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Important Linear Block Codes

EELE 6338Dr. Musbah Shaat 01/10/2012

OutlineOutline

• Hamming Codes.• SEC‐DED Codes.SEC DED Codes.• Reed‐Muller Codes.• The (24,12) Golay Code.

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Hamming Codes

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S t ti H i C dSystematic Hamming Codes• In systematic form:

H =[ Im Q]

• The columns of Q are all m-tuple of weight 2.• Different arrangements of the columns of Q produce different• Different arrangements of the columns of Q produce different

codes, but of the same distance property.• Hamming codes are perfect codes

t

P f t d h th t d d t i ll th

t

i

kn

in

0 2

• Perfect code: when the standard array contains all the error pattern of t but no others.

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Weight Distribution of Hamming g gCodes

1 2/)1(2 ))(1()1(1

1)(

nn zznzn

zA

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SEC DED CodesSEC‐DED Codes

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Reed Muller (RM) CodesReed‐Muller (RM) Codes

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Codeword structure

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Example 4 2Example 4.2

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Decoding Example (a start )Decoding Example (a start …)

‐ How these equations are formed ????

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Majority logic Decision RuleMajority‐logic Decision Rule

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Multi stage Decoding ()Multi‐stage Decoding ()

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Multi stage Decoding ()Multi‐stage Decoding ()

N t f i th difi d t• Next, we form again the modified vector

• Decoding of RM(r,m) code consists of r+1 steps. • We start by the information bits of degree r.• The modified vector is constructed after every ydecoding level.

• Called (r+1)‐step majority decoding. ( ) p j y g

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How to construct the check sums ?How to construct the check‐sums ?

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Example 4 3Example 4.3

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Example 4 3 (Cont )Example 4.3 (Cont.)

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Example 4 3 (Cont )Example 4.3 (Cont.)

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Kronecker product ()Kronecker product ()

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Kronecker product ()Kronecker product ()

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Construction of RM code using Kronecker product

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Example 4 4Example 4.4

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The (24 12) Golay CodeThe (24,12) Golay Code

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The (24 12) Golay Code GenerationThe (24,12) Golay Code Generation

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Golay Code Decoding AlgorithmGolay Code Decoding Algorithm

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Decoding Algorithm ContDecoding Algorithm, Cont.

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Decoding Algorithm ContDecoding Algorithm, Cont.

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Decoding Algorithm ContDecoding Algorithm, Cont.

Th l ith b i d• The decoding algorithm can be summarized as follows

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Example 4 7Example 4.7

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• 3.1 , 3.2 , 3.3 and 4.8 (do only one or two information bits in each decoding level).g )

N l ill h li d• Next lecture: we will cover the cyclic codes.

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