¹Ô3uyÌy× w®uywyTymÂ

>@#<:)+

µ Cuw(wmHy[[öy3m"y<FºÐ[y[ 2H ×y*yyx2y e(x2yuwC¹Ôuy3º yTºÐ[y[ wmx2y[yÀ¼n̺y[Íe·myT*Æb|¨yy FÊ(y[ewm w[Â(t3uy1x2yuÖ¶L`y[ewmwÌmy[º×eÍ yTy3º ey["mº m wºÌy[5xP emmm¹uy3y[x2º wy<y[ÌÌmys¹uy<ÌyºmÂ+t3uy3wº×m"yy[m¹suy2xyuÝyCHmy[Á Ým § ey[m¨Hy[ wº½yx«m̺

L2 Í m emA¹<uy¨x2Ó¹<uy

* * æRSTEH

¤ª "@& ) /K >P '<

y eÌmy ey[my[ºy[x2y e%y[my[[Âܧy®u¶ uwCwFuÛ½FºÐTm ÓHy[mxPnÝHyHyTÁÁm e(mº(uyP Í x2xyQ2wFy¨y[xP¹uwy|¨y[y " y[ewm w HÏuwuy®mÌmy Bm Ö¹Auwyw*¹+uym"yFmuH*L * uy#2w ºyy[ºy[x2y e1HmyÂ(µ uLy[ wy¼uym"y[®xyuLx xP+mºÐy[x2yuÝÆVy[y2¾ ÉËÙÊÂt3uyy[y e¶<·2y¸y w<uyyTºy"myTPº ݾÇmÇÃBÇ[ªË6Cuy%|¨yy <y[ewm w<wº

yTew6y[3º ey["mº m wJ2w ºyyyx2y[ 1wy[m¹(m e®Hº xBy[[Â|¼ ys¹euyxPmº m"yy[Bm¹uyx2yuBuw+º+Ìmy[mx2y[Bmx2y` wyTFy(¹Ôy[y[6m¹

.:L<Ñ¼Í º·mymºÐy[x2yu[Ât3ueHà Pm32Hm6Ìmy[ººeÍbwyTy1º eÆÔy[y HÌyºFºÐ[m w(myº Hy"y wy eL¾ ÅËÙÊA `%2H"m ww% wºm w(yº ewy[6Ãm w®uyxPmxPº¸m "yºwx"y[¹Ô*º¶mFy3yyx2y[ FÂ`t3u*uwm ·uwy¹Úm,*uwwººÐTº 2eyT` msy[ºCm uwy1m׺ m¹"¶KmFy`y[ºy[xy[ esyTwm(m¹6ºyTmsewmyT"ymÂt3uyywnxymy[Ïmwº ¼ ÁuwyCxPº¸ÁyCCx2Ýmwº wÂt3uyH w¶*uϹ`uy2yx xP׸Áy[ÆÔ¶*ºuÏy["y[,¼½@:LÑÊ1 Á¶wy%x2y wm wm w®ºy[3 uyywyºx2y[ wm HÂt3uym Ìmy[y wy¼ H<u¶L<uw3uyx2yuuHmÆÚewÙÊ<mºxP5m Ìmy[y wyLmÍ

y[ºyTÖ 9"uº 9uyL2 Í xM w9º uyÏy[ ymK x'¶*uy 9uyÓºm @?Öy e

y¨m¨uyPm(Ly m¨ x%"y¶ÂCÜ uy[ §wue[(y[Cy[mºy[ym Íyy[ÛÆ

p ∈ H1(Ω)Ê1m w½uyºmALy m¼ x%"y¨¨umu+ÃHuy2m Ìymy HyxPnHyTmx2y

Í mx2mO(h

12 )Ãy*uyL w wy[ wy[` uy1yTy*FºÐ[m 5Â|¼ºxPHm ÌyÍ

y wy¼yx2nP"yy[Ìyy[2Pwº w2m m×y wºÌy¨y*¹AFºÐ[m wFx2yyFÂ`xy x2y[myTw×FºwyTÝuyPuyymyTw×F wÕu¶y[ÝÌmy[§mÝHy[¹ÔxP HyP mº+y[mxyTµ ½wmmL¶ymwyÌmyuw1 uwyumuÁ*y[e wm* x%"y¼y[mx2yuy%Fuy[xyymy[ yFy[1uwyCuyym

O(hk+ 12 )m Ìmy[y wy Ïuy

L2 mx y[,y[§½uyuyÍÓ ºÕ Ûuy½y¶*uyyÖuyy[y®m

H1 wζ*uy[y®uyuwymy[y[,º O(h

12 ) DL¶yÌy¨yTº uwyPyTº¨m¹¼¾ ÈTËm Ý(yyF Ïx2y[uy[º%yyxP¨º·y½uwuy

y[ºCmF y[Îy®uw5ÂÓµ ÎϹÔmuwmx2 ÏwmHy[C¶y¶*º*HCu¶ Ýx2º wºx2ÐyuyxP׸Áwm w¶*uݶ*uºy2yF º wxP Ìmymy[ wy%Hy[ºyT wÏy¸y[ wÁuyP wmºuyºx2y͵y[Hy[ wy eLmwºy[xÂ

#A72*L$M*C)

t3uw<w"y¶3m<wC¶*ºy[ ®¶*uy1uy1uÖmuwm¶sy[<m¹5uwy¨zy ºM<y[ ey3uy ( my(meyTFu wy [$[mºysy<¿+mw yÃ[¶m·º w*¶*×uº C*mmFx¹Ôm+uy<xy[º Lm¹[FÌn w¶Ât3uwyswH¹uwyszy my[ ey+mFy¹ÔºmF· ¶*y[my[5Â5t3uy2wFmuwm<m%F·e w¶*ºyTmyT`wH¹6À1* A us̺sC*3|y[mx L[ey wm[Â

D=APK¡*(L$ 51

¿+y(uh, ph) ∈W k

h

 º¶* ¾ô©ÇË5uy[yy¸vp ∈ [H1

0 (Ω)]dwFuuw

∇ · vp = −ph,

‖vp‖1,Ω ≤ c1‖ph‖0,Ω,

ÆV¤eÈÊ

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ¤wÇ

¶*ºuc1 > 0

y"y wº P Öm Ω mx Æ ÈʶyuwnÌmy

A((uh, ph), (πhvp, 0)

)= ah(uh, πhvp) + ju(uh, πhvp)

+ bh(ph, πhvp)

ÆV¤mÅÊ

wx ÆÚ¦eÊ,Ãw wyvp ∈ [H1

0 (Ω)]dÃh ≤ 1

Ãν ≤ 1

Ãm ww ÁÆV¤eÈÊ3 wÓÆÇT¤mʶy¨y

bh(ph, πhvp) = −(ph,∇ · πhvp) + 〈ph, πhvp · n〉∂Ω

= −(ph,∇ · (πhvp − vp)) + 〈ph, (πhvp − vp) · n〉∂Ω

+ ‖ph‖20,Ω

= (∇ph, πhvp − vp) + ‖ph‖20,Ω

= (∇ph − π∗h(∇ph), πhvp − vp) + ‖ph‖

20,Ω

≥ −‖∇ph − π∗h(∇ph)‖0,Ω‖πhvp − vp‖0,Ω + ‖ph‖

20,Ω

≥ −Cmaxν, ‖β‖1,∞,Ω12h

12 j

12p (ph, ph)‖ph‖0,Ω + ‖ph‖

20,Ω

≥ −C1

α1jp(ph, ph) + (1 − C1α1)‖ph‖

20,Ω

≥ −C1

α1|||(uh, ph)|||

2u

+ (1 − C1α1)‖ph‖20,Ω.

ÆV¤m¦Ê

¶*ºuα1HeºÌmy w e32"y#2¸y[y[*m 5Â

À1¶ÃHx% ÏÆV¤eÈÊ*¶*×uuymx2y e*wy[Öy[xPyÆV©ÉÊ3º uy%w¹(¹t3uy[myx¥H ©Ã×*¹Ôº¶L<uw

ah(uh, πhvp) + ju(uh, πhvp) ≥ −C|||(uh, 0)|||‖vp‖1,Ω

≥ −C2|||(uh, ph)|||‖ph‖0,Ω

≥ −C2

α2|||(uh, ph)|||

2u− α2C2‖ph‖

20,Ω.

ÆÚ¥ªÊ

¶*ºuα2HeºÌmy w e32"y#2¸y[y[*m 5Â

t3uw[ùÔmx ÆV¤mÅmÊÃ+ÆÚ¤¦mÊ3 wÓÆÚ¥ªmÊ ymyF

A((uh, ph), (πhvp, 0)

)≥ −

(C1

α1+C2

α2

)

|||(uh, ph)|||2u

+ (1 − C1α1 − C2α2) ‖ph‖20,Ω

ÆÚ¥wÇTÊD1y wymú¹

α1, α2myFuey[ xP6y mu¶y¨uHnÌmy

A((uh, ph), (πhvp, 0)

)≥ −C3|||(uh, ph)|||

2+ C3‖ph‖

20,Ω,

ÆÚ¥e©mʶ*ºu

C3 > 0m wm * wy[Hy[ wy eLm¹

hm w

νÂ

* * æRSTEH

¤e© "@& ) /K >P '<

À1¶Ãeyº (vh, qh)

def= (uh + απhvp, ph), α > 0,

H uywºº wy[ºÖ¹AÃw¿+yx2xP¤w ©m wÓÆÔ¥e©mÊ,Ãwm w®º¹

α1Fuy xP5y[ mu¶ymF

A((uh, ph), (vh, qh)

)= A

((uh, ph), (uh, ph)v

)+ αA

((uh, ph), (πhvp, 0)

)

≥ C|||(uh, ph)|||2− αC3|||(uh, ph)|||

2+ αC3‖ph‖

20,Ω

≥ C4|||(uh, ph)|||2∗.

ÆÚ¥¤Ê¶*ºu

C4 > 0 wy[Hy[ wy e1m¹

hm w

ν Aº wmºmùÔx ÆÚ¤ÈÊÃ×*¹Ôº¶Luw

|||(πhvp, 0)||| ≤ C‖ph‖0,Ω,

m w®uy[y¹Ômy

|||(vh, qh)|||2∗ = |||(uh + απhvp, ph)|||

2+ ‖ph‖

20,Ω

≤ 2|||(uh, ph)|||2+ 2α2|||(πhvp, 0)|||

2+ ‖ph‖

20,Ω

≤ C5|||(uh, ph)|||2∗,

¶*ºuC5 > 0

º Hy"y wy e*¹h H

νÂt3uy"Ìmy¼y[xPm +ÃmxCº wy[Ö¶*ºuÓÆÚ¥¤mÊÃmx2yy[

uy¹Â

*3(*#*)

¾ºÇËÂmzy[F·my[Am w OÕÂzmF·B A 2H ×y*yyx2y e`y[wymFmy e`FºÐTm %¹ÔmAuwy1e·my[yTewº w3wmy[m [6yT,º w ; % ÃB¤mÅHÆÔ¥ÊEÇnȤB"ÇT¦m¦Ãe©ªmªwÇmÂ

¾ ©Ë( z¨ÂzFuyÌÁm w M¼Â »1uxPm 5ÂÖemºÐyT A ºyPyx2y e O½yu¹Ômuwy®e·my[sºy[x zyTm ½(m mx25y[y%my[m w[Â3µ $ 77/' ( 4Q,# @-, "$@6 9 ;= 7 ;& 9 @ )+',5/ $9=9 3 / '7 / "$= 7' ÃwÌm×Íwxy,ÃH©ªª¥HÂ

¾ ¤Ë OÛÂezFmmF· w21ÂzxP 5 A x%º[yLx2yu2¶3F(wºy[ e w¶XwyT2m Öwmy[,º ÎmºÐ[º 5ÂÎty[Fuw [L*y[HÖªÉÂô©ªmªm¥wÃ(smy(ºeyTFu ey y[yFyy¿w w ymÃw©mªmª¥HÂ

¾ ¥mË H DÂzmx%ymà H 1Â(m·BÃm w½|CÂwey[º wFu5Â`|¼ ®uymººP¹uyL2 yT,º ®

H1(Ω) )+-, ;& 9 Ã6ÈÇeÆV©¤ÈÊEºÇ[¥È5BBÇT£mÉÆÚyy[m [ÊÃH©ªª©Â

¾ £Ë Ânzy[ÐÐe w OÛ wm 5 ) $ / /,@=</ ! & I&('-,.0/ ÃÌmºx2yLÇn£3¹ =9 'I ;& 9 @ ) ,& Â3º wmyÍ Ä`ymwÃÀLy¶m·BÃ6Ç[¦m¦wÇmÂ

¾ ÉË ÂAz<yÐ[Ðm w OÕ wm 5 A x2º wºxPFº §yTyC¹Ôx2׸yT+2H ×yÖyyx2y[ x2yu[ @& )+, ÃHÅm¦HÆÚ¤eÊE ¥e£È0Be¥e¦ÇmÃe©ªmªwÇmÂ

å)(+*5åÙí

!#"$%'&('*)+-,.0/ ¤¤

¾ôÈnË1ÂLz<wxP + A w32wyTm wP¹Ô½m ¹Ômx K w m wm ¹Ôx2 ÎmºÐyT 2w ºyy[ºy[x2y ex2yuwº wÒ yº®"y wm× & '@ 4 @& ' # 骪¥HÂyy[6Â

¾ ÅË1ÂBzxP Ïm w OÕ A  wy wyÐmÂemºÐyT 2w ºyyyx2y eFuy[x2y[*¹Ô¼ wmx2y[yH¶9wº Ìmy[º×wØnwyTy1HmyT<¹Ôº w%uy¿+z3z<Í m wºm +Â5µ 777/' 4#-,.6th %/+= & 9@8 H)+ , P) ÃH©ªª¥wÂ

¾ ¦Ë1ÂBzxP 5ÃIOÕ A Ây[ wy[ÐmÃ6 H½(ÂD¼ w"wÂ1<my2emºÐ[º HEL ϵ yº1y[ wºOÁyuw§¹ÔuyPµ wmx2y[yPÀ1n̺y[Íem·myT1<Hm +ÂPµ $ 777/ J 4 -,. @," @ 97 ;= 7 ;& 9 @$)+-,.0/ *9=97/ ' 7 / "$' ' ÃÌmx2y,ÃH©ªª¥wÂ

¾Ç[ªË¨1ÂnzxP m w(ÂD1 H"wÂ<myFºÐ[m ¹Ô5uysy y[mºÐyTe·my[+myx E51m ͺ w¼º ey[m¼Hy[ wºx2yuw5Âty[Fuw [A*y"m©mªmªm¤ÍÇTÉà M<uHxy[ Aº ºyyx2y eM<y[ eyTÃw©ªªm¤wÂ

¾ÇmÇ˨1ÂzxP w ( D1 H"w smy FºÐ[m ¹Ôm=Ñy·º Ewn¸x2m wXm¹m ÌmyT,º Í Bwº ÏmyxP[ ;& 9@ *)+',5/ $9=9*)+%7, *"$= ÃsÇ[¦¤.EÇ¥e¤eÈ5B©¥£¤Ã©mªmªm¥wÂ

¾ÇT©Ë¨1ÂLz<wxP 9m w9(ÂD1m wHH A FºÐ[y[9 wm wm ¹Ôx2 2w ºyÝyyx2y[ x2yuw9¹Ôm wmx2y[y w¶Â5ty[Fu w[B*y"m3©mªmª¥mÍ ªÉÃKM<uwmºx2y[ Aº ºy¨yx2y e M<y ey[[骪¥HÂ

¾Ç[¤Ë¨(ÂôÑ M<ºy[ÂAµ yHm Öy[my[xPy[<¹Ômuwy¨y[wyTLD¼yuÍCM<muÍ t3Fuy[ ͺy )+-, ;& 9 Ã"¤©wÆÇ¥©mÊE ¤¤£0B¤¥¥wÃÇ[¦ÈÅwÂ

¾Ç¥mË M<º H A w(¹6FºÐ[y[Q2w ºy*y[ºy[xy[ esn¸ºxPm %m¹Huy¼|¨yy y[ewm wH Pmuwmm wBwy[[ÂAy[º e[Â

¾ÇT£ËÂM< w w HÂmzmw A wmº(m¹5yTy͵FºÐ[y[ 2H ×yLyyx2y[ n¸ºxPm m¹uyº wÖÀ1nÌy͵m·y[<y[ewm w[ @& )+-, Ã"ÅeÈÆÇTÊE £m¦ BÅwÇm骪mªÂ

¾Ç[ÉËH¼»¼mwmm½ H¡tÂ1»1wH TÂ/µ eyº½Hy[ wºwyTy[¹ÔÁyºÛm w wF"mÑmºy[· Áx2yuµ ;& 9 @ & -,.0/ 9K9 7/ ' 7 I /( 8' & 69 7 '% ÃmwmmyTA©mªeÈ5B©ÇTÉ¿+y[,yÀ1yTAº Cu[ÂÃÄ`mb£Å my[[Ãzyº 5ÃÇT¦eÈÉÂ

¾ÇnÈnË A Â5 Ým w HÂ Í ¿sÂ6Ѩwyx w6 ,7+/L$ ' 7JC4 ; 8("$%'& Ã6ÌmºwxyÇn£¦Öm¹$9=97/N)+,& 7 '7 Âsº yÍbÄ`y[HÃeÀ1y¶ m·BÃw©ªmªm¥wÂ

¾Ç[ÅË M¼Â Â(`uºy[P wÛ»C A Âey[º wx2m 5Âϸ,¹ÔºÕ¤Íµ» À1n̺y[Íem·myTmm w¹ÔmHy[ wFuÍxPm· w @& ' H)+',5/ !@/ Ã+ÇT¦wÆb£mÊE ¤mɦ B¤eÈ£ÃÇ[¦¦¥HÂ

¾Ç[¦Ë#OÛ A Âwy HyÐÃ%¿ÂxPmà A ÂÑuyTà H ÂѨyHyT5Ã(M¼Â¼w uxx2yÃC HA ÂÄ`y wyÐ wVÂt3uy¿+×¹Ôy[Ä¡y[[Â(ÜÝy5ÃH©mªmªe©nÍ©ªmªm¥wÂ! "$#%&'()"Â

* * æRSTEH

¤m¥ "@& ) /K >P '<

¾ô©ªË¿s (ÂF w[m wÕB ¿Â wy[mÂeFºÐ[y[ 2w ºyÖy[ºy[x2y ex2yuwwÂ5,Ât3uyP wmx2y[yÀ¼n̺y[Íe·myT`y[ewm w[ & 9@ H)+-,.0/ *9K9 H)+%7, I"$' æm¦HÆV©Í ¤eÊEô©ªm¦B©m¤m¤ÃeÇ[¦¦©Â

¾ô©Ç˨ÄCÂ1ѨºFw×½ w( A Â1LnÌmT ; 8 '%'&('J&(',5/ 4 06 8= '. ÃÌmx2y®£¹ 9 I ;& 9 @*) ,& º wmyÍ Ä`ymwÃ5zyº 5ÃÇT¦mÅÉÂ

¾ô©m©ËH ¿ÂsѨy[x2m H6ÂÎeFºÐ[m ιÑmºy[· Òwn¸xPm H%m¹LF w"myTHm H%xy[º H ) ) ,P)+5/K @& H ÃH¤m¤wÆVÉÊEºÇn©¦m¤B"ÇT¤Ç[ÉwÃÇ[¦¦m¦Â

¾ô©¤Ë¨(ÂD1m wHÒm w A Â3Ð[y"y[ A ÌyºÍ y[wy½y[x2º wyÏ"wm 2w w×yÏyyx2y[ x2yuP¹Ôsuy¨º wmx2y[y1À1nÌy͵m·y[`yTewº w ;& 9@ H)+-,.0/ *9K9 H)+%7, " = Ã"Å¥"ÆV©mÊEºÇÈ£ B"Ç[¦e©ÃÇT¦m¦ªÂ

¾ô©¥mË¿s DLwmuyTÃw ÂHOÁmÐÐy[s H 2 L e wy +Â2¿myy[§ºxCm Ó w§uyPÌm wmxCº[yxyu6 ;& 9@ Ã"¤.E ¥È0B£¦wémªmªªÂ

¾ô©m£Ë¨ÄC mu Pm wPB neÂA ×yLyyx2y[ <y(m w` HCx2yx2y Fº P¹5Ìm wmxCº[y¼x2yuÖ¹ÔuyÀ1nÌy͵m·y[sy[ewº w[Â+y :1 ºÌyFº2¹ OÏywémªmª¤Â

¾ô©ÉË M¼Â muw w m w HÂF wy 5Â`ey[mx2º y Bwº x2yu¹Ô3uy wxwyTºwºy¨ym wÀ1nÌy͵em·y[<y[ewº w[ )+, ;& 9 Ãw¥ÈÆÇnÈ£ÊEÇBBÇ[ÅÃHÇ[¦ÅmÉÂ

¾ô©ÈnË¿sÂ,ÂÑ 1ÌmÐ HnmÂm¿x2º H w¶Û"yu w%¶<mÍ x2y wm wmmm6 $ P;& <'/ !,% I Ãw¥¥Eô£ÅBÉ©ÃwÇT¦¥ÅwÂ

¾ô©Å˨ÄCÂ1t3ux [ym %' ! '%& 'N& -,.0/ (4L9 K< 9 K<%'&Q ÃÌmx2yÓ©£Ûm¹=9 'K' ' # ;& 9 @ H)+-,.'& Â<w my[Í Ä`ywÃzyº 5Ã6ÇT¦m¦eÈÂ

¾ô©¦Ë¿sÂmtm· HÂÄ`y¹u5 A wmº`m¹"y[mx y* Bwº 2w ºy*yyx2y[ x2yuC¹Ômuy%em·myT* wÀ1nÌy͵m·y[<y[ewm w[ #) @&(' I Ãw¤m¤HÆÇnÊEÇ[ªeÈ0B"Çn©ÈÃwÇ[¦m¦ÉÂ

å)(+*5åÙí

Unité de recherche INRIA RocquencourtDomaine de Voluceau - Rocquencourt - BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Futurs : Parc Club Orsay Université - ZAC des Vignes4, rue Jacques Monod - 91893 ORSAY Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Lorraine : LORIA, Technopôle de Nancy-Brabois - Campus scientifique615, rue du Jardin Botanique - BP 101 - 54602 Villers-lès-Nancy Cedex (France)

Unité de recherche INRIA Rennes : IRISA, Campus universitaire de Beaulieu - 35042 Rennes Cedex (France)Unité de recherche INRIA Rhône-Alpes : 655, avenue de l’Europe - 38334 Montbonnot Saint-Ismier (France)

Unité de recherche INRIA Sophia Antipolis : 2004, route des Lucioles - BP 93 - 06902 Sophia Antipolis Cedex (France)

ÉditeurINRIA - Domaine de Voluceau - Rocquencourt, BP 105 - 78153 Le Chesnay Cedex (France)

ISSN 0249-6399