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Filtro Ideal Diseño Filtros Digitales Butterworth Chebyshev Chebyshev II Elípticos Bessel Comparación Bibliografia

Filtros Digitales

Bioing. Juan Manuel Reta

Procesamiento Digital de Señales

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Outline1 Filtro Ideal2 Diseño Filtros Digitales

Clasificación de MétodosTécnicas IIR

3 ButterworthCaracterísticas

4 ChebyshevCaracterísticasComparación

5 Chebyshev IICaracterísticas

6 ElípticosCaracterísticas

7 BesselCaracterísticas

8 ComparaciónRespuesta en Frecuencia

9 BibliografiaBibliografia

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Concepto

¿Cuál es el concepto de Filtrado?

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Concepto

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Concepto

h (t) = sinc (t)

Un filtro ideal corresponde a un sistema no causal-físicamente irrealizable-En la práctica se relajan las exigencias sobre el filtro:

Se inserta una banda de transiciónNo se exige respuesta 1 en la banda de pasoNo se exige atenuación absoluta en la banda de rechazo

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Concepto

h (t) = sinc (t)

Un filtro ideal corresponde a un sistema no causal-físicamente irrealizable-En la práctica se relajan las exigencias sobre el filtro:

Se inserta una banda de transiciónNo se exige respuesta 1 en la banda de pasoNo se exige atenuación absoluta en la banda de rechazo

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Concepto

h (t) = sinc (t)

Un filtro ideal corresponde a un sistema no causal-físicamente irrealizable-En la práctica se relajan las exigencias sobre el filtro:

Se inserta una banda de transiciónNo se exige respuesta 1 en la banda de pasoNo se exige atenuación absoluta en la banda de rechazo

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Concepto

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Clasificación de Métodos

Clasificación

Diseño de un filtro discreto

1 Definir especificaciones de las propiedades deseadas.

2 Aproximación de las especificaciones mediante un sistemadiscreto (FIR o IIR)

3 Implementación del sistema.

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Clasificación de Métodos

Clasificación

Diseño de un filtro discreto

1 Definir especificaciones de las propiedades deseadas.2 Aproximación de las especificaciones mediante un sistema

discreto (FIR o IIR)

3 Implementación del sistema.

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Clasificación de Métodos

Clasificación

Diseño de un filtro discreto

1 Definir especificaciones de las propiedades deseadas.2 Aproximación de las especificaciones mediante un sistema

discreto (FIR o IIR)3 Implementación del sistema.

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Clasificación de Métodos

Clasificación

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Técnicas IIR

IIR discretos

1 Se trata de técnicas muy populares de diseño basadas enaproximaciones analógicas.

2 Fórmulas que dan los coeficientes de los filtros en formacerrada.

3 Aún con especificaciones exigentes se obtienen sistemascon un número pequeño de coeficientes.

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Técnicas IIR

IIR discretos

1 Se trata de técnicas muy populares de diseño basadas enaproximaciones analógicas.

2 Fórmulas que dan los coeficientes de los filtros en formacerrada.

3 Aún con especificaciones exigentes se obtienen sistemascon un número pequeño de coeficientes.

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Técnicas IIR

IIR discretos

1 Se trata de técnicas muy populares de diseño basadas enaproximaciones analógicas.

2 Fórmulas que dan los coeficientes de los filtros en formacerrada.

3 Aún con especificaciones exigentes se obtienen sistemascon un número pequeño de coeficientes.

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Técnicas IIR

IIR discretos

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Características

Butterworth

Filtros IIR - Aproximaciones

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Características

Butterworth

La aproximación de Butterworth aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =1

1 + ω2n

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Características

Butterworth

La aproximación de Butterworth aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =1

1 + ω2n

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Características

Butterworth

Propiedades:

1 Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 = 12 y |H (j∞0)|2 = 0

2 La función magnitud de Butterworth es monotónicamentedecreciente para ω ≥ 0

3 Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos deButterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este motivose los llama de magnitud maximamente plana.

4 A alta frecuencia la pendiente de caida de un filtro deButterworth de orden n es 20n dB/década.

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Características

Butterworth

Propiedades:

1 Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 = 12 y |H (j∞0)|2 = 0

2 La función magnitud de Butterworth es monotónicamentedecreciente para ω ≥ 0

3 Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos deButterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este motivose los llama de magnitud maximamente plana.

4 A alta frecuencia la pendiente de caida de un filtro deButterworth de orden n es 20n dB/década.

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Características

Butterworth

Propiedades:

1 Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 = 12 y |H (j∞0)|2 = 0

2 La función magnitud de Butterworth es monotónicamentedecreciente para ω ≥ 0

3 Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos deButterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este motivose los llama de magnitud maximamente plana.

4 A alta frecuencia la pendiente de caida de un filtro deButterworth de orden n es 20n dB/década.

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Características

Butterworth

Propiedades:

1 Para todo n |H (j0)|2 = 1; |H (j1)|2 = 12 y |H (j∞0)|2 = 0

2 La función magnitud de Butterworth es monotónicamentedecreciente para ω ≥ 0

3 Las primeras (2n − 1) derivadas de un filtro pasabajos deButterworth de orden n son cero en ω = 0. Por este motivose los llama de magnitud maximamente plana.

4 A alta frecuencia la pendiente de caida de un filtro deButterworth de orden n es 20n dB/década.

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Características

Butterworth

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Aproximación de Chebyshev

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Características

Chebyshev

La aproximación de Chebyshev aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.La aproximación se contruye a partir de los polinomios deChebyshev.

Tn (ω) , cos(

n · cos−1 ω)

Considerando:

x , cos−1 ω

Entonces:

Tn (ω) = cos (n · x)

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Características

Chebyshev

La aproximación de Chebyshev aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.La aproximación se contruye a partir de los polinomios deChebyshev.

Tn (ω) , cos(

n · cos−1 ω)

Considerando:

x , cos−1 ω

Entonces:

Tn (ω) = cos (n · x)

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Características

Chebyshev

La aproximación de Chebyshev aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.La aproximación se contruye a partir de los polinomios deChebyshev.

Tn (ω) , cos(

n · cos−1 ω)

Considerando:

x , cos−1 ω

Entonces:

Tn (ω) = cos (n · x)

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Características

Chebyshev

T0(ω) = cos 0 = 1

T1(ω) = cos x = cos(

cos−1 ω)= ω

T2(ω) = cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 2ω − 1

T3(ω) = cos 3x = −3 cos x + 4 cos3 x = −3ω + 4ω3

T4(ω) = 1− 8 cos2 x + 8 cos4 x = 1− 8ω2 + 8ω4

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Características

Chebyshev

T0(ω) = cos 0 = 1

T1(ω) = cos x = cos(

cos−1 ω)= ω

T2(ω) = cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 2ω − 1

T3(ω) = cos 3x = −3 cos x + 4 cos3 x = −3ω + 4ω3

T4(ω) = 1− 8 cos2 x + 8 cos4 x = 1− 8ω2 + 8ω4

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Características

Chebyshev

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · T 2n (ω)

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Características

Chebyshev

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · T 2n (ω)

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Características

Chebyshev

Propiedades:

1 Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 11+ε2 y 1.

Hay n puntos críticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.

2 Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 arazón de 20 · ndB/decada;

3 Para todo n:|H (j1)|2 = 1

1+ε2

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

4 AMAX dB , −10 log 11+ε2

AMAX dB = 10 log(1 + ε2

)

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Características

Chebyshev

Propiedades:

1 Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 11+ε2 y 1.

Hay n puntos críticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.2 Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a

razón de 20 · ndB/decada;

3 Para todo n:|H (j1)|2 = 1

1+ε2

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

4 AMAX dB , −10 log 11+ε2

AMAX dB = 10 log(1 + ε2

)

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Características

Chebyshev

Propiedades:

1 Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 11+ε2 y 1.

Hay n puntos críticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.2 Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a

razón de 20 · ndB/decada;3 Para todo n:

|H (j1)|2 = 11+ε2

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

4 AMAX dB , −10 log 11+ε2

AMAX dB = 10 log(1 + ε2

)

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Características

Chebyshev

Propiedades:

1 Para todo |ω| ≤ 1, |H (jω)|2 oscila entre 11+ε2 y 1.

Hay n puntos críticos para el intervalo de ω entre 0 y 1.2 Para ω ≥ 1; |H (jω)|2 decrece monotónicamente a 0 a

razón de 20 · ndB/decada;3 Para todo n:

|H (j1)|2 = 11+ε2

|H (j0)|2 = 1; Para n impar|H (j0)|2 = 1

1+ε2 ; Para n par

4 AMAX dB , −10 log 11+ε2

AMAX dB = 10 log(1 + ε2

)

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Comparación

Respuesta en Frecuencia

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Comparación

Respuesta en Frecuencia

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Comparación

Temporal

¿La resupuesta al impulso?

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Comparación

Temporal

¿La resupuesta al impulso?

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Características

Aproximación de Chebyshev II

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Características

Chebyshev II

La aproximación de Chebyshev II aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =ε2 · T 2

n( 1ω

)1 + ε2 · T 2

n( 1ω

)

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Características

Chebyshev II

La aproximación de Chebyshev II aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.

|H (jω)|2 =ε2 · T 2

n( 1ω

)1 + ε2 · T 2

n( 1ω

)

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Filtros de Cauer

Filtros Elípticos

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Características

Elípticos

La aproximación de Elípticos aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.También se los denomina Filtros de Cauer.

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · R2n (ω)

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Características

Elípticos

La aproximación de Elípticos aproxima la característica demagnitud del filtro ideal pasabajos.También se los denomina Filtros de Cauer.

|H (jω)|2 =1

1 + ε2 · R2n (ω)

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Bessel

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Características

Bessel

La aproximación de Bessel aproxima la característica de Fasedel filtro ideal pasabajos.

H (s) =k

Bn (s)

B1 (s) = s + 1

B2 (s) = s2 + 3s + 1

Bn (s) = (2n − 1)Bn−1 (s) + s2Bn−2 (s)

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Características

Bessel

La aproximación de Bessel aproxima la característica de Fasedel filtro ideal pasabajos.

H (s) =k

Bn (s)

B1 (s) = s + 1

B2 (s) = s2 + 3s + 1

Bn (s) = (2n − 1)Bn−1 (s) + s2Bn−2 (s)

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Características

Bessel

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Respuesta en Frecuencia

Comparativa

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Respuesta en Frecuencia

Temporal

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Bibliografia

Bilbliografía

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